Komplekssed integraalid

See artikkel lõpetab määramata integraalide teema ja sisaldab integraale, mis minu arvates on üsna keerulised. Tund loodi külastajate korduval palvel, kes avaldasid soovi, et saidil analüüsitaks ka keerulisemaid näiteid.

Eeldatakse, et selle teksti lugeja on hästi ette valmistatud ja teab, kuidas rakendada elementaarseid integreerimisvõtteid. Mannekeenid ja inimesed, kes ei ole integraalides väga kindlad, peaksid viidata kõige esimesele õppetunnile - Määramatu integraal. Näited lahendustest, kus saate teema peaaegu nullist hallata. Kogenumad õpilased saavad tutvuda lõimimise tehnikate ja meetoditega, mida minu artiklites pole veel kohatud.

Milliseid integraale võetakse arvesse?

Esmalt käsitleme juurtega integraale, mille lahendamiseks kasutame järjestikku muutuv asendus Ja integreerimine osade kaupa. See tähendab, et ühes näites kombineeritakse korraga kaks tehnikat. Ja veelgi enam.

Siis tutvume huvitava ja omapärasega meetod integraali taandamiseks iseendaks. Päris paljud integraalid on nii lahendatud.

Programmi kolmas number on kompleksmurdude integraalid, mis eelmistes artiklites kassast mööda lendasid.

Neljandaks analüüsitakse täiendavaid integraale trigonomeetrilistest funktsioonidest. Eelkõige on meetodeid, mis väldivad aeganõudvat universaalset trigonomeetrilist asendamist.

(2) Integrandi funktsioonis jagame lugeja liigendiga nimetajaga.

(3) Kasutame määramatu integraali lineaarsusomadust. Viimases integraalis kohe pane funktsioon diferentsiaalmärgi alla.

(4) Võtame ülejäänud integraalid. Pange tähele, et logaritmis saate mooduli asemel kasutada sulgusid, kuna .

(5) Viime läbi vastupidise asendamise, väljendades "te" otsesest asendamisest:

Masohhistlikud õpilased suudavad vastuseid eristada ja saada algse integrandi, nagu ma just tegin. Ei, ei, ma kontrollisin õiges mõttes =)

Nagu näha, tuli lahenduse käigus kasutada isegi rohkem kui kahte lahendusmeetodit, seega on selliste integraalidega toimetulemiseks vaja enesekindlaid integreerimisoskusi ja üsna vähe kogemusi.

Praktikas on ruutjuur muidugi tavalisem, siin on kolm näidet selle ise lahendamiseks:

Näide 2

Leidke määramatu integraal

Näide 3

Leidke määramatu integraal

Näide 4

Leidke määramatu integraal

Need näited on sama tüüpi, seega on täielik lahendus artikli lõpus ainult näidete 3-4 jaoks, millel on samad vastused. Millist asendust otsuste alguses kasutada, on minu arvates ilmne. Miks ma valisin sama tüüpi näited? Sageli leitakse nende rollis. Sagedamini võib-olla lihtsalt midagi sellist .

Kuid mitte alati, kui arctangensi, siinuse, koosinuse, eksponentsiaal- ja muude funktsioonide all on lineaarfunktsiooni juur, tuleb kasutada mitut meetodit korraga. Paljudel juhtudel on võimalik "lihtsalt maha saada", see tähendab, et kohe pärast asendamist saadakse lihtne integraal, mida saab hõlpsasti võtta. Ülal pakutud ülesannetest on kõige lihtsam näide 4, kus pärast asendamist saadakse suhteliselt lihtne integraal.

Vähendades integraali iseendaks

Vaimukas ja ilus meetod. Vaatame žanri klassikat:

Näide 5

Leidke määramatu integraal

Juure all on ruutbinoom ja selle näite integreerimine võib teekannule tundideks peavalu valmistada. Selline integraal võetakse osadena ja taandatakse iseendaks. Põhimõtteliselt pole see keeruline. Kui tead kuidas.

Tähistame vaadeldavat integraali ladina tähega ja alustame lahendust:

Integreerime osade kaupa:

(1) Valmistage integrandi funktsioon ette terminikaupa jagamiseks.

(2) Jagame integrandi funktsiooni termini kaupa. See ei pruugi kõigile selge olla, kuid kirjeldan seda üksikasjalikumalt:

(3) Kasutame määramatu integraali lineaarsusomadust.

(4) Võtke viimane integraal ("pikk" logaritm).

Vaatame nüüd lahenduse algust:

Ja lõpuni:

Mis juhtus? Meie manipulatsioonide tulemusena taandus integraal iseendaks!

Võrdleme alguse ja lõpu:

Liikuge märgi muutmisega vasakule küljele:

Ja me liigutame need kaks paremale küljele. Tulemusena:

Konstant oleks rangelt võttes pidanud varem lisama, aga lisasin selle lõpus. Soovitan tungivalt lugeda, milline rangus siin on:

Märge: Täpsemalt näeb lahenduse viimane etapp välja selline:

Seega:

Konstandi saab ümber määrata . Miks saab selle ümber nimetada? Sest ta aktsepteerib seda endiselt ükskõik milline väärtused ja selles mõttes pole konstantide ja vahel vahet.
Tulemusena:

Sarnast nippi pideva renoteerimisega kasutatakse laialdaselt diferentsiaalvõrrandid. Ja seal olen ma range. Ja siin ma luban sellist vabadust ainult selleks, et mitte ajada teid segadusse mittevajalike asjadega ja suunata tähelepanu just integreerimismeetodile endale.

Näide 6

Leidke määramatu integraal

Teine tüüpiline sõltumatu lahenduse integraal. Täislahendus ja vastus tunni lõpus. Eelmise näite vastusega võrreldes on erinevus!

Kui ruutjuure all on ruuttrinoom, taandub lahendus igal juhul kahele analüüsitud näitele.

Näiteks võtke arvesse integraali . Kõik, mida pead tegema, on kõigepealt vali terve ruut:
.
Järgmisena viiakse läbi lineaarne asendamine, mis teeb "ilma tagajärgedeta":
, mille tulemuseks on integraal . Midagi tuttavat, eks?

Või see näide ruutbinoomiga:
Valige terve ruut:
Ja pärast lineaarset asendamist saame integraali, mis on samuti lahendatud juba käsitletud algoritmi abil.

Vaatame kahte tüüpilisemat näidet integraali taandamiseks iseendaks:
– siinusega korrutatud eksponentsiaali integraal;
– eksponentsiaali integraal, mis on korrutatud koosinusega.

Loetletud integraalides osade kaupa peate integreerima kaks korda:

Näide 7

Leidke määramatu integraal

Integrand on eksponentsiaal, mis on korrutatud siinusega.

Integreerime osade kaupa kaks korda ja taandame integraali iseendaks:

Osade kaupa kahekordse integreerimise tulemusena taandus integraal iseendaks. Võrdleme lahenduse alguse ja lõpu:

Liigutame selle märgivahetusega vasakule ja väljendame oma integraali:

Valmis. Samal ajal on soovitav kammida parem pool, st. võta astendaja sulgudest välja ning aseta siinus ja koosinus sulgudesse “ilusas” järjekorras.

Läheme nüüd tagasi näite algusesse või täpsemalt osade kaupa integreerimise juurde:

Määrasime eksponendiks kui. Tekib küsimus: kas astendajat tuleks alati tähistada ? Ei ole vajalik. Tegelikult vaadeldavas integraalis põhimõtteliselt vahet pole, mida me selle all mõtleme, oleksime võinud minna teist teed:

Miks see võimalik on? Kuna eksponentsiaal muutub iseendaks (nii diferentseerumise kui integreerimise käigus), muutuvad siinus ja koosinus vastastikku üksteiseks (jällegi nii diferentseerumise kui integreerimise käigus).

See tähendab, et võime tähistada ka trigonomeetrilist funktsiooni. Kuid vaadeldavas näites on see vähem ratsionaalne, kuna ilmuvad murrud. Soovi korral võite proovida seda näidet lahendada teise meetodi abil, vastused peavad ühtima.

Näide 8

Leidke määramatu integraal

See on näide, mille saate ise lahendada. Enne kui otsustate, mõelge, mida on antud juhul kasulikum nimetada eksponentsiaalseks või trigonomeetriliseks funktsiooniks? Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Ja muidugi ärge unustage, et enamikku selle õppetunni vastuseid on eristamise teel üsna lihtne kontrollida!

Vaadeldud näited ei olnud kõige keerulisemad. Praktikas on enam levinud integraalid, kus konstant on nii trigonomeetrilise funktsiooni eksponendis kui ka argumendis, näiteks: . Paljud inimesed lähevad sellises integraalis segadusse ja sageli satun ka ise segadusse. Tõsiasi on see, et lahusesse ilmub suure tõenäosusega murde ning hooletusest on väga lihtne midagi kaotada. Lisaks on märkides suur vigade tõenäosus, et eksponendil on miinusmärk ja see tekitab täiendavaid raskusi.

Viimases etapis on tulemus sageli midagi sellist:

Isegi lahenduse lõpus peaksite olema äärmiselt ettevaatlik ja murdudest õigesti aru saama:

Keeruliste murdude integreerimine

Läheneme aeglaselt õppetunni ekvaatorile ja hakkame arvestama murdude integraalidega. Jällegi, mitte kõik neist pole ülikeerulised, lihtsalt ühel või teisel põhjusel olid näited teistes artiklites pisut "teemavälised".

Juurte teema jätkamine

Näide 9

Leidke määramatu integraal

Nimetajas juure all on ruuttrinoom pluss "liide" X-i kujul väljaspool juurt. Seda tüüpi integraali saab lahendada standardse asendusega.

Otsustame:

Siin on asendus lihtne:

Vaatame elu pärast asendamist:

(1) Pärast asendamist taandame juure all olevad terminid ühiseks nimetajaks.
(2) Me võtame selle juure alt välja.
(3) Lugejat ja nimetajat vähendatakse võrra. Samas juure all sättisin terminid mugavas järjekorras ümber. Teatud kogemuse korral võib sammud (1), (2) vahele jätta, tehes kommenteeritud toiminguid suuliselt.
(4) Saadud integraal, nagu te õppetunnist mäletate Mõnede murdude integreerimine, on otsustamisel täielik ruudu ekstraheerimise meetod. Valige terve ruut.
(5) Integreerimisega saame tavalise “pika” logaritmi.
(6) Teostame vastupidise asendamise. Kui alguses , siis tagasi: .
(7) Lõplik tegevus on suunatud tulemuse õgvendamisele: juure all viime terminid taas ühisele nimetajale ja võtame juure alt välja.

Näide 10

Leidke määramatu integraal

See on näide, mille saate ise lahendada. Siin lisatakse üksikule X-le konstant ja asendus on peaaegu sama:

Ainus asi, mida peate lisaks tegema, on väljendada "x" teostatavast asendamisest:

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Mõnikord võib sellises integraalis juure all olla ruutbinoom, see ei muuda lahendusmeetodit, see on veelgi lihtsam. Tundke erinevust:

Näide 11

Leidke määramatu integraal

Näide 12

Leidke määramatu integraal

Lühilahendused ja vastused tunni lõpus. Tuleb märkida, et näide 11 on täpselt selline binoomne integraal, mille lahendusviisist tunnis räägiti Irratsionaalsete funktsioonide integraalid.

2. astme lagunematu polünoomi integraal astmega

(polünoom nimetajas)

Haruldasem integraalitüüp, kuid praktilistes näidetes siiski kohatud.

Näide 13

Leidke määramatu integraal

Kuid pöördume tagasi näite juurde õnnenumbriga 13 (ausalt, ma ei arvanud õigesti). See integraal on ka üks neist, mis võib olla üsna masendav, kui te ei tea, kuidas seda lahendada.

Lahendus algab kunstliku teisendusega:

Ma arvan, et kõik saavad juba aru, kuidas jagada lugeja nimetajaga termini kaupa.

Saadud integraal võetakse osadeks:

Vormi ( – naturaalarv) integraali puhul tuletame korduv vähendamise valem:
, Kus – kraadi võrra madalam integraal.

Kontrollime selle valemi kehtivust lahendatud integraali puhul.
Sel juhul: , , kasutame valemit:

Nagu näete, on vastused samad.

Näide 14

Leidke määramatu integraal

See on näide, mille saate ise lahendada. Proovilahuses kasutatakse ülaltoodud valemit kaks korda järjest.

Kui kraadi all on jagamatu ruutkolminoom, siis taandatakse lahendus binoomseks, eraldades täiusliku ruudu, näiteks:

Mis siis, kui lugejas on täiendav polünoom? Sel juhul kasutatakse määramatute koefitsientide meetodit ja integrandi funktsioon laiendatakse murdude summaks. Kuid minu praktikas on selline näide olemas pole kunagi kohtunud, seega jäi see juhtum artiklis kahe silma vahele Murd-ratsionaalfunktsioonide integraalid, jätan selle nüüd vahele. Kui kohtate endiselt sellist integraali, vaadake õpikut - seal on kõik lihtne. Ma arvan, et pole soovitatav kaasata materjali (isegi lihtsaid), mille kohtumise tõenäosus kipub olema null.

Keeruliste trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine

Omadussõna "keeruline" on enamiku näidete puhul taas suures osas tinglik. Alustame suurte astmetega puutujatest ja kotangentidest. Kasutatavate lahendusmeetodite seisukohalt on puutuja ja kotangens peaaegu sama asi, seega räägin lähemalt puutujast, mis tähendab, et näidatud integraali lahendamise meetod kehtib ka kotangensile.

Ülaltoodud õppetükis vaatlesime universaalne trigonomeetriline asendus trigonomeetriliste funktsioonide teatud tüüpi integraalide lahendamiseks. Universaalse trigonomeetrilise asendamise puuduseks on see, et selle kasutamise tulemuseks on sageli tülikad ja keeruliste arvutustega integraalid. Ja mõnel juhul saab universaalset trigonomeetrilist asendust vältida!

Vaatleme teist kanoonilist näidet, siinusega jagatud integraali:

Näide 17

Leidke määramatu integraal

Siin saate kasutada universaalset trigonomeetrilist asendust ja saada vastuse, kuid on ka ratsionaalsem viis. Esitan iga sammu jaoks täieliku lahenduse koos kommentaaridega:

(1) Topeltnurga siinuse jaoks kasutame trigonomeetrilist valemit.
(2) Teostame kunstliku teisenduse: jagame nimetajaga ja korrutame .
(3) Kasutades nimetajas tuntud valemit, teisendame murdosa puutujaks.
(4) Toome funktsiooni diferentsiaalmärgi alla.
(5) Võtke integraal.

Paar lihtsat näidet, mida saate ise lahendada:

Näide 18

Leidke määramatu integraal

Märkus. Esimene samm peaks olema vähendamise valemi kasutamine ja tehke hoolikalt eelmise näitega sarnaseid toiminguid.

Näide 19

Leidke määramatu integraal

Noh, see on väga lihtne näide.

Terviklahendused ja vastused tunni lõpus.

Ma arvan, et nüüd pole integraalidega kellelgi probleeme:
ja nii edasi.

Mis on meetodi idee? Idee on kasutada teisendusi ja trigonomeetrilisi valemeid, et korraldada integrandi ainult puutujad ja puutuja tuletis. See tähendab, et me räägime asendamisest: . Näidetes 17-19 kasutasime tegelikult seda asendust, kuid integraalid olid nii lihtsad, et saime hakkama samaväärse toiminguga – funktsiooni liitmine diferentsiaalmärgi alla.

Sarnaseid arutlusi, nagu ma juba mainisin, saab läbi viia ka kotangensi puhul.

Ülaltoodud asendamise rakendamiseks on ka formaalne eeltingimus:

Koosinuse ja siinuse astmete summa on negatiivne täisarv PAARARV, Näiteks:

integraali puhul – negatiivne täisarv PAARARV.

! Märge : kui integrand sisaldab AINULT siinust või AINULT koosinust, siis võetakse integraal ka negatiivse paaritu astme jaoks (lihtsamad juhud on näidetes nr 17, 18).

Vaatame selle reegli alusel paari sisukamat ülesannet:

Näide 20

Leidke määramatu integraal

Siinuse ja koosinuse astmete summa: 2 – 6 = –4 on negatiivne täisarv PAARARV, mis tähendab, et integraali saab taandada puutujateks ja selle tuletiseks:

(1) Teisendame nimetaja.
(2) Kasutades üldtuntud valemit, saame .
(3) Teisendame nimetaja.
(4) Kasutame valemit .
(5) Toome funktsiooni diferentsiaalmärgi alla.
(6) Teostame asendamise. Kogenumad õpilased ei pruugi asendamist läbi viia, kuid parem on siiski asendada puutuja ühe tähega - on väiksem oht ​​segadusse sattuda.

Näide 21

Leidke määramatu integraal

See on näide, mille saate ise lahendada.

Oodake, meistrivõistluste voorud on kohe algamas =)

Sageli sisaldab integrand "hodgepodge'i":

Näide 22

Leidke määramatu integraal

See integraal sisaldab algselt puutujat, mis viib kohe juba tuttava mõtteni:

Jätan kunstliku ümberkujundamise algusesse ja ülejäänud sammud kommentaarideta, kuna kõike on eespool juba käsitletud.

Paar loomingulist näidet teie enda lahenduse jaoks:

Näide 23

Leidke määramatu integraal

Näide 24

Leidke määramatu integraal

Jah, nendes saate muidugi siinuse ja koosinuse astmeid alandada ning kasutada universaalset trigonomeetrilist asendust, kuid lahendus on palju tõhusam ja lühem, kui see viiakse läbi puutujate kaudu. Täislahendus ja vastused tunni lõpus

Näidatakse, et sin x ja cos x astmefunktsioonide korrutise integraali saab taandada diferentsiaalbinoomi integraaliks. Eksponentide täisarvude jaoks on sellised integraalid hõlpsasti arvutatavad osade kaupa või redutseerimisvalemite abil. Taastusvalemite tuletus on antud. Sellise integraali arvutamise näide on toodud.

Sisu

Vaata ka:
Määramata integraalide tabel

Taandamine diferentsiaalbinoomi integraaliks

Vaatleme vormi integraale:

Sellised integraalid taandatakse ühe asenduste diferentsiaalbinoomi integraaliks t = sin x või t = cos x.

Näitame seda asendusega
t = sin x.
Siis
dt = (sin x)′ dx = cos x dx;
cos 2 x = 1 - sin 2 x = 1 - t 2;

Kui m ja n on ratsionaalarvud, tuleks kasutada difemeetodeid.

Integreerimine täisarvudega m ja n

Järgmiseks vaatleme juhtumit, kui m ja n on täisarvud (mitte tingimata positiivsed). Sel juhul on integrand selle ratsionaalne funktsioon sin x Ja cos x. Seetõttu saate rakendada jaotises "Trigonomeetriliste ratsionaalsete funktsioonide integreerimine" esitatud reegleid.

Eriomadusi arvestades on aga lihtsam kasutada redutseerimisvalemeid, mida on lihtne saada osade kaupa integreerimisel.

Vähendamise valemid

Integraali taandamise valemid

omama vormi:

;
;
;
.

Neid pole vaja pähe õppida, kuna need on osade kaupa integreerimisel hõlpsasti kättesaatavad.

Redutseerimisvalemite tõendamine

Integreerime osade kaupa.


Korrutades m + n-ga, saame esimese valemi:

Samamoodi saame teise valemi.

Integreerime osade kaupa.


Korrutades m + n-ga, saame teise valemi:

Kolmas valem.

Integreerime osade kaupa.


Korrutades n-ga + 1 , saame kolmanda valemi:

Samamoodi neljanda valemi jaoks.

Integreerime osade kaupa.


Korrutades m-ga + 1 , saame neljanda valemi:

Näide

Arvutame integraali:

Muutame:

Siin m = 10, n = -4.

Kasutame redutseerimisvalemit:

Kui m = 10, n = -4:

Kui m = 8, n = -2:

Kasutame redutseerimisvalemit:

Kui m = 6, n = -0:

Kui m = 4, n = -0:

Kui m = 2, n = -0:

Arvutame ülejäänud integraali:

Vahetulemused kogume ühte valemisse.

Viited:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Kõrgema matemaatika ülesannete kogu, “Lan”, 2003.

Vaata ka:

Sellelt lehelt leiate:

1. Tegelikult antiderivaatide tabel - seda saab PDF-vormingus alla laadida ja printida;

2. Video selle tabeli kasutamise kohta;

3. Hunnik näiteid antiderivaadi arvutamisest erinevatest õpikutest ja testidest.

Videos endas analüüsime paljusid probleeme, kus peate arvutama funktsioonide antiderivaadid, sageli üsna keerulised, kuid mis kõige tähtsam, need ei ole võimsusfunktsioonid. Kõik ülaltoodud tabelis kokku võetud funktsioonid peavad olema peast teada, nagu tuletised. Ilma nendeta on integraalide edasine uurimine ja nende rakendamine praktiliste probleemide lahendamisel võimatu.

Täna jätkame primitiivide uurimist ja liigume veidi keerulisema teema juurde. Kui eelmine kord vaatlesime ainult võimsusfunktsioonide ja veidi keerukamate konstruktsioonide antiderivaate, siis täna vaatame trigonomeetriat ja palju muud.

Nagu ma eelmises õppetükis ütlesin, ei lahendata antiderivaate, erinevalt tuletistest, kunagi standardreeglite abil "kohe". Pealegi on halb uudis see, et erinevalt tuletisest ei pruugita antiderivaati üldse arvesse võtta. Kui kirjutada täiesti juhuslik funktsioon ja proovida leida selle tuletist, siis väga suure tõenäosusega see õnnestub, kuid antiderivatiivi ei arvutata sel juhul peaaegu kunagi. Kuid on ka häid uudiseid: on olemas üsna suur funktsioonide klass, mida nimetatakse elementaarfunktsioonideks, mille antiderivaate on väga lihtne arvutada. Ja kõik muud keerukamad struktuurid, mis antakse igasugustele testidele, sõltumatutele testidele ja eksamitele, koosnevad tegelikult nendest elementaarsetest funktsioonidest liitmise, lahutamise ja muude lihtsate toimingute kaudu. Selliste funktsioonide prototüübid on pikka aega arvutatud ja spetsiaalseteks tabeliteks koostatud. Just nende funktsioonide ja tabelitega me täna töötame.

Kuid alustame, nagu alati, kordusega: meenutagem, mis on antiderivaat, miks neid on lõpmatult palju ja kuidas määrata nende üldist välimust. Selleks leidsin kaks lihtsat probleemi.

Lihtsate näidete lahendamine

Näide nr 1

Pangem kohe tähele, et $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ ja üldiselt $\text( )\!\!\pi\ !\!\ text( )$ vihjab meile kohe, et funktsiooni nõutav antiderivatiiv on seotud trigonomeetriaga. Ja tõepoolest, kui vaatame tabelit, leiame, et $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ pole midagi muud kui $\text(arctg)x$. Nii et paneme selle kirja:

Leidmiseks peate üles kirjutama järgmised andmed:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Näide nr 2

Räägime siin ka trigonomeetrilistest funktsioonidest. Kui vaatame tabelit, siis tõepoolest juhtub see nii:

Peame kogu antiderivaatide komplekti hulgast leidma selle, mis läbib näidatud punkti:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Paneme selle lõpuks kirja:

Nii lihtne see ongi. Ainus probleem on selles, et lihtsate funktsioonide antiderivaatide arvutamiseks peate õppima antiderivaatide tabelit. Kuid pärast tuletistabeli uurimist arvan, et see ei tekita probleeme.

Eksponentfunktsiooni sisaldavate ülesannete lahendamine

Alustuseks kirjutame järgmised valemid:

\[((e)^(x))\kuni ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Vaatame, kuidas see kõik praktikas toimib.

Näide nr 1

Kui vaatame sulgude sisu, siis märkame, et antiderivaatide tabelis pole sellist avaldist $((e)^(x))$ jaoks ruudus, seega tuleb seda ruutu laiendada. Selleks kasutame lühendatud korrutusvalemeid:

Leiame iga termini jaoks antiderivaadi:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)^) (2)) \parem))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \parem))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2(e)^(2x))) \]

Nüüd kogume kõik terminid ühte avaldisse ja saame üldise antiderivaadi:

Näide nr 2

Seekord on aste suurem, nii et lühendatud korrutusvalem on üsna keeruline. Avame siis sulud:

Proovime nüüd sellest konstruktsioonist võtta meie valemi antiderivaadi:

Nagu näete, pole eksponentsiaalfunktsiooni antiderivaatides midagi keerulist ega üleloomulikku. Kõik need on arvutatud tabelite kaudu, kuid tähelepanelikud õpilased märkavad ilmselt, et antiderivatiiv $((e)^(2x))$ on palju lähemal lihtsalt $((e)^(x))$ kui $((a) )^(x ))$. Ehk on mõni erilisem reegel, mis lubab antideriviivi $((e)^(x))$ teades leida $((e)^(2x))$? Jah, selline reegel on olemas. Ja pealegi on see antiderivaatide tabeliga töötamise lahutamatu osa. Nüüd analüüsime seda samade väljendite abil, millega me just näitena töötasime.

Antiderivaatide tabeliga töötamise reeglid

Kirjutame oma funktsiooni uuesti:

Eelmisel juhul kasutasime lahendamiseks järgmist valemit:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operaatorinimi(lna))\]

Aga nüüd teeme seda veidi teisiti: meenutagem, mille alusel $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Nagu ma juba ütlesin, kuna tuletis $((e)^(x))$ ei ole midagi muud kui $((e)^(x))$, siis on selle antiderivaat võrdne sama $((e) ^ (x))$. Kuid probleem on selles, et meil on $((e)^(2x))$ ja $((e)^(-2x))$. Nüüd proovime leida $((e)^(2x))$ tuletist:

\[((\left(((e)^(2x)) \parem))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right)))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Kirjutame oma konstruktsiooni uuesti ümber:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

See tähendab, et kui leiame antiderivaadi $((e)^(2x))$, saame järgmise:

\[((e)^(2x))\frac(((e)^(2x)))(2)\]

Nagu näete, saime sama tulemuse, mis varem, kuid me ei kasutanud $((a)^(x))$ leidmiseks valemit. Nüüd võib see tunduda rumal: miks teha arvutusi keeruliseks, kui on olemas standardvalem? Kuid veidi keerulisemates väljendites leiate, et see tehnika on väga tõhus, st. derivaatide kasutamine antiderivaatide leidmiseks.

Soojenduseks leiame sarnasel viisil $(e)^(2x))$ antiderivaadi:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Arvutamisel kirjutatakse meie konstruktsioon järgmiselt:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Saime täpselt sama tulemuse, kuid läksime teist teed. Just see tee, mis praegu tundub meile veidi keerulisem, osutub tulevikus efektiivsemaks keerukamate antiderivaatide arvutamisel ja tabelite kasutamisel.

Märge! See on väga oluline punkt: antiderivaate, nagu ka derivaate, saab loendada mitmel erineval viisil. Kui aga kõik arvutused ja arvutused on võrdsed, on vastus sama. Me nägime seda äsja $((e)^(-2x))$ näitel - ühelt poolt arvutasime selle antiderivaadi "otse läbi", kasutades definitsiooni ja arvutades selle teisenduste abil, teisest küljest, tuli meelde, et $ ((e)^(-2x))$ saab esitada kui $((\left(((e)^(-2)) \right)))^(x))$ ja alles siis kasutasime funktsiooni $( (a)^(x))$ antituletis. Pärast kõiki ümberkujundamisi oli tulemus aga ootuspärane.

Ja nüüd, kui me seda kõike mõistame, on aeg liikuda millegi olulisema juurde. Nüüd analüüsime kahte lihtsat konstruktsiooni, kuid nende lahendamisel kasutatav tehnika on võimsam ja kasulikum tööriist kui lihtsalt tabelist naaberantiderivaatide vahel “jooksmine”.

Probleemi lahendamine: funktsiooni antiderivaadi leidmine

Näide nr 1

Jagame lugejates oleva summa kolmeks eraldi murduks:

See on üsna loomulik ja arusaadav üleminek – enamikul õpilastest sellega probleeme ei teki. Kirjutame oma väljendi ümber järgmiselt:

Nüüd meenutagem seda valemit:

Meie puhul saame järgmise:

Kõigist nendest kolmekorruselistest murdudest vabanemiseks soovitan teha järgmist:

Näide nr 2

Erinevalt eelmisest murrust ei ole nimetaja korrutis, vaid summa. Sel juhul ei saa me enam jagada oma murdosa mitme lihtmurru summaks, vaid peame kuidagi püüdma veenduda, et lugeja sisaldab ligikaudu sama avaldist kui nimetaja. Sel juhul on seda üsna lihtne teha:

See märge, mida matemaatilises keeles nimetatakse "nulli lisamiseks", võimaldab meil murdosa uuesti jagada kaheks osaks:

Nüüd leiame selle, mida otsisime:

See on kõik arvutused. Vaatamata näilisele suuremale keerukusele kui eelmises ülesandes, osutus arvutuste maht veelgi väiksemaks.

Lahenduse nüansid

Ja siin peitub tabelivastaste derivaatidega töötamise peamine raskus, see on eriti märgatav teises ülesandes. Fakt on see, et mõne tabeli kaudu hõlpsasti arvutatava elemendi valimiseks peame teadma, mida täpselt otsime, ja kogu antiderivatiivide arvutus koosneb nende elementide otsimisest.

Teisisõnu ei piisa ainult antiderivaatide tabeli päheõppimisest – tuleb osata näha midagi, mida veel ei ole, vaid mida selle probleemi autor ja koostaja mõtles. Seetõttu vaidlevad paljud matemaatikud, õpetajad ja professorid pidevalt: "Mis on antiderivaatide võtmine või integreerimine - kas see on lihtsalt tööriist või on see tõeline kunst?" Tegelikult ei ole lõimumine minu isikliku arvamuse kohaselt üldse kunst - selles pole midagi ülevat, see on lihtsalt harjutamine ja rohkem harjutamine. Ja harjutamiseks lahendame kolm tõsisemat näidet.

Koolitame integratsiooni praktikas

Ülesanne nr 1

Kirjutame järgmised valemid:

\[((x)^(n))\ kuni \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Kirjutame järgmise:

Probleem nr 2

Kirjutame selle ümber järgmiselt:

Antiderivatiivi kogusumma on võrdne:

Probleem nr 3

Selle ülesande raskus seisneb selles, et erinevalt eelmistest ülaltoodud funktsioonidest pole muutujat $x$ üldse, st. meile pole selge, mida lisada või lahutada, et saada vähemalt midagi sarnast allpool kirjeldatule. Kuid tegelikult peetakse seda avaldist veelgi lihtsamaks kui ükski eelmine avaldis, kuna selle funktsiooni saab ümber kirjutada järgmiselt:

Nüüd võite küsida: miks need funktsioonid on võrdsed? Kontrollime:

Kirjutame selle uuesti ümber:

Muudame oma väljendit veidi:

Ja kui ma seda kõike oma õpilastele selgitan, tekib peaaegu alati sama probleem: esimese funktsiooniga on kõik enam-vähem selge, teisega saab ka õnne või praktikaga selgeks, aga millise alternatiivse teadvusega sa teed. mida peab kolmanda näite lahendamiseks omama? Tegelikult ärge kartke. Meetodit, mida kasutasime viimase antiderivaadi arvutamisel, nimetatakse "funktsiooni lihtsaimaks jaotamiseks" ja see on väga tõsine tehnika ja sellele pühendatakse eraldi videotund.

Vahepeal teen ettepaneku pöörduda tagasi selle juurde, mida me just uurisime, nimelt eksponentsiaalsete funktsioonide juurde ja muuta nende sisuga probleeme mõnevõrra keerulisemaks.

Keerulisemad ülesanded antiderivatiivsete eksponentsiaalfunktsioonide lahendamiseks

Ülesanne nr 1

Pangem tähele järgmist:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Selle avaldise antiderivaadi leidmiseks kasutage lihtsalt standardvalemit - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Meie puhul on antiderivaat järgmine:

Muidugi, võrreldes meie äsja lahendatud disainiga, tundub see lihtsam.

Probleem nr 2

Jällegi on lihtne näha, et selle funktsiooni saab hõlpsasti jagada kaheks eraldi terminiks – kaheks eraldi murduks. Kirjutame ümber:

Üle jääb ülalkirjeldatud valemi abil leida kõigi nende terminite antiderivaat:

Vaatamata eksponentsiaalfunktsioonide näilisele suuremale keerukusele võrreldes võimsusfunktsioonidega, osutus arvutuste ja arvutuste üldine maht palju lihtsamaks.

Teadlikele õpilastele võib äsja arutletu (eriti varem käsitletu taustal) tunduda muidugi elementaarsete väljenditena. Neid kahte ülesannet tänaseks videotunniks valides ei seadnud ma aga eesmärgiks rääkida teile veel ühest keerulisest ja keerukast tehnikast – tahtsin teile näidata vaid seda, et te ei tohiks karta kasutada algebraliste funktsioonide muutmiseks standardseid algebra tehnikaid. .

"Salajase" tehnika kasutamine

Kokkuvõtteks tahaksin vaadelda veel ühte huvitavat tehnikat, mis ühest küljest läheb kaugemale sellest, millest täna põhiliselt arutlesime, kuid teisest küljest pole see esiteks sugugi keeruline, s.t. Ka algajad õpilased saavad sellega hakkama ja teiseks kohtab seda üsna sageli kõikvõimalikes kontrolltöödes ja iseseisvates töödes, s.t. selle tundmine on väga kasulik lisaks antiderivaatide tabeli tundmisele.

Ülesanne nr 1

Ilmselgelt on meil midagi väga sarnast võimsusfunktsiooniga. Mida peaksime sel juhul tegema? Mõelgem sellele: $x-5$ ei erine $x$-st mitte nii palju – nad lihtsalt lisasid $-5$. Kirjutame selle nii:

\[((x)^(4))\frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Proovime leida $((\left(x-5 \right))^(5))$ tuletist:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

See tähendab:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ paremal))^(\peamine ))\]

Tabelis sellist väärtust pole, seega oleme nüüd selle valemi ise tuletanud, kasutades võimsusfunktsiooni standardset antiderivatiivvalemit. Kirjutame vastuse nii:

Probleem nr 2

Paljud õpilased, kes vaatavad esimest lahendust, võivad arvata, et kõik on väga lihtne: lihtsalt asenda $x$ võimsusfunktsioonis lineaarse avaldisega ja kõik loksub paika. Kahjuks pole kõik nii lihtne ja nüüd näeme seda.

Analoogiliselt esimese avaldisega kirjutame järgmise:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Tulles tagasi tuletise juurde, võime kirjutada:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \parem))^(\prime ))\]

See järgneb kohe:

Lahenduse nüansid

Pange tähele: kui eelmisel korral midagi sisuliselt ei muutunud, siis teisel juhul ilmus -10 $ asemel -30 $. Mis vahe on -10 $ ja -30 $ vahel? Ilmselgelt -3 dollari võrra. Küsimus: kust see tuli? Kui vaatate tähelepanelikult, näete, et see võeti kompleksfunktsiooni tuletise arvutamise tulemusena - koefitsient, mis oli $x$, kuvatakse allolevas antiderivatiivis. See on väga oluline reegel, mida ma esialgu ei plaaninud tänases videotunnis üldse käsitleda, kuid ilma selleta jääks tabeliliste antiderivaatide esitamine poolikuks.

Nii et teeme seda uuesti. Olgu siin meie peamine jõufunktsioon:

\[((x)^(n))\ kuni \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Nüüd asendame $x$ asemel avaldise $kx+b$. Mis siis saab? Peame leidma järgmise:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1) \right)\cdot k)\]

Mille alusel me seda väidame? Väga lihtne. Leiame ülal kirjutatud konstruktsiooni tuletise:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

See on sama väljend, mis algselt eksisteeris. Seega on ka see valem õige ja seda saab kasutada antiderivaatide tabeli täiendamiseks või on parem kogu tabel lihtsalt pähe õppida.

Järeldused teemast "Saladus: tehnika:

• Mõlemad funktsioonid, mida just vaatlesime, saab astmeid laiendades taandada tabelis näidatud antiderivaatideni, aga kui neljanda astmega enam-vähem kuidagi hakkama saame, siis üheksanda astmega ma isegi ei arvestaks. julges paljastada.
• Kui kraade laiendada, jõuaksime sellise arvutustemahuni, et lihtne ülesanne võtaks meil sobimatult palju aega.
• Seetõttu ei pea selliseid lineaarseid avaldisi sisaldavaid ülesandeid "peapeale" lahendama. Niipea kui leiate antiderivaadi, mis erineb tabelis olevast ainult selle poolest, et sees on avaldis $kx+b$, pidage kohe meeles ülal kirjutatud valem, asendage see oma tabeli antiderivatiiviga ja kõik selgub palju kiiremini ja lihtsamalt.

Loomulikult pöördume selle tehnika keerukuse ja tõsiduse tõttu tulevastes videotundides selle juurde korduvalt, kuid tänaseks on see kõik. Loodan, et see õppetund aitab tõesti neid õpilasi, kes soovivad mõista antiderivaate ja integratsiooni.