የመደመር ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት. የመቀነስ ዘዴን በመጠቀም ቀላል ችግሮችን መፍታት

የእርስዎን ግላዊነት መጠበቅ ለእኛ አስፈላጊ ነው። በዚህ ምክንያት፣ የእርስዎን መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም እና እንደምናከማች የሚገልጽ የግላዊነት ፖሊሲ አዘጋጅተናል። እባኮትን የግላዊነት ተግባሮቻችንን ይከልሱ እና ማንኛውም አይነት ጥያቄ ካለዎት ያሳውቁን።

የግል መረጃ መሰብሰብ እና መጠቀም

የግል መረጃ አንድን የተወሰነ ሰው ለመለየት ወይም ለመገናኘት የሚያገለግል ውሂብን ያመለክታል።

እኛን በሚያገኙበት በማንኛውም ጊዜ የግል መረጃዎን እንዲያቀርቡ ሊጠየቁ ይችላሉ።

ከዚህ በታች ልንሰበስበው የምንችላቸው የግል መረጃ ዓይነቶች እና እንደዚህ ያለውን መረጃ እንዴት መጠቀም እንደምንችል አንዳንድ ምሳሌዎች አሉ።

ምን ዓይነት የግል መረጃ እንሰበስባለን

በጣቢያው ላይ ማመልከቻ በሚያስገቡበት ጊዜ, የእርስዎን ስም, ስልክ ቁጥር, የኢሜል አድራሻ, ወዘተ ጨምሮ የተለያዩ መረጃዎችን ልንሰበስብ እንችላለን.

የእርስዎን የግል መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም፡-

የምንሰበስበው የግል መረጃ በልዩ ቅናሾች፣ ማስተዋወቂያዎች እና ሌሎች ዝግጅቶች እና መጪ ክስተቶች እንድናገኝዎት ያስችሎታል።
ከጊዜ ወደ ጊዜ፣ አስፈላጊ ማስታወቂያዎችን እና ግንኙነቶችን ለመላክ የእርስዎን የግል መረጃ ልንጠቀም እንችላለን።
የምንሰጣቸውን አገልግሎቶች ለማሻሻል እና አገልግሎታችንን በተመለከተ ምክሮችን ለመስጠት የግል መረጃን ለውስጣዊ ዓላማዎች ለምሳሌ ኦዲት ማድረግ፣ የመረጃ ትንተና እና የተለያዩ ጥናቶችን ልንጠቀም እንችላለን።
በሽልማት እጣ፣ ውድድር ወይም ተመሳሳይ ማስተዋወቂያ ላይ ከተሳተፉ፣ ያቀረቡትን መረጃ መሰል ፕሮግራሞችን ለማስተዳደር ልንጠቀምበት እንችላለን።

ለሶስተኛ ወገኖች መረጃን ይፋ ማድረግ

ከእርስዎ የተቀበለውን መረጃ ለሶስተኛ ወገኖች አንገልጽም.

ልዩ ሁኔታዎች፡-

አስፈላጊ ከሆነ - በህግ, በፍርድ አሰራር, በህግ ሂደቶች እና / ወይም በሩሲያ ፌዴሬሽን ውስጥ ባሉ የመንግስት አካላት የህዝብ ጥያቄዎች ወይም ጥያቄዎች ላይ - የግል መረጃዎን ለመግለጽ. እንዲህ ዓይነቱን ይፋ ማድረግ ለደህንነት፣ ለህግ አስከባሪ ወይም ለሌሎች የህዝብ ጠቀሜታ ዓላማዎች አስፈላጊ ወይም ተገቢ መሆኑን ከወሰንን ስለእርስዎ መረጃ ልንሰጥ እንችላለን።
መልሶ ማደራጀት፣ ውህደት ወይም ሽያጭ በሚፈጠርበት ጊዜ የምንሰበስበውን ግላዊ መረጃ ለሚመለከተው ተተኪ ሶስተኛ አካል ልናስተላልፈው እንችላለን።

የግል መረጃ ጥበቃ

የእርስዎን ግላዊ መረጃ ከመጥፋት፣ ስርቆት እና አላግባብ መጠቀም፣ እንዲሁም ያልተፈቀደ መዳረሻ፣ ይፋ ከማድረግ፣ ከመቀየር እና ከመበላሸት ለመጠበቅ አስተዳደራዊ፣ ቴክኒካል እና አካላዊ ጨምሮ ጥንቃቄዎችን እናደርጋለን።

በኩባንያ ደረጃ የእርስዎን ግላዊነት በማክበር ላይ

የግል መረጃዎ ደህንነቱ የተጠበቀ መሆኑን ለማረጋገጥ የግላዊነት እና የደህንነት ደረጃዎችን ለሰራተኞቻችን እናስተላልፋለን እና የግላዊነት አሠራሮችን በጥብቅ እናስፈጽማለን።

ስርዓቱን ይፍቱከሁለት የማይታወቁ - ይህ ማለት እያንዳንዱን የተሰጡትን እኩልታዎች የሚያሟሉ ሁሉንም ጥንድ ተለዋዋጭ እሴቶችን መፈለግ ማለት ነው ። እያንዳንዱ እንደዚህ አይነት ጥንድ ይባላል የስርዓት መፍትሄ.

ለምሳሌ:
የእሴቶቹ ጥንድ $x=3$;$y=-1$ የመጀመሪያው ስርዓት መፍትሄ ነው፣ ምክንያቱም እነዚህን ሶስት እና ሲቀነስ በ $x$ እና \ (x) እና \) ምትክ ወደ ስርዓቱ ሲቀይሩ። (y \) ፣ ሁለቱም እኩልታዎች ወደ ትክክለኛ እኩልነት ይሆናሉ $\ጀማሪ (ጉዳዮች)3-2 \cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \መጨረሻ( ጉዳዮች)$

ግን $x=1$; $y=-2 $ - ለመጀመሪያው ስርዓት መፍትሄ አይደለም ፣ ምክንያቱም ከተተካ በኋላ ሁለተኛው እኩልታ “አይገናኝም” \ (\ጀማሪ (ጉዳዮች) 1-2 \cdot (-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \መጨረሻ(ጉዳይ)\)

እንደዚህ አይነት ጥንዶች ብዙ ጊዜ አጭር እንደሚጻፉ አስተውል፡ በ"$x=3$፤ $y=-1$" ፈንታ እንዲህ ይጽፋሉ፡- $(3;-1)$።

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እንዴት እንደሚፈታ?

የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶች ለመፍታት ሶስት ዋና መንገዶች አሉ-

የመተካት ዘዴ.

$\ጀማሪ(cases)x-2y=5\\3x+2y=7 \መጨረሻ(ጉዳይ)$$\ግራኝ ቀስት $ 7\መጨረሻ(ጉዳይ)\)$\ግራኝ ቀስት$

ከዚህ ተለዋዋጭ ይልቅ የተገኘውን አገላለጽ ወደ ሌላ የስርዓቱ እኩልታ ይቀይሩት።

\(\የግራ ቀኝ ቀስት

$\ጀማሪ(ጉዳዮች)13x+9y=17\\12x-2y=26\መጨረሻ(ጉዳይ)$

በሁለተኛው እኩልታ፣ እያንዳንዱ ቃል እኩል ነው፣ ስለዚህ እኩልታውን በ $2$ በማካፈል ቀለል እናደርጋለን።

$\ጀማሪ(ጉዳዮች)13x+9y=17\\6x-y=13\መጨረሻ(ጉዳይ)$

ይህ ስርዓት በሚከተሉት መንገዶች ሊፈታ ይችላል, ግን ለእኔ የሚመስለኝ የመተካት ዘዴ እዚህ በጣም ምቹ ነው. ከሁለተኛው እኩልታ yን እንግለጽ።

$\ጀማሪ(ጉዳዮች)13x+9y=17\\y=6x-13\መጨረሻ(ጉዳይ)$

ከ $y $ ይልቅ $6x-13$ን ወደ መጀመሪያው እኩልነት እንለውጠው።

$\ጀማሪ(ጉዳዮች)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\መጨረሻ(ጉዳይ)$

የመጀመሪያው እኩልታ ወደ ተራ ተለወጠ። እንፍታው ።

በመጀመሪያ, ቅንፎችን እንከፍት.

$\ጀማሪ(ጉዳዮች)13x+54x-117=17\\y=6x-13\መጨረሻ(ጉዳይ)$

$117$ ወደ ቀኝ እናንቀሳቅስ እና ተመሳሳይ ቃላትን እናቅርብ።

$\ጀማሪ(ጉዳዮች)67x=134\\y=6x-13\መጨረሻ(ጉዳይ)$

የመጀመሪያውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ $67$ እንከፋፍል።

$\ጀማሪ(ጉዳይ)x=2\\y=6x-13\መጨረሻ(ጉዳይ)$

ሁሬ ፣ $x $ አገኘን! እሴቱን ወደ ሁለተኛው እኩልታ እንተካውና $y$ ን አግኝ።

$\ጀማሪ(ጉዳይ)x=2\\y=12-13\መጨረሻ(ጉዳይ)$$\ግራኝ ቀስት $ )\)

መልሱን እንፃፍ።

ለእኩልታዎች ሁለት ዓይነት መፍትሄዎችን እንመርምር።

1. የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም ስርዓቱን መፍታት.
2. ስርዓቱን በጊዜ-ጊዜ መደመር (መቀነስ) የስርዓት እኩልታዎችን መፍታት.

የእኩልታዎችን ስርዓት ለመፍታት በመተካት ዘዴቀላል ስልተ ቀመር መከተል ያስፈልግዎታል:
1. ይግለጹ. ከማንኛውም እኩልታ አንድ ተለዋዋጭ እንገልፃለን.
2. ምትክ. ከተገለፀው ተለዋዋጭ ይልቅ የተገኘውን እሴት ወደ ሌላ እኩልነት እንተካለን።
3. የተገኘውን እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ይፍቱ. ለስርዓቱ መፍትሄ እናገኛለን.

ለመፍታት ስርዓት በጊዜ-በ-ጊዜ መደመር (መቀነስ) ዘዴያስፈልገዋል፡-
1. ተመሳሳይ ውህዶች የምንሰራበትን ተለዋዋጭ ይምረጡ።
2. እኩልታዎችን እንጨምራለን ወይም እንቀንሳለን, ይህም ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር እኩል ይሆናል.
3. የተገኘውን መስመራዊ እኩልታ ይፍቱ። ለስርዓቱ መፍትሄ እናገኛለን.

የስርዓቱ መፍትሄ የተግባር ግራፎች መገናኛ ነጥቦች ናቸው.

ምሳሌዎችን በመጠቀም የስርዓቶችን መፍትሄ በዝርዝር እንመልከት.

ምሳሌ #1፡

በመተካት ዘዴ እንፍታ

የመተካት ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት

2x+5y=1 (1 እኩልታ)
x-10y=3 (2ኛ እኩልታ)

1. ይግለጹ
በሁለተኛው እኩልታ ውስጥ ተለዋዋጭ x ከ 1 ኮፊሸን ጋር መኖሩን ማየት ይቻላል, ይህም ማለት ተለዋዋጭ xን ከሁለተኛው እኩልታ ለመግለጽ በጣም ቀላል ነው.
x=3+10ይ

2. ከገለፅን በኋላ በተለዋዋጭ x ምትክ 3+10y ወደ መጀመሪያው እኩልታ እንተካለን።
2(3+10ይ)+5ይ=1

3. የተገኘውን እኩልታ ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር ይፍቱ.
2(3+10ይ)+5y=1 (ቅንፍ ክፈት)
6+20ይ+5ይ=1
25ይ=1-6
25ይ=-5 |: (25)
y=-5፡25
y= -0.2

የእኩልታ ስርዓቱ መፍትሄው የግራፎቹ መገናኛ ነጥብ ነው ፣ ስለሆነም x እና y ን መፈለግ አለብን ፣ ምክንያቱም የመገናኛ ነጥቡ x እና y ያካትታል ። xን ፈልገን በገለፅንበት የመጀመሪያ ነጥብ ላይ y ን እንተካለን። .
x=3+10ይ
x=3+10*(-0.2)=1

በመጀመሪያ ነጥቦችን መፃፍ የተለመደ ነው ተለዋዋጭ x እንጽፋለን, በሁለተኛው ቦታ ደግሞ ተለዋዋጭ y.
መልስ፡ (1; -0.2)

ምሳሌ #2፡

ቃል-በ-ጊዜ መደመር (መቀነስ) ዘዴን በመጠቀም እንፍታ።

የመደመር ዘዴን በመጠቀም የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት

3x-2y=1 (1 እኩልታ)
2x-3y=-10 (2ኛ እኩልታ)

1. ተለዋዋጭ እንመርጣለን, x እንመርጣለን እንበል. በመጀመሪያው እኩልዮሽ ውስጥ, ተለዋዋጭ x የ 3 ኮፊሸን አለው, በሁለተኛው ውስጥ - 2. ጥራቶቹን አንድ አይነት ማድረግ አለብን, ለዚህም እኩልታዎችን ለማባዛት ወይም በማንኛውም ቁጥር ለመከፋፈል መብት አለን. የመጀመሪያውን እኩልታ በ 2 ፣ እና ሁለተኛው በ 3 እናባዛለን እና አጠቃላይ ድምር 6 እናገኛለን።

3x-2ይ=1 |*2
6x-4y=2

2x-3ይ=-10 |*3
6x-9y=-30

2. ተለዋዋጭ xን ለማስወገድ ሁለተኛውን ከመጀመሪያው እኩል ይቀንሱ። መስመራዊውን እኩልታ ይፍቱ።
__6x-4y=2

5ይ=32 | :5
y=6.4

3. x ፈልግ. የተገኘውን y ወደ ማናቸውም እኩልታዎች እንተካለን, ወደ መጀመሪያው እኩልነት እንበል.
3x-2ይ=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

የመገናኛ ነጥብ x=4.6 ይሆናል; y=6.4
መልስ፡ (4.6፤ 6.4)

ለፈተናዎች በነጻ መዘጋጀት ይፈልጋሉ? በመስመር ላይ አስተማሪ በነፃ. ቀ ል ድ አ ይ ደ ለ ም.

በዚህ ቪዲዮ ለእኩልነት ስርዓቶች የተሰጡ ተከታታይ ትምህርቶችን እጀምራለሁ ። ዛሬ ስለ መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ስለ መፍታት እንነጋገራለን የመደመር ዘዴ- ይህ በጣም ቀላል ከሆኑ ዘዴዎች አንዱ ነው, ግን በተመሳሳይ ጊዜ በጣም ውጤታማ ከሆኑ አንዱ ነው.

የመደመር ዘዴ ሶስት ቀላል ደረጃዎችን ያቀፈ ነው-

ስርዓቱን ይመልከቱ እና በእያንዳንዱ እኩልታ ውስጥ ተመሳሳይ (ወይም ተቃራኒ) ቅንጅቶች ያለው ተለዋዋጭ ይምረጡ;
የአልጀብራ ቅነሳን (ለተቃራኒ ቁጥሮች - መደመር) እርስ በእርስ እኩልታዎችን ያከናውኑ እና ከዚያ ተመሳሳይ ቃላትን ያመጣሉ;
ከሁለተኛው ደረጃ በኋላ የተገኘውን አዲሱን እኩልታ ይፍቱ.

ሁሉም ነገር በትክክል ከተሰራ, በውጤቱ ላይ አንድ ነጠላ እኩልታ እናገኛለን ከአንድ ተለዋዋጭ ጋር- እሱን ለመፍታት አስቸጋሪ አይሆንም. ከዚያ የቀረው ሁሉ የተገኘውን ስር ወደ ዋናው ስርዓት መተካት እና የመጨረሻውን መልስ ማግኘት ብቻ ነው።

ሆኖም ግን, በተግባር ሁሉም ነገር በጣም ቀላል አይደለም. ለዚህ በርካታ ምክንያቶች አሉ.

የመደመር ዘዴን በመጠቀም እኩልታዎችን መፍታት እንደሚያመለክተው ሁሉም መስመሮች እኩል/ተቃራኒ ውህዶች ያላቸው ተለዋዋጮችን መያዝ አለባቸው። ይህ መስፈርት ካልተሟላ ምን ማድረግ አለበት?
ሁልጊዜ አይደለም, በተጠቀሰው መንገድ እኩልታዎችን ከጨመርን / ከተቀነስን በኋላ, በቀላሉ ሊፈታ የሚችል የሚያምር ግንባታ እናገኛለን. በሆነ መንገድ ስሌቶችን ማቃለል እና ስሌቶችን ማፋጠን ይቻላል?

ለእነዚህ ጥያቄዎች መልስ ለማግኘት እና በተመሳሳይ ጊዜ ብዙ ተማሪዎች ያልተሳካላቸው ጥቂት ተጨማሪ ስውር ነገሮችን ለመረዳት የቪዲዮ ትምህርቴን ይመልከቱ፡-

በዚህ ትምህርት ለእኩልታዎች ስርዓቶች የተሰጡ ተከታታይ ትምህርቶችን እንጀምራለን ። እና ከእነሱ በጣም ቀላሉ ማለትም ሁለት እኩልታዎችን እና ሁለት ተለዋዋጮችን ያካተቱትን እንጀምራለን. እያንዳንዳቸው መስመራዊ ይሆናሉ.

ሲስተምስ የ 7 ኛ ክፍል ቁሳቁስ ነው, ነገር ግን ይህ ትምህርት በዚህ ርዕስ ላይ እውቀታቸውን ለመቦርቦር ለሚፈልጉ የሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች ጠቃሚ ይሆናል.

በአጠቃላይ እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች ለመፍታት ሁለት ዘዴዎች አሉ-

የመደመር ዘዴ;
አንዱን ተለዋዋጭ ከሌላው አንፃር የመግለጽ ዘዴ.

ዛሬ ከመጀመሪያው ዘዴ ጋር እንገናኛለን - የመቀነስ እና የመደመር ዘዴን እንጠቀማለን. ግን ይህንን ለማድረግ የሚከተለውን እውነታ መረዳት ያስፈልግዎታል-ሁለት ወይም ከዚያ በላይ እኩልታዎች ካገኙ በኋላ ማንኛቸውም ሁለቱን ወስደህ እርስ በርስ መጨመር ትችላለህ. በአባል ተጨምረዋል፣ ማለትም. “X” ወደ “X” ተጨምሯል እና ተመሳሳይ ተሰጥቷል ፣ “Y” ከ “Y” ጋር እንደገና ይመሳሰላሉ ፣ እና ከእኩል ምልክት በስተቀኝ ያለው ደግሞ እርስ በእርሱ ይጨመራል እና ተመሳሳይ ተመሳሳይ እዚያም ተሰጥቷል ። .

የእንደዚህ አይነት ማሽነሪዎች ውጤቶች አዲስ እኩልታ ይሆናሉ, እሱም ሥሮች ካላቸው, በእርግጠኝነት ከዋናው እኩልነት ሥሮች መካከል ይሆናሉ. ስለዚህ የእኛ ተግባር አንድም $ x$ ወይም $y$ በሚጠፋበት መንገድ መቀነስ ወይም መደመር ማድረግ ነው።

ይህንን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እና ለዚህ ምን መሳሪያ መጠቀም እንደሚቻል - አሁን ስለዚህ ጉዳይ እንነጋገራለን.

መደመርን በመጠቀም ቀላል ችግሮችን መፍታት

ስለዚህ የመደመር ዘዴን ሁለት ቀላል አባባሎችን ምሳሌ በመጠቀም እንማራለን.

ተግባር ቁጥር 1

\[\ግራ\(\ጀማሪ(አሰላለፍ)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\መጨረሻ(align) \\ቀኝ\]

$y$ በመጀመሪያው እኩልታ $-4$፣ እና በሁለተኛው $+4$ እንዳለው ልብ ይበሉ። እርስ በርሳቸው የሚቃረኑ ናቸው፣ ስለዚህ ከደመርናቸው፣ በውጤቱ ድምር ውስጥ “ጨዋታዎች” እርስ በርስ ይወድማሉ ብሎ ማሰብ ምክንያታዊ ነው። ጨምረው ያግኙ፡

በጣም ቀላል የሆነውን ግንባታ እንፈታዋለን:

በጣም ጥሩ, "x" አገኘን. አሁን ምን እናድርገው? ወደ ማናቸውም እኩልታዎች የመተካት መብት አለን። በመጀመሪያ እንተካው፡-

\[-4y=12\ግራ| \\ ግራ(-4 \ቀኝ) \ቀኝ\]

መልስ፡$\ግራ(2;-3 \ቀኝ)$

ችግር ቁጥር 2

\[\ግራ\(\ጀምር(አሰላለፍ)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\መጨረሻ(align) \\ቀኝ\]

እዚህ ያለው ሁኔታ ሙሉ በሙሉ ተመሳሳይ ነው, በ "X" ብቻ. እንጨምርላቸው፡-

በጣም ቀላሉ የመስመር እኩልታ አለን፣ እንፍታው፡-

አሁን $x$ን እንፈልግ፡-

መልስ፡$\ግራ(-3;3 \ቀኝ)$

ጠቃሚ ነጥቦች

ስለዚህ የመደመር ዘዴን በመጠቀም ሁለት ቀላል የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ፈትተናል። በድጋሚ ቁልፍ ነጥቦች፡-

ለአንዱ ተለዋዋጮች ተቃራኒዎች ካሉ ፣ ከዚያ በቀመር ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ተለዋዋጮች ማከል አስፈላጊ ነው። በዚህ ሁኔታ ከመካከላቸው አንዱ ይደመሰሳል.
ሁለተኛውን ለማግኘት የተገኘውን ተለዋዋጭ ወደ ማንኛውም የስርዓት እኩልታዎች እንተካለን።
የመጨረሻው ምላሽ መዝገብ በተለያዩ መንገዶች ሊቀርብ ይችላል. ለምሳሌ, እንደዚህ - $x=...,y=...$, ወይም በነጥብ መጋጠሚያዎች - $\ግራ (...;... \ቀኝ)$. ሁለተኛው አማራጭ ይመረጣል. ዋናው ነገር ማስታወስ ያለብዎት የመጀመሪያው መጋጠሚያ $ x$ ነው, ሁለተኛው ደግሞ $y$ ነው.
መልሱን በነጥብ መጋጠሚያዎች መልክ የመፃፍ ደንብ ሁልጊዜ ተግባራዊ አይሆንም. ለምሳሌ፣ ተለዋዋጮቹ $x$ እና $y$ ካልሆኑ፣ ግን ለምሳሌ፣ $a$ እና $b$ን መጠቀም አይቻልም።

በሚቀጥሉት ችግሮች ውስጥ ቅንጅቶች ተቃራኒዎች በማይሆኑበት ጊዜ የመቀነስ ዘዴን እንመለከታለን.

የመቀነስ ዘዴን በመጠቀም ቀላል ችግሮችን መፍታት

ተግባር ቁጥር 1

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\ end(align) \\ ቀኝ\]

እዚህ ምንም ተቃራኒዎች የሉም, ግን ተመሳሳይ የሆኑ ነገሮች እንዳሉ ልብ ይበሉ. ስለዚህ፣ ሁለተኛውን ከመጀመሪያው ቀመር እንቀንሳለን፡-

አሁን ዋጋውን $ x$ ወደ ማንኛውም የስርዓት እኩልታዎች እንተካለን። መጀመሪያ እንሂድ፡-

መልስ፡$\ግራ(2;5\ቀኝ)$

ችግር ቁጥር 2

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\ end(align) \\ ቀኝ\]

በአንደኛው እና በሁለተኛው እኩልዮሽ ውስጥ ተመሳሳይ የ$5$ ለ$x$ ዶላር እንደገና እናያለን። ስለዚህ ፣ ሁለተኛውን ከመጀመሪያው እኩልታ መቀነስ ያስፈልግዎታል ብሎ መገመት ምክንያታዊ ነው።

አንድ ተለዋዋጭ አስልተናል. አሁን ሁለተኛውን እንፈልግ ለምሳሌ $y$ን በሁለተኛው ግንባታ ላይ በመተካት:

መልስ፡$\ግራ(-3;-2 \ቀኝ)$

የመፍትሄው ልዩነቶች

ታዲያ ምን እናያለን? በመሠረቱ, መርሃግብሩ ከቀደምት ስርዓቶች መፍትሄ የተለየ አይደለም. ብቸኛው ልዩነት እኛ እኩልታዎችን አለመጨመር ነው, ነገር ግን እንቀንሳለን. የአልጀብራ ቅነሳ እየሰራን ነው።

በሌላ አገላለጽ፣ በሁለት የማይታወቁ ሁለት እኩልታዎችን የያዘ ሥርዓት እንዳየህ፣ መጀመሪያ ልታየው የሚገባህ ነገር (coefficients) ነው። በየትኛውም ቦታ ተመሳሳይ ከሆኑ, እኩልታዎቹ ይቀንሳሉ, እና ተቃራኒ ከሆኑ, የመደመር ዘዴ ጥቅም ላይ ይውላል. ይህ ሁልጊዜ የሚደረገው ከመካከላቸው አንዱ እንዲጠፋ ነው, እና በመጨረሻው እኩልታ, ከተቀነሰ በኋላ የሚቀረው, አንድ ተለዋዋጭ ብቻ ይቀራል.

በእርግጥ ያ ብቻ አይደለም። አሁን እኩልታዎቹ በአጠቃላይ የማይጣጣሙባቸውን ስርዓቶች እንመለከታለን. እነዚያ። በእነሱ ውስጥ ተመሳሳይ ወይም ተቃራኒ የሆኑ ተለዋዋጮች የሉም። በዚህ ሁኔታ እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች ለመፍታት አንድ ተጨማሪ ዘዴ ጥቅም ላይ ይውላል, ማለትም እያንዳንዱን እኩልታዎች በልዩ ቅንጅት ማባዛት. እንዴት ማግኘት እንደሚቻል እና በአጠቃላይ እንዲህ ያሉ ስርዓቶችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል, አሁን ስለዚህ ጉዳይ እንነጋገራለን.

ችግሮችን በቁጥር በማባዛት መፍታት

ምሳሌ ቁጥር 1

\[\ግራ\(\ጀምር(አሰላለፍ)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\መጨረሻ(align) \\ቀኝ\]

ለ$x$ም ሆነ ለ$y$ ውህደቶቹ እርስበርስ ተቃራኒዎች ብቻ ሳይሆኑ ከሌላው እኩልነት ጋር በምንም መንገድ እንደማይገናኙ እናያለን። እኩልታቹን ብንጨምርም ብንቀንስም እነዚህ ውህዶች በምንም መንገድ አይጠፉም። ስለዚህ, ማባዛትን መተግበር አስፈላጊ ነው. የ$y$ ተለዋዋጭን ለማስወገድ እንሞክር። ይህንን ለማድረግ የመጀመሪያውን እኩልታ ከሁለተኛው እኩልታ በ $ y $ እና ሁለተኛውን እኩልነት በ $y$ መጠን ከመጀመሪያው እኩልታ በማባዛት ምልክቱን ሳይነካው እናባዛለን። ማባዛት እና አዲስ ስርዓት እናገኛለን፡-

\[\ግራ\(\ጀምር(አሰላለፍ)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\መጨረሻ(align) \\ቀኝ\]

እስቲ እንመልከተው፡ በ$y$ ውጤቶቹ ተቃራኒ ናቸው። በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታ የመደመር ዘዴን መጠቀም ያስፈልጋል. እንጨምር፡-

አሁን $y$ ማግኘት አለብን። ይህንን ለማድረግ፣ $x$ን ወደ መጀመሪያው አገላለጽ ይተኩ፡-

\[-9y=18\ግራ| :\ግራ(-9 \ቀኝ) \ቀኝ\]

መልስ፡$\ግራ(4;-2 \ቀኝ)$

ምሳሌ ቁጥር 2

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\ end(align) \ right.\]

እንደገና፣ የአንዳቸውም ተለዋዋጮች ቅንጅቶች ወጥነት ያላቸው አይደሉም። በ$y$ ኮፊሸን እናባዛ፡

\[\ግራ\( \ጀማሪ(አሰላለፍ)& 11x+4y=-18\ግራ| 6 \ቀኝ። \\& 13x-6y=-32\ግራ| 4 \ቀኝ \\\ መጨረሻ(align) \ቀኝ \]

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\ end(align) \ right\]

አዲሱ ስርዓታችን ከቀዳሚው ጋር እኩል ነው፣ ነገር ግን የ$y$ ንፅፅር ተቃራኒዎች ናቸው፣ እና ስለዚህ የመደመር ዘዴን እዚህ መተግበር ቀላል ነው።

አሁን $x$ን ወደ መጀመሪያው እኩልነት በመተካት $y$ን እናገኝ፡-

መልስ፡$\ግራ(-2;1 \ቀኝ)$

የመፍትሄው ልዩነቶች

እዚህ ያለው ቁልፍ ህግ የሚከተለው ነው-ሁልጊዜ በአዎንታዊ ቁጥሮች ብቻ እናባዛለን - ይህ ምልክቶችን ከመቀየር ጋር ከተያያዙ ደደብ እና አፀያፊ ስህተቶች ያድንዎታል። በአጠቃላይ ፣ የመፍትሄው እቅድ በጣም ቀላል ነው-

ስርዓቱን እንመለከታለን እና እያንዳንዱን እኩልነት እንመረምራለን.
$y$ ወይም $x$ የማይለዋወጡ መሆናቸውን ከተመለከትን ፣ ማለትም። እነሱ እኩል ወይም ተቃራኒ አይደሉም, ከዚያ የሚከተለውን እናደርጋለን: ልናስወግደው የሚገባንን ተለዋዋጭ እንመርጣለን, ከዚያም የእነዚህን እኩልታዎች ብዛት እንመለከታለን. የመጀመሪያውን እኩልታ ከሁለተኛው በኮፊሸን ብናባዛው እና ሁለተኛው በተመሳሳይ መልኩ ከመጀመሪያው በኮፊሸን ብናባዛው በመጨረሻው ከቀዳሚው ጋር ሙሉ በሙሉ እኩል የሆነ ስርዓት እና የ $ ን መጠን እናገኛለን። y$ ወጥነት ያለው ይሆናል። ሁሉም ተግባሮቻችን ወይም ትራንስፎርሜሽኖቻችን በአንድ ቀመር ውስጥ አንድ ተለዋዋጭ ለማግኘት ብቻ የታለሙ ናቸው።
አንድ ተለዋዋጭ እናገኛለን.
የተገኘውን ተለዋዋጭ ወደ ስርዓቱ ከሁለቱ እኩልታዎች በአንዱ እንተካው እና ሁለተኛውን እናገኛለን።
ተለዋዋጮች $ x$ እና $y$ ካሉን መልሱን በነጥቦች መጋጠሚያዎች መልክ እንጽፋለን።

ነገር ግን እንዲህ ዓይነቱ ቀላል ስልተ-ቀመር እንኳን የራሱ ጥቃቅን ነገሮች አሉት, ለምሳሌ, የ $ x$ ወይም $y$ ንጣፎች ክፍልፋዮች እና ሌሎች "አስቀያሚ" ቁጥሮች ሊሆኑ ይችላሉ. አሁን እነዚህን ጉዳዮች ለየብቻ እንመለከታቸዋለን, ምክንያቱም በእነሱ ውስጥ በመደበኛ ስልተ-ቀመር መሰረት በተለየ መልኩ መስራት ይችላሉ.

ከክፍልፋዮች ጋር ችግሮችን መፍታት

ምሳሌ ቁጥር 1

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\ end(align) \\ ቀኝ\]

በመጀመሪያ ፣ ሁለተኛው እኩልታ ክፍልፋዮችን እንደያዘ ልብ ይበሉ። ነገር ግን $4$ን በ$0.8$ ማካፈል እንደሚችሉ ልብ ይበሉ። 5$ እንቀበላለን. ሁለተኛውን እኩልታ በ$5$ እናባዛው፡

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\ end(align) \\ right.\]

እኩልታዎችን እርስ በእርስ እንቀንሳለን-

$n$ አግኝተናል፣ አሁን $m$ን እንቁጠረው፡-

መልስ፡- $n=-4፤m=5$

ምሳሌ ቁጥር 2

\[\ግራ\( \ጀማሪ(አሰላለፍ)& 2.5p+1.5k=-13\ግራ| 4 \ቀኝ \\& 2p-5k=2\ግራ| 5 \ቀኝ \\\ መጨረሻ(align)\ ቀኝ.\]

እዚህ ፣ ልክ እንደ ቀደመው ስርዓት ፣ ክፍልፋዮች ቅንጅቶች አሉ ፣ ግን ለማንኛቸውም ተለዋዋጮች ቅንጅቶች እርስ በእርሳቸው የኢንቲጀር ብዛት ጊዜ አይገጥሙም። ስለዚህ, መደበኛውን አልጎሪዝም እንጠቀማለን. ከ$p$ አስወግዱ፡

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\ end(align) \ right.\]

የመቀነስ ዘዴን እንጠቀማለን-

በሁለተኛው ግንባታ $k$ን በመተካት $p$ን እናገኝ፡-

መልስ፡ $p=-4;k=-2$

የመፍትሄው ልዩነቶች

ያ ሁሉ ማመቻቸት ነው። በመጀመሪያው እኩልታ፣ በምንም ነገር አላባዛንም፣ ነገር ግን ሁለተኛውን እኩልታ በ $5$ አባዛነው። በውጤቱም, ለመጀመሪያው ተለዋዋጭ ተመሳሳይ እና ተመሳሳይ እኩልታ አግኝተናል. በሁለተኛው ስርዓት መደበኛ ስልተ ቀመር ተከትለናል.

ግን እኩልታዎችን ለማብዛት ቁጥሮችን እንዴት ማግኘት ይቻላል? ደግሞም በክፍልፋዮች ብናባዛ አዲስ ክፍልፋዮችን እናገኛለን። ስለዚህ ክፍልፋዮቹ አዲስ ኢንቲጀር በሚሰጥ ቁጥር ማባዛት አለባቸው እና ከዚያ በኋላ ተለዋዋጮች መደበኛውን ስልተ ቀመር በመከተል በቁጥር ማባዛት አለባቸው።

በማጠቃለያው, ምላሹን ለመቅዳት ወደ ቅርጸቱ ትኩረት መስጠት እፈልጋለሁ. አስቀድሜ እንዳልኩት፣ እዚህ $x$ እና $y$ የለንም፣ ነገር ግን ሌሎች እሴቶች፣ የቅጹን መደበኛ ያልሆነ ማስታወሻ እንጠቀማለን።

የእኩልታዎች ውስብስብ ስርዓቶችን መፍታት

ለዛሬው የቪዲዮ አጋዥ ስልጠና እንደ የመጨረሻ ማስታወሻ፣ በጣም ውስብስብ የሆኑ ሁለት ስርዓቶችን እንመልከት። የእነሱ ውስብስብነት በግራ እና በቀኝ በሁለቱም ላይ ተለዋዋጭ መኖራቸውን ያካትታል. ስለዚህ, እነሱን ለመፍታት ቅድመ-ሂደትን መተግበር አለብን.

ስርዓት ቁጥር 1

\[\ግራ\(\ጀማሪ(አሰላለፍ)& 3\ግራ(2x-y \ቀኝ)+5=-2\ግራ(x+3ይ \ቀኝ)+4 \\& 6\ግራ(y+1) \ቀኝ -1=5\ግራ(2x-1 \ቀኝ)+8 \\\መጨረሻ(አሰላለፍ) \በቀኝ\]

እያንዳንዱ እኩልታ የተወሰነ ውስብስብነት አለው. ስለዚህ እያንዳንዱን አገላለጽ እንደ መደበኛ የመስመራዊ ግንባታ እንይ።

በጠቅላላው ፣ የመጨረሻውን ስርዓት እናገኛለን ፣ እሱም ከመጀመሪያው ጋር እኩል ነው-

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\መጨረሻ(align) \\ቀኝ\]

የ$y$ን ብዛት እንይ፡$3$ በ$6$ ሁለት ጊዜ ይገጥማል፣ስለዚህ የመጀመሪያውን እኩልታ በ$2$ እናባዛው፡

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\መጨረሻ(align) \\ቀኝ\]

የ$y$ ጥምርታዎች አሁን እኩል ናቸው፣ ስለዚህ ሁለተኛውን ከመጀመሪያው እኩልታ እንቀንሳለን፡$$

አሁን $y$ን እንፈልግ፡-

መልስ፡$\ግራ(0;-\frac(1)(3)\ቀኝ)$

ስርዓት ቁጥር 2

\[\ግራ\(\ጀማሪ(አሰላለፍ)& 4\ግራ(a-3b \ቀኝ)-2a=3\ግራ(b+4 \ቀኝ)-11 \\& -3\ግራ(b-2a \ቀኝ) -12=2\ግራ(a-5 \ቀኝ)+b \\\መጨረሻ(align) \ቀኝ\]

የመጀመሪያውን አገላለጽ እንለውጠው፡-

ከሁለተኛው ጋር እንገናኝ፡-

\[-3\ግራ(b-2a \ቀኝ)-12=2\ግራ(a-5 \ቀኝ)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

በአጠቃላይ የእኛ የመጀመሪያ ስርዓታችን የሚከተለውን ቅጽ ይወስዳል።

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\ end(align) \right\]

የ$a$ን ብዛት ስንመለከት፣የመጀመሪያው እኩልታ በ$2$ ማባዛት እንደሚያስፈልገው እናያለን።

\[\ግራ\(\ጀምር(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\ end(align) \ right.\]

ከመጀመሪያው ግንባታ ሁለተኛውን ቀንስ;

አሁን $a$ን እንፈልግ፡-

መልስ፡$\ግራ(a=\frac(1)(2);b=0 \ቀኝ)$

ይኼው ነው. ይህ የቪዲዮ አጋዥ ስልጠና ይህንን አስቸጋሪ ርዕስ ለመረዳት እንደሚረዳዎት ተስፋ አደርጋለሁ ፣ ማለትም ቀላል የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን መፍታት። በዚህ ርዕስ ላይ ወደፊት ብዙ ተጨማሪ ትምህርቶች ይኖራሉ: የበለጠ ውስብስብ ምሳሌዎችን እንመለከታለን, ብዙ ተለዋዋጮች ይኖራሉ, እና እኩልታዎቹ እራሳቸው ያልተለመዱ ይሆናሉ. እንደገና እንገናኝ!

የእኩልታዎች ስርዓቶች ለተለያዩ ሂደቶች የሂሳብ ሞዴል በኢኮኖሚው ዘርፍ በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ። ለምሳሌ, የምርት አስተዳደር እና እቅድ, የሎጂስቲክስ መስመሮች (የትራንስፖርት ችግር) ወይም የመሳሪያ አቀማመጥ ችግሮችን ሲፈቱ.

የእኩልታዎች ስርዓቶች በሂሳብ ላይ ብቻ ሳይሆን በፊዚክስ ፣ በኬሚስትሪ እና በባዮሎጂ ውስጥ የህዝብ ብዛትን የመፈለግ ችግሮችን በሚፈቱበት ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ።

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ሁለት ወይም ከዚያ በላይ እኩልታዎች ከብዙ ተለዋዋጮች ጋር የጋራ መፍትሄ መፈለግ አስፈላጊ ነው። ሁሉም እኩልታዎች እውነተኛ እኩልነት የሚሆኑበት ወይም ቅደም ተከተላቸው አለመኖሩን የሚያረጋግጡበት የቁጥር ቅደም ተከተል።

መስመራዊ እኩልታ

የቅርጽ ax+by=c እኩልታዎች መስመራዊ ይባላሉ። ስያሜዎቹ x፣ y እሴታቸው መገኘት ያለባቸው ያልታወቁ ናቸው፣ b፣ a የተለዋዋጮች ውህደቶች ናቸው፣ c የእኩልታው ነፃ ቃል ነው።
እኩልታውን በማቀድ መፍታት ቀጥተኛ መስመር ይመስላል ፣ ሁሉም ነጥቦች ለፖሊኖሚል መፍትሄዎች ናቸው።

የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ዓይነቶች

በጣም ቀላሉ ምሳሌዎች ከሁለት ተለዋዋጮች X እና Y ጋር የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ተደርገው ይወሰዳሉ።

F1 (x, y) = 0 እና F2 (x, y) = 0, F1,2 ተግባራት ሲሆኑ (x, y) የተግባር ተለዋዋጮች ናቸው.

የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት - ይህ ማለት ስርዓቱ ወደ እውነተኛ እኩልነት የሚቀየርባቸውን እሴቶች (x፣ y) መፈለግ ወይም የ x እና y ተስማሚ እሴቶች የሉም ማለት ነው።

ጥንድ እሴቶች (x፣ y)፣ እንደ የነጥብ መጋጠሚያዎች የተጻፉት፣ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት መፍትሄ ይባላል።

ስርዓቶች አንድ የጋራ መፍትሄ ካላቸው ወይም ምንም መፍትሄ ከሌለ, ተመጣጣኝ ተብለው ይጠራሉ.

ተመሳሳይነት ያላቸው የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች የቀኝ እጆቻቸው ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ ስርዓቶች ናቸው. ከእኩል ምልክት በኋላ ያለው ትክክለኛው ክፍል ዋጋ ካለው ወይም በአንድ ተግባር ከተገለጸ, እንዲህ ዓይነቱ ሥርዓት የተለያየ ነው.

የተለዋዋጮች ብዛት ከሁለት በላይ ሊሆን ይችላል፣ ከዚያ ከሶስት ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ያሉት የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌ መነጋገር አለብን።

ከስርአቶች ጋር ሲጋፈጡ፣የትምህርት ቤት ልጆች የእኩልታዎች ብዛት ከማይታወቁት ብዛት ጋር መገጣጠም አለበት ብለው ያስባሉ፣ነገር ግን ይህ እንደዛ አይደለም። በስርዓቱ ውስጥ ያሉት የእኩልታዎች ብዛት በተለዋዋጭዎቹ ላይ የተመካ አይደለም፤ የተፈለገውን ያህል ሊኖሩ ይችላሉ።

የእኩልታዎች ስርዓቶችን ለመፍታት ቀላል እና ውስብስብ ዘዴዎች

እንደነዚህ ያሉትን ስርዓቶች ለመፍታት አጠቃላይ የትንታኔ ዘዴ የለም, ሁሉም ዘዴዎች በቁጥር መፍትሄዎች ላይ የተመሰረቱ ናቸው. የት/ቤቱ የሂሳብ ኮርስ እንደ ፐርሙቴሽን፣ አልጀብራ መደመር፣ መተካካት፣ እንዲሁም ስዕላዊ እና ማትሪክስ ዘዴዎችን በጋውሲያን ዘዴ የመፍትሄ ዘዴዎችን በዝርዝር ይገልጻል።

የመፍትሄ ዘዴዎችን በሚያስተምርበት ጊዜ ዋናው ተግባር ስርዓቱን እንዴት በትክክል መተንተን እና ለእያንዳንዱ ምሳሌ ጥሩውን የመፍትሄ ስልተ ቀመር ማግኘት ነው. ዋናው ነገር ለእያንዳንዱ ዘዴ ደንቦችን እና ድርጊቶችን ስርዓት ማስታወስ አይደለም, ነገር ግን የተወሰነ ዘዴን የመጠቀም መርሆዎችን መረዳት ነው.

በ 7 ኛ ክፍል አጠቃላይ ትምህርት ሥርዓተ-ትምህርት ውስጥ የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ምሳሌዎችን መፍታት በጣም ቀላል እና በዝርዝር ተብራርቷል። በማንኛውም የሂሳብ መማሪያ መጽሐፍ, ይህ ክፍል በቂ ትኩረት ተሰጥቶታል. የ Gauss እና Cramer ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶችን ምሳሌዎችን መፍታት በመጀመሪያዎቹ የከፍተኛ ትምህርት ዓመታት በበለጠ ዝርዝር ተጠንቷል።

የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት

የመተኪያ ዘዴው ድርጊቶች የአንድን ተለዋዋጭ እሴት ከሁለተኛው አንፃር ለመግለጽ ያተኮሩ ናቸው. አገላለጹ በቀሪው ቀመር ውስጥ ተተክቷል, ከዚያም ወደ አንድ ተለዋዋጭ ቅፅ ይቀንሳል. በስርዓቱ ውስጥ በማይታወቁት ቁጥር ላይ በመመስረት ድርጊቱ ይደገማል

የመተኪያ ዘዴን በመጠቀም የክፍል 7 መስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌን እንስጥ።

ከምሳሌው ላይ እንደሚታየው፣ ተለዋዋጭ x በF(X) = 7 + Y ተገለፀ። የተገኘው አገላለጽ፣ በ 2 ኛው የስርዓቱ እኩልታ በ X ምትክ ተተክቶ፣ በ 2 ኛው እኩልታ አንድ ተለዋዋጭ Y ለማግኘት ረድቷል። . ይህንን ምሳሌ መፍታት ቀላል እና የ Y እሴትን እንዲያገኙ ያስችልዎታል የመጨረሻው ደረጃ የተገኙትን እሴቶች መፈተሽ ነው.

የመስመር እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌን በመተካት ሁልጊዜ መፍታት አይቻልም። እኩልታዎቹ ውስብስብ ሊሆኑ ይችላሉ እና ተለዋዋጭውን በሁለተኛው የማይታወቅ ሁኔታ መግለጽ ለቀጣይ ስሌቶች በጣም አስቸጋሪ ይሆናል. በስርአቱ ውስጥ ከ3 በላይ ያልታወቁ ነገሮች ሲኖሩ፣ በመተካት መፍታትም ተገቢ አይደለም።

የመስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታዎች ስርዓት ምሳሌ መፍትሄ፡-

የአልጀብራ መጨመርን በመጠቀም መፍትሄ

የመደመር ዘዴን በመጠቀም ለስርዓቶች መፍትሄዎችን በሚፈልጉበት ጊዜ, እኩልታዎች በጊዜ ቃል ይጨመሩ እና በተለያዩ ቁጥሮች ይባዛሉ. የሂሳብ ስራዎች የመጨረሻ ግብ በአንድ ተለዋዋጭ ውስጥ እኩልነት ነው.

የዚህ ዘዴ አተገባበር ልምምድ እና ምልከታ ይጠይቃል. 3 ወይም ከዚያ በላይ ተለዋዋጮች ሲኖሩ የመደመር ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ቀላል አይደለም። እኩልታዎች ክፍልፋዮች እና አስርዮሽ ሲይዙ አልጀብራ መጨመር ለመጠቀም ምቹ ነው።

የመፍትሄው ስልተ ቀመር፡

የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በተወሰነ ቁጥር ማባዛት። በሂሳብ አሠራሩ ምክንያት፣ ከተለዋዋጭዎቹ ጥምርታዎች አንዱ ከ 1 ጋር እኩል መሆን አለበት።
የተገኘውን የቃላት አገላለጽ በቃላት ይጨምሩ እና ከማይታወቁት ውስጥ አንዱን ያግኙ።
የቀረውን ተለዋዋጭ ለማግኘት የተገኘውን እሴት ወደ ስርዓቱ 2 ኛ እኩልታ ይለውጡ።

አዲስ ተለዋዋጭ በማስተዋወቅ የመፍትሄ ዘዴ

ስርዓቱ ከሁለት ላልበለጠ እኩልታዎች መፍትሄ መፈለግን ካስፈለገ አዲስ ተለዋዋጭ ማስተዋወቅ ይቻላል፤ ያልታወቁት ቁጥርም ከሁለት በላይ መሆን የለበትም።

ዘዴው አዲስ ተለዋዋጭ በማስተዋወቅ አንዱን እኩልታ ለማቃለል ይጠቅማል። አዲሱ እኩልታ ለተዋወቀው ያልታወቀ ተፈትቷል፣ እና የተገኘው እሴት የመጀመሪያውን ተለዋዋጭ ለመወሰን ጥቅም ላይ ይውላል።

ምሳሌው እንደሚያሳየው አዲስ ተለዋዋጭ t በማስተዋወቅ የስርዓቱን 1 ኛ እኩልታ ወደ መደበኛ ባለአራት ሶስትዮሽ መቀነስ ተችሏል. አድሎአዊውን በማግኘት ብዙ ቁጥርን መፍታት ይችላሉ።

በጣም የታወቀውን ቀመር በመጠቀም የአድሎውን ዋጋ ማግኘት አስፈላጊ ነው: D = b2 - 4 * a * c, D የሚፈለገው አድልዎ, b, a, c የፖሊኖሚል ምክንያቶች ናቸው. በተሰጠው ምሳሌ a=1, b=16, c=39, ስለዚህ D=100. አድሏዊው ከዜሮ የሚበልጥ ከሆነ ሁለት መፍትሄዎች አሉ፡- t = -b±√D/2*ሀ፣ አድሎአዊው ከዜሮ ያነሰ ከሆነ አንድ መፍትሄ አለ፡- x = -b/2*a።

ለተፈጠሩት ስርዓቶች መፍትሄ የሚገኘው በመደመር ዘዴ ነው.

ስርዓቶችን ለመፍታት ምስላዊ ዘዴ

ለ 3 እኩልታ ስርዓቶች ተስማሚ. ዘዴው በሲስተሙ ውስጥ የተካተቱትን የእያንዳንዱን እኩልታ ግራፎችን በመገጣጠም ዘንግ ላይ በመገንባት ላይ ነው። የክርንቹ መገናኛ ነጥቦች መጋጠሚያዎች የስርዓቱ አጠቃላይ መፍትሄ ይሆናሉ.

የግራፊክ ዘዴው በርካታ ጥቃቅን ነገሮች አሉት. የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓቶችን በእይታ መንገድ ለመፍታት በርካታ ምሳሌዎችን እንመልከት።

በምሳሌው ላይ እንደሚታየው ለእያንዳንዱ መስመር ሁለት ነጥቦች ተገንብተዋል ፣ የተለዋዋጭ x ዋጋዎች በዘፈቀደ ተመርጠዋል 0 እና 3. በ x እሴቶች ላይ በመመስረት ፣ የ y እሴቶች ተገኝተዋል። 3 እና 0. መጋጠሚያዎች (0፣ 3) እና (3፣ 0) ያላቸው ነጥቦች በግራፉ ላይ ምልክት ተደርጎባቸዋል እና በመስመር ተገናኝተዋል።

ደረጃዎቹ ለሁለተኛው እኩልታ መደገም አለባቸው. የመስመሮቹ መገናኛ ነጥብ የስርዓቱ መፍትሄ ነው.

የሚከተለው ምሳሌ ለመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ግራፊክ መፍትሄ መፈለግን ይጠይቃል፡ 0.5x-y+2=0 እና 0.5x-y-1=0።

ከምሳሌው እንደሚታየው, ስርዓቱ ምንም መፍትሄ የለውም, ምክንያቱም ግራፎች ትይዩ ናቸው እና ሙሉውን ርዝመት አይገናኙም.

በምሳሌ 2 እና 3 ያሉት ስርዓቶች ተመሳሳይ ናቸው, ነገር ግን ሲገነቡ መፍትሄዎቻቸው የተለያዩ እንደሆኑ ግልጽ ይሆናል. አንድ ሥርዓት መፍትሔ አለው ወይም የለውም ማለት ሁልጊዜ የማይቻል መሆኑን ማስታወስ ይገባል, ሁልጊዜ ግራፍ መገንባት አስፈላጊ ነው.

ማትሪክስ እና ዝርያዎቹ

ማትሪክስ የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት በአጭሩ ለመፃፍ ያገለግላሉ። ማትሪክስ በቁጥሮች የተሞላ ልዩ የጠረጴዛ ዓይነት ነው። n * m n - ረድፎች እና m - አምዶች አሉት.

የአምዶች እና የረድፎች ብዛት እኩል ሲሆኑ ማትሪክስ ካሬ ነው። ማትሪክስ-ቬክተር ወሰን በሌለው የረድፎች ብዛት ያለው የአንድ አምድ ማትሪክስ ነው። ከአንዱ ዲያግናል እና ሌሎች ዜሮ አካላት ጋር ያለው ማትሪክስ ማንነት ይባላል።

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ማትሪክስ ሲባዛ ማትሪክስ ሲሆን ይህም የመጀመሪያው ወደ አሃድ ማትሪክስ ይቀየራል ፣ እንደዚህ ያለ ማትሪክስ የሚገኘው ለዋናው ካሬ ብቻ ነው።

የእኩልታዎችን ስርዓት ወደ ማትሪክስ ለመቀየር ህጎች

ከእኩልታዎች ስርዓቶች ጋር በተያያዘ፣ የእኩልታዎች ቅንጅቶች እና ነፃ ቃላቶች እንደ ማትሪክስ ቁጥሮች ተጽፈዋል። አንድ እኩልታ የማትሪክስ አንድ ረድፍ ነው።

ቢያንስ አንድ የረድፉ አካል ዜሮ ካልሆነ የማትሪክስ ረድፍ ዜሮ ነው ይባላል። ስለዚህ, በማናቸውም እኩልታዎች ውስጥ የተለዋዋጮች ቁጥር ቢለያይ, በማይታወቅ ቦታ ላይ ዜሮን ማስገባት አስፈላጊ ነው.

የማትሪክስ አምዶች ከተለዋዋጮች ጋር በጥብቅ መዛመድ አለባቸው። ይህ ማለት የተለዋዋጭ x ጥምርታዎች በአንድ አምድ ውስጥ ብቻ ሊጻፉ ይችላሉ, ለምሳሌ የመጀመሪያው, የማይታወቅ y - በሁለተኛው ውስጥ ብቻ.

ማትሪክስ በሚባዙበት ጊዜ ሁሉም የማትሪክስ አካላት በቅደም ተከተል በቁጥር ይባዛሉ።

ተገላቢጦሹን ማትሪክስ ለማግኘት አማራጮች

የተገላቢጦሽ ማትሪክስ የማግኘት ቀመር በጣም ቀላል ነው፡ K -1 = 1 / |K|፣ K -1 ተገላቢጦሽ ማትሪክስ እና |K| የማትሪክስ ወሳኙ ነው. |ክ| ከዜሮ ጋር እኩል መሆን የለበትም, ከዚያ ስርዓቱ መፍትሄ አለው.

ወሳኙ በቀላሉ ለሁለት-ሁለት ማትሪክስ ይሰላል፤ የዲያግናል ክፍሎችን እርስ በርስ ማባዛት ብቻ ያስፈልግዎታል። ለ"ሶስት በሶስት" አማራጭ |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 ለ 2 ሐ 1። ቀመሩን መጠቀም ይችላሉ, ወይም በእያንዳንዱ ረድፍ እና በእያንዳንዱ አምድ ውስጥ የአምዶች እና የረድፎች ቁጥሮች በስራው ውስጥ እንዳይደጋገሙ አንድ ኤለመንት መውሰድ እንዳለቦት ማስታወስ ይችላሉ.

የማትሪክስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓቶች ምሳሌዎችን መፍታት

የመፍትሄ ፍለጋ የማትሪክስ ዘዴ ብዙ ተለዋዋጮች እና እኩልታዎች ያላቸውን ስርዓቶች ሲፈቱ አስቸጋሪ ግቤቶችን እንዲቀንሱ ያስችልዎታል።

በምሳሌው፣ nm የእኩልታዎች ጥምርታ፣ ማትሪክስ ቬክተር x n ተለዋዋጭ ናቸው፣ እና b n ነፃ ቃላት ናቸው።

የ Gaussian ዘዴን በመጠቀም ስርዓቶችን መፍታት

በከፍተኛ ሒሳብ ውስጥ የጋውሲያን ዘዴ ከ Cramer ዘዴ ጋር ይጠናል, እና ለስርዓቶች መፍትሄዎችን የማግኘት ሂደት የ Gauss-Cramer መፍትሄ ዘዴ ይባላል. እነዚህ ዘዴዎች ብዙ ቁጥር ያላቸው የመስመር እኩልታዎች ያላቸውን የስርዓት ተለዋዋጮችን ለማግኘት ያገለግላሉ።

የጋውስ ዘዴ በመተካት እና በአልጀብራዊ መደመር መፍትሄዎች ጋር በጣም ተመሳሳይ ነው, ግን የበለጠ ስልታዊ ነው. በት / ቤት ኮርስ, በ Gaussian ዘዴ መፍትሄው ለ 3 እና 4 እኩልታዎች ስርዓቶች ጥቅም ላይ ይውላል. የስልቱ አላማ ስርዓቱን ወደ ተገላቢጦሽ ትራፔዞይድ ቅርጽ መቀነስ ነው. በአልጀብራ ለውጦች እና ምትክዎች አማካኝነት የአንድ ተለዋዋጭ እሴት በስርዓቱ እኩልታዎች ውስጥ በአንዱ ይገኛል. ሁለተኛው እኩልታ 2 ያልታወቀ አገላለጽ ሲሆን 3 እና 4 ደግሞ በቅደም ተከተል 3 እና 4 ተለዋዋጮች ናቸው።

ስርዓቱን ወደተገለጸው ቅፅ ካመጣ በኋላ, ተጨማሪው መፍትሄ ወደ ስርዓቱ እኩልታዎች የታወቁ ተለዋዋጮችን በቅደም ተከተል መተካት ይቀንሳል.

ለ 7 ኛ ክፍል በት / ቤት የመማሪያ መጽሐፍት ፣ በጋውስ ዘዴ የመፍትሄ ምሳሌ እንደሚከተለው ተብራርቷል ።

ከምሳሌው እንደሚታየው በደረጃ (3) ሁለት እኩልታዎች ተገኝተዋል 3x 3 -2x 4 = 11 እና 3x 3 +2x 4 =7. ማናቸውንም እኩልታዎች መፍታት ከተለዋዋጭ x n አንዱን ለማወቅ ያስችልዎታል።

በጽሁፉ ውስጥ የተጠቀሰው ቲዎረም 5, ከስርአቱ እኩልታዎች አንዱ በተመጣጣኝ ከተተካ, የተገኘው ስርዓት እንዲሁ ከመጀመሪያው ጋር እኩል ይሆናል.

የጋውሲያን ዘዴ ለመካከለኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ተማሪዎች ለመረዳት አስቸጋሪ ነው, ነገር ግን በሂሳብ እና በፊዚክስ ክፍሎች በከፍተኛ የትምህርት መርሃ ግብሮች ውስጥ የተመዘገቡ ልጆችን ብልህነት ለማዳበር በጣም ከሚያስደስቱ መንገዶች አንዱ ነው.

ለመቅዳት ቀላልነት፣ ስሌቶች ብዙውን ጊዜ እንደሚከተለው ይከናወናሉ፡

የእኩልታዎች እና የነፃ ቃላት ጥምርታዎች በማትሪክስ መልክ የተፃፉ ሲሆን እያንዳንዱ የማትሪክስ ረድፍ ከስርዓቱ እኩልታዎች አንዱ ጋር ይዛመዳል። የቀመርውን ግራ ጎን ከቀኝ ይለያል. የሮማውያን ቁጥሮች በስርዓቱ ውስጥ ያሉትን የእኩልታዎች ቁጥሮች ያመለክታሉ.

በመጀመሪያ, የሚሠራውን ማትሪክስ ይፃፉ, ከዚያም በአንደኛው ረድፍ የተከናወኑትን ድርጊቶች በሙሉ. የተገኘው ማትሪክስ ከ "ቀስት" ምልክት በኋላ የተፃፈ ሲሆን ውጤቱ እስኪገኝ ድረስ አስፈላጊዎቹ የአልጀብራ ስራዎች ይቀጥላሉ.

ውጤቱም ከዲያግኖቹ አንዱ ከ 1 ጋር እኩል የሆነበት ማትሪክስ መሆን አለበት ፣ እና ሁሉም ሌሎች ጥምርታዎች ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው ፣ ማለትም ፣ ማትሪክስ ወደ አንድ አሃድ ቅርፅ የተቀነሰ ነው። በስሌቱ በሁለቱም በኩል ከቁጥሮች ጋር ስሌቶችን ማከናወን መዘንጋት የለብንም.

ይህ የመቅዳት ዘዴ ብዙም አስቸጋሪ አይደለም እና ብዙ ያልታወቁ ነገሮችን በመዘርዘር ትኩረታችሁን እንዳይከፋፍሉ ያስችልዎታል።

የማንኛውም የመፍትሄ ዘዴ ነፃ አጠቃቀም እንክብካቤ እና የተወሰነ ልምድ ይጠይቃል። ሁሉም ዘዴዎች ተግባራዊ ተፈጥሮ አይደሉም. አንዳንድ መፍትሄዎችን የመፈለግ ዘዴዎች በተወሰነ የሰው ልጅ እንቅስቃሴ ውስጥ የበለጠ ተመራጭ ናቸው ፣ ሌሎች ደግሞ ለትምህርታዊ ዓላማዎች አሉ።