ከተለያዩ መሠረቶች ጋር የዲግሪዎች ቀመሮች. ልጥፎች መለያ ተሰጥቷቸዋል "በዲግሪዎች ባህሪያት ላይ ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር ምሳሌዎች"

ሃይል ያላቸው ቁጥሮች እንደሌሎች መጠኖች ሊጨመሩ እንደሚችሉ ግልጽ ነው። ፣ ከምልክቶቻቸው ጋር አንድ በአንድ በመጨመር.

ስለዚህ፣ የ 3 እና b 2 ድምር 3+ b 2 ነው።
የ 3 - b n እና h 5 -d 4 ድምር 3 - b n + h 5 - d 4 ነው።

ዕድሎች ተመሳሳይ ተለዋዋጮች እኩል ኃይሎችመጨመር ወይም መቀነስ ይቻላል.

ስለዚህ፣ የ2a 2 እና 3a 2 ድምር ከ5a 2 ጋር እኩል ነው።

እንዲሁም ሁለት ካሬዎችን ከወሰዱ a, ወይም ሶስት ካሬዎች a, ወይም አምስት ካሬዎች a.

ግን ዲግሪዎች የተለያዩ ተለዋዋጮችእና የተለያዩ ዲግሪዎች ተመሳሳይ ተለዋዋጮች, ከመልክታቸው ጋር በማከል የተቀናበረ መሆን አለበት.

ስለዚህ የ 2 እና 3 ድምር የ 2 + a 3 ድምር ነው።

የ a ስኩዌር እና የኩብ ሀ ከካሬው ሁለት እጥፍ ጋር እኩል አለመሆኑ ግልጽ ነው, ነገር ግን ከኩብ ሁለት እጥፍ ነው.

የ 3 b n እና 3a 5 b 6 ድምር 3 b n + 3a 5 b 6 ነው።

መቀነስስልጣኖች የሚከናወኑት ከመደመር ጋር ተመሳሳይ ነው, ነገር ግን የንዑስ ህንጻዎች ምልክቶች በዚህ መሠረት መቀየር አለባቸው.

ወይም፡-
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3 ሰ 2 ለ 6 - 4 ሰ 2 ለ 6 = -ሸ 2 ለ 6
5(ሀ - ሰ) 6 - 2(ሀ - ሰ) 6 = 3(ሀ - ሰ) 6

ኃይልን ማባዛት

በመካከላቸው ያለው የማባዛት ምልክት ወይም ያለ ማባዛት ቁጥር አንድ በአንድ በመጻፍ እንደሌሎች መጠኖች፣ ኃይል ያላቸው ቁጥሮች ሊባዙ ይችላሉ።

ስለዚህ, 3 በ b 2 ማባዛት ውጤቱ 3 b 2 ወይም aaabb ነው.

ወይም፡-
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

በመጨረሻው ምሳሌ ውስጥ ያለው ውጤት ተመሳሳይ ተለዋዋጮችን በመጨመር ማዘዝ ይቻላል.
አገላለጹ ቅጹን ይወስዳል፡ a 5 b 5 y 3።

ብዙ ቁጥሮችን (ተለዋዋጮችን) ከስልጣኖች ጋር በማነፃፀር ፣ከመካከላቸው ሁለቱ ቢባዙ ውጤቱ ከኃይል ጋር እኩል የሆነ ቁጥር (ተለዋዋጭ) መሆኑን ማየት እንችላለን ። መጠንየቃላት ደረጃዎች.

ስለዚህ፣ a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

እዚህ 5 የማባዛቱ ውጤት ኃይል, ከ 2 + 3 ጋር እኩል ነው, የቃላቶቹ ኃይሎች ድምር.

ስለዚህ፣ a n .a m = a m+n .

ለ n , a እንደ የ n ኃይል ብዙ ጊዜ ይወሰዳል;

እና አንድ m የዲግሪ ኤም ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ ብዙ ጊዜ እንደ ምክንያት ይወሰዳል;

ለዛ ነው, ተመሳሳይ መሠረት ያላቸው ኃይሎች የኃይሎቹን ገላጭ በመጨመር ሊባዙ ይችላሉ።

ስለዚህ, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . እና x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

ወይም፡-
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

ማባዛት (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)።
መልስ፡- x 4 - y 4
ማባዛት (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)።

ይህ ደንብ ገላጭ ለሆኑት ቁጥሮችም እውነት ነው። አሉታዊ.

1. ስለዚህ, a -2 .a -3 = a -5. ይህ (1/aa) ተብሎ ሊጻፍ ይችላል።(1/aaa) = 1/aaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

a + b በ a - b ቢባዙ ውጤቱ 2 - b 2 ይሆናል፡ ማለትም

የሁለት ቁጥሮች ድምር ወይም ልዩነት የማባዛት ውጤት ከካሬዎቻቸው ድምር ወይም ልዩነት ጋር እኩል ነው።

የተነሱትን የሁለት ቁጥሮች ድምር እና ልዩነት ካባዛችሁ ካሬ, ውጤቱ ከእነዚህ ቁጥሮች ድምር ወይም ልዩነት ጋር እኩል ይሆናል አራተኛዲግሪዎች.

ስለዚህ፣ (a - y)።(a + y) = a 2 - y 2።
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4።
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8።

የዲግሪዎች ክፍፍል

ሥልጣን ያላቸው ቁጥሮች እንደሌሎች ቁጥሮች፣ ከክፍፍል በመቀነስ ወይም በክፍልፋይ መልክ ሊከፋፈሉ ይችላሉ።

ስለዚህ፣ 3 b 2 በ b 2 የተከፈለ ከ 3 ጋር እኩል ነው።

ወይም፡-
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3ይ^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5ን በ3 ተከፋፍሎ መፃፍ $\frac(a^5)(a^3)$ ይመስላል። ግን ይህ ከ 2 ጋር እኩል ነው. በተከታታይ ቁጥሮች
ሀ +4 , a +3 , +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ማንኛውም ቁጥር በሌላ ሊከፋፈል ይችላል, እና አርቢው እኩል ይሆናል ልዩነትየሚከፋፈሉ ቁጥሮች አመልካቾች.

ዲግሪዎችን ከተመሳሳይ መሠረት ጋር ሲከፋፈሉ, ገላጭዎቻቸው ይቀንሳል..

ስለዚህ፣ y 3:y 2 = y 3-2 = y 1። ማለትም $\frac(ዓወይ)(yy) = y$።

እና a n+1:a = a n+1-1 = a n. ማለትም፣ $\frac(aa^n)(a) = a^n$።

ወይም፡-
y 2ሜ፡ y m = y ሜትር
8a n+m፡ 4a m = 2a n
12(b +y) n፡ 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

ደንቡ ለቁጥሮችም እውነት ነው አሉታዊየዲግሪዎች እሴቶች.
a -5ን በ -3 የመከፋፈል ውጤት -2 ነው።
እንዲሁም $\frac (1) (aaaaa) : \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa) \ frac (aaa) (1) = \frac (1)(አአ)$

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 or $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

እንዲህ ያሉ ሥራዎች በአልጀብራ ውስጥ በስፋት ጥቅም ላይ ስለሚውሉ ማባዛትና የሥልጣን ክፍፍልን በሚገባ መቆጣጠር ያስፈልጋል።

ከስልጣኖች ጋር ቁጥሮችን ከያዙ ክፍልፋዮች ጋር ምሳሌዎችን የመፍታት ምሳሌዎች

1. አርቢዎቹን በ$\frac(5a^4)(3a^2)$ መልስ፡$\frac(5a^2)(3)$ ይቀንሱ።

2. አርቢዎቹን በ$\frac(6x^6)(3x^5)$ ይቀንሱ። መልስ፡$\frac(2x)(1)$ ወይም 2x

3. አርቢዎቹን 2/a 3 እና a -3/a -4 ይቀንሱ እና ወደ አንድ የጋራ መለያ ይምጡ።
a 2 .a -4 a -2 የመጀመሪያው አሃዛዊ ነው።
a 3 .a -3 0 = 1 ነው, ሁለተኛው አሃዛዊ ነው.
a 3 .a -4 a -1 ነው፣የጋራው አሃዛዊ።
ከማቅለል በኋላ: a -2 /a -1 እና 1/a -1.

4. 2a 4/5a 3 እና 2/a 4 ገላጮችን ይቀንሱ እና ወደ አንድ የጋራ መለያ ይምጡ።
መልስ፡- 2a 3/5a 7 እና 5a 5/5a 7 or 2a 3/5a 2 and 5/5a 2።

5. ማባዛት (a 3 + b)/b 4 በ (a - b)/3.

6. ማባዛት (a 5 + 1)/x 2 በ (b 2 - 1)/(x + a)።

7. b 4 /a -2 በ h -3 /x እና a n /y -3 ማባዛት።

8. 4/y 3 በ 3/y 2 መከፋፈል። መልስ፡ a/y

9. መከፋፈል (h 3 - 1)/d 4 በ (d n + 1)/ሰ.

የመጀመሪያ ደረጃ

ዲግሪ እና ባህሪያቱ. አጠቃላይ መመሪያ (2019)

ዲግሪ ለምን ያስፈልጋል? የት ይፈልጋሉ? ለምን ጊዜ ወስደህ እነሱን ማጥናት አለብህ?

ስለ ዲግሪዎች ሁሉንም ነገር ለመማር ምን እንደሚፈልጉ እና እውቀትዎን በዕለት ተዕለት ሕይወት ውስጥ እንዴት እንደሚጠቀሙበት, ይህን ጽሑፍ ያንብቡ.

እና በእርግጥ የዲግሪዎች እውቀት የተዋሃደ የስቴት ፈተናን ወይም የተዋሃደ የመንግስት ፈተናን በተሳካ ሁኔታ ለማለፍ እና ወደ ህልምዎ ዩኒቨርሲቲ ለመግባት ያቀርብዎታል።

እንሂድ... (እንሂድ!)

ጠቃሚ ማስታወሻ! ከቀመሮች ይልቅ gobbledygook ካዩ መሸጎጫዎን ያጽዱ። ይህንን ለማድረግ CTRL + F5 (በዊንዶውስ) ወይም Cmd + R (በማክ) ይጫኑ.

የመጀመሪያ ደረጃ

ማስፋት ልክ እንደ መደመር፣ መቀነስ፣ ማባዛት ወይም መከፋፈል የሂሳብ ስራ ነው።

አሁን በጣም ቀላል ምሳሌዎችን በመጠቀም ሁሉንም ነገር በሰው ቋንቋ እገልጻለሁ. ጠንቀቅ በል. ምሳሌዎቹ የመጀመሪያ ደረጃ ናቸው, ነገር ግን አስፈላጊ ነገሮችን ያብራሩ.

በመደመር እንጀምር።

እዚህ ምንም የሚያብራራ ነገር የለም. ሁሉንም ነገር አስቀድመው ያውቁታል፡ ስምንት ነን። ሁሉም ሰው ሁለት ጠርሙስ ኮላ አለው. ምን ያህል ኮላ አለ? ልክ ነው - 16 ጠርሙሶች.

አሁን ማባዛት።

ከኮላ ጋር ተመሳሳይ ምሳሌ በተለየ መንገድ ሊፃፍ ይችላል: የሂሳብ ሊቃውንት ተንኮለኛ እና ሰነፍ ሰዎች ናቸው። በመጀመሪያ አንዳንድ ንድፎችን ያስተውላሉ, እና ከዚያ በፍጥነት "የሚቆጥሩበት" ዘዴን ይገነዘባሉ. በእኛ ሁኔታ ከስምንቱ ሰዎች እያንዳንዳቸው ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸው የኮላ ጠርሙሶች እንዳሉ አስተውለዋል እና ማባዛት የሚባል ዘዴ ፈጠሩ። እስማማለሁ ፣ እሱ ቀላል እና ፈጣን እንደሆነ ይቆጠራል።

ስለዚህ, በፍጥነት, ቀላል እና ያለ ስህተቶች ለመቁጠር, ማስታወስ ብቻ ያስፈልግዎታል የማባዛት ሰንጠረዥ. እርግጥ ነው, ሁሉንም ነገር በዝግታ, የበለጠ አስቸጋሪ እና በስህተት ማድረግ ይችላሉ! ግን…

የማባዛት ጠረጴዛው እዚህ አለ። ይድገሙ።

እና ሌላ ፣ የበለጠ ቆንጆ;

ሰነፍ የሂሳብ ሊቃውንት ምን ሌላ ብልህ የመቁጠር ዘዴዎችን አመጡ? ቀኝ - ቁጥርን ወደ ኃይል ማሳደግ.

ቁጥርን ወደ ኃይል ማሳደግ

አንድን ቁጥር በራሱ አምስት ጊዜ ማባዛት ከፈለግክ የሒሳብ ሊቃውንት ያንን ቁጥር ወደ አምስተኛው ኃይል ማሳደግ አለብህ ይላሉ። ለምሳሌ, . የሂሳብ ሊቃውንት ከሁለት እስከ አምስተኛው ኃይል... እና እንደዚህ አይነት ችግሮችን በራሳቸው ውስጥ ይፈታሉ - ፈጣን, ቀላል እና ያለምንም ስህተቶች.

የሚያስፈልግህ ብቻ ነው። በቁጥር ኃይሎች ሠንጠረዥ ውስጥ በቀለም የደመቀውን አስታውስ. አምናለሁ, ይህ ህይወትዎን በጣም ቀላል ያደርገዋል.

በነገራችን ላይ ለምን ሁለተኛ ዲግሪ ተባለ? ካሬቁጥሮች እና ሦስተኛው - ኩብ? ምን ማለት ነው? በጣም ጥሩ ጥያቄ። አሁን ሁለቱም ካሬዎች እና ኪዩቦች ይኖሩታል.

የእውነተኛ ህይወት ምሳሌ #1

በካሬው ወይም በሁለተኛው የቁጥሩ ኃይል እንጀምር.

አንድ ሜትር በአንድ ሜትር የሚለካ ካሬ ገንዳ አስቡት። ገንዳው በእርስዎ dacha ላይ ነው። በጣም ሞቃት ነው እናም መዋኘት እፈልጋለሁ። ግን ... ገንዳው ከታች የለውም! የገንዳውን የታችኛው ክፍል በሸክላዎች መሸፈን ያስፈልግዎታል. ምን ያህል ሰቆች ያስፈልጉዎታል? ይህንን ለመወሰን የገንዳውን የታችኛው ክፍል ማወቅ ያስፈልግዎታል.

የገንዳው የታችኛው ክፍል ሜትር በ ሜትር ኩብ እንደሚይዝ ጣትዎን በመጠቆም በቀላሉ ማስላት ይችላሉ። አንድ ሜትር በ አንድ ሜትር ሰቆች ካሉዎት ቁርጥራጭ ያስፈልግዎታል። ቀላል ነው ... ግን እንደዚህ አይነት ሰቆች የት አያችሁ? ሰድሩ ብዙውን ጊዜ ሴሜ በሴሜ ሊሆን ይችላል።ከዚያም “በጣትህ በመቁጠር” ይሰቃያሉ። ከዚያ ማባዛት አለብዎት. ስለዚህ, ከገንዳው ግርጌ በአንደኛው በኩል ንጣፎችን (ቁራጮችን) እና በሌላኛው ላይ ደግሞ ሰድሮችን እንገጥመዋለን. በማባዛት እና ሰቆች () ያገኛሉ።

የገንዳውን የታችኛው ክፍል ለመወሰን ተመሳሳይ ቁጥር በእራሱ እንዳባዛን አስተውለዋል? ምን ማለት ነው? ተመሳሳዩን ቁጥር እያባዛን ስለሆነ የ "ኤክስፖኔሽን" ዘዴን መጠቀም እንችላለን. (በእርግጥ ሁለት ቁጥሮች ብቻ ሲኖሩዎት አሁንም እነሱን ማባዛት ወይም ወደ ስልጣን ማሳደግ ያስፈልግዎታል. ነገር ግን ብዙ ካለዎት እነሱን ወደ ኃይል ማሳደግ በጣም ቀላል እና በስሌቶች ውስጥ ስህተቶችም ያነሱ ናቸው. ለተዋሃደ የስቴት ፈተና ይህ በጣም አስፈላጊ ነው)።
ስለዚህ, ሠላሳ ወደ ሁለተኛው ኃይል () ይሆናል. ወይም ሠላሳ ካሬ ይሆናል ማለት እንችላለን. በሌላ አነጋገር የቁጥር ሁለተኛ ኃይል ሁልጊዜ እንደ ካሬ ሊወከል ይችላል. እና በተቃራኒው ፣ ካሬ ካዩ ፣ እሱ ሁል ጊዜ የአንዳንድ ቁጥሮች ሁለተኛ ኃይል ነው። ካሬ የቁጥር ሁለተኛ ኃይል ምስል ነው።

የእውነተኛ ህይወት ምሳሌ #2

ለእርስዎ አንድ ተግባር እነሆ፡ የቁጥሩን ካሬ በመጠቀም በቼዝቦርዱ ላይ ስንት ካሬዎች እንዳሉ ይቁጠሩ... በሴሎች በአንዱ በኩል እና በሌላ በኩል። ቁጥራቸውን ለማስላት ስምንትን በስምንት ማባዛት ወይም... ቼስቦርድ ጎን ያለው ካሬ መሆኑን ካስተዋሉ ስምንት ካሬ ማድረግ ይችላሉ። ሴሎች ያገኛሉ. () ታዲያ?

የእውነተኛ ህይወት ምሳሌ ቁጥር 3

አሁን የቁጥር ኩብ ወይም ሦስተኛው ኃይል። ተመሳሳይ ገንዳ. አሁን ግን በዚህ ገንዳ ውስጥ ምን ያህል ውሃ ማፍሰስ እንዳለበት ማወቅ ያስፈልግዎታል. ድምጹን ማስላት ያስፈልግዎታል. (በነገራችን ላይ መጠኖች እና ፈሳሾች የሚለካው በኪዩቢክ ሜትር ነው። ያልተጠበቀ፣ አይደል?) ገንዳ ይሳሉ፡ የታችኛው መጠን አንድ ሜትር እና ጥልቀት ያለው ሲሆን አንድ ሜትር በአንድ ሜትር የሚለኩ ኪዩቦችን ለመቁጠር ይሞክሩ። ወደ ገንዳዎ ይግቡ።

ጣትዎን ብቻ ይጠቁሙ እና ይቁጠሩ! አንድ፣ ሁለት፣ ሦስት፣ አራት...ሃያ ሁለት፣ ሃያ ሦስት... ስንት አገኘህ? አልጠፋም? በጣትዎ መቁጠር ከባድ ነው? ስለዚህ! ከሂሳብ ሊቃውንት አንድ ምሳሌ ውሰድ። እነሱ ሰነፍ ናቸው, ስለዚህ የገንዳውን መጠን ለማስላት ርዝመቱን, ስፋቱን እና ቁመቱን እርስ በርስ ማባዛት እንደሚያስፈልግ አስተውለዋል. በእኛ ሁኔታ, የገንዳው መጠን ከኩቦች ጋር እኩል ይሆናል ... ቀላል, አይደል?

አሁን ይህንንም ቀላል ካደረጉት ምን ያህል ሰነፍ እና ተንኮለኛ የሂሳብ ሊቃውንት እንደሆኑ አስቡት። ሁሉንም ነገር ወደ አንድ ተግባር ቀንስን። ርዝመቱ፣ ስፋቱና ቁመቱ እኩል መሆናቸውን እና ያው ቁጥር በራሱ ሲባዛ አስተውለዋል... ምን ማለት ነው? ይህ ማለት የዲግሪውን እድል መጠቀም ይችላሉ. ስለዚህ, አንድ ጊዜ በጣትዎ የቆጠሩት, በአንድ ድርጊት ይሰራሉ: ሶስት ኩብ እኩል ነው. እንዲህ ተብሎ ተጽፏል።

የቀረው ብቻ ነው። የዲግሪዎችን ሰንጠረዥ አስታውስ. እንደ ሂሳብ ሊቃውንት ሰነፍ እና ተንኮለኛ ካልሆናችሁ በቀር። ጠንክሮ መሥራት እና ስህተቶችን መሥራት ከፈለጉ በጣትዎ መቁጠርዎን መቀጠል ይችላሉ።

ደህና ፣ በመጨረሻ ዲግሪዎች የህይወት ችግሮቻቸውን ለመፍታት እና ለእናንተ ችግር ለመፍጠር ሳይሆን ፣ በቆራጮች እና ተንኮለኛ ሰዎች የተፈለሰፉ መሆናቸውን ለማሳመን ፣ ከህይወት ተጨማሪ ምሳሌዎች እዚህ አሉ ።

የእውነተኛ ህይወት ምሳሌ #4

አንድ ሚሊዮን ሩብልስ አለህ። በዓመት መጀመሪያ ላይ ለእያንዳንዱ ሚሊዮን ለምታደርጉት ሌላ ሚሊዮን ታገኛላችሁ። ይኸውም በየአመቱ መጀመሪያ ላይ እያንዳንዱ ሚሊዮን እጥፍ እጥፍ ይኖርዎታል። በዓመታት ውስጥ ምን ያህል ገንዘብ ይኖርዎታል? አሁን ተቀምጠህ "በጣትህ የምትቆጥር" ከሆንክ በጣም ታታሪ ሰው እና ... ሞኝ ነህ። ግን ምናልባት በሁለት ሰከንዶች ውስጥ መልስ ትሰጣለህ ፣ ምክንያቱም ብልህ ነህ! ስለዚህ, በመጀመሪያው አመት - ሁለቱ በሁለት ተባዝተዋል ... በሁለተኛው ዓመት - ምን ሆነ, በሁለት ተጨማሪ, በሶስተኛው አመት ... አቁም! ቁጥሩ በራሱ ጊዜ ሲባዛ አስተውለሃል። ስለዚህ ከሁለት እስከ አምስተኛው ኃይል አንድ ሚሊዮን ነው! አሁን ውድድር እንዳለህ አስብ እና በፍጥነት መቁጠር የሚችለው እነዚህን ሚሊዮኖች እንደሚያገኝ... የቁጥሮችን ሃይል ማስታወስ ተገቢ ነው፣ አይመስልህም?

የእውነተኛ ህይወት ምሳሌ #5

አንድ ሚሊዮን አለህ። በዓመት መጀመሪያ ላይ፣ ለእያንዳንዱ ሚሊዮን ለምታደርጉት፣ ሁለት ተጨማሪ ገቢ ታገኛላችሁ። አሪፍ አይደል? እያንዳንዱ ሚሊዮን በሶስት እጥፍ ይጨምራል። በዓመት ውስጥ ምን ያህል ገንዘብ ይኖርዎታል? እንቁጠር። የመጀመሪያው አመት - ማባዛት, ከዚያም ውጤቱ በሌላ ... ቀድሞውኑ አሰልቺ ነው, ምክንያቱም ሁሉንም ነገር አስቀድመው ስለተረዱት: ሶስት ጊዜ በራሱ ተባዝቷል. ስለዚህ ለአራተኛው ኃይል ከአንድ ሚሊዮን ጋር እኩል ነው. ማስታወስ ያለብዎት ከሶስት እስከ አራተኛው ኃይል ነው ወይም.

አሁን ቁጥርን ወደ ሃይል ከፍ በማድረግ ህይወትዎን በጣም ቀላል እንደሚያደርጉ ያውቃሉ። በዲግሪዎች ምን ማድረግ እንደሚችሉ እና ስለእነሱ ማወቅ ያለብዎትን የበለጠ እንይ።

ውሎች እና ጽንሰ-ሐሳቦች ... ግራ እንዳይጋቡ

ስለዚህ, በመጀመሪያ, ጽንሰ-ሐሳቦችን እንገልፃለን. ምን ይመስልሃል, ገላጭ ምንድን ነው? በጣም ቀላል ነው - የቁጥሩ ኃይል "ከላይ" ያለው ቁጥር ነው. ሳይንሳዊ አይደለም ፣ ግን ግልፅ እና ለማስታወስ ቀላል…

ደህና, በተመሳሳይ ጊዜ, ምን እንደዚህ ያለ ዲግሪ መሠረት? ይበልጥ ቀላል - ይህ ከታች የተቀመጠው, በመሠረቱ ላይ ያለው ቁጥር ነው.

ለጥሩ መለኪያ ስዕል ይኸውና.

እንግዲህ በጥቅል አገላለጽ፣ ለማጠቃለል እና በተሻለ ለማስታወስ... “”” እና ገላጭ “” ያለው ዲግሪ “እስከ ዲግሪው” ተብሎ ይነበባል እና እንደሚከተለው ተጽፏል።

ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር የቁጥር ኃይል

ምናልባት አስቀድመው ገምተው ይሆናል፡ ምክንያቱም አርቢው የተፈጥሮ ቁጥር ነው። አዎ, ግን ምንድን ነው የተፈጥሮ ቁጥር? የመጀመሪያ ደረጃ! የተፈጥሮ ቁጥሮች እቃዎችን ሲዘረዝሩ ለመቁጠር ጥቅም ላይ የሚውሉ ቁጥሮች ናቸው፡ አንድ፣ ሁለት፣ ሶስት... ዕቃዎችን ስንቆጥር “አምስት ሲቀነስ” “ሲቀነስ ስድስት” “ሰባት ሲቀነስ” አንልም። “አንድ ሶስተኛ” ወይም “ዜሮ ነጥብ አምስት” አንልም። እነዚህ የተፈጥሮ ቁጥሮች አይደሉም. እነዚህ ምን ቁጥሮች ናቸው ብለው ያስባሉ?

እንደ “አምስት ሲቀነስ”፣ “ሲቀነስ ስድስት”፣ “ሰባት ሲቀነስ” ያሉ ቁጥሮች ያመለክታሉ ሙሉ ቁጥሮች.በአጠቃላይ ኢንቲጀሮች ሁሉንም የተፈጥሮ ቁጥሮች፣ ከተፈጥሮ ቁጥሮች ተቃራኒ የሆኑ ቁጥሮች (ይህም በመቀነስ ምልክት የተወሰዱ) እና ቁጥሮችን ያጠቃልላል። ዜሮ ለመረዳት ቀላል ነው - ምንም በማይኖርበት ጊዜ ነው. አሉታዊ ("መቀነስ") ቁጥሮች ምን ማለት ናቸው? ነገር ግን በዋነኝነት የተፈጠሩት እዳዎችን ለማመልከት ነው፡- በስልክዎ ላይ በሩብል ውስጥ ቀሪ ሂሳብ ካለህ ይህ ማለት የኦፕሬተሩ ሮቤል ዕዳ አለብህ ማለት ነው።

ሁሉም ክፍልፋዮች ምክንያታዊ ቁጥሮች ናቸው። እንዴት ተነሱ መሰላችሁ? በጣም ቀላል። ከበርካታ ሺህ አመታት በፊት, ቅድመ አያቶቻችን ርዝመት, ክብደት, አካባቢ, ወዘተ ለመለካት ተፈጥሯዊ ቁጥሮች እንደሌላቸው ደርሰውበታል. እና ይዘው መጡ ምክንያታዊ ቁጥሮች... የሚገርመው አይደል?

ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮችም አሉ። እነዚህ ቁጥሮች ምንድን ናቸው? በአጭሩ፣ ማለቂያ የሌለው የአስርዮሽ ክፍልፋይ ነው። ለምሳሌ የክበብ ዙሪያውን በዲያሜትር ካካፈሉት ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር ያገኛሉ።

ማጠቃለያ፡-

አርቢው የተፈጥሮ ቁጥር (ማለትም ኢንቲጀር እና አወንታዊ) የሆነበትን የዲግሪ ፅንሰ-ሀሳብ እንገልፃለን።

የመጀመሪያው ኃይል ማንኛውም ቁጥር ከራሱ ጋር እኩል ነው፡-
ቁጥርን ማጠር ማለት በራሱ ማባዛት ማለት ነው።
ቁጥርን ኩብ ማለት በራሱ ሦስት ጊዜ ማባዛት ማለት ነው።

ፍቺቁጥርን ወደ ተፈጥሯዊ ሃይል ማሳደግ ማለት ቁጥሩን በራሱ ጊዜ ማባዛት ማለት ነው።
.

የዲግሪዎች ባህሪያት

እነዚህ ንብረቶች ከየት መጡ? አሁን አሳይሃለሁ።

እስቲ እንመልከት: ምንድን ነው እና ?

A-priory፡-

በጠቅላላው ስንት ማባዣዎች አሉ?

በጣም ቀላል ነው-በምክንያቶቹ ላይ ማባዣዎችን ጨምረናል, ውጤቱም ማባዣዎች ነው.

ነገር ግን በትርጉም ፣ ይህ የቁጥር ኃይል ከአንድ አርቢ ጋር ነው ፣ ማለትም: ፣ ይህም መረጋገጥ ያለበት ነው።

ለምሳሌ፦ አገላለጹን ቀለል ያድርጉት።

መፍትሄ፡-

ለምሳሌ:አገላለጹን ቀለል ያድርጉት።

መፍትሄ፡-በእኛ አገዛዝ ውስጥ መሆኑን ልብ ሊባል የሚገባው ጉዳይ ነው የግድተመሳሳይ ምክንያቶች ሊኖሩ ይገባል!
ስለዚህ ኃይሎቹን ከመሠረቱ ጋር እናጣምራለን ፣ ግን የተለየ ምክንያት ይቀራል።

ለስልጣኖች ውጤት ብቻ!

በምንም አይነት ሁኔታ ያንን መጻፍ አይችሉም.

2. ያ ነው የቁጥር ኃይል

ልክ እንደ ቀድሞው ንብረት፣ ወደ ዲግሪ ፍቺ እንሸጋገር፡-

አገላለጹ በራሱ ጊዜ ተባዝቷል ፣ ማለትም ፣ በትርጉሙ መሠረት ፣ ይህ የቁጥሩ ኃይል ነው-

በመሰረቱ፣ ይህ “ጠቋሚውን ከቅንፍ ማውጣት” ተብሎ ሊጠራ ይችላል። ግን በአጠቃላይ ይህንን ማድረግ አይችሉም-

አሕጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን እናስታውስ፡ ስንት ጊዜ መጻፍ ፈለግን?

ግን ይህ እውነት አይደለም, ከሁሉም በላይ.

ኃይል ከአሉታዊ መሠረት ጋር

እስከዚህ ነጥብ ድረስ, ገላጭ ምን መሆን እንዳለበት ብቻ ተወያይተናል.

ግን መሠረቱ ምን መሆን አለበት?

በስልጣን ተፈጥሯዊ አመላካችመሠረት ሊሆን ይችላል ማንኛውም ቁጥር. በእርግጥ፣ ማንኛቸውንም ቁጥሮች እርስ በርስ ማባዛት እንችላለን፣ እነሱ አዎንታዊ፣ አሉታዊ፣ ወይም እንዲያውም።

የትኞቹ ምልክቶች ("" ወይም "") አወንታዊ እና አሉታዊ ቁጥሮች ኃይል እንደሚኖራቸው እናስብ?

ለምሳሌ ቁጥሩ አዎንታዊ ነው ወይስ አሉታዊ? አ? ? ከመጀመሪያው ጋር, ሁሉም ነገር ግልጽ ነው: ምንም ያህል አዎንታዊ ቁጥሮች እርስ በርስ ብናባዛ, ውጤቱ አዎንታዊ ይሆናል.

ግን አሉታዊዎቹ ትንሽ የበለጠ አስደሳች ናቸው። ከ6ኛ ክፍል ጀምሮ ያለውን ቀላል ህግ እናስታውሳለን፡ “መቀነስ ሲቀነስ ፕላስ ይሰጣል። ማለትም ወይም. ብናባዛ ግን ይሰራል።

የሚከተሉት መግለጫዎች ምን ምልክት እንደሚኖራቸው ለራስዎ ይወስኑ።

1)	2)	3)
4)	5)	6)

አስተዳድረዋል?

መልሶች እነኚሁና: በመጀመሪያዎቹ አራት ምሳሌዎች, ሁሉም ነገር ግልጽ እንደሆነ ተስፋ አደርጋለሁ? በቀላሉ መሰረቱን እና አርቢውን እንመለከታለን እና ተገቢውን ህግ እንተገብራለን.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

በምሳሌ 5) ሁሉም ነገር የሚመስለውን ያህል አስፈሪ አይደለም: ከሁሉም በላይ, ከመሠረቱ ጋር እኩል ከሆነ ምንም ለውጥ አያመጣም - ዲግሪው እኩል ነው, ይህም ማለት ውጤቱ ሁልጊዜ አዎንታዊ ይሆናል.

ደህና, መሰረቱ ዜሮ ካልሆነ በስተቀር. መሰረቱ እኩል አይደለም እንዴ? በግልጽ አይደለም, ጀምሮ (ምክንያቱም).

ምሳሌ 6) አሁን በጣም ቀላል አይደለም!

ለመለማመድ 6 ምሳሌዎች

የመፍትሄው ትንተና 6 ምሳሌዎች

ስምንተኛውን ኃይል ችላ ካልን, እዚህ ምን እናያለን? የ7ኛ ክፍል ፕሮግራምን እናስታውስ። ታዲያ ታስታውሳለህ? ይህ የአህጽሮት ማባዛት ቀመር ነው፣ ማለትም የካሬዎች ልዩነት! እናገኛለን፡-

መለያውን በጥንቃቄ እንመልከተው። ከአሃዛዊ ምክንያቶች ውስጥ አንዱ ይመስላል፣ ግን ምን ችግር አለው? የውሎቹ ቅደም ተከተል የተሳሳተ ነው። ከተገለበጡ ደንቡ ተግባራዊ ሊሆን ይችላል።

ግን እንዴት ማድረግ እንደሚቻል? በጣም ቀላል ሆኖ ተገኘ፡ የዳይሬክተሩ እኩልነት እዚህ ይረዳናል።

በአስማት ሁኔታ ቃላቱ ቦታዎችን ተለውጠዋል። ይህ "ክስተት" ለማንኛውም አገላለጽ በእኩል ደረጃ ይሠራል: ምልክቶችን በቅንፍ ውስጥ በቀላሉ መለወጥ እንችላለን.

ግን ማስታወስ ጠቃሚ ነው፡- ሁሉም ምልክቶች በተመሳሳይ ጊዜ ይለወጣሉ!

ወደ ምሳሌው እንመለስ፡-

እና እንደገና ቀመር:

ሙሉየተፈጥሮ ቁጥሮችን, ተቃራኒዎቻቸውን (ይህም በ "" ምልክት የተወሰደ) እና ቁጥሩ ብለን እንጠራዋለን.

አዎንታዊ ኢንቲጀር, እና ከተፈጥሮው የተለየ አይደለም, ከዚያ ሁሉም ነገር በቀድሞው ክፍል ውስጥ በትክክል ይመስላል.

አሁን አዳዲስ ጉዳዮችን እንመልከት። እኩል በሆነ አመልካች እንጀምር።

ወደ ዜሮ ኃይል ያለው ማንኛውም ቁጥር ከአንድ ጋር እኩል ነው:

እንደ ሁልጊዜው, እራሳችንን እንጠይቅ: ይህ ለምን ሆነ?

በተወሰነ ደረጃ ከመሠረቱ ጋር እናስብ። ለምሳሌ ውሰድ እና በማባዛት፦

ስለዚህ, ቁጥሩን በማባዛት, እና ልክ እንደነበረው ተመሳሳይ ነገር አግኝተናል - . ምንም ነገር እንዳይለወጥ በየትኛው ቁጥር ማባዛት አለብዎት? ልክ ነው በርቷል ማለት ነው።

በዘፈቀደ ቁጥርም እንዲሁ ማድረግ እንችላለን፡-

ደንቡን እንድገመው፡-

ወደ ዜሮ ኃይል ያለው ማንኛውም ቁጥር ከአንድ ጋር እኩል ነው.

ግን ለብዙ ደንቦች ልዩ ሁኔታዎች አሉ. እና እዚህም እዚያ አለ - ይህ ቁጥር (እንደ መሠረት) ነው.

በአንድ በኩል, ከማንኛውም ዲግሪ ጋር እኩል መሆን አለበት - ምንም ያህል ዜሮን በራሱ ቢያባዙ, አሁንም ዜሮ ያገኛሉ, ይህ ግልጽ ነው. ግን በሌላ በኩል, ልክ እንደ ማንኛውም ቁጥር ወደ ዜሮ ሃይል, እኩል መሆን አለበት. ታዲያ ይህ ምን ያህል እውነት ነው? የሂሳብ ሊቃውንት ላለመሳተፍ ወሰኑ እና ዜሮን ወደ ዜሮ ሃይል ለማንሳት ፈቃደኛ አልሆኑም. ማለትም አሁን በዜሮ መከፋፈል ብቻ ሳይሆን ወደ ዜሮ ሃይል ማሳደግ አንችልም።

እንቀጥል። ከተፈጥሮ ቁጥሮች እና ቁጥሮች በተጨማሪ ኢንቲጀሮች አሉታዊ ቁጥሮችንም ያካትታሉ። አሉታዊ ኃይል ምን እንደሆነ ለመረዳት እንደ መጨረሻ ጊዜ እናድርገው፡ አንዳንድ መደበኛ ቁጥርን በተመሳሳይ ቁጥር ወደ አሉታዊ ኃይል ማባዛት፡-

ከዚህ በመነሳት የሚፈልጉትን መግለፅ ቀላል ነው፡-

አሁን ውጤቱን ወደ የዘፈቀደ ደረጃ እናራዝመው፡

ስለዚህ፣ ደንብ እንፍጠር፡-

አሉታዊ ኃይል ያለው ቁጥር ከአዎንታዊ ኃይል ጋር ተመሳሳይ ቁጥር ያለው ተገላቢጦሽ ነው። ግን በተመሳሳይ ጊዜ መሰረቱ ባዶ ሊሆን አይችልም፡-(ምክንያቱም በ መከፋፈል አይችሉም).

እናጠቃልለው፡-

I. አገላለጹ በጉዳዩ ላይ አልተገለጸም። ከሆነ እንግዲህ።

II. ወደ ዜሮ ሃይል ያለው ማንኛውም ቁጥር ከአንድ ጋር እኩል ነው።

III. ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ቁጥር ከአሉታዊ ሃይል ጋር የተመሳሳዩን ቁጥር ወደ አወንታዊ ሃይል ተቃራኒ ነው።

ገለልተኛ መፍትሄ ለማግኘት ተግባራት

ደህና ፣ እንደተለመደው ፣ ለገለልተኛ መፍትሄዎች ምሳሌዎች

ለገለልተኛ መፍትሄ የችግሮች ትንተና;

አውቃለሁ ፣ አውቃለሁ ፣ ቁጥሮቹ አስፈሪ ናቸው ፣ ግን በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ለማንኛውም ነገር ዝግጁ መሆን አለብዎት! እነዚህን ምሳሌዎች ይፍቱ ወይም መፍትሄዎቻቸውን መፍታት ካልቻሉ እና በፈተና ውስጥ በቀላሉ እነሱን ለመቋቋም ይማራሉ!

እንደ ገላጭ “ተስማሚ” የቁጥሮችን ክልል ማስፋፋታችንን እንቀጥል።

አሁን እናስብበት ምክንያታዊ ቁጥሮች.ምን ቁጥሮች ምክንያታዊ ተብለው ይጠራሉ?

መልስ፡ እንደ ክፍልፋይ ሊወከል የሚችለውን ሁሉ፣ የት እና የት ኢንቲጀሮች፣ እና።

ምን እንደሆነ ለመረዳት "ክፍልፋይ ዲግሪ"ክፍልፋዩን አስቡበት፡-

የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች ወደ ሃይል እናንሳ።

አሁን ስለ ደንቡ እናስታውስ "ከዲግሪ እስከ ዲግሪ":

ለማግኘት ምን ቁጥር ወደ ኃይል መነሳት አለበት?

ይህ አጻጻፍ የ th ዲግሪ ሥር ፍቺ ነው.

ላስታውስህ፡ የቁጥር () የኃይሉ ሥረ-ሥር ወደ ኃይል ሲነሳ እኩል የሆነ ቁጥር ነው።

ያም ማለት የኃይሉ ሥር ወደ ኃይል የማሳደግ ተገላቢጦሽ አሠራር ነው፡.

እንደሆነ ተገለጸ። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ይህ ልዩ ጉዳይ ሊሰፋ ይችላል.

አሁን አሃዛዊውን እንጨምራለን-ምንድን ነው? ከኃይል ወደ ኃይል ደንብ በመጠቀም መልሱን ማግኘት ቀላል ነው፡-

ግን መሰረቱ ማንኛውም ቁጥር ሊሆን ይችላል? ከሁሉም በላይ ሥሩ ከሁሉም ቁጥሮች ሊወጣ አይችልም.

የለም!

ደንቡን ያስታውሱ፡ ወደ እኩል ሃይል የሚነሳ ማንኛውም ቁጥር አዎንታዊ ቁጥር ነው። ማለትም ፣ ከአሉታዊ ቁጥሮች ሥሮችን እንኳን ማውጣት አይቻልም!

ይህ ማለት እንደነዚህ ያሉት ቁጥሮች በእኩል መጠን ወደ ክፍልፋይ ኃይል ሊነሱ አይችሉም ፣ ማለትም ፣ አገላለጹ ትርጉም አይሰጥም።

ስለ አገላለጹስ?

እዚህ ግን ችግር ይፈጠራል።

ቁጥሩ በሌሎች፣ ሊቀለሱ በሚችሉ ክፍልፋዮች፣ ለምሳሌ፣ ወይም መልክ ሊወከል ይችላል።

እና እሱ እንዳለ ሆኖ ተገኘ ፣ ግን የለም ፣ ግን እነዚህ ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸው ሁለት የተለያዩ መዝገቦች ናቸው።

ወይም ሌላ ምሳሌ: አንድ ጊዜ, ከዚያም መጻፍ ይችላሉ. ግን ጠቋሚውን በተለየ መንገድ ከጻፍን, እንደገና ወደ ችግር ውስጥ እንገባለን: (ማለትም, ፍጹም የተለየ ውጤት አግኝተናል!).

እንደነዚህ ያሉትን አያዎ (ፓራዶክስ) ለማስወገድ, እንመለከታለን ክፍልፋይ አርቢ ያለው አዎንታዊ መሠረት አርቢ ብቻ.

ስለዚህ ከሆነ:

- የተፈጥሮ ቁጥር;
- ኢንቲጀር;

ምሳሌዎች፡-

ምክንያታዊ ገላጮች መግለጫዎችን ከሥሮች ጋር ለመለወጥ በጣም ጠቃሚ ናቸው፣ ለምሳሌ፡-

ለመለማመድ 5 ምሳሌዎች

ለሥልጠና 5 ምሳሌዎች ትንተና

ደህና ፣ አሁን በጣም አስቸጋሪው ክፍል ይመጣል። አሁን እንረዳዋለን ዲግሪ ከምክንያታዊ ገላጭ ጋር.

እዚህ ያሉት ሁሉም የዲግሪዎች ህጎች እና ባህሪያት በትክክል ከምክንያታዊ ገላጭ ጋር አንድ ዲግሪ ናቸው ፣ በስተቀር

ደግሞም ፣ በትርጓሜ ፣ ኢ-ምክንያታዊ ቁጥሮች እንደ ክፍልፋይ ሊወከሉ የማይችሉ ቁጥሮች ናቸው ፣ ኢንቲጀር የት እና ናቸው (ማለትም ፣ ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ከምክንያታዊ በስተቀር ሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው)።

ዲግሪዎችን በተፈጥሮ፣ ኢንቲጀር እና ምክንያታዊ ገላጭ ገለጻዎች ስናጠና፣ በእያንዳንዱ ጊዜ አንድ የተወሰነ “ምስል”፣ “አናሎግ”፣ ወይም መግለጫን ይበልጥ በሚታወቁ ቃላት በፈጠርን ቁጥር።

ለምሳሌ, የተፈጥሮ ገላጭ ያለው ዲግሪ በራሱ ብዙ ጊዜ ተባዝቷል;

...ቁጥር ወደ ዜሮ ኃይል- ይህ እንደ ሆነ ፣ አንድ ቁጥር በራሱ አንድ ጊዜ ተባዝቷል ፣ ማለትም ፣ እሱን ማባዛት ገና አልጀመሩም ፣ ይህ ማለት ቁጥሩ ራሱ ገና አልታየም ማለት ነው - ስለሆነም ውጤቱ የተወሰነ “ባዶ ቁጥር” ብቻ ነው። , ማለትም ቁጥር;

...አሉታዊ የኢንቲጀር ዲግሪ- አንዳንድ “የተገላቢጦሽ ሂደት” የተከሰተ ያህል ነው ፣ ማለትም ፣ ቁጥሩ በራሱ አልተባዛም ፣ ግን የተከፋፈለ ነው።

በነገራችን ላይ, በሳይንስ ውስጥ ውስብስብ አርቢ ያለው ዲግሪ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል, ማለትም, አርቢው እውነተኛ ቁጥር እንኳን አይደለም.

ግን በትምህርት ቤት ውስጥ ስለ እንደዚህ ዓይነት ችግሮች አናስብም ፣ በተቋሙ ውስጥ እነዚህን አዳዲስ ፅንሰ-ሀሳቦች የመረዳት እድል ይኖርዎታል ።

የት እንደሚሄዱ እርግጠኛ ነን! (እንደዚህ ያሉ ምሳሌዎችን ለመፍታት ከተማሩ :))

ለምሳሌ:

ለራስዎ ይወስኑ፡-

የመፍትሄዎች ትንተና;

1. ኃይልን ወደ ኃይል ለማሳደግ በተለመደው ደንብ እንጀምር፡-

አሁን ጠቋሚውን ይመልከቱ. እሱ ምንም ነገር አያስታውስዎትም? የካሬዎች ልዩነት ምህጻረ ቃል ማባዛት ቀመርን እናስታውስ፡-

በዚህ ጉዳይ ላይ እ.ኤ.አ.

እንዲህ ሆነ።

መልስ፡- .

2. ክፍልፋዮችን በአራቢዎች ወደ ተመሳሳይ ቅርፅ እንቀንሳለን-ሁለቱም አስርዮሽ ወይም ሁለቱም ተራ። ለምሳሌ፡- እናገኛለን

መልስ፡ 16

3. ምንም ልዩ ነገር የለም፣ የተለመዱትን የዲግሪ ባህሪያት እንጠቀማለን፡

የላቀ ደረጃ

ዲግሪ መወሰን

ዲግሪ የቅጹ መግለጫ ነው:, የት:

— የዲግሪ መሠረት;
- ገላጭ.

ዲግሪ ከተፈጥሮ አመልካች (n = 1, 2, 3,...)

ቁጥርን ወደ ተፈጥሯዊ ሃይል ማሳደግ n ማለት ቁጥሩን በራሱ ጊዜ ማባዛት ማለት ነው።

ዲግሪ በኢንቲጀር አርቢ (0፣ ±1፣ ±2፣...)

ገላጭ ከሆነ አዎንታዊ ኢንቲጀርቁጥር፡-

ግንባታ ወደ ዜሮ ዲግሪ:

አገላለጹ ያልተወሰነ ነው, ምክንያቱም በአንድ በኩል, በማንኛውም ዲግሪ ይህ ነው, እና በሌላ በኩል, ማንኛውም ቁጥር ወደ ኛ ዲግሪ ይህ ነው.

ገላጭ ከሆነ አሉታዊ ኢንቲጀርቁጥር፡-

(ምክንያቱም በ መከፋፈል አይችሉም).

እንደገና ስለ ዜሮዎች: አገላለጹ በጉዳዩ ላይ አልተገለጸም. ከሆነ እንግዲህ።

ምሳሌዎች፡-

ኃይል ከምክንያታዊ ገላጭ ጋር

- የተፈጥሮ ቁጥር;
- ኢንቲጀር;

ምሳሌዎች፡-

የዲግሪዎች ባህሪያት

ችግሮችን ለመፍታት ቀላል ለማድረግ, ለመረዳት እንሞክር: እነዚህ ንብረቶች ከየት መጡ? እናረጋግጥላቸው።

እስቲ እንመልከት: ምንድን ነው እና?

A-priory፡-

ስለዚህ, በዚህ አገላለጽ በቀኝ በኩል የሚከተለውን ምርት እናገኛለን:

ነገር ግን በትርጉሙ የቁጥር ሃይል ከአርቢ ጋር ነው፡

ጥ.ኢ.ዲ.

ለምሳሌ ፦ አገላለጹን ቀለል ያድርጉት።

መፍትሄ : .

ለምሳሌ ፦ አገላለጹን ቀለል ያድርጉት።

መፍትሄ : በእኛ አገዛዝ ውስጥ መሆኑን ልብ ማለት ያስፈልጋል የግድተመሳሳይ ምክንያቶች ሊኖሩ ይገባል. ስለዚህ ኃይሎቹን ከመሠረቱ ጋር እናጣምራለን ፣ ግን የተለየ ምክንያት ይቀራል።

ሌላ አስፈላጊ ማስታወሻ ይህ ደንብ - ለስልጣኖች ምርት ብቻ!

በምንም አይነት ሁኔታ ያንን መጻፍ አይችሉም.

ልክ እንደ ቀድሞው ንብረት፣ ወደ ዲግሪ ፍቺ እንሸጋገር፡-

ይህን ስራ እንደገና እንደሚከተለው እንሰበስብ፡-

አገላለጹ በራሱ ጊዜ ተባዝቷል ፣ ማለትም ፣ በትርጉሙ መሠረት ፣ ይህ የቁጥሩ ኃይል ነው-

በመሰረቱ፣ ይህ “ጠቋሚውን ከቅንፍ ማውጣት” ተብሎ ሊጠራ ይችላል። ግን በአጠቃላይ ይህንን ማድረግ አይችሉም:!

አሕጽሮተ ማባዛት ቀመሮችን እናስታውስ፡ ስንት ጊዜ መጻፍ ፈለግን? ግን ይህ እውነት አይደለም, ከሁሉም በላይ.

ኃይል ከአሉታዊ መሠረት ጋር።

እስከዚህ ነጥብ ድረስ የተነጋገርነው ምን መሆን እንዳለበት ብቻ ነው ኢንዴክስዲግሪዎች. ግን መሠረቱ ምን መሆን አለበት? በስልጣን ተፈጥሯዊ አመልካች መሠረት ሊሆን ይችላል ማንኛውም ቁጥር .

በእርግጥ፣ ማንኛቸውንም ቁጥሮች እርስ በርስ ማባዛት እንችላለን፣ እነሱ አዎንታዊ፣ አሉታዊ፣ ወይም እንዲያውም። የትኞቹ ምልክቶች ("" ወይም "") አወንታዊ እና አሉታዊ ቁጥሮች ኃይል እንደሚኖራቸው እናስብ?

ለምሳሌ ቁጥሩ አዎንታዊ ነው ወይስ አሉታዊ? አ? ?

ከመጀመሪያው ጋር, ሁሉም ነገር ግልጽ ነው: ምንም ያህል አዎንታዊ ቁጥሮች እርስ በርስ ብናባዛ, ውጤቱ አዎንታዊ ይሆናል.

ግን አሉታዊዎቹ ትንሽ የበለጠ አስደሳች ናቸው። ከ6ኛ ክፍል ጀምሮ ያለውን ቀላል ህግ እናስታውሳለን፡ “መቀነስ ሲቀነስ ፕላስ ይሰጣል። ማለትም ወይም. ነገር ግን በ () ብናባዛ - እናገኛለን።

እና ስለዚህ ማስታወቂያ ኢንፊኒተም: በእያንዳንዱ ቀጣይ ማባዛት ምልክቱ ይለወጣል. የሚከተሉት ቀላል ህጎች ሊዘጋጁ ይችላሉ-

እንኳንዲግሪ, - ቁጥር አዎንታዊ.
አሉታዊ ቁጥር ተነስቷል። እንግዳዲግሪ, - ቁጥር አሉታዊ.
ለማንኛውም ዲግሪ አዎንታዊ ቁጥር አዎንታዊ ቁጥር ነው.
የማንኛውም ኃይል ዜሮ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።

የሚከተሉት መግለጫዎች ምን ምልክት እንደሚኖራቸው ለራስዎ ይወስኑ።

1.	2.	3.
4.	5.	6.

አስተዳድረዋል? መልሱ እነሆ፡-

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

በመጀመሪያዎቹ አራት ምሳሌዎች ሁሉም ነገር ግልጽ እንደሆነ ተስፋ አደርጋለሁ? በቀላሉ መሰረቱን እና አርቢውን እንመለከታለን እና ተገቢውን ህግ እንተገብራለን.

በምሳሌ 5) ሁሉም ነገር የሚመስለውን ያህል አስፈሪ አይደለም: ከሁሉም በላይ, ከመሠረቱ ጋር እኩል ከሆነ ምንም ለውጥ አያመጣም - ዲግሪው እኩል ነው, ይህም ማለት ውጤቱ ሁልጊዜ አዎንታዊ ይሆናል. ደህና, መሰረቱ ዜሮ ካልሆነ በስተቀር. መሰረቱ እኩል አይደለም እንዴ? በግልጽ አይደለም, ጀምሮ (ምክንያቱም).

ምሳሌ 6) አሁን በጣም ቀላል አይደለም። እዚህ የትኛው ያነሰ እንደሆነ ማወቅ ያስፈልግዎታል: ወይም? ያንን ካስታወስን, ግልጽ ይሆናል, ይህም ማለት መሰረቱ ከዜሮ ያነሰ ነው. ማለትም, ደንብ 2 ን እንተገብራለን: ውጤቱ አሉታዊ ይሆናል.

እና እንደገና የዲግሪውን ፍቺ እንጠቀማለን-

ሁሉም ነገር እንደተለመደው ነው - የዲግሪዎችን ፍቺ እንጽፋለን እና እርስ በእርሳችን እንከፋፍላቸዋለን ፣ በጥንድ እንከፋፍላቸዋለን እና እናገኛለን

የመጨረሻውን ደንብ ከመመልከታችን በፊት, ጥቂት ምሳሌዎችን እንፍታ.

መግለጫዎቹን አስሉ፡-

መፍትሄዎች :

ስምንተኛውን ኃይል ችላ ካልን, እዚህ ምን እናያለን? የ7ኛ ክፍል ፕሮግራምን እናስታውስ። ታዲያ ታስታውሳለህ? ይህ የአህጽሮት ማባዛት ቀመር ነው፣ ማለትም የካሬዎች ልዩነት!

እናገኛለን፡-

መለያውን በጥንቃቄ እንመልከተው። ከአሃዛዊ ምክንያቶች ውስጥ አንዱ ይመስላል፣ ግን ምን ችግር አለው? የውሎቹ ቅደም ተከተል የተሳሳተ ነው። እነሱ ከተገለበጡ፣ ህግ 3 ተግባራዊ ሊሆን ይችላል። ግን እንዴት? በጣም ቀላል ሆኖ ተገኘ፡ የዳይሬክተሩ እኩልነት እዚህ ይረዳናል።

ካባዙት ምንም አይቀየርም አይደል? አሁን ግን እንዲህ ሆነ።

በአስማት ሁኔታ ቃላቱ ቦታዎችን ተለውጠዋል። ይህ "ክስተት" ለማንኛውም አገላለጽ በእኩል ደረጃ ይሠራል: ምልክቶችን በቅንፍ ውስጥ በቀላሉ መለወጥ እንችላለን. ግን ማስታወስ ጠቃሚ ነው፡- ሁሉም ምልክቶች በተመሳሳይ ጊዜ ይለወጣሉ!የማንወደውን አንድ ጉዳት ብቻ በመቀየር መተካት አይችሉም!

ወደ ምሳሌው እንመለስ፡-

እና እንደገና ቀመር:

ስለዚህ የመጨረሻው ደንብ:

እንዴት እናረጋግጣለን? እርግጥ ነው፣ እንደተለመደው፡ የዲግሪውን ፅንሰ-ሃሳብ እናስፋውና እናቀለለው፡-

ደህና ፣ አሁን ቅንፎችን እንክፈት። በጠቅላላው ስንት ፊደላት አሉ? ጊዜያት በማባዣዎች - ይህ ምን ያስታውሰዎታል? ይህ ከኦፕሬሽን ፍቺ ያለፈ ምንም ነገር አይደለም። ማባዛት: እዛ አባዢዎች ብቻ ነበሩ። ማለትም፣ ይህ፣ በትርጓሜ፣ አርቢ ያለው የቁጥር ሃይል ነው።

ለምሳሌ:

ዲግሪ ከምክንያታዊ ያልሆነ ገላጭ ጋር

ለአማካይ ደረጃ ስለ ዲግሪዎች መረጃ በተጨማሪ ዲግሪውን ምክንያታዊ ባልሆነ ገላጭ እንመረምራለን። እዚህ ያሉት ሁሉም የዲግሪዎች ህጎች እና ባህሪያት በትክክል ከዲግሪ ምክንያታዊ ገላጭ ጋር ተመሳሳይ ናቸው ፣ በስተቀር - ከሁሉም በላይ ፣ በትርጉም ፣ ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች እንደ ክፍልፋይ ሊወከሉ የማይችሉ ቁጥሮች ናቸው ፣ የት እና ያሉ ኢንቲጀር (ይህም ማለት ነው)። , ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ከምክንያታዊ ቁጥሮች በስተቀር ሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው).

ዲግሪዎችን በተፈጥሮ፣ ኢንቲጀር እና ምክንያታዊ ገላጭ ገለጻዎች ስናጠና፣ በእያንዳንዱ ጊዜ አንድ የተወሰነ “ምስል”፣ “አናሎግ”፣ ወይም መግለጫን ይበልጥ በሚታወቁ ቃላት በፈጠርን ቁጥር። ለምሳሌ, የተፈጥሮ ገላጭ ያለው ዲግሪ በራሱ ብዙ ጊዜ ተባዝቷል; አንድ ቁጥር ወደ ዜሮ ኃይል ነው ፣ ልክ እንደ ፣ አንድ ቁጥር በራሱ አንድ ጊዜ ተባዝቷል ፣ ማለትም ፣ እሱን ማባዛት ገና አልጀመሩም ፣ ይህ ማለት ቁጥሩ ራሱ ገና አልታየም ማለት ነው - ስለሆነም ውጤቱ የተወሰነ ብቻ ነው ። "ባዶ ቁጥር", ማለትም ቁጥር; ኢንቲጀር አሉታዊ ገላጭ ያለው ዲግሪ - አንዳንድ “የተገላቢጦሽ ሂደት” የተከሰተ ያህል ነው ፣ ማለትም ፣ ቁጥሩ በራሱ አልተባዛም ፣ ግን የተከፋፈለ ነው።

ምክንያታዊ ያልሆነ ገላጭ (ባለ 4-ልኬት ቦታን ለመገመት እንደሚያስቸግር) ዲግሪን መገመት እጅግ በጣም ከባድ ነው። የዲግሪ ፅንሰ-ሀሳብን ወደ አጠቃላይ የቁጥሮች ቦታ ለማራዘም የሂሳብ ሊቃውንት የፈጠሩት ሙሉ በሙሉ የሂሳብ ነገር ነው።

በነገራችን ላይ, በሳይንስ ውስጥ ውስብስብ አርቢ ያለው ዲግሪ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል, ማለትም, አርቢው እውነተኛ ቁጥር እንኳን አይደለም. ግን በትምህርት ቤት ውስጥ ስለ እንደዚህ ዓይነት ችግሮች አናስብም ፣ በተቋሙ ውስጥ እነዚህን አዳዲስ ፅንሰ-ሀሳቦች የመረዳት እድል ይኖርዎታል ።

ስለዚህ ምክንያታዊ ያልሆነ ገላጭ ካየን ምን እናደርጋለን? እሱን ለማስወገድ የተቻለንን ሁሉ እየሞከርን ነው! :)

ለምሳሌ:

ለራስዎ ይወስኑ፡-

መልሶች፡-

የካሬዎችን ቀመር ልዩነት እናስታውስ። መልስ፡.
ክፍልፋዮቹን ወደ ተመሳሳይ ቅፅ እንቀንሳለን-ሁለቱም አስርዮሽ ወይም ሁለቱም ተራ። እናገኛለን ለምሳሌ:.
ምንም ልዩ ነገር የለም፣ የተለመዱትን የዲግሪ ባህሪያትን እንጠቀማለን፡-

የክፍል እና መሰረታዊ ቀመሮች ማጠቃለያ

ዲግሪየቅጹ አገላለጽ ይባላል፡፣ የት፡

ዲግሪ ከኢንቲጀር አርቢ ጋር

አርቢው የተፈጥሮ ቁጥር ነው (ማለትም ኢንቲጀር እና አወንታዊ)።

ኃይል ከምክንያታዊ ገላጭ ጋር

ዲግሪ, አርቢው አሉታዊ እና ክፍልፋይ ቁጥሮች ነው.

ዲግሪ ከምክንያታዊ ያልሆነ ገላጭ ጋር

አርቢው ማለቂያ የሌለው የአስርዮሽ ክፍልፋይ ወይም ስር ነው።

የዲግሪዎች ባህሪያት

የዲግሪዎች ባህሪያት.

አሉታዊ ቁጥር ተነስቷል። እንኳንዲግሪ, - ቁጥር አዎንታዊ.
አሉታዊ ቁጥር ተነስቷል። እንግዳዲግሪ, - ቁጥር አሉታዊ.
ለማንኛውም ዲግሪ አዎንታዊ ቁጥር አዎንታዊ ቁጥር ነው.
ዜሮ ከማንኛውም ኃይል ጋር እኩል ነው.
ወደ ዜሮ ኃይል ያለው ማንኛውም ቁጥር እኩል ነው.

አሁን ቃሉ አለህ...

ጽሑፉን እንዴት ይወዳሉ? ወደዱም አልወደዱም በአስተያየቶቹ ውስጥ ከታች ይፃፉ።

የዲግሪ ንብረቶችን ስለመጠቀም ልምድዎን ይንገሩን.

ምናልባት ጥያቄዎች አሉዎት. ወይም ጥቆማዎች።

በአስተያየቶቹ ውስጥ ይፃፉ.

እና በፈተናዎ ላይ መልካም ዕድል!

በርዕሱ ላይ ያለው ትምህርት: "የኃይል ማባዛት እና የመከፋፈል ደንቦች ከተመሳሳይ እና የተለያዩ ገላጭ ጋር. ምሳሌዎች"

ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ ። ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.

ለ 7ኛ ክፍል በIntegral የመስመር ላይ መደብር ውስጥ የማስተማሪያ መርጃዎች እና አስመሳይዎች
የመማሪያ መጽሐፍ ዩ.ኤን. ማካሪቼቫ ለመማሪያ መጽሀፍ በኤ.ጂ. ሞርዶኮቪች

የትምህርቱ ዓላማ-በቁጥሮች ኃይል ሥራዎችን ማከናወን ይማሩ።

በመጀመሪያ, "የቁጥር ኃይል" ጽንሰ-ሐሳብ እናስታውስ. የ$\ underbrace (a * a * \ldots * a )_(n)$ የፎርም መግለጫ እንደ $a^n$ ሊወከል ይችላል።

ንግግሩም እውነት ነው፡- $a^n= \ underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$።

ይህ እኩልነት “ዲግሪውን እንደ ምርት መቅዳት” ይባላል። ኃይልን እንዴት ማባዛትና መከፋፈል እንዳለብን ለመወሰን ይረዳናል።
አስታውስ፡-
ሀ- የዲግሪው መሠረት.
n- ገላጭ.
ከሆነ n=1ቁጥር ማለት ነው። ሀአንድ ጊዜ ወስዷል እና በዚሁ መሰረት: $a^n= 1$.
ከሆነ n= 0ከዚያም $a^0= 1$።

የማባዛት እና የስልጣን ክፍፍል ህጎችን ስንተዋወቅ ይህ ለምን እንደሚሆን ማወቅ እንችላለን።

የማባዛት ደንቦች

ሀ) ተመሳሳይ መሠረት ያላቸው ኃይሎች ቢበዙ።
$a^n * a^m$ ለማግኘት፣ ዲግሪዎቹን እንደ ምርት እንጽፋለን፡ $\ underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * _(ሜ)$
ቁጥሩ እንደሚያሳየው ሀወስደዋል n+mጊዜ፣ ከዚያ $a^n * a^m = a^(n + m)$።

ለምሳሌ.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

ይህ ንብረት አንድ ቁጥርን ወደ ከፍተኛ ኃይል ሲያሳድጉ ስራውን ለማቃለል ለመጠቀም ምቹ ነው.
ለምሳሌ.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

ለ) የተለያዩ መሠረቶች ያላቸው ዲግሪዎች, ግን ተመሳሳይ ገላጭ ቢበዛ.
$a^n * b^n$ ለማግኘት፣ ዲግሪዎቹን እንደ ምርት እንጽፋለን፡ $\ underbrace( a * a * \ldots * a ) _(n) * \ under brace( b * b * \ldots * b) _(ሜ)$
ምክንያቶቹን ከቀየርን እና የተገኙትን ጥንዶች ከቆጠርን፣ $\ underbrace ((a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$ እናገኛለን።

ስለዚህ $a^n * b^n= (a * b)^n$።

ለምሳሌ.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

የክፍል ደንቦች

ሀ) የዲግሪው መሠረት አንድ ነው, አመላካቾች የተለያዩ ናቸው.
ኃይልን በትንሽ አርቢ በማካፈል በትልቁ አርቢ ለመከፋፈል ያስቡበት።

ስለዚህ, ያስፈልገናል $\frac(a^n)(a^m)$፣ የት n>ሚ.

ዲግሪዎቹን እንደ ክፍልፋዮች እንፃፍ፡-

$\frac (\ underbrace (a * a * \ldots * a )_(n)) (\ underbrace (a * a * \ldots * a )_(m))$.

ለመመቻቸት, ክፍፍሉን እንደ ቀላል ክፍልፋይ እንጽፋለን.

አሁን ክፍልፋዩን እንቀንስ።

ይገለጣል፡$\ underbrace(a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$።
ማለት፣ $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

ይህ ንብረት ቁጥርን ወደ ዜሮ ኃይል በማንሳት ሁኔታውን ለማብራራት ይረዳል. ያንን እናስብ n=mከዚያም $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$።

ምሳሌዎች።
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$።

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$።

ለ) የዲግሪው መሰረቶች የተለያዩ ናቸው, አመላካቾች ተመሳሳይ ናቸው.
$\frac(a^n)( b^n)$ አስፈላጊ ነው እንበል። የቁጥር ሃይሎችን እንደ ክፍልፋዮች እንፃፍ፡-

$\frac (\ underbrace (a * a * \ldots * a )_(n)) (\ underbrace ( b * b * \ldots * b )_(n))$.

ለመመቻቸት, እስቲ እናስብ.

የክፍልፋዮችን ንብረት በመጠቀም ትልቁን ክፍልፋይ ወደ ትናንሽ ምርቶች እንከፋፍለን ፣ እናገኛለን።
$\ underbrace ( \ frac (a) (b) * \ frac (a) (b) * \ldots * \ frac (a) (ለ) ) __(n)$.
በዚህ መሠረት፡ $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$።

ለምሳሌ.
$\frac(4^3)(2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$።

ቀደም ሲል የቁጥር ኃይል ምን እንደሆነ አስቀድመን ተናግረናል። ችግሮችን ለመፍታት ጠቃሚ የሆኑ አንዳንድ ባህሪያት አሉት: በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እነሱን እና ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ገላጮችን እንመረምራለን. እንዲሁም በተግባር እንዴት እንደሚረጋገጡ እና በትክክል እንዴት እንደሚተገበሩ በግልፅ እናሳያለን።

Yandex.RTB R-A-339285-1

ቀደም ሲል የተቀረፀውን የዲግሪ ጽንሰ-ሀሳብ ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር እናስታውስ-ይህ የ nth የምክንያቶች ብዛት ውጤት ነው ፣ እያንዳንዱም ከሀ ጋር እኩል ነው። እንዲሁም እውነተኛ ቁጥሮችን እንዴት በትክክል ማባዛት እንዳለብን ማስታወስ አለብን። ይህ ሁሉ የሚከተሉትን ንብረቶች ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር ለአንድ ዲግሪ ለማዘጋጀት ይረዳናል፡

ፍቺ 1

1. የዲግሪው ዋና ንብረት: a m · a n = a m + n

በአጠቃላይ ሊጠቃለል ይችላል፡ a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

2. ተመሳሳይ መሠረቶች ላላቸው ዲግሪዎች የዋጋው ንብረት፡ a m: a n = a m - n

3. የምርት ዲግሪ ንብረት፡ (a · b) n = a n · b n

እኩልነቱ ወደሚከተለው ሊሰፋ ይችላል፡ (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

4. በተፈጥሮ ደረጃ ያለው ንብረት፡ (a፡ b) n = a n፡ b n

5. ኃይሉን ወደ ኃይሉ ያሳድጉ: (a m) n = a m n,

በአጠቃላይ ሊጠቃለል ይችላል፡ (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k

6. ዲግሪውን ከዜሮ ጋር ያወዳድሩ፡-

a > 0 ከሆነ፣ ለማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥር n፣ a n ከዜሮ ይበልጣል።
ከ 0 ጋር, a n ደግሞ ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል;
በ ሀ< 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
በ ሀ< 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.

7. እኩልነት a n< b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.

8. m እና n የተፈጥሮ ቁጥሮች፣m ከ n የሚበልጡ እና a ከዜሮ የሚበልጡ እና ከአንድ ያነሱ እስከሆኑ ድረስ የ m > a n እኩልነት እውነት ይሆናል።

በውጤቱም, በርካታ እኩልነቶችን አግኝተናል; ሁሉም ከላይ የተገለጹት ሁኔታዎች ከተሟሉ, ተመሳሳይ ይሆናሉ. ለእያንዳንዳቸው እኩልነት, ለምሳሌ, ለዋናው ንብረት, የቀኝ እና የግራ ጎኖች መለዋወጥ ይችላሉ-m · a n = a m + n - ልክ እንደ m + n = a m · a n. በዚህ ቅጽ ውስጥ ብዙውን ጊዜ አባባሎችን ለማቃለል ይጠቅማል.

1. በዲግሪ መሰረታዊ ንብረት እንጀምር፡ እኩልነት a m · a n = a m + n ለማንኛውም የተፈጥሮ m እና n እና እውነተኛ ሀ ይሆናል። ይህንን መግለጫ እንዴት ማረጋገጥ ይቻላል?

ከተፈጥሮ ገላጮች ጋር የስልጣን መሰረታዊ ፍቺ እኩልነትን ወደ የምክንያቶች ውጤት እንድንለውጥ ያስችለናል። እንደዚህ ያለ መዝገብ እናገኛለን

ይህ ሊታጠር ይችላል። (የማባዛትን መሰረታዊ ባህሪያት አስታውስ). በውጤቱም, የቁጥሩን ኃይል ከተፈጥሮ ገላጭ m + n ጋር አግኝተናል. ስለዚህ, m + n, ይህም ማለት የዲግሪው ዋና ንብረት ተረጋግጧል.

ይህንን የሚያረጋግጥ አንድ የተለየ ምሳሌ እንመልከት።

ምሳሌ 1

ስለዚህ ከመሠረት 2 ጋር ሁለት ኃይሎች አሉን. የእነሱ ተፈጥሯዊ አመላካቾች 2 እና 3 ናቸው. እኛ እኩልነት አለን: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 የዚህን እኩልነት ትክክለኛነት ለማረጋገጥ እሴቶቹን እናሰላለን.

አስፈላጊውን የሂሳብ ስራዎችን እናከናውን፡ 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 and 2 5 = 2 2 2 2 2 = 32

በውጤቱም፡ 2 2 · 2 3 = 2 5 አግኝተናል። ንብረቱ ተረጋግጧል.

በማባዛት ባህሪያት ምክንያት, ንብረቱን በሶስት ወይም ከዚያ በላይ በሆኑ ሀይሎች መልክ በመቅረጽ በአጠቃላይ ማጠቃለል እንችላለን, በዚህ ውስጥ አርቢዎቹ የተፈጥሮ ቁጥሮች እና መሠረቶች ተመሳሳይ ናቸው. የተፈጥሮ ቁጥሮችን ቁጥር n 1, n 2, ወዘተ. በ k ፊደል ከገለፅን, ትክክለኛውን እኩልነት እናገኛለን.

a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .

ምሳሌ 2

2. በመቀጠል, የሚከተለውን ንብረት ማረጋገጥ አለብን, እሱም የንብረት ንብረት ተብሎ የሚጠራው እና ከተመሳሳይ መሠረቶች ጋር በሥልጣናት ውስጥ የሚገኝ ነው-ይህ እኩልነት a m: a n = a m - n ነው, ይህም ለማንኛውም የተፈጥሮ m እና n (እና m) ነው. ከ n)) እና ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ እውነተኛ ሀ .

ለመጀመር, በአጻጻፍ ውስጥ የተጠቀሱትን ሁኔታዎች በትክክል ምን ማለት እንደሆነ እናብራራለን. ከዜሮ ጋር እኩል ከወሰድን, ከዚያም በዜሮ መከፋፈል እንጨርሳለን, እኛ ማድረግ የማንችለው (ከሁሉም በኋላ, 0 n = 0). በተፈጥሮ ገላጭ ወሰን ውስጥ እንድንቆይ ቁጥሩ m ከ n የበለጠ መሆን ያለበት ሁኔታ አስፈላጊ ነው: n ከ m ን በመቀነስ, የተፈጥሮ ቁጥር እናገኛለን. ሁኔታው ካልተሟላ, በአሉታዊ ቁጥር ወይም ዜሮ እንጨርሰዋለን, እና እንደገና ከተፈጥሯዊ ገላጮች ጋር የዲግሪዎችን ጥናት አልፈን እንሄዳለን.

አሁን ወደ ማስረጃው መሄድ እንችላለን። ከዚህ ቀደም ካጠናነው የክፍልፋዮችን መሰረታዊ ባህሪያት እናስታውስ እና እኩልነትን እንደሚከተለው እንፈጥራለን።

a m - n · a n = a (m - n) + n = a m

ከእሱ መለየት እንችላለን: a m - n · a n = a m

በመከፋፈል እና በማባዛት መካከል ያለውን ግንኙነት እናስታውስ። ከዚህ በመነሳት a m - n የኃይሎች ብዛት a m እና a n ነው. ይህ የዲግሪ ሁለተኛ ደረጃ ንብረት ማረጋገጫ ነው.

ምሳሌ 3

ግልፅ ለማድረግ የተወሰኑ ቁጥሮችን ወደ ገላጭዎቹ እንተካ እና የዲግሪውን መሰረት እንደ π: π 5: π 2 = π 5 - 3 = π 3 እንጥቀስ.

3. በመቀጠል የምርቱን ኃይል ንብረት እንመረምራለን፡ (a · b) n = a n · b n ለማንኛውም እውነተኛ ሀ እና ለ እና ተፈጥሯዊ n።

በተፈጥሮ ገላጭ ሃይል መሰረታዊ ፍቺ መሰረት እኩልነቱን በሚከተለው መልኩ ማስተካከል እንችላለን፡-

የማባዛት ባህሪያትን በማስታወስ፣ እንጽፋለን፡- . ይህ ማለት ከ n · b n ጋር ተመሳሳይ ነው.

ምሳሌ 4

2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4

ሶስት ወይም ከዚያ በላይ ምክንያቶች ካሉን, ይህ ንብረት በዚህ ጉዳይ ላይም ይሠራል. ለነገሮች ብዛት k ማስታወሻውን እናስተዋውቅ እና እንፃፍ፡-

(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n

ምሳሌ 5

በተወሰኑ ቁጥሮች የሚከተለውን ትክክለኛ እኩልነት እናገኛለን: (2 · (- 2, 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2, 3) 7 · a

4. ከዚህ በኋላ የዋጋ ንብረቱን ለማረጋገጥ እንሞክራለን፡ (a: b) n = a n: b n ለማንኛውም እውነተኛ a እና b, b ከ 0 ጋር እኩል ካልሆነ እና n የተፈጥሮ ቁጥር ነው.

ይህንን ለማረጋገጥ, የዲግሪዎችን የቀድሞ ንብረት መጠቀም ይችላሉ. (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n, እና (a: b) n · b n = a n ከሆነ, (a: b) n የመከፋፈል ጥቅስ ነው. a n በ b n.

ምሳሌ 6

አንድ ምሳሌ እናሰላው፡ 3 1 2፡- 0። 5 3 = 3 1 2 3: (- 0, 5) 3

ምሳሌ 7

ወዲያውኑ በምሳሌ እንጀምር፡ (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6

አሁን እኩልነት እውነት መሆኑን የሚያረጋግጥልን የእኩልነት ሰንሰለት እንፍጠር፡-

በምሳሌው ውስጥ የዲግሪ ዲግሪዎች ካሉን, ይህ ንብረት ለእነሱም እውነት ነው. ማንኛውም የተፈጥሮ ቁጥሮች ካለን p፣q፣ r፣s፣ ያኔ እውነት ይሆናል፡-

a p q y s = a p q y s

ምሳሌ 8

የተወሰኑ ዝርዝሮችን እንጨምር፡ (((5፣2) 3) 2) 5 = (5፣ 2) 3 + 2 + 5 = (5፣ 2) 10

6. ልናረጋግጠው የሚገባን የተፈጥሮ ገላጭ ያለው ሌላው የስልጣን ንብረት የንፅፅር ንብረት ነው።

መጀመሪያ ደረጃውን ከዜሮ ጋር እናወዳድር። ለምን n > 0፣ a ከ 0 የሚበልጥ ከሆነ?

አንዱን ፖዘቲቭ ቁጥር በሌላ ብናባዛው ፖዘቲቭ ቁጥርም እናገኛለን። ይህንን እውነታ በማወቅ, በሁኔታዎች ብዛት ላይ የተመካ አይደለም ማለት እንችላለን - ማንኛውንም ቁጥር ማባዛት ውጤቱ አዎንታዊ ቁጥር ነው. የቁጥሮች ማባዛት ውጤት ካልሆነ ምን ዲግሪ ነው? ከዚያ ለማንኛውም ኃይል a n አዎንታዊ መሠረት እና ተፈጥሯዊ ገላጭ ይህ እውነት ይሆናል።

ምሳሌ 9

3 5 > 0፣ (0፣ 00201) 2 > 0 እና 34 9 13 51 > 0

ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ መሰረት ያለው ሃይል ራሱ ዜሮ መሆኑ ግልጽ ነው። ዜሮን ወደየትኛውም ሃይል ብናነሳው ዜሮ ሆኖ ይቀራል።

ምሳሌ 10

0 3 = 0 እና 0 762 = 0

የዲግሪው መሠረት አሉታዊ ቁጥር ከሆነ ፣የማስረጃው ትንሽ የተወሳሰበ ነው ፣ምክንያቱም የእኩል / ያልተለመደ አርቢ ጽንሰ-ሀሳብ አስፈላጊ ይሆናል። መጀመሪያ አርቢው እኩል ሲሆን ጉዳዩን እንውሰድ እና 2 · ሜትር እንጥቀስ፣ ኤም የተፈጥሮ ቁጥር ነው።

አሉታዊ ቁጥሮችን እንዴት በትክክል ማባዛት እንደሚቻል እናስታውስ፡- ምርቱ a · a ከሞዱሊው ምርት ጋር እኩል ነው፣ እና ስለዚህ፣ አወንታዊ ቁጥር ይሆናል። ከዚያም እና 2 ሜትር ዲግሪ ደግሞ አዎንታዊ ነው.

ምሳሌ 11

ለምሳሌ፣ (- 6) 4 > 0፣ (- 2፣ 2) 12 > 0 እና - 2 9 6 > 0

አሉታዊ መሠረት ያለው አርቢው ያልተለመደ ቁጥር ከሆነስ? 2 · m - 1 እንጥቀስ።

ከዚያም

ሁሉም ምርቶች a · a, እንደ ማባዛት ባህሪያት, አዎንታዊ ናቸው, እና ምርታቸውም እንዲሁ ነው. ግን በቀረው ቁጥር ሀ ብናባዛው የመጨረሻው ውጤት አሉታዊ ይሆናል።

ከዚያም እናገኛለን: (- 5) 3< 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0

ይህንን እንዴት ማረጋገጥ ይቻላል?

አንድ n< b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .

ምሳሌ 12

ለምሳሌ የሚከተሉት አለመመጣጠኖች እውነት ናቸው፡ 3 7< (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124

8. የመጨረሻውን ንብረት ብቻ ማረጋገጥ አለብን፡ መሰረታቸው ተመሳሳይ እና አወንታዊ የሆኑ ሁለት ሀይሎች ካሉን እና ገለፃቸው የተፈጥሮ ቁጥሮች ከሆነ፣ ገላጭነቱ የሚያንስ ሰው ይበልጣል። እና ከሁለት ሀይሎች በተፈጥሮ ገላጭ እና ተመሳሳይ መሠረተ ልማቶች ከአንድ የሚበልጡ፣ ገላጭነቱ የሚበልጥ ነው።

እነዚህን መግለጫዎች እናረጋግጥ።

በመጀመሪያ ማረጋገጥ አለብን m< a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n

ከቅንፍ ውስጥ አንድ nን እናውጣ, ከዚያ በኋላ ልዩነታችን a n · (a m - n - 1) ን ይይዛል. ውጤቱ አሉታዊ ይሆናል (ምክንያቱም አወንታዊ ቁጥርን በአሉታዊ ቁጥር ማባዛት ውጤቱ አሉታዊ ነው). ከሁሉም በላይ, እንደ መጀመሪያው ሁኔታ, m - n> 0, ከዚያም a m - n - 1 አሉታዊ ነው, እና የመጀመሪያው ምክንያት አዎንታዊ ነው, ልክ እንደ ማንኛውም የተፈጥሮ ኃይል አዎንታዊ መሠረት ነው.

አንድ m - a n ሆኖ ተገኝቷል< 0 и a m < a n . Свойство доказано.

ከላይ የቀረበውን መግለጫ ሁለተኛ ክፍል ለማረጋገጥ ይቀራል፡ a m > a ለ m > n እና a > 1 እውነት ነው። ልዩነቱን እንጠቁም እና n ከቅንፍ ውስጥ እናስቀምጠው: (a m - n - 1) ከአንድ በላይ ለሆኑ ሰዎች ያለው ኃይል አወንታዊ ውጤት ያስገኛል; እና ልዩነቱ በራሱ በመነሻ ሁኔታዎች ምክንያት አዎንታዊ ይሆናል, እና ለ > 1 ዲግሪ a m - n ከአንድ ይበልጣል. መ - a n> 0 እና አንድ ሜትር > a n ነው፣ ይህም ለማረጋገጥ የሚያስፈልገን ነው።

ምሳሌ 13

ምሳሌ ከተወሰኑ ቁጥሮች ጋር፡ 3 7 > 3 2

የዲግሪዎች መሰረታዊ ባህሪያት ከኢንቲጀር ገላጭ ጋር

አወንታዊ ኢንቲጀር ገላጭ ለሆኑ ሃይሎች ንብረቶቹ ተመሳሳይ ይሆናሉ፣ ምክንያቱም አወንታዊ ኢንቲጀሮች ተፈጥሯዊ ቁጥሮች ናቸው፣ ይህ ማለት ከላይ የተረጋገጡት ሁሉም እኩልነቶች ለእነሱም እውነት ናቸው ማለት ነው። እንዲሁም ገላጭዎቹ አሉታዊ ወይም ከዜሮ ጋር እኩል ለሆኑ ጉዳዮች ተስማሚ ናቸው (የዲግሪው መሠረት ራሱ ዜሮ ካልሆነ)።

ስለዚህ የስልጣኖች ባህሪያት ለማንኛውም መሰረቶች ሀ እና ለ (እነዚህ ቁጥሮች እውነተኛ ከሆኑ እና ከ 0 ጋር እኩል ካልሆኑ) እና ማንኛውም ገላጭ m እና n (ኢንቲጀር ከሆኑ) ተመሳሳይ ናቸው። በቀመር መልክ በአጭሩ እንጽፋቸው፡-

ፍቺ 2

1. a m · a n = a m + n

2. a m: a n = a m - n

3. (a · b) n = a n · b n

4. (ሀ፡ ለ) n = a n፡ b n

5. (a m) n = a m n

6. አንድ nb - n ለአዎንታዊ ኢንቲጀር ተገዢ n፣ አዎንታዊ a እና b፣ a< b

7. ጥዋት< a n , при условии целых m и n , m >n እና 0< a < 1 , при a >1 ሜትር > a n.

የዲግሪው መሠረት ዜሮ ከሆነ, ከዚያም a m እና a n ግቤቶች ትርጉም የሚሰጡት በተፈጥሮ እና አወንታዊ m እና n ላይ ብቻ ነው. በውጤቱም, ሁሉም ሌሎች ሁኔታዎች ከተሟሉ, ከላይ ያሉት ቀመሮች ዜሮ መሰረት ላለው ኃይል ላላቸው ጉዳዮችም ተስማሚ ሆነው አግኝተናል.

በዚህ ጉዳይ ላይ የእነዚህ ንብረቶች ማረጋገጫዎች ቀላል ናቸው. ከተፈጥሮ እና ኢንቲጀር ገላጭ ጋር ያለው ዲግሪ ምን እንደሆነ እና እንዲሁም ከእውነተኛ ቁጥሮች ጋር የአሠራር ባህሪያትን ማስታወስ አለብን።

ከስልጣን ወደ ስልጣን ያለውን ንብረት እንይ እና ለሁለቱም አዎንታዊ እና አዎንታዊ ያልሆኑ ኢንቲጀሮች እውነት መሆኑን እናረጋግጥ። እኩልነትን በማረጋገጥ እንጀምር (a p) q = a p · q, (a - p) q = a (- p) · q, (a p) - q = a p · (-q) እና (a - p) -q = a (- p) · (-q)

ሁኔታዎች: p = 0 ወይም የተፈጥሮ ቁጥር; q - ተመሳሳይ።

የ p እና q እሴቶች ከ 0 በላይ ከሆኑ (a p) q = a p · q እናገኛለን። ከዚህ በፊት ተመሳሳይ እኩልነትን አረጋግጠናል. p = 0 ከሆነ፡-

(a 0) q = 1 q = 1 a 0q = a 0 = 1

ስለዚህ (a 0) q = a 0 q

ለ q = 0 ሁሉም ነገር በትክክል አንድ አይነት ነው.

(a p) 0 = 1 a p 0 = a 0 = 1

ውጤት፡ (a p) 0 = a p · 0 .

ሁለቱም አመልካቾች ዜሮ ከሆኑ (a 0) 0 = 1 0 = 1 እና a 0 · 0 = a 0 = 1, ይህም ማለት (a 0) 0 = a 0 · 0 ማለት ነው.

ከላይ በተረጋገጠ ደረጃ የጥቅሶችን ንብረት እናስታውስ እና እንፃፍ፡-

1 a p q = 1 q a p q

1 p = 1 1 … 1 = 1 እና p q = a p q ከሆነ 1 q a p q = 1 a p q

ይህንን ማስታወሻ በመሠረታዊ የማባዛት ሕጎች መሠረት ወደ (- p) · q.

እንዲሁም: a p -q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (-q) .

እና (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p q = a (- p) (-q)

የዲግሪው ቀሪ ባህሪያት አሁን ያለውን እኩልነት በመለወጥ በተመሳሳይ መንገድ ሊረጋገጥ ይችላል. በዚህ ጉዳይ ላይ በዝርዝር አንቀመጥም፤ አስቸጋሪ የሆኑትን ነጥቦች ብቻ እንጠቁማለን።

የወንጀል ንብረት ማረጋገጫ፡- n > b − n ለማንኛውም አሉታዊ ኢንቲጀር እሴቶች n እና ማንኛውም አወንታዊ a እና b እውነት መሆኑን አስታውስ፣ ከ a በታች ከሆነ።

ከዚያም እኩልነት በሚከተለው መልኩ ሊለወጥ ይችላል.

1 a n > 1 b n

የቀኝ እና የግራ ጎኖችን እንደ ልዩነት እንፃፍ እና አስፈላጊ ለውጦችን እናከናውን።

1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n

በሁኔታው ሀ ከ b ያነሰ መሆኑን አስታውስ፣ እንግዲያውስ በተፈጥሮ ገላጭ የዲግሪ ፍቺ መሰረት፡- a n 0 .

a n · b n አወንታዊ ቁጥር ይሆናል ምክንያቱም ምክንያቶቹ አዎንታዊ ናቸው። በውጤቱም, እኛ ክፍልፋይ b n - a n a n · b n አለን, ይህም በመጨረሻም አወንታዊ ውጤትን ይሰጣል. ስለዚህም 1 a n > 1 b n ከየት ነው a -n > b - n፣ ይህም ለማረጋገጥ የሚያስፈልገን ነው።

የኢንቲጀር ገላጭ (ኢንቲጀር) ያለው የመጨረሻው የስልጣን ንብረት ከተፈጥሮ ገላጮች ጋር በተመሳሳይ መልኩ የተረጋገጠ ነው።

ከምክንያታዊ ገላጮች ጋር የስልጣኖች መሰረታዊ ባህሪዎች

በቀደሙት ጽሑፎች፣ ምክንያታዊ (ክፍልፋይ) አርቢ ያለው ዲግሪ ምን እንደሆነ ተመልክተናል። ንብረታቸው ከዲግሪ ኢንቲጀር ገላጮች ጋር ተመሳሳይ ነው። እንተዘይኮይኑ፡ ንዕኡ ንእሽቶ ውሳነ ምውሳድ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።

ፍቺ 3

1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 for a > 0, እና m 1 n 1> 0 እና m 2 n 2> 0 ከሆነ, ከዚያም ለ ≥ 0 (የምርት ንብረት) ዲግሪዎች ከተመሳሳይ መሠረቶች ጋር).

2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2, a > 0 ከሆነ (የሀብት ንብረት)።

3. a · b m n = a m n · b m n ለ > 0 እና b > 0፣ እና m 1 n 1> 0 እና m 2 n 2> 0 ከሆነ፣ ከዚያም ለ ≥ 0 እና (ወይም) b ≥ 0 (የምርት ንብረት በ ውስጥ ክፍልፋይ ዲግሪ)።

4. a: b m n = a m n: b m n ለ a > 0 እና b > 0, እና m n > 0 ከሆነ, ከዚያም ለ ≥ 0 እና ለ > 0 (የዋጋ ክፍልን ለክፍልፋይ ኃይል ያለው ንብረት).

5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 for a > 0, እና m 1 n 1> 0 እና m 2 n 2> 0 ከሆነ, ከዚያም ለ ≥ 0 (የዲግሪው ንብረት). በዲግሪ)።

6.a p0 ; ከሆነ p< 0 - a p >b p (ስልጣኖችን በእኩል ምክንያታዊ ገላጭ ገላጭነት የማወዳደር ንብረት).

7.a p< a q при условии рациональных чисел p и q , p >q በ 0< a < 1 ; если a >0 – a p > a q

እነዚህን ድንጋጌዎች ለማረጋገጥ፣ ክፍልፋይ አርቢ ያለው ዲግሪ ምን እንደሆነ፣ የ nth ዲግሪ አርቲሜቲክ ሥር ባህሪያት ምን እንደሆኑ እና የአንድ ዲግሪ ኢንቲጀር አርቢዎች ምን እንደሆኑ ማስታወስ አለብን። እያንዳንዱን ንብረት እንይ።

ክፍልፋይ አርቢ ያለው ዲግሪ ምን ያህል እንደሆነ፣ እኛ እናገኛለን፡-

a m 1 n 1 = a m 1 n 1 and a m 2 n 2 = a m 2 n 2, ስለዚህ, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2

የሥሩ ባህሪያት እኩልነትን እንድናገኝ ያስችሉናል፡-

መ 1 ሜ 2 n 1 n 2 a ሜ 2 ሜትር 1 n 2 n 1 = a m 1 n 2 a m 2 n 1 n 1 n 2

ከዚህ እናገኛለን፡ a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

እንቀይር፡-

a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2

አርቢው እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል፡-

m 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 2 n 1 n 2 + m 2 n 1 n 1 n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2

ማስረጃው ይህ ነው። ሁለተኛው ንብረት በትክክል በተመሳሳይ መንገድ ተረጋግጧል. የእኩልነት ሰንሰለት እንፃፍ፡-

a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 2: a m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 2 n 1 n 2 - m 2 n 1 n 1 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2

የተቀሩት የእኩልነት ማረጋገጫዎች፡-

a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 m 2 n 2 n 1 = a m 1 n 1 m 2 n 2

የሚቀጥለው ንብረት፡ ከ 0 በላይ ለሆኑት የ a እና b ዋጋዎች ፣ ሀ ከቢ በታች ከሆነ ፣ p እንደሚረካ እናረጋግጥቢ ፒ

ምክንያታዊ ቁጥር p as m n እንወክል። በዚህ ሁኔታ, m ኢንቲጀር ነው, n የተፈጥሮ ቁጥር ነው. ከዚያም ሁኔታዎች p< 0 и p >0 ወደ m ይዘልቃል< 0 и m >0 . ለ m > 0 እና ሀ< b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .

የስር እና የውጤት ንብረትን እንጠቀማለን: a m n< b m n

የ a እና b አወንታዊ እሴቶችን ከግምት ውስጥ በማስገባት እኩልነትን እንደ m n እንደገና እንጽፋለን።< b m n . Оно эквивалентно a p < b p .

በተመሳሳይ መንገድ ለኤም< 0 имеем a a m >bm, m n > b m n እናገኛለን ይህም ማለት a m n > b m n እና p > b p .

የመጨረሻውን ንብረት ማረጋገጫ ማቅረብ ለእኛ ይቀራል። ለምክንያታዊ ቁጥሮች p እና q፣ p > q በ0 እናረጋግጥ< a < 1 a p < a q , а при a >0 እውነት ይሆናል a p > a q .

ምክንያታዊ ቁጥሮች p እና q ወደ አንድ የጋራ መለያ በመቀነስ ክፍልፋዮች m 1 n እና m 2 n ያገኛሉ።

እዚህ m 1 እና m 2 ኢንቲጀር ናቸው, እና n የተፈጥሮ ቁጥር ነው. p > q ከሆነ፣ ከዚያም m 1 > m 2 (ክፍልፋዮችን የማወዳደር ደንቡን ከግምት ውስጥ በማስገባት)። ከዚያም በ0< a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a >1 - እኩልነት 1 ሜትር> 2 ሜትር.

እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፉ ይችላሉ.

አንድ ሜትር 1 n< a m 2 n a m 1 n >አንድ m 2 n

ከዚያ ለውጦችን ማድረግ እና የሚከተሉትን ማድረግ ይችላሉ-

አንድ ሜትር 1 n< a m 2 n a m 1 n >አንድ m 2 n

ለማጠቃለል፡ ለ p > q እና 0< a < 1 верно a p < a q , а при a >0 – a p > a q.

ምክንያታዊ ያልሆኑ ገላጮች ያላቸው የስልጣኖች መሰረታዊ ባህሪዎች

በእንደዚህ ዓይነት ደረጃ አንድ ሰው ከላይ የተገለጹትን ሁሉንም ንብረቶች ማራዘም ይችላል ምክንያታዊ አርቢዎች። ይህ ከቀደምት መጣጥፎች ውስጥ በአንዱ ከሰጠነው ትርጓሜው ይከተላል። እነዚህን ባህሪያት ባጭሩ እንቅረጽ (ሁኔታዎች፡ a > 0፣ b > 0፣ አርቢዎች p እና q ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች)፡-

ፍቺ 4

1. a p · a q = a p + q

2. a p: a q = a p -q

3. (a · b) p = a p · b p

4. (ሀ፡ ለ) p = a p፡ b p

5. (a p) q = a p · q

6.a pቢ ፒ

7.a p< a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a >0፣ ከዚያ p > a q.

ስለዚህ፣ p እና q ገላጭዎቻቸው እውነተኛ ቁጥሮች የሆኑ ሁሉም ሀይሎች፣ a > 0 የቀረበ፣ ተመሳሳይ ባህሪ አላቸው።

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን

የቪዲዮ አጋዥ ስልጠና 2፡ ዲግሪ ከተፈጥሮ አመላካች እና ባህሪያቱ ጋር

ትምህርት፡-

ከተፈጥሮ አመልካች ጋር ዲግሪ

ስር ዲግሪየተወሰነ ቁጥር "ሀ"ከአንዳንድ ጠቋሚዎች ጋር "n"የቁጥር ምርትን ተረዳ "ሀ"በራሱ "n"አንድ ጊዜ.

ስለ አንድ ዲግሪ ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር ስንነጋገር, ቁጥሩ ማለት ነው "n"ኢንቲጀር እንጂ አሉታዊ መሆን የለበትም።

ሀ- የዲግሪው መሠረት, የትኛው ቁጥር በራሱ ማባዛት እንዳለበት ያሳያል,

nገላጭ - መሰረቱን በራሱ ምን ያህል ጊዜ ማባዛት እንዳለበት ይናገራል.

ለምሳሌ:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

በዚህ ሁኔታ የዲግሪው መሠረት "8" ቁጥር እንደሆነ ይገነዘባል, የዲግሪው አርቢ ቁጥር "4" ነው, እና የዲግሪው ዋጋ "4096" ቁጥር ነው.

ዲግሪን ሲያሰሉ ትልቁ እና በጣም የተለመደው ስህተት አርቢውን በመሰረቱ ማባዛት ነው - ይህ ትክክል አይደለም!

ስለ አንድ ዲግሪ ከተፈጥሮ ገላጭ ጋር ስንነጋገር, ገላጭ ብቻ ማለታችን ነው (n)የተፈጥሮ ቁጥር መሆን አለበት.

በቁጥር መስመር ላይ ማንኛውንም ቁጥር እንደ መሰረት መውሰድ ይችላሉ.

ለምሳሌ,

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

በመሠረት እና በአርበኛው ላይ የሚሠራው የሂሳብ አሠራር ገላጭ ይባላል.

መደመር/ መቀነስ የመጀመርያው ደረጃ የሂሳብ ስራ ነው፣ ማባዛት\ ክፍፍል የሁለተኛው ደረጃ ተግባር ነው፣ ሃይል ማሳደግ የሦስተኛው ደረጃ የሂሳብ ተግባር ነው፣ ማለትም ከከፍተኛው አንዱ ነው።

ይህ የሂሳብ ስራዎች ተዋረድ በስሌቱ ውስጥ ያለውን ቅደም ተከተል ይወስናል. ይህ ድርጊት በቀደሙት ሁለቱ መካከል በተከናወኑ ተግባራት ውስጥ ከተፈጠረ በመጀመሪያ ይከናወናል.

ለምሳሌ:

15 + 6 *2 2 = 39

በዚህ ምሳሌ በመጀመሪያ 2 ን ወደ ሃይሉ ማንሳት አለብዎት ፣ ማለትም ፣

ከዚያም ውጤቱን በ 6 ማባዛት, ማለትም

ከተፈጥሯዊ ገላጭ ጋር ያለው ኃይል ለተወሰኑ ስሌቶች ብቻ ሳይሆን ትልቅ ቁጥሮችን ለመጻፍም ጭምር ጥቅም ላይ ይውላል. በዚህ ሁኔታ, ጽንሰ-ሐሳቡም ጥቅም ላይ ይውላል "መደበኛ ቁጥር". ይህ ምልክት የተወሰነ ቁጥርን ከ1 ወደ 9 ከ10 ጋር እኩል በሆነ ሃይል ማባዛትን ያካትታል።

ለምሳሌ, የምድርን ራዲየስ በመደበኛ ቅርጽ ለመመዝገብ, የሚከተለውን ማስታወሻ ይጠቀሙ:

6400000 ሜትር = 6.4 * 10 6 ሜትር,

እና የምድር ብዛት, ለምሳሌ, እንደሚከተለው ተጽፏል.

የዲግሪ ባህሪያት

ምሳሌዎችን በዲግሪዎች ለመፍታት ምቾት ፣ መሰረታዊ ባህሪያቸውን ማወቅ ያስፈልግዎታል

1. ተመሳሳይ መሰረት ያላቸውን ሁለት ሃይሎች ማባዛት ካስፈለገዎት በዚህ ሁኔታ መሰረቱ ሳይለወጥ መተው እና ገላጭ መጨመር አለበት.

a n * a m = a n+m

ለምሳሌ:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. ተመሳሳይ መሠረቶችን ያላቸውን ሁለት ዲግሪዎች መከፋፈል አስፈላጊ ከሆነ, በዚህ ሁኔታ መሰረቱ ሳይለወጥ መተው እና አርቢዎቹ መቀነስ አለባቸው. እባክዎን ያስታውሱ ከተፈጥሮ ገላጭ ኃይል ጋር ለሚሰሩ ስራዎች፣ የትርፍ ክፍፍሉ አርቢ ከከፋፋዩ የበለጠ መሆን አለበት። አለበለዚያ የዚህ ድርጊት ጥቅስ አሉታዊ ገላጭ ያለው ቁጥር ይሆናል.

a n / a m = a n-m

ለምሳሌ,

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. አንዱን ኃይል ወደ ሌላ ማሳደግ አስፈላጊ ከሆነ, ተመሳሳይ ቁጥር የውጤቱ መሰረት ሆኖ ይቆያል, እና ገላጭዎቹ ይባዛሉ.

(a n) m = a n*m

ለምሳሌ,

4. የዘፈቀደ ቁጥሮችን ምርት ወደ አንድ የተወሰነ ኃይል ማሳደግ አስፈላጊ ከሆነ ታዲያ የተለያዩ መሠረቶችን ወደ ተመሳሳይ ኃይል የምናገኝበትን የተወሰነ የማከፋፈያ ሕግ መጠቀም ይችላሉ ።

(a * b) m = a m * b m

ለምሳሌ,

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. ተመሳሳይ ንብረት ስልጣንን ለመከፋፈል በሌላ አነጋገር ተራ ድርብ ወደ ሃይል ለማሳደግ ሊያገለግል ይችላል።

(a / b) m = a m / b ኤም

6. ከአንዱ ጋር እኩል ወደሆነ አርቢ የሚነሳ ማንኛውም ቁጥር ከመጀመሪያው ቁጥር ጋር እኩል ነው።

ሀ 1 = አ

ለምሳሌ,

7. ማንኛውንም ቁጥር ወደ ገላጭ ዜሮ በሚያሳድግበት ጊዜ የዚህ ስሌት ውጤት ሁልጊዜ አንድ ይሆናል.

እና 0 = 1

ለምሳሌ,