Murdude vähendamine on vajalik selleks, et murdosa oleks suurem lihtne vaade, näiteks avaldise lahendamise tulemusena saadud vastuses.
Murdude taandamine, määratlus ja valem.
Mis on murdude vähendamine? Mida tähendab murdosa vähendamine?
Definitsioon:
Murdude vähendamine- see on murdosa lugeja ja nimetaja jagamine samaks asjaks positiivne arv Mitte võrdne nulliga ja üks. Redutseerimise tulemusena saadakse väiksema lugeja ja nimetajaga murd, mis on võrdne eelmise murruga vastavalt.
Valem fraktsioonide vähendamiseks peamine vara ratsionaalsed arvud.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Vaatame näidet:
Vähenda murdosa \(\frac(9)(15)\)
Lahendus:
Saame murdosa laiendada peamised tegurid ja vähendada ühiseid tegureid.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(punane) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Vastus: pärast redutseerimist saime murdosa \(\frac(3)(5)\). Ratsionaalarvude põhiomaduse järgi on alg- ja tulemmurrud võrdsed.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Kuidas murdosasid vähendada? Murru redutseerimine selle taandamatule kujule.
Et saaksime tulemuse kätte taandamatu murdosa, vaja leida suurim ühine jagaja(NOD) murru lugeja ja nimetaja jaoks.
GCD leidmiseks on mitu võimalust; näites kasutame arvude jaotamist algteguriteks.
Hankige taandamatu murd \(\frac(48)(136)\).
Lahendus:
Leiame GCD(48, 136). Kirjutame arvud 48 ja 136 algteguriteks.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48; 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\värv(punane) (2 \ korda 2 \ korda 2) \ korda 2 \ korda 3) (\värv (punane) (2 \ korda 2 \ korda 2) \ korda 17)=\frac(\värv(punane) (6) \ korda 2 \ korda 3) (\värv(punane) (6) \ korda 17)=\frac(2 \ korda 3) (17)=\ frac(6)(17)\)
Murru redutseerimise reegel taandamatuks vormiks.
- Peate leidma lugeja ja nimetaja suurima ühise jagaja.
- Jagamise tulemusel taandamatu murdu saamiseks peate lugeja ja nimetaja jagama suurima ühise jagajaga.
Näide:
Vähendage murdosa \(\frac(152)(168)\).
Lahendus:
Leiame GCD(152, 168). Kirjutame arvud 152 ja 168 algteguriteks.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152; 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\värv(punane) (6) \ korda 19)(\värv(punane) (6) \ korda 21)=\frac(19)(21)\)
Vastus: \(\frac(19)(21)\) on taandamatu murd.
Sobimatute murdude vähendamine.
Kuidas lõigata vale murd?
Murdude vähendamise reeglid on õigete ja valede murdude puhul samad.
Vaatame näidet:
Vähendage vale murdosa \(\frac(44)(32)\).
Lahendus:
Kirjutame lugeja ja nimetaja lihtsateks teguriteks. Ja siis vähendame ühiseid tegureid.
\(\frac(44)(32)=\frac(\värv(punane) (2 \ korda 2 ) \ korda 11) (\ värv (punane) (2 \ korda 2 ) \ korda 2 \ korda 2 \ korda 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Segafraktsioonide vähendamine.
Segamurrud järgivad samu reegleid kui tavalised murrud. Ainus erinevus on see, et me saame ära puuduta tervet osa, vaid murdosa vähendada või segafraktsioon teisendada valeks murdeks, vähendada ja teisendada tagasi õigeks murdarvuks.
Vaatame näidet:
Tühistage segamurd \(2\frac(30)(45)\).
Lahendus:
Lahendame selle kahel viisil:
Esimene viis:
Kirjutame murdosa lihtsateks teguriteks, kuid me ei puuduta kogu osa.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \ korda \värv (punane) (5 \ korda 3)) (3 \ korda \värv (punane) (5 \ korda 3)) = 2\ frac(2)(3)\)
Teine viis:
Teisendame selle esmalt valeks murdeks ja kirjutame seejärel algteguriteks ja vähendame. Teisendame saadud valemurru õigeks murruks.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30) (45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(punane) (5 \ korda 3) \ korda 2 \ korda 2) (3 \ korda \ värv (punane) (3 \ korda 5)) = \ frac (2 \ korda 2 \ korda 2) (3) = \ frac (8) (3)= 2\frac(2)(3)\)
Seotud küsimused:
Kas saate liitmisel või lahutamisel murde vähendada?
Vastus: ei, kõigepealt tuleb vastavalt reeglitele lisada või lahutada murde ja alles siis neid vähendada. Vaatame näidet:
Hinnake avaldist \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Lahendus:
Sageli teevad nad lühendamise vea samad numbrid Meie puhul on lugeja ja nimetaja arv 20, kuid neid ei saa vähendada enne, kui olete liitmise ja lahutamise lõpetanud.
\(\frac(50+\värv(punane) (20)-10)(\värv(punane) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Milliste arvude võrra saate murdosa vähendada?
Vastus: Murru saab vähendada suurima ühisteguri või lugeja ja nimetaja ühisjagaja võrra. Näiteks murd \(\frac(100)(150)\).
Kirjutame arvud 100 ja 150 algteguriteks.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Suurim ühine jagaja on arv gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Saime taandamatu murru \(\frac(2)(3)\).
Kuid alati pole vaja jagada gcd-ga; taandamatut murdu pole alati vaja; murdu saab vähendada lugeja ja nimetaja lihtsa jagajaga. Näiteks arvudel 100 ja 150 on ühine jagaja 2. Vähendame murdosa \(\frac(100)(150)\) 2 võrra.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Saime taandatava murru \(\frac(50)(75)\).
Milliseid fraktsioone saab vähendada?
Vastus: Saate vähendada murde, milles lugejal ja nimetajal on ühine jagaja. Näiteks murd \(\frac(4)(8)\). Arvudel 4 ja 8 on arv, millega nad mõlemad jaguvad – arv 2. Seetõttu saab sellist murdosa arvu 2 võrra vähendada.
Näide:
Võrrelge kahte murdosa \(\frac(2)(3)\) ja \(\frac(8)(12)\).
Need kaks murdosa on võrdsed. Vaatame murdu \(\frac(8)(12)\ lähemalt:
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)
Siit saame \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Kaks murdosa on võrdsed siis ja ainult siis, kui üks neist saadakse teise murdosa võrra vähendamisel ühine kordaja lugeja ja nimetaja.
Näide:
Võimalusel vähendage järgmisi murde: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Lahendus:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \ korda \värv (punane) (5) \ korda 3 \ korda 3) (\värv (punane) (5) \ korda 13)=\frac (2 \ korda 3 \ korda 3) (13)=\frac(18) (13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\värv(punane) (3 \ korda 3) \ korda 3) (\värv (punane) (3 \ korda 3) \ korda 7)=\frac (3) (7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) taandamatu murd
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\värv(punane) (2 \ korda 5 \ korda 5) \ korda 2) (\värv (punane) (2 \ korda 5 \ korda 5) \ korda 5)=\frac(2)(5)\)
Niisiis, me juba teame, et murdosa lugejat ja nimetajat saab korrutada ja jagada sama arvuga, murdosa ei muutu. Vaatleme kolme lähenemisviisi:
Lähenege ühele.
Vähendamiseks jagage lugeja ja nimetaja ühise jagajaga. Vaatame näiteid:
Lühendame:
Toodud näidetes näeme kohe, milliseid jagajaid redutseerimiseks võtta. Protsess on lihtne – läbime 2,3,4,5 ja nii edasi. Enamiku koolikursuste näidete puhul on see täiesti piisav. Aga kui see on murdosa:
Siin võib jagajate valimise protsess võtta kaua aega;). Loomulikult jäävad sellised näited kooli õppekavast välja, aga nendega tuleb hakkama saada. Allpool vaatleme, kuidas seda tehakse. Nüüd pöördume tagasi arvu vähendamise protsessi juurde.
Nagu eespool mainitud, jagasime murdosa vähendamiseks meie määratud ühisjagaja(te)ga. Kõik on õige! Lisada tuleb vaid arvude jaguvuse märgid:
- kui arv on paaris, jagub see 2-ga.
- kui arv kahest viimasest numbrist jagub 4-ga, siis arv ise jagub 4-ga.
— kui arvu moodustavate numbrite summa jagub 3-ga, siis arv ise jagub 3-ga. Näiteks 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Kaksteist jagub 3-ga, seega 123031 jagub 3-ga.
- kui arv lõpeb 5 või 0-ga, jagub arv 5-ga.
— kui arvu moodustavate numbrite summa jagub 9-ga, siis arv ise jagub 9-ga. Näiteks 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Kaheksateist jagub 9-ga, mis tähendab, et 623032 jagub 9-ga.
Teine lähenemine.
Lühidalt öeldes taandub tegelikult kogu tegevus lugeja ja nimetaja faktoriseerimisele ning seejärel võrdsete tegurite vähendamisele lugejas ja nimetajas (see lähenemisviis on esimese lähenemisviisi tagajärg):
Visuaalselt tõmmatakse segaduse ja vigade vältimiseks võrdsed tegurid lihtsalt maha. Küsimus – kuidas arvutada arvu? Otsimise teel on vaja määrata kõik jagajad. See on omaette teema, pole keeruline, otsi infot õpikust või internetist. Koolimurdudes esinevate faktooringunumbritega ei teki suuri probleeme.
Vormiliselt saab redutseerimispõhimõtte kirjutada järgmiselt:
Kolmas lähenemine.
Siin on kõige huvitavam edasijõudnutele ja neile, kes soovivad selleks saada. Vähendame murdosa 143/273. Proovi ise! Noh, kuidas see kiiresti juhtus? Vaata nüüd!
Pöörame ümber (vahetame lugeja ja nimetaja kohti). Jagage saadud murd nurgaga ja teisendage see seganumber, see tähendab, et valime kogu osa:
See on juba lihtsam. Näeme, et lugejat ja nimetajat saab vähendada 13 võrra:
Nüüd ärge unustage murdu uuesti tagasi pöörata, kirjutame kogu ahela üles:
Kontrollitud – see võtab vähem aega kui läbiotsimine ja jagajate kontrollimine. Tuleme tagasi meie kahe näite juurde:
Esiteks. Nurgaga jagamisel (mitte kalkulaatoril) saame:
See murdosa on muidugi lihtsam, kuid vähendamine on jällegi probleem. Nüüd analüüsime eraldi murdosa 1273/1463 ja pöörame selle ümber:
Siin on lihtsam. Võime kaaluda jagajat nagu 19. Ülejäänud ei sobi, see on selge: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurraa! Paneme kirja:
Järgmine näide. Lühendame 88179/2717.
Jagage, saame:
Eraldi analüüsime murdosa 1235/2717 ja pöörame selle ümber:
Võime kaaluda jagajat, näiteks 13 (kuni 13 ei sobi):
Lugeja 247:13=19 Nimetaja 1235:13=95
*Protsessi käigus nägime veel ühte jagajat, mis võrdub 19-ga. Selgub, et:
Nüüd kirjutame üles algse numbri:
Ja pole vahet, mis on murrus suurem - lugeja või nimetaja, kui see on nimetaja, siis pöörame selle ümber ja toimime nii, nagu kirjeldatud. Nii saame vähendada mis tahes murdosa, kolmandat lähenemist võib nimetada universaalseks.
Loomulikult ei ole ülalpool käsitletud kaks näidet lihtsad näited. Proovime seda tehnoloogiat "lihtsate" murdude peal, mida oleme juba kaalunud:
Kaks veerandit.
Seitsekümmend kaks kuuekümnendat. Lugeja on nimetajast suurem; seda pole vaja ümber pöörata:
Loomulikult rakendati sellistele kolmandat lähenemist lihtsaid näiteid lihtsalt alternatiivina. Meetod, nagu juba öeldud, on universaalne, kuid mitte mugav ja õige kõigi fraktsioonide, eriti lihtsate fraktsioonide jaoks.
Murdude mitmekesisus on suur. On oluline, et mõistaksite põhimõtteid. Murdudega töötamiseks pole lihtsalt ranget reeglit. Vaatasime, mõtlesime, kuidas oleks mugavam tegutseda, ja liikusime edasi. Harjutades tulevad oskused ja te purustate neid nagu seemneid.
Järeldus:
Kui näete lugeja ja nimetaja ühist jagajat, kasutage neid vähendamiseks.
Kui teate, kuidas arvu kiiresti faktoristada, siis arvutage lugeja ja nimetaja ning seejärel vähendage.
Kui te ei suuda ühisjagajat määrata, kasutage kolmandat lähenemisviisi.
*Murdude vähendamiseks on oluline valdada taandamise põhimõtteid, mõista murdu põhiomadust, tunda lahendusviise ning olla arvutuste tegemisel äärmiselt ettevaatlik.
Ja pidage meeles! Tavaks on murdosa taandamine kuni peatumiseni, st vähendada seni, kuni on olemas ühine jagaja.
Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.
Mõistame, mis on murdude vähendamine, miks ja kuidas murdu vähendada ning anname murdude vähendamise reegli ja näiteid selle kasutamisest.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mis on "murdude vähendamine"
Vähendage fraktsiooniMurru vähendamine tähendab selle lugeja ja nimetaja jagamist ühise teguriga, mis on positiivne ja erineb ühest.
Selle toimingu tulemusena saadakse uue lugeja ja nimetajaga murd, mis on võrdne algse murruga.
Näiteks võtame harilik murd 6 24 ja lühendage seda. Jagage lugeja ja nimetaja 2-ga, mille tulemuseks on 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12. Selles näites vähendasime algset murdosa 2 võrra.
Fraktsioonide redutseerimine taandamatuks vormiks
Eelmises näites vähendasime murdosa 6 24 2 võrra, saades murdarvuks 3 12. On lihtne näha, et seda osa saab veelgi vähendada. Tavaliselt on murdude vähendamise eesmärk saada taandamatu murd. Kuidas teisendada murdarvuks taandamatu vorm?
Seda saab teha, vähendades lugejat ja nimetajat nende suurima ühisteguri (GCD) võrra. Siis on suurima ühisjagaja omaduse järgi lugeja ja nimetaja vastastikku algarvud, ja see murd on taandamatu.
a b = a ÷ N O D (a , b) b ÷ N O D (a , b)
Murru taandamine taandamatuks vormiks
Murru taandamiseks taandamatule kujule peate jagama selle lugeja ja nimetaja nende gcd-ga.
Pöördume tagasi esimese näite murru 6 24 juurde ja toome selle taandamatule kujule. Arvude 6 ja 24 suurim ühisjagaja on 6. Vähendame murdosa:
6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4
Murdude vähendamist on mugav kasutada, et mitte töötada suurte numbritega. Üldiselt kehtib matemaatikas väljaütlemata reegel: kui saad mis tahes väljendit lihtsustada, siis pead seda tegema. Murru vähendamine tähendab enamasti selle taandamist taandamatule kujule, mitte aga lihtsalt lugeja ja nimetaja ühisjagaja võrra.
Murdude vähendamise reegel
Murdude vähendamiseks pidage meeles reeglit, mis koosneb kahest etapist.
Murdude vähendamise reegel
Murdosa vähendamiseks vajate:
- Leidke lugeja ja nimetaja gcd.
- Jagage lugeja ja nimetaja nende gcd-ga.
Vaatame praktilisi näiteid.
Näide 1. Vähendame murdosa.
Arvestades murdosa 182 195. Lühendame seda.
Leiame lugeja ja nimetaja gcd. Sel eesmärgil sisse sel juhul Kõige mugavam on kasutada eukleidilist algoritmi.
195 = 182 1 + 13 182 = 13 14 N O D (182, 195) = 13
Jagage lugeja ja nimetaja 13-ga. Saame:
182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15
Valmis. Saime taandamatu murdarvu, mis on võrdne algse murruga.
Kuidas muidu saate murde vähendada? Mõnel juhul on mugav arvutada lugeja ja nimetaja lihtsateks teguriteks ning seejärel ülemisest ja alumised osad fraktsioonid, eemaldage kõik levinud tegurid.
Näide 2. Vähendage murdosa
Arvestades murdosa 360 2940. Lühendame seda.
Selleks kujutlege esialgset murdosa kujul:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7
Vabaneme lugeja ja nimetaja ühistest teguritest, mille tulemuseks on:
360 2940 = 2 2 2 3 3 5 2 2 3 5 7 7 = 2 3 7 7 = 6 49
Lõpuks vaatame veel üht võimalust murdarvude vähendamiseks. See on nn järjestikune vähendamine. Seda meetodit kasutades toimub redutseerimine mitmes etapis, millest igaühes vähendatakse fraktsiooni mõne ilmse ühise teguriga.
Näide 3. Vähendage murdosa
Vähendame murdosa 2000 4400.
Kohe on selge, et lugejal ja nimetajal on ühine tegur 100. Vähendame murdosa 100 võrra ja saame:
2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44
20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22
Vähendame saadud tulemust uuesti 2 võrra ja saame taandamatu murdosa:
10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Paljud õpilased teevad murdudega töötades samu vigu. Ja kõik sellepärast, et nad unustavad põhireeglid aritmeetika. Täna kordame neid reegleid konkreetsed ülesanded mida ma oma tundides annan.
Siin on ülesanne, mida pakun kõigile, kes valmistuvad matemaatika ühtseks riigieksamiks:
Ülesanne. Pringel sööb päevas 150 grammi toitu. Kuid ta kasvas üles ja hakkas 20% rohkem sööma. Mitu grammi sööta sööb siga praegu?
Mitte õige lahendus. See on protsendiprobleem, mis taandub võrrandile:
Paljud (väga paljud) vähendavad arvu 100 murdosa lugejas ja nimetajas:
See on viga, mille mu õpilane tegi just selle artikli kirjutamise päeval. Numbrid, mis on kärbitud, on märgitud punasega.
Ütlematagi selge, et vastus oli vale. Otsustage ise: siga sõi 150 grammi, kuid hakkas sööma 3150 grammi. Kasv ei ole 20%, vaid 21-kordne, s.o. 2000% võrra.
Selliste arusaamatuste vältimiseks pidage meeles põhireeglit:
Vähendada saab ainult kordajaid. Tingimusi ei saa vähendada!
Nii et õige otsus on eelmine ülesanne näeb välja selline:
Numbrid, mida lugejas ja nimetajas on lühendatud, on tähistatud punasega. Nagu näete, on lugeja korrutis, nimetaja on tavaline number. Seetõttu on vähendamine täiesti seaduslik.
Proportsioonidega töötamine
Teine probleemne valdkond on proportsioonid. Eriti kui muutuja on mõlemal pool. Näiteks:
Ülesanne. Lahenda võrrand:
Vale lahendus – mõned inimesed tahavad sõna otseses mõttes kõike m võrra lühendada:
Vähendatud muutujad on näidatud punaselt. Avaldis 1/4 = 1/5 osutub täielikuks jaburaks, need arvud pole kunagi võrdsed.
Ja nüüd – õige otsus. Põhimõtteliselt on see tavaline lineaarvõrrand . Seda saab lahendada kas kõigi elementide ühele küljele viimisega või proportsiooni põhiomadusega:
Paljud lugejad vaidlevad vastu: "Kus on viga esimeses lahenduses?" Noh, uurime välja. Meenutagem võrranditega töötamise reeglit:
Mis tahes võrrandit saab jagada ja korrutada mis tahes arvuga, nullist erinev.
Kas jäid trikist ilma? Jagada saab ainult numbritega nullist erinev. Täpsemalt saab muutujaga m jagada ainult siis, kui m != 0. Aga mis siis, kui m = 0? Asendame ja kontrollime:
Sain õigesti aru numbriline võrdsus, st. m = 0 on võrrandi juur. Ülejäänud m != 0 korral saame avaldise kujul 1/4 = 1/5, mis on loomulikult vale. Seega puuduvad nullist erinevad juured.
Järeldused: kõik kokku panna
Niisiis, lahendada murdarvulised ratsionaalvõrrandid pidage meeles kolme reeglit:
- Vähendada saab ainult kordajaid. Lisad pole võimalikud. Seetõttu õppige arvutama lugejat ja nimetajat;
- Proportsiooni põhiomadus: äärmuslike elementide korrutis võrdub keskmiste korrutisega;
- Võrrandeid saab korrutada ja jagada ainult arvudega k, mis ei ole nullid. Juhtumit k = 0 tuleb kontrollida eraldi.
Pidage meeles neid reegleid ja ärge tehke vigu.