የሎጋሪዝም እኩልታዎች ዓይነቶች እና እነሱን ለመፍታት ዘዴዎች። የሎጋሪዝም እኩልታዎች

በዚህ ቪዲዮ ስለ ሎጋሪዝም እኩልታዎች ረጅም ተከታታይ ትምህርቶችን እጀምራለሁ. አሁን ከፊት ለፊትዎ ሶስት ምሳሌዎች አሉዎት, በእሱ መሰረት በጣም መፍታት እንማራለን ቀላል ተግባራትተብለው የሚጠሩት - ፕሮቶዞአ.

ሎግ 0.5 (3x - 1) = -3

መዝገብ (x + 3) = 3 + 2 መዝገብ 5

በጣም ቀላሉ የሎጋሪዝም እኩልታ የሚከተለው መሆኑን ላስታውስህ።

log a f (x) = b

በዚህ ሁኔታ, ተለዋዋጭ x በክርክሩ ውስጥ ብቻ መገኘቱ አስፈላጊ ነው, ማለትም, በ f (x) ተግባር ውስጥ ብቻ ነው. እና a እና b ቁጥሮች ቁጥሮች ብቻ ናቸው, እና በምንም መልኩ ተለዋዋጭ x የያዙ ተግባራት አይደሉም.

መሰረታዊ የመፍትሄ ዘዴዎች

እንደዚህ ያሉ መዋቅሮችን ለመፍታት ብዙ መንገዶች አሉ. ለምሳሌ፣ በትምህርት ቤት ውስጥ ያሉ አብዛኞቹ አስተማሪዎች ይህንን ዘዴ ይሰጣሉ፡- ቀመሩን በመጠቀም የ f (x) ተግባሩን ወዲያውኑ ይግለጹ ረ x) = ሀ ለ. ያም ማለት በጣም ቀላል የሆነውን ግንባታ ሲያገኙ, ያለ ተጨማሪ ድርጊቶች እና ግንባታዎች ወዲያውኑ ወደ መፍትሄ መሄድ ይችላሉ.

አዎ, በእርግጥ, ውሳኔው ትክክል ይሆናል. ይሁን እንጂ የዚህ ቀመር ችግር አብዛኞቹ ተማሪዎች ነው አልገባግንምከየት እንደመጣ እና ለምን ሀ የሚለውን ፊደል ወደ ፊደል እንደምናነሳው ለ.

በዚህ ምክንያት፣ ለምሳሌ፣ እነዚህ ፊደሎች ሲቀያየሩ ብዙ ጊዜ የሚያበሳጩ ስህተቶችን አያለሁ። ይህ ቀመር መረዳት ወይም መጨናነቅ አለበት, እና ሁለተኛው ዘዴ በጣም ተገቢ ባልሆኑ እና በጣም ወሳኝ በሆኑ ጊዜያት ወደ ስህተቶች ይመራል: በፈተና, በፈተና, ወዘተ.

ለዚህም ነው ሁሉም ተማሪዎቼ መደበኛውን የትምህርት ቤት ፎርሙላ ትተው የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት ሁለተኛውን አካሄድ እንዲጠቀሙ የምመክረው ፣ ምናልባት እርስዎ ከስሙ እንደገመቱት ፣ ይባላል። ቀኖናዊ ቅርጽ.

የቀኖናዊው ቅፅ ሀሳብ ቀላል ነው። ችግራችንን ደግመን እንመልከተው፡ በግራ በኩል ሎግ a አለን፣ እና በፊደል ሀ ቁጥር ማለት ነው፣ እና በምንም መልኩ ተለዋዋጭ xን የያዘ ተግባር የለም። ስለዚህ, ይህ ደብዳቤ በሎጋሪዝም መሠረት ላይ የሚጣሉት እገዳዎች ሁሉ ተገዢ ነው. ማለትም፡-

1 ≠ ሀ > 0

በሌላ በኩል, ከተመሳሳይ እኩልነት እናያለን ሎጋሪዝም መሆን አለበት ከቁጥር ጋር እኩል ነው።ለ, እና በዚህ ደብዳቤ ላይ ምንም ገደቦች አይጣሉም, ምክንያቱም ማንኛውንም እሴቶችን ሊወስድ ስለሚችል - አዎንታዊ እና አሉታዊ. ሁሉም ነገር f(x) ተግባር በሚወስደው ዋጋ ላይ የተመሠረተ ነው።

እና እዚህ ማንኛውም ቁጥር b እንደ ሎጋሪዝም ከ ሀ ለ ኃይል መሠረት ሊወከል እንደሚችል የእኛን አስደናቂ መመሪያ እናስታውሳለን።

b = log a a b

ይህን ቀመር እንዴት ማስታወስ ይቻላል? አዎ በጣም ቀላል። የሚከተለውን ግንባታ እንጽፍ፡-

b = b 1 = b log a a

እርግጥ ነው, በዚህ ሁኔታ መጀመሪያ ላይ የጻፍናቸው እገዳዎች ሁሉ ይነሳሉ. አሁን የሎጋሪዝምን መሰረታዊ ንብረት እንጠቀም እና ማባዣውን b እንደ ሃይል እናስተዋውቀው። እናገኛለን፡-

b = b 1 = b log a a = log a a b

በውጤቱም, የመጀመሪያው እኩልታ በሚከተለው መልኩ እንደገና ይጻፋል.

log a f (x) = log a b → f (x) = a b

ይኼው ነው. አዲስ ባህሪከአሁን በኋላ ሎጋሪዝም አልያዘም እና መደበኛ የአልጀብራ ቴክኒኮችን በመጠቀም ሊፈታ ይችላል።

እርግጥ ነው, አንድ ሰው አሁን ይቃወማል: ለምንድነው አንድ ዓይነት ቀኖናዊ ፎርሙላ ማምጣት ለምን አስፈለገ, ለምንድነው ሁለት ተጨማሪ አላስፈላጊ እርምጃዎችን ከዋናው ንድፍ ወደ የመጨረሻው ቀመር ወዲያው መሄድ ከተቻለ? አዎ፣ አብዛኞቹ ተማሪዎች ይህ ፎርሙላ ከየት እንደመጣ ስላልገባቸው እና በውጤቱም በመደበኛነት በሚተገበሩበት ጊዜ ስህተት የሚሰሩ ከሆነ።

ነገር ግን ይህ የእርምጃዎች ቅደም ተከተል, ሶስት ደረጃዎችን ያቀፈ, የመጨረሻውን ቀመር ከየት እንደመጣ ባይገባዎትም, ዋናውን የሎጋሪዝም እኩልታ እንዲፈቱ ያስችልዎታል. በነገራችን ላይ, ቀኖናዊ ቀመርይህ ግቤት ይባላል፡-

log a f (x) = log a a b

የቀኖናዊው ቅፅ ምቾት በጣም ሰፊ የሆነ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት ጥቅም ላይ ሊውል ስለሚችል ነው, እና ዛሬ የምንመለከተው በጣም ቀላል የሆኑትን ብቻ አይደለም.

የመፍትሄዎች ምሳሌዎች

አሁን እስቲ እንመልከት እውነተኛ ምሳሌዎች. እንግዲያው፣ እንወስን፡-

ሎግ 0.5 (3x - 1) = -3

እንዲህ እንጽፈው፡-

ሎግ 0.5 (3x - 1) = ሎግ 0.5 0.5 -3

ብዙ ተማሪዎች ቸኩለው ከዋናው ችግር ወደ እኛ የመጣውን ሃይል ቁጥር 0.5 ወዲያውኑ ከፍ ለማድረግ ይሞክራሉ። በእርግጥም, እንደዚህ አይነት ችግሮችን ለመፍታት ቀድሞውኑ በደንብ የሰለጠኑ ከሆነ, ይህን እርምጃ ወዲያውኑ ማከናወን ይችላሉ.

ነገር ግን፣ አሁን ይህን ርዕስ ማጥናት ገና ከጀመርክ፣ አጸያፊ ስህተቶችን ላለማድረግ የትም ባትቸኩል ይሻላል። ስለዚህ, ቀኖናዊው ቅርፅ አለን. እና አለነ:

3x - 1 = 0.5 -3

ይህ ከአሁን በኋላ የሎጋሪዝም እኩልታ አይደለም፣ ነገር ግን ከተለዋዋጭ x አንጻር መስመራዊ ነው። እሱን ለመፍታት በመጀመሪያ ቁጥር 0.5 ወደ -3 ኃይል እንይ. 0.5 1/2 መሆኑን ልብ ይበሉ.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

ሁሉም አስርዮሽየሎጋሪዝም እኩልታ ሲፈቱ ወደ ተራ ይለውጡ።

እንደገና እንጽፋለን እና እናገኛለን:

3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3

ያ ነው መልሱን አግኝተናል። የመጀመሪያው ችግር ተፈትቷል.

ሁለተኛ ተግባር

ወደ ሁለተኛው ተግባር እንሂድ፡-

እንደምናየው፣ ይህ እኩልነት ከአሁን በኋላ ቀላሉ አይደለም። በግራ በኩል ልዩነት ስላለ ብቻ እና አንድ ሎጋሪዝም ወደ አንድ መሠረት ካልሆነ።

ስለዚህ, ይህንን ልዩነት እንደምንም ማስወገድ አለብን. ውስጥ በዚህ ጉዳይ ላይሁሉም ነገር በጣም ቀላል ነው. መሰረቱን ጠለቅ ብለን እንመርምር፡ በግራ በኩል ከሥሩ ስር ያለው ቁጥር፡-

አጠቃላይ ምክር: በሁሉም የሎጋሪዝም እኩልታዎች ውስጥ, radicalsን ለማስወገድ ይሞክሩ, ማለትም, ከሥሮቻቸው ግቤቶች እና ወደ ይሂዱ. የኃይል ተግባራት, በቀላሉ የእነዚህ ስልጣኖች ገላጭዎች ከሎጋሪዝም ምልክት በቀላሉ ስለሚወሰዱ እና በመጨረሻም, እንዲህ ዓይነቱ ምልክት ስሌቶችን በእጅጉ ያቃልላል እና ያፋጥናል. እንዲህ እንጽፈው፡-

አሁን የሎጋሪዝምን አስደናቂ ንብረት እናስታውስ-ስልጣኖች ከክርክሩ, እንዲሁም ከመሠረቱ ሊገኙ ይችላሉ. በምክንያቶች ውስጥ, የሚከተለው ይከሰታል:

log a k b = 1/k loga b

በሌላ አነጋገር በመሠረታዊ ኃይል ውስጥ የነበረው ቁጥር ወደ ፊት ቀርቧል እና በተመሳሳይ ጊዜ ይገለበጣል, ማለትም ይሆናል. የተገላቢጦሽ ቁጥር. በእኛ ሁኔታ, የመሠረት ዲግሪው 1/2 ነበር. ስለዚህ, እንደ 2/1 ልናወጣው እንችላለን. እናገኛለን፡-

5 2 ሎግ 5 x - ሎግ 5 x = 18
10 ሎግ 5 x - ሎግ 5 x = 18

እባክዎን ያስተውሉ: በምንም አይነት ሁኔታ በዚህ ደረጃ ሎጋሪዝምን ማስወገድ የለብዎትም. ከ4ኛ-5ኛ ክፍል ሒሳብ እና የሥራውን ቅደም ተከተል አስታውሱ፡- ማባዛት በመጀመሪያ ይከናወናል፣ ከዚያም መደመር እና መቀነስ ብቻ። በዚህ ሁኔታ ፣ ከተመሳሳዩ ንጥረ ነገሮች ውስጥ አንዱን ከ 10 አካላት እንቀንሳለን-

9 ሎግ 5 x = 18
መዝገብ 5 x = 2

አሁን የእኛ እኩልነት ልክ እንደፈለገው ይመስላል። ይህ በጣም ቀላሉ ግንባታ ነው ፣ እና እኛ ቀኖናዊውን ቅጽ በመጠቀም እንፈታዋለን-

መዝገብ 5 x = መዝገብ 5 5 2
x = 5 2
x = 25

ይኼው ነው. ሁለተኛው ችግር ተፈትቷል.

ሦስተኛው ምሳሌ

ወደ ሦስተኛው ተግባር እንሂድ፡-

መዝገብ (x + 3) = 3 + 2 መዝገብ 5

የሚከተለውን ቀመር ላስታውስህ፡-

log b = መዝገብ 10 ለ

በሆነ ምክንያት በማስታወሻ መዝገብ ለ ግራ ከተጋቡ, ሁሉንም ስሌቶች በሚሰሩበት ጊዜ በቀላሉ ሎግ 10 ለ መጻፍ ይችላሉ. ከሌሎች ጋር በተመሳሳይ መልኩ ከአስርዮሽ ሎጋሪዝም ጋር መስራት ይችላሉ፡ ስልጣን ይውሰዱ፣ ያክሉ እና ማንኛውንም ቁጥሮች በቅጽ lg 10 ይወክላሉ።

በትምህርታችን መጀመሪያ ላይ የጻፍነው በጣም ቀላል ስላልሆነ ችግሩን ለመፍታት አሁን የምንጠቀምባቸው እነዚህ ንብረቶች ናቸው።

በመጀመሪያ ፣ በ lg 5 ፊት ለፊት ያለው ምክንያት 2 ሊጨመር እና የመሠረት ኃይል ሊሆን እንደሚችል ልብ ይበሉ 5. በተጨማሪም ፣ ነፃው ቃል 3 እንዲሁ እንደ ሎጋሪዝም ሊወከል ይችላል - ይህ ከአስተያየታችን ለመመልከት በጣም ቀላል ነው።

ለራስዎ ይፍረዱ፡- ማንኛውም ቁጥር እንደ ሎግ ወደ መሰረት 10 ሊወከል ይችላል።

3 = መዝገብ 10 10 3 = መዝገብ 10 3

የተገኙትን ለውጦች ግምት ውስጥ በማስገባት ዋናውን ችግር እንደገና እንፃፍ፡-

መዝገብ (x - 3) = መዝገብ 1000 + መዝገብ 25
መዝገብ (x - 3) = መዝገብ 1000 25
መዝገብ (x - 3) = መዝገብ 25,000

ከኛ በፊት ቀኖናዊው ቅርፅ እንደገና አለን ፣ እናም በለውጥ ደረጃ ውስጥ ሳናልፍ አገኘነው ፣ ማለትም ቀላሉ ሎጋሪዝም እኩልታ በየትኛውም ቦታ አልታየም።

በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ የተናገርኩት ይህንኑ ነው። ቀኖናዊው ቅርፅ ከመደበኛው ይልቅ ሰፋ ያሉ ችግሮችን ለመፍታት ያስችልዎታል የትምህርት ቤት ቀመርበአብዛኛዎቹ የትምህርት ቤት አስተማሪዎች የሚሰጥ።

ደህና ፣ ያ ነው ፣ የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ምልክትን እናስወግዳለን ፣ እና ቀላል መስመራዊ ግንባታ እናገኛለን

x + 3 = 25,000
x = 24,997

ሁሉም! ችግሩ ተፈቷል.

ወሰን ላይ ማስታወሻ

እዚህ የትርጉም ወሰንን በተመለከተ ጠቃሚ አስተያየት መስጠት እፈልጋለሁ. በእርግጥ አሁን “አገላለጾችን በሎጋሪዝም ስንፈታ f (x) ከዜሮ በላይ መሆን እንዳለበት መዘንጋት የለብንም!” የሚሉ ተማሪዎችና አስተማሪዎች ይኖራሉ። በዚህ ረገድ, ምክንያታዊ ጥያቄ የሚነሳው: ለምንድነው ይህ እኩልነት በየትኛዎቹም ችግሮች ውስጥ እንዲረካ ለምን አላስፈለገንም?

አትጨነቅ. በእነዚህ አጋጣሚዎች ምንም ተጨማሪ ሥሮች አይታዩም. እና ይህ መፍትሄውን ለማፋጠን የሚያስችል ሌላ ታላቅ ዘዴ ነው. ልክ በችግሩ ውስጥ ተለዋዋጭ x በአንድ ቦታ ላይ ብቻ የሚከሰት ከሆነ (ወይም ይልቁንስ በአንድ ነጠላ ሎጋሪዝም ክርክር) እና በእኛ ሁኔታ ምንም ቦታ ላይ ተለዋዋጭ x የማይታይ ከሆነ ፣ ከዚያ የትርጉም ጎራውን ይፃፉ። አያስፈልግም, ምክንያቱም በራስ-ሰር ይፈጸማል.

ለራስዎ ይፍረዱ፡ በመጀመሪያው እኩልታ 3x - 1 አገኘን ማለትም ክርክሩ ከ 8 ጋር እኩል መሆን አለበት።ይህ ማለት 3x - 1 ከዜሮ በላይ ይሆናል ማለት ነው።

በተመሳሳይ ስኬት በሁለተኛው ጉዳይ x ከ 5 2 ጋር እኩል መሆን እንዳለበት መፃፍ እንችላለን, ማለትም በእርግጠኝነት ከዜሮ ይበልጣል. እና በሶስተኛው ጉዳይ ላይ, x + 3 = 25,000, ማለትም, እንደገና, በግልጽ ከዜሮ የሚበልጥ. በሌላ አገላለጽ፣ ስፋቱ በራስ-ሰር ይሟላል፣ ግን x የሚከሰተው በአንድ ሎጋሪዝም ክርክር ውስጥ ብቻ ከሆነ ብቻ ነው።

በጣም ቀላል የሆኑትን ችግሮች ለመፍታት ማወቅ ያለብዎት ያ ብቻ ነው። ይህ ደንብ ብቻ, ከትራንስፎርሜሽን ደንቦች ጋር, በጣም ሰፊ የሆነ የችግሮችን ክፍል ለመፍታት ያስችልዎታል.

ግን እውነቱን እንነጋገር-ይህን ዘዴ በመጨረሻ ለመረዳት ፣ የሎጋሪዝም እኩልታ ቀኖናዊውን እንዴት ተግባራዊ ማድረግ እንደሚቻል ለመማር አንድ የቪዲዮ ትምህርት ማየት ብቻ በቂ አይደለም። ስለዚህ አማራጮቹን አሁኑኑ ያውርዱ ገለልተኛ ውሳኔከዚህ የቪዲዮ ትምህርት ጋር ተያይዘው የሚመጡት እና ከእነዚህ ሁለት ገለልተኛ ስራዎች ቢያንስ አንዱን መፍታት ይጀምራሉ።

በጥሬው ጥቂት ደቂቃዎችን ይወስዳል። ነገር ግን ይህን የቪዲዮ ትምህርት በቀላሉ ከተመለከቱት የእንደዚህ አይነት ስልጠና ውጤት በጣም ከፍ ያለ ይሆናል.

ይህ ትምህርት የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመረዳት ይረዳዎታል ብዬ ተስፋ አደርጋለሁ። ቀኖናዊውን ቅጽ ተጠቀም ፣ ከሎጋሪዝም ጋር ለመስራት ህጎቹን በመጠቀም አገላለጾችን ቀለል አድርግ - እና ምንም አይነት ችግር አትፈራም። ለዛሬ ያለኝ ያ ብቻ ነው።

የትርጉም ጎራውን ግምት ውስጥ ማስገባት

አሁን ስለ ሎጋሪዝም ተግባር ፍቺ ጎራ እንነጋገር ፣ እና ይህ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን መፍትሄ እንዴት እንደሚነካው እንነጋገር ። የቅጹን ግንባታ ግምት ውስጥ ያስገቡ

log a f (x) = b

እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ በጣም ቀላሉ ተብሎ ይጠራል - አንድ ተግባር ብቻ ይይዛል, እና ቁጥሮች a እና b ቁጥሮች ብቻ ናቸው, እና በምንም መልኩ በተለዋዋጭ x ላይ የተመሰረተ ተግባር. በጣም በቀላሉ ሊፈታ ይችላል. ቀመሩን ብቻ መጠቀም ያስፈልግዎታል፡-

b = log a a b

ይህ ቀመርየሎጋሪዝም ቁልፍ ባህሪያት አንዱ ነው, እና ወደ መጀመሪያው አገላለፃችን ስንተካ የሚከተሉትን እናገኛለን:

log a f (x) = log a a b

ረ (x) = a ለ

ይህ የሚታወቅ ቀመር ነው። የትምህርት ቤት መማሪያዎች. ብዙ ተማሪዎች ምናልባት አንድ ጥያቄ ይኖራቸዋል፡ በመጀመሪያው አገላለጽ ውስጥ f (x) ተግባር በሎግ ምልክት ስር ስለሆነ የሚከተሉት ገደቦች በላዩ ላይ ተጥለዋል።

ረ(x) > 0

ይህ ገደብ ተግባራዊ የሚሆነው ሎጋሪዝም የ አሉታዊ ቁጥሮችአልተገኘም. ስለዚህ, ምናልባት, በዚህ ገደብ ምክንያት, መልሶች ላይ ቼክ መተዋወቅ አለበት? ምናልባት ወደ ምንጭ ውስጥ ማስገባት አለባቸው?

አይ፣ በጣም ቀላል በሆነው የሎጋሪዝም እኩልታዎች ተጨማሪ ማጣራት አያስፈልግም። እና ለዚህ ነው. የመጨረሻውን ቀመራችንን ይመልከቱ፡-

ረ (x) = a ለ

እውነታው ግን ቁጥሩ በማንኛውም ሁኔታ ከ 0 በላይ ነው - ይህ መስፈርት በሎጋሪዝምም ተጭኗል። ቁጥር ሀ መሠረት ነው። በዚህ ሁኔታ, በቁጥር ላይ ምንም ገደቦች አይጣሉም ለ. ነገር ግን ይህ ምንም አይደለም, ምክንያቱም ምንም እንኳን አወንታዊ ቁጥርን ብንጨምር, በውጤቱ ላይ አሁንም አዎንታዊ ቁጥር እናገኛለን. ስለዚህ፣ መስፈርቱ f (x) > 0 በራስ ሰር ይሟላል።

በትክክል መፈተሽ የሚገባው በሎግ ምልክት ስር ያለው የተግባር ጎራ ነው። በጣም ውስብስብ መዋቅሮች ሊኖሩ ይችላሉ, እና በእርግጠኝነት በመፍትሔው ሂደት ውስጥ እነሱን መከታተል ያስፈልግዎታል. እስቲ እንመልከት።

የመጀመሪያ ተግባር፡-

የመጀመሪያው እርምጃ በቀኝ በኩል ያለውን ክፍልፋይ ይለውጡ። እናገኛለን፡-

የሎጋሪዝም ምልክትን እናስወግዳለን እና የተለመደው ምክንያታዊ ያልሆነ እኩልታ እናገኛለን።

ከተገኙት ሥሮች ውስጥ, ሁለተኛው ሥር ከዜሮ ያነሰ ስለሆነ የመጀመሪያው ብቻ ይስማማናል. ብቸኛው መልስ ቁጥር 9 ይሆናል. ያ ነው, ችግሩ ተፈትቷል. በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው አገላለጽ ከ 0 በላይ መሆኑን ለማረጋገጥ ምንም ተጨማሪ ቼኮች አያስፈልጉም, ምክንያቱም ከ 0 በላይ ብቻ አይደለም, ነገር ግን እንደ እኩልታው ሁኔታ ከ 2 ጋር እኩል ነው. ስለዚህ, መስፈርቱ "ከዜሮ ይበልጣል. ” በራስ-ሰር ይረካል።

ወደ ሁለተኛው ተግባር እንሂድ፡-

እዚህ ሁሉም ነገር አንድ ነው. ሶስት እጥፍ በመተካት ግንባታውን እንደገና እንጽፋለን-

የሎጋሪዝም ምልክቶችን እናስወግዳለን እና ምክንያታዊ ያልሆነ እኩልታ እናገኛለን

ገደቦቹን ከግምት ውስጥ በማስገባት ሁለቱንም ወገኖች እናሳያለን እና የሚከተሉትን እናገኛለን

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x 2 + 8x + 16 -4 + 6x + x 2 = 0

2x 2 + 14x + 12 = 0 |: 2

x 2 + 7x + 6 = 0

የተፈጠረውን እኩልነት በአድሎአዊ በኩል እንፈታዋለን፡-

መ = 49 - 24 = 25

x 1 = -1

x 2 = -6

ግን x = -6 አይመጥነንም ፣ ምክንያቱም ይህንን ቁጥር ወደ እኩልነታችን ከተተካን ፣ እናገኛለን

−6 + 4 = −2 < 0

በእኛ ሁኔታ, ከ 0 በላይ ወይም, በአስጊ ሁኔታ ውስጥ, እኩል መሆን ይጠበቅበታል. ግን x = -1 ይስማማናል፡-

−1 + 4 = 3 > 0

በእኛ ሁኔታ ውስጥ ያለው ብቸኛው መልስ x = -1 ይሆናል. መፍትሄው ይሄው ነው። ወደ ስሌታችን መጀመሪያ እንመለስ።

ከዚህ ትምህርት ዋናው የተወሰደው በአንድ ተግባር ላይ ገደቦችን በቀላል ሎጋሪዝም እኩልታዎች ማረጋገጥ አያስፈልገዎትም። ምክንያቱም በመፍትሔው ሂደት ሁሉም ገደቦች በራስ-ሰር ይሟላሉ.

ሆኖም ይህ ማለት በምንም መልኩ ስለመፈተሽ መርሳት አይችሉም ማለት ነው። በሎጋሪዝም እኩልዮሽ ላይ በመሥራት ሂደት ውስጥ, ወደ ምክንያታዊነት-አልባነት ሊለወጥ ይችላል, ይህም ለቀኝ ጎኑ የራሱ ገደቦች እና መስፈርቶች ይኖረዋል, ዛሬ በሁለት የተለያዩ ምሳሌዎች ያየነው.

እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች ለመፍታት ነፃነት ይሰማህ እና በተለይም በክርክሩ ውስጥ ሥር ካለ ጥንቃቄ አድርግ.

ከተለያዩ መሰረቶች ጋር የሎጋሪዝም እኩልታዎች

የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ማጥናት እንቀጥላለን እና የበለጠ ውስብስብ ግንባታዎችን ለመፍታት ፋሽን የሆነባቸው ሁለት ተጨማሪ አስደሳች ቴክኒኮችን እንመለከታለን። ግን በመጀመሪያ ፣ በጣም ቀላሉ ችግሮች እንዴት እንደሚፈቱ እናስታውስ-

log a f (x) = b

በዚህ ግቤት ውስጥ a እና b ቁጥሮች ናቸው እና በ f (x) ተግባር ውስጥ ተለዋዋጭ x መኖር አለበት ፣ እና እዚያ ብቻ ፣ ማለትም ፣ በክርክሩ ውስጥ ብቻ መሆን አለበት። ቀኖናዊውን ቅጽ በመጠቀም እንደዚህ ያሉ ሎጋሪዝም እኩልታዎችን እንለውጣለን። ይህንን ለማድረግ, ያንን ያስተውሉ

b = log a a b

ከዚህም በላይ, b በትክክል ክርክር ነው. ይህን አገላለጽ እንደሚከተለው እንጽፈው፡-

log a f (x) = log a a b

በግራ እና በቀኝ በሁለቱም ላይ ለመመስረት ሎጋሪዝም እንዲኖር ለማድረግ እየሞከርን ያለነው ይህንኑ ነው። በዚህ ሁኔታ ፣ በምሳሌያዊ አነጋገር ፣ የምዝግብ ማስታወሻዎችን ማቋረጥ እንችላለን ፣ እና ከሂሳባዊ እይታ አንጻር ክርክሮችን በቀላሉ እያመጣጠን ነው ማለት እንችላለን-

ረ (x) = a ለ

በውጤቱም, ለመፍታት በጣም ቀላል የሚሆን አዲስ አገላለጽ እናገኛለን. ይህንን ህግ ዛሬ ለችግሮቻችን እንተገብረው።

ስለዚህ, የመጀመሪያው ንድፍ:

በመጀመሪያ ፣ በቀኝ በኩል መለያው ሎግ የሆነ ክፍልፋይ እንዳለ አስተውያለሁ። እንደዚህ አይነት አገላለጽ ሲመለከቱ፣ የሎጋሪዝምን አስደናቂ ንብረት ማስታወስ ጥሩ ሀሳብ ነው፡-

ወደ ራሽያኛ ሲተረጎም ማንኛውም ሎጋሪዝም ከየትኛውም መሰረት ሐ ጋር የሁለት ሎጋሪዝም ዋጋ ሆኖ ሊወከል ይችላል ማለት ነው። በእርግጥ 0< с ≠ 1.

ስለዚህ፡ ይህ ቀመር አንድ ድንቅ አለው። ልዩ ጉዳይ, ተለዋዋጭ c ከተለዋዋጭ ጋር እኩል በሚሆንበት ጊዜ ለ. በዚህ ሁኔታ ውስጥ እንደዚህ ያለ ግንባታ እናገኛለን.

ይህ በትክክል በእኛ ስሌት ውስጥ በቀኝ በኩል ካለው ምልክት የምናየው ግንባታ ነው። ይህንን ግንባታ በሎግ a b እንተካው፡-

በሌላ አነጋገር፣ ከመጀመሪያው ተግባር ጋር በማነፃፀር፣ ክርክሩን እና የሎጋሪዝምን መሰረት ቀይረናል። ይልቁንም ክፍልፋዩን መቀልበስ ነበረብን።

በሚከተለው ደንብ መሰረት ማንኛውም ዲግሪ ከመሠረቱ ሊገኝ እንደሚችል እናስታውሳለን.

በሌላ አነጋገር, የመሠረቱ ኃይል የሆነው Coefficient k, እንደ የተገለበጠ ክፍልፋይ ይገለጻል. እንደ የተገለበጠ ክፍልፋይ እናድርገው፡-

ክፍልፋይ ፋክተሩ ከፊት ሊቀር አይችልም, ምክንያቱም በዚህ ሁኔታ ውስጥ ይህንን ምልክት እንደ ቀኖናዊ ቅርጽ መወከል አንችልም (ከሁሉም በኋላ, በካኖኒካዊ መልክ ከሁለተኛው ሎጋሪዝም በፊት ምንም ተጨማሪ ነገር የለም). ስለዚህ፣ ክፍልፋዩን 1/4 በክርክሩ ላይ እንደ ኃይል እንጨምር፡-

አሁን መሠረታቸው አንድ የሆኑ ክርክሮችን እናመሳስላቸዋለን (እና መሠረታችን በእውነቱ አንድ ነው) እና እንጽፋለን፡-

x + 5 = 1

x = -4

ይኼው ነው. ለመጀመሪያው የሎጋሪዝም እኩልታ መልስ አግኝተናል። እባክዎን ያስተውሉ፡ በመጀመሪያው ችግር ውስጥ፣ ተለዋዋጭ x በአንድ ምዝግብ ማስታወሻ ውስጥ ብቻ ይታያል፣ እና በክርክሩ ውስጥ ይታያል። ስለዚህ, ጎራውን መፈተሽ አያስፈልግም, እና የእኛ ቁጥር x = -4 በእርግጥ መልሱ ነው.

አሁን ወደ ሁለተኛው አገላለጽ እንሂድ፡-

log 56 = log 2 log 2 7 - 3log (x + 4)

እዚህ, ከተለመደው ሎጋሪዝም በተጨማሪ, ከሎግ f (x) ጋር መስራት አለብን. እንዲህ ዓይነቱን እኩልታ እንዴት መፍታት ይቻላል? ላልተዘጋጀ ተማሪ ይህ አንድ ዓይነት ከባድ ስራ ነው ሊመስለው ይችላል ነገር ግን በእውነቱ ሁሉም ነገር በአንደኛ ደረጃ ሊፈታ ይችላል.

Lg 2 log 2 የሚለውን ቃል በቅርበት ይመልከቱ 7. ስለ እሱ ምን ማለት እንችላለን? የሎግ እና lg መሠረቶች እና ክርክሮች ተመሳሳይ ናቸው, እና ይሄ አንዳንድ ሀሳቦችን መስጠት አለበት. ኃይላት ከሎጋሪዝም ምልክት ስር እንዴት እንደሚወሰዱ በድጋሚ እናስታውስ፡-

log a b n = nlog a b

በሌላ አገላለጽ፣ በክርክሩ ውስጥ የ b ኃይሉ የነበረው በራሱ ግንድ ፊት ለፊት ምክንያት ይሆናል። ይህንን ቀመር ወደ መግለጫው እንጠቀም lg 2 log 2 7. በ lg 2 አትፍሩ - ይህ በጣም የተለመደው አገላለጽ ነው. እንደሚከተለው እንደገና መጻፍ ይችላሉ.

ለማንኛውም ሌላ ሎጋሪዝም የሚመለከቱት ሁሉም ህጎች ለእሱ ትክክለኛ ናቸው። በተለይም ከፊት ለፊት ያለው ምክንያት በክርክሩ ደረጃ ላይ ሊጨመር ይችላል. እንተዘይኮይኑ፡ ንዕኡ ንእሽቶ ውሳነ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።

ብዙውን ጊዜ ተማሪዎች ይህንን ድርጊት በቀጥታ አይመለከቱትም, ምክንያቱም አንዱን ምዝግብ በሌላ ምልክት ስር ማስገባት ጥሩ አይደለም. በእውነቱ, በዚህ ላይ ምንም ወንጀለኛ የለም. በተጨማሪም ፣ አንድ አስፈላጊ ህግን ካስታወሱ ለማስላት ቀላል የሆነ ቀመር እናገኛለን-

ይህ ቀመር እንደ ፍቺ እና እንደ ንብረቶቹ እንደ አንዱ ተደርጎ ሊወሰድ ይችላል። በማንኛውም ሁኔታ፣ የሎጋሪዝም እኩልነትን እየቀየሩ ከሆነ፣ ልክ የማንኛውንም ቁጥር የምዝግብ ማስታወሻ ውክልና እንደሚያውቁት ይህንን ቀመር ማወቅ አለብዎት።

ወደ ተግባራችን እንመለስ። ከእኩል ምልክት በስተቀኝ ያለው የመጀመሪያው ቃል በቀላሉ ከ lg 7 ጋር እኩል እንደሚሆን ግምት ውስጥ በማስገባት እንደገና እንጽፋለን፡-

lg 56 = lg 7 - 3lg (x + 4)

lg 7ን ወደ ግራ እናንቀሳቅስ፣ የሚከተለውን እናገኛለን

lg 56 - lg 7 = -3lg (x + 4)

በግራ በኩል ያሉትን አገላለጾች እንቀንሳለን ምክንያቱም ተመሳሳይ መሠረት ስላላቸው፡-

lg (56/7) = -3lg (x + 4)

አሁን ያገኘነውን እኩልነት ጠለቅ ብለን እንመርምር። እሱ በተግባር ቀኖናዊው ቅርፅ ነው ፣ ግን በቀኝ በኩል ያለው ምክንያት -3 አለ። ወደ ትክክለኛው የlg ክርክር እንጨምር፡-

መዝገብ 8 = መዝገብ (x + 4) -3

ከእኛ በፊት የሎጋሪዝም እኩልታ ቀኖናዊ ቅርፅ አለ ፣ ስለሆነም የ lg ምልክቶችን እና ክርክሮችን እናነፃፅራለን-

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

ይኼው ነው! ሁለተኛውን የሎጋሪዝም እኩልታ ፈትተናል። በዚህ ሁኔታ, ምንም ተጨማሪ ቼኮች አያስፈልጉም, ምክንያቱም በመጀመሪያው ችግር x በአንድ ነጋሪ እሴት ውስጥ ብቻ ነበር.

የዚህን ትምህርት ቁልፍ ነጥቦች እንደገና ልዘርዝር።

የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት በተዘጋጀው በዚህ ገጽ ላይ ባሉት ሁሉም ትምህርቶች ውስጥ የሚሰጠው ዋናው ቀመር ቀኖናዊ ቅፅ ነው። እና በአብዛኛዎቹ የት / ቤት የመማሪያ መጽሃፍቶች ውስጥ እርስዎ እንዲፈቱ ስለሚማሩበት እውነታ አትፍሩ ተመሳሳይ ስራዎችበተለየ. ይህ መሳሪያ በጣም ውጤታማ በሆነ መንገድ ይሰራል እና በትምህርታችን መጀመሪያ ላይ ካጠናናቸው በጣም ቀላል ከሆኑት ይልቅ በጣም ሰፊ የሆነ ችግሮችን ለመፍታት ያስችልዎታል.

በተጨማሪም, የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት መሰረታዊ ባህሪያትን ማወቅ ጠቃሚ ይሆናል. ይኸውም፡-

1. ወደ አንድ መሠረት የሚዘዋወረው ቀመር እና ሎግ ስንገለበጥ ልዩ ጉዳይ (ይህ በመጀመሪያው ችግር ውስጥ ለእኛ በጣም ጠቃሚ ነበር);
2. ከሎጋሪዝም ምልክት ኃይልን ለመጨመር እና ለመቀነስ ቀመር። እዚህ ብዙ ተማሪዎች ተጣብቀው ይያዛሉ እና የተወሰደው እና ያስተዋወቀው ዲግሪ እራሱ log f (x) ሊይዝ እንደሚችል አይገነዘቡም። ምንም ስህተት የለውም። አንዱን ምዝግብ በሌላው ምልክት መሰረት ማስተዋወቅ እና በተመሳሳይ ጊዜ የችግሩን መፍትሄ በከፍተኛ ሁኔታ ማቃለል እንችላለን, ይህም በሁለተኛው ጉዳይ ላይ የምናየው ነው.

ለማጠቃለል ያህል በእያንዳንዱ በእነዚህ ጉዳዮች ላይ የትርጓሜውን ጎራ መፈተሽ አስፈላጊ እንዳልሆነ መጨመር እፈልጋለሁ, ምክንያቱም በሁሉም ቦታ ተለዋዋጭ x በአንድ የምዝግብ ማስታወሻ ምልክት ውስጥ ይገኛል, እና በተመሳሳይ ጊዜ በክርክሩ ውስጥ ነው. በዚህ ምክንያት ሁሉም የቦታው መስፈርቶች በራስ-ሰር ይሟላሉ.

በተለዋዋጭ መሠረት ላይ ችግሮች

ዛሬ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን እንመለከታለን, ይህም ለብዙ ተማሪዎች መደበኛ ያልሆነ የሚመስሉ, ሙሉ በሙሉ የማይፈታ ከሆነ. ስለ ነው።ስለ አገላለጾች በቁጥሮች ላይ የተመሰረቱ አይደሉም, ነገር ግን በተለዋዋጭ እና አልፎ ተርፎም ተግባራት ላይ. በመደበኛ ቴክኒሻችን ማለትም በቀኖናዊው ቅርፅ በመጠቀም እንደዚህ ያሉ ግንባታዎችን እንፈታለን ።

ለመጀመር, በጣም ቀላል የሆኑ ችግሮች እንዴት እንደሚፈቱ እናስታውስ, በመሠረት ላይ መደበኛ ቁጥሮች. ስለዚህ, በጣም ቀላሉ ግንባታ ይባላል

log a f (x) = b

እንደነዚህ ያሉትን ችግሮች ለመፍታት የሚከተለውን ቀመር መጠቀም እንችላለን-

b = log a a b

ኦሪጅናል አገላለጻችንን እንደገና ጻፍን እና እናገኛለን፡-

log a f (x) = log a a b

ከዚያ ክርክሮችን እናነፃፅራለን ፣ ማለትም እንጽፋለን-

ረ (x) = a ለ

ስለዚህ, የምዝግብ ማስታወሻውን እናስወግደዋለን እና የተለመደውን ችግር እንፈታዋለን. በዚህ ሁኔታ, ከመፍትሔው የተገኙት ሥሮች የመጀመርያው የሎጋሪዝም እኩልነት ሥሮች ይሆናሉ. በተጨማሪም, ግራ እና ቀኝ ሁለቱም በአንድ ሎጋሪዝም ውስጥ ተመሳሳይ መሠረት ጋር አንድ መዝገብ በትክክል ቀኖናዊ ቅጽ ይባላል. የዛሬውን ዲዛይኖች ለመቀነስ የምንሞክረው እንደዚህ ያለ መዝገብ ነው። ስለዚህ እንሂድ።

የመጀመሪያ ተግባር፡-

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 በሎግ x - 2 (x - 2) 1 ይተኩ. በክርክሩ ውስጥ የምንመለከተው ደረጃ በትክክል በእኩል ምልክት በስተቀኝ የቆመው ቁጥር b ነው። ስለዚህ አባባላችንን እንደገና እንፃፍ። እናገኛለን፡-

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = መዝገብ x - 2 (x - 2)

ስለምንታይ? ከእኛ በፊት የሎጋሪዝም እኩልዮሽ ቀኖናዊ ቅርጽ አለ, ስለዚህ ክርክሮችን በደህና ማመሳሰል እንችላለን. እናገኛለን፡-

2x 2 - 13x + 18 = x - 2

ግን መፍትሄው በዚህ አያበቃም, ምክንያቱም ይህ እኩልነት ከመጀመሪያው ጋር እኩል አይደለም. ከሁሉም በላይ, የተገኘው ግንባታ በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ የተገለጹ ተግባራትን ያቀፈ ነው, እና የእኛ የመጀመሪያ ሎጋሪዝም በሁሉም ቦታ አይገለጽም እና ሁልጊዜ አይደለም.

ስለዚህ, የትርጉም ጎራውን በተናጠል መፃፍ አለብን. ፀጉሮችን አንከፋፍል እና በመጀመሪያ ሁሉንም መስፈርቶች እንፃፍ-

በመጀመሪያ፣ የእያንዳንዱ ሎጋሪዝም ክርክር ከ0 በላይ መሆን አለበት።

2x 2 - 13x + 18 > 0

x - 2 > 0

በሁለተኛ ደረጃ መሰረቱ ከ 0 በላይ ብቻ ሳይሆን ከ 1 የተለየ መሆን አለበት.

x - 2 ≠ 1

በዚህ ምክንያት ስርዓቱን እናገኛለን-

ነገር ግን አትደንግጡ: የሎጋሪዝም እኩልታዎችን በሚሰራበት ጊዜ, እንዲህ ዓይነቱ ስርዓት በከፍተኛ ሁኔታ ሊቀልል ይችላል.

ለራስዎ ይፍረዱ፡ በአንድ በኩል የኳድራቲክ ተግባር ከዜሮ በላይ እንዲሆን እንገደዳለን፣ በሌላ በኩል ደግሞ ይህ ኳድራቲክ ተግባር ከተወሰነ ጋር ይመሳሰላል። መስመራዊ አገላለጽ, ይህም ደግሞ ከዜሮ በላይ መሆን ያስፈልጋል.

በዚህ ሁኔታ ፣ ያንን x - 2> 0 ከፈለግን ፣ መስፈርቱ 2x 2 - 13x + 18> 0 በራስ-ሰር ይረካል ። ኳድራቲክ ተግባር. ስለዚህ, በስርዓታችን ውስጥ የተካተቱት አገላለጾች ቁጥር ወደ ሶስት ይቀንሳል.

እርግጥ ነው፣ እኛም እንዲሁ መሻገር እንችላለን የመስመር አለመመጣጠንማለትም፣ x − 2> 0ን ማቋረጥ እና 2x 2 - 13x + 18> 0ን ጠይቅ። ነገር ግን በጣም ቀላል የሆነውን የመስመር አለመመጣጠን መፍታት ከኳድራቲክ የበለጠ ፈጣን እና ቀላል እንደሆነ መስማማት አለብዎት። ይህ ስርዓት ተመሳሳይ ሥሮችን እናገኛለን.

በአጠቃላይ በተቻለ መጠን ስሌቶችን ለማመቻቸት ይሞክሩ. እና በሎጋሪዝም እኩልታዎች ውስጥ, በጣም አስቸጋሪ የሆኑትን እኩልነት ያቋርጡ.

ስርዓታችንን እንደገና እንፃፍ፡-

እዚህ ላይ የሶስት አገላለጾች ስርዓት አለ, ከእነዚህ ውስጥ ሁለቱ, በእውነቱ, ቀደም ብለን የተነጋገርንባቸው. ለየብቻ እንፃፍ ኳድራቲክ እኩልታእና እንፍታው፡-

2x 2 - 14x + 20 = 0

x 2 - 7x + 10 = 0

ከፊታችን ተሰጥቷል። ኳድራቲክ ሶስትዮሽእና, ስለዚህ, የቪዬታ ቀመሮችን መጠቀም እንችላለን. እናገኛለን፡-

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x 2 = 2

አሁን ወደ ስርዓታችን ተመልሰን x = 2 የማይስማማን ሆኖ አግኝተነዋል። ምክንያቱም x በጥብቅ ከ2 በላይ መሆን ይጠበቅብናል።

ነገር ግን x = 5 በትክክል ይስማማናል፡ ቁጥሩ 5 ከ 2 ይበልጣል፣ በተመሳሳይ ጊዜ 5 ከ 3 ጋር እኩል አይደለም ። ስለዚህ የዚህ ስርዓት ብቸኛው መፍትሄ x = 5 ይሆናል።

ያ ብቻ ነው, ችግሩ ተፈትቷል, ODZ ን ግምት ውስጥ ማስገባት ጨምሮ. ወደ ሁለተኛው እኩልታ እንሂድ። የበለጠ አስደሳች እና መረጃ ሰጭ ስሌቶች እዚህ ይጠብቁናል፡-

የመጀመሪያው እርምጃ: እንደ ውስጥ ባለፈዉ ጊዜይህንን ጉዳይ ወደ ቀኖናዊ መልክ እናመጣለን. ይህንን ለማድረግ ቁጥር 9 ን እንደሚከተለው መጻፍ እንችላለን-

መሰረቱን ከሥሩ ጋር መንካት የለብዎትም, ግን ክርክሩን መቀየር የተሻለ ነው. ከስር ወደ ስልጣን እንሂድ ሐ ምክንያታዊ አመላካች. እንተዘይኮይኑ፡ ኣብ ውሽጣዊ ምምሕዳራዊ ምምሕዳርን ምምሕዳርን ምሉእ ብምሉእ ምሉእ ብምሉእ ምሉእ ብምሉእ ብምሉእ ንጽበ።

የኛን ትልቅ የሎጋሪዝም እኩልታ እንደገና ልጽፍ፣ ነገር ግን ወዲያውኑ ክርክሮችን አስተካክል፡-

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

ከእኛ በፊት አዲስ የተቀነሰ ባለአራት ትሪኖሚል ነው፣ የቪዬታ ቀመሮችን እንጠቀም እና እንፃፍ፡-

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

ስለዚህ፣ ሥሩን አግኝተናል፣ ነገር ግን ማንም ሰው ከዋናው ሎጋሪዝም እኩልነት ጋር እንደሚጣጣሙ ዋስትና አልሰጠንም። ከሁሉም በላይ, የምዝግብ ማስታወሻዎቹ ተጨማሪ ገደቦችን ያስገድዳሉ (እዚህ ላይ ስርዓቱን መፃፍ ነበረብን, ነገር ግን በአጠቃላዩ መዋቅር አስቸጋሪ ባህሪ ምክንያት, የትርጉም ጎራውን በተናጠል ለማስላት ወሰንኩ).

በመጀመሪያ ደረጃ፣ ክርክሮቹ ከ 0 በላይ መሆን እንዳለባቸው ያስታውሱ፡-

እነዚህ በትርጉም ወሰን የተቀመጡ መስፈርቶች ናቸው.

የስርአቱን የመጀመሪያዎቹን ሁለት አባባሎች እርስ በርስ በማመሳሰል ማናቸውንም መሻገር እንደምንችል ወዲያውኑ እናስተውል. ከሁለተኛው የበለጠ አስጊ ስለሚመስል የመጀመሪያውን እንሻገር።

በተጨማሪም ፣ ለሁለተኛው እና ለሦስተኛው አለመመጣጠን መፍትሄው ተመሳሳይ ስብስቦች እንደሚሆን ልብ ይበሉ (የአንዳንድ ቁጥሮች ኪዩብ ከዜሮ የበለጠ ነው ፣ ይህ ቁጥር ራሱ ከዜሮ የሚበልጥ ከሆነ ፣ በተመሳሳይ ፣ ከሶስተኛ ዲግሪ ሥር - እነዚህ እኩልነቶች) ሙሉ ለሙሉ ተመሳሳይ ናቸው, ስለዚህ እኛ ማቋረጥ እንችላለን).

ነገር ግን በሶስተኛው እኩልነት ይህ አይሰራም. ሁለቱንም ክፍሎች ወደ ኩብ በማንሳት በግራ በኩል ያለውን ራዲካል ምልክት እናስወግድ. እናገኛለን፡-

ስለዚህ የሚከተሉትን መስፈርቶች እናገኛለን:

- 2 ≠ x > -3

ከሥሮቻችን የትኛው ነው: x 1 = -3 ወይም x 2 = -1 እነዚህን መስፈርቶች የሚያሟላ? በግልጽ እንደሚታየው x = -1 ብቻ ነው ምክንያቱም x = -3 የመጀመሪያውን አለመመጣጠን አያረካም (የእኛ እኩልነት ጥብቅ ስለሆነ)። ስለዚህ, ወደ ችግራችን ስንመለስ, አንድ ሥር እናገኛለን: x = -1. ያ ነው ፣ ችግሩ ተፈቷል ።

አሁንም የዚህ ተግባር ቁልፍ ነጥቦች፡-

1. ቀኖናዊ ቅፅን በመጠቀም የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመተግበር እና ለመፍታት ነፃነት ይሰማህ። በዚህ መንገድ የሚጽፉ ተማሪዎች ከዋናው ችግር በቀጥታ ወደ ሎግ a f (x) = b ግንባታ ከመሄድ ይልቅ ብዙ ፍቀድ። ያነሰ ስህተቶችየሆነ ቦታ ላይ ከሚጣደፉ ሰዎች ይልቅ, መካከለኛ የሂሳብ ደረጃዎችን መዝለል;
2. ተለዋዋጭ መሠረት በሎጋሪዝም ውስጥ እንደታየ ችግሩ በጣም ቀላል ሆኖ ያቆማል። ስለዚህ, በሚፈታበት ጊዜ, የትርጉም ጎራውን ግምት ውስጥ ማስገባት አስፈላጊ ነው: ክርክሮቹ ከዜሮ በላይ መሆን አለባቸው, እና መሠረቶቹ ከ 0 በላይ መሆን ብቻ ሳይሆን ከ 1 ጋር እኩል መሆን የለባቸውም.

የመጨረሻዎቹ መስፈርቶች ለመጨረሻዎቹ መልሶች በተለያየ መንገድ ሊተገበሩ ይችላሉ. ለምሳሌ, ለትርጉሙ ጎራ ሁሉንም መስፈርቶች የያዘውን አጠቃላይ ስርዓት መፍታት ይችላሉ. በሌላ በኩል, በመጀመሪያ ችግሩን ራሱ መፍታት ይችላሉ, ከዚያም የትርጓሜውን ጎራ አስታውሱ, በተናጥል በስርአት መልክ ይሠራሉ እና በተገኙት ሥሮች ላይ ይተግብሩ.

አንድ የተወሰነ የሎጋሪዝም እኩልታ ሲፈቱ የትኛውን ዘዴ እንደሚመርጡ የእርስዎ ምርጫ ነው። ያም ሆነ ይህ, መልሱ ተመሳሳይ ይሆናል.

የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ስለመፍታት በረዥም ተከታታይ ትምህርቶች ውስጥ የመጨረሻዎቹ ቪዲዮዎች። በዚህ ጊዜ እኛ በዋነኝነት ከሎጋሪዝም ODZ ጋር እንሰራለን - በትክክል ምክንያቱ ትክክል ባልሆነ ግምት (ወይም አልፎ ተርፎም ችላ በማለት) የትርጓሜው ጎራ ብዙ ስህተቶች ሲፈጠሩ እንደዚህ ያሉ ችግሮችን ሲፈቱ ነው።

በዚህ አጭር የቪዲዮ ትምህርት ሎጋሪዝምን ለመጨመር እና ለመቀነስ የቀመሮችን አጠቃቀም እንመለከታለን እንዲሁም ብዙ ተማሪዎችም ችግር ያለባቸውን ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታዎችን እንመለከታለን።

ስለምን እንነጋገራለን? ለመረዳት የምፈልገው ዋናው ቀመር ይህን ይመስላል።

log a (f g) = log a f + log a g

ይህ ከምርቱ ወደ ሎጋሪዝም እና ወደ ኋላ ድምር መደበኛ ሽግግር ነው። ሎጋሪዝምን ከማጥናት ጀምሮ ይህን ቀመር ያውቁ ይሆናል። ይሁን እንጂ አንድ ችግር አለ.

ተለዋዋጮች a, f እና g ተራ ቁጥሮች እስከሆኑ ድረስ ምንም ችግሮች አይከሰቱም. ይህ ቀመር በጣም ጥሩ ይሰራል.

ነገር ግን፣ ከ f እና g ይልቅ ተግባራት እንደታዩ፣ የትርጉም ጎራውን የማስፋፋት ወይም የማጥበብ ችግር የሚፈጠረው በየትኛው አቅጣጫ እንደሚቀየር ነው። ለራስዎ ይፍረዱ፡ በግራ በኩል በተጻፈው ሎጋሪዝም የፍቺው ጎራ እንደሚከተለው ነው።

fg > 0

ነገር ግን በቀኝ በኩል በተጻፈው መጠን፣ የትርጉም ጎራ አስቀድሞ በመጠኑ የተለየ ነው፡-

ረ > 0

ሰ > 0

ይህ የመመዘኛዎች ስብስብ ከመጀመሪያው የበለጠ ጥብቅ ነው. በመጀመሪያው ሁኔታ, በምርጫ ረ እንረካለን< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 ተፈጽሟል)።

ስለዚህ, ከግራ ግንባታ ወደ ቀኝ ሲንቀሳቀስ, የትርጉም ጎራ መጥበብ ይከሰታል. መጀመሪያ ላይ ድምር ከነበረን እና በምርት መልክ እንደገና እንጽፋለን ፣ ከዚያ የትርጓሜው ጎራ ይስፋፋል።

በሌላ አገላለጽ, በመጀመሪያው ሁኔታ ሥሮቹን ልናጣ እንችላለን, በሁለተኛው ውስጥ ደግሞ ተጨማሪዎችን እናገኛለን. እውነተኛ ሎጋሪዝም እኩልታዎችን ሲፈታ ይህ ግምት ውስጥ መግባት አለበት።

ስለዚህ, የመጀመሪያው ተግባር:

[የሥዕሉ መግለጫ]

በግራ በኩል ተመሳሳይ መሠረት በመጠቀም የሎጋሪዝም ድምርን እናያለን. ስለዚህ, እነዚህ ሎጋሪዝም ሊጨመሩ ይችላሉ:

[የሥዕሉ መግለጫ]

እንደሚመለከቱት ፣ በቀኝ በኩል ያለውን ቀመር በመጠቀም ዜሮውን ተክተናል-

a = log b b a

የኛን እኩልታ ትንሽ የበለጠ እናስተካክል፡-

መዝገብ 4 (x - 5) 2 = መዝገብ 4 1

ከእኛ በፊት የሎጋሪዝም እኩልታ ቀኖናዊ መልክ አለ፤ የምዝግብ ማስታወሻውን አውጥተን ክርክሮችን ማመሳሰል እንችላለን፡-

(x - 5) 2 = 1

|x - 5| = 1

እባክዎን ያስተውሉ: ሞጁሉ የመጣው ከየት ነው? የትክክለኛ ካሬ ሥር ከሞጁል ጋር እኩል መሆኑን ላስታውስህ፡-

[የሥዕሉ መግለጫ]

ከዚያ የጥንታዊውን እኩልታ በሞጁል እንፈታዋለን-

|f | = ሰ (ሰ > 0) ⇒f = ± ግ

x - 5 = ± 1 ⇒x 1 = 5 - 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

ሁለት እጩ መልሶች እዚህ አሉ። ለዋናው የሎጋሪዝም እኩልታ መፍትሄ ናቸው? በጭራሽ!

ሁሉንም ነገር እንደዛ ትተን መልሱን ለመጻፍ ምንም መብት የለንም። የሎጋሪዝምን ድምር በክርክሩ ውጤት በአንድ ሎጋሪዝም የምንተካበትን ደረጃ ተመልከት። ችግሩ በመጀመሪያዎቹ መግለጫዎች ውስጥ ተግባራት አሉን. ስለዚህ የሚከተሉትን ማድረግ አለብዎት:

x (x - 5) > 0; (x - 5)/x > 0።

ትክክለኛውን ካሬ በማግኘት ምርቱን ስንቀይር መስፈርቶቹ ተለውጠዋል፡-

(x - 5) 2 > 0

ይህ መስፈርት መቼ ነው የሚሟላው? አዎ, ሁልጊዜ ማለት ይቻላል! ከጉዳዩ በስተቀር x - 5 = 0. ማለትም እኩልነት ወደ አንድ የተበሳጨ ነጥብ ይቀንሳል.

x - 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

እንደምታየው, የትርጉም ወሰን ተዘርግቷል, ይህም በትምህርቱ መጀመሪያ ላይ የተነጋገርነው ነው. ስለዚህ, ሊኖር ይችላል ተጨማሪ ሥሮች.

እነዚህ ተጨማሪ ሥሮች እንዳይታዩ እንዴት መከላከል ይችላሉ? በጣም ቀላል ነው: የተገኙትን ሥሮቻችንን እንመለከታለን እና ከዋናው እኩልነት ፍቺ ጎራ ጋር እናነፃፅራቸዋለን. እንቆጥረው፡-

x (x - 5) > 0

የጊዜ ክፍተት ዘዴን በመጠቀም እንፈታዋለን-

x (x - 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

በመስመሩ ላይ የተገኙትን ቁጥሮች ምልክት እናደርጋለን. ሁሉም ነጥቦች ጠፍተዋል ምክንያቱም እኩልነት ጥብቅ ነው. ከ5 በላይ የሆነ ቁጥር ይውሰዱ እና ይተኩ፡

[የሥዕሉ መግለጫ]

ክፍተቶችን እንፈልጋለን (-∞; 0) ∪ (5; ∞)። ሥሮቻችንን በክፋዩ ላይ ምልክት ካደረግን x = 4 ለእኛ እንደማይስማማን እናያለን ምክንያቱም ይህ ሥር ከዋናው ሎጋሪዝም እኩልነት ፍቺ ጎራ ውጭ ነው።

ወደ አጠቃላይ ድምር እንመለሳለን ፣ ስርወ x = 4ን አቋርጠን መልሱን ጻፍ: x = 6. ይህ ለዋናው ሎጋሪዝም እኩልታ የመጨረሻ መልስ ነው። ያ ነው ፣ ችግሩ ተፈቷል ።

ወደ ሁለተኛው ሎጋሪዝም እኩልነት እንሂድ፡-

[የሥዕሉ መግለጫ]

እንፍታው:: የመጀመሪያው ቃል ክፍልፋይ መሆኑን እና ሁለተኛው ተመሳሳይ ክፍልፋይ መሆኑን ልብ ይበሉ, ግን የተገለበጠ ነው. lgx በሚለው አገላለጽ አትፍሩ - የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ብቻ ነው፣ እኛ ልንጽፈው እንችላለን፡-

lgx = መዝገብ 10 x

ሁለት የተገለበጡ ክፍልፋዮች ስላለን፣ አዲስ ተለዋዋጭ ለማስተዋወቅ ሀሳብ አቀርባለሁ፡

[የሥዕሉ መግለጫ]

ስለዚህ የእኛ እኩልነት እንደሚከተለው እንደገና ሊፃፍ ይችላል-

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 - 2t + 1) / t = 0;

(t - 1) 2/t = 0.

እንደሚመለከቱት ፣ የክፍልፋዩ አሃዛዊ ትክክለኛ ካሬ ነው። ክፍልፋይ አሃዛዊው ሲሆን ከዜሮ ጋር እኩል ነው። ከዜሮ ጋር እኩል ነው።, እና መለያው ከዜሮ የተለየ ነው፡

(t - 1) 2 = 0; ቲ ≠ 0

የመጀመሪያውን እኩልታ እንፍታ፡-

t - 1 = 0;

t = 1.

ይህ እሴት ሁለተኛውን መስፈርት ያሟላል. ስለዚህ, የእኛን እኩልነት ሙሉ በሙሉ ፈትተናል ማለት እንችላለን, ግን ከተለዋዋጭ ቲ. አሁን ምን እንደ ሆነ እናስታውስ፡-

[የሥዕሉ መግለጫ]

መጠን አግኝተናል፡-

logx = 2 logx + 1

2 logx - logx = -1

logx = -1

ይህንን እኩልታ ወደ ቀኖናዊው መልክ አመጣነው፡-

logx = መዝገብ 10 -1

x = 10 -1 = 0.1

በውጤቱም, አንድ ነጠላ ሥር ተቀብለናል, እሱም በንድፈ ሀሳብ, ለዋናው እኩልነት መፍትሄ ነው. ሆኖም፣ አሁንም በጥንቃቄ እንጫወት እና የዋናውን እኩልታ ፍቺ ጎራ እንፃፍ፡-

[የሥዕሉ መግለጫ]

ስለዚህ, ሥሮቻችን ሁሉንም መስፈርቶች ያሟላሉ. ለዋናው ሎጋሪዝም እኩልነት መፍትሄ አግኝተናል። መልስ፡- x = 0.1. ችግሩ ተፈቷል.

በዛሬው ትምህርት ውስጥ አንድ ቁልፍ ነጥብ ብቻ አለ፡ ከአንድ ምርት ወደ ድምር እና ወደ ኋላ ለመሸጋገር ቀመሩን ስትጠቀም የሽግግሩ አቅጣጫ በየትኛው አቅጣጫ እንደሚወሰን የትርጉም ወሰን ሊጠብ ወይም ሊሰፋ እንደሚችል ግምት ውስጥ ማስገባትዎን ያረጋግጡ።

ምን እየተፈጠረ እንዳለ እንዴት መረዳት ይቻላል: መጨናነቅ ወይም መስፋፋት? በጣም ቀላል። ቀደም ሲል ተግባሮቹ አንድ ላይ ከነበሩ አሁን ግን የተለዩ ናቸው, ከዚያም የትርጓሜው ወሰን ጠባብ ሆኗል (ምክንያቱም ተጨማሪ መስፈርቶች አሉ). መጀመሪያ ላይ ተግባራቱ በተናጥል ከቆሙ ፣ እና አሁን አንድ ላይ ከሆኑ ፣ ከዚያ የፍቺው ጎራ ተዘርግቷል (ከግለሰብ ሁኔታዎች ይልቅ በምርቱ ላይ ያነሱ መስፈርቶች ተጭነዋል)።

ይህንን አስተያየት ከግምት ውስጥ በማስገባት የሁለተኛው ሎጋሪዝም እኩልነት እነዚህን ለውጦች በጭራሽ እንደማይፈልግ ማስተዋል እፈልጋለሁ ፣ ማለትም ፣ ክርክሮችን በየትኛውም ቦታ አንጨምርም ወይም አናባዛም። ሆኖም ግን, እዚህ ላይ ትኩረትዎን ወደ ሌላ አስደናቂ ዘዴ መሳብ እፈልጋለሁ, ይህም መፍትሄውን በእጅጉ ቀላል ያደርገዋል. ተለዋዋጭ ስለመተካት ነው።

ነገር ግን፣ ምንም አይነት ምትክ ከትርጉሙ ወሰን ነፃ እንደሚያወጣን ያስታውሱ። ለዚያም ነው ሁሉም ሥሮቹ ከተገኙ በኋላ, እኛ ሰነፍ አልነበርንም እና ODZ ን ለማግኘት ወደ መጀመሪያው እኩልታ ተመልሰናል.

ብዙውን ጊዜ, ተለዋዋጭ በሚተካበት ጊዜ, ተማሪዎች የቲ ዋጋን ሲያገኙ እና መፍትሄው እንደተጠናቀቀ ሲያስቡ, የሚያበሳጭ ስህተት ይከሰታል. በጭራሽ!

የ t ዋጋን ካገኙ በኋላ፣ ወደ መጀመሪያው እኩልታ መመለስ እና በዚህ ፊደል ምን እንደፈለግን ማየት ያስፈልግዎታል። በውጤቱም, አንድ ተጨማሪ እኩልታ መፍታት አለብን, ሆኖም ግን, ከመጀመሪያው በጣም ቀላል ይሆናል.

ይህ በትክክል አዲስ ተለዋዋጭ የማስተዋወቅ ነጥብ ነው። የመጀመሪያውን እኩልታ ወደ ሁለት መካከለኛ ክፍሎች እንከፍላለን, እያንዳንዳቸው በጣም ቀላል የሆነ መፍትሄ አላቸው.

"ጎጆ" ሎጋሪዝም እኩልታዎችን እንዴት እንደሚፈታ

ዛሬ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ማጥናት እንቀጥላለን እና አንድ ሎጋሪዝም በሌላ ሎጋሪዝም ምልክት ስር በሚሆንበት ጊዜ ግንባታዎችን እንመረምራለን ። ቀኖናዊውን ቅጽ በመጠቀም ሁለቱንም እኩልታዎች እንፈታለን።

ዛሬ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ማጥናት እንቀጥላለን እና አንድ ሎጋሪዝም በሌላው ምልክት ስር በሚሆንበት ጊዜ ግንባታዎችን እንመረምራለን ። ቀኖናዊውን ቅጽ በመጠቀም ሁለቱንም እኩልታዎች እንፈታለን። ላስታውስህ በጣም ቀላሉ የሎጋሪዝም እኩልታ ቅጽ log a f (x) = b ካለን ታዲያ ይህን ስሌት ለመፍታት እንፈጽማለን። ቀጣይ እርምጃዎች. በመጀመሪያ ደረጃ, ቁጥርን መተካት አለብን b :

b = log a a b

ማስታወሻ፡ a b ክርክር ነው። በተመሳሳይ፣ በዋናው እኩልታ፣ ክርክሩ የ f(x) ተግባር ነው። ከዚያ እኩልታውን እንደገና እንጽፋለን እና ይህንን ግንባታ እናገኛለን-

log a f (x) = log a a b

ከዚያ ሶስተኛውን ደረጃ ማከናወን እንችላለን - የሎጋሪዝም ምልክትን ያስወግዱ እና በቀላሉ ይፃፉ-

ረ (x) = a ለ

በውጤቱም, አዲስ እኩልታ እናገኛለን. በዚህ ሁኔታ, በ f (x) ተግባር ላይ ምንም ገደቦች አይጣሉም. ለምሳሌ, በእሱ ቦታም ሊኖር ይችላል ሎጋሪዝም ተግባር. እና ከዚያ እንደገና የሎጋሪዝም እኩልታ እናገኛለን፣ እሱም እንደገና ወደ ቀላሉ ቅጹ እንቀንስ እና በቀኖናዊው ቅርፅ እንፈታዋለን።

ይሁን እንጂ ግጥሞቹ በቂ ናቸው። እውነተኛውን ችግር እንፈታው። ስለዚህ ተግባር ቁጥር 1፡-

መዝገብ 2 (1 + 3 መዝገብ 2 x ) = 2

እንደሚመለከቱት, ቀላል የሎጋሪዝም እኩልታ አለን. የ f (x) ሚና ግንባታ 1 + 3 ሎግ 2 x ነው, እና የቁጥር ሚና ለ ቁጥር 2 ነው (የሀ ሚና በሁለትም ይጫወታል). እነዚህን ሁለቱን እንደሚከተለው እንጽፈው፡-

የመጀመሪያዎቹ ሁለት ሁለቱ ከሎጋሪዝም መሠረት ወደ እኛ እንደመጡ መረዳት በጣም አስፈላጊ ነው, ማለትም በዋናው እኩልታ ውስጥ 5 ከሆነ, ያኔ 2 = log 5 5 2 እናገኛለን. በአጠቃላይ, መሰረቱ በችግሩ ውስጥ በመጀመሪያ በተሰጠው ሎጋሪዝም ላይ ብቻ ይወሰናል. እና በእኛ ሁኔታ ይህ ቁጥር 2 ነው.

ስለዚህ፣ በቀኝ በኩል ያሉት ሁለቱ በትክክል ሎጋሪዝምም መሆናቸውን ከግምት ውስጥ በማስገባት የሎጋሪዝም እኩልታችንን እንደገና እንጽፋለን። እናገኛለን፡-

መዝገብ 2 (1 + 3 መዝገብ 2 x ) = መዝገብ 2 4

ወደ እቅዳችን የመጨረሻ ደረጃ እንሂድ - ቀኖናዊውን ቅርፅ ማስወገድ። በቀላሉ የምዝግብ ማስታወሻዎችን እናቋርጣለን ማለት ይችላሉ. ሆኖም ፣ ከሂሳብ እይታ አንጻር ፣ “ምዝግብ ማስታወሻን ማቋረጥ” አይቻልም - ክርክሮችን በቀላሉ እናነፃፅራለን ማለት የበለጠ ትክክል ይሆናል-

1 + 3 መዝገብ 2 x = 4

ከዚህ በቀላሉ 3 ሎግ 2 x እናገኛለን።

3 መዝገብ 2 x = 3

መዝገብ 2 x = 1

በጣም ቀላሉን የሎጋሪዝም እኩልነት እንደገና አግኝተናል፣ ወደ ቀኖናዊው ቅፅ እንመልሰው። ይህንን ለማድረግ የሚከተሉትን ለውጦች ማድረግ አለብን:

1 = መዝገብ 2 2 1 = መዝገብ 2 2

ለምን በመሠረቱ ላይ ሁለት አለ? ምክንያቱም በእኛ ቀኖናዊ እኩልታ በግራ በኩል ሎጋሪዝም በትክክል ለመሠረት 2. ይህንን እውነታ ከግምት ውስጥ በማስገባት ችግሩን እንደገና እንጽፋለን-

መዝገብ 2 x = መዝገብ 2 2

እንደገና የሎጋሪዝም ምልክትን እናስወግዳለን, ማለትም ክርክሮችን በቀላሉ እናመጣለን. ይህንን ለማድረግ መብት አለን ምክንያቱም መሠረቶቹ ተመሳሳይ ናቸው እና ምንም ተጨማሪ ድርጊቶች በቀኝም ሆነ በግራ አልተደረጉም.

ይኼው ነው! ችግሩ ተፈቷል. ለሎጋሪዝም እኩልነት መፍትሄ አግኝተናል።

ማስታወሻ! ምንም እንኳን ተለዋዋጭ x በክርክሩ ውስጥ ቢታይም (ማለትም, ለትርጉሙ ጎራ መስፈርቶች አሉ), ምንም ተጨማሪ መስፈርቶችን አንፈጥርም.

ከላይ እንዳልኩት። ይህ ቼክተለዋዋጭው በአንድ ሎጋሪዝም በአንድ ነጋሪ እሴት ውስጥ ብቻ የሚከሰት ከሆነ ብዙ ጊዜ የሚቆይ ነው። በእኛ ሁኔታ, x በእውነቱ በክርክሩ ውስጥ ብቻ እና በአንድ የምዝግብ ማስታወሻ ስር ብቻ ይታያል. ስለዚህ, ምንም ተጨማሪ ቼኮች አያስፈልጉም.

ሆኖም፣ ካላመንክ ይህ ዘዴ, ከዚያ በቀላሉ x = 2 በእርግጥ ሥር መሆኑን ማረጋገጥ ይችላሉ. ይህንን ቁጥር ወደ መጀመሪያው እኩልነት መተካት በቂ ነው.

ወደ ሁለተኛው እኩልታ እንሂድ፣ ትንሽ የበለጠ አስደሳች ነው፡-

መዝገብ 2 (ሎግ 1/2 (2x - 1) + መዝገብ 2 4) = 1

በውስጡ ያለውን አገላለጽ ከጠቆምን ትልቅ ሎጋሪዝምተግባር f (x)፣ የዛሬውን የቪዲዮ ትምህርት የጀመርንበትን ቀላሉ የሎጋሪዝም እኩልታ እናገኛለን። ስለዚህ፣ ቀኖናዊውን ቅጽ ተግባራዊ ማድረግ እንችላለን፣ ለዚህም ክፍሉን በቅጽ መዝገብ 2 2 1 = log 2 2 ውስጥ መወከል አለብን።

የእኛን ትልቅ እኩልታ እንደገና እንፃፍ፡-

መዝገብ 2 (ሎግ 1/2 (2x - 1) + መዝገብ 2 4) = መዝገብ 2 2

ክርክሮችን በማመሳሰል ከሎጋሪዝም ምልክት እንራቅ። ይህንን ለማድረግ መብት አለን, ምክንያቱም በግራ እና በቀኝ ሁለቱም መሠረቶቹ ተመሳሳይ ናቸው. በተጨማሪም ማስታወሻ 2 4 = 2:

መዝገብ 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

መዝገብ 1/2 (2x - 1) = 0

በድጋሚ ከእኛ በፊት በጣም ቀላሉ የሎጋሪዝም እኩልታ ቅጽ log a f (x) = b. ወደ ቀኖናዊው ቅፅ እንሂድ፣ ማለትም፣ በቅጽ መዝገብ 1/2 (1/2)0 = ሎግ 1/2 1 ላይ ዜሮን እንወክላለን።

ክርክሮችን በማመሳሰል የእኛን እኩልታ እንደገና እንጽፋለን እና የምዝግብ ማስታወሻውን እናስወግዳለን-

መዝገብ 1/2 (2x - 1) = መዝገብ 1/2 1

2x - 1 = 1

በድጋሚ, ወዲያውኑ መልስ አግኝተናል. ምንም ተጨማሪ ቼኮች አያስፈልጉም ምክንያቱም በዋናው እኩልታ ውስጥ አንድ ሎጋሪዝም ብቻ ተግባሩን እንደ ክርክር ይዟል.

ስለዚህ, ምንም ተጨማሪ ቼኮች አያስፈልጉም. የዚህ እኩልታ ስር ብቻ x = 1 ነው ብለን በእርግጠኝነት መናገር እንችላለን።

ነገር ግን በሁለተኛው ሎጋሪዝም ከአራት ይልቅ የ x አንዳንድ ተግባራት ከነበሩ (ወይም 2x በክርክሩ ውስጥ አልነበረም, ነገር ግን በመሠረቱ ውስጥ) - ከዚያም የትርጉም ጎራውን መፈተሽ አስፈላጊ ነው. አለበለዚያ ወደ ተጨማሪ ሥሮች የመሮጥ እድሉ ከፍተኛ ነው.

እነዚህ ተጨማሪ ሥሮች ከየት መጡ? ይህ ነጥብ በጣም ግልጽ በሆነ መንገድ መረዳት አለበት. የመጀመሪያዎቹን እኩልታዎች ይመልከቱ፡ በሁሉም ቦታ ላይ ያለው ተግባር x በሎጋሪዝም ምልክት ስር ነው። ስለዚህ, ሎግ 2 x ስለጻፍን, መስፈርቱን በራስ-ሰር እናስቀምጣለን x> 0. አለበለዚያ ይህ ግቤትብቻ ትርጉም የለውም።

ሆኖም ግን, የሎጋሪዝም እኩልነትን ስንፈታ, ሁሉንም የምዝግብ ማስታወሻ ምልክቶችን እናስወግዳለን እና ቀላል ግንባታዎችን እናገኛለን. ከአሁን በኋላ እዚህ ምንም የተቀመጡ ገደቦች የሉም፣ ምክንያቱም መስመራዊ ተግባርለማንኛውም የ x እሴት ይገለጻል።

ይህ በትክክል መቼ ነው ችግሩ የመጨረሻ ተግባርበሁሉም ቦታ እና ሁል ጊዜ ይገለጻል ፣ ግን ዋናው በምንም መንገድ በሁሉም ቦታ አይደለም ሁል ጊዜም አይደለም ፣ እና የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት ብዙ ጊዜ ተጨማሪ ሥሮች የሚነሱበት ምክንያት ነው።

ግን አንድ ጊዜ እንደገና እደግማለሁ-ይህ የሚሆነው ተግባሩ በበርካታ ሎጋሪዝም ውስጥ ወይም በአንደኛው መሠረት ላይ በሚሆንበት ሁኔታ ላይ ብቻ ነው። ዛሬ በምናጤንባቸው ችግሮች ውስጥ, በመርህ ደረጃ, የትርጓሜውን ጎራ በማስፋት ላይ ምንም ችግሮች የሉም.

የተለያዩ ምክንያቶች ጉዳዮች

ይህ ትምህርት ለበለጠ የተሰጠ ነው። ውስብስብ መዋቅሮች. በዛሬው እኩልታዎች ውስጥ ያለው ሎጋሪዝም ወዲያውኑ አይፈታም፤ አንዳንድ ለውጦች መጀመሪያ መደረግ አለባቸው።

የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ሙሉ በሙሉ በተለያዩ መሠረቶች መፍታት እንጀምራለን። እንደዚህ ያሉ ችግሮች እንዲያስፈራሩዎት አይፍቀዱ - ከላይ ከተነጋገርናቸው በጣም ቀላል ንድፎች የበለጠ ለመፍታት አስቸጋሪ አይደሉም.

ነገር ግን በቀጥታ ወደ ችግሮቹ ከመሄዳችን በፊት ቀኖናዊውን ፎርም በመጠቀም በጣም ቀላል የሆኑትን የሎጋሪዝም እኩልታዎች ለመፍታት ቀመርን ላስታውስዎ። ይህን የመሰለ ችግር አስቡበት፡-

log a f (x) = b

ረ (x) ተግባር ብቻ መሆኑ አስፈላጊ ነው፣ እና የቁጥር ሀ እና ለ ሚና ቁጥሮች መሆን አለባቸው (ያለ ምንም ተለዋዋጮች x)። በእርግጥ ፣ በጥሬው በአንድ ደቂቃ ውስጥ እንደዚህ ያሉ ጉዳዮችን እንመለከታለን ከተለዋዋጭ ሀ እና ለ ይልቅ ተግባራት ሲኖሩ ፣ ግን ያ አሁን ስለዚያ አይደለም ።

እንደምናስታውሰው, ቁጥሩ በ ሎጋሪዝም ወደ ተመሳሳይ መሠረት ሀ, በግራ በኩል መተካት አለበት. ይህ በጣም ቀላል ነው የሚከናወነው:

b = log a a b

በእርግጥ "ማንኛውም ቁጥር ለ" እና "ማንኛውም ቁጥር a" የሚሉት ቃላት የትርጉሙን ወሰን የሚያሟሉ እሴቶች ናቸው. በተለይም በዚህ እኩልታ እያወራን ያለነውመሰረቱ a > 0 እና a ≠ 1 ብቻ።

ነገር ግን፣ ይህ መስፈርት በራስ-ሰር ይሟላል፣ ምክንያቱም የመጀመሪያው ችግር አስቀድሞ ሀ ለመሠረት ሎጋሪዝም ይዟል - በእርግጠኝነት ከ 0 በላይ ይሆናል እና ከ 1 ጋር እኩል አይሆንም። ስለዚህ የሎጋሪዝም እኩልታ መፍታት እንቀጥላለን።

log a f (x) = log a a b

እንዲህ ዓይነቱ ማስታወሻ ቀኖናዊ ቅርጽ ይባላል. የእሱ ምቾት ክርክሮችን በማመሳሰል የምዝግብ ማስታወሻውን ወዲያውኑ ማስወገድ በመቻላችን ላይ ነው-

ረ (x) = a ለ

አሁን የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት የምንጠቀምበት ይህ ዘዴ ነው። ተለዋዋጭ መሠረት. ስለዚህ እንሂድ!

መዝገብ 2 (x 2 + 4x + 11) = ሎግ 0.5 0.125

ቀጥሎ ምን አለ? አንድ ሰው አሁን ትክክለኛውን ሎጋሪዝም ማስላት ወይም ወደ ተመሳሳይ መሠረት ወይም ሌላ ነገር መቀነስ እንዳለብዎት ይናገራል. እና በእርግጥ, አሁን ሁለቱንም መሠረቶች ወደ ተመሳሳይ ቅፅ - 2 ወይም 0.5 ማምጣት አለብን. ግን የሚከተለውን ህግ ለአንዴና ለመጨረሻ ጊዜ እንማር፡-

በሎጋሪዝም እኩልዮሽ ውስጥ አስርዮሽዎች ካሉ፣ እነዚያን ክፍልፋዮች መለወጥዎን ያረጋግጡ የአስርዮሽ ምልክትወደ መደበኛው. ይህ ለውጥ መፍትሔውን በእጅጉ ያቃልላል።

ምንም አይነት ድርጊቶችን ወይም ለውጦችን ከማድረግዎ በፊት እንኳን እንዲህ ዓይነቱ ሽግግር ወዲያውኑ መከናወን አለበት. እስቲ እንመልከት፡-

መዝገብ 2 (x 2 + 4x + 11) = መዝገብ 1/2 1/8

እንደዚህ ያለ መዝገብ ምን ይሰጠናል? 1/2 እና 1/8ን እንደ ሐ ስልጣኖች መወከል እንችላለን አሉታዊ አመላካች:

[የሥዕሉ መግለጫ]

ከእኛ በፊት ቀኖናዊው መልክ አለ. ክርክሮችን እናመሳስላለን እና ክላሲክ ኳድራቲክ እኩልታ እናገኛለን፡-

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

የቪዬታ ቀመሮችን በመጠቀም በቀላሉ ሊፈታ የሚችል የሚከተለው ኳድራቲክ እኩልታ በፊታችን አለ። በሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት ውስጥ፣ በቃል በቃል ተመሳሳይ ማሳያዎችን ማየት አለብህ፡-

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

ይኼው ነው! የመጀመሪያው የሎጋሪዝም እኩልታ ተፈቷል። ሁለት ሥሮች አግኝተናል.

በዚህ ጉዳይ ላይ ከተለዋዋጭ x ጋር ያለው ተግባር በአንድ ነጋሪ እሴት ውስጥ ብቻ ስለሚገኝ የፍቺውን ጎራ መወሰን አስፈላጊ እንዳልሆነ ላስታውስዎ። ስለዚህ, የትርጉም ወሰን በራስ-ሰር ይከናወናል.

ስለዚህ, የመጀመሪያው እኩልታ ተፈትቷል. ወደ ሁለተኛው እንሂድ፡-

ሎግ 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = መዝገብ 3 1/9

መዝገብ 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = መዝገብ 3 9 -1

አሁን የመጀመርያው ሎጋሪዝም ክርክር እንደ ኃይል ሊጻፍ እንደሚችል እና ከአሉታዊ ገላጭ ጋር ሊጻፍ እንደሚችል ልብ ይበሉ፡ 1/2 = 2 -1። ከዚያ በሁለቱም በኩል ያሉትን ኃይሎች በማውጣት ሁሉንም ነገር በ -1 መከፋፈል ይችላሉ-

[የሥዕሉ መግለጫ]

እና አሁን በጣም አከናውነናል። አስፈላጊ እርምጃየሎጋሪዝም እኩልታ በመፍታት. ምናልባት አንድ ሰው የሆነ ነገር አላስተዋለውም, ስለዚህ ላብራራ.

የኛን እኩልታ ይመልከቱ፡ በግራም በቀኝም የምዝግብ ማስታወሻ አለ፣ በግራ በኩል ግን ሎጋሪዝም ወደ መሰረት 2 አለ፣ በቀኝ በኩል ደግሞ ሎጋሪዝም ወደ መሰረት 3. ሶስት የኢንቲጀር ሃይል አይደለም ሁለት እና በተቃራኒው, 2 3 ኢንቲጀር ዲግሪ ነው ብለው መጻፍ አይችሉም.

ስለሆነም, እነዚህ ሎጋሪዝም የተለያዩ መሠረቶች ያሉት ሲሆን ይህም በቀላሉ ኃይልን በመጨመር እርስ በርስ መቀነስ አይቻልም. ብቸኛው መንገድለእንደዚህ አይነት ችግሮች መፍትሄው ከነዚህ ሎጋሪዝም አንዱን ማስወገድ ነው. በዚህ ሁኔታ ፣ አሁንም ቀላል የሆኑ ችግሮችን እያጤንን ስለሆነ ፣ በቀኝ በኩል ያለው ሎጋሪዝም በቀላሉ ይሰላል ፣ እና ቀላሉን እኩልታ አግኝተናል - በትክክል በዛሬው ትምህርት መጀመሪያ ላይ የተነጋገርነው።

በቀኝ በኩል ያለውን ቁጥር 2 እንወክል፣ እንደ ሎግ 2 2 2 = log 2 4. እና ከዚያ የሎጋሪዝም ምልክትን እናስወግዳለን ፣ ከዚያ በኋላ በቀላሉ በኳድራቲክ እኩልታ እንቀራለን ።

መዝገብ 2 (5x 2 + 9x + 2) = መዝገብ 2 4

5x 2 + 9x + 2 = 4

5x 2 + 9x - 2 = 0

በፊታችን አንድ ተራ ኳድራቲክ እኩልታ አለን ፣ ግን አልቀነሰም ምክንያቱም የ x 2 ኮፊሸን ከአንድነት የተለየ ነው። ስለዚህ፣ አድልዎ በመጠቀም እንፈታዋለን፡-

መ = 81 - 4 5 (-2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (-9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 = (-9 - 11)/10 = -2

ይኼው ነው! ሁለቱንም ሥሮች አግኝተናል, ይህም ማለት ለዋናው ሎጋሪዝም እኩልነት መፍትሄ አግኝተናል. በእርግጥ, በዋናው ችግር ውስጥ, ከተለዋዋጭ x ጋር ያለው ተግባር በአንድ ነጋሪ እሴት ውስጥ ብቻ ይገኛል. ስለዚህ፣ በትርጉም ጎራ ላይ ምንም ተጨማሪ ፍተሻ አያስፈልግም - ያገኘናቸው ሁለቱም ሥሮች በእርግጠኝነት ሁሉንም ሊሆኑ የሚችሉ ገደቦችን ያሟላሉ።

ይህ የዛሬው የቪዲዮ ትምህርት መጨረሻ ሊሆን ይችላል፣ ግን በማጠቃለያው እንደገና ማለት እፈልጋለሁ፡ ሁሉንም የአስርዮሽ ክፍልፋዮች የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ሲፈቱ ወደ ተራ ክፍልፋዮች መለወጥዎን ያረጋግጡ። በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች, ይህ የእነሱን መፍትሄ በእጅጉ ያቃልላል.

አልፎ አልፎ፣ በጣም አልፎ አልፎ፣ የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን ማስወገድ ስሌቶችን ብቻ የሚያወሳስብባቸው ችግሮች ያጋጥሙዎታል። ነገር ግን, በእንደዚህ አይነት እኩልታዎች, እንደ አንድ ደንብ, መጀመሪያ ላይ የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን ማስወገድ አያስፈልግም.

በአብዛኛዎቹ ሁኔታዎች (በተለይ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን መፍታት ልምምድ ማድረግ ከጀመሩ) አስርዮሽዎችን ለማስወገድ እና ወደ ተራ ለመለወጥ ነፃነት ይሰማዎ። ምክንያቱም ልምምድ እንደሚያሳየው በዚህ መንገድ ተከታዩን መፍትሄ እና ስሌቶችን በከፍተኛ ሁኔታ ያቃልሉታል.

የመፍትሄው ስውር እና ዘዴዎች

ዛሬ ወደ ተጨማሪ እንቀጥላለን ውስብስብ ተግባራትእና የሎጋሪዝም እኩልታ እንፈታዋለን, መሰረቱ ቁጥር ሳይሆን ተግባር ነው.

እና ይህ ተግባር መስመራዊ ቢሆንም እንኳን ማከል አለብዎት ጥቃቅን ለውጦች, ትርጉሙ ወደ ታች ይፈልቃል ተጨማሪ መስፈርቶች, በሎጋሪዝም ትርጉም ጎራ ላይ ተደራቢ።

ውስብስብ ተግባራት

ይህ መማሪያ በጣም ረጅም ይሆናል። በውስጡ ብዙ ተማሪዎች ስህተቶችን ሲፈቱ ሁለት ከባድ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን እንመረምራለን። እንደ የሂሳብ ሞግዚትነት በተለማመድኩበት ወቅት ሁለት አይነት ስህተቶች ያለማቋረጥ አጋጥመውኛል፡-

1. የሎጋሪዝም ትርጉም ጎራ በመስፋፋቱ ምክንያት ተጨማሪ ሥሮች መታየት። እንደዚህ አይነት አፀያፊ ስህተቶችን ለማስወገድ እያንዳንዱን ለውጥ በጥንቃቄ ይቆጣጠሩ;
2. ተማሪው አንዳንድ “ስውር” ጉዳዮችን ከግምት ውስጥ ማስገባት ስለረሳው ሥሮች መጥፋት - ዛሬ የምናተኩርባቸው ሁኔታዎች እነዚህ ናቸው።

ይህ የመጨረሻው ትምህርትለሎጋሪዝም እኩልታዎች የተሰጠ። ረጅም ይሆናል, ውስብስብ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን እንመረምራለን. ለራስህ ተመቻችተህ ለራስህ ሻይ አብስል እና እንጀምር።

የመጀመሪያው እኩልታ በጣም መደበኛ ይመስላል

log x + 1 (x - 0.5) = መዝገብ x - 0.5 (x + 1)

ወዲያውኑ ሁለቱም ሎጋሪዝም እርስ በርስ የተገለበጡ ቅጂዎች መሆናቸውን እናስተውል. አስደናቂውን ቀመር እናስታውስ፡-

log a b = 1/ log b a

ነገር ግን፣ ይህ ቀመር በቁጥር ሀ እና ለ ምትክ የ x ተግባራት ካሉ የሚነሱ በርካታ ገደቦች አሉት።

ለ > 0

1 ≠ ሀ > 0

እነዚህ መስፈርቶች በሎጋሪዝም መሠረት ላይ ይሠራሉ. በሌላ በኩል፣ በክፍልፋይ ውስጥ 1 ≠ a > 0 እንዲኖረን ይጠበቅብናል፣ ምክንያቱም ተለዋዋጭ ሀ በሎጋሪዝም ክርክር ውስጥ ብቻ ሳይሆን (ስለዚህ a > 0) ፣ ግን ሎጋሪዝም ራሱ የክፍልፋይ መለያው ውስጥ ነው። . ግን ሎግ b 1 = 0፣ እና መለያው ዜሮ ያልሆነ መሆን አለበት፣ ስለዚህ a ≠ 1።

ስለዚህ በተለዋዋጭ ላይ ያሉት ገደቦች ይቀራሉ። ግን ተለዋዋጭ ለ ምን ይሆናል? በአንድ በኩል, መሰረቱ b> 0ን ያመለክታል, በሌላ በኩል, ተለዋዋጭ b ≠ 1, ምክንያቱም የሎጋሪዝም መሠረት ከ 1 የተለየ መሆን አለበት. በአጠቃላይ ከቀመሩ በቀኝ በኩል 1 ≠ ይከተላል. ለ > 0.

ግን ችግሩ እዚህ አለ-ሁለተኛው መስፈርት (b ≠ 1) ከመጀመሪያው እኩልነት ጠፍቷል, ይህም ከግራ ሎጋሪዝም ጋር የተያያዘ ነው. በሌላ አነጋገር, ይህንን ለውጥ ስናከናውን ማድረግ አለብን በተናጠል ያረጋግጡ፣ ክርክሩ ለ ከአንድ የተለየ ነው!

ስለዚህ እንፈትሽው። የእኛን ቀመር እንተገብረው፡-

[የሥዕሉ መግለጫ]

1 ≠ x - 0.5> 0; 1 ≠ x + 1 > 0

ስለዚህ ያንን ከዋናው የሎጋሪዝም እኩልታ ስንመለከት ሁለቱም ሀ እና ለ ከ 0 በላይ መሆን አለባቸው እና ከ 1 ጋር እኩል መሆን የለባቸውም ማለት ነው።

አዲስ ተለዋዋጭ ለማስተዋወቅ ሀሳብ አቀርባለሁ፡-

log x + 1 (x - 0.5) = t

በዚህ ሁኔታ የእኛ ግንባታ እንደሚከተለው ይጻፋል.

(t 2 - 1)/t = 0

በቁጥር ቆጣሪው ውስጥ የካሬዎች ልዩነት እንዳለን ልብ ይበሉ. የአህጽሮት ማባዛት ቀመርን በመጠቀም የካሬዎችን ልዩነት እንገልጣለን።

(t - 1) (t + 1)/t = 0

ክፍልፋይ ዜሮ ሲሆን አሃዛዊው ዜሮ ሲሆን መለያው ዜሮ ካልሆነ ከዜሮ ጋር እኩል ነው። ነገር ግን አሃዛዊው አንድ ምርት ይዟል፣ ስለዚህ እያንዳንዱን ሁኔታ ከዜሮ ጋር እናመሳሰለዋለን፡-

t 1 = 1;

t 2 = -1;

ቲ ≠ 0.

እንደምናየው, ሁለቱም የተለዋዋጭ እሴቶች እኛን ይስማማሉ. ሆኖም ግን, መፍትሄው በዚህ ብቻ አያበቃም, ምክንያቱም እኛ መፈለግ አለብን t ሳይሆን የ x እሴት. ወደ ሎጋሪዝም እንመለሳለን እና የሚከተሉትን እናገኛለን

መዝገብ x + 1 (x - 0.5) = 1;

መዝገብ x + 1 (x - 0.5) = -1.

እያንዳንዳቸውን እነዚህን እኩልታዎች በቀኖናዊ መልክ እናስቀምጥ፡-

log x + 1 (x - 0.5) = መዝገብ x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0.5) = መዝገብ x + 1 (x + 1) -1

በመጀመሪያው ጉዳይ ላይ የሎጋሪዝም ምልክትን እናስወግዳለን እና ክርክሮችን እናነፃፅራለን-

x - 0.5 = x + 1;

x - x = 1 + 0.5;

እንዲህ ዓይነቱ እኩልታ ሥር የለውም, ስለዚህ የመጀመሪያው ሎጋሪዝም እኩልነት እንዲሁ ሥር የለውም. ግን በሁለተኛው እኩልታ ሁሉም ነገር የበለጠ አስደሳች ነው-

(x - 0.5)/1 = 1/ (x + 1)

መጠኑን በመፍታት ፣ እኛ እናገኛለን-

(x - 0.5) (x + 1) = 1

ላስታውስህ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን በሚፈታበት ጊዜ ሁሉንም የአስርዮሽ ክፍልፋዮችን እንደ ተራ ለመጠቀም የበለጠ ምቹ ነው ፣ስለዚህ እኩልታችንን እንደሚከተለው እንፃፍ።

(x - 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

ከዚህ በታች ያለው ኳድራቲክ እኩልታ በፊታችን አለን ፣ የቪዬታ ቀመሮችን በመጠቀም በቀላሉ ሊፈታ ይችላል-

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 = -1.5;

x 2 = 1

ሁለት ሥሮች አግኝተናል - እነሱ የመጀመሪያውን ሎጋሪዝም እኩልታ ለመፍታት እጩዎች ናቸው። ወደ መልሱ ምን ዓይነት ሥሮች እንደሚገቡ ለመረዳት ወደ መጀመሪያው ችግር እንመለስ። አሁን እያንዳንዱን ሥሮቻችን ከትርጉሙ ጎራ ጋር የሚስማሙ መሆናቸውን እንፈትሻለን፡-

1.5 ≠ x > 0.5; 0 ≠ x > -1።

እነዚህ መስፈርቶች ከእጥፍ አለመመጣጠን ጋር ተመሳሳይ ናቸው፡

1 ≠ x > 0.5

ከዚህ ወዲያውኑ እናያለን ስርወ x = -1.5 ለእኛ እንደማይስማማን ነገር ግን x = 1 በደንብ እንደሚስማማን እንገነዘባለን። ስለዚህ x = 1 - የመጨረሻ ውሳኔሎጋሪዝም እኩልታ.

ወደ ሁለተኛው ተግባር እንሂድ፡-

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

በመጀመሪያ ሲታይ ሁሉም ሎጋሪዝም ሊመስሉ ይችላሉ የተለያዩ ምክንያቶችእና የተለያዩ ክርክሮች. በእንደዚህ ዓይነት መዋቅሮች ምን ይደረግ? በመጀመሪያ ፣ ቁጥሮች 25 ፣ 5 እና 625 የ 5 ኃይሎች መሆናቸውን ልብ ይበሉ።

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

አሁን እንጠቀም አስደናቂ ንብረትሎጋሪዝም ነጥቡ በምክንያት መልክ ስልጣንን ከክርክር ማውጣት ይችላሉ፡-

log a b n = n ∙ log a b

ይህ ትራንስፎርሜሽን በ b ተግባር በተተካበት ጉዳይ ላይ እገዳዎችም ተጋርጦበታል። ለእኛ ግን b ቁጥር ብቻ ነው, እና የለም ተጨማሪ ገደቦችአይነሳም. የእኛን እኩልነት እንደገና እንፃፍ፡-

2 ∙ ሎግ x 5 + ሎግ 125 x 5 = 4 ∙ ሎግ 25 x 5

የምዝግብ ማስታወሻውን የያዙ ሶስት ቃላት ያለው እኩልታ አግኝተናል። ከዚህም በላይ የሶስቱም ሎጋሪዝም ክርክሮች እኩል ናቸው.

ሎጋሪዝምን ወደ ተመሳሳይ መሠረት ለማምጣት ጊዜው አሁን ነው - 5. ተለዋዋጭ ለ ቋሚ ስለሆነ, በትርጉሙ ጎራ ላይ ምንም ለውጦች አይከሰቱም. እንደገና እንጽፋለን፡-

[የሥዕሉ መግለጫ]

እንደተጠበቀው, ተመሳሳይ ሎጋሪዝም በዲኖሚነተር ውስጥ ታየ. ተለዋዋጭውን ለመተካት ሀሳብ አቀርባለሁ-

መዝገብ 5 x = t

በዚህ አጋጣሚ የእኛ እኩልነት እንደሚከተለው እንደገና ይጻፋል፡

አሃዛዊውን እንፃፍ እና ቅንፎችን እንከፍት፡-

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4t (t + 3) = 2 (t 2 + 5t + 6) + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = 2t 2 + 10t + 12 + t 2 + 2t - 4t 2 - 12t = -t 2 + 12

ወደ ክፍላችን እንመለስ። ቆጣሪው ዜሮ መሆን አለበት፡-

[የሥዕሉ መግለጫ]

እና መለያው ከዜሮ የተለየ ነው፡-

ቲ ≠ 0; t ≠ -3; t ≠ -2

የመጨረሻዎቹ መስፈርቶች በራስ-ሰር ይሟላሉ, ምክንያቱም ሁሉም ከኢንቲጀር ጋር "የተሳሰሩ" ናቸው, እና ሁሉም መልሶች ምክንያታዊ ያልሆኑ ናቸው.

ስለዚህ፣ ክፍልፋይ ምክንያታዊ እኩልታተፈትቷል ፣ የተለዋዋጭ t ዋጋዎች ተገኝተዋል። ወደ ሎጋሪዝም እኩልታ ወደ መፍታት እንመለስ እና t ምን እንደሆነ እናስታውስ፡-

[የሥዕሉ መግለጫ]

ይህንን እኩልታ ወደ ቀኖናዊ ቅፅ እናመጣለን, ከ ጋር ቁጥር እናገኛለን ምክንያታዊ ያልሆነ ዲግሪ. ይህ እንዲያደናግርዎት አይፍቀዱ - እንደዚህ ያሉ ክርክሮች እንኳን ሊመሳሰሉ ይችላሉ-

[የሥዕሉ መግለጫ]

ሁለት ሥሮች አግኝተናል. ይበልጥ በትክክል፣ ሁለት እጩ መልሶች - ከትርጉሙ ጎራ ጋር መጣጣምን እንፈትሽ። የሎጋሪዝም መሠረት ተለዋዋጭ x ስለሆነ የሚከተሉትን እንፈልጋለን።

1 ≠ x > 0;

በተመሳሳይ ስኬት x ≠ 1/125 እናረጋግጣለን, አለበለዚያ የሁለተኛው ሎጋሪዝም መሠረት ወደ አንድነት ይቀየራል. በመጨረሻም፣ x ≠ 1/25 ለሦስተኛው ሎጋሪዝም።

በአጠቃላይ አራት ገደቦችን ተቀብለናል፡-

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

አሁን ጥያቄው ሥሮቻችን እነዚህን መስፈርቶች ያሟላሉ? በእርግጥ እነሱ ያረካሉ! ምክንያቱም 5 ለማንኛውም ሃይል ከዜሮ በላይ ስለሚሆን እና መስፈርቱ x > 0 በራስ ሰር ይሟላል።

በሌላ በኩል 1 = 5 0, 1/25 = 5 -2, 1/125 = 5 -3, ይህም ማለት እነዚህ ገደቦች ለሥሮቻችን (ይህም ላስታውስዎት, ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር) እንዲሁም ረክተዋል, እና ሁለቱም መልሶች ለችግሩ መፍትሄዎች ናቸው.

ስለዚህ, የመጨረሻው መልስ አለን. ዋና ዋና ነጥቦችበዚህ ችግር ውስጥ ሁለት ናቸው:

1. ክርክሩ እና መሰረቱ ሲለዋወጡ ሎጋሪዝም ሲገለብጡ ይጠንቀቁ። እንደነዚህ ያሉ ለውጦች በትርጉሙ ወሰን ላይ አላስፈላጊ ገደቦችን ያስገድዳሉ.
2. ሎጋሪዝምን ለመለወጥ አይፍሩ: እነሱን ማዞር ብቻ ሳይሆን የድምር ቀመሩን በመጠቀም መክፈት እና በአጠቃላይ ሲፈቱ ያጠኑትን ማንኛውንም ቀመሮች በመጠቀም መለወጥ ይችላሉ ። ሎጋሪዝም መግለጫዎች. ሆኖም ፣ ሁል ጊዜ ያስታውሱ-አንዳንድ ለውጦች የትርጉሙን ወሰን ያሰፋሉ ፣ እና አንዳንዶቹ ጠባብ።

በዚህ ትምህርት ስለ ሎጋሪዝም መሰረታዊ የንድፈ ሃሳባዊ እውነታዎችን እንገመግማለን እና በጣም ቀላል የሆኑትን የሎጋሪዝም እኩልታዎች ለመፍታት እንመለከታለን።

ማዕከላዊውን ትርጉም እናስታውስ - የሎጋሪዝም ትርጉም. ከውሳኔው ጋር የተያያዘ ነው። ገላጭ እኩልታ. ይህ እኩልታአንድ ነጠላ ሥር አለው፣ ለ መሠረት የሚሆን ሎጋሪዝም ይባላል፡-

ፍቺ፡

የ b to base a ሎጋሪዝም አርቢ ነው ለ ለማግኘት የትኛውን መሠረት መነሳት አለበት።

እናስታውስህ መሰረታዊ ሎጋሪዝም ማንነት.

አገላለጹ (መግለጫ 1) የእኩልታው ሥር ነው (መግለጫ 2)። እሴት xን ከአገላለጽ 1 ወደ አገላለጽ 2 ይቀይሩት እና ዋናውን የሎጋሪዝም ማንነት ያግኙ፡-

ስለዚህ እያንዳንዱ እሴት ከአንድ እሴት ጋር የተቆራኘ መሆኑን እናያለን. b በ x()፣ c በ y እናወክላለን፣ እና ስለዚህ የሎጋሪዝም ተግባር እናገኛለን፡-

ለምሳሌ:

የሎጋሪዝም ተግባርን መሰረታዊ ባህሪያት እናስታውስ.

በሎጋሪዝም ስር እንደ ሎጋሪዝም መሰረት የሆነ ጥብቅ አወንታዊ መግለጫ ሊኖር ስለሚችል እዚህ እንደገና ትኩረት እንስጥ.

ሩዝ. 1. ከተለያዩ መሰረቶች ጋር የሎጋሪዝም ተግባር ግራፍ

በ ላይ ያለው የተግባር ግራፍ በጥቁር ይታያል. ሩዝ. 1. ክርክሩ ከዜሮ ወደ ኢንፊኒቲ ከጨመረ, ተግባሩ ከመቀነስ ወደ ፕላስ ኢንፊኒቲ ይጨምራል.

የተግባሩ ግራፍ በቀይ ይታያል። ሩዝ. 1.

የዚህ ተግባር ባህሪያት:

ጎራ፡;

የእሴቶች ክልል:;

ተግባሩ በጠቅላላው የፍቺው ጎራ ውስጥ ነጠላ ነው። በብቸኝነት (በጥብቅ) ሲጨምር, ከፍ ያለ ዋጋክርክሩ ከተግባሩ ትልቅ እሴት ጋር ይዛመዳል. በብቸኝነት (በጥብቅ) ሲቀንስ፣ የክርክሩ ትልቅ ዋጋ ከተግባሩ ትንሽ እሴት ጋር ይዛመዳል።

የሎጋሪዝም ተግባር ባህሪያት የተለያዩ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ለመፍታት ቁልፍ ናቸው።

በጣም ቀላሉን የሎጋሪዝም እኩልታ እንመልከተው፤ ሁሉም ሌሎች የሎጋሪዝም እኩልታዎች፣ እንደ አንድ ደንብ፣ ወደዚህ ቅፅ ተቀንሰዋል።

የሎጋሪዝም መሰረቶች እና ሎጋሪዝም እራሳቸው እኩል ስለሆኑ በሎጋሪዝም ስር ያሉ ተግባራትም እኩል ናቸው, ነገር ግን የትርጉም ጎራውን ሊያመልጠን አይገባም. በሎጋሪዝም ስር አዎንታዊ ቁጥር ብቻ ነው መታየት የሚችለው፡-

ተግባራቶቹ f እና g እኩል መሆናቸውን ደርሰንበታል፣ ስለዚህ ODZን ለማክበር ማንኛውንም እኩልነት መምረጥ በቂ ነው።

ስለዚህ፣ እኩልነት እና እኩልነት የሌለበት ድብልቅ ሥርዓት አለን።

እንደ አንድ ደንብ እኩልነትን መፍታት አስፈላጊ አይደለም ፣ እኩልታውን መፍታት እና የተገኙትን ሥሮች ወደ እኩልነት መተካት በቂ ነው ፣ ስለሆነም ቼክ ማከናወን።

በጣም ቀላል የሆኑትን የሎጋሪዝም እኩልታዎች ለመፍታት ዘዴ እንቅረፅ፡-

የሎጋሪዝም መሰረቶችን እኩል ያድርጉ;

የንዑስብሎጋሪዝም ተግባራትን እኩል ማድረግ;

ቼክ አከናውን.

የተወሰኑ ምሳሌዎችን እንመልከት።

ምሳሌ 1 - እኩልታውን ይፍቱ

የሎጋሪዝም መሰረቶች መጀመሪያ ላይ እኩል ናቸው, የንዑስ አባባሎች አገላለጾችን የማመሳሰል መብት አለን, ስለ ODZ አትርሳ, እኩልነትን ለማዘጋጀት የመጀመሪያውን ሎጋሪዝም እንመርጣለን.

ምሳሌ 2 - እኩልታውን ይፍቱ

ይህ እኩልታ ከቀዳሚው የሚለየው የሎጋሪዝም መሠረቶች ከአንድ ያነሱ በመሆናቸው ነው፣ ነገር ግን ይህ በምንም መልኩ መፍትሄውን አይጎዳውም-

ሥሩን እንፈልግ እና ወደ አለመመጣጠን እንተካው።

የተሳሳተ እኩልነት አግኝተናል, ይህም ማለት የተገኘው ሥር ODZ ን አያረካውም ማለት ነው.

ምሳሌ 3 - እኩልታውን ይፍቱ

የሎጋሪዝም መሠረቶች መጀመሪያ ላይ እኩል ናቸው ፣ የንዑስ አባባሎች አገላለጾችን የማመሳሰል መብት አለን ፣ ስለ ODZ አይርሱ ፣ እኩልነትን ለመፃፍ ሁለተኛውን ሎጋሪዝም እንመርጣለን ።

ሥሩን እንፈልግ እና ወደ አለመመጣጠን እንተካው።

በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ODZ ን የሚያረካው የመጀመሪያው ሥር ብቻ ነው.

መግቢያ

ሎጋሪዝም የተፈለሰፈው ስሌቶችን ለማፋጠን እና ለማቃለል ነው። የሎጋሪዝም ሀሳብ ፣ ማለትም ፣ ቁጥሮችን እንደ ተመሳሳይ መሠረት የመግለጽ ሀሳብ ፣ ሚካሂል ስቲፌል ነው። ነገር ግን በስቲፌል ጊዜ፣ ሂሳብ ያን ያህል አልዳበረም እና የሎጋሪዝም ሀሳብ አልዳበረም። በኋላ ላይ ሎጋሪዝም በአንድ ጊዜ እና እርስ በርስ በተናጥል በስኮትላንዳዊው ሳይንቲስት ጆን ናፒየር (1550-1617) እና በስዊዘርላንድ ጆብስት ቡርጊ (1552-1632) ተፈለሰፈ።ናፒየር በ1614 ሥራውን ያሳተመ የመጀመሪያው ነው። “የአስደናቂው የሎጋሪዝም ሠንጠረዥ መግለጫ” በሚል ርዕስ የናፒየር የሎጋሪዝም ንድፈ ሐሳብ በበቂ ሁኔታ ተሰጥቷል። በሙሉ, ሎጋሪዝምን ለማስላት ዘዴው በጣም ቀላሉ ተሰጥቷል, ስለዚህ የናፒየር ሎጋሪዝም በሎጋሪዝም መፈልሰፍ ላይ ያለው ጠቀሜታ ከቡርጊ የበለጠ ነው. ቡርጊ ከናፒየር ጋር በተመሳሳይ ጊዜ በጠረጴዛዎች ላይ ሠርቷል, ግን ለረጅም ግዜበምስጢር ጠብቋቸው እና በ1620 ብቻ አሳተሟቸው። ናፒየር በ 1594 አካባቢ የሎጋሪዝምን ሀሳብ ተቆጣጠረ። ሠንጠረዦቹ ከ 20 ዓመታት በኋላ ቢታተሙም. በመጀመሪያ የእሱን ሎጋሪዝም "ሰው ሰራሽ ቁጥሮች" ብሎ ጠራቸው እና እነዚህን "ሰው ሰራሽ ቁጥሮች" በአንድ ቃል "ሎጋሪዝም" ለመጥራት ሐሳብ አቀረበ, ከግሪክ የተተረጎመው "የተቆራኙ ቁጥሮች" ማለት ነው, አንዱን ከሂሳብ ግስጋሴ የተወሰደ, ሌላኛው ደግሞ ከ. የጂኦሜትሪክ ግስጋሴ ለእሱ ልዩ ተመርጧል። በሩሲያ ውስጥ የመጀመሪያዎቹ ሠንጠረዦች በ 1703 ታትመዋል. በ 18 ኛው ክፍለ ዘመን ድንቅ አስተማሪ ተሳትፎ. ኤል.ኤፍ. ማግኒትስኪ. የሎጋሪዝም ንድፈ ሐሳብ እድገት ውስጥ ትልቅ ጠቀሜታየቅዱስ ፒተርስበርግ ምሁር ሊዮንሃርድ ኡለር ስራዎች ነበሩት። ሎጋሪዝምን ወደ ስልጣን የማሳደግ ተገላቢጦሽ አድርጎ በመቁጠር የመጀመሪያው ነበር፡ “ሎጋሪዝም መሰረት” እና “ማንቲሳ” የሚሉትን ቃላት አስተዋውቋል።ብሪግስ የሎጋሪዝም ሰንጠረዦችን ከመሠረት 10 ጋር አጠናቅቋል። ከናፒየር ሎጋሪዝም የበለጠ ቀላል . ለዛ ነው የአስርዮሽ ሎጋሪዝምአንዳንድ ጊዜ ብሪግስ ይባላል. "ባህሪ" የሚለው ቃል በብሪግስ አስተዋወቀ።

በእነዚያ ሩቅ ጊዜያት, ጠቢባኖቹ ያልታወቁ መጠኖች ስለያዙ እኩልነት ማሰብ ሲጀምሩ, ምናልባት ምንም ሳንቲሞች ወይም የኪስ ቦርሳዎች አልነበሩም. ነገር ግን ቁጥሩ ያልታወቀ ቁጥሩ ሊይዝ ለሚችል የማከማቻ መሸጎጫ ሚና ፍጹም የሆኑ ድስት እና ቅርጫቶች ነበሩ። በጥንት ሰዎች የሂሳብ ችግሮችሜሶፖታሚያ, ህንድ, ቻይና, ግሪክ, ያልታወቁ መጠኖች በአትክልቱ ውስጥ የሚገኙትን የፒኮኮች ብዛት, በመንጋው ውስጥ ያሉት የበሬዎች ብዛት, ንብረትን በሚከፋፍሉበት ጊዜ አጠቃላይ ነገሮች ግምት ውስጥ ያስገባሉ. በሂሳብ ሳይንስ በደንብ የሰለጠኑ ጸሃፊዎች፣ ባለስልጣናት እና ጀማሪዎች ሚስጥራዊ እውቀትካህናቱ እነዚህን ሥራዎች በተሳካ ሁኔታ ተቋቁመዋል።

የጥንት ሳይንቲስቶች ጥቂቶቹን እንደያዙ የደረሰን መረጃ አመልክቷል። አጠቃላይ ቴክኒኮችባልታወቀ መጠን ችግሮችን መፍታት. ይሁን እንጂ አንድ የፓፒረስ ወይም የሸክላ ሰሌዳ የእነዚህን ዘዴዎች መግለጫ አልያዘም. ደራሲዎቹ አልፎ አልፎ የቁጥር ስሌቶቻቸውን “ተመልከቱ!”፣ “ይህን አድርግ!”፣ “ትክክለኛውን አግኝተሃል” በሚሉ ስስ አስተያየቶች ብቻ ይሰጡ ነበር። ከዚህ አንፃር፣ ልዩነቱ የግሪክ የሒሳብ ሊቅ ዲዮፋንተስ ኦቭ አሌክሳንድሪያ (III ክፍለ ዘመን) “አርቲሜቲክ” ነው - እኩልታዎችን ለማቀናበር የመፍትሄዎቻቸውን ስልታዊ አቀራረብ የያዘ የችግሮች ስብስብ።

ይሁን እንጂ በሰፊው የሚታወቁትን ችግሮች ለመፍታት የመጀመሪያው መመሪያ የ9ኛው ክፍለ ዘመን የባግዳድ ሳይንቲስት ሥራ ነው። ሙሐመድ ቢን ሙሳ አል-ከዋሪዝሚ። “አል-ጀብር” የሚለው ቃል ከዚህ ድርሰት አረብኛ ስም - “ኪታብ አል-ጀብር ወል-ሙካባላ” (“የተሃድሶ እና የተቃውሞ መጽሐፍ”) ከጊዜ በኋላ ወደ ታዋቂው ቃል “አልጀብራ” ተለወጠ እና አል- የክዋሪዝሚ ስራ ራሱ እኩልታዎችን የመፍታት ሳይንስን በማዳበር ረገድ መነሻውን አገለገለ።

የሎጋሪዝም እኩልታዎችእና አለመመጣጠን

1. ሎጋሪዝም እኩልታዎች

በሎጋሪዝም ምልክት ስር ወይም በመሠረቱ ላይ የማይታወቅ ነገርን የያዘ ቀመር ሎጋሪዝም እኩልነት ይባላል።

በጣም ቀላሉ የሎጋሪዝም እኩልታ የቅጹ እኩልነት ነው።

መዝገብ ሀ x = ለ . (1)

መግለጫ 1. ከሆነ ሀ > 0, ሀ≠ 1፣ ቀመር (1) ለማንኛውም እውነተኛ ለአለው ውሳኔ ብቻ x = ሀ ለ .

ምሳሌ 1. እኩልታዎችን መፍታት፡-

ሀ) መዝገብ 2 x= 3, ለ) መዝገብ 3 x= -1፣ ሐ)

መፍትሄ። መግለጫ 1ን በመጠቀም ሀ) እናገኛለን x= 2 3 ወይም x= 8; ለ) x= 3 -1 ወይም x= 1/3; ሐ)

ወይም x = 1.

የሎጋሪዝምን መሰረታዊ ባህሪያት እናቅርብ.

P1. መሰረታዊ ሎጋሪዝም ማንነት፡-

የት ሀ > 0, ሀ≠ 1 እና ለ > 0.

P2. የአዎንታዊ ምክንያቶች ምርት ሎጋሪዝም ከድምሩ ጋር እኩል ነው።የእነዚህ ምክንያቶች ሎጋሪዝም

መዝገብ ሀ ኤን 1 · ኤን 2 = መዝገብ ሀ ኤን 1 + ሎግ ሀ ኤን 2 (ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ኤን 1 > 0, ኤን 2 > 0).

አስተያየት። ከሆነ ኤን 1 · ኤን 2> 0፣ ከዚያ ንብረቱ P2 ቅጹን ይወስዳል

መዝገብ ሀ ኤን 1 · ኤን 2 = መዝገብ ሀ |ኤን 1 | + መዝገብ ሀ |ኤን 2 | (ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ኤን 1 · ኤን 2 > 0).

P3. የሁለት አወንታዊ ቁጥሮች ዋጋ ሎጋሪዝም በአከፋፋዩ እና በአከፋፋዩ መካከል ካለው ልዩነት ጋር እኩል ነው።

(ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ኤን 1 > 0, ኤን 2 > 0).

አስተያየት። ከሆነ

, (ይህም ተመጣጣኝ ነው ኤን 1 ኤን 2> 0) ከዚያም ንብረቱ P3 ቅጹን ይወስዳል (ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ኤን 1 ኤን 2 > 0).

P4. የዲግሪ ሎጋሪዝም አዎንታዊ ቁጥር ከምርቱ ጋር እኩል ነው።የዚህ ቁጥር አርቢ በሎጋሪዝም፡-

መዝገብ ሀ ኤን ክ = ክመዝገብ ሀ ኤን (ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ኤን > 0).

አስተያየት። ከሆነ ክ - ሙሉ ቁጥር (ክ = 2ኤስ) ፣ ያ

መዝገብ ሀ ኤን 2ኤስ = 2ኤስመዝገብ ሀ |ኤን | (ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ኤን ≠ 0).

P5. ወደ ሌላ መሠረት ለመዛወር ቀመር፡-

(ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ለ > 0, ለ ≠ 1, ኤን > 0),

በተለይ ከሆነ ኤን = ለ, እናገኛለን

(ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ለ > 0, ለ ≠ 1). (2)

ንብረቶችን P4 እና P5 በመጠቀም, የሚከተሉትን ንብረቶች ማግኘት ቀላል ነው

(ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ለ > 0, ሐ ≠ 0), (3) (ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ለ > 0, ሐ ≠ 0), (4) (ሀ > 0, ሀ ≠ 1, ለ > 0, ሐ ≠ 0), (5)

እና በ (5) ውስጥ ከሆነ ሐ- ሙሉ ቁጥር ( ሐ = 2n), ይከሰታል

(ለ > 0, ሀ ≠ 0, |ሀ | ≠ 1). (6)

የሎጋሪዝም ተግባር ዋና ዋና ባህሪያትን እንዘርዝር ረ (x) = መዝገብ ሀ x :

1. የሎጋሪዝም ተግባር ፍቺ ጎራ የአዎንታዊ ቁጥሮች ስብስብ ነው።

2. የሎጋሪዝም ተግባር የእሴቶች ክልል የእውነተኛ ቁጥሮች ስብስብ ነው።

3. መቼ ሀ> 1 ሎጋሪዝም ተግባር በጥብቅ እየጨመረ ነው (0< x 1 < x 2ሎግ ሀ x 1 < logሀ x 2) እና በ0< ሀ < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2ሎግ ሀ x 1 > መዝገብ ሀ x 2).

4. ሎግ ሀ 1 = 0 እና ሎግ ሀ ሀ = 1 (ሀ > 0, ሀ ≠ 1).

5. ከሆነ ሀ> 1፣ ከዚያ የሎጋሪዝም ተግባር ሲከሰት አሉታዊ ነው። x(0;1) እና አዎንታዊ በ x(1+∞)፣ እና 0 ከሆነ< ሀ < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) እና አሉታዊ በ x (1;+∞).

6. ከሆነ ሀ> 1፣ ከዚያ የሎጋሪዝም ተግባር ወደ ላይ ሾጣጣ ነው፣ እና ከሆነ ሀ(0;1) - ወደ ታች ሾጣጣ.

የሚከተሉት መግለጫዎች (ለምሳሌ ይመልከቱ) የሎጋሪዝም እኩልታዎችን ሲፈቱ ጥቅም ላይ ይውላሉ።

የእርስዎን ግላዊነት መጠበቅ ለእኛ አስፈላጊ ነው። በዚህ ምክንያት፣ የእርስዎን መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም እና እንደምናከማች የሚገልጽ የግላዊነት ፖሊሲ አዘጋጅተናል። እባኮትን የግላዊነት ተግባሮቻችንን ይከልሱ እና ማንኛውም አይነት ጥያቄ ካለዎት ያሳውቁን።

የግል መረጃ መሰብሰብ እና መጠቀም

የግል መረጃ አንድን የተወሰነ ሰው ለመለየት ወይም ለመገናኘት የሚያገለግል ውሂብን ያመለክታል።

እኛን በሚያገኙበት በማንኛውም ጊዜ የግል መረጃዎን እንዲያቀርቡ ሊጠየቁ ይችላሉ።

ከዚህ በታች ልንሰበስበው የምንችላቸው የግል መረጃ ዓይነቶች እና እንደዚህ ያለውን መረጃ እንዴት መጠቀም እንደምንችል አንዳንድ ምሳሌዎች አሉ።

ምን ዓይነት የግል መረጃ እንሰበስባለን

• በጣቢያው ላይ ማመልከቻ በሚያስገቡበት ጊዜ, የእርስዎን ስም, ስልክ ቁጥር, አድራሻ ጨምሮ የተለያዩ መረጃዎችን ልንሰበስብ እንችላለን ኢሜይልወዘተ.

የእርስዎን የግል መረጃ እንዴት እንደምንጠቀም፡-

• በእኛ የተሰበሰበ የግል መረጃእንድናነጋግርዎ እና ስለእሱ ለማሳወቅ ይፈቅድልናል ልዩ ቅናሾች, ማስተዋወቂያዎች እና ሌሎች ዝግጅቶች እና መጪ ክስተቶች.
• ከጊዜ ወደ ጊዜ፣ አስፈላጊ ማስታወቂያዎችን እና ግንኙነቶችን ለመላክ የእርስዎን የግል መረጃ ልንጠቀም እንችላለን።
• የግል መረጃን እንደ ኦዲት፣ ዳታ ትንተና እና የመሳሰሉትን ለውስጥ ዓላማዎች ልንጠቀም እንችላለን የተለያዩ ጥናቶችየምንሰጣቸውን አገልግሎቶች ለማሻሻል እና አገልግሎቶቻችንን በተመለከተ ምክሮችን ለእርስዎ ለማቅረብ።
• በሽልማት እጣ፣ ውድድር ወይም ተመሳሳይ ማስተዋወቂያ ላይ ከተሳተፉ፣ ያቀረቡትን መረጃ እንደዚህ አይነት ፕሮግራሞችን ለማስተዳደር ልንጠቀምበት እንችላለን።

ለሶስተኛ ወገኖች መረጃን ይፋ ማድረግ

ከእርስዎ የተቀበለውን መረጃ ለሶስተኛ ወገኖች አንገልጽም.

ልዩ ሁኔታዎች፡-

• አስፈላጊ ከሆነ በህጉ መሰረት. የፍርድ ሂደት፣ ቪ ሙከራእና/ወይም በህዝባዊ ጥያቄዎች ወይም ጥያቄዎች ላይ በመመስረት የመንግስት ኤጀንሲዎችበሩሲያ ፌደሬሽን ግዛት ውስጥ - የግል መረጃዎን ይፋ ማድረግ. እንዲህ ዓይነቱን ይፋ ማድረግ ለደህንነት፣ ለህግ አስከባሪ ወይም ለሌሎች የህዝብ ጠቀሜታ ዓላማዎች አስፈላጊ ወይም ተገቢ መሆኑን ከወሰንን ስለእርስዎ መረጃ ልንሰጥ እንችላለን።
• መልሶ ማደራጀት፣ ውህደት ወይም ሽያጭ በሚፈጠርበት ጊዜ የምንሰበስበውን ግላዊ መረጃ ለሚመለከተው ተተኪ ሶስተኛ አካል ልናስተላልፈው እንችላለን።

የግል መረጃ ጥበቃ

የእርስዎን ግላዊ መረጃ ከመጥፋት፣ ስርቆት እና አላግባብ መጠቀም፣ እንዲሁም ያልተፈቀደ መዳረሻ፣ ይፋ ከማድረግ፣ ከመቀየር እና ከመበላሸት ለመጠበቅ አስተዳደራዊ፣ ቴክኒካል እና አካላዊ ጨምሮ ጥንቃቄዎችን እናደርጋለን።

በኩባንያ ደረጃ የእርስዎን ግላዊነት በማክበር ላይ

የግል መረጃዎ ደህንነቱ የተጠበቀ መሆኑን ለማረጋገጥ የግላዊነት እና የደህንነት ደረጃዎችን ለሰራተኞቻችን እናስተላልፋለን እና የግላዊነት አሠራሮችን በጥብቅ እናስፈጽማለን።