Siin teeme ettepaneku kaaluda üldist märki jada lõpliku piiri olemasolust, 
.
Definitsioon 3.5.
Järjekord 
,
, nimetatakse põhiliseks, kui see on suvaline arv 
selline number on olemas 
see on kõigile 
ebavõrdsus kehtib 
.
Põhijada definitsiooni kasutatakse sageli järgmisel kujul.
Definitsioon 3.6.
Järjekord 
on suvalise arvu korral põhiline 
selline number on olemas 
see on kõigile 
ja mis tahes naturaalarv 
ebavõrdsus kehtib 
.
Teoreem 3.13 (Cauchy kriteerium). Selleks, et jada läheks kokku, on vajalik ja piisav, et see oleks fundamentaalne.
Tõestus. Vajadus.
Laske jada 
,
, koondub, see tähendab, on olemas
. Valime 
. Siis on selline number 
see on kõigile 
ebavõrdsus kehtib: 
.
Lase 
Ja 
, Siis
=
,
mis tähendab, et järjestus on põhiline.
Adekvaatsus.
Laske jada 
on põhiline. Tõestame, et see läheneb. Raskus seisneb sellise numbri leidmises A, mis on selle piir.
Jaotame argumendi mitmeks etapiks.
a) Tõestame, et jada fundamentaalne olemus eeldab selle piiritust. Mõelgem ε =1, siis on selline arv n 1 et kõigi ees
n,
m
≥
n 1
ebavõrdsus kehtib 
. Kõigi ees n≥
n 1
õiglane:
.
Olgu , a, siis iga loomuliku jaoks 
ebavõrdsused on rahuldatud 
, see on 
piiratud.
b) Valime looduslikud n.
Kaaluge komplekti 
- jadaliikmete väärtuste komplekt, mille arv ei ole väiksem kui valitud n. Sellega, mida tõestati punktis a) komplekt X 1
piiratud. Ja ilmsetest investeeringutest 
sellest järeldub, et kõik need hulgad on piiratud.
c) Vaatleme kahte uut jada. Selleks iga komplekti jaoks 
tähistame: 
,
. Punktis b toodud kinnistest järeldub, et järjestus 
suureneb ( 
) ja järjestust 
väheneb ( 
). Sellepärast 
, see tähendab, et järjestused on monotoonsed ja piiratud ning seetõttu koonduvad. Pange tähele ka seda, et kõigi looduslike n ebavõrdsus on ilmselge 
.
d) Tõestame, et nende kahe jada erinevus kipub olema null: 
. Kasutagem fundamentaalsuse tingimust. Suvalise arvu jaoks 
selline number on olemas 
see on kõigile k
≥
n ε
ebavõrdsused on rahuldatud 
. Need ebavõrdsused võimaldavad meil seda järeldada
juures n≥
n ε
. Seega 
.
e) Osas c) tõestatuga jada 
koondub, las 
. Sest 
ja siis ebavõrdsusest 
ja lemmast kahe politseiniku kohta järeldub, et 
. Piisavus on tõestatud. Teoreem on tõestatud.
3.9. Järjekorrad. Osalised piirangud
Definitsioon 3.7.
Lase 
,
, on mingi arvjada ja let 
,
on rangelt kasvav naturaalarvude jada. Seejärel vormi jada 
,
, nimetatakse jada alamjadaks 
.
Kui jadal ei ole piirangut, siis see ei välista võimalust, et mõnele alamjadale on piirang.
Definitsioon 3.8. Jada osaline piir on mõne koonduva alamjada piir.
Näide 3.18.
Lase 
. See jada erineb (vt jaotis 3.2), kuid selle alamjadad 
Ja 
koonduvad vastavalt 1-le ja -1-le. Seega on need arvud jada osalised piirid 
.
Teoreem 3.14.
Laske jada 
,
, koondub numbrile a.
Siis koondub ka selle mis tahes alamjada a.
Tõestus. Lase 
,
, - jada alamjada 
,
. Sest 
on siis rangelt kasvav naturaalarvude jada 
kõigi ees 
(seda on lihtne induktsiooniga tõestada). Valime 
. Konvergentsi definitsiooni järgi 
To a kõigi jaoks 
ebavõrdsus rahuldatakse 
.Teoreem on tõestatud.
Ülesanne 3.14 Tõesta, et jada koondumiseks on vajalik ja piisav, et iga selle alamjada läheneb.
Ülesanne 3.15.
Tõesta seda tingimustest 
a
Ja
a
sellest järeldub 
a.
Ülesanne 3.16. Tooge näide jadast, millel on täpselt kümme osalist piiri.
Ülesanne 3.17. Too näide jadast, mille iga reaalarv on osaline piir.
Vaatleme küsimust osaliste piiride olemasolust piiratud jada puhul.
Teoreem 3.15 (Bolzano-Weierstrass). Iga piiratud jada sisaldab koonduvat alamjada.
Tõestus.
Jada piiratud olemuse tõttu saame määrata järgmised numbrid 
et kellelegi 
ebavõrdsused on rahuldatud 
. Jagage segment 
pooleks. Siis sisaldab vähemalt üks pool lõpmatu arvu jada liikmeid. See tuleneb asjaolust, et jada koosneb lõpmatust hulgast terminitest ja seal on ainult kaks poolt. Valime selle poole ja tähistame seda tähega 
, kui mõlemad on sellised, siis ükskõik milline neist.
Järgmiseks segment 
Jagame uuesti pooleks ja valime poole, mis sisaldab lõpmatu arvu jada liikmeid. Tähistagem seda tähega 
. Seda protsessi jätkates,
-sammul saame segmendi 
, mis sisaldab lõpmatult palju selle jada termineid. Iga konstrueeritud segment sisaldub eelmises. Sektsiooni pikkus 
võrdne 
, see tähendab, et kipub kasvades nulli 
. Rakendades Cantori lemmat pesastatud segmentidele, saame, et jadad 
Ja 
kalduvad üldisele piirile, tähistame seda tähega A.
Ehitame nüüd konvergenti A järeljada. Nagu 
valige jada mis tahes liige 
sisaldub 
. Nagu 
vali selline jada liige 
, mis sisaldub 
ja number 
mis on rohkem 
(siin kasutatakse seda segmenti 
sisaldab lõpmatult palju jada termineid). Vaieldakse sarnaselt, edasi
-th samm as 
vali selline jada liige 
, mis sisaldub 
ja number 
mis on rohkem 
. Tuletagem meelde, et iga konstrueeritud segment sisaldab lõpmatult palju jada termineid, mis määrab sellise valiku võimaluse. Sest 
, A 
, siis lemma poolt kahe politseiniku kohta 
.Teoreem on tõestatud.
Tähistame jada kõigi osaliste piiride hulka tähisega 
. Tõestatud Bolzano-Weierstrassi teoreemi saab ümber sõnastada järgmiselt:
igal piiratud jadal on hulk 
osalimiidid ei ole tühjad.
Lisaks märgime, et jada piiritusest järeldub ebavõrdsuse piirile ülemineku teoreemiga, et hulk on piiratud 
. Nii et neid on palju 
on täpsed ülemised ja alumised servad.
Definitsioon 3.9.
Lase 
,
, on piiratud jada ja laseb 
on kõigi selle osaliste piiride kogum. Väärtused 
,
nimetatakse vastavalt jada alumiseks ja ülemiseks piiriks 
.
Sellest määratlusest ei tulene otseselt, et numbrid 
,
kuuluvad paljudele 
, kuid siiski õiglane
Teoreem 3.16. Piiratud jada ülemine ja alumine piir on selle osalised piirid.
Tõestus. Näitame, et on olemas selline alamjada 
, Mida 
. Sest 
<
, siis täpse ülemise piiri määratluse järgi on olemas 
alates 
,mille jaoks 
. Järgmisena on olemas 
, mille jaoks 
, ja üldiselt kõigile 
tuleb 
, mis rahuldab ebavõrdsuse:
.
Kuna iga 
on osaline piirang, siis mis tahes naabruskond 
sisaldab lõpmatult palju jadatermineid 
. Seetõttu on number olemas 
, mille jaoks 
; on number 
, mille jaoks
Ja 
.
Arutluskäiku jätkates, kõigile 
kaaluma 
, mis vastab tingimustele
Ja 
.
Sel viisil konstrueeritud alamjada 
rahuldab ebavõrdsust
ja lemma järgi kipub umbes kaks politseinikku 
.
Samamoodi konstrueeritakse alamjada, mis koondub 
.Teoreem on tõestatud.
Eelkõige tõestatud teoreemist järeldub, et pole olemas sellist jada, mille kõigi osaliste piiride hulk oleks piiratud intervall.
Jada ülemist ja alumist piiri tähistame tähega 
Ja 
vastavalt. Nende suuruste ühe iseloomuliku omadusena tõestame järgmise teoreemi.
Teoreem 3.17
.
Lase 
- piiratud järjestus, 
;
. Siis mis tahes positiivse arvu jaoks 
iga ebavõrdsus 
Ja 
rahuldab ainult jada lõplikku terminite hulka.
Tõestus.
Oletame vastupidist. Olgu numbrite hulk 
ebavõrdsust rahuldava jada liikmed 
, lõputult. Järjestame need numbrid ranges kasvavas järjekorras: 
Siis järg 
rahuldab ebavõrdsust 
. Bolzano-Weierstrassi teoreemi järgi saab sellest eraldada koonduva alamjada, piir 
mis on rohkem kui 
. Selge see 
, ja see on vastuolus tõsiasjaga 
- ülemine serv. Saadud vastuolu tõestab teoreemi.
Definitsioon. Nimetatakse jada (x n). põhiline (Kauchy jada), kui mis tahes e > 0 korral on arv N nii et kõigi numbrite jaoks n, mis vastab tingimusele n>=N, ja mis tahes naturaalarvu jaoks lk(p=1,2,3...) ebavõrdsus on tõene:
|x n + p – x n |< e.
Teoreem. (Kauchy kriteerium) . Selleks, et jada (x n) oleks konvergentne, on vajalik ja piisav, et see oleks fundamentaalne.
Tõestus.
1) Vajadus. Olgu x n à a. Fikseerime suvalise e > 0. Kuna jada (x n ) läheneb piirile A, siis e/2-ga võrdse arvu korral on arv N selline, et kõigi ees n >= N:
|x n – a|< e/2. (1)
Kui lk mis tahes naturaalarv, siis kõigi n>=N korral on see:
|x n + p – a| < e/2. (2)
Kuna kahe arvu summa moodul ei ületa nende moodulite summat, siis võrratuste (1) ja (2) põhjal saame kõigi n >= N ja mis tahes naturaalarvude korral lk me saame:
|x n + p – x n | = | + |<= |x n + p – a| + |x n – a|< e, Þ |x n + p – x n | < e - see tähendab, et see on põhiline jada.
2) Adekvaatsus. Olgu nüüd (x n ) põhijada. Näiteks e =1 korral on n 1 nii, et n > n 1 ja m > n 1 on |x n - x m |< 1.
Fikseerides m o > n 1 saame |x n - x m o |< 1 и Þ |x n | < 1+ |xm o |
Þ |x n |<= M, где M=max{|x1|,…|xn1|,1+|xm o |) kõigi nÎN, st. (x n) – piiratud.
See tähendab, et Bolzano-Weierstrassi teoreemi järgi on olemas konvergentne jada ( x n k ), x n k –> a. Näitame, et (x n ) koondub a.
Kui antud e > 0:
"e > 0 $K(e)О N:"k>K(e) Þ
|x n k – a| < e;
Lisaks (x n) põhiolemuse tõttu $n e = n(e): n k ,n > n e
Þ |x n – x n k |< e/2
Paneme n e = max(n e , n k (e) ) ja fikseeri n ko > n e. siis n > jaoks n meil on:
|x n – a|<= |x n – xn ko | + |x n ko – a|< e. А это и означает, что lim x n = a #
15. Funktsiooni piiri kaks definitsiooni punktis ja nende ekvivalentsus.
Def.1. (Cauchy järgi). Olgu antud funktsioon y=f(x): X à Y ja punkt a on komplekti X piirang. Arv A helistas funktsiooni piir y=f(x) punktisa , kui mistahes e > 0 korral on võimalik määrata d > 0 nii, et kõigi xÎX-ide korral, mis rahuldavad võrratused 0< |x-a| < d, выполняется |f(x) – A| < e.
Def.2 (Heine järgi). Number A nimetatakse funktsiooni y=f(x) piiriks punktis a, kui mis tahes jada (x n )Ì X korral, x n ¹a "nОN, koondub a, funktsiooni väärtuste jada (f(x n)) läheneb arvule A.
Teoreem. Funktsiooni piiri määramine Cauchy ja Heine järgi on samaväärsed.
Tõestus. Olgu A=lim f(x) funktsiooni y=f(x) piirväärtus Cauchy järgi
ja (x n )Ì X, x n ¹a "nОN – jada, mis läheneb a, x n à a.
Kui e > 0, leiame d > 0 nii, et 0 juures< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x) – A| < e,
ja sellest d-st leiame arvu n d =n(d), nii et n>n d korral on meil 0< |x n -a| < d.
Aga siis |f(x n) – A| < e, т.е. доказано, что f(x n)à A.
Olgu nüüd number A on nüüd Heine järgi funktsiooni piirang, kuid A ei ole Cauchy piir. Siis on e o > 0, nii et kõigi nОN jaoks on olemas x n ОX,
0 < |x n -a| < 1/n, для которых |f(x n)-A| >= e o . See tähendab, et jada (x n )Ì X, x n ¹a "nОN, x n à on leitud a selline, et
jada (f(x n)) ei koondu A. #
Funktsiooni piiri kordumatus punktis. Lõpliku piiriga funktsiooni lokaalne piiritus. Nulllimiidiga funktsiooni märgi lokaalne säilitamine.
1. teoreem. Kui $ lim f(x) = b О R x à a jaoks, siis see piir ainus.
Tõestus: Las see ei ole nii.
lim f(x) = b 1 ja lim f(x) = b 2 x à a jaoks. b 1 ¹ b 2
"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 1 (määratlus Heine järgi)
"(x n )О D(f), x n à a, x n ¹ a Þ f(x n) à b 2 (määratlus Heine järgi)
Konkreetse jada jaoks (x n )М D(f). x n ’ à a, x n ¹ a Þ
Þ f(x n ’) à b 1 ja f(x n ’)à b 2. Seejärel jada piiri kordumatuse teoreemi järgi b 1 =b 2. #
Def. Funktsioon f(x) on x à a jaoks lokaalselt piiratud, kui arvud d > 0 ja M > 0, nii et 0 korral< |x-a| < d, xÎX имеем |f(x)|<=M.
Teoreem 1 (kohaliku piirituse kohta). Kui funktsioonil f(x) on punktis a piir, siis on see x à a jaoks lokaalselt piiratud.
Tõestus: Kui x à a jaoks on olemas lim f(x) = A, siis näiteks e=1 korral on olemas d>0, nii et 0 korral< |x-a| < d, xÎX, имеем |f(x)-A| < 1, а это значит,
|f(x)|<|A|+1=M. #
Teoreem 2 (kohamärgi säilitamise kohta). Kui lim f(x) = A x à a ja A¹0 korral, siis on olemas d>0, et
0 < |x-a| < d, xÎX и A>0 on meil f(x)>A/2 ja 0 juures< |x-a| < d, xÎX и A<0 имеем
f(x)< a/2, т.е. (0 < |x-a| < d)L(xÎX) Þ |f(x)| >|A|/2.
Tõestus: Võtame e=|A|/2. Seal on d> 0 selline, et jaoks
0 < |x-a| < d, xÎX имеем
A-|A|/2 A>0 korral saame vasakpoolsest võrratusest f(x) > A/2 ja A korral<0 из правого неравенства получаем f(x) < A/2. # CAUCHY KRITEERIUM 1) K.K. arvujada konvergents: arvude (reaal- või kompleksarvude) korral xn,n=1, 2, . . ., millel oli piir, on vajalik ja piisav, et igaühe jaoks on olemas arv N, nii et kõigi jaoks Arvjada konvergentsi kriteerium on üldistatud täismeetrika punktide koondumise kriteeriumiks. ruumi. Punktide jada (x p) täismeetria ruum koondub siis ja ainult siis, kui selline on olemas N, et ebavõrdsus kehtib kõigi kohta 2) K.K. n muutuja funktsioonide olemasolupiir Olgu f defineeritud Xre-mõõtmelise ruumi hulgal Rn ja võtab arvväärtusi (reaal- või kompleksväärtusi), A - hulga X (või sümboli, antud juhul X on piiramata) piirpunkt. Lõplik piir on olemas siis ja ainult siis, kui see on kõigi jaoks olemas U=U(a) .
punktid A, et mis tahes ja ebavõrdsus kehtib See kriteerium üldistab üldisematele kaardistustele: las X- topoloogiline , A - selle loetavuse piirpunkt, Y- täismeetria tühik ja f - Xв Y. Et oleks piir 3) Q. funktsioonide perekonna ühtlaseks koondumiseks. Lase X- mingi komplekt, Y- topoloogiline ruum, mis rahuldab loendavuse esimest aksioomi piirpunktis, R on täielik mõõdik. tühik, f( x, y).
- komplekti vastenduste perekond f( x, y),
fikseeritud hulga X vastendamine H-ks, on ühtlaselt konvergentne X-le, kui mõne jaoks on selline naabruskond U=U(y 0).punktid y 0 see on kõigile Eelkõige siis, kui Y- naturaalarvude kogum ja 4) K. rea konvergentsile: arvuline koondub siis ja ainult siis, kui mõne jaoks on selline arv N, et mis tahes ja kõigi täisarvude puhul kehtib ebavõrdsus Mitme seeria puhul nimetatakse sarnast lähenemiskriteeriumit. Cauchy-Stolzi kriteerium. Näiteks selleks, et koondunud ristkülikukujulistele osasummadele see on vajalik ja piisav, et keegi midagi sellist leiaks N, et kõigi ja kõigiga tervikuna Need kriteeriumid on üldistatud Banachi ruumides seeriateks (absoluutväärtuse asemel võetakse vastavate elementide normid). 5) Q. rea ühtlaseks konvergentsiks: olgu teatud hulgal X defineeritud ja arvväärtusi võtvad funktsioonid. Selleks, et seeria koondusid võtteplatsil ühtlaselt X, on vajalik ja piisav, et selline arv on olemas kõigi jaoks N, et kõigile tervikuna See kriteerium laieneb ka mitmele seeriale, mitte ainult arvridadele, vaid ka seeriatele, mille terminid kuuluvad Banachi tühikutesse, st kui ja lk(x).on hulga X vastendused teatud sülemisse. 6) Q. valede integraalide konvergentsi jaoks: olgu funktsioon f defineeritud poolintervallil, sellel on arvväärtused ja integreeritav mis tahes (Riemanni või Lebesgue) jaoks intervallis [ a, c].
Selleks, et koondunud, on vajalik ja piisav, et igaühe jaoks on olemas selline, et kõigi jaoks, kes vastavad tingimusele, kehtib ebavõrdsus Kriteerium on sõnastatud sarnaselt muud tüüpi ebaõigete integraalide jaoks ja on üldistatud ka juhul, kui funktsioon f sõltub mitmest muutujast ja selle väärtused asuvad Banachi ruumis. 7) K.K ebaõigete integraalide ühtlaseks konvergentsiks: olgu funktsioon f(. x, y).Iga fikseeritud kohas Y- mõni poolintervalliga määratud komplekt võtab arvväärtusi ja on integreeritav mis tahes intervalliga [ a, c].
Selleks, et koondub ühtlaselt hulgale Y, on vajalik ja piisav, et iga jaoks on olemas selline, et mis tahes tingimustele vastavate ja kogu ebavõrdsus kehtib See kriteerium laieneb ka muud tüüpi sobimatutele integraalidele, mitme muutuja funktsioonide korral ja funktsioonidele, mille väärtused asuvad Banachi tühikutes. Valgus: C a u c h u A. L., Analüüsi algebrique, P., 1821; Stolz O., "Math. Ann.", 1884, Bd 24, S. 154-71; Dieudonne J., Kaasaegse analüüsi alused, tlk. inglise keelest, M., 1964; Il'in V.A., Poznya to E.G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. väljaanne, 1. kd, M., 1971, 2. kd, 1973; Kudrjavtsev L. D., Matemaatilise analüüsi kursus, t. .
1-2, M., 1981; 16] Nikolsky S.M., Matemaatilise analüüsi kursus, 2. väljaanne, kd 1-2, M., 1975; Whittaker E. - T., V a tson J. - N., Kaasaegse analüüsi käik, tlk. inglise keelest, 2. väljaanne, 1. osa, M., 1963. L. D. Kudrjavtsev. Matemaatiline entsüklopeedia. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985. Positiivsete ridade konvergentsi kriteerium (Cauchy kriteerium) on arvuridade konvergentsi põhikriteerium, mille kehtestas Augustin Cauchy. Positiivne jada läheneb siis ja ainult siis, kui selle osasummade jada on piiratud ülalpool... Wikipedia Mihhailovi Nyquisti stabiilsuskriteerium on üks viise, kuidas hinnata suletud ahelaga juhtimissüsteemi stabiilsust selle avatud ahela faasireaktsiooni järgi. See on üks sageduse stabiilsuse kriteeriume. Selle kriteeriumi kasutamine stabiilsuse hindamiseks... ... Wikipedia Mihhailovi Nyquisti stabiilsuskriteerium on üks viise, kuidas hinnata suletud ahelaga juhtimissüsteemi stabiilsust selle avatud oleku amplituudi-faasi sagedusreaktsiooni järgi. Kas üks sageduskriteeriume... ... Wikipedia Cauchy-kriteerium on matemaatilise analüüsi väidete jada: jada (vt Fundamentaaljada) konvergentsi kriteerium, millel põhineb tervikliku ruumi määratlus. Positiivsete märkide lähenemise kriteerium... ... Vikipeedia Sarnasuskriteerium on mõõtmeteta suurus, mis koosneb dimensioonilistest füüsikalistest parameetritest, mis määravad vaadeldava füüsikalise nähtuse. Kõigi sama tüüpi sarnasuskriteeriumide võrdsus kahe füüsikalise nähtuse ja süsteemi jaoks on vajalik ja... ... Wikipedia Mihhailovi Nyquisti stabiilsuskriteerium on üks viise, kuidas hinnata suletud ahelaga juhtimissüsteemi stabiilsust selle avatud ahela faasireaktsiooni järgi. See on üks sageduse stabiilsuse kriteeriume. Seda kriteeriumi kasutades on stabiilsuse hindamine väga ... ... Wikipedia - (Ca) sarnasuse kriteerium kontiinummehaanikas, mis väljendab kineetilise energia suhet keskkonna kokkusurumisenergiasse. Seda kasutatakse elastsete kehade vibratsiooni ja elastsete vedelike voolu uurimisel. Cauchy arvu väljendatakse järgmiselt: , kus... ... Vikipeedia Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Cauchy märki. Cauchy Maclaurini integraaltest on kahanevate positiivsete arvuridade konvergentsi test. Maclaurini Cauchy test võimaldab vähendada rea konvergentsi kontrollimist... ... Wikipedia Mõiste "Cauchy test" võib viidata ühele järgmistest väidetest: Cauchy radikaali test Maclaurini integraal Cauchy test Cauchy kriteerium Vaata ka Cauchy teoreemi ... Wikipedia Järjekord (xn) rahuldab Kahjulik seisund, kui mis tahes positiivse reaalarvu ε korral > 0
on naturaalarv N ε selline, et Nimetatakse ka järjestusi, mis rahuldavad Cauchy tingimust põhilised järjestused. Cauchy seisundit saab esitada muul kujul. Olgu m > n. Kui m< n
,
то поменяем n
и m
местами. Случай нас не интересует, поскольку при этом неравенство (1) выполняется автоматически. Имеем: Seejärel saab Cauchy tingimuse sõnastada järgmiselt: Järjepidevus rahuldab Kahjulik seisund, kui mõne jaoks on naturaalarv, nii et Cauchy tingimuses kuvatav arv sõltub ε-st. See tähendab, et see on reaalmuutuja ε funktsioon, mille vahemik on naturaalarvude hulk. Numbri võib kirjutada ka kujul , nagu funktsioonide tähistamisel kombeks. Cauchy kriteerium jadade konvergentsi jaoks Selleks, et jadal oleks lõplik piir, on vajalik ja piisav, et see rahuldaks Cauchy tingimust. Laske jadal koonduda lõplikule piirile a: Näitame, et jada rahuldab . Selleks peame leidma funktsiooni, mille korral on täidetud järgmised ebavõrdsused: Asendame selle . Siis kõigi jaoks, mis meil on: Vajadus on tõestatud. Las jada rahuldab. Tõestame, et see koondub lõplikule arvule. Jagame tõestuse kolmeks osaks. Kõigepealt tõestame, et jada on piiratud. Seejärel rakendame , mille kohaselt on piiratud jada alamjada, mis koondub lõplikule arvule. Ja lõpuks näitame, et kogu jada läheneb sellele arvule. Tõestame, et rahuldav jada on piiratud. Selleks määrame Cauchy tingimuses . Siis on naturaalarv, mille puhul kehtivad järgmised ebavõrdsused: Võtame suvalise naturaalarvu ja fikseerime jada liikme. Tähistame seda, et rõhutada, et see on konstantne arv, mis ei sõltu indeksist n. Asendame (2.1.1) ja teostame teisendusi. Kui meil on: Rakendame Bolzano-Weierstrassi teoreemi. Selle teoreemi kohaselt on piiratud jadal alamjada, mis koondub mõnele lõplikule arvule a. Tähistame sellist alamjada nagu . Siis Näitame, et kogu jada koondub arvule a. Parandame n. Siis (2.3.1) on võrratus, mis sisaldab jada, milles on välistatud lõplik arv esimesi liikmeid. Lõplik arv esimesi liikmeid ei mõjuta konvergentsi (vt Lõpliku arvu liikmete mõju jada lähenemisele). Seetõttu on kärbitud jada piirang endiselt a. Taotlemine ebavõrdsusega seotud piiride omadused Ja piiride aritmeetilised omadused, jaoks , alates (2.3.1) on meil: See tähendab, et iga jaoks on naturaalarv, nii et Teoreem on tõestatud Viited: Cauchy kriteerium jada konvergentsi jaoks eeldab kõige üldisemat arvuridade lähenemise kriteeriumi. 4. teoreem (Cauchy kriteerium). Arvseeria Y1 an lähenemiseks on vajalik ja piisav, et iga arvu e > O jaoks on olemas arv N = N(e), nii et mis tahes n > N korral kehtib ebavõrdsus kõigi jaoks. Kasutades osasummasid 5P Vaadeldava rea J2 in> ebavõrdsuse (1) +P ja Sn-\ saab kirjutada kujul Cauchy kriteerium eeldab arvurea konvergentsi vajalikku kriteeriumi. Teoreem 5. Kui seeria Võrdluskatse positiivsete terminitega seeriatele D'Alemberti test Cauchy test Cauchy kriteerium rea konvergentsile läheneb, siis 4. teoreemi eeldusel saame ebavõrdsuse, mis kehtib kõigi jaoks arv e > 0, see tähendab, et Järeldus. Kui lim an erineb nullist või seda ei eksisteeri, siis seeria Näide 1. Arvurida lahkneb, kuna näide 2. Seeria lahkneb, kuna seda pole olemas. Kommenteeri. Teoreem 5 annab vajaliku tingimuse jada koondumiseks, kuid see ei ole piisav, st tingimus lim o„ = 0 võib olla täidetud ka lahkneva jada puhul. Näide 3. Vaatleme arvjada, mida nimetatakse harmooniliseks jadaks. Harmooniliste ridade puhul on konvergentsi vajalik tingimus täidetud, kuna Cauchy kriteeriumi kasutades näitame, et see jada lahkneb. Paneme p-n. Siis on saadud võrratus rahuldatud suvalise suvaliselt suure n korral. Sellest järeldub, et e ^ 5 ja p = n korral ebavõrdsus (1) ei kehti. Seega Cauchy kriteeriumi tõttu harmooniliste jada lahkneb. Oluline märkus. Teatud mõttes on jada lõpliku summa üldistus. Erinevalt viimasest saab termineid, millesse saab rühmitada ja ümber paigutada täiesti meelevaldselt, mistõttu summa, nagu me teame, ei muutu, tuleb suvalise seeria liikmetega toiminguid teha ettevaatlikult - tagajärjed ei pruugi alati olla olema etteaimatav. Kui lahknevas reas (konvergentsi vajalik kriteerium ei ole täidetud) rühmitame naaberrühmad paaridesse, siis saame koonduva rea tingimusi (vt näidet §-st 8) saab ümber paigutada nii, et see koondub. mis tahes arvule ja isegi lahkneb. Eelkõige koondub selle tingimuste ümberkorraldamisel saadud jada algse summa poolele (näide §-st 9). Märkimisväärne on asjaolu, et nendes näidetes on seeria terminitel erinevad märgid. Toome välja märgid, mis võimaldavad tuvastada mõne arvrea konvergentsi või lahknemist, võrreldes neid teiste ridadega, mille konvergents või lahknemine on ette teada. Teoreem 6 (võrdlustest). Olgu antud kaks seeriat, mille liikmed an ja 6“ on positiivsed. Kui ebavõrdsus kehtib kõikidele arvudele n, siis rea Y1 6n konvergentsist järgneb jada an konvergents ja jada Y1 On lahknemisest jada Y1 6„. M Koostame seeriate (1) ja (2) osasummad Teoreemi tingimusest (3) järeldub, et 5П ^ Sn kõigi 1) Oletame, et seeria (2) koondub, st selle n-ndatel osasummadel on piir. Seega, kuna nende ridade kõik liikmed on positiivsed, järeldub ebavõrdsuse (3) tõttu, et Seega on seeria (1) kõik osasummad 5P piiratud ja suurenevad n kasvades, kuna. Järelikult on osasummade jada konvergentne, mis tähendab jada an konvergentsi. Sellisel juhul saame ebavõrdsuse piirini jõudmisel, et ebavõrdsuse tõttu saame positiivsete liikmetega D ridade võrdlustesti. 'Alemberti test Cauchy test Cauchy's ridade konvergentsi kriteerium, st seeria bn, lahkneb. Kommenteeri. Teoreem 6 jääb kehtima juhul, kui ebavõrdsus an ^ bn ei ole täidetud mitte kõigi n-de puhul, vaid ainult alates teatud arvust A:, see tähendab kõigi n ^ Jfc puhul, kuna seeria lõpliku arvu liikmete muutmine ei riku selle lähenemist. Näited. Uurige konvergentsi jaoks järgmisi jadaid: Kuna arvurida koondub, siis võrdluseks koondub ka algseeria (4) Ebavõrdsus eeldab ebavõrdsust Kuna harmoonilised jadad lahknevad (nagu jada, siis võrdluseks algseeria (4). ) lahkneb ka I teoreem 6 jääb kehtima ka üldisema võrratuse korral. Näide 3. Uurige seeriat 4 konvergentsi jaoks. Kasutades kõigi jaoks kehtivat võrratust, leiame, et jada koondub võrdluseks (siin A = y) koondub ka see jada (5) Järeldus: kui on olemas lõplik nullist erinev piir, siis seeriad (1) ja (2) koonduvad või lahknevad ülaltoodud piiri olemasolust mis tahes arvu e > O korral on arv N, nii et kõigi n > N korral on ebavõrdsus või Seega, kui jada (2) läheneb, siis seeria koondub. 1) koondub ka Kui seeria (2) lahkneb, siis see lahkneb ja seeria (e loetakse nii väikeseks. Kuna n on kõigi jaoks, siis vastavalt teoreemile 6 seeria (1) lahkneb. Kommenteeri. Lemma tingimus on samaväärne tõsiasjaga, et jadad сс ja Lbn at on samaväärsed või, mis on sama. Juhul I = 0, tähendab seeriate (2) konvergents ridade (1) konvergentsi. Vastupidine ei vasta tõele. Juhul L = +oo, tähendab seeria (1) lahknevus seeria (2) lahknemist. Vastupidine ei vasta tõele. Näited. Uurige konvergentsi jaoks järgmisi arvuridasid: 4 Võrdleme seda jada harmooniliste jadatega. Siis koondub esialgne seeria. §5. D'Alemberti test oo Lause 7 (D'Alemberti test). Olgu antud jada an, kus kõik an > 0. Kui on olemas n=\ limiit, siis seeria koondub ja jada lahkneb.4 Olgu olemas piir, kus Võta q selline, et. Siis on mis tahes arvu jaoks, näiteks e = korral, arv N, nii et kõigi n ^ N korral on ebavõrdsus täidetud. Täpsemalt on meil see ebavõrdsus, kust saab n järjestikku N, saame. Seeria liikmed ei ületa selle jada vastavaid liikmeid, mis koonduvad nimetajaga geomeetrilise progressiooni liikmetest koosneva jadana koondub Juhul, kui algab teatud arv N, on ebavõrdsus täidetud või Järelikult a lahkneb, kuna vajalik - lähenemise märk. Kommenteeri. Kui see on olemas või mitte, siis D'Alemberti test ei anna vastust seeria konvergentsi või lahknemise kohta. Näited. Uurige järgmisi seeriaid konvergentsi jaoks: Antud seeria jaoks on meil positiivsete terminitega seeriate võrdlustest D'Alemberti test Cauchy test Cauchy test seeria konvergentsi jaoks D'Alemberti testiga seeriad koonduvad. Meil on see sari erineb. . Cauchy test 8. teoreem (Cauchy test). Olgu seeria oo antud. Võtke arv q, et. Kuna on piir, kus siis, alates teatud arvust N, kehtib ebavõrdsus. Tegelikult järeldub piirvõrdsusest, et iga c jaoks, sealhulgas jaoks, on arv N, millest alates saadakse võrratus, kust A või mis on sama, Siit saame jaoks. Seega on seeria kõik liikmed, alustades, väiksemad kui koonduva rea £ 0π vastavad liikmed. Las olla. Siis, alustades teatud arvust N, kehtib kõigi n > N korral ebavõrdsus > 1 või Järelikult jada (1) lahkneb. Kommenteeri. Kui A = 1, siis seeria (I) võib kas läheneda või lahkneda. Näited. Uurige konvergentsi jaoks järgmisi seeriaid: L Meil on Seeria koondub. ^ m Siin seeria lahkneb. ^
läbi viidud 
see on vajalik ja piisav, et naabruskond oleks kõigile U=U(a). Ründab, et ebavõrdsus kehtib kõigi kohta 
ja kogu ebavõrdsus on rahuldatud
siis jada koondub ühtlaselt hulgale X siis ja ainult siis, kui mõne jaoks on selline arv olemas N, et kõigi ja kõigi arvude puhul kehtib ebavõrdsus
ebavõrdsus rahuldati
ebavõrdsus rahuldati 
Vaadake, mis on "vahemälu KRITEERIUM" teistes sõnaraamatutes:
Raamatud
(1)
|x n - x m |< ε
при n >N ε , m > N ε .
;
.
Siin p on naturaalarv.
(2)
jaoks ja mis tahes loomulik p .Jada konvergentsi Cauchy kriteeriumi tõestus
Vajaduse tõendamine
.
See tähendab, et on olemas mingi funktsioon, mille puhul kehtivad järgmised ebavõrdsused:
(1.1)
aadressil .
Vt järjestuse piirangu määratlus.
aadressil .
Kasutame võrratuste omadusi ja rakendame (1.1):
.
Viimane ebavõrdsus kehtib .
kell ,
Kus.Piisavuse tõend
(2.1.1)
aadressil .
;
;
;
;
.
See näitab, et jaoks on jada tingimused piiratud. Kuna , on ainult piiratud arv tingimusi, siis on kogu jada piiratud.
.
Kuna jada rahuldab , on mõni funktsioon, mille puhul kehtivad järgmised ebavõrdsused:
aadressil .
Võtame liikmeks koonduva alamjada liikme ja asendame ε 1
poolt ε /2
:
(2.3.1)
aadressil .
aadressil .
Kasutame ilmset ebavõrdsust: . Siis
aadressil .
aadressil .
See tähendab, et arv a on kogu jada (ja mitte ainult selle alamjada) piir.
O.V. Besov. Loengud matemaatilisest analüüsist. 1. osa. Moskva, 2004.