የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን እንዴት ማግኘት እንደሚቻል። ባለአራት እኩልታዎች

ርዕሱን ማጥናታችንን እንቀጥላለን " እኩልታዎችን መፍታት" ከመስመር እኩልታዎች ጋር ቀደም ብለን ተዋወቅን እና ወደ መተዋወቅ እንቀጥላለን ኳድራቲክ እኩልታዎች.

በመጀመሪያ የኳድራቲክ እኩልታ ምን እንደሆነ እና እንዴት እንደተጻፈ እንመለከታለን አጠቃላይ እይታ, እና እንሰጣለን ተዛማጅ ትርጓሜዎች. ከዚህ በኋላ ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ በዝርዝር ለመመርመር ምሳሌዎችን እንጠቀማለን። ወደ መፍትሄው እንሂድ የተሟሉ እኩልታዎች, የስር ፎርሙላውን እናገኛለን, ከኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ ጋር እንተዋወቅ እና መፍትሄዎችን ግምት ውስጥ ማስገባት. የተለመዱ ምሳሌዎች. በመጨረሻ፣ በሥሮቹ እና በቁጥር (coefficients) መካከል ያለውን ግንኙነት እንፈልግ።

የገጽ አሰሳ።

ኳድራቲክ እኩልታ ምንድን ነው? የእነሱ ዓይነቶች

በመጀመሪያ የኳድራቲክ እኩልታ ምን እንደሆነ በግልፅ መረዳት ያስፈልግዎታል። ስለዚህ ስለ ኳድራቲክ እኩልታዎች ከኳድራቲክ እኩልታ ትርጓሜ እና እንዲሁም ተዛማጅ ትርጓሜዎች ጋር ውይይት መጀመር ምክንያታዊ ነው። ከዚህ በኋላ ዋና ዋናዎቹን የኳድራቲክ እኩልታዎች ግምት ውስጥ ማስገባት ይችላሉ-የተቀነሰ እና ያልተቀነሰ, እንዲሁም የተሟሉ እና ያልተሟሉ እኩልታዎች.

የኳድራቲክ እኩልታዎች ፍቺ እና ምሳሌዎች

ፍቺ

ባለአራት እኩልታየቅጹ እኩልታ ነው። ሀ x 2 +b x+c=0, x ተለዋዋጭ በሆነበት, a, b እና c አንዳንድ ቁጥሮች ናቸው, እና a ዜሮ ያልሆኑ.

ወዲያውኑ እንበል ኳድራቲክ እኩልታዎች ብዙውን ጊዜ የሁለተኛ ዲግሪ እኩልታዎች ይባላሉ። ይህ የሆነበት ምክንያት የኳድራቲክ እኩልታ በመኖሩ ነው የአልጀብራ እኩልታ ሁለተኛ ዲግሪ.

የተገለፀው ፍቺ የኳድራቲክ እኩልታዎችን ምሳሌዎችን እንድንሰጥ ያስችለናል። ስለዚህ 2 x 2 +6 x+1=0፣ 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0፣ ወዘተ. እነዚህ ኳድራቲክ እኩልታዎች ናቸው።

ፍቺ

ቁጥሮች a, b እና c ይባላሉ የ quadratic equation coefficients a·x 2 +b·x+c=0፣ እና ኮፊደል ሀ የመጀመሪያው፣ ወይም ከፍተኛው፣ ወይም የ x 2 ድምር ይባላል፣ b ሁለተኛው ኮፊሸን ነው፣ ወይም የ x, እና c የነጻ ቃል ነው .

ለምሳሌ፣ የቅርጽ 5 x 2 -2 x -3=0 ኳድራቲክ እኩልታ እንውሰድ፣ እዚህ መሪው ኮፊሸን 5 ነው፣ ሁለተኛው ጥምር ከ -2 ጋር እኩል ነው፣ እና ነፃው ቃል ከ -3 ጋር እኩል ነው። ልብ ይበሉ b እና/ወይም c ውጤቶቹ አሉታዊ ሲሆኑ፣ አሁን በተሰጠው ምሳሌ ላይ፣ እንግዲህ አጭር ቅጽየቅርጽ 5 x 2 -2 x−3=0 ባለ አራት ማዕዘን እኩልታ በመጻፍ እንጂ 5 x 2 +(-2) x+(-3)=0 አይደለም።

ልብ ሊባል የሚገባው ነጥብ ሀ እና/ወይም b ከ 1 ወይም -1 ጋር እኩል ሲሆኑ አብዛኛውን ጊዜ በኳድራቲክ እኩልታ ውስጥ በግልጽ እንደማይገኙ ልብ ሊባል የሚገባው ነው፣ ይህም በመሳሰሉት የአጻጻፍ ባህሪያት ምክንያት ነው። ለምሳሌ፣ በኳድራቲክ እኩልታ y 2 -y+3=0 መሪ ኮፊሸን አንድ ነው፣ እና የy ጥምርታ ከ -1 ጋር እኩል ነው።

የተቀነሱ እና ያልተቀነሱ ኳድራቲክ እኩልታዎች

እንደ መሪ ኮፊሸንት እሴት ላይ በመመስረት, የተቀነሱ እና ያልተቀነሱ ኳድራቲክ እኩልታዎች ተለይተዋል. ተጓዳኝ ትርጓሜዎችን እንስጥ.

ፍቺ

መሪ ኮፊፊሸንት 1 የሆነበት ኳድራቲክ እኩልታ ይባላል ኳድራቲክ እኩልታ ተሰጥቶታል።. ውስጥ አለበለዚያኳድራቲክ እኩልታ ነው። ያልተነካ.

አጭጮርዲንግ ቶ ይህ ትርጉም፣ ኳድራቲክ እኩልታዎች x 2 -3 · x+1=0፣ x 2 -x−2/3=0፣ ወዘተ. - የተሰጠው ፣ በእያንዳንዳቸው ውስጥ የመጀመሪያው ኮፊሸን ከአንድ ጋር እኩል ነው።. ሀ 5 x 2 -x−1=0፣ ወዘተ. - ያልተቀነሱ ኳድራቲክ እኩልታዎች፣ መሪ ብቃታቸው ከ 1 የተለየ ነው።

ከየትኛውም ያልተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ, ሁለቱንም ጎኖች በመሪ ኮፊሸን በመከፋፈል, ወደተቀነሰው መሄድ ይችላሉ. ይህ ድርጊት ተመጣጣኝ ለውጥ ነው፣ ማለትም፣ በዚህ መንገድ የተገኘው የተቀነሰው ኳድራቲክ እኩልታ ልክ እንደ መጀመሪያው ያልተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ ተመሳሳይ ሥሮች አሉት፣ ወይም እንደ እሱ፣ ምንም ሥሮች የሉትም።

ካልተቀነሰ ኳድራቲክ እኩልታ ወደ ተቀናሽ የሚደረገው ሽግግር እንዴት እንደሚከናወን የሚያሳይ ምሳሌ እንመልከት።

ለምሳሌ.

ከ 3 x 2 +12 x−7=0 እኩልታ ወደ ተቀነሰው ኳድራቲክ እኩልታ ይሂዱ።

መፍትሄ።

የዋናውን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በመሪ ኮፊሸን 3 መከፋፈል ብቻ ያስፈልገናል፣ ዜሮ አይደለም፣ ስለዚህ ይህን ተግባር ማከናወን እንችላለን። አለን። 3) x 2 +(12፡3) x−7፡3=0፣ ከየት። የተቀነሰውን ኳድራቲክ እኩልታ ያገኘነው በዚህ መንገድ ነው፣ እሱም ከመጀመሪያው ጋር እኩል ነው።

መልስ፡-

የተሟሉ እና ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች

የኳድራቲክ እኩልታ ፍቺ ሁኔታ a≠0 ይዟል። ይህ ሁኔታ አስፈላጊ ነው ስለዚህ ቀመር a x 2 + b x + c = 0 አራት ማዕዘን ነው, ምክንያቱም a = 0 በእውነቱ የቅርጽ b x + c = 0 ቀጥተኛ እኩልታ ይሆናል.

የቢ እና ሲ ንፅፅርን በተመለከተ፣ በግለሰብ እና በአንድ ላይ ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆኑ ይችላሉ። በእነዚህ አጋጣሚዎች, የኳድራቲክ እኩልታ ያልተሟላ ይባላል.

ፍቺ

ኳድራቲክ እኩልታ a x 2 +b x+c=0 ይባላል ያልተሟላ, ቢያንስ አንድ ከተባባሪዎች ለ, ሐ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።.

በተራው

ፍቺ

የተሟላ ባለአራት እኩልታሁሉም መመዘኛዎች ከዜሮ የሚለያዩበት እኩልታ ነው።

እንደነዚህ ያሉት ስሞች በአጋጣሚ አልተሰጡም. ይህ ከሚከተሉት ውይይቶች ግልጽ ይሆናል.

ጥምርታ b ዜሮ ከሆነ፣ ኳድራቲክ እኩልታ a·x 2 +0·x+c=0 ይወስዳል፣ እና እሱ ከአክስ 2 +c=0 ጋር እኩል ነው። c=0 ከሆነ፣ ማለትም፣ quadratic equation a·x 2 +b·x+0=0 አለው፣ ከዚያ እንደ a·x 2 +b·x=0 ሊፃፍ ይችላል። እና በ b=0 እና c=0 የኳድራቲክ እኩልታ a · x 2 =0 እናገኛለን። የተገኙት እኩልታዎች ከተሟላው ኳድራቲክ እኩልታ የሚለያዩት በግራ እጃቸው ከተለዋዋጭ x ወይም ነፃ ቃል ወይም ሁለቱንም ቃል ስለሌለ ነው። ስለዚህ ስማቸው - ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች.

ስለዚህ እኩልታዎች x 2 +x+1=0 እና -2 x 2 -5 x+0.2=0 የተሟሉ የኳድራቲክ እኩልታዎች ምሳሌዎች ናቸው፣ እና x 2 =0፣ -2 x 2 =0፣ 5 x 2 +3=0 ፣ -x 2 -5 x=0 ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች ናቸው።

ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎችን መፍታት

ከዚህ በፊት ባለው አንቀጽ ላይ ካለው መረጃ ውስጥ እንደሚከተለው ነው ሶስት ዓይነት ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች:

a · x 2 = 0, ጥምርታዎቹ b = 0 እና c = 0 ከእሱ ጋር ይዛመዳሉ;
b=0 ሲሆን a x 2 +c=0;
እና a·x 2 +b·x=0 ሲ=0።

የእያንዳንዳቸው ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች እንዴት እንደሚፈቱ በቅደም ተከተል እንመርምር።

አንድ x 2 =0

ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎችን በመፍታት እንጀምር ይህም ውህደቶቹ b እና c ከዜሮ ጋር እኩል ናቸው፣ ማለትም፣ በቅጹ a x 2 =0 እኩልታዎች። እኩልታው a·x 2 =0 ከቀመር x 2 =0 ጋር እኩል ነው፣ እሱም ከዋናው የተገኘው ሁለቱንም ክፍሎች ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ሀ. በግልጽ እንደሚታየው፣ ከ0 2 =0 ጀምሮ የእኩልታው ስር x 2 =0 ዜሮ ነው። ይህ እኩልነት ሌላ ሥረ-ሥሮች የሉትም፣ ይህም የሚገለጸው ለማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቁጥር p 2>0 ያለው አለመመጣጠን ነው፣ ይህም ማለት ለ p≠0 እኩልነት p 2 =0 ፈጽሞ ሊገኝ አይችልም ማለት ነው።

ስለዚህ፣ ያልተሟላው ባለአራት እኩልታ a·x 2 =0 ነጠላ ስር x=0 አለው።

እንደ ምሳሌ, መፍትሄውን ላልተሟላው ኳድራቲክ እኩልታ -4 x 2 = 0 እንሰጣለን. እሱ ከሒሳብ x 2 =0 ጋር እኩል ነው፣ ብቸኛው ሥሩ x=0 ነው፣ ስለዚህ የዋናው እኩልታ አንድ ሥር ዜሮ አለው።

በዚህ ጉዳይ ላይ አጭር መፍትሄ ሊጻፍ ይችላል በሚከተለው መንገድ:
-4 x 2 =0፣
x 2 =0፣
x=0 .

አ x 2 +c=0

አሁን እንዴት ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች እንደሚፈቱ እንይ በውስጥም Coefficient b ዜሮ እና c≠0 ማለትም የቅርጽ a x 2 +c=0 እኩልታዎች። ቃልን ከአንዱ የእኩልታ ጎን ወደ ሌላ ማዛወር እንደሆነ እናውቃለን ተቃራኒ ምልክት, እንዲሁም የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በዜሮ ቁጥር መከፋፈል ተመጣጣኝ እኩልታ ይሰጣል. ስለዚህ, የሚከተሉትን ማከናወን እንችላለን ተመጣጣኝ ለውጦችያልተሟላ ባለአራት እኩልታ a x 2 +c=0

c ወደ ቀኝ ጎን ያንቀሳቅሱ፣ ይህም እኩልታውን x 2 =-c፣
እና ሁለቱንም ጎኖች በ a ይከፋፍሏቸው, እናገኛለን.

የተገኘው እኩልነት ስለ ሥሮቹ መደምደሚያ ላይ ለመድረስ ያስችለናል. በ a እና c እሴቶች ላይ በመመስረት የገለፃው ዋጋ አሉታዊ ሊሆን ይችላል (ለምሳሌ ፣ a=1 እና c=2 ፣ ከዚያ ) ወይም አዎንታዊ (ለምሳሌ a=-2 እና c=6 ከሆነ) ከዚያም) ዜሮ አይደለም፣ በሁኔታ c≠0። ጉዳዮቹን ለየብቻ እንመልከታቸው።

ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታው ሥሮች የሉትም። ይህ መግለጫ የማንኛውም ቁጥር ካሬ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ነው ከሚለው እውነታ ይከተላል. ከዚህ በመነሳት ነው መቼ , ከዚያም ለማንኛውም ቁጥር p እኩልነት እውነት ሊሆን አይችልም.

ከሆነ ፣ ከዚያ የእኩልታው ሥሮች ጋር ያለው ሁኔታ የተለየ ነው። በዚህ ሁኔታ ፣ ስለ ካስታወስን ፣ ከዚያ የእኩልታው ሥር ወዲያውኑ ግልፅ ይሆናል ፣ ቁጥሩ ነው ፣ ጀምሮ። ቁጥሩም የእኩልታው ሥር እንደሆነ መገመት ቀላል ነው, በእርግጥ,. ይህ እኩልነት ሌላ ሥሮች የሉትም, ለምሳሌ በተቃርኖ ሊታይ ይችላል. እንስራው.

አሁን እንደ x 1 እና -x 1 የታወጀውን የእኩልታ ስር እናሳይ። እኩልታው ከተጠቆሙት ስር x 1 እና -x 1 የተለየ አንድ ተጨማሪ ስር x 2 አለው እንበል። ከ x ይልቅ ሥሩን ወደ እኩልነት መቀየር እኩልታውን ወደ ትክክለኛ የቁጥር እኩልነት እንደሚለውጠው ይታወቃል። ለ x 1 እና -x 1 አለን ፣ እና ለ x 2 እኛ አለን ። የቁጥር እኩልነት ባህሪያት የእውነትን ቃል በቃል መቀነስ እንድንፈጽም ያስችሉናል። የቁጥር እኩልነት, ስለዚህ የእኩልታዎችን ተጓዳኝ ክፍሎችን መቀነስ x 1 2 -x 2 2 =0 ይሰጣል. ከቁጥሮች ጋር ያሉ የኦፕሬሽኖች ባህሪያት የተገኘውን እኩልነት እንደ (x 1 -x 2) · (x 1 +x 2) = 0 እንደገና እንድንጽፍ ያስችሉናል. የሁለት ቁጥሮች ምርት ከዜሮ ጋር እኩል እንደሆነ እናውቃለን እና ቢያንስ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ ነው። ስለዚህም ከተፈጠረው እኩልነት x 1 -x 2 =0 እና/ወይም x 1 +x 2 =0, እሱም ተመሳሳይ ነው, x 2 = x 1 እና/ወይም x 2 =-x 1. ስለዚህ መጀመሪያ ላይ የእኩልታ x 2 ሥር ከ x 1 እና -x 1 የተለየ ነው ስላልን ወደ ተቃርኖ ደርሰናል። ይህ እኩልታው ከ እና ሌላ ምንም ሥሮች እንደሌለው ያረጋግጣል.

በዚህ አንቀፅ ውስጥ ያለውን መረጃ ጠቅለል አድርገን እንየው። ያልተጠናቀቀ አራት ማዕዘን ቀመር a x 2 +c=0 ከሚለው እኩልታ ጋር እኩል ነው።

ሥር የለውም ፣
ሁለት ሥሮች አሉት እና ከሆነ .

የቅርጹን ax 2 +c=0 ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎችን እንመልከት።

በኳድራቲክ እኩልታ 9 x 2 +7=0 እንጀምር። ነፃውን ቃል ወደ እኩልታው በቀኝ በኩል ካዘዋወረ በኋላ፣ ቅጹን 9 x 2 =-7 ይወስዳል። የውጤቱን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ 9 በማካፈል ወደ ላይ ደርሰናል. የቀኝ ጎን አሉታዊ ቁጥር ስላለው, ይህ እኩልታ ምንም ሥሮች የለውም, ስለዚህ, የመጀመሪያው ያልተሟላ አራት ማዕዘን እኩልታ 9 x 2 +7 = 0 ምንም ሥሮች የለውም.

ሌላ ያልተሟላ ባለአራት እኩልታ -x 2 +9=0 እንፍታ። ዘጠኙን ወደ ቀኝ በኩል እናንቀሳቅሳለን: -x 2 = -9. አሁን ሁለቱንም ጎኖች በ -1 እንከፍላለን, x 2 = 9 እናገኛለን. በቀኝ በኩል ነው አዎንታዊ ቁጥር, ከየትኛው መደምደሚያ ወይም . ከዚያም የመጨረሻውን መልስ እንጽፋለን-ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ -x 2 +9=0 ሁለት ስር x=3 ወይም x=-3 ነው.

ሀ x 2 +b x=0

ለ c=0 የመጨረሻው አይነት ያልተሟሉ ኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄን ለመቋቋም ይቀራል። ቅጽ a x 2 + b x = 0 ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች እንዲፈቱ ያስችልዎታል የማጠናከሪያ ዘዴ. በግልጽ ፣ እኛ እንችላለን ፣ በቀመርው በግራ በኩል ይገኛል ፣ ለዚህም ከቅንፍ ማውጣት በቂ ነው ። የጋራ ብዜት x. ይህ ከመጀመሪያው ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ወደ ቅጽ x·(a·x+b)=0 እኩል እኩል እንድንሄድ ያስችለናል። እና ይህ እኩልታ ከሁለት እኩልታዎች x=0 እና ax+b=0 ጋር እኩል ነው፣የኋለኛው ደግሞ መስመራዊ እና ስር x=-b/a አለው።

ስለዚህ፣ ያልተሟላ ባለአራት እኩልታ a·x 2 +b·x=0 ሁለት ስር x=0 እና x=-b/a አለው።

ቁሳቁሱን ለማጠናከር, መፍትሄውን ለአንድ የተወሰነ ምሳሌ እንመረምራለን.

ለምሳሌ.

እኩልታውን ይፍቱ.

መፍትሄ።

xን ከቅንፍ ማውጣት እኩልነትን ይሰጣል። ከሁለት እኩልታዎች x=0 እና ጋር እኩል ነው። ያገኘነውን መፍታት መስመራዊ እኩልታ:, እና ክፍፍሉን በማከናወን ላይ ድብልቅ ቁጥርላይ የጋራ ክፍልፋይ, እናገኛለን. ስለዚህ, የዋናው እኩልታ ሥሮች x=0 እና .

አስፈላጊውን ልምምድ ካገኘ በኋላ ለእንደዚህ ዓይነቶቹ እኩልታዎች መፍትሄዎች በአጭሩ ሊፃፉ ይችላሉ-

መልስ፡-

x=0 ፣

አድሎአዊ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት የስር ቀመር አለ። እንጽፈው የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር: , የት D=b 2 -4 ሀ- የሚባሉት የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ. መግቢያው በመሠረቱ ማለት ነው።

የስር ፎርሙላ እንዴት እንደተገኘ እና የኳድራቲክ እኩልታዎችን ለማግኘት እንዴት ጥቅም ላይ እንደሚውል ማወቅ ጠቃሚ ነው። ይህን እንወቅ።

የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር ማውጣት

ኳድራቲክ እኩልታ ax 2 +b·x+c=0 መፍታት ያስፈልገናል። አንዳንድ ተመጣጣኝ ለውጦችን እናድርግ፡-

የዚህን እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ሀ ልንከፍለው እንችላለን፣ በዚህም የሚከተለውን ባለአራት እኩልታ ያስገኛል።
አሁን እናደምቀው ፍጹም ካሬ በግራ በኩል፡. ከዚህ በኋላ, እኩልታው ቅጹን ይወስዳል.
በዚህ ደረጃ, የመጨረሻዎቹን ሁለት ቃላት በተቃራኒው ምልክት ወደ ቀኝ በኩል ማስተላለፍ ይቻላል, እኛ አለን.
እና ደግሞ በቀኝ በኩል ያለውን አገላለጽ እንለውጠው፡.

በውጤቱም፣ ከመጀመሪያው ባለአራት እኩልታ ax 2 +b·x+c=0 ጋር እኩል የሆነ እኩልታ ላይ ደርሰናል።

በቅርጽ ውስጥ ተመሳሳይ እኩልታዎችን አስቀድመን ፈትተናል ቀዳሚ አንቀጾችለይተው ሲወስዱት። ይህ እንዲያደርጉ ያስችልዎታል የሚከተሉት መደምደሚያዎችየእኩልታውን ሥሮች በተመለከተ፡-

ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታ የለውም ትክክለኛ መፍትሄዎች;
ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታው ቅርፅ አለው ፣ ስለሆነም ፣ ሥሩ ብቻ የሚታየው ፣
ከሆነ ፣ ከዚያ ወይም ፣ እሱ ከ ጋር ተመሳሳይ ነው ፣ ማለትም ፣ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት።

ስለዚህ, የእኩልታው ሥሮች መገኘት ወይም አለመገኘት, እና ስለዚህ ዋናው ኳድራቲክ እኩልታ, በቀኝ በኩል ባለው መግለጫ ምልክት ላይ ይወሰናል. በምላሹ, የዚህ አገላለጽ ምልክት የሚወሰነው በቁጥር ምልክት ነው, ምክንያቱም መለያው 4·a 2 ሁልጊዜ አዎንታዊ ነው, ማለትም, በ B 2 -4 · ac ምልክት. ይህ አገላለጽ b 2 -4 a c ተጠርቷል። የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎእና በደብዳቤው የተሰየመ ዲ. ከዚህ በመነሳት የአድሎአዊው ማንነት ግልፅ ነው - በዋጋው እና በምልክቱ ላይ በመመስረት ፣ ኳድራቲክ እኩልታ እንዳለው ይደመድማሉ ። እውነተኛ ሥሮች, እና ከሆነ, ቁጥራቸው ምንድን ነው - አንድ ወይም ሁለት.

ወደ ሒሳቡ እንመለስና አድሎአዊ መግለጫውን ተጠቅመን እንጽፈው፡. እና መደምደሚያዎችን እናቀርባለን-

ዲ ከሆነ<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
D = 0 ከሆነ, ይህ እኩልታ አንድ ሥር አለው;
በመጨረሻ ፣ D> 0 ከሆነ ፣ ከዚያ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት ወይም ፣ በቅጹ ሊፃፍ ወይም ፣ እና ክፍልፋዮቹን ካስፋፉ እና ከቀነሱ በኋላ ወደ የጋራእንቀበላለን.

ስለዚህ እኛ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ቀመሮችን አገኘን ፣ እነሱ ይመስላሉ ፣ አድልዎ D በቀመር D = b 2 -4 · ac ይሰላል።

በእነሱ እርዳታ ፣ በአዎንታዊ አድልዎ ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱንም እውነተኛ ሥሮች ማስላት ይችላሉ። አድሎአዊው ከዜሮ ጋር እኩል ሲሆን ሁለቱም ቀመሮች የስሩ ተመሳሳይ እሴት ይሰጣሉ, ይህም ለኳድራቲክ እኩልታ ልዩ መፍትሄ ጋር ይዛመዳል. እና መቼ አሉታዊ አድሎአዊየኳድራቲክ እኩልታ ስር ያለውን ቀመር ለመጠቀም ስንሞክር የማውጣቱ ሂደት ይገጥመናል። ካሬ ሥርከአሉታዊ ቁጥር, በላይ የሚወስደን እና የትምህርት ቤት ሥርዓተ-ትምህርት. ከአሉታዊ አድሎአዊ ጋር፣ ኳድራቲክ እኩልታ ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉትም፣ ግን ጥንድ አለው። ውስብስብ conjugateያገኘነውን ተመሳሳይ ሥር ቀመሮችን በመጠቀም ሊገኙ የሚችሉ ሥሮች.

የስር ቀመሮችን በመጠቀም ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም

በተግባር, ባለአራት እኩልታዎችን ሲፈቱ, እሴቶቻቸውን ለማስላት የስር ቀመሩን ወዲያውኑ መጠቀም ይችላሉ. ነገር ግን ይህ ውስብስብ ሥሮችን ከማግኘት ጋር የበለጠ የተያያዘ ነው.

ሆኖም ፣ በ የትምህርት ቤት ኮርስአልጀብራ አብዛኛውን ጊዜ እያወራን ያለነውስለ ውስብስብ ሳይሆን ስለ ኳድራቲክ እኩልታ እውነተኛ ሥሮች። በዚህ ሁኔታ ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ቀመሮችን ከመጠቀምዎ በፊት በመጀመሪያ አድልዎ መፈለግ ፣ አሉታዊ አለመሆኑን ያረጋግጡ (አለበለዚያ ፣ እኩልታው እውነተኛ ሥሮች የሉትም ብለን መደምደም እንችላለን) እና ከዚያ በኋላ ብቻ የሥሮቹን ዋጋዎች ያሰሉ.

ከላይ ያለው ምክንያት ለመጻፍ ያስችለናል የኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት ስልተ ቀመር. ባለአራት እኩልታ x 2 +b x+c=0 ለመፍታት የሚከተሉትን ማድረግ አለብዎት:

አድሏዊ ቀመር D=b 2 -4·a·c በመጠቀም እሴቱን አስላ።
አድሎአዊው አሉታዊ ከሆነ አራት ማዕዘን እኩልታ ትክክለኛ መሠረት የለውም ብሎ መደምደም;
D=0 ከሆነ ቀመሩን በመጠቀም የእኩልታውን ብቸኛ ስር አስላ።
አድልዎ አዎንታዊ ከሆነ የስር ቀመሩን በመጠቀም የኳድራቲክ እኩልታ ሁለት እውነተኛ ሥሮችን ያግኙ።

እዚህ እናስተውላለን አድልዎ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ፣ እርስዎም ቀመሩን መጠቀም ይችላሉ ፣ እሱ ተመሳሳይ እሴት ይሰጣል።

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝምን በመጠቀም ወደ ምሳሌዎች መሄድ ይችላሉ።

ባለአራት እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎች

ለሶስት ኳድራቲክ እኩልታዎች በአዎንታዊ ፣ አሉታዊ እና መፍትሄዎችን እናስብ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።አድሎአዊ. የእነሱን መፍትሄ ከተመለከትን ፣ በአመሳሳዩ ማንኛውንም ሌላ ባለአራት እኩልታ መፍታት ይቻላል። እንጀምር.

ለምሳሌ.

የእኩልታውን ሥሮች ይፈልጉ x 2 +2·x−6=0።

መፍትሄ።

በዚህ ሁኔታ፣ የኳድራቲክ እኩልታ የሚከተሉት ውህዶች አሉን፡ a=1፣ b=2 እና c=-6። በአልጎሪዝም መሠረት በመጀመሪያ አድልዎ ማስላት ያስፈልግዎታል ፣ ይህንን ለማድረግ ፣ የተጠቆሙትን a ፣ b እና c ወደ አድልዎ ቀመር እንተካለን ፣ እኛ አለን ። D=b 2 -4·ac=2 2 -4·1·(-6)=4+24=28. ከ 28> 0 ጀምሮ ፣ ማለትም ፣ አድልዎ ከዜሮ ይበልጣል ፣ ኳድራቲክ እኩልታ ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት። የስር ፎርሙላውን ተጠቅመን እናገኛቸዋለን፣ እናገኛቸዋለን፣ እዚህ ላይ በማድረግ የተገኙትን አባባሎች ቀለል ማድረግ ትችላለህ። ማባዣውን ከሥሩ ምልክት በላይ ማንቀሳቀስክፍልፋዮችን በመቀነስ ይከተላል-

መልስ፡-

ወደ ቀጣዩ የተለመደ ምሳሌ እንሂድ።

ለምሳሌ.

የኳድራቲክ እኩልታ -4 x 2 +28 x−49=0 ይፍቱ።

መፍትሄ።

አድሎአዊውን በማግኘት እንጀምራለን፡- D=28 2 -4 · (-4) · (-49)=784-784=0. ስለዚህ፣ ይህ ኳድራቲክ እኩልታ አንድ ሥር አለው፣ እሱም እንደ ሆነ እናገኛለን፣ ማለትም፣

መልስ፡-

x=3.5

ባለአራት እኩልታዎችን ከአሉታዊ አድልዎ ጋር መፍታትን ማጤን ይቀራል።

ለምሳሌ.

ቀመር 5·y 2 +6·y+2=0 ይፍቱ።

መፍትሄ።

የኳድራቲክ እኩልታ ቅንጅቶች እነሆ፡ a=5፣ b=6 እና c=2። እነዚህን እሴቶች ወደ አድሎአዊ ቀመር እንተካቸዋለን፣ አለን። D=b 2 -4·a·c=6 2 -4·5·2=36−40=-4. አድልዎ አሉታዊ ነው, ስለዚህ, ይህ quadratic equation ምንም እውነተኛ ሥሮች የለውም.

ማመልከት ካስፈለገዎት ውስብስብ ሥሮች, ከዚያም እንተገብራለን የታወቀ ቀመርየኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች፣ እና ያከናውኑ ጋር እርምጃዎች ውስብስብ ቁጥሮች :

መልስ፡-

ምንም እውነተኛ ሥሮች የሉም, ውስብስብ ሥሮች ናቸው:.

አንድ ጊዜ እንደገና እናስታውስ የኳድራቲክ እኩልታ አድልዎ አሉታዊ ከሆነ ፣ በትምህርት ቤት ውስጥ ብዙውን ጊዜ ወዲያውኑ ምንም እውነተኛ ሥሮች እንደሌሉ የሚያመለክቱበትን መልስ ይጽፋሉ ፣ እና ውስብስብ ሥሮች አልተገኙም።

የስር ፎርሙላ ለሁለተኛ መጠን እኩልነት

የኳድራቲክ እኩልታ ሥረ ቀመሮች፣ D=b 2 -4·a·c የበለጠ የታመቀ ፎርሙላ እንድታገኙ ይፈቅድልሃል፣ይህም ባለአራት እኩልታዎችን በእኩል መጠን ለ x (ወይም በቀላሉ በ ቅጽ 2 · n፣ ለምሳሌ፣ ወይም 14· ln5=2·7·ln5 ያለው መጠን)። እናውጣት።

የቅርጹን x 2 +2 n x+c=0 ኳድራቲክ እኩልታ መፍታት አለብን እንበል። የምናውቀውን ቀመር ተጠቅመን ሥሩን እንፈልግ። ይህንን ለማድረግ, አድልዎ እናሰላለን D=(2 n) 2 -4 a c=4 n 2 -4 a c=4 (n 2 -a c), እና ከዚያ የስር ቀመሩን እንጠቀማለን-

n 2 -a c የሚለውን አገላለጽ እንደ D 1 እንጥቀስ (አንዳንዴም D ") ይባላል። ከዚያም ከሁለተኛው Coefficient 2 n ጋር ግምት ውስጥ የሚገቡት የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር ቅጹን ይወስዳል። , በ D 1 = n 2 -a·c.

D=4·D 1፣ ወይም D 1 =D/4 ማየት ቀላል ነው። በሌላ አነጋገር፣ D 1 የአድሎው አራተኛው ክፍል ነው። የ D 1 ምልክት ከ D ምልክት ጋር አንድ አይነት መሆኑን ግልጽ ነው. ያም ማለት ምልክቱ D 1 የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች መኖር ወይም አለመገኘት አመላካች ነው።

ስለዚህ፣ ኳድራቲክ እኩልታን ከሁለተኛው Coefficient 2·n ጋር ለመፍታት ያስፈልግዎታል

አስላ D 1 = n 2 -ac · ac;
ዲ 1 ከሆነ<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
D 1 =0 ከሆነ ቀመሩን በመጠቀም የቀመርውን ብቸኛ ሥሩ አስሉ;
D 1>0 ከሆነ ቀመሩን በመጠቀም ሁለት እውነተኛ ሥሮችን ያግኙ።

በዚህ አንቀጽ ውስጥ የተገኘውን የስር ቀመር በመጠቀም ምሳሌውን ለመፍታት እናስብ።

ለምሳሌ.

የኳድራቲክ እኩልታ 5 x 2 -6 x -32=0 ን ፍታ።

መፍትሄ።

የዚህ እኩልታ ሁለተኛ እኩልነት እንደ 2· (-3) ሊወከል ይችላል። ማለትም ዋናውን ኳድራቲክ እኩልታ በቅጹ 5 x 2 +2 (-3) x−32=0፣ እዚህ a=5፣ n=-3 እና c=-32 እንደገና መፃፍ እና የአራተኛውን ክፍል አስላ። አድሎአዊ፡ D 1 = n 2 -ac·c=(-3) 2 -5·(-32)=9+160=169. እሴቱ አዎንታዊ ስለሆነ, እኩልታው ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት. ተገቢውን የስር ቀመር በመጠቀም እናገኛቸው፡-

ለኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች የተለመደው ቀመር መጠቀም ይቻል እንደነበር ልብ ይበሉ ፣ ግን በዚህ ሁኔታ ተጨማሪ የማስላት ስራዎች መከናወን አለባቸው ።

መልስ፡-

የኳድራቲክ እኩልታዎችን መልክ ማቃለል

አንዳንድ ጊዜ፣ ቀመሮችን በመጠቀም የኳድራቲክ እኩልታ ሥረቶችን ለማስላት ከመጀመራችን በፊት፣ “የዚህን እኩልታ መልክ ማቃለል ይቻላል?” የሚለውን ጥያቄ መጠየቅ አይጎዳም። ከስሌቶች አንጻር የኳድራቲክ እኩልታ 11 x 2 -4 x−6=0 ከ1100 x 2 -400 x−600=0 መፍታት ቀላል እንደሚሆን ይስማሙ።

በተለምዶ የኳድራቲክ እኩልታ ቅርፅን ማቃለል የሚገኘው ሁለቱንም ወገኖች በማባዛት ወይም በማካፈል ነው። ለምሳሌ በቀደመው አንቀፅ 1100 x 2 -400 x -600=0 ሁለቱን ወገኖች በ100 በማካፈል ሒሳቡን ማቃለል ተችሏል።

ተመሳሳይ ለውጥ የሚከናወነው በአራት እኩልታዎች ነው ፣ የእነሱ ጥምርታዎች አይደሉም። በዚህ ሁኔታ, አብዛኛውን ጊዜ ሁለቱንም የእኩልታ ጎኖች በ ፍጹም እሴቶችየእሱ ቅንጅቶች. ለምሳሌ፣ ኳድራቲክ እኩልታ 12 x 2 -42 x+48=0 እንውሰድ። የቁጥር ፍፁም እሴቶች፡ GCD(12፣ 42፣ 48)= GCD(GCD(12፣ 42)፣ 48)= GCD(6፣ 48)=6። የመጀመሪያውን ኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች በ 6 በማካፈል፣ ወደ ተመጣጣኝ ኳድራቲክ እኩልታ 2 x 2 -7 x+8=0 ደርሰናል።

እና የኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱንም ጎኖች ማባዛት ብዙውን ጊዜ የክፍልፋይ ቅንጅቶችን ለማስወገድ ይከናወናል። በዚህ ሁኔታ, ማባዛት የሚከናወነው በአካፋዎቹ ጠቋሚዎች ነው. ለምሳሌ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ሁለቱም ጎኖች በኤልሲኤም(6፣ 3፣ 1)=6 ቢባዙ፣ ከዚያም ቀላሉን x 2 +4·x−18=0 ይወስዳል።

በዚህ ነጥብ ማጠቃለያ፣ ሁልጊዜ ማለት ይቻላል የሁሉንም ቃላቶች ምልክቶች በመቀየር የኳድራቲክ እኩልታ ከፍተኛውን መጠን እንደሚያስወግዱ እናስተውላለን፣ ይህም ሁለቱንም ወገኖች በ-1 ማባዛት (ወይም መከፋፈል) ጋር ይዛመዳል። ለምሳሌ, ብዙውን ጊዜ አንድ ሰው ከ quadratic equation -2 x 2 -3 x+7=0 ወደ መፍትሄው 2 x 2 +3 x-7=0 ይንቀሳቀሳል.

የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች እና ጥምርታዎች ግንኙነት

የኳድራቲክ እኩልታ ሥረ ቀመሮች የእኩልታውን ሥረ-ሥሮች በቁጥር (coefficients) ይገልፃል። በስር ፎርሙላ ላይ በመመስረት, በስሮች እና በቁጥር መካከል ያሉ ሌሎች ግንኙነቶችን ማግኘት ይችላሉ.

ከቪዬታ ቲዎሬም በጣም የታወቁ እና ተግባራዊ ቀመሮች ቅጹ እና . በተለይም ለተሰጠው ኳድራቲክ እኩልታ, ሥሮቹ ድምር ከሁለተኛው ተቃራኒ ምልክት ጋር እኩል ነው, እና የሥሮቹ ምርት ከነፃ ቃል ጋር እኩል ነው. ለምሳሌ ፣ የኳድራቲክ እኩልታ 3 x 2 -7 x + 22 = 0 ቅርፅን በመመልከት ፣ ወዲያውኑ የሥሩ ድምር ከ 7/3 ጋር እኩል ነው ማለት እንችላለን ፣ እና የሥሩ ምርት ከ 22 ጋር እኩል ነው። /3.

ቀደም ሲል የተፃፉትን ቀመሮች በመጠቀም በኳድራቲክ እኩልታ ስሮች እና ቅንጅቶች መካከል ሌሎች በርካታ ግንኙነቶችን ማግኘት ይችላሉ። ለምሳሌ፣ የኳድራቲክ እኩልታ ስሮች የካሬዎችን ድምር በቁጥር መግለጽ ትችላለህ፡.

መጽሃፍ ቅዱስ።

አልጀብራ፡የመማሪያ መጽሐፍ ለ 8 ኛ ክፍል. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; የተስተካከለው በ ኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ. - 16 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2008. - 271 p. የታመመ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ 8ኛ ክፍል. በ 2 ፒ.ኤም ክፍል 1. የተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ የትምህርት ተቋማት/ A.G. Mordkovich. - 11 ኛ እትም, ተሰርዟል. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-01155-2.

Kopyevskaya የገጠር ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት

ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት 10 መንገዶች

ኃላፊ: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

የሂሳብ መምህር

መንደር ኮፔቮ ፣ 2007

1. የኳድራቲክ እኩልታዎች እድገት ታሪክ

1.1 ባለአራት እኩልታዎችበጥንቷ ባቢሎን

1.2 ዲዮፋንተስ እንዴት ባለአራት እኩልታዎችን እንዳቀናበረ እና እንደፈታ

1.3 ኳድራቲክ እኩልታዎች በህንድ

1.4 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአል-ኮሬዝሚ

1.5 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአውሮፓ XIII - XVII ክፍለ ዘመናት

1.6 ስለ ቪዬታ ቲዎሬም

2. ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች

ማጠቃለያ

ስነ-ጽሁፍ

1. የኳድራቲክ እኩልታዎች እድገት ታሪክ

1.1 ኳድራቲክ እኩልታዎች በጥንቷ ባቢሎን

በጥንት ጊዜ የአንደኛውን ብቻ ሳይሆን የሁለተኛ ዲግሪን እኩልታዎች የመፍታት አስፈላጊነት የተፈጠሩት አካባቢዎችን ከመፈለግ ጋር የተያያዙ ችግሮችን መፍታት አስፈላጊ ነበር. የመሬት መሬቶችእና ከወታደራዊ ተፈጥሮ የመሬት ስራዎች ጋር, እንዲሁም ከሥነ ፈለክ እና ከሂሳብ እድገት ጋር. ኳድራቲክ እኩልታዎች በ2000 ዓክልበ. አካባቢ ሊፈቱ ይችላሉ። ሠ. ባቢሎናውያን።

ዘመናዊውን የአልጀብራ አጻጻፍ በመጠቀም፣ በኪዩኒፎርም ጽሑፎቻቸው ውስጥ፣ ያልተሟሉ በተጨማሪ፣ ለምሳሌ፣ የተሟላ ባለአራት እኩልታዎች አሉ ማለት እንችላለን።

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

በባቢሎናውያን ጽሑፎች ውስጥ የተቀመጠውን እነዚህን እኩልታዎች የመፍታት ደንብ በመሠረቱ ከዘመናዊው ጋር ይጣጣማል, ነገር ግን ባቢሎናውያን ወደዚህ ደንብ እንዴት እንደደረሱ አይታወቅም. እስካሁን የተገኙት ሁሉም ማለት ይቻላል የኩኒፎርም ፅሁፎች በምግብ አሰራር መልክ የተቀመጡ መፍትሄዎችን ብቻ ነው የሚያቀርቡት ፣እንዴት እንደ ተገኘ ምንም ምልክት የለም።

ቢሆንም ከፍተኛ ደረጃበባቢሎን ውስጥ የአልጀብራ እድገት ፣ የኩኒፎርም ጽሑፎች የአሉታዊ ቁጥር ጽንሰ-ሀሳብ ይጎድላቸዋል እና አጠቃላይ ዘዴዎችኳድራቲክ እኩልታዎችን መፍታት.

1.2 ዲዮፋንተስ እንዴት ባለ አራት ማዕዘን እኩልታዎችን እንዳቀናበረ እና እንደፈታ።

የዲዮፓንተስ አርቲሜቲክ አልጀብራ ስልታዊ አቀራረብን አልያዘም ነገር ግን ስልታዊ ተከታታይ ችግሮችን ይዟል፣ ከማብራሪያ ጋር የታጀበ እና የተለያየ ዲግሪ እኩልታዎችን በመገንባት።

ዲያፎንተስ እኩልታዎችን በሚያቀናብርበት ጊዜ መፍትሄውን ለማቃለል ያልታወቁትን በብቃት ይመርጣል።

እዚህ, ለምሳሌ, የእሱ ተግባራት አንዱ ነው.

ችግር 11.ድምራቸው 20 እና ምርታቸው 96 መሆኑን በማወቅ ሁለት ቁጥሮችን ያግኙ።

ዳዮፓንተስ ምክንያቶች እንደሚከተለው ናቸው-ከችግሩ ሁኔታዎች ውስጥ የሚፈለጉት ቁጥሮች እኩል አይደሉም, ምክንያቱም እኩል ከሆኑ, ምርታቸው ከ 96 ጋር እኩል አይሆንም, ግን ወደ 100. ስለዚህም ከመካከላቸው አንዱ ይሆናል. ከግማሽ በላይየእነሱ መጠን, ማለትም. 10 + x, ሌላኛው ያነሰ ነው, ማለትም. 10 ዎቹ. በመካከላቸው ያለው ልዩነት 2x .

ስለዚህ እኩልታው፡-

(10 + x) (10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

ከዚህ x = 2. ከሚያስፈልጉት ቁጥሮች አንዱ እኩል ነው 12 , ሌላ 8 . መፍትሄ x = -2የግሪክ ሂሳብ አወንታዊ ቁጥሮችን ብቻ ስለሚያውቅ ዲዮፋንተስ የለምና።

ይህንን ችግር ለመፍታት ከሚያስፈልጉት ቁጥሮች ውስጥ አንዱን እንደ የማይታወቅ በመምረጥ ከፈታን ፣ ከዚያ ወደ እኩልታው መፍትሄ እንመጣለን ።

y (20 - y) = 96፣

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

ግልጽ ነው አስፈላጊ ቁጥሮች ግማሽ-ልዩነት እንደ የማይታወቅ በመምረጥ, Diophantus መፍትሔውን ቀላል ያደርገዋል; ያልተሟላ የኳድራቲክ እኩልታ (1) ለመፍታት ችግሩን ለመቀነስ ይቆጣጠራል.

1.3 ኳድራቲክ እኩልታዎች በህንድ

በአራት እኩልታዎች ላይ ያሉ ችግሮች በህንድ የሂሳብ ሊቅ እና የሥነ ፈለክ ተመራማሪ አርያብሃታ በ 499 በተዘጋጀው “Aryabhattiam” የስነ ፈለክ ጥናት ውስጥ ቀድሞውኑ ይገኛሉ። ሌላው የሕንድ ሳይንቲስት ብራህማጉፕታ (7ኛው ክፍለ ዘመን) ተዘርዝሯል። አጠቃላይ ደንብየኳድራቲክ እኩልታዎች መፍትሄዎች ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅፅ የተቀነሱ

አሀ 2 + ለ x = c፣ a > 0. (1)

በቀመር (1) ውስጥ፣ ቅንጅቶቹ፣ በስተቀር ሀ, እንዲሁም አሉታዊ ሊሆን ይችላል. የብራህማጉፕታ አገዛዝ ከኛ ጋር አንድ ነው።

ውስጥ ጥንታዊ ሕንድበመፍታት ረገድ ሕዝባዊ ውድድሮች የተለመዱ ነበሩ። አስቸጋሪ ስራዎች. ከጥንታዊ የህንድ መጽሃፎች አንዱ ስለ እንደዚህ ዓይነት ውድድሮች እንዲህ ይላል፡- “ፀሐይ ከዋክብትን በብሩህ እንደምትገለብጥ፣ እንዲሁ የተማረ ሰውየሌላውን ክብር ይጋርዳል የሰዎች ስብሰባዎች፣ የአልጀብራ ችግሮችን ሀሳብ ማቅረብ እና መፍታት። ብዙውን ጊዜ ችግሮች በግጥም መልክ ይቀርቡ ነበር.

ይህ በ 12 ኛው ክፍለ ዘመን ታዋቂው የህንድ የሂሳብ ሊቅ ችግሮች አንዱ ነው. ብሃስካርስ።

ችግር 13.

"የዝንጀሮዎች መንጋ፥ በወይኑም ዛፍ አጠገብ አሥራ ሁለት...

ባለሥልጣናቱ ምግብ ከበሉ በኋላ ተዝናኑ። መዝለል ጀመሩ፣ ተንጠልጥለው...

አደባባይ ላይ አሉ ክፍል ስምንት ስንት ዝንጀሮዎች ነበሩ?

በጽዳት ውስጥ እየተዝናናሁ ነበር. በዚህ ጥቅል ውስጥ ንገረኝ?

የብሃስካራ መፍትሔ የሚያመለክተው የኳድራቲክ እኩልታዎች ሥሮች ሁለት ዋጋ ያላቸው መሆናቸውን እንደሚያውቅ ነው (ምስል 3)።

ከችግር 13 ጋር የሚዛመደው ቀመር፡-

( x /8) 2 + 12 = x

ብሃስካራ በሽፋን እንዲህ ሲል ጽፏል።

x 2 - 64x = -768

እና ለማሟላት ግራ ጎንየዚህ እኩልታ ወደ ካሬው, በሁለቱም በኩል ይጨምራል 32 2 ከዚያም ማግኘት:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024፣

(x - 32) 2 = 256፣

x - 32 = ± 16፣

x 1 = 16፣ x 2 = 48

1.4 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአል - Khorezmi

በአል-ኮሬዝሚ የአልጀብራ ጽሑፍ ውስጥ የመስመር እና የኳድራቲክ እኩልታዎች ምደባ ተሰጥቷል። ደራሲው 6 አይነት እኩልታዎችን ይቆጥራል፣ እንደሚከተለው ይገልፃል።

1) "ካሬዎች ከሥሮች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም. መጥረቢያ 2 + c = ለ X.

2) "ካሬዎች ከቁጥሮች ጋር እኩል ናቸው", ማለትም. መጥረቢያ 2 = ሐ.

3) "ሥሮቹ ከቁጥሩ ጋር እኩል ናቸው," ማለትም. አህ = s.

4) "ካሬዎች እና ቁጥሮች ከሥሮች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም. መጥረቢያ 2 + c = ለ X.

5) "ካሬዎች እና ስሮች ከቁጥሮች ጋር እኩል ናቸው", ማለትም. አሀ 2 + bx = ሰ.

6) "ሥሮች እና ቁጥሮች ከካሬዎች ጋር እኩል ናቸው," ማለትም. bx + c = መጥረቢያ 2 .

ለአል-ኮሬዝሚ, ፍጆታን ለከለከለው አሉታዊ ቁጥሮች, የእያንዳንዳቸው እኩልታዎች ውሎች ተጨምረዋል እንጂ የሚቀነሱ አይደሉም። በዚህ ሁኔታ, እኩልታዎች የሌላቸው አዎንታዊ ውሳኔዎች. ደራሲው የአል-ጀብር እና የአል-ሙቃባላ ቴክኒኮችን በመጠቀም እነዚህን እኩልታዎች ለመፍታት ዘዴዎችን አስቀምጧል። የእሱ ውሳኔዎች ከኛ ጋር ሙሉ በሙሉ የሚስማሙ አይደሉም። እሱ ብቻ የንግግር ዘይቤ መሆኑን መጥቀስ ሳይሆን ፣ ለምሳሌ ፣ የመጀመሪያው ዓይነት ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ሲፈታ ልብ ሊባል ይገባል።

አል-ኮሬዝሚ, ልክ እንደ ሁሉም የሂሳብ ሊቃውንት እስከ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ድረስ, ግምት ውስጥ አያስገባም ዜሮ መፍትሄ, ምናልባት በተለየ ምክንያት ተግባራዊ ችግሮችምንም ችግር የለውም. ሙሉ ባለአራት እኩልታዎችን አል-Khorezmi በከፊል ሲፈታ የቁጥር ምሳሌዎችየመፍትሄውን ደንቦች እና ከዚያም የጂኦሜትሪክ ማረጋገጫዎችን ያስቀምጣል.

ችግር 14."ካሬው እና ቁጥር 21 ከ 10 ሥሮች ጋር እኩል ናቸው. ሥሩን ፈልግ" (የቀመር x 2 + 21 = 10x ሥርን በማመልከት)።

የጸሐፊው መፍትሔ የሚከተለውን ይመስላል፡ የሥሩን ቁጥር በግማሽ ይካፈሉ፡ 5 ያገኛሉ፡ 5 ያባዛሉ፡ ከምርቱ 21 ይቀንሱ፡ የቀረው 4፡ ሥሩን ከ 4 ይውሰዱ፡ 2 ያገኛሉ፡ 2 ከ 5 ይቀንሱ። , 3 ያገኙታል, ይህ የሚፈለገው ሥር ይሆናል. ወይም 2 ወደ 5 ጨምር, ይህም 7 ይሰጣል, ይህ ደግሞ ሥር ነው.

የኳድራቲክ እኩልታዎችን ስልታዊ በሆነ መንገድ የሚያስቀምጥ እና የመፍትሄ ቀመሮችን የሚሰጥ የአል-ኮሬዝሚ መጽሐፍ ወደ እኛ የመጣ የመጀመሪያው መጽሐፍ ነው።

1.5 ኳድራቲክ እኩልታዎች በአውሮፓ XIII - XVII ቢቢ

በአውሮፓ ውስጥ በአል-ክዋሪዝሚ መስመር ላይ አራት ማዕዘናዊ እኩልታዎችን ለመፍታት ቀመሮች ለመጀመሪያ ጊዜ የተቀመጡት በአባከስ መጽሃፍ ሲሆን በ1202 በጣሊያን የሂሳብ ሊቅ ሊዮናርዶ ፊቦናቺ ተፃፈ። የሒሳብ ተጽዕኖ የሚያንጸባርቅ ይህ voluminous ሥራ, ሁለቱም እስላማዊ አገሮች እና ጥንታዊ ግሪክ, በሁለቱም ሙሉነት እና የአቀራረብ ግልጽነት ተለይቷል. ደራሲው ራሱን ችሎ አንዳንድ አዲስ አዘጋጅቷል። የአልጀብራ ምሳሌዎችችግሮችን መፍታት እና በአውሮፓ ውስጥ አሉታዊ ቁጥሮችን በማስተዋወቅ የመጀመሪያው ነበር. የእሱ መጽሃፍ በጣሊያን ብቻ ሳይሆን በጀርመን, በፈረንሳይ እና በሌሎች የአውሮፓ ሀገራት የአልጀብራ እውቀት እንዲስፋፋ አስተዋጽኦ አድርጓል. ከአባከስ መጽሐፍ ብዙ ችግሮች ወደ ሁሉም ማለት ይቻላል ተላልፈዋል የአውሮፓ መማሪያ መጻሕፍት XVI - XVII ክፍለ ዘመናት እና በከፊል XVIII.

ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት አጠቃላይ ህግ ወደ አንድ ቀኖናዊ ቅፅ ቀንሷል፡

x 2 + bx = ሐ፣

ለሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ የቁጥር ምልክቶች ጥምረት ለ , ጋርበ 1544 በ M. Stiefel የተቀረጸው በአውሮፓ ውስጥ ብቻ ነው።

የኳድራቲክ እኩልታዎችን በጥቅሉ ለመፍታት የቀመርው አመጣጥ ከቪዬት ይገኛል፣ ነገር ግን ቪዬቴ አወንታዊ ሥሮችን ብቻ ያውቃል። ጣሊያናዊ የሂሳብ ሊቃውንት ታርታግሊያ, ካርዳኖ, ቦምቤሊ በ 16 ኛው ክፍለ ዘመን ከመጀመሪያዎቹ መካከል ነበሩ. እነሱ ግምት ውስጥ ያስገባሉ, ከአዎንታዊው በተጨማሪ, እና አሉታዊ ሥሮች. በ 17 ኛው ክፍለ ዘመን ብቻ. ለጊራርድ ፣ ዴካርት ፣ ኒውተን እና ሌሎች የሳይንስ ሊቃውንት ሥራ ምስጋና ይግባውና ኳድራቲክ እኩልታዎችን የመፍታት ዘዴ ዘመናዊ ቅርፅ አለው።

1.6 ስለ ቪዬታ ቲዎሬም

በ quadratic equation እና ሥሮቹ መካከል ያለውን ግንኙነት የሚገልጽ ጽንሰ ሐሳብ፣ በቪዬታ ስም የተሰየመው፣ ለመጀመሪያ ጊዜ በ1591 በርሱ የተቀመረው እንደሚከተለው ነው፡- “ከሆነ ለ + ዲ፣ ተባዝቶ ሀ - ሀ 2 ፣ እኩል ነው። BD፣ ያ ሀእኩል ነው። ውስጥእና እኩል ዲ ».

ቪዬታን ለመረዳት, ያንን ማስታወስ አለብን ሀልክ እንደ ማንኛውም አናባቢ ፊደል ያልታወቀ ማለት ነው (የእኛ X), አናባቢዎች ውስጥ፣ ዲ- ለማይታወቅ ውህዶች። በዘመናዊው አልጀብራ ቋንቋ፣ ከላይ ያለው የቪዬታ አጻጻፍ ማለት፡ ካለ ማለት ነው።

(a + ለ ) x - x 2 = ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ። ,

x 2 - (a + ለ ) x + ሀ ለ = 0,

x 1 = a, x 2 = ለ .

በእኩልታዎች ሥሮች እና ቅንጅቶች መካከል ያለውን ግንኙነት መግለጽ አጠቃላይ ቀመሮችምልክቶችን በመጠቀም የተፃፈ ፣ ቬትና እኩልነትን በመፍታት ዘዴዎች ውስጥ አንድ ወጥነት አቋቋመች። ይሁን እንጂ የቬትና ተምሳሌትነት አሁንም ሩቅ ነው ዘመናዊ መልክ. እሱ አሉታዊ ቁጥሮችን አላወቀም, እና ስለዚህ, እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ, ሁሉም ሥሮች አወንታዊ የሆኑትን ጉዳዮች ብቻ ግምት ውስጥ ያስገባ ነበር.

2. ኳድራቲክ እኩልታዎችን ለመፍታት ዘዴዎች

ኳድራቲክ እኩልታዎች የሚያርፉበት መሠረት ናቸው። ግርማ ሞገስ ያለው ሕንፃአልጀብራ ኳድራቲክ እኩልታዎች ትሪግኖሜትሪክ ፣ ገላጭ ፣ ሎጋሪዝም ፣ ምክንያታዊ ያልሆነ እና ከዘመን ተሻጋሪ እኩልታዎችን እና እኩልነትን ለመፍታት በሰፊው ጥቅም ላይ ይውላሉ። ከትምህርት ቤት (8ኛ ክፍል) እስከ ምረቃ ድረስ ባለአራት እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈታ ሁላችንም እናውቃለን።

የቪዲዮ አጋዥ ስልጠና 2፡ ኳድራቲክ እኩልታዎችን መፍታት

ትምህርት፡- ባለአራት እኩልታዎች

እኩልታው

እኩልታው- ይህ ተለዋዋጭ በሚኖርበት መግለጫዎች ውስጥ የእኩልነት አይነት ነው.

እኩልታውን ይፍቱ- ወደ ትክክለኛ እኩልነት የሚያመጣውን ከተለዋዋጭ ይልቅ ቁጥር መፈለግ ማለት ነው።

አንድ እኩልታ አንድ መፍትሄ ሊኖረው ይችላል ፣ ብዙ ፣ ወይም በጭራሽ።

ማንኛውንም እኩልታ ለመፍታት በተቻለ መጠን ወደ ቅጹ ማቅለል አለበት-

መስመራዊ፡ a*x = b;

ካሬ፡ a*x 2 + b*x + c = 0

ማለትም፣ ማንኛውም እኩልታዎች ከመፍታታቸው በፊት ወደ መደበኛ ቅፅ መቀየር አለባቸው።

ማንኛውም እኩልታ በሁለት መንገዶች ሊፈታ ይችላል-ትንታኔ እና ስዕላዊ.

በግራፉ ላይ, የእኩልታው መፍትሄ ግራፉ የ OX ዘንግ የሚያገናኝባቸው ነጥቦች እንደሆኑ ይቆጠራል.

ባለአራት እኩልታዎች

ሲቀልል ቅጹን ከወሰደ እኩልታ ኳድራቲክ ተብሎ ሊጠራ ይችላል፡-

a*x 2 + b*x + c = 0

በውስጡ a, b, cከዜሮ የሚለያዩ እኩልታዎች (coefficients) ናቸው። ሀ "X"- የእኩልታ ሥር። የኳድራቲክ እኩልታ ሁለት ሥሮች እንዳሉት ይታመናል ወይም ጨርሶ መፍትሄ ላይኖረው ይችላል. የተገኙት ሥሮች አንድ ዓይነት ሊሆኑ ይችላሉ.

"ሀ"- ከካሬው ሥር በፊት የሚቆመው ኮፊሸን።

"ለ"- በመጀመሪያ ዲግሪ በማይታወቅ ፊት ይቆማል.

"ጋር"የእኩልታው ነፃ ቃል ነው።

ለምሳሌ የቅጹ እኩልነት ካለን፡-

2x 2 -5x+3=0

በእሱ ውስጥ "2" የእኩልቱ መሪ ቃል ውህድ ነው, "-5" ሁለተኛው ኮፊሸን ነው, እና "3" ነፃ ቃል ነው.

ባለአራት እኩልታ በመፍታት ላይ

አለ። ትልቅ ልዩነትየኳድራቲክ እኩልታን ለመፍታት መንገዶች። ነገር ግን፣ በት/ቤት የሂሳብ ትምህርት፣ መፍትሄው የቪዬታ ቲዎረምን በመጠቀም፣ እንዲሁም አድሎአዊን በመጠቀም ያጠናል።

አድሏዊ መፍትሄ፡-

ጋር ሲፈታ ይህ ዘዴቀመሩን በመጠቀም አድልዎ ማስላት አስፈላጊ ነው-

በስሌቶችዎ ወቅት አድልዎ ከዜሮ ያነሰ መሆኑን ካወቁ ይህ ማለት ይህ እኩልታ ምንም መፍትሄዎች የለውም ማለት ነው.

አድሏዊው ዜሮ ከሆነ፣ እኩልታው ሁለት አለው። ተመሳሳይ መፍትሄዎች. በዚህ ሁኔታ ፖሊኖሚሉ በአህጽሮት የማባዛት ቀመር በመጠቀም ወደ ድምር ወይም ልዩነት ካሬ ሊፈርስ ይችላል። ከዚያ እንደ መስመራዊ እኩልታ ይፍቱት። ወይም ቀመሩን ይጠቀሙ፡-

አድልዎ ከዜሮ በላይ ከሆነ የሚከተለውን ዘዴ መጠቀም አለብዎት።

የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብ

ስሌቱ ከተሰጠ ፣ ማለትም ፣ የመሪ ቃል ቅንጅት ከአንድ ጋር እኩል ነው ፣ ከዚያ መጠቀም ይችላሉ። የቪዬታ ጽንሰ-ሐሳብ.

ስለዚህ ሒሳቡ የሚከተለው ነው ብለን እናስብ፡-

የእኩልታው ሥሮች እንደሚከተለው ይገኛሉ።

ያልተጠናቀቀ ኳድራቲክ እኩልታ

ያልተሟላ ኳድራቲክ እኩልታ ለማግኘት ብዙ አማራጮች አሉ, ቅጹ የሚወሰነው በቁጥር (coefficients) መገኘት ላይ ነው.

1. የሁለተኛው እና ሦስተኛው ውህዶች ዜሮ ከሆኑ (b = 0, c = 0)፣ ከዚያ የኳድራቲክ እኩልታ የሚከተለውን ይመስላል

ይህ እኩልታ ይኖረዋል ውሳኔ ብቻ. እኩልነቱ እውነት የሚሆነው የእኩልታው መፍትሄ ዜሮ ከሆነ ብቻ ነው።

የቅጹ እኩልነት

አገላለጽ ዲ= ለ 2 - 4 ኤሲተብሎ ይጠራል አድሎአዊኳድራቲክ እኩልታ. ከሆነዲ = 0, ከዚያም እኩልታው አንድ እውነተኛ ሥር አለው; ዲ ከሆነ> 0፣ ከዚያ እኩልታው ሁለት እውነተኛ ሥሮች አሉት።
ምናልባት ዲ = 0 ፣ አንዳንድ ጊዜ ኳድራቲክ እኩልታ ሁለት ተመሳሳይ ሥሮች አሉት ይባላል።
ማስታወሻውን በመጠቀም ዲ= ለ 2 - 4 ኤሲፎርሙላ (2) በቅጹ ላይ እንደገና መፃፍ እንችላለን

ከሆነ ለ= 2kከዚያም ቀመር (2) ቅጹን ይወስዳል፡-

የት ክ= ለ / 2 .
የኋለኛው ፎርሙላ በተለይ በ ጉዳዮች ላይ በጣም ምቹ ነው ለ / 2 - ኢንቲጀር፣ ማለትም ቅንጅት ለ - ሙሉ ቁጥር.
ምሳሌ 1፡እኩልታውን ይፍቱ 2 x 2 - 5 x + 2 = 0 . እዚህ a = 2, b = -5, c = 2. እና አለነ ዲ= ለ 2 - 4 ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . ምክንያቱም ዲ > 0 , ከዚያም እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት. ቀመር (2) በመጠቀም እናገኛቸው።

ስለዚህ x 1 = (5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
ያውና x 1 = 2 እና x 2 = 1 / 2 - ሥሮች ለ የተሰጠው እኩልታ.
ምሳሌ 2፡እኩልታውን ይፍቱ 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 . እዚህ a = 2, b = -3, c = 5. አድሎአዊውን ማግኘት ዲ= ለ 2 - 4 ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . ምክንያቱም ዲ 0 , ከዚያ እኩልታው ትክክለኛ ሥሮች የሉትም.

ያልተሟሉ ባለአራት እኩልታዎች። በኳድራቲክ እኩልታ ውስጥ ከሆነ መጥረቢያ 2 + bx+ሐ =0 ሁለተኛ መጠን ለወይም ነጻ አባል ሐከዜሮ ጋር እኩል ነው, ከዚያም የኳድራቲክ እኩልታ ይባላል ያልተሟላ. ያልተሟሉ እኩልታዎችየተገለሉ ናቸው ምክንያቱም ሥሮቻቸውን ለማግኘት የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ቀመር መጠቀም አያስፈልገዎትም - በግራ ጎኑ ላይ በማነፃፀር እኩልታውን መፍታት ቀላል ነው።
ምሳሌ 1፡እኩልታውን መፍታት 2 x 2 - 5 x = 0 .
እና አለነ x(2 x - 5) = 0 . ስለዚህ ወይ x = 0 , ወይም 2 x - 5 = 0 , ያውና x = 2.5 . ስለዚህ ቀመር ሁለት ሥሮች አሉት. 0 እና 2.5
ምሳሌ 2፡እኩልታውን መፍታት 3 x 2 - 27 = 0 .
እና አለነ 3 x 2 = 27 . ስለዚህ, የዚህ እኩልታ መነሻዎች ናቸው 3 እና -3 .