Selles artiklis vaatleme üksikasjalikult, kuidas redutseerivad fraktsioonid. Esiteks arutleme selle üle, mida nimetatakse murdosa vähendamiseks. Pärast seda räägime taandatava murdosa taandamisest taandamatuks vormiks. Järgmisena saame murdarvude vähendamise reegli ja lõpuks vaatleme näiteid selle reegli rakendamisest.
Leheküljel navigeerimine.
Mida tähendab murdosa vähendamine?
Teame, et harilikud murded jagunevad taandatavateks ja taandamatuteks murdudeks. Nimedest võib aimata, et taandatavaid murde saab taandada, taandamatuid aga mitte.
Mida tähendab murdosa vähendamine? Vähendage fraktsiooni- see tähendab, et lugeja ja nimetaja jagatakse nende positiivsega ja erineb ühtsusest. On selge, et murru taandamise tulemusena saadakse uus murd väiksema lugeja ja nimetajaga ning murru põhiomaduse tõttu on saadud murd võrdne esialgsega.
Näiteks vähendame harilikku murru 8/24, jagades selle lugeja ja nimetaja 2-ga. Teisisõnu, vähendame murdosa 8/24 2 võrra. Kuna 8:2=4 ja 24:2=12, on selle vähendamise tulemuseks murdosa 4/12, mis on võrdne algse murdarvuga 8/24 (vt võrdsed ja ebavõrdsed murrud). Selle tulemusena on meil .
Tavaliste murdude redutseerimine taandamatule kujule
Tavaliselt on murdosa vähendamise lõppeesmärk saada taandamatu murd, mis on võrdne algse taandatava fraktsiooniga. Seda eesmärki saab saavutada, vähendades algset taandatavat murdarvu selle lugejaks ja nimetajaks. Sellise redutseerimise tulemusena saadakse alati taandamatu murd. Tõepoolest, murdosa 
on taandamatu, kuna see on teada 
Ja 
- . Siinkohal ütleme, et murru lugeja ja nimetaja suurim ühisjagaja on suurim arv, mille võrra seda murdu saab vähendada.
Niisiis, hariliku murdosa taandamine taandamatuks vormiks seisneb algse taandatava murru lugeja ja nimetaja jagamises nende gcd-ga.
Vaatame näidet, mille puhul pöördume tagasi murdarvu 8/24 juurde ja vähendame seda arvude 8 ja 24 suurima ühisjagaja võrra, mis on võrdne 8-ga. Kuna 8:8=1 ja 24:8=3, jõuame taandamatu murduni 1/3. Niisiis, .
Pange tähele, et fraas "vähendada murdosa" tähendab sageli algse fraktsiooni vähendamist selle taandamatule kujule. Teisisõnu tähendab murdosa vähendamine sageli lugeja ja nimetaja jagamist nende suurima ühisteguriga (mitte mis tahes ühisteguriga).
Kuidas murdosa vähendada? Murdude vähendamise reeglid ja näited
Jääb üle vaadata vaid murdude vähendamise reeglit, mis selgitab, kuidas antud murdosa vähendada.
Murdude vähendamise reegel koosneb kahest etapist:
- esiteks leitakse murru lugeja ja nimetaja gcd;
- teiseks, murru lugeja ja nimetaja jagatakse nende gcd-ga, mis annab algse taandamatu murdu.
Teeme asja korda näide murdosa vähendamisest vastavalt märgitud reeglile.
Näide.
Vähendage murdosa 182/195.
Lahendus.
Teeme mõlemad murdosa vähendamise reegliga ette nähtud sammud.
Kõigepealt leiame GCD(182, 195) . Kõige mugavam on kasutada Eukleidese algoritmi (vt.): 195=182·1+13, 182=13·14, ehk siis GCD(182, 195)=13.
Nüüd jagame murdarvu 182/195 lugeja ja nimetaja 13-ga ja saame taandamatu murdosa 14/15, mis võrdub algse murruga. See viib fraktsiooni vähendamise lõpule.
Lühidalt võib lahenduse kirjutada järgmiselt: .
Vastus:
Siin saame fraktsioonide vähendamise lõpetada. Kuid pildi täielikuks muutmiseks vaatame veel kahte võimalust murdude vähendamiseks, mida tavaliselt kasutatakse lihtsatel juhtudel.
Mõnikord ei ole taandatava murru lugeja ja nimetaja keeruline. Murru vähendamine on sel juhul väga lihtne: peate lihtsalt eemaldama lugejast ja nimetajast kõik tavalised tegurid.
Väärib märkimist, et see meetod tuleneb otseselt murdude redutseerimise reeglist, kuna lugeja ja nimetaja kõigi ühiste algtegurite korrutis on võrdne nende suurima ühisjagajaga.
Vaatame näite lahendust.
Näide.
Vähendage murdosa 360/2 940.
Lahendus.
Korrigeerime lugeja ja nimetaja lihtsateks teguriteks: 360=2·2·2·3·3·5 ja 2,940=2·2·3·5·7·7. Seega 
.
Nüüd eemaldame mugavuse huvides ühistest teguritest lugeja ja nimetaja, kriipsutame need lihtsalt läbi: 
.
Lõpuks korrutame ülejäänud tegurid: , ja murdosa vähendamine on lõpetatud.
Siin on lahenduse lühikokkuvõte: 
.
Vastus:
Vaatleme teist võimalust murdosa vähendamiseks, mis koosneb järjestikusest vähendamisest. Siin vähendatakse murdosa igal etapil lugeja ja nimetaja mõne ühise jagajaga, mis on kas ilmne või kergesti määratav, kasutades
See põhineb nende põhiomadusel: kui murdosa lugeja ja nimetaja jagada sama mittenullpolünoomiga, saadakse võrdne murd.
Saate ainult kordajaid vähendada!
Polünoomide liikmeid ei saa lühendada!
Algebralise murru vähendamiseks tuleb lugejas ja nimetajas olevad polünoomid esmalt faktoriseerida.
Vaatame näiteid murdude vähendamisest.
Murru lugeja ja nimetaja sisaldavad monoomi. Nad esindavad tööd(arvud, muutujad ja nende astmed), kordajad saame vähendada.
Vähendame numbreid nende suurima ühise jagaja võrra, st suurima arvu võrra, millega kõik need arvud on jagatud. 24 ja 36 puhul on see 12. Pärast vähendamist jääb 24-st 2 ja 36-st 3.
Vähendame kraade madalaima indeksiga kraadi võrra. Murru vähendamine tähendab lugeja ja nimetaja jagamist sama jagajaga ning astendajate lahutamist.
a² ja a⁷ taandatakse a²-ks. Sel juhul jääb a² lugejasse üks (1 kirjutame ainult juhul, kui pärast redutseerimist pole enam teisi tegureid. 24-st jääb alles 2, nii et a²-st jäävat 1 ei kirjuta). Alates a⁷-st jääb pärast redutseerimist a⁵ alles.
b ja b on taandatud b-ga;
c³º ja c⁵ lühendatakse c⁵-ks. Alates c³º see, mis jääb, on c²⁵, alates c⁵ on üks (me ei kirjuta seda). Seega
Selle algebralise murru lugejaks ja nimetajaks on polünoomid. Polünoomide tingimusi ei saa tühistada! (te ei saa vähendada näiteks 8x² ja 2x!). Selle murdosa vähendamiseks vajate . Lugejal on ühine tegur 4x. Võtame selle sulgudest välja:
Nii lugejal kui ka nimetajal on sama tegur (2x-3). Vähendame murdosa selle teguri võrra. Lugejas saime 4x, nimetajas - 1. Vastavalt algebraliste murdude 1 omadusele võrdub murd 4x.
Saate vähendada ainult tegureid (te ei saa seda murdosa 25x² võrra vähendada!). Seetõttu tuleb murdosa lugejas ja nimetajas olevad polünoomid faktoriseerida.
Lugeja on summa täisruut, nimetaja on ruutude vahe. Pärast jaotamist lühendatud korrutamisvalemite abil saame:
Vähendame murdosa (5x+1) võrra (selleks kriipsutage lugejast kaks välja eksponendina, jättes (5x+1)² (5x+1)):
Lugejal on ühine tegur 2, võtame selle sulgudest välja. Nimetaja on kuubikute erinevuse valem:
Laiendamise tulemusena said lugeja ja nimetaja sama teguri (9+3a+a²). Vähendame murdosa selle võrra:
Lugejas olev polünoom koosneb 4 liikmest. esimene liige teisega, kolmas neljandaga ja eemaldage esimestest sulgudest ühistegur x². Dekomponeerime nimetaja kuubikute summa valemi abil:
Lugejas võtame sulgudest välja ühisteguri (x+2):
Vähendage murdosa (x+2):
Murrud ja nende taandamine on teine teema, mis algab 5. klassist. Siin moodustub selle tegevuse alus ja seejärel tõmmatakse need oskused niidiga kõrgemasse matemaatikasse. Kui õpilane ei saa aru, võib tal algebraga probleeme tekkida. Seetõttu on parem mõnest reeglist lõplikult aru saada. Ja pidage meeles ka ühte keeldu ja ärge kunagi rikkuge seda.
Murd ja selle vähendamine
Iga õpilane teab, mis see on. Kõik kaks numbrit, mis asuvad horisontaaljoone vahel, tajutakse kohe murdosana. Kuid mitte kõik ei mõista, et iga number võib selleks saada. Kui see on täisarv, saab selle alati ühega jagada ja siis saadakse vale murd. Aga sellest pikemalt hiljem.
Algus on alati lihtne. Kõigepealt peate välja mõtlema, kuidas õiget murdosa vähendada. See tähendab, et lugeja on nimetajast väiksem. Selleks peate meeles pidama murdosa põhiomadust. Selles öeldakse, et selle lugeja ja nimetaja samaaegsel korrutamisel (nagu ka jagamisel) sama arvuga saadakse ekvivalentne murd.
Jagage toimingud, mis sellel kinnisvaral tehakse ja mille tulemuseks on vähendamine. See tähendab, et seda võimalikult palju lihtsustada. Murdosa saab vähendada seni, kuni joone kohal ja all on ühised tegurid. Kui neid enam pole, on vähendamine võimatu. Ja nad ütlevad, et see murdosa on taandamatu.
Kaks teed
1.Samm-sammult vähendamine. See kasutab hindamismeetodit, kus mõlemad arvud on jagatud minimaalse ühisteguriga, mida õpilane märkab. Kui pärast esimest kokkutõmbumist on selge, et see pole lõpp, siis jagunemine jätkub. Kuni murdosa muutub taandamatuks.
2. Lugeja ja nimetaja suurima ühisjagaja leidmine. See on kõige ratsionaalsem viis murdude vähendamiseks. See hõlmab lugeja ja nimetaja arvestamist algteguriteks. Nende hulgast peate seejärel valima kõik samad. Nende toode annab suurima ühisteguri, mille võrra fraktsiooni väheneb.
Mõlemad meetodid on samaväärsed. Õpilast julgustatakse neid valdama ja kasutama seda, mis talle kõige rohkem meeldib.
Mis siis, kui on tähed ning liitmise ja lahutamise tehted?
Küsimuse esimene osa on enam-vähem selge. Tähti saab lühendada nagu numbreid. Peaasi, et nad toimiksid kordajatena. Kuid paljudel inimestel on teisega probleeme.
Oluline meeles pidada! Saate vähendada ainult neid numbreid, mis on tegurid. Kui need on kokkuvõtted, on see võimatu.
Selleks, et mõista, kuidas vähendada murde, millel on algebralise avaldise kuju, peate mõistma reeglit. Esiteks väljendage lugeja ja nimetaja korrutisena. Seejärel saate üldiste tegurite ilmnemisel vähendada. Selle esitamiseks kordajate kujul on kasulikud järgmised tehnikad:
- rühmitamine;
- sulgudes;
- lühendatud korrutusidentiteetide rakendamine.
Veelgi enam, viimane meetod võimaldab saada terminid koheselt kordajate kujul. Seetõttu tuleks seda alati kasutada, kui nähtav muster on teada.
Aga see pole veel hirmutav, siis tekivad kraadide ja juurtega ülesanded. See on siis, kui pead koguma julgust ja õppima paar uut reeglit.
Väljend kraadiga
Murd. Lugeja ja nimetaja on korrutis. On tähti ja numbreid. Ja nad tõstetakse ka võimuks, mis samuti koosneb terminitest või teguritest. On, mida karta.
Selleks, et mõista, kuidas võimsusega murde vähendada, peate õppima kahte asja:
- kui astendaja sisaldab summat, siis saab selle lagundada teguriteks, mille astmed on algliikmed;
- kui vahe, siis dividend ja jagaja, esimesel on minuend astmeni, teisel alamosa.
Pärast nende sammude sooritamist muutuvad kogukordajad nähtavaks. Sellistes näidetes pole vaja kõiki võimsusi arvutada. Piisab lihtsalt kraadide vähendamisest samade eksponentide ja alustega.
Selleks, et lõpuks selgeks saada, kuidas võimsustega murde vähendada, on vaja palju harjutada. Pärast mitut sarnast näidet tehakse toimingud automaatselt.
Mis siis, kui avaldis sisaldab juurt?
Seda saab ka lühendada. Ainult jälle, reegleid järgides. Pealegi on kõik ülalkirjeldatu tõsi. Üldiselt, kui küsimus on selles, kuidas juurtega murdosa vähendada, siis tuleb jagada.
Selle võib jagada ka irratsionaalseteks väljenditeks. See tähendab, et kui lugeja ja nimetaja sisaldavad identseid tegureid, mis on suletud juure märgi alla, saab neid ohutult vähendada. See lihtsustab väljendit ja täidab ülesande.
Kui pärast redutseerimist jääb irratsionaalsus murdejoone alla, siis tuleb sellest lahti saada. Teisisõnu, korrutage lugeja ja nimetaja sellega. Kui pärast seda operatsiooni ilmnevad ühised tegurid, tuleb neid uuesti vähendada.
See on ilmselt kõik, kuidas murde vähendada. Reegleid on vähe, kuid ainult üks keeld. Ärge kunagi lühendage tähtaegu!
Oskamata murda taandada ja omamata stabiilset oskust selliste näidete lahendamisel, on algebrat koolis väga raske õppida. Mida edasi, seda rohkem lisandub uut teavet tavaliste murdude vähendamise põhiteadmiste peale. Esiteks ilmnevad astmed, seejärel tegurid, millest hiljem saavad polünoomid.
Kuidas vältida siin segadust? Kinnitage põhjalikult varasemate teemade oskusi ja valmistuge järk-järgult teadmisteks, kuidas murdosa vähendada, mis muutub aasta-aastalt keerukamaks.
Põhiteadmised
Ilma nendeta ei tule te ühegi taseme ülesannetega toime. Selle mõistmiseks peate mõistma kahte lihtsat punkti. Esiteks: saate tegureid ainult vähendada. See nüanss osutub väga oluliseks, kui lugejas või nimetajas esinevad polünoomid. Siis peate selgelt eristama, kus on kordaja ja kus on liitmine.
Teine punkt ütleb, et suvalist arvu saab esitada tegurite kujul. Pealegi on redutseerimise tulemuseks murdosa, mille lugejat ja nimetajat ei saa enam taandada.
Harilike murdude vähendamise reeglid
Kõigepealt peaksite kontrollima, kas lugeja jagub nimetajaga või vastupidi. Siis on vaja just seda arvu vähendada. See on kõige lihtsam variant.
Teine on numbrite välimuse analüüs. Kui mõlemad lõpevad ühe või mitme nulliga, saab neid lühendada 10, 100 või tuhande võrra. Siin näete, kas numbrid on paaris. Kui jah, siis võite selle julgelt kahe võrra vähendada.
Kolmas reegel murdarvu vähendamiseks on lugeja ja nimetaja arvestamine algteguriteks. Sel ajal peate aktiivselt kasutama kõiki oma teadmisi arvude jaguvuse märkide kohta. Pärast seda lagunemist jääb üle vaid leida kõik korduvad, korrutada need ja vähendada saadud arvuga.
Mis siis, kui murdosas on algebraline avaldis?
Siin ilmnevad esimesed raskused. Sest siin ilmuvad terminid, mis võivad olla teguritega identsed. Ma tõesti tahan neid vähendada, kuid ma ei saa. Enne algebralise murru vähendamist tuleb see teisendada nii, et sellel oleks tegureid.
Selleks peate tegema mitu sammu. Võimalik, et peate need kõik läbi vaatama või võib-olla pakub esimene sobiv valik.
Kontrollige, kas lugeja ja nimetaja või mõni nendes sisalduv avaldis erinevad märgi poolest. Sel juhul peate lihtsalt miinus ühe sulgudest välja panema. See tekitab võrdseid tegureid, mida saab vähendada.
Vaadake, kas polünoomilt on võimalik ühistegurit sulgudes eemaldada. Võib-olla tekib selle tulemusel sulg, mida saab ka lühendada, või on see eemaldatud monoom.
Proovige monoomi rühmitada, et lisada neile ühine tegur. Pärast seda võib selguda, et on tegureid, mida saab vähendada, või taas korratakse tavaliste elementide sulgusid.
Proovige kirjalikult arvestada lühendatud korrutusvalemeid. Nende abiga saate polünoomid hõlpsasti teguriteks teisendada.
Tehte jada astmetega murdudega
Selleks, et hõlpsasti mõista küsimust, kuidas võimsustega murdosa vähendada, peate nendega põhitoimingud kindlalt meeles pidama. Esimene neist on seotud volituste mitmekordistamisega. Sel juhul, kui alused on samad, tuleb indikaatorid lisada.
Teine on jagunemine. Jällegi, nende puhul, millel on samad põhjused, tuleb näitajad lahutada. Veelgi enam, peate lahutama dividendis olevast numbrist, mitte vastupidi.
Kolmas on astendamine. Sellises olukorras on näitajad korrutatud.
Edukaks vähendamiseks on vaja ka võimet vähendada võimsusi võrdsetele alustele. See tähendab, et näha, et neli on kaks ruutu. Või 27 – kuubik kolmest. Sest 9 ruudu ja 3 kuubi vähendamine on keeruline. Aga kui teisendame esimese avaldise kujul (3 2) 2, siis on redutseerimine edukas.
Kui meil on vaja 497 jagada 4-ga, siis jagamisel näeme, et 497 ei jagu 4-ga ühtlaselt, s.t. ülejäänud osa jääb alles. Sellistel juhtudel öeldakse, et see on lõpetatud jäägiga jagamine ja lahendus kirjutatakse järgmiselt:
497: 4 = 124 (1 jääk).
Võrdsuse vasakul küljel olevaid jagamise komponente nimetatakse samadeks, mis ilma jäägita jagamisel: 497 - dividend, 4 - jagaja. Nimetatakse jagamise tulemus jäägiga jagamisel puudulik privaatne. Meie puhul on see number 124. Ja lõpuks, viimane komponent, mis ei ole tavalises jaotuses, on ülejäänud osa. Juhtudel, kui jääki pole, öeldakse, et üks arv jagatakse teisega jäljetult või täielikult. Arvatakse, et sellise jagamise korral on jääk null. Meie puhul on jääk 1.
Ülejäänud osa on alati väiksem kui jagaja.
Jagamist saab kontrollida korrutamisega. Kui on näiteks võrdsus 64: 32 = 2, siis saab kontrollida järgmiselt: 64 = 32 * 2.
Sageli juhtudel, kui tehakse jäägiga jagamine, on mugav kasutada võrdsust
a = b * n + r,
kus a on dividend, b on jagaja, n on osajagatis, r on jääk.
Naturaalarvude jagatise saab kirjutada murruna.
Murru lugeja on dividend ja nimetaja jagaja.
Kuna murdosa lugeja on dividend ja nimetaja jagaja, usun, et murru rida tähendab jagamist. Mõnikord on mugav kirjutada jagamine murruna ilma märki ":" kasutamata.
Naturaalarvude m ja n jagamise jagatise saab kirjutada murruna \(\frac(m)(n)\), kus lugeja m on dividend ja nimetaja n on jagaja:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Järgmised reeglid vastavad tõele:
Murru \(\frac(m)(n)\ saamiseks peate ühiku jagama n võrdseks osaks (osaks) ja võtma m sellist osa.
Murru \(\frac(m)(n)\ saamiseks peate jagama arvu m arvuga n.
Terviku osa leidmiseks tuleb tervikule vastav arv jagada nimetajaga ja tulemus korrutada seda osa väljendava murdosa lugejaga.
Selle osast terviku leidmiseks peate jagama sellele osale vastava arvu lugejaga ja korrutama tulemuse selle osa väljendava murdosa nimetajaga.
Kui nii murdosa lugeja kui ka nimetaja korrutatakse sama arvuga (välja arvatud null), siis murru väärtus ei muutu:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Kui nii murdosa lugeja kui ka nimetaja jagatakse sama arvuga (välja arvatud null), siis murru väärtus ei muutu:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Seda omadust nimetatakse murdosa peamine omadus.
Nimetatakse kahte viimast teisendust murdosa vähendamine.
Kui murde on vaja esitada sama nimetajaga murdudena, kutsutakse seda tegevust murdude taandamine ühise nimetajani.
Õiged ja valemurrud. Seganumbrid
Te juba teate, et murdosa saab saada, jagades terviku võrdseteks osadeks ja võttes mitu sellist osa. Näiteks murd \(\frac(3)(4)\) tähendab kolmveerandit ühest. Paljudes eelmises lõigus toodud ülesannetes kasutati murde terviku osade esitamiseks. Terve mõistus eeldab, et osa peaks alati olema väiksem kui tervik, aga kuidas on lood selliste murdudega nagu \(\frac(5)(5)\) või \(\frac(8)(5)\)? On selge, et see ei kuulu enam üksusesse. Tõenäoliselt seepärast kutsutaksegi murde, mille lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne ebaõiged murded. Ülejäänud murde, st murde, mille lugeja on nimetajast väiksem, nimetatakse õiged murded.
Nagu teate, võib mis tahes harilikku murru, nii õiget kui ka valet, pidada lugeja jagamise tulemuseks nimetajaga. Seetõttu ei tähenda termin matemaatikas erinevalt tavakeelest seda, et me tegime midagi valesti, vaid ainult seda, et selle murru lugeja on nimetajast suurem või sellega võrdne.
Kui arv koosneb täisarvust osast ja murdosast, siis selline fraktsioone nimetatakse segatud.
Näiteks:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 on täisarv ja \(\frac(2)(3) \) on murdosa.
Kui murru \(\frac(a)(b) \) lugeja jagub naturaalarvuga n, siis selle murdosa jagamiseks n-ga tuleb selle lugeja jagada selle arvuga:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Kui murdosa \(\frac(a)(b)\) lugeja ei jagu naturaalarvuga n, siis selle murdosa jagamiseks n-ga peate selle nimetaja selle arvuga korrutama:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Pange tähele, et teine reegel kehtib ka siis, kui lugeja jagub n-ga. Seetõttu saame seda kasutada siis, kui esmapilgul on raske kindlaks teha, kas murru lugeja jagub n-ga või mitte.
Tegevused murdarvudega. Murdude lisamine.
Murdarvudega saab sooritada aritmeetilisi tehteid nagu naturaalarvudega. Vaatame kõigepealt murdude lisamist. Sarnaste nimetajatega murde on lihtne lisada. Leiame näiteks \(\frac(2)(7)\) ja \(\frac(3)(7)\) summa. On lihtne mõista, et \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Samade nimetajatega murdude liitmiseks peate lisama nende lugejad ja jätma nimetaja samaks.
Tähtede abil saab sarnaste nimetajatega murdude lisamise reegli kirjutada järgmiselt:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Kui on vaja liita erinevate nimetajatega murde, tuleb need esmalt taandada ühiseks nimetajaks. Näiteks:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Murdude, nagu ka naturaalarvude puhul kehtivad liitmise kommutatiivsed ja assotsiatiivsed omadused.
Segafraktsioonide lisamine
Nimetatakse selliseid tähistusi nagu \(2\frac(2)(3)\). segafraktsioonid. Sel juhul kutsutakse numbrit 2 terve osa segamurd ja arv \(\frac(2)(3)\) on selle murdosa. Kirje \(2\frac(2)(3)\) loetakse järgmiselt: "kaks ja kaks kolmandikku."
Jagades arvu 8 arvuga 3, saate kaks vastust: \(\frac(8)(3)\) ja \(2\frac(2)(3)\). Need väljendavad sama murdarvu, st \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Seega esitatakse vale murd \(\frac(8)(3)\) segamurruna \(2\frac(2)(3)\). Sellistel juhtudel öeldakse, et valest murdosast tõstis esile kogu osa.
Murdude lahutamine (murdarvud)
Murdarvude lahutamine, nagu naturaalarvudki, määratakse liitmise toimingu alusel: ühest arvust teise lahutamine tähendab arvu leidmist, mis teisele liitmisel annab esimese. Näiteks:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) alates \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9) = \frac(8)(9)\)
Sarnaste nimetajatega murdude lahutamise reegel on sarnane selliste murdude liitmise reegliga:
Samade nimetajatega murdude erinevuse leidmiseks peate lahutama teise murdosa lugeja esimese murru lugejast ja jätma nimetaja samaks.
Tähtede abil kirjutatakse see reegel järgmiselt:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Murdude korrutamine
Murru korrutamiseks murdosaga peate korrutama nende lugejad ja nimetajad ning kirjutama esimese korrutise lugejaks ja teise nimetajaks.
Tähtede abil saab murdude korrutamise reegli kirjutada järgmiselt:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Sõnastatud reegli abil saate murdosa korrutada naturaalarvuga, segamurruga ja ka segamurrud. Selleks peate kirjutama naturaalarvu murdena, mille nimetaja on 1, segamurru - vale murruna.
Korrutamise tulemust tuleks (võimaluse korral) lihtsustada, vähendades murdosa ja eraldades kogu vale murdosa.
Murdude, nagu ka naturaalarvude puhul kehtivad korrutamise kommutatiivsed ja kombinatiivsed omadused, samuti korrutamise jaotusomadused liitmise suhtes.
Murdude jagamine
Võtame murdosa \(\frac(2)(3)\) ja pöörame selle ümber, vahetades lugeja ja nimetaja. Saame murdosa \(\frac(3)(2)\). Seda murdosa nimetatakse tagurpidi murrud \(\frac(2)(3)\).
Kui nüüd murru \(\frac(3)(2)\ "tagurdada", saame algse murru \(\frac(2)(3)\). Seetõttu nimetatakse selliseid murde nagu \(\frac(2)(3)\) ja \(\frac(3)(2)\). vastastikku pöördvõrdeline.
Näiteks murrud \(\frac(6)(5) \) ja \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ja \(\frac (18) )(7)\).
Tähtede abil saab pöördmurrud kirjutada järgmiselt: \(\frac(a)(b) \) ja \(\frac(b)(a) \)
On selge, et pöördmurdude korrutis on 1. Näiteks: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Vastastikuseid murde kasutades saate murdude jagamise taandada korrutamiseks.
Murru murruga jagamise reegel on järgmine:
Ühe murdosa teisega jagamiseks peate dividendi korrutama jagaja pöördarvuga.
Tähtede abil saab murdude jagamise reegli kirjutada järgmiselt:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Kui dividend või jagaja on naturaalarv või segamurd, siis selleks, et kasutada murdude jagamise reeglit, tuleb see esmalt esitada valemurruna.