Esimene tase

Eksponentvõrrandid. The Ultimate Guide (2019)

Tere! Täna arutame teiega, kuidas lahendada võrrandeid, mis võivad olla kas elementaarsed (ja ma loodan, et pärast selle artikli lugemist on peaaegu kõik need teie jaoks nii) ja neid, mis tavaliselt antakse "täitmiseks". Ilmselt selleks, et lõpuks magama jääda. Kuid ma püüan teha kõik võimaliku, et nüüd ei satuks te seda tüüpi võrranditega silmitsi seistes hätta. Enam ma ei löö, aga annan sulle kohe väikese saladuse: täna õpime eksponentsiaalvõrrandid.

Enne nende lahendamise viiside analüüsimist toon teile kohe välja hulga küsimusi (üsna väikeseid), mida peaksite enne seda teemat ründama tormama kordama. Nii et parimate tulemuste saamiseks palun korda:

1. Omadused ja
2. Lahendus ja võrrandid

Kordus? Hämmastav! Siis pole teil raske märgata, et võrrandi juur on arv. Kas saate täpselt aru, kuidas ma seda tegin? Kas see on tõsi? Siis jätkame. Nüüd vastake mu küsimusele, mis võrdub kolmanda astmega? Sul on täiesti õigus: . Mis kahe võimsus on kaheksa? Täpselt nii – kolmas! Sest. Noh, proovime nüüd lahendada järgmise probleemi: Korrutan arvu üks kord iseendaga ja saan tulemuse. Küsimus on selles, mitu korda ma ise korrutasin? Muidugi saate seda otse kontrollida:

\begin(joonda) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( joondada)

Siis võib järeldada, et korrutasin endaga korda. Kuidas muidu seda kontrollida saab? Siin on, kuidas: otse kraadi määratluse järgi: . Kuid peate tunnistama, et kui ma küsiksin, mitu korda tuleb kaks korrutada iseendaga, et saada, ütleksite, siis vastaksite mulle: ma ei peta ennast ega korruta enne, kui olen näost sinine. Ja tal oleks täiesti õigus. Sest kuidas sa saad kirjutage kõik sammud lühidalt üles(ja lühidus on ande õde)

kus – need on samad "ajad", kui korrutate iseendaga.

Ma arvan, et teate (ja kui te ei tea, korrake kiiresti, väga kiiresti kraadid!), et siis kirjutatakse minu probleem kujul:

Kuidas saate mõistlikult järeldada, et:

Seega märkamatult panin kirja kõige lihtsama eksponentsiaalvõrrand:

Ja ma isegi leidsin ta üles juur. Kas sa ei arva, et kõik on täiesti tühine? Ma arvan täpselt samamoodi. Siin on teile veel üks näide:

Aga mida teha? Seda ei saa ju kirjutada (mõistliku) arvu astmena. Ärgem heitkem meelt ja pange tähele, et mõlemad arvud on suurepäraselt väljendatud sama arvu astme kaudu. Milline? Õige:. Seejärel teisendatakse algne võrrand järgmisele kujule:

Kus, nagu te juba aru saite,. Ärme enam viivita ja pane see kirja määratlus:

Meie puhul: .

Need võrrandid lahendatakse, taandades need järgmisele kujule:

millele järgneb võrrandi lahendamine

Tegelikult tegime eelmises näites just seda: saime järgmise: Ja me lahendasime kõige lihtsama võrrandi.

Tundub, et pole midagi keerulist, eks? Esmalt harjutame kõige lihtsamate peal näited:

Jällegi näeme, et võrrandi parem ja vasak pool tuleb esitada ühe arvu astmetena. Tõsi, vasakul on see juba tehtud, aga paremal on number. Aga see on okei, sest minu võrrand muutub imekombel selliseks:

Mida ma pidin siin kasutama? Mis reegel? Reegel "kraadid kraadides" mis ütleb:

Mis siis kui:

Enne sellele küsimusele vastamist täitkem järgmine tabel:

Meil on lihtne märgata, et mida väiksem, seda väiksem on väärtus, kuid sellest hoolimata on kõik need väärtused suuremad kui null. JA SEE ON ALATI NII!!! Sama omadus kehtib IGAL ALUSEL MIS tahes INDIKAATORIGA!! (mis tahes ja jaoks). Mida siis võrrandi kohta järeldada? Siin on, mis see on: see pole juuri! Nii nagu igal võrrandil pole juuri. Nüüd harjutame ja Lahendame lihtsaid näiteid:

Kontrollime:

1. Siin ei nõuta teilt midagi peale astmete omaduste tundmise (mida, muide, palusin teil korrata!) Reeglina viib kõik väikseima baasi juurde: , . Siis on algne võrrand samaväärne järgmisega: Kõik, mida ma vajan, on kasutada võimsuste omadusi: Samade alustega arvude korrutamisel liidetakse astmed ja jagamisel lahutatakse. Siis ma saan: Noh, nüüd liigun puhta südametunnistusega eksponentsiaalvõrrandilt lineaarsele: \begin(joonda)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(joonda)

2. Teises näites peame olema ettevaatlikumad: probleem on selles, et vasakul küljel ei saa me sama arvu astmena esitada. Sel juhul on see mõnikord kasulik kujutavad numbreid erinevate aluste, kuid samade eksponentide astmete korrutisena:

Võrrandi vasak pool näeb välja selline: Mida see meile andis? Siin on, mida: Erinevate alustega, kuid samade astendajatega arve saab korrutada.Sel juhul alused korrutatakse, kuid indikaator ei muutu:

Minu olukorras annab see:

\begin (joonda)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400,\\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400,\\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(joonda)

Pole paha, eks?

3. Mulle ei meeldi, kui mul on ilma vajaduseta võrrandi ühel poolel kaks liiget ja teisel poolel mitte ühtegi liiget (mõnikord on see muidugi õigustatud, aga praegu pole see nii). Liigutan miinussõna paremale:

Nüüd, nagu varemgi, kirjutan kõik kolme võimsusega:

Lisan vasakul olevad kraadid ja saan samaväärse võrrandi

Selle juure leiate hõlpsalt:

4. Nagu näites kolm, on miinusliikmel koht paremal pool!

Minu vasakul on peaaegu kõik korras, välja arvatud mis? Jah, mind häirib nende kahe "vale aste". Kuid ma saan selle hõlpsalt parandada, kirjutades: . Eureka - vasakul on kõik alused erinevad, kuid kõik kraadid on samad! Korrutame kohe!

Siin on jällegi kõik selge: (kui te ei saa aru, kuidas ma võluväel viimase võrdsuse sain, tehke minutiline paus, hingake ja lugege uuesti väga hoolikalt kraadi omadusi. Kes ütles, et võite vahele jätta a kraadi negatiivse astendajaga? Noh, siin olen ma umbes sama asjaga, mis mitte keegi). Nüüd ma saan:

\begin (joonda)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
& 4((x) -9) = -1 \\
& x=\frac(35)(4). \\
\end(joonda)

Siin on teile harjutamiseks mõned probleemid, millele annan ainult vastused (aga “sega” kujul). Lahendage need, kontrollige neid ja teie ja mina jätkame oma uurimistööd!

Valmis? Vastused nagu need:

1. suvaline number

Olgu, okei, ma tegin nalja! Siin on mõned lahenduste visandid (mõned väga lühikesed!)

Kas te ei arva, et see pole juhus, et üks vasakpoolne murd on teine ​​"ümberpööratud"? Patt oleks seda mitte ära kasutada:

Seda reeglit kasutatakse väga sageli eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel, pidage seda hästi meeles!

Siis on algne võrrand järgmine:

Selle ruutvõrrandi lahendamisel saate järgmised juured:

2. Teine lahendus: võrrandi mõlema poole jagamine vasakul (või paremal) oleva avaldisega. Jagage paremal olevaga, siis saan:

Kus (miks?!)

3. Ma isegi ei taha ennast korrata, kõike on juba nii palju “näritud”.

4. võrdne ruutvõrrandiga, juured

5. Peate kasutama esimeses ülesandes antud valemit, siis saate selle:

Võrrand on muutunud triviaalseks identiteediks, mis kehtib kõigi jaoks. Siis on vastus suvaline reaalarv.

Noh, nüüd olete lahendamist harjutanud lihtsad eksponentsiaalvõrrandid. Nüüd tahan teile tuua mõned elunäited, mis aitavad teil mõista, miks neid põhimõtteliselt vaja on. Toon siin kaks näidet. Üks neist on üsna igapäevane, kuid teine ​​pakub pigem teaduslikku kui praktilist huvi.

Näide 1 (kaubanduslik) Las sul on rublad, aga sa tahad seda rubladeks muuta. Pank pakub teile selle raha teilt aastase intressimääraga koos intresside igakuise kapitaliseerimisega (igakuine tekkepõhine). Küsimus on selles, mitme kuu jaoks on vaja deposiiti avada, et jõuda vajaliku lõppsummani? Üsna igapäevane ülesanne, kas pole? Sellegipoolest on selle lahendus seotud vastava eksponentsiaalvõrrandi konstrueerimisega: Olgu - algsumma, - lõppsumma, - perioodi intressimäär, - perioodide arv. Seejärel:

Meie puhul (kui määr on aastane, siis arvestatakse kuus). Miks see jaguneb? Kui te ei tea sellele küsimusele vastust, pidage meeles teemat ""! Siis saame järgmise võrrandi:

Seda eksponentsiaalvõrrandit saab juba lahendada ainult kalkulaatori abil (sellele viitab selle välimus ja see eeldab logaritmide tundmist, millega tutvume veidi hiljem), mida ma ka teen: ... Seega , miljoni saamiseks peame tegema ühe kuu sissemakse (mitte väga kiiresti, eks?).

Näide 2 (pigem teaduslik). Vaatamata teatud "isolatsioonile" soovitan teil talle tähelepanu pöörata: ta "libiseb regulaarselt ühtsele riigieksamile!! (ülesanne on võetud “päris” versioonist) Radioaktiivse isotoobi lagunemisel selle mass vastavalt seadusele väheneb, kus (mg) on ​​isotoobi algmass, (min.) on aeg, mis on kulunud isotoobist. alghetk, (min.) on poolestusaeg. Algsel ajahetkel on isotoobi mass mg. Selle poolväärtusaeg on min. Mitme minuti pärast võrdub isotoobi mass mg-ga? Pole hullu: võtame ja asendame kõik andmed meile pakutud valemis:

Jagame mõlemad osad "lootuses", et vasakult saame midagi seeditavat:

Noh, meil on väga vedanud! See on vasakul, siis liigume edasi samaväärse võrrandi juurde:

Kus on min.

Nagu näete, on eksponentsiaalvõrranditel praktikas väga reaalne rakendus. Nüüd tahan teile näidata teist (lihtsat) viisi eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks, mis põhineb ühisteguri sulgudest välja võtmisel ja seejärel terminite rühmitamisel. Ärge kartke mu sõnu, te puutusite selle meetodiga kokku juba 7. klassis polünoome uurides. Näiteks kui teil oli vaja avaldist arvesse võtta:

Rühmitame: esimene ja kolmas termin, samuti teine ​​ja neljas. On selge, et esimene ja kolmas on ruutude erinevus:

ning teisel ja neljandal on ühine tegur kolm:

Siis on algne avaldis samaväärne sellega:

Ühise teguri tuletamine pole enam keeruline:

Seega

Umbes nii teeme eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel: otsige terminite hulgast "ühisus" ja võtke see sulgudest välja ning siis - olgu mis saab, usun, et meil veab =)) Näiteks:

Parempoolne ei ole kaugeltki seitsme astmest (kontrollisin!) Ja vasakul - see on natuke parem, saate muidugi esimesest ametiajast teise teguri a "ära lõigata" ja seejärel tegeleda. sellega, mis sul on, aga olgem sinuga ettevaatlikumad. Ma ei taha tegeleda murdudega, mis "valimisel" paratamatult tekivad, nii et kas ma ei peaks selle pigem välja võtma? Siis pole mul ühtegi fraktsiooni: nagu öeldakse, on hundid toidetud ja lambad ohutud:

Arvutage sulgudes olev avaldis. Maagiliselt, võluväel selgub, et (üllatuslikult, kuigi mida veel oodata?).

Seejärel vähendame võrrandi mõlemat poolt selle teguri võrra. Saame: , alates.

Siin on keerulisem näide (päris natuke, tõesti):

Milline probleem! Meil pole siin üht ühisosa! Praegu pole päris selge, mida teha. Teeme, mis suudame: esiteks liigutage "neljad" ühele küljele ja "viied" teisele poole:

Nüüd võtame välja "üldise" vasakul ja paremal:

Mis siis nüüd? Mis kasu on sellisest lollist seltskonnast? Esmapilgul pole seda üldse näha, kuid vaatame sügavamalt:

Noh, nüüd veendume, et vasakul on ainult avaldis c ja paremal - kõik muu. Kuidas me seda teeme? Toimige järgmiselt: jagage võrrandi mõlemad pooled kõigepealt võrrandiga (nii vabaneme parempoolsest eksponendist) ja seejärel jagage mõlemad pooled arvuga (nii vabaneme vasakpoolsest arvulisest tegurist). Lõpuks saame:

Uskumatu! Vasakul on meil avaldis ja paremal on meil lihtne avaldis. Siis järeldame kohe, et

Siin on veel üks näide, mida saate tugevdada:

Ma annan tema lühilahenduse (selgitustega palju vaeva nägemata), proovige ise mõista kõiki lahenduse “peensusi”.

Nüüd käsitletava materjali lõplikuks konsolideerimiseks. Proovige järgmisi probleeme ise lahendada. Annan vaid lühikesed soovitused ja näpunäited nende lahendamiseks:

1. Võtame sulgudest välja ühisteguri: Kus:
2. Esitame esimese avaldise kujul: , jagame mõlemad pooled arvuga ja saad selle
3. , siis teisendatakse algne võrrand järgmisele kujule: Noh, nüüd vihje – otsige, kus sina ja mina oleme selle võrrandi juba lahendanud!
4. Kujutage ette, kuidas, kuidas, ah, noh, siis jagage mõlemad pooled, nii saate kõige lihtsama eksponentsiaalvõrrandi.
5. Tooge see sulgudest välja.
6. Tooge see sulgudest välja.

EKSPENTENTAARVENDID. KESKMINE TASE

Eeldan, et pärast esimese artikli lugemist, mis rääkis mis on eksponentsiaalvõrrandid ja kuidas neid lahendada, olete omandanud vajalikud minimaalsed teadmised, mis on vajalikud kõige lihtsamate näidete lahendamiseks.

Nüüd vaatan teist meetodit eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks, see on

"uue muutuja sisseviimise meetod" (või asendamine). Ta lahendab enamiku “keerulisemaid” ülesandeid eksponentsiaalvõrrandite (ja mitte ainult võrrandite) teemal. See meetod on praktikas üks sagedamini kasutatavaid. Esiteks soovitan teil teemaga tutvuda.

Nagu te juba nimest aru saite, on selle meetodi põhiolemus selles, et muutuja muudab selliseks, et teie eksponentsiaalvõrrand muutub imekombel selliseks, mida saate hõlpsasti lahendada. Pärast selle väga "lihtsustatud võrrandi" lahendamist ei jää teil üle muud, kui teha "tagurpidi asendamine": see tähendab, et naaske asendatud asemel asendatu juurde. Illustreerime äsja öeldut väga lihtsa näitega:

Näide 1:

See võrrand lahendatakse "lihtsa asendus" abil, nagu matemaatikud seda halvustavalt nimetavad. Tegelikult on siin asendamine kõige ilmsem. Seda peab vaid nägema

Seejärel muutub algne võrrand järgmiseks:

Kui me lisaks kujutame ette, kuidas, siis on täiesti selge, mida tuleb asendada: loomulikult . Millest saab siis algne võrrand? Siin on, mida:

Selle juured leiate hõlpsalt iseseisvalt: . Mida me peaksime nüüd tegema? On aeg naasta algse muutuja juurde. Mida ma unustasin mainida? Nimelt: teatud astme asendamisel uue muutujaga (st tüübi asendamisel) hakkab mind huvitama ainult positiivsed juured! Saate ise hõlpsasti vastata, miks. Seega pole teie ja mina huvitatud, kuid teine ​​juur sobib meile üsna hästi:

Kust siis.

Vastus:

Nagu näete, palus eelmises näites asendaja lihtsalt meie käsi. Kahjuks ei ole see alati nii. Kuid ärgem laskugem otse kurbade asjade juurde, vaid harjutame veel ühe näitega üsna lihtsa asendusega

Näide 2.

On selge, et suure tõenäosusega peame tegema asendamise (see on meie võrrandis sisalduvatest astmetest väikseim), kuid enne asendamise kasutuselevõttu tuleb meie võrrand selleks ette valmistada, nimelt: , . Siis saate asendada, mille tulemusena saan järgmise väljendi:

Oh õudust: kuupvõrrand täiesti kohutavate valemitega selle lahendamiseks (noh, üldiselt öeldes). Kuid ärgem heitkem kohe meeleheidet, vaid mõelgem, mida peaksime tegema. Soovitan petmist: me teame, et "ilusa" vastuse saamiseks peame selle saama astmelise kolme kujul (miks see peaks olema, ah?). Proovime ära arvata vähemalt ühe oma võrrandi juure (hakkan arvama astmetega kolm).

Esimene oletus. Mitte juur. Paraku ja ah...

.
Vasak pool on võrdne.
Parem osa: !
Sööma! Arvas ära esimene juur. Nüüd läheb asi lihtsamaks!

Kas teate "nurga" jagamise skeemi? Muidugi teete seda, kui jagate ühe numbri teisega. Kuid vähesed teavad, et sama saab teha polünoomidega. On üks imeline teoreem:

Minu olukorra puhul ütleb see mulle, et see on ilma jäägita jagatav. Kuidas jagunemine toimub? Niimoodi:

Vaatan, millise monoomiga peaksin korrutama, et saada Clearly, siis:

Lahutan saadud avaldise, saan:

Nüüd, millega ma pean korrutama, et saada? On selge, et edasi, siis saan:

ja lahutage saadud avaldis ülejäänud avaldisest:

Noh, viimane samm on ülejäänud avaldisega korrutamine ja sellest lahutamine:

Hurraa, jagamine on läbi! Mida meil eraelus kogunenud on? Iseenesest:.

Seejärel saime algse polünoomi järgmise laienduse:

Lahendame teise võrrandi:

Sellel on juured:

Siis algne võrrand:

sellel on kolm juurt:

Viimase juure jätame muidugi kõrvale, kuna see on nullist väiksem. Ja kaks esimest pärast vastupidist asendamist annavad meile kaks juurt:

Vastus: ..

Selle näitega ei tahtnud ma teid sugugi hirmutada, pigem oli eesmärk näidata, et kuigi meil oli üsna lihtne asendus, viis see siiski üsna keerulise võrrandini, mille lahendamine nõudis meilt erilisi oskusi. Noh, keegi pole selle eest kaitstud. Kuid sel juhul oli asendamine üsna ilmne.

Siin on näide veidi vähem ilmse asendusega:

Pole üldse selge, mida me peaksime tegema: probleem on selles, et meie võrrandis on kaks erinevat alust ja ühte alust ei saa teisest saada, tõstes seda mingile (mõistlikule, loomulikult) astmele. Mida me siiski näeme? Mõlemad alused erinevad ainult märgi poolest ja nende korrutis on ruutude erinevus, mis on võrdne ühega:

Definitsioon:

Seega on meie näites aluseks olevad arvud konjugeeritud.

Sel juhul oleks tark samm korrutage võrrandi mõlemad pooled konjugeeritud arvuga.

Näiteks sees, siis võrdub võrrandi vasak pool ja parem. Kui teeme asenduse, muutub meie esialgne võrrand järgmiseks:

siis selle juured ja seda meeles pidades saame sellest aru.

Vastus: ,.

Reeglina piisab asendusmeetodist enamiku “kooli” eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Järgmised ülesanded on võetud ühtsest riigieksamist C1 (kõrgenenud raskusaste). Olete juba piisavalt kirjaoskaja, et neid näiteid iseseisvalt lahendada. Pakun ainult nõutud asendust.

1. Lahendage võrrand:
2. Leidke võrrandi juured:
3. Lahenda võrrand:. Leidke kõik selle võrrandi juured, mis kuuluvad segmenti:

Ja nüüd mõned lühikesed selgitused ja vastused:

1. Siinkohal piisab, kui märkida, et... Siis on algne võrrand samaväärne sellega: Selle võrrandi saab lahendada asendades Tee edasised arvutused ise. Lõpuks taandub teie ülesanne lihtsate trigonomeetriliste ülesannete lahendamisele (olenevalt siinusest või koosinusest). Vaatame lahendusi sarnastele näidetele teistes jaotistes.
2. Siin saate isegi ilma asendamiseta hakkama: lihtsalt liigutage alamlahendit paremale ja esitage mõlemad alused kahe astme kaudu: , ja seejärel minge otse ruutvõrrandi juurde.
3. Kolmas võrrand on samuti lahendatud üsna standardselt: kujutame ette, kuidas. Siis, asendades, saame ruutvõrrandi: siis,

   Sa juba tead, mis on logaritm, eks? Ei? Lugege siis teema kiiresti läbi!

   Esimene juur ilmselgelt ei kuulu segmenti, kuid teine ​​on ebaselge! Aga me saame teada väga varsti! Kuna siis (see on logaritmi omadus!) Võrdleme:

   Lahutage mõlemast küljest ja saame:

   Vasakut külge saab kujutada järgmiselt:

   korrutage mõlemad pooled arvuga:

   saab siis korrutada

   Seejärel võrrelge:

   sellest ajast:

   Siis kuulub teine ​​juur vajalikku intervalli

   Vastus:

Nagu sa näed, eksponentsiaalvõrrandite juurte valimine eeldab üsna sügavaid teadmisi logaritmide omadustest, seega soovitan eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel olla võimalikult ettevaatlik. Nagu te mõistate, on matemaatikas kõik omavahel seotud! Nagu mu matemaatikaõpetaja ütles: "matemaatikat, nagu ka ajalugu, ei saa üleöö lugeda."

Reeglina kõik Ülesannete C1 lahendamise raskus seisneb just võrrandi juurte valikus. Harjutame veel ühe näitega:

On selge, et võrrand ise lahendatakse üsna lihtsalt. Asenduse tegemisel taandame oma algse võrrandi järgmiseks:

Kõigepealt vaatame esimest juurt. Võrdleme ja: alates, siis. (logaritmilise funktsiooni omadus, at). Siis on selge, et esimene juur ei kuulu meie intervalli. Nüüd teine ​​juur: . On selge, et (kuna funktsioon at suureneb). Jääb üle võrrelda ja...

sellest ajast, samal ajal. Nii saan "nuiaga sõita" ja vahel. See pulk on arv. Esimene avaldis on väiksem ja teine ​​suurem. Siis on teine ​​avaldis suurem kui esimene ja juur kuulub intervalli.

Vastus:.

Lõpuks vaatame veel ühte näidet võrrandist, kus asendus on üsna ebastandardne:

Alustame kohe sellest, mida saab teha ja mida - põhimõtteliselt saab teha, kuid parem on seda mitte teha. Saate kõike ette kujutada kolme, kahe ja kuue jõudude kaudu. Kuhu see viib? See ei too kaasa midagi: kraadide segamini, millest mõnest on üsna raske lahti saada. Mida siis vaja on? Pangem tähele, et a Ja mida see meile annab? Ja see, et saame selle näite lahendi taandada üsna lihtsa eksponentsiaalvõrrandi lahendiks! Esiteks kirjutame oma võrrandi ümber järgmiselt:

Nüüd jagame saadud võrrandi mõlemad pooled järgmisega:

Eureka! Nüüd saame asendada, saame:

Noh, nüüd on teie kord demonstratsiooniprobleeme lahendada ja ma annan neile ainult põgusaid kommentaare, et te ei eksiks! Edu!

1. Kõige raskem! Siin on nii raske asendust näha! Kuid sellegipoolest saab selle näite abil täielikult lahendada tervikliku ruudu esiletõstmine. Selle lahendamiseks piisab, kui märkida, et:

Siin on teie asendus:

(Pange tähele, et siin ei saa me asendamise ajal negatiivset juurt kõrvale heita!!! Miks sa arvad?)

Nüüd on näite lahendamiseks vaja lahendada ainult kaks võrrandit:

Neid mõlemaid saab lahendada "standardse asendusega" (aga teine ​​ühes näites!)

2. Märka seda ja asenda.

3. Jagage arv kaasalgteguriteks ja lihtsustage saadud avaldist.

4. Jagage murdu lugeja ja nimetaja (või, kui soovite) -ga ja tehke asendus või.

5. Pange tähele, et numbrid ja on konjugeeritud.

EKSPENTENTAARVENDID. EDASIJÕUDNUTE TASE

Lisaks vaatame teist võimalust - eksponentsiaalvõrrandite lahendamine logaritmimeetodil. Ma ei saa öelda, et eksponentsiaalvõrrandite lahendamine selle meetodi abil on väga populaarne, kuid mõnel juhul võib ainult see viia meid võrrandi õige lahenduseni. Eriti sageli kasutatakse seda nn. segavõrrandid": st need, kus esinevad erinevat tüüpi funktsioonid.

Näiteks vormi võrrand:

Üldjuhul saab seda lahendada ainult mõlema poole logaritmide võtmisega (näiteks alusele), milles algne võrrand muutub järgmiseks:

Vaatame järgmist näidet:

On selge, et logaritmilise funktsiooni ODZ järgi oleme ainult huvitatud. See ei tulene aga mitte ainult logaritmi ODZ-st, vaid veel ühel põhjusel. Ma arvan, et teil ei ole raske ära arvata, milline see on.

Võtame võrrandi mõlema poole logaritmi alusele:

Nagu näete, viis meie algse võrrandi logaritmi võtmine meid kiiresti õige (ja ilusa!) vastuseni. Harjutame veel ühe näitega:

Siin pole ka midagi valesti: võtame võrrandi mõlema poole logaritmi baasi, siis saame:

Teeme asendus:

Ometi jäime millestki ilma! Kas märkasite, kus ma vea tegin? Lõppude lõpuks, siis:

mis ei vasta nõudele (mõelge, kust see tuli!)

Vastus:

Proovige järgmiste eksponentsiaalvõrrandite lahendus üles kirjutada:

Võrrelge nüüd oma otsust sellega:

1. Logaritme mõlemad pooled alusele, võttes arvesse järgmist:

(teine ​​juur ei sobi meile asendamise tõttu)

2. Logaritm baasile:

Teisendame saadud avaldise järgmisele kujule:

EKSPENTENTAARVENDID. LÜHIKIRJELDUS JA PÕHIVALEMID

Eksponentvõrrand

Vormi võrrand:

helistas lihtsaim eksponentsiaalvõrrand.

Kraadide omadused

Lähenemisviisid lahendusele

• Vähendamine samale alusele
• Taandamine samale eksponendile
• Muutuv asendus
• Väljendi lihtsustamine ja ühe ülaltoodu rakendamine.

Eksponentvõrrandite lahendamine. Näited.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjalid erijaos 555.
Neile, kes on väga "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga..."

Mis on juhtunud eksponentsiaalvõrrand? See on võrrand, milles on tundmatud (x-id) ja nendega seotud avaldised näitajad mõned kraadid. Ja ainult seal! See on tähtis.

Seal sa oled eksponentsiaalvõrrandi näited:

3 x 2 x = 8 x+3

Märge! Kraadide alustes (allpool) - ainult numbrid. IN näitajad kraadid (ülal) – lai valik X-ga väljendeid. Kui võrrandis ilmub äkki X kusagil mujal kui indikaatoris, näiteks:

see on juba segatüüpi võrrand. Sellistel võrranditel pole selgeid reegleid nende lahendamiseks. Me ei võta neid praegu arvesse. Siin me tegeleme eksponentsiaalvõrrandite lahendamine kõige puhtamal kujul.

Tegelikult ei ole isegi puhtad eksponentsiaalvõrrandid alati selgelt lahendatud. Kuid on teatud tüüpi eksponentsiaalvõrrandeid, mida saab ja tuleks lahendada. Need on tüübid, mida me kaalume.

Lihtsate eksponentsiaalvõrrandite lahendamine.

Esiteks lahendame midagi väga elementaarset. Näiteks:

Isegi ilma igasuguste teooriateta on lihtsa valikuga selge, et x = 2. Ei midagi enamat, eks!? Ükski teine ​​X väärtus ei tööta. Vaatame nüüd selle keerulise eksponentsiaalvõrrandi lahendust:

Mida me oleme teinud? Tegelikult viskasime samad alused (kolmikud) lihtsalt välja. Täiesti välja visatud. Ja hea uudis on see, et tabasime naelapea pihta!

Tõepoolest, kui eksponentsiaalvõrrandis on vasak ja parem sama numbreid mis tahes astmetes, saab neid numbreid eemaldada ja eksponente võrdsustada. Matemaatika lubab. Jääb lahendada palju lihtsam võrrand. Suurepärane, eks?)

Pidagem siiski kindlalt meeles: Aluseid saate eemaldada ainult siis, kui vasakul ja paremal olevad baasnumbrid on suurepärases isolatsioonis! Ilma igasuguste naabrite ja koefitsientideta. Ütleme võrrandites:

2 x +2 x+1 = 2 3 või

kahekesi ei saa eemaldada!

Noh, me saime kõige olulisema asja selgeks. Kuidas liikuda kurjade eksponentsiaalsete avaldiste juurest lihtsamate võrrandite juurde.

"Need on ajad!" - sa ütled. "Kes annaks kontrolltööde ja eksamite kohta nii primitiivse õppetunni!?"

Pean nõustuma. Keegi ei tee seda. Kuid nüüd teate, kuhu keeruliste näidete lahendamisel sihtida. See tuleb viia vormile, kus vasakul ja paremal on sama alusnumber. Siis läheb kõik lihtsamaks. Tegelikult on see matemaatika klassika. Võtame algse näite ja muudame selle soovitud näiteks meie meelt. Matemaatika reeglite järgi muidugi.

Vaatame näiteid, mis nõuavad lisapingutusi, et taandada need kõige lihtsamatele. Helistame neile lihtsad eksponentsiaalvõrrandid.

Lihtsate eksponentsiaalvõrrandite lahendamine. Näited.

Eksponentvõrrandite lahendamisel on põhireeglid toimingud kraadidega. Ilma nendest tegevustest teadmata ei tööta midagi.

Kraadidega tegudele tuleb lisada isiklik tähelepanelikkus ja leidlikkus. Kas vajame samu baasnumbreid? Seega otsime neid näites selgesõnaliselt või krüptitud kujul.

Vaatame, kuidas seda praktikas tehakse?

Toome näite:

2 2x - 8 x+1 = 0

Esimene terav pilk on suunatud põhjustel. Nad... Nad on erinevad! Kaks ja kaheksa. Kuid on liiga vara heituda. On aeg seda meeles pidada

Kaks ja kaheksa on astmes sugulased.) On täiesti võimalik kirjutada:

8 x+1 = (2 3) x+1

Kui meenutame valemit kraadidega tehtetest:

(a n) m = a nm,

see toimib suurepäraselt:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)

Algne näide hakkas välja nägema järgmine:

2 2x - 2 3 (x+1) = 0

Teeme üle 2 3 (x+1) paremale (keegi pole matemaatika elementaartehteid tühistanud!), saame:

2 2x = 2 3 (x+1)

See on praktiliselt kõik. Aluste eemaldamine:

Me lahendame selle koletise ja saame

See on õige vastus.

Selles näites aitas meid välja kahe jõudude teadmine. Meie tuvastatud kaheksas on krüpteeritud kaks. See tehnika (tavaliste aluste kodeerimine erinevate numbrite all) on eksponentsiaalvõrrandites väga populaarne tehnika! Jah, ja ka logaritmides. Peate olema võimeline numbrites ära tundma teiste arvude astmeid. See on eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel äärmiselt oluline.

Fakt on see, et mis tahes arvu suurendamine mis tahes astmeni ei ole probleem. Korrutage, kasvõi paberil, ja kõik. Näiteks võib igaüks tõsta 3 viienda astmeni. 243 saab korda, kui tead korrutustabelit.) Kuid eksponentsiaalvõrrandites pole palju sagedamini vaja astmeni tõsta, vaid vastupidi... Uuri välja mis arv millisel määral on peidus numbri 243 või, ütleme, 343 taha... Siin ei aita sind ükski kalkulaator.

Mõne arvu võimsusi on vaja teada nägemise järgi, eks... Harjutame?

Tehke kindlaks, millised võimsused ja numbrid on numbrid:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Vastused (muidugi segaduses!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Kui vaatate tähelepanelikult, näete kummalist tõsiasja. Vastuseid on oluliselt rohkem kui ülesandeid! Noh, juhtub... Näiteks 2 6, 4 3, 8 2 – see on kõik 64.

Oletame, et olete võtnud teadmiseks teabe arvude tundmise kohta.) Tuletan teile ka meelde, et eksponentsiaalvõrrandite lahendamiseks kasutame kõik matemaatiliste teadmiste varu. Kaasa arvatud juunioride ja keskklasside esindajad. Sa ei läinud otse keskkooli, eks?)

Näiteks eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel aitab sageli ühisteguri sulgudest välja panemine (tere 7. klassile!). Vaatame näidet:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Ja jälle on esimene pilk vundamentidele! Kraadide alused on erinevad... Kolm ja üheksa. Kuid me tahame, et need oleksid samad. Sel juhul on soov täielikult täidetud!) Sest:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Kasutades samu reegleid kraadide käsitlemisel:

3 2x+4 = 3 2x ·3 4

See on suurepärane, võite selle üles kirjutada:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Samadel põhjustel tõime näite. Niisiis, mis saab edasi!? Kolmeseid välja visata ei saa... Ummik?

Üldse mitte. Pidage meeles kõige universaalsemat ja võimsamat otsustusreeglit kõik matemaatika ülesanded:

Kui te ei tea, mida vajate, tehke seda, mida saate!

Vaata, kõik saab korda).

Mis on selles eksponentsiaalvõrrandis Saab teha? Jah, vasakul küljel see lihtsalt anub, et see sulgudest välja võetaks! Üldine kordaja 3 2x viitab sellele selgelt. Proovime ja siis näeme:

3 2x (3 4–11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Eeskuju läheb aina paremaks ja paremaks!

Peame meeles, et aluste kõrvaldamiseks vajame puhast kraadi, ilma koefitsientideta. Number 70 häirib meid. Seega jagame võrrandi mõlemad pooled 70-ga, saame:

Oih! Kõik läks paremaks!

See on lõplik vastus.

Juhtub aga, et samadel alustel ruleerimine saavutatakse, kuid nende kõrvaldamine pole võimalik. See juhtub teist tüüpi eksponentsiaalvõrrandite puhul. Õppigem seda tüüpi.

Muutuja asendamine eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel. Näited.

Lahendame võrrandi:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Esiteks - nagu tavaliselt. Liigume edasi ühe baasi juurde. Kahekesi.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Saame võrrandi:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

Ja see on koht, kus me aega veedame. Eelmised tehnikad ei tööta, ükskõik kuidas te seda vaatate. Peame oma arsenalist välja tõmbama veel ühe võimsa ja universaalse meetodi. Seda nimetatakse muutuv asendus.

Meetodi olemus on üllatavalt lihtne. Ühe keeruka ikooni (meie puhul - 2 x) asemel kirjutame teise, lihtsama (näiteks - t). Selline näiliselt mõttetu asendus viib hämmastavate tulemusteni!) Kõik saab lihtsalt selgeks ja arusaadavaks!

Nii et las

Siis 2 2x = 2 x 2 = (2 x) 2 = t 2

Meie võrrandis asendame kõik astmed x-idega t-ga:

Noh, kas see jõuab teile kohale?) Kas olete ruutvõrrandid juba unustanud? Diskriminandi kaudu lahendades saame:

Siin on peamine mitte peatuda, nagu juhtub... See pole veel vastus, vajame x-i, mitte t-d. Tuleme tagasi X-ide juurde, st. teeme tagurpidi asendamise. Esiteks t 1 jaoks:

See on,

Leiti üks juur. Otsime teist alates t 2:

Hm... 2 x vasakul, 1 paremal... Probleem? Üldse mitte! Piisab meeles pidada (võimudega tehtetest jah...), et üksus on ükskõik milline number nulliastmeni. Ükskõik milline. Mida iganes vaja, paigaldame selle. Meil on vaja kahte. Tähendab:

See on nüüd kõik. Meil on 2 juurt:

See on vastus.

Kell eksponentsiaalvõrrandite lahendamine lõpus jõuad vahel mingi kohmetu ilmega. Tüüp:

Seitset ei saa lihtsa astme abil kaheks teisendada. Nad ei ole sugulased... Kuidas me saame olla? Keegi võib olla segaduses... Aga inimene, kes luges sellel saidil teemat "Mis on logaritm?" , naeratab vaid säästlikult ja kirjutab kindla käega üles absoluutselt õige vastuse:

Ühtse riigieksami ülesannetes “B” sellist vastust ei saa olla. Seal on nõutav konkreetne number. Kuid ülesannete "C" puhul on see lihtne.

See õppetund annab näiteid kõige levinumate eksponentsiaalvõrrandite lahendamisest. Toome välja peamised punktid.

Praktilised näpunäited:

1. Kõigepealt vaatame põhjustel kraadid. Me mõtleme, kas neid on võimalik teha identsed. Proovime seda teha aktiivselt kasutades toimingud kraadidega.Ärge unustage, et ka ilma x-deta numbreid saab teisendada astmeteks!

2. Püüame viia eksponentsiaalvõrrandi vormile, kui vasakul ja paremal on sama numbrid mis tahes astmetes. Me kasutame toimingud kraadidega Ja faktoriseerimine. Mida saab arvudes üles lugeda, seda loeme.

3. Kui teine ​​näpunäide ei tööta, proovige kasutada muutuja asendust. Tulemuseks võib olla võrrand, mida saab kergesti lahendada. Kõige sagedamini - ruut. Või murdosa, mis samuti taandub ruuduks.

4. Eksponentvõrrandite edukaks lahendamiseks peate teadma mõne arvu astmeid nägemise järgi.

Nagu tavaliselt, palutakse tunni lõpus veidi otsustada.) Ise. Lihtsast keerukani.

Lahendage eksponentsiaalvõrrandid:

Keerulisem:

2 x+3 – 2 x+2 – 2 x = 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5x + 1 - 8 = 0

Leidke juurte toode:

2 3 + 2 x = 9

Juhtus?

Noh, siis väga keeruline näide (kuigi selle saab mõistuses lahendada...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Mis on huvitavam? Siis siin on teile halb näide. Suurenenud raskuste jaoks üsna ahvatlev. Lubage mul vihjata, et selles näites päästab teid leidlikkus ja kõige universaalsem reegel kõigi matemaatiliste probleemide lahendamiseks.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Lihtsam näide lõõgastumiseks):

9 2 x - 4 3 x = 0

Ja magustoiduks. Leidke võrrandi juurte summa:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Jah Jah! See on segatüüpi võrrand! Mida me selles õppetükis ei käsitlenud. Miks neid arvestada, need tuleb lahendada!) Sellest õppetunnist piisab võrrandi lahendamiseks. Noh, teil on vaja leidlikkust... Ja seitsmes klass võib teid aidata (see on vihje!).

Vastused (segi, semikoolonitega eraldatud):

1; 2; 3; 4; lahendusi pole; 2; -2; -5; 4; 0.

Kas kõik on õnnestunud? Suurepärane.

Kas on probleem? Pole probleemi! Spetsiaalne jaotis 555 lahendab kõik need eksponentsiaalvõrrandid üksikasjalike selgitustega. Mida, miks ja miks. Ja loomulikult on väärtuslikku lisateavet igasuguste eksponentsiaalvõrranditega töötamise kohta. Mitte ainult need.)

Viimane lõbus küsimus, mida kaaluda. Selles õppetükis töötasime eksponentsiaalvõrranditega. Miks ma ei rääkinud siin ODZ-st sõnagi? Võrrandites on see muide väga oluline asi...

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)

Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Eksponentvõrrandid on need, mille eksponendis sisaldub tundmatu. Lihtsaim eksponentsiaalvõrrand on kujul: a x = a b, kus a> 0, a 1, x on teadmata.

Astmete põhiomadused, millega eksponentsiaalvõrrandeid teisendatakse: a>0, b>0.

Eksponentvõrrandite lahendamisel kasutatakse ka järgmisi eksponentsiaalfunktsiooni omadusi: y = a x, a > 0, a1:

Arvu esitamiseks astmena kasutage põhilogaritmilist identiteeti: b = , a > 0, a1, b > 0.

Ülesanded ja testid teemal "Eksponentvõrrandid"

• Eksponentvõrrandid

  Tunnid: 4 Ülesanded: 21 Kontrolltööd: 1

• Eksponentvõrrandid - Olulised teemad matemaatika ühtse riigieksami läbivaatamiseks

  Ülesanded: 14

• Eksponent- ja logaritmvõrrandite süsteemid - Eksponent- ja logaritmfunktsioonid 11. hinne

  Tunnid: 1 Ülesanded: 15 Kontrolltööd: 1

• §2.1. Eksponentvõrrandite lahendamine

  Tunnid: 1 Ülesanded: 27

• §7 Eksponent- ja logaritmvõrrandid ja võrratused - Jaotis 5. Eksponent- ja logaritmfunktsioonid, hinne 10

  Tunnid: 1 Ülesanded: 17

Eksponentvõrrandite edukaks lahendamiseks peate teadma astmete põhiomadusi, eksponentsiaalfunktsiooni omadusi ja põhilist logaritmilist identiteeti.

Eksponentvõrrandite lahendamisel kasutatakse kahte peamist meetodit:

1. üleminek võrrandist a f(x) = a g(x) võrrandile f(x) = g(x);
2. uute liinide kasutuselevõtt.

Näited.

1. Kõige lihtsamateks taandatud võrrandid. Need lahendatakse võrrandi mõlema poole taandamisega sama alusega astmeks.

3 x = 9 x – 2.

Lahendus:

3 x = (3 2) x – 2;
3 x = 3 2x – 4 ;
x = 2x –4;
x = 4.

Vastus: 4.

2. Võrrandid on lahendatud, võttes sulgudest välja ühisteguri.

Lahendus:

3 x – 3 x – 2 = 24
3 x – 2 (3 2 – 1) = 24
3 x – 2 × 8 = 24
3 x – 2 = 3
x – 2 = 1
x = 3.

Vastus: 3.

3. Muutuja muutmise abil lahendatud võrrandid.

Lahendus:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Tähistame 2 x = y.
y 2 + y – 12 = 0
y 1 = -4; y2 = 3.
a) 2 x = - 4. Võrrandil pole lahendeid, sest 2 x > 0.
b) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3; x = log 2 3.

Vastus: logi 2 3.

4. Võrrandid, mis sisaldavad kahe erineva (teisele mitte taandatava) alusega astmeid.

3 × 2 × + 1–2 × 5 × – 2 = 5 × + 2 × – 2.

3 × 2 × + 1–2 × – 2 = 5 × – 2 × 5 × – 2
2 x – 2 × 23 = 5 x – 2
×23
2 x – 2 = 5 x – 2
(5/2) x–2 = 1
x – 2 = 0
x = 2.

Vastus: 2.

5. Võrrandid, mis on a x ja b x suhtes homogeensed.

Üldvorm:.

9 x + 4 x = 2,5 × 6 x.

Lahendus:

3 2x – 2,5 × 2 × 3 × +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x – 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Tähistame (3/2) x = y.
y 2 – 2,5 a + 1 = 0,
y 1 = 2; y 2 = ½.

Vastus: log 3/2 2; - log 3/2 2.

Mis on eksponentsiaalvõrrand? Näited.

Niisiis, eksponentsiaalvõrrand... Uus ainulaadne eksponaat meie suure hulga võrrandite üldnäitusel!) Nagu peaaegu alati, on iga uue matemaatilise termini märksõnaks seda iseloomustav vastav omadussõna. Nii see siin on. Võtmesõna terminis “eksponentvõrrand” on sõna "soovitav". Mida see tähendab? See sõna tähendab, et tundmatu (x) asub mis tahes kraadide poolest. Ja ainult seal! See on äärmiselt oluline.

Näiteks need lihtsad võrrandid:

3 x +1 = 81

5 x + 5 x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Või isegi need koletised:

2 sin x = 0,5

Pöörake kohe tähelepanu ühele olulisele asjale: põhjustel kraadid (alumine) – ainult numbrid. Aga sisse näitajad kraadid (ülal) – lai valik X-ga väljendeid. Absoluutselt ükskõik milline.) Kõik sõltub konkreetsest võrrandist. Kui võrrandis ilmub äkitselt lisaks indikaatorile (näiteks 3 x = 18 + x 2) ka x, siis on selline võrrand juba võrrand segatüüpi. Sellistel võrranditel pole selgeid reegleid nende lahendamiseks. Seetõttu me neid selles õppetükis ei käsitle. Õpilaste rõõmuks.) Siin käsitleme ainult eksponentsiaalvõrrandeid nende “puhtal” kujul.

Üldiselt ei saa kõiki ja mitte alati isegi puhtaid eksponentsiaalvõrrandeid selgelt lahendada. Kuid paljude eksponentsiaalvõrrandite hulgas on teatud tüüpe, mida saab ja tuleks lahendada. Just seda tüüpi võrrandeid me kaalume. Ja me lahendame kindlasti näited.) Nii et olgem mugavad ja asume minema! Nagu arvutilaskmises, kulgeb meie teekond läbi tasemete.) Algtasemest lihtsani, lihtsast keskmiseni ja keskmisest keerukani. Teel ootab teid ka salatase - tehnikad ja meetodid mittestandardsete näidete lahendamiseks. Need, millest te enamikest kooliõpikutest ei loe... No ja lõpus ootab teid muidugi viimane boss kodutöö näol.)

Tase 0. Mis on lihtsaim eksponentsiaalvõrrand? Lihtsate eksponentsiaalvõrrandite lahendamine.

Kõigepealt vaatame mõnda ausat elementaarset asja. Kuskilt peab ju alustama, eks? Näiteks see võrrand:

2 x = 2 2

Isegi ilma igasuguste teooriateta on lihtsa loogika ja terve mõistuse järgi selge, et x = 2. Teist teed ei saa, eks? Ükski teine ​​X tähendus ei sobi... Ja nüüd pöörame tähelepanu sellele otsuse protokoll see lahe eksponentsiaalvõrrand:

2 x = 2 2

X = 2

Mis meiega juhtus? Ja juhtus järgmine. Võtsime tegelikult ja... viskasime samad alused (kaks) lihtsalt välja! Täiesti välja visatud. Ja hea uudis on see, et saime härja silma!

Jah, tõepoolest, kui eksponentsiaalvõrrandis on vasak ja parem sama numbreid mis tahes astmetes, siis võib need arvud kõrvale jätta ja lihtsalt võrdsustada eksponendid. Matemaatika võimaldab.) Ja siis saab indikaatoritega eraldi töötada ja lahendada palju lihtsama võrrandi. Suurepärane, eks?

Siin on põhiidee mis tahes (jah, täpselt iga!) eksponentsiaalvõrrandi lahendamiseks: kasutades identseid teisendusi, on vaja tagada, et võrrandi vasak ja parem pool on sama põhinumbrid erinevates astmetes. Ja siis saate samad alused ohutult eemaldada ja eksponendid võrdsustada. Ja töötage lihtsama võrrandiga.

Nüüd meenutagem raudset reeglit: identseid aluseid on võimalik eemaldada siis ja ainult siis, kui võrrandi vasak- ja parempoolsetel numbritel on baasnumbrid uhkes üksinduses.

Mida see tähendab suurepärases isolatsioonis? See tähendab ilma naabrite ja koefitsientideta. Las ma seletan.

Näiteks Eq.

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Kolmikuid ei saa eemaldada! Miks? Sest vasakul pole meil mitte ainult kraadini üksildane kolmik, vaid tööd 3,3 x-5 . Lisakolm segab: koefitsient, saate aru.)

Sama võib öelda ka võrrandi kohta

5 3 x = 5 2 x +5 x

Ka siin on kõik alused ühesugused – viis. Kuid paremal pole meil ainsatki võimsust viis: seal on jõudude summa!

Lühidalt, meil on õigus eemaldada identsed alused ainult siis, kui meie eksponentsiaalvõrrand näeb välja selline ja ainult selline:

af (x) = a g (x)

Seda tüüpi eksponentsiaalvõrrandit nimetatakse kõige lihtsam. Või teaduslikult, kanooniline . Ja olenemata sellest, milline keerdvõrrand meie ees on, taandame selle ühel või teisel viisil täpselt sellele kõige lihtsamale (kanoonilisele) vormile. Või mõnel juhul selleks totaalsus seda tüüpi võrrandid. Siis saab meie lihtsaima võrrandi üldkujul ümber kirjutada järgmiselt:

F(x) = g(x)

See on kõik. See oleks samaväärne teisendus. Sel juhul võivad f(x) ja g(x) olla absoluutselt kõik x-iga avaldised. Mida iganes.

Võib-olla imestab eriti uudishimulik õpilane: miks me nii lihtsalt ja lihtsalt jätame vasakult ja paremalt samad alused kõrvale ja võrdsustame eksponente? Intuitsioon on intuitsioon, aga mis siis, kui mingis võrrandis ja mingil põhjusel see lähenemine osutub valeks? Kas sama põhjuse väljaviskamine on alati seaduslik? Kahjuks peate sellele huvitavale küsimusele täpse matemaatilise vastuse saamiseks üsna sügavalt ja tõsiselt sukelduma funktsioonide struktuuri ja käitumise üldisesse teooriasse. Ja veidi täpsemalt – fenomenis range monotoonsus. Eelkõige range monotoonsus eksponentsiaalne funktsioony= a x. Kuna eksponentsiaalvõrrandite lahendamise aluseks on eksponentsiaalfunktsioon ja selle omadused, siis jah.) Üksikasjalik vastus sellele küsimusele antakse eraldi spetsiaalses õppetükis, mis on pühendatud keerukate mittestandardsete võrrandite lahendamisele, kasutades erinevate funktsioonide monotoonsust.)

Selle punkti nüüd üksikasjalik selgitamine lööks keskmise õpilase meeled õhku ja peletaks ta kuiva ja raske teooriaga enne tähtaega eemale. Ma ei tee seda.) Sest meie praegune põhiülesanne on õppige lahendama eksponentsiaalvõrrandeid! Kõige lihtsamad! Seetõttu ärgem veel muretsegem ja visakem julgelt välja samad põhjused. See Saab, võta mu sõna!) Ja siis lahendame ekvivalentvõrrandi f(x) = g(x). Reeglina lihtsam kui algne eksponentsiaal.

Eeldatakse muidugi, et hetkel inimesed juba teavad, kuidas lahendada vähemalt , ja võrrandeid, ilma x-ideta eksponentides.) Kes veel ei tea, sulgege see leht, järgige vastavaid linke ja täitke vanad lüngad. Muidu läheb sul raskeks jah...

Ma ei räägi irratsionaalsetest, trigonomeetrilistest ja muudest jõhkratest võrranditest, mis võivad samuti tekkida vundamentide likvideerimise käigus. Kuid ärge kartke, me ei arvesta praegu otseselt julmust kraadides: see on liiga vara. Me treenime ainult kõige lihtsamate võrrandite järgi.)

Vaatame nüüd võrrandeid, mis nõuavad lisapingutusi, et taandada need kõige lihtsamateks. Eristamise huvides nimetagem neid lihtsad eksponentsiaalvõrrandid. Niisiis, liigume järgmisele tasemele!

Tase 1. Lihtsad eksponentsiaalvõrrandid. Tundkem kraadid ära! Looduslikud näitajad.

Põhireeglid mis tahes eksponentsiaalvõrrandi lahendamisel on järgmised kraadide käsitlemise reeglid. Ilma nende teadmiste ja oskusteta ei tööta miski. Kahjuks. Seega, kui kraadidega on probleeme, siis kõigepealt olete teretulnud. Lisaks vajame ka . Need teisendused (neist kaks!) on aluseks kõigi matemaatiliste võrrandite lahendamisel üldiselt. Ja mitte ainult demonstratiivsed. Seega, kes unustas, vaadake ka linki: ma ei pane neid lihtsalt sinna.

Kuid volituste ja identiteedi muutmise operatsioonidest üksi ei piisa. Vaja on ka isiklikku tähelepanekut ja leidlikkust. Meil on vaja samu põhjuseid, kas pole? Seega uurime näidet ja otsime neid selgesõnalisel või varjatud kujul!

Näiteks see võrrand:

3 2 x – 27 x +2 = 0

Esimene pilk põhjustel. Nad on erinevad! Kolm ja kakskümmend seitse. Kuid paanikaks ja meeleheiteks on liiga vara. On aeg seda meeles pidada

27 = 3 3

Numbrid 3 ja 27 on astme järgi sugulased! Ja lähedased.) Seetõttu on meil täielik õigus kirjutada:

27 x +2 = (3 3) x+2

Nüüd ühendame oma teadmised selle kohta toimingud kraadidega(ja ma hoiatasin teid!). Seal on väga kasulik valem:

(a m) n = a mn

Kui paned selle nüüd ellu, toimib see suurepäraselt:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Algne näide näeb nüüd välja selline:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Suurepärane, kraadide alused on ühtlustunud. Seda me tahtsimegi. Pool võitlust on tehtud.) Nüüd käivitame põhilise identiteedi teisenduse – liigutage 3 3 (x +2) paremale. Keegi pole matemaatika elementaartehteid tühistanud, jah.) Saame:

3 2 x = 3 3 (x +2)

Mida seda tüüpi võrrand meile annab? Ja see, et nüüd on meie võrrand taandatud kanoonilisele kujule: vasakul ja paremal on samad numbrid (kolm) astmetes. Pealegi on mõlemad kolm suurepärases isolatsioonis. Eemaldage kolmikud ja hankige:

2x = 3 (x+2)

Me lahendame selle ja saame:

X = -6

See on kõik. See on õige vastus.)

Nüüd mõtleme lahenduse peale. Mis meid selles näites päästis? Teadmine kolme jõududest päästis meid. Kuidas täpselt? Meie tuvastatud number 27 sisaldab krüpteeritud kolme! See trikk (sama aluse kodeerimine erinevate numbrite alla) on eksponentsiaalvõrrandites üks populaarsemaid! Kui see just kõige populaarsem pole. Jah, ja samamoodi, muide. Seetõttu on eksponentsiaalvõrrandites nii oluline vaatlus ja võime ära tunda teiste arvude astmeid arvudes!

Praktilised nõuanded:

Peate teadma populaarsete arvude jõude. Näkku!

Muidugi võib igaüks tõsta kahe seitsmenda astmeni või kolm viienda astmeni. Mitte minu meelest, aga vähemalt mustandis. Kuid eksponentsiaalvõrrandites pole palju sagedamini vaja tõsta astmele, vaid vastupidi, välja selgitada, milline arv ja millise astmeni on peidus arvu taga, näiteks 128 või 243. Ja see on keerulisem kui lihtne kasvatamine, siis nõustute. Tundke erinevust, nagu öeldakse!

Kuna oskus kraade isiklikult ära tunda on kasulik mitte ainult sellel, vaid ka järgmistel tasemetel, on siin teile väike ülesanne:

Tehke kindlaks, millised võimsused ja numbrid on numbrid:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Vastused (muidugi juhuslikult):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Jah Jah! Ärge imestage, et vastuseid on rohkem kui ülesandeid. Näiteks 2 8, 4 4 ja 16 2 on kõik 256.

Tase 2. Lihtsad eksponentsiaalvõrrandid. Tundkem kraadid ära! Negatiivsed ja murdosa näitajad.

Sellel tasemel kasutame oma teadmisi kraadide kohta juba täiel määral. Nimelt kaasame sellesse põnevasse protsessi negatiivsed ja murdosalised näitajad! Jah Jah! Me peame oma jõudu suurendama, eks?

Näiteks see kohutav võrrand:

Jällegi on esimene pilk vundamendile. Põhjused on erinevad! Ja seekord pole nad üksteisega sugugi sarnased! 5 ja 0,04... Ja aluste kõrvaldamiseks on vaja samu... Mida teha?

Kõik on korras! Tegelikult on kõik sama, lihtsalt seos viie ja 0,04 vahel on visuaalselt halvasti nähtav. Kuidas me saame välja? Liigume tavalise murruna arvu 0,04 juurde! Ja siis näete, kõik saab korda.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Vau! Selgub, et 0,04 on 1/25! Noh, kes oleks arvanud!)

Niisiis, kuidas? Kas nüüd on lihtsam näha seost numbrite 5 ja 1/25 vahel? See on kõik...

Ja nüüd vastavalt kraadidega toimingute reeglitele negatiivne näitaja Kindla käega saab kirjutada:

See on suurepärane. Seega jõudsime samasse baasi – viiekesi. Nüüd asendame võrrandis ebamugava arvu 0,04 numbriga 5 -2 ja saame:

Jällegi, vastavalt kraadidega tehtereeglitele saame nüüd kirjutada:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Tuletan igaks juhuks meelde (juhul kui keegi ei tea), et kraadidega käsitlemise põhireeglid kehtivad ükskõik milline näitajad! Kaasa arvatud negatiivsete puhul.) Seega võtke julgelt ja korrutage näitajad (-2) ja (x-1) vastava reegli järgi. Meie võrrand muutub paremaks ja paremaks:

Kõik! Peale üksikute viiekeste pole vasak- ja parempoolsetes võimudes midagi muud. Võrrand taandatakse kanooniliseks vormiks. Ja siis - mööda rihveldatud rada. Eemaldame viied ja võrdsustame näitajad:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Näide on peaaegu lahendatud. Jäänud on vaid põhikooli matemaatika – avage (õigesti!) sulud ja koguge kõik vasakult:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Me lahendame selle ja saame kaks juurt:

x 1 = 1; x 2 = 3

See on kõik.)

Nüüd mõtleme uuesti. Selles näites pidime jällegi sama arvu erinevatel astmetel ära tundma! Nimelt näha numbris 0.04 krüpteeritud viit. Ja seekord - sisse negatiivne aste! Kuidas me seda tegime? Otsekohe – mitte mingil juhul. Kuid pärast kümnendmurru 0,04-lt harilikule murrule 1/25 üleminekut sai kõik selgeks! Ja siis läks kogu otsus nagu kellavärk.)

Seetõttu veel üks roheline praktiline nõuanne.

Kui eksponentsiaalvõrrand sisaldab kümnendmurdu, siis liigume kümnendmurdudelt harilikele murdudele. Paljude populaarsete arvude astmeid on palju lihtsam murdudena ära tunda! Pärast tuvastamist liigume murdude juurest negatiivsete astendajatega astmeteni.

Pidage meeles, et see trikk esineb eksponentsiaalvõrrandites väga-väga sageli! Aga inimene pole teemas. Ta vaatab näiteks numbreid 32 ja 0,125 ning ärritub. Tema teadmata on see üks ja seesama kaks, ainult erineval määral... Aga sa oled juba kursis!)

Lahendage võrrand:

sisse! Tundub vaikne õudus... Näivus aga petab. See on kõige lihtsam eksponentsiaalvõrrand, hoolimata selle hirmutavast välimusest. Ja nüüd ma näitan seda teile.)

Esiteks vaatame kõiki numbreid alustes ja koefitsientides. Need on muidugi erinevad, jah. Kuid me ikkagi riskime ja proovime neid teha identsed! Proovime jõuda sama number erinevates võimsustes. Veelgi enam, eelistatavalt on arvud võimalikult väikesed. Niisiis, alustame dekodeerimist!

Noh, neljaga on kõik kohe selge - see on 2 2. Olgu, see on juba midagi.)

Murdosaga 0,25 - see on endiselt ebaselge. Vaja kontrollida. Kasutame praktilisi nõuandeid – liikuge kümnendmurrult harilikule murrule:

0,25 = 25/100 = 1/4

Juba palju parem. Sest nüüd on selgelt näha, et 1/4 on 2 -2. Suurepärane ja arv 0,25 on samuti sarnane kahega.)

Siiamaani on kõik korras. Kuid halvim arv jääb alles - ruutjuur kahest! Mida selle pipraga teha? Kas seda saab esitada ka kahe astmena? Ja kes teab...

Noh, sukeldume taas oma kraadide alaste teadmiste varakambrisse! Seekord ühendame täiendavalt oma teadmised juurte kohta. 9. klassi kursuselt oleksime sina ja mina pidanud õppima, et iga juure saab soovi korral alati kraadiks muuta murdosa indikaatoriga.

Nagu nii:

Meie puhul:

Vau! Selgub, et kahe ruutjuur on 2 1/2. See on kõik!

See on hea! Kõik meie ebamugavad numbrid osutusid tegelikult krüpteeritud kaheks.) Ma ei vaidle vastu, kuskil väga keerukalt krüptitud. Kuid me parandame ka oma professionaalsust selliste šifrite lahendamisel! Ja siis on kõik juba ilmne. Meie võrrandis asendame arvud 4, 0,25 ja kahe juure kahe astmega:

Kõik! Kõikide kraadide alused näites said ühesugused – kaks. Ja nüüd kasutatakse standardseid kraadidega toiminguid:

olena n = olen + n

a m:a n = a m-n

(a m) n = a mn

Vasaku poole jaoks saate:

2 -2 · (2 ​​2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

Parema poole jaoks on see:

Ja nüüd näeb meie kurja võrrand välja selline:

Neile, kes pole täpselt aru saanud, kuidas see võrrand tekkis, ei ole siin küsimus eksponentsiaalvõrrandites. Küsimus on kraadidega tegudes. Ma palusin teil seda kiiresti korrata neile, kellel on probleeme!

Siin on finišijoon! Eksponentvõrrandi kanooniline kuju on saadud! Niisiis, kuidas? Kas ma olen teid veennud, et kõik pole nii hirmutav? ;) Eemaldame kahed ja võrdsustame näitajad:

Jääb üle vaid see lineaarvõrrand lahendada. Kuidas? Loomulikult identsete teisenduste abil.) Otsustage, mis toimub! Korrutage mõlemad pooled kahega (murru 3/2 eemaldamiseks), nihutage terminid X-ga vasakule, ilma X-teta paremale, tooge sarnased, loendage - ja olete õnnelik!

Kõik peaks ilusti välja tulema:

X=4

Mõelgem nüüd uuesti lahendusele. Selles näites aitas meid üleminek alates ruutjuur To aste eksponendiga 1/2. Veelgi enam, ainult selline kaval ümberkujundamine aitas meil jõuda igal pool samale baasile (kahele), mis päästis olukorra! Ja kui mitte, siis oleks meil kõik võimalused igaveseks tarduda ja selle näitega mitte kunagi toime tulla, jah...

Seetõttu ei jäta me tähelepanuta järgmisi praktilisi nõuandeid:

Kui eksponentsiaalvõrrand sisaldab juuri, siis liigume juurtelt astmete juurde murdosaastendajatega. Väga sageli selgitab ainult selline ümberkujundamine edasist olukorda.

Muidugi on negatiivsed ja murdosalised jõud juba palju keerulisemad kui looduslikud jõud. Vähemalt visuaalse taju ja eriti paremalt vasakule äratundmise seisukohalt!

Selge see, et otse näiteks kahe tõstmine astmeni -3 või nelja astmeni -3/2 pole nii suur probleem. Teadjamatele.)

Aga mine näiteks saad sellest kohe aru

0,125 = 2 -3

Või

Siin kehtib ainult praktika ja rikkalik kogemus, jah. Ja muidugi selge idee, Mis on negatiivne ja murdosa aste? Ja ka praktilisi nõuandeid! Jah, jah, need samad roheline.) Loodan, et need aitavad teil ikkagi paremini orienteeruda kogu mitmekesises kraadides ja suurendavad oluliselt teie eduvõimalusi! Nii et ärgem jätkem neid tähelepanuta. Pole asjata, et ma mõnikord kirjutan rohelisega.)

Kuid kui õpite üksteist tundma isegi selliste eksootiliste jõududega nagu negatiivsed ja murdosalised, laienevad teie võimalused eksponentsiaalvõrrandite lahendamisel tohutult ja saate hakkama peaaegu igat tüüpi eksponentsiaalvõrranditega. Noh, kui mitte ühtegi, siis 80 protsenti kõigist eksponentsiaalvõrranditest – kindlasti! Jah, jah, ma ei tee nalja!

Niisiis on meie eksponentsiaalvõrrandite sissejuhatuse esimene osa jõudnud oma loogilise järelduseni. Ja vahepealse treeninguna soovitan traditsiooniliselt teha väikest eneserefleksiooni.)

1. harjutus.

Et minu sõnad negatiivsete ja murdosaliste jõudude dešifreerimise kohta asjata ei läheks, soovitan mängida väikest mängu!

Väljendage numbreid kahe astmetena:

Vastused (segaduses):

Juhtus? Suurepärane! Seejärel teeme lahingumissiooni – lahendame kõige lihtsamad ja lihtsamad eksponentsiaalvõrrandid!

2. ülesanne.

Lahendage võrrandid (kõik vastused on segaduses!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16 x+3 = 0

Vastused:

x = 16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Juhtus? Tõepoolest, see on palju lihtsam!

Seejärel lahendame järgmise mängu:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x ·7 x

Vastused:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Ja need näited on jäänud? Suurepärane! Sa kasvad! Siin on teile suupisteteks veel mõned näited:

Vastused:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Ja kas see on otsustatud? Noh, lugupidamine! Võtan mütsi maha.) See tähendab, et õppetund polnud asjata ning eksponentsiaalvõrrandite lahendamise algtaseme võib lugeda edukalt läbituks. Järgmised tasemed ja keerulisemad võrrandid on ees! Ja uued tehnikad ja lähenemised. Ja mittestandardsed näited. Ja uusi üllatusi.) Kõik see on järgmises õppetükis!

Kas midagi läks valesti? See tähendab, et tõenäoliselt on probleemid . Või sisse. Või mõlemad korraga. Ma olen siin jõuetu. Saan veel kord soovitada ainult üht - ärge olge laisk ja järgige linke.)

Jätkub.)

Eksponentvõrrandid. Nagu teate, sisaldab ühtne riigieksam lihtsaid võrrandeid. Oleme juba mõnda neist kaalunud - need on logaritmilised, trigonomeetrilised, ratsionaalsed. Siin on eksponentsiaalvõrrandid.

Hiljutises artiklis, kus töötasime eksponentsiaalsete avaldistega, on see kasulik. Võrrandid ise lahendatakse lihtsalt ja kiiresti. Peate lihtsalt teadma eksponentide omadusi ja... Selle kohtaEdasi.

Loetleme eksponentide omadused:

Mis tahes arvu nullaste on võrdne ühega.

Selle omaduse tagajärg:

Veel natuke teooriat.

Eksponentvõrrand on võrrand, mis sisaldab astendajas muutujat, see tähendab, et see on võrrand kujul:

f(x) avaldis, mis sisaldab muutujat

Eksponentvõrrandite lahendamise meetodid

1. Teisenduste tulemusena saab võrrandi taandada kujule:

Seejärel rakendame vara:

2. Kuju võrrandi saamisel a f (x) = b kasutades logaritmi definitsiooni, saame:

3. Teisenduste tulemusena saate võrrandi kujul:

Rakendatud logaritm:

Väljendage ja leidke x.

Ühtse riigieksami variantide probleemide puhul piisab esimese meetodi kasutamisest.

See tähendab, et on vaja esitada vasak ja parem pool sama alusega astmete kujul, seejärel võrdsustame eksponendid ja lahendame tavalise lineaarvõrrandi.

Mõelge võrranditele:

Leidke võrrandi 4 juur 1–2x = 64.

On vaja tagada, et vasak ja parem pool sisaldaksid sama alusega eksponentsiaalseid avaldisi. Me võime esitada 64 kui 4 astmega 3. Saame:

4 1–2x = 4 3

1–2x = 3

– 2x = 2

x = – 1

Eksam:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Vastus: -1

Leidke võrrandi 3 juur x–18 = 1/9.

On teada, et

Seega 3 x-18 = 3-2

Alused on võrdsed, saame võrdsustada näitajad:

x – 18 = – 2

x = 16

Eksam:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Vastus: 16

Leidke võrrandi juur:

Esitame murdosa 1/64 ühe neljandikuna kolmandale astmele:

2x – 19 = 3

2x = 22

x = 11

Eksam:

Vastus: 11

Leidke võrrandi juur:

Kujutagem ette, et 1/3 on 3–1 ja 9 on 3 ruudus, saame:

(3–1) 8–2x = 3 2

3–1∙ (8–2x) = 3 2

3–8+2x = 3 2

Nüüd saame võrdsustada näitajad:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Eksam:

Vastus: 5

26654. Leia võrrandi juur:

Lahendus:

Vastus: 8.75

Tõepoolest, ükskõik millise võimsusega me positiivse arvu a-ni tõstame, ei saa me negatiivset arvu.

Iga eksponentsiaalvõrrand pärast sobivaid teisendusi taandatakse ühe või mitme lihtsa teisenduse lahendamiseks.Selles jaotises käsitleme ka mõne võrrandi lahendamist, ärge jätke seda mööda!See on kõik. Edu sulle!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.