ንግግሩን እንቀጥል እኩልታዎችን መፍታት. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ስለ በዝርዝር እንነጋገራለን ምክንያታዊ እኩልታዎችእና የመፍትሄ መርሆዎች ምክንያታዊ እኩልታዎችከአንድ ተለዋዋጭ ጋር. በመጀመሪያ፣ ምን አይነት እኩልታዎች ምክንያታዊ ተብለው እንደሚጠሩ እንወቅ፣ አጠቃላይ ምክንያታዊ እና ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን ፍቺ እንስጥ እና ምሳሌዎችን እንስጥ። በመቀጠል ምክንያታዊ እኩልታዎችን ለመፍታት ስልተ ቀመሮችን እናገኛለን, እና በእርግጥ, መፍትሄዎችን እንመለከታለን የተለመዱ ምሳሌዎችከሁሉም አስፈላጊ ማብራሪያዎች ጋር.
የገጽ አሰሳ።
በተገለጹት ፍቺዎች ላይ በመመስረት, በርካታ ምክንያታዊ እኩልታዎችን ምሳሌዎችን እንሰጣለን. ለምሳሌ፣ x=1፣ 2 · x−12 · x 2 ·y·z 3 =0, , ሁሉም ምክንያታዊ እኩልታዎች ናቸው።
ከተገለጹት ምሳሌዎች, ምክንያታዊ እኩልታዎች, እንዲሁም የሌሎች ዓይነቶች እኩልታዎች ከአንድ ተለዋዋጭ, ወይም ከሁለት, ከሶስት, ወዘተ ጋር ሊሆኑ እንደሚችሉ ግልጽ ነው. ተለዋዋጮች. ውስጥ የሚከተሉት ነጥቦችምክንያታዊ እኩልታዎችን በአንድ ተለዋዋጭ ስለመፍታት እንነጋገራለን. እኩልታዎችን በሁለት ተለዋዋጮች መፍታትእና እነሱ ትልቅ ቁጥርልዩ ትኩረት ሊሰጠው ይገባል.
ምክንያታዊ እኩልታዎችን በማይታወቁ ተለዋዋጮች ቁጥር ከመከፋፈል በተጨማሪ ኢንቲጀር እና ክፍልፋይ ተከፍለዋል። ተጓዳኝ ትርጓሜዎችን እንስጥ.
ፍቺ
ምክንያታዊ እኩልታ ይባላል ሙሉ, ሁለቱም ግራ እና ቀኝ ክፍሎቹ ኢንቲጀር ከሆኑ ምክንያታዊ መግለጫዎች.
ፍቺ
ከምክንያታዊ እኩልታ ክፍሎች ውስጥ ቢያንስ አንዱ ክፍልፋይ ከሆነ፣ እንዲህ ያለው እኩልታ ይባላል። ክፍልፋይ ምክንያታዊ(ወይም ክፍልፋይ ምክንያታዊ)።
ሙሉ እኩልታዎች በተለዋዋጭ መከፋፈል እንደሌላቸው ግልጽ ነው፡ በተቃራኒው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎች የግድ በተለዋዋጭ መከፋፈልን (ወይንም በዲኖሚነተር ውስጥ ያለውን ተለዋዋጭ) ይይዛሉ። ስለዚህ 3 x+2=0 እና (x+y) · (3 · x 2 -1)+x=-y+0.5- እነዚህ ሙሉ ምክንያታዊ እኩልታዎች ናቸው, ሁለቱም ክፍሎቻቸው ሙሉ መግለጫዎች ናቸው. A እና x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 የክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎች ምሳሌዎች ናቸው።
ይህንን ነጥብ ስንጨርስ፣ እስከዚህ ነጥብ ድረስ የሚታወቁት መስመራዊ እኩልታዎች እና ኳድራቲክ እኩልታዎች ሙሉ ምክንያታዊ እኩልታዎች መሆናቸውን ልብ እንበል።
ሙሉ እኩልታዎችን መፍታት
ሁሉንም እኩልታዎች ለመፍታት ከዋና ዋና መንገዶች አንዱ እነሱን ወደ ተመጣጣኝ መቀነስ ነው። የአልጀብራ እኩልታዎች. ይህ ሁልጊዜ የሚከተሉትን የእኩልታ ለውጦችን በማከናወን ሊከናወን ይችላል።
- በመጀመሪያ ከዋናው የኢንቲጀር እኩልታ በቀኝ በኩል ያለው አገላለጽ ወደ ተላልፏል ግራ ጎንጋር ተቃራኒ ምልክትበቀኝ በኩል ዜሮን ለማግኘት;
- ከዚህ በኋላ ውጤቱ በግራ በኩል በግራ በኩል መደበኛ እይታ.
ውጤቱም ነው። የአልጀብራ እኩልታ, እሱም ከዋናው ኢንቲጀር እኩልታ ጋር እኩል ነው. ስለዚህ በብዛት ቀላል ጉዳዮችሁሉንም እኩልታዎች መፍታት ወደ መስመራዊ ወይም ባለአራት እኩልታዎች እና በ ውስጥ አጠቃላይ ጉዳይ- የዲግሪ n የአልጀብራ እኩልታ ለመፍታት. ግልጽ ለማድረግ፣ የምሳሌውን መፍትሄ እንመልከት።
ለምሳሌ.
የጠቅላላውን እኩልታ ሥሮች ይፈልጉ 3· (x+1) · (x-3)=x· (2·x-1) -3.
መፍትሄ።
የዚህን አጠቃላይ እኩልታ መፍትሄ ወደ ተመጣጣኝ አልጀብራ እኩልነት መፍትሄ እንቀንስ። ይህንን ለማድረግ በመጀመሪያ, አገላለጹን ከቀኝ በኩል ወደ ግራ እናስተላልፋለን, በውጤቱም ወደ እኩልታው ደርሰናል. 3·(x+1)·(x-3)-x·(2·x-1)+3=0. እና ፣ በሁለተኛ ደረጃ ፣ አስፈላጊውን በማጠናቀቅ በግራ በኩል የተፈጠረውን አገላለጽ ወደ መደበኛ ቅጽ ብዙ ቁጥር እንለውጣለን- 3· (x+1) · (x-3) -x· (2·x-1)+3= (3 x+3) (x-3) -2 x 2 +x+3= 3 x 2 -9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 -5 x-6. ስለዚህም ዋናውን የኢንቲጀር እኩልታ መፍታት ኳድራቲክ እኩልታ x 2 -5 · x-6=0 ይቀንሳል።
አድሎአዊነቱን እናሰላለን። D=(-5) 2 -4·1·(-6)=25+24=49, አዎንታዊ ነው, ይህም ማለት እኩልታው ሁለት ትክክለኛ ሥሮች አሉት ማለት ነው, ይህም የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ቀመር በመጠቀም እናገኛለን.
ሙሉ በሙሉ እርግጠኛ ለመሆን, እናድርገው የተገኙትን የእኩልታ ሥሮች መፈተሽ. በመጀመሪያ የስር 6ን እንፈትሻለን፣ በተለዋዋጭ x ምትክ በመጀመሪያው ኢንቲጀር እኩልታ ውስጥ እንተካለን። 3· (6+1)· (6-3)=6· (2·6-1) -3, እሱም ተመሳሳይ ነው, 63=63. ይህ እውነት ነው የቁጥር እኩልነት, ስለዚህ x=6 በእርግጥ የእኩልታ ስር ነው። አሁን ሥሩን -1ን እንፈትሻለን, አለን 3· (-1+1) · (-1-3)=(-1)· (2· (-1) -1) -3፣ ከየት ፣ 0=0 . x=-1 ሲሆን፣የመጀመሪያው እኩልታ ወደ ትክክለኛው የቁጥር እኩልነት ይቀየራል፣ስለዚህ x=-1 የእኩልታው መሰረት ነው።
መልስ፡-
6 , −1 .
እዚህ ላይ "የጠቅላላው እኩልታ ዲግሪ" የሚለው ቃል በአልጀብራ እኩልዮሽ መልክ ከጠቅላላው እኩልታ ውክልና ጋር የተያያዘ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል. ተጓዳኝ ፍቺውን እንስጥ፡-
ፍቺ
የጠቅላላው እኩልታ ኃይልየተመጣጠነ የአልጀብራ እኩልነት ደረጃ ይባላል።
በዚህ ፍቺ መሠረት, ከቀዳሚው ምሳሌ አጠቃላይ እኩልታ ሁለተኛ ዲግሪ አለው.
ይህ ለአንድ ነገር ካልሆነ አጠቃላይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን የመፍታት መጨረሻ ሊሆን ይችላል…. እንደሚታወቀው፣ ከሁለተኛው ከፍ ያለ የአልጀብራ እኩልታዎችን መፍታት ከወሳኝ ችግሮች ጋር የተቆራኘ ነው፣ እና ከአራተኛው በላይ ለሆኑ የዲግሪ እኩልታዎች ምንም የለም አጠቃላይ ቀመሮችሥሮች. ስለዚህ, የሶስተኛውን, አራተኛውን እና ሌሎችን አጠቃላይ እኩልታዎች ለመፍታት ከፍተኛ ዲግሪዎችብዙውን ጊዜ ወደ ሌሎች የመፍትሄ ዘዴዎች መሄድ አለብዎት.
በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ላይ በመመርኮዝ ሙሉውን ምክንያታዊ እኩልታዎች የመፍታት አቀራረብ የማጠናከሪያ ዘዴ. በዚህ ሁኔታ, የሚከተለው ስልተ ቀመር ይከተላል.
- በመጀመሪያ, በቀመርው በቀኝ በኩል ዜሮ መኖሩን ያረጋግጣሉ, ይህንን ለማድረግ, አገላለጹን ከጠቅላላው እኩልታ በቀኝ በኩል ወደ ግራ ያስተላልፋሉ;
- ከዚያም በግራ በኩል ያለው አገላለጽ የበርካታ ምክንያቶች ውጤት ሆኖ ቀርቧል, ይህም ወደ ብዙ ቀላል እኩልታዎች ስብስብ እንድንሄድ ያስችለናል.
ሙሉውን እኩልታ በፋክተሪላይዜሽን ለመፍታት የተሰጠው ስልተ ቀመር ምሳሌን በመጠቀም ዝርዝር ማብራሪያ ያስፈልገዋል።
ለምሳሌ.
መላውን እኩልታ ይፍቱ (x 2 -1) · (x 2 -10 · x + 13) = 2 x (x 2 -10 x+13)።
መፍትሄ።
በመጀመሪያ ፣ እንደተለመደው ፣ አገላለጹን ከቀኝ በኩል ወደ ግራ እኩል እናስተላልፋለን ፣ ምልክቱን ለመቀየር ሳንረሳው ፣ እናገኛለን ። (x 2 -1) · (x 2 -10 · x + 13) - 2 x (x 2 -10 x+13)=0። እዚህ ላይ የግራ እጅን የውጤት እኩልታ ወደ መደበኛው ቅጽ ብዙ ቁጥር መለወጥ የማይመከር መሆኑ ግልፅ ነው ፣ ምክንያቱም ይህ የቅጹን አራተኛ ደረጃ የአልጀብራ እኩልታ ይሰጣል ። x 4 -12 x 3 +32 x 2 -16 x-13=0, መፍትሄው አስቸጋሪ ነው.
በሌላ በኩል፣ በውጤቱ እኩልነት በግራ በኩል x 2 -10 x+13 እንደምንችል ግልጽ ነው፣ በዚህም እንደ ምርት እናቀርባለን። እና አለነ (x 2 -10 x+13) (x 2 -2 x-1) = 0. የተገኘው እኩልታ ከመጀመሪያው ሙሉ እኩልታ ጋር እኩል ነው, እና እሱ, በተራው, በሁለት አራት ማዕዘን እኩልታዎች x 2 -10 · x+13 = 0 እና x 2 -2 · x-1=0 ሊተካ ይችላል. ሥሮቻቸውን በማግኘት ላይ የታወቁ ቀመሮችበአድልዎ በኩል ሥሮች አስቸጋሪ አይደለም, ሥሮቹ እኩል ናቸው. የመነሻ እኩልታ የሚፈለጉት ሥሮች ናቸው.
መልስ፡-
እንዲሁም አጠቃላይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን ለመፍታት ጠቃሚ ነው። አዲስ ተለዋዋጭ የማስተዋወቅ ዘዴ. በአንዳንድ ሁኔታዎች፣ ዲግሪያቸው ከዋናው አጠቃላይ እኩልነት ደረጃ ዝቅተኛ ወደሆኑ እኩልታዎች እንዲሄዱ ይፈቅድልዎታል።
ለምሳሌ.
የምክንያታዊ እኩልታ ትክክለኛ ሥሮችን ያግኙ (x 2 +3 x+1) 2 +10=-2 (x 2 +3 x-4).
መፍትሄ።
ይህን አጠቃላይ ምክንያታዊ እኩልታ ወደ አልጀብራ እኩልነት መቀነስ፣ በለዘብተኝነት ለመናገር፣ በጣም ጥሩ ሀሳብ አይደለም፣ በዚህ ሁኔታ ውስጥ የአራተኛ ደረጃ እኩልታ የሌለውን የመፍታት አስፈላጊነት ላይ እንደርሳለን። ምክንያታዊ ሥሮች. ስለዚህ, ሌላ መፍትሄ መፈለግ አለብዎት.
እዚህ አዲስ ተለዋዋጭ y ማስተዋወቅ እና x 2 +3·x የሚለውን አገላለጽ በእሱ መተካት እንደሚችሉ ለማየት ቀላል ነው። ይህ መተኪያ ወደ አጠቃላይ እኩልታ (y+1) 2 +10=-2·(y-4) ይመራናል፣ ይህም አገላለጹን -2· (y-4) ወደ ግራ በኩል ካዘዋወረ በኋላ እና የገለጻውን ቀጣይ ለውጥ እዚያ ተፈጠረ፣ ወደ ባለአራት እኩልታ y 2 +4·y+3=0 ይቀንሳል። የዚህ እኩልታ y=-1 እና y=-3 ሥር ለማግኘት ቀላል ናቸው፣ ለምሳሌ፣ በቲዎሬም ወደ ቪየታ ቲዎሬም በተገላቢጦሽ ሊመረጡ ይችላሉ።
አሁን ወደ ሁለተኛው ክፍል እንሸጋገራለን አዲስ ተለዋዋጭ የማስተዋወቅ ዘዴ , ማለትም, በተቃራኒው ምትክ ለማከናወን. የተገላቢጦሹን ምትክ ካደረግን በኋላ፣ ሁለት እኩልታዎችን እናገኛለን x 2 +3 x=-1 እና x 2 +3 x=-3፣ እነዚህም እንደ x 2 +3 x+1=0 እና x 2 +3 x+3 ሊጻፉ ይችላሉ። =0. የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ቀመር በመጠቀም ፣ የመጀመሪያውን እኩልታ ሥሮች እናገኛለን። እና ሁለተኛው ኳድራቲክ እኩልታየለውም እውነተኛ ሥሮችአድሏዊነቱ አሉታዊ ስለሆነ (D=3 2 -4·3=9-12=-3)።
መልስ፡-
በአጠቃላይ፣ ከሙሉ የከፍተኛ ዲግሪ እኩልታዎች ጋር ስንገናኝ፣ ሁልጊዜ ለመፈለግ ዝግጁ መሆን አለብን መደበኛ ያልሆነ ዘዴወይም ሰው ሰራሽ መቀበያእነሱን ለመፍታት.
ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን መፍታት
በመጀመሪያ፣ p(x) እና q(x) ኢንቲጀር ምክንያታዊ መግለጫዎች ሲሆኑ የቅጹ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል መረዳት ጠቃሚ ይሆናል። እና ከዚያ የሌሎች ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን መፍትሄ ወደ የተጠቆመው ዓይነት እኩልታዎች እንዴት እንደሚቀንስ እናሳያለን።
ሒሳብን ለመፍታት አንዱ መንገድ በሚከተለው መግለጫ ላይ የተመሰረተ ነው፡- የቁጥር ክፍልፋይ u/v፣ ቁ ዜሮ ያልሆነ ቁጥር (አለበለዚያ ያጋጥመናል፣ እሱም ያልተገለጸ)፣ ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል፣ እና ቁጥሩ ከሆነ ብቻ ከዜሮ ጋር እኩል ነው።ማለትም u=0 ከሆነ እና ከሆነ ብቻ። በዚህ መግለጫ መሰረት፣ እኩልታውን መፍታት ወደ ሁለት ሁኔታዎች p(x)=0 እና q(x)≠0 ያሟላል።
ይህ መደምደሚያ ከሚከተለው ጋር ይዛመዳል ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታን ለመፍታት ስልተ ቀመር. የቅጹን ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ለመፍታት ያስፈልግዎታል
- ሙሉውን ምክንያታዊ እኩልታ መፍታት p (x) = 0;
- እና ሁኔታው q(x)≠0 ለተገኘው እያንዳንዱ ሥር መሟላቱን ያረጋግጡ
- እውነት ከሆነ ይህ ሥር የዋናው እኩልታ ሥር ነው;
- ካልረካ፣ ይህ ሥር ከውጪ ነው፣ ማለትም፣ የዋናው እኩልታ ሥር አይደለም።
ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታን ስንፈታ የታወጀውን አልጎሪዝም የመጠቀም ምሳሌን እንመልከት።
ለምሳሌ.
የእኩልታውን ሥሮች ይፈልጉ።
መፍትሄ።
ይህ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ነው፣ እና የቅጹ፣ p(x)=3 · x−2፣ q(x)=5·x 2 -2=0።
የዚህ አይነት ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን ለመፍታት በአልጎሪዝም መሰረት፣ በመጀመሪያ ቀመር 3 x−2=0 ን መፍታት አለብን። ይህ መስመራዊ እኩልታስርወ x=2/3 ነው።
ይህንን ሥር ለመፈተሽ ይቀራል, ማለትም, ሁኔታውን 5 x 2 -2≠0 የሚያሟላ መሆኑን ያረጋግጡ. ከ x ይልቅ 2/3 ቁጥርን ወደ 5 x 2 -2 አገላለጽ እንተካለን እና እናገኛለን። ሁኔታው ተሟልቷል፣ ስለዚህ x=2/3 የዋናው እኩልታ ስር ነው።
መልስ፡-
2/3 .
ከትንሽ ከተለየ ቦታ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታን ለመፍታት መቅረብ ይችላሉ። ይህ እኩልታ በዋናው እኩልታ በተለዋዋጭ x ላይ ካለው የኢንቲጀር እኩልታ p(x)=0 ጋር እኩል ነው። ያም ማለት, በዚህ ላይ መጣበቅ ይችላሉ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታን ለመፍታት ስልተ ቀመር :
- እኩልታውን ይፍቱ p (x) = 0;
- የተለዋዋጭ x ODZ ያግኙ;
- የአከባቢውን ሥር መስደድ ተቀባይነት ያላቸው እሴቶች, - እነሱ የዋናው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ተፈላጊ ሥሮች ናቸው።
ለምሳሌ፣ ይህን ስልተ ቀመር በመጠቀም ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታን እንፍታ።
ለምሳሌ.
እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ።
በመጀመሪያ, የኳድራቲክ እኩልታ x 2 -2 · x-11 = 0 እንፈታዋለን. ሥሮቹ ለሁለተኛው እኩልነት የስር ቀመር በመጠቀም ሊሰሉ ይችላሉ, እኛ አለን D 1 = (-1) 2 -1 · (-11) = 12, እና.
በሁለተኛ ደረጃ የተለዋዋጭ x ODZ ለዋናው እኩልታ እናገኛለን። እሱ ሁሉንም ቁጥሮች የያዘው ለ x 2 +3 · x≠0 ነው ፣ እሱም ከ x · (x+3) ≠0 ፣ ከየት ነው x≠0 ፣ x≠−3።
በመጀመሪያው ደረጃ የተገኙት ሥሮች በ ODZ ውስጥ የተካተቱ መሆናቸውን ለማረጋገጥ ይቀራል. አዎ እንደሆነ ግልጽ ነው። ስለዚህ፣ የመጀመሪያው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ሁለት ሥሮች አሉት።
መልስ፡-
ODZ ለማግኘት ቀላል ከሆነ ይህ አካሄድ ከመጀመሪያው የበለጠ ትርፋማ መሆኑን እና በተለይም የእኩልታ p(x) = 0 መነሻዎች ምክንያታዊነት የጎደላቸው ወይም ምክንያታዊ ከሆኑ ነገር ግን ትልቅ አሃዛዊ ከሆነ እና ጠቃሚ መሆኑን ልብ ይበሉ። / ወይም መለያ, ለምሳሌ, 127/1101 እና -31/59. ይህ የሆነበት ምክንያት በእንደዚህ ዓይነት ሁኔታዎች ውስጥ q (x) ≠0 ሁኔታን መፈተሽ ከፍተኛ የስሌት ጥረትን ስለሚጠይቅ እና ODZን በመጠቀም ውጫዊ ሥሮችን ማስወገድ ቀላል ነው።
በሌሎች ሁኔታዎች, እኩልታውን በሚፈታበት ጊዜ, በተለይም የእኩልታ p (x) = 0 ስሮች ኢንቲጀር ሲሆኑ, ከተሰጡት ስልተ ቀመሮች ውስጥ የመጀመሪያውን መጠቀም የበለጠ ትርፋማ ነው. ማለትም ፣ የጠቅላላውን እኩልታ ሥረ መሠረት ወዲያውኑ መፈለግ ጥሩ ነው p(x) = 0 ፣ እና ከዚያ ODZ ን ከማግኘት ይልቅ ሁኔታው q(x)≠0 እርካታ እንዳገኘ ያረጋግጡ ፣ እና ከዚያ እኩልታውን ከመፍታት p(x)=0 በዚህ ODZ ላይ። ይህ የሆነበት ምክንያት እንደዚህ ባሉ ጉዳዮች ላይ ብዙውን ጊዜ DZ ን ከመፈለግ ይልቅ ለማጣራት ቀላል ነው።
የተገለጹትን ጥቃቅን ነገሮች ለማሳየት የሁለት ምሳሌዎችን መፍትሄ እንመልከት።
ለምሳሌ.
የእኩልታውን ሥሮች ይፈልጉ።
መፍትሄ።
በመጀመሪያ፣ የሙሉውን እኩልታ ሥረ መሠረት እንፈልግ (2 x-1) (x-6) (x 2 -5 x+14) (x+1)=0ክፍልፋዩን አሃዛዊ በመጠቀም የተቀናበረ። የዚህ እኩልታ ግራ በኩል ምርት ነው, እና የቀኝ ጎን ዜሮ ነው, ስለዚህ, እኩልታዎችን በፋክተርነት በመፍታት ዘዴ መሰረት, ይህ እኩልታ ከአራት እኩልታዎች ስብስብ ጋር እኩል ነው 2 x−1=0, x-6= 0፣ x 2 -5 x+ 14=0፣ x+1=0። ከእነዚህ እኩልታዎች ውስጥ ሦስቱ መስመራዊ ሲሆኑ አንደኛው ኳድራቲክ ነው፤ መፍታት እንችላለን። ከመጀመሪያው እኩልታ x = 1/2, ከሁለተኛው - x = 6, ከሦስተኛው - x = 7, x = - 2, ከአራተኛው - x = -1 እናገኛለን.
ከተገኙት ሥሮች ጋር ፣ ከዋናው እኩልታ በግራ በኩል ያለው ክፍልፋይ መለያው እንደጠፋ ማረጋገጥ በጣም ቀላል ነው ፣ ግን ODZ ን መወሰን ፣ በተቃራኒው ፣ በጣም ቀላል አይደለም ፣ ምክንያቱም ለዚህ መፍታት አለብዎት ። የአምስተኛው ደረጃ የአልጀብራ እኩልታ። ስለዚ፡ ተስፋ ንገብር ODZ ማግኘትሥሮቹን ለመፈተሽ ሞገስ. ይህንን ለማድረግ በገለፃው ውስጥ ካለው ተለዋዋጭ x ይልቅ አንድ በአንድ እንተካቸዋለን x 5 -15 x 4 +57 x 3 -13 x 2 +26 x+112, ከተተካ በኋላ የተገኘ እና ከዜሮ ጋር ያወዳድሩ: (1/2) 5 -15 · (1/2) 4 + 57· (1/2) 3 -13· (1/2) 2 +26· (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 -15·6 4 +57·6 3 -13·6 2 +26·6+112= 448≠0
;
7 5 -15·7 4 +57·7 3 -13·7 2 +26·7+112=0;
(-2) 5 -15 · (-2) 4 +57 · (-2) 3 -13 · (-2) 2 + 26· (-2)+112=-720≠0;
(-1) 5 -15 · (-1) 4 +57 · (-1) 3 -13 · (-1) 2 + 26· (-1)+112=0።
ስለዚህ፣ 1/2፣ 6 እና -2 የሚፈለጉት የዋናው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ሥር ናቸው፣ እና 7 እና -1 ከውጪ ሥሮች ናቸው።
መልስ፡-
1/2 , 6 , −2 .
ለምሳሌ.
የክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ሥሮችን ያግኙ።
መፍትሄ።
በመጀመሪያ፣ የእኩልታውን መነሻ እንፈልግ (5 x 2 -7 x-1) (x-2)=0. ይህ እኩልታ ከሁለት እኩልታዎች ስብስብ ጋር እኩል ነው፡ ካሬ 5 x 2 -7 x−1=0 እና መስመራዊ x-2=0። የኳድራቲክ እኩልታ ሥሮቹን ቀመር በመጠቀም ሁለት ሥሮችን እናገኛለን እና ከሁለተኛው እኩልታ x=2 አለን ።
በተገኙት የ x ዋጋዎች መለያው ወደ ዜሮ መሄዱን ማረጋገጥ በጣም ደስ የማይል ነው። እና በዋናው እኩልታ ውስጥ የተለዋዋጭ x የሚፈቀዱ እሴቶችን ክልል መወሰን በጣም ቀላል ነው። ስለዚህ፣ በODZ በኩል እንሰራለን።
በእኛ ሁኔታ፣ የዋናው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልዮሽ ተለዋዋጭ x ODZ ሁኔታዎች x 2 +5 · x-14=0 ከተሟሉ በስተቀር ሁሉንም ቁጥሮች ያቀፈ ነው። የዚህ ኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች x=-7 እና x=2 ናቸው፣ከዚህም ስለ ODZ አንድ ድምዳሜ ላይ እናደርሳለን፡ ሁሉንም x እነዚህን ያካትታል።
የተገኙት ሥሮች እና x=2 ተቀባይነት ካላቸው የእሴቶች ክልል ውስጥ መሆናቸውን ለማረጋገጥ ይቀራል። ሥሮቹ ናቸው፣ ስለዚህ፣ የዋናው እኩልታ ሥር ናቸው፣ እና x=2 አይደለም፣ ስለዚህ፣ ውጫዊ ሥር ነው።
መልስ፡-
እንዲሁም በቅጹ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ውስጥ ቁጥር በቁጥር ሲኖር፣ ማለትም p(x) በአንዳንድ ቁጥሮች ሲወከል በጉዳዮቹ ላይ በተናጠል ማሰቡ ጠቃሚ ይሆናል። በውስጡ
- ይህ ቁጥር ዜሮ ካልሆነ፣ እኩልታው ሥሮች የሉትም፣ አንድ ክፍልፋይ ከዜሮ ጋር እኩል ስለሆነ እና ቁጥሩ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ ብቻ።
- ይህ ቁጥር ዜሮ ከሆነ፣ የእኩልታው ሥር ማንኛውም ቁጥር ከ ODZ ነው።
ለምሳሌ.
መፍትሄ።
በቀመር በግራ በኩል ያለው ክፍልፋይ አሃዛዊ ዜሮ ያልሆነ ቁጥር ስላለው ለማንኛውም x የዚህ ክፍልፋይ ዋጋ ከዜሮ ጋር እኩል ሊሆን አይችልም። ስለዚህ, ይህ እኩልታ ሥር የለውም.
መልስ፡-
ምንም ሥሮች.
ለምሳሌ.
እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ።
በዚህ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ በግራ በኩል ያለው ክፍልፋይ ዜሮ ይዟል፣ ስለዚህ የዚህ ክፍልፋይ ዋጋ ለማንኛውም x ትርጉም ያለው ዜሮ ነው። በሌላ አነጋገር፣ የዚህ እኩልታ መፍትሄ የዚህ ተለዋዋጭ ODZ ማንኛውም የ x እሴት ነው።
ይህንን ተቀባይነት ያላቸውን እሴቶች ለመወሰን ይቀራል። ለሁሉም የ x 4 +5 x 3 ≠0 ዋጋዎችን ያካትታል። የእኩልታ x 4 +5 x 3 =0 መፍትሄዎች 0 እና -5 ናቸው፣ ይህ እኩልታ ከሒሳብ x 3 (x+5) = 0 ጋር ስለሚመጣጠን እሱ በተራው ደግሞ ከሁለት እኩልታዎች ጥምር ጋር እኩል ነው። 3 =0 እና x +5=0, እነዚህ ሥሮች ከሚታዩበት. ስለዚህ የሚፈለገው ክልል ተቀባይነት ያለው ማንኛውም x ከ x=0 እና x=-5 በስተቀር።
ስለዚህ፣ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ እጅግ በጣም ብዙ መፍትሄዎች አሉት፣ እነሱም ከዜሮ በስተቀር እና ከአምስት ሲቀነስ በስተቀር።
መልስ፡-
በመጨረሻም፣ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን ስለመፍታት ለመነጋገር ጊዜው አሁን ነው። የዘፈቀደ ዓይነት. r(x)=s(x) ተብለው ሊጻፉ ይችላሉ፣ r(x) እና s(x) ምክንያታዊ አገላለጾች ሲሆኑ፣ እና ቢያንስ አንዱ ክፍልፋይ ነው። ወደ ፊት ስንመለከት፣ የእነርሱ መፍትሔ የሚመጣው እኛ የምናውቃቸውን የቅጹን እኩልታዎች በመፍታት ላይ ነው እንበል።
ቃሉን ከአንዱ የሒሳብ ክፍል ወደ ሌላ ተቃራኒ ምልክት ማዛወር ወደ ተመጣጣኝ እኩልነት እንደሚመራ ይታወቃል፣ስለዚህ ቀመር r(x)=s(x) r(x)−s(x) ጋር እኩል ነው። )=0
ከዚህ አገላለጽ ጋር በሚመሳሰል መልኩ ማንኛውም ሊኖር እንደሚችልም እናውቃለን። ስለዚህ፣ ሁልጊዜም ምክንያታዊ አገላለፅን በግራ በኩል በቀመር r(x)−s(x)=0 ወደ ተመሳሳይ እኩል የሆነ የቅጹ ምክንያታዊ ክፍልፋይ መለወጥ እንችላለን።
ስለዚህ ከመጀመሪያው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ r(x)=s(x) ወደ ቀመር እንሸጋገራለን እና መፍትሄው ከላይ እንዳየነው p(x)=0ን ወደ መፍታት ይቀንሳል።
ግን እዚህ ላይ r (x) -s (x) = 0 በ , እና በ p (x) = 0 ሲተካ, የተለዋዋጭ x የሚፈቀዱ እሴቶች ወሰን ሊሰፋ ይችላል የሚለውን እውነታ ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል. .
በዚህም ምክንያት፣ የደረስንበት የዋናው እኩልታ r(x)=s(x) እና እኩልታ p(x)=0 እኩልነት ላይኖራቸው ይችላል፣ እና p(x)=0ን እኩልታ በመፍታት ስርወ ማግኘት እንችላለን። ያ የዋናው እኩልታ r(x)=s(x) ውጫዊ ሥሮች ይሆናሉ። ቼክ በማከናወን ወይም የዋናው እኩልታ ODZ አባል መሆናቸውን በማጣራት በመልሱ ውስጥ ያልተለመዱ ሥሮችን መለየት እና አለማካተት ይችላሉ።
ይህንን መረጃ ጠቅለል አድርገን እንየው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታን ለመፍታት ስልተ ቀመር r(x)=s(x). ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ r(x)=s(x) ለመፍታት ያስፈልግዎታል
- አገላለጹን ከቀኝ በኩል በተቃራኒው ምልክት በማንቀሳቀስ በቀኝ በኩል ዜሮ ያግኙ።
- በቀመር በግራ በኩል ክፍልፋዮች እና ፖሊኖሚሎች ጋር ክዋኔዎችን ያከናውኑ፣ በዚህም ወደ ቅጹ ምክንያታዊ ክፍልፋይ ይቀይሩት።
- እኩልታውን p(x)=0 ፍታ።
- ወደ መጀመሪያው እኩልነት በመተካት ወይም የዋናውን እኩልታ የ ODZ ንብረትን በማጣራት የሚከናወኑትን ያልተለመዱ ሥሮችን መለየት እና ማስወገድ።
ለበለጠ ግልጽነት፣ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን የመፍታት አጠቃላይ ሰንሰለት እናሳያለን።
.
የተሰጠውን የመረጃ እገዳ ለማብራራት የመፍትሄውን ሂደት በዝርዝር በማብራራት የበርካታ ምሳሌዎችን መፍትሄዎችን እንመልከት።
ለምሳሌ.
ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ይፍቱ።
መፍትሄ።
አሁን በተገኘው የመፍትሄ ስልተ ቀመር መሰረት እንሰራለን። እና በመጀመሪያ ቃላቶቹን ከትክክለኛው የቀኝ በኩል ወደ ግራ እናዞራለን, በውጤቱም ወደ እኩልታው እንቀጥላለን.
በሁለተኛው እርከን፣ በተፈጠረው እኩልታ በግራ በኩል ያለውን ክፍልፋይ ምክንያታዊ አገላለጽ ወደ ክፍልፋይ መልክ መቀየር አለብን። ይህንን ለማድረግ, ቀረጻ እንሰራለን ምክንያታዊ ክፍልፋዮችለ የጋራእና የተገኘውን አገላለጽ ቀለል ያድርጉት፡. ስለዚህ ወደ እኩልታው እንመጣለን.
በርቷል ቀጣዩ ደረጃእኩልታውን መፍታት አለብን -2 · x-1 = 0. x=-1/2 እናገኛለን።
የተገኘው ቁጥር -1/2 የዋናው እኩልታ ምንጭ አለመሆኑን ለማጣራት ይቀራል። ይህንን ለማድረግ የዋናውን እኩልታ ተለዋዋጭ x VA ማረጋገጥ ወይም ማግኘት ይችላሉ። ሁለቱንም አካሄዶች እናሳይ።
በማጣራት እንጀምር። ከተለዋዋጭ x ይልቅ ቁጥሩን -1/2 ወደ ዋናው ቀመር እንተካለን እና ተመሳሳይ ነገር እናገኛለን -1=-1። መተካቱ ትክክለኛውን የቁጥር እኩልነት ይሰጣል፣ ስለዚህ x=-1/2 የዋናው እኩልታ ስር ነው።
አሁን የአልጎሪዝም የመጨረሻው ነጥብ በ ODZ በኩል እንዴት እንደሚከናወን እናሳያለን. የሚፈቀዱት የዋናው እኩልታ ዋጋዎች ከ -1 እና 0 በስተቀር የሁሉም ቁጥሮች ስብስብ ነው (በ x=-1 እና x=0 የክፍልፋዮች መለያዎች ጠፍተዋል)። በቀደመው ደረጃ የተገኘው x=-1/2 ሥር የ ODZ ነው፣ ስለዚህ x=-1/2 የዋናው እኩልታ ሥር ነው።
መልስ፡-
−1/2 .
ሌላ ምሳሌ እንመልከት።
ለምሳሌ.
የእኩልታውን ሥሮች ይፈልጉ።
መፍትሄ።
ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ መፍታት አለብን, ሁሉንም የአልጎሪዝም ደረጃዎች እንሂድ.
በመጀመሪያ, ቃሉን ከቀኝ በኩል ወደ ግራ እናንቀሳቅሳለን, እናገኛለን.
በሁለተኛ ደረጃ, በግራ በኩል የተሰራውን አገላለጽ እንለውጣለን. በውጤቱም, ወደ እኩልታው x=0 ደርሰናል.
ሥሩ ግልጽ ነው - ዜሮ ነው።
በአራተኛው ደረጃ፣ የተገኘው ሥር ከዋናው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ውጪ መሆኑን ለማወቅ ይቀራል። ወደ መጀመሪያው እኩልነት ሲተካ, አገላለጹ ተገኝቷል. በዜሮ መከፋፈልን ስለያዘ ምንም ትርጉም እንደማይሰጥ ግልጽ ነው። ከዚያ በኋላ 0 ውጫዊ ሥር ነው ብለን መደምደም እንችላለን። ስለዚህ, የመነሻው እኩልነት ሥሮች የሉትም.
7፣ ይህም ወደ ኢ. ከዚህ በመነሳት በግራ በኩል ባለው ክፍል ውስጥ ያለው አገላለጽ ከቀኝ ጎን ማለትም ከቀኝ ጎን ጋር እኩል መሆን አለበት ብለን መደምደም እንችላለን. አሁን ከሁለቱም የሶስትዮሽ ጎን እንቀንሳለን: በአመሳስሎ፣ ከየት እና ተጨማሪ።
ቼኩ እንደሚያሳየው የተገኙት ሁለቱም ሥሮች የዋናው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ሥሮች መሆናቸውን ያሳያል።
መልስ፡-
መጽሃፍ ቅዱስ።
- አልጀብራ፡የመማሪያ መጽሐፍ ለ 8 ኛ ክፍል. አጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; የተስተካከለው በ ኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ. - 16 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2008. - 271 p. የታመመ. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- ሞርዶኮቪች ኤ.ጂ.አልጀብራ 8ኛ ክፍል. በ 2 ፒ.ኤም ክፍል 1. የተማሪዎች የመማሪያ መጽሐፍ የትምህርት ተቋማት/ A.G. Mordkovich. - 11 ኛ እትም, ተሰርዟል. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: የታመመ. ISBN 978-5-346-01155-2.
- አልጀብራ፡ 9 ኛ ክፍል: ትምህርታዊ. ለአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት / [ዩ. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; የተስተካከለው በ ኤስ.ኤ. ቴላኮቭስኪ. - 16 ኛ እትም. - ኤም.: ትምህርት, 2009. - 271 p. የታመመ. - ISBN 978-5-09-021134-5.
በርዕሱ ላይ የዝግጅት አቀራረብ እና ትምህርት: "ምክንያታዊ እኩልታዎች. አልጎሪዝም እና ምክንያታዊ እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎች"
ተጨማሪ ቁሳቁሶች
ውድ ተጠቃሚዎች አስተያየቶችዎን ፣ አስተያየቶችዎን ፣ ምኞቶችዎን መተውዎን አይርሱ! ሁሉም ቁሳቁሶች በፀረ-ቫይረስ ፕሮግራም ተረጋግጠዋል.
ለ 8ኛ ክፍል በ Integral የመስመር ላይ መደብር ውስጥ የትምህርት መርጃዎች እና አስመሳይዎች
የመማሪያ መጽሀፍ መመሪያ በማካሪቼቭ ዩ.ኤን. የመማሪያ መጽሀፍ በ Mordkovich A.G.
ምክንያታዊ ያልሆኑ እኩልታዎች መግቢያ
ጓዶች፣ ኳድራቲክ እኩልታዎችን እንዴት መፍታት እንደሚቻል ተምረናል። ነገር ግን ሒሳብ ለእነሱ ብቻ የተወሰነ አይደለም። ዛሬ ምክንያታዊ እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈታ እንማራለን. የምክንያታዊ እኩልታዎች ጽንሰ-ሀሳብ በብዙ መልኩ ከፅንሰ-ሃሳቡ ጋር ተመሳሳይ ነው። ምክንያታዊ ቁጥሮች. ከቁጥሮች በተጨማሪ አሁን አንዳንድ ተለዋዋጭ $ x$ አስተዋውቀናል. እናም የመደመር፣ የመቀነስ፣ የማባዛት፣ የመከፋፈል እና ወደ ኢንቲጀር ሃይል የማሳደግ ስራዎች የሚገኙበት አገላለጽ እናገኛለን።$r(x)$ ይሁን ምክንያታዊ መግለጫ. እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ በተለዋዋጭ $ x$ ወይም በፖሊኖሚሎች ጥምርታ ውስጥ ቀላል ፖሊኖሚል ሊሆን ይችላል (እንደ ምክንያታዊ ቁጥሮች የመከፋፈል ሥራ ገብቷል)።
የ$r(x)=0$ ቀመር ይባላል ምክንያታዊ እኩልታ.
$p(x)$ እና $q(x)$ ምክንያታዊ መግለጫዎች የሆኑበት የ$p(x)=q(x)$ ማንኛውም እኩልታ እንዲሁ ይሆናል። ምክንያታዊ እኩልታ.
ምክንያታዊ እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎችን እንመልከት።
ምሳሌ 1.እኩልታውን ይፍቱ፡ $\frac(5x-3)(x-3)=\frac(2x-3)(x)$።
መፍትሄ።
ሁሉንም አገላለጾች ወደ ግራ በኩል እናንቀሳቅስ፡$\frac(5x-3)(x-3)-\frac(2x-3)(x)=0$።
የእኩልታው ግራ ጎን ከተወከለ መደበኛ ቁጥሮች, ከዚያም ሁለት ክፍልፋዮችን ወደ አንድ የጋራ መለያ እናመጣለን.
ይህን እናድርግ፡ $\frac((5x-3)*x)((x-3)*x)-\frac((2x-3)*(x-3))((x-3)*x) =\frac(5x^2-3x-(2x^2-6x-3x+9))((x-3)*x)=\frac(3x^2+6x-9)((x-3) * x)=\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)$።
ቀመር አግኝተናል፡$\frac(3(x^2+2x-3))((x-3)*x)=0$።
ክፍልፋይ ዜሮ ከሆነ እና ክፍልፋዩ ዜሮ ከሆነ እና መለያው ዜሮ ካልሆነ ብቻ ክፍልፋይ ከዜሮ ጋር እኩል ነው። ከዚያም አሃዛዊውን ለየብቻ ከዜሮ ጋር እናመሳሰለው እና የቁጥሩን ሥሮች እናገኛለን.
$3(x^2+2x-3)=0$ ወይም $x^2+2x-3=0$።
$x_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-3)))(2)=\frac(-2±4)(2)=1;-3$።
አሁን የክፍልፋይን መጠን እንፈትሽ፡$(x-3)*x≠0$።
ከእነዚህ ቁጥሮች ውስጥ ቢያንስ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ የሁለት ቁጥሮች ምርት ከዜሮ ጋር እኩል ነው። ከዚያ፡$x≠0$ ወይም $x-3≠0$።
$x≠0$ ወይም $x≠3$።
በቁጥር እና በተከፋፈለው ውስጥ የተገኙት ሥሮች አይጣጣሙም. ስለዚህ ሁለቱንም የቁጥር ስሮች በመልሱ ውስጥ እንጽፋለን.
መልስ፡- $x=1$ ወይም $x=-3$።
በድንገት ከቁጥሩ ሥር ከሆኑት አንዱ ከሥሩ ሥር ጋር የሚገጣጠም ከሆነ ከዚያ መወገድ አለበት። እንደነዚህ ያሉት ሥሮች ውጫዊ ተብለው ይጠራሉ!
ምክንያታዊ እኩልታዎችን ለመፍታት አልጎሪዝም፡-
1. በቀመር ውስጥ ያሉትን ሁሉንም አባባሎች ወደ ያስተላልፉ ግራ ጎንከእኩል ምልክት.2. ይህን የእኩልታ ክፍል ወደ ቀይር የአልጀብራ ክፍልፋይ: $\frac(p(x))(q(x))=0$።
3. የተገኘውን አሃዛዊ ከዜሮ ጋር ያመሳስሉ፣ ማለትም፣ $p(x)=0$ን እኩልታ ይፍቱ።
4. መለያውን ከዜሮ ጋር ማመሳሰል እና የተገኘውን እኩልነት መፍታት። የዲኖሚነተሩ ሥሮች ከቁጥሩ ሥሮች ጋር የሚጣጣሙ ከሆነ ከመልሱ መገለል አለባቸው።
ምሳሌ 2.
እኩልታውን ይፍቱ፡ $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)=\frac(6)(x^2-1)$።
መፍትሄ።
በአልጎሪዝም ነጥቦች መሰረት እንፍታ.
1. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=0$።
2. $\frac(3x)(x-1)+\frac(4)(x+1)-\frac(6)(x^2-1)=\frac(3x)(x-1)+\ frac(4)(x+1)-\frac(6)((x-1)(x+1))= \frac(3x(x+1)+4(x-1)-6)((x) -1)(x+1))=$$=\frac(3x^2+3x+4x-4-6)((x-1)(x+1))=\frac(3x^2+7x- 10)((x-1)(x+1))$
$\frac(3x^2+7x-10)((x-1)(x+1))=0$።
3. አሃዛዊውን ከዜሮ ጋር ያመሳስሉ፡ $3x^2+7x-10=0$።
$x_(1,2)=\frac(-7±\sqrt(49-4*3*(-10)))(6)=\frac(-7±13)(6)=-3\frac( 1) (3); 1 ዶላር
4. መለያውን ከዜሮ ጋር ማመሳሰል፡-
$(x-1)(x+1)=0$።
$x=1$ እና $x=-1$።
ከሥሩ አንዱ $x=1$ ከቁጥሩ ሥር ጋር ይገጣጠማል፣ ከዚያ በመልሱ ውስጥ አንጽፈውም።
መልስ፡- $x=-1$
ተለዋዋጭ ዘዴዎችን በመጠቀም ምክንያታዊ እኩልታዎችን ለመፍታት ምቹ ነው. ይህንን በተግባር እናሳይ።
ምሳሌ 3.
እኩልታውን ይፍቱ፡ $x^4+12x^2-64=0$።
መፍትሄ።
መተኪያውን እናስተዋውቀው፡$t=x^2$።
ከዚያ የእኛ እኩልነት ቅጹን ይወስዳል-
$t^2+12t-64=0$ - ተራ ኳድራቲክ እኩልታ።
$t_(1,2)=\frac(-12±\sqrt(12^2-4*(-64)))(2)=\frac(-12±20)(2)=-16; $4
የተገላቢጦሹን ምትክ እናስተዋውቀው፡$x^2=4$ ወይም $x^2=-16$።
የመጀመሪያው እኩልታ ሥሮች ጥንድ ቁጥሮች $ x=± 2$ ናቸው። ሁለተኛው ነገር ሥር የለውም.
መልስ፡- $x=±2$
ምሳሌ 4.
እኩልታውን ይፍቱ፡ $x^2+x+1=\frac(15)(x^2+x+3)$።
መፍትሄ።
አዲስ ተለዋዋጭ እናስተዋውቅ፡ $t=x^2+x+1$።
ከዚያ እኩልታው ቅጹን ይወስዳል: $t=\frac(15)(t+2)$።
በመቀጠል በአልጎሪዝም መሰረት እንቀጥላለን.
1. $t-\frac(15)(t+2)=0$።
2. $\frac(t^2+2t-15)(t+2)=0$።
3. $t^2+2t-15=0$።
$t_(1,2)=\frac(-2±\sqrt(4-4*(-15)))(2)=\frac(-2±\sqrt(64))(2)=\frac(2)=\frac( -2±8)(2)=-5; 3 ዶላር
4. $t≠-2$ - ሥሮቹ አይገጣጠሙም.
የተገላቢጦሽ ምትክ እናስተዋውቅ።
$x^2+x+1=-5$።
$x^2+x+1=3$።
እያንዳንዱን እኩልታ ለየብቻ እንፍታ፡-
$x^2+x+6=0$።
$x_(1,2)=\frac(-1±\sqrt(1-4*(-6)))(2)=\frac(-1±\sqrt(-23))(2)$ - የለም ሥሮች.
እና ሁለተኛው እኩልታ: $ x^2+x-2=0$.
ሥሮች የተሰጠው እኩልታቁጥሮች $x=-2$ እና $x=1$ ይኖራሉ።
መልስ፡- $x=-2$ እና $x=1$።
ምሳሌ 5.
እኩልታውን ይፍቱ፡ $x^2+\frac(1)(x^2) +x+\frac(1)(x)=4$።
መፍትሄ።
መተኪያውን እናስተዋውቀው፡$t=x+\frac(1)(x)$።
ከዚያም፡-
$t^2=x^2+2+\frac(1)(x^2)$ ወይም $x^2+\frac(1)(x^2)=t^2-2$።
ቀመር አግኝተናል፡$t^2-2+t=4$።
$t^2+t-6=0$።
የዚህ እኩልታ መነሻዎች ጥንድ ናቸው፡-
$t=-3$ እና $t=2$።
ተገላቢጦሹን እናስተዋውቀው፡-
$x+\frac(1)(x)=-3$።
$x+\frac(1)(x)=2$።
ለየብቻ እንወስናለን።
$x+\frac(1)(x)+3=0$።
$\frac(x^2+3x+1)(x)=0$።
$x_(1,2)=\frac(-3±\sqrt(9-4))(2)=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$
ሁለተኛውን እኩልታ እንፍታ፡-
$x+\frac(1)(x)-2=0$።
$\frac(x^2-2x+1)(x)=0$።
$\frac((x-1)^2)(x)=0$።
የዚህ እኩልታ መነሻ ቁጥር $x=1$ ነው።
መልስ፡- $x=\frac(-3±\sqrt(5))(2)$፣$x=1$
በተናጥል ለመፍታት ችግሮች
እኩልታዎችን ፍታ1. $\frac(3x+2)(x)=\frac(2x+3)(x+2)$።
2. $\frac(5x)(x+2)-\frac(20)(x^2+2x)=\frac(4)(x)$።
3. $x^4-7x^2-18=0$።
4. $2x^2+x+2=\frac(8)(2x^2+x+4)$።
5. $(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)=3$።
በዚህ ጽሑፍ ውስጥ አሳያችኋለሁ ሰባት ዓይነት ምክንያታዊ እኩልታዎችን ለመፍታት ስልተ ቀመሮችተለዋዋጮችን በመቀየር ወደ ኳድራቲክ ሊቀንስ ይችላል። በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች, ወደ መተኪያ የሚያመሩ ለውጦች በጣም ቀላል ያልሆኑ ናቸው, እና ስለእነሱ በራስዎ ለመገመት በጣም አስቸጋሪ ነው.
ለእያንዳንዱ አይነት እኩልታ, በእሱ ውስጥ ተለዋዋጭ ለውጥ እንዴት እንደሚደረግ እገልጻለሁ, እና በተዛማጅ የቪዲዮ አጋዥ ስልጠና ላይ ዝርዝር መፍትሄ አሳይ.
እኩልታዎችን እራስዎ መፍታትዎን ለመቀጠል እድሉ አለዎት እና መፍትሄዎን በቪዲዮ ትምህርት ያረጋግጡ።
ስለዚህ, እንጀምር.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
በቀመርው በግራ በኩል የአራት ቅንፎች ምርት እንዳለ እና በቀኝ በኩል ደግሞ ቁጥር እንዳለ ልብ ይበሉ።
1. የነጻው ቃላቶች ድምር አንድ አይነት እንዲሆን ቅንፍቹን በሁለት እንከፋፍል።
2. ያባዛሉ.
3. የተለዋዋጭ ለውጥን እናስተዋውቅ።
በእኛ እኩልታ፣ ከ(-1)+(--4)=(-7)+2 ጀምሮ የመጀመሪያውን ቅንፍ ከሦስተኛው ጋር፣ ሁለተኛውን ደግሞ ከአራተኛው ጋር እናያይዛለን።
በዚህ ጊዜ ተለዋዋጭ መተካት ግልጽ ይሆናል-
እኩልታውን እናገኛለን 
መልስ፡- 
2 .
የዚህ ዓይነቱ እኩልታ ከአንድ ልዩነት ጋር ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ነው: በቀመርው በቀኝ በኩል የቁጥሩ ውጤት እና . እና ሙሉ በሙሉ በተለየ መንገድ ተፈትቷል-
1. የነፃው ቃላቶች ምርት አንድ አይነት እንዲሆን ቅንፍቹን በሁለት እንሰበስባለን.
2. እያንዳንዱን ጥንድ ቅንፎች ማባዛት.
3. ከእያንዳንዱ ምክንያት xን እናወጣለን.
4. የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በ.
5. ተለዋዋጭ ለውጥን እናስተዋውቃለን.
በዚህ ቀመር ውስጥ የመጀመሪያውን ቅንፍ ከአራተኛው እና ሁለተኛውን ከሦስተኛው ጋር እንመድባለን-
በእያንዳንዱ ቅንፍ ውስጥ ያለው ቅንፍ እና የነፃው ቃል ተመሳሳይ መሆናቸውን ልብ ይበሉ። ከእያንዳንዱ ቅንፍ አንድ ምክንያት እናውጣ፡-
x=0 የዋናው እኩልታ ሥር ስላልሆነ፣ የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በ . እናገኛለን፡-
ቀመር እናገኛለን፡- 
መልስ፡- 
3
. 
የሁለቱም ክፍልፋዮች መለያዎች መሆናቸውን ልብ ይበሉ ካሬ ትሪኖሚሎች, ለዚህም መሪ ኮፊሸን እና የነጻው ቃል ተመሳሳይ ናቸው. እንደ ሁለተኛው ዓይነት እኩልነት xን ከቅንፉ ውስጥ እናውጣ። እናገኛለን፡-
የእያንዳንዱን ክፍልፋይ አሃዛዊ እና አካፋይ በ x ይከፋፍሉት፡
አሁን ተለዋዋጭ ምትክን ማስተዋወቅ እንችላለን-
ለተለዋዋጭ t ቀመር እናገኛለን፡-
4 .
የእኩልታ ውህዶች ከማዕከላዊው አንፃር የተመጣጠነ መሆኑን ልብ ይበሉ። ይህ እኩልታ ይባላል መመለስ የሚችል .
ለመፍታት፣
1. የእኩልታውን ሁለቱንም ጎኖች በ (x=0 የስሌቱ መሰረት ስላልሆነ ይህንን ማድረግ እንችላለን) እናገኘዋለን፡-
2. ቃላቶቹን በዚህ መንገድ እንቧድናቸው፡-
3. በእያንዳንዱ ቡድን ውስጥ የጋራውን ሁኔታ ከቅንፍ ውስጥ እናውጣ፡-
4. መተኪያውን እናስተዋውቀው፡-
5. በቲ አገላለጽ ይግለጹ፡-
ከዚህ 
ለ t ቀመር እናገኛለን፡-
መልስ፡-
5. ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች.
ተመሳሳይነት ያለው መዋቅር ያላቸው እኩልታዎች ገላጭ፣ ሎጋሪዝም እና ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች, ስለዚህ እሱን ማወቅ መቻል አለብዎት.
ተመሳሳይነት ያላቸው እኩልታዎች የሚከተለው መዋቅር አላቸው.
በዚህ እኩልነት, A, B እና C ቁጥሮች ናቸው, እና ካሬ እና ክበብ ያመለክታሉ ተመሳሳይ መግለጫዎች. ማለትም፣ በስተግራ በኩል ተመሳሳይ በሆነ እኩልታ ያለው የአንድነት ድምር አለ። ተመሳሳይ ዲግሪ(ቪ በዚህ ጉዳይ ላይየ monomials ደረጃ 2 ነው), እና ምንም ነጻ ቃል የለም.
ለመፍታት ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ, ሁለቱንም ጎኖች በ
ትኩረት! የአንድን እኩልታ የቀኝ እና የግራ ጎን ያልታወቀ ነገር በያዘ አገላለጽ ሲከፋፈሉ ሥሩን ሊያጡ ይችላሉ። ስለዚህ ሁለቱንም የሒሳብ ክፍሎች የምንከፋፍልበት የገለጻው ሥረ-ሥሮች የዋናው እኩልታ ሥር መሆናቸውን ማረጋገጥ ያስፈልጋል።
ወደ መጀመሪያው መንገድ እንሂድ. ቀመር እናገኛለን፡-
አሁን ተለዋዋጭ ምትክ እናስተዋውቃለን-
አገላለጹን ቀለል አድርገን እናገኝ የሁለትዮሽ እኩልታከቲ ጋር አንጻራዊ፡
መልስ፡-ወይም
7
. 
ይህ ቀመር የሚከተለው መዋቅር አለው:
ለመፍታት በግራ በኩል በግራ በኩል አንድ ሙሉ ካሬ መምረጥ ያስፈልግዎታል.
አንድ ሙሉ ካሬ ለመምረጥ, ምርቱን ሁለት ጊዜ መጨመር ወይም መቀነስ ያስፈልግዎታል. ከዚያም የድምሩ ወይም ልዩነቱን ካሬ እናገኛለን. ይህ ለተሳካ ተለዋዋጭ ምትክ ወሳኝ ነው.
ምርቱን ሁለት ጊዜ በማግኘት እንጀምር. ተለዋዋጭውን ለመተካት ይህ ቁልፍ ይሆናል. በእኛ እኩልታ, ምርቱ ሁለት ጊዜ እኩል ነው
አሁን ለእኛ የበለጠ ምቹ የሆነውን ነገር እንወቅ - የድምሩ ካሬ ወይም ልዩነቱ። በመጀመሪያ የአገላለጾችን ድምር እንመልከት፡-
በጣም ጥሩ! ይህ አገላለጽ በትክክል ከምርቱ ሁለት እጥፍ ጋር እኩል ነው። ከዚያ የድምሩ ካሬን በቅንፍ ውስጥ ለማግኘት ድርብ ምርቱን ማከል እና መቀነስ ያስፈልግዎታል።
የኢንቲጀር አገላለጽ የመደመር፣ የመቀነስ እና የማባዛት ሥራዎችን በመጠቀም በቁጥር እና በጥሬ ተለዋዋጮች የተዋቀረ የሂሳብ አገላለጽ ነው። ኢንቲጀሮች ከዜሮ በስተቀር በማንኛውም ቁጥር መከፋፈልን የሚያካትቱ አገላለጾችን ያካትታሉ።
ክፍልፋይ ምክንያታዊ መግለጫ ጽንሰ-ሐሳብ
ክፍልፋይ አገላለጽ የሂሳብ አገላለጽ ሲሆን ከመደመር ተግባራት በተጨማሪ በቁጥር እና በፊደል ተለዋዋጮች የሚደረጉ መቀነስ እና ማባዛት እንዲሁም በቁጥር ከዜሮ ጋር እኩል ያልሆነ ክፍፍልን በፊደል ተለዋዋጮች መከፋፈልን ያካትታል።
ምክንያታዊ መግለጫዎች ሁሉም ሙሉ እና ክፍልፋይ መግለጫዎች ናቸው። ምክንያታዊ እኩልታዎች ግራ እና ቀኝ ጎኖች ምክንያታዊ መግለጫዎች የሆኑባቸው እኩልታዎች ናቸው። በምክንያታዊ ስሌት ግራ እና ቀኝ ጎኖች የኢንቲጀር መግለጫዎች ከሆኑ ታዲያ እንዲህ ያለው ምክንያታዊ እኩልነት ኢንቲጀር ይባላል።
በምክንያታዊ ስሌት ግራ ወይም ቀኝ ጎኖች ካሉ ክፍልፋይ መግለጫዎች, ከዚያም እንዲህ ዓይነቱ ምክንያታዊ እኩልታ ክፍልፋይ ይባላል.
የክፍልፋይ ምክንያታዊ መግለጫዎች ምሳሌዎች
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ የመፍታት እቅድ
1. በቀመር ውስጥ የተካተቱትን የሁሉም ክፍልፋዮች የጋራ መለያ ያግኙ።
2. የእኩልቱን ሁለቱንም ጎኖች በጋራ መለያ ማባዛት።
3. የተገኘውን አጠቃላይ እኩልታ ይፍቱ.
4. ሥሮቹን ይፈትሹ እና የጋራ መለያው እንዲጠፋ የሚያደርጉትን ያስወግዱ.
እኛ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን እየፈታን እንደመሆናችን መጠን በክፍልፋዮች መለያዎች ውስጥ ተለዋዋጮች ይኖራሉ። ይህ ማለት የጋራ መለያዎች ይሆናሉ ማለት ነው. እና በአልጎሪዝም ሁለተኛ ነጥብ ውስጥ በጋራ መለያየት እናባዛለን ፣ ከዚያ ውጫዊ ሥሮች ሊታዩ ይችላሉ። በዚህ ጊዜ የጋራ መለያው ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል, ይህም ማለት በእሱ ማባዛት ትርጉም የለሽ ይሆናል. ስለዚህ, በመጨረሻው ላይ የተገኙትን ሥሮች መፈተሽ አስፈላጊ ነው.
አንድ ምሳሌ እንመልከት፡-
ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ይፍቱ (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))።
እንቀጥላለን አጠቃላይ እቅድበመጀመሪያ የሁሉንም ክፍልፋዮች የጋራ መለያን እንፈልግ። x*(x-5) እናገኛለን።
እያንዳንዱን ክፍልፋይ በጋራ አካፋይ ማባዛት እና የተገኘውን አጠቃላይ እኩልታ ይፃፉ።
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x* (x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
የተፈጠረውን እኩልታ እናቀላል። እናገኛለን፡-
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
ቀለል ያለ የኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን። በማንኛውም እንፈታዋለን የታወቁ ዘዴዎች, ሥሮቹን እናገኛለን x=-2 እና x=5.
አሁን የተገኙትን መፍትሄዎች እንፈትሻለን-
ቁጥሮቹን -2 እና 5ን ወደ የጋራ መለያው ይለውጡ። በ x=-2፣ የጋራ መለያው x*(x-5) አይጠፋም፣ -2*(-2-5)=14። ይህ ማለት ቁጥሩ -2 የዋናው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ሥር ይሆናል ማለት ነው።
መቼ x=5 የጋራ መለያው x*(x-5) ይሆናል። ከዜሮ ጋር እኩል ነው።. ስለዚህ፣ ይህ ቁጥር የዋናው ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታ ሥር አይደለም፣ ምክንያቱም በዜሮ መከፋፈል ስለሚኖር።
\(\ጥይት ) - ፖሊኖሚሎች (የ "X's" ድምር በተለያዩ ኃይሎች, በተለያዩ ቁጥሮች ተባዝቷል).
በቀመር በግራ በኩል ያለው አገላለጽ ምክንያታዊ አገላለጽ ይባላል።
የምክንያታዊ እኩልታ EA (ተቀባይነት ያላቸው የእሴቶች ክልል) ሁሉም የ \(x \) እሴቶች ናቸው ፣ በዚህ ጊዜ መለያው የማይጠፋበት ፣ ማለትም \(Q (x)\ ne 0 \)።
\ (\ bullet \) ለምሳሌ ፣ እኩልታዎች \[\dfrac(x+2)(x-3)=0፣\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3፣ \qquad x^5-3x=2\]ምክንያታዊ እኩልታዎች ናቸው።
በመጀመሪያው ውስጥ የODZ እኩልታ- እነዚህ ሁሉ \(x \) እንደ \(x\ ne 3 \) (ይጻፉ \(x\in (-\infty;3)\ ኩባያ(3+\infty)\)); በሁለተኛው እኩልታ - እነዚህ ሁሉ \(x \) እንደ \(x\ne -1; x\ne 1 \) (ይጻፉ) ( x); እና በሶስተኛው እኩልታ በ ODZ ላይ ምንም ገደቦች የሉም, ማለትም, ODZ ሁሉም ነው \ (x \) (እነርሱ \ (x \ in \ mathbb (R) \) ይጽፋሉ). \(\ bullet \) ጽንሰ-ሀሳቦች፡-
1) የሁለት ነገሮች ውጤት ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል እና አንደኛው ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና ሌላኛው ትርጉሙን የማያጣ ከሆነ \(f(x)\cdot g(x)=0\\\ ) ከስርአቱ ጋር እኩል ነው። \[\ጀማሪ(ጉዳይ) \ግራ[\ጀማሪ(የተሰበሰበ)\ጀማሪ(የተስተካከለ) &f(x)=0\\ &g(x)=0 \መጨረሻ(የተሰለፈ) \መጨረሻ(የተሰበሰበ) \\\\ ጽሑፍ(ODZ እኩልታዎች)\መጨረሻ(ጉዳይ)\] 2) ክፍልፋይ ከዜሮ ጋር እኩል ይሆናል እና አሃዛዊው ከዜሮ ጋር እኩል ከሆነ እና መለያው ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆነ ብቻ ነው, ስለዚህ, እኩልታ \ (\ dfrac (f (x)) (g (x)) = 0\ ) ከእኩልታዎች ስርዓት ጋር እኩል ነው። \[\ጀማሪ(ጉዳዮች) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \መጨረሻ(ጉዳይ)\]\(\ bullet \) ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት።
1) እኩልታውን ይፍቱ \(x+1=\dfrac 2x\)። የዚህን እኩልታ ODZ እናገኝ - ይህ \(x\ne 0 \) ነው ((x \) በዲኖሚነተር ውስጥ ስለሆነ)።
ይህ ማለት ODZ እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል.
ሁሉንም ቃላቶች ወደ አንድ ክፍል እናንቀሳቅሳቸው እና ወደ አንድ የጋራ መለያ እናምጣቸዋለን፡- \[\dfrac(((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\leftrightarrow\quad \dfrac(x^2+x-2) x=0\quad\ግራኝ ቀስት\quad \ጀምር( ጉዳዮች) x^2+x-2=0\\x\ne 0\መጨረሻ(ጉዳይ)\]ለስርዓቱ የመጀመሪያ እኩልታ መፍትሄው \(x=-2, x=1\) ይሆናል. ሁለቱም ሥሮች ዜሮ እንዳልሆኑ እናያለን. ስለዚ፡ መልሱ፡ \(x\ in \(-2;1\)\) .
2) እኩልታውን ይፍቱ \(\ ግራ(\dfrac4x - 2\ቀኝ)\cdot (x^2-x)=0\). የዚህን እኩልታ ODZ እንፈልግ። በግራ በኩል ትርጉም የማይሰጥበት የ \(x \) ብቸኛው ዋጋ \(x=0 \) እንደሆነ እናያለን። ስለዚህ፣ ODZ እንደሚከተለው ሊፃፍ ይችላል። \(x\in (-\infty;0)\ ኩባያ(0+\infty)\).
ስለዚህ, ይህ እኩልታ ከስርዓቱ ጋር እኩል ነው.
\[\ጀማሪ(ጉዳይ) \ግራ[\ጀማሪ(የተሰበሰበ)\ጀማሪ(የተሰለፈ)&\dfrac 4x-2=0\\ &x^2-x=0 \መጨረሻ(የተሰለፈ) \መጨረሻ(የተሰበሰበ) \ቀኝ \\ x\ne 0 \መጨረሻ(ጉዳይ) \ ኳድ \ ግራ ቀኝ ቀስት \ ኳድ \ጀማሪ(ጉዳዮች) \ግራ[\ጀማሪ(የተሰበሰበ)\ጀማሪ(የተሰለፈ)&\dfrac 4x=2\\ &x(x-1)= 0 \መጨረሻ(የተሰለፈ) \መጨረሻ(የተሰበሰበ) \ቀኝ\\ x\ne 0 \መጨረሻ(ጉዳይ) \አራት \የግራ ቀስት \ ኳድ \ጀማሪ(ጉዳይ) \ግራ[\ጀማሪ(የተሰበሰበ)\ጀማሪ(የተስተካከለ) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \መጨረሻ(የተሰለፈ) \መጨረሻ(የተሰበሰበ) \ቀኝ\\ x\ne 0 \መጨረሻ(ጉዳይ) \ ኳድ \የግራ ቀስት \ ኳድ \ግራ \\ጀማሪ(የተሰበሰበ) \\ጀማሪ(የተስተካከለ) &x=2\\ &x=1 \መጨረሻ(የተሰለፈ) \መጨረሻ(የተሰበሰበ) \ቀኝ\]ምንም እንኳን የሁለተኛው ምክንያት \(x=0\) ቢሆንም ፣ \(x=0 \)ን ወደ መጀመሪያው እኩልነት ብትቀይሩት ትርጉም አይሰጥም ፣ ምክንያቱም አገላለጽ \(\ dfrac 40 \) አልተገለጸም።
ስለዚህም የዚህ እኩልታ መፍትሄ \(x\ in \(1;2\)\) ነው።
3) እኩልታውን ይፍቱ \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\]በእኛ እኩልታ \(4x^2-1\ne 0\) ከየትኛው \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) ማለትም \(x\ne -\frac12; \frac12) \)
ሁሉንም ቃላቶች ወደ ግራ በኩል እናንቀሳቅሳቸው እና ወደ አንድ የጋራ መለያ እናምጣቸው፡-
\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \ኳድ \የግራ ቀስት \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\ኳድ \የግራ ቀስት \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \አራት \የግራ ቀስት\)
\(\የግራ ቀኝ ቀስት \ ኳድ \ መጀመሪያ (ጉዳዮች) 2x^2+5x-3=0 \\ 4x^2-1\ne 0 \መጨረሻ(ጉዳይ) \ ኳድ \የግራ ቀስት \ ኳድ \ ጀምር(ጉዳዮች) (2x-1) )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \ፍፃሜ(ጉዳይ) \ኳድ \የግራ ቀስት \ ኳድ \ጀማሪ(ጉዳይ) \ግራ[ \ተጀመረ(የተሰበሰበ) \ጀማሪ() aligned) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \መጨረሻ(የተስተካከለ)\መጨረሻ(የተሰበሰበ) \\\\ x\ne \dfrac 12 \\ x\ ne -\dfrac 12 \መጨረሻ(ጉዳዮች) \quad \ የግራ ቀኝ ቀስት \አራት x=-3\)
መልስ፡- \(x\ in \(-3\)\) .
አስተያየት። መልሱ የተገደበ የቁጥሮች ስብስብ ከሆነ, በቀደሙት ምሳሌዎች ላይ እንደሚታየው በሴሚኮሎኖች በተቆራረጠ ቅንፍ ተለያይተው ሊጻፉ ይችላሉ.
ምክንያታዊ እኩልታዎችን መፍታት የሚያስፈልጋቸው ችግሮች በየዓመቱ በሂሳብ ውስጥ የተዋሃደ የስቴት ፈተና ያጋጥሟቸዋል, ስለዚህ የምስክር ወረቀት ፈተናውን ለማለፍ ሲዘጋጁ, ተመራቂዎች በእርግጠኝነት በዚህ ርዕስ ላይ ያለውን ንድፈ ሃሳብ በራሳቸው መድገም አለባቸው. ተመራቂዎች ሁለቱንም መሰረታዊ እና የመገለጫ ደረጃፈተና. ንድፈ ሃሳቡን በደንብ በመረዳት እና በመግባባት ተግባራዊ ልምምዶች“ምክንያታዊ እኩልታዎች” በሚለው ርዕስ ላይ ተማሪዎች በማንኛውም የተግባር ብዛት ችግሮችን መፍታት እና የተዋሃደ የስቴት ፈተናን በማለፍ ውጤት ላይ በመመስረት ተወዳዳሪ ውጤቶችን እንደሚቀበሉ ይቆጥራሉ ።
የ Shkolkovo የትምህርት መግቢያን በመጠቀም ለፈተና እንዴት መዘጋጀት ይቻላል?
አንዳንድ ጊዜ የመፍትሄውን መሰረታዊ ንድፈ ሃሳብ ሙሉ በሙሉ የሚያቀርብ ምንጭ ማግኘት ይችላሉ የሂሳብ ችግሮችበጣም አስቸጋሪ ሆኖ ይታያል. የመማሪያ መጽሃፉ በቀላሉ ላይሆን ይችላል. እና ያግኙ አስፈላጊ ቀመሮችአንዳንድ ጊዜ በይነመረብ ላይ እንኳን በጣም ከባድ ሊሆን ይችላል።
የ Shkolkovo የትምህርት ፖርታል የመፈለግ ፍላጎትን ያስታግሳል የሚፈለገው ቁሳቁስእና የማረጋገጫ ፈተናውን ለማለፍ በደንብ እንዲዘጋጁ ይረዳዎታል።
ሁሉም አስፈላጊ ንድፈ ሐሳብ"ምክንያታዊ እኩልታዎች" በሚለው ርዕስ ላይ የእኛ ስፔሻሊስቶች ተዘጋጅተው ለከፍተኛው አቅርበዋል ሊደረስበት የሚችል ቅጽ. የቀረቡትን መረጃዎች ካጠኑ በኋላ, ተማሪዎች የእውቀት ክፍተቶችን መሙላት ይችላሉ.
ለ የተሳካ ዝግጅትለ ለተመራቂዎች የተዋሃደ የግዛት ፈተናበመሠረቱ ላይ መቦረሽ ብቻ ሳይሆን አስፈላጊ ነው የንድፈ ሐሳብ ቁሳቁስ"ምክንያታዊ እኩልታዎች" በሚለው ርዕስ ላይ, ነገር ግን ስራዎችን ማጠናቀቅን ለመለማመድ የተወሰኑ ምሳሌዎች. ትልቅ የሥራ ምርጫ በ "ካታሎግ" ክፍል ውስጥ ቀርቧል.
በጣቢያው ላይ ላለው እያንዳንዱ ልምምድ ባለሙያዎቻችን የመፍትሄ አልጎሪዝም ጽፈው ትክክለኛውን መልስ አመልክተዋል. ተማሪዎች ችግሮችን የመፍታት ልምምድ ማድረግ ይችላሉ የተለያየ ዲግሪበስልጠናው ደረጃ ላይ በመመስረት ችግሮች ። በተዛማጅ ክፍል ውስጥ ያሉ የተግባሮች ዝርዝር ያለማቋረጥ ይሟላል እና ይሻሻላል.
የንድፈ-ሀሳባዊ ቁሳቁሶችን አጥኑ እና ችግር ፈቺ ክህሎቶችን በርዕሱ ላይ “ምክንያታዊ እኩልታዎች”፣ በ ውስጥ ከተካተቱት ጋር ተመሳሳይ። የተዋሃዱ የስቴት ፈተናዎች, በመስመር ላይ ሊከናወን ይችላል. አስፈላጊ ከሆነ ማንኛቸውም የቀረቡት ተግባራት ወደ "ተወዳጆች" ክፍል ሊጨመሩ ይችላሉ. እንደገና መድገም መሠረታዊ ንድፈ ሐሳብ"ምክንያታዊ እኩልታዎች" በሚለው ርዕስ ላይ አንድ የሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ተማሪ በአልጀብራ ትምህርት ውስጥ ከመምህሩ ጋር የመፍትሄውን ሂደት ለመወያየት ወደፊት ወደ ችግሩ መመለስ ይችላል.