Vieta teoreem (täpsemalt Vieta teoreemile pöördvõrdeline teoreem) võimaldab vähendada ruutvõrrandite lahendamise aega. Peate lihtsalt teadma, kuidas seda kasutada. Kuidas õppida Vieta teoreemi abil ruutvõrrandeid lahendama? See pole keeruline, kui sellele veidi järele mõelda.
Nüüd räägime ainult lahendusest Vieta redutseeritud ruutvõrrandi teoreemi järgi. ruutvõrrand on võrrand, milles a, st x² koefitsient, võrdne ühega. Samuti on võimalik Vieta teoreemi abil lahendada ruutvõrrandid, mis pole antud, kuid vähemalt üks juurtest ei ole täisarv. Neid on raskem ära arvata.
Vieta teoreemi pöördteoreem ütleb: kui arvud x1 ja x2 on sellised, et
siis x1 ja x2 on ruutvõrrandi juured
Ruutvõrrandi lahendamisel Vieta teoreemi abil on võimalikud ainult 4 võimalust. Kui arutluskäik meelde tuleb, saate väga kiiresti õppida leidma terveid juuri.
I. Kui q on positiivne arv,
see tähendab, et juured x1 ja x2 on sama märgiga arvud (sest ainult arvude korrutamisel identsed märgid see osutub positiivseks arvuks).
k.a. Kui -p on positiivne arv, (vastavalt lk<0), то оба корня x1 и x2 — positiivsed numbrid(kuna lisasime sama märgiga numbrid ja saime positiivse arvu).
I.b. Kui -p - negatiivne arv, (vastavalt p>0), siis on mõlemad juured negatiivsed arvud (liisime sama märgiga arvud ja saime negatiivse arvu).
II. Kui q on negatiivne arv,
see tähendab, et juurtel x1 ja x2 on erinevad märgid (arvude korrutamisel saadakse negatiivne arv ainult siis, kui tegurite märgid on erinevad). Sel juhul pole x1+x2 enam summa, vaid vahe (lõppkokkuvõttes numbrite liitmisel erinevad märgid lahutame suuremast väiksema). Seetõttu näitab x1+x2, kui palju erinevad juured x1 ja x2, st kui palju on üks juur teisest suurem (absoluutväärtuses).
II.a. Kui -p on positiivne arv, (st lk<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Kui -p on negatiivne arv, (p>0), siis suurem (mooduli) juur on negatiivne arv.
Vaatleme ruutvõrrandite lahendamist Vieta teoreemi abil näidete abil.
Lahendage antud ruutvõrrand Vieta teoreemi abil:
Siin q=12>0, seega on juured x1 ja x2 sama märgiga arvud. Nende summa on -p=7>0, seega mõlemad juured on positiivsed arvud. Valime täisarvud, mille korrutis on 12. Need on 1 ja 12, 2 ja 6, 3 ja 4. Paari 3 ja 4 summa on 7. See tähendab, et 3 ja 4 on võrrandi juured.
IN selles näites q=16>0, mis tähendab, et juured x1 ja x2 on sama märgiga arvud. Nende summa on -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Siin q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, siis on suurem arv positiivne. Nii et juured on 5 ja -3.
q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Ruutvõrrandites on mitmeid seoseid. Peamised neist on seosed juurte ja koefitsientide vahel. Ka ruutvõrrandites on mitmeid seoseid, mis on antud Vieta teoreemiga.
Selles teemas tutvustame Vieta teoreemi ennast ja selle tõestust ruutvõrrandi kohta, teoreemi, mis on vastupidine Vieta teoreemile, ning analüüsime mitmeid näiteid probleemide lahendamisest. Materjalis pöörame erilist tähelepanu Vieta valemite käsitlemisele, mis määratlevad seose algebralise astmevõrrandi tegelike juurte vahel. n ja selle koefitsiendid.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vieta teoreemi formuleerimine ja tõestamine
Ruutvõrrandi juurte valem a x 2 + b x + c = 0 kujul x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, kus D = b 2 − 4 a c, loob suhteid x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Seda kinnitab Vieta teoreem.
1. teoreem
Ruutvõrrandis a x 2 + b x + c = 0, Kus x 1 Ja x 2– juured, on juurte summa võrdne koefitsientide suhtega b Ja a, mis võeti vastupidise märgiga ja juurte korrutis võrdub koefitsientide suhtega c Ja a, st. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.
Tõendid 1
Tõestuse läbiviimiseks pakume teile järgmist skeemi: võtke juurte valem, koostage ruutvõrrandi juurte summa ja korrutis ning seejärel teisendage saadud avaldised, veendumaks, et need on võrdsed - b a Ja c a vastavalt.
Teeme juurte summaks x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Toome murrud ühise nimetajani - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Avame saadud murru lugejas sulud ja esitame sarnased terminid: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Vähendame murdosa võrra: 2 - b a = - b a.
Nii tõestasime Vieta teoreemi esimest seost, mis on seotud ruutvõrrandi juurte summaga.
Liigume nüüd teise suhte juurde.
Selleks peame koostama ruutvõrrandi juurte korrutise: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Pidagem meeles murdude korrutamise reeglit ja kirjutame viimane korrutis järgmiselt: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Korrutagem sulg murru lugejas oleva suuga või kasutage selle korrutise kiiremaks teisendamiseks ruutude erinevuse valemit: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Kasutame ruutjuure definitsiooni järgmise ülemineku tegemiseks: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Valem D = b 2 − 4 a c vastab ruutvõrrandi diskriminandile, seega selle asemel murduks D saab asendada b 2–4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Avame sulud, lisame sarnased terminid ja saame: 4 · a · c 4 · a 2 . Kui lühendame seda kuni 4 a, siis jääb alles c a . Nii tõestasime Vieta teoreemi teist seost juurte korrutisele.
Vieta teoreemi tõestuse saab kirjutada väga lakoonilises vormis, kui jätame seletused välja:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Kui ruutvõrrandi diskriminant on võrdne nulliga, on võrrandil ainult üks juur. Vieta teoreemi rakendamiseks sellisele võrrandile võime eeldada, et võrrandil, mille diskriminant on võrdne nulliga, on kaks identset juurt. Tõepoolest, millal D = 0 ruutvõrrandi juur on: - b 2 · a, siis x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a ja x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 ning kuna D = 0, st b 2 - 4 · a · c = 0, kust b 2 = 4 · a · c, siis b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.
Kõige sagedamini rakendatakse praktikas Vieta teoreemi vormi taandatud ruutvõrrandile x 2 + p x + q = 0, kus juhtiv koefitsient a on võrdne 1-ga. Sellega seoses on Vieta teoreem sõnastatud spetsiaalselt seda tüüpi võrrandite jaoks. See ei piira üldistust, kuna iga ruutvõrrandi saab asendada samaväärse võrrandiga. Selleks peate jagama selle mõlemad osad arvuga, mis erineb nullist.
Anname Vieta teoreemi veel ühe sõnastuse.
2. teoreem
Juurte summa antud ruutvõrrandis x 2 + p x + q = 0 võrdub koefitsiendiga x, mis võetakse vastupidise märgiga, võrdub juurte korrutis vaba liikmega, s.t. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.
Teoreem on vastupidine Vieta teoreemile
Kui vaatate hoolikalt Vieta teoreemi teist sõnastust, näete seda juurte puhul x 1 Ja x 2 redutseeritud ruutvõrrand x 2 + p x + q = 0 kehtivad järgmised seosed: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Nendest seostest x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q järeldub, et x 1 Ja x 2 on ruutvõrrandi juured x 2 + p x + q = 0. Nii jõuame väiteni, mis on Vieta teoreemi vastupidine.
Nüüd teeme ettepaneku sõnastada see väide teoreemina ja teostada selle tõestamine.
3. teoreem
Kui numbrid x 1 Ja x 2 on sellised x 1 + x 2 = − p Ja x 1 x 2 = q, See x 1 Ja x 2 on taandatud ruutvõrrandi juured x 2 + p x + q = 0.
Tõendid 2
Koefitsientide asendamine lk Ja q nende väljendusele läbi x 1 Ja x 2 võimaldab võrrandit teisendada x 2 + p x + q = 0 ekvivalendiks .
Kui asendame arvu saadud võrrandiga x 1 selle asemel x, siis saame võrdsuse x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. See on kõigi jaoks võrdsus x 1 Ja x 2 muutub tõeliseks arvuliseks võrdsuseks 0 = 0 , sest x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. See tähendab et x 1- võrrandi juur x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Mis siis x 1 on ka samaväärse võrrandi juur x 2 + p x + q = 0.
Asendamine võrrandisse x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numbrid x 2 x asemel võimaldab meil saada võrdsuse x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Seda võrdsust võib pidada tõeseks, kuna x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Selgub, et x 2 on võrrandi juur x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, ja sellest ka võrrandid x 2 + p x + q = 0.
Vieta teoreemi pöörd on tõestatud.
Näiteid Vieta teoreemi kasutamisest
Hakkame nüüd analüüsima selle teema kõige tüüpilisemaid näiteid. Alustuseks analüüsime probleeme, mis nõuavad teoreemi pöördvõrdelist rakendamist Vieta teoreemile. Seda saab kasutada arvutustega saadud arvude kontrollimiseks, et näha, kas need on antud ruutvõrrandi juured. Selleks tuleb arvutada nende summa ja vahe ning seejärel kontrollida seoste x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c kehtivust.
Mõlema seose täitumine näitab, et arvutuste käigus saadud arvud on võrrandi juured. Kui näeme, et vähemalt üks tingimus ei ole täidetud, siis ei saa need arvud olla ülesandepüstituses toodud ruutvõrrandi juurteks.
Näide 1
Milline arvupaaridest 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 või 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 või 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 on ruutvõrrandi juurte paar 4 x 2 – 16 x + 9 = 0?
Lahendus
Leiame ruutvõrrandi koefitsiendid 4 x 2 – 16 x + 9 = 0. See on a = 4, b = −16, c = 9. Vieta teoreemi järgi peab ruutvõrrandi juurte summa olema võrdne - b a, see on, 16 4 = 4 , ja juurte korrutis peab olema võrdne c a, see on, 9 4 .
Kontrollime saadud arve, arvutades kolmest etteantud paarist arvude summa ja korrutise ning võrdleme neid saadud väärtustega.
Esimesel juhul x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. See väärtus erineb 4-st, seetõttu pole kontrollimist vaja jätkata. Vieta teoreemile vastupidise teoreemi kohaselt võime kohe järeldada, et esimene arvupaar ei ole selle ruutvõrrandi juur.
Teisel juhul x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Näeme, et esimene tingimus on täidetud. Kuid teine tingimus ei ole: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Saadud väärtus erineb 9 4 . See tähendab, et teine arvupaar ei ole ruutvõrrandi juured.
Vaatleme kolmandat paari. Siin on x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 ja x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Mõlemad tingimused on täidetud, mis tähendab, et x 1 Ja x 2 on antud ruutvõrrandi juured.
Vastus: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2
Ruutvõrrandi juurte leidmiseks saame kasutada ka Vieta teoreemi pöördviisi. Lihtsaim viis on valida antud ruutvõrrandite täisarvude juured täisarvu koefitsientidega. Võib kaaluda ka muid võimalusi. Kuid see võib arvutusi oluliselt keerulisemaks muuta.
Juurte valimiseks kasutame asjaolu, et kui kahe arvu summa on võrdne ruutvõrrandi teise koefitsiendiga, mis on võetud miinusmärgiga, ja nende arvude korrutis on võrdne vaba liikmega, siis on need arvud selle ruutvõrrandi juured.
Näide 2
Näitena kasutame ruutvõrrandit x 2 – 5 x + 6 = 0. Numbrid x 1 Ja x 2 võib olla selle võrrandi juurteks, kui kaks võrdsust on täidetud x 1 + x 2 = 5 Ja x 1 x 2 = 6. Valime need numbrid. Need on numbrid 2 ja 3, kuna 2 + 3 = 5 Ja 2 3 = 6. Selgub, et 2 ja 3 on selle ruutvõrrandi juured.
Vieta teoreemi pöördviisi saab kasutada teise juure leidmiseks, kui esimene on teada või ilmne. Selleks saame kasutada seoseid x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.
Näide 3
Mõelge ruutvõrrandile 512 x 2 - 509 x - 3 = 0. On vaja leida selle võrrandi juured.
Lahendus
Võrrandi esimene juur on 1, kuna selle ruutvõrrandi kordajate summa on null. Selgub, et x 1 = 1.
Nüüd leiame teise juure. Selleks saate kasutada seost x 1 x 2 = c a. Selgub, et 1 x 2 = – 3512, kus x 2 = -3512.
Vastus:ülesande püstituses määratud ruutvõrrandi juured 1 Ja - 3 512 .
Juurte valimine Vieta teoreemi vastupidise teoreemi abil on võimalik ainult lihtsatel juhtudel. Muudel juhtudel on parem otsida ruutvõrrandi juurte valemit kasutades diskriminandi.
Tänu Vieta teoreemi pöördele saame ruutvõrrandid konstrueerida ka olemasolevate juurte abil x 1 Ja x 2. Selleks peame arvutama juurte summa, mis annab koefitsiendi for x antud ruutvõrrandi vastasmärgiga ja juurte korrutis, mis annab vaba liikme.
Näide 4
Kirjutage ruutvõrrand, mille juurteks on arvud − 11 Ja 23 .
Lahendus
Oletame, et x 1 = −11 Ja x 2 = 23. Nende arvude summa ja korrutis on võrdsed: x 1 + x 2 = 12 Ja x 1 x 2 = – 253. See tähendab, et teine koefitsient on 12, vaba liige − 253.
Teeme võrrandi: x 2 - 12 x - 253 = 0.
Vastus: x 2 - 12 x - 253 = 0 .
Saame kasutada Vieta teoreemi ülesannete lahendamiseks, mis hõlmavad ruutvõrrandite juurte märke. Seos Vieta teoreemi vahel on seotud taandatud ruutvõrrandi juurte märkidega x 2 + p x + q = 0 järgmisel viisil:
- kui ruutvõrrandil on reaaljuured ja kui lõikeliikmel q on positiivne arv, siis on neil juurtel sama märk “+” või “-”;
- kui ruutvõrrandil on juured ja kui lõikeliikmel q on negatiivne arv, siis on üks juur "+" ja teine "-".
Mõlemad väited on valemi tagajärg x 1 x 2 = q ja reeglid positiivsete ja negatiivsete arvude, samuti erineva märgiga arvude korrutamiseks.
Näide 5
Kas ruutvõrrandi juured x 2 - 64 x - 21 = 0 positiivne?
Lahendus
Vieta teoreemi kohaselt ei saa selle võrrandi juured mõlemad olla positiivsed, kuna need peavad rahuldama võrdsust x 1 x 2 = – 21. Positiivsega on see võimatu x 1 Ja x 2.
Vastus: Ei
Näide 6
Milliste parameetrite väärtustel r ruutvõrrand x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 on kaks erineva märgiga pärisjuurt.
Lahendus
Alustame selle väärtuste leidmisega r, mille võrrandil on kaks juurt. Leiame diskrimineerija ja vaatame, milles r see võtab positiivseid väärtusi. D = (r + 2) 2 - 4 1 (r - 1) = r 2 + 4 r + 4 - 4 r + 4 = r 2 + 8. Väljendi väärtus r 2 + 8 positiivne iga tõelise jaoks r, seega on diskriminant iga reaalarvu puhul suurem kui null r. See tähendab, et algsel ruutvõrrandil on parameetri mis tahes tegelike väärtuste jaoks kaks juurt r.
Nüüd vaatame, millal on juurtel erinevad märgid. See on võimalik, kui nende toode on negatiivne. Vieta teoreemi järgi on taandatud ruutvõrrandi juurte korrutis võrdne vaba liikmega. See tähendab, et õige lahendus on need väärtused r, mille vaba liige r − 1 on negatiivne. Lahendame lineaarse võrratuse r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Vastus: aadressil r< 1 .
Vieta valemid
On mitmeid valemeid, mida saab kasutada mitte ainult ruut-, vaid ka kuup- ja muud tüüpi võrrandite juurte ja koefitsientidega toimingute tegemiseks. Neid nimetatakse Vieta valemiteks.
Kraadi algebralise võrrandi jaoks n kujul a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 arvatakse, et võrrand on olemas n tõelised juured x 1 , x 2 , … , x n, mille hulgas võivad olla samad:
x 1 + x 2 + x 3 +. . . + x n = - a 1 a 0, x 1 · x 2 + x 1 × 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0, x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 × 4 +. . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Definitsioon 1
Vieta valemid aitavad meil saada:
- teoreem polünoomi lagundamisest lineaarseteks teguriteks;
- võrdsete polünoomide määramine kõigi neile vastavate koefitsientide võrdsuse kaudu.
Seega polünoom a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n ja selle laiendamine lineaarseteks teguriteks kujul a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) on võrdsed.
Kui avame viimases korrutis olevad sulud ja võrdsustame vastavad koefitsiendid, saame Vieta valemid. Võttes n = 2, saame ruutvõrrandi Vieta valemi: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
2. definitsioon
Vieta valem kuupvõrrandi jaoks:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Vieta valemi vasak pool sisaldab nn elementaarseid sümmeetrilisi polünoome.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Mis tahes täielik ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 võib meelde tuletada x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, kui jagate kõigepealt iga liikme koefitsiendiga a enne x 2. Ja kui võtame kasutusele uued tähistused (b/a) = p Ja (c/a) = q, siis saame võrrandi x 2 + pikslit + q = 0, mida matemaatikas nimetatakse antud ruutvõrrand.
Redutseeritud ruutvõrrandi ja koefitsientide juured lk Ja q omavahel ühendatud. See on kinnitatud Vieta teoreem, mis sai nime 16. sajandi lõpus elanud prantsuse matemaatiku Francois Vieta järgi.
Teoreem. Redutseeritud ruutvõrrandi juurte summa x 2 + pikslit + q = 0 võrdne teise koefitsiendiga lk, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis - vabale terminile q.
Kirjutame need seosed järgmisel kujul:
Lase x 1 Ja x 2 antud võrrandi erinevad juured x 2 + pikslit + q = 0. Vastavalt Vieta teoreemile x 1 + x 2 = -p Ja x 1 x 2 = q.
Selle tõestamiseks asendame võrrandis mõlemad juured x 1 ja x 2. Saame kaks tõelist võrdsust:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Lahutame esimesest võrdsusest teise. Saame: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Laiendame kahte esimest terminit ruutude erinevuse valemi abil:
(x 1 – x 2) (x 1 – x 2) + p (x 1 – x 2) = 0
Tingimuse järgi on juured x 1 ja x 2 erinevad. Seetõttu saame taandada võrdsuse väärtuseks (x 1 – x 2) ≠ 0 ja väljendada p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Esimene võrdsus on tõestatud.
Teise võrdsuse tõestamiseks asendame esimese võrrandiga
x 1 2 + px 1 + q = 0 koefitsiendi p asemel on võrdne arv (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Teisendades võrrandi vasakut külge, saame:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, mida oli vaja tõestada.
Vieta teoreem on hea, sest Isegi ruutvõrrandi juuri teadmata saame arvutada nende summa ja korrutise .
Vieta teoreem aitab määrata antud ruutvõrrandi täisarvu juured. Kuid paljudele õpilastele tekitab see raskusi, kuna nad ei tea selget tegevusalgoritmi, eriti kui võrrandi juurtel on erinevad märgid.
Seega on ülaltoodud ruutvõrrandi kuju x 2 + px + q = 0, kus x 1 ja x 2 on selle juured. Vieta teoreemi järgi x 1 + x 2 = -p ja x 1 x 2 = q.
Sellest võib teha järgmise järelduse.
Kui võrrandi viimasele liikmele eelneb miinusmärk, siis on juurtel x 1 ja x 2 erinevad märgid. Lisaks kattub väiksema juure märk võrrandi teise koefitsiendi märgiga.
Lähtudes sellest, et erinevate märkidega arvude liitmisel lahutatakse nende moodulid ja saadud tulemusele eelneb suurema moodulinumbri märk, tuleks toimida järgmiselt:
- määrata arvu q tegurid nii, et nende vahe on võrdne arvuga p;
- pane saadud arvudest väiksema ette võrrandi teise kordaja märk; teisel juurel on vastupidine märk.
Vaatame mõnda näidet.
Näide 1.
Lahendage võrrand x 2 – 2x – 15 = 0.
Lahendus.
Proovime seda võrrandit lahendada ülaltoodud reeglite abil. Siis võime kindlalt väita, et sellel võrrandil on kaks erinevat juurt, sest D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Nüüd valime kõigi arvu 15 tegurite (1 ja 15, 3 ja 5) hulgast need, mille vahe on 2. Nendeks saavad numbrid 3 ja 5. Väiksema arvu ette paneme miinusmärgi, s.t. võrrandi teise kordaja märk. Seega saame võrrandi x 1 = -3 ja x 2 = 5 juured.
Vastus. x 1 = -3 ja x 2 = 5.
Näide 2.
Lahendage võrrand x 2 + 5x – 6 = 0.
Lahendus.
Kontrollime, kas sellel võrrandil on juured. Selleks leiame diskrimineeriva teguri:
D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Võrrandil on kaks erinevat juurt.
Arvu 6 võimalikud tegurid on 2 ja 3, 6 ja 1. Paari 6 ja 1 erinevus on 5. Selles näites on teise liikme koefitsient plussmärgiga, nii et väiksemal arvul on sama märk . Kuid enne teist numbrit on miinusmärk.
Vastus: x 1 = -6 ja x 2 = 1.
Vieta teoreemi saab kirjutada ka täieliku ruutvõrrandi jaoks. Niisiis, kui ruutvõrrand ax 2 + bx + c = 0 on juured x 1 ja x 2, siis võrdsused kehtivad nende kohta
x 1 + x 2 = -(b/a) Ja x 1 x 2 = (c/a). Selle teoreemi rakendamine täielikus ruutvõrrandis on aga üsna problemaatiline, sest juurte olemasolul on vähemalt üks neist murdarv. Ja fraktsioonide valimisega töötamine on üsna keeruline. Kuid ikkagi on väljapääs.
Vaatleme täielikku ruutvõrrandit ax 2 + bx + c = 0. Korrutage selle vasak ja parem külg koefitsiendiga a. Võrrand saab kujul (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Nüüd võtame kasutusele uue muutuja, näiteks t = ax.
Sel juhul muutub saadud võrrand redutseeritud ruutvõrrandiks kujul t 2 + bt + ac = 0, mille juured t 1 ja t 2 (kui neid on) saab määrata Vieta teoreemiga.
Sel juhul on algse ruutvõrrandi juured
x 1 = (t 1 / a) ja x 2 = (t 2 / a).
Näide 3.
Lahendage võrrand 15x 2 – 11x + 2 = 0.
Lahendus.
Koostame abivõrrandi. Korrutame võrrandi iga liikme 15-ga:
15 2 x 2 – 11 15 x + 15 2 = 0.
Teeme asendus t = 15x. Meil on:
t 2 – 11t + 30 = 0.
Vieta teoreemi kohaselt on selle võrrandi juured t 1 = 5 ja t 2 = 6.
Pöördume tagasi asendusse t = 15x:
5 = 15x või 6 = 15x. Seega x 1 = 5/15 ja x 2 = 6/15. Vähendame ja saame lõpliku vastuse: x 1 = 1/3 ja x 2 = 2/5.
Vastus. x 1 = 1/3 ja x 2 = 2/5.
Ruutvõrrandite lahendamise valdamiseks Vieta teoreemi abil peavad õpilased harjutama nii palju kui võimalik. See on täpselt edu saladus.
veebilehel, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.