Alustame trigonomeetria uurimist täisnurkse kolmnurgaga. Määratleme, mis on siinus ja koosinus, samuti teravnurga puutuja ja kotangens. See on trigonomeetria põhitõed.
Tuletagem seda meelde täisnurk on nurk 90 kraadi. Ehk siis pool pöördenurka.
Terav nurk- vähem kui 90 kraadi.
Nürinurk- üle 90 kraadi. Seoses sellise nurgaga pole "nüri" solvang, vaid matemaatiline termin :-)
Joonistame täisnurkse kolmnurga. Täisnurka tähistatakse tavaliselt tähisega . Pange tähele, et nurga vastaskülg on tähistatud sama tähega, ainult väikese tähega. Seega on vastasnurk A tähistatud .
Nurka tähistatakse vastava kreeka tähega.
Hüpotenuus täisnurkse kolmnurga külg on täisnurga vastaskülg.
Jalad- teravnurkade vastas olevad küljed.
Nurga vastas asetsevat jalga nimetatakse vastupidine(nurga suhtes). Teist jalga, mis asub nurga ühel küljel, nimetatakse külgnevad.
Sinus Täisnurkse kolmnurga teravnurk on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe:
Koosinus täisnurkse kolmnurga teravnurk - külgneva jala ja hüpotenuusi suhe:
Tangent täisnurkse kolmnurga teravnurk - vastaskülje ja külgneva külje suhe:
Teine (ekvivalentne) definitsioon: teravnurga puutuja on nurga siinuse ja tema koosinuse suhe:
Kotangent täisnurkse kolmnurga teravnurk - külgneva külje ja vastaskülje suhe (või, mis on sama, koosinuse ja siinuse suhe):
Märkige allpool siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi põhiseosed. Need on meile probleemide lahendamisel kasulikud.
Tõestame mõnda neist.
Olgu, oleme andnud definitsioonid ja kirja pannud valemid. Aga miks on meil ikkagi vaja siinust, koosinust, puutujat ja kotangenti?
Me teame seda mis tahes kolmnurga nurkade summa on võrdne.
Me teame omavahelist suhet peod täisnurkne kolmnurk. See on Pythagorase teoreem: .
Selgub, et teades kolmnurga kahte nurka, võite leida kolmanda. Teades täisnurkse kolmnurga kahte külge, saate leida kolmanda. See tähendab, et nurkadel on oma suhe ja külgedel oma. Aga mida teha, kui täisnurksel kolmnurgal on teada üks nurk (v.a täisnurk) ja üks külg, kuid on vaja leida teised küljed?
Seda kohtasid inimesed minevikus piirkonna ja tähistaeva kaarte koostades. Lõppude lõpuks ei ole alati võimalik kolmnurga kõiki külgi otse mõõta.
Siinus, koosinus ja puutuja – neid nimetatakse ka trigonomeetrilised nurgafunktsioonid- anda vahelisi suhteid peod Ja nurgad kolmnurk. Nurka teades leiate spetsiaalsete tabelite abil kõik selle trigonomeetrilised funktsioonid. Ja teades kolmnurga ja selle ühe külje nurkade siinusi, koosinusi ja puutujaid, leiate ka ülejäänud.
Samuti koostame siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtuste tabeli "heade" nurkade jaoks alates kuni.
Pange tähele kahte punast kriipsu tabelis. Sobivate nurgaväärtuste korral puutujat ja kotangenti ei eksisteeri.
Vaatame mitmeid FIPI Task Banki trigonomeetriaülesandeid.
1. Kolmnurgas on nurk , . Leia .
Probleem lahendatakse nelja sekundiga.
Kuna , .
2. Kolmnurgas on nurk , , . Leia .
Leiame selle Pythagorase teoreemi abil.
Probleem on lahendatud.
Sageli on ülesannetes kolmnurgad nurkade ja või nurkadega ja. Pea meeles nende põhisuhted peast!
Nurkadega kolmnurga ja nurga vastas olev jalg on võrdne pool hüpotenuusist.
Nurkadega kolmnurk on võrdhaarne. Selles on hüpotenuus korda suurem kui jalg.
Vaatlesime ülesandeid täisnurksete kolmnurkade lahendamisel – ehk siis tundmatute külgede või nurkade leidmisel. Kuid see pole veel kõik! Matemaatika ühtsel riigieksamil on palju probleeme, mis hõlmavad kolmnurga välisnurga siinust, koosinust, puutujat või kotangenti. Lisateavet selle kohta järgmises artiklis.
Tagasi ette
Tähelepanu! Slaidide eelvaated on ainult informatiivsel eesmärgil ja ei pruugi esindada kõiki esitluse funktsioone. Kui olete sellest tööst huvitatud, laadige alla täisversioon.
Tunni eesmärgid:
- tutvustada täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse ja puutuja mõisteid;
- näidata, kuidas kasutatakse siinust, koosinust ja puutujat ülesannete lahendamisel;
- vaatlemise, võrdlemise, analüüsimise ja järelduste tegemise oskuste arendamine.
Tundide ajal
Teadmiste värskendamine (tunni põhiprobleemi tuvastamine)
Läbi frontaaluuringu vormis.
Õpetaja. Tahvlil näete kokkuvõtet 6 probleemist< Рисунок 1>. Pidage meeles, milliseid neist probleemidest teate juba lahendada? Lahendage need probleemid. Sõnastage vastavad teoreemid.
1. pilt
Õpilased:
Ülesanne 1. Vastus: 5. Täisnurkses kolmnurgas on 30° nurga vastas olev jalg võrdne poole hüpotenuusiga.
2. ülesanne. Vastus: 41°. Kolmnurga sisenurkade summa on 180°.
3. ülesanne. Vastus: 10. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut võrdub jalgade ruutude summaga.
Ülesanded 4-6 me ei saa otsustada.
Õpetaja. Miks te ei suuda lahendada ülesandeid 4-6? Mis küsimus tekib?
Õpilased. Me ei tea, mis on tgB, sinA, cosB.
Õpetaja. sinA, cosB, tanB loetakse: “nurga A siinus”, “nurga B koosinus” ja “nurga B puutuja”. Täna õpime, mida kõik need väljendid tähendavad, ja õpime, kuidas lahendada selliseid probleeme nagu 4-6.
Uue materjali tutvustus
Viiakse läbi heuristilise vestluse vormis.
Õpetaja. Joonistage täisnurksed kolmnurgad jalgadega 3 ja 4, 6 ja 8. Märgistage need ABC ja A 1 B 1 C 1 nii, et B ja B 1 oleksid jalgade 4 ja 8 vastasnurgad ning täisnurgad C, C 1. Kas nurgad B ja B1 on võrdsed? Miks?
Õpilased. Võrdne, sest kolmnurgad on sarnased. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 (3: 4 = 6: 8) ja nendevahelised nurgad on õiged.<Рисунок 2>
Õpetaja. Milliste muude seoste võrdsused tulenevad kolmnurkade ABC ja A 1 B 1 C 1 sarnasusest?
Õpilased. BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1, AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1.
Õpetaja. AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1 = sinB = sinB 1.
BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1 = cosB = cosB 1. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 = tgB = tgB 1. Jalg AC on nurga B vastas ja jalg BC külgneb selle nurgaga. Esitage siinuse, koosinuse ja puutuja määratlused.
Õpilased. Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja on vastaskülje ja külgneva külje suhe.
Õpetaja. Kirjutage ise üles nurga A siinus, koosinus ja puutuja (slaid 1). Saadud valemid (1), (2), (3):
(1)
Nii saime teada, mis on täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus, koosinus ja puutuja. Üldiselt on siinuse, koosinuse ja puutuja mõistetel pikk ajalugu. Uurides kolmnurga külgede ja nurkade vahelist seost, leidsid iidsed teadlased viise kolmnurga erinevate elementide arvutamiseks. Neid teadmisi kasutati peamiselt praktilise astronoomia probleemide lahendamiseks, ligipääsmatute kauguste määramiseks.
Konsolideerimine
Õpetaja. Lahendame ülesande nr 591 (a, b).
Ülesanne kuvatakse ekraanil (slaid 2). Ülesanne “a” lahendatakse tahvlil koos täieliku selgitusega; “b” – iseseisvalt, millele järgneb üksteise kontrollimine.
Leidke täisnurgaga C kolmnurga ABC nurkade A ja B siinus, koosinus ja puutuja, kui: a) BC = 8, AB = 17; b) BC = 21, AC = 20.
Lahendus. a) = . = , kasutades Pythagorase teoreemi, leiame AC = 15,
= ; b), Pythagorase teoreemi kasutades leiame AB = 29, . . .Õpetaja. Nüüd pöördume tagasi ülesannete 4–6 juurde<Рисунок 1>. Arutame, mida ülesannetes 4–6 on teada ja mida on vaja leida?
4. ülesanne. Mis on teada? Mida on vaja leida?
Õpilased. BC = 7 ja tan B = 3,5 on teada. Peame leidma AC.
Õpetaja. Mis on tg B?
Õpilased. .
Õpetaja. Töötame valemiga. Valem koosneb kolmest komponendist. Nimetage need. Millised komponendid on teada? Milline komponent on teadmata? Kas leiate selle? Leia see.
Õpilased. AC = BC * tg B = 7 * 3,5 = 24,5
Õpetaja. Selle näite abil lahendage ülesanded 5 ja 6<Рисунок 1>. 1 õpilane töötab kinnisel tahvlil
Õpetaja.
1. Ütle mulle, kas sul õnnestus vajalikud tundmatud leida?
2. Milline oli teie tegevuste järjekord?
3. Äkki on muid lahendusi?
Õpilased.1. Jah. Kergesti. Eeskuju järgides. Ülesanne 5. Vastus: 10. Ülesanne 6. Vastus: 2.5
2. Esmalt asendame definitsiooni järgi vastavate nurkade siinuse ja koosinuse vastavate suhetega, seejärel paneme teadaolevad andmed saadud proportsioonidesse, mille järel leiame tundmatud tundmatud.
Õpetaja. Millise üldise järelduse saab teha pärast ülesannete 4–6 lahendamist? Milliseid uusi probleeme oleme õppinud lahendama täisnurkses kolmnurgas? Mõelge ja sõnastage oma järeldus.
Õpilased. Kui sa tead täisnurkse kolmnurga ühte külge ja selle külje suhet teise külge või ühte külge ja ühe teise külje suhet teadaolevasse külge (kas siinus, koosinus või puutuja), siis võib leida selle teise külje.
Probleemi lahendamine.
Nüüd proovige need probleemid 7–9 lahendada<Рисунок 3>.
Joonis 3
Õpilased. Me ei tea, kuidas neid lahendada.
Õpetaja. Pöördume tagasi 1. probleemi juurde<Рисунок 1>. Muudame probleemi seisukorda. Olgu NK = 5, NM = 10. Leidke nurk M.
Õpilased. Nurk M on võrdne 30°, kuna nurga M vastas olev jalg on võrdne poolega hüpotenuusist.
Õpetaja. See tähendab, et kui nurga siinus on 0,5, siis on nurk 30°. Nüüd lahendame ülesanded nr 592 (a, c, d)
nr 592. Ehitage nurk a, kui: a) c) d) .
Lahendus.
a) Täisnurga külgedele asetame lõigud pikkusega 1 ja 2 ning ühendame segmentide otsad. Saadud kolmnurgas on jala 1 vastasnurk soovitud nurk a;
c) 0,2 = . Täisnurga ühel küljel selle tipust eraldame lõigu pikkusega 1. Konstrueerime raadiusega 5 ringjoone, mille keskpunkt on mahajäetud segmendi lõpus. Ringi lõikepunkt täisnurga teise küljega on ühendatud nurga esimesele küljele paigutatud segmendi otsaga. Saadud kolmnurgas on 1 pikkusega jalaga külgnev nurk nurk a; (slaid 4)
e) Täisnurga ühel küljel selle tipust eraldame lõigu pikkusega 1. Konstrueerime raadiusega 2 ringi, mille keskpunkt on mahajäetud segmendi lõpus. Ringi lõikepunkt täisnurga teise küljega on ühendatud nurga esimesele küljele paigutatud segmendi otsaga. Saadud kolmnurgas on soovitud nurk pikkusega 1 jala vastasnurk a.(5. slaid)
Olete nurgad üles ehitanud, mis tähendab, et olete nurgad leidnud. Neid saab mõõta ja esitada tabelina.
Samamoodi saate lahendada ülesandeid 7-9<Рисунок 3>
Kokkuvõtteid tehes
Õpetaja. Vasta küsimustele:
1. Mis on täisnurga siinus, koosinus ja puutuja täisnurkses kolmnurgas?
2. Täisnurkses kolmnurgas on 6 elementi. Milliseid uusi probleeme õppisite täna lahendama? Milline on teie tegevuste järjekord? Testige oma võimet neid toiminguid õigesti sooritada (jagatakse välja individuaalsed kaardid).
Kaartide ligikaudne sisu: 1. Kolmnurgas ABC on nurk C täisnurk, BC = 2, Leia AB. 2. Kolmnurgas ABC on nurk C sirge, AC = 8, . Leidke AB. 3. Kolmnurgas ABC on nurk C võrdne 90°, AC = 6, . Leia päike.
Õpilased võrdlevad oma töid valmislahendustega vastavatel kaartidel.
Kodused ülesanded: küsimus 15 lk 159; Nr 591 (c, d), 592 (b, d, f) (6. slaid)
Viited
- Geomeetria. 7.–9. klass: õpik. haridusorganisatsioonidele / [L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ja teised]. – 2. väljaanne. – M.: Haridus, 2014.
Trigonomeetria on matemaatikateaduse haru, mis uurib trigonomeetrilisi funktsioone ja nende kasutamist geomeetrias. Trigonomeetria areng algas Vana-Kreekas. Keskajal andsid Lähis-Ida ja India teadlased selle teaduse arengusse olulise panuse.
See artikkel on pühendatud trigonomeetria põhimõistetele ja määratlustele. Selles käsitletakse trigonomeetriliste põhifunktsioonide määratlusi: siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Nende tähendust selgitatakse ja illustreeritakse geomeetria kontekstis.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Esialgu väljendati trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi, mille argumendiks on nurk, täisnurkse kolmnurga külgede suhtena.
Trigonomeetriliste funktsioonide definitsioonid
Nurga siinus (sin α) on selle nurga vastas oleva jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga koosinus (cos α) on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Nurga puutuja (t g α) - vastaskülje ja külgneva külje suhe.
Nurga kotangent (c t g α) - külgneva külje ja vastaskülje suhe.
Need definitsioonid on antud täisnurkse kolmnurga teravnurga kohta!
Toome näite.
Kolmnurgas ABC täisnurgaga C on nurga A siinus võrdne jala BC ja hüpotenuusi AB suhtega.
Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid võimaldavad teil arvutada nende funktsioonide väärtused kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste põhjal.
Oluline meeles pidada!
Siinuse ja koosinuse väärtuste vahemik on -1 kuni 1. Teisisõnu, siinus ja koosinus võtavad väärtused vahemikus -1 kuni 1. Tangensi ja kotangensi väärtuste vahemik on kogu arvurida, see tähendab, et need funktsioonid võivad võtta mis tahes väärtusi.
Ülaltoodud määratlused kehtivad teravnurkade kohta. Trigonomeetrias võetakse kasutusele pöördenurga mõiste, mille väärtus erinevalt teravnurgast ei ole piiratud 0 kuni 90 kraadiga Pöörlemisnurka kraadides või radiaanides väljendatakse mis tahes reaalarvuga vahemikus - ∞ kuni + ∞.
Selles kontekstis saame defineerida suvalise suurusega nurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi. Kujutagem ette ühikringi, mille keskpunkt on Descartes'i koordinaatsüsteemi algpunktis.
Algpunkt A koordinaatidega (1, 0) pöörleb ümber ühikuringi keskpunkti teatud nurga α kaudu ja läheb punkti A 1. Määratlus on antud punkti A 1 (x, y) koordinaatidena.
Pöörlemisnurga siinus (sinus).
Pöördenurga α siinus on punkti A 1 (x, y) ordinaat. sin α = y
Pöörlemisnurga koosinus (cos).
Pöördenurga α koosinus on punkti A abstsiss 1 (x, y). cos α = x
Pöörlemisnurga puutuja (tg).
Pöörlemisnurga α puutuja on punkti A 1 (x, y) ordinaadi ja selle abstsissi suhe. t g α = y x
Pöörlemisnurga kotangent (ctg).
Pöörlemisnurga α kotangens on punkti A 1 (x, y) abstsissi ja selle ordinaadi suhe. c t g α = x y
Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes pöördenurga jaoks. See on loogiline, sest punkti abstsissi ja ordinaati saab pärast pöörlemist määrata mis tahes nurga all. Tangensi ja kotangensi puhul on olukord erinev. Puutuja on määratlemata, kui punkt pärast pööramist läheb punkti, mille abstsiss on null (0, 1) ja (0, - 1). Sellistel juhtudel pole puutuja t g α = y x avaldisel lihtsalt mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Sarnane on olukord kotangensiga. Erinevus seisneb selles, et kotangenti ei määrata juhtudel, kui punkti ordinaat läheb nulli.
Oluline meeles pidada!
Siinus ja koosinus on määratletud mis tahes nurga α jaoks.
Puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Kootangens on defineeritud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Praktiliste näidete lahendamisel ära ütle “pöördenurga α siinus”. Sõnad "pöörlemisnurk" on lihtsalt välja jäetud, mis tähendab, et kontekstist on juba selge, millest arutatakse.
Numbrid
Aga arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon, mitte pöördenurk?
Arvu siinus, koosinus, puutuja, kotangens
Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on arv, mis on vastavalt võrdne siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga in t radiaan.
Näiteks arvu 10 siinus π võrdub pöördenurga siinusega 10 π rad.
Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määramiseks on veel üks lähenemisviis. Vaatame seda lähemalt.
Mis tahes reaalarv tühikringi punkt on seotud ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi alguspunkti keskpunktiga. Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide kaudu.
Ringjoone alguspunktiks on punkt A koordinaatidega (1, 0).
Positiivne number t
Negatiivne arv t vastab punktile, kuhu lähtepunkt läheb, kui see liigub ümber ringi vastupäeva ja läbib tee t.
Nüüd, kui seos arvu ja ringi punkti vahel on loodud, liigume edasi siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsiooni juurde.
Siinus (patt) t-st
Arvu siinus t- numbrile vastava ühikringi punkti ordinaat t. sin t = y
Koosinus (cos) t-st
Arvu koosinus t- arvule vastava ühikringi punkti abstsiss t. cos t = x
t puutuja (tg).
Arvu puutuja t- arvule vastava ühikringjoone punkti ordinaadi ja abstsissside suhe t. t g t = y x = sin t cos t
Viimased määratlused on kooskõlas käesoleva lõigu alguses antud määratlusega ega ole sellega vastuolus. Punkt numbrile vastaval ringil t, langeb kokku punktiga, kuhu lähtepunkt läheb pärast nurga võrra pööramist t radiaan.
Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid
Nurga α iga väärtus vastab selle nurga siinuse ja koosinuse teatud väärtusele. Nii nagu kõik nurgad α peale α = 90 ° + 180 ° k, vastavad k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) teatud puutuja väärtusele. Kootangens, nagu eespool öeldud, on defineeritud kõigi α jaoks, välja arvatud α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Võime öelda, et sin α, cos α, t g α, c t g α on nurga alfa funktsioonid ehk nurgaargumendi funktsioonid.
Samamoodi saame rääkida siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist kui arvulise argumendi funktsioonidest. Iga reaalarv t vastab arvu siinuse või koosinuse teatud väärtusele t. Kõik arvud peale π 2 + π · k, k ∈ Z vastavad puutuja väärtusele. Samamoodi on kotangent defineeritud kõigi arvude jaoks, välja arvatud π · k, k ∈ Z.
Trigonomeetria põhifunktsioonid
Siinus, koosinus, puutuja ja kotangens on trigonomeetrilised põhifunktsioonid.
Tavaliselt on kontekstist selge, millise trigonomeetrilise funktsiooni argumendiga (nurkargumendiga või arvargumendiga) tegemist on.
Tuleme tagasi alguses antud definitsioonide ja alfanurga juurde, mis jääb vahemikku 0 kuni 90 kraadi. Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi trigonomeetrilised määratlused on täielikult kooskõlas täisnurkse kolmnurga kuvasuhetega antud geomeetriliste definitsioonidega. Näitame seda.
Võtame ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis keskpunktiga ühikringi. Pöörame alguspunkti A (1, 0) kuni 90 kraadise nurga võrra ja joonistame saadud punktist A 1 (x, y) abstsissteljega risti. Saadud täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 O H võrdne pöördenurgaga α, jala pikkus O H võrdub punkti A 1 (x, y) abstsissiga. Nurga vastas oleva jala pikkus võrdub punkti A 1 (x, y) ordinaadiga ja hüpotenuusi pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikuringi raadius.
Vastavalt geomeetria definitsioonile on nurga α siinus võrdne vastaskülje ja hüpotenuusi suhtega.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
See tähendab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määramine kuvasuhte kaudu on samaväärne pöördenurga α siinuse määramisega, kusjuures alfa asub vahemikus 0 kuni 90 kraadi.
Samamoodi saab definitsioonide vastavust näidata koosinuse, puutuja ja kotangensi jaoks.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Selles artiklis näitame, kuidas anda nurga ja arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid trigonomeetrias. Siin räägime märgetest, toome kirjete näiteid ja toome graafilisi illustratsioone. Kokkuvõtteks toome paralleeli siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide vahel trigonomeetrias ja geomeetrias.
Leheküljel navigeerimine.
Siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon
Vaatame, kuidas kujuneb kooli matemaatikakursusel siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi idee. Geomeetria tundides antakse täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioon. Ja hiljem õpitakse trigonomeetriat, mis räägib pöördenurga ja arvu siinusest, koosinusest, puutujast ja kotangensist. Esitagem kõik need määratlused, tooge näiteid ja tehkem vajalikud kommentaarid.
Täisnurkse kolmnurga teravnurk
Geomeetria kursusest teame täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioone. Need on antud täisnurkse kolmnurga külgede suhtena. Anname nende sõnastused.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga siinus on vastaskülje ja hüpotenuusi suhe.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga koosinus on külgneva jala ja hüpotenuusi suhe.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga puutuja– see on vastaskülje ja külgneva külje suhe.
Definitsioon.
Täisnurkse kolmnurga teravnurga kotangens- see on külgneva külje ja vastaskülje suhe.
Seal tutvustatakse ka siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistusi - vastavalt sin, cos, tg ja ctg.
Näiteks kui ABC on täisnurkne kolmnurk täisnurgaga C, siis on teravnurga A siinus võrdne vastaskülje BC ja hüpotenuusi AB suhtega, st sin∠A=BC/AB.
Need määratlused võimaldavad teil arvutada teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused täisnurkse kolmnurga külgede teadaolevate pikkuste, aga ka siinuse, koosinuse, puutuja, kotangent ja ühe külje pikkus, et leida teiste külgede pikkusi. Näiteks kui me teaksime, et täisnurkses kolmnurgas on jalg AC võrdne 3-ga ja hüpotenuus AB on võrdne 7-ga, siis saaksime välja arvutada teravnurga A koosinuse väärtuse definitsiooni järgi: cos∠A=AC/ AB = 3/7.
Pöörlemisnurk
Trigonomeetrias hakkavad nad nurka laiemalt vaatama – tutvustavad pöördenurga mõistet. Pöördenurga suurus, erinevalt teravnurgast, ei ole piiratud 0 kuni 90 kraadiga. Pöörlemisnurka kraadides (ja radiaanides) saab väljendada mis tahes reaalarvuga vahemikus −∞ kuni +∞.
Selles valguses on siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid antud mitte teravnurga, vaid suvalise suurusega nurga - pöördenurga - kohta. Need on antud punkti A 1 x ja y koordinaatide kaudu, kuhu läheb nn alguspunkt A(1, 0) pärast selle pööramist nurga α võrra ümber punkti O – ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi algus. ja ühikuringi keskpunkt.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga siinusα on punkti A 1 ordinaat, st sinα=y.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga koosinusα nimetatakse punkti A 1 abstsissiks, st cosα=x.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga puutujaα on punkti A 1 ordinaadi ja selle abstsissi suhe, st tanα=y/x.
Definitsioon.
Pöörlemisnurga kotangentsα on punkti A 1 abstsissi ja selle ordinaadi suhe, see tähendab ctgα=x/y.
Siinus ja koosinus on defineeritud mis tahes nurga α jaoks, kuna me saame alati määrata punkti abstsissi ja ordinaadi, mis saadakse lähtepunkti pööramisel nurga α võrra. Kuid puutuja ja kotangent pole ühegi nurga jaoks määratletud. Puutujat ei määratleta nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb null-abstsissiga (0, 1) või (0, −1) punkti, ja see toimub nurkade 90°+180° k, k∈Z (π) korral /2+π·k rad). Tõepoolest, selliste pöördenurkade korral pole avaldisel tgα=y/x mõtet, kuna see sisaldab nulliga jagamist. Mis puutub kotangenti, siis see ei ole defineeritud nurkade α puhul, mille juures lähtepunkt läheb nullordinaadiga punkti (1, 0) või (−1, 0), ja see juhtub nurkade 180° k, k ∈Z korral. (π·k rad).
Seega on siinus ja koosinus defineeritud mis tahes pöördenurkade jaoks, puutuja on määratletud kõigi nurkade jaoks, välja arvatud 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) ja kotangens on defineeritud kõikide nurkade jaoks, välja arvatud 180° ·k , k∈Z (π·k rad).
Definitsioonid hõlmavad meile juba teadaolevaid tähiseid sin, cos, tg ja ctg, neid kasutatakse ka pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi tähistamiseks (mõnikord võib leida tangensile ja kotangensile vastavad tähised tan ja cot) . Seega võib 30-kraadise pöördenurga siinuse kirjutada sin30°, kirjed tg(−24°17′) ja ctgα vastavad pöördenurga puutujale −24 kraadi 17 minutit ja pöördenurga α kotangensile. . Tuletage meelde, et nurga radiaani mõõtmise kirjutamisel jäetakse tähis "rad" sageli välja. Näiteks kolme pi rad suuruse pöördenurga koosinust tähistatakse tavaliselt cos3·π.
Selle punkti kokkuvõtteks väärib märkimist, et pöördenurga siinus-, koosinus-, puutuja- ja kotangensist rääkides jäetakse sageli välja fraas “pöördenurk” või sõna “pööramine”. See tähendab, et fraasi "pöörlemisnurga siinus alfa" asemel kasutatakse tavaliselt fraasi "alfa nurga siinus" või, veelgi lühem, "siinus alfa". Sama kehtib koosinuse, puutuja ja kotangensi kohta.
Samuti ütleme, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas 0 kuni 90 kraadise pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. Me põhjendame seda.
Numbrid
Definitsioon.
Arvu siinus, koosinus, puutuja ja kotangens t on arv, mis võrdub vastavalt pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga t radiaanides.
Näiteks arvu 8·π koosinus on definitsiooni järgi arv, mis võrdub nurga 8·π rad koosinusega. Ja nurga 8·π rad koosinus on võrdne ühega, seega on arvu 8·π koosinus 1.
Arvu siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määramiseks on veel üks lähenemisviis. See seisneb selles, et iga reaalarv t on seotud ühikringi punktiga, mille keskpunkt on ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi alguspunktis, ning siinus, koosinus, puutuja ja kotangens määratakse selle punkti koordinaatide kaudu. Vaatame seda üksikasjalikumalt.
Näitame, kuidas luuakse vastavus reaalarvude ja ringi punktide vahel:
- arvule 0 omistatakse alguspunkt A(1, 0);
- positiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume mööda ringjoont alguspunktist vastupäeva ja läbime tee pikkusega t;
- negatiivne arv t on seotud ühikringi punktiga, milleni jõuame, kui liigume mööda ringjoont alguspunktist päripäeva ja kõnnime tee pikkusega |t| .
Nüüd liigume edasi arvu t siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonide juurde. Oletame, et arv t vastab punktile ringil A 1 (x, y) (näiteks arv &pi/2; vastab punktile A 1 (0, 1)).
Definitsioon.
Arvu siinus t on arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaat, st sint=y.
Definitsioon.
Arvu koosinus t nimetatakse arvule t vastava ühikringi punkti abstsissiks, st kulu=x.
Definitsioon.
Arvu puutuja t on arvule t vastava ühikringjoone punkti ordinaadi ja abstsissi suhe, st tgt=y/x. Teises samaväärses sõnastuses on arvu t puutuja selle arvu siinuse ja koosinuse suhe, st tgt=sint/kulu.
Definitsioon.
Arvu kotangents t on arvule t vastava ühikringjoone punkti abstsissi ja ordinaadi suhe, st ctgt=x/y. Teine sõnastus on järgmine: arvu t puutuja on arvu t koosinuse ja arvu t siinuse suhe: ctgt=kulu/sint.
Siinkohal märgime, et just antud määratlused on kooskõlas selle lõigu alguses antud määratlusega. Tõepoolest, arvule t vastav ühikringi punkt langeb kokku punktiga, mis saadakse lähtepunkti pööramisel t radiaani nurga võrra.
Seda punkti tasub veel täpsustada. Oletame, et meil on kirje sin3. Kuidas aru saada, kas me räägime arvu 3 siinusest või 3 radiaani pöördenurga siinusest? Tavaliselt on see kontekstist selge, vastasel juhul pole see tõenäoliselt põhimõttelise tähtsusega.
Nurga- ja arvargumendi trigonomeetrilised funktsioonid
Eelmises lõigus toodud definitsioonide kohaselt vastab iga pöördenurk α väga kindlale väärtusele sinα, samuti väärtusele cosα. Lisaks vastavad kõik pöördenurgad peale 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) tgα väärtustele ja väärtused, mis ei ole 180°k, k∈Z (πk rad ) – väärtused of ctgα . Seetõttu on sinα, cosα, tanα ja ctgα nurga α funktsioonid. Teisisõnu, need on nurgaargumendi funktsioonid.
Sarnaselt võime rääkida arvulise argumendi funktsioonidest siinus, koosinus, puutuja ja kotangens. Tõepoolest, iga reaalarv t vastab väga konkreetsele väärtusele sint ja ka kulule. Lisaks vastavad kõik arvud peale π/2+π·k, k∈Z väärtustele tgt ja numbrid π·k, k∈Z - väärtused ctgt.
Nimetatakse funktsioone siinus, koosinus, puutuja ja kotangens trigonomeetrilised põhifunktsioonid.
Tavaliselt selgub kontekstist, kas tegemist on nurkargumendi või numbrilise argumendi trigonomeetriliste funktsioonidega. Vastasel juhul võime pidada sõltumatut muutujat nii nurga mõõtmiseks (nurkargumendiks) kui ka arvuliseks argumendiks.
Koolis õpime aga põhiliselt arvfunktsioone ehk funktsioone, mille argumendid ja ka neile vastavad funktsiooniväärtused on arvud. Seega, kui me räägime konkreetselt funktsioonidest, siis on soovitatav käsitleda trigonomeetrilisi funktsioone kui numbriliste argumentide funktsioone.
Geomeetria ja trigonomeetria definitsioonide seos
Kui arvestada pöördenurga α vahemikus 0 kuni 90 kraadi, siis on pöördenurga siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi määratlused trigonomeetria kontekstis täielikult kooskõlas siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega. teravnurk täisnurkses kolmnurgas, mis on antud geomeetria kursusel. Põhjendame seda.
Kujutagem ühikringi ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis Oxy. Märgime alguspunktiks A(1, 0) . Pöörame seda nurga α võrra vahemikus 0 kuni 90 kraadi, saame punkti A 1 (x, y). Kukkugem risti A 1 H punktist A 1 Ox-teljele.
On hästi näha, et täisnurkses kolmnurgas on nurk A 1 OH võrdne pöördenurgaga α, selle nurgaga külgneva jala OH pikkus võrdub punkti A 1 abstsissiga, see tähendab |OH |=x, nurga vastas oleva jala pikkus A 1 H võrdub punkti A 1 ordinaadiga, st |A 1 H|=y ja hüpotenuusi OA 1 pikkus on võrdne ühega, kuna see on ühikuringi raadius. Siis on geomeetria definitsiooni järgi täisnurkse kolmnurga A 1 OH teravnurga α siinus võrdne vastasharu ja hüpotenuusi suhtega, st sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ja trigonomeetria definitsiooni järgi on pöördenurga α siinus võrdne punkti A 1 ordinaadiga, see tähendab sinα=y. See näitab, et täisnurkse kolmnurga teravnurga siinuse määramine on samaväärne pöördenurga α siinuse määramisega, kui α on 0 kuni 90 kraadi.
Samamoodi saab näidata, et teravnurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonid on kooskõlas pöördenurga α koosinuse, puutuja ja kotangensi definitsioonidega.
Bibliograafia.
- Geomeetria. 7-9 klassid: õpik üldhariduse jaoks institutsioonid / [L. S. Atanasjan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev jne]. - 20. väljaanne M.: Haridus, 2010. - 384 lk.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geomeetria: õpik. 7-9 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. V. Pogorelov. - 2. trükk - M.: Haridus, 2001. - 224 lk.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebra ja elementaarfunktsioonid: Õpik keskkooli 9. klassi õpilastele / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Toimetanud füüsika- ja matemaatikateaduste doktor O. N. Golovin – 4. väljaanne. M.: Haridus, 1969.
- Algebra:Õpik 9. klassi jaoks. keskm. kool/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Haridus, 1990. - 272 lk. - ISBN 5-09-002727-7
- Algebra ja analüüsi algus: Proc. 10-11 klassile. Üldharidus institutsioonid / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn jt. Ed. A. N. Kolmogorov - 14. väljaanne - M.: Haridus, 2004. - 384 lk. - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkovitš A.G. Algebra ja analüüsi algus. 10. klass. 2 osas 1. osa: õpik üldharidusasutustele (profiilitase) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. väljaanne, lisa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 lk.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed /[Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toimetanud A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - I.: Haridus, 2010.- 368 lk.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M. I. Algebra ja analüüsi algus: Õpik. 10-11 klassile. keskm. kool - 3. väljaanne - M.: Haridus, 1993. - 351 lk.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse kandideerijatele): Proc. abiraha.- M.; Kõrgem kool, 1984.-351 lk, ill.
Üks matemaatika valdkondi, millega õpilased kõige rohkem vaeva näevad, on trigonomeetria. See pole üllatav: selle teadmiste valdkonna vabaks valdamiseks on vaja ruumilist mõtlemist, oskust leida valemite abil siinusi, koosinusi, puutujaid, kotangente, lihtsustada avaldisi ja osata kasutada arvus pi arvutused. Lisaks tuleb osata teoreemide tõestamisel kasutada trigonomeetriat ja see eeldab kas arenenud matemaatilist mälu või keeruliste loogiliste ahelate tuletamise oskust.
Trigonomeetria päritolu
Selle teadusega tutvumine peaks algama siinuse, koosinuse ja nurga puutuja määratlusega, kuid kõigepealt peate mõistma, mida trigonomeetria üldiselt teeb.
Ajalooliselt olid selle matemaatikateaduse haru põhiliseks uurimisobjektiks täisnurksed kolmnurgad. 90-kraadise nurga olemasolu võimaldab teha mitmesuguseid toiminguid, mis võimaldavad määrata kõnealuse joonise kõigi parameetrite väärtused kahe külje ja ühe nurga või kahe nurga ja ühe külje abil. Varem märkasid inimesed seda mustrit ja hakkasid seda aktiivselt kasutama hoonete ehitamisel, navigatsioonis, astronoomias ja isegi kunstis.
Esimene aste
Algselt räägiti nurkade ja külgede suhetest eranditult täisnurksete kolmnurkade näitel. Seejärel avastati spetsiaalsed valemid, mis võimaldasid laiendada selle matemaatikaharu igapäevaelus kasutamise piire.
Trigonomeetria õpe koolis algab tänapäeval täisnurksete kolmnurkadega, mille järel õpilased kasutavad omandatud teadmisi füüsikas ja abstraktsete trigonomeetriliste võrrandite lahendamises, mis algavad gümnaasiumis.
Sfääriline trigonomeetria
Hiljem, kui teadus jõudis järgmisele arengutasemele, hakati siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensiga valemeid kasutama sfäärilises geomeetrias, kus kehtivad erinevad reeglid ning kolmnurga nurkade summa on alati suurem kui 180 kraadi. Seda osa koolis ei õpita, kuid selle olemasolust on vaja teada vähemalt seetõttu, et nii maakera pind kui ka mis tahes muu planeedi pind on kumer, mis tähendab, et iga pinnamärgistus on kolmes kohas "kaarekujuline". -mõõtmeline ruum.
Võtke maakera ja niit. Kinnitage niit maakera kahe punkti külge nii, et see oleks pingul. Pange tähele – see on võtnud kaare kuju. Selliste vormidega tegeleb sfääriline geomeetria, mida kasutatakse geodeesias, astronoomias ja muudes teoreetilistes ja rakendusvaldkondades.
Täisnurkne kolmnurk
Olles õppinud veidi trigonomeetria kasutamise viise, pöördume tagasi põhilise trigonomeetria juurde, et paremini mõista, mis on siinus, koosinus, puutuja, milliseid arvutusi saab nende abil teha ja milliseid valemeid kasutada.
Esimene samm on mõista täisnurkse kolmnurgaga seotud mõisteid. Esiteks on hüpotenuus 90-kraadise nurga vastaskülg. See on pikim. Mäletame, et Pythagorase teoreemi kohaselt on selle arvväärtus võrdne kahe teise külje ruutude summa juurega.
Näiteks kui kaks külge on vastavalt 3 ja 4 sentimeetrit, on hüpotenuusi pikkus 5 sentimeetrit. Muide, iidsed egiptlased teadsid sellest umbes neli ja pool tuhat aastat tagasi.
Ülejäänud kahte külge, mis moodustavad täisnurga, nimetatakse jalgadeks. Lisaks peame meeles pidama, et ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi kolmnurga nurkade summa on 180 kraadi.
Definitsioon
Lõpuks, geomeetrilise aluse kindla mõistmisega võib pöörduda siinuse, koosinuse ja nurga puutuja määratluse poole.
Nurga siinus on vastasjala (st soovitud nurga vastaskülje) ja hüpotenuusi suhe. Nurga koosinus on külgneva külje ja hüpotenuusi suhe.
Pea meeles, et siinus ega koosinus ei saa olla suuremad kui üks! Miks? Kuna hüpotenuus on vaikimisi pikim, olenemata sellest, kui pikk jalg on, on see hüpotenuus lühem, mis tähendab, et nende suhe on alati väiksem kui üks. Seega, kui saate ülesande vastuses siinuse või koosinuse väärtusega, mis on suurem kui 1, otsige arvutustes või arutlustes viga. See vastus on selgelt vale.
Lõpuks on nurga puutuja vastaskülje ja külgneva külje suhe. Siinuse jagamine koosinusega annab sama tulemuse. Vaata: valemi järgi jagame külje pikkuse hüpotenuusiga, seejärel jagame teise külje pikkusega ja korrutame hüpotenuusiga. Seega saame sama seose, mis puutuja definitsioonis.
Kootangens on vastavalt nurgaga külgneva külje ja vastaskülje suhe. Sama tulemuse saame, kui jagame ühe puutujaga.
Niisiis, oleme vaadanud siinus, koosinus, puutuja ja kotangens definitsioone ning saame liikuda valemite juurde.
Kõige lihtsamad valemid
Trigonomeetrias ei saa ilma valemiteta hakkama - kuidas leida siinust, koosinust, puutujat, kotangenti ilma nendeta? Kuid just seda on vaja probleemide lahendamisel.
Esimene valem, mida trigonomeetriat õppima asudes teadma peab, ütleb, et nurga siinuse ja koosinuse ruutude summa on võrdne ühega. See valem on Pythagorase teoreemi otsene tagajärg, kuid see säästab aega, kui on vaja teada pigem nurga kui külje suurust.
Paljud õpilased ei mäleta teist valemit, mis on ka kooliülesannete lahendamisel väga populaarne: ühe ja nurga puutuja ruudu summa võrdub ühega, mis on jagatud nurga koosinuse ruuduga. Vaadake lähemalt: see on sama väide, mis esimeses valemis, ainult identiteedi mõlemad pooled olid jagatud koosinuse ruuduga. Selgub, et lihtne matemaatiline tehe muudab trigonomeetrilise valemi täiesti tundmatuks. Pidage meeles: teades, mis on siinus, koosinus, puutuja ja kotangens, teisendusreegleid ja mitmeid põhivalemeid, saate igal ajal paberilehel tuletada nõutavad keerukamad valemid.
Topeltnurkade valemid ja argumentide liitmine
Veel kaks valemit, mida peate õppima, on seotud siinuse ja koosinuse väärtustega nurkade summa ja erinevuse jaoks. Need on toodud alloleval joonisel. Pange tähele, et esimesel juhul korrutatakse siinus ja koosinus mõlemal korral ning teisel juhul liidetakse siinuse ja koosinuse paariskorrutis.
Samuti on topeltnurga argumentidega seotud valemid. Need on täielikult tuletatud eelmistest – harjutuseks proovige need ise hankida, võttes alfanurga võrdseks beetanurgaga.
Lõpuks pange tähele, et topeltnurga valemeid saab ümber paigutada, et vähendada siinuse, koosinuse ja tangensi alfa võimsust.
Teoreemid
Põhilise trigonomeetria kaks peamist teoreemi on siinusteoreem ja koosinusteoreem. Nende teoreemide abil saate hõlpsasti aru, kuidas leida siinus, koosinus ja puutuja ning seega ka joonise pindala ja kummagi külje suurus jne.
Siinuse teoreem ütleb, et kolmnurga mõlema külje pikkuse jagamisel vastasnurgaga saadakse sama arv. Veelgi enam, see arv võrdub piiritletud ringi kahe raadiusega, st ringiga, mis sisaldab antud kolmnurga kõiki punkte.
Koosinusteoreem üldistab Pythagorase teoreemi, projitseerides selle mis tahes kolmnurkadele. Selgub, et kahe külje ruutude summast lahutage nende korrutis, mis on korrutatud külgneva nurga topeltkoosinusega - saadud väärtus võrdub kolmanda külje ruuduga. Seega osutub Pythagorase teoreem koosinusteoreemi erijuhuks.
Ettevaatamatud vead
Isegi teades, mis on siinus, koosinus ja puutuja, on hajameelsuse või kõige lihtsamate arvutuste vea tõttu lihtne eksida. Selliste vigade vältimiseks vaatame kõige populaarsemaid.
Esiteks, te ei tohiks teisendada murde kümnendkohtadeks enne, kui olete saanud lõpptulemuse – võite jätta vastuse murdarvuks, kui tingimustes pole öeldud teisiti. Sellist ümberkujundamist ei saa nimetada veaks, kuid tuleb meeles pidada, et probleemi igas etapis võivad ilmneda uued juured, mida autori idee kohaselt tuleks vähendada. Sel juhul raiskate oma aega tarbetutele matemaatilistele tehtetele. See kehtib eriti selliste väärtuste kohta nagu kolme juur või kahe juur, sest neid leidub probleemides igal sammul. Sama kehtib ka "koledate" numbrite ümardamise kohta.
Lisaks pange tähele, et koosinuse teoreem kehtib iga kolmnurga kohta, kuid mitte Pythagorase teoreemi kohta! Kui unustate ekslikult lahutada külgede kahekordse korrutise nendevahelise nurga koosinusega, saate mitte ainult täiesti vale tulemuse, vaid demonstreerite ka täielikku arusaamatust teemast. See on hullem kui hooletu viga.
Kolmandaks, ärge ajage segi siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide nurkade väärtusi 30 ja 60 kraadi. Pidage neid väärtusi meeles, sest siinus 30 kraadi võrdub koosinusega 60 ja vastupidi. Neid on lihtne segi ajada, mille tulemusena saad paratamatult eksliku tulemuse.
Rakendus
Paljud õpilased ei kiirusta trigonomeetriat õppima asuma, sest nad ei mõista selle praktilist tähendust. Mis on siinus, koosinus, puutuja inseneri või astronoomi jaoks? Need on mõisted, mille abil saate arvutada kaugust kaugete tähtedeni, ennustada meteoriidi langemist või saata uurimissondi teisele planeedile. Ilma nendeta on võimatu ehitada hoonet, projekteerida autot, arvutada pinnale langevat koormust või objekti trajektoori. Ja need on vaid kõige ilmsemad näited! Kasutatakse ju trigonomeetriat ühel või teisel kujul kõikjal, muusikast meditsiinini.
Lõpuks
Nii et sa oled siinus, koosinus, puutuja. Saate neid kasutada arvutustes ja edukalt lahendada kooliülesandeid.
Kogu trigonomeetria mõte taandub asjaolule, et kolmnurga teadaolevate parameetrite abil peate arvutama tundmatud. Kokku on kuus parameetrit: kolme külje pikkus ja kolme nurga suurus. Ainus erinevus ülesannetes seisneb selles, et antakse erinevad sisendandmed.
Nüüd teate, kuidas jalgade või hüpotenuusi teadaolevate pikkuste põhjal leida siinust, koosinust, puutujat. Kuna need terminid ei tähenda midagi muud kui suhet ja suhe on murdosa, on trigonomeetriaülesande peamine eesmärk leida tavalise võrrandi või võrrandisüsteemi juured. Ja siin aitab teid tavaline koolimatemaatika.