የመስመር ላይ ካልኩሌተር.
የሁለትዮሽ ካሬን መለየት እና የካሬ ትሪኖሚል ፋይበር ማድረግ።

ይህ የሂሳብ ፕሮግራም የካሬውን ሁለትዮሽ ከካሬ ሶስትዮሽ ይለያል፣ ማለትም እ.ኤ.አ. ለውጥ ያደርጋል፡-
\(ax^2+bx+c \የቀኝ ቀስት a(x+p)^2+q \) እና ፋብሪካዎች ኳድራቲክ ሶስትዮሽ : \(ax^2+bx+c \የቀኝ ቀስት a(x+n)(x+m) \)

እነዚያ። ችግሮቹ \(p, q\) እና \(n, m\) ቁጥሮችን ለማግኘት ይቃጠላሉ.

ፕሮግራሙ ለችግሩ መልስ ብቻ ሳይሆን የመፍትሄውን ሂደት ያሳያል.

ይህ ፕሮግራም ለሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች ጠቃሚ ሊሆን ይችላል ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤቶችበዝግጅት ላይ ለ ፈተናዎችእና ፈተናዎች፣ ከተዋሃደ የስቴት ፈተና በፊት እውቀትን ሲፈትኑ፣ ለወላጆች በሂሳብ እና በአልጀብራ ውስጥ ያሉ ብዙ ችግሮችን መፍትሄ እንዲቆጣጠሩ። ወይም ሞግዚት መቅጠር ወይም አዲስ የመማሪያ መጽሐፍ መግዛት ለእርስዎ በጣም ውድ ሊሆን ይችላል? ወይም በተቻለ ፍጥነት እንዲሠራው ይፈልጋሉ? የቤት ስራበሂሳብ ወይስ በአልጀብራ? በዚህ አጋጣሚ ፕሮግራሞቻችንን ከዝርዝር መፍትሄዎች ጋር መጠቀም ይችላሉ.

በዚህ መንገድ የራስዎን ስልጠና እና/ወይም ስልጠና ማካሄድ ይችላሉ። ታናናሽ ወንድሞችወይም እህቶች, በችግሮች መስክ የትምህርት ደረጃ እየጨመረ ሲሄድ.

ወደ ኳድራቲክ ትሪኖሚል ለመግባት ደንቦችን ካላወቁ እራስዎን በደንብ እንዲያውቁዋቸው እንመክራለን.

ወደ ኳድራቲክ ፖሊኖሚል ለመግባት ህጎች

ማንኛውም የላቲን ፊደል እንደ ተለዋዋጭ ሊሠራ ይችላል.
ለምሳሌ፡- \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ወዘተ.

ቁጥሮች እንደ ሙሉ ወይም ክፍልፋይ ቁጥሮች ሊገቡ ይችላሉ።
ከዚህም በላይ እ.ኤ.አ. ክፍልፋይ ቁጥሮችእንደ አስርዮሽ ብቻ ሳይሆን እንደ ተራ ክፍልፋይም ሊገባ ይችላል።

የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን ለማስገባት ህጎች።
በአስርዮሽ ክፍልፋይከጠቅላላው በወር ወይም በነጠላ ሰረዝ ሊለያይ ይችላል።
ለምሳሌ, ማስገባት ይችላሉ አስርዮሽእንደዚህ: 2.5x - 3.5x^2

ተራ ክፍልፋዮችን ለማስገባት ደንቦች.
ሙሉ ቁጥር ብቻ የአንድ ክፍልፋይ አሃዛዊ፣ አካፋይ እና ኢንቲጀር ክፍል ሆኖ መስራት ይችላል።

መለያው አሉታዊ ሊሆን አይችልም።

ሲገቡ የቁጥር ክፍልፋይአሃዛዊው ከተከፋፈለው በክፍል ምልክት ተለይቷል፡- /
ጠቅላላው ክፍል በአምፐርሳንድ ምልክት ከክፍልፋዩ ተለይቷል፡- &
ግቤት፡ 3&1/3 - 5&6/5x +1/7x^2
ውጤት፡ \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\)

መግለጫ ሲያስገቡ ቅንፎችን መጠቀም ይችላሉ. በዚህ ሁኔታ, በሚፈታበት ጊዜ, የተዋወቀው አገላለጽ መጀመሪያ ቀለል ይላል.
ለምሳሌ፡- 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2)

ለምሳሌ ዝርዝር መፍትሄ

የሁለትዮሽ ካሬን መለየት.$$ ax^2+bx+c \የቀኝ ቀስት a(x+p)^2+q $$$$2x^2+2x-4 = $$$$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\ ግራ( \frac(1)(2) \ቀኝ)\cdot x+2 \cdot \ግራ(\frac(1)(2) \ቀኝ)^2-\frac(9)(2)=$$$2\ግራ (x^2 + 2 \cdot\ግራ(\frac(1)(2)\ቀኝ)\cdot x + \ግራ(\frac(1)(2)\ቀኝ)^2 \ቀኝ)-\frac(9) (2) = $$ $$2\ግራ(x+\frac(1)(2) \ቀኝ)^2-\frac(9)(2)$$ መልስ፡-$$2x^2+2x-4 = 2\ግራ(x+\frac(1)(2) \ቀኝ)^2-\frac(9)(2)$$ ማምረቻ$$ ax^2+bx+c \የቀኝ ቀስት a(x+n)(x+m) $$$$2x^2+2x-4 =$$
$$ 2\ግራ(x^2+x-2 \ቀኝ) =$$
$$ 2 \ግራ(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \ right) =$$$ 2 \ግራ(x \ግራ(x +2 \ቀኝ)) -1 \ግራ(x +2 \ቀኝ) ) \ቀኝ) = $$ $$ 2 \ግራ(x -1 \ቀኝ) \ግራ(x +2 \ቀኝ) $$ መልስ፡-$$2x^2+2x-4 = 2 \ግራ(x -1 \ቀኝ) \ግራ(x +2 \ቀኝ) $$

ይወስኑ

ይህንን ችግር ለመፍታት አስፈላጊ የሆኑ አንዳንድ ስክሪፕቶች እንዳልተጫኑ ታወቀ፣ እና ፕሮግራሙ ላይሰራ ይችላል።
AdBlock የነቃ ሊሆን ይችላል።
በዚህ አጋጣሚ ያሰናክሉት እና ገጹን ያድሱት።

ጃቫ ስክሪፕት በአሳሽዎ ውስጥ ተሰናክሏል።
መፍትሄው እንዲታይ ጃቫ ስክሪፕትን ማንቃት ያስፈልግዎታል።
በአሳሽዎ ውስጥ ጃቫ ስክሪፕትን እንዴት ማንቃት እንደሚችሉ መመሪያዎች እዚህ አሉ።

ምክንያቱም ችግሩን ለመፍታት ፍቃደኛ የሆኑ ብዙ ሰዎች አሉ፣ ጥያቄዎ ተሰልፏል።
በጥቂት ሰከንዶች ውስጥ መፍትሄው ከታች ይታያል.
ቆይ በናተህ ሰከንድ...

አንተ በመፍትሔው ላይ ስህተት አስተውሏል, ከዚያም ስለዚህ ጉዳይ በግብረመልስ ቅጽ ውስጥ መጻፍ ይችላሉ.
አንዳትረሳው የትኛውን ተግባር ያመልክቱአንተ ምን ትወስናለህ ወደ ሜዳዎች ግባ.

የእኛ ጨዋታዎች፣ እንቆቅልሾች፣ አስመሳይዎች፡-

ትንሽ ንድፈ ሐሳብ.

የሁለትዮሽ ካሬን ከካሬ ሶስትዮሽ መለየት

የካሬው ባለሶስትዮሽ መጥረቢያ 2 + bx+c እንደ a(x+p) 2 +q ከተወከለ፣ p ​​እና q ባሉበት እውነተኛ ቁጥሮች, ከዚያም እንዲህ ይላሉ ስኩዌር ሶስትዮሽ, የሁለትዮሽ ካሬው ጎልቶ ይታያል.

ከሶስትዮሽ 2x 2 +12x+14 የሁለትዮሽ ካሬውን እናወጣለን.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

ይህንን ለማድረግ 6x እንደ 2*3*x ምርት አስቡት እና ከዚያ 3 2 ጨምሩ እና ቀንስ። እናገኛለን፡-
$$ 2(x^2+2 \cdot 3 \cdot x + 3^2-3^2+7) = 2((x+3)^2-3^2+7) = $$$$ = 2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4$$

ያ። እኛ የካሬውን ሁለትዮሽ ከካሬው ሶስትዮሽ ያውጡ, እና ያንን አሳይቷል:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4$$

ባለአራት ትሪኖሚል ምክንያት

የካሬው ባለሶስትዮሽ መጥረቢያ 2 + bx+c በ a(x+n)(x+m) መልክ ከተወከለ፣ n እና m እውነተኛ ቁጥሮች ሲሆኑ፣ ክዋኔው ተከናውኗል ይባላል። የኳድራቲክ ትሪኖሚል ማባዛት.

ይህ ለውጥ እንዴት እንደሚደረግ በምሳሌ እናሳይ።

ባለ አራት ማዕዘኑን 2x 2 +4x-6 እናስብ።

ኮፊፊሴቲቭን ከቅንፍ እናውጣ፣ ማለትም 2፡
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

መግለጫውን በቅንፍ ውስጥ እንለውጠው።
ይህንን ለማድረግ 2x እንደ ልዩነቱ 3x-1x እና -3 እንደ -1*3 አስቡት። እናገኛለን፡-
$$ = 2(x^2+3 \cdot x -1 \cdot x -1 \cdot 3) = 2(x(x+3)-1 \cdot (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

ያ። እኛ ኳድራቲክ ትሪኖሚል ፈጠረ, እና ያንን አሳይቷል:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

ባለ አራት ማዕዘናት ትሪኖሚል ማባዛት የሚቻለው ከዚህ ሶስትዮሽ ጋር የሚዛመደው ኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ካሉት ብቻ መሆኑን ልብ ይበሉ።
እነዚያ። በእኛ ሁኔታ፣ ኳድራቲክ እኩልታ 2x 2 +4x-6 =0 ሥሮች ካሉት ትሪኖሚል 2x 2 +4x-6 ን መመዘን ይቻላል። በማባዛት ሂደት ውስጥ፣ ቀመር 2x 2 + 4x-6 = 0 ሁለት ሥር 1 እና -3 እንዳለው አረጋግጠናል፣ ምክንያቱም ከነዚህ እሴቶች ጋር፣ እኩልታ 2(x-1)(x+3)=0 ወደ እውነተኛ እኩልነት ይቀየራል።

መጽሐፍት (የመማሪያ መጽሐፍት) የተዋሃደ የግዛት ፈተና እና የተዋሃደ የግዛት ፈተና አጭር መግለጫ የመስመር ላይ ጨዋታዎችን ይፈትሻል ፣ እንቆቅልሾች የተግባር ግራፎችን መዝገበ ቃላት የፊደል አጻጻፍ የሩሲያ ቋንቋ የወጣቶች ቃል መዝገበ ቃላት የሩሲያ ትምህርት ቤቶች ካታሎግ የሩሲያ ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ተቋማት ካታሎግ የሩሲያ ዩኒቨርሲቲዎች ዝርዝር ተግባራት

ፍቺ

የቅጹ 2 x 2 + 3 x + 5 መግለጫዎች አራት ማዕዘናት (quadratic trinomials) ይባላሉ። ውስጥ አጠቃላይ ጉዳይስኩዌር ትሪኖሚል የ x 2 + b x + c ቅጽ መግለጫ ሲሆን a, b, c a, b, c - የዘፈቀደ ቁጥሮችእና ≠ 0።

አራት ማዕዘናዊ ትሪኖሚል x 2 - 4 x + 5ን አስቡ። በዚህ ቅጽ እንጽፈው፡ x 2 - 2 · 2 · x + 5። በዚህ አገላለጽ ላይ 2 2 እንጨምር እና 2 2 ን እንቀንስ፣ x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5 እናገኛለን። ልብ ይበሉ x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, ስለዚህ x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1. ያደረግነው ለውጥ ይባላል “ፍጹም ካሬን ከአራት ማዕዘናት ሥላሴ ማግለል”.

አድምቅ ፍጹም ካሬከኳድራቲክ ትሪኖሚል 9 x 2 + 3 x + 1።

9 x 2 = (3 x) 2፣ `3x=2*1/2*3x` መሆኑን አስተውል። ከዚያ `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`። ወደሚገኘው አገላለጽ `(1/2)^2`ን ጨምር እና ቀንስ፣ እናገኘዋለን

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`።

አራት ማዕዘን ቅርጾችን ለመፍጠር ፍጹም ካሬን ከአራት ማዕዘናት የመለየት ዘዴ እንዴት ጥቅም ላይ እንደሚውል እናሳያለን ።

ባለ አራት ማዕዘኑ ትሪኖሚል 4 x 2 - 12 x + 5።

ከአራት ማዕዘኑ ትሪኖሚል ትክክለኛውን ካሬ እንመርጣለን-2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. አሁን ቀመሩን a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) እንተገብራለን, እናገኛለን: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2) x - 1) ።

አራት ማዕዘናዊ ትሪኖሚል ምክንያት - 9 x 2 + 12 x + 5።

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5። አሁን 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2 መሆኑን እናስተውላለን.

2 2 የሚለውን ቃል ወደ 9 x 2 - 12 x አገላለጽ እንጨምራለን፣ እናገኘዋለን፡

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

ለካሬዎች ልዩነት ቀመርን እንተገብራለን ፣ እኛ አለን-

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1)።

ባለ አራት ማዕዘኑ 3 x 2 - 14 x - 5 .

3 x 2 የሚለውን አገላለጽ እንደ የአንዳንዶቹ አገላለጽ አደባባይ መወከል አንችልም ምክንያቱም ይህንን በትምህርት ቤት እስካሁን አላጠናንም። ይህንን በኋላ ላይ ያልፋሉ, እና በተግባር ቁጥር 4 ውስጥ እናጠናለን ካሬ ስሮች. የተሰጠውን ባለ ኳድራቲክ ትሪኖሚል እንዴት መለካት እንደሚችሉ እናሳይ፡-

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3(((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

የኳድራቲክ ትሪኖሚል ትልቁን ወይም ትንሹን ዋጋ ለማግኘት ትክክለኛውን የካሬ ዘዴ እንዴት መጠቀም እንደሚችሉ እናሳይዎታለን።
አራት ማዕዘናዊ ትሪኖሚል x 2 - x + 3ን አስቡ። የተሟላ ካሬ ይምረጡ፡-

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`። ያስታውሱ `x=1/2` የኳድራቲክ ሶስትዮሽ እሴት `11/4` ሲሆን `x!=1/2` ደግሞ የ`11/4` እሴት ሲጨመር አዎንታዊ ቁጥርስለዚህ ከ`11/4` በላይ የሆነ ቁጥር እናገኛለን። ስለዚህም ትንሹ እሴትኳድራቲክ ትራይኖሚል `11/4` ሲሆን የሚገኘው `x=1/2` ሲሆን ነው።

የኳድራቲክ ትሪኖሚል ትልቁን እሴት ያግኙ - 16 2 + 8 x + 6።

ፍጹም የሆነ ካሬን ከአራት ማዕዘናት እንመርጣለን-- 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7

`x=1/4` የኳድራቲክ ትራይኖሚል ዋጋ 7 ሲሆን `x!=1/4` ከቁጥር 7 ሲቀነስ አዎንታዊ ቁጥር ከ7 ያነሰ ቁጥር እናገኛለን። ስለዚህ ቁጥር 7 ነው ከፍተኛ ዋጋባለአራት ትሪኖሚል፣ እና የሚገኘው `x=1/4` ሲሆን ነው።

የክፍልፋይ`(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` ክፍልፋዩን አሃዛዊ እና ተከፋይ ያቅርቡ እና ክፍልፋዩን ይቀንሱ።

የክፍልፋይ x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 መለያ ቁጥር መሆኑን ልብ ይበሉ። የተሟላ ካሬን ከካሬ ትሪኖሚል የመለየት ዘዴን በመጠቀም የክፍልፋዩን አሃዛዊ መጠን እናድርገው። x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) ) = (x + 5) (x - 3) ።

ይህ ክፍልፋይወደ `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` ቅጹን በ (x - 3) ከተቀነሰ በኋላ `(x+5)/(x-3)` እናገኛለን።

ብዙ ቁጥር ያለው x 4 - 13 x 2 + 36።

በዚህ ፖሊኖሚል ላይ ሙሉ ካሬን የመለየት ዘዴን እንተገብረው. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`

x ተጠርቷል

1.2.3. አሕጽሮተ ማባዛት ማንነቶችን በመጠቀም

ለምሳሌ. ምክንያት x 4 16

x 4 16x 2 2 42 x 2 4x 2 4x 2x 2x 2 4 .

1.2.4. ሥሮቹን በመጠቀም ፖሊኖሚል መፍጠር

ቲዎረም. ፖሊኖሚል ፒ x ስር x 1 ይኑረው። ከዚያም ይህ ፖሊኖሚል በሚከተለው መልኩ ሊፈጠር ይችላል፡- P x x x 1 S x፣ S x የተወሰነ ፖሊኖሚል ሲሆን ዲግሪው አንድ ያነሰ ነው።

በተለዋዋጭ ዋጋዎች ለ P x አገላለጽ. ያንን እናገኛለን x 2 እርስዎ -

አገላለጹ ወደ 0፣ ማለትም P 2 0፣ ማለትም x 2 የብዝሃ-ስር ነው ማለት ነው።

አባል. ፖሊኖሚል P x በ x 2 ይከፋፍሉት.

X 3 3x 2 10x 24
x 32 x 2	24 10 x	x2 x12

12x 2412x 24

ፒ x x 2 x2 x12 x2 x2 3 x4 x12 x2 x x3 4 x3

x2 x3 x4

1.3. የተሟላ ካሬ መምረጥ

የተሟላ ካሬን ለመምረጥ ዘዴው በቀመሮች አጠቃቀም ላይ የተመሰረተ ነው-a 2 2ab b 2 a b 2, a 2 2ab b 2 a b 2 .

ሙሉ ካሬን ማግለል አንድ የተሰጠ ሶስትዮሽ እንደ b 2 የሁለትዮሽ ካሬ ድምር ወይም ልዩነት እና አንዳንድ የቁጥር ወይም የፊደል አገላለጽ የሚወከልበት የማንነት ለውጥ ነው።

ስኩዌር ባለሶስትዮሽ አንጻራዊ ተለዋዋጭ መጠንየቅጹ መግለጫ አለ

መጥረቢያ 2 bx c ፣ የት a ፣b እና c - የተሰጡ ቁጥሮችእና 0.

አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ባለሦስትዮሽ መጥረቢያ 2 bx c እንደሚከተለው እንለውጠው።

x2፡

ቅንጅት

ከዚያም b x የሚለውን አገላለጽ እንደ 2b x እንወክላለን (ምርቱን ሁለት ጊዜ

x): ሀ x

በቅንፍ ውስጥ ላለው አገላለጽ ቁጥሩን እንጨምርበታለን እና እንቀንሳለን።

ይህም የቁጥር ካሬ ነው።

በውጤቱም እኛ እናገኛለን:

አሁን ያንን እያስተዋልን።

እናገኛለን

4a 2

ለምሳሌ. የተሟላ ካሬ ይምረጡ።

2 x 12

2x 2 4x 5 2x 2 2x 5

2 x 2 2x 1 15

2 x 12 7.

4 ለ 2 ፣

1.4. ፖሊኖሚሎች በበርካታ ተለዋዋጮች

ፖሊኖሚሎች በበርካታ ተለዋዋጮች ውስጥ፣ ልክ እንደ ፖሊኖሚሎች በአንድ ተለዋዋጭ፣ ሊጨመሩ፣ ሊባዙ እና ወደ ተፈጥሯዊ ሃይል ሊነሱ ይችላሉ።

አስፈላጊ ተመሳሳይ ለውጥበበርካታ ተለዋዋጮች ውስጥ ፖሊኖሚል ፋክታላይዜሽን ነው። እዚህ, እንደ ማራገፍ ያሉ የማምረቻ ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ የጋራ ብዜትከቅንፍ ባሻገር፣ መቧደን፣ አህጽሮተ ማባዛት ማንነቶችን በመጠቀም፣ ሙሉውን ካሬ ማድመቅ፣ ረዳት ተለዋዋጮችን ማስተዋወቅ።

1. ፖሊኖሚል P x፣y 2x 5 128x 2 y 3 ን ፈጠረ።

2 x 5128 x 2ይ 32 x 2x 364 y ​​32 x 2x 4 y x 24 xy 16 y 2።

2. ፋክተር P x፣y፣z 20x 2 3yz 15xy 4xz። የመቧደን ዘዴን እንጠቀም

20 x2 3 yz15 xy4 xz20 x2 15 xy4 xz3 yz5 x4 x3 y z4 x3 y

4 x3 y5 x z

3. ምክንያት P x ,y x 4 4y 4 . የተሟላ ካሬ እንምረጥ፡-

x 4y 4x 44 x 2y 24 y 24 x 2y 2x 22 y 2 2 4 x 2y 2

x2 2 y2 2 xy x2 2 y2 2 xy.

1.5. የዲግሪ ባህሪያት ከማንኛውም ምክንያታዊ ገላጭ ጋር

ከማንኛውም ጋር ዲግሪ ምክንያታዊ አመላካችየሚከተሉት ባህሪያት አሉት:

1. አአር 1አራ 2አራር 1ር 2፣

	አአር 1አራ 2አራር 1ር 2፣
3. አር 1ር 2 አር 1ር 2፣
4. አብር 1 አር 1 ብር 1፣
	አር 1				አር 1
					ብር 1

a 0;b 0;r 1;r 2 የዘፈቀደ ምክንያታዊ ቁጥሮች ሲሆኑ።

1. ማባዛት 8

x 3 12 x 7

24 x 23።

8 x 3 12 x 7 x 8x 12x 8 12x 24

2. ፋክተር ማድረግ

2x3

1.6. በእራስዎ የሚደረጉ መልመጃዎች

1. አጭር የማባዛት ቀመሮችን በመጠቀም እርምጃዎችን ያከናውኑ። 1)አንድ 52;

2) 3 a 72;

3) a nb n2 .

4) 1 x 3;

	3 y 3;

7) 8 a 2 8a 2;

8) a nb ka kb na nb ka kb n.

9) a 2 b a2 2 ab4 b2;

10) a 3a 2 3a 9;

11) a 2b 2a 4a 2b 2b 4. 3

2. አህጽሮተ ማባዛት ማንነቶችን በመጠቀም አስላ፡-

1) 53 2 432 ;

2) 22,4 2 22,32 ;

4) 30 2 2 ;

5) 51 2 ;

6) 99 2 ;

7) 17 2 2 17 23 232 ;

8) 85 2 2 85 15 152 .

3. ማንነታቸውን ያረጋግጡ፡-

1) x 2 13 3x 2 x 12 6x x 1 11x 3 32 2;

2) a 2b 2 2 ab 2 a 2b 2 2;

3) a 2 b2 x2 y2 ax by2 bx ay2።

4. የሚከተሉትን ፖሊኖሚሎች ፍጠር፡-

1) 3 x a2 a2;

2) ac 7 bc3 a21 ለ;

3) 63 ሜትር 4n 327 ሜትር 3n 445 ሜትር 5n 7;

4) 5 b2 c3 2 bc2 k2 k2;

5) 2 x3 y2 3 yz2 2 x2 yz3 z3;

6) 24 ax38 bx12 a19 ለ;

7) 25 a 21 b 2q 2;

8) 9 5 a 4b 2 64a 2;

9) 121 n 2 3n 2t 2;

10) 4 t 2 20tn 25n 2 36;

11) p 4 6 p2 k9 k2;

12) 16 p 3 q 8 72p 4 q 7 81p 5 q 6;

13) 6 x 3 36x 2 72x 48;

14) 15 ax 3 45 ax 2 45 ax 15 a;

15) 9 a 3 n 1 4.5a 2 n 1;

16) 5 p 2 n q n 15p 5 n q 2 n;

17) 4 a 7b 232 a 4b 5;

18) 7 x 24 y 2 2 3 x 28 y 2 2;

19) 1000 ቲ 3 27ቲ 6 .

5. በቀላል መንገድ አስሉ፡-

1) 59 3 413 ;

2) 67 3 523 67 52. 119

6. የብዙ ቁጥርን እና የቀረውን ያግኙ P x በ polynomialQ x: 1) P x 2x 4 x 3 5; Q x x 3 9x;

2) ፒ x 2 x 2; ጥ x x3 2 x2 x; 3) ፒ x x6 1; ጥ x x4 4 x2 .

7. ፖሊኖሚል መሆኑን ያረጋግጡ x 2 2x 2 ትክክለኛ ሥሮች የሉትም።

8. የፖሊኖሚል ሥሮቹን ያግኙ፡-

1) x 3 4 x;

2) x 3 3 x 2 5x 15።

9. ምክንያት፡-

1) 6 a 2 a 5 5a 3;

2) x 2 x 3 2x 32 4x 3 3x 2;

3) x 3 6x 2 11x 6።

10. የተሟላ ካሬን በማግለል እኩልታዎችን ይፍቱ፡-

1) x 2 2x 3 0;

2) x 2 13x 30 0 .

11. የአገላለጾችን ትርጉም ይፈልጉ፡-

		4 3 85
		16 6
		2 520 9 519

1254

3) 5 3 25 7 ;

4) 0,01 2 ;

5) 06 .

12. አስላ፡

16 0,25

16 0,25