እኛ ሂሳብ አንመርጥም።ሙያዋን ትመርጣለች።
የሩሲያ የሂሳብ ሊቅ Yu.I. ማኒን
ሞጁሎች ጋር እኩልታዎች
በት / ቤት ሒሳብ ውስጥ ለመፍታት በጣም አስቸጋሪው ችግሮች በሞጁል ምልክት ስር ተለዋዋጮችን ያካተቱ እኩልታዎች ናቸው። እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች በተሳካ ሁኔታ ለመፍታት የሞጁሉን ፍቺ እና መሰረታዊ ባህሪያት ማወቅ ያስፈልግዎታል. በተፈጥሮ፣ ተማሪዎች የዚህ አይነት እኩልታዎችን የመፍታት ችሎታ ሊኖራቸው ይገባል።
መሰረታዊ ጽንሰ-ሀሳቦች እና ባህሪያት
የእውነተኛ ቁጥር ሞዱለስ (ፍፁም እሴት)በ ተጠቁሟል እና እንደሚከተለው ይገለጻል።
የአንድ ሞጁል ቀላል ባህሪያት የሚከተሉትን ግንኙነቶች ያካትታሉ:
ማስታወሻ, የመጨረሻዎቹ ሁለት ንብረቶች ለማንኛውም ዲግሪ ዋጋ ያላቸው ናቸው.
ከዚህም በላይ, ከሆነ, የት, ከዚያም እና
ተጨማሪ ውስብስብ ሞጁል ባህሪያት, ከሞዱሊ ጋር እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ ውጤታማ በሆነ መንገድ ጥቅም ላይ ሊውል የሚችል, በሚከተሉት ንድፈ ሐሳቦች ተቀርፀዋል፡-
ቲዎሪ 1.ለማንኛውም የትንታኔ ተግባራትእና አለመመጣጠን እውነት ነው።
ቲዎሪ 2.እኩልነት ከእኩልነት ጋር እኩል ነው.
ቲዎሪ 3.እኩልነት ከእኩልነት ጋር እኩል ነው።.
“እኩልታዎች” በሚለው ርዕስ ላይ ችግሮችን ለመፍታት የተለመዱ ምሳሌዎችን እንመልከት, በሞጁል ምልክት ስር ተለዋዋጮችን የያዘ።
ከሞጁሎች ጋር እኩልታዎችን መፍታት
በት / ቤት ሒሳብ ውስጥ እኩልታዎችን በሞጁል ለመፍታት በጣም የተለመደው ዘዴ ዘዴው ነው, በሞጁል መስፋፋት ላይ የተመሰረተ. ይህ ዘዴ ሁለንተናዊ ነው, ሆኖም ግን, በአጠቃላይ ሁኔታ, አጠቃቀሙ በጣም አስቸጋሪ የሆኑ ስሌቶችን ሊያስከትል ይችላል. በዚህ ረገድ, ተማሪዎች ሌሎችን ማወቅ አለባቸው, እንደዚህ ያሉ እኩልታዎችን ለመፍታት የበለጠ ውጤታማ ዘዴዎች እና ዘዴዎች. በተለየ ሁኔታ, ንድፈ ሃሳቦችን በመተግበር ረገድ ክህሎቶች ሊኖሩት ይገባል, በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ተሰጥቷል.
ምሳሌ 1.እኩልታውን ይፍቱ. (1)
መፍትሄ። "ክላሲካል" ዘዴን በመጠቀም ቀመር (1) እንፈታዋለን - ሞጁሎችን የመግለጥ ዘዴ. ይህንን ለማድረግ የቁጥሩን ዘንግ እንከፋፍለንነጥቦች እና ወደ ክፍተቶች እና ሶስት ጉዳዮችን ግምት ውስጥ ያስገቡ.
1. እንግዲህ፣፣፣፣ እና እኩልታ (1) ቅጹን ከወሰደ። ከዚህ ይከተላል። ሆኖም፣ እዚህ፣ ስለዚህ የተገኘው እሴት የእኩልታ (1) ሥር አይደለም።
2. ከሆነ. ከዚያም ከሒሳብ (1) እናገኛለንወይም.
ከዛን ጊዜ ጀምሮ የእኩልታ ሥር (1)።
3. ከሆነ. ከዚያም ቀመር (1) ቅጹን ይወስዳልወይም. ያንን እናስተውል.
መልስ፡,.
ተከታይ እኩልታዎችን በሞጁል ስንፈታ፣ እንደዚህ ያሉ እኩልታዎችን የመፍታት ቅልጥፍናን ለመጨመር የሞጁሎችን ባህሪያት በንቃት እንጠቀማለን።
ምሳሌ 2.እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ።ጀምሮ እና ከዚያም ከሒሳብ ውስጥ ይከተላል. በዚህ ረገድ,,,, እና እኩልታው ቅጹን ይወስዳል. ከዚህ እናገኛለን. ቢሆንም ስለዚህ የመነሻው እኩልታ ሥር የለውም.
መልስ: ምንም ሥሮች የሉም.
ምሳሌ 3.እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ።ከዛን ጊዜ ጀምሮ. ከሆነ ታዲያ እና እኩልታው ቅጹን ይወስዳል.
ከዚህ እናገኛለን.
ምሳሌ 4.እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ።እኩልታውን በተመጣጣኝ ቅርጽ እንደገና እንጽፈው. (2)
የተገኘው እኩልታ የአይነት እኩልታዎች ነው።
ቲዎረም 2ን ከግምት ውስጥ በማስገባት፣ እኩልነት (2) እኩልነት ካለው እኩልነት ጋር እኩል ነው ብሎ መከራከር ይችላል። ከዚህ እናገኛለን.
መልስ፡.
ምሳሌ 5.እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ። ይህ እኩልታ ቅጽ አለው።. ለዛ ነው , በቲዎረም 3 መሠረት, እዚህ እኩልነት አለንወይም.
ምሳሌ 6.እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ።ያንን እናስብ። ምክንያቱም፣ ከዚያ የተሰጠው እኩልታ የኳድራቲክ እኩልታ መልክ ይይዛል, (3)
የት . ቀመር (3) አንድ ነጠላ አወንታዊ ሥር ስላለውእና ከዛ . ከዋናው እኩልታ ሁለት ሥር እናገኛለን፡-እና.
ምሳሌ 7. እኩልታውን ይፍቱ. (4)
መፍትሄ። ከእኩልታ ጀምሮከሁለት እኩልታዎች ጥምር ጋር እኩል ነው፡እና፣ ከዚያም ቀመር (4) ሲፈታ ሁለት ጉዳዮችን ግምት ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው.
1. ከሆነ, ከዚያ ወይም.
ከዚህ እናገኛለን እና .
2. ከሆነ, ከዚያ ወይም.
ከዛን ጊዜ ጀምሮ.
መልስ:,,,,.
ምሳሌ 8.እኩልታውን ይፍቱ . (5)
መፍትሄ።ጀምሮ እና ከዚያ. ከዚህ እና ከሒሳብ (5) ይከተላል እና , i.e. እዚህ የእኩልታዎች ስርዓት አለን።
ሆኖም ይህ የእኩልታዎች ስርዓት ወጥነት የለውም።
መልስ: ምንም ሥሮች የሉም.
ምሳሌ 9. እኩልታውን ይፍቱ. (6)
መፍትሄ።ከጠቆምን እንግዲህ እና ከቁጥር (6) እናገኛለን
ወይም. (7)
ቀመር (7) ቅጹ ስላለው፣ ይህ እኩልነት ከእኩልነት ጋር እኩል ነው። ከዚህ እናገኛለን. ከዚያን ጊዜ ጀምሮ ወይም .
መልስ፡.
ምሳሌ 10.እኩልታውን ይፍቱ. (8)
መፍትሄ።በቲዎረም 1 መሰረት, መጻፍ እንችላለን
(9)
እኩልታ (8)ን ከግምት ውስጥ በማስገባት ሁለቱም አለመመጣጠን (9) ወደ እኩልነት ይቀየራሉ ብለን መደምደም እንችላለን፣ ማለትም. የእኩልታዎች ስርዓት አለ
ነገር ግን፣ በቲዎረም 3 መሰረት፣ ከላይ ያለው የእኩልታዎች ስርዓት ከእኩልነት ስርዓት ጋር እኩል ነው።
(10)
የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት (10) እናገኛለን። የእኩልታዎች ስርዓት (10) ከቁጥር (8) ጋር እኩል ስለሆነ የዋናው እኩልታ አንድ ሥር አለው።
መልስ፡.
ምሳሌ 11. እኩልታውን ይፍቱ. (11)
መፍትሄ።እንሁን እና፣ ከዚያ እኩልነት ከሒሳብ (11) ይከተላል።
ያንን ይከተላል እና. ስለዚህ, እዚህ ያለን የእኩልነት ስርዓት አለን
የዚህ የእኩልነት ስርዓት መፍትሄ ነው።እና.
መልስ፡,.
ምሳሌ 12.እኩልታውን ይፍቱ. (12)
መፍትሄ። ቀመር (12) የሚፈታው ሞጁሎችን በቅደም ተከተል በማስፋት ዘዴ ነው። ይህንን ለማድረግ, በርካታ ጉዳዮችን እንመልከት.
1. ከሆነ እንግዲህ .
1.1. ከሆነ ፣ ከዚያ እና ፣ .
1.2. ከሆነ እንግዲህ። ቢሆንም ስለዚህ, በዚህ ሁኔታ, እኩልታ (12) ሥር የለውም.
2. ከሆነ እንግዲህ .
2.1. ከሆነ ፣ ከዚያ እና ፣ .
2.2. ከሆነ ፣ ከዚያ እና።
መልስ:,,,,,.
ምሳሌ 13.እኩልታውን ይፍቱ. (13)
መፍትሄ።የግራ እኩልታ (13) አሉታዊ ስላልሆነ፣ ከዚያ . በዚህ ረገድ እና እኩልታ (13)
ቅጹን ይወስዳል ወይም .
እኩልታው መሆኑ ይታወቃል ከሁለት እኩልታዎች ጥምረት ጋር እኩል ነውእና፣ የምናገኘውን መፍታት, . ምክንያቱም፣ ከዚያም ቀመር (13) አንድ ሥር አለው.
መልስ፡.
ምሳሌ 14. የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት (14)
መፍትሄ።ጀምሮ እና ከዚያ እና። ስለዚህ፣ ከስርዓተ ቀመር (14) አራት የእኩልታ ስርዓቶችን እናገኛለን፡-
ከላይ ያሉት የእኩልታዎች ስርአቶች የእኩልታዎች ስርአቶች ናቸው (14)።
መልስ:,,,,,,,,,,,.
ምሳሌ 15. የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት (15)
መፍትሄ።ከዛን ጊዜ ጀምሮ. በዚህ ረገድ, ከእኩልታዎች ስርዓት (15) ሁለት የእኩልታ ስርዓቶችን እናገኛለን
የመጀመርያው የሥርዓት እኩልታዎች ሥረ-ሥሮች ናቸው እና ከሁለተኛው የእኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን እና .
መልስ:,,,,.
ምሳሌ 16. የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት (16)
መፍትሄ።ከመጀመሪያው የስርዓት እኩልታ (16) እንደሚከተለው ነው.
ከዛን ጊዜ ጀምሮ . የስርዓቱን ሁለተኛውን እኩልነት እንመልከት. ምክንያቱም፣ ያ ፣ እና እኩልታው ቅጹን ይወስዳል, ወይም.
እሴቱን ከተተካወደ የመጀመሪያው የስርዓት እኩልታ (16)ከዚያም ወይም.
መልስ፡,.
የችግር አፈታት ዘዴዎችን በጥልቀት ለማጥናት, እኩልታዎችን ከመፍታት ጋር የተያያዘ, በሞጁል ምልክት ስር ተለዋዋጮችን የያዘ, ከተመከሩት ጽሑፎች ዝርዝር ውስጥ አጋዥ ስልጠናዎችን መምከር ይችላሉ።
1. ለኮሌጆች አመልካቾች በሂሳብ የችግሮች ስብስብ / Ed. ኤም.አይ. ስካናቪ. - ኤም.: ሰላም እና ትምህርት, 2013. - 608 p.
2. ሱፑሩን ቪ.ፒ. ለሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች የሂሳብ ትምህርት: ውስብስብነት መጨመር ተግባራት. - M.: ሲዲ “ሊብሮኮም” / ዩአርኤስ, 2017. - 200 p.
3. ሱፑሩን ቪ.ፒ. የሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ተማሪዎች የሂሳብ ትምህርት: ችግሮችን ለመፍታት መደበኛ ያልሆኑ ዘዴዎች. - M.: ሲዲ “ሊብሮኮም” / ዩአርኤስ, 2017. - 296 p.
አሁንም ጥያቄዎች አሉዎት?
ከአስተማሪ እርዳታ ለማግኘት -.
blog.site፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ዋናው ምንጭ ማገናኛ ያስፈልጋል።
እኛ ሂሳብ አንመርጥም።ሙያዋን ትመርጣለች።
የሩሲያ የሂሳብ ሊቅ Yu.I. ማኒን
ሞጁሎች ጋር እኩልታዎች
በት / ቤት ሒሳብ ውስጥ ለመፍታት በጣም አስቸጋሪው ችግሮች በሞጁል ምልክት ስር ተለዋዋጮችን ያካተቱ እኩልታዎች ናቸው። እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች በተሳካ ሁኔታ ለመፍታት የሞጁሉን ፍቺ እና መሰረታዊ ባህሪያት ማወቅ ያስፈልግዎታል. በተፈጥሮ፣ ተማሪዎች የዚህ አይነት እኩልታዎችን የመፍታት ችሎታ ሊኖራቸው ይገባል።
መሰረታዊ ጽንሰ-ሀሳቦች እና ባህሪያት
የእውነተኛ ቁጥር ሞዱለስ (ፍፁም እሴት)በ ተጠቁሟል እና እንደሚከተለው ይገለጻል።
የአንድ ሞጁል ቀላል ባህሪያት የሚከተሉትን ግንኙነቶች ያካትታሉ:
ማስታወሻ, የመጨረሻዎቹ ሁለት ንብረቶች ለማንኛውም ዲግሪ ዋጋ ያላቸው ናቸው.
ከዚህም በላይ, ከሆነ, የት, ከዚያም እና
ተጨማሪ ውስብስብ ሞጁል ባህሪያት, ከሞዱሊ ጋር እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ ውጤታማ በሆነ መንገድ ጥቅም ላይ ሊውል የሚችል, በሚከተሉት ንድፈ ሐሳቦች ተቀርፀዋል፡-
ቲዎሪ 1.ለማንኛውም የትንታኔ ተግባራትእና አለመመጣጠን እውነት ነው።
ቲዎሪ 2.እኩልነት ከእኩልነት ጋር እኩል ነው.
ቲዎሪ 3.እኩልነት ከእኩልነት ጋር እኩል ነው።.
“እኩልታዎች” በሚለው ርዕስ ላይ ችግሮችን ለመፍታት የተለመዱ ምሳሌዎችን እንመልከት, በሞጁል ምልክት ስር ተለዋዋጮችን የያዘ።
ከሞጁሎች ጋር እኩልታዎችን መፍታት
በት / ቤት ሒሳብ ውስጥ እኩልታዎችን በሞጁል ለመፍታት በጣም የተለመደው ዘዴ ዘዴው ነው, በሞጁል መስፋፋት ላይ የተመሰረተ. ይህ ዘዴ ሁለንተናዊ ነው, ሆኖም ግን, በአጠቃላይ ሁኔታ, አጠቃቀሙ በጣም አስቸጋሪ የሆኑ ስሌቶችን ሊያስከትል ይችላል. በዚህ ረገድ, ተማሪዎች ሌሎችን ማወቅ አለባቸው, እንደዚህ ያሉ እኩልታዎችን ለመፍታት የበለጠ ውጤታማ ዘዴዎች እና ዘዴዎች. በተለየ ሁኔታ, ንድፈ ሃሳቦችን በመተግበር ረገድ ክህሎቶች ሊኖሩት ይገባል, በዚህ ጽሑፍ ውስጥ ተሰጥቷል.
ምሳሌ 1.እኩልታውን ይፍቱ. (1)
መፍትሄ። "ክላሲካል" ዘዴን በመጠቀም ቀመር (1) እንፈታዋለን - ሞጁሎችን የመግለጥ ዘዴ. ይህንን ለማድረግ የቁጥሩን ዘንግ እንከፋፍለንነጥቦች እና ወደ ክፍተቶች እና ሶስት ጉዳዮችን ግምት ውስጥ ያስገቡ.
1. እንግዲህ፣፣፣፣ እና እኩልታ (1) ቅጹን ከወሰደ። ከዚህ ይከተላል። ሆኖም፣ እዚህ፣ ስለዚህ የተገኘው እሴት የእኩልታ (1) ሥር አይደለም።
2. ከሆነ. ከዚያም ከሒሳብ (1) እናገኛለንወይም.
ከዛን ጊዜ ጀምሮ የእኩልታ ሥር (1)።
3. ከሆነ. ከዚያም ቀመር (1) ቅጹን ይወስዳልወይም. ያንን እናስተውል.
መልስ፡,.
ተከታይ እኩልታዎችን በሞጁል ስንፈታ፣ እንደዚህ ያሉ እኩልታዎችን የመፍታት ቅልጥፍናን ለመጨመር የሞጁሎችን ባህሪያት በንቃት እንጠቀማለን።
ምሳሌ 2.እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ።ጀምሮ እና ከዚያም ከሒሳብ ውስጥ ይከተላል. በዚህ ረገድ,,,, እና እኩልታው ቅጹን ይወስዳል. ከዚህ እናገኛለን. ቢሆንም ስለዚህ የመነሻው እኩልታ ሥር የለውም.
መልስ: ምንም ሥሮች የሉም.
ምሳሌ 3.እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ።ከዛን ጊዜ ጀምሮ. ከሆነ ታዲያ እና እኩልታው ቅጹን ይወስዳል.
ከዚህ እናገኛለን.
ምሳሌ 4.እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ።እኩልታውን በተመጣጣኝ ቅርጽ እንደገና እንጽፈው. (2)
የተገኘው እኩልታ የአይነት እኩልታዎች ነው።
ቲዎረም 2ን ከግምት ውስጥ በማስገባት፣ እኩልነት (2) እኩልነት ካለው እኩልነት ጋር እኩል ነው ብሎ መከራከር ይችላል። ከዚህ እናገኛለን.
መልስ፡.
ምሳሌ 5.እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ። ይህ እኩልታ ቅጽ አለው።. ለዛ ነው , በቲዎረም 3 መሠረት, እዚህ እኩልነት አለንወይም.
ምሳሌ 6.እኩልታውን ይፍቱ.
መፍትሄ።ያንን እናስብ። ምክንያቱም፣ ከዚያ የተሰጠው እኩልታ የኳድራቲክ እኩልታ መልክ ይይዛል, (3)
የት . ቀመር (3) አንድ ነጠላ አወንታዊ ሥር ስላለውእና ከዛ . ከዋናው እኩልታ ሁለት ሥር እናገኛለን፡-እና.
ምሳሌ 7. እኩልታውን ይፍቱ. (4)
መፍትሄ። ከእኩልታ ጀምሮከሁለት እኩልታዎች ጥምር ጋር እኩል ነው፡እና፣ ከዚያም ቀመር (4) ሲፈታ ሁለት ጉዳዮችን ግምት ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው.
1. ከሆነ, ከዚያ ወይም.
ከዚህ እናገኛለን እና .
2. ከሆነ, ከዚያ ወይም.
ከዛን ጊዜ ጀምሮ.
መልስ:,,,,.
ምሳሌ 8.እኩልታውን ይፍቱ . (5)
መፍትሄ።ጀምሮ እና ከዚያ. ከዚህ እና ከሒሳብ (5) ይከተላል እና , i.e. እዚህ የእኩልታዎች ስርዓት አለን።
ሆኖም ይህ የእኩልታዎች ስርዓት ወጥነት የለውም።
መልስ: ምንም ሥሮች የሉም.
ምሳሌ 9. እኩልታውን ይፍቱ. (6)
መፍትሄ።ከጠቆምን እንግዲህ እና ከቁጥር (6) እናገኛለን
ወይም. (7)
ቀመር (7) ቅጹ ስላለው፣ ይህ እኩልነት ከእኩልነት ጋር እኩል ነው። ከዚህ እናገኛለን. ከዚያን ጊዜ ጀምሮ ወይም .
መልስ፡.
ምሳሌ 10.እኩልታውን ይፍቱ. (8)
መፍትሄ።በቲዎረም 1 መሰረት, መጻፍ እንችላለን
(9)
እኩልታ (8)ን ከግምት ውስጥ በማስገባት ሁለቱም አለመመጣጠን (9) ወደ እኩልነት ይቀየራሉ ብለን መደምደም እንችላለን፣ ማለትም. የእኩልታዎች ስርዓት አለ
ነገር ግን፣ በቲዎረም 3 መሰረት፣ ከላይ ያለው የእኩልታዎች ስርዓት ከእኩልነት ስርዓት ጋር እኩል ነው።
(10)
የእኩልታዎችን ስርዓት መፍታት (10) እናገኛለን። የእኩልታዎች ስርዓት (10) ከቁጥር (8) ጋር እኩል ስለሆነ የዋናው እኩልታ አንድ ሥር አለው።
መልስ፡.
ምሳሌ 11. እኩልታውን ይፍቱ. (11)
መፍትሄ።እንሁን እና፣ ከዚያ እኩልነት ከሒሳብ (11) ይከተላል።
ያንን ይከተላል እና. ስለዚህ, እዚህ ያለን የእኩልነት ስርዓት አለን
የዚህ የእኩልነት ስርዓት መፍትሄ ነው።እና.
መልስ፡,.
ምሳሌ 12.እኩልታውን ይፍቱ. (12)
መፍትሄ። ቀመር (12) የሚፈታው ሞጁሎችን በቅደም ተከተል በማስፋት ዘዴ ነው። ይህንን ለማድረግ, በርካታ ጉዳዮችን እንመልከት.
1. ከሆነ እንግዲህ .
1.1. ከሆነ ፣ ከዚያ እና ፣ .
1.2. ከሆነ እንግዲህ። ቢሆንም ስለዚህ, በዚህ ሁኔታ, እኩልታ (12) ሥር የለውም.
2. ከሆነ እንግዲህ .
2.1. ከሆነ ፣ ከዚያ እና ፣ .
2.2. ከሆነ ፣ ከዚያ እና።
መልስ:,,,,,.
ምሳሌ 13.እኩልታውን ይፍቱ. (13)
መፍትሄ።የግራ እኩልታ (13) አሉታዊ ስላልሆነ፣ ከዚያ . በዚህ ረገድ እና እኩልታ (13)
ቅጹን ይወስዳል ወይም .
እኩልታው መሆኑ ይታወቃል ከሁለት እኩልታዎች ጥምረት ጋር እኩል ነውእና፣ የምናገኘውን መፍታት, . ምክንያቱም፣ ከዚያም ቀመር (13) አንድ ሥር አለው.
መልስ፡.
ምሳሌ 14. የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት (14)
መፍትሄ።ጀምሮ እና ከዚያ እና። ስለዚህ፣ ከስርዓተ ቀመር (14) አራት የእኩልታ ስርዓቶችን እናገኛለን፡-
ከላይ ያሉት የእኩልታዎች ስርአቶች የእኩልታዎች ስርአቶች ናቸው (14)።
መልስ:,,,,,,,,,,,.
ምሳሌ 15. የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት (15)
መፍትሄ።ከዛን ጊዜ ጀምሮ. በዚህ ረገድ, ከእኩልታዎች ስርዓት (15) ሁለት የእኩልታ ስርዓቶችን እናገኛለን
የመጀመርያው የሥርዓት እኩልታዎች ሥረ-ሥሮች ናቸው እና ከሁለተኛው የእኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን እና .
መልስ:,,,,.
ምሳሌ 16. የእኩልታዎች ስርዓት መፍታት (16)
መፍትሄ።ከመጀመሪያው የስርዓት እኩልታ (16) እንደሚከተለው ነው.
ከዛን ጊዜ ጀምሮ . የስርዓቱን ሁለተኛውን እኩልነት እንመልከት. ምክንያቱም፣ ያ ፣ እና እኩልታው ቅጹን ይወስዳል, ወይም.
እሴቱን ከተተካወደ የመጀመሪያው የስርዓት እኩልታ (16)ከዚያም ወይም.
መልስ፡,.
የችግር አፈታት ዘዴዎችን በጥልቀት ለማጥናት, እኩልታዎችን ከመፍታት ጋር የተያያዘ, በሞጁል ምልክት ስር ተለዋዋጮችን የያዘ, ከተመከሩት ጽሑፎች ዝርዝር ውስጥ አጋዥ ስልጠናዎችን መምከር ይችላሉ።
1. ለኮሌጆች አመልካቾች በሂሳብ የችግሮች ስብስብ / Ed. ኤም.አይ. ስካናቪ. - ኤም.: ሰላም እና ትምህርት, 2013. - 608 p.
2. ሱፑሩን ቪ.ፒ. ለሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች የሂሳብ ትምህርት: ውስብስብነት መጨመር ተግባራት. - M.: ሲዲ “ሊብሮኮም” / ዩአርኤስ, 2017. - 200 p.
3. ሱፑሩን ቪ.ፒ. የሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ተማሪዎች የሂሳብ ትምህርት: ችግሮችን ለመፍታት መደበኛ ያልሆኑ ዘዴዎች. - M.: ሲዲ “ሊብሮኮም” / ዩአርኤስ, 2017. - 296 p.
አሁንም ጥያቄዎች አሉዎት?
ከአስተማሪ እርዳታ ለማግኘት ይመዝገቡ።
ድህረ ገጽ፣ ቁሳቁሱን በሙሉ ወይም በከፊል ሲገለብጥ፣ ወደ ምንጩ የሚወስድ አገናኝ ያስፈልጋል።
MBOU ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ቁጥር 17, ኢቫኖቮ
« ከሞዱል ጋር እኩልታዎች"
ዘዴያዊ እድገት
የተጠናቀረ
የሂሳብ መምህር
ሌቤዴቫ ኤን.ቪ.20010
ገላጭ ማስታወሻ
ምዕራፍ 1. መግቢያ
ክፍል 2. መሰረታዊ ባህሪያት ክፍል 3. የቁጥር ሞጁል ጽንሰ-ሐሳብ ጂኦሜትሪክ ትርጓሜ ክፍል 4. የተግባሩ ግራፍ y = |x| ክፍል 5. ስምምነቶችምዕራፍ 2. ሞጁል የያዙ እኩልታዎችን መፍታት
ክፍል 1. የቅጹ እኩልታዎች |F(x)| = ሜትር (ቀላል) ክፍል 2. የቅጹ እኩልታዎች F (| x |) = m ክፍል 3. የቅጹ እኩልታዎች |F(x)| = G(x) ክፍል 4. የቅጹ እኩልታዎች |F(x)| = ± ረ(x) (በጣም ቆንጆ) ክፍል 5. የቅጹ እኩልታዎች |F(x)| = |ጂ(x)| ክፍል 6. መደበኛ ያልሆኑ እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎች ክፍል 7. የቅጹ እኩልታዎች |F(x)| + |ጂ(x)| = 0 ክፍል 8. የቅጹ እኩልታዎች |a 1 x ± b 1 | ± |a 2 x ± b 2 | ± …|a n x ± በ n | = ሜትር ክፍል 9. በርካታ ሞጁሎችን የያዙ እኩልታዎችምዕራፍ 3. የተለያዩ እኩልታዎችን በሞጁሎች የመፍታት ምሳሌዎች.
ክፍል 1. ትሪግኖሜትሪክ እኩልታዎች ክፍል 2. ገላጭ እኩልታዎች ክፍል 3. ሎጋሪዝም እኩልታዎች ክፍል 4. ምክንያታዊ ያልሆኑ እኩልታዎች ክፍል 5. የላቀ ተግባራት ለአካል ብቃት እንቅስቃሴ ምላሾች መጽሃፍ ቅዱስገላጭ ማስታወሻ.
የእውነተኛ ቁጥር ፍፁም እሴት (ሞዱሉስ) ጽንሰ-ሀሳብ አንዱ አስፈላጊ ባህሪ ነው። ይህ ጽንሰ-ሀሳብ በተለያዩ የአካል፣ የሂሳብ እና ቴክኒካል ሳይንሶች ውስጥ በሰፊው ተሰራጭቷል። በሩሲያ ፌዴሬሽን የመከላከያ ሚኒስቴር መርሃ ግብር መሠረት በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤቶች ውስጥ የሂሳብ ትምህርቶችን በማስተማር ልምምድ ውስጥ "የቁጥር ፍፁም እሴት" ጽንሰ-ሀሳብ በተደጋጋሚ ያጋጥመዋል-በ 6 ኛ ክፍል ውስጥ የአንድ ሞጁል ፍቺ እና የእሱ የጂኦሜትሪክ ትርጉም አስተዋውቋል; በ 8 ኛ ክፍል የፍፁም ስህተት ጽንሰ-ሀሳብ ይፈጠራል ፣ ሞጁል የያዙ ቀላሉ እኩልታዎች እና እኩልነቶች መፍትሄ ይታሰባል ፣ እና የሂሳብ ስኩዌር ስር ያሉ ባህሪዎች ይማራሉ ። በ 11 ኛ ክፍል ጽንሰ-ሐሳቡ በክፍል "ሥር n- ኛ ዲግሪ."የማስተማር ልምድ እንደሚያሳየው ተማሪዎች ብዙውን ጊዜ የዚህን ቁሳቁስ እውቀት የሚጠይቁ ስራዎችን በመፍታት ረገድ ችግሮች ያጋጥሟቸዋል, እና ብዙውን ጊዜ ማጠናቀቅ ሳይጀምሩ ይዘለላሉ. ለ9ኛ እና 11ኛ ክፍል ኮርሶች የፈተና ስራዎች ፅሁፎችም ተመሳሳይ ስራዎችን ያካትታሉ። በተጨማሪም ዩኒቨርሲቲዎች ለትምህርት ቤት ተመራቂዎች የሚያስቀምጡት መስፈርቶች የተለያዩ ናቸው, ማለትም, ከት / ቤቱ ሥርዓተ-ትምህርት መስፈርቶች በበለጠ ደረጃ. በዘመናዊው ህብረተሰብ ውስጥ ለህይወት, በተወሰኑ የአዕምሮ ችሎታዎች ውስጥ የተገለጠው የሂሳብ የአስተሳሰብ ዘይቤ መፈጠር በጣም አስፈላጊ ነው. በሞጁሎች ውስጥ ያሉ ችግሮችን በመፍታት ሂደት እንደ አጠቃላይ እና ዝርዝር መግለጫ ፣ ትንተና ፣ ምደባ እና ስርዓት እና ተመሳሳይነት ያሉ ቴክኒኮችን የመጠቀም ችሎታ ያስፈልጋል ። እንደዚህ አይነት ስራዎችን መፍታት ስለ የትምህርት ቤቱ ኮርስ ዋና ዋና ክፍሎች, የሎጂክ አስተሳሰብ ደረጃ እና የመጀመሪያ የምርምር ችሎታዎች እውቀትን ለመፈተሽ ያስችልዎታል. ይህ ሥራ ለአንደኛው ክፍል የተወሰነ ነው - ሞጁል የያዙ እኩልታዎችን መፍታት። ሦስት ምዕራፎችን ያቀፈ ነው። የመጀመሪያው ምዕራፍ መሰረታዊ ፅንሰ ሀሳቦችን እና በጣም አስፈላጊ የሆኑትን የንድፈ ሃሳቦችን ያስተዋውቃል. ሁለተኛው ምዕራፍ ሞጁሉን የያዙ ዘጠኝ ዋና ዋና የእኩልታ ዓይነቶችን ያቀርባል፣ የመፍትሄ ሃሳቦችን ያብራራል እና የተለያዩ ውስብስብነት ደረጃዎችን ምሳሌዎችን ይመረምራል። ሦስተኛው ምዕራፍ የበለጠ ውስብስብ እና መደበኛ ያልሆኑ እኩልታዎችን (ትሪግኖሜትሪክ፣ ገላጭ፣ ሎጋሪዝም እና ምክንያታዊ ያልሆነ) ያቀርባል። ለእያንዳንዱ የእኩልታ አይነት በተናጥል ለመፍታት መልመጃዎች አሉ (መልሶች እና መመሪያዎች ተያይዘዋል)። የዚህ ሥራ ዋና ዓላማ መምህራን ለትምህርት ዝግጅት እና ለምርጫ ኮርሶች በማደራጀት ዘዴያዊ እገዛን መስጠት ነው. ትምህርቱ ለሁለተኛ ደረጃ ተማሪዎች እንደ ማስተማሪያ እገዛ ሊያገለግል ይችላል። በስራው ውስጥ የታቀዱት ተግባራት ትኩረት የሚስቡ እና ለመፍታት ሁልጊዜ ቀላል አይደሉም, ይህም የተማሪዎችን የትምህርት ተነሳሽነት የበለጠ ግንዛቤ እንዲኖረው, ችሎታቸውን ለመፈተሽ እና የትምህርት ቤት ተመራቂዎች ወደ ዩኒቨርሲቲዎች ለመግባት የዝግጅት ደረጃን ለመጨመር ያስችላል. የታቀዱት መልመጃዎች የተለየ ምርጫ ቁሳቁስን ከመማር ወደ ፈጠራው ከመራቢያ ደረጃ ሽግግርን ያካትታል ፣ እንዲሁም መደበኛ ያልሆኑ ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ እውቀትዎን እንዴት እንደሚተገበሩ ለማስተማር እድል ይሰጣል ።ምዕራፍ 1. መግቢያ.
ክፍል 1. የፍፁም ዋጋ መወሰን .
ፍቺ : የእውነተኛ ቁጥር ፍፁም እሴት (ሞዱሉስ) ሀአሉታዊ ያልሆነ ቁጥር ይባላል፡- ሀወይም - አ. ስያሜ፡ │ ሀ │ መግቢያው እንደሚከተለው ይነበባል፡- “የቁጥር ሀ” ወይም “የቁጥር ሀ ፍፁም እሴት”│ a, a > 0 ከሆነ
│a│ = │ 0፣ ከሆነ a = 0 (1)
│ - እና, a ከሆነምሳሌዎች፡- 1) │2,5│ = 2,5 2) │-7│ = 7 3) │1 - √2│ = √2 – 1
- የመግለፅ ሞጁሉን ዘርጋ፡
ክፍል 2. መሰረታዊ ባህሪያት.
የፍፁም እሴት መሰረታዊ ባህሪያትን እንመልከት። ንብረት #1፡ ተቃራኒ ቁጥሮች እኩል ሞጁሎች አላቸው, ማለትም. │አ│=│- አእኩልነት ትክክል መሆኑን እናሳይ። የቁጥሩን ፍቺ እንፃፍ - አ : │- a│= (2) ስብስቦችን (1) እና (2) እናወዳድር። በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው የቁጥሮች ፍፁም እሴቶች ፍቺዎች ሀእና - አማዛመድ። ስለዚህም እ.ኤ.አ. │አ│=│- አየሚከተሉትን ንብረቶች ከግምት ውስጥ ስናስገባ፣ ማረጋገጫቸው የተሰጣቸው በመሆኑ እራሳችንን በእነርሱ አቀነባበር እንወስናለን። ንብረት #2፡ የአንድ የተወሰነ የእውነተኛ ቁጥሮች ድምር ፍፁም ዋጋ ከውሎቹ የፍፁም እሴቶች ድምር አይበልጥም፡- │ 1 + а 2 +…+ а n │ ≤│ 1 + … + │ n │ ንብረት #3፡ በሁለት እውነተኛ ቁጥሮች መካከል ያለው ልዩነት ፍፁም ዋጋ ከፍፁም እሴቶቻቸው ድምር አይበልጥም፡- │ - в│ ≤│а│+│в│ ንብረት #4፡ የአንድ የተወሰነ የእውነተኛ ቁጥሮች ምርት ፍፁም ዋጋ ከምክንያቶቹ ፍፁም እሴቶች ውጤት ጋር እኩል ነው፡ │а·в│=│а│·│в│ ንብረት #5፡ የእውነተኛ ቁጥሮች የፍፁም ዋጋ ከፍፁም እሴቶቻቸው ብዛት ጋር እኩል ነው።
ክፍል 3. የቁጥር ሞጁል ጽንሰ-ሐሳብ ጂኦሜትሪክ ትርጓሜ.
እያንዳንዱ እውነተኛ ቁጥር በቁጥር መስመር ላይ ካለው ነጥብ ጋር ሊጣመር ይችላል, ይህም የዚህ እውነተኛ ቁጥር ጂኦሜትሪክ ምስል ይሆናል. በቁጥር መስመር ላይ ያለው እያንዳንዱ ነጥብ ከመነሻው ርቀት ጋር ይዛመዳል, ማለትም. የክፍሉ ርዝመት ከመነሻው እስከ አንድ ነጥብ ድረስ. ይህ ርቀት ሁልጊዜ እንደ አሉታዊ ያልሆነ እሴት ይቆጠራል. ስለዚህ ፣ የተዛማጁ ክፍል ርዝመት የአንድ ትክክለኛ ቁጥር የፍፁም እሴት ጂኦሜትሪክ ትርጓሜ ይሆናል።
የቀረበው የጂኦሜትሪክ ስዕላዊ መግለጫ የንብረት ቁጥር 1ን በግልፅ ያረጋግጣል, ማለትም. የተቃራኒ ቁጥሮች ሞጁሎች እኩል ናቸው። ከዚህ በመነሳት የእኩልነት ትክክለኛነት በቀላሉ መረዳት ይቻላል፡- │х – а│= │а – x│. ኤም ≥ 0 ፣ ማለትም x 1.2 = ± m ፣ እኩልታ │х│= m ፣ መፍትሄው የበለጠ ግልፅ ይሆናል። ምሳሌዎች፡- 1) │х│= 4 x 1.2 = ± 4 2) │х - 3│= 1
x 1.2 = 2; 4 ክፍል 4. የተግባሩ ግራፍ y = │х│
የዚህ ተግባር ጎራ ሁሉም እውነተኛ ቁጥሮች ነው።ክፍል 5. ስምምነቶች.
ወደፊት፣ እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎችን በሚመለከቱበት ጊዜ፣ የሚከተሉት ስምምነቶች ጥቅም ላይ ይውላሉ። (- የስርዓቱ ምልክት [- የጠቅላላው ምልክት የእኩልታዎች (የእኩልነት) ስርዓትን በሚፈታበት ጊዜ, በስርዓቱ ውስጥ የተካተቱትን እኩልታዎች (የመፍትሄዎች) መፍትሄዎች መገናኛው ተገኝቷል. የእኩልታዎች ስብስብ (እኩልነት) ሲፈታ, በእኩልነት ስብስብ ውስጥ የተካተቱት የመፍትሄዎች አንድነት ተገኝቷል.ምዕራፍ 2. ሞጁል የያዙ እኩልታዎችን መፍታት.
በዚህ ምዕራፍ አንድ ወይም ከዚያ በላይ ሞጁሎችን የያዙ እኩልታዎችን ለመፍታት የአልጀብራ ዘዴዎችን እንመለከታለን።ክፍል 1. የቅጹ እኩልታዎች │F (x)│= m
የዚህ ዓይነቱ እኩልታ በጣም ቀላሉ ተብሎ ይጠራል. መፍትሄ አለው m ≥ 0. በሞጁሉስ ፍቺ መሰረት የዋናው እኩልታ ከሁለት እኩልታዎች ስብስብ ጋር እኩል ነው፡ │ ኤፍ(x)│=ኤም
ምሳሌዎች፡-
№1. እኩልታውን ይፍቱ፡ │7х - 2│= 9
መልስ፡ x 1
= - 1; X 2
= 1
4
/
7
№2
│x 2 + 3x + 1│= 1
x 2 + 3x + 2 = 0 x 2 +3x = 0 x 1 = -1; x 2 = -2 x (x + 3) = 0 x 1 = 0; x 2 = -3 መልስ: ሥሮቹ ድምር - 2.№3
│x 4 -5x 2 + 2│= 2 x 4 – 5x 2 = 0 x 4 – 5x 2 + 4 = 0 x 2 (x 2 – 5) = 0 እንጥቀስ x 2 = m, m ≥ 0 x = 0 ; ±√5 ሜትር 2 - 5ሜ + 4 = 0 ሜትር = 1; 4 - ሁለቱም እሴቶች ሁኔታውን ያረካሉ m ≥ 0 x 2 = 1 x 2 = 4 x = ± 1 x = ± 2 መልስ፡- የእኩልታ ሥሮች ብዛት 7. መልመጃዎች
№1. እኩልታውን ይፍቱ እና የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ፡- │х - 5│= 3 №2 . እኩልታውን ይፍቱ እና ትንሹን ስር ያመልክቱ፡- │x 2 + x│= 0 №3 . እኩልታውን ይፍቱ እና ትልቁን ስር ያመልክቱ፡ │x 2 – 5x + 4│= 4 №4 . እኩልታውን ይፍቱ እና ሙሉውን ስር ያመልክቱ፡ │2x 2 – 7x + 6│= 1 №5 እኩልታውን ይፍቱ እና የሥሮቹን ብዛት ያመልክቱ፡ │x 4 – 13x 2 + 50│= 14
ክፍል 2. የቅጹ እኩልታዎች F (│х│) = m
በግራ በኩል ያለው የተግባር ክርክር በሞጁል ምልክት ስር ነው, እና የቀኝ ጎን ከተለዋዋጭ ነጻ ነው. የዚህ አይነት እኩልታዎችን ለመፍታት ሁለት መንገዶችን እንመልከት። 1 መንገድ:በፍፁም እሴት ፍቺ ፣የመጀመሪያው እኩልታ ከሁለት ስርዓቶች ጥምር ጋር እኩል ነው። በእያንዳንዳቸው አንድ ሁኔታ በንዑስ ሞዱላር አገላለጽ ላይ ተጭኗል። ኤፍ(│x│) =ኤም
ተግባር F(│x│) በጠቅላላው የፍቺ ጎራ ውስጥ የሚገኝ በመሆኑ፣ የእኩልታዎች ሥሮች F(x) = m እና F(- x) = m ተቃራኒ ቁጥሮች ጥንድ ናቸው። ስለዚህ, አንዱን ስርዓት መፍታት በቂ ነው (በዚህ መንገድ ምሳሌዎችን ሲመለከቱ, ለአንድ ስርዓት መፍትሄ ይሰጣል). ዘዴ 2፡አዲስ ተለዋዋጭ የማስተዋወቅ ዘዴ ትግበራ. በዚህ ሁኔታ, ስያሜው │x│= a ተካቷል, ≥ 0. ይህ ዘዴ በንድፍ ውስጥ አነስተኛ መጠን ያለው ነው. ምሳሌዎች፡- №1 . እኩልታውን ይፍቱ፡ 3x 2 – 4│x│= - 1 አዲስ ተለዋዋጭ መግቢያን እንጠቀም። │x│= aን እንጥቀስ፣ ሀ ≥ 0. እኩልታውን እናገኛለን 3a 2 - 4a + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 a 1 = 1 a 2 = 1/ 3 ወደ ዋናው ተለዋዋጭ ተመለስ፡ │ x│=1 እና │х│= 1/3። እያንዳንዱ እኩልታ ሁለት ሥሮች አሉት. መልስ፡ x 1 = 1; X 2 = - 1; X 3 = 1 / 3 ; X 4 = - 1 / 3 . №2. እኩልታውን ይፍቱ፡ 5x 2 + 3│x│- 1 = 1/2 │x│ + 3x 2
የህዝቡን የመጀመሪያ ስርዓት መፍትሄ እንፈልግ፡ 4x 2 + 5x – 2 =0 D = 57 x 1 = -5+√57/ 8 x 2 = -5-√57/ 8 x 2 አያረካም። ሁኔታው x ≥ 0. መፍትሄው ሁለተኛው ስርዓት ከዋጋው x 1 ተቃራኒ የሆነ ቁጥር ይሆናል. መልስ፡ x 1
=
-5+√57
/
8
; X 2
=
5-√57
/
8
.№3
.
እኩልታውን ይፍቱ፡- x 4 – │х│= 0 │х│= ሀ፣ የት ≥ 0ን እንጥቀስ። a 2 = 1 ወደ ዋናው ተለዋዋጭ ተመለስ: │х│=0 እና │х│= 1 x = 0; ± 1 መልስ፡ x 1
= 0; X 2
= 1; X 3
= - 1.
መልመጃዎች №6. እኩልታውን ይፍቱ፡ 2│х│ - 4.5 = 5 – 3/8 │х│ №7 . እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ የስርወቹን ብዛት ያመልክቱ፡ 3x 2 - 7│x│ + 2 = 0 №8 . እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ የኢንቲጀር መፍትሄዎችን ያመልክቱ፡ x 4 + │x│ - 2 = 0
ክፍል 3. የቅጹ እኩልታዎች │F(x)│ = G(x)
የዚህ ዓይነቱ እኩልታ የቀኝ እጅ በተለዋዋጭ ላይ የሚመረኮዝ ሲሆን ስለዚህ የቀኝ እጅ ተግባር G (x) ≥ 0 ከሆነ መፍትሄ ይኖረዋል። : 1 መንገድ:ስታንዳርድ፣ የአንድ ሞጁል ገለፃን መሰረት በማድረግ በትርጉሙ ላይ የተመሰረተ እና ተመጣጣኝ ሽግግርን ወደ ሁለት ስርዓቶች ጥምር ያካትታል። │ ኤፍ(x) │ =ጂ(X)
ይህ ዘዴ ለ G (x) ተግባር ውስብስብ አገላለጽ እና ለ F (x) ተግባር አነስተኛ ውስብስብ በሆነበት ጊዜ ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል ፣ ምክንያቱም ከF (x) ተግባር ጋር አለመመጣጠን እንደሚፈታ ስለሚታሰብ። ዘዴ 2፡አንድ ሁኔታ በቀኝ በኩል ወደ ተጭኖበት ወደ ተመጣጣኝ ስርዓት ሽግግርን ያካትታል. │ ኤፍ(x)│=
ጂ(x)
ይህ ዘዴ የ G (x) አገላለጽ ከተግባሩ F (x) ያነሰ ውስብስብ ከሆነ ለመጠቀም የበለጠ አመቺ ነው, ምክንያቱም የጂ (x) ≥ 0 እኩልነት መፍትሄ ስለሚታሰብ ነው. በተጨማሪም, በጉዳዩ ላይ. ከበርካታ ሞጁሎች, ሁለተኛውን አማራጭ ለመጠቀም ይመከራል. ምሳሌዎች፡-
№1.
እኩልታውን ይፍቱ፡ │x + 2│= 6 -2x 
(1 መንገድ) መልስ፡- x = 1 1
/
3
№2.
│ 2 – 2х - 1│= 2·(x + 1)
(2 መንገድ) መልስ፡- የሥሩ ምርት 3 ነው።№3. እኩልታውን ይፍቱ እና በመልሱ ውስጥ የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ፡-
│x - 6│= x 2 - 5x + 9
መልስ፡ የሥሮቹ ድምር 4 ነው።
መልመጃዎች №9. │x + 4│= - 3x №10. እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ የመፍትሄዎቹን ብዛት ያመልክቱ፡│x 2 + x - 1│= 2x – 1 №11 . እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ የሥሮቹን ምርት ያመልክቱ፡│x + 3│= x 2 + x – 6
ክፍል 4. የቅጹ እኩልታዎች │F(x)│= F(x) እና │F(x)│= - F(x)
የዚህ ዓይነቱ እኩልታዎች አንዳንድ ጊዜ “በጣም ቆንጆ” ይባላሉ። የእኩልታዎቹ የቀኝ እጅ በተለዋዋጭው ላይ ስለሚመረኮዝ መፍትሄዎች ያሉት በቀኝ በኩል አሉታዊ ካልሆነ እና ከሆነ ብቻ ነው። ስለዚህ፣ የመጀመሪያዎቹ እኩልታዎች ከእኩልነት ጋር እኩል ናቸው፡-│F(x)│= ረ(x) ረ(x) ≥ 0 እና │F(x)│= - ረ(x) ረ(x) ምሳሌዎች፡- №1 . እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ ትንሹን ሙሉ ስር ያመልክቱ፡ │5x - 3│= 5x – 3 5x – 3 ≥ 0 5x ≥ 3 x ≥ 0.6 መልስ፡- x = 1№2. እኩልታውን ይፍቱ, በመልስዎ ውስጥ ያለውን የጊዜ ርዝመት ያመልክቱ: │х 2 - 9│= 9 - x 2 x 2 - 9 ≤ 0 (x - 3) (x + 3) ≤ 0 [- 3; 3] መልስ፡- የክፍተቱ ርዝመት 6 ነው።№3 . እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ የኢንቲጀር መፍትሄዎችን ቁጥር ያመልክቱ: │2 + x - x 2 │ = 2 + x - x 2 2 + x - x 2 ≥ 0 x 2 - x - 2 ≤ 0 [- 1; 2] መልስ: 4 ሙሉ መፍትሄዎች.№4 . እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ ትልቁን ስር ያመልክቱ፡-
│4 - x -
│ 4 - x - 
x 2 – 5x + 5 = 0 D = 5 x 1.2 = 
≈ 1,4መልስ፡- x = 3
መልመጃዎች
№12.
እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ ሙሉውን ስር ያመልክቱ፡ │x 2 + 6x + 8│= x 2 + 6x + 8 №13.
እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ የኢንቲጀር መፍትሄዎችን ቁጥር ያመልክቱ፡│13x – x 2 - 36│+ x 2 – 13x + 36 = 0 №14.
እኩልታውን ይፍቱ፤ በመልስዎ ውስጥ፣ የእኩልታው መሰረት ያልሆነ ኢንቲጀር ያመልክቱ፡ 
ክፍል 5. የቅጹ እኩልታዎች │F(x)│= │G(x)│
የሁለቱም እኩልዮሽ ጎኖች አሉታዊ ስላልሆኑ መፍትሄው ሁለት ጉዳዮችን ግምት ውስጥ ማስገባት ያካትታል-ንዑስ ሞዱል መግለጫዎች በምልክት ውስጥ እኩል ወይም ተቃራኒ ናቸው. ስለዚህ የዋናው እኩልታ ከሁለት እኩልታዎች ውህደት ጋር እኩል ነው፡ │ ኤፍ(x)│= │ ጂ(x)│
ምሳሌዎች፡-
№1.
እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ ሙሉውን ስር ያመልክቱ፡ │x + 3│=│2x - 1│ 
መልስ፡ ሙሉ ስር x = 4№2.
እኩልታውን ይፍቱ፡ │
x – x 2 - 1│=│2x – 3 – x 2 │ 
መልስ፡- x = 2№3
.
እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ የሥሮቹን ምርት ያመልክቱ፡- 
የስር እኩልታዎች 4x 2 + 2x – 1 = 0 x 1.2 = - 1±√5/4 መልስ: የሥሮቹ ምርት - 0.25. መልመጃዎች
№15
. እኩልታውን ይፍቱ እና ሙሉውን መፍትሄ በመልስዎ ውስጥ ያመልክቱ፡ │x 2 – 3x + 2│= │x 2 + 6x - 1│ №16.
እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ ትንሹን ስር ያመልክቱ፡│5x - 3│=│7 - x│ №17
. እኩልታውን ይፍቱ እና በመልሱ ውስጥ የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ፡- 
ክፍል 6. መደበኛ ያልሆኑ እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎች
በዚህ ክፍል ውስጥ መደበኛ ያልሆኑ እኩልታዎች ምሳሌዎችን እንመለከታለን, በምንፈታበት ጊዜ የገለፃው ፍፁም ዋጋ በትርጉም ይገለጣል. ምሳሌዎች፡-№1.
እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልሱ ውስጥ የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ፡ x · │x│- 5x – 6 = 0 
መልስ፡ የሥሮቹ ድምር 1 ነው። №2.
.
እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ ትንሹን ስር ያመልክቱ፡ x 2 - 4x · 
- 5 = 0 
መልስ፡ ትንሹ ስር x = - 5። №3.
እኩልታውን ይፍቱ፡ 
መልስ፡- x = -1 መልመጃዎች
№18.
እኩልታውን ይፍቱ እና የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ፡ x · │3x + 5│= 3x 2 + 4x + 3
№19.
እኩልታውን ይፍቱ፡ x 2 – 3x = 
№20.
እኩልታውን ይፍቱ፡ 
ክፍል 7. የቅጹ እኩልታዎች │F(x)│+│G(x)│=0
የዚህ ዓይነቱ እኩልታ በግራ በኩል አሉታዊ ያልሆኑ መጠኖች ድምር መሆኑን መገንዘብ ቀላል ነው. ስለዚህ, የመጀመሪያው እኩልታ ሁለቱም ቃላት በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል ከሆኑ እና ብቻ ከሆነ መፍትሄ አለው. ሒሳቡ ከእኩልታዎች ሥርዓት ጋር እኩል ነው፡ │ ኤፍ(x)│+│ ጂ(x)│=0
ምሳሌዎች፡-
№1
. እኩልታውን ይፍቱ፡ 
መልስ፡- x = 2 №2.
እኩልታውን ይፍቱ፡ መልስ፡- x = 1 መልመጃዎች
№21.
እኩልታውን ይፍቱ፡ №22
. እኩልታውን ይፍቱ እና በመልሱ ውስጥ የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ፡- №23
. እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ የመፍትሄዎቹን ብዛት ያመልክቱ፡- ክፍል 8. የቅጹ እኩልታዎች │a 1 x + b 1 │±│a 2 x + b 2 │± … │a n x +b n │= m
የዚህ አይነት እኩልታዎችን ለመፍታት, የጊዜ ክፍተት ዘዴ ጥቅም ላይ ይውላል. ሞጁሎችን በቅደም ተከተል በማስፋፋት ከፈታን, እናገኛለን nበጣም አስቸጋሪ እና የማይመች የስርዓቶች ስብስቦች. የክፍለ ጊዜው ዘዴ አልጎሪዝምን እንመልከት፡ 1). ተለዋዋጭ እሴቶችን ያግኙ Xለእያንዳንዱ ሞጁል ከዜሮ ጋር እኩል የሆነ (የንዑስ ሞዱላር አባባሎች ዜሮዎች)
2) የተገኙትን እሴቶች በቁጥር መስመር ላይ ምልክት ያድርጉ ፣ እሱም በየእረፍተ-ጊዜዎች የተከፈለ (የእረፍቶች ብዛት በቅደም ተከተል እኩል ነው) n+1
) 3)። እያንዳንዱ ሞጁል በምን ምልክት በእያንዳንዱ በተገኘው የጊዜ ክፍተት እንደሚገለጥ ይወስኑ (መፍትሄ በሚሰጡበት ጊዜ የቁጥር መስመርን መጠቀም ይችላሉ ፣ ምልክቶቹን በላዩ ላይ ምልክት ያድርጉ) 4)። የመጀመሪያው እኩልታ ከድምር ጋር እኩል ነው። n+1
ስርዓቶች, በእያንዳንዱ ውስጥ የተለዋዋጭ አባልነት ይገለጻል Xአንዱ ክፍተቶች. ምሳሌዎች፡-
№1
. እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ ትልቁን ስር ያመልክቱ፡- 
1) የንዑስ ሞዱላር አገላለጾችን ዜሮዎችን እንፈልግ፡ x = 2; x = -3 2)። የተገኙትን እሴቶች በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናድርግ እና እያንዳንዱ ሞጁል በተፈጠሩት ክፍተቶች ላይ በምን ምልክት እንደሚገለጥ እንወስን- x – 2 x – 2 x – 2 - - + - 3 2 x 2x + 6 2x + 6 2x + 6 - + + 3)
- ምንም መፍትሄዎች እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት. መልስ፡ ትልቁ ስር x = 2 №2.
እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ ሙሉውን ስር ያቅርቡ፡ 
1) የንዑስ ሞዱላር አገላለጾችን ዜሮዎችን እንፈልግ፡ x = 1.5; x = - 1 2). የተገኙትን እሴቶች በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናድርግ እና እያንዳንዱ ሞጁል በተፈጠሩት ክፍተቶች ላይ በምን ምልክት እንደሚገለጥ እንወስን-x + 1 x + 1 x + 1 - + + -1 1.5 x 2x – 3 2x – 3 2x – 3 - - +
3).
የመጨረሻው ስርዓት ምንም መፍትሄዎች የሉትም, ስለዚህ እኩልታው ሁለት ሥሮች አሉት. እኩልታውን በሚፈቱበት ጊዜ, በሁለተኛው ሞጁል ፊት ለፊት ለ "-" ምልክት ትኩረት መስጠት አለብዎት. መልስ፡ ሙሉ ስር x = 7 №3.
እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ፡ 1)። የንዑስ ሞዱላር አገላለጾችን ዜሮዎችን እንፈልግ፡ x = 5; x = 1; x = - 2 2)። የተገኙትን እሴቶች በቁጥር መስመር ላይ ምልክት እናድርግ እና እያንዳንዱ ሞጁል በሚከተለው የጊዜ ክፍተት በምን ምልክት እንደሚገለጥ እንወቅ፡- x – 5 x – 5 x – 5 x – 5 – – – + -2 1 5 x x – 1 x – 1 x – 1 x – 1 – + + x + 2 x + 2 x + 2 x + 2 – + +
3).
እኩልታው ሁለት ስር x = 0 እና 2 አለው። መልስ፡ የሥሮቹ ድምር 2 ነው። №4
.
እኩልታውን ይፍቱ: 1). የንዑስ ሞዱላር አገላለጾችን ዜሮዎችን እንፈልግ፡ x = 1; x = 2; x = 3. 2). እያንዳንዱ ሞጁል በተፈጠረው ክፍተቶች ላይ በየትኛው ምልክት እንደሚገለጥ እንወስን. 3) 
የመጀመሪያዎቹን ሶስት ስርዓቶች መፍትሄዎችን እናጣምር. መልስ፡; x = 5መልመጃዎች №24. እኩልታውን ይፍቱ፡
№25.
እኩልታውን ይፍቱ እና በመልሱ ውስጥ የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ፡- №26.
እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ ትንሹን ስር ያመልክቱ፡- №27.
እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ ትልቁን ስር ያመልክቱ፦ ክፍል 9. በርካታ ሞጁሎችን የያዙ እኩልታዎች
ብዙ ሞጁሎችን ያካተቱ እኩልታዎች በንዑስ ሞዱል አገላለጾች ውስጥ ፍፁም እሴቶች እንዳሉ ይገምታሉ። የዚህ አይነት እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ መርህ ከ "ውጫዊ" ጀምሮ የሞጁሎችን ቅደም ተከተል ይፋ ማድረግ ነው. በመፍትሔው ጊዜ በክፍል ቁጥር 1, ቁጥር 3 ውስጥ የተገለጹት ዘዴዎች ጥቅም ላይ ይውላሉ.ምሳሌዎች፡-
№1.
እኩልታውን ይፍቱ፡ 
መልስ፡ x = 1; - አስራ አንድ. №2.
እኩልታውን ይፍቱ፡
መልስ፡ x = 0; 4; - 4. №3.
እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ የሥሮቹን ምርት ያመልክቱ፡- 
መልስ-የሥሮቹ ምርት - 8. №4.
እኩልታውን ይፍቱ፡ 
የህዝቡን እኩልታዎች እንጥቀስ (1)
እና (2)
እና ለዲዛይን ቀላልነት ለእያንዳንዳቸው መፍትሄውን በተናጠል ያስቡበት. ሁለቱም እኩልታዎች ከአንድ በላይ ሞጁሎችን ስለሚይዙ ወደ ስርዓቶች ስብስቦች ተመጣጣኝ ሽግግርን ለማካሄድ የበለጠ አመቺ ነው. (1)
(2)
መልስ፡-
መልመጃዎች
№36.
እኩልታውን ይፍቱ፣ በመልስዎ ውስጥ የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ፡ 5 │3x-5│ = 25 x №37.
እኩልታውን ይፍቱ፣ ከአንድ በላይ ሥር ካሉ፣ በመልሱ ውስጥ የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ፡│x + 2│ x – 3x – 10 = 1 №38.
እኩልታውን ይፍቱ፡ 3 │2x -4│ = 9 │x│ №39.
እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ የስርወቹን ብዛት ያመልክቱ፡ 2 │ sin x│ = √2 №40
. እኩልታውን ይፍቱ እና በመልስዎ ውስጥ የስርወቹን ብዛት ያመልክቱ፡
ክፍል 3. ሎጋሪዝም እኩልታዎች.
የሚከተሉትን እኩልታዎች ከመፍታትዎ በፊት የሎጋሪዝም ባህሪያትን እና የሎጋሪዝም ተግባሩን መገምገም አስፈላጊ ነው. ምሳሌዎች፡- №1. እኩልታውን ይፍቱ፣ የሥሮቹን ምርት በመልስዎ ውስጥ ያመልክቱ፡ ሎግ 2 (x+1) 2 + log 2 │x+1│ = 6 O.D.Z. x+1≠0 x≠ - 1ጉዳይ 1፡ x ≥ - 1 ከሆነ፣ ከዚያ 2 (x+1) 2 + log 2 (x+1) = 6 log 2 (x+1) 3 = log 2 2 6 (x+1) 3 = 2 6 x+1 = 4 x = 3 - ሁኔታውን ያሟላል x ≥ - 1 2 ጉዳይ፡ x log 2 (x+1) 2 + log 2 (-x-1) = 6 log 2 (x+1) 2 + log 2 (-(x+1)) = 6 መዝገብ 2 (-(x+1) 3) = መዝገብ 2 2 6- (x+1) 3 = 2 6- (x+1) = 4 x = - 5 – ሁኔታን ያሟላል x - 1
መልስ-የሥሮቹ ምርት - 15.
№2.
እኩልታውን ይፍቱ, በመልስዎ ውስጥ የሥሮቹን ድምር ያመልክቱ: lg 
ኦ.ዲ.ዜ. 
መልስ: ሥሮቹ ድምር 0.5 ነው.
№3.
እኩልታውን ይፍቱ: ሎግ 5 
ኦ.ዲ.ዜ. 
መልስ፡- x = 9 №4.
እኩልታውን ይፍቱ፡ │2 + log 0.2 x│+ 3 = │1 + log 5 x│ O.D.Z. x > 0 ወደ ሌላ መሠረት ለመዘዋወር ቀመሩን እንጠቀም። │2 - ሎግ 5 x│+ 3 = │1 + ሎግ 5 x│
│2 - ሎግ 5 x│- │1 + log 5 x│= - 3 የንዑስ ሞዱላር አገላለጾችን ዜሮዎች እንፈልግ፡ x = 25; x = እነዚህ ቁጥሮች ተቀባይነት ያላቸውን እሴቶች በሦስት ክፍተቶች ይከፍላሉ, ስለዚህ እኩልታው ከሶስት ስርዓቶች ስብስብ ጋር እኩል ነው. 
መልስ፡)