በዚህ ቪዲዮ ስለ ተዋጽኦዎች ረጅም ተከታታይ ትምህርቶችን እጀምራለሁ. ይህ ትምህርት በርካታ ክፍሎች አሉት.
በመጀመሪያ ደረጃ, ተዋጽኦዎች ምን እንደሆኑ እና እንዴት እንደሚሰላ እነግርዎታለሁ, ነገር ግን በተራቀቀ የአካዳሚክ ቋንቋ አይደለም, ነገር ግን እኔ ራሴ የተረዳሁት እና ለተማሪዎቼ እንዴት እንደገለጽኩ ነው. በሁለተኛ ደረጃ ለችግሮች መፍትሄ በጣም ቀላሉ ህግን እንመለከታለን, ይህም ድምርን, የልዩነቶችን እና የሃይል ተግባር ተዋጽኦዎችን የምንፈልግበት.
ይበልጥ የተወሳሰቡ ጥምር ምሳሌዎችን እንመለከታለን፣ በተለይ ከሥሮች እና ክፍልፋዮች ጋር የሚዛመዱ ተመሳሳይ ችግሮች የኃይል ተግባርን አመጣጥ ቀመር በመጠቀም ሊፈቱ እንደሚችሉ ይማራሉ ። በተጨማሪም, በእርግጥ, ብዙ ችግሮች እና የተለያዩ ውስብስብ ደረጃዎች መፍትሄዎች ምሳሌዎች ይኖራሉ.
በአጠቃላይ፣ መጀመሪያ ላይ አጭር የ5 ደቂቃ ቪዲዮ ልቀዳ ነበር፣ ግን እንዴት እንደ ሆነ ማየት ትችላለህ። ስለዚህ ግጥሞቹ በቂ ናቸው - ወደ ሥራ እንውረድ።
ተዋጽኦ ምንድን ነው?
ስለዚህ ከሩቅ እንጀምር። ከብዙ አመታት በፊት, ዛፎቹ አረንጓዴ ሲሆኑ እና ህይወት የበለጠ አስደሳች በሆነበት ጊዜ, የሂሳብ ሊቃውንት ስለዚህ ጉዳይ አስበው: በግራፉ የተገለጸውን ቀላል ተግባር አስቡበት, $y=f\ ግራ(x \ቀኝ)$ ብለው ይደውሉ. እርግጥ ነው, ግራፉ በራሱ የለም, ስለዚህ የ $ x$ ዘንጎችን እንዲሁም የ $ y $ ዘንግ መሳል ያስፈልግዎታል. አሁን በዚህ ግራፍ ላይ ማንኛውንም ነጥብ እንምረጥ ፣ ምንም። abcissa $((x)_(1))$ ብለን እንጥራው፣ ordinate፣ እርስዎ እንደሚገምቱት፣ $f\ግራ(((x)_(1)) \ቀኝ)$ ይሆናል።
በዚሁ ግራፍ ላይ ሌላ ነጥብ እንይ። የትኛውም ቢሆን ምንም ለውጥ አያመጣም, ዋናው ነገር ከመጀመሪያው የተለየ ነው. እሱ፣ እንደገና፣ abscissa አለው፣ እስቲ $((x)__(2))$ ብለን እንጠራዋለን፣ እና ደግሞ ordinate - $f\ግራ(((x)_(2)) \ቀኝ)$።
ስለዚህ, ሁለት ነጥቦች አሉን: የተለያዩ abscissas እና, ስለዚህ, የተለያዩ የተግባር እሴቶች አሏቸው, ምንም እንኳን የኋለኛው አስፈላጊ ባይሆንም. ግን በጣም አስፈላጊው ነገር ከፕላኒሜትሪ ኮርስ ማወቃችን ነው-በሁለት ነጥቦች በኩል ቀጥ ያለ መስመር መሳል እና በተጨማሪም አንድ ብቻ። ስለዚህ እንፈፅመው።
አሁን ከ abscissa ዘንግ ጋር ትይዩ በሆነው በመጀመሪያዎቹ ቀጥታ መስመር እንሳል። ትክክለኛ ሶስት ማዕዘን እናገኛለን. $ABC$ እንበለው፣ የቀኝ አንግል $C$። ይህ ትሪያንግል አንድ በጣም የሚስብ ንብረት አለው እውነታው ግን $\alpha $ አንግል ቀጥተኛ መስመር $ AB$ ከአብስሲሳ ዘንግ ቀጣይነት ካለው አንግል ጋር እኩል ነው። ለራስዎ ፍረዱ፡-
- ቀጥታ መስመር $AC$ በግንባታ ከ$Ox$ ዘንግ ጋር ትይዩ ነው፣
- መስመር $AB$ $AC$ን በ$\alpha $ ስር ያቋርጣል፣
- ስለዚህ $AB$ $Ox$ን በተመሳሳይ $\alpha $ ያገናኛል።
ስለ $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ ምን ማለት እንችላለን? ምንም የተለየ ነገር የለም፣ በሶስት ማዕዘኑ $ABC$ የእግር $BC$ እና የእግር $AC$ ጥምርታ ከዚህ አንግል ታንጀንት ጋር እኩል ነው። ስለዚ፡ ንጽባሒቱ፡ ንዕኡ ኽንረክብ ንኽእል ኢና።
እርግጥ ነው፣ በዚህ ጉዳይ ላይ $AC$ በቀላሉ ይሰላል፡-
በተመሳሳይ ለ$BC$፡-
በሌላ አነጋገር የሚከተለውን መጻፍ እንችላለን፡-
\[\ኦፕሬተር ስም(tg)\text( )\!\!\\\\\\\\!\text( )=\frac(f\ግራ((((x)_(2))) \ቀኝ)-f\ግራ() ((x)__(1)) \ቀኝ))(((x)__(2))-((x)__(1)))
አሁን ያን ሁሉ ከመንገድ ላይ ስላጣን ወደ ገበታችን እንመለስና አዲሱን ነጥብ $B$ እንይ። የድሮ እሴቶችን እናጥፋ እና $B$ን ወደ $((x)__(1))$ ቅርብ የሆነ ቦታ እንውሰድ። እንደገና አቢሲሳን በ$((x)_(2))$፣ እና ሹመቱን በ$f\ግራ(((x)__(2)) \ቀኝ)$ እንጥቀስ።
እስቲ ትንሿን ትሪያንግል $ABC$ እና $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ን እንይ። ይህ ሙሉ በሙሉ የተለየ አንግል እንደሚሆን በጣም ግልፅ ነው ፣ ታንጀንት እንዲሁ የተለየ ይሆናል ምክንያቱም የክፍሎቹ $AC$ እና $BC$ ርዝማኔዎች በከፍተኛ ሁኔታ ተለውጠዋል ፣ ግን የማዕዘን ታንጀንት ቀመር ምንም አልተለወጠም ። - ይህ አሁንም በተግባሩ ለውጥ እና በክርክሩ ለውጥ መካከል ያለው ግንኙነት ነው.
በመጨረሻም፣ $B$ን ወደ መጀመሪያው ነጥብ $A$ መቅረብ እንቀጥላለን፣ በውጤቱም ትሪያንግል የበለጠ ትንሽ ይሆናል፣ እና $AB$ ክፍሉን የያዘው ቀጥተኛ መስመር በግራፍ ላይ እንደ ታንጀንት የበለጠ እና የበለጠ ይመስላል። ተግባሩ ።
በውጤቱም, ነጥቦቹን አንድ ላይ ማቅረባችንን ከቀጠልን, ማለትም, ርቀቱን ወደ ዜሮ ይቀንሱ, ከዚያም ቀጥተኛ መስመር $ AB$ በተወሰነ ነጥብ ላይ ወደ ግራፉ ወደ ታንጀንት ይለወጣል, እና $ \ ጽሑፍ ( )\ !\!\አልፋ\!\
እና እዚህ በተቀላጠፈ ሁኔታ ወደ $ f$ ፍቺ እንቀጥላለን፣ ማለትም፣ በ $((x)_(1))$ ነጥብ ላይ ያለው የተግባር አመጣጥ በታንጀንት መካከል ያለው የ $\ alpha $ አንግል ታንጀንት ነው። ግራፍ በ$((x)__( 1))$ እና የ$Ox$ ዘንግ አወንታዊ አቅጣጫ፡-
\[(ረ)"\ግራ((((x)__(1)) \ቀኝ)=\ኦፕሬተር ስም(tg)\text( )\!\!\አልፋ\!\!\ፅሁፍ()\]
ወደ ግራፋችን ስንመለስ በግራፉ ላይ ያለ ማንኛውም ነጥብ እንደ $((x)__(1))$ ሊመረጥ እንደሚችል ልብ ሊባል ይገባል። ለምሳሌ፣ በተመሳሳይ ስኬት በሥዕሉ ላይ በሚታየው ነጥብ ላይ ስትሮክን ማስወገድ እንችላለን።
በታንጀንት እና በዘንጉ አወንታዊ አቅጣጫ መካከል ያለውን አንግል $\beta$ እንጥራ። በዚህ መሠረት $f$ በ$((x)_(2))$ ከዚህ አንግል $\beta $ ታንጀንት ጋር እኩል ይሆናል።
\[(f)"\ግራ(((x)__(2)) \ቀኝ)=tg\text( )\!\ beta\!\!\text()\]
በግራፉ ላይ ያለው እያንዳንዱ ነጥብ የራሱ ታንጀንት ይኖረዋል, እና, ስለዚህ, የራሱ የተግባር እሴት. በእያንዳንዳቸው እነዚህ ሁኔታዎች የልዩነት ወይም ድምር አመጣጥ ወይም የኃይል ተግባር አመጣጥ ከምንፈልግበት ነጥብ በተጨማሪ ከሱ በተወሰነ ርቀት ላይ የሚገኝ ሌላ ነጥብ መውሰድ እና ከዚያ ቀጥታ ማድረግ አስፈላጊ ነው ። ይህ ነጥብ ወደ መጀመሪያው እና በእርግጥ በሂደቱ ውስጥ እንዴት እንዲህ ዓይነቱ እንቅስቃሴ የማዕዘን አንግል ታንጀንት እንደሚለውጥ ይወቁ።
የኃይል ተግባር የመነጨ
እንደ አለመታደል ሆኖ, እንዲህ ዓይነቱ ትርጉም እኛን ፈጽሞ አይስማማንም. እነዚህ ሁሉ ቀመሮች ፣ ስዕሎች ፣ ማዕዘኖች በእውነተኛ ችግሮች ውስጥ እውነተኛውን አመጣጥ እንዴት ማስላት እንደሚቻል ትንሽ ሀሳብ አይሰጡንም። ስለዚህ፣ ከመደበኛው ፍቺው በጥቂቱ እንይ እና የበለጠ ውጤታማ ቀመሮችን እና ቴክኒኮችን እናስብባቸው እውነተኛ ችግሮችን አስቀድመው መፍታት ይችላሉ።
በጣም ቀላል በሆኑ ግንባታዎች እንጀምር, ማለትም, የቅጹ ተግባራት $y=((x)^(n))$, i.e. የኃይል ተግባራት. በዚህ አጋጣሚ የሚከተለውን መፃፍ እንችላለን፡-$(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$። እና አርቢው ራሱ በክፍል ይቀንሳል። ለምሳሌ፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \]
ሌላ አማራጭ ይኸውና፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\ግራ(x \ቀኝ))^(\ፕሪም))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\ግራ(x \ቀኝ))^(\prime ))=1 \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
እነዚህን ቀላል ደንቦች በመጠቀም፣ የሚከተሉትን ምሳሌዎች ንክኪ ለማስወገድ እንሞክር፡-
ስለዚህ እናገኛለን:
\[((\ግራ((((x)^(6))) \ቀኝ))^(\ፕሪም)=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]
አሁን ሁለተኛውን አገላለጽ እንፍታ፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& f\ግራ(x \ቀኝ)=((x)^(100)) \\& ((\ግራ((((x)^(100)) \ቀኝ))^( ፕራይም ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
እርግጥ ነው, እነዚህ በጣም ቀላል ተግባራት ነበሩ. ይሁን እንጂ እውነተኛ ችግሮች ይበልጥ የተወሳሰቡ ናቸው እና እነሱ በተግባራዊ ደረጃዎች ብቻ የተገደቡ አይደሉም.
ስለዚህ ፣ ደንብ ቁጥር 1 - አንድ ተግባር በሌሎቹ ሁለት መልክ ከቀረበ ፣ ከዚያ የዚህ ድምር አመጣጥ ከመነሻዎቹ ድምር ጋር እኩል ነው ።
\[((\ግራ(f+g \ቀኝ)))^(\ፕራይም ))=(ረ)"+(g)"\]
በተመሳሳይ፣ የሁለት ተግባራት ልዩነት ተዋጽኦ ከመነሻዎቹ ልዩነት ጋር እኩል ነው።
\[((\ግራ(f-g \ቀኝ)))^(\ፕሪም))=(ረ)"-(ሰ)"\]
\[((\ግራ(((((x)^(2)))+x \ቀኝ))^(\ፕራይም ))= ፕራይም ))+((\ግራ(x \ቀኝ))^(\ፕሪም))=2x+1\]
በተጨማሪም, ሌላ አስፈላጊ ህግ አለ: አንዳንድ $ f $ በቋሚ $ c$ የሚቀድም ከሆነ, ይህ ተግባር የሚበዛበት ከሆነ, የዚህ አጠቃላይ ግንባታ $ f$ እንደሚከተለው ይሰላል.
\[((\ ግራ(c\cdot f \ቀኝ)))^(\prime )=c\cdot (f)"\]
\[((\ግራ(3((x)^(3)) \ቀኝ))^(\ፕራይም )=3((\ግራ(((x)^(3)) \ቀኝ))^(\ ዋና ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]
በመጨረሻም, አንድ ተጨማሪ በጣም አስፈላጊ ህግ: በችግሮች ውስጥ ብዙውን ጊዜ $ x$ በጭራሽ የማይይዝ የተለየ ቃል አለ. ለምሳሌ፣ ዛሬ በአገላለጻችን ውስጥ ይህንን መመልከት እንችላለን። የቋሚው ተዋጽኦ፣ ማለትም፣ በምንም መልኩ በ$x$ ላይ የማይመሰረት ቁጥር፣ ሁልጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ነው፣ እና ቋሚው $c$ ምን ያህል እኩል እንደሚሆን ምንም ለውጥ አያመጣም።
\[((\ግራ(c \ቀኝ)))^(\ፕሪም))=0\]
ምሳሌ መፍትሄ፡-
\[((\ግራ(1001 \ቀኝ)))^(\ፕራይም ))=((\ግራ(\frac(1)(1000) \ቀኝ))^(\prime ))=0\]
በድጋሚ ቁልፍ ነጥቦች፡-
- የሁለት ተግባራት ድምር ተዋጽኦ ሁል ጊዜ ከተዋዋዮቹ ድምር ጋር እኩል ነው፡$((\ግራ(f+g \right))^(\prime))=(f)"+(g)"$;
- በተመሳሳዩ ምክንያቶች የሁለት ተግባራት ልዩነት ከሁለቱ ተዋጽኦዎች ልዩነት ጋር እኩል ነው: $ ((\ግራ (f-g \ ቀኝ)) ^ (\prime )) = (f)"-( g)"$;
- አንድ ተግባር ቋሚ ምክንያት ካለው፣ ይህ ቋሚ እንደ መነሻ ምልክት ሊወሰድ ይችላል፡ $((\ግራ(c\cdot f \right))^(\prime))=c\cdot (f)"$;
- ጠቅላላው ተግባር ቋሚ ከሆነ፣ መነጩ ምንጊዜም ዜሮ ነው፡- $((\ግራ(c \ቀኝ)))^(\prime ))=0$።
ሁሉም ከእውነተኛ ምሳሌዎች ጋር እንዴት እንደሚሰራ እንይ. ስለዚህ፡-
እኛ እንጽፋለን-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& ((\ግራ(((((x)^(5)))-3((x)^(2))+7 \ቀኝ))^(\ፕሪም ))=((\ግራ) (((x)^(5)) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))((\ግራ(3((x)^(2)) \ቀኝ))^(\ፕሪም))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3(\ግራ(((x)^(2)) \ቀኝ))^(\ፕሪም))+0=5((x) ^(4))-6x \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
በዚህ ምሳሌ ውስጥ ሁለቱንም የመደመር እና የልዩነቱን መነሻ እናያለን። በጠቅላላው፣ ተዋጽኦው ከ$5((x)^(4))-6x$ ጋር እኩል ነው።
ወደ ሁለተኛው ተግባር እንሂድ፡-
መፍትሄውን እንፃፍ፡-
\[\ጀምር (አሰላለፍ)& ((\ግራ(3(x)^(2))-2x+2 \ቀኝ))^(\prime )=((\ግራ(3(x)^( 2)) \ቀኝ))^(\ፕሪም))((\ግራ(2x \ቀኝ))^(\ፕራይም))+(2)"= \\& =3((\ግራ(((x))) ^(2)) \ቀኝ))^(\ፕሪም))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\ end(align)\]
እዚህ መልሱን አግኝተናል።
ወደ ሦስተኛው ተግባር እንሂድ - የበለጠ ከባድ ነው-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& ((\ግራ(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \ቀኝ)) ^(\ፕራይም ))=((\ግራ(2((x)^(3)) \ቀኝ))^(\ፕሪም ))((\ግራ(3(x)^(2)) \ቀኝ ))^(\ፕራይም ))+((\ግራ(\frac(1)(2)x \ቀኝ))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\ግራ(( (x)^(3)) \ቀኝ))^(\ፕሪም))-3((\ግራ(((x)^(2)) \ቀኝ))^(\ፕሪም ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
መልሱን አግኝተናል።
ወደ መጨረሻው አገላለጽ እንሸጋገር - በጣም ውስብስብ እና ረጅም።
ስለዚህ, እንመለከታለን:
\[\ጀምር (አሰላለፍ)& ((\ግራ(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \ቀኝ))^(\ፕሪም ))=( (\ግራ(6((x)^(7)) \ቀኝ))^(\ፕሪም))-((\ግራ(14((x)^(3)) \ቀኝ))^(\ፕሪም )) +((\ግራ(4x \ቀኝ))^(\ፕራይም ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6)))) -14\cdot 3((x) )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ግን መፍትሄው በዚህ ብቻ አያበቃም ምክንያቱም የተጠየቅነው ስትሮክን ለማስወገድ ብቻ ሳይሆን እሴቱን በአንድ የተወሰነ ነጥብ ላይ ለማስላት ስለሆነ በ $x$ ፈንታ −1ን በመተካት በገለፃው ውስጥ፡-
\[(y)"\ግራ(-1 \ቀኝ)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]
ወደ ፊት እንሂድ እና ወደ ይበልጥ ውስብስብ እና አስደሳች ምሳሌዎች እንሂድ። እውነታው ግን የኃይል ምንጭን ለመፍታት ቀመር $ ((\ግራ ((((x)^(n)) \ቀኝ))^(\prime))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ በተለምዶ ከሚታመን የበለጠ ሰፊ ስፋት አለው። በእሱ እርዳታ ምሳሌዎችን ከክፍልፋዮች, ሥሮች, ወዘተ ጋር መፍታት ይችላሉ. አሁን የምናደርገው ይህ ነው.
ለመጀመር፣ የኃይል ተግባርን መነሻ ለማግኘት የሚረዳንን ቀመር እንደገና እንፃፍ፡-
እና አሁን ትኩረት: እስካሁን ድረስ የተፈጥሮ ቁጥሮችን እንደ $n$ አድርገን ነበር, ነገር ግን ክፍልፋዮችን እና አሉታዊ ቁጥሮችን እንኳ እንዳንመለከት ምንም ነገር አይከለክልንም. ለምሳሌ የሚከተለውን መጻፍ እንችላለን።
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ))^(\ ፕራይም ))=((\ግራ(((x)^(\frac(1)(2))) \ቀኝ))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^ (-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x))) \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ምንም የተወሳሰበ ነገር የለም, ስለዚህ ይህ ቀመር የበለጠ ውስብስብ ችግሮችን በምንፈታበት ጊዜ እንዴት እንደሚረዳን እንይ. ስለዚህ አንድ ምሳሌ፡-
መፍትሄውን እንፃፍ፡-
\[\ጀማሪ(አሰላለፍ)& \ግራ(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x)\right)=((\ግራ(\sqrt(x)\ቀኝ))^(\ፕራይም ))+((\ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ))^(\prime))+((\ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ))^(\prime )) \\& ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ))^(\ፕሪም))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ))^( \prime ))=((\ግራ(((x)^(\frac(1)(3))) \ቀኝ))^(\prime )=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt((((x)^(2))))) \\& \ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))=((\ግራ(((x)^(\frac(1)(4))) \ቀኝ))^(\ፕሪም)) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x))) ^(3)))) \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ወደ ምሳሌአችን እንመለስና እንፃፍ፡-
\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt((((x)^(2)))))+\frac(1)(4) \sqrt(((x)^(3))))\]
ይህ በጣም ከባድ ውሳኔ ነው።
ወደ ሁለተኛው ምሳሌ እንሂድ - ሁለት ቃላት ብቻ አሉ ፣ ግን እያንዳንዳቸው ሁለቱንም ክላሲካል ዲግሪ እና ሥሮች ይይዛሉ።
አሁን የኃይል ተግባርን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እንማራለን ፣ እሱም በተጨማሪ ፣ ሥሩን ይይዛል-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& ((\ግራ(((((x)^(3)))\sqrt((((x)^(2)))))+(((x)^(7))\sqrt(x) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))=((\ግራ(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \ቀኝ))^(\ፕሪም)) ==((\ግራ((((x)^(3)))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \ቀኝ))^(\ፕሪም))= \\& == \ግራ(((x)^(3+\frac(2)(3))) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))=((\ግራ(((x)^(\frac(11)(3) ))) \ቀኝ))^(\ፕሪም))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2) )) \\& ((\ግራ((((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))=((\ግራ(((x)^(7) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))=((\ግራ(((x)^(7\frac(1)(3) ))) \ቀኝ))^(\ፕሪም))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\መጨረሻ(align)\]
ሁለቱም ቃላቶች ተሰልተዋል፣ የቀረው የመጨረሻውን መልስ መፃፍ ብቻ ነው፡-
\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]
መልሱን አግኝተናል።
በኃይል ተግባር በኩል ክፍልፋይ የተገኘ
ነገር ግን የኃይል ተግባርን አመጣጥ ለመፍታት የቀመርው ዕድሎች በዚህ አያበቁም። እውነታው ግን በእሱ እርዳታ ምሳሌዎችን ከሥሮች ጋር ብቻ ሳይሆን ከክፍልፋዮች ጋር ማስላት ይችላሉ. ይህ የእንደዚህ ዓይነቶቹ ምሳሌዎች መፍትሄን በእጅጉ የሚያቃልል ያልተለመደ እድል ነው ፣ ግን ብዙውን ጊዜ በተማሪዎች ብቻ ሳይሆን በአስተማሪዎችም ችላ ይባላል።
ስለዚህ, አሁን ሁለት ቀመሮችን በአንድ ጊዜ ለማጣመር እንሞክራለን. በአንድ በኩል፣ የኃይል ተግባር ክላሲካል ተዋጽኦ
\[((\ግራ((((x)^(n))) \ቀኝ))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
በሌላ በኩል፣ የ$\frac(1)(((x)^(n)))$ ቅጽ መግለጫ $((x)^(-n))$ ሆኖ ሊወከል እንደሚችል እናውቃለን። ስለዚህም እ.ኤ.አ.
\[\ግራ(\frac(1)(((x)^(n))) \ቀኝ)"=((\ግራ(((x)^(-n)) \ቀኝ))^(\ፕሪም) =-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)((((x)^(n+1))))\]
\[((\ግራ(\frac(1)(x) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))=\ግራ(((x)^(-1)) \ቀኝ)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)((((x)^(2))))\]
ስለዚህ፣ የቀላል ክፍልፋዮች ተዋጽኦዎች፣ አሃዛዊው ቋሚ እና መለያው ዲግሪ የሆነበት፣ እንዲሁም የክላሲካል ቀመሩን በመጠቀም ይሰላሉ። ይህ በተግባር እንዴት እንደሚሰራ እንይ.
ስለዚህ, የመጀመሪያው ተግባር:
\[((\ግራ(\frac(1))(((x)^(2))) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))=((\ግራ((((x)^(-2))) ቀኝ))^(\ፕሪም ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)((((x)^(3))))\]
የመጀመሪያው ምሳሌ ተፈቷል ወደ ሁለተኛው እንሂድ፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& ((\ግራ(\frac(7)(4(x)^(4)))-\frac(2)(3(x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2(x)^(3))-3((x)^(4)) \ቀኝ))^(\ፕሪም ))= \ \& =((\ግራ(\frac(7)(4((x)^(4)))))\ቀኝ))^(\ፕሪም))((\ግራ(\frac(2))(3( x)^(3))) \ቀኝ))^(\ፕሪም))+((\ግራ(2((x)^(3)) \ቀኝ)) 3((x)^(4)) \ቀኝ))^(\ፕሪም)) \\& ((\ግራ(\frac(7)(4((x)^(4))) \ቀኝ))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\ግራ(\frac(1)((((x)^(4))))\ቀኝ)))^(\prime))=\frac(7) )(4)\cdot ((\ግራ((((x)^(-4)) \ቀኝ))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \ግራ(-4 \ቀኝ) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\ግራ(\frac(2))(3((x)^))) (3))) \ቀኝ))^(\ፕሪም))=\frac(2)(3)\cdot ((\ግራ(\frac(1)(((x)^(3)))) \ቀኝ) )^(\ፕሪም ))=\frac(2)(3)\cdot ((\ግራ((((x)^(-3)) \ቀኝ))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \ግራ(-3 \ቀኝ)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\ግራ( \frac(5)(2)((x)^(2)) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\ግራ(2) ((x)^(3)) \ቀኝ))^(\ፕሪም )=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ ግራ(3((x)^(4)) \ቀኝ)))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3)=12((x)^(3)) \\\ መጨረሻ(አሰላለፍ)\]...
አሁን እነዚህን ሁሉ ውሎች ወደ አንድ ቀመር እንሰበስባለን-
\[(y)"=-\frac(7)((((x)^(5)))+\frac(2)((((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12 ((x)^(3))\]
መልስ አግኝተናል።
ነገር ግን፣ ወደ ፊት ከመቀጠልዎ በፊት ትኩረታችሁን ወደ ኦሪጅናል አገላለጾች እራሳቸው ለመጻፍ እፈልጋለሁ፡ በመጀመሪያው አገላለጽ $f\left(x \right)=...$፣ በሁለተኛው፡ $y ጻፍን። =...$ ብዙ ተማሪዎች የተለያዩ የቀረጻ ቅርጾችን ሲያዩ ይጠፋሉ. በ$f በግራ(x \ቀኝ)$ እና በ$y$ መካከል ያለው ልዩነት ምንድነው? ምንም ነገር የለም. እነሱ ተመሳሳይ ትርጉም ያላቸው የተለያዩ ግቤቶች ናቸው። ልክ $f ግራ(x \ ቀኝ)$ ስንል በመጀመሪያ ደረጃ ስለ ተግባር እና ስለ $y$ ስንናገር ብዙውን ጊዜ የአንድ ተግባር ግራፍ ማለታችን ነው። ያለበለዚያ ፣ ይህ ተመሳሳይ ነገር ነው ፣ ማለትም ፣ በሁለቱም ሁኔታዎች ውስጥ ያለው ተዋጽኦ እንደ አንድ ዓይነት ተደርጎ ይቆጠራል።
ውስብስብ ችግሮች ከ ተዋጽኦዎች ጋር
ለማጠቃለል ያህል, ዛሬ የተመለከትነውን ሁሉ የሚጠቀሙባቸውን ሁለት ውስብስብ ጥምር ችግሮችን ግምት ውስጥ ማስገባት እፈልጋለሁ. ሥር፣ ክፍልፋዮች እና ድምር ይይዛሉ። ነገር ግን፣ እነዚህ ምሳሌዎች ዛሬ ባለው የቪዲዮ አጋዥ ስልጠና ላይ ብቻ ውስብስብ ይሆናሉ፣ ምክንያቱም በእውነቱ ውስብስብ የሆኑ የመነሻ ተግባራት ወደፊት ይጠብቁዎታል።
ስለዚህ, የዛሬው የቪዲዮ ትምህርት የመጨረሻ ክፍል, ሁለት የተጣመሩ ስራዎችን ያካትታል. በመጀመሪያ ከነሱ እንጀምር፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& ((\ግራ(((((x)^(3)))-\frac(1)(((((x)^(3)))))))+\sqrt(x)\ቀኝ))^ (\prime ))=((\ግራ(((x)^(3)) \ቀኝ))^(\prime ))-((\ግራ(\frac(1)(((x)^(3))) )) \ቀኝ))^(\ፕሪም))+\ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ) \\& ((\ግራ((((x)^(3)) \ቀኝ))^(\ፕሪም) =3((x)^(2)) \\& ((\ግራ(\frac(1)(((x)^(3))) \ቀኝ))^(\ፕሪም))=((\ ግራ(((x)^(-3)) \ቀኝ)))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ))^(\ፕሪም)=((\ግራ(((x)^(\frac(1)(3)))) \ቀኝ))^(\prime))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\መጨረሻ(align)\]
የተግባሩ አመጣጥ እኩል ነው፡-
\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))
የመጀመሪያው ምሳሌ ተፈትቷል. ሁለተኛውን ችግር እንመልከት፡-
በሁለተኛው ምሳሌ ውስጥ በተመሳሳይ መንገድ እንቀጥላለን-
\[((\ግራ(-\frac(2))(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)))) )) \ቀኝ))^(\ፕሪም))=((\ግራ(-\frac(2)(((x)^(4))) \ቀኝ))^(\ፕሪም ))+((\ግራ) (\sqrt(x) \ቀኝ))^(\ፕሪም))+((\ግራ(\frac(4)(x\cdot \sqrt((((x)^(3)))))))\ቀኝ)) (\ፕሪም ))\]
እያንዳንዱን ቃል ለየብቻ እንቆጥረው፡-
\[\ጀማሪ (አሰላለፍ)& ((\ግራ(-\frac(2)(((x)^(4))) \ቀኝ))^(\ፕሪም))=-2\cdot ((\ግራ( ((x)^(-4)) \ቀኝ))^(\ፕሪም))=-2\cdot \ግራ(-4 \ቀኝ)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8) (((x)^(5))) \\& ((\ግራ(\sqrt(x) \ቀኝ))^(\prime ))=((\ግራ(((x)^(\frac( 1)(4))) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1) (4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ ግራ(\frac(4)(x\cdot \sqrt((((x)^(3)))))\ቀኝ))^(\prime))=((\ግራ(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))= (4)))) \ቀኝ))^(\ፕራይም ))=4\cdot ((\ግራ((((x)^(-1\frac(3)(4))))\ቀኝ))^( \prime ))= \\& =4\cdot \ግራ(-1\frac(3)(4) \ቀኝ)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \ግራ(-\frac(7)(4) \ቀኝ)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4)))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)((((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\መጨረሻ(አሰላለፍ)\]
ሁሉም ውሎች ተቆጥረዋል። አሁን ወደ ዋናው ቀመር እንመለሳለን እና ሶስቱንም ቃላት አንድ ላይ እንጨምራለን. የመጨረሻው መልስ እንደሚከተለው ይሆናል ።
\[(y)"=\frac(8)((((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7) ((((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3)))))\]
ያ ብቻ ነው። ይህ የመጀመሪያ ትምህርታችን ነበር። በሚቀጥሉት ትምህርቶች የበለጠ ውስብስብ ግንባታዎችን እናያለን, እና እንዲሁም ተውሳኮች በመጀመሪያ ለምን እንደሚያስፈልግ ለማወቅ.
የአርቢው (ሠ ወደ x ኃይል) እና የርቢ ተግባር (ሀ ወደ x ኃይል) ቀመሮች ማረጋገጫ እና አመጣጥ። የ e^2x፣ e^3x እና e^nx ተዋጽኦዎችን የማስላት ምሳሌዎች። ለከፍተኛ ትዕዛዞች ተዋጽኦዎች ቀመሮች።
የአርቢው ተዋጽኦ ከራሱ አርቢው ጋር እኩል ነው (ከ e እስከ x ኃይል ያለው ከ e ከ x ኃይል ጋር እኩል ነው)፡
(1)
(ሠ x) "= ሠ x.
የገለፃ ተግባር ከመሠረት ሀ ጋር በተፈጥሮው ሎጋሪዝም ከተባዛው ተግባር ጋር እኩል ነው።
(2)
.
የአርቢው አመጣጥ ቀመር፣ ሠ ወደ x ኃይል
ገላጭ አርቢ ተግባር ሲሆን መሰረቱ ከቁጥር e ጋር እኩል የሆነ፣ እሱም የሚከተለው ገደብ ነው።
.
እዚህ የተፈጥሮ ቁጥር ወይም እውነተኛ ቁጥር ሊሆን ይችላል. በመቀጠል፣ ለጠቋሚው አመጣጥ ቀመር (1) እናወጣለን።
የአርቢው ተወላጅ ቀመር አመጣጥ
ገላጭውን አስቡ፣ ሠ ለ x ኃይል፡-
y = ሠ x .
ይህ ተግባር ለሁሉም ሰው ይገለጻል። ከተለዋዋጭ x አንፃር ተወላጁን እንፈልግ። በትርጓሜ፣ ተዋጽኦው የሚከተለው ገደብ ነው።
(3)
.
ይህን አገላለጽ ወደታወቁ የሂሳብ ባህሪያት እና ደንቦች እንለውጠው። ይህንን ለማድረግ የሚከተሉትን እውነታዎች እንፈልጋለን.
ሀ)ገላጭ ንብረት፡
(4)
;
ለ)የሎጋሪዝም ንብረት;
(5)
;
ውስጥ)የሎጋሪዝም ቀጣይነት እና ለቀጣይ ተግባር የገደቦች ንብረት፡
(6)
.
ገደብ ያለው ተግባር እዚህ አለ እና ይህ ገደብ አዎንታዊ ነው።
ሰ)የሁለተኛው አስደናቂ ገደብ ትርጉም፡-
(7)
.
እነዚህን እውነታዎች በእኛ ገደብ (3) ላይ እንተገብራቸው። ንብረት እንጠቀማለን (4)
;
.
ምትክ እንፍጠር። ከዚያም; .
በገለፃው ቀጣይነት ምክንያት፣
.
ስለዚህ, መቼ,. በውጤቱም እኛ እናገኛለን:
.
ምትክ እንፍጠር። ከዚያም. በ ,. እኛ ደግሞ፡-
.
የሎጋሪዝምን ንብረት (5) እንተገብረው፡-
. ከዚያም
.
ንብረት (6) እንተገብረ። አወንታዊ ገደብ ስላለ እና ሎጋሪዝም ቀጣይነት ያለው ስለሆነ፡-
.
እዚህ ደግሞ ሁለተኛውን አስደናቂ ገደብ (7) ተጠቀምን። ከዚያም
.
ስለዚህ, የአርቢውን አመጣጥ ቀመር (1) አግኝተናል.
የአርቢ ተግባርን የመነጨ ቀመር ማውጣት
አሁን ፎርሙላ (2) የገለጻውን ተግባር በዲግሪ መሠረት አወጣን። ያንን እናምናለን እና. ከዚያም ገላጭ ተግባር
(8)
ለሁሉም ይገለጻል።
ቀመር እንለውጥ (8)። ለዚህ እንጠቀማለን የአርቢ ተግባር ባህሪያትእና ሎጋሪዝም.
;
.
ስለዚህ፣ ቀመር (8)ን ወደሚከተለው ቅጽ ቀይረነዋል።
.
ከ e ወደ x ኃይል ከፍተኛ ቅደም ተከተል ያላቸው ተዋጽኦዎች
አሁን የከፍተኛ ትዕዛዞች ተዋጽኦዎችን እናገኝ። መጀመሪያ ገላጭነቱን እንይ፡-
(14)
.
(1)
.
የተግባር (14) አመጣጥ ከተግባር (14) ጋር እኩል መሆኑን እናያለን። ልዩነት (1)፣ የሁለተኛውን እና የሶስተኛውን ቅደም ተከተል ተዋጽኦዎችን እናገኛለን፡-
;
.
ይህ የሚያሳየው nth ትዕዛዝ መነሻው ከዋናው ተግባር ጋር እኩል መሆኑን ነው፡-
.
የአርቢ ተግባር ከፍተኛ ቅደም ተከተል ተዋጽኦዎች
አሁን የዲግሪ መሠረት ያለው ገላጭ ተግባርን አስቡበት፡-
.
የመጀመሪያ-ትዕዛዝ ተዋጽኦውን አግኝተናል፡-
(15)
.
ልዩነት (15)፣ የሁለተኛውን እና የሶስተኛውን ቅደም ተከተል ተዋጽኦዎችን እናገኛለን፡-
;
.
እያንዳንዱ ልዩነት የዋናውን ተግባር ወደ ማባዛት እንደሚያመራ እናያለን። ስለዚህ፣ nth ትዕዛዝ መነሻው የሚከተለው ቅጽ አለው።
.
የኃይል-ገላጭ ተግባር ፍቺ. ተወላጁን ለማስላት ቀመር ማውጣት። የኃይል ገላጭ ተግባራት ተዋጽኦዎችን የማስላት ምሳሌዎች በዝርዝር ተተንትነዋል።
የኃይል-ገላጭ ተግባር
የኃይል ተግባር መልክ ያለው ተግባር ነው
y = u v,
በዚህ ውስጥ መሠረቱ u እና ገላጭ ቁ የተለዋዋጭ x አንዳንድ ተግባራት ናቸው።
u = u (x); v = v (x).
ይህ ተግባርም ይባላል ገላጭወይም.
የኃይል-ገላጭ ተግባሩ በጠቋሚ መልክ ሊወከል እንደሚችል ልብ ይበሉ፡-
.
ስለዚህም ተብሎም ይጠራል ውስብስብ ገላጭ ተግባር.
የሎጋሪዝም መነሻን በመጠቀም ማስላት
የኃይለኛ-ገላጭ ተግባርን አመጣጥ እንፈልግ
(2)
,
የት እና የተለዋዋጭ ተግባራት ናቸው.
ይህንን ለማድረግ የሎጋሪዝም እኩልነት (2)፣ የሎጋሪዝም ንብረትን እንጠቀማለን፡-
.
ከተለዋዋጭ x ጋር ይለያዩ፡
(3)
.
አመልክተናል ውስብስብ ተግባራትን ለመለየት ደንቦችእና ይሰራል:
;
.
በ (3) እንተካለን
.
ከዚህ
.
ስለዚህ፣ የኃይል-ገላጭ ተግባሩን መነሻ አግኝተናል፡-
(1)
.
አርቢው ቋሚ ከሆነ . ከዚያ ተዋጽኦው ከተወሳሰበ የኃይል ተግባር ተዋጽኦ ጋር እኩል ነው።
.
የዲግሪው መሠረት ቋሚ ከሆነ, ከዚያ. ከዚያ ተዋጽኦው ከተወሳሰበ የአርቢ ተግባር ተዋጽኦ ጋር እኩል ነው።
.
መቼ እና የ x ተግባራት ሲሆኑ የኃይሉ ገላጭ ተግባር ተዋጽኦ ከውስብስብ ሃይል እና ገላጭ ተግባራት ተዋጽኦዎች ድምር ጋር እኩል ነው።
የመነጩን ስሌት ወደ ውስብስብ ገላጭ ተግባር በመቀነስ
አሁን የኃይል-ገላጭ ተግባሩን አመጣጥ እንፈልግ
(2)
,
እንደ ውስብስብ ገላጭ ተግባር ማቅረብ፡-
(4)
.
ምርቱን እንለይ፡-
.
የአንድ ውስብስብ ተግባር አመጣጥን ለማግኘት ደንቡን እንተገብራለን፡-
.
እና እንደገና ቀመር (1) አግኝተናል.
ምሳሌ 1
የሚከተለውን ተግባር መነሻ ያግኙ፡-
.
መፍትሄ
የሎጋሪዝም መነሻን በመጠቀም እናሰላለን። ዋናውን ተግባር ሎጋሪዝም እናድርግ፡-
(A1.1) .
ከተዋዋጮች ሠንጠረዥ ውስጥ እናገኛለን፡-
;
.
የምርቱን መነሻ ቀመር በመጠቀም፡-
.
እንለያለን (A1.1)፡-
.
ምክንያቱም
,
ያ
.
መልስ
ምሳሌ 2
የተግባሩን አመጣጥ ይፈልጉ
.
መፍትሄ
ዋናውን ተግባር ሎጋሪዝም እናድርግ፡-
(A2.1) .
- የአርቢ እና ሎጋሪዝም ተግባራት ተዋጽኦዎች ሠንጠረዥ
ቀላል ተግባራት ተዋጽኦዎች
1. የቁጥር አመጣጥ ዜሮ ነው።ሰ = 0
ለምሳሌ:
5 = 0
ማብራሪያ:
ተዋጽኦው የአንድ ተግባር ነጋሪ እሴት ሲቀየር የሚቀየርበትን ፍጥነት ያሳያል። በማንኛውም ሁኔታ ቁጥሩ በምንም መልኩ አይለወጥም, የእሱ ለውጥ መጠን ሁልጊዜ ዜሮ ነው.
2. ከተለዋዋጭ የመነጨከአንድ ጋር እኩል ነው።
x = 1
ማብራሪያ:
በእያንዳንዱ የክርክር መጨመር (x) በአንድ, የተግባሩ ዋጋ (የስሌቱ ውጤት) በተመሳሳይ መጠን ይጨምራል. ስለዚህ, በተግባሩ y = x ውስጥ ያለው የለውጥ መጠን በክርክሩ ዋጋ ውስጥ ካለው ለውጥ መጠን ጋር በትክክል እኩል ነው.
3. የተለዋዋጭ እና የፋክተር አመጣጥ ከዚህ ሁኔታ ጋር እኩል ነው።
сx' = с
ለምሳሌ:
(3x) = 3
(2x) = 2
ማብራሪያ:
በዚህ ሁኔታ ፣ በእያንዳንዱ ጊዜ የተግባር ክርክር ሲቀየር ( X) ዋጋው (y) ይጨምራል ጋርአንድ ጊዜ. ስለዚህ የተግባር እሴቱ የመለዋወጫ መጠን ከዋጋው ለውጥ መጠን ጋር በትክክል ከዋጋው ጋር እኩል ነው። ጋር.
ከየት ነው የሚመጣው
(cx + b)" = ሐ
ማለትም የመስመራዊው ተግባር y=kx+b ልዩነት ከመስመሩ ቁልቁል (k) ጋር እኩል ነው።
4. የተለዋዋጭ ሞዱል አመጣጥየዚህ ተለዋዋጭ እሴት ወደ ሞጁሉ እኩል ነው።
|x|"= x / |x| x ≠ 0 ድረስ
ማብራሪያ:
የተለዋዋጭ ተዋጽኦ (ቀመር 2ን ይመልከቱ) ከአንድ ጋር እኩል ስለሆነ የመነሻውን ነጥብ ሲያቋርጡ የተግባር ለውጥ መጠን ዋጋ ወደ ተቃራኒው ስለሚቀየር የሞጁሉ አመጣጥ ይለያያል (ግራፍ ለመሳል ይሞክሩ) የተግባር y = |x| እና ለራስዎ ይመልከቱ ይህ በትክክል ዋጋ ያለው ነው እና x / |x| የሚለውን አገላለጽ ይመልሳል።< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - አንድ. ማለትም ለተለዋዋጭ x አሉታዊ እሴቶች ፣ እያንዳንዱ የክርክር ጭማሪ ፣ የተግባሩ ዋጋ በትክክል በተመሳሳይ እሴት ይቀንሳል ፣ እና ለአዎንታዊ እሴቶች ፣ በተቃራኒው ይጨምራል ፣ ግን በትክክል በተመሳሳይ እሴት። .
5. ከተለዋዋጭ ወደ ኃይል የመነጨየዚህ ኃይል ብዛት ካለው ምርት ጋር እኩል የሆነ እና በአንድ የተቀነሰ ኃይል ተለዋዋጭ
(x c)"= cx c-1 x c እና cx c-1 ከተገለጹ እና c ≠ 0 እስከሆነ ድረስ
ለምሳሌ:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
ቀመሩን ለማስታወስ:
የተለዋዋጭውን ደረጃ እንደ ምክንያት ወደ ታች ያንቀሳቅሱት እና ከዚያ እራሱን በአንድ ደረጃ ይቀንሱ። ለምሳሌ, ለ x 2 - ሁለቱ ከ x ቀድመው ነበር, ከዚያም የተቀነሰው ኃይል (2-1 = 1) በቀላሉ 2x ሰጠን. ለ x 3 ተመሳሳይ ነገር ተከስቷል - ሶስት እጥፍ "ወደ ታች እንወርዳለን", በአንድ እንቀንሳለን እና በኩብ ምትክ ካሬ አለን, ማለትም 3x 2. ትንሽ "ሳይንሳዊ ያልሆነ" ግን ለማስታወስ በጣም ቀላል ነው.
6.ክፍልፋይ የተገኘ 1/x
(1/x)" = - 1/x 2
ለምሳሌ:
ክፍልፋይ ወደ አሉታዊ ኃይል እንደሚያሳድግ ሊወከል ስለሚችል
(1/x)" = (x -1)"፣ ከዚያ ቀመሩን ከሥርዓተ ተዋጽኦዎች ሠንጠረዥ ደንብ 5 ላይ መተግበር ይችላሉ።
(x -1)" = -1x -2 = - 1/ x 2
7. ክፍልፋይ የተገኘ በዘፈቀደ ዲግሪ ተለዋዋጭበዲኖሚነተር ውስጥ
(1 / x ሐ)" = - c / x c+1
ለምሳሌ:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. ከሥሩ የተገኘ(በካሬ ሥር ስር ያለ ተለዋዋጭ)
(√x)" = 1 / (2√x)ወይም 1/2 x -1/2
ለምሳሌ:
(√x)" = (x 1/2)" ማለት ቀመሩን ከደንብ 5 መተግበር ይችላሉ።
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. በዘፈቀደ ዲግሪ ስር ያለ ተለዋዋጭ የመነጨ
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
የሃይል ተግባርን (x ወደ ሀ ሃይል) የመነጨ ቀመር መውጣት። ከ x ሥሮች የተገኙ ውጤቶች ይቆጠራሉ። ለከፍተኛ ትዕዛዝ የኃይል ተግባር ተዋጽኦ ቀመር። ተዋጽኦዎችን የማስላት ምሳሌዎች።
የ x ወደ ሀ ሃይል የተወሰደው ከአንድ ጊዜ x ከተቀነሰው ሃይል ጋር እኩል ነው።
(1)
.
የ x ኛው ስር ወደ mth ሃይል የተወሰደው፡-
(2)
.
ለኃይል ተግባር አመጣጥ ቀመር ማውጣት
ጉዳይ x > 0
የተለዋዋጭ x የኃይል ተግባር ከ አርቢ ሀ ጋር አስቡበት፡-
(3)
.
እዚህ ሀ የዘፈቀደ እውነተኛ ቁጥር ነው። በመጀመሪያ ጉዳዩን እናስብ።
የተግባር (3) አመጣጥን ለማግኘት የኃይል ተግባርን ባህሪያት እንጠቀማለን እና ወደሚከተለው ቅፅ እንለውጣለን
.
አሁን የሚከተለውን በመጠቀም እናገኛለን-
;
.
እዚህ.
ቀመር (1) ተረጋግጧል.
የዲግሪ n የ x ሥር የመነጨው ቀመር ወደ m ዲግሪ
አሁን የሚከተለው ቅጽ ሥር የሆነውን ተግባር አስቡበት፡-
(4)
.
ተዋጽኦውን ለማግኘት ሥሩን ወደ ኃይል ተግባር እንለውጣለን፡-
.
ከቀመር (3) ጋር ስናወዳድር እናያለን።
.
ከዚያም
.
ቀመሩን (1) በመጠቀም ተዋጽኦውን እናገኛለን፡-
(1)
;
;
(2)
.
በተግባር, ቀመር (2) ማስታወስ አያስፈልግም. በመጀመሪያ ሥሮቹን ወደ ኃይል ተግባራት መለወጥ እና በመቀጠል ቀመሮቻቸውን በቀመር (1) በመጠቀም ማግኘት የበለጠ ምቹ ነው (በገጹ መጨረሻ ላይ ያሉትን ምሳሌዎች ይመልከቱ)።
ጉዳይ x = 0
ከሆነ , ከዚያም የኃይል ተግባሩ ለተለዋዋጭ x = እሴት ይገለጻል 0
. የተግባርን አመጣጥ (3) በ x = ላይ እናገኝ 0
. ይህንን ለማድረግ፣ የመነጩን ፍቺ እንጠቀማለን፡-
.
x = እንተካ 0
:
.
በዚህ ሁኔታ, በመነጩ ማለታችን የቀኝ-እጅ ገደብ ነው.
ስለዚህ አገኘን-
.
ከዚህ መረዳት የሚቻለው ለ .
በ ,.
በ ,.
ይህ ውጤት የሚገኘው በቀመር (1) ነው፡-
(1)
.
ስለዚህ ፎርሙላ (1) ለ x = እንዲሁ የሚሰራ ነው። 0
.
ጉዳይ x< 0
ተግባር (3) እንደገና አስብበት፡-
(3)
.
ለተወሰኑ የቋሚ ሀ እሴቶች፣ ለተለዋዋጭ x አሉታዊ እሴቶችም ይገለጻል። ይኸውም ምክንያታዊ ቁጥር ይሁን። ከዚያ እንደ የማይቀንስ ክፍልፋይ ሊወከል ይችላል፡-
,
m እና n የጋራ አካፋይ የሌላቸው ኢንቲጀር ሲሆኑ።
n እንግዳ ከሆነ፣ የኃይል ተግባሩ ለተለዋዋጭ x አሉታዊ እሴቶችም ይገለጻል። ለምሳሌ, መቼ n = 3
እና m = 1
የ x የኩብ ሥር አለን።
.
ለተለዋዋጭ x አሉታዊ እሴቶችም ይገለጻል።
የተገለጸበትን ቋሚ እና ምክንያታዊ እሴቶች የኃይል ተግባሩን (3) አመጣጥን እናገኝ። ይህንን ለማድረግ x በሚከተለው ቅጽ እንወክል፡
.
ከዚያም.
.
ቋሚውን ከመነጩ ምልክት ውጭ በማስቀመጥ እና ውስብስብ ተግባርን ለመለየት ደንቡን በመተግበር ተዋጽኦውን እናገኛለን።
.
እዚህ. ግን
.
ከዛን ጊዜ ጀምሮ
.
ከዚያም
.
ማለትም፣ ቀመር (1) ለሚከተሉትም የሚሰራ ነው፡-
(1)
.
ከፍተኛ ቅደም ተከተል ተዋጽኦዎች
አሁን የኃይል ተግባሩን ከፍተኛ ቅደም ተከተሎች እንፈልግ
(3)
.
የመጀመሪያውን የትዕዛዝ መነሻ አግኝተናል፡-
.
ቋሚውን የመነጩ ምልክትን ወደ ውጭ ወስደን የሁለተኛ-ደረጃ ተዋጽኦን እናገኛለን፡-
.
በተመሳሳይ፣ የሦስተኛው እና የአራተኛው ትዕዛዝ ተዋጽኦዎችን እናገኛለን፡-
;
.
ከዚህ መረዳት የሚቻለው የዘፈቀደ nth ቅደም ተከተል የመነጨየሚከተለው ቅጽ አለው:
.
ያስተውሉ, ያንን a የተፈጥሮ ቁጥር ከሆነ, ከዚያም nth ተዋጽኦው ቋሚ ነው፡
.
ከዚያ ሁሉም ተከታይ ተዋጽኦዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው፡
,
በ.
ተዋጽኦዎችን የማስላት ምሳሌዎች
ለምሳሌ
የተግባሩን መነሻ ያግኙ፡-
.
መፍትሄ
ሥሩን ወደ ኃይል እንለውጣ፡-
;
.
ከዚያ ዋናው ተግባር ቅጹን ይወስዳል-
.
የሥልጣን ተዋጽኦዎችን መፈለግ፡-
;
.
የቋሚው ተወላጅ ዜሮ ነው፡-
.