በተሰጠው ሬሾ ውስጥ አንድ ክፍል ማከፋፈል.
ሁለት የተለያዩ ነጥቦችን M 1 እና M 2 በጠፈር እና በእነዚህ ነጥቦች የተገለፀውን መስመር እንይ። በዚህ ቀጥተኛ መስመር ላይ የተወሰነ አቅጣጫ እንመርጥ. በውጤቱ ዘንግ ላይ፣ ነጥቦች M 1 እና M 2 የሚመራውን ክፍል M 1 M 2 ይገልፃሉ። M ከተጠቆመው ዘንግ ማንኛውም ነጥብ ከM2 የተለየ ይሁን። ቁጥር
l=M 1 ሜ/ወ 2 (*)
ተብሎ ይጠራል ግንኙነት በዚህ ነጥብ M የተመራው ክፍል M 1 M 2 የሚከፋፍል. ስለዚህ ማንኛውም ነጥብ M ከ M 2 የተለየ ክፍል M 1 M 2 በአንዳንድ ሬሾ l ውስጥ ይከፋፈላል, l በእኩልነት (*).
የማዕዘን ቅንጅት ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ።
ሁለት መስመሮች እና, () ይሰጡ. ከዚያም, ከሆነ, ከዚያም በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አንግል ከቀመር ሊገኝ ይችላል
 |
ከሆነ ፣ ከዚያ መስመሮቹ ቀጥ ያሉ ናቸው።
ማረጋገጫ. ከትምህርት ቤት የሂሳብ ኮርስ እንደምታውቁት፣ በቀጥታ መስመር እኩልታ ውስጥ ያለው ቁልቁለት ወደ ዘንግ ካለው ቀጥተኛ መስመር አቅጣጫ ካለው ታንጀንት ጋር እኩል ነው። ከሥዕል 11.10 ግልጽ ነው.
ጀምሮ , ከዚያም እኩልነት ሲይዝ
ቀመሩን የሚሰጠው
ከሆነ 
፣ የት
ስለዚህ, እና 
.
የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ።
በመጀመሪያ የዘፈቀደ ቀጥተኛ መስመር L እና ቋሚ የዘፈቀደ የካርቴዥያን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓት ኦክሲ በአውሮፕላን Π ላይ ከተሰጡ ቀጥተኛ መስመር L በዚህ ስርዓት ውስጥ በአንደኛ ደረጃ እኩልነት ይገለጻል ።
ቀጥተኛ መስመር L በአውሮፕላኑ ላይ ላለው የካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓት ለየትኛውም ምርጫ በአንደኛው ዲግሪ እኩልነት መወሰኑን ማረጋገጥ በቂ ነው ፣ ምክንያቱም ከዚያ ለማንኛውም ምርጫ በመጀመሪያ ዲግሪ ቀመር ይወሰናል። የካርቴዥያን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓት በአውሮፕላኑ ላይ P. የኦክስ ዘንግ ቀጥታ መስመር L ላይ እናመራው, እና የኦይ ዘንግ ወደ እሱ ቀጥ ያለ ነው. ከዚያ የቀጥታ መስመር እኩልታ የመጀመሪያ ዲግሪ y=0 እኩልነት ይሆናል። በእውነቱ ፣ ይህ እኩልታ በመስመር L ላይ በተቀመጡት የየትኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች ይረካል ፣ እና በመስመሩ ላይ የማይተኛ የማንኛውም ነጥብ መጋጠሚያዎች አይረካም።
አሁን የዘፈቀደ የካርቴዥያ ስርዓት ኦክሲ በአውሮፕላን Π ላይ ተስተካክሎ ከሆነ ፣ ከዚያ ማንኛውም የአንደኛ ዲግሪ እኩልታ በሁለት ተለዋዋጮች x እና y ላይ ቀጥተኛ መስመርን ከዚህ ስርዓት ጋር ይገልፃል ።
እንደውም የዘፈቀደ የካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ስርዓት ኦክሲ ተስተካክሎ የመጀመርያው ዲግሪ Ax+By+c=0 እኩልታ ይስጠን፣በዚህም A B C ማንኛውም ቋሚዎች ያሉት ሲሆን ቢያንስ ከቋሚዎቹ A እና B አንዱ ከ0 ይለያል። ምንም እንኳን አንድ መፍትሄ x0 እና y0 ቢኖርም ፣ እኩልታው ግልፅ ነው ፣ ማለትም። መጋጠሚያዎቹ Ax 0 +By 0 +C=0 ን ያረካሉ ቢያንስ አንድ ነጥብ M(x 0፣ y 0) አለ። ነጥቡ M (x 0, y 0) የሚተካበትን ቀመር ከመጀመሪያው ዲግሪ እኩል በመቀነስ, እኩልታውን እናገኛለን: A (x- x 0) + B (y-y 0) = 0 (1), ከመጀመሪያው ዲግሪ እኩልነት ጋር እኩል ነው. እኩልታው ከስርአቱ አንጻር የተወሰነ ቀጥተኛ መስመርን እንደሚገልፅ ማረጋገጥ በቂ ነው. ቀመር (1) በነጥብ M(x 0፣ y 0) እና በቬክተር n=(A፣B) ቀጥ ያለ መስመር የሚያልፈውን ቀጥተኛ መስመር L እንደሚገልፅ እናረጋግጣለን። በእርግጥ፣ ነጥቡ M(x፣y) በተጠቀሰው መስመር L ላይ ከሆነ፣ መጋጠሚያዎቹ እኩልታ (1) ያሟላሉ፣ ምክንያቱም በዚህ ሁኔታ ቬክተሮች n=(A፣B) እና M 0 M=(x-x 0፣ y-y 0) orthogonal ናቸው እና ስኬር ምርታቸው A(x- x 0) + B(y-y 0) ከዜሮ ጋር እኩል ነው። ነጥቡ M(x,y) በተጠቀሰው መስመር ላይ የማይዋሽ ከሆነ, የእሱ መጋጠሚያዎች እኩልታ (1) አያሟሉም, ምክንያቱም በዚህ ሁኔታ ቬክተሮች n=(A,B) እና M 0 M=(x-x 0,) y-y 0) orthogonal አይደሉም እና ስለዚህ የእነሱ scalar ምርት ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም. መግለጫው ተረጋግጧል
Ax+By+C=0 በዘፈቀደ ጥምርታዎች A B እና C ያለው እኩልታ ሀ እና ቢ በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም አጠቃላይ የቀጥተኛ መስመር እኩልታ ይባላል። በአጠቃላይ እኩልታ Ax+By+C=0 የተገለጸው መስመር ለቬክተር n=(A,B) orthogonal መሆኑን አረጋግጠናል። ይህንን የመጨረሻውን ቬክተር መደበኛ መስመር ቬክተር እንለዋለን።
የአንድ ቀጥተኛ መስመር ቀኖናዊ እኩልታ። ከተጠቀሰው መስመር ጋር ትይዩ የሆነ ማንኛውም ዜሮ ያልሆነ ቬክተር የዚህ መስመር አቅጣጫ ቬክተር ይባላል። እራሳችንን ስራውን እናስቀምጥ፡ በአንድ ነጥብ M 1 (x 1,y 1) በኩል የሚያልፈውን ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ለማግኘት እና የተሰጠ አቅጣጫ ቬክተር q = (l, m). በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው፣ ነጥቡ M(x፣y) በተጠቀሰው መስመር ላይ የሚተኛ ከሆነ እና ቬክተሮች M 1 M=(x-x 1፣ y-y 1) እና q=(m,l) ኮላይነር ከሆኑ ብቻ ከሆነ እና የ እነዚህ ቬክተሮች ተመጣጣኝ ናቸው, ማለትም.
አሁን የአውሮፕላኑን ሙሉ እኩልነት እናስብ እና ወደሚከተለው ቅፅ መቀነስ እንደሚቻል እናሳይ. , የአውሮፕላኑን እኩልነት "በክፍሎች" ይባላል. የቁጥር አሃዞች A B C ዜሮ ስለሆኑ፣ እኩልታውን ከዚህ አንፃር እንደገና መፃፍ እንችላለን 
እና ከዚያ A=-C/A b=-C/Bን አስቀምጡ። በክፍል ውስጥ በአውሮፕላኑ እኩልነት ውስጥ ፣ ሀ ፣ ለ ቁጥሮች ቀላል የጂኦሜትሪክ ትርጉም አላቸው ፣ እነሱም አውሮፕላኑ በኦክስ ፣ ኦይ መጥረቢያ ላይ ካቋረጣቸው ክፍሎች እሴቶች ጋር እኩል ናቸው (ክፍሎቹ የሚለካው ከ የመጋጠሚያዎች አመጣጥ)። ይህንን ለማረጋገጥ በመስመሩ እኩልታ የተገለጹትን የመስመሩ መገናኛ ነጥቦችን ከአስማሚ መጥረቢያዎች ጋር በክፍሎች ማግኘት በቂ ነው። ለምሳሌ, ከኦክስ ዘንግ ጋር ያለው መገናኛ ነጥብ የሚወሰነው ከኦክስ ዘንግ እኩል y = 0 ጋር በክፍሎች ውስጥ ያለውን ቀጥተኛ መስመር እኩልነት በጋራ ግምት ውስጥ በማስገባት ነው. የመገናኛ ነጥብ x=a y=0 መጋጠሚያዎችን እናገኛለን። በተመሳሳይም ከኦይ ዘንግ ጋር ያለው የቀጥታ መስመር መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች x=0 እና y=b ቅርፅ እንዳላቸው ተረጋግጧል።
በሁለት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ
M 1 (x 1፣ y 1) እና M 2 (x 2፣ y 2)
በሁለት ያልተገጣጠሙ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ መስመር እኩልታ እና
ወይም በአጠቃላይ
68. የመስመሮች ትይዩ እና ቀጥተኛነት ሁኔታዎች. ከነጥብ ወደ መስመር ርቀት
በእኩልታ የተሰጡ ሁለት መስመሮች
እነዚህ መስመሮች ከሆነ ትይዩ ናቸው ሀ 1 ለ 2 − ሀ 2 ለ 1 = 0 ወይም ክ 1 = ክ 2, እና
perpendicular ከሆነ ሀ 1 ሀ 2 + ለ 1 ለ 2 = 0 ወይም
የነጥብ ርቀት ሀ(x 1 , y 1) ወደ ቀጥታ መስመር አክስ + በ + ሲ= 0 ከዚህ ነጥብ ወደ ቀጥታ መስመር የተወረወረው የፔንዲኩላር ርዝመት ነው። በቀመርው ይወሰናል
69. የካርቴሲያን መጋጠሚያ ስርዓት. ንጣፎችን ለመወሰን ዘዴዎች. በጠፈር ውስጥ የአንድ ወለል አጠቃላይ እኩልታ።
የካርቴሲያን አስተባባሪ ስርዓት፣ በአውሮፕላኑ ላይ ወይም በጠፈር ላይ (ብዙውን ጊዜ እርስ በርስ የሚደጋገፉ ዘንጎች እና እኩል ሚዛን ያላቸው በመጥረቢያዎች) ላይ የተስተካከለ የማስተባበሪያ ስርዓት። በ R. Descartes (እ.ኤ.አ.) ሴሜ. DESCARTES ረኔ)።
ዴካርት የማስተባበር ሥርዓትን በማስተዋወቅ የመጀመሪያው ነበር፣ ይህም በአጠቃላይ ተቀባይነት ካለው ዛሬ በጣም የተለየ ነው። የካርቴዥያን አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓትን ለመወሰን, እርስ በርስ የሚደጋገፉ ቀጥ ያሉ መስመሮች, መጥረቢያዎች ይባላሉ. የአክሲያል መገናኛ ነጥብ ኦመነሻው ይባላል። በእያንዳንዱ ዘንግ ላይ, አወንታዊ አቅጣጫ ይገለጻል እና የመጠን መለኪያ ይመረጣል. የነጥብ መጋጠሚያዎች ፒየነጥቡ ትንበያ በየትኛው ከፊል ዘንግ ላይ እንደሚወድቅ ላይ በመመስረት አወንታዊ ወይም አሉታዊ ተደርገው ይወሰዳሉ ፒ.
ከመስመር ፍሬም ጋር ወለልን የመለየት ዘዴ የሽቦ ፍሬም ይባላል።
አንድን ወለል የመለየት የትንታኔ ዘዴ በተግባር በስፋት ጥቅም ላይ ይውላል, በተለይም የንጣፉን ውስጣዊ ባህሪያት ለማጥናት አስፈላጊ ከሆነ. የቴክኒካል ቅርጾችን ወለል ሲነድፉ እና በኮምፒዩተር ቁጥጥር ስር በሚውሉ ማሽኖች ላይ መባዛታቸው ፣ ንጣፎችን ለመለየት ስዕላዊ እና ትንተናዊ ዘዴዎች አንድ ላይ ጥቅም ላይ ይውላሉ።
ወለሎች እንደ ነጥቦች እና መስመሮች ስብስብ ይቆጠራሉ. የዚህ ስብስብ ነጥቦች መጋጠሚያዎች የተወሰነ የF(x፣ y፣ z) = 0 እኩልታ ያረካሉ።
የሥርዓት አልጀብራዊ ገጽ n (n) የሥርዓተ-ምህዳሩ ሒሳብ የዲግሪ n አልጀብራ እኩልታ ነው።
ንጣፎችን ለመወሰን ስዕላዊ ዘዴ.
የትንታኔ ተግባር ዘዴዎች
1. - የቬክተር-ፓራሜትሪክ እኩልታ.
2. 
- ፓራሜትሪክ እኩልታዎች.
3. - ግልጽ እኩልታ.
4. 
- ስውር እኩልታ.
ማንኛውም የ x፣ y፣ z መጋጠሚያዎች ላይ ላዩን የሚመለከት እኩልታ ነው። አንድ አውሮፕላን በየትኛውም የሶስት ነጥብ ህዋ ላይ ለመሳል፣ እነዚህ ነጥቦች በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ እንዳይቀመጡ ያስፈልጋል።
በአጠቃላይ የካርቴሲያን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) ነጥቦቹን አስቡባቸው. የዘፈቀደ ነጥብ M (x ፣ y ፣ z) በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ከ M 1 ፣ M 2 ፣ M 3 ጋር ለመዋሸት ቬክተሮች አስፈላጊ ናቸው ። 
ኮፕላላር ነበሩ። ( ) = 0 ስለዚህም 
በሦስት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ፡- 
70. በጠፈር ውስጥ የአውሮፕላን አጠቃላይ እኩልታ. በክፍሎች ውስጥ የአውሮፕላን እኩልነት
ጠፍጣፋየነጥብ ክብደቶች አጠቃላይ ስሌትን የሚያረካ ወለል ነው፡-
አክስ + በ + Cz + D = 0፣
A, B, C የቬክተር መጋጠሚያዎች ባሉበት 
- ቬክተር የተለመዱወደ አውሮፕላኑ.
የሚከተሉት ልዩ ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ:
A = 0 - አውሮፕላኑ ከኦክስ ዘንግ ጋር ትይዩ ነው
B = 0 - አውሮፕላን ከኦይ ዘንግ ጋር ትይዩ
C = 0 - አውሮፕላን ከኦዝ ዘንግ ጋር ትይዩ
D = 0 - አውሮፕላኑ በመነሻው ውስጥ ያልፋል
A = B = 0 - አውሮፕላኑ ከ xOy አውሮፕላን ጋር ትይዩ ነው
A = C = 0 - አውሮፕላኑ ከ xOz አውሮፕላን ጋር ትይዩ ነው
B = C = 0 - አውሮፕላኑ ከ yOz አውሮፕላን ጋር ትይዩ ነው
A = D = 0 - አውሮፕላኑ በኦክስ ዘንግ ውስጥ ያልፋል
B = D = 0 - አውሮፕላኑ በኦይ ዘንግ ውስጥ ያልፋል
ይህ መጣጥፍ በአውሮፕላን ላይ በሚገኝ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ አመጣጥ ያሳያል። በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ በሁለት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ እናውጣ። ከተሸፈነው ቁሳቁስ ጋር የተያያዙ በርካታ ምሳሌዎችን በግልፅ እናሳያለን እና እንፈታለን።
Yandex.RTB R-A-339285-1
በሁለት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን መስመር እኩልታ ከማግኘትዎ በፊት, ለአንዳንድ እውነታዎች ትኩረት መስጠት ያስፈልጋል. በአውሮፕላኑ ላይ ባሉ ሁለት የተለያዩ ነጥቦች ቀጥተኛ መስመር መሳል እንደሚቻል የሚገልጽ አክሲየም አለ። በሌላ አነጋገር በአውሮፕላን ላይ ሁለት የተሰጡ ነጥቦች የሚገለጹት በእነዚህ ነጥቦች ውስጥ በሚያልፈው ቀጥተኛ መስመር ነው።
አውሮፕላኑ በአራት ማዕዘኑ አስተባባሪ ሲስተም ኦክሲ ከተገለጸ፣ በውስጡ የሚታየው ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በአውሮፕላኑ ላይ ካለው ቀጥተኛ መስመር እኩልነት ጋር ይዛመዳል። ከቀጥታ መስመር ዳይሬክተሩ ቬክተር ጋር ግንኙነትም አለ ይህ መረጃ በሁለት የተሰጡ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የቀጥታ መስመር እኩልታ ለማጠናቀር በቂ ነው።
ተመሳሳይ ችግር ለመፍታት አንድ ምሳሌ እንመልከት. በካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ የሚገኙትን M 1 (x 1, y 1) እና M 2 (x 2, y 2) በሁለት የተለያዩ ነጥቦች ውስጥ ማለፍ ለቀጥታ መስመር እኩልታ መፍጠር አስፈላጊ ነው.
በአውሮፕላኑ ላይ ባለው መስመር ቀኖናዊ ቀመር ውስጥ፣ x - x 1 a x = y - y 1 a y ቅጽ ያለው፣ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ሥርዓት O x y የሚገለጸው ከመስመር ጋር በአንድ ነጥብ ላይ መጋጠሚያዎች M 1 (x) ጋር የሚቆራረጥ ነው። 1, y 1) ከመመሪያ ቬክተር ጋር a → = (a x, a y) .
ቀጥ ያለ መስመር ያለው ቀኖናዊ እኩልታ መፍጠር አስፈላጊ ነው ሀ, ይህም በሁለት ነጥቦች በኩል በመጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1) እና M 2 (x 2, y 2) በኩል ያልፋል.
ቀጥታ a አቅጣጫ ቬክተር M 1 M 2 → ከመጋጠሚያዎች ጋር (x 2 - x 1, y 2 - y 1) አለው, ነጥቦቹን M 1 እና M 2 ስለሚያቋርጥ. ቀኖናዊውን እኩልታ ለመለወጥ ከአቅጣጫ ቬክተር M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) እና የነጥቦቹ መጋጠሚያዎች M 1 በላያቸው ላይ ተኝተው እንዲቀይሩ አስፈላጊውን መረጃ አግኝተናል. (x 1፣ y 1) እና M 2 (x 2፣ y 2)። የቅጹን እኩልታ እናገኛለን x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 or x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1።
ከታች ያለውን ምስል አስቡበት።
ስሌቶቹን ተከትለን፣ በአንድ አውሮፕላን ላይ ባለ ሁለት ነጥቦችን ከመጋጠሚያዎች M 1 (x 1፣ y 1) እና M 2 (x 2፣ y 2) ጋር በሚያልፈው መስመር ላይ ያለውን የመለኪያ እኩልታዎች እንጽፋለን። የቅጹን እኩልታ እናገኛለን x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ወይም x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ.
በርካታ ምሳሌዎችን ለመፍታት ጠለቅ ብለን እንመርምር።
ምሳሌ 1
በተሰጡ 2 ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን የቀጥታ መስመር እኩልታ ከአስተባባሪዎች M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 ጋር ይፃፉ.
መፍትሄ
በቀኖናዊው ቀመር በሁለት ነጥቦች ላይ የሚቆራረጥ መስመር ከመጋጠሚያዎች x 1 ፣ y 1 እና x 2 ፣ y 2 x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 መልክ ይይዛል። በችግሩ ሁኔታዎች መሰረት፡- x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 አለን። የቁጥር እሴቶቹን ወደ ቀመር x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 መተካት አስፈላጊ ነው. ከዚህ የምንረዳው ቀኖናዊው እኩልታ x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 ቅጽ ይይዛል።
መልስ፡- x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6።
ችግርን በተለየ የሂሳብ አይነት መፍታት ከፈለጉ በመጀመሪያ ወደ ቀኖናዊው መሄድ ይችላሉ, ምክንያቱም ከእሱ ወደ ሌላ ለመምጣት ቀላል ስለሆነ.
ምሳሌ 2
በ O x y መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ M 1 (1, 1) እና M 2 (4, 2) በነጥቦች ውስጥ የሚያልፈውን ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ያዘጋጁ።
መፍትሄ
በመጀመሪያ ፣ በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የአንድ የተወሰነ መስመር ቀኖናዊ እኩልታ መፃፍ ያስፈልግዎታል። የቅጹን እኩልታ እናገኛለን x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
ቀኖናዊውን እኩልታ ወደሚፈለገው ቅጽ እናምጣ፣ ከዚያ የሚከተለውን እናገኛለን፡-
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
መልስ፡- x - 3 y + 2 = 0 .
የእንደዚህ አይነት ስራዎች ምሳሌዎች በአልጀብራ ትምህርቶች ወቅት በት / ቤት የመማሪያ መጽሃፍቶች ላይ ተብራርተዋል. የት/ቤት ችግሮች የሚለያዩት የቀጥታ መስመር ከማዕዘን ጋር ያለው እኩልታ ስለሚታወቅ y = k x + b። ቁልቁል k እና ቁልቁል ዋጋ ለማግኘት ከፈለጉ y = k x + b እኩልታ y = k x + b ነጥቦቹን M 1 (x 1, y 1) እና M 2 በኩል የሚያልፈውን O x y ሥርዓት ውስጥ መስመር ይገልጻል ( x 2፣ y 2)፣ የት x 1 ≠ x 2። መቼ x 1 = x 2 , ከዚያም የ angular coefficient የኢንፊኔቲዝም ዋጋን ይወስዳል, እና ቀጥታ መስመር M 1 M 2 በአጠቃላይ ያልተሟላ የቅጹ እኩልታ ይገለጻል x - x 1 = 0 .
ምክንያቱም ነጥቦች ኤም 1እና ኤም 2ቀጥ ያለ መስመር ላይ ናቸው፣ ከዚያ መጋጠሚያዎቻቸው y 1 = k x 1 + b እና y 2 = k x 2 + b የሚለውን ያሟላሉ። የእኩልታዎች ስርዓትን መፍታት አስፈላጊ ነው y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b ለ k እና b.
ይህንን ለማድረግ k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ወይም k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = እናገኛለን። y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
በእነዚህ የ k እና b እሴቶች ፣ በተሰጡት ሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈው መስመር እኩልታ y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x ይሆናል ። 1 ወይም y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2።
እንዲህ ዓይነቱን እጅግ በጣም ብዙ ቀመሮችን በአንድ ጊዜ ለማስታወስ የማይቻል ነው. ይህንን ለማድረግ ችግሮችን በመፍታት ድግግሞሾችን ቁጥር መጨመር አስፈላጊ ነው.
ምሳሌ 3
የቀጥታ መስመርን እኩልታ ከማዕዘን ጋር በማያያዝ ነጥቦችን በማለፍ መ 2 (2፣ 1) እና y = k x + b ይፃፉ።
መፍትሄ
ችግሩን ለመፍታት, ከቅጽ y = k x + b የማዕዘን መጠን ጋር ቀመር እንጠቀማለን. የ k እና b መጋጠሚያዎች እንደዚህ ያለ ዋጋ መውሰድ አለባቸው ይህ እኩልታ በሁለት ነጥቦች ውስጥ ከሚያልፈው ቀጥተኛ መስመር ጋር ይዛመዳል M 1 (- 7, - 5) እና M 2 (2, 1).
ነጥቦች ኤም 1እና ኤም 2ቀጥ ያለ መስመር ላይ ይገኛሉ፣ ከዚያ መጋጠሚያዎቻቸው y = k x + bን ትክክለኛ እኩልነት ማድረግ አለባቸው። ከዚህ እናገኛለን - 5 = k · (- 7) + b እና 1 = k · 2 + b. እኩልታውን ወደ ስርዓቱ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b እና መፍታት.
ከተተካ በኋላ ያንን እናገኛለን
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
አሁን እሴቶቹ k = 2 3 እና b = - 1 3 ወደ ቀመር y = k x + b ተተክተዋል። በተሰጡት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ አስፈላጊው እኩልታ የቅጹ y = 2 3 x - 1 3 እኩልነት ሆኖ አግኝተነዋል።
ይህ የመፍትሄ ዘዴ ብዙ ጊዜ ብክነትን አስቀድሞ ይወስናል. ሥራው በጥሬው በሁለት ደረጃዎች የሚፈታበት መንገድ አለ.
በ M 2 (2, 1) እና M 1 (- 7, - 5) በኩል የሚያልፈውን የመስመሩን ቀኖናዊ እኩልነት እንፃፍ x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6
አሁን ወደ ተዳፋት እኩልታ እንሂድ። ያንን እናገኛለን፡ x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3።
መልስ፡ y = 2 3 x - 1 3
ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው የማስተባበሪያ ስርዓት O x y z ሁለት የማይገጣጠሙ ነጥቦችን ከመጋጠሚያዎች M 1 (x 1, y 1, z 1) እና M 2 (x 2, y 2, z 2) ጋር ከሆነ, ቀጥተኛ መስመር M በእነሱ በኩል 1 M 2 ማለፍ, የዚህን መስመር እኩልነት ማግኘት አስፈላጊ ነው.
ያ ቀኖናዊ እኩልታዎች አለን። 1 + a z · λ መጋጠሚያዎች (x 1፣ y 1፣ z 1) ከአቅጣጫ ቬክተር ሀ → = (a x፣ a y፣ a z) ባላቸው ነጥቦች በማለፍ በማስተባበር ሲስተም ውስጥ መስመርን መግለፅ ይችላሉ።
ቀጥ M 1 M 2 የቅጹ አቅጣጫ ቬክተር አለው M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), ቀጥታ መስመር በነጥብ M 1 (x 1, y 1) ውስጥ የሚያልፍበት, z 1) እና M 2 (x 2፣ y 2፣ z 2)፣ ስለዚህም ቀኖናዊው እኩልታ በ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 ሊሆን ይችላል። z 2 - z 1 ወይም x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1 ፣ በተራው ፓራሜትሪክ x = x 1 + (x 2 - x 1) ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ወይም x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2) - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ.
በቦታ ውስጥ 2 የተሰጡ ነጥቦችን እና የቀጥታ መስመርን እኩልነት የሚያሳይ ስዕል አስቡበት።
ምሳሌ 4
በአራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓት O x y z የሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ላይ የተገለጸውን የመስመር እኩልታ ይፃፉ ፣ የተሰጡትን ሁለት ነጥቦች ከመጋጠሚያዎች M 1 (2 ፣ - 3 ፣ 0) እና M 2 (1 ፣ - 3 ፣ - 5) በማለፍ።
መፍትሄ
ቀኖናዊውን እኩልታ ማግኘት ያስፈልጋል. እየተነጋገርን ያለነው ስለ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ቦታ ነው, ይህ ማለት አንድ መስመር በተሰጡት ነጥቦች ውስጥ ሲያልፍ, የሚፈለገው ቀኖናዊ እኩልታ x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z ይሆናል. - z 1 z 2 - z 1 .
በሁኔታው x 1 = 2 ፣ y 1 = - 3 ፣ z 1 = 0 ፣ x 2 = 1 ፣ y 2 = - 3 ፣ z 2 = - 5 አለን። አስፈላጊዎቹ እኩልታዎች እንደሚከተለው ይጻፋሉ፡-
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
መልስ፡- x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5።
በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን
በ Euclidean ጂኦሜትሪ ውስጥ የቀጥታ መስመር ባህሪያት.
ማለቂያ የሌለው ቁጥር ያላቸው ቀጥተኛ መስመሮች በማንኛውም ነጥብ ሊሳሉ ይችላሉ.
በማናቸውም ሁለት የማይጣጣሙ ነጥቦች አንድ ነጠላ ቀጥተኛ መስመር መሳል ይቻላል.
በአውሮፕላኑ ውስጥ ያሉ ሁለት የተለያዩ መስመሮች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ ወይም ናቸው።
ትይዩ (ከቀዳሚው ይከተላል).
በሶስት-ልኬት ቦታ ፣ ለሁለት መስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ ሶስት አማራጮች አሉ-
- መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ;
- መስመሮች ትይዩ ናቸው;
- ቀጥታ መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ.
ቀጥታ መስመር- የመጀመሪያው ቅደም ተከተል አልጀብራ ከርቭ: በካርቴዥያ መጋጠሚያ ስርዓት ውስጥ ቀጥተኛ መስመር
በአውሮፕላኑ ላይ በአንደኛው ዲግሪ (መስመራዊ እኩልታ) እኩልነት ይሰጣል.
የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ።
ፍቺ. በአውሮፕላኑ ላይ ያለ ማንኛውም ቀጥተኛ መስመር በአንደኛ ደረጃ ቀመር ሊገለጽ ይችላል
አክስ + ዉ + ሲ = 0፣
እና ቋሚ ኤ፣ ቢበተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደሉም. ይህ የመጀመሪያ ትዕዛዝ እኩልታ ይባላል አጠቃላይ
የአንድ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.በቋሚዎቹ ዋጋዎች ላይ በመመስረት ኤ፣ ቢእና ጋርየሚከተሉት ልዩ ጉዳዮች ሊኖሩ ይችላሉ:
. C = 0, A ≠0, B ≠ 0- ቀጥተኛ መስመር በመነሻው በኩል ያልፋል
. A = 0፣ B ≠0፣ C ≠0 (በ+ C = 0)- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ኦ
. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (አክስ + ሲ = 0)- ቀጥ ያለ መስመር ከአክሱ ጋር ትይዩ ኦ.ዩ
. B = C = 0, A ≠0- ቀጥተኛው መስመር ከዘንጉ ጋር ይጣጣማል ኦ.ዩ
. A = C = 0, B ≠0- ቀጥተኛው መስመር ከዘንጉ ጋር ይጣጣማል ኦ
የቀጥታ መስመር እኩልነት እንደማንኛውም አይነት በተለያየ መልኩ ሊቀርብ ይችላል
የመጀመሪያ ሁኔታዎች.
ከነጥብ እና ከመደበኛ ቬክተር ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
ፍቺ. በካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው መጋጠሚያ ሥርዓት ውስጥ፣ ክፍሎች ያሉት ቬክተር (A፣ B)
በቀመር ከተሰጠው መስመር ጋር ቀጥ ያለ
አክስ + ዉ + ሲ = 0
ለምሳሌ. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፈውን መስመር እኩልታ ያግኙ አ(1፣2)ወደ ቬክተር ቀጥ ያለ (3, -1).
መፍትሄ. ከ A = 3 እና B = -1 ጋር, የቀጥታ መስመርን እኩልታ እናዘጋጅ: 3x - y + C = 0. Coefficient C ለማግኘት.
የተሰጠውን ነጥብ A መጋጠሚያዎች በውጤቱ አገላለጽ እንተካው፡- 3 - 2 + C = 0፣ ስለዚህ እናገኛለን
ሐ = -1. ጠቅላላ: የሚፈለገው እኩልታ: 3x - y - 1 = 0.
በሁለት ነጥቦች ውስጥ የሚያልፍ የመስመር እኩልታ።
ሁለት ነጥቦች በጠፈር ውስጥ ይሰጡ M 1 (x 1 ፣ y 1 ፣ z 1)እና M2 (x 2፣ y 2፣ z 2)፣ከዚያም የአንድ መስመር እኩልታ,
እነዚህን ነጥቦች በማለፍ፡-
የትኛውም ተከፋይ ዜሮ ከሆነ፣ተዛማጁ አሃዛዊው ከዜሮ ጋር እኩል መዋቀር አለበት። በርቷል
አውሮፕላን ፣ ከላይ የተጻፈው የቀጥታ መስመር እኩልታ ቀላል ነው-
ከሆነ x 1 ≠ x 2እና x = x 1፣ ከሆነ x 1 = x 2 .
ክፍልፋይ = ክተብሎ ይጠራል ተዳፋት ቀጥታ.
ለምሳሌ. በነጥቦች A(1፣ 2) እና B(3፣ 4) የሚያልፍ የመስመሩን እኩልታ ያግኙ።
መፍትሄ. ከላይ የተፃፈውን ቀመር በመተግበር እናገኛለን፡-
ነጥብ እና ተዳፋት በመጠቀም የቀጥታ መስመር እኩልታ።
የመስመሩ አጠቃላይ እኩልነት ከሆነ አክስ + ዉ + ሲ = 0ይመራል፡
እና ይሰይሙ 
, ከዚያም የተገኘው እኩልታ ይባላል
ከዳገት ጋር ያለው ቀጥተኛ መስመር እኩልታ k.
ከነጥብ እና ከአቅጣጫ ቬክተር የቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
በተለመደው ቬክተር በኩል የቀጥታ መስመርን እኩልነት ግምት ውስጥ በማስገባት ከነጥቡ ጋር በማመሳሰል ወደ ሥራው መግባት ይችላሉ
ቀጥ ያለ መስመር በነጥብ እና በቀጥታ መስመር አቅጣጫ የሚመራ ቬክተር።
ፍቺ. እያንዳንዱ ዜሮ ያልሆነ ቬክተር (α 1፣ α 2), የማን ክፍሎች ሁኔታውን ያረካሉ
አአ 1 + ቢኤ 2 = 0ተብሎ ይጠራል የቀጥታ መስመር ቬክተር መምራት.
አክስ + ዉ + ሲ = 0
ለምሳሌ. የቀጥታ መስመርን እኩልታ ከአቅጣጫ ቬክተር (1, -1) ጋር ይፈልጉ እና በነጥብ A (1, 2) ውስጥ ማለፍ.
መፍትሄ. የሚፈለገውን መስመር እኩልነት በቅጹ ውስጥ እንፈልጋለን- አክስ + በ + ሲ = 0እንደ ትርጉሙ.
ቅንጅቶች የሚከተሉትን ሁኔታዎች ማሟላት አለባቸው:
1 * A + (-1) * B = 0, ማለትም. ሀ = ለ
ከዚያ የቀጥታ መስመር እኩልታ ቅጹ አለው: አክስ + አይ + ሲ = 0፣ወይም x + y + C / A = 0.
በ x = 1፣ y = 2እናገኛለን ሐ/አ = -3፣ ማለትም እ.ኤ.አ. የሚፈለገው እኩልታ፡-
x + y - 3 = 0
በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
በአጠቃላይ ቀጥተኛ መስመር Ах + Ву + С = 0 С≠0 ከሆነ ፣ በ -С መከፋፈል ፣ እኛ እናገኛለን-
ወይም የት
የቅንጅቶች ጂኦሜትሪክ ትርጉሙ ውህደቱ a የመገናኛ ነጥብ መጋጠሚያ ነው
ቀጥ ያለ ዘንግ ያለው ወይሀ ለ- ከመስመሩ ጋር የመስመሩን መገናኛ ነጥብ ማስተባበር ኦ.ዩ.
ለምሳሌ. የአንድ ቀጥተኛ መስመር አጠቃላይ እኩልታ ተሰጥቷል x - y + 1 = 0የዚህን መስመር እኩልታ በክፍሎች ውስጥ ይፈልጉ።
C = 1,, a = -1, b = 1.
የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ።
የእኩልታ ሁለቱም ጎኖች ከሆነ አክስ + ዉ + ሲ = 0በቁጥር መከፋፈል 
ተብሎ የሚጠራው
መደበኛ ሁኔታ, ከዚያም እናገኛለን
xcosφ + ysinφ - p = 0 -የአንድ መስመር መደበኛ እኩልታ.
የመደበኛነት ሁኔታ ምልክት ± መመረጥ አለበት μ*ሲ< 0.
አር- የቋሚው ርዝመት ከመነሻው ወደ ቀጥታ መስመር ወድቋል ፣
ሀ φ - በዚህ ቀጥ ያለ ቅርጽ ያለው አንግል ከአክሱ አወንታዊ አቅጣጫ ጋር ኦ.
ለምሳሌ. የመስመሩ አጠቃላይ እኩልታ ተሰጥቷል 12x - 5y - 65 = 0. የተለያዩ አይነት እኩልታዎችን ለመፃፍ ያስፈልጋል
ይህ ቀጥተኛ መስመር.
የዚህ መስመር እኩልታ በክፍሎች:
የዚህ መስመር እኩልታ ከዳገቱ ጋር: (በ5 ተከፋፍሏል)
የአንድ መስመር እኩልታ:
cos φ = 12/13; ኃጢአት φ= -5/13; p = 5
እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር በክፍሎች ውስጥ በቀመር ሊወከል እንደማይችል ልብ ሊባል ይገባል ፣ ለምሳሌ ፣ ቀጥ ያሉ መስመሮች ፣
ከመጥረቢያዎች ጋር ትይዩ ወይም በመነሻው ውስጥ ማለፍ.
በአውሮፕላን ላይ ባሉ ቀጥታ መስመሮች መካከል ያለው አንግል.
ፍቺ. ሁለት መስመሮች ከተሰጡ y = k 1 x + b 1፣ y = k 2 x + b 2, ከዚያም በእነዚህ መስመሮች መካከል ያለው አጣዳፊ ማዕዘን
ተብሎ ይገለጻል።
ከሆነ ሁለት መስመሮች ትይዩ ናቸው k 1 = k 2. ሁለት መስመሮች ቀጥ ያሉ ናቸው
ከሆነ k 1 = -1/ k 2 .
ቲዎረም.
ቀጥታ አክስ + ዉ + ሲ = 0እና ሀ 1 x + B 1 y + C 1 = 0መጋጠሚያዎቹ ተመጣጣኝ ሲሆኑ ትይዩ
A 1 = λA, B 1 = λB. ከሆነ ደግሞ С 1 = λС, ከዚያም መስመሮቹ ይጣጣማሉ. የሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎች
የእነዚህ መስመሮች እኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ይገኛሉ.
በአንድ ነጥብ በኩል የሚያልፍ የመስመር እኩልታ ከተወሰነ መስመር ጋር ቀጥ ያለ።
ፍቺ. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፍ መስመር M 1 (x 1፣ y 1)እና ቀጥታ ወደ መስመር y = kx + b
በቀመር የተወከለው፡-
ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለው ርቀት።
ቲዎረም. ነጥብ ከተሰጠ M(x 0፣ y 0)፣ከዚያም ወደ ቀጥታ መስመር ያለው ርቀት አክስ + ዉ + ሲ = 0እንደ፡-
ማረጋገጫ. ነጥቡ ይሁን M 1 (x 1፣ y 1)- የቋሚው መሠረት ከአንድ ነጥብ ወድቋል ኤምለተሰጠው
ቀጥተኛ. ከዚያም በነጥቦች መካከል ያለው ርቀት ኤምእና ኤም 1:
(1)
መጋጠሚያዎች x 1እና በ 1ለእኩልታዎች ስርዓት እንደ መፍትሄ ሊገኝ ይችላል-
የስርዓቱ ሁለተኛው እኩልታ በተሰጠው ነጥብ M 0 ውስጥ የሚያልፍ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ ነው.
ቀጥተኛ መስመር ተሰጥቷል. የስርዓቱን የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ቅጹ ከቀየርነው፡-
A(x - x 0) + B(y - y 0) + መጥረቢያ 0 + በ0 + ሲ = 0፣
ከዚያም በመፍታት, እኛ እናገኛለን:
እነዚህን አባባሎች በቀመር (1) በመተካት የሚከተሉትን እናገኛለን፡-
ጽንሰ-ሐሳቡ ተረጋግጧል.