ሀሎ, ውድ ጓደኞቼ! ዛሬ ተግባሩን ከክፍል ሐ እንመለከታለን ይህ የሁለት እኩልታዎች ስርዓት ነው. እኩልታዎቹ በጣም ልዩ ናቸው። እዚህ ሳይን እና ኮሳይን አሉ, እና ሥሮችም አሉ. አራት እና ቀላል ችግሮችን የመፍታት ችሎታ ያስፈልጋል. በቀረበው ተግባር እነሱ ዝርዝር መፍትሄዎችአልቀረቡም፣ ይህን ማድረግ መቻል አለብህ። የቀረቡትን ማገናኛዎች በመጠቀም, ተዛማጅ ጽንሰ-ሀሳቦችን እና ተግባራዊ ተግባራትን ማየት ይችላሉ.

ውስጥ ዋናው ችግር ተመሳሳይ ምሳሌዎችየተገኙትን መፍትሄዎች ከተገኘው የትርጉም ጎራ ጋር ማወዳደር አስፈላጊ ነው;

የስርዓቱ መፍትሄ ሁል ጊዜ ጥንድ(ዎች) ቁጥሮች x እና y ነው፣ እንደ (x;y) ተጽፏል።መልሱን ከተቀበሉ በኋላ ማረጋገጥዎን እርግጠኛ ይሁኑ.ሶስት መንገዶች ቀርበዋል ፣ አይደለም ፣ መንገዶች አይደሉም ፣ ግን ሊወስዷቸው የሚችሏቸው ሶስት የማመዛዘን መንገዶች። በግሌ ሦስተኛው ለእኔ ቅርብ ነው። እንጀምር:

የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት፡-

የመጀመሪያው መንገድ!

የእኩልቱን ፍቺ ጎራ እንፈልግ። አክራሪ አገላለጽ አሉታዊ ያልሆነ ትርጉም እንዳለው ይታወቃል፡-

የመጀመሪያውን እኩልታ አስቡበት፡-

1. በ x = 2 ወይም በ x = 4 ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ነገር ግን 4 ራዲያኖች የቃላት ፍቺ (3) አይደሉም.

* የ 4 ራዲያን አንግል (229.188 0) በሶስተኛው ሩብ ውስጥ ይገኛል, በዚህ ውስጥ የሲን እሴቱ አሉታዊ ነው. ለዛ ነው

የቀረው ስር x = 2 ብቻ ነው።

ሁለተኛውን እኩልታ ለ x = 2 አስቡበት።

በዚህ የ x እሴት፣ 2 – y – y 2 የሚለው አገላለጽ ከዜሮ ጋር እኩል መሆን አለበት፣ ምክንያቱም

2 – y – y 2ን እንፍታ = 0፣ y = – 2 ወይም y = 1 እናገኛለን።

ለ y = - 2 የ cos y ሥር ምንም መፍትሄ እንደሌለው ልብ ይበሉ.

* የ -2 ራዲያን (- 114.549 0) አንግል በሦስተኛው ሩብ ውስጥ ይገኛል, እና በውስጡ የኮሳይን ዋጋ አሉታዊ ነው.

ስለዚህ, y = 1 ብቻ ይቀራል.

ስለዚህ የስርዓቱ መፍትሄ ጥንድ (2; 1) ይሆናል.

2. የመጀመሪያው እኩልታ እንዲሁ በ cos y = 0 ላይ ከዜሮ ጋር እኩል ነው, ማለትም በ

ነገር ግን የተገኘውን የትርጉም ጎራ (2) ግምት ውስጥ በማስገባት እናገኛለን፡-

ለዚህ y ሁለተኛውን እኩልታ አስቡበት።

2 - y - y 2 ከ y = - ፒ / 2 ጋር ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም, ይህም ማለት መፍትሄ እንዲያገኝ የሚከተለው ቅድመ ሁኔታ መሟላት አለበት.

እኛ እንወስናለን፡-

የተገኘውን የትርጉም ጎራ (1) ግምት ውስጥ በማስገባት ያንን እናገኛለን

ስለዚህ የስርዓቱ መፍትሄ አንድ ተጨማሪ ጥንድ ነው.

ሁለተኛ መንገድ!

ለገለጻው የትርጉም ጎራ እንፈልግ፡-

ከሥሩ ሥር ያለው አገላለጽ አሉታዊ ያልሆነ ትርጉም እንዳለው ይታወቃል።
እኩልነት 6x - x 2 + 8 ≥ 0 ን መፍታት, 2 ≤ x ≤ 4 (2 እና 4 ራዲያን ናቸው) እናገኛለን.

ጉዳይ 1ን ተመልከት፡-

x = 2 ወይም x = 4 ይሁን።

x = 4 ከሆነ ኃጢአት x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

ያንን ኃጢአት x ≠ 0 ግምት ውስጥ በማስገባት በዚህ ሁኔታ ውስጥ በሁለተኛው የስርዓት እኩልታ 2 - y - y 2 = 0 ውስጥ ይታያል.

እኩልታውን ስንፈታ y = - 2 ወይም y = 1 እናገኛለን።

የተገኙትን እሴቶች በመተንተን x = 4 እና y = - 2 ስር አይደሉም ማለት እንችላለን ኃጢአት x ስለሚገባን< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

በፍቺው ጎራ ውስጥ x = 2 እና y = 1 እንደተካተቱ ማየት ይቻላል።

ስለዚህ, መፍትሄው ጥንድ (2; 1) ነው.

ጉዳይ 2ን እንመልከት፡-

አሁን ፍቀድ 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. ከዚህ በመነሳት በመጀመሪያው እኩልታ cos y መሆን አለበት ብለን መደምደም እንችላለን። ከዜሮ ጋር እኩል ነው።.

እኩልታውን በመፍታት፣ እኛ እናገኛለን፡-

በሁለተኛው እኩልታ፣ የገለጻውን ፍቺ ጎራ ሲያገኝ፡-

እናገኛለን፡-

2 - y - y 2 ≥ 0

- 2 ≤ y ≤ 1

ለሁሉም እኩልታ cos y = 0 መፍትሄዎች, ይህ ሁኔታ የሚረካው በ:

በ የተሰጠው ዋጋ y፣ አገላለጽ 2 – y – y 2 ≠ 0. ስለዚህ፣ በሁለተኛው እኩልታ ኃጢአት x ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል፣ እናገኛለን፡-

ከሁሉም የዚህ እኩልታ መፍትሄዎች መካከል ያለው ክፍተት 2< х < 4 принадлежит только

ይህ ማለት የስርዓቱ መፍትሄ ሌላ ባልና ሚስት ይሆናሉ.

* በስርዓቱ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም አገላለጾች በአንድ ጊዜ አላገኘንም ፣ አገላለጹን ከመጀመሪያው እኩልታ (2 ጉዳዮች) ተመልክተናል ፣ ከዚያም በመንገዱ ላይ የተገኙትን የመፍትሄ ሃሳቦችን ወሰንን ። የተቋቋመ አካባቢትርጓሜዎች. በእኔ አስተያየት, በጣም ምቹ አይደለም, በሆነ መንገድ ግራ የሚያጋባ ይሆናል.

ሦስተኛው መንገድ!

ከመጀመሪያው ጋር ተመሳሳይ ነው, ግን ልዩነቶች አሉ. እንዲሁም፣ የገለፃዎች ፍቺ አካባቢ በመጀመሪያ ይገኛል። ከዚያም የመጀመሪያው እና ሁለተኛ እኩልታዎች በተናጥል ይፈታሉ, ከዚያም የስርዓቱ መፍትሄ ተገኝቷል.

የፍቺውን ጎራ እንፈልግ። አክራሪ አገላለጽ አሉታዊ ያልሆነ ትርጉም እንዳለው ይታወቃል፡-

እኩልነትን መፍታት 6x - x 2 + 8 ≥ 0 2 ≤ x ≤ 4 (1) እናገኛለን።

እሴቶች 2 እና 4 ራዲያን ናቸው፣ 1 ራዲያን እንደምናውቀው ≈ 57.297 0

በዲግሪዎች በግምት 114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0 መፃፍ እንችላለን።

እኩልነትን መፍታት 2 - y - y 2 ≥ 0 እናገኛለን - 2 ≤ y ≤ 1 (2)።

በዲግሪዎች መፃፍ እንችላለን - 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0 .

መወሰን አለመመጣጠን ኃጢአት x ≥ 0 ያንን እናገኛለን

እኩልነትን መፍታት cos y ≥ 0 ያንን እናገኛለን

ምርቱ ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ ከምክንያቶቹ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ (ሌሎቹ ደግሞ ትርጉማቸውን አያጡም) እንደሆነ ይታወቃል.

የመጀመሪያውን እኩልታ አስቡበት፡-

ማለት ነው።

የ cos y = 0 መፍትሔው፡-

መፍትሄ 6x - x 2 + 8 = 0 x = 2 እና x = 4 ናቸው።

ሁለተኛውን እኩልታ አስቡበት፡-

ማለት ነው።

የኃጢአት x = 0 መፍትሔው፡-

ለእኩል 2 - y - y 2 = 0 መፍትሔው y = - 2 ወይም y = 1 ነው።

አሁን, የትርጉም ጎራውን ከግምት ውስጥ በማስገባት, እንመርምር

የተገኙ እሴቶች:

ከ 114.549 0 ≤ x ≤ 229.188 0 ጀምሮ፣ ከዚያ ይህ ክፍልለእኩልታው አንድ መፍትሄ ብቻ አለ።ኃጢአት x = 0፣ ይህ x = Pi ነው።

ጀምሮ - 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0, ከዚያም ይህ ክፍል አንድ ብቻ መፍትሔ ወደ ቀመር ይዟል. cos y = 0 ይህ ነው።

ሥሮቹን x = 2 እና x = 4 ተመልከት።

ቀኝ!

ስለዚህ የስርዓቱ መፍትሄ ሁለት ጥንድ ቁጥሮች ይሆናል.

* እዚህ ፣ የተገኘውን የትርጉም ጎራ ከግምት ውስጥ በማስገባት ፣ የእሱ ያልሆኑትን ሁሉንም የተገኙ እሴቶችን አስቀርተናል እና ከዚያ ሊሆኑ ለሚችሉ ጥንዶች ሁሉንም አማራጮች አልፈናል። በመቀጠል ከመካከላቸው የትኛው የስርዓቱ መፍትሄ እንደሆነ አረጋግጠናል.

እኩልታዎችን ፣ እኩልነቶችን እና ስርዓቶቻቸውን በመፍታት መጀመሪያ ላይ ወዲያውኑ እመክራለሁ ፣ ሥሮች ፣ ሎጋሪዝም ፣ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ካሉ ፣ የትርጉም ጎራውን መፈለግዎን ያረጋግጡ። እርግጥ ነው, ወዲያውኑ ለመፍታት ቀላል የሆኑ ምሳሌዎች እና ከዚያም በቀላሉ መፍትሄውን ይፈትሹ, ነገር ግን እነዚህ አንጻራዊ አናሳዎች ናቸው.

ይኼው ነው. መልካም እድል ይሁንልህ!

የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች እና የትርጎኖሜትሪክ እኩልታዎች ስርዓቶች መፍትሄ በጣም ቀላል በሆኑ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች መፍትሄ ላይ የተመሠረተ ነው።

በጣም ቀላል የሆኑትን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ለመፍታት መሰረታዊ ቀመሮችን እናስታውስ።

የቅጹን እኩልታዎች መፍታት sin(x) = ሀ.

መቼ |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

ለ |a|>1 መፍትሄዎች የሉም።

የቅጹን እኩልታዎች መፍታት cos(x) = ሀ.

መቼ |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

ለ |a|>1 መፍትሄዎች የሉም።

የቅጹን እኩልታዎች መፍታት tg(x) = a.

x = arctan(a) + π*k፣ k የZ የሆነበት።

የቅጹን እኩልታዎች መፍታት cotg(x) = ሀ.

x = arcctg(a)+ π*k፣ k የZ የሆነበት።

አንዳንድ የተለመዱ ጉዳዮች፡-

ኃጢአት (x) =1; x = π/2 +2* π*k፣ k የZ ነው።

ኃጢአት (x) = 0; x = π*k፣ k የZ ነው።

ኃጢአት (x) = -1; x = - π/2 +2* π*k፣ k የZ ነው።

cos (x) = 1; x = 2* π*k፣ k የZ ነው።

cos (x) = 0; x= π/2 + π*k፣ k የZ ነው።

cos (x) = -1; x = π+2* π*k፣ k የZ ነው።

ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት፡-

ምሳሌ 1. የትሪግኖሜትሪክ እኩልታ 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0ን ፍታ።

የዚህ አይነት እኩልታዎች ተለዋዋጭ በመቀየር ወደ ኳድራቲክ እኩልታ በመቀነስ ይፈታሉ.

y = ኃጢአት(x) ይሁን። ከዚያም እናገኛለን,

2*y^2 + y - 1 = 0።

ከታወቁት ዘዴዎች አንዱን በመጠቀም የተገኘውን uvadratic equation እንፈታዋለን።

y1 = 1/2, y2 = -1.

ስለዚህ፣ ከላይ የተጠቀሱትን ቀመሮች በመጠቀም ሊፈቱ የሚችሉ ሁለት ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እናገኛለን።

sin(x) = 1/2፣ x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k፣ ለማንኛውም ሙሉ ኪ.

sin(x) = -1፣ x = - pi/2 +2* pi*n፣ n የZ የሆነበት።

ምሳሌ 2. እኩልታውን 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) - 2 = 0 ፍታ።

መሠረታዊውን ትሪግኖሜትሪክ ማንነት በመጠቀም፣ (ኃጢአት(x))^2ን በ1 - (cos(x))^2 እንተካለን።

ለ cos(x) ባለአራት እኩልታ እናገኛለን።

6*(cos(x))^2 - 5*cos(x) - 4 = 0።

ተተኪውን y=cos(x) እናስተዋውቃለን።

6*y^2 - 5*y - 4 = 0።

የተገኘውን አራት ማዕዘን ቀመር y1 = -1/2, y2 = 1 (1/3) እንፈታዋለን.

y = cos(x) ስለሆነ እና ኮሳይን ሊሆን አይችልም። ከአንድ በላይ, አንድ ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ እናገኛለን.

x = ±2*pi/3+2*pi*k፣ ለማንኛውም ኢንቲጀር ኪ.

ምሳሌ 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

ተለዋዋጭ y = tan(x) እናስተዋውቅ። ከዚያም 1/y = አልጋ(x)። እናገኛለን

በ y አይደለም ማባዛት። ከዜሮ ጋር እኩል ነው።, አራት ማዕዘን እኩልታ እናገኛለን.

y^2 – 3*y + 2 = 0።

እንፍታው፡-

tg(x) = 2፣ x = arctan(2)+pi*k፣ ለማንኛውም ኢንቲጀር ኪ.

tg(x) = 1፣ x = arctan(1) + pi*k፣ pi/4 +pi*k፣ ለማንኛውም ኢንቲጀር ኪ.

ምሳሌ 4. 3*(ኃጢአት(x))^2 - 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0።

ይህ እኩልታ በሁለቱም (cos(x))^2 ወይም (ኃጢአት(x))^2 በመከፋፈል ወደ ኳድራቲክ መቀነስ ይቻላል። በ (cos(x)^2 ስንካፈል እናገኛለን

3*(tg(x))^2 - 4*tg(x) +1 = 0።

tg(x) = 1፣ x = pi/4+pi*n፣ ለማንኛውም ኢንቲጀር n

tan(x) = 1/3፣ x = arctan(1/3) + pi*k፣ ለማንኛውም ኢንቲጀር ኪ.

ምሳሌ 4. የእኩልታዎች ስርዓት ይፍቱ

(ኃጢአት(x) = 2*ኃጢአት(y)

ከንብ-ዳቦ እኩልታ y እንገልፃለን፣

ከዚያም 2* sin(y) = 2* sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)* sin(5*) እናገኛለን። pi /3)) = 2*(ኃጢአት(x)*(1/2) -((√3)/2)*cos(x)) = six + √3*cos(x)።

ትምህርት 54-55. የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ስርዓቶች (አማራጭ)

09.07.2015 9098 895

ዒላማ፡ በጣም ግምት ውስጥ ያስገቡ የተለመዱ ስርዓቶችትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች እና እነሱን ለመፍታት ዘዴዎች.

I. የትምህርቶቹን ርዕስ እና ዓላማ ማሳወቅ

II. የተሸፈነውን ቁሳቁስ መደጋገም እና ማጠናከር

1. ስለ ጥያቄዎች መልስ የቤት ስራ(ያልተፈቱ ችግሮች ትንተና).

2. የቁሳቁስን ውህደት መከታተል (ገለልተኛ ስራ).

አማራጭ 1

አለመመጣጠን መፍታት;

አማራጭ 2

አለመመጣጠን መፍታት;

III. አዲስ ቁሳቁስ መማር

በፈተናዎች ውስጥ፣ የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ስርዓቶች ከትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች እና አለመመጣጠን በጣም ያነሱ ናቸው። የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ስርዓቶች ግልጽ ምደባ የለም። ስለዚህ፣ በቅድመ ሁኔታ በቡድን እንከፋፍላቸዋለን እና እነዚህን ችግሮች ለመፍታት መንገዶችን እናስባለን።

1. በጣም ቀላሉ የእኩልታዎች ስርዓቶች

እነዚህም ከሁለቱ እኩልታዎች አንዱ ቀጥተኛ የሆነ ወይም የስርአቱ እኩልታዎች እርስበርስ በተናጥል የሚፈቱባቸውን ስርዓቶች ያካትታሉ።

ምሳሌ 1

የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ

የመጀመሪያው እኩልታ መስመራዊ ስለሆነ ተለዋዋጭውን ከእሱ እንገልጻለንእና ወደ ሁለተኛው እኩልታ ይተኩ፡የመቀነስ ቀመር እና ዋናውን ትሪግኖሜትሪክ ማንነት እንጠቀማለን. እኩልታውን እናገኛለንወይም አዲስ ተለዋዋጭ እናስተዋውቅ t = ኃጢአት ዩ. ኳድራቲክ እኩልታ 3 አለን።ቲ 2 - 7 ቲ + 2 = 0, የማን ሥሮች t 1 = 1/3 እና t 2 = 2 (ተስማሚ አይደለም ምክንያቱምኃጢአት y ≤ 1) ወደ ቀድሞው ያልታወቀ ነገር እንመለስና እኩልታውን እናገኝኃጢአተኛ = 1/3, የማን መፍትሄአሁን የማይታወቀውን ማግኘት ቀላል ነው፡-ስለዚህ, የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎች አሉትየት n ∈ Z.

ምሳሌ 2

የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ

የስርዓቱ እኩልታዎች ገለልተኛ ናቸው. ስለዚህ, ለእያንዳንዱ እኩልታ መፍትሄዎችን መፃፍ እንችላለን. እናገኛለን፡-የዚህን የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እኩልታዎች በጊዜ ቃል ጨምረን እና ቀንስን እናገኘዋለን፡የት

እባክዎን በእኩልታዎቹ ነፃነት ምክንያት x - y እና x + y ሲፈልጉ የተለያዩ ኢንቲጀሮች መገለጽ አለባቸው። n እና k. በኬ ፈንታ ከሆነ ቀርቧል n , ከዚያም መፍትሄዎች እንደሚከተለው ይመስላሉ.በዚህ ሁኔታ, ያልተገደበ የመፍትሄዎች ብዛት ይጠፋል, እና በተጨማሪ, በተለዋዋጮች መካከል ግንኙነት ይነሳል x እና y: x = 3y (ይህም በእውነታው ላይ አይደለም). ለምሳሌ, ያንን ማረጋገጥ ቀላል ነው ይህ ሥርዓትመፍትሄ አለው x = 5π እና y = n (በተገኙት ቀመሮች መሠረት) ፣ እሱም መቼ k = n ለማግኘት የማይቻል. ስለዚህ ተጠንቀቅ.

2. ስርዓቶችን ይተይቡ

እንደነዚህ ያሉት ስርዓቶች እኩልታዎችን በመጨመር እና በመቀነስ ወደ ቀላሉ ይቀንሳሉ. በዚህ ሁኔታ ስርዓቶችን እናገኛለንወይም ግልጽ የሆነ ገደብ እናስተውል፡-እና የእንደዚህ አይነት ስርዓቶች መፍትሄ በራሱ ምንም አይነት ችግር አያመጣም.

ምሳሌ 3

የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ

በመጀመሪያ ደረጃ እኩልነትን በመጠቀም የስርዓቱን ሁለተኛ እኩልነት እንለውጠውእናገኛለን፡- የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ የዚህ ክፍልፋይ አሃዛዊ እንተካው፡-እና ይግለጹ አሁን የእኩልታዎች ስርዓት አለን።እነዚህን እኩልታዎች እንጨምር እና እንቀንስ። እና አለነ: ወይምለዚህ ቀላሉ ስርዓት መፍትሄዎችን እንጽፋለን-እነዚህን መጨመር እና መቀነስ መስመራዊ እኩልታዎች, እናገኛለን:

3. ስርዓቶችን ይተይቡ

እንደነዚህ ያሉ ስርዓቶች እንደ ቀላል እና እንደ መፍትሄ ሊወሰዱ ይችላሉ. ሆኖም፣ እሱን ለመፍታት ሌላ መንገድ አለ፡ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ድምርን ወደ ምርት ይለውጡ እና የቀረውን እኩልታ ይጠቀሙ።

ምሳሌ 4

የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ

በመጀመሪያ ፣ የማዕዘን ሳይን ድምር ቀመር በመጠቀም የመጀመሪያውን እኩልታ እንለውጣለን ። እናገኛለን፡-ሁለተኛውን እኩልታ በመጠቀም፣ እኛ አለን።የት የዚህን እኩልነት መፍትሄዎች እንጽፋለን-የዚህን ስርዓት ሁለተኛ እኩልታ ግምት ውስጥ በማስገባት የመስመሮች እኩልታዎችን ስርዓት እናገኛለንከዚህ ስርዓት እናገኛለን እንደነዚህ ያሉ መፍትሄዎችን በበለጠ ለመጻፍ ምቹ ነው ምክንያታዊ ቅጽ. ለላይ ምልክቶች አሉን:ለዝቅተኛ ምልክቶች -

4. ስርዓቶችን ይተይቡ

በመጀመሪያ ደረጃ አንድ የማይታወቅ አንድ ብቻ የያዘ ቀመር ማግኘት ያስፈልጋል. ይህንን ለማድረግ, ለምሳሌ, ከአንድ እኩልነት እንግለጽኃጢአት y, ከሌላ - cos ዩ. እነዚህን ሬሾዎች እናስጠርናቸው እና እንጨምርላቸው። ከዚያም ያልታወቀ x የያዘ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ እናገኛለን። ይህንን እኩልነት እንፍታው። ከዚያ፣ የዚህን ሥርዓት ማንኛውንም እኩልታ በመጠቀም፣ ያልታወቀን y ለማግኘት እኩልታ እናገኛለን።

ምሳሌ 5

የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ

ስርዓቱን በቅጹ ውስጥ እንጽፈውየስርዓቱን እያንዳንዱን እኩልታ እናስጥር እና የሚከተሉትን እናገኛለንየዚህን ሥርዓት እኩልታዎች እንጨምር፡-ወይም መሠረታዊውን ትሪግኖሜትሪክ ማንነት በመጠቀም፣ እኩልታውን በቅጹ ላይ እንጽፋለን።ወይም ለዚህ እኩልነት መፍትሄዎች cos x = 1/2 (ከዚያ ) እና cos x = 1/4 (ከየት ), የት n, k ∈ Z . በማይታወቁት መካከል ያለውን ግንኙነት ግምት ውስጥ በማስገባት cos y = 1 - 3 cos x, እናገኛለን: ለ cos x = 1/2 cos y = -1/2; ለ cos x = 1/4 cos y = 1/4. የእኩልታዎችን ስርዓት በሚፈታበት ጊዜ ስኩዌር መደረጉን እና ይህ ክዋኔ ወደ ውጫዊ ሥሮች ሊመራ እንደሚችል መታወስ አለበት። ስለዚህ, የዚህን ስርዓት የመጀመሪያውን እኩልታ ግምት ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው, ከእሱ ውስጥ መጠኖቹን ይከተላልኃጢአት x እና ኃጢአት ተመሳሳይ ምልክት ሊኖረው ይገባል.

ይህንን ከግምት ውስጥ በማስገባት ለዚህ የእኩልታዎች ስርዓት መፍትሄዎችን እናገኛለንእና የት n, m, k, l ∈ Z . በዚህ ሁኔታ፣ ለማይታወቅ x እና y፣ የላይኛው ወይም የታችኛው ምልክቶች በአንድ ጊዜ ይመረጣሉ።

በልዩ ሁኔታስርዓቱ ሊፈታ የሚችለው የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ድምር (ወይም ልዩነት) ወደ ምርት በመቀየር እና ከዚያም የእኩልታዎችን ቃል በቃል በመከፋፈል ነው።

ምሳሌ 6

የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ

በእያንዳንዱ እኩልታ፣ የተግባራቶቹን ድምር እና ልዩነት ወደ ምርት እንለውጣለን እና እያንዳንዱን እኩልታ በ 2 እንከፍላለን።በቀመርዎቹ ግራዎች ላይ አንድ ነጠላ ነጥብ ከዜሮ ጋር እኩል ስላልሆነ፣ የእኩልታዎችን ቃል በቃል እንከፍላለን (ለምሳሌ ፣ ሁለተኛው በአንደኛው)። እናገኛለን፡-የት የተገኘውን እሴት እንተካለምሳሌ በመጀመሪያው ቀመር፡-ያንን ግምት ውስጥ እናስገባ ከዚያም የት

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት አግኝተናልየዚህን ስርዓት እኩልታዎች በመጨመር እና በመቀነስ, እናገኛለንእና የት n, k ∈ Z.

5. ያልታወቁትን በመተካት የተፈቱ ስርዓቶች

ስርዓቱ ሁለት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ብቻ ከያዘ ወይም ወደዚህ ቅጽ ሊቀንስ ይችላል, ከዚያ የማይታወቁትን ምትክ ለመጠቀም ምቹ ነው.

ምሳሌ 7

የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ

ይህ ስርዓት ሁለት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ብቻ ስለሚያካትት፣ አዳዲስ ተለዋዋጮችን እናስተዋውቃለን።ታን x እና b = ኃጢአት ዩ. የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለንከመጀመሪያው እኩልታ አንድ =ለ + 3 እና በሁለተኛው ውስጥ ይተኩ፡ወይም የዚህ ኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች b 1 = 1 እና b 2 = -4. ተጓዳኝ እሴቶች a1 = 4 እና a2 = -1 ናቸው. ወደ ቀደሙት ያልታወቁ ነገሮች እንመለስ። ሁለት ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እናገኛለን።

ሀ) ውሳኔዋ የት n, k ∈ Z.

ለ) ምንም መፍትሄዎች የላቸውም, ምክንያቱምኃጢአት y ≥ -1.

ምሳሌ 8

የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ

የስርዓቱን ሁለተኛውን እኩልነት እንለውጣለን ስለዚህም ተግባሮቹን ብቻ ይይዛልኃጢአት x እና cos ዩ. ይህንን ለማድረግ, የመቀነስ ቀመሮችን እንጠቀማለን. እናገኛለን፡-(የት ) እና (ከዛ ). የስርዓቱ ሁለተኛ እኩልታ ቅጽ አለው:ወይም የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ስርዓት አግኝተናልአዳዲስ ተለዋዋጮችን እናስተዋውቅሀ = ኃጢአት x እና b = cos ዩ. የተመጣጠነ የእኩልታዎች ስርዓት አለን። ውሳኔ ብቻየትኛውሀ = ለ = 1/2. ወደ ቀደሙት ያልታወቁ ነገሮች እንመለስና እንሂድ በጣም ቀላሉ ስርዓትትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችየማን መፍትሄ የት n, k ∈ Z.

6. የእኩልታዎቹ ባህሪያት አስፈላጊ የሆኑባቸው ስርዓቶች

ማንኛውንም የእኩልታዎች ስርዓት ሲፈታ ማለት ይቻላል አንድ ወይም ሌላ ባህሪያቱ ጥቅም ላይ ይውላል። በተለይም, በጣም አንዱ አጠቃላይ ቴክኒኮችየስርዓቱ መፍትሄዎች አንድ የማይታወቅ አንድ ብቻ የያዘ እኩልታ ለማግኘት የሚያስችሉ ተመሳሳይ ለውጦች ናቸው። የለውጦች ምርጫ, በእርግጥ, በስርዓቱ እኩልታዎች ላይ ይወሰናል.

ምሳሌ 9

ስርዓቱን እንፍታው።

ለእኩልታዎች በግራ በኩል ትኩረት እንስጥ, ለምሳሌ ወደየመቀነስ ቀመሮችን በመጠቀም፣ ከክርክር π/4+ x ጋር አንድ ተግባር እናደርገዋለን። እናገኛለን፡-ከዚያ የእኩልታዎች ስርዓት የሚከተለው ይመስላል-ተለዋዋጭ xን ለማስወገድ፣ የእኩልታዎችን ቃል በቃል እናባዛለን እና እናገኛለን፡-ወይም 1 = ኃጢአት 3 2у, ኃጢአት ከየት ነው 2у = 1. እናገኛለን እና የእኩል እና ያልተለመዱ እሴቶች ጉዳዮችን በተናጠል ማጤን ምቹ ነው። n. ለ n እንኳን (n = 2 ኪ፣ የት k ∈ Z) ከዚያ የዚህ ስርዓት የመጀመሪያ እኩልታ እናገኛለን-የት m ∈ Z. ለአጋጣሚ ከዚያ ከመጀመሪያው ቀመር እኛ አለን-ስለዚህ ይህ ስርዓት መፍትሄዎች አሉት

ልክ እንደ እኩልታዎች፣ የሲን እና ኮሳይን ተግባራት ውስን ተፈጥሮ ጉልህ ሚና የሚጫወቱባቸው የእኩልታዎች ስርዓቶች ብዙ ጊዜ አሉ።

ምሳሌ 10

የእኩልታዎችን ስርዓት እንፍታ

በመጀመሪያ ፣ የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ እንለውጣለን-ወይም ወይም ወይም ወይም የኃጢያት ተግባር ውስን ተፈጥሮን ከግምት ውስጥ በማስገባት ያንን እናያለን ግራ ጎንእኩልነት ከ 2 ያነሰ አይደለም, እና የቀኝ ጎን ከ 2 አይበልጥም. ስለዚህ, እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ ከሁኔታዎች ጋር እኩል ነው.ኃጢአት 2 2x = 1 እና ኃጢአት 2 y = 1።

የስርዓቱን ሁለተኛ እኩልነት በቅጹ ላይ እንጽፋለንኃጢአት 2 y = 1 - cos 2 z ወይም ኃጢአት 2 y = ኃጢአት 2 z, እና ከዚያም ኃጢአት 2 z = 1. ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ስርዓት አግኝተናልዲግሪውን ለመቀነስ ቀመሩን በመጠቀም ስርዓቱን በቅጹ ላይ እንጽፋለንወይም ከዚያም

እርግጥ ነው, ሌሎች የ trigonometric equations ስርዓቶችን ሲፈቱ, ለእነዚህ እኩልታዎች ገፅታዎች ትኩረት መስጠት አስፈላጊ ነው.

የማውረድ ቁሳቁስ

ለዕቃው ሙሉ ጽሑፍ ሊወርድ የሚችለውን ፋይል ይመልከቱ።
ገጹ የያዘው የቁሱ ክፍልፋይ ብቻ ነው።

ግልባጭ

1 I. V. Yakovlev Mathematics on Mathematics MathUs.ru የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ሲስተምስ በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ሁለት የማይታወቁ ሁለት እኩልታዎች ትሪግኖሜትሪክ ስርዓቶችን እንመለከታለን። እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች እና የተለያዩ ልዩ ዘዴዎችን ለመፍታት ዘዴዎችን ወዲያውኑ እናጠናለን የተወሰኑ ምሳሌዎች. ምናልባት ከስርአቱ እኩልታዎች አንዱ የማያውቁት x እና y ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ሲይዝ ሌላኛው እኩልታ በ x እና y መስመራዊ ነው። በዚህ ሁኔታ, ግልጽ በሆነ መንገድ እንሰራለን-ከማይታወቁት ውስጥ አንዱን ከመስመር እኩልነት እንገልፃለን እና ወደ ሌላ የስርዓቱ እኩልነት እንለውጣለን. ችግር 1. ስርዓቱን ይፍቱ: x + y =, sin x + sin y = 1. መፍትሄ. ከመጀመሪያው እኩልታ y እስከ x እንገልጻለን፡ እና በሁለተኛው እኩልታ እንተካዋለን፡ y = x፣ sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. ውጤቱ ለ x በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታ ነው። መፍትሄዎቹን በሁለት ተከታታይ መልክ እንጽፋለን: x 1 = 6 + n, x = n n Z). የ y ተዛማጅ እሴቶችን ለማግኘት ይቀራል: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. እንደ ሁልጊዜው የእኩልታዎች ስርዓት መልሱ እንደ ጥንዶች x ዝርዝር ይሰጣል። y) 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. x እና y እርስ በርስ የተያያዙ መሆናቸውን በኢንቲጀር መለኪያ n. ይኸውም፣ +n በ x አገላለጽ ውስጥ ከታየ፣ n በራስ-ሰር ለy የሚለው አገላለጽ ላይ ይታያል፣ እና በተመሳሳይ n። ይህ በ x እና y መካከል ያለው “ጠንካራ” ግንኙነት ውጤት ነው፣ በቀመር x + y =። ተግባር ስርዓቱን ይፍቱ፡ cos x + cos y = 1, x y =. መፍትሄ። እዚህ ላይ የስርዓቱን የመጀመሪያ እኩልታ በመጀመሪያ መለወጥ ምክንያታዊ ነው-1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 ስለዚህ የእኛ ስርዓት ከሚከተለው ስርዓት ጋር እኩል ነው: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. ተካ x y = በመጀመሪያው እኩልታ: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). በውጤቱም, ወደ ስርዓቱ ደርሰናል: x + y = n, x y =. እነዚህን እኩልታዎች እንጨምራለን, በ ተካፍለው እና xን እናገኛለን; ሁለተኛውን ከመጀመሪያው እኩል ቀንስ፣ በ አካፍል እና y: x = + n, y = + n n Z) አግኝ። +n; + n)፣ n Z. በበርካታ አጋጣሚዎች፣ ትሪግኖሜትሪክ ሲስተም በተመጣጣኝ ተለዋዋጮች ለውጥ ወደ አልጀብራ እኩልታዎች ሥርዓት ሊቀነስ ይችላል። ተግባር ስርዓቱን ይፍቱ፡ sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. መፍትሄ. መተካቱ u = sin x, v = cos y ለ u እና v: u + v = 1, u v = 1 ወደ አልጀብራ ስርዓት ይመራል. ይህን ስርዓት እራስዎ በቀላሉ መፍታት ይችላሉ. መፍትሄው ልዩ ነው፡ u = 1, v = 0. የተገላቢጦሽ መተካት ወደ ሁለት ቀላል ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ይመራል: sin x = 1, cos y = 0, ከየት + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). አሁን የምላሽ መዝገብ ሁለት ኢንቲጀር መለኪያዎች k እና n ይዟል. በተቃራኒው ቀዳሚ ተግባራትበዚህ ስርዓት በ x እና y መካከል ምንም “ግትር” ግንኙነት የለም ፣ ለምሳሌ ፣ በመስመር እኩልታ መልክ) ፣ ስለሆነም x እና y ብዙ ናቸው ። በከፍተኛ መጠንአንዳቸው ከሌላው ነጻ ናቸው.

3 ቮ በዚህ ጉዳይ ላይመልሱን + n;) + n በማለት አንድ የኢንቲጀር መለኪያ n ብቻ መጠቀም ስህተት ነው። ይህ ወደ ኪሳራ ይመራል ማለቂያ የሌለው ቁጥር 5 የስርዓት መፍትሄዎች. ለምሳሌ, መፍትሄው ይጠፋል;) በ k = 1 እና n = 0. ችግር 4. ስርዓቱን መፍታት: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. መፍትሄ። በመጀመሪያ ሁለተኛውን እኩልታ እንለውጣለን: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. አሁን ምትክ እንሰራለን: u = sin x, v = sin y. ስርዓቱን እናገኛለን: u + v = 1, u + 4v = 1. የዚህ ስርዓት መፍትሄዎች ሁለት ጥንድ ናቸው: u 1 = 0, v 1 = 1/ and u = /, v = 1/6. የቀረው ነገር ቢኖር የተገላቢጦሹን ምትክ ማድረግ ነው፡ sin x = 0፣ sin x = sin y = 1 ወይም፣ sin y = 1 6 እና መልሱን ፃፉ። k; 1) n 6 + n), 1) k arcsin + k; 1) n arcsin 16 + n), k, n Z. ችግር 5. ስርዓቱን መፍታት: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. መፍትሄ. እዚህ፣ የአልጀብራ ሥርዓት ለማግኘት፣ የበለጠ መሥራት ያስፈልግዎታል። የስርዓታችንን የመጀመሪያውን እኩልታ በቅጹ እንጽፋለን፡ በሁለተኛው እኩልታ አለን፡ cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 ስለዚህም ዋናው ስርዓት ከስርአቱ ጋር እኩል ነው፡ cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 ተተኪውን u = cos x y, v = cos x + y እናደርጋለን እና የአልጀብራ ስርዓት እናገኛለን: uv = 1, u v = 4. የዚህ ስርዓት መፍትሄዎች ሁለት ጥንድ ናቸው: u 1 = 1, v 1 = 1/ እና u = 1፣ v = 1/። የመጀመሪያው ጥንዶች ስርዓቱን ይሰጣሉ፡- x y = 1, = k, ስለዚህም cos x y cos x + y ሁለተኛው ጥንድ ስርዓቱን ይሰጣል: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + n k, n Z). = ± + n k) x y = + ኪ፣ x + y = ± + n k፣ n Z)። ስለዚህም x = ± + n + ኪ)፣ y = ± + n k)። ±) + n + ኪ); ± + n k), ± + n + ኪ); ±) + n k), k, n Z. ነገር ግን ሁልጊዜ የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ስርዓት ወደ አልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት መቀነስ አይቻልም. በአንዳንድ ሁኔታዎች የተለያዩ ልዩ ዘዴዎችን መጠቀም አስፈላጊ ነው. አንዳንድ ጊዜ እኩልታዎችን በመጨመር ወይም በመቀነስ ስርዓትን ማቃለል ይቻላል. ችግር 6. ስርዓቱን ይፍቱ: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. መፍትሄ. እነዚህን እኩልታዎች በመጨመር እና በመቀነስ, እናገኛለን ተመጣጣኝ ስርዓት: sinx + y) = 1, six y) = 1. እና ይህ ስርዓት, በተራው, ከሁለት ስርዓቶች ጥምር ጋር እኩል ነው: x + y = + k, x + y = x y = + k, ወይም 6 + n x y. = n k, n Z). 4

5 ስለዚህም x = + k + n), x = + k + n), y = ወይም + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 አንዳንድ ጊዜ እኩልታዎችን እርስ በርስ በማባዛት ወደ መፍትሄ መምጣት ይችላሉ. ችግር 7. ስርዓቱን ይፍቱ: tg x = sin y, ctg x = cos y. መፍትሄ። የስርአቱን እኩልታዎች እርስ በርስ ማባዛት ማለት “የግራ እጅ ምርት ከቀኝ ጎኖቹ ምርት ጋር እኩል ነው” የሚለውን ቅጽ እኩል መፃፍ ማለት መሆኑን እናስታውስ። የተገኘው እኩልታ የዋናው ስርዓት ውጤት ይሆናል ፣ ማለትም ፣ ሁሉም የዋናው ስርዓት መፍትሄዎች የተገኘውን እኩልታ ያረካሉ)። በዚህ ሁኔታ የስርዓቱን እኩልታዎች ማባዛት ወደ እኩልታው ይመራል: 1 = sin y cos y = sin y, ከየት y = /4 + n n Z). በዚህ ቅጽ ውስጥ yን ወደ ስርዓቱ ለመተካት የማይመች ነው; ታን x = ኃጢአት y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). y 1 ን ወደ ሁለተኛው የስርዓቱ እኩልነት መተካት ወደ ተመሳሳይ ውጤት እንደሚያመጣ በቀላሉ መረዳት ይቻላል. አሁን y: ታን x = sin y = 1 x = 4 + k k Z) እንተካለን። 4 + ኪ;) 4 + n, 4) + ኪ; 4 + n, k, n Z. አንዳንድ ጊዜ እኩልታዎችን እርስ በርስ መከፋፈል ወደ ውጤቱ ይመራል. ችግር 8. ስርዓቱን ይፍቱ: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. መፍትሄ። እንለውጥ፡ cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 የሚከተለውን ምልክት ለጊዜው እናስተዋውቅ፡ α = x + y፣ β = x y። ከዚያ የተገኘው ስርዓት በቅጹ እንደገና ይጻፋል: cos α cos β = 1, sin α cos β =. ግልጽ ነው cos β 0. ከዚያም ሁለተኛውን እኩልታ በአንደኛው በማካፈል tg α = ላይ እንደርሳለን ይህም የስርዓቱ መዘዝ ነው. እኛ አለን: α = + n n Z), እና እንደገና, በስርዓቱ ውስጥ ተጨማሪ ለመተካት ዓላማ), የተገኘውን ስብስብ በሁለት ተከታታይ ክፍሎች ለመከፋፈል አመቺ ነው: α 1 = + n, α = 4 + n. α 1ን ወደ ማንኛውም የስርአቱ እኩልታዎች መተካት ወደ ቀመር ይመራል: cos β = 1 β 1 = k k Z). በተመሳሳይም αን ወደ ማንኛውም የስርአቱ እኩልታዎች በመተካት እኩልታውን ይሰጣል፡ cos β = 1 β = + k k Z). ስለዚህ፣ እኛ ያለንበት፡ ማለትም α 1 = + n፣ β 1 = k ወይም α = 4 + n፣ β = + ኪ፣ x + y = + n፣ x + y = 4 x y ወይም + n፣ = k x y = + k, x = + n + ኪ), x = 7 + n + ኪ), y = ወይም + n k) y = + n k). + n + ኪ);) 7 + n k) + n + ኪ);) + n k), k, n Z. በአንዳንድ ሁኔታዎች መሠረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነት ለማዳን ይመጣል። ችግር 9. ስርዓቱን ይፍቱ: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. መፍትሄ። የእያንዳንዱን እኩልታ ሁለቱንም ጎን እናሳጥር፡ sin x = 1 sin y)፣ cos x = cos y. 6

7 የውጤቱን እኩልታዎች እንጨምር፡ = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, ከየት ኃጢአት y = 0 እና y = n n Z). ይህ የዋናው ስርዓት ውጤት ነው; ማለትም ለማንኛውም ጥንድ x; y), ይህም ለስርዓቱ መፍትሄ ነው, የዚህ ጥንድ ሁለተኛ ቁጥር ከተወሰነ ኢንቲጀር n ጋር ቅጽ ይኖረዋል. yን በሁለት ተከታታይ ክፍሎች እንከፍላለን: y 1 = n, y = + n. y 1ን በዋናው ሥርዓት እንተካለን፡ sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 የዚህ ሥርዓት መፍትሔ ተከታታይ sin x = 1, cos x = 1. x 1 = 4 + k k Z ነው. ). እባክዎን አሁን y 1 ን ወደ አንዱ የስርዓቱ እኩልታዎች መተካት በቂ እንዳልሆነ ልብ ይበሉ። y 1ን ወደ ስርዓቱ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ እኩልታዎች መተካት ወደ ሁለት ስርዓት ይመራል። የተለያዩ እኩልታዎችከ x አንጻራዊ) በተመሳሳይ፣ yን በዋናው ሥርዓት እንተካለን፡ ስለዚህም ኃጢአት x = 1 sin y = 1፣ cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z))) 4 + k; n፣ + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. አንዳንድ ጊዜ, በለውጥ ሂደት ውስጥ, በማይታወቁ መካከል ቀላል ግንኙነት ማግኘት እና ከዚህ ግንኙነት የማይታወቅ ከሌላው ጋር መግለጽ ይቻላል. ችግር 10. ስርዓቱን ይፍቱ: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. መፍትሄ. በሁለተኛው የስርአቱ እኩልታ የሳይንስ ድርብ ምርትን ወደ ኮሳይን ልዩነት እንለውጣለን-cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). ከዚህ y በ x፡ y = x + n፣ 7 እንገልፃለን።

8 እና በስርዓቱ የመጀመሪያ እኩልታ ውስጥ ይተኩ: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. ቀሪው ቀላል ነው. እኛ እናገኛለን: cos x = 1, ከየት ነው x = ± ከላይ ከተገኘው ግንኙነት y ለማግኘት ይቀራል: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + ኪ; ± + 4k + n), k, n Z. እርግጥ ነው, የታሰቡት ችግሮች የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች አጠቃላይ የተለያዩ ስርዓቶችን አይሸፍኑም. በማንኛውም ጊዜ አስቸጋሪ ሁኔታበመፍታት ልምምድ ብቻ የሚዳብር ብልሃትን ይጠይቃል የተለያዩ ተግባራት. ሁሉም መልሶች k, n Z. ችግሮች 1. ስርዓቱን መፍታት: x + y =, cos x cos y = 1. b) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4 n); ለ) n; n) ስርዓቱን ይፍቱ፡ x + y = 4፣ tg x tan y = 1 b) 6. x y = 5፣ sin x = sin y. አርክታን 1 + n; arctg 1 n), arctg 1 + n; arcg 1 n) ; ለ) + n; 6 + n) ስርዓቱን ይፍቱ፡ sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =፣ ኃጢአት x ኃጢአት y = n; 6 + n) ; ለ) 6 + n; 6n) 8

9 4. ስርዓቱን ይፍቱ፡ sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. ለ) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k 6 + ኪ; ± + n), 1) k k; ± + n); ለ) 1) k 4 + ኪ; + n) 5. ስርዓቱን ይፍቱ፡ cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = b) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; n) ; ለ) አርክታን 5 + ኪ; አርክታን 1 + n), አርክታን 1 + ኪ; arctan 5 + n) 6. ስርዓቱን ይፍቱ፡ sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. b) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k 6 + ኪ; ± + n); ለ) 4 ± 4 + ኪ; 5 4 ± 4 + n) 7. ስርዓቱን ይፍቱ፡ sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1) k 4 + k n)), 1) k k + n + 1); 1) k k n 1)) 8. ስርዓቱን ይፍቱ፡ ኃጢአት x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = b) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + k n)); ለ) ± + k + n); ± + k n)) 9. ስርዓቱን ይፍቱ፡ 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. ለ) ኃጢአት x = cos x cos y, cos x = sin x sin y) k n k); 1) k 1 + n + ኪ)); ለ)) 4 + ኪ; 4+ከ+ n 9

10 10. ስርዓቱን ይፍቱ: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + ኪ; 4 + n), + ኪ; + n) 11. ስርዓቱን ይፍቱ፡) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. k; 4 + n), + ኪ; 4 + n) 1. ስርዓቱን ይፍቱ፡ sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + ኪ); n k)), 6 + n + ኪ); n k)) 1. ስርዓቱን መፍታት፡ tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. ስርዓቱን ይፍቱ፡ sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + ኪ; 4 + n), 6 + ኪ; 4 + n)፣ ኪ; 4 + n)፣ ኪ; 4 + n) 15. ስርዓቱን ይፍቱ: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arcos 4 + k; አርክኮስ n), አርክኮስ 4 + ኪ; arccos n) 16. ስርዓቱን ይፍቱ፡ 4 tg x = tg y፣ sin x cosx y) = sin y. ለ) አልጋ x + ኃጢአት y = ኃጢአት x, ኃጢአት x sinx + y) = cos y. k; n); ለ)) 4 + ኪ; n፣ + k; + n) 10

11 17. "Fiztekh", 010) የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት 5 sin x cos y =, sin y + cos x =. 4 + ኪ, 6 + n); k, n Z 18. የሞስኮ ስቴት ዩኒቨርሲቲ, ቅጂ. ለውጭ አገር ዜጎች gr-n, 01) የእኩልታዎችን ስርዓት ይፍቱ: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6 n), + n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) ሁሉንም የስርዓቱን መፍትሄዎች ያግኙ. የኃጢአት እኩልታዎች x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, የት xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. የሞስኮ ስቴት ዩኒቨርሲቲ, ጂኦግራፊያዊ. f-t፣ 005) የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት 1 sin x sin y =፣ 6 sin x + cos y =። 1) n n, k), k, n Z 1. የሞስኮ ስቴት ዩኒቨርሲቲ, የመንግስት ፋኩልቲ. ቁጥጥር፣ 005) የእኩልታዎችን ሥርዓት ኃጢአት x sin 1 = 0፣ cos x cos 1 = n፣ n Z. MIPT፣ 199) የእኩልታዎችን ሥርዓት መፍታት 10 cos x = 7 cos x cos y፣ sin x = cos x ኃጢአት y. አርክኮስ + n, 1) k arcsin 5); 6+ k arcsin + n፣ 1) k+1 arcsin 5)፣ 6+k k፣ n Z 11

12 . MIPT፣ 199) የእኩልታዎች ስርዓት tg x 4 ctg x = tg y፣ 4 sin x = sin x cos y። አርክታን 4 + n, አርክኮስ 4 + ኪ); + አርክታን 4 + n፣ + አርክኮስ 4 + ኪ)፣ ኪ፣ n Z 4. MIPT፣ 1996) የእኩልታዎች ሥርዓት ኃጢአት x = sin y፣ cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n፣ 1 መፍታት። ) k k ; k, n Z 5. MIPT, 1996) የእኩልታዎች ስርዓት ኃጢአት x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x. 1) n 1 + n, 4 + 1) k 4 + ኪ); k, n Z 6. MIPT, 1997) የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, n Z 1

I. V. Yakovlev Mathematics on MathUs.ru Minimax በ trigonometry ውስጥ ችግሮች ይህ ሉህ የቀኝ እና የግራ ጎኖች ግምቶች ጥቅም ላይ የሚውሉበትን እኩልታዎች ያብራራል። ለመሆን

I. V. Yakovlev ቁሶች በሂሳብ MathUs.ru ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችከሞዱል ጋር ይህ በራሪ ወረቀት ለትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ያተኮረ ሲሆን በውስጡም ያልታወቀ መጠን ያለው ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ይዘዋል

ተግባራዊ ሥራትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት የተለያዩ ዓይነቶችገንቢ: I. A. Kochetkova, Zh. I. Timoshko የሥራ ዓላማ: 1) ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮችን ይድገሙት ድርብ ክርክር, የመደመር ቀመሮች,

I V Yakovlev Materials MathUsru Trigonometric inequalities አንባቢው ቀላሉን ሊፈታ ይችላል ተብሎ ይታሰባል። ትሪግኖሜትሪክ አለመመጣጠንወደ ተጨማሪ እንቀጥላለን ውስብስብ ተግባራትተግባር

I. V. Yakovlev በሂሳብ ላይ ያሉ ቁሳቁሶች MathUs.ru ትሪግኖሜትሪክ ለውጦች እና ስሌቶች ከትሪግኖሜትሪክ ለውጦች እና ስሌቶች ጋር የተያያዙ ችግሮች, እንደ አንድ ደንብ, ውስብስብ አይደሉም ስለዚህም አልፎ አልፎ.

ይዘቶች I V Yakovlev በሂሳብ ማቲዩስሩ ላይ ያሉ ቁሳቁሶች ምክንያታዊ ያልሆኑ እኩልታዎችእና ስርዓቶች 1 ለቤት እቃዎች የሂሳብ አያያዝ 1 ተመጣጣኝ ለውጦች 3 የተለዋዋጭ ለውጥ 6 4 ማባዛት በ conjugate 7 5 የእኩልታዎች ስርዓቶች

I.V.Yakovlev Materials on Mathematics MathUs.ru በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን ማጥናት እንጀምራለን ማዕከላዊ ጭብጥሙሉውን ትሪግኖሜትሪክ ክፍል. እናድርግ ሀ

የትምህርት አስተዳደር ኤጀንሲ የክራስኖያርስክ ግዛትክራስኖያርስክ ስቴት ዩኒቨርሲቲበ KrasSU የሂሳብ ትምህርት የተፈጥሮ ሳይንስ ትምህርት ቤት፡ ሞጁል ለ 0 ክፍል ትምህርታዊ እና ዘዴያዊ ክፍል/ ኮም

ከጂአይኤ መለኪያዎች ጋር አለመመጣጠን እና ችግሮች ፋሊን፣ አ.አይ. ፋሊን ሎሞኖሶቭ የሞስኮ ስቴት ዩኒቨርሲቲ http://mech.math.msu.su/ falin 1 መግቢያ ለ ዘመናዊ ሂሳብ ጠቃሚ ሚናየማይለዋወጥ ጽንሰ-ሐሳብን ይጫወታል, ማለትም. የማይለወጥ

I.V.Yakovlev Materials on Mathematics MthUs.ru የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን ማጥናት ተግባር fx) ከትርጓሜው ጎራ ውስጥ ለማንኛውም x ቁጥር ካለ በየጊዜው ይባላል።

ርዕስ 14 " የአልጀብራ እኩልታዎችእና ስርዓቶች ቀጥተኛ ያልሆኑ እኩልታዎች» የዲግሪ ፖሊኖሚል የ P n () a 0 n + a 1 n-1 + a n-1 + a n, የት 0, a 1, a n-1, a n. የተሰጡ ቁጥሮች, a 0,

I. V. Yakovlev በሂሳብ ላይ ያሉ ቁሳቁሶች MathUs.ru የስልጠና ችግሮች በመለኪያዎች ውስጥ ባሉ ችግሮች ላይ ሲሜትሪ 1. (MSU, የአፈር ሳይንስ ፋኩልቲ, 001) ለየትኞቹ የ b እሴቶች እኩልታው በትክክል አንድ ሥር አለው? tan b = ሎግ

የሳይንስ እና ትምህርት ሚኒስቴር የራሺያ ፌዴሬሽንየሞስኮ ስቴት የጂኦዲስሲ እና የካርታግራፊ ቲ.ኤም. ኮራሮሌቫ, ኢ.ጂ ማርካሪያን, ዩ.ኤም

የ10ኛ ክፍል የአልጀብራ ትምህርት የትምህርቱ ርዕስ፡ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴዎች የትምህርቱ ዓላማ፡ በርዕሰ ጉዳዩ ላይ የተማሪዎችን ዕውቀት ማጠቃለል እና ማደራጀት። የትምህርት ዓላማዎች፡ 1) ትምህርታዊ - ዘርጋ እና ጥልቀት

የሙከራ መፍትሄዎች ምሳሌዎች በኤል.አይ. ተሬኪና፣ አይ.አይ. 1 ሙከራን ያስተካክሉ 1 መስመራዊ አልጀብራይወስኑ የማትሪክስ እኩልታ((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3) መጀመሪያ ማትሪክቶችን በ

ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን በማዋሃድ ላይ የተለያዩ ክርክሮች ሳይን እና ኮሳይን ምርትን በማዋሃድ ላይ ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች k m [ (m k (m k]), (k m [ (m k (m k]), (k m [ (m k (m k)

የሩሲያ ፌዴሬሽን የትምህርት እና ሳይንስ ሚኒስቴር ሞስኮ የፊዚክስ እና ቴክኖሎጂ ተቋም(የስቴት ዩኒቨርሲቲ) የትርፍ ሰዓት የአካል እና የቴክኒክ ትምህርት ቤትሒሳብ የማንነት ለውጦች. መፍትሄ

ኢ-ምክንያታዊ እኩልታዎች እና አለመመጣጠን ይዘቶች ኢ-ምክንያታዊ እኩልታዎች የአንድን እኩልታ ሁለቱንም ወገኖች ወደ አንድ ሃይል የማሳደጉ ዘዴ ምደባ ምደባ

የቤላሩስ ሪፐብሊክ ትምህርት ሚኒስቴር ሞሎዴችኖ ግዛት ፖሊቴክኒክ ትምህርት ቤትተግባራዊ ስራ፡ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት ወደ ቀላሉ ቀንሷል። ገንቢ: I.

የሩሲያ ፌዴሬሽን የትምህርት እና ሳይንስ ሚኒስቴር ቶምስክ ስቴት ዩኒቨርሲቲ የተግባር ሒሳብ እና የሳይበርኔትስ ፋኩልቲ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ እና የሂሳብ ስታቲስቲክስ LIMITS ስልት

10ኛ ክፍል፣ መሰረታዊ ደረጃ የተግባር 1 አማራጭ 0 (ማሳያ፣ ከመፍትሄዎች ጋር) ተዛማጅነት የሂሳብ ትምህርት ቤት 009/010 የትምህርት ዘመን 1 አገላለጹን እንደ ፖሊኖሚል ይግለጹ መደበኛ እይታእና እሱን ያግኙት

ንግግሮች "ያልታወቀ ኢንተግራል" የተጠናቀረ: VPBelkin ሌክቸር ያልተወሰነ ውህደትመሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ያልተወሰነ ውህደት ባህሪያት 3 ፀረ-ተውሳኮች መሰረታዊ ሰንጠረዥ 3 4 የተለመዱ ምሳሌዎች 3 5 ፕሮቶዞአ

4. ትሪግኖሜትሪ አሁን ሁሉም ነገር የ trigonometric ተግባራትን ጥብቅ ፍቺ ለመስጠት ዝግጁ ነው. በመጀመሪያ ሲታይ ምናልባት በጣም እንግዳ ሊመስሉ ይችላሉ; ሆኖም ፣ ያንን እርግጠኛ እናሳያለን።

የተግባር ወሰን ሀ ቁጥሩ ሀ የተግባር ወሰን ተብሎ ይጠራል y = f) ፣ x እስከ መጨረሻ የሌለው ፣ ለማንኛውም ቁጥር ε> ትንሽ ቢሆንም ፣ ለሁሉም > S ፣ አወንታዊ ቁጥሮች አሉ ፣

የፌዴራል ኤጀንሲግዛት በትምህርት የትምህርት ተቋምከፍ ያለ የሙያ ትምህርትየኡክታ ግዛት የቴክኒክ ዩኒቨርሲቲ(USTU) LIMIT ተግባር ዘዴ

DEMIDOV አይደለም የትሪጎኖሜትሪ መሰረታዊ ነገሮች የጥናት መመሪያ ለ የውጭ ዜጎችየሩሲያ ፌዴሬሽን የትምህርት እና የሳይንስ ሚኒስቴር የፌዴራል ግዛት የትምህርት በመንግስት የተደገፈ ድርጅትከፍተኛ ባለሙያ

ርዕስ 1 እውነተኛ ቁጥሮችእና በእነሱ ላይ እርምጃዎች 4 ሰዓቶች 11 የቁጥር ጽንሰ-ሐሳብ እድገት 1 መጀመሪያ ላይ ቁጥሮች ብቻ ተረድተዋል ኢንቲጀሮችለመቁጠር በቂ ናቸው የግለሰብ እቃዎችስብስብ

ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት ዓላማዎች፡ ከትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ዓይነቶች ጋር ለመተዋወቅ እኩልታዎችን ለመፍታት መንገዶችን ለማወቅ። የመተግበሪያ ክህሎቶችን ማዳበር

I.V.Yakovlev በሂሳብ ላይ ያሉ ቁሳቁሶች MathUs.ru ሲሜትሪ ከመለኪያዎች ጋር በተያያዙ ችግሮች ውስጥ ሲሜትሪ ከእነዚህ ውስጥ አንዱ ነው። ቁልፍ ጽንሰ-ሐሳቦችየሂሳብ እና ፊዚክስ. ታውቃለሕ ወይ ጂኦሜትሪክ ሲሜትሪአሃዞች እና በአጠቃላይ የተለያዩ

ሙከራ የተሰጠው ማትሪክስ A፣ B እና D። AB 9D ን ያግኙ፡ 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7፣ B =፣ D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 ማትሪክስ A 3 እና B 3 ማባዛት። ንጥረ ነገሮችን የያዘ መጠን C መሆን 3 3

ትምህርት 13: በኡራል አውሮፕላን ላይ የኳድሪክስ ምደባ የፌዴራል ዩኒቨርሲቲ፣ የሂሳብ ተቋም እና የኮምፒውተር ሳይንስየአልጀብራ እና የዲስክሬት የሂሳብ ትምህርት ክፍል መግቢያ አስተያየቶች በቀደሙት ሶስት

ክፍል የዘፈቀደ እውነተኛ ገላጭ ያለው ኃይል፣ ንብረቶቹ። የኃይል ተግባር, ባህሪያቱ, ግራፎች .. የዲግሪውን ባህሪያት ከ ጋር ያስታውሱ ምክንያታዊ አመላካች. a a a a a for natural times

8.3 ክፍል፣ ሂሳብ (የመማሪያ መጽሀፍ ማካሪቼቭ) 2016-2017 የትምህርት ዘመን የሞዱል ርዕስ 5 " ካሬ ሥር. ዲግሪ በኢንቲጀር አመልካች” ፈተናው የንድፈ ሃሳባዊ እና ተግባራዊ ክፍሎችን ይፈትሻል። ርዕስ ማወቅ ማወቅ መቻል

የ VSTU-VGASU ከፍተኛ የሂሳብ ክፍል, አሶኮ. ሴዳዬቭ አ.ኤ. 06 የተሰራ?...ከባዶ?.. ለ C H A Y N I K O V?... ይህ ቀላል አይደለም ውድ አንባቢ። የማግኘት ፍላጎት ካጋጠመዎት

የትምህርት እና የሳይንስ ሚኒስቴር የሩሲያ ፌዴሬሽን ብሔራዊ ምርምር የሞስኮ ግዛት የሲቪል ዩኒቨርሲቲ ዲፓርትመንት የተተገበሩ መካኒኮችእና የሂሳብ ሊቃውንት ተራ ልዩነት

ርዕስ፡ ትራንስፎርሜሽን ትሪግኖሜትሪክ መግለጫዎችበትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ውስጥ ODZን ግምት ውስጥ በማስገባት የተዋሃደ የስቴት ፈተና ዝግጅት (ተግባር 9; 8) ፍቺ፡ የ fg ወይም የክልሉ ፍቺ ጎራ ተቀባይነት ያላቸው እሴቶች

ሞስኮ የአቪዬሽን ተቋም(ብሔራዊ የምርምር ዩኒቨርሲቲክፍል" ከፍተኛ ሂሳብ" የበርካታ ተለዋዋጮች መነሻዎች ተግባራትን ይገድባል መመሪያዎችእና የሙከራ አማራጮች

ምዕራፍ 4 የአንድ ተግባር ገደብ 4 1 የተግባር ወሰን ጽንሰ-ሀሳብ ይህ ምዕራፍ የሚያተኩረው የአንድ ተግባር ገደብ ጽንሰ-ሀሳብ ላይ ነው። የአንድ ተግባር ወሰን ገደብ በሌለው ላይ ምን እንደሆነ ይወሰናል, ከዚያም በአንድ ነጥብ ላይ ያለው ገደብ, ይገድባል

ርዕስ 7 የማትሪክስ ደረጃ በማትሪክስ ደረጃ እና ውጤቶቹ ላይ አነስተኛ ቲዎሬም መሠረት ከማይታወቅ የክሮኔከር-ካፔሊ ቲዎረም ጋር m linear equations Systems መሠረታዊ ሥርዓትመፍትሄዎች ተመሳሳይነት ያለው ስርዓትመስመራዊ

ርዕስ 1-8፡ ውስብስብ ቁጥሮች A. Ya.

የሒሳብ ትንተና መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ሊገለጹ የሚችሉ፣ ነገር ግን በጥብቅ ሊገለጹ አይችሉም፣ ምክንያቱም ማንኛውም ጥብቅ ትርጉም ለመስጠት መሞከር የተገለጸውን ፅንሰ-ሀሳብ በእሱ መተካት የማይቀር ነው ።

ተለዋዋጮች የመለያያ ዘዴ (አራተኛ ዘዴ) አጠቃላይ መርሆዎችተለዋዋጮችን የመለየት ዘዴ ለቀላል ከፊል ልዩነት እኩልታ፣ ተለዋዋጮች መለያየት በቲ ውስጥ ብቻ የቅጹን መፍትሄዎች መፈለግ ነው። u(x,t

64 7ኛ ክፍል አልጀብራ (በሳምንት 5 ሰአት፣ 175 ሰአታት) የአልጀብራ አካል (በሳምንት 3 ሰአት) 105 ሰአት እና ጂኦሜትሪክ አካል (በሳምንት 2 ሰአት) 70 ሰአት ጥቅም ላይ ይውላል የማስተማሪያ መርጃዎች 1. Arefieva, I.G. Algebra: የመማሪያ መጽሐፍ. አበል

የሩሲያ ፌዴሬሽን የትምህርት ሚኒስቴር የሩሲያ ስቴት ኦፍ ዘይት እና ጋዝ ዩኒቨርሲቲ በ IM Gubkin VI ኢቫኖቭ ስም የተሰየመ "የተለያዩ እኩልታዎች" የሚለውን ርዕስ ለማጥናት መመሪያዎች

ተግባራዊ ትምህርትርዕስ፡ የተግባር ጎራ የፍቺ እና የተግባር እሴቶች ስብስብ ግብ፡ የተግባሮችን ፍቺ ጎራ በማግኘት እና የተግባራትን ከፊል እሴቶችን ለማስላት ክህሎቶችን ማዳበር።

ለአማራጭ ተግባራት መፍትሄዎች 0 ከክፍሎቹ ላይ ለተግባር መፍትሄዎች ለሙከራ እንደሚቀርቡ እናስታውስዎ ከክፍል የተሰጡ መፍትሄዎች በረቂቅ ውስጥ ይከናወናሉ እና ከፊል ስራዎችን ሲያጠናቅቁ

57(07) ዲ ዲጂ ዴሚያኖቭ INDETERMINATE INTEGAL የትምህርት እና የማጣቀሻ መመሪያ Chelyabinsk 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG ያልተወሰነ ውህደት: የትምህርት እና የማጣቀሻ መመሪያ / በኤስኤ Ufimtsev Chelyabinsk የተስተካከለ: ማተሚያ ቤት

ፊዚቴክ 0፣ 0 ክፍል፣ ለቲኬቱ መፍትሄዎች cos x cosx እኩልታውን ይፍቱ = cos x sin x መልስ x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ መፍትሄ ሁለት ሊሆኑ የሚችሉ ጉዳዮች cos x cos አሉ x sin x sin x a) cos x 0 ከዚያም = = ታን x = x =

ትሪጎኖሜትሪክ ፎርሙላዎች የትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን እና እኩልነትን በመፍታት ላይ ስኬት፣ ማረጋገጫ ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶችእና ለስሌት ችግሮች መፍትሄዎች በአብዛኛው የሚወሰነው በመሠረታዊ እውቀት ነው

ትምህርት 14 ውስብስብ ቁጥሮች። LODU ከ ጋር ቋሚ ቅንጅቶች. 14.1 ውስብስብ ቁጥሮች ውስብስብ ቁጥርቅጽ z = x+iy ይባላል፣ x R. በስብስቡ መካከል የአንድ ለአንድ ደብዳቤ አለ

ጥያቄ፡ የተፈጥሮ ቁጥሮች የሚባሉት ቁጥሮች ምንድን ናቸው? መልስ የተፈጥሮ ቁጥሮች ለመቁጠር የሚያገለግሉ ቁጥሮች ናቸው? ሲደመር ቁጥሮች ምን ይባላሉ? ተነባቢ ቅረጽ

AA ኪርሳኖቭ ውስብስብ ቁጥሮች PSKOV BBK 57 K45 በአልጀብራ እና ጂኦሜትሪ ዲፓርትመንት ውሳኔ እና በኤስ.ኤም. ኪሮቭ ገምጋሚ ​​የተሰየመው የ PSPI አርታኢ እና ህትመት ምክር ቤት ታትሟል፡ ሜድቬዴቫ ኢን የፊዚክስ እና የሂሳብ እጩ፣ ተባባሪ ፕሮፌሰር

ትምህርት ልዩነት እኩልታዎች- ትእዛዝ (DU-) አጠቃላይ ቅጽየሥርዓት ልዩነት እኩልነት n ይጻፋል፡ (n) F፣ = 0 () የኛ ቅደም ተከተል (n =) ቀመር F(,) = 0 ተመሳሳይ እኩልታዎች ይወስዳል።

ልዩ ልዩ እኩልታዎች ካባሮቭስክ 01 የፌደራል የትምህርት ኤጀንሲ የመንግስት የበጀት ትምህርት ተቋም የከፍተኛ ሙያዊ ትምህርት ተቋም "የፓሲፊክ ግዛት"

የሩሲያ ፌዴሬሽን የትምህርት እና ሳይንስ ሚኒስቴር ሴንት ፒተርስበርግ ስቴት የስነ-ህንፃ እና የሲቪል ምህንድስና ዩኒቨርሲቲ V B SIRNOVA, L E MOROZOVA ተራ ልዩ ልዩ እኩልታዎች ትምህርታዊ

ሂሳብ፣ የክፍል ምላሾች እና መስፈርቶች፣ የኤፕሪል አማራጭ/ተግባራት መልሶች B B B4 B B7 C 4 7 4 arcos 7 44.7 9 8 + n፣ n፣ 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) log;) + n, 8 49 8.7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

የችግር ሁኔታዎች 1 የማዘጋጃ ቤት ደረጃ 8ኛ ክፍል 1. ሁለት ቁጥሮች በቦርዱ ላይ ተጽፈዋል. ከመካከላቸው አንዱ በ 6 ጊዜ ጨምሯል, ሌላኛው ደግሞ ለ 2015 ቀንሷል, የቁጥሮች ድምር ግን አልተቀየረም. ከእነዚህ ውስጥ ቢያንስ አንድ ጥንድ ያግኙ

ያልተወሰነ ውህደት መግቢያ ፍቺ አንድ ተግባር F () ለተወሰነ ተግባር ፀረ-ድርሻ ተብሎ ይጠራል f () F () f () ከሆነ ወይም ተመሳሳይ የሆነው df f d ይህ ተግባርረ () የተለያዩ ፀረ-ተውሳኮች ሊኖሩት ይችላል ፣

የሞስኮ ፊዚክስ እና ቴክኖሎጂ ኢንስቲትዩት ኢ-ምክንያታዊ እኩልታዎች እና አለመመጣጠን የመሳሪያ ስብስብለኦሎምፒያድ ዝግጅት ዝግጅት ላይ፡- Parkevich Egor Vadimovich Moscow 04 መግቢያ በዚህ ሥራ ውስጥ እንመለከታለን።

የቬክተር ስሌት መሰረታዊ ነገር ቬክተር ይባላል የቁጥር ባህሪብቻ ሳይሆን ያለው የቁጥር እሴት, ነገር ግን አቅጣጫም አንዳንድ ጊዜ ቬክተር የሚመራ ክፍል የቬክተር ሥርዓት ነው ይላሉ

ገላጭ እኩልታዎች. የመፍትሄ ዘዴዎች. ዱቦቫ ማሪያ ኢጎሬቭና 7 78-57 ገላጭ እኩልታ በአርቢው ውስጥ ብቻ ተለዋዋጭ የያዘ ነው. በርካታ ዓይነቶችን እንመልከት ገላጭ እኩልታዎች,

MAV(S)OU "TsO 1" ሂሳብ 1ኛ ክፍል ትሪጎኖሜትሪ ፈተና 1፣ ሰንጠረዦች፣ የሙከራ ወረቀቶች, ፈተናዎች መምህር Nemova N.M. የመጀመሪያ ደረጃ 15 የትምህርት ዘመን ገላጭ ማስታወሻ. የ ዳይዳክቲክ ቁሳቁስየታሰበ

አንቲዴሪቭቲቭ እና ያልተወሰነ ውህደት መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች እና ቀመሮች 1. የፀረ-ተውጣጣ እና ያልተወሰነ ውህደት ፍቺ። ፍቺ F(x) ተግባር ረ (x) በጊዜ ክፍተት ላይ ፀረ-ተውሳሽ ተብሎ ይጠራል

ተግባራዊ ትምህርት ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ማጣመር ምክንያታዊ ክፍልፋይ የP Q ቅጽ ክፍልፋይ ሲሆን P እና Q ብዙ ቁጥር ያላቸው ናቸው ምክንያታዊ ክፍልፋይየ polynomial P ደረጃ ከዲግሪው ያነሰ ከሆነ ትክክለኛ ይባላል

I. V. Yakovlev Materials on Mathematics MthUs.ru ጽሑፉ የተፃፈው ከ A.G. Malkova ጋር በመተባበር በጣም ቀላሉ ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ነው. የቀደመው መጣጥፍ በጣም ቀላል የሆኑትን ትሪግኖሜትሪክ ችግሮችን ለመፍታት ለዋናው ሀሳብ ያተኮረ ነበር።

ርዕስ ያልተወሰነ ውህደት መሰረታዊ የመዋሃድ ዘዴዎች በክፍሎች ውህደት እርስዎ እና v የአንድ ነጋሪ እሴት ሁለት የሚለያዩ ተግባራት ይሁኑ d(u v) udv vdu (77) ከሁለቱም መውሰዱ ይታወቃል።

የሩሲያ ፌዴሬሽን የትምህርት እና ሳይንስ ሚኒስቴር የሞስኮ ፊዚክስ እና ቴክኖሎጂ ተቋም (የስቴት ዩኒቨርሲቲ) የፊዚክስ እና ቴክኖሎጂ የሂሳብ ትምህርት ቤት ደብዳቤ ባለአራት እኩልታዎችተግባር ለ 8's

የኢንቲጀር ባለ አንድ ደረጃ ችግሮች (መደበኛ) ገጽ 1 09/06/2012 1) እኩልነትን መፍታት፡ x 7 17. 2) 612 በ 100000 ማባዛት። 3) በ661 እና 752 ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ምንድን ነው? 4) አገላለጾቹን ያወዳድሩ፡ 54 6 እና 7።

ትምህርት N የከፍተኛ ትእዛዞች ልዩነት እኩልታዎች፣ የመፍትሄ ዘዴዎች የከፍተኛ ትእዛዞች የመስመር ልዩነት እኩልታዎች