Murrud on tavalised numbrid, saab neid ka liita ja lahutada. Kuid tänu sellele, et need sisaldavad nimetajat, on rohkem keerulised reeglid kui täisarvude puhul.
Vaatleme kõige lihtsamat juhtumit, kui koos on kaks murdu samad nimetajad. Seejärel:
Samade nimetajatega murdude liitmiseks tuleb lisada nende lugejad ja nimetaja muutmata jätta.
Samade nimetajatega murdude lahutamiseks peate esimese murru lugejast lahutama teise lugeja ja jätma nimetaja jälle muutmata.
Igas avaldises on murdude nimetajad võrdsed. Murdude liitmise ja lahutamise määratluse järgi saame:
Nagu näete, pole see midagi keerulist: lihtsalt liidame või lahutame lugejad ja kõik.
Kuid isegi sellises lihtsad toimingud inimestel õnnestub vigu teha. Kõige sagedamini unustatakse ära, et nimetaja ei muutu. Näiteks nende lisamisel hakkavad need ka kokku tulema ja see on põhimõtteliselt vale.
Lahti saama halb harjumus Nimetajate lisamine on üsna lihtne. Proovige sama asja lahutamisel. Selle tulemusena on nimetaja null ja murdosa kaotab (äkitselt!) oma tähenduse.
Seetõttu pidage kindlasti meeles: liitmisel ja lahutamisel nimetaja ei muutu!
Samuti teevad paljud inimesed mitut lisades vigu negatiivsed murrud. Märkidega on segadus: kuhu panna miinus ja kuhu pluss.
Seda probleemi on ka väga lihtne lahendada. Piisab meeles pidada, et miinuse enne murdosa märki saab alati üle kanda lugejasse - ja vastupidi. Ja muidugi ärge unustage kahte lihtsat reeglit:
- Pluss miinusega annab miinuse;
- Kaks negatiivset teevad jaatava.
Vaatame seda kõike konkreetsete näidetega:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Esimesel juhul on kõik lihtne, kuid teisel lisame murdude lugejatele miinused:
Mida teha, kui nimetajad on erinevad
Murdude otse lisamine koos erinevad nimetajad see on keelatud. Vähemalt see meetod on mulle tundmatu. Algseid murde saab aga alati ümber kirjutada, et nimetajad muutuksid samaks.
Murdude teisendamiseks on palju viise. Neist kolme käsitletakse õppetükis “Murdude taandamine ühisnimetajale”, mistõttu me siinkohal neil pikemalt ei peatu. Vaatame mõnda näidet:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Esimesel juhul taandame murrud väärtusele ühine nimetaja kasutades "risti-meetodit". Teises otsime NOC-i. Pange tähele, et 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Nende laienduste viimased tegurid on võrdsed ja esimesed on suhteliselt esmased. Seetõttu LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.
Mida teha, kui murd sisaldab täisarvu
Võin teile meeldida: erinevad nimetajad murdarvudes pole just kõige suurem pahe. Palju rohkem vigu tekib, kui kogu osa on liitmismurdudes esile tõstetud.
Loomulikult on selliste murdude jaoks olemas oma liitmis- ja lahutamisalgoritmid, kuid need on üsna keerulised ja nõuavad pikka uurimist. Parem kasutada lihtne diagramm, toodud allpool:
- Teisendage kõik täisarvu sisaldavad murrud ebaõigeteks murdudeks. Saame normaalterminid (isegi erinevate nimetajatega), mis arvutatakse eelpool käsitletud reeglite järgi;
- Tegelikult arvutage saadud murdude summa või erinevus. Selle tulemusena leiame praktiliselt vastuse;
- Kui see on kõik, mida ülesandes nõuti, täidame pöördkonversioon, st. Vabaneme valest murdest, tõstes esile kogu osa.
Vale murdude juurde liikumise ja kogu osa esiletõstmise reegleid kirjeldatakse üksikasjalikult õppetükis “Mis on numbriline murd”. Kui te ei mäleta, korrake seda kindlasti. Näited:
Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:
Siin on kõik lihtne. Iga avaldise sees olevad nimetajad on võrdsed, seega jääb üle vaid teisendada kõik murrud valedeks ja lugeda. Meil on:
Arvutuste lihtsustamiseks jätsin viimastes näidetes mõned ilmsed sammud vahele.
Väike märkus kahe kohta viimased näited, kus lahutatakse murrud, mille täisarvuline osa on esile tõstetud. Miinus enne teist murdu tähendab, et lahutatakse kogu murd, mitte ainult selle osa.
Lugege see lause uuesti läbi, vaadake näiteid – ja mõelge selle üle. See on koht, kus algajad teevad tohutul hulgal vigu. Neile meeldib selliseid ülesandeid anda testid. Samuti kohtate neid mitu korda selle õppetunni testides, mis avaldatakse peagi.
Kokkuvõte: üldine arvutusskeem
Kokkuvõtteks annan üldine algoritm, mis aitab teil leida kahe või enama murru summa või erinevuse:
- Kui ühel või mitmel murdul on täisarvuline osa, teisendage need murdudeks ebaõigeteks;
- Viige kõik murrud teile sobival viisil ühisele nimetajale (muidugi, kui probleemide kirjutajad seda ei teinud);
- Saadud arvud liita või lahutada vastavalt sarnaste nimetajatega murdude liitmise ja lahutamise reeglitele;
- Kui võimalik, lühendage tulemust. Kui murdosa on vale, valige kogu osa.
Pidage meeles, et parem on kogu osa esile tõsta ülesande lõpus, vahetult enne vastuse kirja panemist.
Paljud õpilased teevad murdudega töötades samu vigu. Ja kõik sellepärast, et nad unustavad põhireeglid aritmeetika. Täna kordame neid reegleid konkreetsed ülesanded mida ma oma tundides annan.
Siin on ülesanne, mida pakun kõigile, kes valmistuvad matemaatika ühtseks riigieksamiks:
Ülesanne. Pringel sööb päevas 150 grammi toitu. Kuid ta kasvas üles ja hakkas 20% rohkem sööma. Mitu grammi sööta sööb siga praegu?
Mitte õige lahendus. See on protsendiprobleem, mis taandub võrrandile:
Paljud (väga paljud) vähendavad arvu 100 murdosa lugejas ja nimetajas:
See on viga, mille mu õpilane tegi just selle artikli kirjutamise päeval. Numbrid, mis on kärbitud, on märgitud punasega.
Ütlematagi selge, et vastus oli vale. Otsustage ise: siga sõi 150 grammi, kuid hakkas sööma 3150 grammi. Kasv ei ole 20%, vaid 21-kordne, s.o. 2000% võrra.
Selliste arusaamatuste vältimiseks pidage meeles põhireeglit:
Vähendada saab ainult kordajaid. Tingimusi ei saa vähendada!
Nii et õige otsus on eelmine ülesanne näeb välja selline:
Numbrid, mida lugejas ja nimetajas on lühendatud, on tähistatud punasega. Nagu näete, on lugeja korrutis, nimetaja on tavaline number. Seetõttu on vähendamine täiesti seaduslik.
Proportsioonidega töötamine
Teine probleemne valdkond on proportsioonid. Eriti kui muutuja on mõlemal pool. Näiteks:
Ülesanne. Lahendage võrrand:
Vale lahendus – mõned inimesed tahavad sõna otseses mõttes kõike m võrra lühendada:
Vähendatud muutujad on näidatud punaselt. Avaldis 1/4 = 1/5 osutub täielikuks jaburaks, need arvud pole kunagi võrdsed.
Ja nüüd – õige otsus. Põhimõtteliselt on see tavaline lineaarvõrrand . Seda saab lahendada kas kõigi elementide ühele küljele viimisega või proportsiooni põhiomadusega:
Paljud lugejad vaidlevad vastu: "Kus on viga esimeses lahenduses?" Noh, uurime välja. Meenutagem võrranditega töötamise reeglit:
Mis tahes võrrandit saab jagada ja korrutada mis tahes arvuga, nullist erinev.
Kas jäid trikist ilma? Jagada saab ainult numbritega nullist erinev. Täpsemalt saab muutujaga m jagada ainult siis, kui m != 0. Aga mis siis, kui m = 0? Asendame ja kontrollime:
Sain õigesti aru numbriline võrdsus, st. m = 0 on võrrandi juur. Ülejäänud m != 0 korral saame avaldise kujul 1/4 = 1/5, mis on loomulikult vale. Seega puuduvad nullist erinevad juured.
Järeldused: kõik kokku panna
Niisiis, lahendada murdarvulised ratsionaalvõrrandid pidage meeles kolme reeglit:
- Vähendada saab ainult kordajaid. Lisad pole võimalikud. Seetõttu õppige arvutama lugejat ja nimetajat;
- Proportsiooni põhiomadus: äärmuslike elementide korrutis võrdub keskmiste korrutisega;
- Võrrandeid saab korrutada ja jagada ainult arvudega k, mis ei ole nullid. Juhtumit k = 0 tuleb kontrollida eraldi.
Pidage meeles neid reegleid ja ärge tehke vigu.
Nii jõudsime vähendamiseni. Siin rakendatakse murdosa põhiomadust. AGA! Mitte nii lihtne. Paljude murdudega (sh alates koolikursus) nendega on täiesti võimalik läbi saada. Mis siis, kui võtame murdu, mis on "järsemad"? Vaatame lähemalt! Soovitan vaadata murdosadega materjale.Niisiis, me juba teame, et murdosa lugejat ja nimetajat saab korrutada ja jagada sama arvuga, murdosa ei muutu. Vaatleme kolme lähenemisviisi:
Lähenege ühele.
Vähendamiseks jagage lugeja ja nimetaja arvuga ühine jagaja. Vaatame näiteid:
Lühendame:
Toodud näidetes näeme kohe, milliseid jagajaid redutseerimiseks võtta. Protsess on lihtne – läbime 2,3,4,5 ja nii edasi. Enamiku koolikursuste näidete puhul on see täiesti piisav. Aga kui see on murdosa:
Siin võib jagajate valimise protsess võtta kaua aega;). Loomulikult jäävad sellised näited kooli õppekavast välja, aga nendega tuleb hakkama saada. Allpool vaatleme, kuidas seda tehakse. Nüüd pöördume tagasi arvu vähendamise protsessi juurde.
Nagu eespool mainitud, jagasime murdosa vähendamiseks meie määratud ühisjagaja(te)ga. Kõik on õige! Lisada tuleb vaid arvude jaguvuse märgid:
- kui arv on paaris, jagub see 2-ga.
- kui arv kahest viimasest numbrist jagub 4-ga, siis arv ise jagub 4-ga.
— kui arvu moodustavate numbrite summa jagub 3-ga, siis arv ise jagub 3-ga. Näiteks 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Kaksteist jagub 3-ga, seega 123031 jagub 3-ga.
- kui arv lõpeb 5 või 0-ga, jagub arv 5-ga.
— kui arvu moodustavate numbrite summa jagub 9-ga, siis arv ise jagub 9-ga. Näiteks 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Kaheksateist jagub 9-ga, mis tähendab, et 623032 jagub 9-ga.
Teine lähenemine.
Lühidalt öeldes taandub tegelikult kogu tegevus lugeja ja nimetaja faktoriseerimisele ning seejärel võrdsete tegurite vähendamisele lugejas ja nimetajas (see lähenemisviis on esimese lähenemisviisi tagajärg):
Visuaalselt tõmmatakse segaduse ja vigade vältimiseks võrdsed tegurid lihtsalt maha. Küsimus – kuidas arvutada arvu? Otsimise teel on vaja määrata kõik jagajad. See on omaette teema, pole keeruline, otsi infot õpikust või internetist. Koolimurdudes esinevate faktooringunumbritega ei teki suuri probleeme.
Vormiliselt saab redutseerimispõhimõtte kirjutada järgmiselt:
Kolmas lähenemine.
Siin on kõige huvitavam edasijõudnutele ja neile, kes soovivad selleks saada. Vähendame murdosa 143/273. Proovi ise! Noh, kuidas see kiiresti juhtus? Vaata nüüd!
Pöörame ümber (vahetame lugeja ja nimetaja kohti). Jagage saadud murd nurgaga ja teisendage see seganumber, see tähendab, et valime kogu osa:
See on juba lihtsam. Näeme, et lugejat ja nimetajat saab vähendada 13 võrra:
Nüüd ärge unustage murdu uuesti tagasi pöörata, kirjutame kogu ahela üles:
Kontrollitud – see võtab vähem aega kui läbiotsimine ja jagajate kontrollimine. Tuleme tagasi meie kahe näite juurde:
Esiteks. Nurgaga jagamisel (mitte kalkulaatoril) saame:
See murdosa on muidugi lihtsam, kuid vähendamine on jällegi probleem. Nüüd analüüsime eraldi murdosa 1273/1463 ja pöörame selle ümber:
Siin on lihtsam. Võime kaaluda jagajat nagu 19. Ülejäänud ei sobi, see on selge: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurraa! Paneme kirja:
Järgmine näide. Lühendame 88179/2717.
Jagage, saame:
Eraldi analüüsime murdosa 1235/2717 ja pöörame selle ümber:
Võime kaaluda jagajat, näiteks 13 (kuni 13 ei sobi):
Lugeja 247:13=19 Nimetaja 1235:13=95
*Protsessi käigus nägime veel ühte jagajat, mis võrdub 19-ga. Selgub, et:
Nüüd kirjutame üles algse numbri:
Ja pole vahet, mis on murrus suurem - lugeja või nimetaja, kui see on nimetaja, siis pöörame selle ümber ja toimime nii, nagu kirjeldatud. Nii saame vähendada mis tahes murdosa, kolmandat lähenemist võib nimetada universaalseks.
Loomulikult ei ole ülalpool käsitletud kaks näidet lihtsad näited. Proovime seda tehnoloogiat "lihtsate" murdude peal, mida oleme juba kaalunud:
Kaks veerandit.
Seitsekümmend kaks kuuekümnendat. Lugeja on nimetajast suurem, seda pole vaja ümber pöörata:
Loomulikult rakendati sellistele kolmandat lähenemist lihtsaid näiteid lihtsalt alternatiivina. Meetod, nagu juba öeldud, on universaalne, kuid mitte mugav ja õige kõigi fraktsioonide, eriti lihtsate fraktsioonide jaoks.
Murdude mitmekesisus on suur. On oluline, et mõistaksite põhimõtteid. Murdudega töötamiseks pole lihtsalt ranget reeglit. Vaatasime, mõtlesime, kuidas oleks mugavam tegutseda, ja liikusime edasi. Harjutades tulevad oskused ja te purustate neid nagu seemneid.
Järeldus:
Kui näete lugeja ja nimetaja ühist jagajat, kasutage neid vähendamiseks.
Kui teate, kuidas arvu kiiresti faktoristada, siis arvutage lugeja ja nimetaja ning seejärel vähendage.
Kui te ei suuda ühisjagajat määrata, kasutage kolmandat lähenemisviisi.
*Murdude vähendamiseks on oluline valdada taandamise põhimõtteid, mõista murdu põhiomadust, tunda lahendusviise ning olla arvutuste tegemisel äärmiselt ettevaatlik.
Ja pidage meeles! Tavaks on murdosa taandamine kuni peatumiseni, st vähendada seni, kuni on olemas ühine jagaja.
Lugupidamisega Aleksander Krutitskihh.
Murrud ja nende taandamine on teine teema, mis algab 5. klassist. Siin moodustub selle tegevuse alus ja seejärel tõmmatakse need oskused niidiga sisse kõrgem matemaatika. Kui õpilane ei saa aru, võib tal algebraga probleeme tekkida. Seetõttu on parem mõnest reeglist lõplikult aru saada. Ja pidage meeles ka ühte keeldu ja ärge kunagi rikkuge seda.
Murd ja selle vähendamine
Iga õpilane teab, mis see on. Suvalised kaks numbrit, mis asuvad nende vahel horisontaaljoon tajutakse kohe murdosana. Kuid mitte kõik ei mõista, et iga number võib selleks saada. Kui see on täisarv, saab selle alati ühega jagada ja siis saadakse vale murd. Aga sellest pikemalt hiljem.
Algus on alati lihtne. Kõigepealt peate välja mõtlema, kuidas lühendada õige murdosa. See tähendab, et lugeja on nimetajast väiksem. Selleks peate meeles pidama murdosa põhiomadust. See ütleb, et selle lugeja ja nimetaja samaaegsel korrutamisel (nagu ka jagamisel) sama number see osutub algse murdosaga samaväärseks.
Jagage toimingud, mis sellel kinnisvaral tehakse ja mille tulemuseks on vähendamine. See tähendab, et seda võimalikult palju lihtsustada. Murdosa saab vähendada seni, kuni see on joone kohal ja all ühised tegurid. Kui neid enam pole, on vähendamine võimatu. Ja nad ütlevad, et see murdosa on taandamatu.
Kaks teed
1.Samm-sammult vähendamine. See kasutab hindamismeetodit, kus mõlemad arvud on jagatud minimaalse ühisteguriga, mida õpilane märkab. Kui pärast esimest kokkutõmbumist on selge, et see pole lõpp, siis jagunemine jätkub. Kuni murdosa muutub taandamatuks.
2. Lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja leidmine. See on kõige rohkem ratsionaalne viis kuidas murdosasid vähendada. See hõlmab lugeja ja nimetaja lagundamist peamised tegurid. Nende hulgast peate seejärel valima kõik samad. Nende toode annab suurima ühisteguri, mille võrra fraktsiooni väheneb.
Mõlemad meetodid on samaväärsed. Õpilast julgustatakse neid valdama ja kasutama seda, mis talle kõige rohkem meeldib.
Mis siis, kui on tähed ning liitmise ja lahutamise tehted?
Küsimuse esimene osa on enam-vähem selge. Tähti saab lühendada nagu numbreid. Peaasi, et nad toimiksid kordajatena. Kuid paljudel inimestel on teisega probleeme.
Oluline meeles pidada! Saate vähendada ainult neid numbreid, mis on tegurid. Kui need on kokkuvõtted, on see võimatu.
Selleks, et mõista, kuidas vormi murde vähendada algebraline avaldis, peate reegli õppima. Esiteks väljendage lugeja ja nimetaja korrutisena. Seejärel saate üldiste tegurite ilmnemisel vähendada. Selle esitamiseks kordajate kujul on kasulikud järgmised tehnikad:
- rühmitamine;
- sulgudes;
- lühendatud korrutusidentiteetide rakendamine.
enamgi veel viimane meetod võimaldab saada koheselt termineid kordajate kujul. Seetõttu tuleks seda alati kasutada, kui nähtav muster on teada.
Aga see pole veel hirmutav, siis tekivad kraadide ja juurtega ülesanded. See on siis, kui pead koguma julgust ja õppima paar uut reeglit.
Väljend kraadiga
Murd. Lugeja ja nimetaja on korrutis. On tähti ja numbreid. Ja nad tõstetakse ka võimuks, mis samuti koosneb terminitest või teguritest. On, mida karta.
Selleks, et mõista, kuidas võimsusega murde vähendada, peate õppima kahte asja:
- kui astendaja sisaldab summat, siis saab selle lagundada teguriteks, mille astmed on algliikmed;
- kui vahe, siis dividend ja jagaja, esimesel on minuend astmeni, teisel alamosa.
Pärast nende sammude sooritamist muutuvad kogukordajad nähtavaks. Sellistes näidetes pole vaja kõiki võimsusi arvutada. Piisab lihtsalt volituste vähendamisest samad näitajad ja põhjused.
Selleks, et lõpuks selgeks saada, kuidas võimsustega murde vähendada, on vaja palju harjutada. Pärast mitut sarnast näidet tehakse toimingud automaatselt.
Mis siis, kui avaldis sisaldab juurt?
Seda saab ka lühendada. Ainult jälle, reegleid järgides. Pealegi on kõik ülalkirjeldatu tõsi. Üldiselt, kui küsimus on selles, kuidas juurtega murdosa vähendada, siis tuleb jagada.
Peal irratsionaalsed väljendid saab ka jagada. See tähendab, et kui lugeja ja nimetaja sisaldavad identseid tegureid, mis on suletud juure märgi alla, saab neid ohutult vähendada. See lihtsustab väljendit ja täidab ülesande.
Kui pärast redutseerimist jääb irratsionaalsus murdejoone alla, siis tuleb sellest lahti saada. Teisisõnu, korrutage lugeja ja nimetaja sellega. Kui pärast seda operatsiooni ilmnevad ühised tegurid, tuleb neid uuesti vähendada.
See on ilmselt kõik, kuidas murde vähendada. Reegleid on vähe, kuid ainult üks keeld. Ärge kunagi lühendage tähtaegu!
Koolis õpivad lapsed murdude taandamise reegleid 6. klassis. Selles artiklis räägime teile kõigepealt, mida see toiming tähendab, ja seejärel selgitame, kuidas taandatav murd taandamatuks murdeks teisendada. Järgmine punkt Murdude vähendamiseks on reeglid ja siis jõuame järk-järgult näideteni.
Mida tähendab "fraktsiooni vähendamine"?
Nii et me kõik teame seda tavalised murrud jagunevad kahte rühma: redutseeritavad ja redutseerimata. Juba nimede järgi saate aru, et need, mis on kokkutõmbuvad, on kokkutõmbunud ja need, mis on taandamatud, ei ole kokkutõmbunud.
- Murru vähendamine tähendab selle nimetaja ja lugeja jagamist nende omaga (muu kui üks) positiivne jagaja. Tulemus muidugi on uus murd väiksema nimetaja ja lugejaga. Saadud murdosa võrdub algse murdosaga.
Väärib märkimist, et matemaatikaraamatutes ülesandega "vähendada murdosa" tähendab see seda, et peate algse murdosa taandama täpselt selleni. taandamatu vorm. Kui me räägime lihtsate sõnadega, siis on nimetaja ja lugeja jagamine nende suurima ühise jagajaga taandumine.
Kuidas murdosa vähendada. Murdude vähendamise reeglid (6. klass)
Seega on siin ainult kaks reeglit.
- Murdude vähendamise esimene reegel on kõigepealt leida oma murru nimetaja ja lugeja suurim ühistegur.
- Teine reegel: jagage nimetaja ja lugeja suurima ühise jagajaga, saades lõpuks taandamatu murdosa.
Kuidas vähendada vale murdosa?
Murdude vähendamise reeglid on identsed valede murdude vähendamise reeglitega.
Selleks, et vähendada vale murd, peate esmalt kirjutama nimetaja ja lugeja lihtsateks teguriteks ning alles seejärel vähendama ühiseid tegureid.
Segafraktsioonide vähendamine
Fraktsioonide redutseerimise reeglid kehtivad ka segafraktsioonide redutseerimisel. On ainult pole suurt vahet: me ei saa puudutada tervet osa, vaid vähendada murdosa või muuta segamurd valeks murdeks, seejärel vähendada seda ja muuta see uuesti õigeks murdarvuks.
Vähendada segafraktsioonid võimalik kahel viisil.
Esiteks: ajakava murdosa peamisteks teguriteks ja seejärel ärge puudutage kogu osa.
Teine viis: esmalt teisendage see valeks murdarvuks, kirjutage see tavateguriteks ja seejärel vähendage murdosa. Teisendage juba saadud vale murd õigeks murdeks.
Näiteid näete ülaloleval fotol.
Loodame väga, et saime teid ja teie lapsi aidata. Nad on ju sageli tunnis tähelepanematud, mistõttu peavad nad kodus intensiivsemalt iseseisvalt õppima.