ያልተወሰነ ውህደት እንዴት እንደሚሰላ. ያልተወሰነ ውህደት

በሳይንስ ውስጥ የሂሳብ ውህዶችን የመፍታት ሂደት ውህደት ይባላል። ውህደትን በመጠቀም የተወሰኑትን ማግኘት እንችላለን አካላዊ መጠኖችአካባቢ, መጠን, የሰውነት ብዛት እና ብዙ ተጨማሪ.

ውህደቶች ያልተወሰነ ወይም የተወሰነ ሊሆኑ ይችላሉ። የአንድ የተወሰነ ውህደትን ቅርፅ እናስብ እና ለመረዳት እንሞክር አካላዊ ትርጉም. በዚህ ቅጽ ነው የሚወከለው፡$$ \int ^a _b f(x) dx $$። ልዩ ባህሪያልተወሰነ ውህደትን መፃፍ የ a እና b ውህደት ገደቦች መኖራቸው ነው። አሁን ለምን እንደሚያስፈልጋቸው እና ምን ማለት እንደሆነ እንረዳለን. የተወሰነ ውህደት. ውስጥ የጂኦሜትሪክ ስሜትእንደዚህ ያለ ውህደት ከአካባቢው ጋር እኩል ነው።ከርቭ f(x)፣ መስመር a እና b እና በኦክስ ዘንግ የታሰረ ምስል።

ከሥዕሉ 1 ግልጽ የሆነ ውህደት ጥላ ያለበት ተመሳሳይ ቦታ እንደሆነ ግልጽ ነው ግራጫ. ይህንን በቀላል ምሳሌ እንፈትሽ። ውህደትን በመጠቀም የምስሉን ስፋት ከዚህ በታች ባለው ምስል ላይ እናገኝ እና ርዝመቱን በስፋት ለማባዛት በተለመደው መንገድ እናሰላው።

ከስእል 2 ግልጽ ነው $ y = f (x) = 3 $, $ a=1, b=2 $. አሁን እነሱን ወደ ውህደት ፍቺ እንተካቸዋለን፣ $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$$$ =(3x) \Big|_1 ^2 እናገኛለን። ==(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$$=6-3=3 \text(units)^2$$ ቼኩን በተለመደው መንገድ እናድርግ። በእኛ ሁኔታ, ርዝመት = 3, የምስሉ ስፋት = 1. $$ S = \ጽሑፍ (ርዝመት) \cdot \text (ስፋት) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ በተቻለዎት መጠን ተመልከት ፣ ሁሉም ነገር በትክክል ይዛመዳል።

ጥያቄው የሚነሳው-ያልተወሰነ ውህደትን እንዴት መፍታት እንደሚቻል እና ትርጉማቸው ምንድ ነው? እንደነዚህ ያሉ ውህዶችን መፍታት የፀረ-ተውጣጣ ተግባራትን ማግኘት ነው. ይህ ሂደት ከመሆን ተቃራኒ ነው።ተዋጽኦ። ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ፣ በሂሳብ ውስጥ ያሉ ችግሮችን ለመፍታት የእኛን እርዳታ መጠቀም ይችላሉ ፣ ወይም በተናጥል የመዋሃድ ባህሪዎችን እና በጣም ቀላሉን የመዋሃድ ጠረጴዛን ማስታወስ ያስፈልግዎታል። የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት. ግኝቱ ይህን ይመስላል፡$$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(where) F(x) $ የ$ f(x) ፀረ-ተወላጅ ነው፣ C = const $።

ውህደቱን ለመፍታት፣ $ f(x) $ ተግባሩን በተለዋዋጭ ላይ ማዋሃድ ያስፈልግዎታል። ተግባሩ በሰንጠረዥ ከሆነ, መልሱ በተገቢው ቅጽ ተጽፏል. ካልሆነ, ሂደቱ ወደ ማግኘት ላይ ይወርዳል የጠረጴዛ ተግባርከተግባሩ $ f(x) $ በአስቸጋሪ የሂሳብ ለውጦች። ለዚህ አለ የተለያዩ ዘዴዎችእና ተጨማሪ የምንመረምራቸው ንብረቶች.

ስለዚህ ፣ አሁን ለዲሚዎች ውህዶችን ለመፍታት ስልተ ቀመር እንፍጠር?

ውህዶችን ለማስላት ስልተ ቀመር

1. ውሱን ውህደቱን እንወቅ ወይም አይሁን።
2. ካልተገለጸ, ከዚያ ማግኘት ያስፈልግዎታል ፀረ-ተውጣጣ ተግባር$ F(x) $ ከተዋሃደ $ f(x) $ ወደ ተግባር ሠንጠረዡ ቅርፅ የሚመራ የሂሳብ ትራንስፎርሜሽን በመጠቀም $ f(x) $።
3. ከተገለጸ፣ ደረጃ 2ን ማከናወን ያስፈልግዎታል፣ እና $ a $ እና $ b$ን ወደ ፀረ-ተውጣጣ ተግባር $ F(x) $ ይተኩ። ይህንን ለማድረግ ምን ዓይነት ቀመር እንደሚጠቀሙበት "ኒውተን-ሌብኒዝ ፎርሙላ" በሚለው ጽሑፍ ውስጥ ያገኛሉ.

የመፍትሄዎች ምሳሌዎች

ስለዚህ ፣ ለዳሚዎች ውህዶችን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ ተምረዋል ፣ የመፍትሄ አካላት ምሳሌዎች ተስተካክለዋል ። አካላዊ እና ጂኦሜትሪክ ትርጉማቸውን ተምረናል። የመፍትሄ ዘዴዎች በሌሎች ጽሑፎች ውስጥ ይብራራሉ.

ከዚህ በፊት እኛ የተሰጠው ተግባር፣ በመመራት። የተለያዩ ቀመሮችእና ደንቦች, የራሱ ተዋጽኦዎች አግኝተዋል. ተዋጽኦው ብዙ አጠቃቀሞች አሉት፡ የእንቅስቃሴው ፍጥነት (ወይም በአጠቃላይ የማንኛውም ሂደት ፍጥነት) ነው። ተዳፋትታንጀንት ወደ ተግባር ግራፍ; ተዋጽኦውን በመጠቀም ለአንድ ነጠላነት እና ለአክራሪነት ተግባር መመርመር ይችላሉ ። የማመቻቸት ችግሮችን ለመፍታት ይረዳል.

ነገር ግን በሚታወቀው የእንቅስቃሴ ህግ መሰረት ፍጥነትን የማግኘት ችግር ጋር አብሮ አለ የተገላቢጦሽ ችግር- የእንቅስቃሴ ህግን ከሚታወቀው ፍጥነት ወደነበረበት የመመለስ ችግር. ከእነዚህ ችግሮች መካከል አንዱን እንመልከት።

ምሳሌ 1.የቁሳቁስ ነጥብ በቀጥታ መስመር ይንቀሳቀሳል፣ ፍጥነቱ በጊዜ t በቀመር v=gt ይሰጣል። የእንቅስቃሴ ህግን ያግኙ.
መፍትሄ። s = s (t) የሚፈለገው የእንቅስቃሴ ህግ ይሁን። s"(t) = v(t) እንደሆነ ይታወቃል።ይህ ማለት ችግሩን ለመፍታት ተግባርን s = s(t) መምረጥ ያስፈልግሃል፣ የርሱ ውፅዓት ከ gt ጋር እኩል ነው። ለመገመት አስቸጋሪ አይደለም። ያ \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2) \)።በእውነቱ
\(s"(t) = \ግራ(\frac(gt^2)(2)\ቀኝ)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2)) cdot 2t = gt\)
መልስ፡- \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

ምሳሌው በትክክል እንደተፈታ, ግን ያልተሟላ መሆኑን ወዲያውኑ እናስተውል. \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) አግኝተናል። እንደ እውነቱ ከሆነ ችግሩ ብዙ መፍትሄዎች አሉት፡ ማንኛውም የቅጹ ተግባር \(s(t) = \frac(gt^2)(2)+C\)፣ ሐ የዘፈቀደ ቋሚ የሆነበት፣ እንደ ህግ ሆኖ ሊያገለግል ይችላል። እንቅስቃሴ፣ ከ \(\ ግራ (\frac(gt^2)(2) +C \ቀኝ)" = gt \)

ችግሩን የበለጠ ግልጽ ለማድረግ የመነሻውን ሁኔታ ማስተካከል ነበረብን፡ በተወሰነ ጊዜ ውስጥ የሚንቀሳቀስ ነጥብ ማስተባበሪያን ለምሳሌ በ t = 0 ያመልክቱ። እኩልነት s(t) = (gt 2)/2 + C እናገኛለን፡ s(0) = 0 + C፣ ማለትም C = s 0። አሁን የእንቅስቃሴ ህግ በልዩ ሁኔታ ይገለጻል፡ s(t) = (gt 2)/2 + s 0።

በሂሳብ ውስጥ, የተገላቢጦሽ ስራዎች ተመድበዋል የተለያዩ ስሞች, ልዩ ማስታወሻዎችን ይዘው ይምጡ, ለምሳሌ: ካሬ (x 2) እና ካሬ ሥር (\ (\sqrt (x)\)), ሳይን (ሲን x) እና አርክሲን (arcsin x) ወዘተ. ተዋጽኦውን የማግኘት ሂደት. ከተሰጠው ተግባር ጋር ተጠርቷል ልዩነት, እና የተገላቢጦሽ ክዋኔ, ማለትም ከተሰጠው ተውሳክ ተግባርን የማግኘት ሂደት ነው ውህደት.

“ተወላጅ” የሚለው ቃል ራሱ “በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥ” ሊጸድቅ ይችላል፡ ተግባር y = f(x) “ያመርታል” አዲስ ባህሪ y" = f"(x)። ተግባር y = f(x) እንደ “ወላጅ” ሆኖ ይሰራል፣ ነገር ግን የሒሳብ ሊቃውንት፣ በተፈጥሯቸው፣ “ወላጅ” ወይም “አምራች” ብለው አይጠሩትም፤ ከተግባሩ ጋር በተያያዘ ነው ይላሉ y” = f”( x)፣ ዋና ምስል ወይም ጥንታዊ።

ፍቺ y = F(x) እኩልነት F"(x) = f(x) ለ \(x \በ X\) የሚይዝ ከሆነ በ interval X ላይ ለሚሰራው ተግባር y = f(x) ፀረ-ድርሻ ይባላል።

በተግባር ፣ የጊዜ ክፍተት X ብዙውን ጊዜ አልተገለጸም ፣ ግን በተዘዋዋሪ ነው (እንደ የተግባሩ ፍቺ ተፈጥሮአዊ ጎራ)።

ምሳሌዎችን እንስጥ።
1) ተግባሩ y = x 2 ለተግባሩ y = 2x ፀረ ተዋጽኦ ነው ፣ ምክንያቱም ለማንኛውም x እኩልነት (x 2)" = 2x እውነት ነው
2) ተግባሩ y = x 3 ለተግባሩ ፀረ ተዋጽኦ ነው y = 3x 2 ፣ ለማንኛውም x እኩልነት (x 3)" = 3x 2 እውነት ነው ።
3) ተግባሩ y = sin(x) ለተግባሩ ፀረ ተዋጽኦ ነው y = cos(x) ለማንኛውም x እኩልነት (ኃጢአት(x))" = cos(x) እውነት ነውና።

ፀረ-ተውሳኮችን, እንዲሁም ተዋጽኦዎችን ሲያገኙ, ቀመሮች ብቻ ሳይሆን አንዳንድ ደንቦችም ጥቅም ላይ ይውላሉ. ተዋጽኦዎችን ለማስላት ከተዛማጅ ደንቦች ጋር በቀጥታ የተያያዙ ናቸው.

የአንድ ድምር ተዋጽኦ ከተዋጮቹ ድምር ጋር እኩል እንደሆነ እናውቃለን። ይህ ደንብ ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ተጓዳኝ ህግን ያመነጫል.

ደንብ 1.የአንድ ድምር ፀረ-ተውጣጣይ ከፀረ-ተውሳኮች ድምር ጋር እኩል ነው።

ያንን እናውቃለን ቋሚ ምክንያትከመነሻ ምልክት ሊወጣ ይችላል. ይህ ደንብ ፀረ-ተውሳኮችን ለማግኘት ተጓዳኝ ህግን ያመነጫል.

ደንብ 2. F(x) ለf(x) ፀረ-ድርሻ ከሆነ፣ kF(x) ለ kf(x) ፀረ-ድርሻ ነው።

ቲዎሪ 1. y = F (x) ለተግባሩ y = f (x) ፀረ-ተህዋስያን ከሆነ የተግባር y = f(kx + m) ፀረ-ተግባር \(y=\frac(1)(k)F ተግባር ነው። (kx+m) \)

ቲዎሪ 2. y = F(x) ለ ተግባር y = f(x) በጊዜ ክፍተት X ላይ ፀረ ተውሳክ ከሆነ፣ y = f(x) ተግባር እጅግ ብዙ ፀረ ተውሳኮች አሉት፣ እና ሁሉም y = F(x) ቅጽ አላቸው። + ሲ.

የመዋሃድ ዘዴዎች

ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ (የመተካት ዘዴ)

በመተካት የመዋሃድ ዘዴ አዲስ የውህደት ተለዋዋጭ (ማለትም ምትክ) ማስተዋወቅን ያካትታል. በዚህ ሁኔታ, የተሰጠው ውህድ ወደ አዲስ ውህደት ይቀንሳል, እሱም በሠንጠረዥ ወይም በእሱ ላይ ሊቀንስ ይችላል. የተለመዱ ዘዴዎችየመተካት ምርጫ የለም. መተካት በትክክል የመወሰን ችሎታ የሚገኘው በተግባር ነው።
ዋናውን \(\textstyle \int F(x)dx \) ማስላት አስፈላጊ ይሁን። \(\varphi(t) \) ቀጣይነት ያለው አመጣጥ ያለው ተግባር የሆነበትን ምትክ \(x= \varphi(t) \) እናድርገው።
ከዚያ \(dx = \varphi "(t) \cdot dt \) እና የውህደት ፎርሙላ ላልተወሰነ ውህደት ንብረት ላይ በመመስረት የውህደት ቀመሩን በመተካት እናገኛለን።
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi" (t) dt \)

የቅጹ አገላለጾች ውህደት (\textstyle \int \ sin^n x \cos^m x dx \)

m ጎዶሎ ከሆነ፣ m > 0፣ እንግዲያውስ ተተኪውን ኃጢአት x = t ለማድረግ የበለጠ አመቺ ነው።
n ጎዶሎ ከሆነ፣ n> 0፣ ተተኪውን cos x = t ለማድረግ የበለጠ አመቺ ነው።
n እና m እኩል ከሆኑ, ምትክ tg x = t ለማድረግ የበለጠ አመቺ ነው.

በክፍሎች ውህደት

በክፍሎች ውህደት - የሚከተለውን ለመዋሃድ ቀመር መተግበር:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
ወይም፡-
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

የአንዳንድ ተግባራት ላልተወሰነ ውህዶች (አንቲዲሪቫቲቭ) ሰንጠረዥ

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$$$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1) ) +C \;\; (n \neq -1) $$$$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$$$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$$$ \int \frac(dx)(\ sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$$$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$$$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$$$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +ሲ $$

ያልተወሰነ ውህደትን ማግኘት (የፀረ-ተውሳኮች ስብስብ ወይም "አንቲዲሪቫቲቭ") ማለት አንድን ተግባር ከሚታወቀው የዚህ ተግባር አመጣጥ እንደገና መገንባት ማለት ነው. የተመለሰ የፀረ-ተውሳኮች ስብስብ ኤፍ(x) + ጋር ለተግባር ረ(x) የውህደት ቋሚውን ግምት ውስጥ ያስገባል ሲ. በእንቅስቃሴ ፍጥነት ቁሳዊ ነጥብ(የመነሻ) የዚህ ነጥብ እንቅስቃሴ ህግ (አንቲዲሪቭቲቭ) ወደነበረበት ሊመለስ ይችላል; እንደ የነጥብ እንቅስቃሴ መፋጠን - ፍጥነቱ እና የእንቅስቃሴ ህግ። እንደምታየው ውህደት የፊዚክስ ሼርሎክ ሆልምሴስ እንቅስቃሴዎች ሰፊ መስክ ነው። እና በኢኮኖሚክስ ውስጥ ብዙ ፅንሰ-ሀሳቦች በተግባሮች እና በመነሻዎቻቸው ይወከላሉ, እና ስለዚህ, ለምሳሌ, በተወሰነ ጊዜ (የተዋቀረው) የሰው ኃይል ምርታማነትን በመጠቀም የተመረቱ ምርቶችን መጠን ወደነበረበት መመለስ ይቻላል.

ያልተወሰነ ውህድ ለማግኘት በጣም ትንሽ ቁጥር ያላቸው መሰረታዊ የውህደት ቀመሮችን ይፈልጋል። ነገር ግን የማግኘት ሂደት እነዚህን ቀመሮች ከመተግበር የበለጠ አስቸጋሪ ነው. ሁሉም ውስብስብነት ከመዋሃድ ጋር የተያያዘ አይደለም, ነገር ግን የተዋሃደውን አገላለጽ ወደ ፎርሙ በማምጣት ከላይ የተጠቀሱትን መሰረታዊ ቀመሮች በመጠቀም ያልተወሰነ ውህደትን ለማግኘት ያስችላል. ይህ ማለት የውህደትን ልምምድ ለመጀመር የተማርከውን ማግበር አለብህ ማለት ነው። ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤትየአገላለጽ ለውጥ ችሎታዎች.

በመጠቀም ውህዶችን ለማግኘት እንማራለን። ባህሪያት እና ያልተወሰነ ውህዶች ሰንጠረዥየዚህን ርዕሰ ጉዳይ መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች ከትምህርት (በአዲስ መስኮት ውስጥ ይከፈታል).

ዋናውን ለማግኘት ብዙ ዘዴዎች አሉ, ከእነዚህ ውስጥ ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴእና በክፍሎች ዘዴ ውህደት- ከፍተኛ የሂሳብ ትምህርትን በተሳካ ሁኔታ ላለፉ ሁሉ የግዴታ የዋህ ስብስብ። ሆኖም ግን ፣በሚቀጥሉት ሁለት ንድፈ ሀሳቦች ላይ በመመርኮዝ የማስፋፊያ ዘዴን በመጠቀም ውህደቱን መቆጣጠር መጀመር የበለጠ ጠቃሚ እና አስደሳች ነው ፣ ይህም ላልተወሰነ ውህድነት ባህሪያት እዚህ እንደግመዋለን ።

ቲዎሪ 3.በተዋሃዱ ውስጥ ያለው ቋሚ ምክንያት ከማይታወቅ ውህደት ምልክት ሊወጣ ይችላል, ማለትም.

ቲዎሪ 4.ያልተወሰነ የአልጀብራ ድምር የመጨረሻ ቁጥርተግባራት እኩል ናቸው አልጀብራ ድምርየእነዚህ ተግባራት ያልተገደበ ውህደቶች፣ ማለትም

(2)

በተጨማሪም ፣ የሚከተለው ደንብ በመዋሃድ ውስጥ ጠቃሚ ሊሆን ይችላል-የተዋሃዱ አገላለጽ ቋሚ ምክንያት ካለው ፣ የፀረ-ተውጣጣው አገላለጽ በቋሚው ሁኔታ ተገላቢጦሽ ተባዝቷል ፣ ማለትም ፣

(3)

ይህ ትምህርት የውህደት ችግሮችን ለመፍታት መግቢያ እንደመሆኑ መጠን ሁለት ነገሮችን ልብ ማለት ያስፈልጋል። የመጀመሪያ ደረጃወይም ትንሽ ቆይተው ሊያስደንቁዎት ይችላሉ። የሚያስደንቀው ነገር ውህደት የልዩነት ተገላቢጦሽ ኦፕሬሽን ስለሆነ እና ያልተወሰነ ውህደት በትክክል "አንቲዳይቭቲቭ" ተብሎ ሊጠራ ስለሚችል ነው.

ሲዋሃዱ ሊደነቁ የማይገባዎት የመጀመሪያው ነገር።በመዋሃድ ሠንጠረዥ ውስጥ ከመነሻ ሠንጠረዥ ቀመሮች መካከል ምንም አናሎግ የሌላቸው ቀመሮች አሉ። . ይህ የሚከተሉት ቀመሮች:

ነገር ግን፣ በእነዚህ ቀመሮች በቀኝ በኩል ያሉት የገለፃዎቹ መነሻዎች ከተዛማጅ ውህደቶች ጋር መገናኘታቸውን ማረጋገጥ ይችላሉ።

ሲዋሃዱ ሊያስደንቅ የማይገባው ሁለተኛው ነገር. ምንም እንኳን የማንኛውም የመጀመሪያ ደረጃ ተግባር መነሻው የመጀመሪያ ደረጃ ተግባር ቢሆንም ፣ የአንዳንድ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት ያልተወሰነ ውህዶች ከአሁን በኋላ የመጀመሪያ ደረጃ ተግባራት አይደሉም . የእንደዚህ አይነት ውህዶች ምሳሌዎች የሚከተሉት ሊሆኑ ይችላሉ-

የውህደት ቴክኒኮችን ለማዳበር የሚከተሉት ችሎታዎች ጠቃሚ ይሆናሉ፡ ክፍልፋዮችን መቀነስ፣ ክፍልፋዮችን በቁጥር ክፍልፋዮች ውስጥ በአንድ ክፍልፋይ መለያየት (ያልተወሰነ ውህደቶችን ድምር ለማግኘት)፣ ሥሩን ወደ ሃይል መለወጥ፣ ሞኖሚል በ ሀ ማባዛት። ፖሊኖሚል, ወደ ኃይል ማሳደግ. እነዚህ ችሎታዎች ለውህደት ለውጦች ያስፈልጋሉ ፣ ይህም በተዋሃዱ ሠንጠረዥ ውስጥ የሚገኙትን ውህደቶች ድምር ውጤት ማምጣት አለበት።

ያልተገደቡ ውህዶችን አንድ ላይ ማግኘት

ምሳሌ 1.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

.

መፍትሄ። x ስኩዌር በሆነበት ውህደት እና ፖሊኖሚል መለያ ላይ እናያለን። ይህ ሰንጠረዥ integral 21 (በአርክታንጀንት በውጤቱ) መተግበር እንደሚችሉ እርግጠኛ ምልክት ነው። ፋክተር-ሁለትን ከአካፋው ውስጥ እናወጣለን (የተዋሃዱ እንደዚህ ያለ ንብረት አለ - ቋሚው ሁኔታ ከዋናው ምልክት በላይ ሊወጣ ይችላል ፣ ከላይ እንደ ቲዎረም 3 ተጠቅሷል)። የዚህ ሁሉ ውጤት፡-

አሁን መለያው የካሬዎች ድምር ነው, ይህም ማለት የተጠቀሰውን ሰንጠረዥ ሙሉ በሙሉ መተግበር እንችላለን. በመጨረሻም መልሱን እናገኛለን፡-

.

ምሳሌ 2.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

መፍትሄ። እንደገና እንተገብራለን Theorem 3 - የመዋሃዱ ንብረት ፣ በዚህ መሠረት ቋሚው ሁኔታ ከዋናው ምልክት ሊወጣ ይችላል ።

ቀመር 7ን ከመዋሃድ ሠንጠረዥ (ለሀይል የሚለዋወጥ) ወደ ውህደት ተግባር እንተገብራለን፡

.

የተገኙትን ክፍልፋዮች እንቀንሳለን እና የመጨረሻውን መልስ አግኝተናል-

ምሳሌ 3.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

መፍትሄ። በመጀመሪያ ቲዎረም 4 እና በመቀጠል Theorem 3ን በንብረቶች ላይ በመተግበር፣ ይህንን ዋና የሶስት ውህደቶች ድምር ሆኖ እናገኘዋለን።

ሦስቱም የተገኙ ውህዶች በሰንጠረዥ ናቸው። ፎርሙላውን (7) ከመዋሃድ ሰንጠረዥ እንጠቀማለን። n = 1/2, n= 2 እና n= 1/5, እና ከዚያ

ሦስቱን ውስጠ-ቁራጮች ሲፈልጉ የተዋወቁትን ሶስቱን የዘፈቀደ ቋሚዎች ያጣምራል። ስለዚህ, በተመሳሳይ ሁኔታዎች, አንድ የዘፈቀደ ውህደት ቋሚ ብቻ መተዋወቅ አለበት.

ምሳሌ 4.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

መፍትሄ። የማጠቃለያው አካፋይ ሞኖሚል ሲይዝ፣ አሃዛዊውን በዲኖሚነተር ቃል በቃላት ልንከፍለው እንችላለን። የመጀመሪያው ውህደት ወደ ሁለት ውህዶች ድምር ተለወጠ።

.

የሰንጠረዡን ውህደት ለመተግበር ሥሮቹን ወደ ኃይል እንለውጣለን እና የመጨረሻው መልስ እዚህ አለ

እኛ አንድ ላይ ያልተወሰነ ውህዶችን ማግኘታችንን እንቀጥላለን

ምሳሌ 7.ያልተወሰነውን ውህድ ያግኙ

መፍትሄ። ውህደቱን ከቀየርነው ሁለትዮሽ አሃዛዊውን በማጣመር እና አሃዛዊውን በዲኖሚነተር ቃል በተርጓሚ ከፋፍለን ኦሪጅናል ኢንተግራል የሶስት አካላት ድምር ይሆናል።

ያልተወሰነ ውህዶችን ለማስላት ዘዴዎች ግምገማ ቀርቧል. ዋናዎቹ የመዋሃድ ዘዴዎች ይታሰባሉ, እነሱም ድምርን እና ልዩነትን ማዋሃድ, ቋሚውን ከግኝት ምልክት ውጭ ማስቀመጥ, ተለዋዋጭ መተካት እና በክፍሎች ማዋሃድን ያካትታሉ. እንዲሁም ግምት ውስጥ ይገባል ልዩ ዘዴዎችእና ክፍልፋዮችን, ሥሮችን, ትሪግኖሜትሪክ እና ገላጭ ተግባራት.

Antiderivative እና ያልተወሰነ ውህደት

የአንድ ተግባር f(x) አንቲደርቭቲቭ F(x) መነጩ ከ f(x) ጋር እኩል የሆነ ተግባር ነው።
F'(x) = f(x)፣ x ∈ Δ,
የት Δ - የሚሠራበት ጊዜ የተሰጠው እኩልታ.

የሁሉም ፀረ ተዋጽኦዎች ስብስብ ያልተወሰነ ውህደት ይባላል።
,
ሲ ከተለዋዋጭ x ቋሚ ነፃ የሆነበት።

መሰረታዊ ቀመሮች እና የመዋሃድ ዘዴዎች

የመገጣጠሚያዎች ሰንጠረዥ

የመጨረሻ ግብያልተወሰነ ውህዶችን ማስላት - በለውጦች አማካኝነት በጣም ቀላሉን ወይም ሰንጠረዦችን ወደያዘ አገላለጽ የተሰጠውን ውህደት ይቀንሱ።
የውህደት ሰንጠረዥ ይመልከቱ >>>

ድምርን (ልዩነቶችን) የማዋሃድ ደንብ

ቋሚውን ከዋናው ምልክት ውጭ ማንቀሳቀስ

ከ x ቋሚ ነፃ ይሁን። ከዚያ ከዋናው ምልክት ሊወጣ ይችላል-

ተለዋዋጭ ምትክ

x የተለዋዋጭ t፣ x = φ(t) ተግባር ይሁን፣ ከዚያ
.
ወይም በተቃራኒው t = φ(x)፣
.

የተለዋዋጭ ለውጥን በመጠቀም ቀላል ውህዶችን ማስላት ብቻ ሳይሆን በጣም ውስብስብ የሆኑትን ስሌት ቀላል ማድረግ ይችላሉ.

በክፍል ደንብ ውህደት

ክፍልፋዮች ውህደት (ምክንያታዊ ተግባራት)

ማስታወሻውን እናስተዋውቅ። P k (x)፣ Q m (x)፣ R n (x) ከተለዋዋጭ x አንፃር የዲግሪ k፣ m፣ n በቅደም ተከተል ፖሊኖሚሎችን እንዲያመለክት ይፍቀዱ።

የብዙ ፖሊኖሚሎች ክፍልፋይ (የሚባሉትን) ያቀፈ አንድ ማጠቃለያን እንመልከት ምክንያታዊ ተግባር):

k ≥ n ከሆነ በመጀመሪያ የክፍሉን አጠቃላይ ክፍል መምረጥ ያስፈልግዎታል-
.
የፖሊኖሚል S k-n (x) ውህድ የሚሰላው የመገጣጠሚያዎች ሰንጠረዥን በመጠቀም ነው።

ዋናው ቀሪዎች;
, የት ኤም< n .
እሱን ለማስላት ውህደቱ ወደ ቀላል ክፍልፋዮች መበስበስ አለበት።

ይህንን ለማድረግ የእኩልታውን ሥሮች ማግኘት አለብዎት-
ጥ n (x) = 0.
የተገኙትን ሥሮች በመጠቀም መለያውን እንደ የምክንያቶች ውጤት መወከል ያስፈልግዎታል።
ጥ n (x) = ሰ (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 + ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
እዚህ s የ x n፣ x 2+ ex + f > 0፣ x 2+ gx + k > 0፣ ... ጥምርታ ነው።

ከዚህ በኋላ ክፍልፋዩን ወደ ቀላሉ ቅጹ ይከፋፍሉት፡-

በማዋሃድ, ተጨማሪ ነገሮችን ያካተተ አገላለጽ እናገኛለን ቀላል ውህዶች.
የቅጹ ውህደቶች

ወደ ሠንጠረዥ ምትክ ተቀንሰዋል t = x - a.

ዋናውን አስቡበት፡-

ቆጣሪውን እንለውጠው፡-
.
ወደ ውህደቱ በመተካት ሁለት ውህደቶችን የሚያካትት አገላለጽ እናገኛለን።
,
.
የመጀመሪያው በመተካት t = x 2 + ex + f ወደ ሠንጠረዥ ይቀነሳል።
ሁለተኛ፣ በቅናሽ ቀመር መሰረት፡-

ወደ ውህደት ይቀንሳል

መለያውን ወደ የካሬዎች ድምር እንቀንሰው፡-
.
ከዚያም በመተካት, ዋናው

በተጨማሪም በሠንጠረዥ ቀርቧል.

ምክንያታዊ ያልሆኑ ተግባራት ውህደት

ማስታወሻውን እናስተዋውቅ። R (u 1, u 2, ..., u n) የተለዋዋጮች u 1, u 2, ..., u n ምክንያታዊ ተግባር ማለት ነው. ያውና
,
P, Q በተለዋዋጮች u 1, u 2, ..., u n ውስጥ ብዙ ቁጥር ያላቸው ናቸው.

ክፍልፋይ መስመራዊ ምክንያታዊነት

የቅጹን ማጠቃለያዎች እናስብ፡-
,
የት - ምክንያታዊ ቁጥሮች, m 1 , n 1 , ..., ms , n s - ኢንቲጀሮች.
እንሁን - የጋራቁጥሮች r 1, ..., r s.
ከዚያ ውህደቱ በመተካት ወደ ምክንያታዊ ተግባራት ዋና ቀንሷል።
.

ውህደቶች ከተለያየ binomials

ዋናውን አስቡበት፡-
,
m, n, p ምክንያታዊ ቁጥሮች ናቸው, a, b - እውነተኛ ቁጥሮች.
እንደነዚህ ያሉት ውህዶች በሦስት ጉዳዮች ውስጥ ወደ ምክንያታዊ ተግባራት ውህደት ይቀንሳሉ ።

1) ፒ ኢንቲጀር ከሆነ። ምትክ x = t N፣ N የክፍልፋዮች m እና n የጋራ መለያ ነው።
2) ከሆነ - ኢንቲጀር. ምትክ a x n + b = t M፣ M የቁጥር መለያ በሆነበት p.
3) ከሆነ - ኢንቲጀር. ምትክ a + b x - n = t M፣ M የቁጥር መለያ በሆነበት p.

ከሶስቱ ቁጥሮች ውስጥ አንዳቸውም ኢንቲጀር ካልሆኑ, እንደ Chebyshev's ቲዎሬም, የዚህ አይነት ውህዶች በአንደኛ ደረጃ ተግባራት ጥምረት ሊገለጹ አይችሉም.

በአንዳንድ ሁኔታዎች, ውህደቱን ወደ ይበልጥ ምቹ እሴቶችን ለመቀነስ በመጀመሪያ ጠቃሚ ነው m እና p. ይህ የመቀነስ ቀመሮችን በመጠቀም ሊከናወን ይችላል-
;
.

የካሬ ትሪኖሚል ካሬ ሥር የያዙ ውህደቶች

እዚህ የቅጹን ውህዶች እንመለከታለን፡-
,

የኡለር ምትክ

እንደነዚህ ያሉ ውህዶች ከሶስቱ የኡለር መተኪያዎች የአንዱ ምክንያታዊ ተግባራት ወደ ውህደት ሊቀንሱ ይችላሉ፡
፣ ለ > 0;
ለ ሐ > 0;
, x 1 የእኩልታ ስር ነው a x 2 + b x + c = 0። ይህ እኩልታ ካለው እውነተኛ ሥሮች.

ትሪግኖሜትሪክ እና ሃይፐርቦሊክ መተካት

ቀጥተኛ ዘዴዎች

በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች የዩለር መተካት ከቀጥታ ዘዴዎች ይልቅ ረዘም ያለ ስሌቶችን ያስገኛል. ቀጥተኛ ዘዴዎችን በመጠቀም, ጥረዛው ከታች ከተዘረዘሩት ቅጾች ወደ አንዱ ይቀንሳል.

ዓይነት I

የቅጹ ውህደት;
,
የት P n (x) የዲግሪ n ብዙ ቁጥር ነው.

እንደነዚህ ያሉ ውህዶች በአሰራር ዘዴው ይገኛሉ እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንጅቶችማንነቱን በመጠቀም፡-

ይህንን እኩልታ በመለየት እና ግራ እና ቀኝ ጎኖቹን በማመሳሰል, የቁጥር አሃዞችን A i እናገኛለን.

ዓይነት II

የቅጹ ውህደት;
,
የት P m (x) የዲግሪ ፖሊኖሚል ነው.

ምትክ t = (x - α) -1ይህ ውህደት ወደ ቀድሞው ዓይነት ይቀንሳል. m ≥ n ከሆነ፣ ክፍልፋዩ ኢንቲጀር ክፍል ሊኖረው ይገባል።

III ዓይነት

ሦስተኛው እና በጣም ውስብስብ ዓይነት:
.

እዚህ ምትክ ማድረግ ያስፈልግዎታል:
.
ከዚያ በኋላ ዋናው ቅጹን ይወስዳል-
.
በመቀጠል፣ ቋሚዎቹ α፣ β መመረጥ አለባቸው፣ ይህም የ t ጥምርታዎቹ ዜሮ ይሆናሉ፡
B = 0, B 1 = 0.
ከዚያ ውህደቱ ወደ ሁለት ዓይነቶች ውህደቶች ድምር ይከፋፈላል-
;
,
በቅደም ተከተል፣ በመተካት የተዋሃዱ፡-
z 2 = A 1 t 2 + C 1;
y 2 = A 1 + C 1 t -2.

አጠቃላይ ጉዳይ

የትራንሴንደንታል (ትሪግኖሜትሪክ እና ገላጭ) ተግባራት ውህደት

ለእነዚያ ዘዴዎች ተፈፃሚነት እንዳላቸው አስቀድመን እናስተውል ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት, እንዲሁም ተፈጻሚ ይሆናል ሃይፐርቦሊክ ተግባራት. በዚህ ምክንያት, የሃይፐርቦሊክ ተግባራትን በተናጠል ማቀናጀትን አንመለከትም.

የ cos x እና sin x ምክንያታዊ ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ውህደት

የቅጹን ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ውህዶችን እንመልከት፡-
,
የት R ምክንያታዊ ተግባር ነው. ይህ በተጨማሪም ታንጀንት እና ኮንቴይነንት ሊያካትት ይችላል፣ እነዚህም ሳይን እና ኮሳይን በመጠቀም መለወጥ አለባቸው።

እንደነዚህ ያሉትን ተግባራት ሲያዋህዱ ሶስት ደንቦችን ግምት ውስጥ ማስገባት ጠቃሚ ነው.
1) R ከሆነ cos x፣ sin x)ከአንዱ መጠኖች በፊት ከምልክቱ ለውጥ በ -1 ተባዝቷል። cos xወይም ኃጢአት x, ከዚያም ሌሎቹን በቲ ለማመልከት ጠቃሚ ነው.
2) R ከሆነ cos x፣ sin x)ከዚህ በፊት በተመሳሳይ ጊዜ በምልክት ለውጥ ምክንያት አይለወጥም cos xእና ኃጢአት x, ከዚያም ማስቀመጥ ጠቃሚ ነው tg x = ቲወይም አልጋ x = t.
3) በሁሉም ሁኔታዎች ውስጥ መተካት ወደ ዋናው ነገር ይመራል ምክንያታዊ ክፍልፋይ. እንደ አለመታደል ሆኖ ይህ ምትክ ካለፈው ጊዜ በላይ ስሌቶችን ያስከትላል።

የ cos x እና የኃጢአት x የኃይል ተግባራት ምርት

የቅጹን ማጠቃለያዎች እናስብ፡-

m እና n ምክንያታዊ ቁጥሮች ከሆኑ, ከተተካው አንዱ t = ኃጢአት xወይም t = cos xውስጠቱ ወደ ልዩነት ሁለትዮሽ ውህደት ይቀንሳል.

m እና n ኢንቲጀሮች ከሆኑ ኢንተግራሎቹ በክፍሎች በማዋሃድ ይሰላሉ። ይህ የሚከተሉትን የመቀነስ ቀመሮችን ያዘጋጃል-

;
;
;
.

በክፍሎች ውህደት

የኡለር ቀመር አተገባበር

ውህደቱ ከአንዱ ተግባር አንፃር መስመራዊ ከሆነ
cos axወይም ሲናክስ, ከዚያ የዩለርን ቀመር ለመተግበር ምቹ ነው-
ኢ iax = cos ax + isin ax(የት 2 = - 1 ),
ይህንን ተግባር በመተካት ኢ iaxእና እውነተኛውን ማድመቅ (ሲተካ cos ax) ወይም ምናባዊ ክፍል (ሲተካ ሲናክስ) ከተገኘው ውጤት.

ማጣቀሻዎች፡-
ኤን.ኤም. ጉንተር፣ አር.ኦ. ኩዝሚን, የችግሮች ስብስብ በርቷል ከፍተኛ የሂሳብ, "ላን", 2003.

ውህደቶችን መፍታት - ቀላል ተግባር፣ ግን ለተመረጡት ብቻ። ይህ ጽሑፍ የተዋሃዱ ነገሮችን ለመረዳት ለመማር ለሚፈልጉ ነው, ነገር ግን ስለእነሱ ምንም አያውቁም ወይም ምንም ማለት ይቻላል. የተቀናጀ... ለምን ያስፈልጋል? እንዴት ማስላት ይቻላል? ምን እርግጠኛ እና ያልተወሰነ ውህደት s? ለግንባታ የሚያውቁት ብቸኛው ጥቅም ለመድረስ አስቸጋሪ ከሆኑ ቦታዎች ጠቃሚ ነገር ለማግኘት እንደ አይነተኛ አዶ ቅርጽ ያለው የክርን መንጠቆ መጠቀም ከሆነ እንኳን ደህና መጡ! ውህደቶችን እንዴት መፍታት እንደሚችሉ እና ለምን ያለሱ ማድረግ እንደማይችሉ ይወቁ።

"የተዋሃደ" ጽንሰ-ሐሳብን እናጠናለን.

ውህደት ቀድሞ ይታወቅ ነበር። ጥንታዊ ግብፅ. በእርግጥ አልገባም። ዘመናዊ ቅፅ, ሆኖም ግን. ከዚያን ጊዜ ጀምሮ, በዚህ ርዕስ ላይ የሂሳብ ሊቃውንት ብዙ መጽሃፎችን ጽፈዋል. በተለይ ተለይተዋል። ኒውተን እና ሊብኒዝ ነገር ግን የነገሮች ይዘት አልተለወጠም። ውህደቶችን ከባዶ እንዴት መረዳት ይቻላል? በጭራሽ! ይህንን ርዕስ ለመረዳት አሁንም ያስፈልግዎታል መሰረታዊ እውቀትመሰረታዊ ነገሮች የሂሳብ ትንተና. በብሎጋችን ላይ የሚያገኙት ይህ መሰረታዊ መረጃ ነው።

ያልተወሰነ ውህደት

የተወሰነ ተግባር ይኑረን ረ(x) .

ያልተወሰነ የተዋሃደ ተግባር ረ(x) ይህ ተግባር ይባላል ረ(x) , የማን ተወላጅ ከተግባሩ ጋር እኩል ነው ረ(x) .

በሌላ አገላለጽ፣ ውህደቱ በተገላቢጦሽ ወይም ፀረ-ተውጣጣይ ነው። በነገራችን ላይ ስለ ጽሑፋችን እንዴት ያንብቡ.

ፀረ-ተውጣጣው ለሁሉም ሰው አለ ቀጣይነት ያለው ተግባራት. እንዲሁም የማያቋርጥ ምልክት ብዙውን ጊዜ በፀረ-ተውሳክ ውስጥ ይታከላል ፣ ምክንያቱም በቋሚ በአጋጣሚ የሚለያዩት የተግባር አመጣጥ። ውህደቱን የማግኘት ሂደት ውህደት ይባላል።

ቀላል ምሳሌ፡-

የአንደኛ ደረጃ ተግባራት ፀረ-ተውሳኮችን በተከታታይ ላለማሰላሰል ፣ በጠረጴዛ ውስጥ ለማስቀመጥ እና ዝግጁ የሆኑ እሴቶችን ለመጠቀም ምቹ ነው ።

የተወሰነ ውህደት

ከተዋሃዱ ጽንሰ-ሀሳብ ጋር ስንገናኝ፣ ከማይቆጠሩ መጠኖች ጋር እየተገናኘን ነው። ውህደቱ የምስሉን ስፋት፣ ያልተመጣጠነ የሰውነት አካል ብዛት፣ የተጓዘውን ርቀት ለማስላት ይረዳል። ያልተስተካከለ እንቅስቃሴመንገድ እና ብዙ ተጨማሪ. ማጠቃለያ ማለቂያ የሌለው ድምር መሆኑን መታወስ አለበት። ከፍተኛ መጠንማለቂያ የሌላቸው ቃላት።

እንደ ምሳሌ፣ የአንዳንድ ተግባራትን ግራፍ አስብ። የአንድን ምስል አካባቢ እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ፣ በጊዜ መርሐግብር የተገደበተግባራት?

ውስጠ-ህዋስ መጠቀም! እንከፋፍለው ጥምዝ ትራፔዞይድ, በአስተባባሪ መጥረቢያዎች እና በተግባሩ ግራፍ የተገደበ, ወደ ማለቂያ የሌላቸው ትናንሽ ክፍሎች. በዚህ መንገድ ምስሉ ወደ ቀጭን ዓምዶች ይከፈላል. የአምዶች አከባቢዎች ድምር የ trapezoid አካባቢ ይሆናል. ነገር ግን እንዲህ ዓይነቱ ስሌት እንደሚሰጥ ያስታውሱ ግምታዊ ውጤት. ሆኖም ግን, ትናንሽ እና ጠባብ ክፍሎቹ, ስሌቱ የበለጠ ትክክለኛ ይሆናል. ርዝመታቸው ወደ ዜሮ እንዲሄድ ከቀነስናቸው, የክፍሎቹ አጠቃላይ ድምር ወደ ስዕሉ ስፋት ይሆናል. ይህ የተረጋገጠ ውህደት ነው፣ እሱም እንደሚከተለው ተጽፏል፡-

ነጥቦች ሀ እና ለ የውህደት ገደቦች ይባላሉ።

ባሪ አሊባሶቭ እና ቡድን "ውህደት"

በነገራችን ላይ! ለአንባቢዎቻችን አሁን የ10% ቅናሽ አለ።

ለዳሚዎች ውህዶችን ለማስላት ህጎች

ያልተወሰነ ውህደት ባህሪያት

ያልተወሰነ ውህደትን እንዴት መፍታት ይቻላል? እዚህ ላይ ምሳሌዎችን በሚፈታበት ጊዜ ጠቃሚ የሚሆነውን ያልተወሰነ ውህደት ባህሪያትን እንመለከታለን.

• የመዋሃዱ አመጣጥ ከተዋሃዱ ጋር እኩል ነው፡-

• ቋሚው ከዋናው ምልክት ስር ሊወጣ ይችላል-

• የድምሩ ውህደት ከድምሩ ጋር እኩል ነው።ጥረዛዎች. ይህ ለልዩነቱም እውነት ነው፡-

የአንድ የተወሰነ ውህደት ባህሪዎች

• መስመራዊነት፡

• የውህደት ወሰኖች ከተቀያየሩ የመዋሃዱ ምልክት ይለወጣል፡-

• በ ማንኛውምነጥቦች ሀ, ለእና ጋር:

የተወሰነ ውህደት የአንድ ድምር ገደብ መሆኑን አስቀድመን አውቀናል. ግን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል የተወሰነ ትርጉምምሳሌ ሲፈታ? ለዚህም የኒውተን-ላይብኒዝ ቀመር አለ፡-

ውህዶችን የመፍታት ምሳሌዎች

ከዚህ በታች ያልተወሰነ ውህዶችን ለማግኘት ብዙ ምሳሌዎችን እንመለከታለን። የመፍትሄውን ውስብስብነት እራስዎ እንዲያውቁ እንጋብዝዎታለን, እና የሆነ ነገር ግልጽ ካልሆነ በአስተያየቶቹ ውስጥ ጥያቄዎችን ይጠይቁ.

ቁሳቁሱን ለማጠናከር, ውህደቶች በተግባር እንዴት እንደሚፈቱ ቪዲዮ ይመልከቱ. ዋናው ነገር ወዲያውኑ ካልተሰጠ ተስፋ አትቁረጥ። ይጠይቁ እና ስለ ውህደቶች ስሌት የሚያውቁትን ሁሉ ይነግሩዎታል። በእኛ እርዳታ ማንኛውም ሶስት እጥፍ ወይም መስመር የተዋሃደበተዘጋ ገጽ ላይ ማድረግ ይችላሉ.