ፕሮባቢሊቲዎች የሚበዙት መቼ ነው እና መቼ ይጨምራሉ? በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ችግሮችን ሲፈቱ የተለመዱ ስህተቶች

መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች
የአንደኛው መከሰቱ በተመሳሳይ ሙከራ ውስጥ የሌሎች ክስተቶችን ክስተት ካላካተተ ክስተቶች ተኳሃኝ አይደሉም ይባላሉ። አለበለዚያ መገጣጠሚያ ይባላሉ.
የተሟላ ቡድን የክስተቶች ስብስብ ነው, የእነሱ ጥምረት አስተማማኝ ክስተት ነው.
ሙሉ ቡድን የሚፈጥሩት ሁለቱ ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ተቃራኒ ይባላሉ።
የአንደኛው የመከሰቱ ዕድል በሌሎች ክስተቶች መከሰት ወይም አለመከሰት ላይ የሚመረኮዝ ከሆነ ክስተቶች ጥገኛ ተብለው ይጠራሉ ።
የአንደኛው የመሆን እድሉ በሌሎች መከሰት ወይም አለመከሰት ላይ ካልተመሠረተ ክስተቶች ገለልተኛ ተብለው ይጠራሉ ።
ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች እድሎችን ለመጨመር ቲዎሬም።
P(A+B)=P(A)+P(B)፣
የት A, B ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ናቸው.

የጋራ ክስተቶች እድሎችን ለመጨመር ንድፈ ሃሳብ
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)፣ A እና B የጋራ ክንውኖች የሆኑበት።

የገለልተኛ ክስተቶችን እድሎች ለማባዛት ንድፈ ሃሳብ
,
A እና B ገለልተኛ ክስተቶች ሲሆኑ።
የጥገኛ ክስተቶች እድሎችን የማባዛት ቲዎሬም።
P(AB)=P(A)P A (B)፣
P A (B) የክስተቱ B የመከሰት እድል ሲሆን, ይህ ክስተት ከተከሰተ; A እና B ጥገኛ ክስተቶች ናቸው።

ተግባር 1.
ተኳሹ በዒላማው ላይ ሁለት ጥይቶችን ተኮሰ። እያንዳንዱን ምት የመምታት እድሉ 0.8 ነው። የተሟላ የክስተቶች ቡድን ያዘጋጁ እና እድላቸውን ይፈልጉ። መፍትሄ።
ሙከራ - በአንድ ዒላማ ላይ ሁለት ጥይቶች ይነሳሉ.
ክስተት ሀ- ሁለቱንም ጊዜ አምልጦታል.
ክስተት ውስጥ- አንድ ጊዜ መታ።
ክስተት ጋር- ሁለቱንም ጊዜ ይምቱ.
.

ቁጥጥር፡- ፒ(ሀ) +ፒ(ለ) +ፒ(ሐ) = 1.
ተግባር 2.
እንደ ሜትሮሎጂስቶች ትንበያ, P (ዝናብ) = 0.4; P (ንፋስ) = 0.7; R (ዝናብ እና ነፋስ) = 0.2. ዝናብ ወይም ንፋስ የመዝነብ እድሉ ምን ያህል ነው? መፍትሄ። በፕሮባቢሊቲዎች መጨመር ጽንሰ-ሀሳብ እና በታቀዱት ዝግጅቶች ተኳሃኝነት ምክንያት እኛ አለን።
P(ዝናብ ወይም ነፋስ ወይም ሁለቱም)=ፒ(ዝናብ) +P(ንፋስ) –P(ዝናብ እና ንፋስ)=0.4+0.7-0.2=0.9.
ተግባር 3.
በመነሻ ጣቢያው ላይ ለዕቃዎች 8 ትዕዛዞች አሉ-አምስት ለአገር ውስጥ ጭነት እና ሶስት ወደ ውጭ ለመላክ። በዘፈቀደ የተመረጡ ሁለት ትዕዛዞች ለቤት ውስጥ ፍጆታ የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው? መፍትሄ።ክስተት ሀ- በዘፈቀደ የተወሰደው የመጀመሪያው ትእዛዝ በሀገር ውስጥ ነው። ክስተት ውስጥ- ሁለተኛው ደግሞ ለቤት ውስጥ ፍጆታ የታሰበ ነው. እድሉን መፈለግ አለብን።ከዚያም በንድፈ ሃሳብ የጥገኛ ክስተቶች እድሎችን ማባዛት ላይ፣ አለን።

ተግባር 4.
ከምርቶች ስብስብ፣ ነጋዴው በዘፈቀደ ከፍተኛ ደረጃ ያላቸውን ምርቶች ይመርጣል። የተመረጠው ንጥል ከፍተኛ ጥራት ያለው የመሆን እድሉ 0.8 ነው. የመጀመሪያ ደረጃ - 0.7; ሁለተኛ ደረጃ - 0.5. በዘፈቀደ ከተመረጡት ሶስት ምርቶች ውስጥ ሊኖሩ የሚችሉበትን እድል ይፈልጉ፡-
ሀ) ሁለት ፕሪሚየም ደረጃዎች ብቻ;
ለ) ሁሉም ሰው የተለየ ነው. መፍትሄ።ክስተቱ ከፍተኛ ጥራት ያለው ምርት ይሁን; ክስተት - የመጀመሪያ ደረጃ ምርት; ክስተቱ ሁለተኛ ደረጃ ምርት ነው.
እንደ ችግሩ ሁኔታዎች; ; ዝግጅቶች ገለልተኛ ናቸው።
ሀ) ክስተት ሀ- ሁለት ከፍተኛ ደረጃ ያላቸው ምርቶች ብቻ እንደዚህ ይመስላሉ።

ለ) ክስተት ውስጥ- ሦስቱም ምርቶች የተለያዩ ናቸው - እስቲ በዚህ መንገድ እናስቀምጠው. , ከዚያም.
ተግባር 5.
ከሶስት ሽጉጥ ሲተኮስ ኢላማውን የመምታት እድሉ እንደሚከተለው ነው። p1= 0,8; p2=0,7; p3=0.9. ቢያንስ አንድ የመምታት እድል ይፈልጉ (ክስተት ሀ) ከሁሉም ጠመንጃዎች በአንድ ሳልቮ. መፍትሄ።እያንዳንዱ ሽጉጥ ዒላማውን የመምታት እድሉ ከሌሎች ጠመንጃዎች በተተኮሰ ውጤት ላይ የተመካ አይደለም ፣ ስለሆነም ከግምት ውስጥ ያሉ ክስተቶች (በመጀመሪያው ሽጉጥ ተመታ) ፣ (በሁለተኛው ሽጉጥ የተመታ) እና (በሦስተኛው ሽጉጥ የተመታ) ነፃ ናቸው ። በአጠቃላይ.
ከክስተቶች ተቃራኒ የሆኑ ክስተቶች (ማለትም፣ የመሳት እድላቸው) በቅደም ተከተል እኩል ናቸው፡-

የሚፈለግ ዕድል
ተግባር 6.
ማተሚያ ቤቱ 4 ማተሚያ ማሽኖች አሉት። ለእያንዳንዱ ማሽን በአሁኑ ጊዜ እየሰራ ያለው ዕድል 0.9 ነው. ቢያንስ አንድ ማሽን በአሁኑ ጊዜ እየሰራ ያለውን እድል ይፈልጉ (ክስተት ሀ). መፍትሄ።“ማሽኑ እየሰራ ነው” እና “ማሽኑ እየሰራ አይደለም” (በአሁኑ ጊዜ) ክስተቶች ተቃራኒ ናቸው ፣ ስለሆነም የእነሱ ዕድል ድምር ከአንድ ጋር እኩል ነው-
ስለዚህ ማሽኑ በአሁኑ ጊዜ የማይሰራበት ዕድል እኩል ነው
የሚፈለገው ዕድል. ችግር 7. በማንበቢያ ክፍል ውስጥ ስለ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ 6 የመማሪያ መጽሃፍቶች አሉ, ከእነዚህ ውስጥ ሦስቱ የታሰሩ ናቸው. የቤተመጽሐፍት ባለሙያው በዘፈቀደ ሁለት የመማሪያ መጽሃፎችን ወሰደ። ሁለቱም የመማሪያ መጽሃፍቶች ሊታሰሩ የሚችሉበትን እድል ይፈልጉ።

መፍትሄ።የሚከተሉትን ክስተቶች አስቡባቸው:
A1 - የመጀመሪያው የታሰረ የመማሪያ መጽሐፍ ተወሰደ;
A2 የተወሰደ ሁለተኛው የታሰረ የመማሪያ መጽሐፍ ነው።
ሁለቱም የተወሰዱ የመማሪያ መፃህፍት የታሰሩ መሆናቸውን የሚያካትት ክስተት። የክስተት A2 የመከሰቱ እድል የሚወሰነው በክስተቱ A1 መከሰት ላይ ስለሆነ ክስተቶች A1 እና A2 ጥገኛ ናቸው። ይህንን ችግር ለመፍታት፣ የጥገኛ ክስተቶችን እድሎች ለማባዛት ንድፈ ሃሳቡን እንጠቀማለን።
የክስተቱ A1 p(A1) የመከሰቱ ዕድል በጥንታዊው የእድል ፍቺ መሠረት፡-
P(A1)=m/n=3/6=0.5.
የክስተት A2 የመከሰቱ እድል የሚወሰነው በክስተቱ A2 የመከሰት ሁኔታዊ ሁኔታ ሁኔታዊ ክስተት A1 መከሰት ምክንያት ነው, ማለትም. (A2)==0.4.
ከዚያ የሚፈለገው የክስተቱ የመከሰት እድል፡-
P(A)=0.5*0.4=0.2.

የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ጥናት የሚጀምረው የመደመር እና የመጨመር እድልን የሚያካትቱ ችግሮችን በመፍታት ነው። አንድ ተማሪ ይህንን የእውቀት ዘርፍ ሲቆጣጠር ችግር ሊያጋጥመው እንደሚችል ወዲያውኑ መጥቀስ ተገቢ ነው-አካላዊ ወይም ኬሚካላዊ ሂደቶች በእይታ ሊወከሉ እና በተጨባጭ ሊረዱ ይችላሉ ፣ ከዚያ የሂሳብ ረቂቅነት ደረጃ በጣም ከፍተኛ ነው ፣ እና እዚህ መረዳት የሚመጣው ብቻ ነው። ከተሞክሮ ጋር።

ሆኖም ግን, ጨዋታው ሻማው ዋጋ አለው, ምክንያቱም ቀመሮቹ - በዚህ ጽሑፍ ውስጥ የተብራሩት እና ይበልጥ ውስብስብ የሆኑት - ዛሬ በሁሉም ቦታ ጥቅም ላይ ይውላሉ እና በስራ ላይ ጠቃሚ ሊሆኑ ይችላሉ.

መነሻ

በሚገርም ሁኔታ ለዚህ የሂሳብ ክፍል እድገት መነሳሳት... ቁማር ነበር። በእርግጥ ዳይስ፣ የሳንቲም ውርወራ፣ ፖከር፣ ሮሌት የመደመር እና የማባዛት እድልን የሚጠቀሙ ዓይነተኛ ምሳሌዎች ናቸው። ይህ በየትኛውም የመማሪያ መጽሀፍ ውስጥ ያሉትን የችግሮች ምሳሌዎች በመጠቀም በግልፅ ይታያል. ሰዎች የማሸነፍ እድላቸውን እንዴት እንደሚያሳድጉ ለማወቅ ፍላጎት ነበራቸው, እና አንዳንዶች በዚህ ውስጥ ተሳክቶላቸዋል ሊባል ይገባል.

ለምሳሌ ፣ በ 21 ኛው ክፍለ ዘመን ፣ ስሙን የማንገልጽለት አንድ ሰው ፣ ለብዙ መቶ ዓመታት የተጠራቀመውን ይህንን ዕውቀት ካሲኖውን በትክክል “ለማፅዳት” ተጠቅሞ ብዙ በአስር ሚሊዮን የሚቆጠር ዶላር በ roulette አሸንፏል።

ይሁን እንጂ በርዕሰ-ጉዳዩ ላይ ያለው ፍላጎት እየጨመረ ቢሄድም በ 20 ኛው ክፍለ ዘመን ብቻ "ቲዎሬም" የተሟላ እንዲሆን ያደረገው የንድፈ ሐሳብ ማዕቀፍ ነበር ዛሬ በማንኛውም ሳይንስ ውስጥ አንድ ሰው ፕሮባቢሊቲካዊ ዘዴዎችን በመጠቀም ስሌቶችን ማግኘት ይችላል.

ተፈጻሚነት

እድሎችን ለመጨመር እና ለማባዛት ቀመሮችን ሲጠቀሙ አስፈላጊ ነጥብ እና ሁኔታዊ ዕድል የማዕከላዊ ገደብ ቲዎሪ እርካታ ነው። አለበለዚያ, ተማሪው ባይገነዘበውም, ሁሉም ስሌቶች, ምንም ያህል አሳማኝ ቢመስሉም, የተሳሳቱ ይሆናሉ.

አዎ፣ ከፍተኛ ተነሳሽነት ያለው ተማሪ ባገኘው አጋጣሚ ሁሉ አዲስ እውቀትን ለመጠቀም ይፈተናል። ነገር ግን በዚህ ጉዳይ ላይ ትንሽ ፍጥነት መቀነስ እና የተተገበረውን ወሰን በጥብቅ መዘርዘር አስፈላጊ ነው.

የፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ በአጋጣሚ የተከሰቱ ክስተቶችን ይመለከታል, ይህም በተጨባጭ አገላለጽ የሙከራ ውጤቶችን ይወክላል-ባለ ስድስት ጎን ዳይ ማንከባለል, ከመርከቧ ላይ ካርድ መሳል, በቡድን ውስጥ ያሉ የተበላሹ ክፍሎችን መተንበይ እንችላለን. ሆኖም በአንዳንድ ጥያቄዎች ከዚህ የሂሳብ ክፍል ቀመሮችን መጠቀም በጥብቅ የተከለከለ ነው። በአንቀጹ መጨረሻ ላይ የአንድን ክስተት ዕድል ፣ የመደመር እና የማባዛት ጽንሰ-ሀሳቦችን ከግምት ውስጥ የምናስገባበትን ገፅታዎች እንነጋገራለን ፣ ግን አሁን ወደ ምሳሌዎች እንሸጋገር ።

መሰረታዊ ፅንሰ-ሀሳቦች

የዘፈቀደ ክስተት በሙከራ ምክንያት ሊታዩ ወይም ላይታዩ የሚችሉ አንዳንድ ሂደቶችን ወይም ውጤቶችን ያመለክታል። ለምሳሌ ሳንድዊች እንወረውራለን - ቅቤን ወደ ላይ ወይም ቅቤን ወደ ታች ሊያርፍ ይችላል. ከሁለቱም ሁለቱም ውጤቶች በዘፈቀደ ይሆናሉ፣ እና ከመካከላቸው የትኛው እንደሚሆን አስቀድመን አናውቅም።

ፕሮባቢሊቲዎችን መደመር እና ማባዛትን ስናጠና ሁለት ተጨማሪ ጽንሰ-ሐሳቦች ያስፈልጉናል.

እንደነዚህ ዓይነቶቹ ክስተቶች የጋራ ተብለው ይጠራሉ, የአንዱ መከሰት የሌላውን ክስተት አያካትትም. እንበልና ሁለት ሰዎች በአንድ ጊዜ ኢላማ ላይ ተኩሰዋል። ከመካከላቸው አንዱ የተሳካለትን ካመረተ, የበሬውን አይን ለመምታት ወይም ለመሳት የሁለተኛውን ችሎታ በምንም መልኩ አይጎዳውም.

የማይጣጣሙ ክስተቶች በተመሳሳይ ጊዜ መከሰት የማይቻልባቸው ክስተቶች ይሆናሉ። ለምሳሌ ከሳጥን ውስጥ አንድ ኳስ ብቻ ካወጣህ በአንድ ጊዜ ሰማያዊ እና ቀይ ቀለም ማግኘት አትችልም።

ስያሜ

የመቻል ጽንሰ-ሐሳብ በላቲን አቢይ ሆሄ ይገለጻል P. በመቀጠል በቅንፍ ውስጥ የተወሰኑ ክስተቶችን የሚያመለክቱ ክርክሮች አሉ.

በመደመር ንድፈ ሐሳብ፣ ሁኔታዊ ዕድል እና የማባዛት ንድፈ ሐሳብ ቀመሮች ውስጥ፣ በቅንፍ ውስጥ ያሉ መግለጫዎችን ያያሉ፣ ለምሳሌ፡ A+B፣ AB ወይም A|B። እነሱ በተለያየ መንገድ ይሰላሉ, እና አሁን ወደ እነርሱ እንመለሳለን.

መደመር

እድሎችን ለመጨመር እና ለማባዛት ቀመሮች ጥቅም ላይ የዋሉባቸውን ጉዳዮች እንመልከት።

ተኳዃኝ ላልሆኑ ክስተቶች፣ ቀላሉ የመደመር ቀመር ጠቃሚ ነው፡ የማንኛውም የዘፈቀደ ውጤቶች እድላቸው ከእያንዳንዳቸው የእነዚህ ውጤቶች እድሎች ድምር ጋር እኩል ይሆናል።

2 ሰማያዊ, 3 ቀይ እና 5 ቢጫ እብነ በረድ ያለው ሳጥን አለ እንበል. በሳጥኑ ውስጥ በአጠቃላይ 10 እቃዎች አሉ. ሰማያዊ ወይም ቀይ ኳስ እንቀዳለን የሚለው አባባል እውነት ምንድን ነው? ከ2/10 + 3/10፣ ማለትም ሃምሳ በመቶ ጋር እኩል ይሆናል።

ተኳሃኝ ባልሆኑ ክስተቶች ውስጥ, ተጨማሪ ቃል ስለተጨመረ ቀመሩ ይበልጥ የተወሳሰበ ይሆናል. ሌላ ቀመር ካጤንን በኋላ ወደ አንድ አንቀጽ እንመለስ።

ማባዛት።

የገለልተኛ ክስተቶች እድሎች መጨመር እና ማባዛት በተለያዩ ጉዳዮች ላይ ጥቅም ላይ ይውላሉ። በሙከራው ሁኔታ መሠረት ከሁለቱ ሊሆኑ ከሚችሉት ውጤቶች በአንዱ ረክተን ከሆነ ድምርን እናሰላለን; ሁለት የተወሰኑ ውጤቶችን አንድ በአንድ ለማግኘት ከፈለግን የተለየ ቀመር መጠቀም እንችላለን።

ካለፈው ክፍል ወደ ምሳሌው ስንመለስ በመጀመሪያ ሰማያዊውን ኳስ እና ከዚያም ቀይውን መሳል እንፈልጋለን. የመጀመሪያውን ቁጥር እናውቃለን - 2/10 ነው. ቀጥሎ ምን ይሆናል? 9 ኳሶች ይቀራሉ, እና አሁንም ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸው ቀይ ቀለም - ሶስት. እንደ ስሌቶች ከሆነ, 3/9 ወይም 1/3 ይሆናል. ግን አሁን በሁለት ቁጥሮች ምን ማድረግ አለበት? ትክክለኛው መልስ 2/30 ለማግኘት ማባዛት ነው።

የጋራ ክስተቶች

አሁን እንደገና ወደ የጋራ ዝግጅቶች ድምር ቀመር ልንዞር እንችላለን። ከርዕሱ ለምን ተከፋፈለን? ዕድሎች እንዴት እንደሚበዙ ለማወቅ። አሁን ይህንን እውቀት እንፈልጋለን.

የመጀመሪያዎቹ ሁለት ቃላቶች ምን እንደሚሆኑ አስቀድመን አውቀናል (ከዚህ ቀደም በተገለፀው የመደመር ቀመር ውስጥ ተመሳሳይ ነው), አሁን ግን ለማስላት የተማርነውን የፕሮባቢሊቲዎችን ምርት መቀነስ አለብን. ግልፅ ለማድረግ፣ ቀመሩን እንፃፍ፡- P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)። ሁለቱም የመደመር እና የማባዛት ዕድል በአንድ አገላለጽ ጥቅም ላይ እንደዋሉ ተገለጸ።

ብድር ለማግኘት ከሁለቱ ችግሮች አንዱን መፍታት አለብን እንበል። የመጀመሪያውን በ 0.3, እና ሁለተኛው በ 0.6 ዕድል መፍታት እንችላለን. መፍትሄ: 0.3 + 0.6 - 0.18 = 0.72. እዚህ ያሉትን ቁጥሮች ማከል ብቻ በቂ እንዳልሆነ ልብ ይበሉ.

ሁኔታዊ ዕድል

በመጨረሻም, ሁኔታዊ ፕሮባቢሊቲ ጽንሰ-ሐሳብ አለ, ክርክሮቹ በቅንፍ ውስጥ የተገለጹ እና በአቀባዊ ባር ይለያሉ. የመግቢያው P(A|B) እንደሚከተለው ይነበባል፡- “የተሰጠው ክስተት B የመከሰት እድሉ”።

እስቲ አንድ ምሳሌ እንመልከት፡- ጓደኛ አንድ መሳሪያ ይሰጥሃል፣ ስልክ ይሁን። ሊሰበር ይችላል (20%) ወይም ያልተነካ (80%)። ወደ እጅዎ የሚመጣውን መሳሪያ በ 0.4 እድሎች መጠገን ይችላሉ ወይም ይህን ማድረግ አይችሉም (0.6)። በመጨረሻም, መሣሪያው እየሰራ ከሆነ, 0.7 የመሆን እድል ያለው ትክክለኛውን ሰው ማግኘት ይችላሉ.

በዚህ ጉዳይ ላይ ሁኔታዊ ዕድል እንዴት እንደሚጫወት ለማየት ቀላል ነው፡ ስልኩ ከተሰበረ ሰው ማግኘት አይችሉም ነገር ግን እየሰራ ከሆነ ማስተካከል አያስፈልገዎትም። ስለዚህ, በ "ሁለተኛ ደረጃ" ላይ ማንኛውንም ውጤት ለማግኘት, በመጀመሪያ ምን ዓይነት ክስተት እንደተፈፀመ ማወቅ ያስፈልግዎታል.

ስሌቶች

ካለፈው አንቀፅ የተገኘውን መረጃ በመጠቀም ፕሮባቢሊቲዎችን መደመር እና ማባዛትን የሚያካትቱ ችግሮችን የመፍታት ምሳሌዎችን እንመልከት።

በመጀመሪያ፣ የተሰጠዎትን መሳሪያ የመጠገን እድሉን እንፈልግ። ይህንን ለማድረግ, በመጀመሪያ, የተሳሳተ መሆን አለበት, እና ሁለተኛ, ማስተካከል መቻል አለብዎት. ይህ ማባዛትን በመጠቀም የተለመደ ችግር ነው: 0.2 * 0.4 = 0.08 እናገኛለን.

ትክክለኛውን ሰው ወዲያውኑ የመድረስ እድሉ ምን ያህል ነው? እንደዚያ ቀላል ነው: 0.8 * 0.7 = 0.56. በዚህ አጋጣሚ ስልኩ እየሰራ መሆኑን እና በተሳካ ሁኔታ ጥሪውን ማድረጉን ደርሰውበታል።

በመጨረሻ፣ ይህንን ሁኔታ አስቡበት፡ የተበላሸ ስልክ ያገኙታል፣ ያስተካክላሉ፣ ከዚያ ቁጥር ይደውሉ እና በሌላኛው ጫፍ ያለው ሰው ይነሳል። እዚህ አስቀድመን ሶስት አካላትን ማባዛት ያስፈልገናል: 0.2 * 0.4 * 0.7 = 0.056.

በአንድ ጊዜ ሁለት የማይሰሩ ስልኮች ካሉ ምን ማድረግ አለብዎት? ከመካከላቸው ቢያንስ አንዱን ለማስተካከል ምን ያህል ዕድል አለዎት? የጋራ ክንውኖች ጥቅም ላይ ስለሚውሉ እድሎችን በመደመር እና በማባዛት ላይ. መፍትሄ: 0.4 + 0.4 - 0.4 * 0.4 = 0.8 - 0.16 = 0.64. ስለዚህ, ሁለት የተበላሹ መሳሪያዎች ካገኙ, በ 64% ጉዳዮች ውስጥ ማስተካከል ይችላሉ.

በጥንቃቄ መጠቀም

በአንቀጹ መጀመሪያ ላይ እንደተገለጸው የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ አጠቃቀም ሆን ተብሎ እና በንቃተ-ህሊና መሆን አለበት።

የተከታታይ ሙከራዎች በትልቁ፣ በንድፈ ሀሳብ የተተነበየው እሴት በተግባር ወደ ተገኘበት ቅርብ ይሆናል። ለምሳሌ ሳንቲም እንጥላለን። በንድፈ ሀሳብ ደረጃ የመደመር እና የመጨመር ቀመሮች መኖራቸውን በማወቅ ሙከራውን 10 ጊዜ ካደረግን "ጭንቅላቶች" እና "ጅራት" ምን ያህል ጊዜ እንደሚታዩ መገመት እንችላለን. አንድ ሙከራ አደረግን ፣ እና በአጋጣሚ የተሳሉት የጎን ጥምርታ ከ 3 እስከ 7 ነበር ። ግን ተከታታይ 100 ፣ 1000 ወይም ከዚያ በላይ ሙከራዎችን ካደረግን ፣ የስርጭት ግራፉ ወደ ንድፈ-ሀሳቡ እየቀረበ እና እየቀረበ መጣ። ከ 44 እስከ 56, 482 እስከ 518, ወዘተ.

አሁን ይህ ሙከራ የሚከናወነው በሳንቲም ሳይሆን አንዳንድ አዲስ የኬሚካል ንጥረ ነገሮችን በማምረት ነው, እኛ የማናውቀው እድል እንደሆነ አስቡ. 10 ሙከራዎችን እናካሂዳለን እና የተሳካ ውጤት ሳናገኝ በአጠቃላይ “ንጥረ ነገሩን ማግኘት አይቻልም” ብለን ማጠቃለል እንችላለን። ግን ማን ያውቃል አስራ አንደኛውን ሙከራ አድርገን ቢሆን ግቡን እናሳካ ነበር ወይ?

ስለዚህ ወደማይታወቅ፣ ወደማይታወቅ አካባቢ እየሄዱ ከሆነ፣ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ላይተገበር ይችላል። በዚህ ጉዳይ ላይ እያንዳንዱ ቀጣይ ሙከራ ስኬታማ ሊሆን ይችላል እና እንደ "X የለም" ወይም "X የማይቻል ነው" ያሉ አጠቃላይ መግለጫዎች ያለጊዜው ይሆናሉ.

የመጨረሻ ቃል

ስለዚህ, ሁለት የመደመር ዓይነቶችን, ማባዛትን እና ሁኔታዊ እድሎችን ተመልክተናል. በዚህ አካባቢ ተጨማሪ ጥናት, እያንዳንዱ የተለየ ቀመር ጥቅም ላይ ሲውል ሁኔታዎችን መለየት መማር አስፈላጊ ነው. በተጨማሪም, ፕሮባቢሊቲካዊ ዘዴዎች በአጠቃላይ ችግርዎን ለመፍታት ተፈፃሚነት እንዳላቸው ማሰብ አለብዎት.

ከተለማመዱ ከጥቂት ጊዜ በኋላ ሁሉንም አስፈላጊ ስራዎች በአዕምሮዎ ውስጥ ብቻ ማከናወን ይጀምራሉ. በካርድ ጨዋታዎች ላይ ፍላጎት ላላቸው ሰዎች ይህ ችሎታ እጅግ በጣም ጠቃሚ ነው ተብሎ ሊወሰድ ይችላል - የአንድ የተወሰነ ካርድ ወይም ልብስ የመውደቅ እድልን በማስላት የማሸነፍ እድሎዎን በከፍተኛ ሁኔታ ይጨምራሉ። ነገር ግን፣ የተገኘውን እውቀት በሌሎች የእንቅስቃሴ ዘርፎች በቀላሉ ተግባራዊ ማድረግ ትችላለህ።

በ የማንኛውም የዘፈቀደ ክስተት የመከሰት እድል ሲገመገም፣ የምንፈልገው ክስተት የመከሰቱ እድል () በሌሎች ክስተቶች እድገት ላይ የተመካ ስለመሆኑ በደንብ መረዳት በጣም አስፈላጊ ነው።

በክላሲካል እቅድ ውስጥ ፣ ሁሉም ውጤቶች እኩል ሊሆኑ በሚችሉበት ጊዜ ፣ ​​​​ለእኛ የሚጠቅመንን የግለሰብ ክስተት እሴቶችን አስቀድመን መገመት እንችላለን። ዝግጅቱ የበርካታ የመጀመሪያ ደረጃ ውጤቶች ስብስብ ቢሆንም እንኳን ይህን ማድረግ እንችላለን። ብዙ የዘፈቀደ ክስተቶች በአንድ ጊዜ ወይም በቅደም ተከተል ቢከሰቱስ? ይህ እኛ የምንፈልገውን ክስተት የመከሰት እድልን የሚነካው እንዴት ነው?

ሟች ብዙ ጊዜ ብጠቀልለው እና ስድስት እንዲወጣ ከፈለግኩ እና እድለኛ ካልሆንኩኝ ፣ ውርርድዬን መጨመር አለብኝ ማለት ነው ፣ ምክንያቱም እንደ ፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ፣ እድለኛ ልሆን ነው? ወዮ፣ ፕሮባቢሊቲ ንድፈ ሐሳብ እንደዚህ ያለ ነገር አይገልጽም። ምንም ዳይስ, ምንም ካርዶች, ምንም ሳንቲሞች አላስታውስም። ባለፈው ያሳዩን። ዛሬ እድሌን ስሞክር ለመጀመሪያ ጊዜም ሆነ ለአሥረኛው ጊዜ ለእነሱ ምንም ችግር የለውም. ጥቅልሉን በደጋገምኩ ቁጥር አንድ ነገር ብቻ ነው የማውቀው፡ እና በዚህ ጊዜ ስድስት የማግኘት እድሉ እንደገና አንድ ስድስተኛ ነው። በእርግጥ ይህ ማለት እኔ የሚያስፈልገኝ ቁጥር በጭራሽ አይመጣም ማለት አይደለም. ይህ ማለት ከመጀመሪያው ውርወራ በኋላ እና ከማንኛውም ውርወራ በኋላ የእኔ ኪሳራ ገለልተኛ ክስተቶች ናቸው ማለት ነው ።

ክስተቶች A እና B ይባላሉ ገለልተኛ, የአንደኛው አተገባበር በምንም መልኩ የሌላ ክስተት ዕድል ላይ ተጽእኖ ካላሳደረ. ለምሳሌ ከሁለቱም የጦር መሳሪያዎች የመጀመሪያ ዒላማውን የመምታት ዕድሉ የተመካው በሌላኛው መሳሪያ በመመታቱ ላይ ስላልሆነ “የመጀመሪያው ጦር ኢላማውን መታው” እና “ሁለተኛው መሳሪያ ዒላማውን ተመታ” የሚሉት ክንውኖች ናቸው። ገለልተኛ።

ሁለት ክስተቶች A እና B ገለልተኛ ከሆኑ እና የእያንዳንዳቸው ዕድል የሚታወቅ ከሆነ የሁለቱም ክስተት A እና ክስተት B (የተጠቆመው AB) በአንድ ጊዜ የመከሰታቸው ዕድል በሚከተለው ንድፈ ሃሳብ ሊሰላ ይችላል።

ለገለልተኛ ክስተቶች የፕሮባቢሊቲ ማባዛት ቲዎሪ

P(AB) = P(A)*P(B)- ዕድል በአንድ ጊዜየሁለት መጀመሪያ ገለልተኛክስተቶች እኩል ናቸው ሥራየእነዚህ ክስተቶች እድሎች.

ለምሳሌ.የመጀመሪያውን እና ሁለተኛውን ሽጉጥ ሲተኮሱ ዒላማውን የመምታት እድሎች በቅደም ተከተል እኩል ናቸው: p 1 = 0.7; ገጽ 2 = 0.8. በሁለቱም ጠመንጃዎች በአንድ ሳልቮ የመምታት እድልን ይፈልጉ።

መፍትሄ፡-ቀደም ሲል እንዳየነው, ክስተቶች A (በመጀመሪያው ሽጉጥ ተመታ) እና B (በሁለተኛው ሽጉጥ የተመታ) ገለልተኛ ናቸው, ማለትም. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0.56።

የመጀመሪያዎቹ ክስተቶች ገለልተኛ ካልሆኑ የእኛ ግምት ምን ይሆናል? የቀደመውን ምሳሌ በጥቂቱ እንለውጠው።

ለምሳሌ.ሁለት ተኳሾች በውድድር ላይ ኢላማ ላይ ይተኩሳሉ፣ እና አንደኛው በትክክል ከተኮሰ ተቃዋሚው መጨነቅ ይጀምራል እና ውጤቶቹ እየባሱ ይሄዳሉ። ይህንን የእለት ተእለት ሁኔታ ወደ ሂሳብ ችግር እንዴት መቀየር እና የመፍታት መንገዶችን መዘርዘር ይቻላል? ለክስተቶች እድገት ሁለቱን አማራጮች እንደምንም መለየት እንደሚያስፈልግ ፣በመሰረቱ ሁለት ሁኔታዎችን ፣ ሁለት የተለያዩ ተግባራትን መፍጠር እንደሚያስፈልግ በግልፅ ግልፅ ነው። በመጀመሪያው ሁኔታ, ተቃዋሚው ካመለጠ, ሁኔታው ​​ለነርቭ አትሌት ተስማሚ ይሆናል እና ትክክለኛነቱ ከፍ ያለ ይሆናል. በሁለተኛው ጉዳይ ተቃዋሚው ዕድሉን በአግባቡ ከወሰደ የሁለተኛው አትሌት ግቡን የመምታት እድሉ ይቀንሳል።

ለክስተቶች እድገት ሊሆኑ የሚችሉ ሁኔታዎችን ለመለየት (ብዙውን ጊዜ መላምቶች ይባላሉ) ፣ ብዙውን ጊዜ “የመሆኑን ዛፍ” ንድፍ እንጠቀማለን። ይህ ሥዕላዊ መግለጫ እርስዎ ቀደም ብለው ካጋጠሙት የውሳኔ ዛፍ ጋር ተመሳሳይ ነው። እያንዳንዱ ቅርንጫፍ ለክስተቶች እድገት የተለየ ሁኔታን ይወክላል ፣ አሁን ግን ተብሎ የሚጠራው የራሱ ትርጉም አለው። ሁኔታዊፕሮባቢሊቲዎች (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

ይህ እቅድ ተከታታይ የዘፈቀደ ክስተቶችን ለመተንተን በጣም ምቹ ነው።

አንድ ተጨማሪ አስፈላጊ ጥያቄን ለማብራራት ይቀራል-የቅድመ-ሁኔታዎች የመጀመሪያ እሴቶች ከየት መጡ? እውነተኛ ሁኔታዎች ? ለመሆኑ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ በሳንቲሞች እና ዳይስ ብቻ አይሰራም? ብዙውን ጊዜ እነዚህ ግምቶች ከስታቲስቲክስ የተወሰዱ ናቸው, እና ስታቲስቲካዊ መረጃ በማይገኝበት ጊዜ, የራሳችንን ምርምር እናደርጋለን. እና ብዙ ጊዜ መጀመር ያለብን መረጃን በመሰብሰብ ሳይሆን በትክክል የምንፈልገው ምን ዓይነት መረጃ ነው በሚለው ጥያቄ ነው።

ለምሳሌ.አንድ መቶ ሺህ ነዋሪዎች በሚኖሩበት ከተማ ውስጥ አንድ አስፈላጊ ነገር ያልሆነ አዲስ ምርት የገበያውን መጠን ለመገመት ያስፈልገናል እንበል, ለምሳሌ, ባለቀለም ፀጉር ለመንከባከብ ለበለሳን. “የመሆኑን ዛፍ” ሥዕላዊ መግለጫ እናስብ። በዚህ ሁኔታ, በእያንዳንዱ "ቅርንጫፍ" ላይ ያለውን ግምት ግምት ግምት ውስጥ ማስገባት አለብን. ስለዚህ፣ የገበያ አቅም ግምታችን፡-

1) ከሁሉም የከተማ ነዋሪዎች 50% የሚሆኑት ሴቶች ናቸው።

2) ከሴቶች ሁሉ 30% ብቻ ፀጉራቸውን ብዙ ጊዜ ቀለም መቀባት

3) ከመካከላቸው 10% የሚሆኑት ለቀለም ፀጉር በለሳን ይጠቀማሉ ፣

4) ከነሱ ውስጥ 10% ብቻ አዲስ ምርት ለመሞከር ድፍረት ማግኘት ይችላሉ ፣

5) 70% የሚሆኑት ብዙውን ጊዜ ሁሉንም ነገር የሚገዙት ከእኛ ሳይሆን ከተወዳዳሪዎቻችን ነው።

መፍትሄ፡-የፕሮባቢሊቲዎችን ማባዛት ህግ መሰረት, እኛ የምንፈልገውን ክስተት እድል እንወስናለን A = (የከተማ ነዋሪ ይህን አዲስ የበለሳን ከእኛ ይገዛል) = 0.00045.

ይህንን የይሁንታ እሴት በከተማው ነዋሪዎች ቁጥር እናባዛው። በዚህ ምክንያት 45 ሊሆኑ የሚችሉ ደንበኞች ብቻ አሉን, እና የዚህ ምርት አንድ ጠርሙስ ለብዙ ወራት እንደሚቆይ ግምት ውስጥ በማስገባት ንግዱ በጣም ንቁ አይደለም.

እና ግን ከግምገማዎቻችን የተወሰነ ጥቅም አለ።

በመጀመሪያ ፣ የተለያዩ የንግድ ሀሳቦችን ትንበያዎች ማነፃፀር እንችላለን ፣ በስዕሎቹ ውስጥ የተለያዩ “ሹካዎች” ይኖራቸዋል ፣ እና በእርግጥ ፣ የመሆን እሴቶቹ እንዲሁ የተለየ ይሆናሉ።

በሁለተኛ ደረጃ, ቀደም ብለን እንደተናገርነው, የዘፈቀደ ተለዋዋጭ በምንም ነገር ላይ የተመካ ስላልሆነ በዘፈቀደ አይጠራም. እሷን ብቻ ትክክለኛትርጉሙ አስቀድሞ አይታወቅም. አማካይ የገዢዎች ቁጥር መጨመር እንደሚቻል እናውቃለን (ለምሳሌ አዲስ ምርት በማስተዋወቅ)። ስለዚህ ጥረታችንን በተለይ የይሁንታ ስርጭቱ በማይስማማንባቸው “ሹካዎች” ላይ፣ ተጽዕኖ ማድረግ በምንችልባቸው ነገሮች ላይ ማተኮር ተገቢ ነው።

የሸማቾች ባህሪ ምርምር ሌላ የመጠን ምሳሌ እንመልከት።

ለምሳሌ.በአማካይ በቀን 10,000 ሰዎች የምግብ ገበያውን ይጎበኛሉ። አንድ የገበያ ጎብኚ ወደ የወተት ምርቶች ድንኳን የመግባት እድሉ 1/2 ነው። ይህ ድንኳን በቀን በአማካይ 500 ኪሎ ግራም የተለያዩ ምርቶችን እንደሚሸጥ ታውቋል።

በድንኳኑ ውስጥ ያለው አማካይ ግዢ 100 ግራም ብቻ ይመዝናል ማለት እንችላለን?

ውይይት.በጭራሽ. ወደ ድንኳኑ የገቡት ሁሉ እዚያ የሆነ ነገር መግዛት እንዳልቻሉ ግልጽ ነው።

በሥዕላዊ መግለጫው ላይ እንደሚታየው የግዢውን አማካይ ክብደት ጥያቄ ለመመለስ ለጥያቄው መልስ ማግኘት አለብን, አንድ ሰው ወደ ድንኳኑ የገባ ሰው እዚያ የሆነ ነገር የመግዛት እድሉ ምን ያህል ነው. በእጃችን ላይ እንደዚህ ያለ መረጃ ከሌለን ግን እኛ የምንፈልገው ከሆነ ለተወሰነ ጊዜ የድንኳን ጎብኚዎችን በመመልከት እራሳችንን ማግኘት አለብን። የእኛ ምልከታ እንደሚያሳየው አንድ አምስተኛው የፓቪልዮን ጎብኚዎች አንድ ነገር እንደሚገዙ እንበል።

እነዚህን ግምቶች ካገኘን በኋላ ስራው ቀላል ይሆናል. ወደ ገበያ ከሚመጡት 10,000 ሰዎች ውስጥ 5,000 የሚሆኑት ወደ የወተት ተዋጽኦዎች ድንኳን ይሄዳሉ ፣ 1,000 ግዢዎች ብቻ ይሆናሉ ። አማካይ የግዢ ክብደት 500 ግራም ነው። እየተከሰተ ያለውን ነገር የተሟላ ምስል ለመገንባት የሁኔታዊ “ቅርንጫፎች” አመክንዮ በእያንዳንዱ የአስተሳሰብ ደረጃ ላይ “ከተወሰነ” ሁኔታ ጋር እየሠራን ያለ ያህል በግልጽ መገለጽ አለበት ፣ እና አይደለም ። ከሁኔታዎች ጋር.

ራስን የመፈተሽ ተግባራት

1. በተከታታይ የተገናኙ n ንጥረ ነገሮችን ያካተተ የኤሌክትሪክ ዑደት ይኑር, እያንዳንዳቸው ከሌሎቹ ተለይተው ይሠራሉ.

የእያንዲንደ ኤለመንት ብልሽት የመሆን እድሉ ይታወቃል. የወረዳውን አጠቃላይ ክፍል (ክስተት A) በትክክል የመተግበር እድልን ይወስኑ።

2. ተማሪው ከ25 የፈተና ጥያቄዎች 20ቱን ያውቃል። ተማሪው በፈታኙ የተሰጡትን ሶስት ጥያቄዎች የሚያውቅበትን እድል ይፈልጉ።

3. ማምረት አራት ተከታታይ ደረጃዎችን ያቀፈ ነው, በእያንዳንዱ እያንዳንዳቸው መሳሪያዎች ይሠራሉ, ለዚህም በሚቀጥለው ወር ውስጥ የመውደቅ እድሎች ከ p 1, p 2, p 3 እና p 4 ጋር እኩል ናቸው. በአንድ ወር ውስጥ በመሳሪያዎች ብልሽት ምክንያት የምርት ማቆሚያዎች እንዳይኖሩ እድሉን ይፈልጉ።

በፕሮባቢሊቲዎች ላይ እርምጃ የመውሰድ አስፈላጊነት የሚከሰተው የአንዳንድ ክስተቶች እድሎች በሚታወቁበት ጊዜ ነው, እና ከእነዚህ ክስተቶች ጋር የተያያዙ ሌሎች ክስተቶችን እድሎች ማስላት አስፈላጊ ነው.

የአጋጣሚዎች መጨመር ጥቅም ላይ የሚውለው የዘፈቀደ ክስተቶች ጥምር ወይም ምክንያታዊ ድምር የመሆኑን እድል ማስላት ሲያስፈልግ ነው።

የክስተቶች ድምር ሀእና ለአመልክት ሀ + ለወይም ሀ ∪ ለ. የሁለት ክስተቶች ድምር ክስተት ቢያንስ አንዱ ከተከሰተ እና ከተከሰተ ብቻ ነው. ማለት ነው። ሀ + ለ- ክስተቱ በክትትል ጊዜ ከተከሰተ እና ከተከሰተ ብቻ የሚከሰት ክስተት ሀወይም ክስተት ለ, ወይም በተመሳሳይ ጊዜ ሀእና ለ.

ክስተቶች ከሆነ ሀእና ለእርስ በእርሳቸው የማይጣጣሙ እና እድላቸው ተሰጥቷል, ከዚያም ከእነዚህ ክስተቶች ውስጥ አንዱ በአንድ ሙከራ ምክንያት የመከሰቱ ዕድል ተጨማሪ ነገሮችን በመጠቀም ይሰላል.

ፕሮባቢሊቲ የመደመር ቲዎሬም.ከሁለት አንዱ የማይጣጣሙ ክስተቶች አንዱ የመከሰቱ እድል የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ድምር እኩል ነው።

ለምሳሌ, በማደን ላይ, ሁለት ጥይቶች ይተኩሳሉ. ክስተት ሀ- ዳክዬ ከመጀመሪያው ሾት ፣ ክስተት ጋር መምታት ውስጥ- ከሁለተኛው ምት መምታት ፣ ክስተት ( ሀ+ ውስጥ) - ከመጀመሪያው ወይም ከሁለተኛው ሾት ወይም ከሁለት ጥይቶች መምታት። ስለዚህ, ሁለት ክስተቶች ከሆነ ሀእና ውስጥ- ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች ፣ ከዚያ ሀ+ ውስጥ- ከእነዚህ ክስተቶች ውስጥ ቢያንስ አንዱ ወይም ሁለት ክስተቶች መከሰት።

ምሳሌ 1.በሳጥን ውስጥ ተመሳሳይ መጠን ያላቸው 30 ኳሶች አሉ፡ 10 ቀይ፣ 5 ሰማያዊ እና 15 ነጭ። ባለቀለም (ነጭ ያልሆነ) ኳስ ሳያይ የመነሳት እድሉን አስላ።

መፍትሄ። ክስተቱን እናስብ ሀ- "ቀይ ኳሱ ተወስዷል", እና ክስተቱ ውስጥ- "ሰማያዊው ኳስ ተወስዷል." ከዚያ ክስተቱ "ባለቀለም (ነጭ ያልሆነ) ኳስ ይወሰዳል." የዝግጅቱን እድል እንፈልግ ሀ:

እና ክስተቶች ውስጥ:

ክስተቶች ሀእና ውስጥ- እርስ በርስ የማይጣጣም, ምክንያቱም አንድ ኳስ ከተወሰደ, የተለያየ ቀለም ያላቸውን ኳሶች ለመውሰድ የማይቻል ነው. ስለዚህ, የፕሮባቢሊቲዎችን መጨመር እንጠቀማለን-

ለብዙ ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች እድሎችን የማከል ቲዎሪ።ክስተቶች የተሟሉ የክስተቶች ስብስብ ከሆኑ፣ የእድላቸው ድምር ከ 1 ጋር እኩል ነው።

የተቃራኒ ክስተቶች እድሎች ድምር እንዲሁ ከ1 ጋር እኩል ነው።

ተቃራኒ ክስተቶች የተሟላ የክስተቶች ስብስብ ይመሰርታሉ፣ እና የተሟላ የክስተቶች ስብስብ እድል 1 ነው።

የተቃራኒ ክስተቶች እድሎች ብዙውን ጊዜ በትናንሽ ፊደላት ይገለጻሉ። ገጽእና ቅ. በተለየ ሁኔታ,

የተቃራኒ ክስተቶች ዕድል የሚከተሉት ቀመሮች ይከተላሉ

ምሳሌ 2.በተኩስ ክልል ውስጥ ያለው ዒላማ በ 3 ዞኖች የተከፈለ ነው. አንድ የተወሰነ ተኳሽ በመጀመሪያው ዞን ዒላማው ላይ የመተኮስ እድሉ 0.15፣ በሁለተኛው ዞን - 0.23፣ በሦስተኛው ዞን - 0.17 ነው። ተኳሹ ኢላማውን የሚመታበትን እድል እና ተኳሹ ዒላማውን የሚያመልጠውን እድል ይፈልጉ።

መፍትሄ፡ ተኳሹ ኢላማውን የሚመታበትን እድል ይፈልጉ፡-

ተኳሹ ዒላማውን የማጣት እድሉን እንፈልግ፡-

ለተጨማሪ ውስብስብ ችግሮች ሁለቱንም የመደመር እና የማባዛት እድልን መጠቀም የሚያስፈልግዎትን ገጽ ይመልከቱ "የተለያዩ የመደመር እና የይሆናል ማባዛት" የሚለውን ገጽ ይመልከቱ።

እርስ በርስ የሚደጋገፉ ክስተቶች እድሎች መጨመር

የአንድ ክስተት መከሰት በተመሳሳይ ምልከታ ውስጥ ሁለተኛውን ክስተት ካላስቀረ ሁለት የዘፈቀደ ክስተቶች የጋራ ይባላሉ። ለምሳሌ, ክስተቱን ዳይ ሲጥሉ ሀቁጥር 4 እንደ ተለጠፈ ይቆጠራል, እና ክስተቱ ውስጥ- የተመጣጠነ ቁጥር ማሽከርከር። 4 እኩል ቁጥር ስለሆነ ሁለቱ ክስተቶች ተኳሃኝ ናቸው። በተግባራዊ ሁኔታ, እርስ በርስ የሚደጋገፉ ክስተቶች አንዱ የመከሰቱ እድልን የማስላት ችግሮች አሉ.

ለጋራ ክስተቶች የመደመር ንድፈ ሃሳብ።ከጋራ ክንውኖች አንዱ የመከሰቱ ዕድል የእነዚህ ክስተቶች እድሎች ድምር እኩል ነው፣ ከእነዚህም ውስጥ የሁለቱም ክስተቶች የጋራ መከሰት እድላቸው የሚቀነስበት፣ ማለትም የፕሮባቢሊቲዎች ውጤት። የጋራ ክስተቶች እድሎች ቀመር የሚከተለው ቅጽ አለው:

ክስተቶች ጀምሮ ሀእና ውስጥተስማሚ, ክስተት ሀ+ ውስጥየሚከሰተው ከሦስቱ ሊሆኑ ከሚችሉ ክስተቶች አንዱ ከተከሰተ ነው፡ ወይም AB. ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች የመደመር ጽንሰ-ሐሳብ መሠረት ፣ እንደሚከተለው እናሰላለን-

ክስተት ሀከሁለቱ የማይጣጣሙ ክስተቶች አንዱ ከተከሰተ ይከሰታል፡ ወይም AB. ሆኖም፣ የአንድ ክስተት ክስተት ከብዙ ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች የመከሰት እድሉ የእነዚህ ሁሉ ክስተቶች እድሎች ድምር እኩል ነው።

እንደዚሁም፡-

አገላለጾችን (6) እና (7)ን ወደ አገላለጽ (5) በመተካት ለጋራ ክስተቶች የይሆናልነት ቀመር እናገኛለን፡-

ቀመር (8) ሲጠቀሙ, ያንን ክስተቶች ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል ሀእና ውስጥመሆን ይቻላል:

• እርስ በርሱ የሚስማማ;
• እርስ በርስ የሚደጋገፉ.

እርስ በርስ የሚደጋገፉ ክስተቶች ፕሮባቢሊቲ ቀመር፡

እርስ በርስ የሚደጋገፉ ክስተቶች ፕሮባቢሊቲ ቀመር፡

ክስተቶች ከሆነ ሀእና ውስጥየማይጣጣሙ ናቸው, ከዚያም የእነሱ አጋጣሚ የማይቻል ጉዳይ ነው እና, ስለዚህም, ፒ(AB) = 0. አራተኛው ተኳሃኝ ላልሆኑ ክስተቶች የይሁንታ ቀመር፡-

ምሳሌ 3.በአውቶ እሽቅድምድም የመጀመሪያውን መኪና ሲነዱ የተሻለ የማሸነፍ እድል ይኖርዎታል እና ሁለተኛውን መኪና ሲነዱ። አግኝ፡

• ሁለቱም መኪኖች የማሸነፍ እድል;
• ቢያንስ አንድ መኪና የማሸነፍ እድሉ;

1) የመጀመሪያው መኪና የማሸነፍ እድሉ በሁለተኛው መኪና ውጤት ላይ የተመካ አይደለም, ስለዚህ ክስተቶቹ ሀ(የመጀመሪያው መኪና ያሸንፋል) እና ውስጥ(ሁለተኛው መኪና ያሸንፋል) - ገለልተኛ ክስተቶች. ሁለቱም መኪኖች ያሸነፉበትን ዕድል እንፈልግ፡-

2) ከሁለቱ መኪኖች አንዱ የማሸነፍ እድል ይፈልጉ፡-

ለተጨማሪ ውስብስብ ችግሮች ሁለቱንም የመደመር እና የማባዛት እድልን መጠቀም የሚያስፈልግዎትን ገጽ ይመልከቱ "የተለያዩ የመደመር እና የይሆናል ማባዛት" የሚለውን ገጽ ይመልከቱ።

የፕሮባቢሊቲዎችን ችግር እራስዎ ይፍቱ እና መፍትሄውን ይመልከቱ

ምሳሌ 4.ሁለት ሳንቲሞች ይጣላሉ. ክስተት ሀ- በመጀመሪያው ሳንቲም ላይ የጦር ቀሚስ ማጣት. ክስተት ለ- በሁለተኛው ሳንቲም ላይ የጦር ቀሚስ ማጣት. የአንድ ክስተት ዕድል ይፈልጉ ሲ = ሀ + ለ .

ፕሮባቢሊቲዎችን ማባዛት

የይሆናል ማባዛት ጥቅም ላይ የሚውለው የክስተቶች አመክንዮአዊ ምርት እድላቸው ሊሰላ ሲገባ ነው።

በዚህ ሁኔታ, የዘፈቀደ ክስተቶች ገለልተኛ መሆን አለባቸው. የአንድ ክስተት መከሰት የሁለተኛው ክስተት የመከሰት እድል ላይ ተጽእኖ ካላሳደረ ሁለት ክስተቶች እርስ በርስ የሚደጋገፉ ናቸው ተብሏል።

ለገለልተኛ ክስተቶች የፕሮባቢሊቲ ማባዛት ቲዎሪ።ሁለት ገለልተኛ ክስተቶች በአንድ ጊዜ የመከሰት እድል ሀእና ውስጥየእነዚህ ክስተቶች እድሎች ውጤት ጋር እኩል ነው እና በቀመርው ይሰላል፡-

ምሳሌ 5.ሳንቲሙ በተከታታይ ሦስት ጊዜ ይጣላል. የክንድ ቀሚስ ሶስት ጊዜ የመታየት እድልን ይፈልጉ.

መፍትሄ። የክንድ ቀሚስ በመጀመሪያው የሳንቲም ውርወራ ላይ፣ ለሁለተኛ ጊዜ እና ለሦስተኛ ጊዜ የመታየቱ ዕድል። ክንድ ኮት ሦስቱን ጊዜ የመታየት እድልን እንፈልግ፡-

የአቅም ማባዛት ችግሮችን በራስዎ ይፍቱ እና መፍትሄውን ይመልከቱ

ምሳሌ 6.ዘጠኝ አዳዲስ የቴኒስ ኳሶች ሳጥን አለ። ለመጫወት, ሶስት ኳሶች ይወሰዳሉ, እና ከጨዋታው በኋላ ወደ ኋላ ይመለሳሉ. ኳሶችን በሚመርጡበት ጊዜ የተጫወቱ ኳሶች ከማይጫወቱ ኳሶች አይለዩም። ከሶስት ጨዋታዎች በኋላ በሳጥኑ ውስጥ ምንም ያልተጫወቱ ኳሶች እንዳይቀሩ እድሉ ምን ያህል ነው?

ምሳሌ 7. 32 የሩስያ ፊደላት ፊደላት በተቆራረጡ ፊደላት ካርዶች ላይ ተጽፈዋል. አምስት ካርዶች በዘፈቀደ እርስ በእርሳቸው ይሳላሉ እና በመልክ በጠረጴዛው ላይ ይቀመጣሉ. ፊደሎቹ "መጨረሻ" የሚለውን ቃል የመመስረት እድል ይፈልጉ.

ምሳሌ 8.ከሙሉ የካርድ ካርዶች (52 ሉሆች) አራት ካርዶች በአንድ ጊዜ ይወጣሉ. እነዚህ ካርዶች አራቱም የተለያዩ ተስማሚ የመሆን እድላቸውን ይፈልጉ።

ምሳሌ 9.ልክ እንደ ምሳሌ 8 ተመሳሳይ ተግባር, ነገር ግን እያንዳንዱ ካርድ ከተወገደ በኋላ ወደ መከለያው ይመለሳል.

ተጨማሪ ውስብስብ ችግሮች, ሁለቱንም የመደመር እና የይሆናል ማባዛትን መጠቀም, እንዲሁም የበርካታ ክስተቶችን ምርት ማስላት, "የተለያዩ እድሎችን መጨመር እና ማባዛትን የሚያካትቱ የተለያዩ ችግሮች" በሚለው ገጽ ላይ ይገኛሉ.

እርስ በርስ ከሚደጋገፉ ክስተቶች ውስጥ ቢያንስ አንዱ የመከሰቱ እድል ከ 1 ተቃራኒ ክስተቶች የመሆን እድልን ውጤት በመቀነስ ፣ ማለትም ፣ ቀመርን በመጠቀም ማስላት ይቻላል-

ምሳሌ 10.ጭነት በሦስት የትራንስፖርት መንገዶች ማለትም በወንዝ፣ በባቡር እና በመንገድ ትራንስፖርት ይቀርባል። ጭነቱን በወንዝ ትራንስፖርት የማጓጓዝ እድሉ 0.82፣ በባቡር 0.87፣ በመንገድ ትራንስፖርት 0.90 ነው። ጭነቱን ከሶስቱ የመጓጓዣ ዘዴዎች ቢያንስ በአንዱ የማድረስ እድሉን ይፈልጉ።

ጠቃሚ ማስታወሻዎች!
1. ከቀመሮች ይልቅ gobbledygook ካዩ መሸጎጫዎን ያጽዱ። ይህንን በአሳሽዎ ውስጥ እንዴት ማድረግ እንደሚቻል እዚህ ተጽፏል-
2. ጽሑፉን ማንበብ ከመጀመርዎ በፊት በጣም ጠቃሚ ለሆኑት መርጃዎች ለአሳሽዎ ትኩረት ይስጡ

ዕድል ምንድን ነው?

ይህን ቃል ለመጀመሪያ ጊዜ ሲያጋጥመኝ ምን እንደሆነ አልገባኝም ነበር። ስለዚህ, በግልፅ ለማብራራት እሞክራለሁ.

ፕሮባቢሊቲ የምንፈልገው ክስተት የመከሰት እድል ነው።

ለምሳሌ, ወደ ጓደኛዎ ቤት ለመሄድ ወስነዋል, መግቢያውን እና የሚኖርበትን ወለል እንኳን ያስታውሳሉ. ግን የአፓርታማውን ቁጥር እና ቦታ ረሳሁ. እና አሁን በደረጃው ላይ ቆመሃል, እና ከፊት ለፊትህ ለመምረጥ በሮች አሉ.

የመጀመሪያውን የበር ደወል ከደወልክ ጓደኛህ በሩን ሊመልስልህ የሚችልበት ዕድል (መሆን) ምን ያህል ነው? አፓርተማዎች ብቻ ናቸው, እና አንድ ጓደኛ የሚኖረው ከአንደኛው ጀርባ ብቻ ነው. በእኩል እድል ማንኛውንም በር መምረጥ እንችላለን.

ግን ይህ ዕድል ምንድን ነው?

በሩ ፣ ትክክለኛው በር። የመጀመሪያውን የበር ደወል በመደወል የመገመት እድል፡. ማለትም ከሦስቱ አንድ ጊዜ በትክክል ይገምታሉ።

ማወቅ እንፈልጋለን፣ አንዴ ደውለን፣ በሩን ስንት ጊዜ እንገምታለን? ሁሉንም አማራጮች እንመልከት፡-

1. ደወልክ 1ኛበር
2. ደወልክ 2ኛበር
3. ደወልክ 3ኛበር

አሁን ጓደኛ ሊሆኑ የሚችሉባቸውን ሁሉንም አማራጮች እንመልከት-

ሀ. ከኋላ 1ኛበሩ
ለ. ከኋላ 2ኛበሩ
ቪ. ከኋላ 3ኛበሩ

ሁሉንም አማራጮች በሠንጠረዥ መልክ እናወዳድር. የማረጋገጫ ምልክት ምርጫዎ ከጓደኛዎ ቦታ ጋር ሲገጣጠም, መስቀል - በማይመሳሰልበት ጊዜ አማራጮችን ያመለክታል.

ሁሉንም ነገር እንዴት ታያለህ ምን አልባት አማራጮችየጓደኛዎ ቦታ እና የትኛውን በር እንደሚደውሉ ምርጫዎ።

ሀ የሁሉም ጥሩ ውጤቶች . ይህም ማለት አንድ ጊዜ የበሩን ደወል በመደወል አንድ ጊዜ ይገምታሉ, ማለትም. .

ይህ ዕድል ነው - የአመቺ ውጤት ጥምርታ (የእርስዎ ምርጫ ከጓደኛዎ አካባቢ ጋር ሲገጣጠም) ወደ ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ብዛት።

ትርጉሙ ቀመር ነው። ፕሮባቢሊቲ አብዛኛውን ጊዜ በ p ይገለጻል፣ ስለዚህ፡-

እንዲህ ዓይነቱን ቀመር ለመጻፍ በጣም ምቹ አይደለም, ስለዚህ እኛ እንወስዳለን - ተስማሚ ውጤቶችን ብዛት, እና ለ - አጠቃላይ የውጤቶች ብዛት.

ዕድሉ እንደ መቶኛ ሊፃፍ ይችላል ፣ ይህንን ለማድረግ ውጤቱን በሚከተሉት ማባዛት ያስፈልግዎታል

“ውጤቶች” የሚለው ቃል ምናልባት ዓይንዎን ሳበው። የሂሳብ ሊቃውንት የተለያዩ ድርጊቶችን (በእኛ ሁኔታ, እንዲህ ዓይነቱ ድርጊት የበር ደወል ነው) ሙከራዎችን ስለሚጠሩ, የእንደዚህ አይነት ሙከራዎች ውጤት አብዛኛውን ጊዜ ውጤቱ ይባላል.

ደህና ፣ ጥሩ እና ጥሩ ያልሆኑ ውጤቶች አሉ።

ወደ ምሳሌአችን እንመለስ። አንዱን በሮች ደወልን እንበል ነገር ግን አንድ እንግዳ ከፈተልን። በትክክል አልገመትነውም። ከቀሩት በሮች አንዱን ብንደውል ወዳጃችን ሊከፍትልን የሚችልበት ዕድል ምን ያህል ነው?

ካሰብክ ይህ ስህተት ነው። እስቲ እንገምተው።

ሁለት በሮች ቀርተናል። ስለዚህ እኛ ሊሆኑ የሚችሉ እርምጃዎች አሉን-

1) ይደውሉ 1ኛበር
2) ይደውሉ 2ኛበር

ጓደኛው ፣ ይህ ሁሉ ቢሆንም ፣ በእርግጠኝነት ከአንደኛው በስተጀርባ ነው (ከሁሉም በኋላ ፣ ከጠራነው እሱ በስተጀርባ አልነበረም)

ሀ) ጓደኛ ለ 1ኛበሩ
ለ) ጓደኛ ለ 2ኛበሩ

ጠረጴዛውን እንደገና እንሳል:

እንደሚመለከቱት, አማራጮች ብቻ ናቸው, ከነሱ ውስጥ ምቹ ናቸው. ማለትም፣ ዕድሉ እኩል ነው።

ለምን አይሆንም?

የተመለከትነው ሁኔታ ነው። ጥገኛ ክስተቶች ምሳሌ.የመጀመሪያው ክስተት የመጀመሪያው የበር ደወል ነው, ሁለተኛው ክስተት ሁለተኛው የበር ደወል ነው.

እና በሚከተሉት ድርጊቶች ላይ ተጽእኖ ስለሚያሳድሩ ጥገኛ ተብለው ይጠራሉ. ደግሞስ ከመጀመሪያው ቀለበቱ በኋላ የበሩ ደወል በጓደኛ ቢመልስ ከሁለቱ አንዱ ጀርባ ያለው የመሆን እድሉ ምን ያህል ሊሆን ይችላል? ቀኝ, .

ግን ጥገኛ የሆኑ ክስተቶች ካሉ, ከዚያም እንዲሁ መሆን አለበት ገለልተኛ? ትክክል ነው፣ ይከሰታሉ።

የመማሪያ መጽሐፍ ምሳሌ ሳንቲም መጣል ነው።

1. አንድ ሳንቲም አንድ ጊዜ ይጣሉት. ለምሳሌ ጭንቅላት የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው? ልክ ነው - ሁሉም አማራጮች ስላሉ (ጭንቅላቶች ወይም ጭራዎች, ሳንቲም በጫፉ ላይ የማረፍ እድልን ችላ እንላለን), ግን ለእኛ ብቻ ተስማሚ ነው.
2. ግን ጭንቅላቶች ላይ ወጣ። እሺ፣ እንደገና እንወረውረው። አሁን ጭንቅላት የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው? ምንም ነገር አልተለወጠም, ሁሉም ነገር አንድ ነው. ስንት አማራጮች? ሁለት. በስንቱ ደስተኞች ነን? አንድ.

እና በተከታታይ ቢያንስ አንድ ሺህ ጊዜ ጭንቅላት ላይ ይውጣ። ጭንቅላትን በአንድ ጊዜ የማግኘት እድሉ ተመሳሳይ ይሆናል. ሁልጊዜ አማራጮች አሉ, እና ምቹ የሆኑ.

ጥገኛ ክስተቶችን ከገለልተኛ መለየት ቀላል ነው-

1. ሙከራው አንድ ጊዜ ከተካሄደ (አንድ ጊዜ ሳንቲም ይጥሉታል, የበሩን ደወሉን አንድ ጊዜ ይደውላሉ, ወዘተ), ከዚያም ክስተቶቹ ሁልጊዜ ገለልተኛ ናቸው.
2. አንድ ሙከራ ብዙ ጊዜ ከተሰራ (ሳንቲም አንድ ጊዜ ይጣላል, የበሩ ደወል ብዙ ጊዜ ይደውላል), ከዚያም የመጀመሪያው ክስተት ሁልጊዜ ራሱን የቻለ ነው. እና ከዚያ, ምቹ የሆኑ ሰዎች ቁጥር ወይም የሁሉም ውጤቶች ቁጥር ከተቀየረ, ክስተቶቹ ጥገኛ ናቸው, እና ካልሆነ, እራሳቸውን የቻሉ ናቸው.

እድልን ለመወሰን ትንሽ እንለማመድ።

ምሳሌ 1.

ሳንቲሙ ሁለት ጊዜ ይጣላል. ጭንቅላትን በተከታታይ ሁለት ጊዜ የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ፡-

ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮችን እንመልከት፡-

1. ንስር-ንስር
2. ጭንቅላቶች-ጭራዎች
3. ጭራዎች - ራሶች
4. ጭራዎች-ጭራዎች

እንደሚመለከቱት, አማራጮች ብቻ አሉ. ከእነዚህ ውስጥ, እኛ ብቻ ረክተናል. ማለትም፣ ዕድሉ፡-

ሁኔታው በቀላሉ እድሉን እንድታገኝ ከጠየቀ መልሱ በአስርዮሽ ክፍልፋይ መልክ መሰጠት አለበት። መልሱ እንደ ፐርሰንት መሰጠት እንዳለበት ከተገለጸ በቁጥር እናባዛለን።

መልስ፡-

ምሳሌ 2.

በቸኮሌት ሣጥን ውስጥ ሁሉም ቸኮሌቶች በአንድ ጥቅል ውስጥ ተጭነዋል. ይሁን እንጂ ከጣፋጮች - ከለውዝ ጋር, ከኮንጃክ, ከቼሪ, ከካራሚል እና ከኑግ ጋር.

አንድ ከረሜላ ወስዶ ከለውዝ ጋር ከረሜላ የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው? መልስህን እንደ መቶኛ ስጥ።

መፍትሄ፡-

ምን ያህል ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶች አሉ? .

ያም ማለት አንድ ከረሜላ ከወሰዱ በሳጥኑ ውስጥ ከሚገኙት ውስጥ አንዱ ይሆናል.

ምን ያህል ጥሩ ውጤቶች?

ምክንያቱም ሳጥኑ ከለውዝ ጋር ቸኮሌት ብቻ ይዟል።

መልስ፡-

ምሳሌ 3.

በፊኛዎች ሳጥን ውስጥ. ከእነዚህ ውስጥ ነጭ እና ጥቁር ናቸው.

1. ነጭ ኳስ የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው?
2. በሳጥኑ ላይ ተጨማሪ ጥቁር ኳሶችን ጨምረናል. አሁን ነጭ ኳስ የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ፡-

ሀ) በሳጥኑ ውስጥ ኳሶች ብቻ ናቸው. ከእነሱ ውስጥ ነጭ ናቸው.

ዕድሉ፡-

ለ) አሁን በሳጥኑ ውስጥ ተጨማሪ ኳሶች አሉ. እና ልክ ብዙ ነጮች ቀርተዋል - .

መልስ፡-

አጠቃላይ ዕድል

የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ዕድል ከ () ጋር እኩል ነው።

በሳጥን ውስጥ ቀይ እና አረንጓዴ ኳሶች አሉ እንበል። ቀይ ኳስ የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው? አረንጓዴ ኳስ? ቀይ ወይም አረንጓዴ ኳስ?

ቀይ ኳስ የመሳል እድል

አረንጓዴ ኳስ;

ቀይ ወይም አረንጓዴ ኳስ;

እንደሚመለከቱት, የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ድምር ከ () ጋር እኩል ነው. ይህንን ነጥብ መረዳት ብዙ ችግሮችን ለመፍታት ይረዳዎታል.

ምሳሌ 4.

በሳጥኑ ውስጥ ጠቋሚዎች አሉ-አረንጓዴ, ቀይ, ሰማያዊ, ቢጫ, ጥቁር.

ቀይ ምልክት ማድረጊያ ሳይሆን የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ፡-

ቁጥሩን እንቆጥረው ተስማሚ ውጤቶች.

ቀይ ምልክት አይደለም፣ አረንጓዴ፣ ሰማያዊ፣ ቢጫ ወይም ጥቁር ማለት ነው።

አንድ ክስተት ያለመከሰቱ እድል ክስተቱ የመከሰት እድልን ከመቀነስ ጋር እኩል ነው.

የገለልተኛ ክስተቶችን እድሎች የማባዛት ደንብ

ገለልተኛ ክስተቶች ምን እንደሆኑ አስቀድመው ያውቃሉ።

ሁለት (ወይም ከዚያ በላይ) ገለልተኛ ክስተቶች በተከታታይ የመከሰታቸው እድል መፈለግ ከፈለጉስ?

አንድ ሳንቲም አንድ ጊዜ ብንገለብጥ ሁለት ጊዜ ጭንቅላትን የምናይበት ዕድል ምን እንደሆነ ለማወቅ እንፈልጋለን እንበል?

አስቀድመን ተመልክተናል -.

አንድ ጊዜ ሳንቲም ብንወረውረውስ? ንስርን በተከታታይ ሁለት ጊዜ የማየት እድሉ ምን ያህል ነው?

ጠቅላላ ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮች፡-

1. ንስር-ንስር-ንስር
2. ጭንቅላት - ጭንቅላቶች - ጭራዎች
3. ጭንቅላቶች - ጭንቅላቶች - ጭንቅላቶች
4. ጭንቅላቶች - ጭራዎች - ጭራዎች
5. ጭራዎች - ጭንቅላቶች - ራሶች
6. ጭራዎች - ጭንቅላቶች - ጭራዎች
7. ጭራዎች-ጭራዎች-ጭንቅላቶች
8. ጭራዎች-ጭራዎች-ጭራዎች

ስለእርስዎ አላውቅም፣ ግን ይህን ዝርዝር ሳጠናቅቅ ብዙ ጊዜ ስህተት ሰርቻለሁ። ዋዉ! እና ብቸኛው አማራጭ (የመጀመሪያው) ይስማማናል.

ለ 5 ውርወራዎች እራስዎ ሊሆኑ የሚችሉ ውጤቶችን ዝርዝር ማድረግ ይችላሉ. ነገር ግን የሂሳብ ሊቃውንት እንዳንተ ታታሪዎች አይደሉም።

ስለዚህ በመጀመሪያ አስተውለዋል ከዚያም የተወሰኑ ተከታታይ የገለልተኛ ክስተቶች ዕድል በአንድ ክስተት የመቀነሱ ሁኔታ በእያንዳንዱ ጊዜ እንደሚቀንስ አረጋግጠዋል።

በሌላ ቃል,

ተመሳሳሊ ሕሙም ዕድመ ንእሽቶ ሳንቲም ኣብነት እየን።

ፈታኝ ሁኔታ ውስጥ ጭንቅላት የመግባት ዕድል? . አሁን ሳንቲሙን አንድ ጊዜ እንገላበጣለን።

ጭንቅላትን በተከታታይ የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

ይህ ህግ የሚሰራው ተመሳሳይ ክስተት በተከታታይ ብዙ ጊዜ የመከሰት እድልን እንድንፈልግ ከተጠየቅን ብቻ አይደለም።

ለተከታታይ ተወርዋሪዎች ቅደም ተከተል TAILS-HEADS-TAILS ለማግኘት ከፈለግን ተመሳሳይ ነገር እናደርጋለን።

ጅራት የማግኘት እድሉ ራሶች - .

የ TAILS-HEADS-TAILS-TAILS ቅደም ተከተል የማግኘት ዕድል፡-

ጠረጴዛ በመሥራት እራስዎን ማረጋገጥ ይችላሉ.

ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶችን እድሎች ለመጨመር ደንቡ።

ስለዚህ አቁም! አዲስ ትርጉም።

እስቲ እንገምተው። ያረጀውን ሳንቲማችንን ወስደን አንድ ጊዜ እንወረውረው።
ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮች፡-

1. ንስር-ንስር-ንስር
2. ጭንቅላት - ጭንቅላቶች - ጭራዎች
3. ጭንቅላቶች - ጭንቅላቶች - ጭንቅላቶች
4. ጭንቅላቶች - ጭራዎች - ጭራዎች
5. ጭራዎች - ጭንቅላቶች - ራሶች
6. ጭራዎች - ጭንቅላቶች - ጭራዎች
7. ጭራዎች-ጭራዎች-ጭንቅላቶች
8. ጭራዎች-ጭራዎች-ጭራዎች

ስለዚህ፣ ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች የተወሰኑ፣ የተሰጡ የክስተቶች ቅደም ተከተል ናቸው። - እነዚህ ተኳሃኝ ያልሆኑ ክስተቶች ናቸው።

የሁለት (ወይም ከዚያ በላይ) የማይጣጣሙ ክስተቶች ዕድል ምን እንደሆነ ለመወሰን ከፈለግን የእነዚህን ክስተቶች እድሎች እንጨምራለን ።

ጭንቅላት ወይም ጅራት ሁለት ገለልተኛ ክስተቶች መሆናቸውን መረዳት አለብህ።

የአንድ ተከታታይ (ወይም ሌላ) የመከሰት እድልን ለመወሰን ከፈለግን, እድሎችን የማባዛት ህግን እንጠቀማለን.
በመጀመሪያ መወርወር ላይ ጭንቅላትን ፣ እና በሁለተኛው እና በሦስተኛው መወርወር ላይ ጅራት የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

ነገር ግን ከብዙ ቅደም ተከተሎች ውስጥ አንዱን የማግኘት እድሉ ምን እንደሆነ ለማወቅ ከፈለግን, ለምሳሌ, ጭንቅላቶች በትክክል አንድ ጊዜ ሲመጡ, ማለትም. አማራጮች እና, ከዚያም የእነዚህን ቅደም ተከተሎች እድሎች መጨመር አለብን.

አጠቃላይ አማራጮች እኛን ይስማማሉ።

የእያንዳንዱን ቅደም ተከተል የመከሰት እድሎችን በማከል ተመሳሳይ ነገር ማግኘት እንችላለን-

ስለዚህ, የተወሰኑ, ወጥነት የሌላቸው, የክስተቶች ቅደም ተከተሎች እድሎችን ለመወሰን ስንፈልግ እድሎችን እንጨምራለን.

በሚባዙበት ጊዜ እና በሚጨምሩበት ጊዜ ግራ እንዳይጋቡ የሚያግዝዎ ትልቅ ህግ አለ፡-

አንድ ጊዜ ሳንቲም ወደ ወረወርንበት እና አንድ ጊዜ ጭንቅላትን የማየት እድልን ለማወቅ ወደፈለግንበት ምሳሌ እንመለስ።
ምን ሊፈጠር ነው?

መውደቅ ያለበት፡-
(ጭንቅላቶች እና ጅራት እና ጅራት) ወይም (ጭራዎች እና ጭንቅላት እና ጅራት) ወይም (ጭራዎች እና ጅራት እና ጭንቅላት)።
እንዲህ ይሆናል፡-

ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 5.

በሳጥኑ ውስጥ እርሳሶች አሉ. ቀይ, አረንጓዴ, ብርቱካንማ እና ቢጫ እና ጥቁር. ቀይ ወይም አረንጓዴ እርሳሶችን የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ፡-

ምሳሌ 6.

አንድ ሞት ሁለት ጊዜ ከተጣለ በድምሩ 8 የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ።

ነጥቦችን እንዴት ማግኘት እንችላለን?

(እና) ወይም (እና) ወይም (እና) ወይም (እና) ወይም (እና).

አንድ (ማንኛውም) ፊት የማግኘት እድሉ ነው።

ዕድሉን እናሰላለን፡-

ስልጠና.

ፕሮባቢሊቲዎችን መቼ እንደሚያስሉ፣ መቼ እንደሚጨምሩ እና መቼ እንደሚያባዙ አሁን የተረዱ ይመስለኛል። አይደለም? ትንሽ እንለማመድ።

ተግባራት፡

ስፖዶችን፣ ልብን፣ 13 ክለቦችን እና 13 አልማዞችን ጨምሮ ካርዶችን የያዘ የካርድ ወለል እንውሰድ። ከእያንዳንዱ ልብስ እስከ Ace.

1. ክለቦችን በተከታታይ የመሳል ዕድሉ ምን ያህል ነው (የመጀመሪያውን የተጎተተውን ካርድ ወደ በረንዳው ውስጥ አስገብተን እናወዛውዘዋለን)?
2. ጥቁር ካርድ (ስፓዶች ወይም ክለቦች) የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው?
3. ስዕልን የመሳል (ጃክ ፣ ንግሥት ፣ ንጉስ ወይም አሲ) የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው?
4. ሁለት ስዕሎችን በአንድ ረድፍ የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው (የመጀመሪያውን ካርድ ከመርከቡ ላይ እናስወግዳለን)?
5. ሁለት ካርዶችን መውሰድ, ጥምረት ለመሰብሰብ - (ጃክ, ንግሥት ወይም ንጉሥ) እና አንድ አሴ ምን ሊሆን ይችላል ካርዶቹ የተሳሉበት ቅደም ተከተል ምንም አይደለም.

መልሶች፡-

ሁሉንም ችግሮች እራስዎ መፍታት ከቻሉ በጣም ጥሩ ነዎት! አሁን በተዋሃደ የስቴት ፈተና ውስጥ የፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ችግሮችን እንደ ለውዝ ትሰነጣላችሁ!

ፕሮባብሊቲ ቲዎሪ. አማካይ ደረጃ

አንድ ምሳሌ እንመልከት። ሙት እንወረውራለን እንበል። ይህ ምን አይነት አጥንት ነው, ታውቃለህ? ፊታቸው ላይ ቁጥሮች ያለበት ኩብ ብለው ይጠሩታል። ስንት ፊት፣ ስንት ቁጥሮች፡ ከስንት? ከዚህ በፊት.

ስለዚህ ዳይቹን እንጠቀልላለን እና እንዲወጣ እንፈልጋለን ወይም. እና አግኝተናል።

በፕሮባቢሊቲ ቲዎሪ ውስጥ ምን እንደተፈጠረ ይናገራሉ አስደሳች ክስተት(ከብልጽግና ጋር መምታታት የለበትም).

ከተከሰተ, ክስተቱ እንዲሁ ተስማሚ ይሆናል. በአጠቃላይ, ሁለት ምቹ ክስተቶች ብቻ ሊከሰቱ ይችላሉ.

ስንት የማይመቹ ናቸው? በአጠቃላይ ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ስላሉ, የማይመቹ ክስተቶች ናቸው ማለት ነው (ይህ ከወደቀ ወይም ከወደቀ ነው).

ፍቺ፡

ፕሮባቢሊቲ (Probability) የተመቻቹ ሁነቶች ብዛት እና የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ጥምርታ ነው።. ያም ማለት፣ ዕድሉ የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ድርሻ ምን ያህል ምቹ እንደሆነ ያሳያል።

ፕሮባቢሊቲነትን በላቲን ፊደል ያመለክታሉ (ከእንግሊዝኛው ፕሮባቢሊቲ - ፕሮባቢሊቲ)።

ዕድልን እንደ መቶኛ መለካት የተለመደ ነው (ርዕሶችን ይመልከቱ እና)። ይህንን ለማድረግ, የፕሮባቢሊቲው ዋጋ በ ማባዛት አለበት. በዳይስ ምሳሌ ውስጥ, ዕድል.

እና በመቶኛ፡.

ምሳሌዎች (ራስህን ወስን)

1. ሳንቲም በሚጥሉበት ጊዜ ጭንቅላት የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው? የማረፊያ ራሶች ዕድል ምን ያህል ነው?
2. ዳይ ሲጣሉ እኩል ቁጥር የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው? የትኛው እንግዳ ነው?
3. በቀላል, ሰማያዊ እና ቀይ እርሳሶች ሳጥን ውስጥ. በዘፈቀደ አንድ እርሳስ እንሳልለን. ቀላል የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄዎች፡-

1. ምን ያህል አማራጮች አሉ? ጭንቅላት እና ጅራት - ሁለት ብቻ. ከመካከላቸው ምን ያህሉ ምቹ ናቸው? አንድ ብቻ ንስር ነው። ስለዚህ ዕድሉ

   ከጅራት ጋር ተመሳሳይ ነው:.

2. ጠቅላላ አማራጮች: (ኩባው ስንት ጎኖች አሉት, ብዙ የተለያዩ አማራጮች). ሞገስ ያላቸው፡ (እነዚህ ሁሉ ቁጥሮች ናቸው፡)።
   ሊሆን ይችላል። በእርግጥ, ያልተለመዱ ቁጥሮች ጋር ተመሳሳይ ነው.
3. ጠቅላላ፡. ሞገስ፡. ፕሮባቢሊቲ፡.

አጠቃላይ ዕድል

በሳጥኑ ውስጥ ያሉት ሁሉም እርሳሶች አረንጓዴ ናቸው. ቀይ እርሳስ የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው? ምንም እድሎች የሉም: ዕድል (ከሁሉም በኋላ, ምቹ ክስተቶች -).

እንዲህ ዓይነቱ ክስተት የማይቻል ተብሎ ይጠራል.

አረንጓዴ እርሳስ የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው? ልክ እንደ አጠቃላይ ክንውኖች (ሁሉም ክስተቶች ተስማሚ ናቸው) ተመሳሳይ ቁጥር ያላቸው ምቹ ክስተቶች አሉ። ስለዚህ ዕድሉ እኩል ነው ወይም.

እንዲህ ዓይነቱ ክስተት አስተማማኝ ተብሎ ይጠራል.

አንድ ሳጥን አረንጓዴ እና ቀይ እርሳሶችን ከያዘ አረንጓዴ ወይም ቀይ የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው? አሁንም እንደገና። ይህንን እናስተውል አረንጓዴውን የመሳብ እድሉ እኩል ነው ፣ እና ቀይ እኩል ነው።

በአጠቃላይ እነዚህ እድሎች በትክክል እኩል ናቸው. ያውና, የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች እድሎች ድምር እኩል ነው ወይም።

ለምሳሌ:

በእርሳስ ሳጥን ውስጥ ከነሱ መካከል ሰማያዊ, ቀይ, አረንጓዴ, ሜዳ, ቢጫ እና የተቀሩት ብርቱካን ናቸው. አረንጓዴ ያለመሳል እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ፡-

ሁሉም ዕድሎች እንደሚጨመሩ እናስታውሳለን. እና አረንጓዴ የማግኘት እድሉ እኩል ነው. ይህ ማለት አረንጓዴ አለመሳል እድሉ እኩል ነው.

ይህን ብልሃት አስታውስ፡-አንድ ክስተት ያለመከሰቱ እድል ክስተቱ የመከሰት እድልን ከመቀነስ ጋር እኩል ነው.

ገለልተኛ ክስተቶች እና የማባዛት ደንብ

አንድ ሳንቲም አንድ ጊዜ ገልብጠው በሁለቱም ጊዜ ወደ ላይ እንዲወጣ ትፈልጋለህ። የዚህ ዕድል ምን ያህል ነው?

ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ አማራጮችን እንመርምር እና ምን ያህል እንደሆኑ እንወስን-

ጭንቅላቶች-ጭንቅላቶች, ጅራት-ጭንቅላቶች, ጭንቅላቶች-ጭራዎች, ጅራት-ጭራዎች. ሌላስ?

ጠቅላላ አማራጮች። ከእነዚህ መካከል አንዱ ብቻ ይስማማናል፡ Eagle-Eagle። በጠቅላላው, ዕድሉ እኩል ነው.

ጥሩ። አሁን አንድ ሳንቲም እንገልብጠው። ሒሳቡን እራስዎ ያድርጉት። ተከስቷል? (መልስ)

እያንዳንዱ ተከታይ ውርወራ ሲጨመር እድሉ በግማሽ እንደሚቀንስ አስተውለህ ይሆናል። አጠቃላይ ደንቡ ይባላል የማባዛት ደንብ:

የገለልተኛ ክስተቶች እድሎች ይቀየራሉ።

ገለልተኛ ክስተቶች ምንድን ናቸው? ሁሉም ነገር አመክንዮአዊ ነው: እነዚህ እርስ በእርሳቸው የማይመኩ ናቸው. ለምሳሌ ሳንቲም ደጋግመን ስንወረውር አዲስ ውርወራ በወጣ ቁጥር ውጤቱ በቀደሙት ጥሎዎች ሁሉ ላይ የተመካ አይደለም። በተመሳሳይ ጊዜ ሁለት የተለያዩ ሳንቲሞችን በቀላሉ መጣል እንችላለን።

ተጨማሪ ምሳሌዎች፡-

1. ዳይቹ ሁለት ጊዜ ይጣላሉ. ሁለቱንም ጊዜ የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?
2. ሳንቲሙ አንድ ጊዜ ይጣላል. ለመጀመሪያ ጊዜ ወደ ጭንቅላቶች እና ከዚያም ጅራቶች ሁለት ጊዜ የመውጣት እድሉ ምን ያህል ነው?
3. ተጫዋቹ ሁለት ዳይስ ይንከባለል. በእነሱ ላይ ያሉት ቁጥሮች ድምር እኩል የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?

መልሶች፡-

1. ክስተቶቹ ነጻ ናቸው፣ ይህ ማለት የማባዛት ህግ ይሰራል፡.
2. የጭንቅላት እድላቸው እኩል ነው። የጅራት ዕድል ተመሳሳይ ነው. ማባዛት፡
3. 12 ሊገኝ የሚችለው ሁለት -ኪ ከተጠቀለለ ብቻ ነው:.

የማይጣጣሙ ክስተቶች እና የመደመር ደንብ

እርስ በርስ የሚደጋገፉ ክስተቶች እስከ ሙሉ እድላቸው ድረስ የማይጣጣሙ ይባላሉ. ስሙ እንደሚያመለክተው, በአንድ ጊዜ ሊከሰቱ አይችሉም. ለምሳሌ ሳንቲም ብንገለበጥ ጭንቅላትም ሆነ ጅራት ሊወጣ ይችላል።

ለምሳሌ.

በእርሳስ ሳጥን ውስጥ ከነሱ መካከል ሰማያዊ, ቀይ, አረንጓዴ, ሜዳ, ቢጫ እና የተቀሩት ብርቱካን ናቸው. አረንጓዴ ወይም ቀይ የመሳል እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ.

አረንጓዴ እርሳስ የመሳል እድሉ እኩል ነው. ቀይ - .

በሁሉም ውስጥ ተስማሚ ክስተቶች: አረንጓዴ + ቀይ. ይህ ማለት አረንጓዴ ወይም ቀይ ቀለም የመሳል እድሉ እኩል ነው.

ተመሳሳይ ዕድል በዚህ ቅጽ ውስጥ ሊወከል ይችላል፡.

የመደመር ደንቡ ይህ ነው።ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች እድላቸው ይጨምራል።

የተቀላቀሉ አይነት ችግሮች

ለምሳሌ.

ሳንቲሙ ሁለት ጊዜ ይጣላል. የጥቅልል ውጤቶች የተለየ የመሆን እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ.

ይህ ማለት የመጀመሪያው ውጤት ራሶች ከሆነ, ሁለተኛው ጭራ መሆን አለበት, እና በተቃራኒው. ሁለት ጥንድ ገለልተኛ ክስተቶች እንዳሉ ተገለጠ, እና እነዚህ ጥንዶች እርስ በእርሳቸው የማይጣጣሙ ናቸው. የት እንደሚባዛ እና የት እንደሚጨመር ግራ እንዳይጋባ.

ለእንደዚህ አይነት ሁኔታዎች ቀላል ህግ አለ. “AND” ወይም “OR” የሚሉትን ጥምረቶች በመጠቀም ምን እንደሚፈጠር ለመግለጽ ይሞክሩ። ለምሳሌ በዚህ ጉዳይ ላይ፡-

ወደ ላይ (ጭንቅላቶች እና ጭራዎች) ወይም (ጭራዎች እና ጭንቅላት) መምጣት አለበት.

“እና” ማያያዣ ካለ ማባዛት ይኖራል፣ እና “ወይም” ባለበት መደመር ይሆናል።

እራስዎ ይሞክሩት:

1. አንድ ሳንቲም ሁለት ጊዜ ከተወረወረ ሳንቲሙ በሁለቱም ጊዜ ወደ አንድ ጎን የመውረድ እድሉ ምን ያህል ነው?
2. ዳይቹ ሁለት ጊዜ ይጣላሉ. አጠቃላይ ነጥቦችን የማግኘት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄዎች፡-

ሌላ ምሳሌ፡-

አንድ ሳንቲም አንድ ጊዜ ይጣሉት. ራሶች ቢያንስ አንድ ጊዜ የመታየት እድሉ ምን ያህል ነው?

መፍትሄ፡-

ፕሮባብሊቲ ቲዎሪ. ስለ ዋና ዋና ነገሮች በአጭሩ

ፕሮባቢሊቲ (Probability) የተመቻቹ ሁነቶች ብዛት እና የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ጥምርታ ነው።

ገለልተኛ ክስተቶች

የአንዱ መከሰት የሌላውን የመከሰት እድል ካልቀየረ ሁለት ክስተቶች ነጻ ናቸው.

አጠቃላይ ዕድል

የሁሉም ሊሆኑ የሚችሉ ክስተቶች ዕድል ከ () ጋር እኩል ነው።

አንድ ክስተት ያለመከሰቱ እድል ክስተቱ የመከሰት እድልን ከመቀነስ ጋር እኩል ነው.

የገለልተኛ ክስተቶችን እድሎች የማባዛት ደንብ

የአንድ የተወሰነ ተከታታይ ገለልተኛ ክስተቶች ዕድል ከእያንዳንዱ ክስተት እድሎች ውጤት ጋር እኩል ነው።

የማይጣጣሙ ክስተቶች

ተኳኋኝ ያልሆኑ ክስተቶች በሙከራ ምክንያት በአንድ ጊዜ ሊከሰቱ የማይችሉ ናቸው። በርካታ የማይጣጣሙ ክስተቶች የተሟላ የክስተቶች ቡድን ይመሰርታሉ።

ተኳዃኝ ያልሆኑ ክስተቶች እድላቸው ይጨምራል።

ምን መሆን እንዳለበት ከገለፅን በኋላ “AND” ወይም “OR” የሚሉትን ጥምሮች በመጠቀም በ “AND” ምትክ የማባዛት ምልክት እናስቀምጣለን እና በ “OR” ምትክ የመደመር ምልክት እናስቀምጣለን።

እንግዲህ ርዕሱ አልቋል። እነዚህን መስመሮች እያነበብክ ከሆነ, በጣም አሪፍ ነህ ማለት ነው.

ምክንያቱም ሰዎች 5% ብቻ አንድን ነገር በራሳቸው መቆጣጠር ይችላሉ. እና እስከ መጨረሻው ካነበቡ, በዚህ 5% ውስጥ ነዎት!

አሁን በጣም አስፈላጊው ነገር.

በዚህ ርዕስ ላይ ያለውን ንድፈ ሐሳብ ተረድተሃል. እና፣ እደግመዋለሁ፣ ይሄ... ይሄ ብቻ የላቀ ነው! እርስዎ ቀድሞውንም ከብዙዎቹ እኩዮችዎ የተሻሉ ነዎት።

ችግሩ ይህ በቂ ላይሆን ይችላል ...

ለምንድነው?

የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በተሳካ ሁኔታ ለማለፍ፡ በበጀት ኮሌጅ ለመግባት እና ከሁሉም በላይ አስፈላጊ ለህይወት።

ምንም አላሳምንህም፣ አንድ ነገር ብቻ እናገራለሁ...

ጥሩ ትምህርት የተማሩ ሰዎች ካልተማሩት የበለጠ ገቢ ያገኛሉ። ይህ ስታቲስቲክስ ነው።

ግን ይህ ዋናው ነገር አይደለም.

ዋናው ነገር እነሱ የበለጠ ደስተኛ ናቸው (እንዲህ ያሉ ጥናቶች አሉ). ምናልባት ብዙ ተጨማሪ እድሎች በፊታቸው ስለሚከፈቱ እና ህይወት የበለጠ ብሩህ ስለሚሆን? አላውቅም...

ግን ለራስህ አስብ...

በተዋሃደ የስቴት ፈተና ላይ ከሌሎች የተሻሉ ለመሆን እና በመጨረሻም ደስተኛ ለመሆን... የበለጠ ደስተኛ ለመሆን ምን ያስፈልጋል?

በዚህ ርዕስ ላይ ችግሮችን በመፍታት እጅዎን ያግኙ።

በፈተና ወቅት ንድፈ ሃሳብ አይጠየቁም።

ያስፈልግዎታል ችግሮችን በጊዜ መፍታት.

እና, ካልፈታሃቸው (ብዙ!), በእርግጠኝነት የሆነ ቦታ ላይ ሞኝ ስህተት ትሰራለህ ወይም በቀላሉ ጊዜ አይኖርህም.

ልክ እንደ ስፖርት ነው - በእርግጠኝነት ለማሸነፍ ብዙ ጊዜ መድገም ያስፈልግዎታል።

ስብስቡን በፈለጉበት ቦታ ያግኙት፣ የግድ ከመፍትሄዎች ጋር, ዝርዝር ትንታኔእና ይወስኑ ፣ ይወስኑ ፣ ይወስኑ!

ተግባሮቻችንን መጠቀም ይችላሉ (አማራጭ) እና እኛ በእርግጥ እንመክራለን።

ተግባሮቻችንን በተሻለ መንገድ ለመጠቀም፣ አሁን እያነበቡት ያለውን የዩክሌቨር መማሪያ መጽሐፍ እድሜ ለማራዘም መርዳት አለቦት።

እንዴት? ሁለት አማራጮች አሉ፡-

1. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ሁሉንም የተደበቁ ተግባራትን ይክፈቱ -
2. በሁሉም 99 የመማሪያ መጣጥፎች ውስጥ የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻን ይክፈቱ - የመማሪያ መጽሐፍ ይግዙ - 499 RUR

አዎን, በመማሪያ መጽሐፋችን ውስጥ 99 እንደዚህ ያሉ ጽሑፎች አሉን እና ሁሉንም ተግባራት ማግኘት እና ሁሉም የተደበቁ ጽሑፎች ወዲያውኑ ሊከፈቱ ይችላሉ.

የሁሉም የተደበቁ ተግባራት መዳረሻ ለጣቢያው በሙሉ ህይወት ይሰጣል።

በማጠቃለል...

ተግባሮቻችንን ካልወደዱ ሌሎችን ያግኙ። በቲዎሪ ብቻ አታቁሙ።

"ተረድቻለሁ" እና "መፍታት እችላለሁ" ፍጹም የተለያዩ ችሎታዎች ናቸው. ሁለቱንም ያስፈልግዎታል.

ችግሮችን ይፈልጉ እና ይፍቱ!