Pärast esialgset suurtükiväe ettevalmistust on 3-4-5 funktsioonide pesastusega näited vähem hirmutavad. Järgmised kaks näidet võivad mõnele tunduda keerulised, aga kui neist aru saada (keegi kannatab), siis peaaegu kõik muu diferentsiaalarvutuses tundub lapse naljana.

Näide 2

Leia funktsiooni tuletis

Nagu juba märgitud, on kompleksfunktsiooni tuletise leidmisel kõigepealt vajalik Õige SAage aru oma investeeringutest. Kahtluste korral tuletan teile meelde kasulikku tehnikat: võtame näiteks "x" eksperimentaalse väärtuse ja proovime (vaimselt või mustandis) asendada selle väärtuse "kohutava väljendiga".

1) Esmalt peame arvutama avaldise, mis tähendab, et summa on sügavaim manustamine.

2) Seejärel peate arvutama logaritmi:

4) Seejärel lõigake koosinus kuubikuks:

5) Viiendas etapis erinevus:

6) Ja lõpuks, välimine funktsioon on ruutjuur:

Valem keeruka funktsiooni eristamiseks rakendatakse vastupidises järjekorras, alates välimisest funktsioonist kuni sisemiseni. Otsustame:

Tundub ilma vigadeta:

1) Võtke ruutjuure tuletis.

2) Võtke erinevuse tuletis reegli abil

3) Kolmiku tuletis on null. Teise liikmena võtame astme (kuubi) tuletise.

4) Võtke koosinuse tuletis.

6) Ja lõpuks võtame sügavaima manustamise tuletise.

See võib tunduda liiga raske, kuid see pole just kõige jõhkram näide. Võtke näiteks Kuznetsovi kollektsioon ja hindate analüüsitud tuletise kogu ilu ja lihtsust. Märkasin, et neile meeldib eksamil anda sarnast asja, et kontrollida, kas õpilane saab aru, kuidas keerulise funktsiooni tuletist leida või ei saa aru.

Järgmine näide on teie jaoks iseseisvaks lahendamiseks.

Näide 3

Leia funktsiooni tuletis

Vihje: Esmalt rakendame lineaarsuse reegleid ja toodete eristamise reeglit

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

On aeg liikuda edasi millegi väiksema ja toredama poole.
Pole harvad juhud, kui näide näitab mitte kahe, vaid kolme funktsiooni korrutist. Kuidas leida kolme teguri korrutise tuletist?

Näide 4

Leia funktsiooni tuletis

Kõigepealt vaatame, kas kolme funktsiooni korrutist on võimalik muuta kahe funktsiooni korrutiseks? Näiteks kui meil oleks tootes kaks polünoomi, siis saaksime sulud avada. Kuid vaadeldavas näites on kõik funktsioonid erinevad: aste, eksponent ja logaritm.

Sellistel juhtudel on see vajalik järjestikku kohaldada toodete eristamise reeglit kaks korda

Nipp seisneb selles, et y-ga tähistame kahe funktsiooni korrutist: , ja ve-ga logaritmi: . Miks saab seda teha? Kas tõesti - see ei ole kahe teguri tulemus ja reegel ei tööta?! Midagi keerulist pole:

Nüüd jääb üle reeglit teist korda rakendada sulgudesse:

Võite ka väänata ja midagi sulgudest välja panna, kuid sel juhul on parem jätta vastus täpselt sellisele kujule - seda on lihtsam kontrollida.

Vaadeldava näite saab lahendada teisel viisil:

Mõlemad lahendused on absoluutselt samaväärsed.

Näide 5

Leia funktsiooni tuletis

See on näide sõltumatu lahenduse kohta, mis on proovis lahendatud esimese meetodi abil.

Vaatame sarnaseid näiteid murdudega.

Näide 6

Leia funktsiooni tuletis

Siin on mitu võimalust:

Või niimoodi:

Lahendus kirjutatakse aga kompaktsemalt, kui kasutame esmalt jagatise diferentseerimise reeglit , võttes kogu lugeja jaoks:

Põhimõtteliselt on näide lahendatud ja kui see jätta nii, pole see viga. Kuid kui teil on aega, on alati soovitatav vaadata mustandit, et näha, kas vastust saab lihtsustada?

Vähendame lugeja avaldise ühiseks nimetajaks ja vabaneme murru kolmekorruselisest struktuurist:

Täiendavate lihtsustuste puuduseks on oht eksida mitte tuletise leidmisel, vaid banaalsete kooliteisenduste käigus. Teisest küljest lükkavad õpetajad sageli ülesande tagasi ja paluvad tuletise „meelde tuua”.

Lihtsam näide iseseisvaks lahendamiseks:

Näide 7

Leia funktsiooni tuletis

Jätkame tuletise leidmise meetodite valdamist ja nüüd käsitleme tüüpilist juhtumit, kui eristamiseks pakutakse välja “kohutav” logaritm

Antud funktsiooni tuletise leidmise probleem on gümnaasiumi matemaatikakursustes ja kõrgkoolides üks põhilisi. Funktsiooni on võimatu täielikult uurida ja selle graafikut koostada ilma selle tuletist võtmata. Funktsiooni tuletise on lihtne leida, kui tead põhilisi diferentseerimise reegleid ja ka põhifunktsioonide tuletisi tabelit. Mõelgem välja, kuidas leida funktsiooni tuletist.

Funktsiooni tuletis on funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui argumendi juurdekasv kipub olema null.

Selle määratluse mõistmine on üsna keeruline, kuna piiri mõistet ei õpita koolis täielikult. Kuid erinevate funktsioonide tuletiste leidmiseks pole vaja definitsiooni mõista, jätkem see matemaatikute hooleks ja liigume otse tuletise leidmise juurde.

Tuletise leidmise protsessi nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni eristamisel saame uue funktsiooni.

Nende tähistamiseks kasutame ladina tähti f, g jne.

Tuletisinstrumentide jaoks on palju erinevaid tähistusi. Me kasutame lööki. Näiteks g" kirjutamine tähendab, et leiame funktsiooni g tuletise.

Tuletisinstrumentide tabel

Tuletise leidmise küsimusele vastamiseks on vaja esitada põhifunktsioonide tuletiste tabel. Elementaarfunktsioonide tuletiste arvutamiseks ei ole vaja teha keerulisi arvutusi. Piisab, kui vaadata selle väärtust tuletisinstrumentide tabelis.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (kaare x)"= 1/√ (1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√ (1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1 + x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1 + x 2)

Näide 1. Leia funktsiooni y=500 tuletis.

Näeme, et see on konstant. Tuletiste tabelist on teada, et konstandi tuletis on võrdne nulliga (valem 1).

Näide 2. Leia funktsiooni y=x 100 tuletis.

See on astmefunktsioon, mille eksponent on 100 ja selle tuletise leidmiseks peate funktsiooni korrutama astendajaga ja vähendama seda 1-ga (valem 3).

(x 100)" = 100 x 99

Näide 3. Leia funktsiooni y=5 x tuletis

See on eksponentsiaalne funktsioon, arvutame selle tuletise valemi 4 abil.

Näide 4. Leia funktsiooni y= log 4 x tuletis

Leiame logaritmi tuletise valemi 7 abil.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Eristamise reeglid

Mõelgem nüüd välja, kuidas leida funktsiooni tuletist, kui seda tabelis pole. Enamik uuritud funktsioone ei ole elementaarfunktsioonid, vaid on elementaarfunktsioonide kombinatsioonid, mis kasutavad lihtsaid tehteid (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ja arvuga korrutamine). Nende tuletiste leidmiseks peate teadma eristamise reegleid. Allpool tähistavad tähed f ja g funktsioone ning C on konstant.

1. Tuletise märgist saab välja võtta konstantse koefitsiendi

Näide 5. Leia funktsiooni y= 6*x 8 tuletis

Me võtame välja konstantse teguri 6 ja eristame ainult x 4. See on astmefunktsioon, mille tuletis leitakse tuletiste tabeli valemi 3 abil.

(6*x8)" = 6*(x8)"=6*8*x7 =48* x 7

2. Summa tuletis võrdub tuletiste summaga

(f + g)"=f" + g"

Näide 6. Leia funktsiooni y= x 100 +sin x tuletis

Funktsioon on kahe funktsiooni summa, mille tuletised leiame tabelist. Kuna (x 100)"=100 x 99 ja (sin x)"=cos x. Summa tuletis on võrdne nende tuletiste summaga:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Erinevuse tuletis võrdub tuletiste erinevusega

(f – g)"=f" – g"

Näide 7. Leia funktsiooni y= x 100 – cos x tuletis

See funktsioon on kahe funktsiooni erinevus, mille tuletised leiame ka tabelist. Siis on erinevuse tuletis võrdne tuletiste erinevusega ja ärge unustage märki muuta, kuna (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Näide 8. Leia funktsiooni y=e x +tg x– x 2 tuletis.

Sellel funktsioonil on nii summa kui ka erinevus; leiame iga termini tuletised:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Siis on algfunktsiooni tuletis võrdne:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Toote tuletis

(f * g)"=f" * g + f * g"

Näide 9. Leia funktsiooni y= cos x *e x tuletis

Selleks leiame esmalt iga teguri tuletise (cos x)"=–sin x ja (e x)"=e x. Nüüd asendame kõik toote valemiga. Korrutame esimese funktsiooni tuletise teisega ja liidame esimese funktsiooni korrutise teise tuletisega.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Jagatise tuletis

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Näide 10. Leia funktsiooni y= x 50 /sin x tuletis

Jagatise tuletise leidmiseks leiame esmalt eraldi lugeja ja nimetaja tuletise: (x 50)"=50 x 49 ja (sin x)"= cos x. Asendades jagatise tuletise valemis, saame:

(x 50 /sin x)"= 50x49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Kompleksfunktsiooni tuletis

Kompleksfunktsioon on funktsioon, mida esindab mitme funktsiooni koostis. Samuti on olemas reegel kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

(u (v))"=u"(v)*v"

Mõelgem välja, kuidas sellise funktsiooni tuletist leida. Olgu y= u(v(x)) kompleksfunktsioon. Nimetame funktsiooni u väliseks ja v - sisemiseks.

Näiteks:

y=sin (x 3) on kompleksfunktsioon.

Siis y=sin(t) on väline funktsioon

t=x 3 – sisemine.

Proovime arvutada selle funktsiooni tuletise. Vastavalt valemile peate korrutama sisemiste ja väliste funktsioonide tuletised.

(sin t)"=cos (t) - välisfunktsiooni tuletis (kus t = x 3)

(x 3)"=3x 2 - sisefunktsiooni tuletis

Siis (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 on kompleksfunktsiooni tuletis.

Kuupäev: 20.11.2014

Mis on tuletis?

Tuletisinstrumentide tabel.

Tuletis on üks kõrgema matemaatika põhimõisteid. Selles õppetükis tutvustame seda mõistet. Õpime üksteist tundma, ilma rangete matemaatiliste sõnastuste ja tõestusteta.

See tutvus võimaldab teil:

Saab aru tuletistega lihtsate ülesannete olemusest;

Neid lihtsamaid ülesandeid edukalt lahendada;

Valmistuge tõsisemateks õppetundideks tuletisinstrumentide kohta.

Esiteks - meeldiv üllatus.)

Tuletise range määratlus põhineb piiride teoorial ja asi on üsna keeruline. See on häiriv. Kuid tuletisinstrumentide praktiline rakendamine reeglina nii ulatuslikke ja sügavaid teadmisi ei nõua!

Enamiku ülesannete edukaks täitmiseks koolis ja ülikoolis piisab teadmisest vaid paar terminit- ülesande mõistmiseks ja vaid mõned reeglid- selle lahendamiseks. See on kõik. See teeb mind õnnelikuks.

Alustame tutvumist?)

Tingimused ja nimetused.

Algmatemaatikas on palju erinevaid matemaatilisi tehteid. Liitmine, lahutamine, korrutamine, astendamine, logaritm jne. Kui lisada nendele tehtele veel üks tehte, muutub elementaarne matemaatika kõrgemaks. Seda uut operatsiooni nimetatakse eristamist. Selle toimingu määratlust ja tähendust arutatakse eraldi õppetundides.

Siin on oluline mõista, et diferentseerimine on lihtsalt funktsiooni matemaatiline tehe. Me võtame mis tahes funktsiooni ja vastavalt teatud reeglitele teisendame selle. Tulemuseks on uus funktsioon. Seda uut funktsiooni nimetatakse: tuletis.

Eristumine- toiming funktsioonile.

Tuletis- selle toimingu tulemus.

Nii nagu näiteks summa- lisamise tulemus. Või privaatne- jagamise tulemus.

Mõisteid teades saate vähemalt ülesannetest aru.) Sõnad on järgmised: leida funktsiooni tuletis; võta tuletis; eristada funktsiooni; tuletise arvutamine ja nii edasi. See on kõik sama. Muidugi on ka keerulisemaid ülesandeid, kus tuletise leidmine (diferentseerimine) on vaid üks sammudest ülesande lahendamisel.

Tuletist tähistab funktsiooni paremas ülanurgas kriips. Nagu nii: y" või f"(x) või S"(t) ja nii edasi.

Lugemine igrek insult, ef insult alates x, es insult alates te, no saate aru...)

Algväärtus võib näidata ka konkreetse funktsiooni tuletist, näiteks: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" jne. Sageli tähistatakse tuletisi diferentsiaalide abil, kuid me selles õppetükis sellist tähistust ei käsitle.

Oletame, et oleme õppinud ülesannetest aru saama. Jääb üle vaid õppida, kuidas neid lahendada.) Lubage mul teile veel kord meelde tuletada: tuletise leidmine on funktsiooni teisendamine teatud reeglite järgi.Üllataval kombel on neid reegleid väga vähe.

Funktsiooni tuletise leidmiseks peate teadma ainult kolme asja. Kolm sammast, millel seisab kogu eristamine. Siin on need kolm sammast:

1. Tuletiste tabel (diferentseerimisvalemid).

3. Kompleksfunktsiooni tuletis.

Alustame järjekorras. Selles õppetükis vaatleme tuletiste tabelit.

Tuletisinstrumentide tabel.

Maailmas on lõpmatu arv funktsioone. Selle komplekti hulgas on funktsioone, mis on praktilise kasutuse jaoks kõige olulisemad. Neid funktsioone leidub kõigis loodusseadustes. Nendest funktsioonidest, nagu tellistest, saate konstrueerida kõik teised. Seda funktsioonide klassi nimetatakse elementaarsed funktsioonid. Just neid funktsioone koolis õpitakse - lineaarne, ruut, hüperbool jne.

Funktsioonide diferentseerimine "nullist", st. Tuletise definitsiooni ja piiride teooria põhjal on see üsna töömahukas asi. Ja matemaatikud on ka inimesed, jah, jah!) Nii nad lihtsustasid oma (ja meie) elu. Nad arvutasid enne meid elementaarfunktsioonide tuletised. Tulemuseks on tuletiste tabel, kus kõik on valmis.)

Siin see on, see plaat kõige populaarsemate funktsioonide jaoks. Vasakul on elementaarfunktsioon, paremal on selle tuletis.

	Funktsioon y	Funktsiooni y tuletis y"
1	C (konstantne väärtus)	C" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n – mis tahes arv)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	sin x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	arcsin x
	arccos x
	arctan x
	arcctg x
4	a x
	e x
5	logi a x
	ln x ( a = e)

Soovitan pöörata tähelepanu kolmandale funktsioonide rühmale selles tuletiste tabelis. Astmefunktsiooni tuletis on üks levinumaid valemeid, kui mitte kõige levinum! Kas saate vihjest aru?) Jah, tuletiste tabelit on soovitav peast teada. Muide, see pole nii keeruline, kui võib tunduda. Proovige rohkem näiteid lahendada, tabel ise jääb meelde!)

Nagu te mõistate, ei ole tuletise tabeli väärtuse leidmine kõige keerulisem ülesanne. Seetõttu on sellistes ülesannetes väga sageli täiendavaid kiipe. Kas ülesande sõnastuses või algses funktsioonis, mida tabelis ei paista olevat...

Vaatame mõnda näidet:

1. Leia funktsiooni y = x tuletis 3

Tabelis sellist funktsiooni pole. Kuid on olemas astmefunktsiooni tuletis üldkujul (kolmas rühm). Meie puhul n=3. Seega asendame n asemel kolm ja kirjutame tulemuse hoolikalt üles:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

See on kõik.

Vastus: y" = 3x 2

2. Leia funktsiooni y = sinx tuletise väärtus punktis x = 0.

See ülesanne tähendab, et peate esmalt leidma siinuse tuletise ja seejärel selle väärtuse asendama x = 0 sellesse samasse tuletisse. Täpselt sellises järjekorras! Muidu juhtub, et nad asendavad nulliga kohe algse funktsiooni... Meil ​​palutakse leida mitte algfunktsiooni väärtus, vaid väärtus selle tuletis. Tuletis, lubage mul teile meelde tuletada, on uus funktsioon.

Tahvelarvuti abil leiame siinuse ja vastava tuletise:

y" = (sin x)" = cosx

Asendame tuletis nulliga:

y"(0) = cos 0 = 1

See on vastus.

3. Eristage funktsiooni:

Mida, kas see inspireerib?) Tuletisi tabelis pole sellist funktsiooni.

Lubage mul teile meelde tuletada, et funktsiooni eristamine tähendab lihtsalt selle funktsiooni tuletise leidmist. Kui unustate elementaarse trigonomeetria, on meie funktsiooni tuletise otsimine üsna tülikas. Tabel ei aita...

Aga kui me näeme, et meie funktsioon on topeltnurga koosinus, siis läheb kõik kohe paremaks!

Jah Jah! Pidage meeles, et algse funktsiooni muutmine enne eristamist täitsa vastuvõetav! Ja see teeb elu palju lihtsamaks. Kasutades topeltnurga koosinusvalemit:

Need. meie keeruline funktsioon pole midagi muud kui y = cosx. Ja see on tabelifunktsioon. Kohe saame:

Vastus: y" = - sin x.

Näide edasijõudnutele ja üliõpilastele:

4. Leidke funktsiooni tuletis:

Tuletiste tabelis sellist funktsiooni loomulikult pole. Aga kui mäletate elementaarset matemaatikat, tehteid astmetega... Siis on seda funktsiooni täiesti võimalik lihtsustada. Nagu nii:

Ja x kümnendiku astmega on juba tabelifunktsioon! Kolmas rühm, n = 1/10. Kirjutame otse valemi järgi:

See on kõik. See on vastus.

Loodan, et esimese diferentseerimissambaga – tuletiste tabeliga – on kõik selge. Jääb tegeleda kahe ülejäänud vaalaga. Järgmises tunnis õpime eristamise reegleid.

Selles tunnis õpime rakendama valemeid ja eristamise reegleid.

Näited. Leia funktsioonide tuletised.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Reegli rakendamine I, valemid 4, 2 ja 1. Saame:

y’=7x6 +5x4-4x3 +3x2-2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Lahendame sarnaselt, kasutades samu valemeid ja valemit 3.

y’=3∙6x5-2=18x5-2.

Reegli rakendamine I, valemid 3, 5 Ja 6 Ja 1.

Reegli rakendamine IV, valemid 5 Ja 1 .

Viiendas näites reegli järgi I summa tuletis võrdub tuletiste summaga ja just leidsime 1. liikme tuletise (näide 4 ), seetõttu leiame tuletised 2 Ja 3 tingimused ja 1. jaoks summand saame kohe tulemuse kirjutada.

Teeme vahet 2 Ja 3 terminid valemi järgi 4 . Selleks teisendame nimetajates oleva kolmanda ja neljanda astme juured negatiivsete astendajatega astmeteks ja seejärel vastavalt 4 valem, leiame astmete tuletised.

Vaadake seda näidet ja tulemust. Kas sa said mustri kinni? Hästi. See tähendab, et meil on uus valem ja saame selle lisada oma tuletiste tabelisse.

Lahendame kuuenda näite ja tuletame teise valemi.

Kasutame reeglit IV ja valem 4 . Vähendame saadud murde.

Vaatame seda funktsiooni ja selle tuletist. Muidugi mõistate mustrit ja olete valmis valemit nimetama:

Õppige uusi valemeid!

Näited.

1. Leia argumendi juurdekasv ja funktsiooni y= juurdekasv x 2, kui argumendi algväärtus oli võrdne 4 ja uus - 4,01 .

Lahendus.

Uus argumendi väärtus x=x 0 +Δx. Asendame andmed: 4.01=4+Δх, siit ka argumendi juurdekasv Δх=4,01-4 = 0,01. Funktsiooni juurdekasv on definitsiooni järgi võrdne funktsiooni uue ja eelmiste väärtuste erinevusega, st. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Kuna meil on funktsioon y=x2, See Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Vastus: argumentide juurdekasv Δх=0,01; funktsiooni juurdekasv Δу=0,0801.

Funktsiooni juurdekasvu võib leida erinevalt: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.

2. Leia funktsiooni graafiku puutuja kaldenurk y=f(x) punktis x 0, Kui f "(x 0) = 1.

Lahendus.

Tuletise väärtus puutepunktis x 0 ja on puutuja nurga puutuja väärtus (tuletise geomeetriline tähendus). Meil on: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, sest tg45° = 1.

Vastus: selle funktsiooni graafiku puutuja moodustab nurga Ox-telje positiivse suunaga 45°.

3. Tuletage funktsiooni tuletise valem y=xn.

Eristumine on funktsiooni tuletise leidmise toiming.

Tuletisi leidmisel kasutage valemeid, mis tuletati tuletise definitsiooni alusel, samamoodi nagu tuletasime tuletise astme valemi: (x n)" = nx n-1.

Need on valemid.

Tuletisinstrumentide tabel Verbaalsete sõnastuste hääldamisel on seda lihtsam meelde jätta:

1. Konstantse suuruse tuletis on null.

2. X algarvu on võrdne ühega.

3. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta.

4. Astme tuletis on võrdne selle astme eksponendi korrutisega sama alusega astme võrra, kuid eksponent on ühe võrra väiksem.

5. Juure tuletis võrdub ühega, mis on jagatud kahe võrdse juurega.

6. Ühe jagatuna x-ga tuletis võrdub miinus üks jagatuna x-ga ruudus.

7. Siinuse tuletis on võrdne koosinusega.

8. Koosinuse tuletis on võrdne miinussiinusega.

9. Puutuja tuletis võrdub ühega, mis on jagatud koosinuse ruuduga.

10. Kootangensi tuletis on miinus üks jagatuna siinuse ruuduga.

Me õpetame diferentseerimisreeglid.

1. Algebralise summa tuletis on võrdne terminite tuletiste algebralise summaga.

2. Korrutise tuletis on võrdne esimese ja teise teguri tuletise korrutisega pluss esimese teguri ja teise teguri tuletis.

3. Tuletis "y" jagatud "ve"-ga võrdub murdosaga, milles lugeja on "y algarvu korrutis "ve" miinus "y korrutatud ve-ga" ja nimetaja on "ve ruudus".

4. Valemi erijuhtum 3.

Õpime koos!

1. lehekülg 1-st 1

Millel uurisime lihtsamaid tuletisi ning tutvusime ka diferentseerimise reeglitega ja mõningate tehniliste võtetega tuletisi leidmiseks. Seega, kui te pole funktsioonide tuletistega väga hea või mõned punktid selles artiklis pole täiesti selged, lugege esmalt ülaltoodud õppetundi. Palun võtke tõsine tuju - materjal ei ole lihtne, kuid ma püüan selle siiski lihtsalt ja selgelt esitada.

Praktikas tuleb keerulise funktsiooni tuletisega tegeleda väga sageli, ma isegi ütleksin, et peaaegu alati, kui antakse ülesandeid tuletisi leidmiseks.

Tabelist vaatame reeglit (nr 5) keeruka funktsiooni eristamiseks:

Selgitame välja. Kõigepealt pöörame tähelepanu sisestusele. Siin on meil kaks funktsiooni - ja ning funktsioon piltlikult öeldes on pesastatud funktsiooni . Seda tüüpi funktsiooni (kui üks funktsioon on pesastatud teise sisse) nimetatakse kompleksfunktsiooniks.

Kutsun funktsiooni välja väline funktsioon ja funktsioon – sisemine (või pesastatud) funktsioon.

! Need määratlused ei ole teoreetilised ja ei tohiks esineda ülesannete lõplikus vormis. Kasutan mitteametlikke väljendeid "väline funktsioon", "sisemine" funktsioon ainult selleks, et teil oleks materjalist lihtsam aru saada.

Olukorra selgitamiseks kaaluge:

Näide 1

Leia funktsiooni tuletis

Siinuse all pole mitte ainult täht “X”, vaid terve avaldis, nii et tuletise tabelist kohe leidmine ei toimi. Samuti märkame, et siin on võimatu rakendada nelja esimest reeglit, näib olevat erinevus, kuid fakt on see, et siinust ei saa "tükkideks rebida":

Selles näites on minu selgitustest juba intuitiivselt selge, et funktsioon on kompleksfunktsioon ja polünoom on sisemine funktsioon (kinnitamine) ja väline funktsioon.

Esimene samm mida peate tegema keeruka funktsiooni tuletise leidmisel mõista, milline funktsioon on sisemine ja milline väline.

Lihtsate näidete puhul näib olevat selge, et siinuse alla on põimitud polünoom. Aga mis siis, kui kõik pole ilmselge? Kuidas täpselt kindlaks teha, milline funktsioon on väline ja milline sisemine? Selleks soovitan kasutada järgmist tehnikat, mida saab teha mõtteliselt või mustandis.

Kujutagem ette, et peame kalkulaatoris arvutama avaldise väärtuse at (ühe asemel võib olla suvaline arv).

Mida me kõigepealt arvutame? Esiteks peate tegema järgmise toimingu: , seega on polünoom sisemine funktsioon:

Teiseks tuleb leida, nii et siinus – on väline funktsioon:

Pärast meie VÄLJA MÜÜDUD sisemiste ja väliste funktsioonide puhul on aeg rakendada keerukate funktsioonide eristamise reeglit .

Hakkame otsustama. Õppetunnist Kuidas tuletist leida? mäletame, et mis tahes tuletise lahenduse kujundamine algab alati nii - lisame väljendi sulgudesse ja teeme joone paremasse ülaossa:

Esiteks leiame välisfunktsiooni tuletise (siinuse), vaatame elementaarfunktsioonide tuletisi tabelit ja paneme tähele, et . Kõik tabelivalemid on rakendatavad ka siis, kui “x” on asendatud kompleksavaldisega, sel juhul:

Pange tähele, et sisemine funktsioon ei ole muutunud, me ei puuduta seda.

Noh, see on üsna ilmne

Valemi rakendamise tulemus lõplikul kujul näeb see välja järgmine:

Konstanttegur paigutatakse tavaliselt avaldise algusesse:

Kui tekib arusaamatus, kirjuta lahendus paberile ja loe selgitused uuesti läbi.

Näide 2

Leia funktsiooni tuletis

Näide 3

Leia funktsiooni tuletis

Nagu alati, kirjutame üles:

Mõelgem välja, kus on meil väline funktsioon ja kus sisemine. Selleks proovime (mõtteliselt või mustandis) arvutada avaldise väärtuse . Mida peaksite kõigepealt tegema? Kõigepealt peate arvutama, millega alus on võrdne: seetõttu on polünoom sisemine funktsioon:

Ja alles siis tehakse eksponentsiatsioon, seega on võimsusfunktsioon väline funktsioon:

Vastavalt valemile , tuleb esmalt leida välisfunktsiooni tuletis, antud juhul aste. Otsime tabelist vajaliku valemi: . Kordame uuesti: mis tahes tabelivalem ei kehti mitte ainult "X", vaid ka kompleksavaldise jaoks. Seega kompleksfunktsiooni eristamise reegli rakendamise tulemus järgmine:

Rõhutan veel kord, et kui võtame välisfunktsiooni tuletise, siis meie sisemine funktsioon ei muutu:

Nüüd jääb üle vaid leida sisefunktsiooni väga lihtne tuletis ja tulemust veidi muuta:

Näide 4

Leia funktsiooni tuletis

See on näide, mida saate ise lahendada (vastus tunni lõpus).

Kindlustamaks teie arusaama kompleksfunktsiooni tuletisest, toon näite ilma kommentaarideta, proovige see ise välja mõelda, põhjendage, kus on väline ja kus sisemine funktsioon, miks ülesandeid nii lahendatakse?

Näide 5

a) Leia funktsiooni tuletis

b) Leia funktsiooni tuletis

Näide 6

Leia funktsiooni tuletis

Siin on meil juur ja juure eristamiseks tuleb seda esitada võimuna. Seega viime funktsiooni esmalt eristamiseks sobivasse vormi:

Funktsiooni analüüsides jõuame järeldusele, et kolme liikme summa on sisefunktsioon ja astmeni tõstmine on väline funktsioon. Rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit :

Esitame astme taas radikaalina (juurena) ja sisefunktsiooni tuletise puhul rakendame summa eristamiseks lihtsat reeglit:

Valmis. Samuti saate avaldise taandada sulgudes olevale ühisnimetajale ja kirjutada kõik ühe murruna. See on muidugi ilus, kuid kui saate tülikaid pikki tuletisi, on parem seda mitte teha (lihtne on segadusse sattumine, tarbetu viga ja õpetajal on seda ebamugav kontrollida).

Näide 7

Leia funktsiooni tuletis

See on näide, mida saate ise lahendada (vastus tunni lõpus).

Huvitav on märkida, et mõnikord võite keeruka funktsiooni eristamise reegli asemel kasutada jagatise eristamise reeglit , kuid selline lahendus näeb välja ebatavaline perverssus. Siin on tüüpiline näide:

Näide 8

Leia funktsiooni tuletis

Siin saab kasutada jagatise diferentseerimise reeglit , kuid palju tulusam on tuletise leidmine keeruka funktsiooni diferentseerimisreegli abil:

Valmistame funktsiooni diferentseerimiseks ette - viime miinuse tuletismärgist välja ja tõstame koosinuse lugejasse:

Koosinus on sisemine funktsioon, astendamine on väline funktsioon.
Kasutame oma reeglit :

Leiame sisemise funktsiooni tuletise ja lähtestame koosinuse allapoole:

Valmis. Vaadeldavas näites on oluline mitte märkides segadusse sattuda. Muide, proovige seda reegli abil lahendada , peavad vastused ühtima.

Näide 9

Leia funktsiooni tuletis

See on näide, mida saate ise lahendada (vastus tunni lõpus).

Siiani oleme vaadelnud juhtumeid, kus keerulises funktsioonis oli ainult üks pesa. Praktilistes ülesannetes võib sageli leida tuletisi, kus nagu pesitsevatel nukkudel üks teise sisse pesatakse korraga 3 või isegi 4-5 funktsiooni.

Näide 10

Leia funktsiooni tuletis

Mõistame selle funktsiooni manuseid. Proovime avaldist eksperimentaalse väärtuse abil arvutada. Kuidas me arvestaksime kalkulaatoriga?

Esmalt peate leidma , mis tähendab, et arcsiinus on sügavaim manustus:

See arsiinus ühest tuleks seejärel ruudustada:

Ja lõpuks tõstame seitse astmeni:

See tähendab, et selles näites on meil kolm erinevat funktsiooni ja kaks manustamist, samas kui sisemine funktsioon on arcsinus ja välimine funktsioon on eksponentsiaalne funktsioon.

Hakkame otsustama

Reegli järgi Kõigepealt peate võtma välisfunktsiooni tuletise. Vaatame tuletiste tabelit ja leiame eksponentsiaalfunktsiooni tuletise: Ainus erinevus on see, et “x” asemel on meil kompleksavaldis, mis ei muuda selle valemi kehtivust. Niisiis, keeruka funktsiooni eristamise reegli rakendamise tulemus järgmiseks.