Piiriteooria on üks matemaatilise analüüsi harusid. Limiidi lahendamise küsimus on üsna ulatuslik, kuna erinevat tüüpi limiitide lahendamiseks on kümneid meetodeid. Seal on kümneid nüansse ja nippe, mis võimaldavad teil seda või teist piiri lahendada. Sellegipoolest püüame siiski mõista peamisi piirangute liike, mida praktikas kõige sagedamini kohtab.
Alustame piiri kontseptsioonist. Aga kõigepealt lühike ajalooline taust. 19. sajandil elas prantslane Augustin Louis Cauchy, kes andis paljudele matani mõistetele ranged määratlused ja pani sellele aluse. Peab ütlema, et see lugupeetud matemaatik oli, on ja jääb kõigi füüsika- ja matemaatikaosakonna üliõpilaste õudusunenägudesse, kuna ta tõestas tohutul hulgal matemaatilise analüüsi teoreeme ja üks teoreem on surmavam kui teine. Sellega seoses me veel ei kaalu Cauchy piiri määramine, kuid proovime teha kahte asja:
1. Saage aru, mis on piir.
2. Õppige lahendama piirangute põhitüüpe.
Vabandan mõningate ebateaduslike selgituste pärast, oluline on, et materjal oleks arusaadav ka teekannule, mis tegelikult ongi projekti ülesanne.
Mis on siis piir?
Ja lihtsalt näide sellest, miks karvas vanaemale....
Iga piirang koosneb kolmest osast:
1) Tuntud piiranguikoon.
2) Kirjed piiranguikooni all, antud juhul . Kirje kõlab "X kaldub ühele". Kõige sagedamini - täpselt, kuigi praktikas on X-i asemel muid muutujaid. Praktilistes ülesannetes võib ühe koht olla absoluutselt suvaline arv, aga ka lõpmatus ().
3) Funktsioonid piirmärgi all, antud juhul .
Salvestus ise 
kõlab järgmiselt: "funktsiooni piir kui x kaldub ühtsusele."
Vaatame järgmist olulist küsimust – mida tähendab väljend “x”? pingutabühele"? Ja mida üldse tähendab "püüdlema"?
Piiri mõiste on nii-öelda mõiste, dünaamiline. Koostame jada: kõigepealt , siis , , …, 
, ….
See tähendab, et väljend "x pingutabühele” tuleks mõista järgmiselt: “x” võtab järjekindlalt väärtused mis lähenevad ühtsusele lõpmatult lähedased ja kattuvad sellega praktiliselt.
Kuidas ülaltoodud näidet lahendada? Ülaltoodust lähtuvalt tuleb piirmärgi all olevasse funktsiooni lihtsalt asendada üks:
Niisiis, esimene reegel: Kui antakse mingi piirang, proovime esmalt lihtsalt numbri funktsiooniga ühendada.
Oleme arvestanud kõige lihtsama piiriga, kuid neid tuleb ette ka praktikas ja mitte nii harva!
Näide lõpmatusega:
Mõtleme välja, mis see on? Seda juhul, kui see suureneb piiramatult, see tähendab: kõigepealt, siis, siis, siis ja nii edasi lõpmatuseni.
Mis juhtub funktsiooniga sel ajal?
, , 
, …
Seega: kui , siis funktsioon kipub miinus lõpmatusse:
Jämedalt öeldes asendame meie esimese reegli kohaselt funktsiooniga "X" asemel lõpmatuse ja saame vastuse.
Teine näide lõpmatusega:
Jälle hakkame suurendama lõpmatuseni ja vaatame funktsiooni käitumist: 
Järeldus: kui funktsioon suureneb piiramatult:
Ja veel üks näidete seeria:
Proovige enda jaoks mõtteliselt analüüsida järgmist ja pidage meeles lihtsamaid piiranguid:
, , , , 
, , , , 
,
Kui teil on kuskil kahtlusi, võite võtta kalkulaatori ja veidi harjutada.
Kui , proovige konstrueerida jada , , . Kui siis , , .
! Märge: Rangelt võttes on selline lähenemine mitmest arvust koosnevate jadade koostamisel vale, kuid kõige lihtsamate näidete mõistmiseks on see üsna sobiv.
Pöörake tähelepanu ka järgmisele. Isegi kui limiit on antud suure numbriga ülaosas või isegi miljoniga: , siis on kõik sama 
, kuna varem või hiljem hakkab "X" omandama selliseid hiiglaslikke väärtusi, et võrreldes miljoniga on tõeline mikroob.
Mida peate ülaltoodust meeles pidama ja mõistma?
1) Kui on antud mingi piir, proovime esmalt lihtsalt funktsiooni asendada numbriga.
2) Peate mõistma ja kohe lahendama kõige lihtsamad piirid, nt 
, , jne.
Pealegi on piiril väga hea geomeetriline tähendus. Teema paremaks mõistmiseks soovitan tutvuda õppematerjaliga Elementaarfunktsioonide graafikud ja omadused. Pärast selle artikli lugemist saate mitte ainult lõpuks aru, mis on piir, vaid tutvute ka huvitavate juhtumitega, kui funktsiooni piir üldiselt ei eksisteeri!
Praktikas on kingitusi kahjuks vähe. Ja seetõttu liigume edasi keerukamate piiride kaalumisele. Muide, sellel teemal on intensiivkursus pdf-vormingus, mis on eriti kasulik siis, kui teil on ettevalmistuseks VÄGA vähe aega. Kuid saidi materjalid pole muidugi halvemad:
Nüüd vaatleme piiride rühma, kui , ja funktsioon on murd, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome
Näide:
Arvutage limiit 
Meie reegli kohaselt proovime funktsiooni asendada lõpmatusega. Mida me tipus saame? Lõpmatus. Ja mis toimub allpool? Samuti lõpmatus. Seega on meil nn liigimääramatus. Võib arvata, et , ja vastus on valmis, kuid üldiselt pole see sugugi nii ja vaja on rakendada mõnda lahendustehnikat, mida me nüüd kaalume.
Kuidas seda tüüpi piiranguid lahendada?
Kõigepealt vaatame lugejat ja leiame suurima võimsuse: 
Lugeja juhtiv jõud on kaks.
Nüüd vaatame nimetajat ja leiame selle ka suurima astmeni: 
Nimetaja kõrgeim aste on kaks.
Seejärel valime lugeja ja nimetaja suurima astme: selles näites on need samad ja võrdsed kahega.
Seega on lahendusmeetod järgmine: määramatuse paljastamiseks on vaja lugeja ja nimetaja jagada suurima astmega.
Siin see on, vastus ja mitte lõpmatus.
Mis on otsuse kujundamisel põhimõtteliselt oluline?
Esiteks osutame ebakindlusele, kui seda on.
Teiseks on soovitatav vahepealsete selgituste jaoks lahendus katkestada. Tavaliselt kasutan märki, sellel pole matemaatilist tähendust, vaid tähendab, et lahendus katkestatakse vahepealseks selgituseks.
Kolmandaks on limiidis soovitav märkida, mis kuhu läheb. Kui töö on käsitsi koostatud, on seda mugavam teha järgmiselt: 
Märkmete tegemiseks on parem kasutada lihtsat pliiatsit.
Loomulikult ei pea te seda tegema, kuid võib-olla juhib õpetaja lahenduse puudustele või hakkab ülesande kohta lisaküsimusi esitama. Kas sul on seda vaja?
Näide 2
Leia piir 
Jällegi leiame lugejas ja nimetajas kõrgeimas astmes: 
Lugeja maksimaalne aste: 3
Maksimaalne aste nimetajas: 4
Vali suurim väärtus, antud juhul neli.
Vastavalt meie algoritmile jagame määramatuse paljastamiseks lugeja ja nimetaja .
Täielik ülesanne võib välja näha järgmine:
Jagage lugeja ja nimetaja arvuga
Näide 3
Leia piir 
“X” maksimaalne aste lugejas: 2
Maksimaalne X aste nimetajas: 1 (saab kirjutada kui)
Määramatuse paljastamiseks on vaja lugeja ja nimetaja jagada . Lõplik lahendus võib välja näha selline:
Jagage lugeja ja nimetaja arvuga
Märkimine ei tähenda nulliga jagamist (nulliga jagada ei saa), vaid lõpmatu väikese arvuga jagamist.
Seega, kui avastame liikide ebakindluse, saame seda teha lõplik number, null või lõpmatus.
Piirid koos tüübi määramatusega ja nende lahendamise meetodiga
Järgmine piiride rühm sarnaneb mõneti äsja vaadeldud piiridega: lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome, kuid “x” ei kipu enam lõpmatusse, vaid lõplik arv.
Näide 4
Lahenda limiit 
Esmalt proovime asendada murdosaga -1: 
Sel juhul saadakse nn määramatus.
Üldreegel: kui lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome ja vormis on ebakindlus, siis tuleb see avaldada peate arvestama lugeja ja nimetaja.
Selleks tuleb enamasti lahendada ruutvõrrand ja/või kasutada lühendatud korrutusvalemeid. Kui need asjad on ununenud, siis külastage lehte Matemaatilised valemid ja tabelid ja lugeda õppematerjali Kuumad valemid kooli matemaatikakursuse jaoks. Muide, kõige parem on see välja printida, seda nõutakse väga sageli ja teave imendub paberilt paremini.
Niisiis, lahendame oma piirangu 
Korrigeerige lugeja ja nimetaja
Lugeja faktoristamiseks peate lahendama ruutvõrrandi: 
Kõigepealt leiame diskriminandi:
Ja selle ruutjuur: .
Kui diskriminant on suur, näiteks 361, kasutame kalkulaatorit, ruutjuure eraldamise funktsioon on kõige lihtsamal kalkulaatoril.
! Kui juurt ei eraldata tervikuna (saadakse komaga murdarv), on väga tõenäoline, et diskriminant arvutati valesti või oli ülesandes kirjaviga.
Järgmisena leiame juured: 
Seega:
Kõik. Lugeja on faktoriseeritud.
Nimetaja. Nimetaja on juba kõige lihtsam tegur ja seda ei saa kuidagi lihtsustada.
Ilmselt saab seda lühendada järgmiselt:
Nüüd asendame -1 avaldisega, mis jääb piirmärgi alla:
Loomulikult ei kirjeldata testis, testis või eksamil lahendust kunagi nii üksikasjalikult. Lõplikus versioonis peaks kujundus välja nägema umbes selline:
Faktoriseerime lugeja. 
Näide 5
Arvutage limiit 
Esiteks lahenduse "viimistlus" versioon
Korraldame lugeja ja nimetaja.
Lugeja:
Nimetaja: 
, 
Mis on selles näites oluline?
Esiteks peab teil olema hea arusaam sellest, kuidas lugeja ilmub. Esmalt võtsime sulgudest välja 2 ja seejärel kasutasime ruutude erinevuse valemit. See on valem, mida peate teadma ja nägema.
Soovitus: Kui limiidis (peaaegu igat tüüpi) on võimalik arv sulgudest välja võtta, siis teeme seda alati.
Lisaks on soovitatav sellised numbrid piiranguikoonist kaugemale viia. Milleks? Jah, lihtsalt selleks, et nad teele ei jääks. Peaasi, et need numbrid hiljem lahenduse käigus ära ei kaotaks.
Pange tähele, et lahenduse viimases etapis võtsin piiranguikoonist välja kaks ja seejärel miinuse.
! Tähtis
Lahenduse käigus esineb tüübifragmenti väga sageli. Vähendage seda osasee on keelatud
. Kõigepealt peate muutma lugeja või nimetaja märki (sulgudesse panna -1).
, ehk siis ilmub miinusmärk, mida limiidi arvutamisel arvestatakse ja seda pole üldse vaja kaotada.
Üldiselt märkasin, et kõige sagedamini tuleb seda tüüpi piiride leidmisel lahendada kaks ruutvõrrandit, st nii lugejas kui ka nimetajas on ruuttrinomid.
Lugeja ja nimetaja korrutamise meetod konjugaavaldisega
Jätkame vormi ebakindlusega arvestamist
Järgmist tüüpi piirangud on sarnased eelmisele tüübile. Ainuke asi, lisaks polünoomidele lisame juured.
Näide 6
Leia piir 
Hakkame otsustama.
Esmalt proovime 3 asendada avaldisega piirmärgi all
Kordan veel kord - see on esimene asi, mida peate tegema IGA piirangu jaoks. See toiming viiakse tavaliselt läbi vaimselt või mustandi kujul.
Saadud vormi määramatus, mis tuleb kõrvaldada. 
Nagu ilmselt märkasite, sisaldab meie lugeja juurte erinevust. Ja matemaatikas on kombeks võimalusel juurtest lahti saada. Milleks? Ja ilma nendeta on elu lihtsam.
Funktsiooni piirväärtus lõpmatuses:
|f(x) - a|< ε
при |x| >N
Cauchy piiri määramine
Olgu funktsioon f (x) on määratletud lõpmatuse punkti teatud läheduses koos |x|-ga > Arvu a nimetatakse funktsiooni piiriks f (x) kui x kaldub lõpmatuseni (), kui ükskõik millise, kui tahes väikese positiivse arvu ε korral > 0
, on arv N ε >K, olenevalt ε-st, mis kõigi x, |x| > N ε, funktsiooni väärtused kuuluvad punkti a ε naabrusesse:
|f (x)-a|< ε
.
Funktsiooni piir lõpmatuses on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .
Sageli kasutatakse ka järgmist tähistust:
.
Kirjutame selle definitsiooni, kasutades olemasolu ja universaalsuse loogilisi sümboleid:
.
See eeldab, et väärtused kuuluvad funktsiooni domeeni.
Ühepoolsed piirid
Funktsiooni vasakpoolne piir lõpmatuses:
|f(x) - a|< ε
при x < -N
Sageli on juhtumeid, kui funktsioon on määratletud ainult muutuja x positiivsete või negatiivsete väärtuste jaoks (täpsemalt punkti või naabruses). Samuti võivad x positiivsete ja negatiivsete väärtuste lõpmatuse piirid olla erinevad. Siis kasutatakse ühepoolseid piire.
Vasak piir lõpmatuses või piir, kui x kaldub miinus lõpmatuseni () on määratletud järgmiselt:
.
Parem piir lõpmatuses või piir, kui x kipub pluss lõpmatus ():
.
Lõpmatuse ühepoolseid piire tähistatakse sageli järgmiselt:
;
.
Funktsiooni lõpmatu piir lõpmatuses
Funktsiooni lõpmatu piir lõpmatuses:
|f(x)| > M jaoks |x| >N
Lõpmatu piiri definitsioon Cauchy järgi
Olgu funktsioon f (x) on määratletud lõpmatuse punkti teatud läheduses koos |x|-ga > K, kus K on positiivne arv. Funktsiooni piir f (x) kuna x kaldub lõpmatuseni (), on võrdne lõpmatusega, kui suvaliselt suure arvu M korral > 0
, on selline number N M >K, olenevalt M, mis kõigi x, |x| > N M , funktsiooni väärtused kuuluvad lõpmatuse punkti naabrusesse:
|f (x) | > M.
Lõpmatu piir, kui x kaldub lõpmatuseni, on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .
Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab funktsiooni lõpmatu piiri määratluse kirjutada järgmiselt:
.
Samamoodi tutvustatakse teatud märkide lõpmatute piiride määratlusi, mis on võrdsed ja:
.
.
Lõpmatuse ühepoolsete piiride määratlused.
Vasakpoolsed piirid.
.
.
.
Õiged piirid.
.
.
.
Funktsiooni piiri määramine Heine järgi
Olgu funktsioon f (x) defineeritud lõpmatuse punkti x mõnel naabruskonnal 0
, kus või või .
Arvu a (lõplik või lõpmatus) nimetatakse funktsiooni f piiriks (x) punktis x 0
:
,
kui mingi jada puhul (xn), lähenedes x-le 0
:
,
mille elemendid kuuluvad naabrusse, järjestusse (f(xn)) koondub a:
.
Kui võtta naabrusena märgita punkti naabrus lõpmatuses: , siis saame funktsiooni piiri definitsiooni, kui x kaldub lõpmatuseni, . Kui võtame lõpmatuse punkti x vasak- või parempoolse ümbruse 0 : või , siis saame piiri definitsiooni, kuna x kaldub vastavalt miinus lõpmatuseni ja pluss lõpmatuseni.
Heine ja Cauchy piirimääratlused on samaväärsed.
Näited
Näide 1
Kasutades selle näitamiseks Cauchy definitsiooni
.
Tutvustame järgmist tähistust:
.
Leiame funktsiooni definitsioonipiirkonna. Kuna murdosa lugeja ja nimetaja on polünoomid, on funktsioon defineeritud kõigi x jaoks, välja arvatud punktid, kus nimetaja kaob. Leiame need punktid. Ruutvõrrandi lahendamine. ;
.
Võrrandi juured:
;
.
Alates , siis ja .
Seetõttu on funktsioon defineeritud aadressil . Kasutame seda hiljem.
Kirjutame üles funktsiooni lõpliku piiri määratlus lõpmatuses Cauchy järgi:
.
Teisendame erinevust:
.
Jagage lugeja ja nimetaja ja korrutage arvuga -1
:
.
Laske .
Siis
;
;
;
.
Niisiis leidsime, et kui
.
.
Sellest järeldub
aadressil , ja .
Kuna saate seda alati suurendada, võtame . Siis kellelegi,
aadressil .
See tähendab et .
Näide 2
Laske .
Kasutades Cauchy piirangu määratlust, näidake, et:
1)
;
2)
.
1) Lahendus kui x kaldub miinus lõpmatusse
Kuna , on funktsioon defineeritud kõigi x-ide jaoks.
Kirjutame üles funktsiooni piiri definitsiooni miinus lõpmatusega:
.
Laske . Siis
;
.
Niisiis leidsime, et kui
.
Sisestage positiivsed arvud ja:
.
Sellest järeldub, et iga positiivse arvu M puhul on arv, nii et ,
.
See tähendab et .
2) Lahendus kui x kipub plussis lõpmatus
Teisendame algse funktsiooni. Korrutage murdosa lugeja ja nimetaja ning rakendage ruutude erinevuse valemit:
.
Meil on:
.
Kirjutame üles funktsiooni parempoolse piiri määratluse aadressil:
.
Tutvustame tähistust: .
Teisendame erinevust:
.
Korrutage lugeja ja nimetaja arvuga:
.
Lase
.
Siis
;
.
Niisiis leidsime, et kui
.
Sisestage positiivsed arvud ja:
.
Sellest järeldub
kell ja .
Kuna see kehtib iga positiivse arvu kohta, siis
.
Viited:
CM. Nikolski. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 1983.
Funktsioon y = f (x) on seadus (reegel), mille kohaselt on hulga X iga element x seotud hulga Y ühe ja ainult ühe elemendiga y.
Element x ∈ X helistas funktsiooni argument või sõltumatu muutuja.
Element y ∈ Y helistas funktsiooni väärtus või sõltuv muutuja.
Hulk X kutsutakse funktsiooni domeen.
Elementide hulk y ∈ Y, mille komplektis X on eelkujutised, kutsutakse ala või funktsiooni väärtuste komplekt.
Tegelikku funktsiooni nimetatakse ülalt piiratud (altpoolt), kui on selline arv M, et ebavõrdsus kehtib kõigi kohta:
.
Kutsutakse numbrifunktsiooni piiratud, kui on olemas selline arv M, et kõigi jaoks:
.
Ülemine serv või täpne ülemine piir Tegelikku funktsiooni nimetatakse väikseimaks arvuks, mis piirab selle väärtuste vahemikku ülalt. See tähendab, et see on arv s, mille kõigi ja kõigi jaoks on argument, mille funktsiooni väärtus ületab s′: .
Funktsiooni ülemist piiri saab tähistada järgmiselt:
.
Vastavalt alumine serv või täpne alumine piir Reaalfunktsiooni nimetatakse suurimaks arvuks, mis piirab selle väärtuste vahemikku altpoolt. See tähendab, et see on arv i, mille kõigi ja kõigi jaoks on argument, mille funktsiooni väärtus on väiksem kui i′: .
Funktsiooni infimumi saab tähistada järgmiselt:
.
Funktsiooni piiri määramine
Funktsiooni piiri määramine Cauchy järgi
Funktsiooni lõplikud piirid lõpp-punktides
Olgu funktsioon defineeritud mõnes lõpp-punkti läheduses, välja arvatud punkt ise. punktis, kui mõne jaoks on olemas selline asi, olenevalt , et kõigi x puhul, mille puhul kehtib ebavõrdsus
.
Funktsiooni piirang on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .
Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab funktsiooni piiri määratluse kirjutada järgmiselt:
.
Ühepoolsed piirid.
Vasakpoolne piir punktis (vasakpoolne piir):
.
Punkti parempoolne piir (parempoolne piir):
.
Vasak- ja parempoolsed piirid on sageli tähistatud järgmiselt:
;
.
Funktsiooni lõplikud piirid lõpmatuse punktides
Piirid lõpmatuse punktides määratakse kindlaks sarnasel viisil.
.
.
.
Neid nimetatakse sageli:
;
;
.
Punkti naabruse mõiste kasutamine
Kui võtta kasutusele punkti punktsiooniga ümbruse mõiste, siis saame anda funktsiooni lõpliku piiri ühtse definitsiooni lõplikes ja lõpmata kaugetes punktides:
.
Siin on lõpp-punktid
;
;
.
Lõpmatuse punktide mis tahes ümbrus torgatakse:
;
;
.
Lõpmatud funktsioonipiirangud
Definitsioon
Olgu funktsioon määratletud punkti mingis punkteeritud ümbruses (lõpmatus või lõpmatuses). Funktsiooni piir f (x) kui x → x 0
võrdub lõpmatusega, kui suvaliselt suure arvu M korral > 0
, on arv δ M > 0
, olenevalt M-st, et kõigi punktide δ M - punkti naabrusesse kuuluvate x kohta kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Lõpmatu piir on tähistatud järgmiselt:
.
Või kell .
Kasutades eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid, saab funktsiooni lõpmatu piiri määratluse kirjutada järgmiselt:
.
Võite tutvustada ka teatud märkide lõpmatute piiride määratlusi, mis on võrdsed ja :
.
.
Funktsiooni piiri universaalne määratlus
Kasutades punkti naabruse mõistet, saame anda funktsiooni lõpliku ja lõpmatu piiri universaalse definitsiooni, mis on rakendatav nii lõplike (kahe- ja ühepoolsete) kui ka lõpmatult kaugete punktide jaoks:
.
Funktsiooni piiri määramine Heine järgi
Olgu funktsioon defineeritud mingil hulgal X:.
Arvu a nimetatakse funktsiooni piiriks punktis:
,
kui mis tahes jada puhul, mis läheneb x-le 0
:
,
mille elemendid kuuluvad hulka X: ,
.
Kirjutame selle määratluse eksistentsi ja universaalsuse loogilisi sümboleid kasutades:
.
Kui me võtame punkti x vasakpoolse ümbruse hulgana X 0 , siis saame vasakpoolse piiri määratluse. Kui see on paremakäeline, saame õige piiri definitsiooni. Kui võtta lõpmatuses oleva punkti naabruskond hulgana X, saame funktsiooni piiri määratluse lõpmatuses.
Teoreem
Funktsiooni piiri Cauchy ja Heine definitsioonid on samaväärsed.
Tõestus
Funktsiooni piiri omadused ja teoreemid
Lisaks eeldame, et vaadeldavad funktsioonid on määratletud punkti vastavas läheduses, milleks on lõplik arv või üks sümbolitest: . See võib olla ka ühepoolne piirpunkt, st olla kujul või . Naabruskond on kahepoolse piirmäära jaoks kahepoolne ja ühepoolse piiri jaoks ühepoolne.
Põhiomadused
Kui funktsiooni f väärtused (x) muuta (või määramata) lõplikku arvu punkte x 1, x 2, x 3, ... x n, siis see muudatus ei mõjuta funktsiooni piiri olemasolu ja väärtust suvalises punktis x 0 .
Kui on olemas lõplik piir, siis on olemas punkti x punkteeritud ümbrus 0
, millel funktsioon f (x) piiratud:
.
Olgu funktsioonil punkt x 0
lõplik nullist erinev piir:
.
Siis on suvalise arvu c korral vahemikust punkt x selline punkteeritud naabruskond 0
, milleks ,
, Kui ;
, Kui.
Kui mõnel punkti naabruskonnal , , on konstant, siis .
Kui punkti x mõnel torgatud ümbruskonnal on lõplikud piirid ja ja 0
,
See .
Kui , Ja mõnel punkti naabruses
,
See .
Eelkõige siis, kui mõne punkti naabruses
,
siis kui , siis ja ;
kui , siis ja .
Kui mõnel punkti x torgatud ümbruskonnal 0
:
,
ja on olemas lõplikud (või teatud märgi lõpmatud) võrdsed piirid:
, See
.
Peamiste omaduste tõendid on toodud lehel
"Funktsiooni piiride põhiomadused."
Funktsiooni piiri aritmeetilised omadused
Olgu funktsioonid ja määratletud punkti mõnes punktsiooniga naabruses. Ja olgu piiratud piirid:
Ja .
Ja olgu C konstant, see tähendab etteantud arv. Siis
;
;
;
, Kui.
Kui siis.
Aritmeetiliste omaduste tõendid on toodud lehel
"Funktsiooni piiride aritmeetilised omadused".
Cauchy kriteerium funktsiooni piiri olemasoluks
Teoreem
Selleks, et funktsioon, mis on defineeritud lõpliku punkti mõnel punkteeritud naabruskonnal või lõpmatuspunktis x 0
, oli selles punktis lõplik piir, on vajalik ja piisav, et iga ε korral > 0
seal oli selline punkti x torgatud naabruskond 0
, et mis tahes punktide ja selle naabruskonna puhul kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Keerulise funktsiooni piir
Teoreem kompleksfunktsiooni piiri kohta
Laske funktsioonil olla piir ja kaardistada punkti läbimurtud naabruskond punkti punkteeritud ümbrusega. Olgu see funktsioon sellel naabruskonnal määratletud ja sellel on piirang.
Siin on viimased või lõpmatult kauged punktid: . Naabruskonnad ja neile vastavad piirid võivad olla kas kahe- või ühepoolsed.
Siis on keerulise funktsiooni piirang ja see on võrdne:
.
Kompleksfunktsiooni piirteoreemi rakendatakse siis, kui funktsioon ei ole punktis defineeritud või selle väärtus erineb piirväärtusest. Selle teoreemi rakendamiseks peab punktis, kus funktsiooni väärtuste hulk punkti ei sisalda, olema punkteeritud naabrus:
.
Kui funktsioon on pidev punktis , saab pideva funktsiooni argumendile rakendada piirmärki:
.
Järgnev on sellele juhtumile vastav teoreem.
Teoreem funktsiooni pidevfunktsiooni piiri kohta
Olgu funktsiooni g limiit (t) nagu t → t 0
, ja see on võrdne x-ga 0
:
.
Siin on punkt t 0
võib olla lõplik või lõpmatult kauge: .
Ja olgu funktsioon f (x) on pidev punktis x 0
.
Siis on kompleksfunktsiooni f piir (g(t)), ja see on võrdne f-ga (x0):
.
Teoreemide tõestused on toodud lehel
"Keerulise funktsiooni piir ja järjepidevus".
Lõpmatult väikesed ja lõpmata suured funktsioonid
Lõpmatult väikesed funktsioonid
Definitsioon
Funktsiooni nimetatakse lõpmatult väikeseks, kui
.
Summa, vahe ja toode Lõpliku arvu lõpmatute väikeste funktsioonide juures on lõpmatult väike funktsioon juures .
Piiratud funktsiooni korrutis mõnel torgatud naabruses punkt , Et lõpmatult väike juures on lõpmatu funktsioon juures .
Selleks, et funktsioonil oleks lõplik piir, on vajalik ja piisav, et
,
kus on infinitesimal funktsioon juures .
"Lõpmata väikeste funktsioonide omadused".
Lõpmatult suured funktsioonid
Definitsioon
Funktsiooni nimetatakse lõpmatult suureks, kui
.
Piiratud funktsiooni summa või erinevus, mõnel punkti naabruses ja lõpmatult suur funktsioon juures on lõpmatult suur funktsioon .
Kui funktsioon on jaoks lõpmatult suur ja funktsioon on piiratud punkti mingi läbitorkatud naabrusega, siis
.
Kui funktsioon , punkti mõnel torgatud naabruses, rahuldab ebavõrdsust:
,
ja funktsioon on lõpmatult väike:
, ja (punkti mõnel torgatud naabruskonnal), siis
.
Omaduste tõendid on esitatud jaotises
"Lõpmatult suurte funktsioonide omadused".
Lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide vaheline seos
Kahest eelnevast omadusest tuleneb seos lõpmatult suurte ja lõpmata väikeste funktsioonide vahel.
Kui funktsioon on lõpmatult suur juures , siis funktsioon on lõpmatult väike juures .
Kui funktsioon on , ja jaoks lõpmatult väike, on funktsioon lõpmatult suur.
Lõpmatult väikese ja lõpmata suure funktsiooni suhet saab väljendada sümboolselt:
,
.
Kui lõpmata väikesel funktsioonil on teatud märk punktis , see tähendab, et see on positiivne (või negatiivne) punkti mõnel punkteeritud naabruskonnal, siis saab seda fakti väljendada järgmiselt:
.
Samamoodi, kui lõpmata suurel funktsioonil on teatud märk kohas , kirjutavad nad:
.
Siis saab sümboolset seost lõpmatult väikeste ja lõpmatult suurte funktsioonide vahel täiendada järgmiste seostega:
,
,
,
.
Täiendavad valemid lõpmatuse sümbolite kohta leiate lehelt
"Punktid lõpmatuses ja nende omadused."
Monotoonsete funktsioonide piirid
Definitsioon
Kutsutakse välja funktsioon, mis on defineeritud mõnel reaalarvude hulgal X rangelt suurenev, kui kõigi puhul kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Vastavalt sellele, jaoks rangelt vähenemas funktsioon kehtib järgmine ebavõrdsus:
.
Sest mitte vähenev:
.
Sest mitte suurenev:
.
Sellest järeldub, et ka rangelt kasvav funktsioon ei ole kahanev. Rangelt kahanev funktsioon on ka mittekasv.
Funktsiooni kutsutakse üksluine, kui see ei vähene või ei suurene.
Teoreem
Las funktsioon ei vähene intervallil, kus .
Kui see on ülalt piiratud arvuga M: siis on olemas lõplik piir. Kui ülalt ei piirata, siis .
Kui see on altpoolt piiratud arvuga m: siis on olemas lõplik piir. Kui altpoolt ei piirdu, siis .
Kui punktid a ja b on lõpmatuses, siis avaldistes tähendavad piirmärgid, et .
Seda teoreemi saab sõnastada kompaktsemalt.
Las funktsioon ei vähene intervallil, kus . Siis on punktides a ja b ühepoolsed piirid:
;
.
Sarnane teoreem mittekasvava funktsiooni kohta.
Las funktsioon ei suurene intervallil, kus . Siis on ühepoolsed piirangud:
;
.
Teoreemi tõestus on toodud lehel
"Monotoonsete funktsioonide piirid".
Viited:
L.D. Kudrjavtsev. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 2003.
CM. Nikolski. Matemaatilise analüüsi kursus. 1. köide. Moskva, 1983.
Neile, kes soovivad õppida piiranguid leidma, räägime selles artiklis teile sellest. Me ei süvene teooriasse, õpetajad annavad seda tavaliselt loengutes. Nii et "igav teooria" tuleks märkmikusse üles märkida. Kui see nii ei ole, saate lugeda õpikuid, mis on võetud õppeasutuse raamatukogust või muudest Interneti-allikatest.
Seega on piiri mõiste kõrgema matemaatika uurimisel üsna oluline, eriti kui puutute kokku integraalarvutusega ja mõistate piiri ja integraali seost. Praeguses materjalis vaadeldakse lihtsaid näiteid ja nende lahendamise viise.
Näited lahendustest
| Näide 1 |
| Arvutage a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| Lahendus |
|
a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Inimesed saadavad meile need piirangud sageli palvega aidata neid lahendada. Otsustasime need eraldi näitena esile tõsta ja selgitada, et need piirid tuleb reeglina lihtsalt meeles pidada. Kui te ei saa oma probleemi lahendada, saatke see meile. Pakume üksikasjalikku lahendust. Saate vaadata arvutuse edenemist ja saada teavet. See aitab teil õpetajalt hinde õigeaegselt kätte saada! |
| Vastus |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0 $$ |
Mida teha vormi määramatusega: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| Näide 3 |
| Lahenda $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Lahendus |
|
Nagu alati, alustame väärtuse $ x $ asendamisest avaldisega piirmärgi all. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Mis nüüd edasi saab? Mis peaks lõpuks juhtuma? Kuna tegemist on määramatusega, ei ole see veel vastus ja me jätkame arvutamist. Kuna meil on lugejates polünoom, siis faktoriseerime selle kõigile koolist tuttava valemiga $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Kas sa mäletad? Suurepärane! Nüüd aga kasuta seda lauluga :) Leiame, et lugeja $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Jätkame lahendamist, võttes arvesse ülaltoodud ümberkujundamist: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Vastus |
| $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Lükkame kahe viimase näite piiri lõpmatuseni ja arvestame määramatusega: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| Näide 5 |
| Arvuta $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ |
| Lahendus |
|
$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Mida teha? Mida ma peaksin tegema? Ärge sattuge paanikasse, sest võimatu on võimalik. Nii lugejas kui ka nimetajas on vaja x välja võtta ja seejärel vähendada. Pärast seda proovige limiit arvutada. Proovime... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Kasutades näite 2 definitsiooni ja asendades x-iga lõpmatuse, saame: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Vastus |
| $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Piirmäärade arvutamise algoritm
Seega võtame näited lühidalt kokku ja koostame piirangute lahendamise algoritmi:
- Asendage piirmärgile järgnevas avaldises punkt x. Kui saadakse teatud arv või lõpmatus, siis on piir täielikult lahendatud. Vastasel juhul on meil ebakindlus: "null jagatud nulliga" või "lõpmatus jagatud lõpmatusega" ja liikuda edasi juhiste järgmiste sammude juurde.
- Null jagatud nulliga määramatuse kõrvaldamiseks peate arvestama lugeja ja nimetaja. Vähendage sarnaseid. Asendage piirmärgi all olevas avaldises punkt x.
- Kui määramatus on "lõpmatus jagatud lõpmatusega", eemaldame nii lugeja kui ka nimetaja x suurimal määral. Lühendame X-i. Asendame x väärtused piirangu alt ülejäänud avaldisesse.
Selles artiklis õppisite piirarvude lahendamise põhitõdesid, mida sageli kasutatakse kalkulatsiooni kursusel. Loomulikult ei ole need kõik eksamineerijate pakutavad probleemid, vaid ainult kõige lihtsamad piirid. Muud tüüpi ülesannetest räägime tulevastes artiklites, kuid edasiliikumiseks peate esmalt selle õppetunni ära õppima. Arutame, mida teha, kui on juured, kraadid, uurime lõpmata väikseid ekvivalentfunktsioone, märkimisväärseid piire, L'Hopitali reeglit.
Kui te ei suuda ise piire mõista, ärge paanitsege. Meil on alati hea meel aidata!
Esimene tähelepanuväärne piir on järgmine võrdsus:
\begin(võrrand)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(võrrand)
Kuna $\alpha\to(0)$ jaoks on meil $\sin\alpha\to(0)$, siis öeldakse, et esimene märkimisväärne piirmäär näitab vormi $\frac(0)(0)$ ebakindlust. Üldiselt võib valemis (1) muutuja $\alpha$ asemel asetada siinusemärgi ja nimetaja alla mis tahes avaldise, kui on täidetud kaks tingimust:
- Siinusmärgi all ja nimetajas olevad avaldised kipuvad üheaegselt nulli, s.t. esineb kuju $\frac(0)(0)$ määramatus.
- Siinusmärgi all ja nimetajas olevad avaldised on samad.
Sageli kasutatakse ka esimese tähelepanuväärse piiri tagajärgi:
\begin(võrrand) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(võrrand) \begin(võrrand) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(võrrand) \begin(võrrand) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(võrrand)
Sellel lehel on lahendatud 11 näidet. Näide nr 1 on pühendatud valemite (2)-(4) tõestamisele. Näited nr 2, nr 3, nr 4 ja nr 5 sisaldavad lahendusi koos üksikasjalike kommentaaridega. Näited nr 6-10 sisaldavad praktiliselt ilma kommentaarideta lahendusi, sest üksikasjalikud selgitused on antud eelmistes näidetes. Lahenduses kasutatakse mõningaid trigonomeetrilisi valemeid, mida saab leida.
Lubage mul märkida, et trigonomeetriliste funktsioonide olemasolu koos määramatusega $\frac (0) (0)$ ei tähenda tingimata esimese märkimisväärse piiri rakendamist. Mõnikord piisab lihtsatest trigonomeetrilistest teisendustest – vt näiteks.
Näide nr 1
Tõesta, et $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.
a) Kuna $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, siis:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$
Kuna $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ja $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , See:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$
b) Teeme muudatuse $\alpha=\sin(y)$. Kuna $\sin(0)=0$, siis tingimusest $\alpha\to(0)$ on meil $y\to(0)$. Lisaks on olemas nulli naabruskond, kus $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, seega:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Võrdsus $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ on tõestatud.
c) Teeme asenduseks $\alpha=\tg(y)$. Kuna $\tg(0)=0$, siis on tingimused $\alpha\to(0)$ ja $y\to(0)$ samaväärsed. Lisaks on olemas nulli naabruskond, kus $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, seega saame punkti a) tulemuste põhjal:
$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$
Võrdsus $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ on tõestatud.
Võrdseid a), b), c) kasutatakse sageli koos esimese märkimisväärse piiriga.
Näide nr 2
Arvutage piirang $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4) (x+7))$.
Kuna $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ja $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, st. ja nii murdu lugeja kui nimetaja kipuvad üheaegselt nulli, siis siin on tegemist määramatusega kujul $\frac(0)(0)$, s.t. tehtud. Lisaks on selge, et siinusmärgi all ja nimetajas olevad avaldised langevad kokku (st ja on täidetud):
Seega on täidetud mõlemad lehe alguses loetletud tingimused. Sellest järeldub, et valem on rakendatav, s.t. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7 ))=1 $.
Vastus: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1 $.
Näide nr 3
Otsige üles $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.
Kuna $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))x=0$, siis on tegemist vormi $\frac määramatusega (0)(0)$, s.o. tehtud. Siinusmärgi all ja nimetajas olevad avaldised aga ei lange kokku. Siin peate määraja avaldise soovitud kujul kohandama. Vajame, et avaldis $9x$ oleks nimetajas, siis muutub see tõeseks. Põhimõtteliselt on meil nimetajast puudu koefitsient 9 dollarit, mida pole nii raske sisestada – lihtsalt korrutage nimetaja avaldis 9 dollariga. Loomulikult, et kompenseerida korrutamist $9$-ga, peate kohe jagama $9$-ga:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x)$$
Nüüd langevad nimetajas ja siinusmärgi all olevad avaldised kokku. Mõlemad piirangu $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ tingimused on täidetud. Seetõttu $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Ja see tähendab, et:
$ 9\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.
Näide nr 4
Otsige üles $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.
Kuna $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, siis siin on tegemist vormi määramatusega $\frac(0)(0)$. Küll aga rikutakse esimese tähelepanuväärse piiri vormi. Lugeja, mis sisaldab väärtust $\sin(5x)$, nõuab nimetajat $5x$. Sellises olukorras on lihtsaim viis jagada lugeja $5x$-ga ja korrutada kohe $5x$-ga. Lisaks teostame sarnase toimingu nimetajaga, korrutades ja jagades $\tg(8x)$ $8x$-ga:
$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$
Vähendades $x$ võrra ja võttes konstanti $\frac(5)(8)$ väljaspool piirmärki, saame:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$
Pange tähele, et $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ vastab täielikult esimese märkimisväärse limiidi nõuetele. $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ leidmiseks on rakendatav järgmine valem:
$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.
Näide nr 5
Otsige üles $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.
Kuna $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (pidage meeles, et $\cos(0)=1$) ja $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, siis on tegemist vormi $\frac(0)(0)$ määramatusega. Esimese tähelepanuväärse piiri rakendamiseks tuleks aga lugejas koosinusest lahti saada, liikudes edasi siinustele (et seejärel valemit rakendada) või puutujatele (valemi rakendamiseks). Seda saab teha järgmise teisendusega:
$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\right)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$
Lähme tagasi piiri juurde:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\parem) $$
Murd $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ on juba esimese tähelepanuväärse limiidi jaoks vajaliku vormi lähedal. Töötame veidi murdosaga $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$, kohandades selle esimese tähelepanuväärse piirini (pange tähele, et lugejas ja siinuse all olevad avaldised peavad ühtima):
$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$
Tuleme tagasi kõnealuse piiri juurde:
$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\right) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.
Näide nr 6
Leidke piirang $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.
Kuna $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ja $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, siis tegemist on määramatusega $\frac(0)(0)$. Avaldagem see esimese tähelepanuväärse piiri abil. Selleks liigume koosinustelt siinustele. Kuna $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, siis:
$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$
Antud limiidis siinustele üle minnes saame:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\ frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.
Näide nr 7
Arvutage piirang $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ vastavalt $\alpha\neq \ beeta$.
Üksikasjalikud selgitused on antud varem, kuid siinkohal märgime lihtsalt, et jällegi on ebakindlus $\frac(0)(0)$. Liigume valemi abil koosinustelt siinustele
$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$
Seda valemit kasutades saame:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\paremale| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beeta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac (\alpha-\beta)(2)\right))(x)\right)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.
Näide nr 8
Leidke piirang $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.
Kuna $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (pidage meeles, et $\sin(0)=\tg(0)=0$) ja $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, siis siin on tegemist vormi $\frac(0)(0)$ määramatusega. Jaotame selle järgmiselt:
$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\right))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\right))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\right)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\right) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1 ) =\frac(1)(2). $$
Vastus: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.
Näide nr 9
Leidke piirang $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.
Kuna $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ja $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, siis esineb kuju $\frac(0)(0)$ määramatus. Enne selle laiendamist on mugav muuta muutujat nii, et uus muutuja kaldub nulli (pange tähele, et valemites on muutuja $\alpha \to 0$). Lihtsaim viis on sisse viia muutuja $t=x-3$. Edasiste teisenduste mugavuse huvides (see kasu on näha alloleva lahenduse käigus) tasub aga teha järgmine asendus: $t=\frac(x-3)(2)$. Märgin, et sel juhul on rakendatavad mõlemad asendused, lihtsalt teine asendus võimaldab teil murdosadega vähem töötada. Alates $x\to(3)$, siis $t\to(0)$.
$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\paremale| =\left|\begin(joondatud)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(joondatud)\paremale| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\right) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$
Vastus: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.
Näide nr 10
Leidke piirang $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.
Taas on tegemist määramatusega $\frac(0)(0)$. Enne selle laiendamist on mugav muuta muutujat nii, et uus muutuja kipub nulli (pange tähele, et valemites on muutuja $\alpha\to(0)$). Lihtsaim viis on sisse viia muutuja $t=\frac(\pi)(2)-x$. Alates $x\to\frac(\pi)(2)$, siis $t\to(0)$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(joondatud)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(joondatud)\paremale| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\right))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$
Vastus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.
Näide nr 11
Leidke piirangud $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2) \ pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.
Sel juhul ei pea me kasutama esimest imelist piiri. Pange tähele, et nii esimene kui ka teine limiit sisaldavad ainult trigonomeetrilisi funktsioone ja numbreid. Sageli on sellistes näidetes võimalik lihtsustada piirmärgi all olevat väljendit. Pealegi kaob pärast eelmainitud lihtsustamist ja mõningate tegurite vähendamist ebakindlus. Selle näite tõin ainult ühel eesmärgil: näidata, et trigonomeetriliste funktsioonide olemasolu piirmärgi all ei tähenda tingimata esimese tähelepanuväärse piiri kasutamist.
Kuna $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (pidage meeles, et $\sin\frac(\pi)(2)=1$) ja $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (tuletan teile meelde, et $\cos\frac(\pi)(2)=0$), siis on meil tegeleb vormi $\frac(0)(0)$ määramatusega. See aga ei tähenda, et me peaksime kasutama esimest imelist piiri. Ebakindluse paljastamiseks piisab, kui arvestada, et $\cos^2x=1-\sin^2x$:
$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$
Sarnane lahendus on ka Demidovitši lahendusraamatus (nr 475). Teise piirangu osas, nagu ka selle jaotise eelmistes näidetes, on meil määramatus kujul $\frac(0)(0)$. Miks see tekib? See tekib seetõttu, et $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ja $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Kasutame neid väärtusi lugejas ja nimetajas olevate avaldiste teisendamiseks. Meie tegevuse eesmärk on kirjutada lugejasse ja nimetajasse summa korrutisena. Muide, sageli on sarnase tüübi sees mugav muuta muutujat, mis on tehtud nii, et uus muutuja kipub nulli (vt nt sellel lehel näiteid nr 9 või nr 10). Selles näites pole aga mõtet asendada, kuigi soovi korral pole muutuja $t=x-\frac(2\pi)(3)$ asendamine keeruline.
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\right )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\right))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt(3)). $$
Nagu näha, ei pidanud me esimest imelist limiiti rakendama. Muidugi saate seda teha, kui soovite (vt märkust allpool), kuid see pole vajalik.
Mis on lahendus, kasutades esimest tähelepanuväärset piiri? Näita Peida
Kasutades esimest märkimisväärset piiri, saame:
$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ paremal))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\right) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$
Vastus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3)) $.