Käesolevas artiklis vaatleme üksikasjalikult matemaatikakursuse nii olulise teema põhireegleid nagu avasulud. Peate teadma sulgude avamise reegleid, et õigesti lahendada võrrandeid, milles neid kasutatakse.
Kuidas sulgude lisamisel õigesti avada
Laiendage sulgusid, millele eelneb „+” märk
See on kõige lihtsam juhtum, sest kui sulgude ees on lisamärk, siis nende sees olevad märgid sulgude avamisel ei muutu. Näide:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Kuidas laiendada sulgusid, millele eelneb märk "-".
Sel juhul peate kõik terminid ilma sulgudeta ümber kirjutama, kuid samal ajal muutma kõik nende sees olevad märgid vastupidisteks. Märgid muutuvad ainult nende sulgude terminite puhul, millele eelnes märk “-”. Näide:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Kuidas korrutamisel sulgusid avada
Sulgude ees on kordaja number
Sel juhul peate iga termini korrutama teguriga ja avama sulud ilma märke muutmata. Kui kordajal on märk “-”, siis korrutamise ajal muudetakse liikmete märgid ümber. Näide:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Kuidas avada kaks sulgu, mille vahel on korrutusmärk
Sel juhul peate korrutama iga esimestest sulgudest pärit termini iga teise sulgudes oleva terminiga ja seejärel liitma tulemused. Näide:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Kuidas ruudus sulgusid avada
Kui kahe liikme summa või erinevus on ruudus, tuleb sulud avada järgmise valemi järgi:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Sulgudes oleva miinuse korral valem ei muutu. Näide:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Kuidas sulgusid teisel määral laiendada
Kui terminite summat või erinevust tõstetakse näiteks 3. või 4. astmeni, tuleb sulu võimsus lihtsalt “ruutudeks” jagada. Liidatakse identsete tegurite astmed ja jagamisel lahutatakse dividendi astmest jagaja võimsus. Näide:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
Kuidas avada 3 sulgu
On võrrandeid, milles 3 sulgu korrutatakse korraga. Sel juhul peate esmalt korrutama kahe esimese sulu liikmed ja seejärel korrutama selle korrutise summa kolmanda sulu liikmetega. Näide:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Need sulgude avamise reeglid kehtivad võrdselt nii lineaarsete kui ka trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel.
Sulgude laiendamine on avaldise teisenduse tüüp. Selles jaotises kirjeldame sulgude avamise reegleid ja vaatame ka levinumaid probleemide näiteid.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mis on avasulud?
Sulgudes näidatakse tegevuste järjekorda numbrilistes, sõnasõnalistes ja muutuvates avaldistes. Sulgudega avaldiselt on mugav liikuda identselt võrdsele ilma sulgudeta avaldisele. Näiteks asendage avaldis 2 · (3 + 4) vormi avaldisega 2 3 + 2 4 ilma sulgudeta. Seda tehnikat nimetatakse avamissulgudeks.
Definitsioon 1
Sulgude laiendamine viitab sulgudest vabanemise tehnikatele ja seda peetakse tavaliselt seoses väljenditega, mis võivad sisaldada:
- märke "+" või "-" enne sulgusid, mis sisaldavad summasid või erinevusi;
- numbri, tähe või mitme tähe ja summa või vahe korrutis, mis pannakse sulgudesse.
Nii oleme harjunud nägema kooli õppekavas sulgude avamise protsessi. Kuid keegi ei keela meil seda tegevust laiemalt vaadata. Sulgude avamist võime nimetada üleminekuks avaldiselt, mis sisaldab sulgudes negatiivseid numbreid, avaldisele, millel pole sulgusid. Näiteks võime minna 5 + (− 3) − (− 7) väärtuseni 5 − 3 + 7. Tegelikult on see ka sulgude avamine.
Samamoodi saame vormi (a + b) · (c + d) sulgudes olevate avaldiste korrutise asendada summaga a · c + a · d + b · c + b · d. See tehnika ei ole vastuolus ka avasulgude tähendusega.
Siin on veel üks näide. Võib eeldada, et avaldistes saab arvude ja muutujate asemel kasutada mis tahes avaldisi. Näiteks avaldis x 2 · 1 a - x + sin (b) vastab avaldisele ilma sulgudeta kujul x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b).
Eraldi tähelepanu väärib veel üks punkt, mis puudutab sulgude avamisel tehtud otsuste salvestamise iseärasusi. Algavaldise saame kirjutada sulgudega ja pärast sulgude avamist saadud tulemuse võrrandiks. Näiteks pärast sulgude laiendamist avaldise asemel 3 − (5 − 7) saame väljendi 3 − 5 + 7 . Mõlemad avaldised saame kirjutada võrdsusena 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7.
Tülikate väljenditega toimingute sooritamine võib nõuda vahetulemuste salvestamist. Siis on lahendus võrdsuste ahela kujul. Näiteks, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 või 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Sulgude avamise reeglid, näited
Hakkame tutvuma sulgude avamise reeglitega.
Üksikute numbrite jaoks sulgudes
Sulgudes olevaid negatiivseid numbreid leidub sageli avaldistes. Näiteks (− 4) ja 3 + (− 4) . Ka sulgudes olevatele positiivsetele numbritele on oma koht.
Sõnastame üksikuid positiivseid arve sisaldavate sulgude avamise reegli. Oletame, et a on mis tahes positiivne arv. Siis saame (a) asendada a-ga, + (a) + a-ga, - (a) – a-ga. Kui a asemel võtame kindla arvu, siis vastavalt reeglile: arv (5) kirjutatakse kujul 5 , avaldis 3 + (5) ilma sulgudeta võtab kuju 3 + 5 , kuna + (5) on asendatud tähega + 5 , ja avaldis 3 + (− 5) on samaväärne avaldisega 3 − 5 , sest + (− 5) asendatakse − 5 .
Positiivsed numbrid kirjutatakse tavaliselt ilma sulgudeta, kuna sel juhul pole sulgusid vaja.
Nüüd kaaluge ühte negatiivset arvu sisaldavate sulgude avamise reeglit. + (− a) asendame sellega − a, − (− a) asendatakse + a-ga. Kui avaldis algab negatiivse arvuga (-a), mis on kirjutatud sulgudes, siis jäetakse sulud välja ja selle asemel (-a) jäänused − a.
siin on mõned näidised: (− 5) saab kirjutada kui − 5, (− 3) + 0, 5 saab − 3 + 0, 5, 4 + (− 3) 4 − 3 , ja − (− 4) − (− 3) on pärast avamist sulud kujul 4 + 3, kuna − (− 4) ja − (− 3) asendatakse + 4 ja + 3 .
Tuleb mõista, et avaldist 3 · (− 5) ei saa kirjutada kui 3 · − 5. Seda arutatakse järgmistes lõikudes.
Vaatame, millel põhinevad sulgude avamise reeglid.
Reegli järgi on vahe a − b võrdne a + (− b) . Arvudega tegevuste omaduste põhjal saame luua võrdsuste ahela (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a mis saab olema õiglane. See võrdsuste ahel tõestab lahutamise tähenduse tõttu, et avaldis a + (− b) on erinevus a-b.
Lähtudes vastandarvude omadustest ja negatiivsete arvude lahutamise reeglitest, saame väita, et − (− a) = a, a − (− b) = a + b.
On avaldisi, mis koosnevad arvust, miinusmärkidest ja mitmest sulgude paarist. Ülaltoodud reeglite kasutamine võimaldab teil järjestikku vabaneda sulgudest, liikudes sisemistest sulgudest välimistele või vastupidises suunas. Sellise avaldise näide oleks − (− ((− (5)))) . Avame sulgud, liikudes seest väljapoole: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Seda näidet saab analüüsida ka vastupidises suunas: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Under a ja b võib mõista mitte ainult numbreid, vaid ka suvalisi numbrilisi või tähestikulisi avaldisi, mille ees on "+" märk, mis ei ole summad ega erinevused. Kõigil neil juhtudel saate reegleid rakendada samamoodi nagu me tegime sulgudes olevate üksikute numbrite puhul.
Näiteks pärast sulgude avamist avaldis − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) saab kujul 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z . Kuidas me seda tegime? Teame, et − (− 2 x) on + 2 x ja kuna see avaldis on esimene, siis + 2 x saab kirjutada kui 2 x, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x ja − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
Kahe numbri toodetes
Alustame sulgude avamise reeglist kahe arvu korrutis.
Teeskleme seda a ja b on kaks positiivset arvu. Sel juhul kahe negatiivse arvu korrutis − a ja − b kujul (− a) · (− b) saame asendada (a · b) , ja kahe arvu korrutised vormi (− a) · b ja a · (− b) vastasmärkidega. saab asendada (− a b). Miinuse korrutamine miinusega annab plussi ja miinuse korrutamine plussiga, nagu pluss miinusega, annab miinuse.
Kirjutatud reegli esimese osa õigsust kinnitab negatiivsete arvude korrutamise reegel. Reegli teise osa kinnitamiseks saame kasutada erinevate märkidega arvude korrutamise reegleid.
Vaatame mõnda näidet.
Näide 1
Vaatleme algoritmi sulgude avamiseks kahe negatiivse arvu korrutises - 4 3 5 ja - 2, kujul (- 2) · - 4 3 5. Selleks asenda algne avaldis 2 · 4 3 5-ga. Avame sulud ja saame 2 · 4 3 5 .
Ja kui võtta negatiivsete arvude jagatis (− 4) : (− 2), näeb kanne pärast sulgude avamist välja selline 4: 2
Negatiivsete arvude asemel − a ja − b võivad olla mis tahes avaldised, mille ees on miinus ja mis ei ole summad ega erinevused. Näiteks võivad need olla korrutised, jagatised, murrud, astmed, juured, logaritmid, trigonomeetrilised funktsioonid jne.
Avame sulud avaldises - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Reegli järgi saame teha järgmisi teisendusi: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
Väljendus (− 3) 2 saab teisendada avaldisesse (− 3 2) . Pärast seda saate sulgusid laiendada: – 32.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Erinevate märkidega numbrite jagamine võib nõuda ka sulgude esialgset laiendamist: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 ja 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Reegli abil saab sooritada erinevate märkidega avaldiste korrutamist ja jagamist. Toome kaks näidet.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2
Kolme või enama numbriga toodetes
Liigume edasi korrutistele ja jagatistele, mis sisaldavad suuremat arvu arve. Sulgude avamiseks kehtib siin järgmine reegel. Kui negatiivseid arve on paarisarv, võite sulud välja jätta ja asendada numbrid nende vastanditega. Pärast seda peate lisama saadud avaldise uutesse sulgudesse. Kui negatiivseid arve on paaritu arv, jätke sulud välja ja asendage numbrid nende vastanditega. Pärast seda tuleb saadud avaldis panna uutesse sulgudesse ja selle ette miinusmärk.
Näide 2
Näiteks võtame avaldise 5 · (− 3) · (− 2) , mis on kolme arvu korrutis. Negatiivseid arvusid on kaks, seetõttu saame avaldise kirjutada kujul (5 · 3 · 2) ja seejärel lõpuks avage sulud, saades avaldise 5 · 3 · 2.
Korrutis (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) viis arvu on negatiivsed. seega (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Olles lõpuks sulgud avanud, saame −2,5 3:2 4:1,25:1.
Ülaltoodud reeglit saab põhjendada järgmiselt. Esiteks saame sellised avaldised korrutisena ümber kirjutada, asendades jagamise korrutamisega pöördarvuga. Esitame iga negatiivse arvu korrutusarvu korrutisena ja - 1 või - 1 asendatakse arvuga (− 1) a.
Kasutades korrutamise kommutatiivset omadust, vahetame tegurid ja kanname kõik tegurid võrdseks − 1 , väljendi algusesse. Paarisarvu miinus üks korrutis on võrdne 1-ga ja paaritu arvu korrutis on võrdne − 1 , mis võimaldab meil kasutada miinusmärki.
Kui me reeglit ei kasutaks, näeks toiminguahel sulgude avamiseks avaldises - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 välja selline:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1) ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Ülaltoodud reeglit saab kasutada sulgude avamisel avaldistes, mis esindavad miinusmärgiga korrutisi ja jagatisi, mis ei ole summad ega erinevused. Võtame näiteks väljendi
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
Seda saab taandada avaldisele ilma sulgudeta x 2 · x: 1 x · x - 3: 2.
Laienevad sulgud, millele eelneb + märk
Mõelge reeglile, mida saab rakendada sulgude laiendamiseks, millele eelneb plussmärk, ja nende sulgude sisu ei korrutata ega jagata ühegi arvu või avaldisega.
Reegli järgi jäetakse sulud koos nende ees oleva märgiga ära, samas kui sulgudes olevate terminite märgid jäetakse alles. Kui sulgudes ei ole märki enne esimest terminit, peate panema plussmärgi.
Näide 3
Näiteks anname väljendi (12 − 3 , 5) − 7 . Sulgude ärajätmisel jätame terminite märgid sulgudesse ja paneme esimese liikme ette plussmärgi. Kirje näeb välja selline (12 - 3, 5) - 7 = + 12 - 3, 5 - 7. Toodud näites ei ole vaja panna märki esimese liikme ette, kuna + 12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7.
Näide 4
Vaatame teist näidet. Võtame avaldise x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x ja teeme sellega toimingud x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Siin on veel üks näide sulgude laiendamisest:
Näide 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Kuidas laiendatakse sulgusid, mille ees on miinusmärk?
Vaatleme juhtumeid, kus sulgude ees on miinusmärk ja mida ei korruta (ega jagata) ühegi arvu või avaldisega. Vastavalt “-” märgiga eelnenud sulgude avamise reeglile jäetakse “-” märgiga sulud välja ja kõigi sulgudes olevate terminite märgid pööratakse ümber.
Näide 6
Nt:
1 2 = 1 2, - 1 x + 1 = - 1 x + 1, - (- x 2) = x 2
Muutujatega avaldisi saab teisendada sama reegli abil:
X + x 3 - 3 - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
saame x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 .
Sulgude avamine arvu korrutamisel sulguga, avaldised suludega
Siin vaatleme juhtumeid, kus peate laiendama sulgusid, mis on korrutatud või jagatud mõne arvu või avaldisega. Valemid kujul (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) või b · (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · a n), Kus a 1 , a 2 , … , a n ja b on mõned arvud või avaldised.
Näide 7
Näiteks laiendame avaldises olevaid sulgusid (3–7) 2. Reegli järgi saame teostada järgmisi teisendusi: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . Saame 3 · 2 - 7 · 2 .
Avades avaldises 3 x 2 1 - x + 1 x + 2 sulgud, saame 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.
Sulgude korrutamine sulgudega
Vaatleme vormi (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) kahe sulu korrutist. See aitab meil saada sulgude kaupa korrutamisel sulgude avamise reegli.
Toodud näite lahendamiseks tähistame avaldist (b 1 + b 2) nagu b. See võimaldab meil kasutada sulgu avaldisega korrutamise reeglit. Saame (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b. Tehes pöördasenduse b võrra (b 1 + b 2), rakendage uuesti reeglit avaldise korrutamiseks suuga: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Tänu mitmele lihtsale tehnikale saame esimese sulu iga termini korrutiste summani iga teise sulu termini kaupa. Reegli saab laiendada suvalisele arvule terminitele sulgudes.
Sõnastame sulgude korrutamise reeglid: kahe summa korrutamiseks peate korrutama kõik esimese summa liikmed teise summa iga liikmega ja liitma tulemused.
Valem näeb välja selline:
(a 1 + a 2 + . . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
Laiendame sulgusid avaldises (1 + x) · (x 2 + x + 6) See on kahe summa korrutis. Kirjutame lahenduse: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Eraldi tasub mainida neid juhtumeid, kus plussmärkide kõrval on sulgudes miinusmärk. Näiteks võtame avaldise (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .
Esmalt esitame sulgudes olevad avaldised summadena: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Nüüd saame rakendada reeglit: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Avame sulud: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Sulgude laiendamine mitme sulgude ja avaldiste korrutistes
Kui avaldises on sulgudes kolm või enam väljendit, tuleb sulud avada järjest. Te peate alustama teisendust, pannes kaks esimest tegurit sulgudesse. Nendes sulgudes saame teostada teisendusi vastavalt ülalkirjeldatud reeglitele. Näiteks sulud avaldises (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) .
Avaldis sisaldab korraga kolme tegurit (2 + 4) , 3 ja (5 + 7 8) . Avame sulgud järjestikku. Lisame kaks esimest tegurit teise sulgu, mille muudame selguse huvides punaseks: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Vastavalt sulu arvuga korrutamise reeglile saame läbi viia järgmised toimingud: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Korrutage sulgude kaupa: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Sulg mitterahaline
Kraade, mille aluseks on mõned sulgudes kirjutatud avaldised, koos naturaalastendajatega, võib lugeda mitme sulu korrutiseks. Veelgi enam, kahe eelmise lõigu reeglite kohaselt saab need kirjutada ilma nende sulgudeta.
Mõelge avaldise teisendamise protsessile (a + b + c) 2 . Seda saab kirjutada kahe sulu korrutisena (a + b + c) · (a + b + c). Korrutame sulud sulgude kaupa ja saame a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c.
Vaatame teist näidet:
Näide 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Sulgude jagamine arvuga ja sulgude jagamine sulgudega
Sulu arvuga jagamine eeldab, et kõik sulgudes olevad terminid jagatakse arvuga. Näiteks (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Jagamise saab esmalt asendada korrutamisega, misjärel saab vastavat reeglit korrutis sulgude avamiseks kasutada. Sama reegel kehtib ka sulgude jagamisel suludega.
Näiteks peame avaldises (x + 2) avama sulud: 2 3 . Selleks asendage esmalt jagamine, korrutades pöördarvuga (x + 2): 2 3 = (x + 2) · 2 3. Korrutage sulg arvuga (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 .
Siin on veel üks näide sulgude järgi jagamisest:
Näide 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Asendame jagamise korrutisega: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Korrutame: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Avamissulgude järjekord
Vaatleme nüüd ülalpool käsitletud reeglite rakendamise järjekorda üldistes väljendites, s.t. avaldistes, mis sisaldavad summasid erinevustega, korrutisi jagatistega, sulgusid loomulikul määral.
Menetlus:
- esimene samm on tõsta sulgud loomulikule jõule;
- teises etapis tehakse sulgude avamine teostes ja jagatistes;
- Viimane samm on summade ja erinevuste sulgude avamine.
Vaatleme toimingute järjekorda avaldise (− 5) + 3 · (− 2) näitel: (− 4) − 6 · (− 7) . Teisendame avaldistest 3 · (− 2) : (− 4) ja 6 · (− 7) , mis peaksid võtma kuju (3 2:4) ja (− 6 · 7) . Saadud tulemuste asendamisel algse avaldisega saame: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Avage sulgud: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Kui käsitleda väljendeid, mis sisaldavad sulgudes sulgudes, on mugav teisendusi läbi viia seestpoolt väljapoole töötades.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Eelmises tunnis käsitlesime faktoriseerimist. Õppisime kahte meetodit: ühisteguri sulgudest välja panemine ja rühmitamine. Selles õppetükis - järgmine võimas meetod: lühendatud korrutusvalemid. Lühidalt - FSU.
Lühendatud korrutusvalemid (summa- ja vaheruut, summa- ja vahekuubik, ruutude vahe, kuubikute summa ja vahe) on äärmiselt vajalikud matemaatika kõigis harudes. Neid kasutatakse avaldiste lihtsustamisel, võrrandite lahendamisel, polünoomide korrutamisel, murdude vähendamisel, integraalide lahendamisel jne. ja nii edasi. Ühesõnaga, nendega tegelemiseks on põhjust. Saate aru, kust need tulevad, miks neid vaja on, kuidas neid meeles pidada ja kuidas neid rakendada.
Kas me saame aru?)
Kust tulevad lühendatud korrutusvalemid?
Võrdused 6 ja 7 ei ole kirjutatud väga tuttaval viisil. See on justkui vastupidine. See on meelega.) Igasugune võrdsus toimib nii vasakult paremale kui ka paremalt vasakule. See kirje teeb selgemaks, kust FSU-d pärinevad.
Need on võetud korrutamisest.) Näiteks:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
See on kõik, ei mingeid teaduslikke trikke. Lihtsalt korrutame sulud ja anname sarnased. Nii see selgub kõik lühendatud korrutusvalemid. Lühendatult korrutamine on sellepärast, et valemites endis sulgude korrutamist ja sarnaste vähendamist pole. Lühendatult.) Tulemus antakse kohe.
FSU-d tuleb peast tunda. Ilma esimese kolmeta ei saa unistada C-st; ilma ülejäänuteta ei saa unistada B-st ega A-st.)
Miks me vajame lühendatud korrutusvalemeid?
Nende valemite õppimiseks ja isegi meeldejätmiseks on kaks põhjust. Esimene on see, et valmis vastus vähendab automaatselt vigade arvu. Kuid see pole peamine põhjus. Aga teine...
Kui teile meeldib see sait...
Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)
Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õpime - huviga!)
Saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.
Sulgude põhifunktsioon on väärtuste arvutamisel toimingute järjekorra muutmine. Näiteks, arvulises avaldises \(5·3+7\) arvutatakse kõigepealt korrutis ja seejärel liitmine: \(5·3+7 =15+7=22\). Kuid avaldises \(5·(3+7)\) arvutatakse esmalt sulgudes olev liitmine ja alles seejärel korrutamine: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Näide.
Laiendage klambrit: \(-(4m+3)\).
Lahendus
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Näide.
Avage sulg ja sisestage sarnased terminid \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Lahendus
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Näide.
Laiendage sulud \(5(3-x)\).
Lahendus
: Sulgudes on \(3\) ja \(-x\) ning sulgu ees on viis. See tähendab, et iga klambri liige korrutatakse arvuga \(5\) – tuletan teile seda meelde Arvu ja sulu vahelist korrutamismärki matemaatikas kirjete suuruse vähendamiseks ei kirjutata.
Näide.
Laiendage sulud \(-2(-3x+5)\).
Lahendus
: Nagu eelmises näites, korrutatakse sulgudes olevad \(-3x\) ja \(5\) arvuga \(-2\).
Näide.
Lihtsusta avaldist: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Lahendus
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Jääb üle mõelda viimast olukorda.
Sulu korrutamisel suuga korrutatakse iga esimese sulu liige teise iga liikmega:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Näide.
Laiendage sulud \((2-x)(3x-1)\).
Lahendus
: Meil on sulgude toode ja seda saab ülaltoodud valemi abil kohe laiendada. Kuid selleks, et mitte segadusse sattuda, teeme kõike samm-sammult.
1. samm. Eemaldage esimene sulg – korrutage kõik selle liikmed teise suuga:
2. samm. Laiendage sulgude ja teguri korruseid, nagu ülalpool kirjeldatud:
- Esimesed asjad kõigepealt...
Siis teine.
3. samm. Nüüd korrutame ja esitame sarnased terminid:
Kõiki teisendusi pole vaja nii üksikasjalikult kirjeldada, saate neid kohe korrutada. Kui aga alles õpite sulgusid avama, kirjutage üksikasjalikult, on vigade tegemise võimalus väiksem.
Märkus kogu jaotisele. Tegelikult ei pea te meeles pidama kõiki nelja reeglit, peate meeles pidama ainult ühte, seda: \(c(a-b)=ca-cb\) . Miks? Sest kui asendate c asemel ühe, saate reegli \((a-b)=a-b\) . Ja kui asendame miinus ühe, saame reegli \(-(a-b)=-a+b\) . Noh, kui asendate c asemel teise sulg, saate viimase reegli.
Sulgud sulu sees
Mõnikord on praktikas probleeme teiste sulgude sisse paigutatud sulgudega. Siin on näide sellisest ülesandest: lihtsustage avaldist \(7x+2(5-(3x+y))\).
Selliste ülesannete edukaks lahendamiseks vajate:
- mõistma hoolikalt sulgude pesastamist – milline neist on millises;
- avage sulgud järjestikku, alustades näiteks kõige sisemisest.
See on oluline ühe klambri avamisel ärge puudutage ülejäänud väljendit, kirjutades selle lihtsalt ümber.
Vaatame näitena ülal kirjutatud ülesannet.
Näide.
Avage sulud ja sisestage sarnased terminid \(7x+2(5-(3x+y))\).
Lahendus:
Näide.
Avage sulud ja sisestage sarnased terminid \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Lahendus
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Siin on sulgude kolmekordne pesa. Alustame kõige sisemisest (rohelisega esile tõstetud). Klambri ees on pluss, nii et see tuleb lihtsalt ära. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Nüüd peate avama teise sulg, vahepealse. Kuid enne seda lihtsustame selles teises sulus olevate kummituslike mõistete väljendust. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Nüüd avame teise sulg (sinisega esile tõstetud). Enne sulg on tegur – seega korrutatakse iga termin sulg sellega. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Ja avage viimane sulg. Klambri ees on miinusmärk, seega on kõik märgid vastupidised. |
||
Sulgude laiendamine on matemaatika põhioskus. Ilma selle oskuseta on võimatu saada 8. ja 9. klassis C-st kõrgemat hinnet. Seetõttu soovitan teil seda teemat hästi mõista.
Vaatleme nüüd binoomarvu ruudustamist ja aritmeetilist vaatenurka rakendades räägime summa ruudust, s.o (a + b)² ja kahe arvu erinevuse ruudust, s.o (a – b)².
Kuna (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),
siis leiame: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², s.o.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Seda tulemust on kasulik meeles pidada nii ülalkirjeldatud võrdsuse kujul kui ka sõnadega: kahe arvu summa ruut võrdub esimese arvu ruuduga pluss kahe korrutis esimese ja teise arvuga number pluss teise numbri ruut.
Seda tulemust teades saame kohe kirjutada näiteks:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1
(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2
Vaatame neist näidetest teist. Peame ruudustama kahe arvu summa: esimene arv on 3ab, teine 1. Tulemuseks peaks olema: 1) esimese arvu ruut, st (3ab)², mis võrdub 9a²b²; 2) kahe korrutis esimese ja teise arvuga, st 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) 2. arvu ruut, st 1² = 1 - kõik need kolm liiget tuleb kokku liita.
Samuti saame valemi kahe arvu erinevuse ruudustamiseks, st (a – b)² jaoks:
(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².
(a – b)² = a² – 2ab + b²,
st kahe arvu erinevuse ruut võrdub esimese arvu ruuduga, millest on lahutatud kahe korrutis esimese ja teise arvuga, pluss teise arvu ruut.
Seda tulemust teades saame kohe teostada binoomide ruudustamist, mis aritmeetilisest vaatepunktist kujutavad kahe arvu erinevust.
(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 
(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2 jne.
Selgitame teist näidet. Siin on sulgudes kahe arvu erinevus: esimene arv on 5ab 3 ja teine arv on 3a 2 b. Tulemuseks peaks olema: 1) esimese arvu ruut, st (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) kahe korrutis 1. ja 2. arvuga, st 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 ja 3) teise arvu ruut, st (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2 ; Esimene ja kolmas liige tuleb võtta plussiga ja 2. miinusega, saame 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. 4. näite selgitamiseks märgime vaid, et 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... eksponent tuleb korrutada 2-ga ja 2) kahe korrutis 1. arvuga ja 2. = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .
Kui võtta algebra seisukohast, siis mõlemad võrrandid: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² ja 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² väljendavad sama asja, nimelt: binoomarvu ruut võrdub esimese liikme ruuduga, millele on lisatud arvu (+2) korrutis esimese ja teise liikmega, pluss teise liikme ruut. See on selge, sest meie võrdsuse saab ümber kirjutada järgmiselt:
1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²
Mõnel juhul on mugav tõlgendada saadud võrdusi järgmiselt:
(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²
Siin ruudustatakse binoom, mille esimene liige = –4a ja teine = –3b. Järgmisena saame (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² ja lõpuks:
(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²
Samuti oleks võimalik saada ja meelde jätta valem trinoomi, kvadrinoomi või üldiselt mis tahes polünoomi ruudustamiseks. Seda me aga ei tee, sest neid valemeid on meil vaja harva kasutada ja kui on vaja ruutu panna mis tahes polünoomi (v.a binoom), siis taandame asja korrutamiseks. Näiteks:
31. Rakendame saadud 3 võrdsust, nimelt:
(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
aritmeetikale.
Olgu selleks 41 ∙ 39. Seejärel saame selle esitada kujul (40 + 1) (40 – 1) ja taandada asja esimeseks võrdsuseks - saame 40² – 1 või 1600 – 1 = 1599. Tänu sellele, on lihtne teha korrutamist nagu 21 ∙ 19; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 jne.
Olgu see 41 ∙ 41; see on sama, mis 41² või (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Samuti 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Kui vajate 37, 37, siis on see võrdne (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369. Selliseid korrutamist (või kahekohaliste arvude ruudustamist) on teatud oskustega lihtne peast teha.