Tõenäosuste liitmine ja korrutamine. See artikkel keskendub tõenäosusteooria probleemide lahendamisele. Varem oleme juba analüüsinud mõningaid lihtsamaid ülesandeid nende lahendamiseks, piisab valemi tundmisest ja mõistmisest (soovitan seda korrata).

On mõningaid probleeme, mille lahendamiseks on vaja teada ja mõista: tõenäosuste liitmise reegel, tõenäosuste korrutamise reegel, sõltuvate ja sõltumatute sündmuste mõisted, vastandlikud sündmused, ühilduvad ja mitteühilduvad sündmused. Ärge kartke määratlusi, see on lihtne)).Selles artiklis käsitleme just selliseid ülesandeid.

Natuke oluline ja lihtne teooria:

Sobimatu , kui ühe välimus välistab teiste välimuse. See tähendab, et juhtuda saab ainult üks või teine ​​konkreetne sündmus.

Klassikaline näide: täringut visates võib tulla ainult üks või ainult kahene või ainult kolmene jne. Kumbki neist sündmustest ei ühildu teistega ja ühe esinemine välistab teise toimumise (ühes katses). Sama on mündiga – kui pead kerkivad, välistab see võimaluse, et sabad üles kerkivad.

See kehtib ka keerukamate kombinatsioonide kohta. Näiteks põlevad kaks valgustuslampi. Igaüks neist võib aja jooksul läbi põleda või mitte. Seal on valikud:

1. Esimene põleb läbi ja teine ​​põleb läbi
2. Esimene põleb läbi ja teine ​​ei põle
3. Esimene ei põle läbi ja teine ​​põleb läbi
4. Esimene ei põle läbi ja teine ​​põleb läbi.

Kõik need 4 sündmuste võimalust on kokkusobimatud - need lihtsalt ei saa toimuda koos ja ükski neist ei saa toimuda ühegi teisega...

Definitsioon: kutsutakse sündmusi liigend, kui ühe välimus ei välista teise välimust.

Näide: kaardipakist võetakse emand ja kaardipakist potikaart. Arvesse võetakse kahte sündmust. Need sündmused ei välista üksteist – võite loosida labidaema ja nii toimuvad mõlemad sündmused.

Tõenäosuste summast

Kahe sündmuse A ja B summat nimetatakse sündmuseks A+B, mis seisneb selles, et toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad korraga.

Kui neid on Sobimatu sündmused A ja B, siis on nende sündmuste summa tõenäosus võrdne sündmuste tõenäosuste summaga:

Täringu näide:

Me viskame täringut. Kui suur on tõenäosus veeretada arvu, mis on väiksem kui neli?

Arvud, mis on väiksemad kui neli, on 1,2,3. Teame, et ühe saamise tõenäosus on 1/6, kaks on 1/6 ja kolm on 1/6. Need on kokkusobimatud sündmused. Saame rakendada liitmisreeglit. Neljast väiksema arvu veeretamise tõenäosus on:

Tõepoolest, kui lähtuda klassikalise tõenäosuse kontseptsioonist: siis on võimalike tulemuste arv 6 (kuubi kõigi külgede arv), soodsate tulemuste arv on 3 (ühe, kahe või kolme ilmumine). Soovitav tõenäosus on 3 kuni 6 või 3/6 = 0,5.

*Kahe ühissündmuse summa tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga, arvestamata nende ühist esinemist: P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB)

Tõenäosuste korrutamisest

Olgu kaks kokkusobimatut sündmust A ja B, nende tõenäosused on vastavalt võrdsed P(A) ja P(B). Kahe sündmuse A ja B korrutis on sündmus A B, mis seisneb selles, et need sündmused toimuvad koos, st toimuvad nii sündmus A kui ka sündmus B. Sellise sündmuse tõenäosus on võrdne sündmuse korrutisega sündmuste A ja B tõenäosus.Arvutatakse valemiga:

Nagu olete juba märganud, tähendab loogiline ühend "AND" korrutamist.

Näide sama stantsiga:Me viskame täringut kaks korda. Kui suur on tõenäosus saada kaks kuut?

Kuue esmakordse veeremise tõenäosus on 1/6. Teine kord on samuti võrdne 1/6-ga. Kuue esimese ja teise veeremise tõenäosus võrdub tõenäosuste korrutisega:

Lihtsamalt öeldes: kui ühes katses toimub teatud sündmus, JA siis leiab aset teine ​​(teised), siis on nende koos toimumise tõenäosus võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega.

Lahendasime probleeme täringutega, kuid kasutasime ainult loogilist arutluskäiku ega kasutanud toote valemit. Allpool vaadeldavate ülesannete puhul ei saa te ilma valemiteta hakkama, või pigem on nendega tulemuse saamine lihtsam ja kiirem.

Tasub mainida veel üht nüanssi. Ülesannete lahendamisel arutlemisel kasutatakse mõistet sündmuste SAMAAJASUS. Sündmused toimuvad SAMAGA – see ei tähenda, et need toimuvad ühe sekundi jooksul (ühel ajahetkel). See tähendab, et need tekivad teatud aja jooksul (ühe testi ajal).

Näiteks:

Kaks lampi põlevad aasta jooksul läbi (võib öelda - üheaegselt aasta jooksul)

Kaks masinat lähevad rikki kuu aja jooksul (võib öelda, et samaaegselt kuu jooksul)

Täringut veeretatakse kolm korda (punktid ilmuvad korraga, see tähendab ühel katsel)

Laskesuusataja laseb viis lasku. Sündmused (võtted) toimuvad ühe katse ajal.

Sündmused A ja B on SÕLTUMATUD, kui neist kummagi tõenäosus ei sõltu teise sündmuse toimumisest või mittetoimumisest.

Vaatleme ülesandeid:

Kaks tehast toodavad auto esitulede jaoks sama klaasi. Esimene tehas toodab neist klaasidest 35%, teine ​​– 65%. Esimene tehas toodab 4% defektiga klaasist ja teine ​​- 2%. Leidke tõenäosus, et poest kogemata ostetud klaas on defektiga.

Esimene tehas toodab 0,35 toodet (klaas). Esimesest tehasest defektse klaasi ostmise tõenäosus on 0,04.

Teine tehas toodab 0,65 klaasi. Teisest tehasest defektse klaasi ostmise tõenäosus on 0,02.

Tõenäosus, et klaas on ostetud esimesest tehasest ja see osutub defektseks, on 0,35∙0,04 = 0,0140.

Tõenäosus, et klaas on ostetud teisest tehasest ja see osutub defektseks, on 0,65∙0,02 = 0,0130.

Defektse klaasi ostmine poest tähendab, et see (defektne klaas) osteti KAS esimesest tehasest VÕI teisest. Need on kokkusobimatud sündmused, see tähendab, et me liidame saadud tõenäosused kokku:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Vastus: 0,027

Kui vanameister A. mängib valget, siis võidab ta suurmeister B. vastu tõenäosusega 0,62. Kui A. mängib mustanahalist, siis A. võidab B. vastu tõenäosusega 0,2. Suurmeistrid A. ja B. mängivad kaks mängu ja teises mängus muudavad nad nuppude värvi. Leidke tõenäosus, et A. võidab mõlemal korral.

Esimese ja teise mängu võiduvõimalus üksteisest ei sõltu. Öeldakse, et suurmeister peab võitma mõlemal korral, st võitma esimest korda JA samal ajal võitma teist korda. Juhul, kui sõltumatud sündmused peavad toimuma koos, korrutatakse nende sündmuste tõenäosused ehk kasutatakse korrutamisreeglit.

Nende sündmuste esinemise tõenäosus on 0,62∙0,2 = 0,124.

Vastus: 0,124

Geomeetria eksamil saab õpilane eksamiküsimuste nimekirjast ühe küsimuse. Tõenäosus, et see on sisse kirjutatud ringi küsimus, on 0,3. Tõenäosus, et tegemist on paralleelse küsimusega, on 0,25. Nende kahe teemaga samaaegselt seotud küsimusi pole. Leidke tõenäosus, et õpilane saab eksamil küsimuse ühel neist kahest teemast.

See tähendab, et tuleb leida tõenäosus, et õpilane saab küsimuse KAS teemal “Sissekirjutatud ring” VÕI teemal “Parallelogramm”. Sel juhul summeeritakse tõenäosused, kuna need on kokkusobimatud sündmused ja kõik need sündmused võivad juhtuda: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Ühildumatud sündmused on sündmused, mis ei saa toimuda samal ajal.

Vastus: 0,55

Laskesuusataja laseb märklauda viis korda. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,9. Leia tõenäosus, et laskesuusataja tabab sihtmärke esimesed neli korda ja jääb viimasest mööda. Ümarda tulemus sajandikuteks.

Kuna laskesuusataja tabab sihtmärki tõenäosusega 0,9, siis eksis ta tõenäosusega 1 – 0,9 = 0,1

*Möödumine ja tabamus on sündmused, mis ei saa toimuda ühe löögiga üheaegselt, nende sündmuste tõenäosuste summa on võrdne 1-ga.

Jutt käib mitme (iseseisva) sündmuse toimumisest. Kui toimub sündmus ja samal ajal toimub teine ​​(järgnev) sündmus (test), siis nende sündmuste tõenäosused korrutatakse.

Sõltumatute sündmuste korrutise tõenäosus on võrdne nende tõenäosuste korrutisega.

Seega on sündmuse “tabamus, tabamus, tabamus, tabamus, möödalaskmine” tõenäosus 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Ümardades lähima sajandikuni saame 0,07

Vastus: 0,07

Kaupluses on kaks makseautomaati. Igaüks neist võib olla vigane tõenäosusega 0,07, olenemata teisest masinast. Leidke tõenäosus, et vähemalt üks masin töötab.

Leiame tõenäosuse, et mõlemad masinad on vigased.

Need sündmused on sõltumatud, mis tähendab, et tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste korrutisega: 0,07∙0,07 = 0,0049.

See tähendab, et tõenäosus, et mõlemad masinad või üks neist töötab, on 1 – 0,0049 = 0,9951.

*Mõlemad on töökorras ja üks neist on täiesti töökorras – vastab "vähemalt ühele" tingimusele.

Võib esitada kõigi testitavate (sõltumatute) sündmuste tõenäosused:

1. "vigane-vigane" 0,07∙0,07 = 0,0049

2. "defektne-defektne" 0,93∙0,07 = 0,0651

3. "defektne-defektne" 0,07∙0,93 = 0,0651

4. "defektne-defektne" 0,93∙0,93 = 0,8649

Vähemalt ühe masina töötamise tõenäosuse määramiseks on vaja liita sõltumatute sündmuste 2,3 ja 4 tõenäosused: Usaldusväärne üritus nimetatakse sündmust, mis kindlasti toimub kogemuse tulemusena. Üritus on nn võimatu, kui seda kunagi kogemuse tulemusena ei teki.

Näiteks kui ainult punaseid ja rohelisi palle sisaldavast kastist tõmmatakse juhuslikult üks pall, siis valge ilmumine väljatõmmatud pallide hulka on võimatu sündmus. Punase välimus ja roheliste pallide ilmumine moodustavad tervikliku sündmuste rühma.

Definitsioon: Sündmused on nn võrdselt võimalik , välja arvatud juhul, kui on põhjust arvata, et mõni neist ilmneb tõenäolisemalt kogemuse tulemusena.

Ülaltoodud näites on punaste ja roheliste pallide ilmumine võrdselt tõenäoline, kui kastis on sama palju punaseid ja rohelisi palle. Kui punaseid palle on kastis rohkem kui rohelisi, siis on rohelise palli ilmumine vähem tõenäoline kui punase palli ilmumine.

Vaatleme veel probleeme, kus kasutatakse sündmuste tõenäosuste summat ja korrutist, ärge jätke seda mööda!

See on kõik. Soovin teile edu!

Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.

Marya Ivanovna kirub Vasjat:
- Petrov, miks sa eile koolis ei olnud?!
— Ema pesi eile mu pükse.
- Mis siis?
- Ja ma kõndisin majast mööda ja nägin, et sinu oma ripub. Ma arvasin, et sa ei tule.

P.S. Oleksin tänulik, kui räägiksite mulle saidi kohta sotsiaalvõrgustikes.

Konkreetset sündmust soodustavate juhtumite otsene loendamine võib olla keeruline. Seetõttu võib sündmuse tõenäosuse määramiseks olla kasulik kujutada seda sündmust mõne muu, lihtsama sündmuse kombinatsioonina. Sel juhul peate siiski teadma reegleid, mis juhivad sündmuste kombinatsioonide tõenäosusi. Just nende reeglitega puudutavad lõigu pealkirjas mainitud teoreemid.

Esimene neist on seotud vähemalt ühe mitme sündmuse toimumise tõenäosuse arvutamisega.

Liitmisteoreem.

Olgu A ja B kaks kokkusobimatut sündmust. Siis on tõenäosus, et vähemalt üks neist kahest sündmusest aset leiab, nende tõenäosuste summaga:

Tõestus. Laskma olla paarikaupa kokkusobimatute sündmuste täielik rühm. Kui siis nende elementaarsündmuste hulgas on täpselt A-le soodsaid sündmusi ja täpselt B-le soodsaid sündmusi. Kuna sündmused A ja B on kokkusobimatud, ei saa ükski sündmus mõlemat sündmust soodustada. Sündmust (A või B), mis seisneb vähemalt ühe neist kahest sündmusest, eelistavad ilmselgelt nii kõik A-d soodustavad sündmused kui ka kõik sündmused

Soodne B. Seega on sündmusele (A või B) soodsate sündmuste koguarv võrdne summaga, mis on järgmine:

Q.E.D.

On lihtne näha, et ülaltoodud kahe sündmuse puhul sõnastatud liitmisteoreemi saab hõlpsasti üle kanda suvalise lõpliku arvu juhtumile. Täpselt siis, kui on paarikaupa kokkusobimatud sündmused

Näiteks kolme sündmuse puhul võib kirjutada

Liitmisteoreemi oluline tagajärg on väide: kui sündmused on paarikaupa kokkusobimatud ja üheselt võimalikud, siis

Tõepoolest, sündmus kas või või on eeldusel kindel ja selle tõenäosus, nagu on märgitud §-s 1, on võrdne ühega. Eelkõige siis, kui need tähendavad kahte vastastikku vastandlikku sündmust, siis

Illustreerime liitmisteoreemi näidetega.

Näide 1. Märki laskmisel on suurepärase lasu sooritamise tõenäosus 0,3 ja “hea” lasu sooritamise tõenäosus 0,4. Kui suur on tõenäosus saada löögi eest hindeks vähemalt “hea”?

Lahendus. Kui sündmus A tähendab "suurepärase" hinnangu saamist ja sündmus B tähendab "hea" hinnangu saamist, siis

Näide 2. Valgeid, punaseid ja musti palle sisaldavas urnis on valged ja I punased pallid. Kui suur on tõenäosus tõmmata pall, mis pole must?

Lahendus. Kui sündmus A koosneb valge palli ilmumisest ja sündmus B koosneb punasest pallist, siis palli välimus ei ole must

tähendab kas valge või punase palli välimust. Kuna tõenäosuse definitsiooni järgi

siis liitmise teoreemi järgi on mittemusta palli ilmumise tõenäosus võrdne;

Seda probleemi saab lahendada sel viisil. Olgu sündmus C musta palli ilmumises. Mustade kuulide arv on võrdne nii, et P (C) Mitte-musta palli ilmumine on C-le vastupidine sündmus, seetõttu saame ülaltoodud liitmisteoreemi järelduse põhjal:

nagu enne.

Näide 3. Rahalises materiaalses loteriis on 1000 piletiga seeria puhul 120 rahalist ja 80 materiaalset võitu. Kui suur on tõenäosus ühe loteriipiletiga midagi võita?

Lahendus. Kui tähistame A-ga sündmust, mis koosneb rahalisest kasumist ja B-ga materiaalsest kasust, siis tõenäosuse definitsioonist järeldub see

Meid huvitavat sündmust esindab (A või B), seepärast tuleneb liitmisteoreemist

Seega on iga võidu tõenäosus 0,2.

Enne järgmise teoreemi juurde liikumist on vaja tutvuda uue olulise mõistega - tingimusliku tõenäosuse mõistega. Sel eesmärgil alustame järgmise näitega.

Oletame, et laos on 400 lambipirni, mis on toodetud kahes erinevas tehases ja esimene toodab 75% kõigist lambipirnidest ja teine ​​- 25%. Oletame, et esimeses tehases toodetud lambipirnidest vastab teatud standardi tingimustele 83% ja teise tehase toodete puhul on see protsent 63. Määrame tõenäosuse, et lambipirn on juhuslikult võetud lambipirnist. ladu vastab standardi tingimustele.

Pange tähele, et saadaolevate standardsete lambipirnide koguarv koosneb esimese poolt toodetud lambipirnidest

tehases ja 63 teises tehases toodetud lambipirnid ehk siis 312. Kuna iga lambipirni valikut tuleks pidada võrdselt võimalikuks, on meil 312 soodsat juhtumit 400-st, seega

kus sündmus B on see, et meie valitud lambipirn on standardne.

Selle arvutuse käigus ei tehtud eeldusi selle kohta, millise taime tootesse meie valitud lambipirn kuulus. Kui teeme selliseid oletusi, siis on ilmne, et meid huvitava tõenäosus võib muutuda. Nii et näiteks kui on teada, et valitud pirn on toodetud esimeses tehases (sündmus A), siis tõenäosus, et see on standardne, ei ole enam 0,78, vaid 0,83.

Sellist tõenäosust, st sündmuse B tõenäosust sündmuse A toimumise korral, nimetatakse sündmuse B tingimuslikuks tõenäosuseks sündmuse A toimumise korral ja seda tähistatakse

Kui eelmises näites tähistame A-ga sündmust, et valitud pirn on valmistatud esimeses tehases, siis võime kirjutada

Nüüd saame sõnastada olulise teoreemi, mis on seotud sündmuste kombineerimise tõenäosuse arvutamisega.

Korrutusteoreem.

Sündmuste A ja B kombineerimise tõenäosus on võrdne ühe sündmuse tõenäosuse ja teise tingimusliku tõenäosuse korrutisega, eeldades, et esimene juhtus:

Sel juhul tähendab sündmuste A ja B kombinatsioon nende kõigi toimumist, st nii sündmuse A kui ka sündmuse B toimumist.

Tõestus. Vaatleme tervet rühma võrdselt võimalikke paarikaupa kokkusobimatuid sündmusi, millest igaüks võib olla nii sündmuse A kui ka sündmuse B jaoks soodne või ebasoodne.

Jagame kõik need sündmused järgmiselt nelja erinevasse rühma. Esimesse rühma kuuluvad need sündmused, mis soosivad nii sündmust A kui ka sündmust B; Teise ja kolmanda rühma kuuluvad sündmused, mis eelistavad ühte kahest meid huvitavast sündmusest ja ei soosi teist, näiteks teise rühma kuuluvad need, mis soosivad A-d, kuid ei soosi B-d, ja kolmandasse rühma kuuluvad need, mis poolda B-d, kuid ei poolda A-d; lõpuks ometi

Neljandasse rühma kuuluvad sündmused, mis ei soosi ei A-d ega B-d.

Kuna sündmuste numeratsioon ei oma tähtsust, võime eeldada, et see jagunemine neljaks rühmaks näeb välja järgmine:

I rühm:

II rühm:

III rühm:

IV grupp:

Seega on võrdselt võimalike ja paarisobimatute sündmuste hulgas sündmusi, mis soosivad nii sündmust A kui ka sündmust B, sündmusi, mis soosivad sündmust A, kuid ei soosi sündmust A, sündmusi, mis soosivad B-d, kuid ei soosi A-d, ja lõpuks sündmused, mis ei soosi ei A-d ega B-d.

Märkigem muide, et ükski neljast vaadeldud rühmast (ja isegi rohkem kui üks) ei pruugi sisaldada ühtki sündmust. Sel juhul on vastav arv, mis näitab sellise rühma sündmuste arvu, võrdne nulliga.

Meie jaotus rühmadesse võimaldab teil kohe kirjutada

sest sündmuste A ja B kombinatsiooni eelistavad esimese rühma sündmused ja ainult nemad. A-d eelistavate sündmuste koguarv võrdub esimese ja teise rühma sündmuste koguarvuga ning B-d eelistavate sündmuste koguarvuga esimeses ja kolmandas rühmas.

Arvutame nüüd välja tõenäosuse, st sündmuse B tõenäosuse, eeldusel, et sündmus A toimus. Nüüd kaovad kolmandasse ja neljandasse rühma kuuluvad sündmused, kuna nende toimumine oleks vastuolus sündmuse A toimumisega ja võimalike juhtude arv ei ole enam võrdne . Nendest sündmust B eelistavad ainult esimese rühma sündmused, seega saame:

Teoreemi tõestamiseks piisab, kui kirjutada ilmselge identiteet:

ja asendada kõik kolm murdu ülal arvutatud tõenäosustega. Jõuame teoreemis toodud võrdsuseni:

On selge, et ülalpool kirjutatud identiteet on mõttekas ainult siis, kui see on alati tõene, välja arvatud juhul, kui A on võimatu sündmus.

Kuna sündmused A ja B on võrdsed, siis nende vahetamisel saame korrutusteoreemi teise kuju:

Selle võrdsuse saab aga samamoodi nagu eelmist, kui märkad, et identiteeti kasutades

Võrreldes tõenäosuse P(A ja B) kahe avaldise paremaid külgi, saame kasuliku võrrandi:

Vaatleme nüüd näiteid, mis illustreerivad korrutusteoreemi.

Näide 4. Teatud ettevõtte toodetes loetakse sobivaks 96% toodetest (sündmus A). 75 toodet igast sajast sobivast osutuvad esimesse klassi kuuluvaks (sündmus B). Määrake tõenäosus, et juhuslikult valitud toode sobib ja kuulub esimesse klassi.

Lahendus. Soovitav tõenäosus on sündmuste A ja B kombineerimise tõenäosus. Tingimuse järgi on meil: . Seetõttu annab korrutusteoreem

Näide 5. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus (sündmus A) on 0,2. Kui suur on tõenäosus tabada sihtmärki, kui 2% kaitsmetest ebaõnnestuvad (st 2% juhtudest lask ei õnnestu

Lahendus. Olgu sündmus B, et toimub löök, ja B tähistab vastupidist sündmust. Siis tingimuse ja liitmisteoreemi järelduvuse järgi. Edasi, vastavalt seisukorrale.

Sihtmärgi tabamine tähendab sündmuste A ja B kombineerimist (lask tulistab ja tabab), seega korrutusteoreemi kohaselt

Korrutusteoreemi olulise erijuhu võib saada sündmuste sõltumatuse mõistet kasutades.

Kahte sündmust nimetatakse sõltumatuks, kui neist ühe tõenäosus ei muutu teise toimumise või mittetoimumise tulemusena.

Sõltumatute sündmuste näideteks on erineva arvu punktide esinemine täringu viskamisel või mündi ühe või teise külje tekkimine uuesti mündi viskamisel, kuna on ilmne, et teisel viskel vapi saamise tõenäosus on võrdne olenemata sellest, kas vapp tuli esimesel kohal või mitte.

Sarnaselt ei sõltu tõenäosus, et valget ja musta palli sisaldavast urnist tõmmatakse teist korda valge pall, kui esimene väljatõmmatud pall on varem tagastatud, sellest, kas pall tõmmati esimest korda, valge või must. Seetõttu on esimese ja teise eemaldamise tulemused üksteisest sõltumatud. Vastupidi, kui esimesena välja võetud pall ei naase urni, siis teise eemaldamise tulemus sõltub esimesest, sest pärast esimest eemaldamist muutub urnis olevate pallide koostis sõltuvalt selle tulemusest. Siin on näide sõltuvatest sündmustest.

Kasutades tingimuslike tõenäosuste tähistust, saame sündmuste A ja B sõltumatuse tingimuse kirjutada kujul

Neid võrdusi kasutades saame sõltumatute sündmuste korrutusteoreemi taandada järgmisele kujule.

Kui sündmused A ja B on sõltumatud, on nende kombinatsiooni tõenäosus võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

Tõepoolest, piisab sündmuste sõltumatust tuleneva korrutusteoreemi algväljenduse sisestamisest ja saame vajaliku võrdsuse.

Vaatleme nüüd mitut sündmust: nimetame neid kollektiivselt sõltumatuteks, kui ühegi neist toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas mõni muu vaadeldav sündmus toimus või mitte.

Kollektiivselt sõltumatute sündmuste korral saab korrutusteoreemi laiendada nende suvalisele lõplikule arvule, nii et selle saab sõnastada järgmiselt:

Sõltumatute sündmuste agregaadi kombineerimise tõenäosus võrdub nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

Näide 6. Töötaja hooldab kolme automaatset masinat, millest igaüht tuleb masina seiskumisel rikke kõrvaldamiseks pöörduda. Tõenäosus, et esimene masin tunni jooksul ei peatu, on 0,9. Teise masina puhul on sama tõenäosus 0,8 ja kolmanda puhul 0,7. Määrake tõenäosus, et tunni jooksul ei pea töötaja lähenema ühelegi masinale, mida ta hooldab.

Näide 7. Lennuki püssilasuga alla tulistamise tõenäosus Kui suur on tõenäosus hävitada vastase lennuk, kui korraga tulistatakse 250 vintpüssi?

Lahendus. Tõenäosus, et lennukit ei tulistata alla ühe lasuga, on võrdne liitmisteoreemiga. Seejärel saame arvutada korrutusteoreemi abil tõenäosuse, et lennukit 250 lasuga alla ei tulistata, kui kombineerimise tõenäosust. sündmused. See on võrdne Pärast seda saame uuesti kasutada liitmisteoreemi ja leida tõenäosus, et lennuk alla tulistatakse vastupidise sündmuse tõenäosusena

Sellest on näha, et kuigi tõenäosus lennuki alla tulistada ühe püssilasuga on kaduvväike, on 250 vintpüssist tulistades juba lennuki allatulistamise tõenäosus vägagi tuntav. See suureneb oluliselt, kui vintpüsside arvu suurendada. Nii et 500 vintpüssist tulistades on lennuki allatulistamise tõenäosus, nagu on lihtne arvutada, võrdne 1000 vintpüssist tulistades - isegi.

Eespool tõestatud korrutusteoreem võimaldab liitmisteoreemi mõnevõrra laiendada, laiendades seda ühilduvate sündmuste korral. On selge, et kui sündmused A ja B on ühilduvad, siis vähemalt ühe neist toimumise tõenäosus ei võrdu nende tõenäosuste summaga. Näiteks kui sündmus A tähendab paarisarvu

punktide arv täringu viskamisel ja sündmus B on punktide arvu kaotus, mis on kolmekordne, siis sündmust (A või B) soosib 2, 3, 4 ja 6 punkti kaotus, see on

Teisest küljest, see on. Nii et antud juhul

Sellest on selge, et ühilduvate sündmuste puhul tuleb tõenäosuste liitmise teoreemi muuta. Nagu nüüd näeme, saab selle sõnastada nii, et see kehtib nii ühilduvate kui ka mitteühilduvate sündmuste puhul, nii et varem käsitletud liitmisteoreem osutub uue erijuhtumiks.

Sündmused, mis pole A-le soodsad.

Kõik elementaarsündmused, mis soosivad sündmust (A või B), peavad eelistama kas ainult A-d või ainult B-d või nii A-d kui ka B-d. Seega on selliste sündmuste koguarv võrdne

ja tõenäosus

Q.E.D.

Rakendades valemit (9) ülaltoodud näitele täringu viskamisel ilmuvate punktide arvu kohta, saame:

mis langeb kokku otsese arvutuse tulemusega.

Ilmselgelt on valem (1) (9) erijuhtum. Tõepoolest, kui sündmused A ja B ei ühildu, siis kombinatsiooni tõenäosus

Näiteks. Elektriahelaga on järjestikku ühendatud kaks kaitset. Esimese kaitsme rikke tõenäosus on 0,6 ja teise kaitsme rikke tõenäosus 0,2. Määrakem voolukatkestuse tõenäosus vähemalt ühe kaitsme rikke tagajärjel.

Lahendus. Kuna sündmused A ja B, mis koosnevad esimese ja teise kaitsme rikkest, on ühilduvad, määratakse nõutav tõenäosus valemiga (9):

Harjutused

Tõenäosusteooria õpe algab probleemide lahendamisega, mis hõlmab tõenäosuste liitmist ja korrutamist. Tasub kohe mainida, et õpilasel võib selle teadmiste valdkonna omandamisel tekkida probleem: kui füüsikalisi või keemilisi protsesse saab visuaalselt kujutada ja empiiriliselt mõista, siis on matemaatilise abstraktsiooni tase väga kõrge ja mõistmine tuleb siin alles kogemusega.

Mäng on aga küünalt väärt, sest valemeid – nii käesolevas artiklis käsitletuid kui ka keerukamaid – kasutatakse tänapäeval kõikjal ja neist võib töös kasu olla.

Päritolu

Kummalisel kombel oli selle matemaatikaharu arengu tõukejõuks... hasartmängud. Tõepoolest, täringud, mündivisked, pokker, rulett on tüüpilised näited, mis kasutavad tõenäosuste liitmist ja korrutamist. Seda on selgelt näha mis tahes õpiku probleemide näidete abil. Inimesed tundsid huvi õppida, kuidas oma võiduvõimalusi suurendada ja peab ütlema, et mõnel see ka õnnestus.

Näiteks juba 21. sajandil kasutas üks inimene, kelle nime me ei avalda, neid sajandite jooksul kogunenud teadmisi kasiino sõna otseses mõttes "puhastamiseks", võites ruletis mitukümmend miljonit dollarit.

Kuid vaatamata suurenenud huvile selle teema vastu kujunes alles 20. sajandiks välja teoreetiline raamistik, mis muutis "teoreemi" tänaseks peaaegu igas teaduses arvutusi, kasutades tõenäosuslikke meetodeid.

Kohaldatavus

Tõenäosuste ja tingimusliku tõenäosuse liitmise ja korrutamise valemite kasutamisel on oluline punkt keskse piiriteoreemi rahuldatavus. Vastasel juhul, kuigi õpilane ei pruugi sellest aru saada, on kõik arvutused, ükskõik kui usutavad need ka ei tundu, valed.

Jah, kõrgelt motiveeritud õpilasel on igal võimalusel kiusatus uusi teadmisi kasutada. Kuid sel juhul on vaja veidi aeglustada ja kohaldamisala rangelt visandada.

Tõenäosusteooria käsitleb juhuslikke sündmusi, mis empiiriliselt esindavad katsete tulemusi: saame veeretada kuuepoolset täringut, tõmmata kaardipakist kaarti, ennustada vigaste osade arvu partiis. Kuid mõnes küsimuses on selle matemaatika osa valemite kasutamine rangelt keelatud. Sündmuse tõenäosuste arvestamise tunnuseid, sündmuste liitmise ja korrutamise teoreeme käsitleme artikli lõpus, kuid nüüd pöördume näidete poole.

Põhimõisted

Juhuslik sündmus viitab mingile protsessile või tulemusele, mis võib või ei pruugi ilmneda katse tulemusena. Näiteks viskame võileiva – see võib langeda võiga pool ülespoole või võipool allapoole. Kumbki tulemustest on juhuslik ja me ei tea ette, kumb neist aset leiab.

Tõenäosuste liitmise ja korrutamise uurimisel vajame veel kahte mõistet.

Selliseid sündmusi nimetatakse ühisteks, millest ühe esinemine ei välista teise esinemist. Oletame, et kaks inimest tulistavad korraga märklauda. Kui üks neist annab eduka tulemuse, ei mõjuta see kuidagi teise suutlikkust härjasilma tabada või mööda lasta.

Kokkusobimatud sündmused on sündmused, mille toimumine samal ajal on võimatu. Näiteks kui võtate kastist välja ainult ühe palli, ei saa te korraga nii sinist kui punast.

Määramine

Tõenäosuse mõistet tähistatakse ladina suure tähega P. Järgmisena on sulgudes argumendid, mis tähistavad teatud sündmusi.

Liitmisteoreemi, tingimusliku tõenäosuse ja korrutusteoreemi valemites näete sulgudes avaldisi, näiteks: A+B, AB või A|B. Neid arvutatakse mitmel viisil ja nüüd pöördume nende poole.

Lisand

Vaatleme juhtumeid, kus kasutatakse tõenäosuste liitmise ja korrutamise valemeid.

Ühildumatute sündmuste puhul on asjakohane lihtsaim liitmisvalem: mis tahes juhusliku tulemuse tõenäosus võrdub kõigi nende tulemuste tõenäosuste summaga.

Oletame, et seal on kast 2 sinise, 3 punase ja 5 kollase marmoriga. Kokku on karbis 10 eset. Kui õige on väide, et loosime sinise või punase palli? See võrdub 2/10 + 3/10, st viiskümmend protsenti.

Ühildumatute sündmuste korral muutub valem keerulisemaks, kuna lisandub täiendav termin. Naaskem selle juurde ühes lõigus pärast teise valemi kaalumist.

Korrutamine

Erinevatel juhtudel kasutatakse sõltumatute sündmuste tõenäosuste liitmist ja korrutamist. Kui oleme katse tingimuste kohaselt rahul ühega kahest võimalikust tulemusest, arvutame summa; kui tahame saada kaks kindlat tulemust üksteise järel, kasutame teistsugust valemit.

Tulles tagasi eelmise jaotise näite juurde, tahame kõigepealt joonistada sinise ja seejärel punase palli. Teame esimest numbrit – see on 2/10. Mis järgmisena juhtub? Jäänud on 9 palli ja punaseid on veel sama palju - kolm. Arvutuste kohaselt on see 3/9 või 1/3. Aga mida teha nüüd kahe numbriga? Õige vastus on korrutada, et saada 2/30.

Ühised üritused

Nüüd saame taas pöörduda ühisürituste summa valemi poole. Miks meid teemast kõrvale juhiti? Et teada saada, kuidas tõenäosused korrutatakse. Nüüd on meil neid teadmisi vaja.

Me juba teame, millised on kaks esimest liiget (sama, mis varem käsitletud liitmisvalemis), kuid nüüd tuleb lahutada tõenäosuste korrutis, mida me just arvutama õppisime. Selguse huvides kirjutame valemi: P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Selgub, et ühes avaldises kasutatakse nii tõenäosuste liitmist kui ka korrutamist.

Oletame, et krediidi saamiseks peame lahendama ühe kahest probleemist. Esimese saame lahendada tõenäosusega 0,3 ja teise tõenäosusega 0,6. Lahendus: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Pange tähele, et lihtsalt numbrite liitmisest siin ei piisa.

Tinglik tõenäosus

Lõpuks on tingimusliku tõenäosuse mõiste, mille argumendid on näidatud sulgudes ja eraldatud vertikaalse ribaga. Kirje P(A|B) kõlab järgmiselt: "sündmuse A antud sündmuse B tõenäosus."

Vaatame näidet: sõber annab sulle mingi seadme, olgu selleks telefon. See võib olla katki (20%) või terve (80%). Tõenäosusega 0,4 või ei saa te seda teha (0,6) saate remontida iga teie kätte sattunud seadet. Lõpuks, kui seade on töökorras, võite tõenäosusega 0,7 jõuda õige inimeseni.

Hästi on näha, kuidas sel juhul tinglik tõenäosus mängib: kui telefon on katki, ei saa inimest kätte, aga kui see töötab, pole vaja seda parandada. Seega peate "teisel tasemel" tulemuste saamiseks välja selgitama, milline sündmus viidi läbi esimesel korral.

Arvutused

Vaatame näiteid tõenäosuste liitmise ja korrutamise probleemide lahendamisest, kasutades eelmise lõigu andmeid.

Esmalt leidkem tõenäosus, et te teile antud seadet parandate. Selleks peab see esiteks olema vigane ja teiseks peab saama seda parandada. See on tüüpiline korrutamise probleem: saame 0,2 * 0,4 = 0,08.

Kui suur on tõenäosus, et jõuate kohe õige inimeseni? See on nii lihtne: 0,8*0,7 = 0,56. Sel juhul avastasite, et telefon töötab ja helistasite edukalt.

Lõpuks kaaluge seda stsenaariumi: saate katkise telefoni, parandate selle, seejärel valite numbri ja teises otsas olev inimene võtab vastu. Siin tuleb juba korrutada kolm komponenti: 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Mida teha, kui teil on korraga kaks mittetöötavat telefoni? Kui suure tõenäosusega suudate vähemalt ühe neist parandada? tõenäosuste liitmisel ja korrutamisel, kuna kasutatakse ühissündmusi. Lahendus: 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Seega, kui saate kaks katkist seadet, saate selle parandada 64% juhtudest.

Ettevaatlik kasutamine

Nagu artikli alguses öeldud, peaks tõenäosusteooria kasutamine olema tahtlik ja teadlik.

Mida suurem on katsete seeria, seda lähemale teoreetiliselt ennustatav väärtus praktikas saavutatule. Näiteks viskame mündi. Teoreetiliselt, teades tõenäosuste liitmise ja korrutamise valemite olemasolu, saame ennustada, mitu korda "pead" ja "sabad" ilmuvad, kui teeme katse 10 korda. Tegime katse ja juhuslikult oli joonistatud külgede suhe 3:7. Kui aga teha 100, 1000 või enama katse seeriat, selgub, et jaotusgraafik läheneb teoreetilisele järjest lähemale: 44 kuni 56, 482 kuni 518 ja nii edasi.

Kujutage nüüd ette, et seda katset ei tehta mitte mündiga, vaid mingi uue keemilise aine tootmisega, mille tõenäosust me ei tea. Tegime 10 katset ja ilma edukat tulemust saamata võiksime üldistada: "ainet on võimatu saada." Aga kes teab, kas oleksime teinud üheteistkümnenda katse, kas oleksime eesmärgi saavutanud või mitte?

Nii et kui lähete tundmatusse, uurimata piirkonda, ei pruugi tõenäosusteooria kehtida. Iga järgnev katse võib sel juhul olla edukas ja üldistused nagu "X ei eksisteeri" või "X on võimatu" on ennatlikud.

Lõppsõna

Niisiis, vaatlesime kahte tüüpi liitmist, korrutamist ja tingimuslikke tõenäosusi. Selle valdkonna edasisel uurimisel on vaja õppida eristama olukordi, kui kasutatakse iga konkreetset valemit. Lisaks peate ette kujutama, kas tõenäosuslikud meetodid on teie probleemi lahendamiseks üldiselt rakendatavad.

Kui harjutate, hakkate mõne aja pärast kõiki vajalikke toiminguid läbi viima ainult oma mõtetes. Kaardimänguhuvilistele võib seda oskust pidada ülimalt väärtuslikuks – ainuüksi konkreetse kaardi või masti väljakukkumise tõenäosuse arvutamisega tõstad oma võiduvõimalusi oluliselt. Küll aga leiate omandatud teadmistele hõlpsasti rakendust ka muudes tegevusvaldkondades.

Tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemid.
Sõltuvad ja iseseisvad üritused

Pealkiri tundub hirmutav, kuid tegelikult on kõik väga lihtne. Selles tunnis tutvume sündmuste tõenäosuste liitmise ja korrutamise teoreemidega ning analüüsime ka tüüpilisi probleeme, mis koos Tõenäosuse klassikalise määramise probleem kindlasti kohtub või, tõenäolisemalt, olete juba teie teel kohtunud. Selle artikli materjalide tõhusaks uurimiseks peate teadma ja mõistma põhitermineid tõenäosusteooria ja oskama sooritada lihtsaid aritmeetilisi tehteid. Nagu näete, on vaja väga vähe ja seetõttu on vara rasvane pluss peaaegu garanteeritud. Kuid teisalt hoiatan taas pinnapealse suhtumise eest praktilistesse näidetesse - peensusi on ka küllaga. Edu:

Teoreem kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmiseks: ühe kahest esinemise tõenäosus Sobimatu sündmused või (ükskõik mis), võrdub nende sündmuste tõenäosuste summaga:

Sarnane fakt kehtib ka suurema hulga kokkusobimatute sündmuste puhul, näiteks kolme kokkusobimatu sündmuse puhul ja:

Teoreem on unenägu =) Selline unenägu allub aga tõestusele, mida võib leida näiteks õpikust V.E. Gmurman.

Tutvume uute, senitundmatute mõistetega:

Sõltuvad ja iseseisvad üritused

Alustame iseseisvate sündmustega. Sündmused on sõltumatu , kui esinemise tõenäosus mõni neist ei sõltu muude vaadeldava komplekti sündmuste ilmnemisel/mitteilmumisel (kõikides võimalikes kombinatsioonides). ...Aga miks peaks proovima üldisi fraase:

Teoreem sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamiseks: sõltumatute sündmuste ühise esinemise tõenäosus ja on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega:

Tuleme tagasi 1. õppetunni lihtsaima näite juurde, kus visatakse kaks münti ja järgmised sündmused:

– 1. mündile ilmuvad pead;
– 2. mündil ilmuvad pead.

Leiame sündmuse tõenäosuse (1. mündile ilmuvad pead Ja 2. mündile ilmub kotkas - pidage meeles, kuidas lugeda sündmuste produkt!) . Peade tõenäosus ühel mündil ei sõltu kuidagi teise mündi viskamise tulemusest, seetõttu on sündmused sõltumatud.

Samamoodi:
– tõenäosus, et 1. münt maandub päid Ja 2. sabadel;
– tõenäosus, et 1. mündile ilmuvad pead Ja 2. sabadel;
– tõenäosus, et 1. mündil on päid Ja 2. kotkas.

Pange tähele, et sündmused kujunevad täisgrupp ja nende tõenäosuste summa on võrdne ühega: .

Korrutusteoreem laieneb ilmselgelt suuremale arvule sõltumatutele sündmustele, näiteks kui sündmused on sõltumatud, siis on nende ühine toimumise tõenäosus võrdne: . Harjutame konkreetsete näidetega:

Probleem 3

Igas kolmes karbis on 10 osa. Esimene kast sisaldab 8 standardosa, teine ​​– 7, kolmas – 9. Igast karbist eemaldatakse juhuslikult üks osa. Leidke tõenäosus, et kõik osad on standardsed.

Lahendus: Standardse või mittestandardse detaili joonistamise tõenäosus mis tahes kastist ei sõltu sellest, millised osad teistest kastidest võetakse, seega käsitleb probleem iseseisvaid sündmusi. Mõelge järgmistele sõltumatutele sündmustele:

– 1. kastist eemaldatakse standardosa;
– 2. kastist eemaldati standardosa;
– 3. kastist eemaldatakse standardosa.

Klassikalise määratluse järgi:
on vastavad tõenäosused.

Meile huvipakkuv sündmus (1. kastist eemaldatakse standardosa Ja 2. standardist Ja alates 3. standardist) väljendub tootes.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi kohaselt:

– tõenäosus, et kolmest kastist eemaldatakse üks standardosa.

Vastus: 0,504

Pärast kosutavaid harjutusi kastidega ootavad meid mitte vähem huvitavad urnid:

Probleem 4

Kolm urni sisaldavad 6 valget ja 4 musta palli. Igast urnist tõmmatakse juhuslikult üks pall. Leia tõenäosus, et: a) kõik kolm kuuli on valged; b) kõik kolm palli on sama värvi.

Saadud teabe põhjal arvake, kuidas "olema" punktiga toime tulla ;-) Lahenduse ligikaudne näide on kujundatud akadeemilises stiilis koos kõigi sündmuste üksikasjaliku kirjeldusega.

Sõltuvad sündmused. Üritus on nn sõltuv , kui selle tõenäosus olenebühest või mitmest juba toimunud sündmusest. Näidete otsimiseks ei pea te kaugele minema – minge lihtsalt lähimasse poodi:

– homme kell 19.00 tuleb müügile värske leib.

Selle sündmuse tõenäosus sõltub paljudest muudest sündmustest: kas homme tuuakse värsket leiba, kas see müüakse enne kella 19 välja või mitte jne. Olenevalt erinevatest asjaoludest võib see sündmus olla kas usaldusväärne või võimatu. Nii et üritus on sõltuv.

Leib... ja nagu roomlased nõudsid, tsirkused:

– eksamil saab õpilane lihtpileti.

Kui te pole kõige esimene, siis sõltub sündmus, kuna selle tõenäosus sõltub sellest, milliseid pileteid klassikaaslased on juba loosinud.

Kuidas määrata sündmuste sõltuvust/sõltumatust?

Mõnikord on see probleemi avalduses otse öeldud, kuid enamasti peate tegema sõltumatu analüüsi. Siin puudub ühemõtteline juhtnöör ning sündmuste sõltuvuse või sõltumatuse fakt tuleneb loomulikust loogilisest arutlusest.

Et mitte kõike ühte hunnikusse koondada, ülesanded sõltuvate sündmuste jaoks Toon esile järgmise õppetunni, kuid praegu käsitleme praktikas kõige levinumat teoreemide komplekti:

Ülesanded mitteühilduvate tõenäosuste liitmisteoreemide kohta
ja sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamine

See tandem töötab minu subjektiivse hinnangu kohaselt ligikaudu 80% vaadeldava teema ülesannetest. Tabamuste hitt ja tõeline tõenäosusteooria klassika:

Probleem 5

Kaks laskurit lasid kumbki ühe lasu märklauda. Esimese laskuri tabamuse tõenäosus on 0,8, teisel - 0,6. Leidke tõenäosus, et:

a) märki tabab ainult üks laskur;
b) vähemalt üks laskuritest tabab märklauda.

Lahendus: Ühe laskuri tabamus-/visamismäär on ilmselgelt sõltumatu teise laskuri sooritusest.

Vaatleme sündmusi:
– 1. laskur tabab märklauda;
– 2. laskur tabab märklauda.

Tingimuste järgi:.

Leiame vastupidiste sündmuste tõenäosused - et vastavad nooled jäävad vahele:

a) Arvestage sündmust: – sihtmärki tabab ainult üks laskur. See sündmus koosneb kahest kokkusobimatust tulemusest:

1. laskur tabab Ja 2. jääb vahele
või
1. jääb vahele Ja 2. lööb.

Keele peal sündmuste algebrad see fakt kirjutatakse järgmise valemiga:

Esiteks kasutame teoreemi mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste liitmiseks, seejärel teoreemi sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamiseks:

– tõenäosus, et tuleb ainult üks tabamus.

b) Mõelge sündmusele: – vähemalt üks laskuritest tabab märklauda.

Kõigepealt MÕTLEME – mida tähendab tingimus “VÄHEMALT ÜKS”? Sel juhul tähendab see, et kas esimene laskur tabab (teine ​​lööb mööda) või 2. (1. jääb vahele) või mõlemad laskurid korraga – kokku 3 kokkusobimatut tulemust.

Meetod üks: võttes arvesse eelmise punkti valmistõenäosust, on sündmust mugav esitada järgmiste mitteühilduvate sündmuste summana:

keegi jõuab sinna (sündmus, mis koosneb omakorda kahest kokkusobimatust tulemusest) või
Kui mõlemad nooled tabavad, tähistame seda sündmust tähega .

Seega:

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi kohaselt:
– tõenäosus, et esimene laskur tabab Ja 2. laskur tabab.

Vastavalt mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste liitmise teoreemile:
– vähemalt ühe sihtmärgi tabamuse tõenäosus.

Teine meetod: Mõtle vastupidisele sündmusele: – mõlemad laskurid jäävad vahele.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi kohaselt:

Tulemusena:

Pöörake erilist tähelepanu teisele meetodile - üldiselt on see ratsionaalsem.

Lisaks on selle lahendamiseks alternatiivne, kolmas viis, mis põhineb ühissündmuste liitmise teoreemil, mida eespool ei mainitud.

! Kui tutvute materjaliga esimest korda, siis segaduse vältimiseks on parem järgmine lõik vahele jätta.

Kolmas meetod : sündmused on ühilduvad, mis tähendab, et nende summa väljendab sündmust "vähemalt üks laskur tabab märki" (vt. sündmuste algebra). Kõrval teoreem ühissündmuste tõenäosuste liitmiseks ja sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem:

Kontrollime: sündmused ja (vastavalt 0, 1 ja 2 tabamust) moodustavad täieliku rühma, nii et nende tõenäosuste summa peab võrduma ühega:
, mida oli vaja kontrollida.

Vastus:

Tõenäosusteooriat põhjalikult uurides puutute kokku kümnete militaristliku sisuga probleemidega ja iseloomulikult ei taha te pärast seda kedagi maha lasta - probleemid on peaaegu kingitus. Miks mitte ka malli lihtsustada? Lühendame kirjet:

Lahendus: tingimuse järgi: , – vastavate laskurite tabamise tõenäosus. Siis nende möödalaskmise tõenäosus:

a) Vastavalt mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste liitmise ja sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemidele:
– tõenäosus, et sihtmärki tabab ainult üks laskur.

b) Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi järgi:
– tõenäosus, et mõlemad laskurid eksivad.

Seejärel: – tõenäosus, et vähemalt üks laskuritest tabab märklauda.

Vastus:

Praktikas saate kasutada mis tahes disainivalikut. Muidugi lähevad nad palju sagedamini lühikest teed, kuid me ei tohi unustada esimest meetodit - kuigi see on pikem, on see sisukam - see on selgem, mida, miks ja miks liidab ja korrutab. Mõnel juhul on sobiv hübriidstiil, kui on mugav kasutada suurtähti ainult mõne sündmuse tähistamiseks.

Sarnased ülesanded iseseisvaks lahenduseks:

Probleem 6

Tulekahjust märku andmiseks paigaldatakse kaks iseseisvalt töötavat andurit. Tõenäosused, et andur tulekahju korral tööle hakkab, on esimese ja teise anduri puhul vastavalt 0,5 ja 0,7. Leidke tõenäosus, et tulekahju korral:

a) mõlemad andurid ebaõnnestuvad;
b) mõlemad andurid töötavad.
c) Kasutades teoreem tervikrühma moodustavate sündmuste tõenäosuste liitmiseks, leidke tõenäosus, et tulekahju korral töötab ainult üks andur. Kontrollige tulemust selle tõenäosuse otse arvutamise teel (kasutades liitmise ja korrutamise teoreeme).

Siin on seadmete töö sõltumatus seisukorras otseselt öeldud, mis, muide, on oluline täpsustus. Näidislahendus on kujundatud akadeemilises stiilis.

Mis siis, kui sarnases ülesandes on antud samad tõenäosused, näiteks 0,9 ja 0,9? Täpselt sama pead sa otsustama! (mida tegelikult on näites juba näidatud kahe mündiga)

Probleem 7

Tõenäosus tabada sihtmärki esimese laskuri poolt ühe lasuga on 0,8. Tõenäosus, et märklauda ei tabata pärast seda, kui esimene ja teine ​​laskur tulistavad kumbki ühe lasu, on 0,08. Kui suur on tõenäosus, et teine ​​laskur tabab ühe lasuga sihtmärki?

Ja see on väike pusle, mis on kujundatud lühidalt. Tingimust võib lakoonilisemalt ümber sõnastada, aga originaali ma ümber ei tee – praktikas pean süvenema uhkematesse väljamõeldistesse.

Tutvuge temaga – tema on teie jaoks tohutult palju detaile planeerinud =):

Probleem 8

Töötaja juhib kolme masinat. Tõenäosus, et vahetuse ajal vajab esimene masin reguleerimist, on 0,3, teine ​​- 0,75, kolmas - 0,4. Leidke tõenäosus, et vahetuse ajal:

a) kõik masinad vajavad reguleerimist;
b) reguleerimist vajab ainult üks masin;
c) vähemalt üks masin vajab reguleerimist.

Lahendus: kuna tingimus ei ütle midagi ühe tehnoloogilise protsessi kohta, siis tuleks iga masina tööd käsitleda teiste masinate tööst sõltumatuna.

Analoogiliselt ülesandega nr 5 saab siin arvesse võtta sündmusi, mida vastavad masinad vajavad vahetuse ajal korrigeerimist, panna kirja tõenäosused, leida vastupidiste sündmuste tõenäosused jne. Kuid kolme objektiga ei taha ma enam niimoodi ülesannet vormistada – see osutub pikaks ja tüütuks. Seetõttu on siin märgatavalt tulusam kasutada "kiire" stiili:

Vastavalt tingimusele: – tõenäosus, et vahetuse ajal vajavad vastavad masinad häälestamist. Siis on tõenäosus, et need ei vaja tähelepanu:

Üks lugejatest leidis siit laheda kirjavea, ma isegi ei paranda seda =)

a) Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi järgi:
– tõenäosus, et vahetuse ajal vajavad kõik kolm masinat reguleerimist.

b) Sündmus "Vahetuse ajal vajab reguleerimist ainult üks masin" koosneb kolmest kokkusobimatust tulemusest:

1) 1. masin nõuab tähelepanu Ja 2. masin ei nõua Ja 3. masin ei nõua
või:
2) 1. masin ei nõua tähelepanu Ja 2. masin nõuab Ja 3. masin ei nõua
või:
3) 1. masin ei nõua tähelepanu Ja 2. masin ei nõua Ja 3. masin nõuab.

Vastavalt mitteühilduvuse tõenäosuste liitmise ja sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemidele:

– tõenäosus, et vahetuse ajal vajab reguleerimist ainult üks masin.

Arvan, et nüüdseks peaksite aru saama, kust see väljend pärineb

c) Arvutame tõenäosuse, et masinad ei vaja reguleerimist, ja seejärel vastupidise sündmuse tõenäosuse:
– et vähemalt üks masin vajab reguleerimist.

Vastus:

Punkti “ve” saab lahendada ka summa kaudu, kus on tõenäosus, et vahetuse jooksul vajavad reguleerimist vaid kaks masinat. See sündmus sisaldab omakorda 3 kokkusobimatut tulemust, mida kirjeldatakse analoogia põhjal punktiga "olema". Proovige ise leida tõenäosus, et võrdsust kasutades kontrollida kogu probleemi.

Probleem 9

Kolmest relvast tulistati sihtmärki salve. Ühe lasuga tabamuse tõenäosus ainult esimesest püssist on 0,7, teisest – 0,6, kolmandast – 0,8. Leia tõenäosus, et: 1) vähemalt üks mürsk tabab sihtmärki; 2) sihtmärki tabab ainult kaks mürsku; 3) sihtmärki tabatakse vähemalt kaks korda.

Lahendus ja vastus on tunni lõpus.

Ja veelkord kokkusattumuste kohta: kui tingimuse järgi langevad kokku kaks või isegi kõik algtõenäosuste väärtust (näiteks 0,7, 0,7 ja 0,7), siis tuleks järgida täpselt sama lahendusalgoritmi.

Artikli lõpetuseks vaatame veel üht levinud mõistatust:

Probleem 10

Laskja tabab sihtmärki iga lasuga sama tõenäosusega. Kui suur on see tõenäosus, kui vähemalt ühe tabamuse tõenäosus kolme lasuga on 0,973.

Lahendus: tähistame – tõenäosusega tabada sihtmärki iga lasuga.
ja läbi - iga löögiga möödalaskmise tõenäosus.

Ja paneme sündmused kirja:
– 3 lasuga tabab laskur sihtmärki vähemalt korra;
– tulistaja eksib 3 korda.

Tingimuse järgi siis vastupidise sündmuse tõenäosus:

Teisest küljest, sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreemi kohaselt:

Seega:

- iga löögi korral möödalaskmise tõenäosus.

Tulemusena:
– tabamuse tõenäosus iga lasuga.

Vastus: 0,7

Lihtne ja elegantne.

Vaadeldavas ülesandes saab esitada lisaküsimusi ainult ühe tabamuse, ainult kahe tabamuse ja kolme tabamuse tõenäosuse kohta sihtmärgile. Lahendusskeem on täpselt sama, mis kahes eelmises näites:

Põhimõtteline sisuline erinevus seisneb aga selles, et siin on korduvad sõltumatud testid, mis viiakse läbi järjestikku, üksteisest sõltumatult ja sama tulemuste tõenäosusega.

Õppeasutus "Valgevene riik

Põllumajandusakadeemia"

Kõrgema matemaatika osakond

TÕENÄOSUSTE LIDAMINE JA KORRUTAMINE. KORDUVAD ISESEISEVAD TESTID

Loeng maakorraldusteaduskonna üliõpilastele

kirjavahetuskursused

Gorki, 2012

Tõenäosuste liitmine ja korrutamine. Korduv

sõltumatud testid

Tõenäosuste liitmine

Kahe ühisürituse summa A Ja IN kutsutakse sündmuseks KOOS, mis seisneb vähemalt ühe sündmuse toimumises A või IN. Samamoodi on mitme ühissündmuse summa sündmus, mis koosneb vähemalt ühe neist sündmustest.

Kahe kokkusobimatu sündmuse summa A Ja IN kutsutakse sündmuseks KOOS mis koosneb sündmusest või sündmusest A või sündmused IN. Samamoodi on mitme kokkusobimatu sündmuse summa sündmus, mis koosneb ühe neist sündmustest.

Sobimatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem kehtib: kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga , st. . Seda teoreemi saab laiendada mis tahes piiratud arvule mitteühilduvatele sündmustele.

Sellest teoreemist järeldub:

tervikrühma moodustavate sündmuste tõenäosuste summa on võrdne ühega;

vastandlike sündmuste tõenäosuste summa on võrdne ühega, s.o.
.

Näide 1 . Karbis on 2 valget, 3 punast ja 5 sinist palli. Pallid segatakse ja üks loositakse juhuslikult. Kui suur on tõenäosus, et pall saab värviliseks?

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(tõmmatud värviline pall);

B=(tõmmatud valge pall);

C=(tõmmatud punane pall);

D=(tõmmatud sinine pall).

Siis A= C+ D. Alates sündmustest C, D on vastuolulised, siis kasutame kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmiseks teoreemi: .

Näide 2 . Urnis on 4 valget ja 6 musta palli. Urnist tõmmatakse juhuslikult 3 palli. Kui suur on tõenäosus, et need kõik on sama värvi?

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(tõmmatakse sama värvi pallid);

B=(valged pallid võetakse välja);

C=(mustad pallid võetakse välja).

Sest A= B+ C ja sündmused IN Ja KOOS on vastuolulised, siis kokkusobimatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreemi järgi
. Sündmuse tõenäosus IN võrdne
, Kus
4,

. Asendame k Ja n valemisse ja saamegi
Samamoodi leiame sündmuse tõenäosuse KOOS:
, Kus
,
, st.
. Siis
.

Näide 3 . 36 kaardipakist tõmmatakse juhuslikult välja 4 kaarti. Leidke tõenäosus, et nende hulgas on vähemalt kolm ässa.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(väljavõetud kaartide hulgas on vähemalt kolm ässa);

B=(väljavõetud kaartide hulgas on kolm ässa);

C=(väljavõetud kaartide hulgas on neli ässa).

Sest A= B+ C ja sündmused IN Ja KOOS on siis kokkusobimatud
. Leiame sündmuste tõenäosused IN Ja KOOS:

,
. Seetõttu on tõenäosus, et väljatõmmatud kaartide hulgas on vähemalt kolm ässa, võrdne

0.0022.

Tõenäosuste korrutamine

Töö kaks üritust A Ja IN kutsutakse sündmuseks KOOS, mis seisneb nende sündmuste ühises esinemises:
. See määratlus kehtib mis tahes piiratud arvu sündmuste kohta.

Neid kahte sündmust nimetatakse sõltumatu , kui ühe neist toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas teine ​​sündmus toimus või mitte. Sündmused ,, … ,kutsutakse kollektiivselt sõltumatud , kui nende igaühe toimumise tõenäosus ei sõltu sellest, kas teised sündmused toimusid või ei toimunud.

Näide 4 . Kaks laskurit tulistavad märklauda. Tähistame sündmusi:

A=(esimene laskur tabas märklauda);

B=(teine ​​laskur tabas märklauda).

Ilmselgelt ei sõltu esimese laskuri sihtmärgi tabamise tõenäosus sellest, kas teine ​​laskur tabas või eksis, ja vastupidi. Seetõttu sündmused A Ja IN sõltumatu.

Sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem kehtib: kahe sõltumatu sündmuse korrutise tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste korrutisega : .

See teoreem kehtib ka n kollektiivselt iseseisvad üritused: .

Näide 5 . Kaks laskurit lasevad samasse märklauda. Esimese laskuri tabamise tõenäosus on 0,9 ja teise laskur 0,7. Mõlemad laskurid tulistavad ühe lasu korraga. Määrake tõenäosus, et sihtmärk tabab kaks korda.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A

B

C=(mõlemad laskurid tabavad märklauda).

Sest
ja sündmused A Ja IN on siis iseseisvad
, st.

Sündmused A Ja IN kutsutakse sõltuv , kui ühe neist toimumise tõenäosus sõltub sellest, kas mõni muu sündmus toimus või mitte. Sündmuse toimumise tõenäosus A tingimusel, et sündmus IN see on juba saabunud, seda kutsutakse tingimuslik tõenäosus ja on määratud
või
.

Näide 6 . Urnis on 4 valget ja 7 musta palli. Urnist tõmmatakse pallid. Tähistame sündmusi:

A=(tõmmatud valge pall) ;

B=(must pall tõmmatud).

Enne urnist pallide eemaldamise alustamist
. Urnist võeti üks pall ja see osutus mustaks. Siis sündmuse tõenäosus A pärast üritust IN tuleb teine, võrdne . See tähendab, et sündmuse tõenäosus A oleneb sündmusest IN, st. need sündmused sõltuvad.

Sõltuvate sündmuste tõenäosuste korrutamise teoreem kehtib: kahe sõltuva sündmuse toimumise tõenäosus on võrdne neist ühe tõenäosuse ja teise tingimusliku tõenäosuse korrutisega, mis arvutatakse eeldusel, et esimene sündmus on juba toimunud, st. või.

Näide 7 . Urnis on 4 valget ja 8 punast palli. Sellest tõmmatakse juhuslikult kaks palli. Leidke tõenäosus, et mõlemad pallid on mustad.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(must pall tõmmatakse esimesena);

B=(teine ​​must pall on tõmmatud).

Sündmused A Ja IN sõltuv, sest
, A
. Siis
.

Näide 8 . Kolm laskurit lasevad märklauda üksteisest sõltumatult. Esimese laskuri märklaua tabamise tõenäosus on 0,5, teisel – 0,6 ja kolmandal – 0,8. Leidke tõenäosus, et kui iga laskur sooritab ühe lasu, saab märklauale kaks tabamust.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(sihikule saab kaks tabamust);

B=(esimene laskur tabab märklauda);

C=(teine ​​laskur tabab märklauda);

D=(kolmas laskur tabab märklauda);

=(esimene laskur sihtmärki ei taba);

=(teine ​​laskur ei taba sihtmärki);

=(kolmas laskur sihtmärki ei taba).

Näidistingimuse järgi
,
,
,

,
,
. Kuna kasutades teoreemi mitteühilduvate sündmuste tõenäosuste liitmiseks ja teoreemi sõltumatute sündmuste tõenäosuste korrutamiseks, saame:

Laske sündmustel
moodustavad mõne testi sündmuste ja sündmuste täieliku rühma A võib juhtuda ainult ühe neist sündmustest. Kui sündmuse tõenäosused ja tingimuslikud tõenäosused on teada A, siis sündmuse A tõenäosus arvutatakse valemiga:

või
. Seda valemit nimetatakse kogu tõenäosuse valem ja sündmused
hüpoteesid .

Näide 9 . Koosteliinile saab esimesest masinast 700 detaili ja 300 detaili teisest. Esimene masin toodab 0,5% vanarauda ja teine ​​- 0,7%. Leidke tõenäosus, et võetud osa on defektne.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(võetud osa on defektne);

=(detail tehti esimesel masinal);

=(osa on valmistatud teisel masinal).

Tõenäosus, et detail on valmistatud esimesel masinal, on võrdne
. Teise masina jaoks
. Tingimuse järgi on esimesel masinal tehtud defektse detaili saamise tõenäosus võrdne
. Teise masina puhul on see tõenäosus võrdne
. Seejärel arvutatakse kogu tõenäosuse valemi abil tõenäosus, et võetud osa on defektne

Kui on teada, et testi tulemusena toimus mõni sündmus A, siis tõenäosus, et see sündmus hüpoteesiga aset leidis
, on võrdne
, Kus
- sündmuse kogutõenäosus A. Seda valemit nimetatakse Bayesi valem ja võimaldab arvutada sündmuste tõenäosusi
pärast seda, kui sai teatavaks, et sündmus A on juba saabunud.

Näide 10 . Sama tüüpi autoosi toodetakse kahes tehases ja tarnitakse kauplusesse. Esimene tehas toodab 80% osade koguarvust ja teine ​​- 20%. Esimese tehase tooted sisaldavad 90% standardosadest ja teise tehase tooted 95%. Ostja ostis ühe osa ja see osutus standardseks. Leidke tõenäosus, et see osa on toodetud teises tehases.

Lahendus . Tähistame sündmusi:

A=(standardosa ostetud);

=(osa valmistati esimeses tehases);

=(osa valmistati teises tehases).

Näidistingimuse järgi
,
,
Ja
. Arvutame sündmuse kogutõenäosuse A: 0,91. Arvutame tõenäosuse, et osa valmistati teises tehases, kasutades Bayesi valemit:

.

Ülesanded iseseisvaks tööks

Esimese laskuri märklaua tabamise tõenäosus on 0,8, teisel – 0,7 ja kolmandal – 0,9. Tulistajad lasid igaüks ühe lasu. Leidke tõenäosus, et sihtmärgil on vähemalt kaks tabamust.

Remonditöökoda sai 15 traktorit. Teada on, et 6 neist vajavad mootori väljavahetamist ja ülejäänud üksikud komponendid. Kolm traktorit valitakse juhuslikult. Leidke tõenäosus, et mootori vahetus on vajalik mitte rohkem kui kahe valitud traktori puhul.

Raudbetoonitehases toodetakse paneele, millest 80% on kõrgeima kvaliteediga. Leidke tõenäosus, et kolmest juhuslikult valitud paneelist on vähemalt kaks kõrgeima klassiga.

Kolm töölist panevad laagreid kokku. Tõenäosus, et esimese töötaja poolt kokkupandud laager on kõrgeima kvaliteediga, on 0,7, teise – 0,8 ja kolmanda – 0,6. Kontrollimiseks võeti iga töötaja poolt kokkupandud laagritest juhuslikult üks laager. Leidke tõenäosus, et vähemalt kaks neist on kõrgeima kvaliteediga.

Esimese loosipileti võitmise tõenäosus on 0,2, teise 0,3 ja kolmanda 0,25. Iga numbri jaoks on üks pilet. Leia tõenäosus, et võidab vähemalt kaks piletit.

Raamatupidaja teeb arvutusi kolme teatmeraamatu abil. Tõenäosus, et teda huvitavad andmed on esimeses kataloogis, on 0,6, teises - 0,7 ja kolmandas - 0,8. Leidke tõenäosus, et raamatupidajat huvitavad andmed sisalduvad mitte rohkem kui kahes kataloogis.

Kolm masinat toodavad osi. Esimene masin toodab kõrgeima kvaliteediga osa tõenäosusega 0,9, teine ​​tõenäosusega 0,7 ja kolmas tõenäosusega 0,6. Igast masinast võetakse juhuslikult üks osa. Leidke tõenäosus, et vähemalt kaks neist on kõrgeima kvaliteediga.

Sama tüüpi osi töödeldakse kahel masinal. Esimese masina mittestandardse osa valmistamise tõenäosus on 0,03, teise jaoks - 0,02. Töödeldud osi hoitakse ühes kohas. Nende hulgas on 67% esimesest masinast ja ülejäänud teisest. Juhuslikult võetud osa osutus standardseks. Leidke tõenäosus, et see tehti esimesel masinal.

Töökotta sai kaks kasti sama tüüpi kondensaatoreid. Esimeses karbis oli 20 kondensaatorit, millest 2 olid vigased. Teises karbis on 10 kondensaatorit, millest 3 on vigased. Kondensaatorid pandi ühte kasti. Leidke tõenäosus, et kastist juhuslikult võetud kondensaator on hea.

Kolm masinat toodavad sama tüüpi osi, mis tarnitakse ühisele konveierile. Kõigist osadest on 20% esimesest masinast, 30% teisest ja 505 kolmandast. Esimesel masinal on standarddetaili valmistamise tõenäosus 0,8, teisel – 0,6 ja kolmandal – 0,7. Võetud osa osutus standardseks. Leidke tõenäosus, et see osa valmistati kolmandal masinal.

Monteerija saab tehasest monteerimiseks 40% osadest A, ja ülejäänud - tehasest IN. Tõenäosus, et osa on tehasest A– suurepärane kvaliteet, võrdne 0,8 ja tehasest IN– 0,9. Kokkupanija võttis ühe detaili juhuslikult ja see osutus ebakvaliteetseks. Leidke tõenäosus, et see osa on tehasest pärit IN.

Esimesest rühmast eraldati 10 õpilast ja teisest 8 õpilast õpilasspordivõistlustel. Tõenäosus, et akadeemia võistkonda satub õpilane esimesest rühmast, on 0,8 ja teisest 0,7. Meeskonda kaasati juhuslikult valitud õpilane. Leidke tõenäosus, et ta on esimesest rühmast.

Bernoulli valem

Testid on nn sõltumatu , kui igaühele neist sündmus A toimub sama tõenäosusega
, sõltumata sellest, kas see sündmus ilmnes teistes katsetes või mitte. Vastupidise sündmuse tõenäosus sel juhul võrdub
.

Näide 11 . Täringut visatakse nüks kord. Tähistagem sündmust A=(kolme punkti veeremine). Sündmuse toimumise tõenäosus A igas katses on võrdne ega sõltu sellest, kas see sündmus toimus või ei toimunud teistes katsetes. Seetõttu on need testid sõltumatud. Vastupidise sündmuse tõenäosus
(ei veereta kolme punkti) on võrdne
.

Tõenäosus, et sisse n sõltumatud katsed, millest igaühes on sündmuse toimumise tõenäosus A võrdne lk, toimub sündmus täpselt k korda (pole oluline, millises järjekorras), arvutatuna valemiga
, Kus
. Seda valemit nimetatakse Bernoulli valem ja see on mugav, kui testide arv n ei ole liiga suur.

Näide 12 . Varjatud vormis haigusega nakatunud viljade osakaal on 25%. Juhuslikult valitakse 6 puuvilja. Leidke tõenäosus, et väljavalitute hulgas on: a) täpselt 3 nakatunud vilja; b) mitte rohkem kui kaks nakatunud vilja.

Lahendus . Vastavalt näite tingimustele.

a) Bernoulli valemi järgi on tõenäosus, et kuuest valitud puuviljast nakatub täpselt kolm

0.132.

b) Tähistame sündmust A= (nakatatud ei ole rohkem kui kaks vilja). Siis . Bernoulli valemi järgi:

0.297.

Seega
0.178+0.356+0.297=0.831.

Laplace'i ja Poissoni teoreemid

Bernoulli valemit kasutatakse sündmuse tõenäosuse leidmiseks A tuleb k iga kord n sõltumatud katsed ja igas katses sündmuse tõenäosus A on konstantne. Suurte n väärtuste korral muutuvad Bernoulli valemiga arvutused töömahukaks. Sel juhul sündmuse tõenäosuse arvutamiseks A Parem oleks kasutada teistsugust valemit.

Kohalik Laplace'i teoreem . Laske tõenäosus lk sündmuse toimumine A igas katses on konstantne ja erineb nullist ja ühest. Siis tõenäosus, et sündmus A tuleb täpselt k korda piisavalt suure arvu n katsetega, arvutatakse valemiga

, Kus
ja funktsiooni väärtused
on toodud tabelis.

Funktsiooni peamised omadused
on:

Funktsioon
määratletud ja intervallis pidev
.

Funktsioon
on positiivne, st.
>0.

Funktsioon
isegi, st.
.

Alates funktsioonist
on ühtlane, siis näitab tabel selle väärtusi ainult positiivsete väärtuste korral X.

Näide 13 . Nisuseemnete idanevus on 80%. Katse jaoks valitakse 100 seemet. Leidke tõenäosus, et idaneb täpselt 90 valitud seemet.

Lahendus . Näite järgi n=100, k=90, lk=0.8, q=1-0,8=0,2. Siis
. Tabeli abil leiame funktsiooni väärtuse
:
. Tõenäosus, et täpselt 90 valitud seemnest tärkab, on võrdne
0.0044.

Praktiliste ülesannete lahendamisel on vaja leida sündmuse toimumise tõenäosus A juures n sõltumatud testid mitte vähem üks kord ja mitte rohkem üks kord. See probleem lahendatakse kasutades Laplace'i integraalteoreem : Olgu tõenäosus lk sündmuse toimumine A igas n sõltumatud testid on konstantsed ja erinevad nullist ja ühest. Siis on sündmuse toimumise tõenäosus vähemalt üks kord ja mitte rohkem korda piisavalt suure arvu testidega, arvutatakse valemiga

Kus
,
.

Funktsioon
helistas Laplace'i funktsioon ja seda ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu. Selle funktsiooni väärtused on toodud spetsiaalsetes tabelites.

Funktsiooni peamised omadused
on:

.

Funktsioon
intervall suureneb
.

juures
.

Funktsioon
veider, s.t.
.

Näide 14 . Ettevõte toodab tooteid, millest 13% ei ole just kõige kvaliteetsemad. Määrake tõenäosus, et kõrgeima kvaliteediga toote 150 ühikust koosnevas testimata partiis on vähemalt 125 ja mitte rohkem kui 135.

Lahendus . Tähistame . Arvutame
,