Esiteks, selleks, et õppida töötama ratsionaalsete murdudega ilma vigadeta, peate õppima lühendatud korrutusvalemeid. Ja seda pole lihtne õppida – neid tuleb ära tunda ka siis, kui terminite rollid on siinused, logaritmid ja juured.
Peamiseks vahendiks jääb siiski ratsionaalse murru lugeja ja nimetaja faktoriseerimine. Seda on võimalik saavutada kolmes erinevatel viisidel:
- Tegelikult, vastavalt lühendatud korrutamise valemile: need võimaldavad teil ahendada polünoomi üheks või mitmeks teguriks;
- Ruuttrinoomi faktoriseerimise kasutamine diskriminandi kaudu. Sama meetod võimaldab kontrollida, et ühtegi trinoomi ei saa üldse faktoriseerida;
- Rühmitamise meetod on kõige keerulisem tööriist, kuid see on ainus viis, mis töötab, kui kaks eelmist ei töötanud.
Nagu selle video pealkirjast arvata võis, räägime taas ratsionaalsetest murdudest. Just paar minutit tagasi lõpetasin ühe kümnendikuga tunni ja seal analüüsisime täpselt neid väljendeid. Seetõttu on see tund mõeldud spetsiaalselt keskkooliõpilastele.
Kindlasti on paljudel nüüd küsimus: "Miks peaksid 10.–11. klassi õpilased õppima selliseid lihtsaid asju nagu ratsionaalsed murded, sest seda õpetatakse 8. klassis?" Kuid probleem on selles, et enamik inimesi "läbib" selle teema. 10.-11.klassis ei mäletata enam 8.klassist, kuidas teha korrutamist, jagamist, lahutamist ja ratsionaalsete murdude liitmist ja ometi lihtsad teadmised edasi ehitatakse juurde keerukad kujundused, kui logaritmi lahendus, trigonomeetrilised võrrandid ja palju muid keerulisi väljendeid, nii et ilma ratsionaalsete murdudeta pole keskkoolis praktiliselt midagi teha.
Valemid ülesannete lahendamiseks
Asume asja kallale. Kõigepealt vajame kahte fakti – kahte valemikomplekti. Kõigepealt peate teadma lühendatud korrutamisvalemeid:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — ruutude erinevus;
- $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ on summa või erinevuse ruut ;
- $((a)^(3))+((b)^(3))=\vasak(a+b \parem)\vasak(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ on kuubikute summa;
- $((a)^(3))-((b)^(3))=\vasak(a-b \parem)\vasak(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ on kuubikute vahe.
IN puhtal kujul neid ei leidu üheski näites ega päris tõsistes väljendites. Seetõttu on meie ülesanne õppida nägema tähtede $a$ ja $b$ all palju keerukamaid struktuure, näiteks logaritme, juuri, siinusi jne. Seda saab õppida nägema ainult abiga pidev harjutamine. Seetõttu on ratsionaalsete murdude lahendamine hädavajalik.
Teine, täiesti ilmne valem on lagunemine ruuttrinoom kordajate järgi:
$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ on juured.
KOOS teoreetiline osa me arvasime selle välja. Kuidas aga lahendada reaalseid ratsionaalseid murde, mida käsitletakse 8. klassis? Nüüd hakkame harjutama.
Ülesanne nr 1
\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9(a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]
Proovime ülaltoodud valemeid rakendada ratsionaalsete murdude lahendamisel. Kõigepealt tahan selgitada, miks faktoriseerimist üldse vaja on. Fakt on see, et ülesande esimeses osas soovite esmapilgul kuupi ruuduga vähendada, kuid see on rangelt keelatud, kuna need on lugejas ja nimetajas olevad terminid, kuid mitte mingil juhul tegurid.
Mis on ikkagi lühend? Vähendamine on selliste avaldistega töötamise põhireegli kasutamine. Murru peamine omadus on see, et saame korrutada lugeja ja nimetaja sama arvuga kui null. IN sel juhul, kui me vähendame, jagame vastupidi sama arvuga, mis erineb nullist. Kuid me peame jagama kõik nimetaja liikmed sama arvuga. Sa ei saa seda teha. Ja meil on õigus vähendada lugejat nimetajaga ainult siis, kui mõlemad on faktoriseeritud. Teeme ära.
Nüüd peate nägema, mitu terminit konkreetses elemendis on, ja vastavalt sellele välja selgitama, millist valemit kasutada.
Teisendame iga avaldise täpseks kuubiks:
Kirjutame lugeja ümber:
\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \parem))^(2))+3a\cpunkt 4b+((\vasak(4b \parem))^(2)) \parem)\]
Vaatame nimetajat. Laiendame seda ruutude erinevuse valemi abil:
\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\vasak(b-2 \parem)\vasak(b+2 \ õige)\]
Vaatame nüüd väljendi teist osa:
Lugeja:
Jääb veel nimetaja välja selgitada:
\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]
Kirjutame kogu struktuuri ümber, võttes arvesse ülaltoodud fakte:
\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \parem))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]
\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]
Ratsionaalsete murdude korrutamise nüansid
Nende konstruktsioonide peamine järeldus on järgmine:
- Iga polünoomi ei saa faktoriseerida.
- Isegi kui see on lagunenud, peate hoolikalt uurima, milline on lühendatud korrutusvalem.
Selleks peame esiteks hindama, kui palju liikmeid on (kui neid on kaks, ei saa me teha muud, kui laiendada neid kas ruutude summa või kuubikute summa või erinevuse võrra; ja kui on kolm, siis see , üheselt kas summa ruut või erinevuse ruut). Tihti juhtub, et kas lugeja või nimetaja ei vaja faktoriseerimist üldse, see võib olla lineaarne või selle diskriminant on negatiivne.
Probleem nr 2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
Üldiselt ei erine selle probleemi lahendamise skeem eelmisest - toiminguid on lihtsalt rohkem ja need muutuvad mitmekesisemaks.
Alustame esimese murruga: vaadake selle lugejat ja tehke võimalikud teisendused:
Vaatame nüüd nimetajat:
Teise murruga: lugejas ei saa üldse midagi teha, sest see lineaarne avaldis, ja sellest pole võimalik ühtegi tegurit eemaldada. Vaatame nimetajat:
\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cpunkt 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right) ))^(2))\]
Läheme kolmanda murru juurde. Lugeja:
Vaatame viimase murru nimetajat:
Kirjutame avaldise ümber, võttes arvesse ülaltoodud fakte:
\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \parem))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \parem))(\vasak(2x-1 \parem)\vasak(2x+1 \parem))=\]
\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \parem))\]
Lahenduse nüansid
Nagu näete, ei sõltu kõik ja mitte alati lühendatud korrutusvalemitest - mõnikord piisab konstanti või muutuja sulgudest välja panemisest. Siiski juhtub ka vastupidine olukord, kui termineid on nii palju või need on konstrueeritud nii, et lühendatud korrutusvalemid on üldiselt võimatud. Sel juhul tuleb meile appi universaalne tööriist, nimelt rühmitamise meetod. Täpselt seda rakendame nüüd järgmises ülesandes.
Probleem nr 3
\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]
Vaatame esimest osa:
\[((a)^(2))+ab=a\left(a+b \right)\]
\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) )\right)=\]
\[=\vasak(a-b \parem)\vasak(5-a-b \parem)\]
Kirjutame algse avaldise ümber:
\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]
Vaatame nüüd teist sulgu:
\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cpunkt 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]
\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \paremal)\]
Kuna kahte elementi ei saanud grupeerida, rühmitasime kolm. Jääb vaid välja mõelda viimase murru nimetaja:
\[((a)^(2))-((b)^(2))=\vasak(a-b \parem)\vasak(a+b \parem)\]
Nüüd kirjutame kogu oma konstruktsiooni ümber:
\[\frac(a\left(a+b \right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \left(a-b \right))^(2)))\]
Probleem on lahendatud ja siin ei saa midagi enamat lihtsustada.
Lahenduse nüansid
Panime rühmituse korda ja saime teise väga võimas tööriist, mis avardab faktoriseerimise võimalusi. Kuid probleem on selles, et päris elu Keegi ei anna meile selliseid rafineeritud näiteid, kus on mitu murdu, mille puhul peate lihtsalt lugeja ja nimetaja koefitsieneerima ning võimaluse korral neid vähendama. Tegelikud väljendid on palju keerulisemad.
Tõenäoliselt on lisaks korrutamisele ja jagamisele ka lahutamised ja liitmised, igasugused sulud - üldiselt peate arvestama toimingute järjekorraga. Kuid kõige hullem on see, et lahutades ja liites murde koos erinevad nimetajad need tuleb taandada üheks ühiseks asjaks. Selleks tuleb igaüks neist arvesse võtta ja seejärel need murded teisendada: anda sarnased ja palju muud. Kuidas seda õigesti, kiiresti teha ja samal ajal selgelt õige vastus saada? See on täpselt see, millest me nüüd räägime, kasutades näitena järgmist konstruktsiooni.
Probleem nr 4
\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \parem)\]
Kirjutame välja esimese murdosa ja proovime selle eraldi välja mõelda:
\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]
\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]
Liigume teise juurde. Arvutame kohe nimetaja diskriminandi:
Seda ei saa faktoriseerida, seega kirjutame järgmise:
\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\vasak(x+3 \parem)\vasak(((x)^(2))-3x+9 \parem))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\vasak(x+3 \parem)\vasak(((x)^(2))-3x+9 \parem)) \]
Lugeja kirjutame eraldi:
\[((x)^(2))-2x+12=0\]
Järelikult ei saa seda polünoomi faktoriseerida.
Oleme juba teinud maksimumi, mis suudame, ja lagunenud.
Seega kirjutame oma esialgse konstruktsiooni ümber ja saame:
\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\vasak(x+3 \parem)\vasak(((x)^(2))-3x+9 \parem))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]
See on kõik, probleem lahendatud.
Ausalt öeldes polnud see nii tore raske ülesanne: seal sai kõik lihtsalt arvesse võetud ja kiiresti vähendatud sarnased terminid, ja kõik tõmbus ilusti kokku. Nii et proovime nüüd lahendada tõsisema probleemi.
Probleem nr 5
\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]
Kõigepealt käsitleme esimest sulgu. Algusest peale faktoriseerime teise murru nimetaja eraldi:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x) ^(2))+2x+4 \parem)\]
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]
\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ vasak(((x)^(2))+2x+4 \parem))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \parem))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \parem))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+4 \parem))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\vasak(x-2 \parem)\vasak(((x)^(2))+2x+4 \parem)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \parem ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]
Nüüd töötame teise murruga:
\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ vasak(x-2 \parem))(\vasak(x-2 \parem)\vasak(x+2 \parem))=\]
\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]
Pöördume tagasi oma esialgse kujunduse juurde ja kirjutame:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]
Võtmepunktid
Jällegi võtme faktid tänane videotund:
- Peate teadma peast lühendatud korrutamise valemeid - ja mitte ainult teadma, vaid suutma näha nendes väljendites, mida kohtate tõelisi probleeme. Selles võib meid aidata imeline reegel: kui on kaks liiget, siis on see kas ruutude vahe või kuubikute vahe või summa; kui kolm, saab see olla ainult summa või vahe ruut.
- Kui mõnda konstruktsiooni ei saa lühendatud korrutusvalemite abil laiendada, siis kas standardvalem trinoomide faktoriseerimine ehk rühmitamise meetod.
- Kui midagi ei õnnestu, vaadake hoolikalt lähteavaldist, et näha, kas sellega on vaja üldse mingeid teisendusi. Võib-olla piisab teguri lihtsalt sulgudest välja panemisest ja see on sageli lihtsalt konstant.
- IN keerulised väljendid, kus peate tegema mitu toimingut järjest, ärge unustage viia ühine nimetaja, ja alles pärast seda, kui kõik murrud on selleni taandatud, tooge kindlasti sama sisse uude lugejasse ja seejärel faktoristage uus lugeja uuesti - ehk vähendatakse midagi.
See on kõik, mida ma teile täna ratsionaalsete murdude kohta öelda tahtsin. Kui midagi pole selge, on saidil endiselt palju videoõpetusi ja palju ülesandeid sõltumatu otsus. Nii et püsige lainel!
Definitsioon.Tundmatu X-i täisarvude mittenegatiivsete astmete summat, mis on võetud teatud arvuliste kordajatega, nimetatakse polünoomiks.
Siin: 
- reaalarvud.
n- polünoomi aste.
Tehted polünoomidega.
1). Kahe polünoomi liitmisel (lahutamisel) koefitsiendid liidetakse (lahutatakse) võrdsed kraadid tundmatu x.
2). Kaks polünoomi on võrdsed, kui neil on sama aste ja võrdsed koefitsiendid X samade astmete juures.
3). Kahe polünoomi korrutamisel saadud polünoomi aste on võrdne korrutatavate polünoomide astmete summaga.
4). Lineaartehtetel polünoomidel on assotsiatiivsuse, kommutatiivsuse ja distributiivsuse omadused.
5) Polünoomi jagamist polünoomiga saab teha “nurgaga jagamise” reegli abil.
Definitsioon. Arvu x=a nimetatakse polünoomi juureks, kui selle asendamine polünoomiga muudab selle nulliks, s.t.
Bezouti teoreem. Polünoomi jääk
binoom (x-a) on võrdne polünoomi väärtusega x=a, st.
Tõestus.
Las kus
Pannes x=a võrdusse, saame
1). Polünoomi jagamisel binoomiga (x-a) on jääk alati arv.
2). Kui a on polünoomi juur, siis jagub polünoom binoomiga (x-a) ilma jäägita.
3) N-astme polünoomi jagamisel binoomiga (x-a) saame astme polünoomi (n-1).
Algebra fundamentaalteoreem.Mis tahes astme polünoomn (n>1) sellel on vähemalt üks juur(esitatakse ilma tõendita).
Tagajärg.Mis tahes astme polünoom
n
on täpselt
n
juurtest ja üle kompleksarvude välja lagundatakse korrutiseks
n
lineaarsed tegurid, st.
Polünoomi juurte hulgas 
võib esineda korduvaid numbreid (mitu juurt). Reaalkoefitsientidega polünoomide puhul võivad keerulised juured esineda ainult konjugaatpaaridena. Tõestame viimast väidet.
Lase 
- keeruline juur polünoom, siis Põhineb üldine vara kompleksarvud saab öelda seega 
- ka juur.
Iga polünoomi komplekssete konjugeeritud juurte paar vastab reaalsete koefitsientidega ruuttrinoomile.
Siin lk, q- reaalarvud (näita näidet).
Järeldus.Me võime esitada mis tahes polünoomi lineaarsete tegurite ja reaalkoefitsientide ruudukujuliste trinoomide korrutisena.
Ratsionaalsed murded.
Ratsionaalne murd on kahe polünoomi suhe.
Kui 
, siis nimetatakse ratsionaalset murdu õigeks. IN muidu murd on vale. Iga vale murdosa saab esitada polünoomi (jagatise) ja õige ratsionaalse murru summana, jagades lugejas oleva polünoomi nimetajas oleva polünoomiga.
- vale ratsionaalne murd.
Seda ebaõiget ratsionaalset murdu saab nüüd esitada järgmisel kujul.
Näidatut arvesse võttes käsitleme edaspidi ainult õigeid ratsionaalseid murde.
On olemas nn lihtsad ratsionaalsed murded – need on murded, mida ei saa kuidagi lihtsustada. Need kõige lihtsamad murrud näevad välja järgmised:
Keerulisema vormi korralikku ratsionaalset murdu saab alati esitada kõige lihtsamate ratsionaalsete murdude summana. Murdude hulga määrab polünoomi juurte hulk, mis esineb õige taandamatu ratsionaalse murru nimetajas. Murru lihtsaimaks jaotamise reegel on järgmine.
Olgu ratsionaalne murd kujutatud järgmisel kujul.
Siin sisaldab kõige lihtsamate murdude lugeja tundmatuid koefitsiente, mida saab alati määrata määramata koefitsientide meetodil. Meetodi põhiolemus on võrdsustada koefitsiendid X samade astmetega algmurru lugejas oleva polünoomi ja murdu lugejas oleva polünoomi jaoks, mis saadakse pärast lihtsaimate murdude taandamist ühiseks nimetajaks.
Võrdlustame X samade astmete koefitsiendid.
Lahendades tundmatute kordajate võrrandisüsteemi, saame.
Seega saab seda murdosa esitada järgmiste lihtsate murdude komplektina.
Viies selle ühisele nimetajale, oleme veendunud probleemi lahenduse õigsuses.
Ta näeb välja nagu
kus P(x) ja Q(x) on mõned polünoomid.
Analoogiliselt tavamurdudega eristage õigeid ja ebaõigeid ratsionaalseid murde arvmurrud. Ratsionaalmurdu nimetatakse õigeks, kui nimetaja järjekord on rohkem tellimust lugeja ja vale, kui vastupidi.
Iga ebaõige ratsionaalmurru saab teisendada mõne polünoomi ja õige ratsionaalse murru summaks
Reaalkoefitsientidega polünoomide mis tahes ratsionaalset murdosa saab esitada ratsionaalsete murdude summana, mille nimetajateks on avaldised (x − a) k (a on Q(x) reaaljuur) või (x 2 + lkx + q) k (Kus x 2 + lkx + q ei oma tõelised juured) ja aste k ei ole suurem kui kordsus vastavad juured polünoomis Q(x). Selle väite põhjal põhineb teoreem ratsionaalsete murdude integreeritavuse kohta. Selle järgi saab integreerida mis tahes ratsionaalse murdosa elementaarsed funktsioonid, mis muudab ratsionaalsete murdude klassi matemaatilises analüüsis väga oluliseks.
Vaata ka
Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.
Vaadake, mis on "ratsionaalne murd" teistes sõnaraamatutes:
Ratsionaalfunktsioon on murd, mille lugeja ja nimetaja on polünoomid. Sellel on vorm kus, polünoomid suvalises arvus muutujates. Erijuhtum on ühe muutuja ratsionaalsed funktsioonid: , kus... ... Vikipeedia
Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Murd. 8 / 13 lugeja lugeja nimetaja nimetaja Kaks sama murdosa kirjet Murd on matemaatikas arv, mis koosneb ühest või mitmest osast... ... Wikipedia
Vikisõnaraamatus on kirje "murd" Sümboli nimi "⁄" (teine, levinud enamasti inglise keel, soliidsümboli nimi (inglise keeles) või kaldkriips, näiteks majanumbrites. Nii et maja number "5/17" on "viis... ... Wikipedia
1) R.f. funktsioon w=R(z), kus R(z) ratsionaalne väljendus z, st avaldis, mis saadakse sõltumatust muutujast z ja mõnest lõplikust arvude hulgast (reaal- või kompleksarvust) lõplik arv aritmeetika tegevused. R. f...... Matemaatiline entsüklopeedia
Kvartalid Ratsionaalarv(lat. suhtarv, jagamine, murd) arv esindatud harilik murd, kus m on täisarv ja n naturaalarv. Sel juhul nimetatakse arvu m lugejaks ja arvu n murru nimetajaks. Taku ... Vikipeedia
Veerandid Ratsionaalarv (lat. suhtarv, jagamine, murd) on arv, mida esindab harilik murd, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Sel juhul nimetatakse arvu m lugejaks ja arvu n murru nimetajaks. Taku ... Vikipeedia
Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Murd. Lihtsaim murd oh kraadi kutsutakse ratsionaalne funktsioon selline, kuhu ta viib loodusväärtused, ja punktid, mis on funktsiooni poolused, ei pruugi olla geomeetriliselt erinevad.... ... Wikipedia
Ratsionaalmurruna väljendatud arv. Formaalne teooria Reaalarv konstrueeritakse täisarvude paaride abil. Ratsionaalmurdu nimetatakse. järjestatud paar (a, b) täisarvudest a ja b, lõigatud b#0. Kaks ratsionaalset murdu ja kutsutakse. e k v i v a l e n ... Matemaatiline entsüklopeedia
Veerandid Ratsionaalarv (lat. suhtarv, jagamine, murd) on arv, mida esindab harilik murd, kus m on täisarv ja n on naturaalarv. Sel juhul nimetatakse arvu m lugejaks ja arvu n murru nimetajaks. Taku ... Vikipeedia
Kirjutage tunni teema vihikusse
Mis see on?
Need on algebralised avaldised, mis sisaldavad jagamist muutujatega avaldisega.
Näiteks:
- murdosa avaldis.
Täisarv, sest see on võrdne , st terve avaldis ratsionaalsete kordajatega.
Terve ja murdosa avaldised nimetatakse ratsionaalseteks väljenditeks.
Nendega peame edaspidi koostööd tegema!
Kogu avaldis on loogiline muutujate mis tahes väärtuste jaoks, kuid murdosavaldist... ei saa jagada 0-ga!
Näiteks:
defineeritud muutuja a kõikide väärtuste ja kõigi b väärtuste jaoks, välja arvatud b=3.
Milliste muutuja väärtuste jaoks avaldis töötab
?
Pidage meeles:
Mis tahes a, b ja c väärtuste puhul, kus ja , on võrdsus tõene
Kui korrutame murdosa arvuga (st korrutame murdosa lugeja ja nimetaja sama arvuga), saame võrdne murdosa, kuid erineva nimetajaga.
Kui jagame lugeja ja nimetaja sama arvuga, vähendame murdosa.
Näiteks:
1) Vähendame murdosa murduks, mille nimetaja on 35у3.
Kõigepealt jagame uus nimetaja 35y3 vanale 7a ja saame lisakordaja 5y2.
Ja seejärel korrutage lugeja ja nimetaja selle lisateguriga:
.
2) Vähendame murdosa.
Lahendus:
Pidage meeles:
Murru vähendamiseks peate arvutama lugeja ja nimetaja ning seejärel jagama need võrdse teguriga, st. vähendada.
Avaldise faktoriseerimiseks on mitu meetodit.
Oleme neist siiani tuttavad kahega:
1 meetod
Bracketing ühine kordaja.
2. meetod
Lühendatud korrutusvalemite rakendamine.
Esimene ja lihtsaim viis faktoriseerimiseks on
jättes ühisteguri sulgudest välja.
Ac + bc = (a + b)c
Näide 1: 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)
Reegel:
Kui polünoomi kõigil liikmetel on ühine tegur (või mitu ühist tegurit), siis võib selle teguri (need tegurid) sulust välja võtta,
sel juhul jagame iga termini avaldisega, mille paneme sulgudesse: 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 ja lõpuks 15a3bc2: 5abc = 3a2c (jälgige märke!!!)
Ja me peame meeles pidama, et madalama indeksiga kraad võetakse sulgudest välja.
Üksinda:
Võtke ühine tegur sulgudest välja
Kontrollima:
Mõnikord kõik liikmed algebraline avaldis Mul ei ole ühist tegurit, kuid eraldi terminirühmades on üks, näiteks
ah + ay + bx + by.
Seda polünoomi saab faktoriseerida, ühendades selle tingimused eraldi rühmad
(ax + bx) + (ay + by) = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b).
Näide:
Kasutades terminite rühmitamise meetodit, faktoristage avaldis
3x + xy2 - x2y - 3y
Lahendus:
3x + xy2 - x2y - 3y = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y).
Harjutame veel:
1) a3 - ab - a2b + a2,
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x .
Lahendus:
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a)(a - b) = a(a +1)(a - b),
2) ab2 - b2y - ax + xy + b2 - x = b2(a - y + 1) - x(a - y + 1) = (b2 - x)(a - y + 1).
Ja nüüd 2. meetodist.
Kui algebralise avaldise liikmetel pole korduvaid tegureid, siis võite proovida rakendada lühendatud korrutusvalemeid...
Näited
a) Ruudude erinevus:
0,49 x 4 - 121 a 2 = (0,7 x 2) 2 - (11 a) 2 = (0,7 x 2 - 11 a) (0,7 x 2 + 11 a),
B) Kuubikute erinevus:
1 - 27 s3 = 13 - (3 s) 3 = (1 - 3 s) (1 + 3 s + 9 s2),
B) Ruudu vahe:
4a2 – 12ab + 9b2 = (2a)2 – 22a 3b + (3b)2 = (2a – 3b)2 või (2a – 3b) (2a – 3b),
D) Erinevuskuubik:
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2)y2 - y3 = (3x2 - y)3 või (3x2 - y)(3x2 - y)(3x2 - y) t .e. kolm võrdset kordajat!
Algoritm:
- kõigepealt "kohandame" välimus avaldised" võimaliku valemi all...
- kui see töötab, jätkame nii, nagu see (valem) nõuab...
- kui see ei õnnestu, hakkame teist valemit "proovima" ...
- ja nii edasi, kuni saate avaldise lagundada tegurite korrutiseks!