Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid Bernoulli meetod

Vormi diferentsiaalvõrrandeid nimetatakse lineaarseteks. Nende lahendamiseks on mitmeid meetodeid: Bernoulli meetod, Lagrange'i meetod, integreeriva faktori meetod.
Bernoulli meetod
Võrrandi lahendamine otsitakse kujul . Selle asendusega saame: Funktsioon valitakse tingimusest .Saadud funktsioon asendatakse võrrandisse (võtame arvesse ), lahendades, millised leiavad funktsiooni .

Esimest järku homogeensed võrrandid.

Esimest järku diferentsiaalvõrrand

helistas homogeenne, kui parem pool rahuldab seost

kõigi väärtuste jaoks t. Teisisõnu, parem pool peab olema muutujate suhtes nulljärgu homogeenne funktsioon x Ja y:

Homogeense diferentsiaalvõrrandi saab kirjutada ka järgmiselt

või diferentsiaalide kaudu:

Kus P(x,y) Ja K(x,y) on sama järku homogeensed funktsioonid.

Homogeense funktsiooni definitsioon

Funktsioon P(x,y) kutsutakse homogeenne funktsioon tellida n, kui kõigile t> 0 kehtib järgmine seos:

32.Funktsioonide süsteemi lineaarne sõltuvus ja sõltumatus intervallist. Funktsioonid y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x), defineeritud intervallil [ a ; b ] nimetatakse lineaarselt sõltuv peal; b ] kui on olemas konstandid α 1 , α 2 , ..., α n, ei ole samal ajal võrdne nulliga ja selline, et α 1 y 1 (x) + α 2 y 2 (x) + ... + α n y n(x) = 0 kõigi x lõigust [ a ; b]. Vastasel juhul nimetatakse funktsioone y 1 (x), y 2 (x), ..., y n (x) lineaarselt sõltumatuteks.

Funktsioonide lineaarne sõltuvus ja lineaarne sõltumatus on defineeritud ka punktidel (a; b), (a; b], [a; b), lõpmatutel intervallidel.

Järgmine väide vastab tõele.

Funktsioonid y 1 (x), y 2 (x), ..., y n(xa;b] siis ja ainult siis, kui vähemalt üks neist on selle lõigu teiste lineaarne kombinatsioon.

Järgmised väited on ilmsed.

Kui funktsioonide hulgas y 1 (x), y 2 (x), ..., y n(x) on nullfunktsioon, siis on funktsioonid lineaarselt sõltuvad.

Kui funktsioonid y 1 (x), y 2 (x), ..., y k(x) lineaarselt sõltuv, siis mis tahes y k + 1 (x), y k + 2 (x), ..., y n (x) funktsioonid y 1 (x), y 2 (x), ..., y k(x), y k + 1 (x), ..., y n(x) on samuti lineaarselt sõltuvad.

Kui funktsioonid y 1 (x), y 2 (x), ..., y n(x) on lineaarselt sõltuvad intervallist [ a;b], siis on need lineaarselt sõltuvad mis tahes sees asuvast segmendist [ a;b] .

Kui funktsioonid y 1 (x), y 2 (x), ..., y n(x) on lineaarselt sõltumatud [ a;b], siis on nad lineaarselt sõltumatud mis tahes segmendist, mis sisaldab segmenti [a; b] (kui need on selles segmendis määratletud).

Vronski määraja. Üldteoreemid

Anname lineaarne sõltumatuse test n homogeense lineaarvõrrandi osalahendused n- järjekorras. Selleks võtame arvesse determinandi, mis koosneb nendest konkreetsetest lahendustest ja nende tuletistest kuni järjekorras n– 1 kaasa arvatud:

W(x) =

Seda determinanti nimetatakse lahenduste Wronski determinandiks y 1 , y 2 , …, y n.

Teoreem. Selleks, et lahendused oleksid lineaarselt sõltumatud ( a, b), st võrrandi koefitsientide pidevuse intervallis L(y) = 0, see on vajalik ja piisav W(x) ei kadunud ühelgi hetkel ( a, b).

Vronski determinandi väärtus n homogeense lineaarvõrrandi lahendused L(y) = 0 on tihedalt seotud võrrandi endaga, nimelt: kehtib järgmine Ostrogradsky-Liouville'i valem:

W(x) = W(x 0) .

Valemist on selge, et Wronski determinant n võrrandi lahendid L(y) = 0 on kaks tähelepanuväärset omadust:

1. Kui W(x) kaob intervalli ühel hetkel ( a, b), siis on see selle intervalli kõigis punktides võrdne nulliga.
2. Kui W(x) ei ole võrdne nulliga ühes punktis intervallist ( a, b), siis erineb see selle intervalli kõigis punktides nullist.

Seega selleks, et n Lahendused moodustasid võrrandi põhilahenduste süsteemi L(y) = 0 intervallis ( a, b), piisab, kui nende Wronski determinant erineb ühes punktis nullist x 0 ∈ (a, b).

Funktsioonide Wronski determinant võetakse kasutusele determinandina, mille veerud on nende funktsioonide tuletised nullist (funktsioonid ise) n-1 järkuni.

.

Teoreem. Kui funktsioonid on siis lineaarselt sõltuvad

Tõestus. Kuna funktsioonid on lineaarselt sõltuvad, siis mis tahes neist väljendatakse lineaarselt teiste kaudu, näiteks

Identiteeti saab eristada, nii et

Seejärel väljendatakse Wronski determinandi esimene veerg lineaarselt ülejäänud veergude kaudu, nii et Wronski determinant on identselt võrdne nulliga.

Teoreem.Selleks, et n-ndat järku lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendid oleksid lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et.

Tõestus. Vajadus tuleneb eelmisest teoreemist.

Adekvaatsus. Parandame mõne punkti. Kuna , on selles punktis arvutatud determinandi veerud lineaarselt sõltuvad vektorid.

, et suhted on rahul

Kuna lineaarse homogeense võrrandi lahendite lineaarne kombinatsioon on selle lahendus, saame kasutusele võtta lahendi kujul

Samade koefitsientidega lahenduste lineaarne kombinatsioon.

Pange tähele, et see lahendus vastab null algtingimustele; see tuleneb ülalkirjeldatud võrrandisüsteemist. Kuid lineaarse homogeense võrrandi triviaalne lahendus rahuldab ka samu nulli algtingimusi. Seetõttu järeldub Cauchy teoreemist, et sisestatud lahendus on identselt võrdne triviaalsega, seega

seetõttu on lahendused lineaarselt sõltuvad.

Tagajärg.Kui lineaarse homogeense võrrandi lahendustele üles ehitatud Wronski determinant kaob vähemalt ühes punktis, siis on see identselt võrdne nulliga.

Tõestus. Kui , siis on lahendused lineaarselt sõltuvad, seega .

Teoreem.1. Lahenduste lineaarseks sõltuvuseks on vajalik ja piisav(või ).

2. Lahenduste lineaarse sõltumatuse jaoks on see vajalik ja piisav.

Tõestus. Esimene väide tuleneb ülaltoodud teoreemist ja selle järeldusest. Teist väidet saab kergesti tõestada vastuoluga.

Olgu lahendused lineaarselt sõltumatud. Kui , siis on lahendused lineaarselt sõltuvad. Vastuolu. Seega .

Lase . Kui lahendused on lineaarselt sõltuvad, siis , seega vastuolu. Seetõttu on lahendused lineaarselt sõltumatud.

Tagajärg.Wronski determinandi kadumine vähemalt ühes punktis on lineaarse homogeense võrrandi lahendite lineaarse sõltuvuse kriteerium.

Wronski determinandi ja nulli erinevus on lineaarse homogeense võrrandi lahendite lineaarse sõltumatuse kriteeriumiks.

Teoreem.N-ndat järku lineaarse homogeense võrrandi lahendite ruumi mõõde on võrdne n-ga.

Tõestus.

a) Näitame, et n-ndat järku lineaarsele homogeensele diferentsiaalvõrrandile on n lineaarselt sõltumatut lahendit. Mõelgem lahendustele , mis vastab järgmistele algtingimustele:

...........................................................

Sellised lahendused on olemas. Tõepoolest, Cauchy teoreemi kohaselt läbi punkti läbib ühtse integraalkõvera – lahenduse. Läbi punkti lahendus läbib punkti

- lahendus, läbi punkti - lahendus.

Need lahendused on lineaarselt sõltumatud, kuna .

b) Näitame, et lineaarse homogeense võrrandi mis tahes lahend on nende lahenduste kaudu lineaarselt väljendatud (on nende lineaarne kombinatsioon).

Vaatleme kahte lahendust. Üks - suvaline lahendus algtingimustega . Õiglane suhe

Loengud 13. Lineaarsed diferentsiaalvõrrandidn- muutuvate koefitsientidega järk.

Lineaarne homogeenne

Lineaarne heterogeenne muutuvate koefitsientidega n-ndat järku diferentsiaalvõrrandit saab kirjutada kui

Kui koefitsiendid ja parem pool on pidevad funktsioonid ja , on Cauchy teoreemi tingimused täidetud, Homogeensete ja mittehomogeensete võrrandite lahendused on olemas ja ainulaadsed.

Tutvustame lineaarset diferentsiaaloperaatorit

Siin tähistab diferentseerimisoperaatorit.

Siis lineaarne homogeenne võrrandi saab kirjutada kujul ja lineaarne ebahomogeenne – vormis.

Kuna see on lineaarne, siis

Kasutades operaatori lineaarsust, on seda lihtne tõestada teoreemid homogeensete ja mittehomogeensete võrrandite lahendite omaduste kohta(allpool näidatud - homogeense võrrandi lahend, - mittehomogeense võrrandi lahend).

Teoreemid lahenduste omaduste kohta.

1) homogeense võrrandi lahendite summa või erinevus on homogeense võrrandi lahend,

2) mittehomogeense võrrandi lahendite erinevus on homogeense võrrandi lahend,

3) homogeensete ja mittehomogeensete võrrandite lahendite summa on mittehomogeense võrrandi lahend.

Tõestame need teoreemid.

Teoreem.Muutuvate koefitsientidega lineaarse homogeense võrrandi lahendid moodustavad lineaarruumi.

Tõestus. Kuna homogeense võrrandi mis tahes kahe lahendi summa ja mis tahes lahendi korrutis arvuga on jällegi homogeense võrrandi lahendid, on lahenduste hulgal arvuga liitmise ja korrutamise toimingud õigesti defineeritud (neid ei võeta lahenduste hulgast).

Lahused moodustavad lisamisel aditiivse rühma (Abeli ​​moodul). Tõepoolest, liitmise assotsiatiivsus on ilmne; (triviaalne lahend) on homogeense võrrandi lahend; iga lahendi puhul on lahendus ka vastupidine lahendus. Seetõttu on homogeense võrrandi lahendid liitrühm. Lahuste liitsus on ilmne, seega on see rühm aditiivne. Näidatud on kaheksast aksioomist nelja kehtivus. Seal on arv "1", nii et see on lahendus ja assotsiatiivsus arvuga korrutamisel on tõene . Need on kaks aksioomi, mis puudutavad arvuga korrutamist. Lõpuks kehtivad kaks distributiivsuse aksioomi, mis ühendavad liitmise ja arvuga korrutamise operatsioonid.

Seega on kaheksast aksioomist koosnev täielik komplekt. Mõelge neile kodus uuesti üksikasjalikumalt.

Lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.

Funktsioonid kutsutakse lineaarselt sõltumatu, Kui

(lubatud on ainult triviaalne lineaarne funktsioonide kombinatsioon, mis on identselt võrdne nulliga). Vastupidiselt vektorite lineaarsele sõltumatusele on siin lineaarne kombinatsioon nulliga identne, mitte võrdsus. See on arusaadav, kuna lineaarse kombinatsiooni võrdsus nulliga peab olema täidetud iga argumendi väärtuse korral.

Funktsioonid kutsutakse lineaarselt sõltuv, kui on olemas nullist erinev konstantide hulk (kõik konstandid ei ole nulliga võrdsed), nii et (olemas on mittetriviaalne lineaarne funktsioonide kombinatsioon, mis on identselt võrdne nulliga).

Teoreem.Selleks, et funktsioonid oleksid lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et mõni neist oleks lineaarselt väljendatud teiste kaudu (esitatud nende lineaarse kombinatsioonina).

Tõesta see teoreem ise; see on tõestatud samamoodi nagu sarnane teoreem vektorite lineaarse sõltuvuse kohta.

Vronski määraja.

Funktsioonide Wronski determinant võetakse kasutusele determinandina, mille veerud on nende funktsioonide tuletised nullist (funktsioonid ise) n-1 järkuni.

.

Teoreem. Kui funktsioonid on siis lineaarselt sõltuvad

Tõestus. Kuna funktsioonid on lineaarselt sõltuvad, siis mis tahes neist väljendatakse lineaarselt teiste kaudu, näiteks

Identiteeti saab eristada, nii et

Seejärel väljendatakse Wronski determinandi esimene veerg lineaarselt ülejäänud veergude kaudu, nii et Wronski determinant on identselt võrdne nulliga.

Teoreem.Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendamiseksnjärjestus on lineaarselt sõltuv, on vajalik ja piisav, et.

Tõestus. Vajadus tuleneb eelmisest teoreemist.

Adekvaatsus. Parandame mõne punkti. Kuna , on selles punktis arvutatud determinandi veerud lineaarselt sõltuvad vektorid.

, et suhted on rahul

Kuna lineaarse homogeense võrrandi lahendite lineaarne kombinatsioon on selle lahendus, saame kasutusele võtta lahendi kujul

Samade koefitsientidega lahenduste lineaarne kombinatsioon.

Pange tähele, et see lahendus vastab null algtingimustele; see tuleneb ülalkirjeldatud võrrandisüsteemist. Kuid lineaarse homogeense võrrandi triviaalne lahendus rahuldab ka samu nulli algtingimusi. Seetõttu järeldub Cauchy teoreemist, et sisestatud lahendus on identselt võrdne triviaalsega, seega

seetõttu on lahendused lineaarselt sõltuvad.

Tagajärg.Kui lineaarse homogeense võrrandi lahendustele üles ehitatud Wronski determinant kaob vähemalt ühes punktis, siis on see identselt võrdne nulliga.

Tõestus. Kui , siis on lahendused lineaarselt sõltuvad, seega .

Teoreem.1. Lahenduste lineaarseks sõltuvuseks on vajalik ja piisav(või ).

2. Lahenduste lineaarse sõltumatuse jaoks on see vajalik ja piisav.

Tõestus. Esimene väide tuleneb ülaltoodud teoreemist ja selle järeldusest. Teist väidet saab kergesti tõestada vastuoluga.

Olgu lahendused lineaarselt sõltumatud. Kui , siis on lahendused lineaarselt sõltuvad. Vastuolu. Seega .

Lase . Kui lahendused on lineaarselt sõltuvad, siis , seega vastuolu. Seetõttu on lahendused lineaarselt sõltumatud.

Tagajärg.Wronski determinandi kadumine vähemalt ühes punktis on lineaarse homogeense võrrandi lahendite lineaarse sõltuvuse kriteerium.

Wronski determinandi ja nulli erinevus on lineaarse homogeense võrrandi lahendite lineaarse sõltumatuse kriteeriumiks.

Teoreem.Lineaarse homogeense võrrandi lahendusruumi mõõdenjärku on võrdnen.

Tõestus.

1. Näitame, et n-ndat järku lineaarsele homogeensele diferentsiaalvõrrandile on n lineaarselt sõltumatut lahendit. Mõelgem lahendustele , mis vastab järgmistele algtingimustele:

...........................................................

Sellised lahendused on olemas. Tõepoolest, Cauchy teoreemi kohaselt läbi punkti läbib ühtse integraalkõvera – lahenduse. Läbi punkti lahendus läbib punkti

- lahendus, läbi punkti - lahendus.

Need lahendused on lineaarselt sõltumatud, kuna .

2. Näitame, et iga lineaarse homogeense võrrandi lahend on lineaarselt väljendatud nende lahendite kaudu (on nende lineaarne kombinatsioon).

Vaatleme kahte lahendust. Üks - suvaline lahendus algtingimustega . Õiglane suhe

..........................................................................

Teine lahendus on samade koefitsientidega lahenduste lineaarne kombinatsioon.

Arvutades lahenduse punktis algtingimused, veendume, et need langevad kokku lahenduse algtingimustega. Järelikult on Cauchy teoreemi kohaselt suvaline lahend kujutatud lineaarselt sõltumatute lahendite lineaarse kombinatsioonina.

Seega on n-ndat järku lineaarsel homogeensel diferentsiaalvõrrandil n lineaarselt sõltumatut lahendit ja suvaline lahend on lineaarselt väljendatud nende lahendite kaudu. Seetõttu on n-ndat järku lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendusruumi mõõde võrdne n-ga. .

n-ndat järku lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi mis tahes n lineaarselt sõltumatut lahendit on alus lahendusruumid või põhiline lahenduste süsteem.

Teoreem homogeense võrrandi üldlahenduse struktuurist.

Lineaarse homogeense võrrandi üldlahend on põhisüsteemi lahendite lineaarne kombinatsioon.

Tõestus. Näitame, et lineaarne kombinatsioon

Kas üldlahendus (rahuldab üldlahenduse definitsiooni punktid)

1. - lineaarse homogeense võrrandi lahendus lahenduste lineaarse kombinatsioonina.

2. Seadke suvalised algtingimused , näitame, et on võimalik valida konstandid nii, et need vastavad nendele algtingimustele.

.........................................................................

See on lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem konstantide jaoks. Selle süsteemi determinant on Vronski determinant. See ei ole võrdne nulliga, kuna lahendused on lineaarselt sõltumatud. Seetõttu määratakse konstandid sellest süsteemist unikaalsel viisil algtingimustega - süsteemi parempoolsed pooled.

Seetõttu on see üldine lahendus.

Kommenteeri. Wronski determinant (nagu iga determinant) on orienteeritud n-mõõtmeline ruumala, mis on venitatud üle põhilahenduste süsteemi lahendusvektorite.

Ostrogradsky-Liouville'i valem.

Vaatleme lineaarset homogeenset võrrandit

Wronski determinandi saab arvutada Ostrogradsky-Liouville'i valem

.

Ostrogradsky-Liouville'i valemi tuletis.

Determinandi tuletise jaoks on tuntud valem

.

Arvutame ...+

0+...+0+ .

, .

Kommenteeri. Ostrogradsky-Liouville'i valem hõlmab ainult kahe kõrgeima tuletise koefitsiente.

Vaatleme teist järku võrrandi erijuhtu.

Siin saab Ostrogradsky-Liouville'i valemi tuletada lihtsamalt. Vaatleme kahte konkreetset lahendust

Korrutame esimese võrrandi ja teise võrrandi ning lahutame esimese võrrandi teisest.

Sest , siis = .

Nüüd saab võrrandi ümber kirjutada kujul . Lahendades selle võrrandi eraldatavate muutujatega, saame Ostrogradsky-Liouville'i valemi

Valem teadaolevast lahendusest teise konkreetse lahenduse konstrueerimiseks

(põhisüsteemi ülesehitamine).

.

Jagame võrrandi mõlemad pooled arvuga

.

Siit. Peame leidma konkreetse lahenduse, seega valime C = 1, C 1 = 0, saame .

Teoreem mittehomogeense võrrandi üldlahenduse struktuurist.

Lineaarse mittehomogeense võrrandi üldlahend on lineaarse ebahomogeense võrrandi konkreetse lahendi ja homogeense võrrandi üldlahendi summa.

Tõestus. Näitame, et see on mittehomogeense võrrandi üldlahend.

1. - mittehomogeense võrrandi lahend homogeensete ja mittehomogeensete võrrandite lahendite summana (lahendite omaduste teoreemid).

Def. 14.5.3.1. Funktsioonisüsteem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) kutsutakse lineaarselt sõltuv intervallil ( a , b ), kui on olemas hulk konstantseid koefitsiente, mis ei ole samal ajal võrdsed nulliga, nii et nende funktsioonide lineaarne kombinatsioon on identselt võrdne nulliga ( a , b ): jaoks
.

Kui võrdsus eest
võimalik ainult funktsioonisüsteemiga , y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) kutsutakse lineaarselt sõltumatu intervallil ( a , b ).

Teisisõnu, funktsioonid y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineaarselt sõltuv intervallil ( a , b ), kui on võrdne nulliga ( a , b ) nende mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon. Funktsioonid y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineaarselt sõltumatu intervallil ( a , b ), kui ainult nende triviaalne lineaarne kombinatsioon on identselt võrdne nulliga ( a , b ).

Näited: 1. Funktsioonid 1, x , x 2 , x 3 on lineaarselt sõltumatud mis tahes intervallist ( a , b ). Nende lineaarne kombinatsioon
- kraadi polünoom
- ei saa peal olla ( a , b ) on rohkem kui kolm juurt, seega võrdsus
võimalik ainult koos.

3. Funktsioonid
lineaarselt sõltumatu mis tahes intervallist ( a , b ), Kui
. Tõepoolest, kui näiteks
, siis võrdsus
toimub ühes punktis
.

4. Funktsioonisüsteem
on ka lineaarselt sõltumatu, kui arvud k i (i = 1, 2, …, n ) on paarikaupa erinevad, kuid selle fakti otsene tõendamine on üsna tülikas.

Nagu ülaltoodud näited näitavad, on mõnel juhul funktsioonide lineaarne sõltuvus või sõltumatus lihtsalt tõestatud, mõnel juhul on see tõestamine keerulisem. Seetõttu on vaja lihtsat universaalset tööriista, mis vastaks funktsioonide lineaarse sõltuvuse küsimusele. Selline tööriist - Vronski määraja.

Def. 14.5.3.2. Wronsky määraja (Wronskian) süsteemid n - 1 kord diferentseeruvad funktsioonid y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) nimetatakse determinandiks

. (2 6 )

14.5.3.3. Lineaarselt sõltuva funktsioonisüsteemi Wronski teoreem. Kui funktsioonide süsteem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineaarselt sõltuv intervallil ( a , b ), siis on selle süsteemi Wronskian sellel intervallil identselt võrdne nulliga.

Dokument. Kui funktsioonid y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) sõltuvad lineaarselt intervallist ( a , b ), siis on numbrid
, millest vähemalt üks on nullist erinev, nii et

Sest
. (27)

Teeme vahet selle järgi x võrdsus (27) n - 1 kord ja loo võrrandisüsteem

Me käsitleme seda süsteemi kui homogeenset lineaarset algebraliste võrrandite süsteemi
. Selle süsteemi determinant on Wronski determinant (26). Igas punktis
sellel süsteemil on mittetriviaalne lahendus
, seega igas punktis
selle determinant on null. Niisiis, W (x ) = 0 at
, st.
peal ( a , b ).

14.5.4. Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi (25) lahenduste omadused.

14.5.4.1. Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi osalahenduste ruumi lineaarsuse teoreem. Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi osalahenduste hulk moodustab lineaarruumi.

Dokument. On vaja tõestada, et lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi (25) (või, mis on sama, (21)) osalahenduste hulk, s.o. mitte vähem n korda diferentseeruvad funktsioonid y (x ) mille jaoks L n (y ) = 0, on lineaarne ruum. Selleks piisab, kui tõestada, et kui funktsioonid y , y 1 (x ), y 2 (x ) on konkreetsed lahendused (25), siis funktsioonid Cy , y 1 (x ) + y 2 (x ) on samuti osalahendused (25). Tõepoolest, kasutades üksuse omadusi 14.5.2. Lineaarne diferentsiaaloperaator ja selle omadused, saame

Kui L n (y ) = 0, siis L n (Cy ) = C.L. n (y ) = 0;

Kui L n (y 1) = 0 ja L n (y 2) = 0, siis L n (y 1 + y 2) = L n (y 1) + L n (y 2) = 0.

Tagajärg. Kui y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) on võrrandi (25) osalahendid, siis nende lineaarne kombinatsioon C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) on ka selle võrrandi eriline lahendus.

Nüüd tegeleme selle ruumi mõõtme määramise ja selle aluse leidmisega. Esmalt formuleerime ja tõestame võrrandi (25) lahendite süsteemi Wronski determinandi mitmeid omadusi.

Teoreem 14.5.4.2. Lase y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) - lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi osalahendused. Kui selle funktsioonide süsteemi Wronski determinant on mingil hetkel võrdne nulliga
, siis funktsioonide süsteem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) on lineaarselt sõltuv ja selle Wronski determinant on identselt võrdne nulliga ( a , b ).

Dokument. Laske . Siis homogeenne lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem, mille puhul W (x 0) on determinant,

on mittetriviaalne lahendus C 1 , C 2 , …, C n . Vaatleme funktsioonide lineaarset kombinatsiooni y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) nende koefitsientidega C 1 , C 2 , …, C n : y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ + C n y n (x ). See funktsioon vastab võrrandile (25) ja, nagu ülaltoodud süsteemist tuleneb, on sellel punktis null algtingimused x 0, st. on lahendus Cauchy probleemile

Sama Cauchy probleemi rahuldab ka funktsioon y (x ) = 0, võrdselt võrdne nulliga intervallis ( a , b ). Cauchy probleemi lahenduse unikaalsuse tõttu y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) = 0 mis tahes
. Seega funktsioonide süsteem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) on lineaarselt sõltuv ( a , b ) ja poolt Teoreem 14.5.4 lineaarselt sõltuva süsteemi Wronski kohta selle Wronski determinant on identselt võrdne nulliga ( a , b ).

Teoreem 14.5.4.3. Kui Wronski determinant W (x ) süsteemid y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi osalahendused erinevad mingil hetkel nullist
, See W (x ) erineb selle intervalli mis tahes punktis nullist.

Dokument kergesti teostatav vastuolu tõttu. Kui eeldame, et ühel hetkel
Wronski determinant on võrdne nulliga, siis eelmise teoreemi järgi on see identselt võrdne nulliga on ( a , b ), mis on tingimusega vastuolus
.

Teoreem 14.5.4.4. Kui W (x ) - Wronski süsteemi determinant y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi osalahendused, siis kas
intervallil ( a , b ) (mis tähendab nende lahenduste lineaarset sõltuvust ( a , b )), või
mis tahes punktis selles intervallis (mis tähendab nende lahenduste lineaarset sõltumatust ( a , b )).

14.5.5. Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahenduste põhisüsteem. Teoreem lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendite üldlahenduse struktuuri kohta. Selles osas tõestame, et homogeense võrrandi osalahenduste lineaarruumi aluseks võib olla mis tahes hulk n selle lineaarselt sõltumatud lahendused.

Def. 14.5.5.1. põhiline lahenduste süsteem. Fundamentaalne lahenduste süsteem lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand n -th järk on mis tahes lineaarselt sõltumatu süsteem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) tema n privaatsed lahendused.

Lause 14.5.5.1.1 lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse struktuuri kohta. Ühine otsus y (x ) lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi funktsioonide lineaarne kombinatsioon selle võrrandi põhilahenduste süsteemist:

y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ).

Dokument. Lase y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) on lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi põhilahenduste süsteem. See on vajalik iga konkreetse lahenduse tõestamiseks y mida ( x ) sisaldub valemis y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x C 1 , C 2 , …, C n . Võtame ükskõik millise punkti
, arvutage selles punktis arvud ja leidke konstandid C 1 , C 2 , …, C n lineaarse ebahomogeense algebralise võrrandisüsteemi lahendusena

Selline lahendus on olemas ja ainulaadne, kuna selle süsteemi determinant on võrdne
. Mõelge lineaarsele kombinatsioonile y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) funktsioonid põhilahenduste süsteemist nende konstantide väärtustega C 1 , C 2 , …, C n ja võrrelge seda funktsiooniga y mida ( x ). Funktsioonid y (x ) Ja y mida ( x ) vastavad punktis samale võrrandile ja samadele algtingimustele x 0, seega langevad need Cauchy probleemi lahenduse ainulaadsuse tõttu kokku: y mida ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + … + C n y n (x ). Teoreem on tõestatud.

Sellest teoreemist järeldub, et pidevate kordajatega homogeense võrrandi osalahenduste lineaarruumi mõõde ei ületa n . Jääb üle tõestada, et see mõõde ei ole väiksem kui n .

Lause 14.5.5.1.2 lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendite fundamentaalse süsteemi olemasolu kohta. Mis tahes lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand n pidevate koefitsientidega järjekorras on fundamentaalne lahenduste süsteem, s.t. süsteem alates n lineaarselt sõltumatud lahendused.

Dokument. Võtame suvalise arvulise determinandi n -th järk, ei võrdu nulliga

.	Võtame ükskõik millise punkti ja formuleerige võrrand (21) n Cauchy probleemid ja algtingimused punktis x 0 eest i võtame -nda probleemi i selle determinandi veerg:
L n (y 1) = 0;		L n (y 2) = 0;		L n (y n ) = 0;

Lase y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) – nende probleemide lahendused. See süsteem on lineaarselt sõltumatu ( a , b ), kuna selle Wronski determinant punktis x 0 on võrdne antud arvulise determinandiga ja erineb nullist, seetõttu on see lahenduste põhisüsteem. Teoreem on tõestatud.

Seega oleme tõestanud, et pidevate kordajatega homogeense võrrandi osalahenduste lineaarruumi mõõde on võrdne n , ja selle ruumi aluseks on mis tahes põhimõtteline lahenduste süsteem. Sellise võrrandi üldlahendus on võrdne põhilahenduste süsteemi funktsioonide lineaarse kombinatsiooniga. Küsimus jääb – kuidas leida põhimõtteline lahenduste süsteem; selgub, et üldjuhul on see võimalik vaid konstantsete koefitsientidega võrrandi puhul. Me käsitleme seda järgmisena; Vaatleme kõigepealt homogeense võrrandi lahendite mitmeid omadusi.

14.5.6. Liouville'i valem.

Teoreem 14.5.6.1. Wronski süsteemi determinant y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) homogeense võrrandi lahendid rahuldab võrrandi , kus lk 1 (x ) - koefitsient juures n - 1 tuletis.

Dokument. Tõestame seda teoreemi teist järku võrrandi jaoks. Lase y 1 (x ), y 2 (x ) on selle võrrandi osalahendused, siis , .

Sest y 1 (x ), y 2 (x ) on siis võrrandi lahendid

Esimene nurksulgudest sisaldab W (x ), teises -
Seega, mida oli vaja tõestada.

Selle teoreemi tõestamiseks üldjuhul peate teadma funktsionaalsete determinantide eristamise reeglit: determinandi tuletis n järk on võrdne summaga n determinandid, mis saadakse algsest determinandist ridade kaupa eristamise teel. Wronski määraja jaoks

alates esimesest n - 1 determinant sisaldab võrdseid stringe ja on võrdne nulliga. Iga funktsioon y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) rahuldab võrrandit ; seetõttu, pannes need avaldised viimasele reale ja kasutades determinantide omadusi, saame

Lahendame selle võrrandi jaoks W (x ). Funktsioon W (x ) = 0 on selle võrrandi lahendus; Kui
, See
Integreerime viimase avaldise vahemikus alates x 0 kuni x :

(Me loobusime murdosa moodulmärgist, kuna W (x ) on pidev funktsioon, mis ei kao, seega väärtused W (x ) Ja W (x 0) alati sama märk). Lõpuks

. (28)

Valemit (28) nimetatakse Liouville'i valemiks. Sellest tulenevad ka eelmiste osade tulemused: kui W (x 0) = 0, siis
; Kui
, See
mitte üheski intervalli punktis ( a , b ).

14.5.7. Lineaarse homogeense võrrandi rekonstrueerimine põhilahenduste süsteemist. Olgu antud funktsioonide süsteem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) ja segmendil ( a , b ) Wronskian W (x ). On vaja koostada lineaarne homogeenne võrrand, mille põhilahenduste süsteem koosneb funktsioonidest y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ).

Selle probleemi saab lihtsalt lahendada. Kuna selle võrrandi üldlahend peab olema võrdne

y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ), funktsioonisüsteem y (x ), y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) on lineaarselt sõltuv, seega selle Wronski determinant (järjekorras n + 1) peab olema null:

Laiendades seda determinanti esimeses veerus, saame vajaliku võrrandi. Näide: loo lineaarvõrrand, mille põhilahenduste süsteem on võrdne y 1 (x ) = cos x , y 2 (x )= x 3. Lahendus:

Pange tähele, et kõrgeima tuletise koefitsient osutub võrdseks põhilahendussüsteemi Wronski koefitsiendiga:
Edasised teisendused annavad , või . See on nõutav võrrand. Selle koefitsiendid on pidevad mis tahes intervallil
.

14.5.8. Lineaarse homogeense võrrandi järjekorra vähendamine, kui on teada üks selle konkreetsetest lahenditest. Olgu lineaarvõrrandi jaoks

konkreetne lahendus on teada y 1 (x ). Asendamine y (x ) = z (x ) y 1 (x ), saab selle võrrandi teisendada võrrandiks, mida saab järjekorras taandada. Demonstreerime seda ideed teist järku võrrandi näite abil. Lase y 1 (x ) on selle võrrandi konkreetne lahend, st. . Liigume edasi muutuja juurde z (x ) seostatud y (x ) suhe y (x )=z (x )y 1 (x ). Siis ; Asendame võrrandisse need avaldised:

Viimane võrrand ei sisalda selgesõnaliselt tundmatut funktsiooni z (x ), võimaldades seega järjekorda vähendada. Vaadeldava teist järku võrrandi korral saame esimest järku lineaarvõrrandi, mille saab lahendada:

Võib tõestada, et funktsioonide süsteemi Wronski
võrdub
, st. erineb nullist ja seega ka funktsioon y 1 (x ), y 2 (x ) moodustavad põhimõttelise lahenduste süsteemi. Vastupidi, on võimalik saada väljendit y 2 (x ) põhinevad sellel Wronski väärtusel, järgides nende Liouville'i valemit. Kirjutame Liouville'i valemi järgmiselt:

Selle väljendi jagamine arvuga y 1 (x ), (y 1 (x )) 2 , saame
. Vasakpoolne avaldis on murru tuletis
, Sellepärast
. Integreerime:
,
, ja kuna me otsime lahendust y 2 (x ), lineaarselt sõltumatu koos y 1 (x ), siis võtame
.

Lahendus: See on lineaarne homogeenne võrrand, mille üldlahenduse leidmine tähendab põhilahenduste süsteemi leidmist. Nagu juba mainitud, on üldjuhul fundamentaalse lahendussüsteemi leidmine võimalik ainult konstantsete koefitsientidega võrrandi puhul, kuid mõnel juhul on võimalik leida ka konkreetseid lahendusi võrrandi struktuuri põhjal. Vaadeldaval juhul hõlmavad võrrandi koefitsiendid astmeid x ja ln x , nii et võite otsida vormilt konkreetset lahendust y = x k või y = log x . Oletame, et võrrandil on konkreetne vormilahendus y 1 = x k . Siis ; pärast nende avaldiste asendamist võrrandisse saame,
. Võrrand on täidetud, kui
see juhtub ainult siis, kui k = 1. Niisiis, funktsioon y 1 (x ) = x on selle võrrandi eriline lahendus. Teise osalahenduse leidmiseks, mis on esimesest lineaarselt sõltumatu, taandame võrrandi vormile, mille kõrgeima tuletise koefitsient on võrdne ühtsusega: ,

ja kasutage valemit
:

Seega on selle võrrandi põhilahenduste süsteem: y 1 (x ) = x , y 2 (x ) = log x , selle üldine lahendus y (x ) = C 1 x + C 2 ln x .

14.5.9. Teoreem lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse struktuurist. Lahenduste pealesurumise teoreem. Oleme kindlaks teinud, et lineaarse homogeense võrrandi lahendamiseks on vaja leida selle põhilahenduste süsteem. Selles jaotises näitame, et mittehomogeense võrrandi lahendus taandatakse homogeense võrrandi lahendiks, kui sellele ebahomogeensele võrrandile on võimalik leida konkreetne lahendus. Õiglane

Teema 14.5.9.1 lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahenduse struktuurist. Lineaarse ebahomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus pidevate funktsioonidega intervallil ( a , b ) koefitsiendid ja parempoolne

(2 0 )

on võrdne vastava homogeense võrrandi üldlahendi summaga

(2 1 )

ja mittehomogeense võrrandi (20) konkreetne lahendus:

y Ta ( x ) = y oo ( x ) + y chn ( x ) = (C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x )) + y chn ( x ).

Dokument. Peame seda tõestama, kui konkreetne lahendus on teada y chn ( x ) ebahomogeensest võrrandist (20), siis selle mis tahes muu konkreetne lahend
võib saada teatud konstantide komplekti valemiga C 1 , C 2 , …, C n . Alates y chn ( x ), Ja
- mittehomogeense võrrandi (20) lahendid, siis L n (y chn ( x ))=f (x ) Ja
, seega operaatori lineaarsuse tõttu L n (y ), . Funktsioon
rahuldab homogeenset võrrandit, seetõttu sisaldub see valemis C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + …+ C n y n (x ) teatud konstantide komplekti jaoks C 1 , C 2 , …, C n : . Seega oli vaja seda tõestada.

Eelnevast teoreemist järeldub, et lineaarsele mittehomogeensele diferentsiaalvõrrandile üldlahenduse leidmiseks on vaja teada selle konkreetset lahendit. Siin formuleerime ja tõestame teoreemi, mis võimaldab taandada konkreetse lahenduse leidmise ebahomogeensele võrrandile vormi parema küljega (
- konstandid) võib-olla lihtsamale probleemile leida selle võrrandi osalahendused vormi paremate külgedega f (x ) = f 1 (x ), f (x )=f 2 (x ):

Teoreem 14.5.9.2 lahendite pealesurumisest. Kui y 1, chn ( x L n (y ) = f 1 (x ), y 2, chn ( x ) on ebahomogeense võrrandi eriline lahendus L n (y ) = f 2 (x ), siis on funktsioon ebahomogeense võrrandi konkreetne lahendus.

Dokument operaatori lineaarsuse alusel L n (y ): , mida oli vaja tõestada.

14.5.10. Lagrange'i meetod (suvaliste konstantide muutmise meetod) ebahomogeense võrrandi lahendamiseks. Nüüd teame, kuidas on struktureeritud nii ebahomogeense lineaarvõrrandi (selle konkreetse lahendi ja vastava homogeense võrrandi üldlahendi summa) kui ka homogeense lineaarvõrrandi (põhilahenduste süsteemi funktsioonide lineaarne kombinatsioon) üldlahendused. . Jääb küsimus: kuidas leida põhimõtteline lahenduste süsteem ja konkreetne lahendus? Selgub, et üldjuhul saab fundamentaalse lahendussüsteemi leida vaid konstantsete koefitsientidega võrranditele (ja võrranditele, mis taanduvad konstantsete koefitsientidega võrranditeks). Selliseid võrrandeid käsitleme allpool ja selles osas käsitleme suvaliste konstantide muutmise meetodit ebahomogeense võrrandi lahendamiseks. Oluline on see, et see meetod töötab, kui lineaarvõrrandi lahenduste põhisüsteem on teada. Esitame selle meetodi põhiidee teist järku ebahomogeense võrrandi kõige lihtsamal juhul

. (29 )

Lase y 1 (x ), y 2 (x ) - vastava homogeense võrrandi lahendite põhisüsteem

y oo ( x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) on homogeense võrrandi (30) üldlahend. Lagrange'i meetodi idee on järgmine. Otsime üldlahendust mittehomogeensele võrrandile (29) samal kujul y (x )=C 1 (x )y 1 (x ) + C 2 (x )y 2 (x ), eeldades, et konstandid C 1 , C 2 - mitte konstandid, vaid funktsioonid sõltuvalt x : C 1 = C 1 (x ), C 2 = C 2 (x ). Peame need funktsioonid leidma. Tuletise leidmine
: . Järgmisena peame arvutama teise tuletise. Kasutame ära asjaolu, et ühe funktsiooni asemel y (x ) otsime kahte funktsiooni C 1 (x ) Ja C 2 (x ) ja sellest tulenevalt võime nendele funktsioonidele suvalise ühenduse kehtestada. Selleks, et avaldis teise tuletise jaoks
funktsioonide teist tuletist ei kaasatud C 1 (x ) Ja C 2 (x ), nagu selle ühenduse paneme

. (3 1 )

Asendame väljendid y (x ) ja selle tuletised võrrandisse (29):

Teisendame:

Nurksulgudes olevad avaldised on null, sest funktsioonid y 1 (x ), y 2 (x ) - homogeense võrrandi (30) lahendid, seega lõpuks

Võrrandid (31), (32) annavad funktsioonide jaoks suletud süsteemi
Ja
:

(33)

selle süsteemi determinant langeb kokku funktsioonide Wronskiga y 1 (x ), y 2 (x ) ja on seega nullist erinev, seega on süsteemil ainulaadne lahendus
,
. Nende lahenduste leidmine ja tuletisavaldiste integreerimine
Ja
, saame C 1 (x ) Ja C 2 (x y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ).

Näide: leidke võrrandi üldlahend.

Selle probleemi lahendamist alustasime jaotises 14.5.8. Lineaarse homogeense võrrandi järjekorra vähendamine. Leiti vastava homogeense võrrandi põhilahenduste süsteem ja selle üldlahend y oo ( x ) = C 1 x + C 2 ln x . Vastavalt variatsioonimeetodile otsime lahendust mittehomogeensele võrrandile, mille kõrgeima tuletise koefitsient on vormis taandatud ühtsusele y (x ) = C 1 (x ) x + C 2 (x )ln x . Süsteem (33) tuletiskoefitsientide jaoks
Ja
saab olema selline:

Vastus: võrrandi üldlahendus y (x ) = C 1 y 1 (x ) + C 2 y 2 (x ) = (- x ln x + C 1 0)x +

(lõppvastusest jäetakse konstantide indeks “0” välja).

Mittehomogeense võrrandi üldjuhul n - järjekord,

kui on teada põhiline lahenduste süsteem y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) vastavast homogeensest võrrandist otsitakse mittehomogeensele võrrandile lahendust kujul

y (x ) = C 1 (x ) y 1 (x ) + C 2 (x ) y 2 (x ) + …+ C n (x ) y n (x ). Siis

Nõuame, et funktsioonide tuletisi sisaldavate terminite summa C i (x ), st. nii, et nurksulgus olev summa on võrdne nulliga:

Paneme jälle jne. Sest n -nda tuletise saame

Tuletiste avaldiste asendamine mittehomogeenses võrrandis ja arvestades, et funktsioonid y i (x ) täidavad vastava homogeense võrrandi, saame .

Koos varem aktsepteeritud tuletisinstrumentide suhetega
saame võrrandisüsteemi

Selle süsteemi määraja, nagu ka n = 2, langeb kokku põhilahenduste süsteemi Wronskiga, seega on süsteemil ainulaadne lahendus
. Selle lahenduse leidmisel ja integreerimisel leiame C i (x) (i = 1, 2, …, n ) ja siit ka mittehomogeense võrrandi (29) üldlahend. y (x ) = C 1 (x ) y 1 (x ) + C 2 (x ) y 2 (x ) + …+ C n (x ) y n (x ).

14.5.11. Konstantsete koefitsientidega lineaarvõrrandid. Eespool on korduvalt märgitud, et juhul, kui lineaarvõrrandi koefitsiendid on konstantsed ( lk i (x ) = a i = konst, i = 1, 2, …, n ), õnnestub meil leida homogeensele võrrandile fundamentaalne lahenduste süsteem. Vaatleme seda juhtumit.

14.5.11.1. Konstantsete koefitsientidega lineaarsed homogeensed võrrandid. Olgu võrrandi koefitsiendid

(3 4 )

on konstantsed vaadeldava intervalli jooksul ( a , b ) (a i = const at i = 1, 2, …, n ). Võrrandi (34) põhilahenduste süsteemi (FSS) leidmiseks eeldame, et selle võrrandi lahendid on kujul y = e kx . Siis . Nende avaldiste asendamine tuletistega (34) ja selle taandamine e kx , saame algebralise võrrandi n aste

k n + a 1 k n -1 + a 2 k n -2 + a 3 k n -3 + …. + a n = 0 . (35)

Nimetatakse võrrandit (35). iseloomulik võrrand võrrand (34). Sellel võrrandil on n (võimalik, et keerulised juured) k 1 , k 2 , …, k n , millest mõned võivad olla üksteisega võrdsed. Kõik need juured vastavad FSR-i funktsioonile. FSR-i moodustamise reegel on järgmine:

Kui k j - iseloomuliku võrrandi lihtne reaaljuur (s.o paljususe juur r = 1), siis vastab see funktsioonile
FSR-is;

Kui k j - paljususvõrrandi reaaljuur r > 1 (st. k j = k j +1 = k j +2 = …= k j + r -1), siis vastab see juurte komplekt FSR-i funktsioonide komplektile;

Kui
- iseloomuliku võrrandi lihtne kompleksjuur (siin
- imaginaarne ühik), siis konjugeeritakse ka tunnusvõrrandi juur k j number
. Paar juurt k j , k j +1 vastavad funktsioonile
,
FSR-is;

Kui
- iseloomuliku kordsusvõrrandi kompleksjuur r > 1, siis on sama paljususe tunnusvõrrandi juur arv
. Paar juurt k j , k j +1 , millest igaühel on kordne r > 1, vastavad funktsioonide komplektile
,
,
,
,
,
, ….,
,
FSR-is.

Toome selle juhtumi jaoks selle reegli põhjenduse n = 2. Vaatleme teist järku võrrandit

. (36 )

Selle iseloomulik võrrand k 2 + a 1 k + a 2 = 0, olenevalt diskrimineerivast väärtusest D = a 1 2 - 4a 2, võib olla

1. tõelised ebavõrdsed juured k 1 , k 2 (D > 0). Funktsioonid
, nende määramismeetodi järgi on võrrandi (36) lahendid. Selle funktsioonide süsteemi Wronskian

Seetõttu on see lahenduste põhisüsteem. Võrrandi (36) üldlahendus on antud juhul
.

2. tõelised võrdsed juured
. Funktsioon
, nagu ka eelmisel juhul, võrrandi (36) lahendus. Tõestame, et funktsioon
rahuldab ka võrrandit:

Sest k 1 - tunnusvõrrandi juur:
. Funktsioonid
- põhimõtteline lahenduste süsteem, kuna

Võrrandi (36) üldlahendus on sel juhul .

3. keerulised juured. Sel juhul kus
. Peame tõestama, et funktsioonid

võrrandit rahuldama. Leiame:

Asendage võrrand:

Vaatleme eraldi koefitsiente for
ja kell
: ,
. Niisiis,
, st. funktsiooni
on tõesti võrrandi lahendus. Seda saab tõestada sarnaselt funktsiooniga
- võrrandi lahendus. Selle funktsioonisüsteemi jakobilane on:

Need. see on põhimõtteline otsustussüsteem. Võrrandi (36) üldlahendus on sel juhul .

Iseloomulik võrrand k 2 + 4 k - 5 = 0. Selle juured k 2 = 1. Fundamentaalne lahenduste süsteem y 1 (x ) = e -5 x , y 2 (x ) = e x , ühine otsus y (x ) = C 1 e -5 x + C 2 e x .

Iseloomulik võrrand 16 k 2 - 40 k + 73 = 0. Selle juured on . Fundamentaalne lahendussüsteem
, ühine otsus
.

Iseloomulik võrrand 64 k 2 + 112 k + 49 = 0. Selle juured on . Fundamentaalne lahendussüsteem
, ühine otsus
.

See on seitsmendat järku võrrand, selle iseloomulik võrrand k 7 + 2k 6 + 8k 4 +16k 3 = 0. Teisenda selle vasak külg: k 3 (k 4 + 2 k 3 + 8 k + 16) = k 3 [k 3 (k + 2) + 8(k + 2)] = k 3 (k + 2)( k 3 + 8) =

= k 3 (k + 2)(k + 2)(k 2 -2k + 4) = k 3 (k + 2) 2 (k 2 - 2k + 4). Juured: k 1,2,3 = 0, k 4,5 = -2,
.

Fundamentaalne lahendussüsteem y 1 = e 0 x = 1, y 2 = xe 0 x = x , y 2 = x 2 e 0 x = x 2 , y 4 = e -2 x , y 5 = xe -2 x , ühine otsus.

Vronski määraja

Intervallil (n-1) korda diferentseeruva funktsioonide süsteemi Wronski determinant on I funktsioon, mis on antud järgmise maatriksi determinandiga:

Funktsiooni, mis on määratletud üldisema vormi determinandiga, nimetatakse ka Wronski funktsiooniks. Nimelt olgu antud n n komponendiga vektorfunktsiooni. Siis näeb determinant välja selline (tähistan seda järgmiselt):

Vektorfunktsioon on funktsioon, mille väärtused on vektorid kahe-, kolme- või enamamõõtmelises vektorruumis. Funktsiooni argumendid võivad olla:

• 1. Üks skalaarmuutuja - siis määratakse vektori funktsiooni väärtused teatud kõveraks;
• 2. m skalaarmuutujat - siis moodustavad vektorfunktsiooni väärtused üldiselt m-mõõtmelise pinna;
• 3. Vektori muutuja - sel juhul peetakse vektorfunktsiooni tavaliselt vektoriväljaks.

Wronski determinanti kasutatakse diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks, näiteks selleks, et selgitada välja, kas homogeensele lineaarsele diferentsiaalvõrrandile (või võrrandisüsteemile) leitud lahendid on lineaarselt sõltumatud.

Wronski determinandi omadused

• 1. Kui intervallist lineaarselt sõltuv, siis
• 2. Kui intervalli Wronski determinant erineb vähemalt ühes punktis nullist, siis on funktsioonid lineaarselt sõltumatud. Vastupidine ei ole üldiselt tõsi.
• 3. Kui järgu lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi lahendused on nn. Wronskian see võrrand. Homogeense diferentsiaalvõrrandi Wronski determinant on kas identselt võrdne nulliga, mis tähendab, et funktsioonid on lineaarselt sõltuvad, või ei kao üheski punktis, mis tähendab, et funktsioonid on lineaarselt sõltumatud.
• 4. Kui - lineaarse homogeense süsteemi lahendid, siis kumbki on identselt võrdne nulliga ja see tähendab, et nad on lineaarselt sõltuvad või ei kao üheski punktis, mis tähendab, et funktsioonid on lineaarselt sõltumatud.

1. Veenduge, et lineaarselt sõltuvate funktsioonide Wronski on võrdne nulliga:

2. Kontrollime nüüd funktsioonide lineaarset sõltumatust:

On punkte, kus Wronski ei ole null (meie puhul on see mis tahes punkt peale x=0). Seetõttu on need funktsioonid igal intervallil lineaarselt sõltumatud.

3. Toome nüüd näite, kui Wronski on igal pool võrdne nulliga, kuid funktsioonid on siiski lineaarselt sõltumatud. Määratleme kaks funktsiooni:

Mõlemad funktsioonid on kõikjal diferentseeritavad (ka nullis, kus mõlema funktsiooni tuletised kaovad). Veenduge, et Wronskian on igal pool võrdne nulliga:

Need funktsioonid on aga ilmselgelt lineaarselt sõltumatud. Näeme, et Wronski võrdsus nulliga ei too kaasa lineaarset sõltuvust funktsioonide suvalise valiku korral.

Lineaarsete diferentsiaalvõrrandite süsteemid

Definitsioon. Diferentsiaalvõrrandite süsteemi nimetatakse lineaarne , kui see on lineaarne kõigi tundmatute funktsioonide ja nende tuletiste suhtes.

Üldvaade diferentsiaalvõrrandisüsteemist

Kui on antud algtingimus: , (3)

siis on lahendus unikaalne eeldusel, et vektorfunktsioon on pidev sees ja maatriksi koefitsiendid on samuti pidevad funktsioonid.

Tutvustame lineaarset operaatorit, siis (6) saab ümber kirjutada järgmiselt:

kui, siis kutsutakse operaatori võrrand (4). homogeenne ja sellel on vorm:

muidu nimetatakse seda heterogeenne .

Kuna operaator on lineaarne, on selle jaoks järgmised omadused:

• 1. Kui homogeense süsteemi (5) lahendus, siis on see ka võrrandi (5) lahend.
• 2. Kui need on (5) lahendus, siis on need ka (5) lahendus.