Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.
Isikuandmete kogumine ja kasutamine
Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.
Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.
Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.
Milliseid isikuandmeid me kogume:
- Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.
Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:
- Kogutud isikuandmed võimaldavad meil teiega ühendust võtta unikaalsete pakkumiste, tutvustuste ja muude sündmuste ning eelseisvate sündmustega.
- Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
- Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
- Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.
Teabe avaldamine kolmandatele isikutele
Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.
Erandid:
- Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetluses ja/või Venemaa Föderatsiooni territooriumil asuvate avalike taotluste või valitsusasutuste taotluste alusel - oma isikuandmeid avaldada. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
- Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.
Isikuandmete kaitse
Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.
Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil
Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.
Lahendage süsteem kahe tundmatuga - see tähendab kõigi muutujaväärtuste paaride leidmist, mis vastavad igale antud võrrandile. Iga sellist paari nimetatakse süsteemne lahendus.
Näide:
Väärtuste paar \(x=3\);\(y=-1\) on lahendus esimesele süsteemile, sest kui asendada süsteemis need kolmed ja miinus ühed \(x\) ja \ asemel (y\), muutuvad mõlemad võrrandid õigeteks võrdusteks \(\begin(cases)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end( juhtumid)\)
Aga \(x=1\); \(y=-2\) - ei ole esimese süsteemi lahendus, kuna pärast asendust teine võrrand "ei koondu" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end(juhtumid)\)
Pange tähele, et sellised paarid kirjutatakse sageli lühemalt: "\(x=3\); \(y=-1\)" asemel kirjutatakse nad järgmiselt: \((3;-1)\).
Kuidas lahendada lineaarvõrrandisüsteemi?
Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamiseks on kolm peamist viisi:
- Asendusmeetod.
-
\(\begin(cases)13x+9y=17\\12x-2y=26\end(cases)\)
Teises võrrandis on iga liige paarisarvuline, seega lihtsustame võrrandit, jagades selle arvuga \(2\).
\(\begin(cases)13x+9y=17\\6x-y=13\end(cases)\)
Seda süsteemi saab lahendada mis tahes järgmistel viisidel, kuid mulle tundub, et asendusmeetod on siin kõige mugavam. Avaldame y teisest võrrandist.
\(\begin(cases)13x+9y=17\\y=6x-13\end(cases)\)
Asendame esimeses võrrandis \(y\) asemel \(6x-13\).
\(\begin(cases)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\end(cases)\)
Esimene võrrand muutus tavaliseks. Lahendame selle ära.
Kõigepealt avame sulgud.
\(\begin(cases)13x+54x-117=17\\y=6x-13\end(cases)\)
Liigume \(117\) paremale ja esitame sarnased terminid.
\(\begin(cases)67x=134\\y=6x-13\end(cases)\)
Jagame esimese võrrandi mõlemad pooled arvuga \(67\).
\(\begin(cases)x=2\\y=6x-13\end(cases)\)
Hurraa, leidsime \(x\)! Asendame selle väärtuse teise võrrandiga ja leiame \(y\).
\(\begin(cases)x=2\\y=12-13\end(cases)\)\(\Leftparemnool\)\(\begin(cases)x=2\\y=-1\end(juhtumid )\)
Paneme vastuse kirja.
\(\begin(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(cases)\)\(\Leftparemnool\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3x+2y= 7\end(juhtumid)\)\(\Vasakparemnool\)
Asendage saadud avaldis selle muutuja asemel teise süsteemi võrrandiga.
\(\Leftparemnool\) \(\begin(cases)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\end(cases)\)\(\Leftparemnool\)
Analüüsime kahte tüüpi võrrandisüsteemide lahendusi:
1. Süsteemi lahendamine asendusmeetodil.
2. Süsteemi lahendamine süsteemivõrrandite terminite kaupa liitmise (lahutamise) teel.
Selleks, et lahendada võrrandisüsteemi asendusmeetodil peate järgima lihtsat algoritmi:
1. Ekspress. Mis tahes võrrandist väljendame ühe muutuja.
2. Asendus. Asendame saadud väärtuse väljendatud muutuja asemel teise võrrandiga.
3. Lahendage saadud võrrand ühe muutujaga. Leiame süsteemile lahenduse.
Lahendada süsteem termini kaupa liitmise (lahutamise) meetodil vaja:
1. Vali muutuja, millele teeme identsed koefitsiendid.
2. Liidame või lahutame võrrandeid, mille tulemuseks on ühe muutujaga võrrand.
3. Lahendage saadud lineaarvõrrand. Leiame süsteemile lahenduse.
Süsteemi lahenduseks on funktsioonigraafikute lõikepunktid.
Vaatleme üksikasjalikult näidete abil süsteemide lahendust.
Näide nr 1:
Lahendame asendusmeetodil
Võrrandisüsteemi lahendamine asendusmeetodil2x+5y=1 (1 võrrand)
x-10y = 3 (2. võrrand)
1. Ekspress
Näha on, et teises võrrandis on muutuja x koefitsiendiga 1, mis tähendab, et muutujat x on kõige lihtsam väljendada teisest võrrandist.
x=3+10 a
2.Pärast seda, kui oleme selle väljendanud, asendame esimesse võrrandisse muutuja x asemel 3+10y.
2(3+10a)+5a=1
3. Lahendage saadud võrrand ühe muutujaga.
2(3+10a)+5a=1 (avage sulud)
6+20a+5a=1
25a = 1-6
25 a = -5 |: (25)
y = -5:25
y = -0,2
Võrrandisüsteemi lahenduseks on graafikute lõikepunktid, seepärast tuleb leida x ja y, kuna lõikepunkt koosneb x-st ja y-st Leiame x, esimeses punktis, kus seda väljendasime, asendame y.
x=3+10 a
x=3+10*(-0,2)=1
Punkte on tavaks kirjutada esiteks muutuja x ja teiseks muutuja y.
Vastus: (1; -0,2)
Näide nr 2:
Lahendame terminikaupa liitmise (lahutamise) meetodil.
Võrrandisüsteemi lahendamine liitmismeetodil3x-2y=1 (1 võrrand)
2x-3y = -10 (2. võrrand)
1. Valime muutuja, oletame, et valime x. Esimeses võrrandis on muutuja x koefitsient 3, teises - 2. Peame muutma koefitsiendid samaks, selleks on meil õigus võrrandid korrutada või jagada mis tahes arvuga. Korrutame esimese võrrandi 2-ga ja teise 3-ga ning saame koefitsiendiks 6.
3x-2a=1 |*2
6x-4a = 2
2x-3a = -10 |*3
6x-9a = -30
2. Muutuja x vabanemiseks lahutage esimesest võrrandist teine. Lahendage lineaarvõrrand.
__6x-4a = 2
5a=32 | :5
y = 6,4
3. Leidke x. Asendame leitud y mis tahes võrrandis, oletame, et esimeses võrrandis.
3x-2a = 1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6
Lõikepunkt on x=4,6; y = 6,4
Vastus: (4,6; 6,4)
Kas soovite eksamiteks valmistuda tasuta? Juhendaja võrgus tasuta. Ilma naljata.
Selle videoga alustan võrrandisüsteemidele pühendatud õppetundide sarja. Täna räägime lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest lisamise meetod- See on üks lihtsamaid meetodeid, kuid samal ajal üks tõhusamaid.
Lisamismeetod koosneb kolmest lihtsast sammust:
- Vaadake süsteemi ja valige muutuja, millel on igas võrrandis samad (või vastupidised) koefitsiendid;
- Tehke üksteisest võrrandite algebraline lahutamine (vastandarvude jaoks - liitmine) ja seejärel tooge sarnased terminid;
- Lahendage pärast teist sammu saadud uus võrrand.
Kui kõik on õigesti tehtud, saame väljundis ühe võrrandi ühe muutujaga- selle lahendamine pole keeruline. Siis jääb üle vaid asendada leitud juur algsesse süsteemi ja saada lõplik vastus.
Praktikas pole aga kõik nii lihtne. Sellel on mitu põhjust:
- Võrrandite lahendamine liitmismeetodiga eeldab, et kõik read peavad sisaldama võrdsete/vastandkoefitsientidega muutujaid. Mida teha, kui see nõue ei ole täidetud?
- Mitte alati, pärast näidatud viisil võrrandite liitmist/lahutamist ei saa me ilusat konstruktsiooni, mida saab lihtsalt lahendada. Kas on võimalik arvutusi kuidagi lihtsustada ja arvutusi kiirendada?
Nendele küsimustele vastuse saamiseks ja samal ajal mõne täiendava nüansi mõistmiseks, mida paljud õpilased ei suuda, vaadake minu videotundi:
Selle õppetunniga alustame võrrandisüsteemidele pühendatud loengute sarja. Ja me alustame neist kõige lihtsamast, nimelt neist, mis sisaldavad kahte võrrandit ja kahte muutujat. Igaüks neist on lineaarne.
Süsteemid on 7. klassi materjal, kuid see tund on kasulik ka keskkooliõpilastele, kes soovivad oma teadmisi sellel teemal värskendada.
Üldiselt on selliste süsteemide lahendamiseks kaks meetodit:
- Lisamise meetod;
- Meetod ühe muutuja väljendamiseks teisega.
Täna käsitleme esimest meetodit - kasutame lahutamise ja liitmise meetodit. Kuid selleks peate mõistma järgmist tõsiasja: kui teil on kaks või enam võrrandit, võite võtta neist kaks ja lisada need üksteisele. Neid lisatakse liikme haaval, s.o. X-le liidetakse “X” ja antakse sarnased, “Y-d” koos “Y-ga” on jälle sarnased ja võrdusmärgist paremal olev liidetakse samuti omavahel ja sinna antakse ka sarnased. .
Selliste mahhinatsioonide tulemuseks on uus võrrand, mis, kui sellel on juured, on kindlasti algse võrrandi juurte hulgas. Seetõttu on meie ülesanne teha lahutamine või liitmine nii, et kas $x$ või $y$ kaoks.
Kuidas seda saavutada ja millist tööriista selleks kasutada - sellest räägime nüüd.
Lihtsate probleemide lahendamine lisamise abil
Niisiis õpime kasutama liitmismeetodit kahe lihtsa avaldise näitel.
Ülesanne nr 1
\[\left\( \begin(joona)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(joonda) \right.\]
Pange tähele, et $y$ koefitsient on esimeses võrrandis $-4$ ja teises võrrandis $+4$. Need on vastastikku vastandlikud, seega on loogiline eeldada, et kui need kokku liidame, siis tulemuseks olevas summas hävivad “mängud” vastastikku. Lisage see ja saate:
Lahendame lihtsaima konstruktsiooni:
Suurepärane, leidsime "x"-i. Mida me sellega nüüd tegema peaksime? Meil on õigus asendada see mis tahes võrrandiga. Asendame esimesega:
\[-4y=12\left| :\left(-4 \right) \right.\]
Vastus: $\left(2;-3 \right)$.
Probleem nr 2
\[\left\( \begin(joona)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(joonda) \right.\]
Siin on olukord täiesti sarnane, ainult "X-iga". Liidame need kokku:
Meil on lihtsaim lineaarvõrrand, lahendame selle:
Nüüd leiame $x$:
Vastus: $\left(-3;3 \right)$.
Olulised punktid
Niisiis, oleme just liitmismeetodi abil lahendanud kaks lihtsat lineaarvõrrandisüsteemi. Peamised punktid jälle:
- Kui ühe muutuja puhul on vastupidised koefitsiendid, siis on vaja kõik võrrandis olevad muutujad liita. Sel juhul üks neist hävitatakse.
- Teise leidmiseks asendame leitud muutuja mis tahes süsteemivõrrandiga.
- Lõplikku vastusekirjet saab esitada erineval viisil. Näiteks nii - $x=...,y=...$ või punktide koordinaatidena - $\left(...;... \right)$. Teine võimalus on eelistatavam. Peamine asi, mida meeles pidada, on see, et esimene koordinaat on $x$ ja teine on $y$.
- Punktkoordinaatide kujul vastuse kirjutamise reegel ei kehti alati. Näiteks ei saa seda kasutada, kui muutujad ei ole $x$ ja $y$, vaid näiteks $a$ ja $b$.
Järgmistes ülesannetes käsitleme lahutamise tehnikat, kui koefitsiendid ei ole vastupidised.
Lihtsate ülesannete lahendamine lahutamise meetodil
Ülesanne nr 1
\[\left\( \begin(joonda)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(joonda) \right.\]
Pange tähele, et siin pole vastandkoefitsiente, kuid on identsed. Seetõttu lahutame esimesest võrrandist teise:
Nüüd asendame väärtuse $x$ mis tahes süsteemivõrrandis. Lähme kõigepealt:
Vastus: $\left(2;5\right)$.
Probleem nr 2
\[\left\( \begin (joonda)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\lõpp(joonda) \right.\]
Esimeses ja teises võrrandis näeme jällegi sama koefitsienti $ 5 $ $ x $ jaoks. Seetõttu on loogiline eeldada, et peate esimesest võrrandist teise lahutama:
Oleme välja arvutanud ühe muutuja. Nüüd leiame teise, näiteks asendades väärtuse $y$ teise konstruktsiooniga:
Vastus: $\left(-3;-2 \right)$.
Lahenduse nüansid
Mida me siis näeme? Sisuliselt ei erine skeem varasemate süsteemide lahendusest. Ainus erinevus on see, et me ei liida võrrandeid, vaid lahutame. Teeme algebralise lahutamise.
Teisisõnu, niipea, kui näete süsteemi, mis koosneb kahest võrrandist kahes tundmatus, on esimene asi, mida peate vaatama koefitsiente. Kui need on kuskil ühesugused, siis võrrandid lahutatakse ja kui need on vastupidised, kasutatakse liitmismeetodit. Seda tehakse alati nii, et üks neist kaob ja lõppvõrrandisse, mis jääb pärast lahutamist alles, jääb alles ainult üks muutuja.
See pole muidugi veel kõik. Nüüd vaatleme süsteeme, milles võrrandid on üldiselt ebajärjekindlad. Need. Nendes pole muutujaid, mis oleksid kas samad või vastupidised. Sel juhul kasutatakse selliste süsteemide lahendamiseks täiendavat tehnikat, nimelt iga võrrandi korrutamist spetsiaalse koefitsiendiga. Kuidas seda leida ja kuidas selliseid süsteeme üldiselt lahendada, räägime sellest nüüd.
Ülesannete lahendamine koefitsiendiga korrutamisega
Näide nr 1
\[\left\( \begin(joona)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(joonda) \right.\]
Näeme, et ei $x$ ega $y$ puhul ei ole koefitsiendid mitte ainult vastastikku vastandlikud, vaid ka mitte kuidagi korrelatsioonis teise võrrandiga. Need koefitsiendid ei kao mingil moel, isegi kui me võrrandid üksteisest liidame või lahutame. Seetõttu on vaja rakendada korrutamist. Proovime muutujast $y$ lahti saada. Selleks korrutame esimese võrrandi teise võrrandi $y$ koefitsiendiga ja teise võrrandi esimese võrrandi $y$ koefitsiendiga, märki puudutamata. Korrutame ja saame uue süsteemi:
\[\left\( \begin(joona)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(joonda) \right.\]
Vaatame seda: $y$ juures on koefitsiendid vastupidised. Sellises olukorras on vaja kasutada lisamismeetodit. Lisame:
Nüüd peame leidma $y$. Selleks asendage $x$ esimeses avaldises:
\[-9y=18\left| :\left(-9 \right) \right.\]
Vastus: $\left(4;-2 \right)$.
Näide nr 2
\[\left\( \begin(joona)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(joonda) \right.\]
Jällegi ei ole ühegi muutuja koefitsiendid järjepidevad. Korrutame $y$ koefitsientidega:
\[\left\( \begin(joona)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(joonda) \paremale .\]
\[\left\( \begin(joona)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(joonda) \right.\]
Meie uus süsteem on samaväärne eelmisega, kuid $y$ koefitsiendid on vastastikku vastupidised ja seetõttu on siin lihtne liitmismeetodit rakendada:
Nüüd leiame $y$, asendades esimeses võrrandis $x$:
Vastus: $\left(-2;1 \right)$.
Lahenduse nüansid
Põhireegel on siin järgmine: me korrutame alati ainult positiivsete arvudega - see säästab teid märkide muutmisega seotud rumalate ja solvavate vigade eest. Üldiselt on lahendusskeem üsna lihtne:
- Vaatame süsteemi ja analüüsime iga võrrandit.
- Kui näeme, et ei $y$ ega $x$ ei ole koefitsiendid järjepidevad, s.t. need ei ole võrdsed ega vastandlikud, siis teeme järgmist: valime muutuja, millest peame vabanema, ja siis vaatame nende võrrandite koefitsiente. Kui korrutame esimese võrrandi koefitsiendiga teisest ja teise vastavalt esimesest koefitsiendiga, siis lõpuks saame süsteemi, mis on eelmisega täiesti samaväärne ja koefitsiendid $ y$ on järjepidev. Kõik meie tegevused või teisendused on suunatud ainult ühe muutuja saamisele ühes võrrandis.
- Leiame ühe muutuja.
- Asendame leitud muutuja ühega kahest süsteemi võrrandist ja leiame teise.
- Vastuse kirjutame punktide koordinaatide kujul, kui meil on muutujad $x$ ja $y$.
Kuid isegi sellisel lihtsal algoritmil on omad nüansid, näiteks $x$ või $y$ koefitsiendid võivad olla murded ja muud “koledad” numbrid. Vaatleme neid juhtumeid nüüd eraldi, sest neis saate toimida mõnevõrra teisiti kui standardse algoritmi järgi.
Ülesannete lahendamine murdudega
Näide nr 1
\[\left\( \begin(joona)& 4m-3n=32 \\& 0,8m+2,5n=-6 \\\end(joonda) \right.\]
Esiteks pange tähele, et teine võrrand sisaldab murde. Kuid pange tähele, et saate 4 dollarit jagada 0,8 dollariga. Me saame $5 $. Korrutame teise võrrandi 5 dollariga:
\[\left\( \begin(joona)& 4m-3n=32 \\& 4m+12,5m=-30 \\\end(joonda) \right.\]
Lahutame üksteisest võrrandid:
Leidsime $n$, nüüd loendame $m$:
Vastus: $n=-4;m=5$
Näide nr 2
\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(joonda )\ õige.\]
Siin, nagu ka eelmises süsteemis, on osakoefitsiendid, kuid ühegi muutuja puhul ei sobi koefitsiendid üksteisesse täisarv korda. Seetõttu kasutame standardset algoritmi. Vabane $p$-st:
\[\left\( \begin(joona)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(joonda) \right.\]
Kasutame lahutamise meetodit:
Leiame $p$, asendades teise konstruktsiooniga $k$:
Vastus: $p=-4;k=-2$.
Lahenduse nüansid
See on kõik optimeerimine. Esimeses võrrandis me ei korrutanud üldse mitte millegagi, vaid korrutasime teise võrrandi 5$-ga. Selle tulemusena saime esimese muutuja jaoks järjepideva ja isegi identse võrrandi. Teises süsteemis järgisime standardset algoritmi.
Aga kuidas leida numbreid, millega võrrandeid korrutada? Kui korrutada murdudega, saame ju uued murded. Seetõttu tuleb murded korrutada arvuga, mis annaks uue täisarvu ja pärast seda tuleb muutujad standardalgoritmi järgi korrutada koefitsientidega.
Kokkuvõtteks tahaksin juhtida teie tähelepanu vastuse salvestamise vormingule. Nagu ma juba ütlesin, kuna siin ei ole $x$ ja $y$, vaid muud väärtused, kasutame vormi mittestandardset tähistust:
Keeruliste võrrandisüsteemide lahendamine
Tänase videoõpetuse lõpumärkusena vaatame paari tõeliselt keerulist süsteemi. Nende keerukus seisneb selles, et neil on muutujad nii vasakul kui ka paremal. Seetõttu peame nende lahendamiseks rakendama eeltöötlust.
Süsteem nr 1
\[\left\( \begin(joona)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y \right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(joonda) \right.\]
Igal võrrandil on teatud keerukus. Seetõttu käsitleme iga avaldist tavalise lineaarse konstruktsioonina.
Kokku saame lõpliku süsteemi, mis on samaväärne algse süsteemiga:
\[\left\( \begin (joonda)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(joonda) \right.\]
Vaatame $y$ koefitsiente: $3$ mahub $6$-sse kaks korda, seega korrutame esimese võrrandi $2$-ga:
\[\left\( \begin (joonda)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(joonda) \right.\]
$y$ koefitsiendid on nüüd võrdsed, seega lahutame esimesest võrrandist teise: $$
Nüüd leiame $y$:
Vastus: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$
Süsteem nr 2
\[\left\( \begin(joona)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(joonda) \parem.\]
Teisendame esimese avaldise:
Tegeleme teisega:
\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]
\[-3b+6a-12=2a-10+b\]
\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]
Kokkuvõttes on meie esialgne süsteem järgmine:
\[\left\( \begin(joona)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(joonda) \right.\]
Vaadates $a$ koefitsiente, näeme, et esimene võrrand tuleb korrutada $2$-ga:
\[\left\( \begin(joona)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(joonda) \right.\]
Lahutage esimesest konstruktsioonist teine:
Nüüd leiame $a$:
Vastus: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.
See on kõik. Loodan, et see videoõpetus aitab teil mõista seda keerulist teemat, nimelt lihtsate lineaarvõrrandisüsteemide lahendamist. Tulevikus on sellel teemal palju õppetunde: vaatame keerukamaid näiteid, kus muutujaid on rohkem ja võrrandid ise on mittelineaarsed. Kohtumiseni jälle!
Võrrandisüsteeme kasutatakse majandussektoris laialdaselt erinevate protsesside matemaatiliseks modelleerimiseks. Näiteks tootmise juhtimise ja planeerimise, logistikamarsruutide (transpordiprobleem) või seadmete paigutuse probleemide lahendamisel.
Võrrandisüsteeme ei kasutata mitte ainult matemaatikas, vaid ka füüsikas, keemias ja bioloogias populatsiooni suuruse leidmise ülesannete lahendamisel.
Lineaarvõrrandisüsteem on kaks või enam mitme muutujaga võrrandit, millele on vaja leida ühine lahendus. Selline arvujada, mille puhul kõik võrrandid muutuvad tõelisteks võrdusteks või tõestavad, et jada ei eksisteeri.
Lineaarvõrrand
Võrrandeid kujul ax+by=c nimetatakse lineaarseteks. Tähised x, y on tundmatud, mille väärtus tuleb leida, b, a on muutujate koefitsiendid, c on võrrandi vaba liige.
Võrrandi lahendamine joonistades näeb välja sirge, mille kõik punktid on polünoomi lahendid.
Lineaarvõrrandisüsteemide tüübid
Lihtsaimateks näideteks peetakse kahe muutujaga X ja Y lineaarvõrrandisüsteeme.
F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, kus F1,2 on funktsioonid ja (x, y) on funktsiooni muutujad.
Lahenda võrrandisüsteem - see tähendab väärtuste (x, y) leidmist, mille juures süsteem muutub tõeliseks võrduseks, või tuvastamist, et x ja y sobivaid väärtusi ei eksisteeri.
Väärtuste paari (x, y), mis on kirjutatud punkti koordinaatidena, nimetatakse lineaarvõrrandisüsteemi lahenduseks.
Kui süsteemidel on üks ühine lahendus või lahendus puudub, nimetatakse neid ekvivalentseteks.
Homogeensed lineaarvõrrandisüsteemid on süsteemid, mille parempoolne külg on võrdne nulliga. Kui võrdusmärgi järel oleval parempoolsel osal on väärtus või seda väljendatakse funktsiooniga, on selline süsteem heterogeenne.
Muutujate arv võib olla palju suurem kui kaks, siis tuleks rääkida kolme või enama muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi näitest.
Süsteemidega silmitsi seistes eeldavad koolilapsed, et võrrandite arv peab tingimata kattuma tundmatute arvuga, kuid see pole nii. Võrrandite arv süsteemis ei sõltu muutujatest, neid võib olla nii palju kui soovitakse.
Lihtsad ja keerulised meetodid võrrandisüsteemide lahendamiseks
Üldist analüütilist meetodit selliste süsteemide lahendamiseks ei ole, kõik meetodid põhinevad numbrilistel lahendustel. Kooli matemaatikakursus kirjeldab üksikasjalikult selliseid meetodeid nagu permutatsioon, algebraline liitmine, asendamine, samuti graafilised ja maatriksmeetodid, lahendamine Gaussi meetodil.
Lahendusmeetodite õpetamisel on põhiülesanne õpetada süsteemi õigesti analüüsima ja iga näite jaoks optimaalse lahendusalgoritmi leidmiseks. Peaasi ei ole iga meetodi reeglite ja toimingute süsteemi meeldejätmine, vaid konkreetse meetodi kasutamise põhimõtete mõistmine.
Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine 7. klassi üldhariduse õppekavas on üsna lihtne ja väga detailselt lahti seletatud. Igas matemaatikaõpikus pööratakse sellele jaotisele piisavalt tähelepanu. Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamist Gaussi ja Crameri meetodil õpitakse põhjalikumalt kõrghariduse esimestel aastatel.
Süsteemide lahendamine asendusmeetodil
Asendusmeetodi tegevused on suunatud ühe muutuja väärtuse väljendamisele teise järgi. Avaldis asendatakse ülejäänud võrrandiga, seejärel taandatakse see ühe muutujaga vormiks. Toimingut korratakse olenevalt tundmatute arvust süsteemis
Anname 7. klassi lineaarvõrrandisüsteemi näitele lahenduse asendusmeetodil:
Nagu näitest näha, väljendati muutujat x läbi F(X) = 7 + Y. Saadud avaldis, mis asendati süsteemi 2. võrrandiga X asemel, aitas saada 2. võrrandis ühe muutuja Y . Selle näite lahendamine on lihtne ja võimaldab saada Y väärtuse Viimase sammuna tuleb kontrollida saadud väärtusi.
Lineaarvõrrandisüsteemi näidet ei ole alati võimalik asendamise teel lahendada. Võrrandid võivad olla keerulised ja muutuja väljendamine teise tundmatu kujul on edasiste arvutuste jaoks liiga tülikas. Kui süsteemis on rohkem kui 3 tundmatut, pole ka asendamise teel lahendamine asjakohane.
Lineaarsete mittehomogeensete võrrandite süsteemi näite lahendus:
Lahendus algebralise liitmise abil
Süsteemidele liitmismeetodil lahendusi otsides liidetakse võrrandid termini haaval ja korrutatakse erinevate arvudega. Matemaatiliste tehete lõppeesmärk on võrrand ühes muutujas.
Selle meetodi rakendamine nõuab harjutamist ja jälgimist. Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine liitmismeetodiga, kui muutujaid on 3 või enam, ei ole lihtne. Algebralist liitmist on mugav kasutada, kui võrrandid sisaldavad murd- ja kümnendkohti.
Lahenduse algoritm:
- Korrutage võrrandi mõlemad pooled teatud arvuga. Aritmeetilise tehte tulemusena peaks muutuja üks koefitsient olema võrdne 1-ga.
- Lisage saadud avaldis termini haaval ja leidke üks tundmatutest.
- Ülejäänud muutuja leidmiseks asendage saadud väärtus süsteemi 2. võrrandiga.
Lahendusmeetod uue muutuja sisseviimisega
Uue muutuja saab kasutusele võtta, kui süsteem nõuab lahenduse leidmist mitte rohkem kui kahele võrrandile, samuti ei tohiks tundmatute arv olla suurem kui kaks.
Meetodit kasutatakse ühe võrrandi lihtsustamiseks uue muutuja sisseviimisega. Uus võrrand lahendatakse sisestatud tundmatu jaoks ja saadud väärtust kasutatakse algse muutuja määramiseks.
Näites on näha, et uue muutuja t sisseviimisega oli võimalik süsteemi 1. võrrand taandada standardseks ruuttrinoomiks. Polünoomi saate lahendada diskriminandi leidmisega.
Diskriminandi väärtus on vaja leida tuntud valemi abil: D = b2 - 4*a*c, kus D on soovitav diskriminant, b, a, c polünoomi tegurid. Antud näites a=1, b=16, c=39, seega D=100. Kui diskriminant on suurem kui null, siis on kaks lahendit: t = -b±√D / 2*a, kui diskriminant on väiksem kui null, siis on üks lahend: x = -b / 2*a.
Saadud süsteemide lahendus leitakse liitmismeetodi abil.
Visuaalne meetod süsteemide lahendamiseks
Sobib 3 võrrandisüsteemi jaoks. Meetod seisneb iga süsteemis sisalduva võrrandi graafikute koostamises koordinaatteljel. Süsteemi üldlahenduseks saab kõverate lõikepunktide koordinaadid.
Graafilisel meetodil on mitmeid nüansse. Vaatame mitmeid näiteid lineaarvõrrandisüsteemide visuaalsest lahendamisest.
Nagu näitest näha, konstrueeriti iga rea jaoks kaks punkti, muutuja x väärtused valiti meelevaldselt: 0 ja 3. x väärtuste põhjal leiti y väärtused: 3 ja 0. Punktid koordinaatidega (0, 3) ja (3, 0) märgiti graafikule ja ühendati joonega.
Teise võrrandi jaoks tuleb samme korrata. Sirgete lõikepunkt on süsteemi lahendus.
Järgmine näide nõuab graafilise lahenduse leidmist lineaarvõrrandisüsteemile: 0,5x-y+2=0 ja 0,5x-y-1=0.
Nagu näitest näha, pole süsteemil lahendust, kuna graafikud on paralleelsed ega ristu kogu pikkuses.
Näidete 2 ja 3 süsteemid on sarnased, kuid konstrueerimisel selgub, et nende lahendused on erinevad. Tuleb meeles pidada, et alati pole võimalik öelda, kas süsteemil on lahendus või mitte, alati on vaja koostada graaf.
Maatriks ja selle sordid
Lineaarvõrrandisüsteemi kokkuvõtlikuks kirjutamiseks kasutatakse maatrikseid. Maatriks on spetsiaalne numbritega täidetud tabel. n*m sisaldab n - rida ja m - veerge.
Maatriks on ruut, kui veergude ja ridade arv on võrdne. Maatriksvektor on ühest veerust koosnev maatriks, millel on lõpmatult võimalik arv ridu. Maatriksit, mille diagonaalis on ühed ja teised nullelemendid, nimetatakse identiteediks.
Pöördmaatriks on maatriks, mille korrutamisel algne maatriks muutub ühikmaatriksiks; selline maatriks eksisteerib ainult algse ruutmaatriksi jaoks.
Reeglid võrrandisüsteemi maatriksiks teisendamiseks
Võrrandisüsteemide puhul kirjutatakse võrrandite koefitsiendid ja vabaliikmed maatriksarvudena, üks võrrand on maatriksi üks rida.
Maatriksirida nimetatakse nullist erinevaks, kui vähemalt üks rea element ei ole null. Seega, kui mõnes võrrandis erineb muutujate arv, siis tuleb puuduva tundmatu asemele sisestada null.
Maatriksi veerud peavad rangelt vastama muutujatele. See tähendab, et muutuja x koefitsiendid saab kirjutada ainult ühte veergu, näiteks esimene, tundmatu y koefitsient - ainult teise.
Maatriksi korrutamisel korrutatakse kõik maatriksi elemendid järjestikku arvuga.
Pöördmaatriksi leidmise võimalused
Pöördmaatriksi leidmise valem on üsna lihtne: K -1 = 1 / |K|, kus K -1 on pöördmaatriks ja |K| on maatriksi determinant. |K| ei tohi olla võrdne nulliga, siis on süsteemil lahendus.
Determinant on kaks korda kaks maatriksi jaoks hõlpsasti arvutatav; peate lihtsalt diagonaalelemendid üksteisega korrutama. Valiku „kolm korda kolm” jaoks on valem |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Võite kasutada valemit või meeles pidada, et igast reast ja veerust tuleb võtta üks element, et veergude ja elementide ridade arv töös ei korduks.
Lineaarvõrrandisüsteemide näidete lahendamine maatriksmeetodil
Lahenduse leidmise maatriksmeetod võimaldab suure hulga muutujate ja võrranditega süsteemide lahendamisel vähendada tülikaid kirjeid.
Näites on a nm võrrandite koefitsiendid, maatriks on vektor, x n on muutujad ja b n on vabad liikmed.
Süsteemide lahendamine Gaussi meetodil
Kõrgemas matemaatikas uuritakse Gaussi meetodit koos Crameri meetodiga ning süsteemidele lahenduste leidmise protsessi nimetatakse Gauss-Crameri lahendusmeetodiks. Neid meetodeid kasutatakse suure hulga lineaarvõrranditega süsteemide muutujate leidmiseks.
Gaussi meetod on väga sarnane asendus- ja algebralise liitmise lahendustele, kuid on süstemaatilisem. Koolikursuses kasutatakse Gaussi meetodil lahendust 3 ja 4 võrrandisüsteemide puhul. Meetodi eesmärk on taandada süsteem ümberpööratud trapetsi kujule. Algebraliste teisenduste ja asenduste abil leitakse süsteemi ühest võrrandist ühe muutuja väärtus. Teine võrrand on avaldis 2 tundmatuga, samas kui 3 ja 4 on vastavalt 3 ja 4 muutujaga.
Pärast süsteemi viimist kirjeldatud kujule taandatakse edasine lahendus teadaolevate muutujate järjestikusele asendamisele süsteemi võrrandites.
7. klassi kooliõpikutes kirjeldatakse Gaussi meetodi lahenduse näidet järgmiselt:
Nagu näitest näha, saadi etapis (3) kaks võrrandit: 3x 3 -2x 4 =11 ja 3x 3 +2x 4 =7. Mis tahes võrrandi lahendamine võimaldab teil välja selgitada ühe muutuja x n.
Tekstis mainitud teoreem 5 väidab, et kui süsteemi üks võrranditest asendada samaväärsega, on tulemuseks olev süsteem samaväärne ka algse võrrandiga.
Gaussi meetodit on keskkooliõpilastel raske mõista, kuid see on üks huvitavamaid viise matemaatika- ja füüsikaklassides edasijõudnute õppeprogrammides osalevate laste leidlikkuse arendamiseks.
Salvestamise hõlbustamiseks tehakse arvutused tavaliselt järgmiselt:
Võrrandite ja vabaliikmete koefitsiendid kirjutatakse maatriksi kujul, kus iga maatriksi rida vastab süsteemi ühele võrrandile. eraldab võrrandi vasaku külje paremast. Rooma numbrid näitavad võrrandite numbreid süsteemis.
Kõigepealt kirjutage üles maatriks, millega töötate, seejärel kõik toimingud, mida ühe reaga tehakse. Saadud maatriks kirjutatakse pärast märki "nool" ja vajalikke algebralisi toiminguid jätkatakse kuni tulemuse saavutamiseni.
Tulemuseks peaks olema maatriks, milles üks diagonaalidest on võrdne 1-ga ja kõik muud koefitsiendid on võrdsed nulliga, see tähendab, et maatriks taandatakse ühikuvormiks. Me ei tohi unustada arvutuste tegemist võrrandi mõlemal poolel olevate numbritega.
See salvestusmeetod on vähem tülikas ja võimaldab teil mitte lasta end segada paljude tundmatute loetlemisest.
Mis tahes lahendusmeetodi tasuta kasutamine nõuab hoolt ja teatavat kogemust. Kõik meetodid ei ole rakendusliku iseloomuga. Mõned lahenduste leidmise meetodid on konkreetses inimtegevuse valdkonnas eelistatavamad, teised aga hariduslikel eesmärkidel.