Teine tehe, mida saab teha tavaliste murdudega, on korrutamine. Püüame selgitada selle põhireegleid ülesannete lahendamisel, näidata, kuidas harilik murd korrutatakse naturaalarvuga ja kuidas õigesti korrutada kolm harilikku murru või rohkem.
Esmalt paneme kirja põhireegli:
Definitsioon 1
Kui korrutame ühe hariliku murru, siis on saadud murru lugeja võrdne algsete murdude lugejate korrutisega ja nimetaja on võrdne nende nimetajate korrutisega. Sõnasõnalises vormis saab seda kahe murdosa a / b ja c / d korral väljendada kujul a b · c d = a · c b · d.
Vaatame näidet selle reegli õige rakendamise kohta. Oletame, et meil on ruut, mille külg on võrdne ühe arvühikuga. Siis on joonise pindala 1 ruut. üksus. Kui jagame ruudu võrdseteks ristkülikuteks, mille küljed on võrdsed 1 4 ja 1 8 arvühikuga, saame, et see koosneb nüüd 32 ristkülikust (sest 8 4 = 32). Sellest lähtuvalt on igaühe pindala võrdne 1 32-ga kogu joonise pindalast, s.o. 132 ruutmeetrit ühikut.
Meil on varjutatud fragment, mille küljed on võrdsed 5 8 arvühikuga ja 3 4 numbriühikuga. Sellest lähtuvalt peate selle pindala arvutamiseks korrutama esimese murdosa teisega. See võrdub 5 8 · 3 4 ruutmeetriga. ühikut. Kuid me võime lihtsalt kokku lugeda, mitu ristkülikut fragmendis on: neid on 15, mis tähendab, et kogupindala on 15 32 ruutühikut.
Kuna 5 3 = 15 ja 8 4 = 32, saame kirjutada järgmise võrdsuse:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
See kinnitab reeglit, mille me sõnastasime harilike murdude korrutamiseks, mis on väljendatud kujul a b · c d = a · c b · d. See toimib ühtmoodi nii õigete kui ka sobimatute murdude puhul; Seda saab kasutada nii erinevate kui ka identsete nimetajatega murdude korrutamiseks.
Vaatame lahendusi mitmele probleemile, mis on seotud harilike murdude korrutamisega.
Näide 1
Korrutage 7 11 9 8-ga.
Lahendus
Esiteks arvutame näidatud murdude lugejate korrutise, korrutades 7 9-ga. Meil on 63. Seejärel arvutame nimetajate korrutise ja saame: 11 · 8 = 88. Koostame kaks arvu ja vastus on: 63 88.
Kogu lahenduse saab kirjutada järgmiselt:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Vastus: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Kui saame oma vastuses taandatava murdosa, peame arvutuse lõpule viima ja selle redutseerima. Kui saame vale murdu, peame kogu osa sellest eraldama.
Näide 2
Arvutage murdarvude korrutis 4 15 ja 55 6 .
Lahendus
Eespool uuritud reegli kohaselt peame korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga. Lahenduse kirje näeb välja selline:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Saime taandatava murdosa, st. üks, mis jagub 10-ga.
Vähendame murdosa: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Selle tulemusena saame vale murru, millest valime kogu osa ja saame segaarvu: 22 9 = 2 4 9.
Vastus: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Arvutamise hõlbustamiseks saame enne korrutustehte sooritamist ka algseid murde vähendada, selleks peame murde taandada kujule a · c b · d. Jagame muutujate väärtused lihtsateks teguriteks ja vähendame samu tegureid.
Selgitame, kuidas see konkreetse ülesande andmeid kasutades välja näeb.
Näide 3
Arvutage korrutis 4 15 55 6.
Lahendus
Kirjutame üles arvutused korrutusreegli alusel. Me saame:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Kuna 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 ja 6 = 2 3, siis 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Vastus: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Arvulisel avaldisel, milles harilikud murrud korrutatakse, on kommutatiivne omadus, see tähendab, et vajadusel saame tegurite järjekorda muuta:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Kuidas korrutada murdosa naturaalarvuga
Paneme põhireegli kohe kirja ja proovime siis seda praktikas selgitada.
2. definitsioon
Hariliku murru korrutamiseks naturaalarvuga peate korrutama selle murru lugeja selle arvuga. Sel juhul on lõpliku murru nimetaja võrdne algse hariliku murru nimetajaga. Teatud murdosa a b korrutamise naturaalarvuga n saab kirjutada valemiga a b · n = a · n b.
Seda valemit on lihtne mõista, kui mäletate, et mis tahes naturaalarvu saab esitada tavalise murdena, mille nimetaja on võrdne ühega, see tähendab:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Selgitagem oma ideed konkreetsete näidetega.
Näide 4
Arvutage korrutis 2 27 korda 5.
Lahendus
Kui korrutada algmurru lugeja teise teguriga, saame 10. Ülalkirjeldatud reegli kohaselt saame tulemuseks 10 27. Kogu lahendus on toodud selles postituses:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Vastus: 2 27 5 = 10 27
Kui korrutame naturaalarvu murdosaga, peame sageli tulemust lühendama või esitama segaarvuna.
Näide 5
Tingimus: arvutage korrutis 8 korda 5 12.
Lahendus
Vastavalt ülaltoodud reeglile korrutame naturaalarvu lugejaga. Selle tulemusena saame, et 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Lõplikul murdosal on 2-ga jaguvuse märgid, seega peame seda vähendama:
LCM (40, 12) = 4, seega 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Nüüd jääb meil vaid kogu osa välja valida ja valmis vastus kirja panna: 10 3 = 3 1 3.
Selles kirjes näete kogu lahendust: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Samuti saaksime murdosa vähendada, arvutades lugeja ja nimetaja algteguriteks ja tulemus oleks täpselt sama.
Vastus: 5 12 8 = 3 1 3.
Arvulisel avaldisel, milles naturaalarv korrutatakse murdosaga, on samuti nihke omadus, see tähendab, et tegurite järjekord ei mõjuta tulemust:
a b · n = n · a b = a · n b
Kuidas korrutada kolm või enam harilikku murru
Harilike murdude korrutamise tegevusele saame laiendada samu omadusi, mis on iseloomulikud naturaalarvude korrutamisele. See tuleneb nende mõistete definitsioonist.
Tänu kombineerimis- ja kommutatiivsete omaduste tundmisele saate korrutada kolme või enama hariliku murru. Suurema mugavuse huvides on vastuvõetav tegurite ümberpaigutamine või sulgude paigutamine viisil, mis hõlbustab loendamist.
Näitame näitega, kuidas seda tehakse.
Näide 6
Korrutage neli tavalist murdu 1 20, 12 5, 3 7 ja 5 8.
Lahendus: Esmalt salvestame töö. Saame 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Peame kõik lugejad ja nimetajad kokku korrutama: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Enne kui hakkame korrutama, saame asju enda jaoks veidi lihtsamaks teha ja lisada mõned arvud edasise vähendamise algteguriteks. See on lihtsam kui juba valmis fraktsiooni vähendamine.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Vastus: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9280.
Näide 7
Korrutage 5 arvu 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Lahendus
Mugavuse huvides saame rühmitada murdarvu 7 8 numbriga 8 ja arvu 12 murdarvuga 5 36, kuna tulevased lühendid on meile ilmsed. Selle tulemusena saame:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 31 6 3 2 3
Vastus: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
) ja nimetaja nimetaja kaupa (saame korrutise nimetaja).
Murdude korrutamise valem:
Näiteks:
Enne lugejate ja nimetajate korrutamist peate kontrollima, kas murdosa saab vähendada. Kui saate murdosa vähendada, on teil lihtsam edasisi arvutusi teha.
Hariliku murru jagamine murruga.
Naturaalarvudega murdude jagamine.
See pole nii hirmutav, kui tundub. Nagu liitmise puhul, teisendame täisarvu murduks, mille nimetajas on üks. Näiteks:
Segamurdude korrutamine.
Murdude (segatud) korrutamise reeglid:
- teisendada segafraktsioonid valedeks fraktsioonideks;
- murdude lugejate ja nimetajate korrutamine;
- vähendada murdosa;
- Kui saate valemurru, teisendame valemurru segamurruks.
Märge! Segamurru korrutamiseks teise segamurruga peate need esmalt teisendama valede murdude kujule ja seejärel korrutama vastavalt tavaliste murdude korrutamise reeglile.
Teine viis murdosa korrutamiseks naturaalarvuga.
Võib-olla on mugavam kasutada teist meetodit hariliku murru arvuga korrutamiseks.
Märge! Murru korrutamiseks naturaalarvuga peate jagama murdosa nimetaja selle arvuga ja jätma lugeja muutmata.
Ülaltoodud näitest on selge, et seda võimalust on mugavam kasutada, kui murdosa nimetaja jagatakse ilma jäägita naturaalarvuga.
Mitmekorruselised murded.
Keskkoolis kohtab sageli kolmekorruselisi (või enamaid) murde. Näide:
Sellise murru tavapärasele kujule viimiseks kasutage jagamist kahe punktiga:
Märge! Murdude jagamisel on jagamise järjekord väga oluline. Olge ettevaatlik, siin on lihtne segadusse sattuda.
Märge, Näiteks:
Kui jagate ühe mis tahes murdosaga, on tulemuseks sama murd, ainult ümberpööratud:
Praktilised näpunäited murdude korrutamiseks ja jagamiseks:
1. Murdlausetega töötamisel on kõige olulisem täpsus ja tähelepanelikkus. Tehke kõik arvutused hoolikalt ja täpselt, kontsentreeritult ja selgelt. Parem on kirjutada oma mustandisse paar lisarida, kui eksida peastesse arvutustesse.
2. Erinevat tüüpi murrudega ülesannetes minge harilike murdude tüübi juurde.
3. Vähendame kõiki murde, kuni redutseerimine pole enam võimalik.
4. Teisendame mitmetasandilised murdavaldised tavalisteks, kasutades jagamist läbi 2 punkti.
5. Jagage ühik oma peas murdosaga, keerates lihtsalt murdosa ümber.
Harilike murdude korrutamine
Vaatame näidet.
Olgu taldrikul $\frac(1)(3)$ osa õunast. Peame leidma selle osa $\frac(1)(2)$. Vajalik osa saadakse murdude $\frac(1)(3)$ ja $\frac(1)(2)$ korrutamisel. Kahe hariliku murru korrutamise tulemus on harilik murd.
Kahe hariliku murru korrutamine
Tavaliste murdude korrutamise reegel:
Murru korrutamise tulemuseks murdosaga saadakse murd, mille lugeja on võrdne korrutatavate murdude lugejate korrutisega ja nimetaja on võrdne nimetajate korrutisega:
Näide 1
Korrutage tavalised murded $\frac(3)(7)$ ja $\frac(5)(11)$.
Lahendus.
Kasutame harilike murdude korrutamise reeglit:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Vastus:$\frac(15)(77)$
Kui murdude korrutamise tulemuseks on taandatav või vale murd, peate seda lihtsustama.
Näide 2
Korrutage murrud $\frac(3)(8)$ ja $\frac(1)(9)$.
Lahendus.
Tavaliste murdude korrutamiseks kasutame reeglit:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
Selle tulemusena saime taandatava murdosa (põhineb jagamisel $3$-ga. Jagades murdosa lugeja ja nimetaja $3$-ga, saame:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Lühilahendus:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Vastus:$\frac(1)(24).$
Murdude korrutamisel saate lugejaid ja nimetajaid vähendada, kuni leiate nende korrutise. Sel juhul jagatakse murdosa lugeja ja nimetaja lihtteguriteks, mille järel korduvad tegurid tühistatakse ja leitakse tulemus.
Näide 3
Arvutage murdude $\frac(6)(75)$ ja $\frac(15)(24)$ korrutis.
Lahendus.
Kasutame tavaliste murdude korrutamiseks valemit:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Ilmselt sisaldavad lugeja ja nimetaja numbreid, mida saab paarikaupa taandada numbriteks $2$, $3$ ja $5$. Liidame lugeja ja nimetaja lihtsateks teguriteks ja vähendame:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Vastus:$\frac(1)(20).$
Murdude korrutamisel saate rakendada kommutatsiooniseadust:
Hariliku murru korrutamine naturaalarvuga
Hariliku murru naturaalarvuga korrutamise reegel:
Murru naturaalarvuga korrutamise tulemuseks on murd, mille lugeja on võrdne korrutatud murru lugeja korrutisega naturaalarvuga ja nimetaja on võrdne korrutatud murru nimetajaga:
kus $\frac(a)(b)$ on tavaline murd, $n$ on naturaalarv.
Näide 4
Korrutage murdosa $\frac(3)(17)$ $4$-ga.
Lahendus.
Kasutame hariliku murru naturaalarvuga korrutamise reeglit:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Vastus:$\frac(12)(17).$
Ärge unustage kontrollida korrutamise tulemust murdosa taandatavuse või vale murdosaga.
Näide 5
Korrutage murdosa $\frac(7)(15)$ arvuga $3$.
Lahendus.
Kasutame valemit murdosa naturaalarvuga korrutamiseks:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Jagades arvuga $3$) saame kindlaks teha, et saadud murdosa saab vähendada:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Tulemuseks oli vale murd. Valime kogu osa:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Lühilahendus:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Samuti saab murde vähendada, asendades lugejas ja nimetajas olevad arvud nende faktoriseerimisega algteguriteks. Sel juhul võiks lahenduse kirjutada järgmiselt:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Vastus:$1\frac(2)(5).$
Murru korrutamisel naturaalarvuga saate kasutada kommutatsiooniseadust:
Murrude jagamine
Jagamistehte on korrutamise pöördtehe ja selle tulemuseks on murd, millega teadaolev murd tuleb korrutada, et saada kahe murru teada korrutis.
Kahe hariliku murru jagamine
Tavaliste murdude jagamise reegel: Ilmselt saab saadud murdosa lugejat ja nimetajat faktoriseerida ja vähendada:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
Selle tulemusena saame vale murru, millest valime kogu osa:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Vastus:$1\frac(5)(9).$
§ 87. Murdude liitmine.
Murdude lisamisel on palju sarnasusi täisarvude liitmisega. Murdude liitmine on toiming, mis seisneb selles, et mitu antud arvu (terminit) liidetakse üheks arvuks (summaks), mis sisaldab kõiki terminite ühikute ühikuid ja murde.
Vaatleme järjestikku kolme juhtumit:
1. Sarnaste nimetajatega murdude liitmine.
2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine.
3. Segaarvude liitmine.
1. Sarnaste nimetajatega murdude liitmine.
Vaatleme näidet: 1/5 + 2/5.
Võtame lõigu AB (joonis 17), võtame selle üheks ja jagame 5 võrdseks osaks, siis selle lõigu osa AC võrdub 1/5 segmendiga AB ja osa samast lõigust CD on võrdne 2/5 AB.
Jooniselt on selge, et kui võtame lõigu AD, võrdub see 3/5 AB; kuid segment AD on täpselt segmentide AC ja CD summa. Nii et võime kirjutada:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Arvestades neid termineid ja saadud summat, näeme, et summa lugeja saadi liikmete lugejate liitmisel ja nimetaja jäi muutumatuks.
Sellest saame järgmise reegli: Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja jätta sama nimetaja.
Vaatame näidet:
2. Erinevate nimetajatega murdude liitmine.
Liidame murrud: 3 / 4 + 3 / 8 Kõigepealt tuleb need taandada väikseima ühisnimetajani:
Vahelinki 6/8 + 3/8 ei saanud kirjutada; oleme selle selguse huvides siia kirjutanud.
Seega tuleb erinevate nimetajatega murdude liitmiseks need esmalt taandada väikseima ühisnimetajani, lisada nende lugejad ja märgistada ühisnimetaja.
Vaatleme näidet (vastavate murdude kohale kirjutame täiendavad tegurid):
3. Segaarvude liitmine.
Liidame numbrid kokku: 2 3/8 + 3 5/6.
Toome esmalt meie arvude murdosad ühise nimetaja juurde ja kirjutame need uuesti ümber:
Nüüd lisame järjestikku täisarvu ja murdosa:
§ 88. Murdude lahutamine.
Murdude lahutamine on defineeritud samamoodi nagu täisarvude lahutamine. See on toiming, mille abil leitakse kahe liikme ja neist ühe summa summast teine liige. Vaatleme kolme juhtumit järjest:
1. Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine.
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine.
3. Segaarvude lahutamine.
1. Sarnaste nimetajatega murdude lahutamine.
Vaatame näidet:
13 / 15 - 4 / 15
Võtame lõigu AB (joonis 18), võtame selle ühikuna ja jagame 15 võrdseks osaks; siis selle segmendi osa AC moodustab 1/15 AB-st ja sama segmendi osa AD vastab 13/15 AB-le. Jätame kõrvale teise lõigu ED, mis on võrdne 4/15 AB.
Peame 13/15-st lahutama murdosa 4/15. Joonisel tähendab see, et lõigust AD tuleb lahutada segment ED. Selle tulemusena jääb alles segment AE, mis moodustab 9/15 segmendist AB. Nii et võime kirjutada:
Meie tehtud näide näitab, et erinevuse lugeja saadi lugejate lahutamisel, kuid nimetaja jäi samaks.
Seetõttu peate sarnaste nimetajatega murdude lahutamiseks lahutama alaosa lugeja minuendi lugejast ja jätma sama nimetaja.
2. Erinevate nimetajatega murdude lahutamine.
Näide. 3/4 - 5/8
Esiteks vähendame need murded väikseima ühisnimetajani:
Vahetase 6 / 8 - 5 / 8 on siia kirjutatud selguse huvides, kuid selle võib hiljem vahele jätta.
Seega tuleb murdosast murdosa lahutamiseks need esmalt taandada väikseima ühisnimetajani, seejärel lahutada minuendi lugejast minuendi lugeja ja kirjutada nende erinevuse alla ühisnimetaja.
Vaatame näidet:
3. Segaarvude lahutamine.
Näide. 10 3/4 - 7 2/3.
Vähendame minuendi ja lahutamise murdosad väikseima ühisnimetajani:
Lahutasime tervikust terviku ja murdosast murdosa. Kuid on juhtumeid, kus lahutatava osa murdosa on suurem kui vähendatava murdosa. Sellistel juhtudel tuleb kogu minuendi osast võtta üks ühik, jagada see osadeks, milles väljendub murdosa, ja lisada see minuendi murdosale. Ja siis tehakse lahutamine samamoodi nagu eelmises näites:
§ 89. Murdude korrutamine.
Murru korrutamise uurimisel kaalume järgmisi küsimusi:
1. Murru korrutamine täisarvuga.
2. Antud arvu murdosa leidmine.
3. Täisarvu korrutamine murdosaga.
4. Murru korrutamine murdosaga.
5. Segaarvude korrutamine.
6. Huvi mõiste.
7. Antud arvu protsendi leidmine. Vaatleme neid järjestikku.
1. Murru korrutamine täisarvuga.
Murru korrutamisel täisarvuga on sama tähendus kui täisarvu korrutamisel täisarvuga. Murru (kordisti) korrutamine täisarvuga (teguriga) tähendab identsete liikmete summa loomist, milles iga liige on võrdne korrutisega ja liikmete arv on võrdne kordajaga.
See tähendab, et kui teil on vaja 1/9 korrutada 7-ga, saab seda teha järgmiselt:
Tulemuse saime hõlpsasti, kuna tegevus taandus samade nimetajatega murdude lisamisele. Seega
Selle toimingu arvessevõtmine näitab, et murdosa korrutamine täisarvuga võrdub selle murdosa suurendamisega nii mitu korda kui täisarvus sisalduvate ühikute arv. Ja kuna murdosa suurendamine saavutatakse kas selle lugeja suurendamisega
või selle nimetaja vähendamisega 
, siis saame lugeja kas korrutada täisarvuga või jagada nimetaja sellega, kui selline jagamine on võimalik.
Siit saame reegli:
Murru korrutamiseks täisarvuga korrutage lugeja selle täisarvuga ja jätke nimetaja samaks või jagage nimetaja võimalusel selle arvuga, jättes lugeja muutmata.
Korrutamisel on võimalikud lühendid, näiteks:
2. Antud arvu murdosa leidmine. On palju probleeme, mille puhul peate leidma või arvutama antud arvu osa. Nende ülesannete erinevus teistest seisneb selles, et need annavad mõne objekti arvu või mõõtühikute arvu ja tuleb leida osa sellest numbrist, mida siin ka teatud murdosa tähistab. Mõistmise hõlbustamiseks toome esmalt selliste probleemide näiteid ja seejärel tutvustame nende lahendamise meetodit.
Ülesanne 1. Mul oli 60 rubla; Kulutasin 1/3 sellest rahast raamatute ostmisele. Kui palju raamatud maksid?
2. ülesanne. Rong peab sõitma linnade A ja B vahel 300 km kaugusele. 2/3 sellest distantsist on ta juba läbinud. Mitu kilomeetrit see on?
3. ülesanne. Külas on 400 maja, neist 3/4 on telliskivi, ülejäänud puit. Mitu telliskivimaja on kokku?
Need on mõned paljudest probleemidest, millega me etteantud numbri osa leidmisel kokku puutume. Tavaliselt nimetatakse neid ülesanneteks antud arvu murdosa leidmiseks.
Probleemi lahendus 1. Alates 60 rubla. 1/3 kulutasin raamatutele; See tähendab, et raamatute maksumuse leidmiseks peate jagama arvu 60 3-ga:
Probleemi lahendamine 2. Probleemi mõte on selles, et peate leidma 2/3 300 km-st. Arvutame esmalt 1/3 300-st; see saavutatakse 300 km jagamisel 3-ga:
300: 3 = 100 (see on 1/3 300-st).
Kahe kolmandiku 300 leidmiseks peate saadud jagatise kahekordistama, st korrutama 2-ga:
100 x 2 = 200 (see on 2/3 300-st).
Probleemi lahendamine 3. Siin peate määrama telliskivimajade arvu, mis moodustavad 3/4 400-st. Leiame kõigepealt 1/4 400-st,
400: 4 = 100 (see on 1/4 400-st).
Kolmveerand 400 arvutamiseks tuleb saadud jagatis kolmekordistada, st korrutada 3-ga:
100 x 3 = 300 (see on 3/4 400-st).
Nende probleemide lahenduse põhjal saame tuletada järgmise reegli:
Et leida antud arvust murdosa väärtus, tuleb see arv jagada murdosa nimetajaga ja korrutada saadud jagatis selle lugejaga.
3. Täisarvu korrutamine murdosaga.
Varem (§ 26) on kehtestatud, et täisarvude korrutamise all tuleb mõista identsete liikmete liitmist (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Selles lõigus (punkt 1) tehti kindlaks, et murdosa korrutamine täisarvuga tähendab selle murdosaga võrdsete liikmete summa leidmist.
Mõlemal juhul seisnes korrutamine identsete liikmete summa leidmises.
Nüüd jätkame täisarvu korrutamist murdosaga. Siin kohtame näiteks korrutamist: 9 2/3. On selge, et eelmine korrutamise definitsioon antud juhul ei kehti. See ilmneb sellest, et me ei saa sellist korrutamist asendada võrdsete arvude liitmisega.
Seetõttu peame andma korrutamise uue definitsiooni, st vastama küsimusele, mida tuleks mõista murdosaga korrutamise all, kuidas seda toimingut mõista.
Täisarvu murdosaga korrutamise tähendus on selge järgmisest määratlusest: täisarvu (korrutise) korrutamine murdosaga (korrutis) tähendab korrutis selle murdosa leidmist.
Nimelt tähendab 9 korrutamine 2/3-ga 2/3 leidmist üheksast ühikust. Eelmises lõigus sellised probleemid lahendati; seega on lihtne aru saada, et saame lõpuks 6.
Nüüd aga tekib huvitav ja oluline küsimus: miks nimetatakse selliseid pealtnäha erinevaid tehteid, nagu võrdsete arvude summa leidmine ja arvu murdosa leidmine, aritmeetikas sama sõnaga “korrutamine”?
See juhtub seetõttu, et eelmine toiming (arvu mitmekordne kordamine terminitega) ja uus tegevus (arvu murdosa leidmine) annavad vastused homogeensetele küsimustele. See tähendab, et lähtume siin kaalutlustest, et homogeensed küsimused või ülesanded lahendatakse ühe ja sama tegevusega.
Selle mõistmiseks kaaluge järgmist probleemi: "1 m riiet maksab 50 rubla. Kui palju maksab 4 m sellist riiet?
See probleem lahendatakse, korrutades rublade arvu (50) meetrite arvuga (4), st 50 x 4 = 200 (rubla).
Võtame sama probleemi, kuid selles väljendatakse riide kogust murdosana: "1 m riiet maksab 50 rubla. Kui palju maksab 3/4 m sellist riiet?
Ka see probleem tuleb lahendada, korrutades rublade arvu (50) meetrite arvuga (3/4).
Saate selles olevaid numbreid veel mitu korda muuta, ilma ülesande tähendust muutmata, näiteks võtta 9/10 m või 2 3/10 m jne.
Kuna need ülesanded on sama sisuga ja erinevad vaid numbrite poolest, nimetame nende lahendamisel kasutatavaid toiminguid sama sõnaga – korrutamine.
Kuidas korrutada täisarvu murdosaga?
Võtame viimases ülesandes esinenud numbrid:
Definitsiooni järgi peame leidma 3/4 50-st. Leiame esmalt 1/4 50-st ja seejärel 3/4.
1/4 50-st on 50/4;
3/4 arvust 50 on .
Seega.
Vaatleme teist näidet: 12 5 / 8 =?
1/8 arvust 12 on 12/8,
5/8 arvust 12 on .
Seega
Siit saame reegli:
Täisarvu korrutamiseks murdosaga peate korrutama täisarvu murru lugejaga ja muutma selle korrutise lugejaks ning nimetama selle murdosa nimetaja.
Kirjutame selle reegli tähtede abil:
Et see reegel oleks täiesti selge, tuleb meeles pidada, et murdosa võib pidada jagatiseks. Seetõttu on kasulik võrrelda leitud reeglit arvu jagatisega korrutamise reegliga, mis oli sätestatud §-s 38
Oluline on meeles pidada, et enne korrutamist peaksite tegema (võimaluse korral) vähendamised, Näiteks:
4. Murru korrutamine murdosaga. Murru korrutamisel murdosaga on sama tähendus, mis täisarvu korrutamisel murdosaga, st murdosa korrutamisel murdosaga tuleb leida murdosa, mis on teguris esimesest murrust (korrutis).
Nimelt tähendab 3/4 korrutamine 1/2-ga (poolega) poole 3/4 leidmist.
Kuidas korrutada murdosa murdosaga?
Võtame näite: 3/4 korrutatakse 5/7-ga. See tähendab, et peate leidma 5/7 3/4-st. Leiame esmalt 1/7 3/4-st ja seejärel 5/7
1/7 arvust 3/4 väljendatakse järgmiselt:
5/7 numbrid 3/4 väljendatakse järgmiselt:
Seega
Teine näide: 5/8 korrutatud 4/9-ga.
1/9/5/8 on ,
4/9 arvust 5/8 on .
Seega 
Nendest näidetest saab järeldada järgmise reegli:
Murru korrutamiseks murdosaga peate korrutama lugeja lugejaga ja nimetaja nimetajaga ning muutma esimese korrutise lugejaks ja teise korrutise korrutise nimetajaks.
Selle reegli võib üldkujul kirjutada järgmiselt:
Korrutamisel on vaja (võimalusel) teha vähendusi. Vaatame näiteid:
5. Segaarvude korrutamine. Kuna segaarvusid saab kergesti asendada valede murdudega, kasutatakse seda asjaolu tavaliselt segaarvude korrutamisel. See tähendab, et juhtudel, kui kordaja, kordaja või mõlemad tegurid on väljendatud segaarvudena, asendatakse need valede murdudega. Korrutame näiteks segaarvud: 2 1/2 ja 3 1/5. Muutkem igaüks neist valeks murdeks ja seejärel korrutame saadud murrud vastavalt reeglile murdosa korrutamiseks:
Reegel. Segaarvude korrutamiseks peate need esmalt teisendama valedeks murdudeks ja seejärel korrutama vastavalt murdude murdude korrutamise reeglile.
Märge. Kui üks teguritest on täisarv, saab jaotusseaduse alusel korrutada järgmiselt:
6. Huvi mõiste.Ülesannete lahendamisel ja erinevate praktiliste arvutuste tegemisel kasutame kõikvõimalikke murde. Kuid tuleb meeles pidada, et paljud kogused võimaldavad nende jaoks mitte suvalist, vaid loomulikku jaotust. Näiteks võite võtta ühe sajandiku (1/100) rubla, see on kopikas, kaks sajandikku on 2 kopikat, kolm sajandikku on 3 kopikat. Võite võtta 1/10 rubla, see on "10 kopikat ehk kümnekopikaline tükk. Võite võtta veerand rubla, s.o 25 kopikat, pool rubla, s.o 50 kopikat (viiskümmend kopikat). Aga nad praktiliselt ei võta seda näiteks 2/7 rubla, sest rubla ei jagune seitsmendikuteks.
Kaaluühik ehk kilogramm võimaldab eelkõige jagada kümnendkohti, näiteks 1/10 kg või 100 g Ja sellised kilogrammi murdosad nagu 1/6, 1/11, 1/13 pole levinud.
Üldiselt on meie (meetrilised) mõõdud kümnendkohad ja võimaldavad kümnendjagamist.
Siiski tuleb märkida, et väga erinevatel juhtudel on äärmiselt kasulik ja mugav kasutada sama (ühtset) koguste osadeks jagamise meetodit. Paljude aastate kogemused on näidanud, et selline hästi põhjendatud jaotus on “sajas” jaotus. Vaatleme mitmeid näiteid, mis on seotud inimtegevuse kõige erinevamate valdkondadega.
1. Raamatute hind on langenud 12/100 varasemast hinnast.
Näide. Raamatu eelmine hind oli 10 rubla. See vähenes 1 rubla võrra. 20 kopikat
2. Hoiupangad maksavad hoiustajatele aasta jooksul säästmiseks hoiustatud summast 2/100.
Näide. Kassasse kantakse 500 rubla, aasta tulu sellest summast on 10 rubla.
3. Ühe kooli lõpetajate arv oli 5/100 õpilaste üldarvust.
NÄIDE Koolis õppis vaid 1200 õpilast, kellest 60 lõpetas.
Arvu sajandat osa nimetatakse protsendiks.
Sõna "protsent" on laenatud ladina keelest ja selle tüvi "cent" tähendab sada. Koos eessõnaga (pro centum) tähendab see sõna "saja eest". Selle väljendi tähendus tuleneb asjaolust, et algselt nimetati Vana-Roomas intressi rahale, mille võlgnik maksis laenuandjale "iga saja eest". Sõna "sent" kuuleb sellistes tuttavates sõnades: sentimeeter (sada kilogrammi), sentimeeter (ütleme sentimeeter).
Näiteks selle asemel, et öelda, et viimase kuu jooksul tootis tehas 1/100 kõigist tema toodetud toodetest oli defektne, ütleme nii: viimase kuu jooksul tootis tehas ühe protsendi defektidest. Selle asemel, et öelda: tehas tootis 4/100 toodet rohkem kui kehtestatud plaan, ütleme: tehas ületas plaani 4 protsendiga.
Ülaltoodud näiteid saab väljendada erinevalt:
1. Raamatute hind on langenud 12 protsenti varasemast hinnast.
2. Hoiupangad maksavad hoiustajatele hoiustesse hoiustatud summalt 2 protsenti aastas.
3. Ühe kooli lõpetajate arv oli 5 protsenti kõigist kooliõpilastest.
Tähe lühendamiseks on tavaks kirjutada sõna “protsent” asemel sümbol %.
Siiski tuleb meeles pidada, et arvutustes % märki tavaliselt ei kirjutata, seda saab kirjutada ülesande avalduses ja lõpptulemuses. Arvutuste tegemisel peate selle sümboliga täisarvu asemel kirjutama murdosa, mille nimetaja on 100.
Peate suutma asendada täisarvu näidatud ikooniga murdosaga, mille nimetaja on 100:
Ja vastupidi, peate harjuma täisarvu kirjutama näidatud sümboliga, mitte murdosa, mille nimetaja on 100:
7. Antud arvu protsendi leidmine.
Ülesanne 1. Kool sai 200 kuupmeetrit. m küttepuid, millest 30% moodustab kaseküttepuid. Kui palju kaseküttepuid oli?
Selle probleemi mõte seisneb selles, et kaseküttepuud moodustasid vaid osa kooli tarnitud küttepuudest ja seda osa väljendatakse murdarvus 30/100. See tähendab, et meil on ülesanne leida arvu murd. Selle lahendamiseks peame korrutama 200 30/100-ga (arvu murdosa leidmise ülesanded lahendatakse arvu korrutamisel murdosaga.).
See tähendab, et 30% 200-st võrdub 60-ga.
Selles ülesandes esinevat murdosa 30/100 saab vähendada 10 võrra. Seda vähendamist oleks võimalik teha algusest peale; probleemi lahendus poleks muutunud.
2. ülesanne. Laagris oli 300 erinevas vanuses last. 11-aastased lapsed moodustasid 21%, 12-aastased lapsed 61% ja lõpuks 13-aastased lapsed 18%. Mitu last igas vanuses laagris oli?
Selles ülesandes peate tegema kolm arvutust, st leidma järjestikku 11-aastaste, seejärel 12-aastaste ja lõpuks 13-aastaste laste arvu.
See tähendab, et siin peate leidma arvu murdosa kolm korda. Teeme seda:
1) Mitu 11-aastast last oli seal?
2) Mitu 12-aastast last seal oli?
3) Mitu 13-aastast last seal oli?
Pärast ülesande lahendamist on kasulik leitud numbrid liita; nende summa peaks olema 300:
63 + 183 + 54 = 300
Samuti tuleb märkida, et ülesandepüstituses antud protsentide summa on 100:
21% + 61% + 18% = 100%
See viitab sellele, et laste koguarvuks laagris võeti 100%.
3 ja d a h a 3. Tööline sai 1200 rubla kuus. Sellest 65% kulutas ta toidule, 6% korteritele ja küttele, 4% gaasile, elektrile ja raadiole, 10% kultuurivajadustele ja 15% säästmisele. Kui palju raha kulus probleemis märgitud vajadustele?
Selle ülesande lahendamiseks peate leidma 1200 murdosa 5 korda.
1) Kui palju raha kulus toidule? Probleem ütleb, et see kulu on 65% kogutulust, st 65/100 arvust 1200 Teeme arvutuse:
2) Kui palju raha maksite küttega korteri eest? Põhjendades sarnaselt eelmisele, jõuame järgmise arvutuseni:
3) Kui palju raha maksite gaasi, elektri ja raadio eest?
4) Kui palju raha kulus kultuurivajadustele?
5) Kui palju töötaja raha säästis?
Kontrollimiseks on kasulik nendes 5 küsimuses leitud numbrid kokku liita. Summa peaks olema 1200 rubla. Kõik sissetulekud on 100%, mida on lihtne kontrollida, liites kokku probleemiavalduses toodud protsentuaalsed numbrid.
Lahendasime kolm probleemi. Vaatamata sellele, et need probleemid käsitlesid erinevaid asju (küttepuude koolile tarnimine, erinevas vanuses laste arv, töömehe kulud), lahendati need ühtemoodi. See juhtus seetõttu, et kõigi ülesannete puhul oli vaja leida mitu protsenti etteantud arvudest.
§ 90. Murdude jagamine.
Murdude jagamist uurides kaalume järgmisi küsimusi:
1. Jagage täisarv täisarvuga.
2. Murru jagamine täisarvuga
3. Täisarvu jagamine murdosaga.
4. Murru jagamine murdosaga.
5. Segaarvude jagamine.
6. Arvu leidmine selle etteantud murdarvust.
7. Arvu leidmine selle protsendi järgi.
Vaatleme neid järjestikku.
1. Jagage täisarv täisarvuga.
Nagu täisarvude osakonnas märgitud, on jagamine toiming, mis seisneb selles, et kahe teguri (dividend) ja ühe neist teguritest (jagaja) korrutises leitakse teine tegur.
Vaatasime täisarvude jagamist täisarvudega. Seal kohtasime kahte jagamise juhtumit: jagamine ilma jäägita ehk "täielikult" (150: 10 = 15) ja jagamine jäägiga (100: 9 = 11 ja 1 jääk). Seega võime öelda, et täisarvude valdkonnas ei ole alati täpne jagamine võimalik, sest dividend ei ole alati jagaja korrutis täisarvuga. Pärast murdosaga korrutamise kasutuselevõttu võime pidada võimalikuks kõiki täisarvude jagamise juhtumeid (ainult nulliga jagamine on välistatud).
Näiteks 7 jagamine 12-ga tähendab sellise arvu leidmist, mille korrutis 12-ga oleks võrdne 7-ga. Selline arv on murd 7/12, sest 7/12 12 = 7. Teine näide: 14: 25 = 14/25, sest 14/25 25 = 14.
Seega tuleb täisarvu jagamiseks täisarvuga luua murd, mille lugeja on võrdne dividendiga ja nimetaja jagajaga.
2. Murru jagamine täisarvuga.
Jagage murd 6/7 3-ga. Vastavalt ülaltoodud jagamise definitsioonile on siin korrutis (6/7) ja üks teguritest (3); tuleb leida teine tegur, mis korrutades 3-ga annaks antud korrutisele 6/7. Ilmselgelt peaks see olema kolm korda väiksem kui see toode. See tähendab, et meie ees oli ülesanne vähendada murdosa 6/7 3 korda.
Teame juba, et murdosa saab vähendada kas selle lugejat vähendades või nimetajat suurendades. Seetõttu võite kirjutada:
Sel juhul jagub lugeja 6 3-ga, seega tuleks lugejat 3 korda vähendada.
Võtame veel ühe näite: 5/8 jagatud 2-ga. Siin lugeja 5 ei jagu 2-ga, mis tähendab, et nimetaja tuleb selle arvuga korrutada:
Selle põhjal saab koostada reegli: Murru jagamiseks täisarvuga peate jagama murdosa lugeja selle täisarvuga.(kui võimalik), jättes sama nimetaja või korrutage murdosa nimetaja selle arvuga, jättes sama lugeja.
3. Täisarvu jagamine murdosaga.
Olgu vaja jagada 5 1/2-ga, st leida arv, mis pärast 1/2-ga korrutamist annab korrutiseks 5. Ilmselgelt peab see arv olema suurem kui 5, kuna 1/2 on õige murd , ja arvu korrutamisel peab õige murru korrutis olema väiksem kui korrutatav korrutis. Selle selgemaks muutmiseks kirjutame oma toimingud järgmiselt: 5: 1 / 2 = X , mis tähendab x 1/2 = 5.
Peame sellise numbri leidma X , mis korrutades 1/2-ga annaks 5. Kuna teatud arvu korrutamine 1/2-ga tähendab 1/2 leidmist sellest arvust, siis seega 1/2 tundmatust arvust X on võrdne 5 ja täisarvuga X kaks korda rohkem, st 5 2 = 10.
Seega 5: 1/2 = 5 2 = 10
Kontrollime: 
Vaatame teist näidet. Oletame, et soovite 6 jagada 2/3-ga. Proovime esmalt leida soovitud tulemust kasutades joonist (joonis 19).
Joonis 19
Joonistame lõigu AB, mis on võrdne 6 ühikuga, ja jagame iga ühiku 3 võrdseks osaks. Igas üksuses on kolm kolmandikku (3/3) kogu segmendist AB 6 korda suurem, s.o. e 18/3. Väikeste sulgude abil ühendame 18 saadud segmenti 2; Seal on ainult 9 segmenti. See tähendab, et murdosa 2/3 sisaldub 6 ühikus 9 korda ehk teisisõnu, murdosa 2/3 on 9 korda väiksem kui 6 täisühikut. Seega
Kuidas saada see tulemus ilma jooniseta, kasutades ainult arvutusi? Arutleme nii: peame jagama 6 2/3-ga, st vastama küsimusele, mitu korda 2/3 sisaldub 6-s. Uurime kõigepealt välja: mitu korda 6 sisaldab 1/3? Terves üksuses on 3 kolmandikku ja 6 ühikus 6 korda rohkem, s.o 18 kolmandikku; selle arvu leidmiseks peame korrutama 6 3-ga. See tähendab, et 1/3 sisaldub b ühikus 18 korda ja 2/3 sisaldub b ühikus mitte 18 korda, vaid poole vähem, st 18: 2 = 9 Seetõttu tegime 6 jagamisel 2/3-ga järgmist:
Siit saame reegli täisarvu murdosaga jagamiseks. Täisarvu jagamiseks murdosaga peate selle täisarvu korrutama antud murru nimetajaga ja muutes selle korrutise lugejaks, jagama selle antud murru lugejaga.
Kirjutame reegli tähtede abil:
Et see reegel oleks täiesti selge, tuleb meeles pidada, et murdosa võib pidada jagatiseks. Seetõttu on kasulik võrrelda leitud reeglit arvu jagatisega jagamise reegliga, mis oli sätestatud §-s 38. Pange tähele, et seal saadi sama valem.
Jagamisel on võimalikud lühendid, näiteks:
4. Murru jagamine murdosaga.
Oletame, et peame jagama 3/4 3/8-ga. Mida tähendab jagamisel saadud arv? See vastab küsimusele, mitu korda sisaldub murdosa 3/8 murdosas 3/4. Selle probleemi mõistmiseks teeme joonise (joonis 20).
Võtame lõigu AB, võtame selle üheks, jagame 4 võrdseks osaks ja märgime 3 sellist osa. Segment AC on võrdne 3/4 segmendist AB. Jagame nüüd kõik neli algset lõiku pooleks, siis segment AB jagatakse 8 võrdseks osaks ja iga selline osa on võrdne 1/8 lõigust AB. Ühendagem 3 sellist lõiku kaaredega, siis on iga segment AD ja DC võrdne 3/8 segmendiga AB. Joonis näitab, et segment, mis võrdub 3/8, sisaldub segmendis, mis on võrdne 3/4 täpselt 2 korda; See tähendab, et jagamise tulemuse saab kirjutada järgmiselt:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Vaatame teist näidet. Oletame, et peame jagama 15/16 3/32-ga:
Võime arutleda järgmiselt: peame leidma arvu, mis pärast 3/32-ga korrutamist annab korrutise 15/16. Kirjutame arvutused järgmiselt:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 tundmatu number X on 15/16
1/32 tundmatust numbrist X on ,
32/32 numbrid X meik .
Seega
Seega, murdosa jagamiseks murdosaga peate korrutama esimese murru lugeja teise nimetajaga ja korrutama esimese murru nimetaja teise lugejaga ning muutma lugejaks esimese korrutise, ja teine nimetaja.
Kirjutame reegli tähtede abil:
Jagamisel on võimalikud lühendid, näiteks:
5. Segaarvude jagamine.
Segaarvude jagamisel tuleb need esmalt teisendada ebaõigeteks murdudeks ja seejärel jagada saadud murrud vastavalt murdude jagamise reeglitele. Vaatame näidet:
Teisendame segaarvud valedeks murdudeks:
Nüüd jagame:
Seega peate segaarvude jagamiseks teisendama need valedeks murdudeks ja seejärel jagama, kasutades murdude jagamise reeglit.
6. Arvu leidmine selle etteantud murdarvust.
Erinevate murdosaülesannete hulgas on mõnikord selliseid, kus on antud tundmatu arvu murdosa väärtus ja see arv tuleb leida. Seda tüüpi ülesanne on antud arvu murdosa leidmise ülesande pöördväärtus; seal anti arv ja nõuti selle arvu murdosa leidmist, siin anti murdosa arvust ja nõuti selle arvu enda leidmist. See mõte saab veelgi selgemaks, kui asume seda tüüpi probleemide lahendamisele.
Ülesanne 1. Esimesel päeval lasid klaasijad 50 akent, mis on 1/3 kõigist ehitatud maja akendest. Mitu akent sellel majal on?
Lahendus. Probleem ütleb, et 50 klaasitud akent moodustavad 1/3 kõigist maja akendest, mis tähendab, et aknaid on kokku 3 korda rohkem, s.t.
Majal oli 150 akent.
2. ülesanne. Poes müüdi 1500 kg jahu, mis moodustab 3/8 kogu poe jahuvarust. Milline oli poe esialgne jahuvaru?
Lahendus. Probleemi tingimustest selgub, et 1500 kg müüdud jahu moodustab 3/8 koguvarust; See tähendab, et 1/8 sellest reservist on 3 korda väiksem, st selle arvutamiseks peate 1500 vähendama 3 korda:
1500: 3 = 500 (see on 1/8 reservist).
Ilmselgelt on kogu pakkumine 8 korda suurem. Seega
500 8 = 4000 (kg).
Jahu esialgne varu poes oli 4000 kg.
Selle probleemi kaalumisel võib tuletada järgmise reegli.
Arvu leidmiseks selle murru antud väärtusest piisab, kui jagada see väärtus murru lugejaga ja korrutada tulemus murdosa nimetajaga.
Arvu leidmisel, võttes arvesse selle murdosa, lahendasime kaks ülesannet. Sellised probleemid, nagu viimasest eriti selgelt näha, lahendatakse kahe toiminguga: jagamine (kui leitakse üks osa) ja korrutamine (kui leitakse täisarv).
Kuid pärast seda, kui oleme õppinud murdude jagamist, saab ülaltoodud ülesandeid lahendada ühe toiminguga, nimelt: murdosaga jagamine.
Näiteks saab viimase ülesande lahendada ühe toiminguga järgmiselt:
Tulevikus lahendame selle murdosast arvu leidmise ülesanded ühe toiminguga - jagamisega.
7. Arvu leidmine selle protsendi järgi.
Nende ülesannete puhul peate leidma numbri, mis teab sellest arvust mõnda protsenti.
Ülesanne 1. Selle aasta alguses sain hoiukassast 60 rubla. tulu summast, mille ma aasta tagasi säästudesse panin. Kui palju raha olen hoiukassasse pannud? (Kassad annavad hoiustajatele 2% tulu aastas.)
Probleemi mõte on selles, et panin teatud summa raha hoiukassasse ja jäin sinna aastaks. Aasta pärast sain temalt 60 rubla. sissetulekust, mis on 2/100 rahast, mille ma sisse panin. Kui palju raha ma sisse panin?
Järelikult, teades osa sellest rahast, väljendatuna kahel viisil (rublades ja murdosades), peame leidma kogu seni teadmata summa. See on tavaline probleem arvu leidmisel, arvestades selle murdosa. Järgmised probleemid lahendatakse jagamise teel:
See tähendab, et hoiukassasse pandi 3000 rubla.
2. ülesanne. Kalurid täitsid kuuplaani kahe nädalaga 64%, saades 512 tonni kala. Mis oli nende plaan?
Probleemi tingimustest on teada, et kalurid täitsid osa plaanist. See osa võrdub 512 tonniga, mis on 64% plaanist. Me ei tea, mitu tonni kala tuleb plaani järgi ette valmistada. Selle numbri leidmine on probleemi lahendus.
Sellised probleemid lahendatakse jagamise teel:
See tähendab, et plaani järgi on vaja ette valmistada 800 tonni kala.
3. ülesanne. Rong sõitis Riiast Moskvasse. Kui ta 276. kilomeetrit läbis, küsis üks sõitjatest mööduvalt konduktorilt, kui suure osa teekonnast on nad juba läbinud. Selle peale vastas dirigent: "Me oleme juba läbinud 30% kogu teekonnast." Kui kaugel on Riia Moskvast?
Probleemoludest selgub, et 30% marsruudist Riiast Moskvasse on 276 km. Peame leidma kogu nende linnade vahelise kauguse, st selle osa jaoks leidma terviku:
§ 91. Vastastikused numbrid. Jagamise asendamine korrutamisega.
Võtame murdosa 2/3 ja asendame nimetaja asemel lugeja, saame 3/2. Saime selle murru pöördväärtuse.
Et saada murdosa, mis on antud murru pöördvõrdeline, peate nimetaja asemele panema selle lugeja ja lugeja asemel nimetaja. Sel viisil saame mis tahes murru pöördarvu. Näiteks:
3/4, tagurpidi 4/3; 5/6, tagurpidi 6/5
Nimetatakse kahte murdu, millel on omadus, et esimese lugeja on teise nimetaja ja esimese nimetaja on teise lugeja. vastastikku pöördvõrdeline.
Nüüd mõtleme, milline murdosa on 1/2 pöördväärtus. Ilmselgelt on see 2/1 või lihtsalt 2. Otsides antud pöördmurdu, saime täisarvu. Ja see juhtum ei ole üksik; vastupidi, kõigi murdude puhul, mille lugeja on 1 (üks), on pöördarvud täisarvud, näiteks:
1/3, tagurpidi 3; 1/5, tagurpidi 5
Kuna pöördmurdude leidmisel kohtasime ka täisarve, siis edaspidi räägime mitte pöördmurdudest, vaid pöördarvudest.
Mõelgem välja, kuidas kirjutada täisarvu pöördväärtust. Murdude puhul saab selle lihtsalt lahendada: lugeja asemele tuleb panna nimetaja. Samamoodi saate täisarvu pöördväärtuse, kuna iga täisarvu nimetaja võib olla 1. See tähendab, et 7 pöördväärtus on 1/7, sest 7 = 7/1; arvu 10 puhul on pöördväärtus 1/10, kuna 10 = 10/1
Seda ideed saab väljendada erinevalt: antud arvu pöördväärtus saadakse ühe jagamisel antud arvuga. See väide kehtib mitte ainult täisarvude, vaid ka murdude kohta. Tegelikult, kui meil on vaja kirjutada murdosa 5/9 pöördväärtus, siis võime võtta 1 ja jagada selle 5/9-ga, s.t.
Nüüd juhime tähelepanu ühele asjale vara vastastikused numbrid, mis on meile kasulikud: pöördarvude korrutis on võrdne ühega. Tõepoolest:
Seda omadust kasutades saame pöördarvud leida järgmisel viisil. Oletame, et peame leidma 8 pöördväärtuse.
Tähistame seda tähega X , siis 8 X = 1, seega X = 1/8. Leiame veel ühe arvu, mis on 7/12 pöördväärtus, ja tähistame seda tähega X , siis 12.07 X = 1, seega X = 1:7/12 või X = 12 / 7 .
Tutvustame siin pöördarvude mõistet, et veidi täiendada teavet murdude jagamise kohta.
Kui jagame arvu 6 3/5-ga, teeme järgmist:
Pöörake erilist tähelepanu väljendile ja võrrelge seda antud väljendiga: .
Kui võtta avaldis eraldi, ilma seoseta eelmisega, siis on võimatu lahendada küsimust, kust see tuli: 6 jagamisest 3/5-ga või 6 korrutamisest 5/3-ga. Mõlemal juhul juhtub sama. Seetõttu võime öelda et ühe arvu jagamise teisega saab asendada dividendi korrutamisega jagaja pöördarvuga.
Allpool toodud näited kinnitavad seda järeldust täielikult.
Viiendal sajandil eKr sõnastas Vana-Kreeka filosoof Zenon Eleast oma kuulsad apooriad, millest kuulsaim on "Achilleuse ja kilpkonna" apooria. See kõlab järgmiselt:Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mis kulub Achilleuse läbimiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus jookseb sada sammu, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõpmatuseni, Achilleus ei jõua kilpkonnale kunagi järele.
See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Nad kõik pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriat. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad tänini, teadusringkondades ei ole veel suudetud jõuda ühisele arvamusele paradokside olemuses ... teema uurimisse kaasati matemaatilist analüüsi, hulgateooriat, uusi füüsikalisi ja filosoofilisi käsitlusi; ; ükski neist ei saanud probleemi üldtunnustatud lahenduseks..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles pettus seisneb.
Matemaatilisest vaatenurgast näitas Zenon oma apooriates selgelt üleminekut kvantiteedilt . See üleminek eeldab rakendust püsivate asemel. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute kasutamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooria puhul rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsi tõttu vastastikusele väärtusele konstantseid ajaühikuid. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aeg aeglustub, kuni see täielikult peatub hetkel, mil Achilleus jõuab kilpkonnale järele. Kui aeg peatub, ei suuda Achilleus enam kilpkonnast üle joosta.
Kui pöörame oma tavapärase loogika ümber, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Tema tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras "lõpmatuse" mõistet, siis oleks õige öelda: "Achilleus jõuab kilpkonnale lõpmatult kiiresti järele."
Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele ühikutele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:
Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise esimesega võrdse ajaintervalli jooksul jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.
See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Kuid see pole probleemi täielik lahendus. Einsteini väide valguse kiiruse vastupandamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõpmata suurtes arvudes, vaid mõõtühikutes.
Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:
Lendav nool on liikumatu, kuna ta on igal ajahetkel puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.
Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel on lendav nool paigal erinevates ruumipunktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Et teha kindlaks, kas auto liigub, vajate kahte fotot, mis on tehtud samast punktist erinevatel ajahetkedel, kuid te ei saa määrata nende kaugust. Auto kauguse määramiseks on vaja kahte pilti, mis on tehtud ühel ajahetkel erinevatest ruumipunktidest, kuid nende järgi ei saa liikumise fakti kindlaks teha (loomulikult vajate arvutusteks siiski lisaandmeid, trigonomeetria aitab teid ). Erilist tähelepanu tahan juhtida see, et kaks ajapunkti ja kaks punkti ruumis on erinevad asjad, mida ei tohiks segi ajada, sest need annavad uurimistööks erinevaid võimalusi.
Kolmapäeval, 4. juulil 2018
Vikipeedias on väga hästi kirjeldatud komplekti ja multikomplekti erinevusi. Vaatame.
Nagu näete, "komplektis ei saa olla kahte identset elementi", kuid kui komplektis on identsed elemendid, nimetatakse sellist komplekti "multiseks". Mõistlikud olendid ei mõista kunagi sellist absurdset loogikat. See on rääkivate papagoide ja treenitud ahvide tase, kellel puudub mõistus sõnast “täiesti”. Matemaatikud tegutsevad tavaliste koolitajatena, kuulutades meile oma absurdseid ideid.
Kunagi olid silla ehitanud insenerid silda katsetades silla all paadis. Kui sild kokku kukkus, suri keskpärane insener oma loomingu rusude all. Kui sild koormusele vastu pidas, ehitas andekas insener teisi sildu.
Pole tähtis, kuidas matemaatikud peituvad fraasi "mind me, I'm in the house" taha või õigemini: "matemaatika uurib abstraktseid mõisteid", on üks nabanöör, mis seob neid lahutamatult reaalsusega. See nabanöör on raha. Rakendagem matemaatilist hulgateooriat matemaatikute endi suhtes.
Õppisime väga hästi matemaatikat ja nüüd istume kassa taga ja anname palka välja. Nii et matemaatik tuleb meie juurde oma raha pärast. Loeme talle kogu summa välja ja laotame oma lauale erinevatesse hunnikutesse, millesse paneme sama nimiväärtusega arveid. Seejärel võtame igast hunnikust ühe arve ja anname matemaatikule tema "matemaatilise palgakomplekti". Selgitagem matemaatikule, et ta saab ülejäänud arved alles siis, kui ta tõestab, et ilma identsete elementideta hulk ei võrdu identsete elementidega hulgaga. Siit saab alguse lõbus.
Esiteks hakkab tööle saadikute loogika: "Seda võib teistele rakendada, aga mulle mitte!" Siis hakkavad nad meile kinnitama, et sama nimiväärtusega vekslitel on erinevad arvenumbrid, mis tähendab, et neid ei saa pidada samadeks elementideks. Olgu, loeme palgad müntidesse – müntidel pole numbreid. Siin hakkab matemaatikule meeletult meelde tuletama füüsika: erinevatel müntidel on erinev kogus mustust, kristallstruktuur ja aatomite paigutus on igal mündil unikaalne...
Ja nüüd on mul kõige huvitavam küsimus: kus on piir, millest kaugemale muutuvad multikomplekti elemendid hulga elementideks ja vastupidi? Sellist joont pole olemas – kõike otsustavad šamaanid, teadus ei ole siin lähedalgi valetamisele.
Vaata siia. Valime välja sama alaga jalgpallistaadionid. Väljade pindalad on samad – see tähendab, et meil on multikomplekt. Aga kui vaadata nende samade staadioninimesid, siis saame neid palju, sest nimed on erinevad. Nagu näete, on sama elementide komplekt nii hulk kui ka multikomplekt. Kumb on õige? Ja siin tõmbab matemaatik-šamaan-teramees varrukast trumpide ässa ja hakkab meile rääkima kas komplektist või multikomplektist. Igal juhul veenab ta meid, et tal on õigus.
Et mõista, kuidas tänapäeva šamaanid hulgateooriaga opereerivad, sidudes selle reaalsusega, piisab, kui vastata ühele küsimusele: mille poolest erinevad ühe hulga elemendid teise hulga elementidest? Ma näitan teile, ilma igasuguse "mõeldava mitte ühe tervikuna" või "ei ole mõeldav ühtse tervikuna".
Pühapäev, 18. märts 2018
Arvu numbrite summa on šamaanide tants tamburiiniga, millel pole matemaatikaga mingit pistmist. Jah, matemaatikatundides õpetatakse meid leidma arvu numbrite summat ja seda kasutama, aga seepärast ongi nad šamaanid, et õpetada järeltulijatele oskusi ja tarkust, muidu surevad šamaanid lihtsalt välja.
Kas vajate tõestust? Avage Wikipedia ja proovige leida leht "Arvu numbrite summa". Teda pole olemas. Matemaatikas pole valemit, mille abil saaks leida mis tahes arvu numbrite summa. Numbrid on ju graafilised sümbolid, millega me numbreid kirjutame, ja matemaatika keeles kõlab ülesanne järgmiselt: "Leia mis tahes arvu tähistavate graafiliste sümbolite summa." Matemaatikud ei suuda seda ülesannet lahendada, kuid šamaanid saavad sellega hõlpsasti hakkama.
Mõelgem välja, mida ja kuidas teeme, et leida antud arvu numbrite summa. Ja nii, olgu meil number 12345. Mida tuleb teha, et leida selle arvu numbrite summa? Vaatleme kõiki samme järjekorras.
1. Kirjutage number paberile. Mida me oleme teinud? Oleme teisendanud numbri graafiliseks numbrisümboliks. See ei ole matemaatiline tehe.
2. Lõikasime ühe saadud pildi mitmeks üksikuid numbreid sisaldavaks pildiks. Pildi lõikamine ei ole matemaatiline tehe.
3. Teisendage üksikud graafilised sümbolid numbriteks. See ei ole matemaatiline tehe.
4. Lisage saadud numbrid. Nüüd on see matemaatika.
Arvu 12345 numbrite summa on 15. Need on šamaanide õpetatavad “lõikamis- ja õmbluskursused”, mida matemaatikud kasutavad. Kuid see pole veel kõik.
Matemaatilisest seisukohast pole vahet, millisesse arvusüsteemi me arvu kirjutame. Seega on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Matemaatikas märgitakse numbrisüsteem numbrist paremal oleva alaindeksina. Suure numbriga 12345 ei taha ma oma pead petta, mõelgem numbrile 26 artiklist. Kirjutame selle arvu kahend-, kaheksand-, kümnend- ja kuueteistkümnendsüsteemis. Me ei vaata iga sammu mikroskoobi all, oleme seda juba teinud. Vaatame tulemust.
Nagu näete, on erinevates numbrisüsteemides sama numbri numbrite summa erinev. Sellel tulemusel pole matemaatikaga mingit pistmist. See on sama, kui määraksite ristküliku pindala meetrites ja sentimeetrites, saaksite täiesti erinevad tulemused.
Null näeb kõigis numbrisüsteemides välja ühesugune ja sellel pole numbrite summat. See on veel üks argument selle kasuks, et. Küsimus matemaatikutele: kuidas on matemaatikas määratud midagi, mis ei ole arv? Mis, matemaatikute jaoks ei eksisteeri midagi peale numbrite? Ma võin seda lubada šamaanidele, kuid mitte teadlastele. Tegelikkus ei seisne ainult numbrites.
Saadud tulemust tuleks pidada tõestuseks, et arvusüsteemid on arvude mõõtühikud. Me ei saa ju võrrelda numbreid erinevate mõõtühikutega. Kui samad toimingud sama suuruse erinevate mõõtühikutega annavad pärast nende võrdlemist erinevaid tulemusi, siis pole sellel matemaatikaga mingit pistmist.
Mis on tõeline matemaatika? See on siis, kui matemaatilise tehte tulemus ei sõltu arvu suurusest, kasutatavast mõõtühikust ja sellest, kes selle toimingu sooritab.
Oh! Kas see pole mitte naiste tualett?
- Noor naine! See on laboratoorium hingede indefiilse pühaduse uurimiseks nende taevasse tõusmise ajal! Halo peal ja nool üles. Mis tualett veel?
Naine... Halo peal ja nool alla on isased.
Kui selline disainikunstiteos vilksatab teie silme ees mitu korda päevas,
Siis pole üllatav, et äkki leiate oma autost kummalise ikooni:
Mina isiklikult pingutan selle nimel, et kakaval inimesel oleks näha miinus nelja kraadi (üks pilt) (mitmest pildist koosnev kompositsioon: miinusmärk, number neli, kraadide tähistus). Ja ma ei arva, et see tüdruk on loll, kes füüsikat ei tunne. Tal on lihtsalt tugev stereotüüp graafiliste piltide tajumisest. Ja matemaatikud õpetavad meile seda kogu aeg. Siin on näide.
1A ei ole "miinus neli kraadi" ega "üks a". See on "kakav mees" või number "kakskümmend kuus" kuueteistkümnendsüsteemis. Need inimesed, kes pidevalt selles numbrisüsteemis töötavad, tajuvad numbrit ja tähte automaatselt ühe graafilise sümbolina.