ቀመሮች ለ አርቲሜቲክ ሥር ባህሪያት እና ስሞቻቸው። የሥርወቶች ባህሪያት: ቀመሮች, ማስረጃዎች, ምሳሌዎች

በርዕሱ ላይ ትምህርት እና አቀራረብ:
"የካሬው ሥር ባህሪያት. ቀመሮች. የመፍትሄዎች ምሳሌዎች, ከመልሶች ጋር ያሉ ችግሮች"

ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ ። ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.

ለ 8ኛ ክፍል በ Integral የመስመር ላይ መደብር ውስጥ የትምህርት መርጃዎች እና አስመሳይዎች
በይነተገናኝ የመማሪያ መጽሐፍ "ጂኦሜትሪ በ 10 ደቂቃዎች" ለ 8 ኛ ክፍል
የትምህርት ውስብስብ "1C: ትምህርት ቤት. ጂኦሜትሪ, ክፍል 8"

የካሬ ሥር ባህሪያት

ካሬ ሥሮችን ማጥናት እንቀጥላለን. ዛሬ የሥሮቹን መሠረታዊ ባህሪያት እንመለከታለን. ሁሉም መሰረታዊ ባህሪያት ከዚህ በፊት ካደረግናቸው ሁሉም ስራዎች ጋር የሚታወቁ እና የሚጣጣሙ ናቸው.

ንብረት 1. የሁለት አሉታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ምርት ስኩዌር ስር የእነዚህ ቁጥሮች ካሬ ስሮች ውጤት $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$ ጋር እኩል ነው።

ማንኛውንም ንብረቶች ማረጋገጥ የተለመደ ነው, እናድርገው.
$\sqrt(a*b)=x$፣ $\sqrt(a)=y$፣ $\sqrt(b)=z$ ይሁን። ከዚያም ያንን $x=y*z$ ማረጋገጥ አለብን።
እያንዳንዱን አገላለጽ ካሬ እናድርገው።
$\sqrt(a*b)=x$ ከሆነ፣ ከዚያ $a*b=x^2$።
$\sqrt(a)=y$፣ $\sqrt(b)=z$ ከሆነ፣ ሁለቱንም አገላለጾች በማጣመር፡ $a=y^2$፣ $b=z^2$ እናገኛለን።
$a*b=x^2=y^2*z^2$ ማለትም $x^2=(y*z)^2$። የሁለት አሉታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ካሬዎች እኩል ከሆኑ, ቁጥሮች እራሳቸው እኩል ናቸው, ይህም መረጋገጥ ያስፈልገዋል.

ከንብረታችን ውስጥ ለምሳሌ $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$።

ማስታወሻ 1. በስሩ ስር ከሁለት በላይ አሉታዊ ያልሆኑ ምክንያቶች ሲኖሩ ንብረቱ ለጉዳዩ እውነት ነው.
ንብረት 2. $a≥0$ እና $b>0$ ከሆነ የሚከተለው እኩልነት ይይዛል፡$\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$)

ያም ማለት የቃላቱ ሥር ከሥሩ ሥሮች ጋር እኩል ነው.
ማረጋገጫ።
ሠንጠረዡን እንጠቀም እና ንብረታችንን በአጭሩ እናረጋግጥ።

የካሬ ስሮች ባህሪያትን የመጠቀም ምሳሌዎች

ምሳሌ 1.
አስላ፡ $\sqrt(81*25*121)$

መፍትሄ።
እርግጥ ነው, አንድ ካልኩሌተር ወስደን ከሥሩ ሥር ያሉትን ሁሉንም ቁጥሮች ማባዛት እና የካሬውን ሥር የማውጣት ሥራ ማከናወን እንችላለን. እና በእጅዎ ካልኩሌተር ከሌለ ምን ማድረግ አለብዎት?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495 ዶላር።
መልስ፡- 495።

ምሳሌ 2. አስላ፡ $\sqrt(11\frac(14)(25))$።

መፍትሄ።
ራዲካል ቁጥሩን እንደ ተገቢ ያልሆነ ክፍልፋይ እንወክል፡ $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) ዶላር
ንብረት እንጠቀም 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3.4 ዶላር
መልስ፡ 3.4.

ምሳሌ 3.
አስላ፡ $\sqrt(40^2-24^2)$

መፍትሄ።
የእኛን አገላለጽ በቀጥታ መገምገም እንችላለን, ግን ሁልጊዜ ማለት ይቻላል ቀላል ሊሆን ይችላል. ይህን ለማድረግ እንሞክር.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
ስለዚህ፣ $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$።
መልስ፡ 32.

ወገኖቼ እባካችሁ አክራሪ አገላለጾችን የመደመር እና የመቀነስ አሠራር ምንም አይነት ቀመሮች የሉም እና ከዚህ በታች የቀረቡት አባባሎች ትክክል አይደሉም።
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$።
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$።

ምሳሌ 4.
አስላ፡ ሀ) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$
መፍትሄ።
ከላይ የቀረቡት ንብረቶች ከግራ ወደ ቀኝ እና በተቃራኒው ይሰራሉ ማለትም
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$።
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
ይህንን ተጠቅመን ምሳሌያችንን እንፍታ።
ሀ) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$።

መልስ፡ ሀ) 16; ለ) 2.

ንብረት 3. $а≥0$ እና n የተፈጥሮ ቁጥር ከሆኑ፣እኩልነቱ፡$\sqrt(a^(2n))=a^n$ ይይዛል።

ለምሳሌ. $\sqrt(a^(16))=a^8$፣ $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ እና የመሳሰሉት።

ምሳሌ 5.
አስላ፡ $\sqrt(129600)$

መፍትሄ።
ለእኛ የቀረበው ቁጥር በጣም ትልቅ ነው፣ ወደ ዋና ምክንያቶች እንከፋፍለው።
ተቀብለናል፡$129600=5^2*2^6*3^4$ or $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360ዶላር።
መልስ፡ 360.

በተናጥል ለመፍታት ችግሮች

1. አስላ፡ $\sqrt(144*36*64)$።
2. አስላ፡ $\sqrt(8\frac(1)(36))$።
3. አስላ፡ $\sqrt(52^2-48^2)$።
4. አስላ፡
ሀ) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
ለ) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$።

የካሬ ስሮች ባህሪያት

እስካሁን አምስት የሂሳብ ስራዎችን በቁጥር ላይ አድርገናል፡ መደመር፣ መቀነስ፣ ማባዛት, ክፍፍል እና አገላለጽ, እና በስሌቶቹ ውስጥ የእነዚህ ኦፕሬሽኖች የተለያዩ ባህሪያት በንቃት ጥቅም ላይ ውለዋል, ለምሳሌ a + b = b + a, an-bn = (ab) n, ወዘተ.

ይህ ምእራፍ አዲስ ክዋኔን ያስተዋውቃል - አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ካሬ ስር መውሰድ። በተሳካ ሁኔታ ለመጠቀም, በዚህ ክፍል ውስጥ የምናደርገውን የዚህን ቀዶ ጥገና ባህሪያት በደንብ ማወቅ አለብዎት.

ማረጋገጫ። የሚከተለውን ማስታወሻ እናስተዋውቅ። https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="እኩልነት)" width="120" height="25 id=">!}.

የሚቀጥለውን ቲዎሪ በትክክል የምንቀርፅበት በዚህ መንገድ ነው።

(በተግባር ለመጠቀም ይበልጥ አመቺ የሆነ አጭር አጻጻፍ፡ የአንድ ክፍልፋይ ሥር ከሥሩ ክፍልፋይ ጋር እኩል ነው ወይም የሥርዓተ-ክፋዩ ሥር ከሥሩ ጥቅስ ጋር እኩል ነው።)

በዚህ ጊዜ የማስረጃውን አጭር ማጠቃለያ ብቻ እንሰጣለን እና እርስዎ የቲዎረም 1 ማስረጃን ከመሰረቱት ጋር ተመሳሳይ አስተያየት ለመስጠት ይሞክሩ።

ማስታወሻ 3. እርግጥ ነው, ይህ ምሳሌ በተለየ መንገድ ሊፈታ ይችላል, በተለይም በእጅዎ የማይክሮካልኩሌተር ካለዎት: ቁጥሮችን 36, 64, 9 ማባዛት እና ከዚያ የተገኘውን ምርት ካሬ ስር ይውሰዱ. ነገር ግን፣ ከዚህ በላይ የቀረበው መፍትሔ የበለጠ ባህላዊ መስሎ እንደሚታይ ይስማማሉ።

ማስታወሻ 4. በመጀመሪያው ዘዴ ውስጥ "በራስ ላይ" ስሌቶችን አደረግን. ሁለተኛው መንገድ የበለጠ የሚያምር ነው-
አመልክተናል ቀመር a2 - b2 = (a - b) (a + b) እና የካሬ ሥሮችን ንብረት ተጠቅሟል።

ማስታወሻ 5. አንዳንድ “ትኩስ ራሶች” አንዳንድ ጊዜ ይህንን “መፍትሄ” ወደ ምሳሌ 3 ያቀርባሉ፡-

ይህ በእርግጥ እውነት አይደለም: አየህ - ውጤቱ ከምሳሌው ጋር አንድ አይነት አይደለም 3. እውነታው ምንም ንብረት የለም. https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="Task)" width="148" height="26 id=">!}የካሬ ሥሮችን ማባዛት እና መከፋፈልን የሚመለከቱ ንብረቶች ብቻ አሉ። ይጠንቀቁ እና ይጠንቀቁ, ምኞትን አይውሰዱ.

ይህንን ክፍል ለማጠቃለል አንድ ተጨማሪ በጣም ቀላል እና በተመሳሳይ ጊዜ አስፈላጊ ንብረቶችን እናስተውል-
ከሆነ a > 0 እና n - የተፈጥሮ ቁጥር፣ ያ

የካሬ ሥር አሠራርን የያዙ መግለጫዎችን መለወጥ

እስካሁን ድረስ ለውጦችን ብቻ ነው ያደረግነው ምክንያታዊ መግለጫዎች, ለዚህም በፖሊኖሚሎች እና በአልጀብራ ክፍልፋዮች ላይ የአሠራር ደንቦችን በመጠቀም, በአህጽሮተ ማባዛት ቀመሮች, ወዘተ. በዚህ ምዕራፍ ውስጥ, አዲስ ቀዶ ጥገና አስተዋውቀናል - የካሬውን ሥር የማውጣት አሠራር; መሆኑን አረጋግጠናል።

የት፣ አስታውስ፣ a፣ b አሉታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ናቸው።

እነዚህን በመጠቀም ቀመሮች, የካሬ ስር አሠራርን በያዙ መግለጫዎች ላይ የተለያዩ ለውጦችን ማድረግ ይችላሉ. ብዙ ምሳሌዎችን እንይ፣ እና በሁሉም ምሳሌዎች ውስጥ ተለዋዋጮቹ አሉታዊ ያልሆኑ እሴቶችን ብቻ እንደሚወስዱ እንገምታለን።

ምሳሌ 3.በካሬ ስር ምልክት ስር ማባዣውን ያስገቡ፡-

ምሳሌ 6. መፍትሄ የሚለውን አገላለጽ ቀለል ያድርጉት። ተከታታይ ለውጦችን እናድርግ፡-

የስር ቀመሮች. የካሬ ስሮች ባህሪያት.

ትኩረት!
ተጨማሪዎች አሉ።
ቁሳቁሶች በልዩ ክፍል 555.
በጣም "በጣም አይደለም..." ላልሆኑ.
እና “በጣም…” ለሚሉት)

በቀደመው ትምህርት የካሬ ሥር ምን እንደሆነ አውቀናል. የትኞቹ እንደሆኑ ለማወቅ ጊዜው አሁን ነው። ለሥሮች ቀመሮችምንድን ናቸው ሥሮች ባህሪያት, እና በዚህ ሁሉ ምን ሊደረግ ይችላል.

የስርወ ቀመሮች, የስርወቶች ባህሪያት እና ከሥሮች ጋር ለመስራት ደንቦች- ይህ በመሠረቱ ተመሳሳይ ነገር ነው. ለካሬ ስሮች በሚያስደንቅ ሁኔታ ጥቂት ቀመሮች አሉ። በእርግጠኝነት ደስተኛ ያደርገኛል! ወይም ይልቁንስ, ብዙ የተለያዩ ቀመሮችን መጻፍ ይችላሉ, ነገር ግን ተግባራዊ እና በራስ የመተማመን ስራ ከሥሮች ጋር, ሶስት ብቻ በቂ ናቸው. የተቀረው ነገር ሁሉ ከእነዚህ ሶስት ይፈስሳል። ምንም እንኳን ብዙ ሰዎች በሶስቱ ስር ቀመሮች ውስጥ ግራ ቢጋቡም፣ አዎ...

በጣም ቀላሉን እንጀምር። እነሆ እሷ፡-

ይህን ጣቢያ ከወደዱት...

በነገራችን ላይ ለአንተ ይበልጥ አስደሳች የሆኑ ሁለት ጣቢያዎች አሉኝ።)

ምሳሌዎችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ እና ደረጃዎን ማወቅ ይችላሉ. በፈጣን ማረጋገጫ መሞከር። እንማር - በፍላጎት!)

ከተግባሮች እና ተዋጽኦዎች ጋር መተዋወቅ ይችላሉ።

እውነታ 1.
$\ bullet $ አንዳንድ አሉታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችን እንውሰድ $a $ (ማለትም፣ $a\geqslant 0 $)። ከዚያም (ሂሳብ) ካሬ ሥርከ $a$ ቁጥር እንደዚህ ያለ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር $b$ ተብሎ ይጠራል ፣ ካሬ ሲደረግ ቁጥር $a $ እናገኛለን ። \[\sqrt a=b\quad \text(ተመሳሳይ)\quad a=b^2\]ከትርጓሜው እንደሚከተለው ነው $a\geqslant 0፣ b\geqslant 0$. እነዚህ እገዳዎች ለካሬ ሥር መኖር አስፈላጊ ሁኔታ ናቸው እና ሊታወሱ ይገባል!
ካሬ ሲደረግ ማንኛውም ቁጥር አሉታዊ ያልሆነ ውጤት እንደሚሰጥ ያስታውሱ። ማለትም $100^2=10000\geqslant 0$ እና $(-100)^2=10000\geqslant 0$።
$\ bullet $ $\sqrt(25)$ ከምን ጋር እኩል ነው? $5^2=25$ እና $-5)^2=25$ እንደሆነ እናውቃለን። በትርጉሙ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ማግኘት ስላለብን $-5 $ ተስማሚ አይደለም ፣ ስለሆነም \ (\sqrt (25) = 5 \) (ከ $25=5^2 $)።
የ $\sqrt a $ እሴት መፈለግ የቁጥር $a$ ስኩዌር ስር መውሰድ ይባላል ፣ እና ቁጥር $a $ አክራሪ አገላለጽ ይባላል።
\ (\ bullet \) በትርጉሙ ፣ አገላለጽ $\sqrt (-25)$ ፣ \ (\sqrt (-4) \) ፣ ወዘተ ላይ የተመሠረተ። ትርጉም የለሽ።

እውነታ 2.
ለፈጣን ስሌቶች ከ $1$ እስከ $20$ የተፈጥሮ ቁጥሮች ካሬዎችን ሰንጠረዥ መማር ጠቃሚ ይሆናል ። \[\ጀማሪ(ድርድር)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400 \\ \ hline \ መጨረሻ(ድርድር)\]

እውነታ 3.
በካሬ ሥሮች ምን ዓይነት ክዋኔዎች ማድረግ ይችላሉ?
$\ጥይት$ የካሬ ስሮች ድምር ወይም ልዩነት ከድምሩ ወይም ልዩነቱ ካሬ ሥር ጋር እኩል አይደለም፣ ማለትም \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]ስለዚህ ፣ ለምሳሌ $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ ማስላት ከፈለጉ በመጀመሪያ የ $\sqrt(25)$ እና  እሴቶችን ማግኘት አለቦት። sqrt (49) \ ) እና ከዚያ እጥፋቸው። ስለዚህም እ.ኤ.አ. \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] እሴቶቹ $\sqrt a $ ወይም \ (\sqrt b \) \ (\sqrt a+\sqrt b \) ሲጨመሩ ሊገኙ ካልቻሉ, እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ የበለጠ አይለወጥም እና እንዳለ ይቆያል. ለምሳሌ ድምር $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ $\sqrt(49)$ $7$ ነው ልናገኘው እንችላለን ነገር ግን $\sqrt 2$ በ ውስጥ ሊለወጥ አይችልም ለማንኛውም, ለዛ ነው $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. እንደ አለመታደል ሆኖ ይህ አገላለጽ የበለጠ ቀላል ሊሆን አይችልም።\ (\ bullet \) የካሬ ስሮች ምርት/ዋጋ ከምርቱ/ካሬው ስሩ ጋር እኩል ነው፣ይህም ማለት ነው። \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (የእኩልነት ሁለቱም ወገኖች ትርጉም ካላቸው)
ለምሳሌ: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. \ (\ bullet \) እነዚህን ንብረቶች በመጠቀም ፣ ብዙ ቁጥር ያላቸውን ካሬ ሥሮች በመለካት ማግኘት ምቹ ነው።
አንድ ምሳሌ እንመልከት። $\sqrt(44100)$ን እንፈልግ። ከ $44100:100=441$ ጀምሮ፣ ከዚያ $44100=100\cdot 441$። እንደ መለያየት መስፈርት፣ ቁጥሩ $441$ በ $9$ ይከፈላል (የአሃዞቹ ድምር 9 ስለሆነ እና በ9 የሚካፈለው) ስለሆነም $441፡9=49 $። ማለትም $441=9\cdot 49$ ነው።
ስለዚህ አግኝተናል- \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)=\sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]ሌላ ምሳሌ እንመልከት፡- \[\sqrt (\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\ bullet $ $5\sqrt2 $ የሚለውን አገላለጽ ((5\cdot \sqrt2 \) አጭር መግለጫ በመጠቀም በካሬ ስር ምልክት ስር ቁጥሮችን እንዴት ማስገባት እንደሚቻል እናሳይ። ከ $5=\sqrt(25)$ ጀምሮ፣ እንግዲህ \ እንዲሁም ልብ ይበሉ, ለምሳሌ,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$።

ለምንድነው? ምሳሌ 1ን በመጠቀም እናብራራ። አስቀድመው እንደተረዱት፣ ቁጥሩን እንደምንም መለወጥ አንችልም $\sqrt2$። $\sqrt2 $ የተወሰነ ቁጥር $a $ እንደሆነ እናስብ። በዚህም መሰረት $\sqrt2+3\sqrt2$ የሚለው አገላለጽ $a+3a$ (አንድ ቁጥር $a$ ሲደመር ሶስት ተጨማሪ ተመሳሳይ ቁጥሮች $a$) ከመሆን አይበልጥም። እና ይህ ከአራት ቁጥሮች ጋር እኩል እንደሆነ እናውቃለን $a $ ፣ ማለትም ፣ \ (4 \sqrt2 \)።

እውነታ 4.
$\ bullet $ የቁጥሩን ዋጋ በሚፈልጉበት ጊዜ የስር (\sqrt () \\) ምልክትን ማስወገድ በማይችሉበት ጊዜ ብዙውን ጊዜ "ሥሩን ማውጣት አይችሉም" ይላሉ. . ለምሳሌ የቁጥሩን ሥር መውሰድ ትችላለህ $16$ ምክንያቱም $16=4^2$ , ስለዚህ $\sqrt(16)=4$ . ነገር ግን የቁጥሩን ሥረ-ሥርወ $3$ ማውጣት የማይቻል ነው ፣ ማለትም $\sqrt3 $ ለማግኘት ፣ ምክንያቱም አራት ማዕዘኖች \ (3 \) የሚሰጠው ምንም ቁጥር የለም ።
እንደነዚህ ያሉት ቁጥሮች (ወይም እንደዚህ ያሉ ቁጥሮች ያላቸው መግለጫዎች) ምክንያታዊ ያልሆኑ ናቸው. ለምሳሌ, ቁጥሮች $\sqrt3፣ \ 1+\sqrt2፣ \\sqrt(15)$እናም ይቀጥላል. ምክንያታዊ ያልሆኑ ናቸው።
እንዲሁም ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች $\ pi $ (ቁጥሩ “pi” ፣ በግምት ከ $3.14 $) ፣ \ (e \)) ወዘተ.
$\ bullet $ እባክዎ ማንኛውም ቁጥር ምክንያታዊ ወይም ምክንያታዊ ያልሆነ እንደሚሆን እባክዎ ልብ ይበሉ። እና ሁሉም ምክንያታዊ እና ሁሉም ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች አንድ ላይ ተጠርተዋል የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ.ይህ ስብስብ በ $\mathbb(R)$ ፊደል ይገለጻል።
ይህ ማለት አሁን የምናውቃቸው ቁጥሮች ሁሉ እውነተኛ ቁጥሮች ይባላሉ ማለት ነው።

እውነታ 5.
$\ጥይት እውነተኛ መስመር. ለምሳሌ፡ \(|3| ተመሳሳይ እና ከ \(3 $ ጋር እኩል ነው።
$\ bullet $ $a$ አሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ከሆነ $|a|=a $።
ምሳሌ፡ $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$። $\ bullet $ $a$ አሉታዊ ቁጥር ከሆነ $|a|=-a $።
ምሳሌ፡- $|-5|=-(-5)=5$; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$.
ለአሉታዊ ቁጥሮች ሞጁሉ ሲቀነስ "ይበላል" ይላሉ, አወንታዊ ቁጥሮች, እንዲሁም \ (0 \) ቁጥር, በሞጁሉ ሳይቀየሩ ይቀራሉ.
ግንይህ ህግ በቁጥሮች ላይ ብቻ ነው የሚሰራው. በሞጁል ምልክቱ ስር የማይታወቅ $x$ (ወይም ሌላ የማይታወቅ) ካለ ለምሳሌ $|x|$ ስለ እሱ አወንታዊ ፣ ዜሮ ወይም አሉታዊ መሆኑን የማናውቀው ከሆነ ከዚያ ያስወግዱት። የ ሞጁሎች እኛ አንችልም. በዚህ ሁኔታ, ይህ አገላለጽ ተመሳሳይ ነው: (| x | \) . $\ጥይት \[(\ትልቅ((\sqrt(a)))^2=a))፣\ጽሁፍ(የተሰጠ) a\geqslant 0\]በጣም ብዙ ጊዜ የሚከተለው ስህተት ይፈጸማል፡- \(\sqrt(a^2)$ እና $(\sqrt a)^2$ አንድ እና አንድ ናቸው ይላሉ። ይህ እውነት የሚሆነው $a$ አዎንታዊ ቁጥር ወይም ዜሮ ከሆነ ብቻ ነው። ግን $a$ አሉታዊ ቁጥር ከሆነ ይህ ውሸት ነው። ይህንን ምሳሌ ማጤን በቂ ነው። በ $a$ ቁጥር $-1$ ምትክ እንውሰድ። ከዚያ $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ ግን $(\sqrt (-1))^2$ የሚለው አገላለጽ በጭራሽ የለም (ከሁሉም በኋላ) የስር ምልክትን መጠቀም የማይቻል ነው አሉታዊ ቁጥሮች !).
ስለዚህ, ትኩረታችሁን ወደ እውነታ እናሳያለን \ (\sqrt (a ^ 2) \) ከ \ ((\sqrt a) ^ 2 \) ጋር እኩል አይደለም!ምሳሌ፡ 1) $\sqrt(\ግራ(-\sqrt2\ቀኝ)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$, ምክንያቱም (-\sqrt2<0\) ;

$\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$። $\ጥይት ((2n$ የሚለው አገላለጽ እኩል ቁጥርን ያመለክታል)
ያም ማለት በተወሰነ ደረጃ የቁጥር ስር ሲወስዱ ይህ ዲግሪ በግማሽ ይቀንሳል.
ለምሳሌ:
1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (ማስታወሻ ሞጁሉ ካልቀረበ የቁጥሩ ሥር ከ $-25$ ጋር እኩል እንደሆነ ይገለፃል። እኛ ግን እናስታውሳለን ፣ በስሩ ትርጓሜ ይህ ሊከሰት አይችልም - ስርን ስንወጣ ሁል ጊዜ አዎንታዊ ቁጥር ወይም ዜሮ ማግኘት አለብን)
3) $\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (ለተመጣጣኝ ሃይል የትኛውም ቁጥር አሉታዊ ስላልሆነ)

እውነታ 6.
ሁለት ካሬ ሥሮችን እንዴት ማወዳደር ይቻላል?
$\ bullet $ ለካሬ ሥሮች እውነት ነው፡ ከሆነ $\sqrt a<\sqrt b$ , то $aለምሳሌ:
1) \(\sqrt(50)$ እና $6\sqrt2$ አወዳድር። በመጀመሪያ, ሁለተኛውን አገላለጽ ወደ ውስጥ እንለውጠው $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. ስለዚህም ከ \ (50<72\) , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) $\sqrt(50)$ የሚገኘው በየትኛው ኢንቲጀሮች መካከል ነው?
ከ (\sqrt(49)=7\)፣ $\sqrt(64)=8$ እና $49) ጀምሮ<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) $\sqrt 2-1 $ እና $0.5 $ እናወዳድር። $\sqrt2-1>0.5$ እናስብ፡- \[\ጀማሪ(የተሰለፈ) &\sqrt 2-1>0.5 \\ትልቅ| +1\quad \text((ከሁለቱም ጎን አንድ አክል))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\ትልቅ| \ ^2 \ ኳድ \ ጽሑፍ ((በሁለቱም በኩል አራት ማዕዘን)) \\ &2> 1.5 ^ 2 \\ & 2> 2.25 \ መጨረሻ (የተስተካከለ) \]ትክክል ያልሆነ እኩልነት እንዳገኘን እናያለን። ስለዚህ፣ የእኛ ግምት ትክክል አልነበረም እና $\sqrt 2-1<0,5$ .
በሁለቱም የእኩልነት ጎኖች ላይ የተወሰነ ቁጥር ማከል ምልክቱን እንደማይጎዳው ልብ ይበሉ። የእኩልነት ሁለቱንም ወገኖች በአዎንታዊ ቁጥር ማባዛት/መከፋፈል ምልክቱን አይጎዳውም ነገር ግን በአሉታዊ ቁጥር ማባዛት/መከፋፈል የእኩልነት ምልክትን ይለውጣል!
የሁለቱም ወገኖች እኩልነት/እኩልነት ማጠር የሚችሉት ሁለቱም ወገኖች አሉታዊ ካልሆኑ ብቻ ነው። ለምሳሌ ፣ ከቀዳሚው ምሳሌ እኩልነት ውስጥ ሁለቱንም ጎኖች ፣ በእኩልነት \ (-3) ላይ ማነፃፀር ይችላሉ<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! $\ ጥይት $ መታወስ ያለበት \[\ጀማሪ (የተስተካከለ) እና\sqrt 2 \\ በግምት 1.4 \\ &\sqrt 3 \\ በግምት 1.7 \ መጨረሻ(የተስተካከለ) \]የእነዚህን ቁጥሮች ግምታዊ ትርጉም ማወቅ ቁጥሮችን ሲያወዳድሩ ይረዳዎታል! $\ ጥይት $ ሥሩን (ሊወጣ የሚችል ከሆነ) በካሬዎች ሠንጠረዥ ውስጥ ከሌሉ አንዳንድ ትላልቅ ቁጥሮች ለማውጣት በመጀመሪያ በየትኞቹ "መቶዎች" መካከል እንደሚገኝ መወሰን አለብዎት ፣ ከዚያ - በየትኛው መካከል " አስር”፣ እና ከዚያ የዚህን ቁጥር የመጨረሻ አሃዝ ይወስኑ። ይህ እንዴት እንደሚሰራ በምሳሌ እናሳይ።
$\sqrt(28224)$ እንውሰድ። $100^2=10\,000$፣ $200^2=40\,000$ ወዘተ መሆኑን እናውቃለን። $28224$ በ $10\,000$ እና $40\,000$ መካከል እንዳለ ልብ ይበሉ። ስለዚህ $\sqrt(28224)$ በ $100$ እና $200$ መካከል ነው።
አሁን ቁጥራችን በየትኛው "አስር" መካከል እንደሚገኝ እንወስን (ይህም ለምሳሌ በ \ (120 \) እና \ (130\) መካከል). እንዲሁም ከካሬው ሰንጠረዥ $11^2=121$፣ $12^2=144$ ወዘተ፣ ከዚያ $110^2=12100$፣ $120^2=14400 ) ፣ \(130^2=16900 $ ፣ $140^2=19600$ ፣ $150^2=22500$ ፣ $160^2=25600 ) . ስለዚህ \(28224$ በ $160^2$ እና $170^2$ መካከል እንዳለ እናያለን። ስለዚህ ቁጥር $\sqrt(28224)$ በ $160$ እና $170$ መካከል ነው።
የመጨረሻውን አሃዝ ለመወሰን እንሞክር. አራት-አሃዝ ቁጥሮች ፣ አራት ማዕዘን ሲደረግ ፣ መጨረሻ ላይ $4$ የሚሰጡትን እናስታውስ? እነዚህም $2^2$ እና $8^2$ ናቸው። ስለዚህ $\sqrt(28224)$ በ2 ወይም 8 ያበቃል። ይህን እንፈትሽ። $162^2$ እና $168^2$ እንፈልግ፡-
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$።
ስለዚህም $\sqrt(28224)=168$ . ቮይላ!

የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በሂሳብ በበቂ ሁኔታ ለመፍታት በመጀመሪያ የቲዎሬቲካል ቁሳቁሶችን ማጥናት ያስፈልግዎታል ፣ ይህም ከብዙ ቲዎሬሞች ፣ ቀመሮች ፣ ስልተ ቀመሮች ፣ ወዘተ ጋር ያስተዋውቃል። በመጀመሪያ እይታ ይህ በጣም ቀላል ሊመስል ይችላል። ነገር ግን፣ በሒሳብ ውስጥ የተዋሃደ የስቴት ፈተና ንድፈ ሐሳብ በማንኛውም የሥልጠና ደረጃ ላይ ላሉ ተማሪዎች በቀላል እና ለመረዳት በሚያስችል መንገድ የሚቀርብበትን ምንጭ ማግኘት በእርግጥ ከባድ ሥራ ነው። የትምህርት ቤት መማሪያዎች ሁል ጊዜ በእጃቸው ሊቀመጡ አይችሉም። እና ለተዋሃደ የስቴት ፈተና በሂሳብ መሰረታዊ ቀመሮችን ማግኘት በበይነመረብ ላይ እንኳን ከባድ ሊሆን ይችላል።

የተዋሃደ የስቴት ፈተና ለሚወስዱ ብቻ ሳይሆን ቲዎሪ በሂሳብ ማጥናት በጣም አስፈላጊ የሆነው ለምንድነው?

የአስተሳሰብ አድማስዎን ስለሚያሰፋ. በሂሳብ ውስጥ የንድፈ ሃሳቦችን ማጥናት በዙሪያቸው ካለው ዓለም እውቀት ጋር ለተያያዙ ሰፊ ጥያቄዎች መልስ ለማግኘት ለሚፈልግ ለማንኛውም ሰው ጠቃሚ ነው። በተፈጥሮ ውስጥ ሁሉም ነገር የታዘዘ እና ግልጽ የሆነ አመክንዮ አለው. በሳይንስ ውስጥ የሚንፀባረቀው ይህ በትክክል ነው, በዚህም ዓለምን መረዳት ይቻላል.
ምክንያቱም የማሰብ ችሎታን ያዳብራል. አንድ ሰው በሒሳብ ውስጥ የተዋሃደ የስቴት ፈተናን የማመሳከሪያ ቁሳቁሶችን በማጥናት እንዲሁም የተለያዩ ችግሮችን በመፍታት, አንድ ሰው በምክንያታዊነት ማሰብ እና ማመዛዘን, ሀሳቦችን በብቃት እና በግልፅ ማዘጋጀት ይማራል. የመተንተን፣ የማጠቃለል እና መደምደሚያዎችን የመሳል ችሎታን ያዳብራል።

ለሥርዓት እና ለትምህርታዊ ቁሳቁሶች አቀራረብ ያለን አቀራረብ ሁሉንም ጥቅሞች በግል እንዲገመግሙ እንጋብዝዎታለን።