Faktoriseerimine määramata koefitsientide meetodil. Murd-ratsionaalfunktsiooni integreerimine

See teenus on mõeldud vormi murdude lagundamiseks:

Lihtmurdude summaks. See teenus on kasulik integraalide lahendamisel. vaata näidet.

Juhised. Sisestage murdosa lugeja ja nimetaja. Klõpsake nuppu Lahenda.

Muutujana kujundamisel kasutada x t z u p λ

Märge: Näiteks x 2 kirjutatakse kui x^2, (x-2) 3 kirjutatakse kui (x-2)^3. Tegurite vahele paneme korrutusmärgi (*).

Funktsiooni sisestamise reeglid

See väli on mõeldud avaldise lugeja sisestamiseks
Esmalt tuleb sulgudest välja võtta üldmuutuja x. Näiteks x 3 + x = x(x 2 + 1) või x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

Funktsiooni sisestamise reeglid

See väli on mõeldud avaldise nimetaja sisestamiseks Näiteks x 2 kirjutatakse kujul x^2, (x-2) 3 kirjutatakse kui (x-2)^3. Tegurite vahele paneme korrutusmärgi (*).
Esmalt tuleb sulgudest välja võtta üldmuutuja x. Näiteks x 3 + x = x(x 2 + 1) või x 3 - 5x 2 + 6x = x(x 2 - 5x + 6) = x(x-3)(x-2).

Ebakindlate koefitsientide meetodi algoritm

1. Nimetaja faktoriseerimine.
2. Murru lagunemine määramata koefitsientidega lihtmurdude summana.
3. Lugeja rühmitamine x samade astmetega.
4. Määramata koefitsientidega kui tundmatute lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi saamine.
5. SLAE lahendus: Crameri meetod, Gaussi meetod, pöördmaatriksmeetod või tundmatute kõrvaldamise meetod.

Näide. Kasutame lihtsaimateks lagundamise meetodit. Jaotame funktsiooni lihtsaimateks terminiteks:


Võrdlustame lugejad ja arvestame, et koefitsiendid on samadel astmetel X, seistes vasakul ja paremal peavad sobima
2x-1 = A(x+2) 2 (x-4) + Bx(x+2) 2 (x-4) + Cx(x-4) + Dx(x+2) 2
A+B=0
-12A -8B -4C + 4D = 2
-16A = -1
0A -2B + C + 4D = 0
Selle lahendamisel leiame:
A = 1/16;B = -1/9;C = -5/12;D = 7/144;

BASHKORTO STANI VABARIIGI TEADUS- JA HARIDUSMINISTEERIUM

SAOU SPO Baškiiri arhitektuuri- ja tsiviilehituskolledž

Khaliullin Askhat Adelzyanovitš,

Baškiiri matemaatikaõpetaja

Arhitektuuri ja tsiviilehituse kolledž

UFA

2014. aasta

Sissejuhatus _________________________________________________________3

Peatükk I. Ebakindlate koefitsientide meetodi kasutamise teoreetilised aspektid_____________________________________________________4

Peatükk II. Otsib lahendusi polünoomidega seotud ülesannetele määramata kordajate meetodil_____________________________________7

2.1. Polünoomi faktoriseerimine__________________________ 7

2.2. Probleemid parameetritega___________________________________________ 10

2.3. Võrrandite lahendamine________________________________________________14

2.4. Funktsionaalvõrrandid___________________________________19

Järeldus__________________________________________________________________23

Kasutatud kirjanduse loetelu________________________________________________24

Rakendus ________________________________________________25

Sissejuhatus.

Käesolev töö on pühendatud ebamääraste koefitsientide meetodi koolimatemaatikakursusesse juurutamise teoreetilistele ja praktilistele aspektidele. Selle teema asjakohasuse määravad järgmised asjaolud.

Keegi ei vaidle vastu, et matemaatika kui teadus ei seisa ühes kohas, see areneb pidevalt, ilmuvad uued suurema keerukusega ülesanded, mis sageli põhjustab teatud raskusi, kuna need ülesanded on tavaliselt seotud uurimistööga. Viimastel aastatel on selliseid ülesandeid välja pakutud kooli-, rajooni- ja vabariiklikel matemaatikaolümpiaadidel ning need on olemas ka ühtse riigieksami versioonina. Seetõttu oli vaja spetsiaalset meetodit, mis võimaldaks vähemalt osa neist kõige kiiremini, tõhusamalt ja soodsamalt lahendada. Selles töös on selgelt välja toodud määramatute koefitsientide meetodi sisu, mida kasutatakse laialdaselt väga erinevates matemaatika valdkondades, alates üldhariduskursuse küsimustest kuni selle kõige arenenumate osadeni. Eriti huvitavad ja tõhusad on määramatute koefitsientide meetodi rakendused parameetrite, murdarvuliste ratsionaalsete ja funktsionaalsete võrranditega seotud ülesannete lahendamisel; need võivad kergesti huvitada kõiki matemaatikahuvilisi. Kavandatava töö ja probleemide valiku põhieesmärk on pakkuda avaraid võimalusi lihvida ja arendada oskust leida lühikesi ja ebastandardseid lahendusi.

See töö koosneb kahest peatükist. Esimeses käsitletakse kasutamise teoreetilisi aspekte

määramatute koefitsientide meetod ja teiseks sellise kasutamise praktilised ja metodoloogilised aspektid.

Töö lisas on toodud tingimused konkreetseteks ülesanneteks iseseisvaks lahendamiseks.

Peatükk I . Kasutamise teoreetilised aspektid määramatute koefitsientide meetod

"Inimene... sündis meistriks,

valitseja, looduse kuningas, kuid tarkus,

millega ta peab valitsema, pole talle antud

sünnist saadik: see omandatakse õppimise teel"

N.I.Lobatševski

Ülesannete lahendamiseks on erinevaid viise ja meetodeid, kuid üks mugavamaid, tõhusamaid, originaalsemaid, elegantsemaid ja samas väga lihtsaid ja kõigile arusaadavaid on määramatute koefitsientide meetod. Määratlemata kordajate meetod on matemaatikas kasutatav meetod avaldiste koefitsientide leidmiseks, mille vorm on ette teada.

Enne määramatute koefitsientide meetodi kasutamist erinevat tüüpi probleemide lahendamisel esitame hulga teoreetilist teavet.

Las need antakse

A n (x) = a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ··· + a n-1 x + a n

B m (x ) = b 0 x m + b 1 x m -1 + b 2 x m -2 + ··· + b m-1 x + b m ,

polünoomide suhteline X mis tahes koefitsiendiga.

Teoreem. Kaks polünoomi sõltuvalt ühest ja sama argument on identselt võrdne siis ja ainult siisn = m ja nende vastavad koefitsiendid on võrdseda 0 = b 0 , a 1 = b 1 , a 2 = b 2 ,··· , a n -1 = b m -1 , a n = b m Ja T. d.

Ilmselgelt võetakse kõigi väärtuste jaoks võrdsed polünoomid X samad väärtused. Ja vastupidi, kui kahe polünoomi väärtused on kõigi väärtuste jaoks võrdsed X, siis polünoomid on võrdsed, st nende koefitsiendid on samadel kraadidelX kokku sobima.

Seetõttu on ülesannete lahendamisel määramatute koefitsientide meetodi rakendamise idee järgmine.

Teatagem, et mõne teisenduse tulemusena saadakse teatud tüüpi avaldis ja ainult koefitsiendid selles avaldises on teadmata. Seejärel tähistatakse need koefitsiendid tähtedega ja loetakse tundmatuteks. Seejärel koostatakse võrrandisüsteem nende tundmatute määramiseks.

Näiteks polünoomide puhul koostatakse need võrrandid tingimusest, et koefitsiendid on samade astmete korral võrdsed X kahe võrdse polünoomi jaoks.

Demonstreerime ülal öeldut järgmiste konkreetsete näidete abil ja alustame kõige lihtsamast.

Nii näiteks teoreetilistest kaalutlustest lähtuvalt murdosa

saab esitada summana

, Kus a , b Ja c - määratavad koefitsiendid. Nende leidmiseks võrdsustame teise avaldise esimesega:

=

ja nimetajast vabastamine ja samade volitustega terminite kogumine vasakul X, saame:

(a + b + c )X 2 + ( b - c )x - a = 2X 2 – 5 X– 1

Kuna viimane võrdsus peab kehtima kõigi väärtuste puhul X, siis koefitsiendid samadel kraadidelX parem ja vasak peaksid olema samad. Seega saadakse kolme tundmatu koefitsiendi määramiseks kolm võrrandit:

a+b+c = 2

b - c = - 5

A= 1, kust a = 1 , b = - 2 , c = 3

Seega

=
,

selle võrdsuse kehtivust on lihtne otse kontrollida.

Oletame, et peate esindama ka murdosa

nagu a + b
+ c
+ d
, Kus a , b , c Ja d- tundmatud ratsionaalsed koefitsiendid. Me võrdsustame teise avaldise esimesega:

a + b
+ c
+ d
=
või, Vabastades end nimetajast, eemaldades võimaluse korral juurte märkide alt ratsionaalsed tegurid ja tuues vasakule poolele sarnased terminid, saame:

(a- 2 b + 3 c ) + (- a+b +3 d )
+ (a+c - 2 d )
+

+ (b - c + d )
= 1 +
-
.

Kuid selline võrdsus on võimalik ainult juhul, kui mõlema osa ratsionaalsed liikmed ja samade radikaalide koefitsiendid on võrdsed. Seega saadakse tundmatute koefitsientide leidmiseks neli võrrandit a , b , c Ja d :

a- 2b+ 3c = 1

- a+b +3 d = 1

a+c - 2 d = - 1

b - c + d= 0, kust a = 0 ; b = - ; c = 0 ; d= , see tähendab
= -
+
.

II peatükk. Otsib lahendusi polünoomidega seotud ülesannetele määramata koefitsientide meetod.

“Miski ei aita aine valdamisele paremini kaasa kui

viis, kuidas temaga erinevates olukordades tegutseda"

Akadeemik B. V. Gnedenko

2. 1. Polünoomi faktoriseerimine.

Polünoomide faktoringu meetodid:

1) ühisteguri paigutamine sulgudest välja 2) rühmitamise meetod; 3) põhiliste korrutusvalemite rakendamine; 4) abiterminite sissetoomine 5) antud polünoomi eelteisendus teatud valemite abil; 6) laiendamine antud polünoomi juurte leidmise teel; 7) parameetri sisestamise viis; 8) määramata koefitsientide meetod.

Ülesanne 1. Muutke polünoom reaalteguriteks X 4 + X 2 + 1 .

Lahendus. Selle polünoomi vaba liikme jagajate hulgas pole juuri. Me ei leia polünoomi juuri muude elementaarsete vahenditega. Seetõttu ei ole võimalik teostada vajalikku laiendust, leides esmalt selle polünoomi juured. Üle jääb probleemile lahendust otsida kas abiterminite sisseviimise või määramata koefitsientide meetodil. See on ilmne X 4 + X 2 + 1 = X 4 + X 3 + X 2 - X 3 - X 2 - X + X 2 + X + 1 =

= X 2 (X 2 + X + 1) - X (X 2 + X + 1) + X 2 + X + 1 =

= (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Saadud ruuttrinoomidel ei ole juuri ja seetõttu ei saa need lagundada reaalseteks lineaarseteks teguriteks.

Kirjeldatud meetod on tehniliselt lihtne, kuid selle kunstlikkuse tõttu raske. Tõepoolest, nõutavaid abitermineid on väga raske välja mõelda. Ainult oletus aitas meil selle lagunemise leida. Aga

Selliste probleemide lahendamiseks on usaldusväärsemaid viise.

Võiks toimida nii: eeldada, et antud polünoom laguneb korrutiseks

(X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

kaks täisarvu koefitsientidega ruuttrinoomi.

Seega saame selle

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + A X + b )(X 2 + c X + d )

Jääb üle määrata koefitsiendida , b , c Ja d .

Korrutades viimase võrrandi paremal poolel olevad polünoomid, saame:X 4 + X 2 + 1 = X 4 +

+ (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (reklaam + eKr ) x + bd .

Kuid kuna me vajame selle võrdsuse paremat poolt, et muutuda samaks polünoomiks, mis on vasakpoolsel küljel, siis nõuame järgmiste tingimuste täitmist:

a + c = 0

b + A c + d = 1

reklaam + eKr = 0

bd = 1 .

Tulemuseks on neljast võrrandist koosnev süsteem nelja tundmatugaa , b , c Ja d . Sellest süsteemist on koefitsiente lihtne leidaa = 1 , b = 1 , c = -1 Ja d = 1.

Nüüd on probleem täielikult lahendatud. Saime:

X 4 + X 2 + 1 = (X 2 + X + 1)(X 2 - X + 1).

Ülesanne 2. Tegutseda polünoom reaalteguriteks X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 .

Lahendus. Esitame seda polünoomi kujul

X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X + A )(X 2 + bx + c), Kus a , b Ja Koos - koefitsiendid pole veel kindlaks määratud. Kuna kaks polünoomi on identselt võrdsed siis ja ainult siis, kui samade astmete koefitsiendidX on siis võrdsed, võrdsustades koefitsiendid vastavaltX 2 , X ja vabad terminid, saame kolmest võrrandist koosneva süsteemi kolme tundmatuga:

a+b= - 6

ab + c = 14

ac = - 15 .

Selle süsteemi lahendus muutub oluliselt lihtsamaks, kui võtta arvesse, et selle võrrandi juur on arv 3 (vaba liikme jagaja) ja seetõttua = - 3 ,

b = - 3 Ja Koos = 5 .

Siis X 3 – 6 X 2 + 14 X – 15 = (X – 3)(X 2 – 3 x + 5).

Kasutatud määramatute koefitsientide meetod, võrreldes ülaltoodud abiterminite sisseviimise meetodiga, ei sisalda midagi kunstlikku, kuid see nõuab paljude teoreetiliste põhimõtete rakendamist ja sellega kaasnevad üsna suured arvutused. Kõrgema astme polünoomide puhul viib see määramata koefitsientide meetod tülikate võrrandisüsteemideni.

2.2.Ülesanded ja parameetritega.

Viimastel aastatel on ühtse riigieksami versioonid pakkunud parameetritega ülesandeid. Nende lahendus põhjustab sageli teatud raskusi. Parameetritega seotud probleemide lahendamisel saate koos teiste meetoditega üsna tõhusalt kasutada määramata koefitsientide meetodit. Just see meetod võimaldab teil nende lahendust oluliselt lihtsustada ja kiiresti vastuse saada.

Ülesanne 3. Määrake, millistel parameetri väärtustel A võrrand 2 X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 0 on täpselt kaks juurt.

Lahendus. 1 viis. Tuletise kasutamine.

Esitame seda võrrandit kahe funktsiooni kujul

2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3 = – A .

f (x) = 2x3–3 X 2 – 36 X– 3 ja φ( X ) = – A .

Uurime funktsioonif (x) = 2x3–3 X 2 – 36 X – 3 kasutades tuletist ja koostada skemaatiliselt selle graafik (joonis 1.).

f( – x )f (x ) , f (– x ) – f (x ). Funktsioon pole paaris ega paaritu.

3. Leiame funktsiooni kriitilised punktid, selle suurenemise ja kahanemise intervallid, äärmused. f / (x ) = 6 x 2 – 6 X – 36. D (f / ) = R , seetõttu leiame võrrandi lahendamisel kõik funktsiooni kriitilised punktid f / (x ) = 0 .

6(X 2 – X– 6) = 0 ,

X 2 – X– 6 = 0 ,

X 1 = 3 , X 2 = – 2 teoreemi järgi Vieta teoreemiga pöördvõrdeline.

f / (x ) = 6(X – 3)(X + 2).

+ max - min +

2 3 x

f / (x) > 0 kõigi jaoks X< – 2 ja X > 3 ja funktsioon on punktides pidevx =– 2 ja X = 3, seega suureneb see igal intervallil (- ; - 2] ja [ 3 ; ).

f / (x ) < 0 ja 2 < X< 3, seetõttu väheneb see intervalliga [- 2; 3 ].

X = - 2. maksimumpunkt, sest siinkohal muutub tuletise märk"+" asemel "-".

f (– 2) = 2 · (– 8) – 3,4 – 36 · (– 2) – 3 = – 16 – 12 + 72 – 3 == 72 – 31 = 41 ,

x = 3 miinimumpunkti, kuna selles punktis muutub tuletise märk"-" kuni "+".

f (3) = 2,27 – 3,9 – 36,3 – 3 = 54 – 27 – 108 – 3 = – 138 + +54 = – 84.

Funktsiooni φ( graafikX ) = – A on x-teljega paralleelne sirgjoon, mis läbib punkti koordinaatidega (0; – A ). Graafikutel on kaks ühist punkti –A= 41, st. a =– 41 ja – A= – 84, s.o. A = 84 .

juures

41φ( X)

2 3 X

3 f ( x ) = 2x 3 – 3 X 2 – 36 X – 3

2. meetod. Määratlemata koefitsientide meetod.

Kuna ülesande tingimuste kohaselt peab sellel võrrandil olema ainult kaks juurt, on võrdsus ilmne:

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = (x + b ) 2 (2 x + c ) ,

2X 3 – 3 X 2 – 36 X + A – 3 = 2 x 3 + (4 b + c ) x 2 + (2 b 2 + +2 eKr ) x + b 2 c ,

Nüüd võrdsustades koefitsiendid samadel kraadidel X, saame võrrandisüsteemi

4 b + c = - 3

2b 2 + 2bc = - 36

b 2 c = a – 3 .

Süsteemi kahest esimesest võrrandist leiameb 2 + b – 6 = 0, kust b 1 = - 3 või b 2 = 2. Vastavad väärtusedKoos 1 ja Koos 2 lihtne leida süsteemi esimesest võrrandist:Koos 1 = 9 või Koos 2 = - 11 . Lõpuks saab parameetri soovitud väärtuse määrata süsteemi viimasest võrrandist:

A = b 2 c + 3 , a 1 = -41 või a 2 = 84.

Vastus: sellel võrrandil on täpselt kaks erinevat

juur at A= - 41 ja A= 84 .

Ülesanne 4. Leidke parameetri suurim väärtusA , mille jaoks võrrandX 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0

täisarvu koefitsientidega on kolm erinevat juurt, millest üks on võrdne – 2.

Lahendus. 1 viis. Asendamine X= - 2 võrrandi vasakule küljele, saame

8 + 20 – 2 A + b= 0, mis tähendab b = 2 a – 12 .

Kuna arv - 2 on juur, saame ühisteguri välja võtta X + 2:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 2 X 2 + 3 X 2 + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) – 6 x + Oh + (2 a – 12) =

= x 2 (X + 2) + 3 x (X + 2) + (a – 6)(x +2) - 2(a – 6)+ (2 a – 12) =

= (X + 2)(X 2 + 3 x + (a – 6) ) .

Tingimuse järgi on võrrandil veel kaks juurt. See tähendab, et teise teguri diskriminant on positiivne.

D =3 2 - 4 (a – 6) = 33 – 4 a > 0, see tähendab A < 8,25 .

Näib, et vastus oleks a = 8 . Kuid kui asendame algsesse võrrandisse numbri 8, saame:

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + 5 X 2 + 8 X + 4 = (X + 2)(X 2 + 3 x + 2 ) =

= (X + 1) (X + 2) 2 ,

see tähendab, et võrrandil on ainult kaks erinevat juurt. Aga kui a = 7 toodab tegelikult kolme erinevat juurt.

2. meetod. Määratlemata koefitsientide meetod.

Kui võrrand X 3 + 5 X 2 + Oh + b = 0-l on juur X = - 2, siis saate alati numbreid üles võttac Ja d nii et kõigi eesX võrdsus oli tõsi

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = (X + 2)(X 2 + Koos x + d ).

Numbrite leidmiseksc Ja d Avame parempoolsed sulud, lisame sarnased terminid ja saame

X 3 + 5 X 2 + Oh + b = X 3 + (2 + Koos ) X 2 +(2 s + d ) X + 2 d

Koefitsientide võrdsustamine vastavatel astmetel X meil on süsteem

2 + Koos = 5

2 Koos + d = a

2 d = b , kus c = 3 .

Seega X 2 + 3 x + d = 0 , D = 9 – 4 d > 0 või

d < 2.25, nii d (- ; 2 ].

Probleemi tingimused on täidetud väärtusega d = 1 . Parameetri soovitud lõplik väärtusA = 7.

VASTUS: millal a = 7 sellel võrrandil on kolm erinevat juurt.

2.3. Võrrandite lahendamine.

"Pidage meeles seda väikeste probleemide lahendamisega

valmistuge suurte ja raskete probleemide lahendamiseks

uued ülesanded."

Akadeemik S. L. Sobolev

Mõne võrrandi lahendamisel saab ja tuleb üles näidata leidlikkust ja vaimukust ning kasutada spetsiaalseid võtteid. Matemaatikas on suure tähtsusega mitmesuguste teisendustehnikate valdamine ja loogilise arutlemise oskus. Üks neist nippidest on mõne hästi valitud avaldise või arvu liitmine ja lahutamine. Väljatoodud tõsiasi ise on muidugi kõigile hästi teada - peamiseks raskuseks on näha konkreetses konfiguratsioonis neid võrrandite teisendusi, millele on mugav ja otstarbekas seda rakendada.

Kasutades lihtsat algebralist võrrandit, illustreerime üht ebastandardset tehnikat võrrandite lahendamiseks.

Ülesanne 5. Lahenda võrrand

=
.

Lahendus. Korrutame selle võrrandi mõlemad pooled 5-ga ja kirjutame selle ümber järgmiselt

= 0 ; X 0; -
;

= 0 ,

= 0 ,

= 0 või
= 0

Lahendame saadud võrrandid määramata koefitsientide meetodil

X 4 - X 3 –7 X – 3 = (X 2 + ah + b )(x 2 + cx + d ) = 0

X 4 - X 3 –7 X – 3 = X 4 + (a + c ) X 3 + (b + A c + d ) X 2 + (reklaam + eKr ) x++ bd

Koefitsientide võrdsustamine juures X 3 , X 2 , X ja tasuta tingimused, saame süsteemi

a + c = -1

b + A c + d = 0

reklaam + eKr = -7

bd = -3, kust leiame:A = -2 ; b = - 1 ;

Koos = 1 ; d = 3 .

Niisiis X 4 - X 3 –7X– 3 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + X + 3) = 0 ,

X 2 – 2 X– 1 = 0 või X 2 + X + 3 = 0

X 1,2 =
pole juuri.

Samamoodi on meil

X 4 – 12X – 5 = (X 2 – 2 X – 1)(X 2 + 2X + 5) = 0 ,

kus X 2 + 2 X + 5 = 0 , D = - 16 < 0 , нет корней.

Vastus: X 1,2 =

Ülesanne 6. Lahenda võrrand

= 10.

Lahendus. Selle võrrandi lahendamiseks peate valima numbridA Ja b nii et mõlema murru lugejad on samad. Seetõttu on meil süsteem:

= 0 , X 0; -1 ; -

= - 10

Seega on ülesanne leida numbridA Ja b , mille puhul kehtib võrdsus

(+ 6) X 2 + ah – 5 = X 2 + (5 + 2 b ) x + b

Nüüd on polünoomide võrdsuse teoreemi kohaselt vajalik, et selle võrrandi parem pool muutuks samaks polünoomiks, mis on vasakul.

Ehk siis suhted peavad olema rahul

+ 6 = 1

A = 5 + 2 b

– 5 = b , kust leiame väärtusedA = - 5 ;

b = - 5 .

Nende väärtuste juuresA Ja b võrdsus A + b = - 10 on samuti õiglane.

= 0 , X 0; -1 ; -

= 0 ,

= 0 ,

(X 2 – 5X– 5)(X 2 + 3X + 1) = 0 ,

X 2 – 5X– 5 = 0 või X 2 + 3X + 1 = 0 ,

X 1,2 =
, X 3,4 =

Vastus: X 1,2 =
, X 3,4 =

Ülesanne 7. Lahenda võrrand

= 4

Lahendus. See võrrand on varasematest keerukam ja seetõttu rühmitame selle järgmiselt: X 0;-1;3;-8;12

0 ,

= - 4.

Kahe polünoomi võrdsuse tingimusest

Oh 2 + (+ 6) X + 12 = X 2 + (b + 11) x – 3 b ,

saame ja lahendame tundmatute kordajate võrrandisüsteemiA Ja b :

A = 1

+ 6 = b + 11

12 = – 3 b , kus a = 1 , b = - 4 .

Polünoomid – 3–6X + cx 2 + 8 cx Ja X 2 + 21 + 12 d – dx on üksteisega identsed ainult siis, kui

Koos = 1

8 Koos - 6 = - d

3 = 21 + 12 d , Koos = 1 , d = - 2 .

Väärtustegaa = 1 , b = - 4 , Koos = 1 , d = - 2

võrdsus
= - 4 on õige.

Selle tulemusena on see võrrand järgmine:

= 0 või
= 0 või
= 0 ,

= - 4 , = - 3 , = 1 , = -
.

Vaadeldud näidetest on selge, kuidas ebamääraste koefitsientide meetodi oskuslik kasutamine

aitab lihtsustada üsna keerulise, ebatavalise võrrandi lahendust.

2.4. Funktsionaalvõrrandid.

“Matemaatika kõrgeim eesmärk... on

on leida peidetud järjekord

kaos, mis meid ümbritseb"

N. Viner

Funktsionaalvõrrandid on väga üldine võrrandite klass, milles tundmatu funktsioon on teatud funktsioon. Funktsionaalvõrrandi all mõistetakse selle sõna kitsamas tähenduses võrrandeid, milles soovitud funktsioonid on kompleksfunktsiooni moodustamise operatsiooni abil seotud ühe või mitme muutuja teadaolevate funktsioonidega. Funktsionaalvõrrandit võib pidada ka teatud funktsioonide klassi iseloomustava omaduse väljenduseks

[näiteks funktsionaalvõrrand f ( x ) = f (- x ) iseloomustab paarisfunktsioonide klassi, funktsionaalset võrranditf (x + 1) = f (x ) – funktsioonide klass, millel on periood 1 jne.].

Üks lihtsamaid funktsionaalseid võrrandeid on võrrandf (x + y ) = f (x ) + f (y ). Selle funktsionaalse võrrandi pidevatel lahenditel on vorm

f (x ) = Cx . Kuid katkendlike funktsioonide klassis on sellel funktsionaalsel võrrandil teisi lahendusi. Vaadeldava funktsionaalse võrrandiga seotud on

f (x + y ) = f (x ) · f (y ), f (x y ) = f (x ) + f (y ), f (x y ) = f (x )· f (y ),

pidevad lahendused, millel on vastavalt vorm

e cx , KOOSlnx , x α (x > 0).

Seega saab neid funktsionaalseid võrrandeid kasutada eksponentsiaalsete, logaritmiliste ja võimsusfunktsioonide määratlemiseks.

Kõige laialdasemalt kasutatavad võrrandid on keeruliste funktsioonide võrrandid, milles nõutavad funktsioonid on välisfunktsioonid. Teoreetilised ja praktilised rakendused

Just need võrrandid ajendasid silmapaistvaid matemaatikuid neid uurima.

Näiteks, juures joondus

f 2 (x) = f (x - y)· f (x + y)

N.I.Lobatševskikasutatakse paralleelsuse nurga määramisel minu geomeetrias.

Viimastel aastatel pakutakse matemaatikaolümpiaadidel üsna sageli funktsionaalsete võrrandite lahendamisega seotud ülesandeid. Nende lahendus ei nõua teadmisi, mis jäävad keskkooli matemaatika õppekava piiresse. Funktsionaalvõrrandite lahendamine tekitab aga sageli teatud raskusi.

Üks funktsionaalvõrrandite lahenduste leidmise viise on määramatute koefitsientide meetod. Seda saab kasutada, kui soovitud funktsiooni üldkuju saab määrata võrrandi välimuse järgi. See kehtib ennekõike nende juhtumite kohta, mil võrrandite lahendusi tuleks otsida täis- või murdarvuliste ratsionaalfunktsioonide hulgast.

Kirjeldame selle tehnika olemust, lahendades järgmised probleemid.

Ülesanne 8. Funktsioonf (x ) on defineeritud kõigi reaalsete x-ide jaoks ja rahuldab kõikiX R tingimus

3 f(x) - 2 f(1- x) = x 2 .

Otsif (x ).

Lahendus. Kuna selle võrrandi vasakul küljel on sõltumatu muutuja x ja funktsiooni väärtusedf Tehakse ainult lineaartehteid ja võrrandi parem pool on ruutfunktsioon, siis on loomulik eeldada, et soovitud funktsioon on ka ruutfunktsioon:

f (X) = kirves 2 + bx + c , Kusa, b, c – määratavad koefitsiendid, st ebakindlad koefitsiendid.

Asendades funktsiooni võrrandisse, jõuame identiteedini:

3(kirves 2 + bx+c) – 2(a(1 – x) 2 + b(1 – x) + c) = x 2 .

kirves 2 + (5 b + 4 a) x + (c – 2 a – 2 b) = x 2 .

Kaks polünoomi on identselt võrdsed, kui nad on võrdsed

muutuja samade astmete koefitsiendid:

a = 1

5b + 4a = 0

c– 2 a – 2 b = 0.

Sellest süsteemist leiame koefitsiendid

a = 1 , b = - , c = , Samutirahuldabvõrdsus

3 f (x ) - 2 f (1- x ) = x 2 kõigi reaalarvude hulgal. Samas on ka sellinex 0 Ülesanne 9. Funktsioony =f(x) kõigi jaoks on x defineeritud, pidev ja vastab tingimuselef (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x . Leidke kaks sellist funktsiooni.

Lahendus. Soovitud funktsiooniga tehakse kaks toimingut - keeruka funktsiooni koostamise operatsioon ja

lahutamine. Arvestades, et võrrandi parem pool on lineaarne funktsioon, on loomulik eeldada, et soovitud funktsioon on samuti lineaarne:f(x) = ah +b , KusA Jab – ebakindlad koefitsiendid. Selle funktsiooni asendaminef (f ( (x ) = - X - 1 ;

f 2 (x ) = 2 X+ , mis on funktsionaalse võrrandi lahendidf (f (x)) – f(x) = 1 + 2 x .

Järeldus.

Kokkuvõtteks tuleb märkida, et see töö aitab kindlasti kaasa originaalse ja tõhusa meetodi edasisele uurimisele mitmesuguste matemaatikaprobleemide lahendamiseks, mis on kõrgendatud raskusastmega probleemid ja nõuavad sügavaid teadmisi kooli matemaatikakursusest ja kõrget loogikat. kultuur.Kes soovib iseseisvalt oma teadmisi matemaatikas süvendada, leiab ka See töö sisaldab mõtisklusmaterjali ja huvitavaid ülesandeid, mille lahendamine toob kasu ja rahulolu.

Töös on olemasoleva kooli õppekava raames ja efektiivseks tajumiseks kättesaadavas vormis välja toodud määramatute koefitsientide meetod, mis aitab süvendada matemaatika koolikursust.

Loomulikult ei saa ühe tööga demonstreerida kõiki määramatute koefitsientide meetodi võimalusi. Tegelikult nõuab meetod veel täiendavat uurimist ja uurimist.

Kasutatud kirjanduse loetelu.

Glazer G.I..Matemaatika ajalugu koolis.-M.: Haridus, 1983.

Gomonov S.A. Funktsionaalvõrrandid koolimatemaatika kursusel // Matemaatika koolis. – 2000. –№10 .

Dorofejev G.V., Potapov M.K., Rozov N.H.. Matemaatika käsiraamat. - M.: Nauka, 1972.

Kurosh A.G. Suvalise astme algebralised võrrandid. - M.: Nauka, 1983.

Likhtarnikov L.M. Elementaarne sissejuhatus funktsionaalvõrranditesse. - Peterburi. : Lan, 1997.

Manturov O.V., Solntsev Yu.K., Sorokin Yu.I., Fedin N.G.. Matemaatikaterminite seletav sõnastik.-M.: Haridus, 1971

Modenov V.P.. Matemaatika käsiraamat. Osa 1.-M.: Moskva Riiklik Ülikool, 1977.

Modenov V.P.. Probleemid parameetritega. - M.: Eksam, 2006.

Potapov M.K., Aleksandrov V.V., Pasichenko P.I.. Algebra ja elementaarfunktsioonide analüüs. - M.: Nauka, 1980.

Khaliullin A.A.. Saate selle lihtsamini lahendada // Matemaatika koolis. – 2003 . - №8 .

Khaliullin.

4. Laienda polünoomi 2X 4 – 5X 3 + 9X 2 – 5X+ 3 täisarvu koefitsientidega kordajate puhul.

5. Millise väärtusega A X 3 + 6X 2 + Oh+ 12 per X+ 4 ?

6. Millise parameetri väärtuse juuresA võrrandX 3 +5 X 2 + + Oh + b = 0 täisarvu koefitsientidega on kaks erinevat juurt, millest üks on 1 ?

7. Polünoomi juurte hulgas X 4 + X 3 – 18X 2 + Oh + b täisarvu koefitsientidega on kolm võrdset täisarvu. Leidke väärtus b .

8. Leidke parameetri suurim täisarv A, mille juures võrrand X 3 – 8X 2 + ah +b = 0 täisarvu koefitsientidega on kolm erinevat juurt, millest üks on võrdne 2-ga.

9. Millistel väärtustel A Ja b jagamine toimub ilma jäägita X 4 + 3X 3 – 2X 2 + Oh + b peal X 2 – 3X + 2 ?

10. Tegurpolünoomid:

A)X 4 + 2 X 2 – X + 2 V)X 4 – 4X 3 +9X 2 –8X + 5 d)X 4 + 12X – 5

b)X 4 + 3X 2 + 2X + 3 G)X 4 – 3X –2 e)X 4 – 7X 2 + 1 .

11. Lahendage võrrandid:

A)
= 2 = 2 f (1 – X ) = X 2 .

Otsi f (X) .

13. Funktsioon juures= f (X) kõigi ees X määratletud, pidev ja tingimust rahuldav f ( f (X)) = f (X) + X. Leidke kaks sellist funktsiooni.