Arvuliste võrratuste omadused ja nende sõnastamine. Videotund “Arvulise ebavõrdsuse omadused”

Bibliograafia.

• Moro M. I.. Matemaatika. Õpik 1 klassi jaoks. algust kool 2 tunniga 1. osa. (I poolaasta) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova - 6. väljaanne. - M.: Haridus, 2006. - 112 lk.: ill.+Lisa. (2 eraldi l. ill.). - ISBN 5-09-014951-8.
• Matemaatika: õpik 5. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 lk.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. 2 tunniga 1. osa. Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Ebavõrdsust õppisime koolis, kus kasutame arvulisi ebavõrdsusi. Selles artiklis käsitleme arvuliste võrratuste omadusi, millest koostatakse nendega töötamise põhimõtted.

Võrratuste omadused on sarnased arvuliste võrratuste omadustega. Vaadeldakse omadusi, selle põhjendust ja tuuakse näiteid.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numbrilised ebavõrdsused: definitsioon, näited

Ebavõrdsuse kontseptsiooni juurutamisel oleme seisukohal, et nende määratlus on tehtud kirje tüübi järgi. On algebralisi avaldisi, millel on märgid ≠,< , >, ≤ , ≥ . Anname definitsiooni.

Definitsioon 1

Numbriline ebavõrdsus nimetatakse ebavõrdsuseks, mille mõlemal poolel on arvud ja arvavaldised.

Arvulisi ebavõrdsusi käsitleme koolis pärast naturaalarvude uurimist. Selliseid võrdlusoperatsioone uuritakse samm-sammult. Esialgsed näevad välja nagu 1< 5 , 5 + 7 >3. Pärast seda reegleid täiendatakse ja võrratused muutuvad keerulisemaks, siis saame võrratused kujul 5 2 3 > 5, 1 (2), ln 0. 73-17 2< 0 .

Numbriliste võrratuste omadused

Ebavõrdsustega korrektseks töötamiseks peate kasutama arvuliste võrratuste omadusi. Need pärinevad ebavõrdsuse mõistest. See mõiste on määratletud väitega, mis on tähistatud kui "rohkem" või "vähem".

2. definitsioon

• arv a on suurem kui b, kui erinevus a - b on positiivne arv;
• arv a on väiksem kui b, kui erinevus a - b on negatiivne arv;
• arv a on võrdne b-ga, kui erinevus a - b on null.

Definitsiooni kasutatakse ebavõrdsuse lahendamisel suhetega "väiksem või võrdne", "suurem või võrdne". Me saame sellest aru

3. määratlus

• a on suurem kui b või sellega võrdne, kui a - b on mittenegatiivne arv;
• a on väiksem kui b või sellega võrdne, kui a - b on mittepositiivne arv.

Definitsioone kasutatakse arvuliste võrratuste omaduste tõestamiseks.

Põhiomadused

Vaatame 3 peamist ebavõrdsust. Märkide kasutamine< и >iseloomulik järgmistele omadustele:

4. määratlus

• antirefleksiivsus, mis ütleb, et mis tahes arv a võrratusest a< a и a >a peetakse ebaõigeks. On teada, et iga a korral kehtib võrdus a − a = 0, seega saame, et a = a. Nii et a< a и a >a on vale. Näiteks 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 on valed.
• asümmeetria. Kui arvud a ja b on sellised, et a< b , то b >a, ja kui a > b, siis b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Selle teine ​​osa on tõestatud sarnasel viisil.

Näide 1

Näiteks kui võtta arvesse ebavõrdsust 5< 11 имеем, что 11 >5, mis tähendab, et selle arvuline võrratus − 0, 27 > − 1, 3 kirjutatakse ümber kui − 1, 3< − 0 , 27 .

Enne järgmise omaduse juurde asumist pange tähele, et asümmeetria abil saate lugeda ebavõrdsust paremalt vasakule ja vastupidi. Sel viisil saab arvulisi võrratusi muuta ja vahetada.

Definitsioon 5

• transitiivsus. Kui arvud a, b, c vastavad tingimusele a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b ja b > c , siis a > c .

Tõendid 1

Esimest väidet saab tõestada. Seisukord a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Teine osa transitiivsuse omadusega on tõestatud sarnaselt.

Näide 2

Vaatleme analüüsitavat omadust võrratuste näitel − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 ja 1 8 > 1 32 järeldub, et 1 2 > 1 32.

Numbrilistel võrratustel, mis on kirjutatud nõrkade võrratuste märkide abil, on refleksiivsuse omadus, sest a ≤ a ja a ≥ a võivad olla võrdsed a = a. Neid iseloomustab asümmeetria ja transitiivsus.

Definitsioon 6

Ebavõrdsustel, mille kirjas on märgid ≤ ja ≥, on järgmised omadused:

• refleksiivsus a ≥ a ja a ≤ a loetakse tõeliseks ebavõrdsuseks;
• antisümmeetria, kui a ≤ b, siis b ≥ a ja kui a ≥ b, siis b ≤ a.
• transitiivsus, kui a ≤ b ja b ≤ c, siis a ≤ c ning samuti, kui a ≥ b ja b ≥ c, siis a ≥ c.

Tõestus viiakse läbi sarnaselt.

Muud arvuliste võrratuste olulised omadused

Ebavõrdsuse põhiomaduste täiendamiseks kasutatakse tulemusi, millel on praktiline tähtsus. Meetodi põhimõtet kasutatakse avaldiste väärtuste hindamiseks, millel põhinevad võrratuste lahendamise põhimõtted.

See lõik paljastab ühe range ebavõrdsuse märgi ebavõrdsuse omadused. Sama tehakse ka mitterangete puhul. Vaatame näidet, sõnastades ebavõrdsuse, kui a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• kui a > b, siis a + c > b + c;
• kui a ≤ b, siis a + c ≤ b + c;
• kui a ≥ b, siis a + c ≥ b + c.

Mugavaks esitluseks anname vastava väite, mis on kirja pandud ja toodud tõendid, toodud kasutusnäited.

Definitsioon 7

Arvu lisamine või arvutamine mõlemale poolele. Teisisõnu, kui a ja b vastavad ebavõrdsusele a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Tõendid 2

Selle tõestamiseks peab võrrand täitma tingimust a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Näide 3

Näiteks kui me suurendame võrratuse 7 > 3 mõlemat poolt 15 võrra, siis saame 7 + 15 > 3 + 15. See on võrdne 22 > 18.

Definitsioon 8

Kui ebavõrdsuse mõlemad pooled korrutada või jagada sama arvuga c, saame tõelise ebavõrdsuse. Kui võtate negatiivse arvu, muutub märk vastupidiseks. Muidu näeb see välja järgmine: a ja b korral kehtib ebavõrdsus, kui a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >eKr.

Tõendid 3

Kui on juhtum c > 0, on vaja konstrueerida ebavõrdsuse vasaku ja parema külje erinevus. Siis saame, et a · c − b · c = (a − b) · c . Tingimusest a< b , то a − b < 0 , а c >0, siis korrutis (a − b) · c on negatiivne. Sellest järeldub, et a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Tõestamisel saab täisarvuga jagamise asendada antud arvu pöördarvuga korrutamisega, st 1 c. Vaatame teatud numbrite omaduse näidet.

Näide 4

Lubatud on ebavõrdsuse 4 mõlemad pooled< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Nüüd sõnastame järgmised kaks tulemust, mida kasutatakse ebavõrdsuse lahendamisel:

• Järeldus 1. Arvulise ebavõrdsuse osade märkide muutmisel muutub ebavõrdsuse märk ise vastupidiseks, kuna< b , как − a >− b . See järgib reeglit, mille kohaselt korrutatakse mõlemad pooled -1-ga. See on kohaldatav üleminekuks. Näiteks – 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Järeldus 2. Arvulise võrratuse osade asendamisel vastupidiste arvudega muutub ka selle märk ja ebavõrdsus jääb tõeseks. Seega on meil, et a ja b on positiivsed arvud, a< b , 1 a >1 b.

Ebavõrdsuse mõlema poole jagamisel a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 meil on see 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b võib olla vale.

Näide 5

Näiteks – 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 on vale võrrand.

Kõiki punkte ühendab asjaolu, et tegevused ebavõrdsuse osadel annavad väljundis õige ebavõrdsuse. Vaatleme omadusi, kus algselt esineb mitu arvulist võrratust ja selle tulemus saadakse selle osade liitmisel või korrutamisel.

Definitsioon 9

Kui arvud a, b, c, d kehtivad võrratuste a korral< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Tõestus 4

Tõestame, et (a + c) − (b + d) on negatiivne arv, siis saame, et a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Atribuuti kasutatakse kolme, nelja või enama arvulise ebavõrdsuse liitmiseks. Arvud a 1 , a 2 , … , a n ja b 1 , b 2 , … , b n rahuldavad võrratuse a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Näide 6

Näiteks kui on antud kolm sama märgiga arvulist võrratust − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Definitsioon 10

Mõlema poole termiline korrutamine annab positiivse arvu. Kui< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Tõendid 5

Selle tõestamiseks vajame ebavõrdsuse a mõlemat poolt< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Seda omadust peetakse kehtivaks arvude arvu puhul, millega tuleb korrutada ebavõrdsuse mõlemad pooled. Siis a 1 , a 2 , … , a n Ja b 1, b 2, …, b n on positiivsed arvud, kus 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Pange tähele, et võrratuste kirjutamisel on mittepositiivsed arvud, siis nende terminite kaupa korrutamine toob kaasa vale ebavõrdsuse.

Näide 7

Näiteks ebavõrdsus 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Tagajärg: Võrratuste tähtaegne korrutamine a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Numbriliste võrratuste omadused

Vaatleme järgmisi arvulise ebavõrdsuse omadusi.

1. a< a , a >a - ebaõiged ebavõrdsused,
   a ≤ a, a ≥ a on tõelised ebavõrdsused.
2. Kui a< b , то b >a - antisümmeetria.
3. Kui a< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Kui a< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Kui a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Kui a< b и c - отрицательное число, то a · c >eKr.

Järeldus 1: kui a< b , то - a >-b.

Järeldus 2: kui a ja b on positiivsed arvud ja a< b , то 1 a >1 b.

1. Kui 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Kui 1 , 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n on positiivsed arvud ja a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Järeldus 1: Kui a< b , a Ja b on positiivsed arvud, siis a n< b n .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

1) Ebavõrdsuse põhimõiste

2) Numbriliste võrratuste põhiomadused. Muutujat sisaldavad ebavõrdsused.

3) Teise astme võrratuste graafiline lahendamine

4) Ebavõrdsuse süsteemid. Kahe muutujaga võrratused ja võrratussüsteemid.

5) Ratsionaalvõrratuste lahendamine intervallmeetodil

6) Moodulimärgi all muutujat sisaldavate võrratuste lahendamine

1. Ebavõrdsuse põhimõiste

Ebavõrdsus on seos arvude (või mis tahes matemaatilise avaldise, mis võib omandada arvväärtuse) vahel, mis näitab, kumb neist on teisest suurem või väiksem. Nende avaldistega saab teatud reeglite järgi teha järgmisi toiminguid: liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine (ja N. negatiivse arvuga korrutamisel või jagamisel muutub selle tähendus vastupidiseks). Üks peamisi mõisteid lineaarne programmeerimine — lineaarsed ebavõrdsused lahke

a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n * b,

Kus a 1 ,..., a n, b- konstandid ja * märk on näiteks üks ebavõrdsuse märke. ≥,

algebraline

· transtsendentaalne

Algebralised võrratused jagunevad esimese, teise jne astme võrratusteks.

Ebavõrdsus on algebraline, teise astme.

Ebavõrdsus on transtsendentaalne.

2. Numbriliste võrratuste põhiomadused. Muutujaga seotud ebavõrdsused

1) Ruutfunktsiooni graafik y = ax 2 + bx + c on ülespoole suunatud okstega parabool, kui a > 0, ja alla, kui a (mõnikord öeldakse, et parabool on kumeralt allapoole suunatud, kui a > 0 ja kumer ülespoole, kui A). Sel juhul on võimalikud kolm juhtumit:

2) Parabool lõikub 0x teljega (st võrrandiga ax 2 + bx + c = 0 on kaks erinevat juurt). See tähendab, et kui a

y = ax 2 + bx + ca>0 D>0 y = ax 2 + bx + ca D>0,

Parabooli tipp on 0x teljel (st võrrand ax 2 + x + c = 0 on üks juur, nn topeltjuur) See tähendab, et kui d = 0, siis a>0 korral on võrratuse lahendiks kogu arvurida ja telje puhul 2 + x + c

y = ax 2 + bx + ca>0 D= 0 y = ax 2 + bx + ca D=0,

3) Kui d0 ja sellest allpool a

y = ax 2 + bx + ca>0 D0 y = ax 2 + bx + ca D 0,

4) Lahenda võrratus graafiliselt

1. Olgu f(x) = 3x 2 -4x - 7, siis leiame need x, mille puhul f(x) ;

2. Leia funktsiooni nullpunktid.

f(x) punktis x.

Vastus on f(x) x juures.

Olgu f(x)=x 2 +4x +5, siis leiame sellise x, mille jaoks f(x)>0,

D=-4 Nulle pole.

4. Ebavõrdsuse süsteemid. Kahe muutujaga võrratused ja võrratussüsteemid

1) Võrratussüsteemi lahendite hulk on selles sisalduvate võrratuste lahendite hulk.

2) Võrratuse f(x;y)>0 lahendite hulka saab graafiliselt kujutada koordinaattasandil. Tavaliselt jagab võrrandiga f(x;y) = 0 defineeritud sirge tasandi 2 osaks, millest üks on võrratuse lahend. Et määrata, millise osa, tuleb ebavõrdsusega asendada suvalise punkti M(x0;y0), mis ei asu sirgel f(x;y)=0, koordinaadid. Kui f(x0;y0) > 0, siis on võrratuse lahendiks punkti M0 sisaldav tasandi osa. kui f(x0;y0)

3) Võrratussüsteemi lahendite hulk on selles sisalduvate võrratuste lahendite hulk. Olgu näiteks antud ebavõrdsuse süsteem:

Esimese võrratuse korral on lahenduste hulk ring raadiusega 2 ja mille keskpunkt on lähtepunktis, teise puhul aga pooltasapind, mis asub sirge 2x+3y=0 kohal. Selle süsteemi lahendite hulk on nende hulkade ristumiskoht, s.o. poolring.

4) Näide. Lahendage võrratuste süsteem:

1. võrratuse lahendus on hulk , 2. hulk (2;7) ja kolmas hulk .

Nende hulkade ristumiskohaks on intervall (2;3]), mis on võrratuste süsteemi lahenduste hulk.

5. Ratsionaalvõrratuste lahendamine intervallmeetodil

Intervallmeetod põhineb binoomväärtuse järgmisel omadusel ( Ha): punkt x=α jagab arvujoone kaheks osaks – punktist paremal α binoom (x-α)>0 ja punktist vasakule α (x-α) .

Oletame, et peame lahendama ebavõrdsuse (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0, kus α 1, α 2 ... α n-1, α n on fikseeritud arvud, mille hulgas pole võrdseid, ja sellised, et α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x – α n)>0, kasutades intervallmeetodit järgmisel viisil: arvuteljele kantakse arvud α 1, α 2 ...α n-1, α n; intervallis neist suurimast paremal, s.o. numbrid αn, pane "pluss" märk, sellele paremalt vasakule järgnevasse intervalli "miinus" märk, siis "pluss" märk, siis "miinus" jne. Siis kõigi ebavõrdsuse lahendite hulk (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 on kõigi intervallide liit, millesse on paigutatud plussmärk, ja ebavõrdsuse lahenduste hulk (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n) on kõigi intervallide liit, millesse miinusmärk on paigutatud.

1) Ratsionaalvõrratuste (s.o. võrratused kujul P(x) Q(x), kus on polünoomid) lahendus põhineb pideva funktsiooni järgmisel omadusel: kui pidev funktsioon kaob punktides x1 ja x2 (x1; x2) ja nende punktide vahel ei ole muid juuri, siis intervallides (x1; x2) säilitab funktsioon oma märgi.

Seetõttu, et leida arvujoonelt funktsiooni y=f(x) konstantse märgi intervalle, märgi kõik punktid, kus funktsioon f(x) kaob või katkeb. Need punktid jagavad arvujoone mitmeks intervalliks, millest igaühe sees on funktsioon f(x) pidev ega kao kuhugi, s.t. salvestab märgi. Selle märgi määramiseks piisab funktsiooni märgi leidmisest arvjoone vaadeldava intervalli mis tahes punktist.

2) Määrata konstantse märgi intervallid ratsionaalne funktsioon, st. Lahenduste jaoks ratsionaalne ebavõrdsus, märgime arvureale lugeja ja nimetaja juured, mis on ühtlasi ka ratsionaalfunktsiooni juurteks ja murdepunktideks.

Võrratuste lahendamine intervallmeetodil

Lahendus. Piirkond vastuvõetavad väärtused määrab ebavõrdsuse süsteem:

Funktsiooni jaoks f(x)= - 20. Leia f(x):

kus x= 29 ja x = 13.

f(30) = - 20 = 0,3 > 0,

f(5) = - 1 - 20 = - 10

Vastus: }