Kiiruse ja kiirenduse mõisted on loomulikult üldistatud juhul, kui materiaalne punkt liigub mööda kõverjooneline trajektoor. Liikuva punkti asukoht trajektooril määratakse raadiusvektoriga r mingist kindlast punktist siia punkti tõmmatud KOHTA, näiteks koordinaatide alguspunkt (joonis 1.2). Laske ajahetkel t materiaalne punkt on paigas M raadiusvektoriga r = r (t). Mõne aja pärast D t, liigub see asendisse M 1 raadiusega - vektor r 1 = r (t+ D t). Raadius - materiaalse punkti vektor saab juurdekasvu, mille määrab geomeetriline erinevus D r = r 1 - r . Keskmine kiirus aja jooksul D t nimetatakse koguseks
Keskmise kiiruse suund V kolmap tikud vektori suunaga D r .
Keskmine kiiruspiirang punktis D t® 0, st raadiuse tuletis - vektor r aja järgi
(1.9)
helistas tõsi või vahetu materiaalse punkti kiirus. Vektor V suunatud tangentsiaalselt liikuva punkti trajektoorile.
Kiirendus A nimetatakse vektoriks, mis on võrdne kiirusvektori esimese tuletisega V ehk raadiuse teine tuletis – vektor r aja järgi:
(1.10)
(1.11)
Pangem tähele järgmist formaalset analoogiat kiiruse ja kiirenduse vahel. Suvalisest fikseeritud punktist O 1 joonistame kiirusevektori V liikuv punkt igal võimalikul ajal (joon. 1.3).
Vektori lõpp V helistas kiiruspunkt. Kiiruspunktide geomeetriline asukoht on kõver, mida nimetatakse kiirushodograaf. Kui materiaalne punkt kirjeldab trajektoori, liigub vastav kiiruspunkt piki hodograafi.
Riis. 1.2 erineb joonisest fig. 1.3 ainult märgete järgi. Raadius – vektor r asendatakse kiirusvektoriga V , materiaalne punkt - kiiruspunktini, trajektoor - hodograafini. Matemaatilised tehted vektoriga r kiiruse leidmisel ja vektori kohal V leidmisel on kiirendused täiesti identsed.
Kiirus V mis on suunatud mööda tangentsiaalset trajektoori. Sellepärast kiirendusa suunatakse tangentsiaalselt kiirushodograafile. Võib öelda, et kiirendus on kiiruspunkti liikumise kiirus piki hodograafi. Seega
Arvestades keha kõverjoonelist liikumist, näeme, et selle kiirus on erinevatel hetkedel erinev. Isegi juhul, kui kiiruse suurus ei muutu, on kiiruse suund siiski muutuv. Üldjuhul muutuvad nii kiiruse suurus kui ka suund.
Seega kõverjoonelise liikumise ajal muutub kiirus pidevalt, nii et see liikumine toimub kiirendusega. Selle kiirenduse (suuruses ja suunas) määramiseks on vaja leida kiiruse muutus vektorina, st leida kiiruse suuruse juurdekasv ja selle suuna muutus.
Riis. 49. Kiiruse muutus kõvera liikumise ajal
Olgu näiteks kõverjooneliselt liikuval punktil (joonis 49) mingil hetkel kiirus ja lühikese aja pärast kiirus. Kiiruse juurdekasv on erinevus vektorite ja . Kuna neil vektoritel on erinevad suunad, peate võtma nende vektorite erinevuse. Kiiruse juurdekasvu väljendatakse vektorina, mida kujutab rööpküliku diagonaaliga külg ja teine külg. Kiirendus on kiiruse suurenemise suhe ajavahemikusse, mille jooksul see suurenemine toimus. See tähendab kiirendust
Suund langeb kokku vektoriga.
Valides piisavalt väikese, jõuame hetkekiirenduse mõisteni (vrd § 16); kui see on suvaline, siis vektor esindab keskmist kiirendust teatud aja jooksul.
Kiirenduse suund kõverjoonelise liikumise ajal ei lange kokku kiiruse suunaga, samas kui sirgjoonelise liikumise korral need suunad langevad kokku (või on vastupidised). Kiirenduse suuna leidmiseks kõverjoonelise liikumise ajal piisab, kui võrrelda kiiruste suundi kahes trajektoori lähedases punktis. Kuna kiirused on suunatud trajektoori puutujaga, siis saab trajektoori enda kuju järgi järeldada, millises suunas trajektoorilt kiirendus on suunatud. Tõepoolest, kuna kiiruste erinevus kahes trajektoori lähedases punktis on alati suunatud selles suunas, kus trajektoor on kõver, tähendab see, et kiirendus on alati suunatud trajektoori nõgususele. Näiteks kui pall veereb mööda kõverat renni (joonis 50), siis selle kiirendus lõikude kaupa ja on suunatud nooltega näidatud viisil ning see ei sõltu sellest, kas pall veereb suunast või vastupidises suunas.
Riis. 50. Kiirendused kõverjoonelise liikumise ajal on alati suunatud trajektoori nõgususele
Riis. 51. Tuletada tsentripetaalkiirenduse valem
Vaatleme punkti ühtlast liikumist mööda kõverjoonelist trajektoori. Teame juba, et see on kiirendatud liikumine. Leiame kiirenduse. Selleks piisab, kui arvestada kiirendusega ühtlase liikumise erijuhul ringis. Võtame kaks lähiasendit ja liikuva punkti, mida eraldab lühike periood (joon. 51, a). Liikumispunkti kiirused sisse ja on suuruselt võrdsed, kuid erineva suunaga. Leiame nende kiiruste erinevuse kolmnurga reegli abil (joon. 51, b). Kolmnurgad ja on sarnased, nagu võrdsete tippnurkadega võrdhaarsed kolmnurgad. Kiiruse suurenemist teatud aja jooksul tähistava külje pikkuseks saab määrata , kus on soovitud kiirenduse moodul. Sellega sarnane külg on kaare kõõl; Kaare väiksuse tõttu võib selle kõõlu pikkuse võtta ligikaudu võrdseks kaare pikkusega, s.o. . Edasi, 
; , kus on trajektoori raadius. Kolmnurkade sarnasusest järeldub, et nende sarnaste külgede suhted on võrdsed:
kust leiame soovitud kiirenduse mooduli:
Kiirenduse suund on akordiga risti. Piisavalt lühikeste ajavahemike puhul võime eeldada, et kaare puutuja kattub praktiliselt selle kõõluga. See tähendab, et kiirendust võib pidada suunatuks risti (tavaliselt) trajektoori puutujaga, st mööda raadiust ringi keskpunktini. Seetõttu nimetatakse sellist kiirendust normaalseks ehk tsentripetaalseks kiirenduseks.
Kui trajektooriks ei ole ring, vaid suvaline kõverjoon, siis tuleks valemis (27.1) võtta antud punktis kõverale lähim ringjoone raadius. Normaalkiirenduse suund on sel juhul samuti risti trajektoori puutujaga antud punktis. Kui kõverjoonelise liikumise ajal on kiirenduse suurus ja suund konstantne, võib selle leida kiiruse suurenemise ja ajaperioodi suhtena, mille jooksul see juurdekasv toimus, olenemata sellest, milline see ajaperiood on. See tähendab, et sel juhul saab kiirenduse leida valemi abil
sarnane valemiga (17.1) pideva kiirendusega sirgjoonelise liikumise jaoks. Siin on keha kiirus algmomendil, a on kiirus ajahetkel.
Punkti kinemaatika. Tee. Liikumine. Kiirus ja kiirendus. Nende projektsioonid koordinaattelgedele. Läbitud vahemaa arvutamine. Keskmised väärtused.
Punkti kinemaatika- kinemaatika haru, mis uurib materiaalsete punktide liikumise matemaatilist kirjeldamist. Kinemaatika põhiülesanne on kirjeldada liikumist matemaatilise aparaadi abil, tuvastamata selle liikumise põhjuseid.
Tee ja liikumine. Sirget, mida mööda keha punkt liigub, nimetatakse liikumise trajektoor. Tee pikkust nimetatakse läbitud tee. Trajektoori algus- ja lõpp-punkti ühendavat vektorit nimetatakse liigub. Kiirus- keha liikumiskiirust iseloomustav vektorfüüsikaline suurus, mis on arvuliselt võrdne lühikese aja jooksul toimunud liikumise suhtega selle intervalli väärtusesse. Ajavahemik loetakse piisavalt väikeseks, kui kiirus ebaühtlase liikumise ajal selle aja jooksul ei muutunud. Kiiruse määrav valem on v = s/t. Kiiruse ühik on m/s. Praktikas kasutatakse kiirusühikut km/h (36 km/h = 10 m/s). Kiirust mõõdetakse spidomeetriga.
Kiirendus- kiiruse muutumise kiirust iseloomustav vektorfüüsikaline suurus, mis on arvuliselt võrdne kiiruse muutuse ja ajaperioodi suhtega, mille jooksul see muutus toimus. Kui kiirus muutub kogu liikumise vältel võrdselt, saab kiirenduse arvutada valemiga a=Δv/Δt. Kiirendusühik – m/s 2
Kiirus ja kiirendus kõvera liikumise ajal. Tangentsiaalsed ja normaalkiirendused.
Kõverjoonelised liikumised– liigutused, mille trajektoorid ei ole sirged, vaid kõverad.
Kurviline liikumine– see on alati liikumine koos kiirendusega, isegi kui absoluutkiirus on konstantne. Konstantse kiirendusega kõverjooneline liikumine toimub alati tasapinnal, kus paiknevad punkti kiirendusvektorid ja algkiirused. Konstantse kiirendusega tasapinnas kõverjoonelise liikumise korral xOy prognoosid v x Ja v y selle kiirus teljel Ox Ja Oy ja koordinaadid x Ja y punktid igal ajal t määratud valemitega
v x = v 0 x +a x t, x=x 0 +v 0 x t+a x t+a x t 2 /2; v y = v 0 y + a y t, y = y 0 + v 0 y t + a y t 2 /2
Kõverajoonelise liikumise erijuhtum on ringliikumine. Ringliikumine, isegi ühtlane, on alati kiirendatud liikumine: kiirusmoodul on alati suunatud trajektoorile tangentsiaalselt, muutudes pidevalt suunda, mistõttu ringliikumine toimub alati tsentripetaalkiirendusega |a|=v 2 /r kus r– ringi raadius.
Ringjoonel liikudes on kiirendusvektor suunatud ringi keskpunkti poole ja risti kiirusvektoriga.
Kõverjoonelise liikumise korral võib kiirendust esitada normaal- ja tangentsiaalkomponendi summana: ,
Tavaline (tsentripetaalne) kiirendus on suunatud trajektoori kõveruskeskme poole ja iseloomustab kiiruse muutumist suunas:
v – hetkkiiruse väärtus, r– trajektoori kõverusraadius antud punktis.
Tangentsiaalne (tangentsiaalne) kiirendus on suunatud trajektoorile tangentsiaalselt ja iseloomustab kiiruse mooduli muutust.
Kogukiirendus, millega materiaalne punkt liigub, on võrdne:
Tangentsiaalne kiirendus iseloomustab liikumiskiiruse muutumise kiirust arvväärtusega ja on suunatud tangentsiaalselt trajektoorile.
Seega
Tavaline kiirendus iseloomustab kiiruse muutumise kiirust suunas. Arvutame vektori:
4. Jäiga keha kinemaatika. Pöörlemine ümber fikseeritud telje. Nurkkiirus ja kiirendus. Nurk- ja lineaarkiiruste ning kiirenduste seos.
Pöörleva liikumise kinemaatika.
Keha liikumine võib olla nii translatiivne kui ka pöörlev. Sel juhul kujutatakse keha materiaalsete punktide süsteemina, mis on omavahel jäigalt seotud.
Translatsioonilise liikumise ajal liigub kehasse tõmmatud sirgjoon iseendaga paralleelselt. Trajektoori kuju järgi võib translatsiooniline liikumine olla sirgjooneline või kõverjooneline. Translatsioonilise liikumise ajal muudavad jäiga keha kõik punktid sama aja jooksul liikumise suuruse ja suunaga võrdseks. Järelikult on ka kõigi keha punktide kiirused ja kiirendused igal ajahetkel ühesugused. Translatsioonilise liikumise kirjeldamiseks piisab ühe punkti liikumise määramisest.
Jäiga keha pöörlev liikumine ümber fikseeritud telje nimetatakse sellist liikumist, mille käigus kõik keha punktid liiguvad ringidena, mille keskpunktid asuvad samal sirgel (pöörlemisteljel).
Pöörlemistelg võib läbida keha või asuda sellest väljaspool. Kui pöörlemistelg läbib keha, siis teljel asuvad punktid jäävad keha pöörlemisel puhkeasendisse. Jäika keha punktid, mis asuvad pöörlemisteljest erinevatel kaugustel võrdse aja jooksul, läbivad erinevaid vahemaid ja seetõttu on neil erinev joonkiirus.
Kui keha pöörleb ümber fikseeritud telje, läbivad keha punktid sama aja jooksul sama nurkliikumise. Moodul on võrdne keha pöörlemisnurgaga ümber telje ajas , on nurknihke vektori suund kere pöörlemissuunaga ühendatud kruvireegliga: kui ühendada kruvi pöörlemissuunad keha pöörlemissuunaga, siis vektor langeb kokku kruvi translatsioonilise liikumisega. Vektor on suunatud piki pöörlemistelge.
Nurknihke muutumise kiiruse määrab nurkkiirus - ω. Analoogiliselt lineaarse kiirusega mõisted keskmine ja hetkeline nurkkiirus:
Nurkkiirus- vektorkogus.
Nurkkiiruse muutumise kiirust iseloomustab keskmine ja hetkeline
nurkkiirendus.
Vektor ja võib kattuda vektoriga ja olla sellele vastand
Kõverjoonelise liikumise ajal muutub kiirusvektori suund. Samal ajal võib muutuda ka selle moodul, st pikkus. Sel juhul jagatakse kiirendusvektor kaheks komponendiks: trajektoori puutuja ja trajektooriga risti (joonis 10). Komponenti nimetatakse tangentsiaalne(tangentsiaalne) kiirendus, komponent – normaalne(tsentripetaalne) kiirendus.
Kiirendus kõvera liikumise ajal
Tangentsiaalne kiirendus iseloomustab lineaarkiiruse muutumise kiirust ja normaalkiirendus liikumissuuna muutumise kiirust.
Kogukiirendus võrdub tangentsiaalse ja normaalkiirenduse vektorsummaga:
(15)
Kogukiirenduse moodul on võrdne:
.
Vaatleme punkti ühtlast liikumist ümber ringi. Kus 
Ja 
. Olgu vaadeldaval ajahetkel t punkt positsioonis 1 (joonis 11). Pärast aega Δt on punkt positsioonis 2, olles läbinud raja Δs, võrdne kaarega 1-2. Sel juhul punkti v kiirus suureneb Δv, mille tulemusena pöörleb kiirusvektor, jäädes suuruselt muutumatuks, läbi nurga Δφ
, mis kattub pikkuselt kaarel põhineva kesknurgaga Δs:
(16)
kus R on ringi raadius, mida mööda punkt liigub. Leiame kiirusvektori juurdekasvu Selleks liigutame vektorit 
nii et selle algus langeb kokku vektori algusega. Seejärel kujutatakse vektorit lõiguga, mis on tõmmatud vektori lõpust vektori lõpuni . See segment on võrdhaarse kolmnurga alus, mille küljed ja ja nurk Δφ tipus. Kui nurk Δφ on väike (mis kehtib väikese Δt puhul), saame selle kolmnurga külgedele ligikaudu kirjutada:
.
Asendades siin Δφ väärtusest (16), saame vektori mooduli avaldise:
.
Jagades võrrandi mõlemad pooled Δt-ga ja minnes piirini, saame tsentripetaalse kiirenduse väärtuse:
Siin on kogused v Ja R on konstantsed, nii et neid saab viia piirmärgist kaugemale. Suhtepiirang on kiiruse moodul 
Seda nimetatakse ka lineaarseks kiiruseks.
Kumerusraadius
Ringjoone R raadiust nimetatakse kõverusraadius trajektoorid. R-i pöördväärtust nimetatakse trajektoori kõveruseks:
.
kus R on kõnealuse ringi raadius. Kui α on ringjoone s kaarele vastav kesknurk, siis, nagu teada, kehtib seos R, α ja s vahel:
s = Ra. (18)
Kumerusraadiuse mõiste kehtib mitte ainult ringi, vaid ka mis tahes kõverjoone kohta. Kumerusraadius (või selle pöördväärtus - kõverus) iseloomustab joone kõverusastet. Mida väiksem on kõverusraadius (vastavalt, seda suurem on kõverus), seda tugevamalt on joon kõver. Vaatame seda kontseptsiooni lähemalt.
Lameda joone kõverusring teatud punktis A on punkti A ja veel kahte punkti B 1 ja B 2 läbiva ringi piirasend, kui need lähenevad punktile A lõpmatult (joonisel 12 on kõver joonistatud pidev joon ja kõverusring punktiirjoonega). Kumerusringi raadius annab kõnealuse kõvera kõverusraadiuse punktis A ja selle ringi keskpunkt annab sama punkti A kõvera kõveruskeskme.
Punktides B 1 ja B 2 tõmmake punkte B 1, A ja B 2 läbiva ringi puutujad B 1 D ja B 2 E. Nende puutujate B 1 C ja B 2 C normaalid tähistavad ringi raadiusi R ja lõikuvad selle keskpunktis C. Toome sisse nurga Δα normaalide B1 C ja B 2 C vahel; ilmselgelt võrdub see puutujate B 1 D ja B 2 E vahelise nurgaga. Tähistame punktide B 1 ja B 2 vahelise kõvera lõiku Δs-ga. Seejärel vastavalt valemile (18):
.
Lameda kõverjoone kõverusring
Tasapinnakõvera kõveruse määramine erinevates punktides
Joonisel fig. Joonisel 13 on kujutatud lameda joone kõverusringe erinevates punktides. Punktis A 1, kus kõver on lamedam, on kõverusraadius suurem kui punktis A 2, joone kõverus punktis A 1 on väiksem kui punktis A 2. Punktis A 3 on kõver isegi lamedam kui punktides A 1 ja A 2, seega on kõverusraadius selles punktis suurem ja kõverus väiksem. Lisaks asub punktis A 3 olev kõverusring teisel pool kõverat. Seetõttu omistatakse kõveruse väärtusele selles punktis punktides A 1 ja A 2 kõveruse märgile vastandmärk: kui punktides A 1 ja A 2 olevat kõverust peetakse positiivseks, siis punktis A 3 olev kõverus on negatiivne.
Kinemaatika uurib liikumist, tuvastamata selle liikumise põhjuseid. Kinemaatika on mehaanika haru. Kinemaatika põhiülesanne on punktide või kehade ajas liikumise asukoha ja karakteristikute matemaatiline määramine.
Põhilised kinemaatilised suurused:
- Liiguta () - algus- ja lõpp-punkti ühendav vektor.
r – raadiuse vektor, määrab MT asukoha ruumis.
- Kiirus– tee ja aja suhe .
- Tee- punktide kogum, mida keha läbis.
- Kiirendus - kiiruse muutumise kiirus, st kiiruse esimene tuletis.
2. Kiirendus kõvera liikumise ajal: normaal- ja tangentsiaalne kiirendus. Lame pöörlemine. Nurkkiirus, kiirendus.
Kurviline liikumine on liikumine, mille trajektooriks on kõverjoon. Kõverjoonelise liikumise näide on planeetide liikumine, kella osuti ots piki sihverplaati jne.
Kurviline liikumine– see on alati kiirendatud liikumine. See tähendab, et kiirendus kõverjoonelise liikumise ajal on alati olemas, isegi kui kiirusmoodul ei muutu, vaid muutub ainult kiiruse suund.
Kiiruse muutus ajaühiku kohta – see on tangentsiaalne kiirendus:
Kus 𝛖 τ , 𝛖 0 on vastavalt kiiruse väärtused ajahetkel t 0 + Δt ja t 0. Tangentsiaalne kiirendus trajektoori antud punktis langeb suund kokku keha liikumiskiiruse suunaga või on sellele vastupidine.
Tavaline kiirendus on kiiruse muutus ajaühikus:
Tavaline kiirendus suunatud piki trajektoori kõverusraadiust (pöörlemistelje suunas). Tavaline kiirendus on kiiruse suunaga risti.
Täielik kiirendus keha ühtlaselt muutuva kõverjoonelise liikumise korral on see võrdne:
-nurkkiirus näitab nurka, mille kaudu punkt pöörleb ühtlasel liikumisel ringjoonel ajaühikus. SI ühik on rad/s.
Lame pöörlemine on kõigi kehapunktide kiirusvektorite pöörlemine ühes tasapinnas.
3. Seos materiaalse punkti kiiruse ja nurkkiiruse vektorite vahel. Tavaline, tangentsiaalne ja täiskiirendus.
Tangentsiaalne (tangentsiaalne) kiirendus– see on kiirendusvektori komponent, mis on suunatud piki trajektoori puutujat liikumistrajektoori antud punktis. Tangentsiaalne kiirendus iseloomustab kiiruse mooduli muutumist kõverjoonelise liikumise ajal.
Tavaline (tsentripetaalne) kiirendus on kiirendusvektori komponent, mis on suunatud piki normaalset liikumistrajektoorile keha trajektoori antud punktis. See tähendab, et normaalkiirenduse vektor on risti lineaarse liikumiskiirusega (vt joonis 1.10). Tavakiirendus iseloomustab kiiruse muutumist suunas ja seda tähistatakse tähega n. Tavaline kiirendusvektor on suunatud piki trajektoori kõverusraadiust.
Täielik kiirendus kõverjoonelisel liikumisel koosneb see tangentsiaalsest ja normaalkiirendusest vastavalt vektorite liitmise reeglile ning määratakse valemiga.