ምክንያታዊ ክፍልፋዮች እና ክዋኔዎች በእነሱ ላይ። የምክንያታዊ (አልጀብራ) ክፍልፋዮች ለውጥ ፣ የለውጥ ዓይነቶች ፣ ምሳሌዎች

በአንዳንድ ትርጓሜዎች እንጀምር። ፖሊኖሚል nthዲግሪ (ወይም nth ቅደም ተከተል) የቅጹን መግለጫ $P_n(x)=\sum\limits_(i=0)^(n)a_(i) x^(n-i)=a_(0) x^() እንለዋለን። n) +a_(1) x^(n-1)+a_(2) x^(n-2)+\ldots+a_(n-1) x+a_n$። ለምሳሌ $4x^(14)+87x^2+4x-11$ የሚለው አገላለጽ ፖሊኖሚል ሲሆን ዲግሪው $14$ ነው። እንደሚከተለው ሊገለጽ ይችላል፡- $P_(14)(x)=4x^(14)+87x^2+4x-11$።

የሁለት ፖሊኖሚሎች $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ ጥምርታ ይባላል። ምክንያታዊ ተግባርወይም ምክንያታዊ ክፍልፋይ. የበለጠ ትክክለኛ ለመሆን ይህ ነው። ምክንያታዊ ተግባርአንድ ተለዋዋጭ (ማለትም ተለዋዋጭ $ x$).

ምክንያታዊ ክፍልፋይተብሎ ይጠራል ትክክል, $n ከሆነ< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, ያነሰ ዲግሪበዲኖሚነተር ውስጥ ፖሊኖሚል. ውስጥ አለበለዚያ($n ≥ m$ ከሆነ) ክፍልፋዩ ይባላል ስህተት.

ምሳሌ ቁጥር 1

ከሚከተሉት ውስጥ የትኞቹ ክፍልፋዮች ምክንያታዊ እንደሆኑ ያመልክቱ። ክፍልፋዩ ምክንያታዊ ከሆነ፣ ትክክል መሆኑን ወይም አለመሆኑን ይወቁ።

$\frac(3x^2+5\sin x-4)(2x+5)$;
$\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$;
$\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4) (3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$;
$\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$።

1) ይህ ክፍልፋይ $\ sin x$ ስላለው ምክንያታዊ አይደለም። ምክንያታዊ ክፍልፋይ ይህንን አይፈቅድም።

2) የሁለት ፖሊኖሚሎች ጥምርታ አለን፡ $5x^2+3x-8$ እና $11x^9+25x^2-4$። ስለዚህ በትርጉሙ መሰረት $\frac(5x^2+3x-8)(11x^9+25x^2-4)$ የሚለው አገላለጽ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ነው። በአሃዛዊው ውስጥ ያለው የፖሊኖሚል ደረጃ ከ $ 2 ዶላር ጋር እኩል ስለሆነ እና በዲግሪው ውስጥ ያለው የፖሊኖሚል መጠን ከ $ 9 ዶላር ጋር እኩል ነው ፣ ከዚያ ክፍልፋይ የተሰጠትክክል ነው (ምክንያቱም $2)< 9$).

3) የዚህ ክፍልፋይ አሃዛዊ እና ተከፋይ ሁለቱም ፖሊኖማሎች (የተመሰረቱ) ይይዛሉ። አሃዛዊው እና አሃዛዊው ፖሊኖሚሎች በምን አይነት መልኩ እንደሚቀርቡ ለኛ ምንም ለውጥ አያመጣም: በፋክተሬትስ ይሁኑ ወይም አይደሉም. የሁለት ፖሊኖሚሎች ጥምርታ ስላለን፣ እንደ ትርጉሙ $\frac((2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x) ^6+9x ^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1))$ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ነው።

የተወሰነ ክፍልፋይ ትክክለኛ ስለመሆኑ ጥያቄን ለመመለስ አንድ ሰው በቁጥር እና በቁጥር ውስጥ ያሉትን የፖሊኖሚሎች ስልጣኖች መወሰን አለበት. በአሃዛዊው እንጀምር, ማለትም. $(2x^3+8x+4)(8x^4+5x^3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3)$ ከሚለው አገላለጽ። የዚህን ፖሊኖሚል ደረጃ ለመወሰን, በእርግጥ, ቅንፎችን መክፈት ይችላሉ. ነገር ግን፣ በምክንያታዊነት መተግበር በጣም ቀላል ነው፣ ምክንያቱም እኛ ፍላጎት ስላለን ብቻ ነው። ከፍተኛ ዲግሪተለዋዋጭ $ x$. ከእያንዳንዱ ቅንፍ ተለዋዋጭውን $ x$ ወደ ትልቁ ዲግሪ እንመርጣለን. ከቅንፉ $(2x^3+8x+4)$ $ x^3$ እንወስዳለን፣ ከቅንፉ $(8x^4+5x^3+x+9)^9$ $(x^4) እንወስዳለን ^9=x ^(4\cdot9)=x^(36)$፣ እና ከቅንፉ $(5x^7+x^6+9x^5+3)$ $x^7$ን እንመርጣለን። ከዚያ፣ ቅንፍቹን ከከፈቱ በኋላ፣ የተለዋዋጭ $x$ ትልቁ ኃይል እንደዚህ ይሆናል።

$$ x^3\cdot x^(36)\cdot x^7=x^(3+36+7)=x^(46)። $$

በቁጥር ውስጥ የሚገኘው የፖሊኖሚል ደረጃ $46$ ነው። አሁን ወደ መለያው እንሸጋገር፣ i.e. $(5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^(10)+9x-1)$ ለሚለው አገላለጽ። የዚህ ፖሊኖሚል ደረጃ ልክ እንደ አሃዛዊው በተመሳሳይ መንገድ ይወሰናል, ማለትም.

$$ x\cdot (x^2)^(15)\cdot x^(10)=x^(1+30+10)=x^(41)። $$

መለያው የዲግሪ 41 ፖሊኖሚል ይዟል። በቁጥር (ማለትም 46) ውስጥ ያለው የፖሊኖሚል ደረጃ በዲግሪ (ማለትም 41) ውስጥ ካለው የፖሊኖሚል ደረጃ ያነሰ አይደለም, ከዚያም ምክንያታዊ ክፍልፋይ $ \ frac ((2x ^ 3 + 8x + 4) (8x) ነው. ^4+5x^ 3+x+145)^9(5x^7+x^6+9x^5+3))((5x+4)(3x^2+9)^(15)(15x^( 10)+9x- 1))$ የተሳሳተ ነው።

4) የክፍልፋይ $\frac(3)((5x^6+4x+19)^4)$ ቁጥር $3$ ይይዛል፣ ማለትም። ፖሊኖሚል ዜሮ ዲግሪ. በመደበኛነት፣ አሃዛዊው እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡- $3x^0=3\cdot1=3$። በተከፋፈለው ውስጥ ዲግሪው ከ$6\cdot 4=24$ ጋር እኩል የሆነ ፖሊኖሚል አለን። የሁለት ፖሊኖሚሎች ጥምርታ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ነው። ከ$0 ጀምሮ< 24$, то данная дробь является правильной.

መልስ: 1) ክፍልፋዩ ምክንያታዊ አይደለም; 2) ምክንያታዊ ክፍልፋይ (ትክክለኛ); 3) ምክንያታዊ ክፍልፋይ (መደበኛ ያልሆነ); 4) ምክንያታዊ ክፍልፋይ (ትክክለኛ)።

አሁን ወደ አንደኛ ደረጃ ክፍልፋዮች ጽንሰ-ሀሳብ እንሂድ (እነሱም በጣም ቀላል ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ይባላሉ)። አራት ዓይነት አንደኛ ደረጃ ምክንያታዊ ክፍልፋዮች አሉ፡-

$\frac(A)(x-a)$;
$\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4፣\ldots$);
$\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q)< 0$);
$\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

ማስታወሻ (የጽሑፉን የበለጠ ለመረዳት የሚፈለግ)፡ አሳይ\ደብቅ

የ$p^2-4q ሁኔታ ለምን ያስፈልጋል?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим ኳድራቲክ እኩልታ$x^2+px+q=0$። የዚህ እኩልታ አድልዎ $D=p^2-4q$ ነው። በመሠረቱ፣ ሁኔታው $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет እውነተኛ ሥሮች. እነዚያ። $x^2+px+q$ የሚለው አገላለጽ ሊባዛ አይችልም። እኛን የሚስበው ይህ የማይበሰብስ ነው.

ለምሳሌ $x^2+5x+10$ ለሚለው አገላለጽ፡$p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$ እናገኛለን። ከ$p^2-4q=-15 ጀምሮ< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

በነገራችን ላይ ለዚህ ቼክ ከ$x^2$ በፊት ያለው ኮፊሸን ከ 1 ጋር እኩል መሆን በፍፁም አስፈላጊ አይደለም።ለምሳሌ በ$5x^2+7x-3=0$ የምናገኘው፡$D=7^ 2-4\cdot 5 \cdot (-3)=109 ዶላር። ከ$D > 0$ ጀምሮ፣ $5x^2+7x-3$ የሚለው አገላለጽ ሊባዛ የሚችል ነው።

ተግባሩ እንደሚከተለው ነው- ተሰጥቷል ትክክልምክንያታዊ ክፍልፋይን እንደ የአንደኛ ደረጃ ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ድምር ይወክላል። በዚህ ገጽ ላይ የቀረበው ጽሑፍ ይህንን ችግር ለመፍታት ያተኮረ ነው. በመጀመሪያ ማጠናቀቅዎን ማረጋገጥ ያስፈልግዎታል ቀጣይ ሁኔታበትክክለኛው ምክንያታዊ ክፍልፋይ ውስጥ ያለው ፖሊኖሚል በፋይበር የተከፋፈለው ይህ ማስፋፊያ የ$(x-a)^n$ ወይም $(x^2+px+q)^n$ ($p) ቅንፎችን ብቻ እንዲይዝ ነው። ^2-4q< 0$).Грубо говоря, это требование означает необходимость максимального разложения многочлена в знаменателе, т.е. чтобы дальнейшее разложение было невозможно. Только если это условие выполнено, то можно применять такую схему:

እያንዳንዱ የቅጽ $(x-a)$ በቅንፍ ውስጥ የሚገኘው ከ$\frac(A)(x-a)$ ክፍልፋይ ጋር ይዛመዳል።
እያንዳንዱ የቅጽ $(x-a)^n$ ($n=2,3,4፣\ldots$) በተካፋዩ ውስጥ የሚገኘው ከ$n$ ክፍልፋዮች ድምር ጋር ይዛመዳል፡ $\frac(A_1)(x-a)+ \frac(A_2)((x-a)^2)+\frac(A_3)((x-a)^3)+\ldots+\frac(A_n)((x-a)^n)$።
እያንዳንዱ የቅጹ ቅንፍ $(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$), расположенной в знаменателе, соответствует дробь $\frac{Cx+D}{x^2+px+q}$.
እያንዳንዱ የቅጹ ቅንፍ $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$), расположенной в знаменателе, соответствует сумма из $n$ дробей: $\frac{C_1x+D_1}{x^2+px+q}+\frac{C_2x+D_2}{(x^2+px+q)^2}+\frac{C_3x+D_3}{(x^2+px+q)^3}+\ldots+\frac{C_nx+D_n}{(x^2+px+q)^n}$.

ክፍልፋዩ ትክክል ካልሆነ, ከላይ ያለውን እቅድ ከመተግበሩ በፊት, ወደ ኢንቲጀር ክፍል (polynomial) ድምር እና ትክክለኛው ምክንያታዊ ክፍልፋይ መከፋፈል አለብዎት. ይህ በትክክል እንዴት እንደሚሰራ እንመለከታለን (ምሳሌ ቁጥር 2, ነጥብ 3 ይመልከቱ). ስለ ፊደሎች ስያሜዎች በቁጥር ቆጣሪዎች (ማለትም $A$፣$A_1$፣$C_2$ እና የመሳሰሉት) ጥቂት ቃላት። ለፍላጎትዎ ማንኛውንም ፊደላት መጠቀም ይችላሉ. እነዚህ ደብዳቤዎች መሆን ብቻ አስፈላጊ ነው የተለያዩበሁሉም የመጀመሪያ ደረጃ ክፍልፋዮች. የእነዚህን መመዘኛዎች ዋጋዎች ለማግኘት, ዘዴውን ይጠቀሙ እርግጠኛ ያልሆኑ ቅንጅቶችወይም ከፊል እሴቶችን የመተካት ዘዴ (ምሳሌ ቁጥር 3, ቁጥር 4 እና ቁጥር 5 ይመልከቱ).

ምሳሌ ቁጥር 2

የተሰጡትን ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ወደ አንደኛ ደረጃ (መለኪያዎችን ሳያገኙ) መበስበስ።

$\frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5) $;
$\frac(x^2+10)((x-2)^3(x^3-8)(3x+5)(3x^2-x-10))$;
$\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$።

1) ምክንያታዊ ክፍልፋይ አለን። የዚህ ክፍልፋይ አሃዛዊ የዲግሪ 4 ፖሊኖሚል ይዟል, እና መለያው ፖሊኖሚል ይዟል, ዲግሪው ከ $ 17 ዶላር ጋር እኩል ነው (ይህን ዲግሪ እንዴት እንደሚወሰን በአንቀጽ ቁጥር 3 ለምሳሌ ቁጥር 1 በዝርዝር ተብራርቷል). በቁጥር ውስጥ ያለው የፖሊኖሚል ደረጃ በዲግሪው ውስጥ ካለው ፖሊኖሚል ዲግሪ ያነሰ ስለሆነ ይህ ክፍልፋይ ትክክለኛ ነው. ወደዚህ ክፍልፋይ መለያ እንሸጋገር። በቅንፍዎቹ $(x-5)$ እና $(x+2)^4$ እንጀምር፣ እነዚህም ሙሉ በሙሉ በ$(x-a)^n$ ስር ይወድቃሉ። በተጨማሪም፣ ቅንፎችም $(x^2+3x+10)$ እና $(x^2+11)^5$ አሉ። $(x^2+3x+10)$ የሚለው አገላለጽ $(x^2+px+q)^n$ አለው፣በየትም $p=3$; $q=10$፣$n=1$። ከ$p^2-4q=9-40=-31 ጀምሮ< 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Обратимся ко второй скобке, т.е. $(x^2+11)^5$. Это тоже скобка вида $(x^2+px+q)^n$, но на сей раз $p=0$, $q=11$, $n=5$. Так как $p^2-4q=0-121=-121 < 0$, то данную скобку больше нельзя разложить на множители. Итак, мы имеем የሚቀጥለው ውጤት: በዲኖሚነተሩ ውስጥ ያለው ፖሊኖሚል ፋክተር የተደረገው ይህ ፋክተርራይዜሽን የ$(x-a)^n$ ወይም $(x^2+px+q)^n$ ($p^2-4q) ቅንፎችን ብቻ እንዲይዝ ነው።< 0$). Теперь можно переходить и к элементарным дробям. Мы будем применять правила , изложенные выше. Согласно правилу скобке $(x-5)$ будет соответствовать дробь $\frac{A}{x-5}$. Это можно записать так:

$$ \frac(5x^4-10x^3+x^2-9)((x-5)(x+2)^4 (x^2+3x+10)(x^2+11)^5 )=\frac(A)(x-5)+\ldots $$

ውጤቱ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል-

$$ 3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22=(x^3-2x^2+4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22 . $$

ከዚያም ክፍልፋይ $\frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ በሌላ መልኩ ሊወከል ይችላል።

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\frac((x^3-2x^2) +4x-8)(3x^2+x)+4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=\\ =\frac((x^3-2x^2+) 4x-8)(3x^2+x))(x^3-2x^2+4x-8)+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8) =\\ =3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)። $$

ክፍልፋይ $\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)$ ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ነው፣ ምክንያቱም በቁጥር (ማለትም 2) ውስጥ ያለው የፖሊኖሚል ደረጃ ከ ያነሰ ነው በዲቪዲው ውስጥ ያለው የፖሊኖሚል ደረጃ (ማለትም 3). አሁን የዚህን ክፍልፋይ መለያ ቁጥር እንመልከት። መለያው መፈጠር ያለበት ፖሊኖሚል ይዟል። አንዳንድ ጊዜ የሆርነር እቅድ ለፋሚካላይዜሽን ጠቃሚ ነው ፣ ግን በእኛ ሁኔታ መደበኛውን “ትምህርት ቤት” ቃላትን የመቧደን ዘዴን ማግኘት ቀላል ነው-

$$ x^3-2x^2+4x-8=x^2\cdot(x-2)+4\cdot(x-2)=(x-2)\cdot(x^2+4);\ \ 3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(4x^2+x+22)((x) -2) \cdot(x^2+4)) $$

በ ውስጥ ተመሳሳይ ዘዴዎችን በመጠቀም ቀዳሚ አንቀጾችእኛ እናገኛለን:

$$ \frac(4x^2+x+22)((x-2)\cdot(x^2+4))=\frac(A)(x-2)+\frac(Cx+D)(x ^2+4) $$

ስለዚህ, በመጨረሻ እኛ አለን:

$$ \frac(3x^5-5x^4+10x^3-16x^2-7x+22)(x^3-2x^2+4x-8)=3x^2+x+\frac(A)( x-2)+\frac(Cx+D)(x^2+4)$$

ይህ ርዕስ በሁለተኛው ክፍል ውስጥ ይቀጥላል.

ማንኛውም ክፍልፋይ አገላለጽ (አንቀጽ 48) በቅጹ ሊጻፍ ይችላል፣ P እና Q ምክንያታዊ መግለጫዎች ሲሆኑ Q የግድ ተለዋዋጮችን ይይዛል። እንዲህ ዓይነቱ ክፍልፋይ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ይባላል.

ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ምሳሌዎች

የአንድ ክፍልፋይ ዋና ንብረት እዚህ ባለው ሁኔታ ፍትሃዊ በሆነ ማንነት ይገለጻል - አጠቃላይ ምክንያታዊ መግለጫ። ይህ ማለት ምክንያታዊ ክፍልፋይ አሃዛዊ እና አካፋይ በተመሳሳይ ዜሮ ባልሆነ ቁጥር ሊባዛ ወይም ሊከፋፈል ይችላል።

ለምሳሌ፣ የአንድ ክፍልፋይ ንብረት የአንድ ክፍልፋይ አባላትን ምልክቶች ለመቀየር ሊያገለግል ይችላል። የአንድ ክፍልፋይ አሃዛዊ እና አካፋይ በ -1 ከተባዙ እናገኛለን ስለዚህ የቁጥር እና መለያ ምልክቶች በተመሳሳይ ጊዜ ከተቀየሩ የክፍልፋዩ ዋጋ አይቀየርም። የቁጥር ቆጣሪውን ብቻ ወይም መለያውን ብቻ ከቀየሩ ክፍልፋዩ ምልክቱን ይቀይረዋል፡-

ለምሳሌ,

60. ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን መቀነስ.

ክፍልፋይን መቀነስ ማለት የክፍሉን አሃዛዊ እና ተከፋይ በጋራ ፋክተር መከፋፈል ማለት ነው። እንዲህ ዓይነቱን የመቀነስ እድል በክፍልፋዩ መሰረታዊ ንብረት ምክንያት ነው.

ምክንያታዊ ክፍልፋይን ለመቀነስ፣ አሃዛዊውን እና አካፋውን ማካካስ ያስፈልግዎታል። አሃዛዊው እና መለያው የተለመዱ ምክንያቶች ካላቸው, ክፍልፋዩ ሊቀንስ ይችላል. የተለመዱ ምክንያቶች ከሌሉ, ከዚያም ክፍልፋይን በመቀነስ መለወጥ የማይቻል ነው.

ለምሳሌ. ክፍልፋይ ይቀንሱ

መፍትሄ። እና አለነ

የአንድ ክፍልፋይ መቀነስ የሚከናወነው በሁኔታው ውስጥ ነው.

61. ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ወደ አንድ የጋራ መለያ መቀነስ።

የበርካታ ምክንያታዊ ክፍልፋዮች የጋራ መለያው በእያንዳንዱ ክፍልፋይ መለያ የተከፋፈለ አጠቃላይ ምክንያታዊ መግለጫ ነው (አንቀጽ 54 ይመልከቱ)።

ለምሳሌ የክፍልፋዮች የጋራ መለያየት ብዙ ቁጥር ነው ምክንያቱም በሁለቱም እና በፖሊኖሚል እና ፖሊኖሚል እና ፖሊኖሚል ፣ ወዘተ. ብዙውን ጊዜ እንደዚህ ያለ የጋራ መለያን ይወስዳሉ ይህም ሌላ ማንኛውም የጋራ መለያ በ Echosen ይከፈላል ። እንደዚህ በጣም ቀላሉ መለያአንዳንድ ጊዜ ዝቅተኛው የጋራ መለያ ይባላል።

ከላይ በተገለጸው ምሳሌ፣ የጋራ መለያው እኛ አለን ማለት ነው።

የተሰጡ ክፍልፋዮችን በመቀነስ ላይ የጋራየመጀመርያውን ክፍልፋይ አሃዛዊ እና ተከፋይ በ 2 በማባዛት የተገኘ ሲሆን የሁለተኛው ክፍልፋይ አሃዛዊ እና ተከፋይ በፖሊኖሚል ለአንደኛ እና ሁለተኛ ክፍልፋዮች በቅደም ተከተል ተጨማሪ ምክንያቶች ይባላሉ። ለተጠቀሰው ክፍልፋይ ተጨማሪው ምክንያት የጋራ መለያው በተሰጠው ክፍልፋይ ተከፋፍሏል.

በርካታ ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ወደ አንድ የጋራ መለያ ለመቀነስ፣ ያስፈልግዎታል፡-

1) የእያንዳንዱ ክፍልፋይ መለያ;

2) በደረጃ 1 የተገኙትን ሁሉንም ምክንያቶች በማካተት አንድ የጋራ መለያ መፍጠር; አንድ የተወሰነ ሁኔታ በብዙ መስፋፋቶች ውስጥ ካለ ፣ ከዚያ ከሚገኙት ትልቁ ጋር እኩል በሆነ አርቢ ይወሰዳል ።

3) ለእያንዳንዱ ክፍልፋዮች ተጨማሪ ምክንያቶችን ይፈልጉ (ለዚህም የጋራ መለያው በክፍልፋይ ተከፍሏል);

4) የእያንዳንዱን ክፍልፋይ አሃዛዊ እና መለያ ቁጥርን በተጨማሪነት በማባዛት ክፍልፋዩን ወደ አንድ የጋራ መለያ ያቅርቡ።

ለምሳሌ. አንድ ክፍልፋይ ወደ አንድ የጋራ መለያ ይቀንሱ

መፍትሄ። ተከፋፋዮቹን እንከፋፍላቸው፡-

የሚከተሉት ምክንያቶች በጋራ መለያው ውስጥ መካተት አለባቸው፡ እና የቁጥሮች 12፣ 18፣ 24 አነስተኛ የጋራ ብዜት፣ ማለትም ይህ ማለት የጋራ መለያው ቅጹ አለው ማለት ነው

ተጨማሪ ምክንያቶች፡ ለመጀመሪያው ክፍልፋይ ለሁለተኛው ለሦስተኛው.ስለዚህ እኛ እናገኛለን፡-

62. ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን መጨመር እና መቀነስ.

የሁለት ድምር (እና በአጠቃላይ ማንኛውም የመጨረሻ ቁጥር) ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ጋር ተመሳሳይ መለያዎችከተመሳሳይ አካፋይ እና አሃዛዊ ክፍልፋይ ጋር በተመሳሳይ መልኩ እኩል ነው፣ መጠን ጋር እኩልየተጨመሩ ክፍልፋዮች ቁጥሮች

ክፍልፋዮችን በሚመስሉ ክፍሎች የመቀነስ ሁኔታ ሁኔታው ተመሳሳይ ነው፡-

ምሳሌ 1፡ አገላለጽ ቀለል አድርግ

መፍትሄ።

ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ለመጨመር ወይም ለመቀነስ የተለያዩ መለያዎችበመጀመሪያ ክፍልፋዮቹን ወደ አንድ የጋራ አካፋይ መቀነስ እና ከዚያ በተፈጠሩት ክፍልፋዮች ላይ ከተመሳሳዩ ክፍሎች ጋር ክዋኔዎችን ማከናወን አለብዎት።

ምሳሌ 2፡ አገላለጽ ቀለል አድርግ

መፍትሄ። እና አለነ

63. ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ማባዛትና ማከፋፈል.

የሁለት (እና በአጠቃላይ ማንኛውም የተወሰነ ቁጥር) ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ምርት ከቁጥሩ ክፍልፋይ ጋር እኩል ነው። ከምርቱ ጋር እኩል ነው።አሃዛዊ እና መለያው - የተባዙ ክፍልፋዮች መለያዎች ውጤት;

ሁለት ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን የማካፈል ሒሳቡ በተመሳሳይ መልኩ አሃዛዊው የአንደኛ ክፍልፋይ እና የሁለተኛው ክፍልፋይ መለያ ውጤት ከሆነው ክፍልፋይ ጋር እኩል ነው ። የሁለተኛው ክፍልፋይ አሃዛዊ፡-

የተቀረጹት የማባዛት እና የማካፈል ሕጎች በብዙ ቁጥር የማባዛት ወይም የመከፋፈል ጉዳይ ላይም ተፈጻሚ ይሆናሉ፡ ይህንን ብዙ ቁጥር በክፍልፋይ መልክ ከ 1 መለያ ጋር መፃፍ በቂ ነው።

ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን በማባዛት ወይም በመከፋፈል የተገኘውን ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን የመቀነስ እድልን ከግምት ውስጥ በማስገባት እነዚህን ክንውኖች ከማድረጋቸው በፊት አብዛኛውን ጊዜ የመጀመሪያውን ክፍልፋዮችን ቁጥሮችን እና መለያዎችን ለማካተት ይጥራሉ ።

ምሳሌ 1፡ ማባዛትን አከናውን።

መፍትሄ። እና አለነ

ክፍልፋዮችን ለማባዛት ደንቡን በመጠቀም፣ የሚከተሉትን እናገኛለን፡-

ምሳሌ 2፡ መከፋፈልን ያከናውኑ

መፍትሄ። እና አለነ

የመከፋፈል ደንቡን በመጠቀም የሚከተሉትን እናገኛለን

64. ምክንያታዊ ክፍልፋይን ወደ ሙሉ ኃይል ማሳደግ.

ምክንያታዊ ክፍልፋይ ለማሳደግ - ወደ የተፈጥሮ ዲግሪ, የክፍልፋይን አሃዛዊ እና መለያ ወደዚህ ኃይል በተናጠል ማሳደግ ያስፈልግዎታል; የመጀመሪያው አገላለጽ አሃዛዊ ነው, እና ሁለተኛው አገላለጽ የውጤቱ መለያ ነው.

ምሳሌ 1፡ ወደ ኃይል ክፍልፋይ ቀይር 3.

መፍትሔ መፍትሔ.

አንድ ክፍልፋይ ወደ ሙሉ ቁጥር ሲጨምር አሉታዊ ዲግሪለሁሉም የተለዋዋጮች እሴቶች የሚሰራ ማንነት ጥቅም ላይ ይውላል።

ምሳሌ 2፡ አገላለጽ ወደ ክፍልፋይ ቀይር

65. ምክንያታዊ መግለጫዎችን መለወጥ.

የትኛውንም ምክንያታዊ አገላለጽ መለወጥ ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን በመጨመር፣ በመቀነስ፣ በማባዛት እና በማካፈል እንዲሁም ክፍልፋይን ወደ ተፈጥሯዊ ኃይል ከፍ ለማድረግ ይወርዳል። ማንኛውም ምክንያታዊ አገላለጽ ወደ ክፍልፋይ ሊለወጥ ይችላል፣ አሃዛዊው እና አካፋቸው ሙሉ በሙሉ ምክንያታዊ መግለጫዎች ናቸው። ይህ እንደ አንድ ደንብ የማንነት ለውጦች ግብ ነው ምክንያታዊ መግለጫዎች.

ለምሳሌ. አገላለጽ ቀለል ያድርጉት

66. በጣም ቀላሉ የአርቲሜቲክ ስሮች (ራዲካልስ) ለውጦች.

አርቲሜቲክ ኮሪያን በሚቀይሩበት ጊዜ ንብረታቸው ጥቅም ላይ ይውላል (አንቀጽ 35 ይመልከቱ)።

ንብረቶችን ስለመጠቀም ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት አርቲሜቲክ ሥሮችለአክራሪዎች በጣም ቀላል ለውጦች. በዚህ ሁኔታ, ሁሉንም ተለዋዋጮች አሉታዊ ያልሆኑ እሴቶችን ብቻ እንዲወስዱ እንመለከታለን.

ምሳሌ 1. የምርት ሥሩን ማውጣት

መፍትሄ። የ1° ንብረቱን በመተግበር፣ እናገኛለን፡-

ምሳሌ 2. ማባዣውን ከስር ምልክት ስር ያስወግዱ

መፍትሄ።

ይህ ለውጥ ነገሩን ከሥሩ ምልክት ስር ማስወገድ ይባላል። የለውጡ አላማ አክራሪ አገላለፅን ማቃለል ነው።

ምሳሌ 3፡ ቀለል አድርግ።

መፍትሄ። በ 3 ° ንብረት አለን ። ብዙውን ጊዜ አክራሪ አገላለጽ ለማቃለል ይሞክራሉ ፣ ለዚህም ምክንያቱን ከኮሪየም ምልክት ያወጡታል። እና አለነ

ምሳሌ 4፡ ማቅለል።

መፍትሄ። በስሩ ምልክት ስር አንድ ምክንያት በማስተዋወቅ አገላለጹን እንለውጠው፡ በንብረት 4° አለን።

ምሳሌ 5፡ ማቅለል።

መፍትሄ። በ 5 ° ንብረት, የስርወ-ቃሉን እና የአክራሪ መግለጫውን ገላጭ ወደ ተመሳሳይ ነገር የመከፋፈል መብት አለን. የተፈጥሮ ቁጥር. ከግምት ውስጥ ባለው ምሳሌ ውስጥ የተጠቆሙትን አመላካቾች በ 3 ብንከፍል ፣ እናገኛለን።

ምሳሌ 6. አባባሎችን ቀለል አድርግ፡-

መፍትሄ, ሀ) በንብረት 1 ° ተመሳሳይ ዲግሪ ሥሮችን ለማባዛት, ራዲካል አገላለጾችን ማባዛት እና ከተገኘው ውጤት ተመሳሳይ ዲግሪን ማውጣት በቂ ነው. ማለት፣

ለ) በመጀመሪያ ደረጃ, ራዲካልስን ወደ አንድ ጠቋሚ መቀነስ አለብን. በ 5 ° ንብረቱ መሰረት, የስርወ-ቃሉን እና የአክራሪ አገላለጽ ገላጭን በተመሳሳይ የተፈጥሮ ቁጥር ማባዛት እንችላለን. ስለዚህ, በመቀጠል, አሁን የተገኘው ውጤት የስርወቹን ገላጭ እና የአክራሪ አገላለጽ ደረጃን በ 3 የሚከፍል ሲሆን, እናገኛለን.

ከአልጀብራ ኮርስ የትምህርት ቤት ሥርዓተ-ትምህርትወደ ዝርዝር ጉዳዮች እንውረድ። በዚህ ጽሑፍ ውስጥ በዝርዝር እናጠናለን ልዩ ዓይነትምክንያታዊ መግለጫዎች- ምክንያታዊ ክፍልፋዮችእንዲሁም ምን ዓይነት ባህሪ እንደሚመሳሰል አስቡበት ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ልወጣዎችይከናወናል.

ወዲያውኑ እናስተውል ምክንያታዊ ክፍልፋዮች በአንዳንድ የአልጀብራ የመማሪያ መጽሐፍት ውስጥ አልጀብራ ክፍልፋዮች ይባላሉ። ያም ማለት በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ምክንያታዊ እና አልጀብራ ክፍልፋዮችን እንደ አንድ አይነት እንረዳለን.

እንደተለመደው በትርጉም እና በምሳሌዎች እንጀምር። በመቀጠል ምክንያታዊ ክፍልፋይን ወደ አዲስ መለያ ስለማመጣት እና የክፍልፋይ አባላትን ምልክቶች ስለመቀየር እንነጋገራለን. ከዚህ በኋላ ክፍልፋዮችን እንዴት እንደሚቀንስ እንመለከታለን. በመጨረሻም፣ ምክንያታዊ ክፍልፋይን እንደ ብዙ ክፍልፋዮች ድምር መወከልን እንመልከት። ሁሉንም መረጃዎች በምሳሌዎች እናቀርባለን። ዝርዝር መግለጫዎችውሳኔዎች.

የገጽ አሰሳ።

የምክንያታዊ ክፍልፋዮች ፍቺ እና ምሳሌዎች

ምክንያታዊ ክፍልፋዮች በ 8 ኛ ክፍል የአልጀብራ ትምህርቶች ይማራሉ ። በአልጀብራ የመማሪያ መጽሐፍ ለ 8ኛ ክፍል በዩ.ኤን. ማካሪቼቭ እና ሌሎች የተሰጠውን ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ፍቺ እንጠቀማለን።

ውስጥ ይህ ትርጉምበምክንያታዊ ክፍልፋይ አሃዛዊ እና ተከፋይ ውስጥ ያሉት ፖሊኖሚሎች ፖሊኖሚሎች መሆን አለባቸው አልተገለጸም መደበኛ እይታኦር ኖት. ስለዚህ፣ የምክንያታዊ ክፍልፋዮች ማስታወሻዎች ሁለቱንም መደበኛ እና መደበኛ ያልሆኑ ፖሊኖሚሎችን ሊይዙ እንደሚችሉ እንገምታለን።

ጥቂቶቹ እነሆ ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ምሳሌዎች. ስለዚህ, x/8 እና - ምክንያታዊ ክፍልፋዮች. እና ክፍልፋዮች እና ከተጠቀሰው ምክንያታዊ ክፍልፋይ ጋር አይጣጣሙም ምክንያቱም በመጀመሪያዎቹ ውስጥ አሃዛዊው ብዙ ቁጥር የለውም, እና በሁለተኛው ውስጥ, አሃዛዊው እና መለያው ፖሊኖሚል ያልሆኑ መግለጫዎችን ይይዛሉ.

ምክንያታዊ ክፍልፋይን አሃዛዊ እና አካፋይ በመቀየር ላይ

የማንኛውም ክፍልፋይ አሃዛዊ እና አካፋይ እራሳቸውን የቻሉ ናቸው። የሂሳብ መግለጫዎች, ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን በተመለከተ, እነዚህ ብዙ ቁጥር ያላቸው ናቸው, በተለየ ሁኔታ, ሞኖሚሎች እና ቁጥሮች. ስለዚህ፣ እንደ ማንኛውም አገላለጽ፣ ምክንያታዊ ክፍልፋይ በቁጥር እና በተከፋፈለ ተመሳሳይ ለውጦች ሊደረጉ ይችላሉ። በሌላ አገላለጽ፣ በምክንያታዊ ክፍልፋይ አሃዛዊ አገላለጽ ውስጥ ያለው አገላለጽ ልክ እንደ መለያው በተመሳሳይ እኩል በሆነ አገላለጽ ሊተካ ይችላል።

በምክንያታዊ ክፍልፋይ አሃዛዊ እና ተከፋይ ውስጥ ተመሳሳይ ለውጦችን ማድረግ ይችላሉ። ለምሳሌ ፣ በቁጥር ቆጣሪው ውስጥ መቧደን እና መቀነስ ይችላሉ። ተመሳሳይ ቃላት, እና በተከፋፈለው ውስጥ, የበርካታ ቁጥሮችን ምርት በእሴቱ ይተኩ. እና የምክንያታዊ ክፍልፋይ አሃዛዊ እና ተከሳሽ ፖሊኖሚሎች ስለሆኑ ከእነሱ ጋር የ polynomials ባህሪን መለወጥ ለምሳሌ በምርት መልክ ወደ መደበኛ ቅፅ ወይም ውክልና መቀነስ ይቻላል ።

ግልጽ ለማድረግ፣ ለብዙ ምሳሌዎች መፍትሄዎችን እንመልከት።

ለምሳሌ.

ምክንያታዊ ክፍልፋይ ቀይር ስለዚህ አሃዛዊው የመደበኛ ፎርም ፖሊኖሚል ይይዛል, እና መለያው የብዙዎችን ምርት ይይዛል.

መፍትሄ።

ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ወደ አዲስ አካፋይ መቀነስ በዋናነት ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ለመጨመር እና ለመቀነስ ያገለግላል።

ከክፍልፋዮች ፊት ለፊት፣ እንዲሁም በቁጥር መለያው እና በተከፋፈለው ውስጥ ምልክቶችን መለወጥ

የአንድ ክፍልፋይ ዋና ንብረት የአንድ ክፍልፋይ አባላትን ምልክቶች ለመለወጥ ሊያገለግል ይችላል። በእርግጥ፣ ምክንያታዊ ክፍልፋይን አሃዛዊ እና አካፋይ በ -1 ማባዛት ምልክቶቻቸውን ከመቀየር ጋር እኩል ነው፣ ውጤቱም ከተጠቀሰው ጋር እኩል የሆነ ክፍልፋይ ነው። ይህ ለውጥ ከምክንያታዊ ክፍልፋዮች ጋር ሲሰራ ብዙ ጊዜ ጥቅም ላይ መዋል አለበት።

ስለዚህ፣ የክፍልፋይን አሃዛዊ እና ተከፋይ ምልክቶች በአንድ ጊዜ ከቀየሩ፣ ከመጀመሪያው ጋር እኩል የሆነ ክፍልፋይ ያገኛሉ። ይህ አባባል በእኩልነት የተመለሰ ነው።

አንድ ምሳሌ እንስጥ። ምክንያታዊ ክፍልፋይ በተመሳሳይ እኩል ክፍልፋይ ሊተካ የሚችለው በቅጹ አሃዛዊ እና አካፋይ ምልክቶች ነው።

ክፍልፋዮችን በመጠቀም አንድ ተጨማሪ ነገር ማድረግ ይችላሉ፡- የማንነት ለውጥ, በየትኛው የቁጥር ወይም የቁጥር ምልክት የሚቀየርበት. ተጓዳኝ ህግን እንግለጽ. የክፍልፋይ ምልክትን በአሃዛዊው ወይም በተከፋፈለው ምልክት ከተካው፣ ከዋናው ጋር እኩል የሆነ ክፍልፋይ ታገኛለህ። የጽሑፍ መግለጫው ከእኩልነት እና እኩልነት ጋር ይዛመዳል።

እነዚህን እኩልነቶች ማረጋገጥ አስቸጋሪ አይደለም. ማረጋገጫው በቁጥር ማባዛት ባህሪያት ላይ የተመሰረተ ነው. የመጀመርያውን እናረጋግጥ፡. ተመሳሳይ ለውጦችን በመጠቀም, እኩልነት ይረጋገጣል.

ለምሳሌ, ክፍልፋይ በአገላለጽ ወይም.

ይህንን ነጥብ ለማጠቃለል, ሁለት ተጨማሪ ጠቃሚ እኩልነቶችን እናቀርባለን. ይህም ማለት የቁጥር ቆጣሪውን ብቻ ወይም መለያውን ብቻ ከቀየሩ ክፍልፋዩ ምልክቱን ይለውጠዋል። ለምሳሌ, እና .

የክፍልፋይ ውሎችን ምልክት ለመለወጥ የሚያስችሉ የታሰቡ ለውጦች፣ ክፍልፋይ ምክንያታዊ መግለጫዎችን በሚቀይሩበት ጊዜ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላሉ።

ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን መቀነስ

የሚከተለው የምክንያታዊ ክፍልፋዮች ለውጥ፣ ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን መቀነስ ተብሎ የሚጠራው በአንድ ክፍልፋይ መሰረታዊ ንብረት ላይ የተመሰረተ ነው። ይህ ለውጥ ከእኩልነት ጋር ይዛመዳል፣ ሀ፣ b እና c አንዳንድ ብዙ ቁጥር ያላቸው፣ እና b እና c ዜሮ ያልሆኑበት።

ከላይ ከተጠቀሰው እኩልነት መረዳት እንደሚቻለው ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን መቀነስ ማስወገድን ያመለክታል የጋራ ብዜትበቁጥር እና በቁጥር.

ለምሳሌ.

ምክንያታዊ ክፍልፋይ ሰርዝ።

መፍትሄ።

የተለመደው ሁኔታ 2 ወዲያውኑ ይታያል, በእሱ ቅነሳን እናከናውን (በመጻፍ ጊዜ, የሚቀነሱትን የተለመዱ ምክንያቶች ለመሻገር አመቺ ነው). እና አለነ . ከ x 2 = x x እና y 7 =y 3 y 4 ጀምሮ (አስፈላጊ ከሆነ ይመልከቱ) x የውጤቱ ክፍልፋይ አሃዛዊ እና ተከፋይ የጋራ ምክንያት እንደሆነ ግልጽ ነው y 3። በነዚህ ምክንያቶች እንቀንስ፡- . ይህ ቅነሳውን ያጠናቅቃል.

ከላይ በቅደም ተከተል ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን መቀነስ አደረግን. ወይም ቅነሳውን በአንድ ደረጃ ማከናወን ይቻል ነበር, ወዲያውኑ ክፍልፋዩን በ 2 x y 3 ይቀንሳል. በዚህ ሁኔታ, መፍትሄው እንደሚከተለው ይሆናል. .

መልስ፡-

ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን በሚቀንሱበት ጊዜ ዋናው ችግር የቁጥር እና የቁጥር መለያው ሁልጊዜ የማይታይ መሆኑ ነው። ከዚህም በላይ ሁልጊዜም አይኖርም. አንድ የጋራ ፋክተር ለማግኘት ወይም አለመኖሩን ለማረጋገጥ፣ ምክንያታዊ ክፍልፋይን አሃዛዊ እና አካፋይ ማመጣጠን ያስፈልግዎታል። ምንም የተለመደ ነገር ከሌለ, ዋናው ምክንያታዊ ክፍልፋይ መቀነስ አያስፈልገውም, አለበለዚያ ግን መቀነስ ይከናወናል.

ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን በመቀነስ ሂደት ውስጥ የተለያዩ ልዩነቶች ሊፈጠሩ ይችላሉ። ዋናዎቹ ስውር ዘዴዎች ምሳሌዎችን እና ዝርዝርን በመጠቀም የአልጀብራ ክፍልፋዮችን በመቀነስ በአንቀጹ ውስጥ ተብራርተዋል።

ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ስለመቀነስ ውይይቱን ስንጨርስ ይህ ለውጥ ተመሳሳይ መሆኑን እና በአፈፃፀሙ ውስጥ ያለው ዋነኛው ችግር በቁጥር እና በተከፋፈለው ውስጥ ፖሊኖሚሎችን በማካተት ላይ መሆኑን እናስተውላለን።

ምክንያታዊ ክፍልፋይ እንደ ክፍልፋዮች ድምር ውክልና

በጣም የተወሰነ፣ ነገር ግን በአንዳንድ ሁኔታዎች በጣም ጠቃሚ፣ የምክንያታዊ ክፍልፋይ ለውጥ ነው፣ እሱም በውክልና ውስጥ የበርካታ ክፍልፋዮች ድምር፣ ወይም የአንድ ሙሉ መግለጫ እና ክፍልፋይ።

ምክንያታዊ ክፍልፋይ፣ የቁጥር አሃዛዊው የበርካታ monomials ድምርን የሚወክል ፖሊኖሚል ያለው፣ ሁልጊዜም እንደ ክፍልፋዮች ድምር ሊፃፍ የሚችለው ተመሳሳይ ተከሳሾች ያሉት ሲሆን የነሱም ቁጥሮች ተጓዳኝ monomials ይይዛሉ። ለምሳሌ, . ይህ ውክልና የተገለፀው የአልጀብራ ክፍልፋዮችን በሚመስሉ ክፍሎች የመደመር እና የመቀነስ ደንብ ነው።

በአጠቃላይ፣ ማንኛውም ምክንያታዊ ክፍልፋይ እንደ ክፍልፋዮች ድምር በስብስብ ሊወከል ይችላል። በተለያዩ መንገዶች. ለምሳሌ፣ ክፍልፋይ a/b እንደ ሁለት ክፍልፋዮች ድምር ሊወከል ይችላል - የዘፈቀደ ክፍልፋይ c/d እና ክፍልፋዮች a/b እና c/d መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው። እኩልነት ስለሚኖር ይህ አባባል እውነት ነው። . ለምሳሌ፣ ምክንያታዊ ክፍልፋይ እንደ ክፍልፋዮች ድምር ሊወከል ይችላል። የተለያዩ መንገዶች: ዋናው ክፍልፋይ እንደ ኢንቲጀር አገላለጽ ድምር እና ክፍልፋይ እናስብ። አሃዛዊውን በዲኖሚተር ከአምድ ጋር በማካፈል, እኩልነትን እናገኛለን . ለማንኛውም ኢንቲጀር n n 3 +4 የሚለው አገላለጽ ዋጋ ኢንቲጀር ነው። እና የአንድ ክፍልፋይ ዋጋ ኢንቲጀር ሲሆን መለያው 1፣ -1፣ 3፣ ወይም -3 ከሆነ ብቻ ነው። እነዚህ እሴቶች በቅደም ተከተል n=3፣ n=1፣ n=5 እና n=-1 ካሉት እሴቶች ጋር ይዛመዳሉ።

መልስ፡-

−1 , 1 , 3 , 5 .

መጽሃፍ ቅዱስ።

አልጀብራ፡የመማሪያ መጽሐፍ ለ 8 ኛ ክፍል. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; የተስተካከለው በ ኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ. - 16 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2008. - 271 p. የታመመ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ 7 ኛ ክፍል. በ 2 ፒ.ኤም ክፍል 1. የተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ የትምህርት ተቋማት/ A.G. Mordkovich. - 13 ኛ እትም ፣ ራእ. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 pp.: የታመመ. ISBN 978-5-346-01198-9.
ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ 8ኛ ክፍል. በ 2 ሰዓታት ውስጥ ክፍል 1. ለአጠቃላይ የትምህርት ተቋማት ተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ / A.G. Mordkovich. - 11 ኛ እትም, ተሰርዟል. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V.A.፣ Mordkovich A.G.ሒሳብ (የቴክኒክ ትምህርት ቤቶች ለሚገቡ ሰዎች መመሪያ): Proc. አበል.- M.; ከፍ ያለ ትምህርት ቤት, 1984.-351 p., የታመመ.

ፍቺከተወሰነ የቁጥር ጥምርታ ጋር የተወሰደው ያልታወቀ X የኢንቲጀር አሉታዊ ያልሆኑ ኃይሎች ድምር ፖሊኖሚል ይባላል።

እዚህ፡ - እውነተኛ ቁጥሮች.

n- የፖሊኖሚል ደረጃ.

በፖሊኖሚሎች ላይ ያሉ ክዋኔዎች.

1) ሁለት ፖሊኖሚሎችን ሲጨምሩ (ሲቀንሱ) ፣ ቅንጅቶቹ ይጨመራሉ (ተቀነሱ) እኩል ዲግሪዎችያልታወቀ x.

2) ሁለት ፖሊኖሚሎች አንድ አይነት ዲግሪ እና ተመሳሳይ የ X ሃይሎች እኩል መጠን ካላቸው እኩል ናቸው።

3) ሁለት ፖሊኖሚሎችን በማባዛት የተገኘ የፖሊኖሚል ደረጃ ከተባዛው የዲግሪዎች ድምር ጋር እኩል ነው.

4) በፖሊኖሚሎች ላይ ያሉ የመስመራዊ ክዋኔዎች የመተሳሰሪያነት፣ የመለዋወጥ እና የመከፋፈል ባህሪያት አሏቸው።

5) ፖሊኖሚል በፖሊኖሚል መከፋፈል "በማዕዘን መከፋፈል" የሚለውን ደንብ በመጠቀም ሊከናወን ይችላል.

ፍቺ ቁጥር x=a የብዙ ቁጥር ሥሩ ተብሎ የሚጠራው በፖሊኖሚል መተካቱ ወደ ዜሮ ከለወጠው፣ ማለትም።

የቤዙት ቲዎሪ። ፖሊኖሚል ቀሪ
በሁለትዮሽ (x-a) በ x=a ላይ ካለው የፖሊኖሚል እሴት ጋር እኩል ነው, ማለትም.

ማረጋገጫ።

የት ቦታ ይሁን

x=aን በእኩልነት በማስቀመጥ እናገኛለን

1) ፖሊኖሚል በሁለትዮሽ (x-a) ሲከፋፈሉ, ቀሪው ሁልጊዜ ቁጥር ይሆናል.

2) a የብዙ ቁጥር ሥር ከሆነ፣ ፖሊኖሚሉ ያለቀሪ በሁለትዮሽ (x-a) ይከፈላል ማለት ነው።

3) የዲግሪ n ፖሊኖሚል በቢኖሚል (x-a) ስንካፈል የዲግሪ ፖሊኖሚል (n-1) እናገኛለን።

የአልጀብራ መሠረታዊ ቲዎሬም።ማንኛውም የዲግሪ ፖሊኖሚልn (n>1) ቢያንስ አንድ ሥር አለው።(ያለ ማስረጃ የቀረበ)።

መዘዝ።ማንኛውም የዲግሪ ፖሊኖሚል n በትክክል አለው። n ስሮች እና ውስብስብ ቁጥሮች መስክ ላይ ወደ ምርት መበስበስ ነው n መስመራዊ ምክንያቶች፣ ማለትም. ከፖሊኖሚል ሥሮች መካከል ተደጋጋሚ ቁጥሮች (በርካታ ሥሮች) ሊኖሩ ይችላሉ. እውነተኛ ውህዶች ላላቸው ፖሊኖሚሎች ፣ ውስብስብ ሥሮች ሊታዩ የሚችሉት በተጣመሩ ጥንዶች ብቻ ነው። የመጨረሻውን መግለጫ እናረጋግጥ.

ፍቀድ
- ውስብስብ ሥርፖሊኖሚል ፣ ከዚያ ላይ የተመሠረተ አጠቃላይ ንብረትስለዚህ ውስብስብ ቁጥሮች ሊገለጹ ይችላሉ
- እንዲሁም ሥር.

የፖሊኖሚል እያንዳንዱ ጥንድ ውስብስብ conjugate ስሮች ከትክክለኛ ኮፊሸንስ ጋር ከካሬ ሶስትዮሽ ጋር ይዛመዳሉ።

እዚህ ገጽ, ቅ- እውነተኛ ቁጥሮች (ምሳሌ አሳይ)።

መደምደሚያ.እንደ የመስመራዊ ምክንያቶች ውጤት እና የካሬ ትሪኖሚሎች ከእውነተኛ ቅንጅቶች ጋር ማንኛውንም ፖሊኖሚል ልንወክል እንችላለን።

ምክንያታዊ ክፍልፋዮች.

ምክንያታዊ ክፍልፋይ የሁለት ፖሊኖሚሎች ጥምርታ ነው።

ከሆነ
, ከዚያም ምክንያታዊ ክፍልፋይ በትክክል ይባላል. አለበለዚያ ክፍልፋዩ የተሳሳተ ነው. ማንኛውም ተገቢ ያልሆነ ክፍልፋይ በቁጥር ውስጥ ያለውን ፖሊኖሚል በቁጥር ውስጥ በመከፋፈል እንደ ፖሊኖሚል (ጥቅል) ድምር እና ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ሊወከል ይችላል።

- ተገቢ ያልሆነ ምክንያታዊ ክፍልፋይ.

ይህ ተገቢ ያልሆነ ምክንያታዊ ክፍልፋይ አሁን በሚከተለው ቅጽ ሊወከል ይችላል።

የሚታየውን ግምት ውስጥ በማስገባት ለወደፊቱ ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋዮችን ብቻ እንመለከታለን.

ቀላል ምክንያታዊ ክፍልፋዮች የሚባሉት አሉ - እነዚህ በምንም መልኩ ሊቀልሉ የማይችሉ ክፍልፋዮች ናቸው። እነዚህ በጣም ቀላል ክፍልፋዮች ይመስላሉ፡-

ይበልጥ ውስብስብ የሆነ ትክክለኛ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ሁልጊዜም እንደ ቀላሉ ምክንያታዊ ክፍልፋዮች ድምር ሊወከል ይችላል። የክፍልፋዮች ስብስብ የሚወሰነው በተገቢው የማይቀንስ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ውስጥ በሚታየው የፖሊኖሚል ሥሮች ስብስብ ነው። ክፍልፋዮችን ወደ ቀላሉ የመበስበስ ደንቡ እንደሚከተለው ነው።

ምክንያታዊ ክፍልፋይ በሚከተለው ቅፅ ውስጥ እንዲወከል ያድርጉ.

እዚህ, በጣም ቀላል ክፍልፋዮች አሃዛዊ የማይታወቁ ጥራዞችን ይይዛል, ይህም ሁልጊዜም ባልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴ ሊወሰን ይችላል. የስልቱ ፍሬ ነገር ውህደቶቹን በ X ተመሳሳይ ሃይሎች ላይ ለፖሊኖሚል በዋናው ክፍልፋይ አሃዛዊ እና ፖሊኖሚል በቁጥር ቀላል ክፍልፋዮችን ወደ አንድ የጋራ መለያ ከቀነሱ በኋላ የተገኘውን ክፍልፋይ ቁጥር ማመሳሰል ነው።

ለተመሳሳይ የX ሃይል ውህደቶችን እናመሳስላቸው።

ለማይታወቁ ቅንጅቶች የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት ፣ እናገኛለን።

ስለዚህ, ይህ ክፍልፋይ በሚከተሉት ቀላል ክፍልፋዮች ስብስብ ሊወከል ይችላል.

ወደ አንድ የጋራ መለያ በማምጣት ለችግሩ መፍትሄ ትክክለኛነት እርግጠኞች ነን።

በማስታወሻ ደብተርዎ ውስጥ የትምህርቱን ርዕስ ይፃፉ

"ምክንያታዊ ክፍልፋዮች".

ምንድን ነው?
እነዚህ በተለዋዋጭ መግለጫዎች መከፋፈልን የያዙ የአልጀብራ አባባሎች ናቸው።

ለምሳሌ:
- ክፍልፋይ አገላለጽ.

ኢንቲጀር፣ እኩል ስለሆነ፣ ማለትም፣ አጠቃላይ አገላለጽ ከምክንያታዊ ቅንጅቶች ጋር።

ሙሉ እና ክፍልፋይ መግለጫዎችምክንያታዊ መግለጫዎች ይባላሉ.

እነዚህ ናቸው ወደፊት መስራት ያለብን!

አጠቃላይ አገላለጹ ለማንኛውም የተለዋዋጮች እሴቶች ትርጉም ይሰጣል ፣ ግን ክፍልፋይ መግለጫ… በ 0 ሊከፋፈል አይችልም!

ለምሳሌ:
ከ b=3 በስተቀር ለሁሉም የተለዋዋጭ ሀ እና ለሁሉም የ b እሴቶች ይገለጻል።

ለየትኞቹ የተለዋዋጭ እሴቶች መግለጫው ይሠራል
?

አስታውስ፡-
ለማንኛውም የ a, b እና c, የት እና , እኩልነት እውነት ነው

ክፍልፋይን በቁጥር ብናባዛው (ማለትም የክፍሉን አሃዛዊ እና ተከፋይ በተመሳሳይ ቁጥር ካባዛነው) እናገኛለን። እኩል ክፍልፋይ፣ ግን በተለየ መለያ።

አሃዛዊውን እና አካፋይን በተመሳሳይ ቁጥር ብንከፋፍል, ክፍልፋዩን እንቀንሳለን.
ለምሳሌ:
1) ክፍልፋዩን ወደ ክፍልፋይ በ 35у3 ተካፋይ እንቀንስ።
አስቀድመን እንከፋፍል። አዲስ መለያ 35y3 ወደ አሮጌው 7y እና 5y2 ተጨማሪ ማባዣ እናገኛለን።
እና ከዚያ አሃዛዊውን እና መለያውን በዚህ ተጨማሪ ምክንያት ያባዙት፡-
.

2) ክፍልፋዩን እንቀንስ።
መፍትሄ፡-

አስታውስ፡-
ክፍልፋይን ለመቀነስ፣ አሃዛዊውን እና አካፋውን ማካካስ እና ከዚያም በእኩል መጠን መከፋፈል ያስፈልግዎታል፣ ማለትም። ቀንስ።

አገላለፅን ለማስተካከል ብዙ ዘዴዎች አሉ።
እስካሁን ከሁለቱ ጋር እናውቃቸዋለን፡-
1 ዘዴ
የጋራ ሁኔታን በመገጣጠም ላይ።
ዘዴ 2
የአህጽሮት ማባዛት ቀመሮችን መተግበር።

የመጀመሪያው እና ቀላሉ መንገድ ፋብሪካ ነው
የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ውስጥ በማስቀመጥ ላይ።

Ac + bc = (a + b) ሐ

ምሳሌ 1፡ 5ab2c3 - 10a2b3c + 15a3bc2 = 5abc(bc2 - 2ab2 + 3a2c)

ደንብ፡-

ሁሉም የፖሊኖሚል አባላት አንድ የጋራ ምክንያት (ወይም ብዙ የተለመዱ ምክንያቶች) ካላቸው ይህ ሁኔታ (እነዚህ ምክንያቶች) ከቅንፉ ውስጥ ሊወሰዱ ይችላሉ.
በዚህ አጋጣሚ እያንዳንዱን ቃል ከቅንፍ ባወጣነው አገላለጽ እንካፈላለን፡ 5ab2c3: 5abc = bc2, - 10a2b3c: 5abc = - 2ab2 and, በመጨረሻም, 15a3bc2: 5abc = 3a2c (ምልክቶቹን ይመልከቱ!!!)

እና ከታችኛው ኢንዴክስ ጋር ያለው ዲግሪ በቅንፍ ውስጥ እንደተወሰደ ማስታወስ አለብን.

በራሱ፡-
የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ውስጥ ያውጡ

ይፈትሹ፡

አንዳንድ ጊዜ ሁሉም አባላት አልጀብራ አገላለጽአንድ የተለመደ ነገር የለኝም፣ ነገር ግን በተለያዩ የቃላት ቡድኖች ውስጥ አንድ አለ፣ ለምሳሌ፣

አህ + ay + bx + በ.

ይህ ፖሊኖሚል ቃላቶቹን በማጣመር ሊባዛ ይችላል። የተለዩ ቡድኖች

(ax + bx) + (ay + በ) = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + ለ)

ለምሳሌ:

ቃላትን የመቧደን ዘዴን በመጠቀም፣ አገላለጹን ይግለጹ
3x + xy2 - x2y - 3ይ

መፍትሄ፡-
3x + xy2 - x2y - 3ይ = 3(x - y) + xy(y -x) = 3(x - y) - xy(x -y) = (3 - xy)(x - y)።

አንዳንድ ተጨማሪ እንለማመድ፡-
1) a3 - ab - a2b + a2፣
2) ab2 - b2y - መጥረቢያ + xy + b2 - x .

መፍትሄ፡-
1) a3 - ab - a2b + a2 = a3 - a2b - ab + a2 = a2(a - b) + a(a - b)= (a2+ a) (a - b) = a(a +1) - ለ)
2) ab2 - b2y - መጥረቢያ + xy + b2 - x = b2 (a - y + 1) - x (a - y + 1) = (b2 - x) (a - y + 1)።

እና አሁን ስለ ሁለተኛው ዘዴ.
የአልጀብራ አገላለጽ ቃላቶች ተደጋጋሚ ምክንያቶች ከሌሉት፣ አሕጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን ለመተግበር መሞከር ይችላሉ።

ምሳሌዎች
ሀ) የካሬዎች ልዩነት;
0.49x4 - 121y2 = (0.7x2)2 - (11ይ)2 = (0.7x2 - 11ይ)(0.7x2 + 11ይ)፣

ለ) የኩቦች ልዩነት;
1 - 27s3 = 13 - (3ሰ)3 = (1 - 3ሰ)(1 + 3ሰ + 9ሰ2)፣

ለ) ስኩዌር ልዩነት;
4a2 - 12ab + 9b2 = (2a)2 - 22a 3b + (3b)2 = (2a - 3b)2 ወይም (2a - 3b)(2a - 3b)፣

መ) ልዩነት ኪዩብ;
27x6 - 27x4y + 9x2y2 - y3 = (3x2)3 - 3(3x2)2y + 3(3x2) y2 - y3 = (3x2 - y)3 ወይም (3x2 - y) (3x2 - y) (3x2 - y) t ሠ. ሦስት እኩል multipliers!

አልጎሪዝም፡-
በመጀመሪያ "እናስተካክላለን" መልክአገላለጾች" በሚቻል ቀመር...
- የሚሠራ ከሆነ, እንደ (ቀመሩ) እንደሚያስፈልገው ወደ ፊት እንቀጥላለን ...
- ካልሰራ ሌላ ቀመር "መሞከር" እንጀምራለን ...
- እና ወዘተ አገላለጹን ወደ የምክንያት ውጤት እስክታፈርስ ድረስ!