Võrdub juhuslike suuruste summa matemaatilise ootusega. Juhusliku suuruse ootus ja dispersioon

Lisaks jaotusseadustele saab kirjeldada ka juhuslikke muutujaid numbrilised omadused .

Matemaatiline ootus Juhusliku suuruse M (x) nimetatakse selle keskmiseks väärtuseks.

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus arvutatakse valemi abil

Kus – juhuslike muutujate väärtused, lk mina- nende tõenäosused.

Vaatleme matemaatilise ootuse omadusi:

1. Konstandi matemaatiline ootus on võrdne konstandi endaga

2. Kui juhuslik suurus korrutatakse teatud arvuga k, korrutatakse matemaatiline ootus sama arvuga

M (kx) = kM (x)

3. Juhuslike muutujate summa matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste summaga

M (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. M (x 1 - x 2) = M (x 1) - M (x 2)

5. Sõltumatute juhuslike suuruste x 1, x 2, … x n korral on korrutise matemaatiline ootus võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega

M (x 1, x 2, ... x n) = M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

Arvutame näite 11 juhusliku suuruse matemaatilise ootuse.

M(x) = = .

Näide 12. Olgu juhuslikud suurused x 1, x 2 määratud vastavalt jaotusseadustele:

x 1 Tabel 2

x 2 Tabel 3

Arvutame M (x 1) ja M (x 2)

M (x 1) = (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 = 0

M (x 2) = (-20) 0,3 + (-10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 = 0

Mõlema juhusliku suuruse matemaatilised ootused on samad – need on võrdsed nulliga. Nende leviku olemus on aga erinev. Kui x 1 väärtused erinevad nende matemaatilisest ootusest vähe, siis x 2 väärtused erinevad suurel määral nende matemaatilisest ootusest ja selliste kõrvalekallete tõenäosus ei ole väike. Need näited näitavad, et keskmise väärtuse järgi on võimatu kindlaks teha, millised kõrvalekalded sellest esinevad, nii väiksemad kui ka suuremad. Nii et kahe piirkonna ühesuguse aasta keskmise sademete hulga juures ei saa väita, et need alad oleksid põllumajandustöödeks võrdselt soodsad. Samamoodi ei saa keskmise palganäitaja põhjal hinnata kõrge ja madalapalgaliste töötajate osakaalu. Seetõttu võetakse kasutusele numbriline karakteristik - dispersioon D(x) , mis iseloomustab juhusliku suuruse kõrvalekaldumise astet selle keskmisest väärtusest:

D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)

Dispersioon on juhusliku suuruse ruudus kõrvalekalde matemaatiline ootus matemaatilisest ootusest. Diskreetse juhusliku suuruse korral arvutatakse dispersioon järgmise valemi abil:

D(x)= = (3)

Dispersiooni definitsioonist järeldub, et D (x) 0.

Dispersiooni omadused:

1. Konstandi dispersioon on null

2. Kui juhuslik suurus on korrutatud teatud arvuga k, siis dispersioon korrutatakse selle arvu ruuduga

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) = M (x 2) – M 2 (x)

4. Paaripõhiselt sõltumatute juhuslike suuruste x 1 , x 2 , … x n korral on summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga.

D (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

Arvutame näite 11 juhusliku suuruse dispersiooni.

Matemaatiline ootus M (x) = 1. Seega on meil valemi (3) järgi:

D (x) = (0–1) 2 1/4 + (1–1) 2 1/2 + (2–1) 2 1/4 = 1 1/4 + 1 1/4 = 1/2

Pange tähele, et dispersiooni on lihtsam arvutada, kui kasutate atribuuti 3:

D (x) = M (x 2) – M 2 (x).

Arvutame näite 12 juhuslike suuruste x 1 , x 2 dispersioonid selle valemi abil. Mõlema juhusliku suuruse matemaatilised ootused on null.

D (x 1) = 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 = 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 = 0,00204

D (x 2) = (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 = 240 +20 = 260

Mida lähemal on dispersiooni väärtus nullile, seda väiksem on juhusliku suuruse levik keskmise väärtuse suhtes.

Kogust nimetatakse standardhälve. Juhusliku muutuja režiim x diskreetne tüüp Md Nimetatakse suurima tõenäosusega juhusliku suuruse väärtust.

Juhusliku muutuja režiim x pidev tüüp Md, on reaalarv, mis on määratletud kui tõenäosusjaotuse tiheduse f(x) maksimumpunkt.

Juhusliku muutuja mediaan x pidev tüüp Mn on reaalarv, mis rahuldab võrrandit

Matemaatiline ootus on määratlus

Mati ootamine on matemaatilise statistika ja tõenäosusteooria üks olulisemaid mõisteid, mis iseloomustavad väärtuste jaotust või tõenäosused juhuslik muutuja. Tavaliselt väljendatakse juhusliku suuruse kõigi võimalike parameetrite kaalutud keskmisena. Laialdaselt kasutatav tehnilises analüüsis, numbriridade uurimises ning pidevate ja aeganõudvate protsesside uurimisel. See on oluline riskide hindamisel, hinnanäitajate prognoosimisel finantsturgudel kauplemisel ning seda kasutatakse mängutaktika strateegiate ja meetodite väljatöötamisel. hasartmängude teooriad.

Matt ootab- See juhusliku suuruse keskmine väärtus, jaotus tõenäosused tõenäosusteoorias käsitletakse juhuslikku muutujat.

Mati ootamine on tõenäosusteooria juhusliku suuruse keskmise väärtuse mõõt. Kontrollige juhusliku muutuja ootust x tähistatud M(x).

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Mati ootamine on

Mati ootamine on tõenäosusteoorias kõigi võimalike väärtuste kaalutud keskmine, mida juhuslik suurus võib võtta.

Mati ootamine on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutiste summa.

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Mati ootamine on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab kaaluda suurte arvude ja pika vahemaa teooria raames.

Mati ootamine on hasartmängude teoorias võitude summa, mille spekulant võib iga panuse pealt teenida või kaotada. Hasartmängude keeles spekulandid seda nimetatakse mõnikord "eeliseks" spekulant" (kui see on spekulandi jaoks positiivne) või "maja eelis" (kui see on spekulandi jaoks negatiivne).

Matemaatiline ootus (rahvastiku keskmine) on

Wir verwenden Cookies für die beste Präsentation unserer Website. Wenn Sie diese Veebileht weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. Okei

Ootus on juhusliku suuruse tõenäosusjaotus

Matemaatiline ootus, definitsioon, diskreetsete ja pidevate juhuslike muutujate matemaatiline ootus, valim, tingimuslik ootus, arvutus, omadused, probleemid, ootuse hinnang, dispersioon, jaotusfunktsioon, valemid, arvutusnäited

Laiendage sisu

Ahenda sisu

Matemaatiline ootus on määratlus

Üks olulisemaid mõisteid matemaatilises statistikas ja tõenäosusteoorias, mis iseloomustab juhusliku suuruse väärtuste või tõenäosuste jaotust. Tavaliselt väljendatakse juhusliku suuruse kõigi võimalike parameetrite kaalutud keskmisena. Laialdaselt kasutatav tehnilises analüüsis, numbriridade uurimises ning pidevate ja aeganõudvate protsesside uurimisel. See on oluline riskide hindamisel, hinnanäitajate prognoosimisel finantsturgudel kaubeldes ning seda kasutatakse hasartmänguteooria strateegiate ja mängutaktika meetodite väljatöötamisel.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskmist väärtust, tõenäosusteoorias vaadeldakse juhusliku suuruse tõenäosusjaotust.

Matemaatiline ootus on tõenäosusteooria juhusliku suuruse keskmise väärtuse mõõt. Juhusliku muutuja ootus x tähistatud M(x).

Matemaatiline ootus on

Matemaatiline ootus on tõenäosusteoorias kõigi võimalike väärtuste kaalutud keskmine, mida juhuslik suurus võib võtta.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutiste summa.

Matemaatiline ootus on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab kaaluda suurte arvude ja pika vahemaa teooria raames.

Matemaatiline ootus on hasartmängude teoorias võitude summa, mida mängija saab iga panuse kohta keskmiselt teenida või kaotada. Hasartmängukeeles nimetatakse seda mõnikord "mängija eeliseks" (kui see on mängija jaoks positiivne) või "maja eeliseks" (kui see on mängija jaoks negatiivne).

Matemaatiline ootus on kasumi protsent võidu kohta, mis on korrutatud keskmise kasumiga, millest on lahutatud kaotuse tõenäosus korrutatuna keskmise kahjumiga.

Juhusliku suuruse matemaatiline ootus matemaatilises teoorias

Juhusliku muutuja üheks oluliseks numbriliseks tunnuseks on selle matemaatiline ootus. Tutvustame juhuslike muutujate süsteemi mõistet. Vaatleme juhuslike muutujate kogumit, mis on sama juhusliku katse tulemused. Kui on üks süsteemi võimalikest väärtustest, siis vastab sündmus teatud tõenäosusele, mis rahuldab Kolmogorovi aksioome. Funktsiooni, mis on määratletud juhuslike muutujate mis tahes võimalike väärtuste jaoks, nimetatakse ühisjaotuse seaduseks. See funktsioon võimaldab teil arvutada mis tahes sündmuste tõenäosused. Eelkõige on tõenäosuste abil antud juhuslike muutujate ja ühisjaotuse seadus, mis võtavad väärtused hulgast ja.

Mõiste "matemaatiline ootus" võttis kasutusele Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) ja see pärineb mõistest "võitude eeldatav väärtus", mis ilmus esmakordselt 17. sajandil hasartmängude teoorias Blaise Pascali ja Christiaani teostes. Huygens. Esimese täieliku teoreetilise arusaama ja hinnangu sellele kontseptsioonile andis aga Pafnuti Lvovitš Tšebõšev (19. sajandi keskpaik).

Juhuslike arvmuutujate jaotusseadus (jaotusfunktsioon ja jaotusrida ehk tõenäosustihedus) kirjeldab täielikult juhusliku suuruse käitumist. Kuid mitme probleemi puhul piisab püstitatud küsimusele vastamiseks teadmisest uuritava suuruse mõningaid arvulisi omadusi (näiteks selle keskmist väärtust ja võimalikku kõrvalekallet sellest). Juhuslike muutujate peamised numbrilised karakteristikud on matemaatiline ootus, dispersioon, moodus ja mediaan.

Diskreetse juhusliku suuruse matemaatiline ootus on selle võimalike väärtuste ja neile vastavate tõenäosuste korrutiste summa. Mõnikord nimetatakse matemaatilist ootust kaalutud keskmiseks, kuna see on ligikaudu võrdne suure arvu katsete jooksul juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega. Matemaatilise ootuse definitsioonist järeldub, et selle väärtus ei ole väiksem kui juhusliku suuruse väikseim võimalik väärtus ja mitte suurem kui suurim. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on mittejuhuslik (konstantne) muutuja.

Matemaatilisel ootusel on lihtne füüsikaline tähendus: kui asetate ühikulise massi sirgjoonele, asetate teatud massi teatud punktidesse (diskreetse jaotuse jaoks) või "määrige" selle teatud tihedusega (absoluutselt pideva jaotuse jaoks) , siis on matemaatilisele ootusele vastav punkt koordinaat "raskuskese" on sirge.

Juhusliku muutuja keskmine väärtus on teatud arv, mis on justkui selle "esindaja" ja asendab selle ligikaudsetes arvutustes. Kui me ütleme: "lambi keskmine tööaeg on 100 tundi" või "keskmine löögipunkt on sihtmärgi suhtes nihutatud 2 m võrra paremale", osutame juhusliku suuruse teatud arvulisele omadusele, mis kirjeldab selle asukohta. numbriteljel, s.o. "positsiooni omadused".

Positsiooni tunnustest tõenäosusteoorias on kõige olulisem roll juhusliku suuruse matemaatilisel ootusel, mida mõnikord nimetatakse lihtsalt juhusliku suuruse keskmiseks väärtuseks.

Mõelge juhuslikule muutujale X, millel on võimalikud väärtused x1, x2, …, xn tõenäosustega p1, p2, …, pn. Peame mõne numbriga iseloomustama juhusliku suuruse väärtuste asukohta x-teljel, võttes arvesse asjaolu, et nendel väärtustel on erinev tõenäosus. Sel eesmärgil on loomulik kasutada väärtuste nn “kaalutud keskmist”. xi, ja iga väärtust xi tuleks keskmistamisel arvesse võtta selle väärtuse tõenäosusega võrdelise "kaaluga". Seega arvutame juhusliku suuruse keskmise X, mida me tähistame M |X|:

Seda kaalutud keskmist nimetatakse juhusliku suuruse matemaatiliseks ootuseks. Seega võtsime arvesse tõenäosusteooria üht olulisemat mõistet – matemaatilise ootuse mõiste. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on juhusliku suuruse kõigi võimalike väärtuste ja nende väärtuste tõenäosuste korrutis.

X on seotud omapärase sõltuvusega juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmisega suure hulga katsete jooksul. See sõltuvus on sama tüüpi kui sageduse ja tõenäosuse vaheline sõltuvus, nimelt: suure arvu katsete korral läheneb juhusliku muutuja vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine (tõenäosuses läheneb) selle matemaatilisele ootusele. Sageduse ja tõenäosuse vahelise seose olemasolust võib järeldada sarnase seose olemasolu aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel. Tõepoolest, mõelge juhuslikule muutujale X, mida iseloomustab jaotusseeria:

Las toodetakse N sõltumatud katsed, millest igaühes on väärtus X omandab teatud väärtuse. Oletame, et väärtus x1 ilmunud m1 korda, väärtust x2 ilmunud m2 korda, üldine tähendus xi ilmus mi korda. Arvutame välja väärtuse X vaadeldud väärtuste aritmeetilise keskmise, mis erinevalt matemaatilisest ootusest M|X| tähistame M*|X|:

Kasvava arvu katsetega N sagedused pi läheneb (tõenäosuses läheneb) vastavatele tõenäosustele. Järelikult juhusliku suuruse vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine M|X| katsete arvu suurenemisega läheneb see (tõenäosus läheneb) oma matemaatilisele ootusele. Eelpool sõnastatud seos aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel moodustab suurte arvude seaduse ühe vormi sisu.

Teame juba, et suurte arvude seaduse kõik vormid kinnitavad tõsiasja, et mõned keskmised on paljude katsete puhul stabiilsed. Siin räägime sama suuruse vaatluste jada aritmeetilise keskmise stabiilsusest. Väikese arvu katsete korral on nende tulemuste aritmeetiline keskmine juhuslik; katsete arvu piisava suurenemisega muutub see "peaaegu juhuslikuks" ja stabiliseerudes läheneb konstantsele väärtusele - matemaatilisele ootusele.

Paljude katsete keskmiste stabiilsust saab hõlpsasti katseliselt kontrollida. Näiteks laboris täpsetel kaaludel keha kaalumisel saame kaalumise tulemusena iga kord uue väärtuse; Vaatlusvea vähendamiseks kaalume keha mitu korda ja kasutame saadud väärtuste aritmeetilist keskmist. On hästi näha, et katsete (kaalumiste) arvu edasisel suurenemisel reageerib aritmeetiline keskmine sellele tõusule üha vähem ja piisavalt suure katsete arvu korral praktiliselt lakkab muutumast.

Tuleb märkida, et juhusliku suuruse asukoha kõige olulisem tunnus – matemaatiline ootus – ei eksisteeri kõigi juhuslike suuruste puhul. Võimalik on koostada näiteid sellistest juhuslikest suurustest, mille jaoks matemaatilist ootust ei eksisteeri, kuna vastav summa või integraal lahkneb. Kuid sellised juhtumid ei paku praktikale olulist huvi. Tavaliselt on juhuslikel muutujatel, millega me tegeleme, piiratud hulk võimalikke väärtusi ja loomulikult on neil matemaatiline ootus.

Lisaks juhusliku suuruse asukoha kõige olulisematele tunnustele - matemaatilisele ootusele - kasutatakse praktikas mõnikord ka muid positsiooni tunnuseid, eelkõige juhusliku suuruse moodust ja mediaani.

Juhusliku muutuja moodus on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mõiste "kõige tõenäolisem väärtus" kehtib rangelt võttes ainult katkendlike suuruste kohta; pideva suuruse korral on moodus väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne. Joonistel on näidatud vastavalt katkendlike ja pidevate juhuslike muutujate režiim.

Kui jaotuspolügoonil (jaotuskõveral) on rohkem kui üks maksimum, nimetatakse jaotust "multimodaalseks".

Mõnikord on distributsioone, mille miinimum on pigem keskel kui maksimum. Selliseid jaotusi nimetatakse "antimodaalseteks".

Üldjuhul juhusliku suuruse mood ja matemaatiline ootus ei lange kokku. Konkreetsel juhul, kui jaotus on sümmeetriline ja modaalne (st omab moodust) ja on olemas matemaatiline ootus, langeb see kokku jaotuse mooduse ja sümmeetriakeskmega.

Sageli kasutatakse teist positsioonikarakteristikut – juhusliku suuruse nn mediaani. Seda tunnust kasutatakse tavaliselt ainult pidevate juhuslike muutujate jaoks, kuigi seda saab formaalselt määratleda katkendliku muutuja jaoks. Geomeetriliselt on mediaan selle punkti abstsiss, kus jaotuskõveraga ümbritsetud ala jagatakse pooleks.

Sümmeetrilise modaaljaotuse korral langeb mediaan kokku matemaatilise ootuse ja moodusega.

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse keskmine väärtus – juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse arvtunnus. Kõige üldisemalt juhusliku suuruse matemaatiline ootus X(w) on defineeritud kui Lebesgue'i integraal tõenäosusmõõdu suhtes R algses tõenäosusruumis:

Matemaatilise ootuse saab arvutada ka Lebesgue'i integraalina X tõenäosusjaotuse järgi px kogused X:

Lõpmatu matemaatilise ootusega juhusliku suuruse kontseptsiooni saab defineerida loomulikul viisil. Tüüpiline näide on mõnede juhuslike jalutuskäikude tagastusajad.

Matemaatilise ootuse abil määratakse jaotuse paljud numbrilised ja funktsionaalsed karakteristikud (juhusliku suuruse vastavate funktsioonide matemaatilise ootusena), näiteks genereeriv funktsioon, tunnusfunktsioon, mis tahes järku momendid, eelkõige dispersioon, kovariatsioon. .

Matemaatiline ootus on juhusliku suuruse väärtuste asukoha tunnus (selle jaotuse keskmine väärtus). Selles funktsioonis toimib matemaatiline ootus mõne "tüüpilise" jaotusparameetrina ja selle roll on sarnane staatilise momendi - massijaotuse raskuskeskme koordinaadi - rolliga mehaanikas. Teistest asukoha tunnustest, mille abil jaotust üldsõnaliselt kirjeldatakse - mediaanid, moodused, erineb matemaatiline ootus selle suurema väärtuse poolest, mis sellel ja vastaval hajuvuskarakteristikul - dispersioonil - tõenäosusteooria piirteoreemides on. Matemaatilise ootuse tähendust paljastavad kõige täielikumalt suurte arvude seadus (Tšebõševi ebavõrdsus) ja tugevdatud suurte arvude seadus.

Diskreetse juhusliku suuruse ootus

Olgu mõni juhuslik muutuja, mis võib võtta ühe mitmest arvväärtusest (näiteks võib täringu viskamisel punktide arv olla 1, 2, 3, 4, 5 või 6). Sageli tekib praktikas sellise väärtuse puhul küsimus: millist väärtust see suure hulga testide korral "keskmiselt" võtab? Kui suur on meie keskmine sissetulek (või kahjum) igast riskantsest tehingust?

Oletame, et on mingi loterii. Tahame aru saada, kas selles osalemine (või isegi korduvalt, regulaarselt) on tulus või mitte. Oletame, et iga neljas pilet on võitja, auhind on 300 rubla ja iga pileti hind on 100 rubla. Lõpmatult suure osavõtuarvuga see juhtubki. Kolmel neljandikul juhtudest kaotame, iga kolme kaotuse eest tuleb maksta 300 rubla. Igal neljandal juhul võidame 200 rubla. (auhind miinus maksumus), see tähendab, et nelja osaluse korral kaotame keskmiselt 100 rubla, ühe eest - keskmiselt 25 rubla. Kokku saab meie vareme keskmiseks hinnaks 25 rubla pileti kohta.

Me viskame täringut. Kui see ei ole petmine (ilma raskuskeset nihutamata jne), siis mitu punkti meil keskmiselt korraga on? Kuna iga variant on võrdselt tõenäoline, võtame lihtsalt aritmeetilise keskmise ja saame 3,5. Kuna see on KESKMINE, siis ei maksa pahandada, et ükski konkreetne veeremine 3,5 punkti ei anna - no sellel kuubil pole ju sellise numbriga nägu!

Nüüd võtame oma näited kokku:

Vaatame äsja antud pilti. Vasakul on juhusliku suuruse jaotuse tabel. Väärtus X võib võtta ühe n võimalikust väärtusest (näidatud ülemisel real). Muid tähendusi ei saa olla. Iga võimaliku väärtuse all on allpool kirjas selle tõenäosus. Paremal on valem, kus M(X) nimetatakse matemaatiliseks ootuseks. Selle väärtuse tähendus on see, et suure arvu testide korral (suure valimiga) kaldub keskmine väärtus samale matemaatilisele ootusele.

Pöördume uuesti sama mängukuubi juurde. Punktide arvu matemaatiline ootus viskamisel on 3,5 (kui ei usu, arvuta see valemiga ise). Oletame, et viskasid seda paar korda. Tulemused olid 4 ja 6. Keskmine oli 5, mis on kaugel 3,5-st. Viskasid veel ühe korra, said 3 ehk siis keskmiselt (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Matemaatilisest ootusest kuidagi kaugel. Tee nüüd hull katse – veereta kuubikut 1000 korda! Ja isegi kui keskmine ei ole täpselt 3,5, on see selle lähedal.

Arvutame ülalkirjeldatud loterii matemaatilise ootuse. Plaat näeb välja selline:

Siis on matemaatiline ootus, nagu me eespool tuvastasime:

Teine asi on see, et ilma valemita "näppude peal" tegemine oleks raske, kui oleks rohkem võimalusi. Noh, oletame, et 75% kaotab pileteid, 20% võidab pileteid ja 5% eriti võidab.

Nüüd mõned matemaatilise ootuse omadused.

Seda on lihtne tõestada:

Konstantse teguri võib välja võtta matemaatilise ootuse märgina, see tähendab:

See on matemaatilise ootuse lineaarsusomaduse erijuht.

Teine matemaatilise ootuse lineaarsuse tagajärg:

see tähendab, et juhuslike suuruste summa matemaatiline ootus on võrdne juhuslike suuruste matemaatiliste ootuste summaga.

Olgu X, Y sõltumatud juhuslikud muutujad, Siis:

Seda on ka lihtne tõestada) Töö XY ise on juhuslik muutuja ja kui algväärtused võiksid võtta n Ja m väärtused vastavalt siis XY võib võtta nm väärtusi. Iga väärtuse tõenäosus arvutatakse selle põhjal, et sõltumatute sündmuste tõenäosused korrutatakse. Selle tulemusena saame selle:

Pideva juhusliku suuruse ootus

Pidevatel juhuslikel suurustel on selline tunnus nagu jaotustihedus (tõenäosustihedus). See iseloomustab sisuliselt olukorda, et juhuslik muutuja võtab reaalarvude hulgast mõned väärtused sagedamini ja mõned harvemini. Näiteks vaadake seda graafikut:

Siin X- tegelik juhuslik muutuja, f(x)- jaotustihedus. Selle graafiku järgi otsustades katsete ajal väärtus X on sageli nullilähedane arv. Võimalused on ületatud 3 või olla väiksem -3 pigem puhtalt teoreetiline.

Olgu näiteks ühtlane jaotus:

See on üsna kooskõlas intuitiivse mõistmisega. Oletame, et kui saame palju ühtlase jaotusega juhuslikke reaalarve, siis iga segment |0; 1| , siis peaks aritmeetiline keskmine olema umbes 0,5.

Siin on rakendatavad ka diskreetsete juhuslike suuruste puhul kasutatavad matemaatilise ootuse omadused – lineaarsus jne.

Seos matemaatilise ootuse ja muude statistiliste näitajate vahel

Statistilises analüüsis eksisteerib koos matemaatilise ootusega ka üksteisest sõltuvate näitajate süsteem, mis peegeldab nähtuste homogeensust ja protsesside stabiilsust. Variatsiooninäitajad ei oma sageli iseseisvat tähendust ja neid kasutatakse andmete edasiseks analüüsiks. Erandiks on andmete homogeensust iseloomustav variatsioonikordaja, mis on väärtuslik statistiline tunnus.

Protsesside varieeruvuse või stabiilsuse astet statistikateaduses saab mõõta mitme näitaja abil.

Kõige olulisem juhusliku suuruse muutlikkust iseloomustav näitaja on Dispersioon, mis on matemaatilise ootusega kõige tihedamalt ja otsesemalt seotud. Seda parameetrit kasutatakse aktiivselt muud tüüpi statistilises analüüsis (hüpoteeside testimine, põhjus-tagajärg seoste analüüs jne). Nagu keskmine lineaarne hälve, peegeldab dispersioon ka andmete levimise ulatust keskmise väärtuse ümber.

Kasulik on tõlkida märkide keel sõnade keelde. Selgub, et dispersioon on kõrvalekallete keskmine ruut. See tähendab, et kõigepealt arvutatakse keskmine väärtus, seejärel võetakse iga algse ja keskmise väärtuse erinevus, ruudustatakse, liidetakse ja jagatakse seejärel populatsiooni väärtuste arvuga. Individuaalse väärtuse ja keskmise erinevus peegeldab hälbe mõõtu. See on ruudus nii, et kõik hälbed muutuksid eranditult positiivseteks arvudeks ja et nende summeerimisel vältida positiivsete ja negatiivsete hälvete vastastikust hävitamist. Seejärel arvutame ruudus hälbeid arvestades lihtsalt aritmeetilise keskmise. Keskmine – ruut – kõrvalekalded. Kõrvalekalded ruudustatakse ja arvutatakse keskmine. Vastus võlusõnale "dispersioon" peitub vaid kolmes sõnas.

Puhtal kujul, nagu aritmeetiline keskmine või indeks, dispersiooni siiski ei kasutata. See on pigem abi- ja vahenäitaja, mida kasutatakse muud tüüpi statistilise analüüsi jaoks. Sellel pole isegi tavalist mõõtühikut. Valemi järgi otsustades on see algandmete mõõtühiku ruut.

Mõõdame juhuslikku suurust N korda, näiteks mõõdame tuule kiirust kümme korda ja tahame leida keskmist väärtust. Kuidas on keskmine väärtus seotud jaotusfunktsiooniga?

Või viskame täringuid palju kordi. Iga viskega täringule ilmuvate punktide arv on juhuslik suurus ja võib võtta mis tahes loomuliku väärtuse vahemikus 1 kuni 6. Kõikide täringuvisete jaoks arvutatud langenud punktide aritmeetiline keskmine on samuti juhuslik suurus, kuid suurte N see kaldub väga konkreetsele numbrile – matemaatilisele ootusele Mx. Sel juhul Mx = 3,5.

Kuidas sa selle väärtuse said? Laske sisse N testid n1 kui saad 1 punkti, n2üks kord - 2 punkti ja nii edasi. Seejärel tulemuste arv, mille puhul üks punkt langes:

Samamoodi tulemuste puhul, kui visatakse 2, 3, 4, 5 ja 6 punkti.

Oletame nüüd, et teame juhusliku suuruse x jaotusseadust, st teame, et juhuslik suurus x võib võtta väärtusi x1, x2, ..., xk tõenäosustega p1, p2, ..., pk.

Juhusliku suuruse x matemaatiline ootus Mx on võrdne:

Matemaatiline ootus ei ole alati mõne juhusliku muutuja mõistlik hinnang. Seega on keskmise palga hindamisel mõistlikum kasutada mediaani mõistet ehk sellist väärtust, et mediaanist madalamat ja suuremat palka saavate inimeste arv langeb kokku.

Tõenäosus p1, et juhuslik suurus x on väiksem kui x1/2, ja tõenäosus p2, et juhuslik suurus x on suurem kui x1/2, on sama ja võrdne 1/2-ga. Mediaani ei määrata kõigi jaotuste jaoks üheselt.

Standard või standardhälve statistikas nimetatakse vaatlusandmete või kogumite kõrvalekalde astet KESKMISEST väärtusest. Tähistatakse tähtedega s või s. Väike standardhälve näitab, et andmed koonduvad keskmise ümber, samas kui suur standardhälve näitab, et lähteandmed asuvad sellest kaugel. Standardhälve on võrdne suuruse, mida nimetatakse dispersiooniks, ruutjuurega. See on algandmete ruudu erinevuste summa keskmine, mis erineb keskmisest väärtusest. Juhusliku muutuja standardhälve on dispersiooni ruutjuur:

Näide. Katsetingimustes sihtmärki tulistades arvutage juhusliku suuruse dispersioon ja standardhälve:

Variatsioon- tunnuse väärtuse kõikumine, muutuvus üldkogumi üksuste vahel. Uuritavas populatsioonis leitud tunnuse individuaalseid arvväärtusi nimetatakse väärtuste variantideks. Keskmise väärtuse ebapiisav populatsiooni täielikuks iseloomustamiseks sunnib meid täiendama keskmisi väärtusi näitajatega, mis võimaldavad hinnata nende keskmiste tüüpilisust, mõõtes uuritava tunnuse varieeruvust (variatsiooni). Variatsioonikoefitsient arvutatakse järgmise valemi abil:

Variatsioonivahemik(R) tähistab erinevust atribuudi maksimaalse ja minimaalse väärtuse vahel uuritavas populatsioonis. See indikaator annab kõige üldisema ettekujutuse uuritava tunnuse varieeruvusest, kuna see näitab erinevust ainult valikute maksimaalsete väärtuste vahel. Sõltuvus karakteristiku äärmuslikest väärtustest annab variatsiooni ulatusele ebastabiilse juhusliku iseloomu.

Keskmine lineaarne hälve esindab analüüsitud populatsiooni kõigi väärtuste absoluutsete (moodulite) kõrvalekallete aritmeetilist keskmist nende keskmisest väärtusest:

Matemaatiline ootus hasartmängude teoorias

Matemaatiline ootus on Keskmine rahasumma, mille mängur võib antud panusega võita või kaotada. See on mängija jaoks väga oluline kontseptsioon, kuna see on enamiku mängusituatsioonide hindamisel põhiline. Matemaatiline ootus on ka optimaalne vahend põhiliste kaartide paigutuste ja mängusituatsioonide analüüsimiseks.

Oletame, et mängite sõbraga mündimängu, panustades iga kord võrdselt 1 dollari, olenemata sellest, mis ette tuleb. Tails tähendab, et võidad, pead tähendab, et kaotad. Koefitsiendid on üks ühele, et see tuleb pea peale, seega panustate $1 kuni $1. Seega on teie matemaatiline ootus null, sest Matemaatilisest vaatenurgast ei saa sa teada, kas juhid või kaotad kahe viske või 200 järel.

Teie tunnikasum on null. Tunnivõidud on rahasumma, mille loodad tunni jooksul võita. Sa võid visata münti 500 korda tunnis, aga sa ei võida ega kaota, sest... teie võimalused pole positiivsed ega negatiivsed. Kui vaadata, siis tõsise mängija seisukohalt pole see panustamissüsteem halb. Kuid see on lihtsalt ajaraiskamine.

Kuid oletame, et keegi soovib panustada 2 dollarit teie 1 dollari vastu samas mängus. Siis on sul kohe positiivne ootus 50 senti igalt panuselt. Miks 50 senti? Keskmiselt võidad ühe panuse ja kaotad teise. Panusta esimesele dollarile ja kaotad 1 dollari, panusta teise ja võidad 2 dollarit. Panustate 1 dollari kaks korda ja olete 1 dollariga ees. Nii et iga teie ühe dollari panus andis teile 50 senti.

Kui münt ilmub ühe tunni jooksul 500 korda, on teie tunnivõit juba 250 dollarit, sest... Keskmiselt kaotasite ühe dollari 250 korda ja võitsite kaks dollarit 250 korda. $500 miinus $250 võrdub $250, mis on koguvõit. Pange tähele, et eeldatav väärtus, mis on keskmine summa, mille panuse kohta võidate, on 50 senti. Võitsite 250 dollarit, panustades ühe dollari 500 korda, mis võrdub 50 sendiga panuse kohta.

Matemaatilisel ootusel pole lühiajaliste tulemustega mingit pistmist. Teie vastane, kes otsustas teie vastu 2 dollarit panustada, võis teid võita esimesel kümnel viskel järjest, kuid teie, kui teil on 2:1 panustamise eelis, kui kõik muud asjad on võrdsed, teenite 50 senti iga 1 dollari panuse eest asjaolud. Pole vahet, kas võidad või kaotad ühe panuse või mitu panust, kui sul on piisavalt raha, et kulud mugavalt katta. Kui jätkate panustamist samal viisil, siis üle pika aja lähenevad teie võidud üksikute visete ootuste summale.

Iga kord, kui teete parima panuse (panus, mis võib osutuda pikas perspektiivis kasumlikuks), kui koefitsiendid on teie kasuks, võidate sellel kindlasti midagi, olenemata sellest, kas kaotate selle mängus või mitte. antud käsi. Ja vastupidi, kui teete allajäänud panuse (panus, mis on pikas perspektiivis kahjum), kui koefitsiendid on teie vastu, kaotate midagi olenemata sellest, kas võidate või kaotate käe.

Teete parima tulemusega panuse, kui teie ootused on positiivsed, ja see on positiivne, kui koefitsiendid on teie poolel. Kui teete panuse halvima tulemusega, on teil negatiivne ootus, mis juhtub siis, kui koefitsiendid on teie vastu. Tõsised mängijad panustavad ainult parimale tulemusele; kui juhtub halvim, loobivad nad. Mida tähendab koefitsient teie kasuks? Võite lõpuks võita rohkem, kui tegelik koefitsient toob. Maandumispeade tegelik koefitsient on 1:1, kuid koefitsientide suhte tõttu saate 2:1. Sel juhul on tõenäosus teie kasuks. Parima tulemuse saate kindlasti positiivse ootusega 50 senti panuse kohta.

Siin on matemaatilise ootuse keerulisem näide. Sõber kirjutab üles numbrid ühest viieni ja panustab 5 dollarit teie 1 dollari vastu, et te ei arva numbrit ära. Kas peaksite sellise kihlveoga nõustuma? Mis on siin ootus?

Keskmiselt eksite neli korda. Selle põhjal on tõenäosus, et te numbrit arvate, 4:1. Tõenäosus, et te kaotate dollari ühel katsel. Siiski võidate 5:1, võimalusega kaotada 4:1. Seega on koefitsiendid teie kasuks, võite võtta panuse ja loota parimale tulemusele. Kui teete selle panuse viis korda, kaotate keskmiselt neli korda $1 ja võidate ühe korra $5. Selle põhjal teenite kõigi viie katse eest 1 dollari positiivse matemaatilise ootusega 20 senti panuse kohta.

Mängija, kes kavatseb võita rohkem, kui ta panustab, nagu ülaltoodud näites, kasutab võimalusi. Vastupidi, ta rikub oma võimalused, kui loodab võita vähem, kui ta panustab. Panustajal võib olla kas positiivne või negatiivne ootus, mis sõltub sellest, kas ta võidab või rikub koefitsiendi.

Kui panustate 50 dollariga, et võita 10 dollarit võiduvõimalusega 4:1, on teil negatiivne ootus 2 dollarit, sest Keskmiselt võidate neli korda 10 dollarit ja kaotate ühe korra 50 dollarit, mis näitab, et kaotus panuse kohta on 10 dollarit. Aga kui panustate 30 dollariga, et võita 10 dollarit sama võidukoefitsiendiga 4:1, siis sel juhul on teil positiivne ootus 2 dollarit, sest võidate jälle neli korda 10 dollarit ja kaotate üks kord 30 dollarit, saades 10 dollari suuruse kasumi. Need näited näitavad, et esimene panus on halb ja teine hea.

Matemaatiline ootus on iga mänguolukorra keskpunkt. Kui kihlvedude vahendaja julgustab jalgpallifänne panustama 11 dollarit, et võita 10 dollarit, on tal positiivne ootus 50 senti iga 10 dollari pealt. Kui kasiino maksab passiliinilt isegi raha kräppides, siis on kasiino positiivne ootus iga 100 dollari kohta ligikaudu 1,40 dollarit, sest See mäng on üles ehitatud nii, et igaüks, kes sellele reale panustab, kaotab keskmiselt 50,7% ja võidab 49,3% kogu ajast. Kahtlemata toob just see näiliselt minimaalne positiivne ootus tohutut kasumit kasiinoomanikele üle maailma. Vegas Worldi kasiinoomanik Bob Stupak märkis, et "tuhandik ühe protsendi negatiivne tõenäosus piisavalt pika vahemaa jooksul hävitab maailma rikkaima mehe."

Ootused pokkerit mängides

Pokkerimäng on matemaatilise ootuse teooria ja omaduste kasutamise seisukohalt kõige illustreerivam ja illustreerivam näide.

Oodatav väärtus pokkeris on keskmine kasu konkreetsest otsusest, eeldusel, et sellist otsust saab kaaluda suurte numbrite ja pika vahemaa teooria raames. Edukas pokkerimäng on alati aktsepteerida positiivse eeldatava väärtusega käike.

Matemaatilise ootuse matemaatiline tähendus pokkerit mängides seisneb selles, et me puutume otsuste tegemisel sageli kokku juhuslike muutujatega (me ei tea, millised kaardid vastase käes on, millised kaardid tulevad järgmistes panustamisvoorudes). Peame vaatlema iga lahendust suurte arvude teooria seisukohast, mis väidab, et piisavalt suure valimi korral kaldub juhusliku suuruse keskmine väärtus selle matemaatilisele ootusele.

Matemaatilise ootuse arvutamise valemitest on pokkeris kõige enam kasutatav järgmine:

Pokkerit mängides saab arvutada eeldatava väärtuse nii panuste kui ka kõnede puhul. Esimesel juhul tuleks arvesse võtta omakapitali, teisel juhul panga enda koefitsiente. Konkreetse käigu matemaatilist ootust hinnates peaksite meeles pidama, et foldi ootus on alati null. Seega on kaartide äraviskamine alati tulusam otsus kui mis tahes negatiivne käik.

Ootus ütleb teile, mida võite oodata (kasum või kahjum) iga riskitava dollari kohta. Kasiinod teenivad raha, sest kõigi neis mängitavate mängude matemaatiline ootus on kasiino kasuks. Piisavalt pika mängude seeria puhul võite eeldada, et klient kaotab oma raha, kuna "koefitsiendid" on kasiino kasuks. Professionaalsed kasiinomängijad aga piiravad oma mänge lühikeste ajavahemikega, jaotades seeläbi koefitsiendid enda kasuks. Sama kehtib ka investeerimise kohta. Kui teie ootused on positiivsed, võite teenida rohkem raha, tehes lühikese aja jooksul palju tehinguid. Ootus on teie kasumi protsent võidu kohta, mis on korrutatud teie keskmise kasumiga, millest on lahutatud teie kaotuse tõenäosus korrutatuna teie keskmise kahjumiga.

Pokkerit võib käsitleda ka matemaatilise ootuse seisukohast. Võite eeldada, et teatud käik on tulus, kuid mõnel juhul ei pruugi see olla parim, sest mõni teine käik on tulusam. Oletame, et tabasite viie kaardi tõmbepokkeris täismaja. Teie vastane teeb panuse. Tead, et kui tõstad panust, vastab ta. Seetõttu tundub tõstmine olevat parim taktika. Kui aga panust siiski tõstad, loobivad ülejäänud kaks mängijat kindlasti. Kui aga callida, on sul täielik kindlus, et teised kaks mängijat sinu taga teevad sama. Kui tõstate oma panust, saate ühe ühiku ja kui lihtsalt maksate, saate kaks. Seega annab helistamine teile suurema positiivse eeldatava väärtuse ja on parim taktika.

Matemaatiline ootus võib anda aimu ka sellest, millised pokkeritaktikad on vähem tulusad ja millised tulusamad. Näiteks kui mängite kindlat kätt ja arvate, et teie kaotus on keskmiselt 75 senti, sealhulgas ante, siis peaksite seda jaotust mängima, sest see on parem kui voltimine, kui ante on $1.

Teine oluline põhjus eeldatava väärtuse mõistmiseks on see, et see annab teile meelerahu, kas võidate panuse või mitte: kui tegite hea panuse või loobusite õigel ajal, teate, et olete teeninud või mitte. säästis teatud summa raha, mida nõrgem mängija säästa ei suutnud. Palju raskem on loobuda, kui oled ärritunud, sest vastane tõmbas tugevama käe. Kõige selle juures lisatakse teie öö või kuu võitudele raha, mille säästate, kui panuse asemel ei mängi.

Pea meeles, et kui sa vahetaksid oma käsi, oleks vastane sulle helistanud ja nagu näete pokkeri alusteoreemi artiklist, on see vaid üks sinu eelistest. Peaksite olema õnnelikud, kui see juhtub. Võite isegi õppida nautima käe kaotamist, sest teate, et teised teie positsioonil olevad mängijad oleksid kaotanud palju rohkem.

Nagu alguses mündimängu näites mainitud, on kasumi tunnimäär omavahel seotud matemaatilise ootusega ning see kontseptsioon on eriti oluline professionaalsete mängijate jaoks. Kui lähete pokkerit mängima, peaksite vaimselt hindama, kui palju võite ühe mängutunni jooksul võita. Enamikul juhtudel peate toetuma oma intuitsioonile ja kogemustele, kuid võite kasutada ka matemaatikat. Näiteks mängite lowballi loosimist ja näete, et kolm mängijat panustavad 10 dollarit ja vahetavad seejärel kaks kaarti, mis on väga halb taktika. Saate aru saada, et iga kord, kui nad panustavad 10 dollarit, kaotavad nad umbes 2 dollarit. Igaüks neist teeb seda kaheksa korda tunnis, mis tähendab, et kõik kolm kaotavad umbes 48 dollarit tunnis. Olete üks ülejäänud neljast mängijast, kes on ligikaudu võrdsed, seega peavad need neli mängijat (ja teie nende seas) jagama 48 dollarit, millest igaüks teenib 12 dollarit tunnis. Teie tunnikoefitsient on sel juhul lihtsalt võrdne teie osaga rahasummast, mille kaotasid kolm halba mängijat tunnis.

Pika aja jooksul on mängija koguvõidud tema matemaatiliste ootuste summa üksikutes kätes. Mida rohkem käsi mängid positiivse ootusega, seda rohkem võidad ja vastupidi, mida rohkem käsi mängid negatiivse ootusega, seda rohkem kaotad. Selle tulemusena peaksite valima mängu, mis võib teie positiivset ootust maksimeerida või negatiivset ootust tühistada, et saaksite oma tunnivõitu maksimeerida.

Positiivne matemaatiline ootus mängustrateegias

Kui oskad kaarte lugeda, võib sul olla kasiino ees eelis, kui nad seda ei märka ja sind välja viskavad. Kasiinod armastavad purjus mängijaid ja ei salli kaarte lugevaid mängijaid. Eelis võimaldab teil võita rohkem kordi kui kaotada aja jooksul. Hea rahahaldus, kasutades eeldatava väärtuse arvutusi, aitab teil teenida rohkem kasumit ja vähendada kahjumit. Ilma eeliseta on parem raha heategevuseks anda. Mängus börsil annab eelise mängusüsteem, mis loob suuremat kasumit kui kahjumid, hinnavahed ja komisjonitasud. Ükski rahahaldus ei päästa halba mängusüsteemi.

Positiivne ootus on defineeritud kui väärtus, mis on suurem kui null. Mida suurem see arv, seda tugevam on statistiline ootus. Kui väärtus on väiksem kui null, on ka matemaatiline ootus negatiivne. Mida suurem on negatiivse väärtuse moodul, seda hullem on olukord. Kui tulemus on null, on ooteaeg tulus. Võita saab ainult siis, kui sul on positiivne matemaatiline ootus ja mõistlik mängusüsteem. Intuitsiooni järgi mängimine viib katastroofini.

Matemaatiline ootus ja aktsiatega kauplemine

Matemaatiline ootus on finantsturgudel börsil kauplemisel üsna laialt kasutatav ja populaarne statistiline näitaja. Esiteks kasutatakse seda parameetrit kauplemise edukuse analüüsimiseks. Pole raske arvata, et mida kõrgem on see väärtus, seda rohkem on põhjust pidada uuritavat tehingut edukaks. Loomulikult ei saa kaupleja tööd analüüsida ainult selle parameetriga. Arvutatud väärtus koos teiste töökvaliteedi hindamismeetoditega võib aga analüüsi täpsust oluliselt tõsta.

Kauplemiskonto jälgimise teenustes arvutatakse sageli matemaatilist ootust, mis võimaldab kiiresti hinnata hoiuse kallal tehtud tööd. Erandid hõlmavad strateegiaid, mis kasutavad kahjumlike tehingute väljastamist. Kauplejal võib mõnda aega vedada ja seetõttu ei pruugi tema töös üldse kahjusid tekkida. Sel juhul ei saa juhinduda ainult matemaatilisest ootusest, sest töös kasutatavaid riske ei võeta arvesse.

Turukauplemisel kasutatakse matemaatilist ootust kõige sagedamini mis tahes kauplemisstrateegia kasumlikkuse ennustamisel või kaupleja sissetulekute ennustamisel tema varasema kauplemise statistiliste andmete põhjal.

Raha haldamisega seoses on väga oluline mõista, et negatiivsete ootustega tehingute tegemisel puudub rahahaldusskeem, mis võiks kindlasti tuua kõrget kasumit. Kui jätkate nendel tingimustel börsil mängimist, siis olenemata sellest, kuidas te oma raha haldate, kaotate kogu oma konto, olenemata sellest, kui suur see alguses oli.

See aksioom kehtib mitte ainult negatiivse ootusega mängude või tehingute kohta, vaid ka võrdsete võimalustega mängude kohta. Seetõttu on ainus kord, kui teil on võimalus pikaajaliselt kasumit teenida, kui teete positiivse eeldatava väärtusega tehinguid.

Erinevus negatiivse ootuse ja positiivse ootuse vahel on erinevus elu ja surma vahel. Pole tähtis, kui positiivne või negatiivne ootus on; Oluline on vaid see, kas see on positiivne või negatiivne. Seetõttu peaksite enne raha haldamise kaalumist leidma positiivsete ootustega mängu.

Kui sul seda mängu pole, siis kogu maailma rahahaldus sind ei päästa. Teisest küljest, kui teil on positiivne ootus, saate õige rahahalduse abil muuta selle eksponentsiaalseks kasvufunktsiooniks. Pole tähtis, kui väike on positiivne ootus! Teisisõnu, pole vahet, kui tulus on kauplemissüsteem, mis põhineb ühel lepingul. Kui teil on süsteem, mis võidab 10 dollarit lepingu kohta tehingu kohta (pärast vahendustasusid ja libisemist), saate kasutada rahahaldustehnikaid, et muuta see tulusamaks kui süsteem, mille keskmine hind on 1000 dollarit tehingu kohta (pärast komisjonitasude ja libisemise mahaarvamist).

Tähtis pole see, kui kasumlik süsteem oli, vaid see, kui kindel on, et süsteem näitab tulevikus vähemalt minimaalset kasumit. Seetõttu on kõige olulisem ettevalmistus, mida kaupleja teha saab, tagada, et süsteem näitaks tulevikus positiivset oodatavat väärtust.

Et omada tulevikus positiivset eeldatavat väärtust, on väga oluline mitte piirata oma süsteemi vabadusastmeid. See saavutatakse mitte ainult optimeeritavate parameetrite kõrvaldamise või vähendamisega, vaid ka võimalikult paljude süsteemireeglite vähendamisega. Iga lisatav parameeter, iga tehtud reegel, iga väike muudatus süsteemis vähendab vabadusastmete arvu. Ideaalis peate ehitama üsna primitiivse ja lihtsa süsteemi, mis teenib pidevalt väikest kasumit peaaegu igal turul. Jällegi on oluline mõista, et süsteemi kasumlikkusel pole vahet, kui see on kasumlik. Kauplemisel teenitud raha teenitakse tõhusa rahahalduse kaudu.

Kauplemissüsteem on lihtsalt tööriist, mis annab teile positiivse eeldatava väärtuse, et saaksite kasutada rahahaldust. Süsteemid, mis töötavad (näitavad vähemalt minimaalset kasumit) ainult ühel või mõnel turul või millel on erinevate turgude jaoks erinevad reeglid või parameetrid, ei tööta tõenäoliselt piisavalt kaua reaalajas. Enamiku tehniliselt orienteeritud kauplejate probleem seisneb selles, et nad kulutavad liiga palju aega ja jõupingutusi kauplemissüsteemi erinevate reeglite ja parameetrite väärtuste optimeerimisele. See annab täiesti vastupidised tulemused. Selle asemel, et raisata energiat ja arvutiaega kauplemissüsteemi kasumi suurendamisele, suunake oma energia minimaalse kasumi saamise usaldusväärsuse tõstmisele.

Teades, et raha haldamine on vaid numbrite mäng, mis nõuab positiivsete ootuste kasutamist, võib kaupleja lõpetada aktsiakaubanduse "püha graali" otsimise. Selle asemel saab ta hakata oma kauplemismeetodit testima, uurida, kui loogiline see meetod on ja kas see annab positiivseid ootusi. Õiged rahahaldusmeetodid, mida rakendatakse mis tahes, isegi väga keskpäraste kauplemismeetodite puhul, teevad ülejäänud töö ise ära.

Iga kaupleja töös edu saavutamiseks peab ta lahendama kolm kõige olulisemat ülesannet: . Tagada, et edukate tehingute arv ületaks vältimatuid vigu ja valearvestusi; Seadistage oma kauplemissüsteem nii, et teil oleks võimalus võimalikult sageli raha teenida; Saavutage oma tegevusega stabiilseid positiivseid tulemusi.

Ja siin, meile, töötavatele kauplejatele, võib matemaatiline ootus suureks abiks olla. See termin on tõenäosusteoorias üks võtmetähtsusega termineid. Selle abil saate anda mõne juhusliku väärtuse keskmise hinnangu. Juhusliku suuruse matemaatiline ootus on sarnane raskuskeskmega, kui kujutada kõiki võimalikke tõenäosusi erineva massiga punktidena.

Seoses kauplemisstrateegiaga kasutatakse selle efektiivsuse hindamiseks kõige sagedamini matemaatilist kasumiootust (või kahjumit). See parameeter on määratletud kui antud kasumi- ja kahjumitasemete produktide ja nende esinemise tõenäosuse summa. Näiteks eeldatakse väljatöötatud kauplemisstrateegias, et 37% kõigist tehingutest toovad kasumit ja ülejäänud osa - 63% - on kahjumlikud. Samal ajal on eduka tehingu keskmine tulu 7 dollarit ja keskmine kahjum 1,4 dollarit. Arvutame selle süsteemi abil kauplemise matemaatilise ootuse:

Mida see number tähendab? Seal öeldakse, et selle süsteemi reegleid järgides saame igalt suletud tehingult keskmiselt 1708 dollarit. Kuna saadud tõhususe reiting on nullist suurem, saab sellist süsteemi kasutada reaalseks tööks. Kui arvutuse tulemusel osutub matemaatiline ootus negatiivseks, siis see viitab juba keskmisele kahjumile ja selline kauplemine toob kaasa hävingu.

Kasumi suurust tehingu kohta saab väljendada ka suhtelise väärtusena % kujul. Näiteks:

– tulu protsent 1 tehingu kohta - 5%;

– edukate kauplemistehingute osakaal - 62%;

– kahjumi protsent 1 tehingu kohta - 3%;

– ebaõnnestunud tehingute osakaal - 38%;

See tähendab, et keskmine kaubandus toob 1,96%.

Võimalik on välja töötada süsteem, mis hoolimata kahjumlike tehingute ülekaalust annab positiivse tulemuse, kuna selle MO>0.

Siiski ei piisa ainult ootamisest. Raske on raha teenida, kui süsteem annab väga vähe kauplemissignaale. Sel juhul on selle kasumlikkus võrreldav pangaintressiga. Las iga operatsioon toodab keskmiselt ainult 0,5 dollarit, aga mis siis, kui süsteem hõlmab 1000 toimingut aastas? See on suhteliselt lühikese aja jooksul väga märkimisväärne summa. Sellest järeldub loogiliselt, et hea kauplemissüsteemi teiseks eripäraks võib pidada lühikest positsioonide hoidmise perioodi.

Allikad ja lingid

dic.academic.ru – akadeemiline veebisõnastik

mathematics.ru – matemaatikat käsitlev hariv veebisait

nsu.ru – Novosibirski Riikliku Ülikooli haridusveebisait

webmath.ru on haridusportaal üliõpilastele, taotlejatele ja koolilastele.

exponenta.ru hariduslik matemaatiline veebisait

ru.tradimo.com – tasuta veebikaubanduskool

crypto.hut2.ru – multidistsiplinaarne teabeallikas

poker-wiki.ru – tasuta pokkeri entsüklopeedia

sernam.ru – valitud loodusteaduslike publikatsioonide teaduslik raamatukogu

reshim.su – veebisait LAHENDAME testkursuste probleeme

unfx.ru – Forex UNFX-is: koolitus, kauplemissignaalid, usalduse haldamine

slovopedia.com – Sloveenia suur entsüklopeediline sõnaraamat

pokermansion.3dn.ru – Sinu teejuht pokkerimaailmas

statanaliz.info – infoblogi “Andmete statistiline analüüs”

forex-trader.rf – Forex-Traderi portaal

megafx.ru – praegune Forexi analüüs

fx-by.com – kõik kaupleja jaoks

Tõenäosusteooria on matemaatika eriharu, mida õpivad ainult kõrgkoolide üliõpilased. Kas teile meeldivad arvutused ja valemid? Kas teid ei hirmuta väljavaade tutvuda diskreetse juhusliku suuruse normaaljaotuse, ansamblientroopia, matemaatilise ootuse ja dispersiooniga? Siis on see teema teile väga huvitav. Tutvume selle teadusharu mitme olulisema põhimõistega.

Meenutagem põhitõdesid

Isegi kui mäletate tõenäosusteooria lihtsamaid kontseptsioone, ärge jätke tähelepanuta artikli esimesi lõike. Asi on selles, et ilma selge arusaama põhitõdedest ei saa te allpool käsitletud valemitega töötada.

Niisiis, juhtub mõni juhuslik sündmus, mõni eksperiment. Tehtavate toimingute tulemusena võime saada mitmeid tulemusi – mõned neist esinevad sagedamini, teised harvemini. Sündmuse tõenäosus on ühte tüüpi tegelikult saadud tulemuste arvu ja võimalike tulemuste koguarvu suhe. Ainult teades selle mõiste klassikalist definitsiooni, saate hakata uurima pidevate juhuslike muutujate matemaatilisi ootusi ja hajuvust.

Keskmine

Kooliajal, matemaatikatundides, hakkasite töötama aritmeetilise keskmisega. Seda mõistet kasutatakse tõenäosusteoorias laialdaselt ja seetõttu ei saa seda ignoreerida. Meie jaoks on hetkel peamine, et me seda juhusliku suuruse matemaatilise ootuse ja dispersiooni valemites kohtame.

Meil on arvude jada ja me tahame leida aritmeetilise keskmise. Meilt nõutakse vaid, et võtame kokku kõik saadaolevad ja jagame jada elementide arvuga. Olgu meil arvud 1 kuni 9. Elementide summa võrdub 45-ga ja me jagame selle väärtuse 9-ga. Vastus: - 5.

Dispersioon

Teaduslikus mõttes on dispersioon tunnuse saadud väärtuste aritmeetilisest keskmisest kõrvalekallete keskmine ruut. Seda tähistatakse ühe suure ladina tähega D. Mida on selle arvutamiseks vaja? Jada iga elemendi jaoks arvutame olemasoleva arvu ja aritmeetilise keskmise erinevuse ja selle ruuduga. Väärtusi on täpselt nii palju, kui võib olla selle sündmuse tulemusi, mida me kaalume. Järgmisena võtame kokku kõik saadud ja jagame jada elementide arvuga. Kui meil on viis võimalikku tulemust, jagage viiega.

Dispersioonil on ka omadusi, mida tuleb meeles pidada, et seda probleemide lahendamisel kasutada. Näiteks juhusliku suuruse suurendamisel X korda suureneb dispersioon X ruudus korda (st X*X). See ei ole kunagi väiksem kui null ega sõltu väärtuste nihutamisest võrdsetes kogustes üles või alla. Lisaks on sõltumatute katsete korral summa dispersioon võrdne dispersioonide summaga.

Nüüd peame kindlasti kaaluma näiteid diskreetse juhusliku suuruse dispersioonist ja matemaatilisest ootusest.

Oletame, et tegime 21 katset ja saime 7 erinevat tulemust. Me vaatlesime neid kõiki vastavalt 1, 2, 2, 3, 4, 4 ja 5 korda. Millega võrdub dispersioon?

Esmalt arvutame aritmeetilise keskmise: elementide summa on loomulikult 21. Jagage see 7-ga, saades 3. Nüüd lahutage igast algse jada arvust 3, ruudustage iga väärtus ja liidage tulemused kokku. Tulemuseks on 12. Nüüd ei pea me tegema muud, kui jagama arvu elementide arvuga ja tundub, et see on kõik. Aga seal on konks! Arutame seda.

Sõltuvus katsete arvust

Selgub, et dispersiooni arvutamisel võib nimetaja sisaldada ühte kahest numbrist: kas N või N-1. Siin on N tehtud katsete arv või jada elementide arv (mis on sisuliselt sama asi). Millest see oleneb?

Kui testide arvu mõõdetakse sadades, siis nimetajasse tuleb panna N. Kui ühikutes, siis N-1. Teadlased otsustasid piiri tõmmata üsna sümboolselt: täna läbib see arvu 30. Kui tegime vähem kui 30 katset, siis jagame summa N-1-ga ja kui rohkem, siis N-ga.

Ülesanne

Tuleme tagasi meie näite juurde dispersiooni ja matemaatilise ootuse probleemi lahendamisest. Saime vahenumbri 12, mis oli vaja jagada N või N-1-ga. Kuna tegime 21 katset, mis on vähem kui 30, siis valime teise variandi. Seega on vastus: dispersioon on 12/2 = 2.

Oodatud väärtus

Liigume edasi teise kontseptsiooni juurde, mida peame selles artiklis käsitlema. Matemaatiline ootus on kõigi võimalike tulemuste liitmise tulemus, mis on korrutatud vastavate tõenäosustega. Oluline on mõista, et saadud väärtus ja ka dispersiooni arvutamise tulemus saadakse kogu probleemi kohta ainult üks kord, olenemata sellest, kui palju tulemusi selles arvesse võetakse.

Matemaatilise ootuse valem on üsna lihtne: me võtame tulemuse, korrutame selle tõenäosusega, lisame sama teise, kolmanda tulemuse jne jaoks. Kõike selle mõistega seonduvat pole keeruline arvutada. Näiteks on eeldatavate väärtuste summa võrdne summa eeldatava väärtusega. Sama kehtib ka töö kohta. Mitte iga tõenäosusteooria suurus ei võimalda selliseid lihtsaid tehteid sooritada. Võtame ülesande ja arvutame kahe uuritud mõiste tähenduse korraga. Pealegi segas meid teooria – aeg on harjutada.

Üks näide veel

Tegime 50 katset ja saime 10 erinevat tüüpi tulemusi – numbreid 0 kuni 9 –, mis esinesid erineva protsendimääraga. Need on vastavalt: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Tuletage meelde, et tõenäosuste saamiseks peate protsendiväärtused jagama 100-ga. Seega saame 0,02; 0,1 jne. Toome näite juhusliku suuruse dispersiooni ja matemaatilise ootuse ülesande lahendamisest.

Aritmeetilise keskmise arvutame valemiga, mida mäletame põhikoolist: 50/10 = 5.

Nüüd teisendame tõenäosused tulemuste arvuks "tükkidena", et oleks lihtsam loendada. Saame 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 ja 9. Igast saadud väärtusest lahutame aritmeetilise keskmise, misjärel ruudustame kõik saadud tulemused. Vaadake, kuidas seda teha, kasutades näitena esimest elementi: 1 - 5 = (-4). Järgmiseks: (-4) * (-4) = 16. Muude väärtuste puhul tehke need toimingud ise. Kui tegite kõik õigesti, saate pärast nende kõigi liitmist 90.

Jätkame dispersiooni ja eeldatava väärtuse arvutamist, jagades 90 N-ga. Miks valime N-1 asemel N? Õige, sest tehtud katsete arv ületab 30. Seega: 90/10 = 9. Saime dispersiooni. Kui saate teistsuguse numbri, ärge heitke meelt. Tõenäoliselt tegite arvutustes lihtsa vea. Kontrollige veel kord üle, mida kirjutasite, ja tõenäoliselt loksub kõik paika.

Lõpuks pidage meeles matemaatilise ootuse valem. Me ei anna kõiki arvutusi, kirjutame ainult vastuse, mida saate kontrollida pärast kõigi vajalike protseduuride sooritamist. Eeldatav väärtus on 5,48. Tuletagem vaid meelde, kuidas toiminguid teha, kasutades näitena esimesi elemente: 0*0.02 + 1*0.1... ja nii edasi. Nagu näete, korrutame tulemuse väärtuse lihtsalt selle tõenäosusega.

Hälve

Teine dispersiooni ja matemaatiliste ootustega tihedalt seotud mõiste on standardhälve. Seda tähistatakse kas ladina tähtedega sd või kreeka väiketähtedega "sigma". See kontseptsioon näitab, kui palju väärtused keskmiselt kesksest tunnusest kõrvale kalduvad. Selle väärtuse leidmiseks peate arvutama dispersiooni ruutjuure.

Kui joonistate normaaljaotuse graafiku ja soovite ruudus hälvet otse sellel näha, saab seda teha mitmes etapis. Võtke pool pildist režiimist vasakule või paremale (keskväärtus), tõmmake horisontaalteljega risti nii, et saadud kujundite alad oleksid võrdsed. Segmendi suurus jaotuse keskkoha ja sellest tuleneva projektsiooni vahel horisontaalteljele tähistab standardhälvet.

Tarkvara

Nagu valemite kirjeldustest ja toodud näidetest näha, ei ole dispersiooni ja matemaatilise ootuse arvutamine aritmeetilisest seisukohast kõige lihtsam protseduur. Et mitte aega raisata, on mõttekas kasutada kõrgkoolides kasutatavat programmi - selle nimi on “R”. Sellel on funktsioonid, mis võimaldavad arvutada paljude mõistete väärtusi statistikast ja tõenäosusteooriast.

Näiteks määrate väärtuste vektori. Seda tehakse järgmiselt: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Lõpuks

Dispersioon ja matemaatiline ootus on ilma milleta on raske tulevikus midagi välja arvutada. Ülikoolide loengute põhikursusel räägitakse neist juba aine õppimise esimestel kuudel. Just nende lihtsate mõistete mittemõistmise ja arvutamisoskuse tõttu hakkavad paljud tudengid kohe programmis maha jääma ja saavad hiljem sessi lõpus halbu hindeid, mis jätab nad ilma stipendiumidest.

Harjutage vähemalt üks nädal, pool tundi päevas, lahendades ülesandeid, mis on sarnased käesolevas artiklis esitatud ülesannetega. Seejärel saate mis tahes tõenäosusteooria testis näidetega hakkama ilma kõrvaliste näpunäidete ja petulehtedeta.

Ülesanne 1. Nisuseemnete idanemise tõenäosus on 0,9. Kui suur on tõenäosus, et neljast külvatud seemnest tärkab vähemalt kolm?

Lahendus. Las sündmus A– 4 seemnest tärkab vähemalt 3 seemet; sündmus IN– 4 seemnest tärkab 3 seemet; sündmus KOOS– 4 seemnest tärkab 4 seemet. Tõenäosuste liitmise teoreemi järgi

Tõenäosused
Ja
määrame Bernoulli valemiga, mida rakendatakse järgmisel juhul. Las sari peetakse P sõltumatud testid, mille käigus on sündmuse toimumise tõenäosus konstantne ja võrdne R, ja selle sündmuse mittetoimumise tõenäosus on võrdne
. Siis tõenäosus, et sündmus A V P testid ilmuvad täpselt korda, arvutatuna Bernoulli valemiga

Kus
– kombinatsioonide arv P elemendid poolt . Siis

Nõutav tõenäosus

2. ülesanne. Nisuseemnete idanemise tõenäosus on 0,9. Leidke tõenäosus, et 400 külvatud seemnest tärkab 350 seemet.

Lahendus. Arvutage nõutav tõenäosus
Bernoulli valemi kasutamine on arvutuste kohmakuse tõttu keeruline. Seetõttu rakendame ligikaudset valemit, mis väljendab Laplace'i lokaalset teoreemi:

Kus
Ja
.

Probleemsetest tingimustest. Siis

Lisade tabelist 1 leiame. Nõutav tõenäosus on võrdne

3. ülesanne. Nisuseemned sisaldavad 0,02% umbrohtu. Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult 10 000 seemet valides leitakse 6 umbrohuseemet?

Lahendus. Laplace'i lokaalse teoreemi rakendamine väikese tõenäosuse tõttu
toob kaasa tõenäosuse olulise kõrvalekalde täpsest väärtusest
. Seetõttu väikeste väärtustega R arvutada
rakendage asümptootilist Poissoni valemit

, Kus.

Seda valemit kasutatakse siis, kui
, ja seda vähem R ja veel P, seda täpsem on tulemus.

Vastavalt probleemi tingimustele
;
. Siis

4. ülesanne. Nisuseemnete idanevus on 90%. Leidke tõenäosus, et 500 külvatud seemnest tärkab 400 kuni 440 seemet.

Lahendus. Kui sündmuse toimumise tõenäosus A igas P testid on konstantsed ja võrdsed R, siis tõenäosus
et sündmus A sellistes katsetes pole vähem üks kord ja mitte rohkem ajad, mis on määratud Laplace'i integraalteoreemiga järgmise valemiga:

, Kus

,
.

Funktsioon
nimetatakse Laplace'i funktsiooniks. Lisades (tabel 2) on toodud selle funktsiooni väärtused
. Kell
funktsiooni
. Negatiivsete väärtuste jaoks X Laplace'i funktsiooni veidruse tõttu
. Laplace'i funktsiooni kasutades on meil:

Vastavalt ülesande tingimustele. Ülaltoodud valemeid kasutades leiame
Ja :

5. ülesanne. Diskreetse juhusliku suuruse jaotuse seadus on antud X:

Leia: 1) matemaatiline ootus; 2) dispersioon; 3) standardhälve.

Lahendus. 1) Kui diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus on antud tabeliga

Kui esimesel real on juhusliku suuruse x väärtused ja teisel real on nende väärtuste tõenäosused, siis arvutatakse matemaatiline ootus valemi abil

2) dispersioon
diskreetne juhuslik suurus X nimetatakse matemaatiliseks ootuseks juhusliku suuruse ruudus hälbele tema matemaatilisest ootusest, s.o.

See väärtus iseloomustab ruudu hälbe keskmist oodatavat väärtust X alates
. Viimasest valemist, mis meil on

Dispersioon
võib leida ka muul viisil, lähtudes selle järgmisest omadusest: dispersioon
võrdne juhusliku suuruse ruudu matemaatilise ootuse vahega X ja selle matemaatilise ootuse ruut
, see on

Arvutada
koostame järgmise suuruse jaotuse seaduse
:

3) Juhusliku suuruse võimalike väärtuste hajumise iseloomustamiseks selle keskmise väärtuse ümber võetakse kasutusele standardhälve
juhuslik muutuja X, võrdne dispersiooni ruutjuurega
, see on

Sellest valemist saame:

6. ülesanne. Pidev juhuslik muutuja X mis on antud kumulatiivse jaotusfunktsiooniga

Leia: 1) diferentsiaaljaotuse funktsioon
; 2) matemaatiline ootus
; 3) dispersioon
.

Lahendus. 1) Diferentsiaaljaotuse funktsioon
pidev juhuslik suurus X nimetatakse kumulatiivse jaotusfunktsiooni tuletiseks
, see on

Otsitav diferentsiaalfunktsioon on järgmisel kujul:

2) Kui pidev juhuslik suurus X antud funktsiooniga
, siis selle matemaatiline ootus määratakse valemiga

Alates funktsioonist
juures
ja kell
on võrdne nulliga, siis viimasest valemist, mis meil on

3) dispersioon
määrame valemiga

Ülesanne 7. Osa pikkus on normaaljaotusega juhuslik suurus, mille matemaatiline ootus on 40 mm ja standardhälve 3 mm. Leia: 1) tõenäosus, et suvaliselt võetud osa pikkus on suurem kui 34 mm ja väiksem kui 43 mm; 2) tõenäosus, et detaili pikkus kaldub kõrvale oma matemaatilisest ootusest mitte rohkem kui 1,5 mm.

Lahendus. 1) Lase X- osa pikkus. Kui juhuslik suurus X antud diferentsiaalfunktsiooniga
, siis tõenäosus, et X võtab segmendile kuuluvaid väärtusi
, määratakse valemiga