የኃይል ምሳሌዎችን ማባዛት። ትምህርት "የስልጣን ማባዛትና ክፍፍል"

በርዕሱ ላይ ያለው ትምህርት: "የኃይል ማባዛት እና የመከፋፈል ደንቦች ከተመሳሳይ እና የተለያዩ ገላጭ ጋር. ምሳሌዎች"

ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ ። ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.

ለ 7ኛ ክፍል በIntegral የመስመር ላይ መደብር ውስጥ የማስተማሪያ መርጃዎች እና አስመሳይዎች
የመማሪያ መጽሐፍ ዩ.ኤን. ማካሪቼቫ ለመማሪያ መጽሀፍ በኤ.ጂ. ሞርዶኮቪች

የትምህርቱ ዓላማ-በቁጥሮች ኃይል ሥራዎችን ማከናወን ይማሩ።

በመጀመሪያ, "የቁጥር ኃይል" ጽንሰ-ሐሳብ እናስታውስ. የ$\ underbrace (a * a * \ldots * a )_(n)$ የፎርም መግለጫ እንደ $a^n$ ሊወከል ይችላል።

ንግግሩም እውነት ነው፡- $a^n= \ underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$።

ይህ እኩልነት “ዲግሪውን እንደ ምርት መቅዳት” ይባላል። ኃይልን እንዴት ማባዛትና መከፋፈል እንዳለብን ለመወሰን ይረዳናል።
አስታውስ፡-
ሀ – የዲግሪ መሠረት.
n – ገላጭ.
ከሆነ n=1ቁጥር ማለት ነው። ሀአንድ ጊዜ ወስዷል እና በዚሁ መሰረት: $a^n= 1$.
ከሆነ n= 0ከዚያም $a^0= 1$።

የማባዛት እና የስልጣን ክፍፍል ህጎችን ስንተዋወቅ ይህ ለምን እንደሚሆን ማወቅ እንችላለን።

የማባዛት ደንቦች

ሀ) ተመሳሳይ መሠረት ያላቸው ኃይሎች ቢበዙ።
$a^n * a^m$ ለማግኘት፣ ዲግሪዎቹን እንደ ምርት እንጽፋለን፡ $\ underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * _(ሜ)$
ቁጥሩ እንደሚያሳየው ሀወስደዋል n+mጊዜ፣ ከዚያ $a^n * a^m = a^(n + m)$።

ለምሳሌ.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

ይህ ንብረት አንድ ቁጥርን ወደ ከፍተኛ ኃይል ሲያሳድጉ ስራውን ለማቃለል ለመጠቀም ምቹ ነው.
ለምሳሌ.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ለ) የተለያዩ መሠረቶች ያላቸው ዲግሪዎች, ግን ተመሳሳይ ገላጭ ቢበዛ.
$a^n * b^n$ ለማግኘት፣ ዲግሪዎቹን እንደ ምርት እንጽፋለን፡ $\ underbrace( a * a * \ldots * a ) _(n) * \ under brace( b * b * \ldots * b) _(ሜ)$
ምክንያቶቹን ከቀየርን እና የተገኙትን ጥንዶች ከቆጠርን፣ $\ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$ እናገኛለን።

ስለዚህ $a^n * b^n= (a * b)^n$።

ለምሳሌ.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

የክፍል ደንቦች

ሀ) የዲግሪው መሠረት አንድ ነው, አመላካቾች የተለያዩ ናቸው.
ኃይልን በትንሽ አርቢ በማካፈል በትልቁ አርቢ ለመከፋፈል ያስቡበት።

ስለዚህ, ያስፈልገናል $\frac(a^n)(a^m)$፣ የት n>ሚ.

ዲግሪዎቹን እንደ ክፍልፋዮች እንፃፍ፡-

$\frac (\ underbrace (a * a * \ldots * a )_(n)) (\ underbrace (a * a * \ldots * a )_(m))$.

ለመመቻቸት, ክፍፍሉን እንደ ቀላል ክፍልፋይ እንጽፋለን.

አሁን ክፍልፋዩን እንቀንስ።

ይገለጣል፡$\ underbrace(a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$።
ማለት፣ $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

ይህ ንብረት ቁጥርን ወደ ዜሮ ኃይል በማንሳት ሁኔታውን ለማብራራት ይረዳል. ያንን እናስብ n=mከዚያም $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$።

ምሳሌዎች።
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$።

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$።

ለ) የዲግሪው መሰረቶች የተለያዩ ናቸው, አመላካቾች ተመሳሳይ ናቸው.
$\frac(a^n)( b^n)$ አስፈላጊ ነው እንበል። የቁጥር ሃይሎችን እንደ ክፍልፋዮች እንፃፍ፡-

$\frac (\ underbrace (a * a * \ldots * a )_(n)) (\ underbrace ( b * b * \ldots * b )_(n))$.

ለመመቻቸት, እስቲ እናስብ.

የክፍልፋዮችን ንብረት በመጠቀም እንሰብራለን ትልቅ ክፍልፋይወደ ትናንሽ ምርቶች, እናገኛለን.
$\ underbrace ( \ frac (a) (b) * \ frac (a) (b) * \ldots * \ frac (a) (ለ) ) __(n)$.
በዚህ መሠረት፡ $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$።

ለምሳሌ.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$።

በመጨረሻው የቪዲዮ ትምህርት ፣ የአንድ የተወሰነ መሠረት ደረጃ ከጠቋሚው ጋር እኩል በሆነ መጠን የተወሰደውን የመሠረቱን ምርት በራሱ የሚወክል መግለጫ መሆኑን ተምረናል። አሁን አንዳንድ በጣም አስፈላጊ የሆኑትን የስልጣኖች ባህሪያት እና ስራዎች እናጠና።

ለምሳሌ ሁለቱን እናብዛ የተለያዩ ዲግሪዎችከተመሳሳዩ መሠረት ጋር;

ይህንን ስራ ሙሉ ለሙሉ እናቅርበው፡-

(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32

የዚህን አገላለጽ ዋጋ ካሰላን በኋላ, ቁጥር 32 እናገኛለን. በሌላ በኩል, ከተመሳሳይ ምሳሌ እንደሚታየው, 32 እንደ ተመሳሳይ መሠረት (ሁለት), 5 ጊዜ ተወስዷል. እና በእርግጥ፣ ብትቆጥሩት፣ እንግዲህ፡-

ስለዚህ፣ በልበ ሙሉነት እንዲህ ብለን መደምደም እንችላለን፡-

(2) 3 * (2) 2 = (2) 5

ይህ ደንብ ለማንኛውም አመላካቾች እና ለማንኛውም ምክንያቶች በተሳካ ሁኔታ ይሰራል. ይህ የኃይል ማባዛት ንብረት በምርት ውስጥ በሚደረጉ ለውጦች ወቅት የገለጻዎች ትርጉም ተጠብቆ የሚቆይበትን ደንብ ይከተላል። ለማንኛውም መሠረት ሀ፣ የሁለት አገላለጾች (a)x እና (a)y ምርት ከ a(x + y) ጋር እኩል ነው። በሌላ አገላለጽ፣ ማንኛውም ተመሳሳይ መሠረት ያላቸው አገላለጾች ሲፈጠሩ፣ የተገኘው ሞኖሚል ጠቅላላ ዲግሪ የመጀመሪያውንና የሁለተኛውን አገላለጽ ዲግሪ በመጨመር ነው።

የቀረበው ህግ ብዙ አገላለጾችን ሲያበዛ ጥሩ ይሰራል። ዋናው ሁኔታ ሁሉም ሰው ተመሳሳይ መሠረት አለው. ለምሳሌ:

(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8

ዲግሪዎችን ማከል ወይም ማንኛውንም የኃይል ጥናት ማካሄድ አይችሉም። ትብብርመሠረቶቻቸው የተለያዩ ከሆኑ በሁለት የገለፃ አካላት።
የእኛ ቪዲዮ እንደሚያሳየው, የማባዛት እና የመከፋፈል ሂደቶች ተመሳሳይነት በመኖሩ, በምርት ውስጥ ኃይልን ለመጨመር ደንቦች በትክክል ወደ ክፍልፋይ ሂደት ይተላለፋሉ. ይህን ምሳሌ ተመልከት፡-

የቃሉን የቃል-ጊዜ ለውጥ ወደ ውስጥ እናከናውን። ሙሉ እይታእና በአከፋፋዩ እና በአከፋፋዩ ውስጥ ተመሳሳይ ክፍሎችን ይቀንሱ፡-

(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4

የዚህ ምሳሌ የመጨረሻ ውጤት በጣም አስደሳች አይደለም, ምክንያቱም ቀድሞውኑ በመፍታት ሂደት ውስጥ የገለጻው ዋጋ ከሁለት ካሬ ጋር እኩል እንደሆነ ግልጽ ነው. እና የሁለተኛውን አገላለጽ ደረጃ ከመጀመሪያው ደረጃ በመቀነስ የተገኘው ሁለት ነው.

የኪሳራውን ደረጃ ለመወሰን የአከፋፋዩን ደረጃ ከክፍል ደረጃ መቀነስ አስፈላጊ ነው. ደንቡ ለሁሉም እሴቶቹ እና ለሁሉም የተፈጥሮ ኃይሎች በተመሳሳይ መሠረት ይሰራል። በአብስትራክት መልክ አለን፡-

(ሀ) x / (ሀ) y = (ሀ) x - y

ተመሳሳይ መሠረቶችን በዲግሪዎች የመከፋፈል ደንብ ፣ የዜሮ ዲግሪው ፍቺ ይከተላል። በግልጽ እንደሚታየው, የሚከተለው አገላለጽ ይመስላል:

(ሀ) x / (ሀ) x = (ሀ) (x - x) = (ሀ) 0

በአንጻሩ ደግሞ የበለጠ ብንከፋፈል በእይታ መንገድ, ከዚያም እናገኛለን:

(ሀ) 2 / (ሀ) 2 = (ሀ) (ሀ) / (ሀ) (ሀ) = 1

ሁሉንም የሚታዩ የክፍልፋይ አካላት ሲቀንሱ 1/1 የሚለው አገላለጽ ሁል ጊዜ ይገኛል ፣ ማለትም አንድ። ስለዚህ፣ ወደ ዜሮ ሃይል የሚነሳ ማንኛውም መሰረት ከአንድ ጋር እኩል እንደሆነ በአጠቃላይ ተቀባይነት አለው።

የአ.አ. ዋጋ ምንም ይሁን ምን.

ሆኖም፣ 0 (በማንኛውም ማባዛት አሁንም 0 እየሰጠ) በሆነ መንገድ ቢሆን ኖሮ ዘበት ነው። ከአንድ ጋር እኩል ነው።ስለዚህ፣ የቅጹ (0) 0 (ዜሮ ወደ ዜሮ ሃይል) መግለጫ በቀላሉ ትርጉም አይሰጥም፣ እና ወደ ቀመር (a) 0 = 1 ቅድመ ሁኔታ ተጨምሯል፡ “ሀ ከ 0 ጋር እኩል ካልሆነ”።

መልመጃውን እንፍታ. የአገላለጹን ዋጋ እንፈልግ፡-

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11

መሰረቱ በሁሉም ቦታ አንድ አይነት እና ከ 34 ጋር እኩል ስለሆነ የመጨረሻው እሴት ከዲግሪ ጋር አንድ አይነት መሰረት ይኖረዋል (ከላይ ባሉት ህጎች መሰረት)

በሌላ ቃል:

(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1

መልስ፡ አገላለጹ ከአንድ ጋር እኩል ነው።

እያንዳንዱ የሂሳብ አሠራርአንዳንድ ጊዜ ለመጻፍ በጣም አስቸጋሪ ይሆናል እና እሱን ለማቃለል ይሞክራሉ። ይህ በአንድ ወቅት የመደመር ሥራ ነበር. ሰዎች አንድ ዓይነት መደጋገም ያስፈልጋቸው ነበር ፣ ለምሳሌ ፣ የአንድ መቶ የፋርስ ምንጣፎችን ዋጋ ለማስላት ፣ ዋጋው ለእያንዳንዱ 3 የወርቅ ሳንቲሞች ነው። 3+3+3+…+3 = 300. ከአስቸጋሪ ባህሪው የተነሳ ኖታውን ወደ 3 * 100 = 300 ለማሳጠር ተወስኗል። እንዲያውም "ሶስት ጊዜ መቶ" የሚለው ምልክት አንድ መውሰድ ያስፈልግዎታል ማለት ነው. መቶ ሶስት እና አንድ ላይ ይጨምሩ. ማባዛት ተይዞ አጠቃላይ ተወዳጅነትን አግኝቷል። ነገር ግን ዓለም አሁንም አልቆመችም, እና በመካከለኛው ዘመን አንድ አይነት ተደጋጋሚ ማባዛትን ለማከናወን አስፈላጊነት ተነሳ. አንድ ጠቢብ የስንዴ እህል በሚከተለው መጠን ለሠራው ሥራ ሽልማት የጠየቀውን አንድ የድሮ የሕንድ እንቆቅልሽ አስታውሳለሁ-ለመጀመሪያው የቼዝቦርድ ካሬ አንድ እህል ጠየቀ ፣ ለሁለተኛው - ሁለት ፣ ለሦስተኛው - አራት ፣ ለአምስተኛው - ስምንት, ወዘተ. የመጀመሪያው የኃይል ማባዛት በዚህ መንገድ ታየ, ምክንያቱም የእህል ቁጥር ከሴሉ ቁጥር ኃይል ጋር ከሁለት ጋር እኩል ነው. ለምሳሌ, በመጨረሻው ሕዋስ ላይ 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 ጥራጥሬዎች ይኖራሉ, እሱም ከቁጥር 18 ቁምፊዎች ጋር እኩል ነው, ይህም በእውነቱ, የእንቆቅልሹ ትርጉም ነው.

የትርጓሜው አሠራር በፍጥነት ተይዟል ፣ እና የመደመር ፣ የመቀነስ ፣ የመከፋፈል እና የኃይል ማባዛት አስፈላጊነት እንዲሁ በፍጥነት ተነሳ። የኋለኛውን በበለጠ ዝርዝር ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው. ኃይልን ለመጨመር ቀመሮች ቀላል እና በቀላሉ ለማስታወስ ቀላል ናቸው. በተጨማሪም የኃይል አሠራሩ በማባዛት ከተተካ ከየት እንደመጡ ለመረዳት በጣም ቀላል ነው. በመጀመሪያ ግን አንዳንድ መሰረታዊ ቃላትን መረዳት ያስፈልግዎታል. a^b የሚለው አገላለጽ (“ሀ ለ ለ ኃይሉ” የሚለውን አንብብ) ማለት ሀ ቁጥር በራሱ ለ ጊዜ መባዛት አለበት፣ “a” የኃይሉ መሠረት ተብሎ ይጠራል እና “ለ” የኃይል አርቢ። የዲግሪዎቹ መሠረቶች ተመሳሳይ ከሆኑ ቀመሮቹ በቀላሉ የተገኙ ናቸው። የተወሰነ ምሳሌ 2 ^ 3 * 2 ^ 4 የቃሉን ዋጋ ያግኙ። ምን መሆን እንዳለበት ለማወቅ, መፍትሄውን ከመጀመርዎ በፊት መልሱን በኮምፒዩተር ላይ ማግኘት አለብዎት. ነጥብ ማስቆጠር ይህ አገላለጽበማንኛውም የመስመር ላይ ካልኩሌተር ፣ የፍለጋ ሞተር ፣ “ኃይሎችን በተለያዩ መሠረቶች እና ተመሳሳይ” ወይም የሂሳብ ፓኬጅ በመተየብ ውጤቱ 128 ይሆናል ። አሁን ይህንን አገላለጽ እንፃፍ 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 ፣ እና 2 ^4 = 2*2* 2*2። 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) ሆኖ ተገኘ። ተመሳሳይ መሰረት ያላቸው የስልጣን ውጤቶች ከቀደምት ሁለቱ ስልጣኖች ድምር ጋር እኩል ከሆነው መሰረት ጋር እኩል ነው።

ይህ አደጋ ነው ብለው ሊያስቡ ይችላሉ፣ ግን አይሆንም፡ ሌላ ማንኛውም ምሳሌ ይህንን ህግ ብቻ ሊያረጋግጥ ይችላል። ስለዚህ ፣ በ አጠቃላይ እይታቀመሩ ይመስላል በሚከተለው መንገድ: a^n * a^m = a^(n+m)። እንዲሁም ወደ ዜሮ ሃይል ያለው ማንኛውም ቁጥር ከአንድ ጋር እኩል እንደሆነ ህግም አለ. እዚህ የአሉታዊ ኃይሎችን ህግ ማስታወስ አለብን: a^ (-n) = 1 / a^n. ማለትም 2^3 = 8 ከሆነ 2^(-3) = 1/8 ማለት ነው። ይህንን ህግ በመጠቀም የእኩልነቱን ትክክለኛነት ማረጋገጥ ይችላሉ a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^( n)፣ a^ (n) ሊቀነስ እና አንድ ይቀራል። ከዚህ ደንቡ የመጣው ከስልጣኖች ብዛት ጋር ነው። በተመሳሳይ ምክንያቶችከዚህ መሠረት ጋር እኩል ነው ከክፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍፍ አንድ ^ n: a^m = a^(n-m) . ምሳሌ፡ 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0፡ 2^(-2) የሚለውን አገላለጽ ቀለል አድርግ። ማባዛት ተዘዋዋሪ ኦፕሬሽን ነው፣ስለዚህ መጀመሪያ የማባዛት አርቢዎችን መጨመር አለብህ፡ 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 =2. በመቀጠል በአሉታዊ ኃይል መከፋፈልን መቋቋም ያስፈልግዎታል. የአከፋፋዩን ገላጭ ከክፋዩ አርቢ መቀነስ አስፈላጊ ነው፡ 2^1፡ 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. በአሉታዊ የመከፋፈል አሠራሩ ዲግሪው ተመሳሳይ በሆነ አዎንታዊ አርቢ ከማባዛት አሠራር ጋር ተመሳሳይ ነው። ስለዚህ የመጨረሻው መልስ 8 ነው.

ቀኖናዊ ያልሆነ የኃይል ማባዛት የሚካሄድባቸው ምሳሌዎች አሉ። ኃይልን በተለያዩ መሠረቶች ማባዛት ብዙ ጊዜ በጣም ከባድ ነው፣ እና አንዳንዴም የማይቻል ነው። የተለያዩ ጥቂት ምሳሌዎች አሉ ሊሆኑ የሚችሉ ዘዴዎች. ምሳሌ፡- 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729 የሚለውን አገላለጽ ቀለል አድርግ። ነገር ግን ሁሉም መሰረቶች የሶስት የተለያዩ ኃይሎች መሆናቸውን ልብ ሊባል ይገባል. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. ደንቡን (a^n) ^m = a^(n*m) በመጠቀም አገላለጹን ይበልጥ አመቺ በሆነ መልኩ እንደገና መፃፍ አለቦት፡ 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * ( 3^5) ^ (-2) * 3^6 = 3^7 * 3^ (-4) * 3^(12) * 3^ (-10) * 3^6 = 3^(7) -4+12 -10+6) = 3^(11)። መልስ፡ 3^11 የት ሁኔታዎች ውስጥ የተለያዩ ምክንያቶች፣ ላይ እኩል አመልካቾችደንቡ ይሰራል፡ a^n * b^n = (a*b) ^n. ለምሳሌ 3^3 * 7^3 = 21^3። አለበለዚያ, መሠረቶቹ እና ገላጭዎቹ ሲለያዩ, ሙሉ ማባዛት ሊከናወን አይችልም. አንዳንድ ጊዜ የኮምፒዩተር ቴክኖሎጂን በከፊል ማቃለል ወይም መጠቀም ይችላሉ።

የስልጣን መደመር እና መቀነስ

ሃይል ያላቸው ቁጥሮች እንደሌሎች መጠኖች ሊጨመሩ እንደሚችሉ ግልጽ ነው። ፣ ከምልክቶቻቸው ጋር አንድ በአንድ በመጨመር.

ስለዚህ፣ የ 3 እና b 2 ድምር 3+ b 2 ነው።
የ 3 - b n እና h 5 -d 4 ድምር 3 - b n + h 5 - d 4 ነው።

ዕድሎች እኩል ዲግሪዎችተመሳሳይ ተለዋዋጮችመጨመር ወይም መቀነስ ይቻላል.

ስለዚህ፣ የ2a 2 እና 3a 2 ድምር ከ5a 2 ጋር እኩል ነው።

እንዲሁም ሁለት ካሬዎችን ከወሰዱ a, ወይም ሶስት ካሬዎች a, ወይም አምስት ካሬዎች a.

ግን ዲግሪዎች የተለያዩ ተለዋዋጮችእና የተለያዩ ዲግሪዎች ተመሳሳይ ተለዋዋጮች, ከመልክታቸው ጋር በማከል የተቀናበረ መሆን አለበት.

ስለዚህ የ 2 እና 3 ድምር የ 2 + a 3 ድምር ነው።

የ a ስኩዌር እና የኩብ ሀ ከካሬው ሁለት እጥፍ ጋር እኩል አለመሆኑ ግልጽ ነው, ነገር ግን ከኩብ ሁለት እጥፍ ነው.

የ 3 b n እና 3a 5 b 6 ድምር 3 b n + 3a 5 b 6 ነው።

መቀነስስልጣኖች የሚከናወኑት ከመደመር ጋር ተመሳሳይ ነው, ነገር ግን የንዑስ ህንጻዎች ምልክቶች በዚህ መሠረት መቀየር አለባቸው.

ወይም፡-
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 ሰ 2 ለ 6 - 4 ሰ 2 ለ 6 = - ሰ 2 ለ 6
5(ሀ - ሰ) 6 - 2(ሀ - ሰ) 6 = 3(ሀ - ሰ) 6

ኃይልን ማባዛት

በመካከላቸው ያለው የማባዛት ምልክት ወይም ያለ ማባዛት ቁጥር አንድ በአንድ በመጻፍ እንደሌሎች መጠኖች፣ ኃይል ያላቸው ቁጥሮች ሊባዙ ይችላሉ።

ስለዚህ, 3 በ b 2 ማባዛት ውጤቱ 3 b 2 ወይም aaabb ነው.

ወይም፡-
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

ውጤት በ የመጨረሻው ምሳሌተመሳሳይ ተለዋዋጮችን በመጨመር ማዘዝ ይቻላል.
አገላለጹ ቅጹን ይወስዳል፡ a 5 b 5 y 3።

ብዙ ቁጥሮችን (ተለዋዋጮችን) ከስልጣኖች ጋር በማነፃፀር ፣ከመካከላቸው ሁለቱ ቢባዙ ውጤቱ ከኃይል ጋር እኩል የሆነ ቁጥር (ተለዋዋጭ) መሆኑን ማየት እንችላለን ። መጠንየቃላት ደረጃዎች.

ስለዚህ፣ a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

እዚህ 5 የማባዛት ውጤት ኃይል ነው, እሱም ከ 2 + 3 ጋር እኩል ነው, የቃላቶቹ ኃይሎች ድምር.

ስለዚህ፣ a n .a m = a m+n .

ለ n , a እንደ የ n ኃይል ብዙ ጊዜ ይወሰዳል;

እና አንድ m የዲግሪ ኤም ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ ብዙ ጊዜ እንደ ምክንያት ይወሰዳል;

ለዛ ነው, ተመሳሳይ መሠረት ያላቸው ኃይሎች የኃይሎቹን ገላጭ በመጨመር ሊባዙ ይችላሉ።

ስለዚህ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . እና x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ወይም፡-
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ማባዛት (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)።
መልስ፡- x 4 - y 4
ማባዛት (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)።

ይህ ደንብ ገላጭ ለሆኑት ቁጥሮችም እውነት ነው። አሉታዊ.

1. ስለዚህ, a -2 .a -3 = a -5. ይህ (1/aa) ተብሎ ሊጻፍ ይችላል።(1/aaa) = 1/aaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b በ a - b ቢባዙ ውጤቱ 2 - b 2 ይሆናል፡ ማለትም

የሁለት ቁጥሮች ድምር ወይም ልዩነት የማባዛት ውጤት ከድምሩ ጋር እኩል ነው።ወይም የካሬዎቻቸው ልዩነት.

የተነሱትን የሁለት ቁጥሮች ድምር እና ልዩነት ካባዛችሁ ካሬ, ውጤቱ ከእነዚህ ቁጥሮች ድምር ወይም ልዩነት ጋር እኩል ይሆናል አራተኛዲግሪዎች.

ስለዚህ፣ (a - y)።(a + y) = a 2 - y 2።
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4።
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8።

የዲግሪዎች ክፍፍል

ሥልጣን ያላቸው ቁጥሮች እንደሌሎች ቁጥሮች፣ ከክፍፍል በመቀነስ ወይም በክፍልፋይ መልክ ሊከፋፈሉ ይችላሉ።

ስለዚህ፣ 3 b 2 በ b 2 የተከፈለ ከ 3 ጋር እኩል ነው።

5 በ 3 ተከፋፍሎ መፃፍ $\frac ይመስላል $. ግን ይህ ከ 2 ጋር እኩል ነው. በተከታታይ ቁጥሮች
ሀ +4 , a +3 , +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ማንኛውም ቁጥር በሌላ ሊከፋፈል ይችላል, እና አርቢው እኩል ይሆናል ልዩነትየሚከፋፈሉ ቁጥሮች አመልካቾች.

ዲግሪዎችን ከተመሳሳይ መሠረት ጋር ሲከፋፈሉ, ገላጭዎቻቸው ይቀንሳል..

ስለዚህ፣ y 3:y 2 = y 3-2 = y 1። ማለትም $\frac = y$።

እና a n+1:a = a n+1-1 = a n. ማለትም $\frac = a^n$።

ወይም፡-
y 2ሜ፡ y m = y ሜትር
8a n+m፡ 4a m = 2a n
12(b +y) n፡ 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

ደንቡ ለቁጥሮችም እውነት ነው አሉታዊየዲግሪዎች እሴቶች.
a -5ን በ -3 የመከፋፈል ውጤት -2 ነው።
እንዲሁም $\frac: \frac = \frac.\frac = \frac = \ frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ወይም $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

እንዲህ ያሉ ሥራዎች በአልጀብራ ውስጥ በስፋት ጥቅም ላይ ስለሚውሉ ማባዛትና የሥልጣን ክፍፍልን በሚገባ መቆጣጠር ያስፈልጋል።

ከስልጣኖች ጋር ቁጥሮችን ከያዙ ክፍልፋዮች ጋር ምሳሌዎችን የመፍታት ምሳሌዎች

1. አርቢዎቹን በ$\frac $ ይቀንሱ፡- $\frac $።

2. አርቢዎችን በ$\frac$ ይቀንሱ። መልስ፡$\frac$ ወይም 2x

3. አርቢዎቹን ሀ 2/a 3 እና a -3/a -4 ይቀንሱ እና ይምሩ የጋራ.
a 2 .a -4 a -2 የመጀመሪያው አሃዛዊ ነው።
a 3 .a -3 0 = 1 ነው, ሁለተኛው አሃዛዊ ነው.
a 3 .a -4 a -1 ነው፣የጋራው አሃዛዊ።
ከማቅለል በኋላ: a -2 /a -1 እና 1/a -1.

4. 2a 4/5a 3 እና 2/a 4 ገላጮችን ይቀንሱ እና ወደ አንድ የጋራ መለያ ይምጡ።
መልስ፡- 2a 3/5a 7 እና 5a 5/5a 7 or 2a 3/5a 2 and 5/5a 2።

5. ማባዛት (a 3 + b)/b 4 በ (a - b)/3.

6. ማባዛት (a 5 + 1)/x 2 በ (b 2 - 1)/(x + a)።

7. b 4 /a -2 በ h -3 /x እና a n /y -3 ማባዛት።

8. 4/y 3 በ 3/y 2 መከፋፈል። መልስ፡ a/y

የዲግሪ ባህሪያት

በዚህ ትምህርት ውስጥ እንደምንረዳው እናስታውስዎታለን የዲግሪዎች ባህሪያትጋር በአይነትእና ዜሮ. ዲግሪዎች ጋር ምክንያታዊ አመልካቾችእና ንብረቶቻቸው ለ 8 ኛ ክፍል ትምህርቶች ይብራራሉ.

ተፈጥሯዊ አመላካች ያለው ዲግሪ ብዙ አለው ጠቃሚ ንብረቶችከስልጣኖች ጋር በምሳሌዎች ውስጥ ስሌቶችን ለማቃለል የሚያስችልዎ.

ንብረት ቁጥር 1
የስልጣን ውጤት

ኃይላትን ከተመሳሳይ መሠረቶች ጋር ሲያባዙ መሠረቱ ሳይለወጥ ይቀራል፣ እና የኃይሎቹ ገላጭ ተጨምሯል።

a m · a n = a m + n፣ “a” ማንኛውም ቁጥር ሲሆን “m”፣ “n” ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥሮች ናቸው።

ይህ ንብረትዲግሪዎችም ተግባራዊ ይሆናሉ የሶስት ምርትእና ተጨማሪ ዲግሪዎች.

• አገላለጹን ቀለል ያድርጉት።
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• እንደ ዲግሪ ያቅርቡ.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• እንደ ዲግሪ ያቅርቡ.
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

እባክዎ ውስጥ መሆኑን ልብ ይበሉ የተወሰነ ንብረትእየተነጋገርን ያለነው ከተመሳሳዩ መሠረቶች ጋር ስለ ማባዛት ብቻ ነበር።. በመደመርያቸው ላይ አይተገበርም.

ድምርን (3 3 + 3 2) በ 3 5 መተካት አይችሉም። ከሆነ ይህ መረዳት ይቻላል
አስላ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, እና 3 5 = 243

ንብረት ቁጥር 2
ከፊል ዲግሪዎች

ስልጣኖችን ከተመሳሳይ መሠረቶች ጋር ሲከፋፈሉ መሰረቱ ሳይለወጥ ይቆያል, እና የአከፋፋዩ ገላጭ ከክፍፍል አርቢው ይቀንሳል.

• ጥቅሱን እንደ ኃይል ይፃፉ
  (2ለ) 5፡ (2ለ) 3 = (2ለ) 5 - 3 = (2ለ) 2
• አስላ።

11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
ለምሳሌ. እኩልታውን ይፍቱ. የምንጠቀመው የባለስልጣኖችን ንብረት ነው።
3 8፡ t = 3 4

መልስ፡ t = 3 4 = 81

በንብረቶች ቁጥር 1 እና ቁጥር 2 በመጠቀም, መግለጫዎችን በቀላሉ ማቃለል እና ስሌቶችን ማከናወን ይችላሉ.

ለምሳሌ. አገላለጹን ቀለል ያድርጉት።
45ሚ

ለምሳሌ. የጠቋሚዎችን ባህሪያት በመጠቀም የገለጻውን ዋጋ ያግኙ.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

እባክዎን በንብረት 2 ውስጥ እየተነጋገርን የነበረው ከተመሳሳዩ መሠረቶች ጋር ኃይሎችን ስለመከፋፈል ብቻ ነበር።

ልዩነቱን (4 3 -4 2) በ 4 1 መተካት አይችሉም። (4 3 -4 2) = (64 - 16) = 48, እና 4 1 = 4 ካሰሉ ይህ መረዳት ይቻላል.

ንብረት ቁጥር 3
አንድ ዲግሪ ወደ ኃይል ማሳደግ

ዲግሪን ወደ ሃይል ሲያሳድጉ, የዲግሪው መሰረቱ ሳይለወጥ ይቆያል, እና ገላጭዎቹ ይባዛሉ.

(a n) m = a n · m፣ “a” ማንኛውም ቁጥር ሲሆን “m”፣ “n” ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥሮች ናቸው።

አንድ ጥቅስ እንደ ክፍልፋይ ሊወከል እንደሚችል እናስታውስዎታለን። ስለዚህ, ክፍልፋዮችን ወደ ሃይል ስለማሳደግ ርዕስ በሚቀጥለው ገጽ ላይ በዝርዝር እንኖራለን.

ኃይልን እንዴት ማባዛት እንደሚቻል

ኃይልን እንዴት ማባዛት ይቻላል? የትኞቹ ሀይሎች ሊባዙ ይችላሉ እና የማይቻሉ? አንድን ቁጥር በኃይል እንዴት ማባዛት ይቻላል?

በአልጀብራ ውስጥ፣ በሁለት አጋጣሚዎች የኃይልን ምርት ማግኘት ይችላሉ፡-

1) ዲግሪዎቹ ተመሳሳይ መሠረቶች ካሏቸው;

2) ዲግሪዎቹ ተመሳሳይ አመልካቾች ካላቸው.

ኃይላትን ከተመሳሳይ መሠረቶች ጋር ሲያባዙ መሠረቱ አንድ ዓይነት መተው አለበት ፣ እና ገላጭዎቹ መጨመር አለባቸው።

ኃይላትን ሲባዛ ተመሳሳይ አመልካቾች አጠቃላይ አመላካችከቅንፍ ማውጣት ይቻላል:

የተወሰኑ ምሳሌዎችን በመጠቀም ሃይልን እንዴት ማባዛት እንደሚቻል እንይ።

ክፍሉ በአርቢው ውስጥ አልተፃፈም ፣ ግን ስልጣኖችን ሲያባዙ ፣ ግምት ውስጥ ያስገባሉ-

በሚባዙበት ጊዜ, ማንኛውም የኃይል ቁጥር ሊኖር ይችላል. ከደብዳቤው በፊት የማባዛት ምልክቱን መጻፍ እንደሌለብዎት መታወስ አለበት-

በገለፃዎች ውስጥ, ገላጭነት በመጀመሪያ ይከናወናል.

ቁጥርን በሃይል ማባዛት ከፈለጉ መጀመሪያ ገላጭነቱን ያከናውኑ እና ከዚያ ማባዛት ብቻ ነው፡-

ከተመሳሳይ መሠረቶች ጋር ኃይልን ማባዛት

ይህ የቪዲዮ አጋዥ ስልጠና በደንበኝነት ይገኛል።

አስቀድመው የደንበኝነት ምዝገባ አለህ? ለመግባት

በዚህ ትምህርት የስልጣን ማባዛትን ከመሰረቶች ጋር እናጠናለን። በመጀመሪያ የዲግሪውን ፍቺ እናስታውስ እና የእኩልነት ትክክለኛነት ላይ ንድፈ ሃሳብ እንቅረፅ . ከዚያም በተወሰኑ ቁጥሮች ላይ የመተግበሪያውን ምሳሌዎች እንሰጣለን እና እናረጋግጣለን. እንዲሁም ለመፍታት ንድፈ ሃሳቡን እንተገብራለን የተለያዩ ተግባራት.

ርዕስ፡ ኃይል ከተፈጥሮ ገላጭ እና ባህሪያቱ ጋር

ትምህርት፡ ሃይሎችን በተመሳሳዩ መሰረት (ቀመር) ማባዛት

1. መሰረታዊ ትርጓሜዎች

መሰረታዊ ትርጓሜዎች፡-

n- ገላጭ

— nየቁጥር ኃይል።

2. የቲዎረም መግለጫ 1

ቲዎሪ 1.ለማንኛውም ቁጥር ሀእና ማንኛውም ተፈጥሯዊ nእና ክእኩልነት እውነት ነው፡-

በሌላ አነጋገር: ከሆነ ሀ- ማንኛውም ቁጥር; nእና ክተፈጥሯዊ ቁጥሮች ፣ ከዚያ

ስለዚህ ደንብ 1:

3. የማብራሪያ ተግባራት

ማጠቃለያ፡-ልዩ ጉዳዮች የቲዎረም ቁጥር 1 ትክክለኛነት አረጋግጠዋል. ውስጥ እናረጋግጥ አጠቃላይ ጉዳይለማንኛውም ማለት ነው። ሀእና ማንኛውም ተፈጥሯዊ nእና ክ.

4. የቲዎረም ማረጋገጫ 1

ቁጥር ተሰጥቶታል። ሀ- ማንኛውም; ቁጥሮች nእና k -ተፈጥሯዊ. አረጋግጥ፡

ማስረጃው በዲግሪ ፍቺ ላይ የተመሰረተ ነው.

5. ቲዎረም 1ን በመጠቀም ምሳሌዎችን መፍታት

ምሳሌ 1፡እንደ ዲግሪ አስቡት.

የሚከተሉትን ምሳሌዎች ለመፍታት ቲዎረም 1ን እንጠቀማለን።

እና)

6. የቲዎረም አጠቃላይ 1

እዚህ ጥቅም ላይ የዋለው አጠቃላይ መግለጫ፡-

7. ቲዎረም 1ን ጠቅለል አድርጎ ምሳሌዎችን መፍታት

8. ቲዎረም 1ን በመጠቀም የተለያዩ ችግሮችን መፍታት

ምሳሌ 2፡አስሉ (የመሠረታዊ ኃይሎችን ሰንጠረዥ መጠቀም ይችላሉ).

ሀ) (በጠረጴዛው መሠረት)

ለ)

ምሳሌ 3፡በመሠረት 2 እንደ ኃይል ይፃፉ።

ሀ)

ምሳሌ 4፡የቁጥሩን ምልክት ይወስኑ;

፣ ሀ -አሉታዊ፣ በ -13 ላይ ያለው አርቢ እንግዳ ስለሆነ።

ምሳሌ 5፡(·) በቁጥር ሃይል በመሠረት ይተኩ አር፡

አለን ማለትም ነው።

9. ማጠቃለል

1. ዶሮፊቭ ጂ.ቪ., ሱቮሮቫ ኤስ.ቢ., ቡኒሞቪች ኢ.ኤ. እና ሌሎች አልጀብራ 7. 6 ኛ እትም. መ፡ መገለጥ። 2010

1. የትምህርት ቤት ረዳት (ምንጭ).

1. እንደ ሃይል ያቅርቡ፡-

ቢ ሲ ዲ ኢ)

3. በመሠረት 2 እንደ ኃይል ይፃፉ፡-

4. የቁጥሩን ምልክት ይወስኑ፡-

ሀ)

5. (·) በቁጥር ሃይል በመሠረት ይተኩ አር፡

ሀ) r 4 · (·) = r 15; ለ) (·) · r 5 = r 6

ከተመሳሳዩ ገላጮች ጋር የኃይል ማባዛትና ማከፋፈል

በዚህ ትምህርት የስልጣን ማባዛትን በእኩል አርቢዎች እናጠናለን። በመጀመሪያ፣ ሃይሎችን በተመሳሳይ መሰረት ስለማባዛት እና ስለመከፋፈል እና ስልጣንን ወደ ስልጣን ስለማሳደግ መሰረታዊ ትርጓሜዎችን እና ንድፈ ሃሳቦችን እናስታውስ። ከዚያም በተመሳሳዩ ገላጭ የስልጣን ማባዛትና ክፍፍል ላይ ንድፈ ሃሳቦችን ቀርጾ እናረጋግጣለን። እና ከዚያም በእነሱ እርዳታ ተከታታዮቹን እንፈታለን የተለመዱ ተግባራት.

የመሠረታዊ ትርጉሞች እና ቲዎሬሞች ማስታወሻ

እዚህ ሀ- የዲግሪው መሠረት;

— nየቁጥር ኃይል።

ቲዎሪ 1.ለማንኛውም ቁጥር ሀእና ማንኛውም ተፈጥሯዊ nእና ክእኩልነት እውነት ነው፡-

ሃይሎችን ከተመሳሳይ መሰረቶች ጋር ሲያባዙ, ገላጭዎቹ ተጨምረዋል, መሰረቱ ሳይለወጥ ይቆያል.

ቲዎሪ 2.ለማንኛውም ቁጥር ሀእና ማንኛውም ተፈጥሯዊ nእና ኬ፣ለምሳሌ n > ክእኩልነት እውነት ነው፡-

ዲግሪዎችን ከተመሳሳይ መሰረቶች ጋር ሲከፋፍሉ, ገላጭዎቹ ይቀንሳሉ, ነገር ግን መሰረቱ ሳይለወጥ ይቆያል.

ቲዎሪ 3.ለማንኛውም ቁጥር ሀእና ማንኛውም ተፈጥሯዊ nእና ክእኩልነት እውነት ነው፡-

የተዘረዘሩት ሁሉም ንድፈ ሃሳቦች ተመሳሳይ ስላላቸው ሃይሎች ነበሩ። ምክንያቶች, በዚህ ትምህርት በተመሳሳይ ዲግሪዎችን እንመለከታለን ጠቋሚዎች.

ሃይሎችን ከተመሳሳዩ ገላጭ ጋር የማባዛት ምሳሌዎች

የሚከተሉትን ምሳሌዎች ተመልከት።

ዲግሪውን ለመወሰን አገላለጾቹን እንፃፍ።

ማጠቃለያ፡-ከምሳሌዎቹ መረዳት ይቻላል:: ይህ ግን አሁንም መረጋገጥ አለበት። ንድፈ ሀሳቡን እንቀርፃለን እና በአጠቃላይ ሁኔታ ማለትም ለማንኛውም ሀእና ለእና ማንኛውም ተፈጥሯዊ n.

የቲዎረም ፎርሙላ እና ማረጋገጫ 4

ለማንኛውም ቁጥሮች ሀእና ለእና ማንኛውም ተፈጥሯዊ nእኩልነት እውነት ነው፡-

ማረጋገጫቲዎሪ 4 .

በዲግሪ ፍቺ፡-

ስለዚህ ያንን አረጋግጠናል። .

ሃይሎችን ከተመሳሳይ ገላጭ ጋር ለማባዛት, መሰረቱን ማባዛት እና አርቢውን ሳይለወጥ መተው በቂ ነው.

የቲዎረም ቀረጻ እና ማረጋገጫ 5

ሃይሎችን በተመሳሳይ ገላጭ መግለጫዎች የመከፋፈል ንድፈ ሃሳብ እንቅረፅ።

ለማንኛውም ቁጥር ሀእና ለ() እና ማንኛውም ተፈጥሯዊ nእኩልነት እውነት ነው፡-

ማረጋገጫቲዎሪ 5 .

የዲግሪውን ትርጉም እንፃፍ፡-

የንድፈ ሃሳቦች መግለጫ በቃላት

ስለዚህ ያንን አረጋግጠናል።

ተመሳሳይ ገላጭ ያላቸው ስልጣኖችን እርስ በእርስ ለመከፋፈል አንዱን መሰረት በሌላው መከፋፈል በቂ ነው, እና አርቢውን ሳይለወጥ ይተዉታል.

ቲዎረም 4ን በመጠቀም የተለመዱ ችግሮችን መፍታት

ምሳሌ 1፡የስልጣን ውጤት ሆኖ ያቅርቡ።

የሚከተሉትን ምሳሌዎች ለመፍታት፣ Theorem 4 ን እንጠቀማለን።

የሚከተለውን ምሳሌ ለመፍታት፣ ቀመሮቹን ያስታውሱ፡-

የቲዎረም አጠቃላይነት 4

የቲዎረም 4 አጠቃላይ

አጠቃላይ ንድፈ ሃሳብን በመጠቀም ምሳሌዎችን መፍታት 4

የተለመዱ ችግሮችን ለመፍታት መቀጠል

ምሳሌ 2፡እንደ ምርቱ ኃይል ይፃፉ.

ምሳሌ 3፡አርቢ 2 ጋር እንደ ሃይል ይጻፉት።

የሂሳብ ምሳሌዎች

ምሳሌ 4፡በጣም ምክንያታዊ በሆነ መንገድ አስሉ.

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. አልጀብራ 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. እና ሌሎች፡- አልጀብራ 7.ኤም፡ መገለጥ። በ2006 ዓ.ም

2. የትምህርት ቤት ረዳት (ምንጭ).

1. የስልጣን ውጤት ሆኖ የቀረበ፡-

ሀ) ; ለ) ; ቪ) ; ሰ) ;

2. እንደ ምርቱ ኃይል ይጻፉ፡-

3. ከአርቢ 2 ጋር እንደ ሃይል ይፃፉ፡-

4. በጣም ምክንያታዊ በሆነ መንገድ አስሉ.

“የስልጣን ማባዛትና ክፍፍል” በሚለው ርዕስ ላይ የሂሳብ ትምህርት

ክፍሎች፡-ሒሳብ

ፔዳጎጂካል ግብ:

ተማሪው ይማራል።ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር የኃይል ማባዛትና መከፋፈል ባህሪያትን መለየት; በተመሳሳዩ መሠረቶች ውስጥ እነዚህን ንብረቶች ይተግብሩ;

ተማሪው እድሉ ይኖረዋልየዲግሪ ለውጦችን በተለያዩ መሠረቶች ማከናወን እና በተጣመሩ ተግባራት ውስጥ ለውጦችን ማከናወን መቻል።

ተግባራት:

ቀደም ሲል የተጠኑ ነገሮችን በመድገም የተማሪዎችን ሥራ ማደራጀት;

የተለያዩ አይነት ልምምዶችን በማከናወን የመራቢያ ደረጃን ማረጋገጥ;

በፈተና የተማሪዎችን ራስን መገምገም ላይ ቼክ ያደራጁ።

የማስተማር ተግባር ክፍሎች፡-ከተፈጥሮ አመልካች ጋር ዲግሪ መወሰን; የዲግሪ አካላት; የግል ትርጉም; ጥምር ህግማባዛት.

I. የተማሪዎችን ነባር ዕውቀት የተካኑበትን ማሳያ ማደራጀት። (ደረጃ 1)

ሀ) እውቀትን ማዘመን;

2) የዲግሪ ፍቺን ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር ያዘጋጁ።

a n =a a a a … a (n times)

b k = b b b b a… b (k times) መልሱን አረጋግጥ።

II. አሁን ባለው ልምድ የተማሪውን የብቃት ደረጃ በራስ የመገምገም አደረጃጀት። (ደረጃ 2)

ራስን መሞከር: ( የግለሰብ ሥራበሁለት ስሪቶች ውስጥ)

A1) ምርቱን 7 7 7 7 x x እንደ ኃይል ያቅርቡ፡

A2) ኃይሉን (-3) 3 x 2ን እንደ ምርት ይወክላል

A3) አስላ፡ -2 3 2 + 4 5 3

በክፍል ደረጃ ዝግጅት መሰረት በፈተናው ውስጥ ያሉትን የተግባሮች ብዛት እመርጣለሁ.

እራስን ለመፈተሽ የፈተናውን ቁልፍ እሰጥዎታለሁ። መስፈርት: ማለፍ - ምንም ማለፊያ የለም.

III. ትምህርታዊ እና ተግባራዊ ተግባር (ደረጃ 3) + ደረጃ 4. (ተማሪዎቹ እራሳቸው ንብረቶቹን ያዘጋጃሉ)

አስላ፡ 2 2 2 3 =? 3 3 3 2 3 =?

ቀለል አድርግ፡ a 2 a 20 =? ለ 30 ለ 10 ለ 15 =?

ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ 1) እና 2) ፣ ተማሪዎች የመፍትሄ ሀሳብ አቅርበዋል ፣ እና እኔ ፣ እንደ አስተማሪ ፣ በተመሳሳይ መሠረት ሲባዙ ስልጣንን ለማቅለል የሚያስችል መንገድ ለመፈለግ ክፍሉን አደራጅቻለሁ።

መምህር፡ ከተመሳሳዩ መሠረቶች ጋር ሲባዙ ኃይላትን ለማቅለል መንገድ ፍጠር።

በክላስተር ላይ ግቤት ይታያል፡-

የትምህርቱ ርዕስ ተዘጋጅቷል. የኃይል ማባዛት.

አስተማሪ: ተመሳሳይ መሰረት ያላቸውን ኃይሎች ለመከፋፈል ደንብ አውጡ.

ማመዛዘን፡ ክፍፍሉን ለመፈተሽ ምን አይነት እርምጃ ጥቅም ላይ ይውላል? አ 5፡ a 3 =? ያ 2 a 3 = a 5

ወደ ሥዕላዊ መግለጫው እመለሳለሁ - ክላስተር እና በመግቢያው ላይ እጨምራለሁ - .. ስንካፈል, የትምህርቱን ርዕስ እንቀንሳለን እና እንጨምራለን. ... እና የዲግሪዎች ክፍፍል.

IV. የእውቀት ገደቦችን (ቢያንስ እና ከፍተኛ) ከተማሪዎች ጋር መግባባት።

መምህር፡ የዛሬው ትምህርት ዝቅተኛው ተግባር የማባዛት እና የሃይል ክፍፍል ባህሪያትን ከተመሳሳይ መሰረት ጋር መተግበርን መማር ሲሆን ከፍተኛው ስራ ደግሞ ማባዛትን እና መከፋፈልን በጋራ መተግበር ነው።

በቦርዱ ላይ እንጽፋለን : a m a n = a m+n; a m: a n = a m-n

V. አዳዲስ ቁሳቁሶችን የማጥናት ድርጅት. (ደረጃ 5)

ሀ) እንደ መማሪያው ቁጥር 403 (a, c, e) የተለያዩ ቃላት ያሏቸው ተግባራት

ቁጥር ፬፻፬ (ሀ፣ መ፣ ረ) ገለልተኛ ሥራ, ከዚያም የጋራ ቼክ አደራጅቼ ቁልፎቹን እሰጣለሁ.

ለ) እኩልነት ለምን ያህል m ዋጋ አለው? a 16 a m = a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14

ምደባ፡ ለመከፋፈል ተመሳሳይ ምሳሌዎችን ይዘው ይምጡ።

ሐ) ቁጥር ​​፬፻፲፯ (ሀ) ቁጥር ​​፬፻፲፰ (ሀ) ለተማሪዎች ወጥመዶች፡ x 3 x n = x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; ሀ 16፡ a 8 = a 2

VI. የተማረውን ማጠቃለል፣ የምርመራ ስራን ማካሄድ (ተማሪዎችን የሚያበረታታ እንጂ መምህሩ ይህን ርዕስ እንዲያጠና አይደለም) (ደረጃ 6)

የምርመራ ሥራ.

ሙከራ(ቁልፎቹን ያስቀምጡ የኋላ ጎንፈተና)።

የተግባር አማራጮች፡ ጥቅሱን x 15ን እንደ ሃይል ይወክላሉ፡ x 3; ምርቱን እንደ ኃይል ይወክላል (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7; ለየትኛው m እኩልነት 16 a m = a 32 ትክክለኛ ነው? የገለጻውን ዋጋ ያግኙ h 0: h 2 በ h = 0.2; የገለጻውን ዋጋ አስላ (5 2 5 0): 5 2 .

የትምህርቱ ማጠቃለያ። ነጸብራቅ።ክፍሉን በሁለት ቡድን እከፍላለሁ.

በቡድን I ውስጥ ክርክሮችን ያግኙ: የዲግሪውን ባህሪያት በማወቅ, እና ቡድን II - ያለ ንብረቶች ማድረግ እንደሚችሉ የሚናገሩ ክርክሮች. ሁሉንም መልሶች እናዳምጣለን እና መደምደሚያዎችን እንወስዳለን. በሚቀጥሉት ትምህርቶች፣ ስታቲስቲካዊ መረጃዎችን ማቅረብ እና “ከእምነት በላይ ነው!” የሚለውን ጽሑፍ መጥራት ይችላሉ።

በአማካይ ሰው በህይወት ዘመናቸው 32 10 2 ኪሎ ግራም ዱባዎችን ይመገባል።

ተርብ ያለማቋረጥ በረራ ማድረግ የሚችል ነው 3.2 10 2 ኪሜ.

መስታወት ሲሰነጠቅ ስንጥቅ በሰአት 5 10 3 ኪ.ሜ በሚደርስ ፍጥነት ይሰራጫል።

እንቁራሪት በህይወቱ ከ3 ቶን በላይ ትንኞችን ትበላለች። ዲግሪውን በመጠቀም በኪ.ግ.

በጣም የበለፀገው የውቅያኖስ አሳ - ጨረቃ (ሞላ ሞላ) ተብሎ የሚታሰበው እስከ 300,000,000 የሚደርሱ እንቁላሎችን በዲያሜትር 1.3 ሚ.ሜ. ይህንን ቁጥር በኃይል ይፃፉ።

VII. የቤት ስራ.

ታሪካዊ ማጣቀሻ. ምን ቁጥሮች Fermat ቁጥሮች ይባላሉ.

P.19. ቊ ፬፻፫፣ ቁጥር ፬፻፰፣ ቁጥር ፬፻፲፯

ያገለገሉ መጻሕፍት፡-

የመማሪያ መጽሐፍ "አልጀብራ-7", ደራሲዎች ዩ.ኤን. ማካሪቼቭ, ኤን.ጂ. ሚንዲዩክ እና ሌሎች.

ዲዳክቲክ ቁሳቁስ ለ 7 ኛ ክፍል ፣ ኤል.ቪ. ኩዝኔትሶቫ, ኤል.አይ. ዝቫቪች, ኤስ.ቢ. ሱቮሮቭ.

ኢንሳይክሎፔዲያ የሂሳብ.

መጽሔት "Kvant".

የዲግሪዎች ባህሪያት, ቀመሮች, ማረጋገጫዎች, ምሳሌዎች.

የቁጥሩ ኃይል ከተወሰነ በኋላ ስለ እሱ ማውራት ምክንያታዊ ነው። ዲግሪ ባህሪያት. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የቁጥር ኃይልን መሰረታዊ ባህሪያትን እንሰጣለን, ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ገላጮችን በመንካት. እዚህ ሁሉንም የዲግሪዎች ባህሪያት ማረጋገጫዎችን እናቀርባለን, እና ምሳሌዎችን በሚፈቱበት ጊዜ እነዚህ ባህሪያት እንዴት ጥቅም ላይ እንደሚውሉ እናሳያለን.

የገጽ አሰሳ።

የዲግሪዎች ባህሪያት ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር

ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር ያለውን ሃይል በመግለፅ፣ ኃይሉ a n የ n ምክንያቶች ውጤት ነው፣ እያንዳንዱም ከሀ ጋር እኩል ነው። በዚህ ፍቺ መሰረት, እና እንዲሁም በመጠቀም የእውነተኛ ቁጥሮች ማባዛት ባህሪያት, የሚከተሉትን ማግኘት እና ማጽደቅ እንችላለን የዲግሪ ባህሪያት ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር:

የዲግሪው ዋና ንብረት a m ·a n =a m+n፣ አጠቃላይነቱ a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k;

ተመሳሳይ መሠረቶች ያሉት የቁጥር ኃይሎች ንብረት a m:a n =a m-n;

የአንድ ምርት ደረጃ ንብረት (a·b) n =a n ·b n፣ ማራዘሚያው (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n;

የንብረቱ ንብረት ወደ ተፈጥሯዊ ዲግሪ (a: b) n = a n: b n;

ዲግሪን ወደ ኃይል (a m) ማሳደግ n =a m·n፣ አጠቃላይነቱ (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;

የዲግሪ ማነፃፀር ከዜሮ ጋር;

• a> 0 ከሆነ፣ ከዚያ n>0 ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n;
• a=0 ከሆነ፣ ከዚያም a n =0;
• 2 · ሜትር >0 ከሆነ፣ 2·m-1 n ከሆነ;
• m እና n የተፈጥሮ ቁጥሮች ከሆኑ m>n፣ ከዚያ ለ 0m n፣ እና ለ a>0 እኩልነት m > a n እውነት ነው።

ሁሉም የተፃፉ እኩልነት መሆናቸውን ወዲያውኑ እናስተውል ተመሳሳይበተጠቀሱት ሁኔታዎች መሰረት ሁለቱም የቀኝ እና የግራ ክፍሎቻቸው ሊለዋወጡ ይችላሉ. ለምሳሌ፣ የክፍልፋይ ዋና ንብረት a m ·a n =a m+n with መግለጫዎችን ማቃለልብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ የሚውለው m+n =a m ·a n ነው።

አሁን እያንዳንዳቸውን በዝርዝር እንመልከታቸው.

በተጠራው ተመሳሳይ መሠረት ባላቸው የሁለት ኃይሎች ምርት ንብረት እንጀምር የዲግሪው ዋና ንብረትለማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ሀ እና ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥሮች m እና n እኩልነት a m ·a n =a m+n እውነት ነው።

የዲግሪውን ዋና ንብረት እናረጋግጥ. በተፈጥሮ ገላጭ ሃይል ፍቺ መሰረት የኃይላት ውጤት አንድ m ·a n እንደ ምርት ሊፃፍ ይችላል። . በማባዛት ባህሪያት ምክንያት, የተገኘው አገላለጽ እንደ ሊጻፍ ይችላል , እና ይህ ምርት የቁጥር ኃይል ነው a ከተፈጥሮ ገላጭ m+n ማለትም m+n. ይህ ማስረጃውን ያጠናቅቃል.

የዲግሪውን ዋና ንብረት የሚያረጋግጥ ምሳሌ እንስጥ. ዲግሪዎችን በተመሳሳይ መሠረቶች 2 እና የተፈጥሮ ሃይሎች 2 እና 3 እንውሰድ፤ የዲግሪ መሰረታዊ ንብረቶችን በመጠቀም እኩልነትን 2 2 · 2 3 =2 2+3 =2 5 እንጽፋለን። የ 2 2 · 2 3 እና 2 5 ን ዋጋዎችን በማስላት ትክክለኛነቱን እንፈትሽ። አባባሎችን በማከናወን 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 እና 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32 አለን, እኩል እሴቶችን ስለምናገኝ, ከዚያም እኩልነት 2 2 ·2 3 =2 5 ትክክል ነው, እና የዲግሪውን ዋና ንብረት ያረጋግጣል.

በማባዛት ባህሪያት ላይ የተመሰረተ የዲግሪ መሰረታዊ ንብረት ወደ ሶስት እና ምርቶች ሊጠቃለል ይችላል ተጨማሪዲግሪዎች ከተመሳሳይ መሰረቶች እና ተፈጥሯዊ አመልካቾች ጋር. ስለዚህ ለማንኛውም k የተፈጥሮ ቁጥሮች n 1፣ n 2፣ …፣ n k እኩልነት a n 1 · a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k እውነት ነው።

ለምሳሌ (2,1) 3 · (2,1) 3 · (2,1) 4 · (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 = (2,1) 17 .

በተፈጥሮ ገላጭ ወደ ቀጣዩ የስልጣን ንብረት መሄድ እንችላለን - ከተመሳሳይ መሠረቶች ጋር የቁጥር ኃይሎች ንብረት: ለማንኛውም ዜሮ ያልሆነ እውነተኛ ቁጥር ሀ እና የዘፈቀደ የተፈጥሮ ቁጥሮች m እና n ሁኔታን የሚያረካ m: a n =a m-n እውነት ነው።

የዚህን ንብረት ማረጋገጫ ከመስጠታችን በፊት, ትርጉሙን እንወያይ ተጨማሪ ሁኔታዎችበቃላት አወጣጥ ውስጥ. ከ 0 n =0 ጀምሮ በዜሮ መከፋፈልን ለማስወገድ ቅድመ ሁኔታ a≠0 አስፈላጊ ነው እና መከፋፈልን ስንተዋወቅ በዜሮ መከፋፈል እንደማንችል ተስማምተናል። ሁኔታው m>n የተዋወቀው ከተፈጥሯዊ ገላጭነት በላይ እንዳንሄድ ነው። በእርግጥ፣ ለ m>n አራቢው m-n የተፈጥሮ ቁጥር ነው፣ ውስጥ አለበለዚያወይ ዜሮ (m-n በሚሆንበት ጊዜ የሚከሰት) ወይም አሉታዊ ቁጥር (የሚከሰተው m-n ·a n =a (m-n)+n =a m ነው። ከተፈጠረው እኩልነት m−n ·a n =a m እና ከማካፈል ጋር ካለው ግንኙነት ማባዛት እንደሚከተለው ይሆናል m-n የስልጣን ብዛት a m እና a n ነው።ይህም ተመሳሳይ መሰረት ያላቸው የስልጣን ጥቅሶችን ንብረት ያረጋግጣል።

አንድ ምሳሌ እንስጥ። ሁለት ዲግሪዎችን ከተመሳሳይ መሠረቶች π እና የተፈጥሮ ገላጭ 5 እና 2 እንውሰድ፣ እኩልነት π 5፡π 2 =π 5−3 =π 3 ከዲግሪው ግምት ውስጥ ካለው ንብረት ጋር ይዛመዳል።

አሁን እናስብበት የምርት ኃይል ንብረት: የተፈጥሮ ዲግሪየሁለቱም እውነተኛ ቁጥሮች ሀ እና b n ከስልጣኖች ውጤት ጋር እኩል ነው a n እና b n , ማለትም (a·b) n =a n ·b n .

በእርግጥም ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር በዲግሪ ፍቺ አለን። . የመጨረሻው ክፍልበማባዛት ባህሪያት ላይ በመመስረት እንደ እንደገና ሊጻፍ ይችላል ከ n · b n ጋር እኩል ነው።

አንድ ምሳሌ ይኸውና፡- .

ይህ ንብረት የሶስት እና ምርት ኃይል ይዘልቃል ተጨማሪአባዢዎች. ማለትም፣ የ k ምክንያቶች ምርት የተፈጥሮ ዲግሪ n ንብረት እንደ (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n ተብሎ ተጽፏል።

ግልፅ ለማድረግ ይህንን ንብረት በምሳሌ እናሳያለን። ለሶስት ምክንያቶች ምርት ወደ 7 ኃይል አለን.

የሚከተለው ንብረት ነው። በአይነት የዋጋ ንብረትየእውነተኛ ቁጥሮች ሀ እና ለ፣ b≠0 ለተፈጥሮ ሃይል n ከስልጣኖች ብዛት a n እና b n ጋር እኩል ነው፣ ማለትም፣ (a:b) n =a n:b n.

ማስረጃው ያለፈውን ንብረት በመጠቀም ሊከናወን ይችላል. ስለዚህ (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n, እና ከእኩልነት (a: b) n ·b n = a n ይከተላል (a: b) n የ ክፍፍል a n on bn.

ይህንን ንብረት እንደ ምሳሌ የተወሰኑ ቁጥሮችን በመጠቀም እንፃፍ፡- .

አሁን ድምጽ እናሰማ ኃይልን ወደ ኃይል የማሳደግ ንብረት፦ ለማንኛውም እውነተኛ ቁጥር ሀ እና ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥሮች m እና n፣ የ m ኃይሉ በ n ኃይሉ ላይ ካለው ቁጥር ሀ ጋር እኩል ነው፣ ማለትም (a m) n =a m·n።

ለምሳሌ፣ (5 2) 3 =5 2·3 =5 6።

የስልጣን-ወደ-ዲግሪ ንብረቱ ማረጋገጫ የሚከተለው የእኩልነት ሰንሰለት ነው። .

ግምት ውስጥ ያለው ንብረት ወደ ዲግሪ ወደ ዲግሪ, ወዘተ ሊራዘም ይችላል. ለምሳሌ, ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥሮች p, q, r እና s, እኩልነት . ለበለጠ ግልጽነት፣ ከዚህ ጋር አንድ ምሳሌ እንስጥ የተወሰኑ ቁጥሮች: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

ዲግሪዎችን ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር በማነፃፀር ባህሪያት ላይ ለመቆየት ይቀራል.

ዜሮን እና ሃይልን ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር የማወዳደር ንብረቱን በማረጋገጥ እንጀምር።

በመጀመሪያ፣ n >0 ለማንኛውም a>0 መሆኑን እናረጋግጥ።

የሁለት ምርት አዎንታዊ ቁጥሮችአወንታዊ ቁጥር ነው፣ ከማባዛት ፍቺው እንደሚከተለው። ይህ እውነታ እና የማባዛት ባህሪያቶች እንደሚያሳዩት የትኛውንም ቁጥር አወንታዊ ቁጥሮች ማባዛት ውጤቱም አወንታዊ ቁጥር ይሆናል። እና የቁጥር ሀ ከተፈጥሮአዊ ገላጭ n ጋር፣ በትርጉሙ፣ የ n ምክንያቶች ውጤት ነው፣ እያንዳንዱም ከሀ ጋር እኩል ነው። እነዚህ ነጋሪ እሴቶች ለማንኛውም አወንታዊ መሠረት ሀ፣ ዲግሪ a n አዎንታዊ ቁጥር መሆኑን እንድናረጋግጥ ያስችሉናል። በተረጋገጠው ንብረት 3 5>0፣ (0.00201) 2>0 እና .

ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n በ a=0 የ n ዲግሪ ዜሮ መሆኑ በጣም ግልፅ ነው። በእርግጥ፣ 0 n =0·0·…·0=0። ለምሳሌ፣ 0 3 =0 እና 0 762 =0።

ወደዚህ እንሂድ አሉታዊ ምክንያቶችዲግሪዎች.

አርቢው እኩል ቁጥር ሲሆን ከጉዳዩ እንጀምር፣ 2·m ብለን እናመልከት፣ ኤም የተፈጥሮ ቁጥር ነው። ከዚያም . አሉታዊ ቁጥሮችን ለማባዛት በወጣው ደንብ መሠረት እያንዳንዱ የ a·a ቅጽ ምርቶች ከቁጥር ሀ እና ሀ ፍፁም እሴቶች ጋር እኩል ናቸው ፣ ይህ ማለት አወንታዊ ቁጥር ነው ማለት ነው። ስለዚህ, ምርቱም አዎንታዊ ይሆናል እና ዲግሪ 2 · ሜትር. ምሳሌዎችን እንስጥ፡ (-6) 4>0፣ (-2፣2) 12>0 እና .

በመጨረሻም, መሰረቱ a አሉታዊ ቁጥር እና ገላጭ ከሆነ ኢተጋማሽ ቁጥር 2 ሜ -1 ፣ ከዚያ . ሁሉም ምርቶች a·a አዎንታዊ ቁጥሮች ናቸው፣ የእነዚህ አወንታዊ ቁጥሮች ውጤትም አዎንታዊ ነው፣ እና በቀሪው አሉታዊ ቁጥር ማባዛቱ አሉታዊ ቁጥርን ያስከትላል። በዚህ ንብረት ምክንያት (-5) 3 17 n n የግራ እና የቀኝ ጎን ውጤት ነው n እውነተኛ አለመመጣጠን ሀ የእኩልነት ባህሪያት፣ የ n n ቅፅ ተመጣጣኝ አለመመጣጠን እንዲሁ እውነት ነው። ለምሳሌ, በዚህ ንብረት ምክንያት, እኩል ያልሆኑ 3 7 7 እና .

የመጨረሻውን ለማረጋገጥ ይቀራል የተዘረዘሩት ንብረቶችዲግሪዎች ከተፈጥሯዊ አመልካቾች ጋር. እንፍጠርለት። ከሁለት ሃይሎች ተፈጥሯዊ ገላጭ እና ተመሳሳይ አወንታዊ መሠረቶች ከአንድ ያነሰ, ገላጭነቱ ትንሽ የሆነበት ትልቅ ነው; እና ከሁለት ሀይሎች በተፈጥሮ ገላጭ እና ተመሳሳይ መሰረት ያላቸው ከአንድ የሚበልጡ, ገላጭነቱ የሚበልጥ ነው. ወደዚህ ንብረት ማረጋገጫ እንቀጥል.

ለ m>n እና 0m n እናረጋግጥ። ይህንን ለማድረግ, ልዩነቱን a m - a n እንጽፋለን እና ከዜሮ ጋር እናነፃፅራለን. የተመዘገበው ልዩነት፣ nን ከቅንፍ ካወጣ በኋላ፣ a n ·(a m-n-1) ቅጽ ይወስዳል። የተገኘው ምርት እንደ አወንታዊ ቁጥር a n እና አሉታዊ ነው። አሉታዊ ቁጥር a m-n -1 (a n እንደ አዎንታዊ ቁጥር ተፈጥሯዊ ኃይል አዎንታዊ ነው, እና ልዩነቱ a m-n -1 አሉታዊ ነው, ከ m-n> 0 በመነሻ ሁኔታ ምክንያት m> n, ይህም ማለት በ 0m- ላይ ነው. n ከአንድ ያነሰ ነው). ስለዚህ, አንድ m -a n m n, ይህም መረጋገጥ ያለበት ነው. ለምሳሌ እንስጥ እውነተኛ እኩልነት.

የንብረቱን ሁለተኛ ክፍል ለማረጋገጥ ይቀራል. ለ m>n እና a>1 a m > a n እውነት መሆኑን እናረጋግጥ። m -a nን ከቅንፍ ከወሰዱ በኋላ ያለው ልዩነት a n ·(a m-n -1) ይይዛል። ይህ ምርት አወንታዊ ነው፣ ምክንያቱም ለ a>1 ዲግሪ a n አወንታዊ ቁጥር ነው፣ እና ልዩነቱ m-n -1 አዎንታዊ ቁጥር ነው፣ ከ m-n> 0 የተነሳ። የመጀመሪያ ሁኔታ, እና ለ a> 1 ዲግሪ a m-n ከአንድ በላይ. በውጤቱም, a m -a n>0 እና a m> a n, ይህም መረጋገጥ ያለበት ነው. ይህ ንብረት በእኩልነት 3 7>3 2 ይገለጻል።

የኢንቲጀር ገላጮች ያላቸው የስልጣኖች ባህሪያት

አወንታዊ ኢንቲጀሮች ተፈጥሯዊ ቁጥሮች በመሆናቸው ኢንቲጀሮች ያሉት ሁሉም የሃይል ባህሪዎች ናቸው። አዎንታዊ አመልካቾችከተዘረዘሩት እና ከተረጋገጡት የተፈጥሮ ገላጮች ጋር በትክክል ከስልጣኖች ባህሪያት ጋር ይጣጣማል የቀድሞ አንቀጽ.

ኢንቲጀር ጋር ዲግሪ አሉታዊ አመላካች, እንዲሁም ዜሮ አርቢ ያለው ዲግሪ፣ ሁሉም የዲግሪዎች ባህርያት በተፈጥሮ ገላጭነት፣ በእኩልነት የተገለጹ፣ ልክ እንደሆኑ በሚቆይ መንገድ ገለፅን። ስለዚህ, እነዚህ ሁሉ ንብረቶች ለሁለቱም ዜሮ ገላጭ እና አሉታዊ ገላጭ ናቸው, በእርግጥ, የስልጣኖች መሠረቶች ከዜሮ የተለዩ ናቸው.

ስለዚህ፣ ለማንኛውም እውነተኛ እና ዜሮ ያልሆኑ ቁጥሮች a እና b፣ እንዲሁም ማንኛውም ኢንቲጀር m እና n፣ የሚከተሉት እውነት ናቸው፡ የኢንቲጀር አርቢዎች ያላቸው የስልጣኖች ባህሪዎች:

• a m ·a n =a m+n;
• a m: a n =a m-n;
• (a·b) n =a n ·b n;
• (a:b) n =a n: b n;
• (a m) n =a m · n;
• n አዎንታዊ ኢንቲጀር ከሆነ a እና b አዎንታዊ ቁጥሮች እና ሀ n እና a -n > b -n;
• m እና n ኢንቲጀር ከሆኑ እና m>n፣ ከዚያ ለ 0m n፣ እና ለ a>1 እኩልነት m > a n ይይዛል።

a=0 ሲሆን m እና n ሀይሎች ትርጉም የሚሰጡት ሁለቱም m እና n አዎንታዊ ኢንቲጀር ሲሆኑ ብቻ ነው ማለትም የተፈጥሮ ቁጥሮች። ስለዚህ፣ አሁን የተጻፉት ንብረቶችም ለጉዳዮቹ ልክ ናቸው a=0 እና ቁጥሮች m እና n አዎንታዊ ኢንቲጀር ናቸው።

የእያንዳንዳቸውን ባህሪያት ማረጋገጥ አስቸጋሪ አይደለም, ይህንን ለማድረግ, የዲግሪውን ፍቺዎች በተፈጥሯዊ እና ኢንቲጀር ገላጭ, እንዲሁም የእርምጃዎችን ባህሪያት መጠቀም በቂ ነው. እውነተኛ ቁጥሮች. እንደ ምሳሌ፣ ከኃይል ወደ ኃይል ያለው ንብረት ለሁለቱም አዎንታዊ ኢንቲጀር እና አወንታዊ ያልሆኑ ኢንቲጀሮች እንደሚይዝ እናረጋግጥ። ይህንን ለማድረግ p ዜሮ ከሆነ ወይም የተፈጥሮ ቁጥርእና q ዜሮ ወይም የተፈጥሮ ቁጥር ነው, ከዚያም እኩልታዎች (a p) q = a p·q, (a -p) q =a (-p) ·q, (a p) -q =a p · (-q) እና ( a -p) -q =a (-p) · (-q) . እንስራው.

ለአዎንታዊ p እና q፣ እኩልነት (a p) q =a p·q ባለፈው አንቀጽ ላይ ተረጋግጧል። p=0 ከሆነ (a 0) q =1 q =1 እና 0·q =a 0 =1, ከየት ነው (a 0) q =a 0·q. በተመሳሳይ፣ q=0 ከሆነ፣ ከዚያ (a p) 0 =1 እና p·0 =a 0 =1፣ ከየት (a p) 0 =a p·0። ሁለቱም p=0 እና q=0 ከሆኑ (a 0) 0 =1 0 =1 እና 0·0 =a 0 =1፣ ከየት ነው (a 0) 0 =a 0·0።

አሁን ያንን እናረጋግጣለን (a -p) q =a (-p) ·q . በአሉታዊ ኢንቲጀር አርቢ ያለው ኃይል ፍቺ፣ እንግዲህ . ባለን የስልጣን ጥቅሶች ንብረት . ከ 1 ፒ = 1 · 1 ·…·1=1 እና ከዚያ . የመጨረሻው አገላለጽበትርጉም, የቅርጽ ኃይል ነው - (p·q) , እሱም በማባዛት ደንቦች ምክንያት, እንደ (-p) ·q ሊጻፍ ይችላል.

እንደዚሁም .

እና .

ተመሳሳዩን መርህ በመጠቀም ፣ ሁሉንም ሌሎች የዲግሪ ንብረቶችን በኢንቲጀር አርቢ ፣ በእኩልነት መልክ የተፃፈ ማረጋገጥ ይችላሉ።

በተመዘገቡት ንብረቶቹ ላይ፣ ለእኩልነት ማረጋገጫው -n > b -n ላይ መቀመጥ ተገቢ ነው፣ ይህም ለማንኛውም አሉታዊ ኢንቲጀር -n እና ለማንኛውም አወንታዊ a እና b . የዚህን አለመመጣጠን በግራ እና በቀኝ መካከል ያለውን ልዩነት እንጽፍ እና እንለውጥ። . በሁኔታ ሀ n n, ስለዚህ, b n -a n >0. ምርቱ a n · b n እንደ አወንታዊ ቁጥሮችም አወንታዊ ነው። ከዚያ የተገኘው ክፍልፋይ እንደ አወንታዊ ቁጥሮች b n -a n እና n ·b n አወንታዊ ነው። ስለዚህ፣ ከየት ነው -n > b -n፣ ይህም መረጋገጥ ያለበት ነው።

የኢንቲጀር ገላጭ (ኢንቲጀር አርቢዎች) ያላቸው የስልጣኖች የመጨረሻው ንብረት ከተፈጥሮ ገላጮች ጋር ተመሳሳይ የስልጣን ንብረት በተመሳሳይ መልኩ የተረጋገጠ ነው።

ምክንያታዊ ገላጭ ያላቸው የስልጣኖች ባህሪያት

የአንድ ዲግሪ ባህሪያትን ኢንቲጀር ገላጭ ጋር በማራዘም አንድን ዲግሪ ከክፍልፋይ ገላጭ ጋር ገለጽን። በሌላ አነጋገር ክፍልፋይ ገላጭ ያላቸው ሃይሎች ኢንቲጀር አርቢዎች ካላቸው ሃይሎች ጋር አንድ አይነት ባህሪ አላቸው። ይኸውም፡-

1. ከተመሳሳይ መሠረቶች ጋር የስልጣኖች ምርት ንብረት ለ a> 0 ፣ እና ከሆነ እና ፣ ከዚያ ለ a≥0;
2. ከተመሳሳይ መሠረቶች ጋር የቁጥር ኃይሎች ንብረት ለ a> 0;
3. ውስጥ የምርት ንብረት ክፍልፋይ ኃይል ለ a> 0 እና ለ> 0, እና ከሆነ እና, ከዚያም ለ a≥0 እና (ወይም) b≥0;
4. ወደ ክፍልፋይ ኃይል ያለው የዋጋ ንብረት ለ a> 0 እና ለ> 0 ፣ እና ከሆነ ፣ ከዚያ ለ a≥0 እና b>0;
5. ከዲግሪ እስከ ዲግሪ ያለው ንብረት ለ a> 0 ፣ እና ከሆነ እና ፣ ከዚያ ለ a≥0;
6. ኃይላትን ከእኩል ምክንያታዊ አርቢዎች ጋር የማነፃፀር ንብረት፡ ለማንኛውም አወንታዊ ቁጥሮች ሀ እና ለ፣ ሀ 0 እኩልነት a p p እውነት ነው, እና ለ p p > b p;
7. ዲግሪዎችን ከምክንያታዊ ገላጭ ጋር የማወዳደር ንብረት እና እኩል ነው።ለምክንያታዊ ቁጥሮች p እና q፣ p>q ለ 0p q እና ለ a>0 - እኩልነት a p > a q.

የዲግሪዎች ባህሪያት ከክፍልፋይ አርቢዎች ጋር ያለው ማረጋገጫ በንብረቶቹ ላይ በክፍልፋይ አርቢዎች የዲግሪ ፍቺ ላይ የተመሠረተ ነው። አርቲሜቲክ ሥር nth ዲግሪ እና በዲግሪ ባህሪያት ላይ ኢንቲጀር አርቢ። ማስረጃ እናቅርብ።

ክፍልፋይ አርቢ ያለው ኃይል እና፣ በመቀጠል . የአርቲሜቲክ ስርወ ባህሪያት የሚከተሉትን እኩልነቶች ለመጻፍ ያስችሉናል. በተጨማሪ፣ የዲግሪውን ንብረት ኢንቲጀር አርቢ በመጠቀም፣ ከዚሁ ውስጥ፣ በክፍልፋይ አርቢ የዲግሪ ፍቺ አግኝተናል። , እና የተገኘው ዲግሪ አመልካች እንደሚከተለው ሊለወጥ ይችላል. ይህ ማስረጃውን ያጠናቅቃል.

ክፍልፋይ ገላጭ ያላቸው የስልጣኖች ሁለተኛው ንብረት ፍጹም ተመሳሳይ በሆነ መንገድ ተረጋግጧል፡-


የተቀሩት እኩልነት ተመሳሳይ መርሆዎችን በመጠቀም ይረጋገጣል-


የሚቀጥለውን ንብረት ወደማረጋገጥ እንሂድ። ለማንኛውም አወንታዊ ሀ እና ለ፣ ሀ መሆኑን እናረጋግጥ 0 የ p p እኩልነት እውነት ነው, እና ለ p p > b p. ምክንያታዊ ቁጥሩ p እንደ m/n እንጽፈው፣ m ኢንቲጀር ሲሆን n ደግሞ የተፈጥሮ ቁጥር ነው። በዚህ ሁኔታ ውስጥ ያሉት ሁኔታዎች p 0 ከሁኔታዎች m 0 ጋር እኩል ይሆናል. ለ m>0 እና am m . ከዚህ አለመመጣጠን ፣ በስሮች ንብረት ፣ እኛ አለን ፣ እና ሀ እና ለ አወንታዊ ቁጥሮች ስለሆኑ ፣ ከዚያ ፣ ከክፍልፋይ ገላጭ ጋር የዲግሪ ፍቺ ላይ በመመርኮዝ ፣ የተፈጠረው አለመመጣጠን እንደገና ሊፃፍ ይችላል ፣ ማለትም ፣ ፒ ፒ።

በተመሳሳይ, ለ m m > b m, ከየት ነው, ማለትም, p > b p .

ከተዘረዘሩት ንብረቶች የመጨረሻውን ለማረጋገጥ ይቀራል. ለምክንያታዊ ቁጥሮች p እና q፣ p>q ለ 0p q እና ለ a>0 - እኩልነት a p > a q መሆኑን እናረጋግጥ። ሁልጊዜ አንድ የጋራ መለያ ማግኘት እንችላለን ምክንያታዊ ቁጥሮች p እና q፣ ከዚያ ተራ ክፍልፋዮችን እናገኝ፣ እና m 1 እና m 2 ኢንቲጀር ሲሆኑ፣ እና n የተፈጥሮ ቁጥር ነው። በዚህ ሁኔታ, ሁኔታ p>q ከ ሁኔታው ​​ጋር ይዛመዳል m 1>m 2, ይህም ከንፅፅር ህግ ይከተላል. ተራ ክፍልፋዮችጋር ተመሳሳይ መለያዎች. ከዚያም ዲግሪዎችን ከተመሳሳይ መሠረቶች እና ተፈጥሯዊ ገላጮች ጋር በማነፃፀር ለ 0m 1 m 2 እና ለ a> 1 እኩልነት m 1 > a m 2። በሥሮቹ ውስጥ ያሉት እነዚህ አለመመጣጠኖች እንደዚሁ እንደገና ሊጻፉ ይችላሉ። እና . እና የዲግሪ ፍቺ ከምክንያታዊ ገላጭ ጋር ወደ እኩልነት እንድንሄድ ያስችለናል እናም በዚህ መሠረት። ከዚህ የመጨረሻውን መደምደሚያ እናቀርባለን: ለ p>q እና 0p q, እና ለ a> 0 - እኩልነት a p > a q.

ምክንያታዊ ያልሆኑ ገላጮች ያላቸው የስልጣኖች ባህሪዎች

ዲግሪ ሐ እንዴት እንደሚወሰን ምክንያታዊ ያልሆነ አመላካች, እኛ ምክንያታዊ ገላጭ ጋር ሁሉም የሥልጣን ንብረቶች አሉት ብለን መደምደም እንችላለን. ስለዚህ ለማንኛውም a>0 , b>0 እና ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች p እና q የሚከተሉት ናቸው። ምክንያታዊ ያልሆኑ ገላጮች ያላቸው የስልጣኖች ባህሪዎች:

1. a p ·a q =a p+q;
2. a p:a q =a p-q;
3. (a·b) p =a p · b p;
4. (a:b) p =a p: b p;
5. (a p) q = a p·q;
6. ለማንኛውም አዎንታዊ ቁጥሮች a እና b, a 0 እኩልነት a p p እውነት ነው, እና ለ p p > b p;
7. ምክንያታዊ ላልሆኑ ቁጥሮች p እና q፣ p>q ለ 0p q እና ለ a>0 - እኩልነት a p > a q።

ከዚህ በመነሳት ማንኛውም እውነተኛ ገላጭ p እና q for a>0 ያላቸው ሃይሎች አንድ አይነት ባህሪ አላቸው ብለን መደምደም እንችላለን።

• አልጀብራ - 10 ኛ ክፍል. ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች በርዕሱ ላይ ትምህርት እና አቀራረብ: "በጣም ቀላል የሆነውን ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎችን መፍታት" ተጨማሪ ቁሳቁሶች ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን, አስተያየቶችዎን, አስተያየቶችዎን መተው አይርሱ! ሁሉም ቁሳቁሶች […]
• ውድድር ለቦታው ክፍት ነው "ሻጭ - አማካሪ": ኃላፊነቶች: ሽያጭ ሞባይል ስልኮችእና መለዋወጫዎች ለሞባይል ግንኙነት አገልግሎት ለ Beeline ፣ Tele2 ፣ MTS ተመዝጋቢዎች የታሪፍ እቅዶች እና አገልግሎቶች Beeline እና Tele2 ፣ MTS ማማከር […]
• ትይዩ ፎርሙላ አንድ ትይዩ 6 ፊት ያለው ፖሊሄድሮን ነው፣ እያንዳንዱም ትይዩ ነው። ኩቦይድ እያንዳንዱ ፊት አራት ማዕዘን የሆነ ትይዩ ነው። ማንኛውም ትይዩ በ 3 […]
• የፊደል አጻጻፍ N እና NN በተለያዩ የንግግር ክፍሎች S.G. Zelinskaya Didactic Material ቲዎሬቲካል ልምምድ 1. nn በቅጽሎች የተጻፈው መቼ ነው? 2. ለእነዚህ ደንቦች የማይካተቱትን ይጥቀሱ። 3. እንዴት እንደሚለይ የቃል ቅፅልከቅጥያ -n- ከተሳታፊው ጋር […]
• የብሬንስክ ክልል የ GOSTEKHNAZOR ቁጥጥር ለክፍለ ግዛት ግዴታ ክፍያ ደረሰኝ (አውርድ-12.2 ኪ.ቢ.) ለግለሰቦች የምዝገባ ማመልከቻዎች (አውርድ-12 ኪ.ቢ.) ለህጋዊ አካላት ምዝገባ ማመልከቻዎች (አውርድ-11.4 ኪ.ቢ.) 1. አዲስ መኪና ሲመዘገቡ: 1.መተግበሪያ 2.ፓስፖርት […]
• የሸማቾች መብቶች ጥበቃ ማህበር አስታና ለመድረስ ፒን ኮድ ለማግኘት ይህ ሰነድበድረ-ገፃችን ላይ የኤስኤምኤስ መልእክት ወደ ቁጥሩ ኤስኤምኤስ በመላክ zan የ GSM ኦፕሬተሮች ተመዝጋቢዎች ቁጥር (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) የኤስኤምኤስ መልእክት ይላኩ […]
• በቤተሰብ ንብረት ላይ ያለውን ህግ ተቀበል ተቀበል የፌዴራል ሕግለሚፈልግ እያንዳንዱ ዜጋ በነጻ ድልድል ላይ የራሺያ ፌዴሬሽንወይም በእሱ ላይ ለልማት የሚሆን መሬት የዜጎች ቤተሰብ የቤተሰብ ንብረትላይ የሚከተሉት ሁኔታዎች 1. ሴራው የተመደበው ለ […]
• ፒቮቭ ቪ.ኤም. የሳይንስ ፍልስፍና እና ዘዴ; አጋዥ ስልጠናለጌቶች እና ተመራቂ ተማሪዎች Petrozavodsk: PetrSU Publishing House, 2013. - 320 pp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb የመማሪያ መጽሃፉ ለከፍተኛ ተማሪዎች፣ ማስተሮች እና የማህበራዊ እና ተመራቂ ተማሪዎች የታሰበ ነው።