መስመራዊ እኩልታዎች፣ ውህደቶች፣ ልዩነት እኩልታዎች። የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች

የትምህርት ተቋም "ቤላሩስ ግዛት

የግብርና አካዳሚ"

የከፍተኛ የሂሳብ ክፍል

መመሪያዎች

በደብዳቤ ልውውጥ ትምህርት የሂሳብ ፋኩልቲ (NISPO) ተማሪዎች “የሁለተኛው ቅደም ተከተል የመስመር ልዩነት እኩልታዎች” የሚለውን ርዕስ ለማጥናት

ጎርኪ ፣ 2013

የመስመር ልዩነት እኩልታዎች

ሁለተኛ ቅደም ተከተል ከቋሚዎች ጋርአሃዞች

መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታዎች

የሁለተኛው ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር የቅጹ እኩልታ ይባላል

እነዚያ። የሚፈለገውን ተግባር እና ተዋጽኦዎቹን እስከ መጀመሪያው ዲግሪ ብቻ የያዘ እና ምርቶቻቸውን ያልያዘ እኩልታ። በዚህ እኩልታ እና
- አንዳንድ ቁጥሮች, እና አንድ ተግባር
በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ላይ ተሰጥቷል
.

ከሆነ
በጊዜ ክፍተት
, ከዚያም ቀመር (1) ቅጹን ይወስዳል

, (2)

እና ይባላል መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው . አለበለዚያ ቀመር (1) ይባላል ቀጥተኛ ያልሆነ .

ውስብስብ የሆነውን ተግባር ግምት ውስጥ ያስገቡ

, (3)

የት
እና
- እውነተኛ ተግባራት. ተግባር (3) ለእኩል (2) ውስብስብ መፍትሄ ከሆነ ትክክለኛው ክፍል
, እና ምናባዊው ክፍል
መፍትሄዎች
በተናጥል ተመሳሳይ ተመሳሳይ እኩልታ መፍትሄዎች ናቸው። ስለዚህ፣ ለእኩል (2) ማንኛውም ውስብስብ መፍትሄ ለዚህ እኩልታ ሁለት እውነተኛ መፍትሄዎችን ይፈጥራል።

የተመሳሳይ መስመራዊ እኩልታ መፍትሄዎች የሚከተሉት ባህሪዎች አሏቸው

ከሆነ ለእኩል (2) መፍትሄ ነው ፣ ከዚያ ተግባሩ
፣ የት ጋር- የዘፈቀደ ቋሚ እንዲሁ ለእኩል መፍትሄ ይሆናል (2);

ከሆነ እና ለእኩል (2) መፍትሄዎች አሉ ፣ ከዚያ ተግባሩ
እንዲሁም ለእኩል (2) መፍትሄ ይሆናል;

ከሆነ እና ለእኩል (2) መፍትሄዎች አሉ ፣ ከዚያ የእነሱ የመስመር ጥምረት
እንዲሁም ለእኩል (2) መፍትሄ ይሆናል ፣ የት እና
- የዘፈቀደ ቋሚዎች.

ተግባራት
እና
ተብለው ይጠራሉ በመስመር ላይ ጥገኛ በጊዜ ክፍተት
, እንደዚህ ያሉ ቁጥሮች ካሉ እና
, በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር እኩል አይደለም, በዚህ የጊዜ ክፍተት ላይ እኩልነት

እኩልነት (4) የሚከሰተው መቼ ነው
እና
, ከዚያም ተግባሮቹ
እና
ተብለው ይጠራሉ በመስመር ገለልተኛ በጊዜ ክፍተት
.

ምሳሌ 1 . ተግባራት
እና
ጀምሮ, መስመር ላይ ጥገኛ ናቸው
በጠቅላላው የቁጥር መስመር ላይ. በዚህ ምሳሌ
.

ምሳሌ 2 . ተግባራት
እና
ከእኩልነት ጀምሮ በማንኛውም የጊዜ ልዩነት በቀጥታ ነፃ ናቸው።
የሚቻለው መቼ እንደሆነ ብቻ ነው
, እና
.

ወደ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው አጠቃላይ መፍትሄ ግንባታ

እኩልታዎች

ለእኩል (2) አጠቃላይ መፍትሄ ለማግኘት ሁለቱን በመስመራዊ ገለልተኛ መፍትሄዎች መፈለግ ያስፈልግዎታል እና . የእነዚህ መፍትሄዎች ቀጥተኛ ጥምረት
፣ የት እና
የዘፈቀደ ቋሚዎች ናቸው እና ለተመሳሳይ ተመሳሳይ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ይሰጣሉ።

በቅጹ ውስጥ ለቀመር (2) ቀጥተኛ ገለልተኛ መፍትሄዎችን እንፈልጋለን

, (5)

የት - የተወሰነ ቁጥር. ከዚያም
,
. እነዚህን አገላለጾች ወደ ቀመር (2) እንተካላቸው፡-

ወይም
.

ምክንያቱም
፣ ያ
. ስለዚህ ተግባሩ
ለእኩል መፍትሄ ይሆናል (2) ከሆነ እኩልነቱን ያሟላል

. (6)

ቀመር (6) ይባላል የባህሪ እኩልታ ለእኩል (2)። ይህ እኩልታ የአልጀብራ ኳድራቲክ እኩልታ ነው።

ፍቀድ እና የዚህ እኩልታ ሥሮች አሉ። እነሱ እውነተኛ እና የተለያዩ ፣ ወይም ውስብስብ ፣ ወይም እውነተኛ እና እኩል ሊሆኑ ይችላሉ። እነዚህን ጉዳዮች እንመልከታቸው።

ሥሮቹ ይፍቀዱ እና የባህሪ እኩልታዎች እውነተኛ እና የተለዩ ናቸው። ከዚያም ወደ እኩልታ (2) መፍትሄዎች ተግባሮቹ ይሆናሉ
እና
. እነዚህ መፍትሄዎች በእኩልነት ነፃ ናቸው, ምክንያቱም እኩልነት
ሊደረግ የሚችለው መቼ ነው
, እና
. ስለዚህ, አጠቃላይ መፍትሄ ወደ እኩልታ (2) ቅጹ አለው

,

የት እና
- የዘፈቀደ ቋሚዎች.

ምሳሌ 3
.

መፍትሄ . የዚህ ልዩነት ባህሪ እኩልታ ይሆናል
. ይህንን ኳድራቲክ እኩልታ ከፈታን፣ ሥሩን እናገኛለን
እና
. ተግባራት
እና
የልዩነት እኩልታ መፍትሄዎች ናቸው። የዚህ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ነው
.

ውስብስብ ቁጥር የቅጹ መግለጫ ተብሎ ይጠራል
፣ የት እና እውነተኛ ቁጥሮች ናቸው, እና
ምናባዊ ክፍል ይባላል. ከሆነ
, ከዚያም ቁጥሩ
ሙሉ በሙሉ ምናባዊ ተብሎ ይጠራል. ከሆነ
, ከዚያም ቁጥሩ
በእውነተኛ ቁጥር ተለይቷል .

ቁጥር የአንድ ውስብስብ ቁጥር እውነተኛ ክፍል ይባላል, እና - ምናባዊ ክፍል. ሁለት ውስብስብ ቁጥሮች እርስ በእርሳቸው የሚለያዩት በምናባዊው ክፍል ምልክት ብቻ ከሆነ ፣ ከዚያ እነሱ conjugate ይባላሉ-
,
.

ምሳሌ 4 . ባለአራት እኩልታ ይፍቱ
.

መፍትሄ . አድሏዊ እኩልታ
. ከዚያም. እንደዚሁ
. ስለዚህም ይህ ኳድራቲክ እኩልታ የተዋሃዱ ውስብስብ ሥሮች አሉት።

የባህሪው እኩልታ ሥሮቹ ውስብስብ ይሁኑ, ማለትም.
,
፣ የት
. የእኩልታ (2) መፍትሄዎች በቅጹ ሊጻፉ ይችላሉ።
,
ወይም
,
. በኡለር ቀመሮች መሠረት

,
.

ከዚያም,. እንደሚታወቀው, ውስብስብ ተግባር ለመስመር ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ መፍትሄ ከሆነ, የዚህ እኩልታ መፍትሄዎች ሁለቱም የዚህ ተግባር እውነተኛ እና ምናባዊ ክፍሎች ናቸው. ስለዚህ, ለእኩል (2) መፍትሄዎች ተግባራት ይሆናሉ
እና
. ከእኩልነት ጀምሮ

ከሆነ ብቻ ሊፈፀም ይችላል
እና
, ከዚያም እነዚህ መፍትሄዎች በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው. ስለዚህ, አጠቃላይ መፍትሄ ወደ እኩልታ (2) ቅጹ አለው

የት እና
- የዘፈቀደ ቋሚዎች.

ምሳሌ 5 . ለልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ
.

መፍትሄ . እኩልታው
የተሰጠው ልዩነት ባህሪይ ነው. እንፈታው እና ውስብስብ ሥሮችን እናገኝ
,
. ተግባራት
እና
የልዩነት እኩልታ ቀጥተኛ ገለልተኛ መፍትሄዎች ናቸው። የዚህ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ የሚከተለው ነው-

የባህሪው እኩልታ ሥሮች እውነተኛ እና እኩል ይሁኑ, ማለትም.
. ከዚያም ለእኩል (2) መፍትሄዎች ተግባራት ናቸው
እና
. አገላለጹ በተመሳሳይ ጊዜ ከዜሮ ጋር ሊመሳሰል ስለሚችል እነዚህ መፍትሄዎች በመስመር ላይ ነፃ ናቸው
እና
. ስለዚህ, አጠቃላይ መፍትሄ ወደ እኩልታ (2) ቅጹ አለው
.

ምሳሌ 6 . ለልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ
.

መፍትሄ . የባህሪ እኩልታ
እኩል ሥሮች አሉት
. በዚህ ሁኔታ, ለልዩነት እኩልነት ቀጥተኛ ገለልተኛ መፍትሄዎች ተግባራቶች ናቸው
እና
. አጠቃላይ መፍትሔው ቅጹ አለው
.

የሁለተኛው ቅደም ተከተል ተመጣጣኝ ያልሆነ የመስመር ልዩነት እኩልታዎች ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር

እና ልዩ በቀኝ በኩል

የሊኒያር ኢ-ሆሞጀኒዝ ኢኩዌሽን (1) አጠቃላይ መፍትሄ ከአጠቃላይ የመፍትሄው ድምር ጋር እኩል ነው።
ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ እና ማንኛውም የተለየ መፍትሄ
ወጥ ያልሆነ እኩልታ;
.

በአንዳንድ ሁኔታዎች፣ ተመሳሳይነት ለሌለው እኩልታ የተለየ መፍትሄ በቀኝ በኩል ባለው መልክ በቀላሉ ሊገኝ ይችላል።
ቀመር (1) ይህ የሚቻልባቸውን ጉዳዮች እንመልከት።

እነዚያ። ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታ በቀኝ በኩል የዲግሪ ፖሊኖሚል ነው። ኤም. ከሆነ
የባህሪው እኩልታ ሥር አይደለም፣ ከዚያ ለተመጣጣኝ እኩልታ የተለየ መፍትሄ በዲግሪ ፖሊኖሚል መልክ መፈለግ አለበት። ኤም፣ ማለትም እ.ኤ.አ.

ዕድሎች
የተወሰነ መፍትሔ ለማግኘት ሂደት ውስጥ ተወስነዋል.

ከሆነ
የባህሪው እኩልታ ሥር ነው ፣ ከዚያ ለተመጣጣኝ እኩልታ የተለየ መፍትሄ በቅጹ መፈለግ አለበት።

ምሳሌ 7 . ለልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ
.

መፍትሄ . የዚህ እኩልታ ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ ነው።
. የእሱ ባህሪ እኩልታ
ሥር አለው
እና
. ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ቅጹ አለው
.

ምክንያቱም
የባህሪው እኩልታ ሥር አይደለም፣ ከዚያ ለተግባር መልክ የማይስማማውን እኩልታ የተለየ መፍትሄ እንፈልጋለን።
. የዚህን ተግባር መነሻዎች እንፈልግ
,
እና ወደዚህ እኩልነት ይተኩዋቸው፡-

ወይም. ውህደቶቹን ለ እና ነፃ አባላት፡-
ይህንን ስርዓት ከፈታን በኋላ እናገኛለን
,
. ከዚያም የኢ-ተመሳሳይ እኩልነት ልዩ መፍትሄ ቅጹ አለው
, እና የተሰጠው ኢ-ተመሳሳይ እኩልነት አጠቃላይ መፍትሔ አጠቃላይ መፍትሔው ተመሳሳይ ተመሳሳይ እኩልታ እና ልዩ ያልሆነው መፍትሄ ድምር ይሆናል።
.

የማይመሳሰል እኩልታ ቅጹ ይኑር

ከሆነ
የባህሪው እኩልታ ሥር አይደለም፣ ከዚያ ለተመጣጣኝ እኩልታ የተለየ መፍትሄ በቅጹ መፈለግ አለበት። ከሆነ
የባህሪው የብዝሃነት እኩልታ ሥር ነው። ክ (ክ=1 ወይም ክ= 2), ከዚያ በዚህ ሁኔታ ውስጥ የማይመሳሰል እኩልታ ልዩ መፍትሄ ቅጹ ይኖረዋል.

ምሳሌ 8 . ለልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ
.

መፍትሄ . ለተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ የባህሪ እኩልታ መልክ አለው።
. ሥሩ
,
. በዚህ ሁኔታ, ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ በቅጹ ውስጥ ተጽፏል
.

ቁጥር 3 የባህሪው እኩልታ ሥር ስላልሆነ ፣ለተመሳሳይ እኩልነት የተለየ መፍትሄ በቅጹ መፈለግ አለበት።
. የመጀመሪያዎቹን እና የሁለተኛውን ትዕዛዞች አመጣጥ እንፈልግ፡-

ወደ ልዩነት ቀመር እንተካ፡-
+ +,
+,.

ውህደቶቹን ለ እና ነፃ አባላት፡-

ከዚህ
,
. ከዚያም ለዚህ እኩልታ የተለየ መፍትሄ ቅጹ አለው
, እና አጠቃላይ መፍትሄ

.

የዘፈቀደ ቋሚዎች ልዩነት Lagrange ዘዴ

የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመለዋወጥ ዘዴ የቀኝ-እጅ አይነት ምንም ይሁን ምን በማንኛውም ተመሳሳይነት በሌለው መስመራዊ እኩልታ በቋሚ ኮፊሸንት ላይ ሊተገበር ይችላል። ይህ ዘዴ ለተዛማጅ ተመሳሳይነት ያለው እኩልነት አጠቃላይ መፍትሄ የሚታወቅ ከሆነ ሁልጊዜ ያልተመጣጠነ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ እንዲያገኙ ያስችልዎታል።

ፍቀድ
እና
በመስመር ነጻ የሆኑ የእኩልታ መፍትሄዎች ናቸው (2)። ከዚያ የዚህ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ነው
፣ የት እና
- የዘፈቀደ ቋሚዎች. የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመለዋወጥ ዘዴው ዋናው ነገር አጠቃላይ አጠቃላይ መፍትሄው (1) በቅጹ ውስጥ መፈለግ ነው ።

የት
እና
- መገኘት የሚያስፈልጋቸው አዲስ የማይታወቁ ተግባራት. ሁለት የማይታወቁ ተግባራት ስላሉ እነሱን ለማግኘት እነዚህን ተግባራት የያዙ ሁለት እኩልታዎች ያስፈልጋሉ። እነዚህ ሁለት እኩልታዎች ስርዓቱን ይመሰርታሉ

ቀጥተኛ አልጀብራዊ የእኩልታዎች ስርዓት ነው።
እና
. ይህንን ስርዓት መፍታት, እናገኛለን
እና
. የተገኘውን እኩልነት ሁለቱንም ጎኖች በማጣመር, እናገኛለን

እና
.

እነዚህን አገላለጾች ወደ (9) በመተካት ተመሳሳይነት ለሌለው መስመራዊ እኩልታ (1) አጠቃላይ መፍትሄ እናገኛለን።

ምሳሌ 9 . ለልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ
.

መፍትሄ። ከተጠቀሰው ልዩነት እኩልታ ጋር የሚዛመደው ለተመሳሳይ እኩልዮሽ የባህሪ እኩልታ ነው።
. ሥሮቹ ውስብስብ ናቸው
,
. ምክንያቱም
እና
፣ ያ
,
, እና ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ቅጹ አለው. ከዚያ ለዚህ ኢ-ተመጣጣኝ እኩልነት አጠቃላይ መፍትሄን በየት መልክ እንፈልጋለን
እና
- የማይታወቁ ተግባራት.

እነዚህን የማይታወቁ ተግባራት ለማግኘት የእኩልታዎች ስርዓት ቅጹ አለው

ይህንን ስርዓት ከፈታን በኋላ እናገኛለን
,
. ከዚያም

,
. የቀረቡትን አባባሎች ለአጠቃላይ መፍትሄ በቀመር እንተካላቸው፡-

ይህ የ Lagrange ዘዴን በመጠቀም የተገኘው ለዚህ ልዩነት እኩልነት አጠቃላይ መፍትሄ ነው።

እውቀት ራስን የመግዛት ጥያቄዎች

ምን ዓይነት ልዩነት እኩልታ ተብሎ የሚጠራው የሁለተኛ ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታ ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር ነው?

የትኛው መስመራዊ ልዩነት እኩልነት (homogeneous) ተብሎ የሚጠራው እና የማይመሳሰል የሚባለው?

መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ ምን ባህሪያት አሉት?

ለመስመራዊ ልዩነት እኩልነት ባህሪ የሚባለው ምን አይነት እኩልታ ነው እና እንዴት ነው የሚገኘው?

በተለያዩ የባህሪ እኩልታ ሥረ-ሥሮች ሁኔታ ውስጥ የተጻፈው ከቋሚ አሃዞች ጋር የአንድ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሔ በምን መልኩ ነው?

የባህሪው እኩልታ እኩል ስር ሲገኝ ከቋሚ ጥራዞች ጋር የአንድ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ በምን መልክ ነው የተጻፈው?

በባህሪው እኩልታ ውስብስብ ስሮች ውስጥ የተጻፈው ከቋሚ ውህዶች ጋር የአንድ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ በምን መልክ ነው የተፃፈው?

የአንድ ቀጥተኛ ያልሆነ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ እንዴት ይፃፋል?

የባህሪው እኩልታ ሥሮች የተለያዩ እና ከዜሮ ጋር እኩል ካልሆኑ እና የእኩልታው የቀኝ ጎን የዲግሪ ፖሊኖሚል ከሆነ ለየት ያለ መፍትሄ ለመስመራዊ ኢ-ሄሞጂን-ኢኩዌሽን የሚፈለገው በምን አይነት መልክ ነው። ኤም?

በባህሪው እኩልታ ሥር አንድ ዜሮ ካለ እና የእኩልታው የቀኝ ጎን የዲግሪ ፖሊኖሚል ከሆነ ለየት ያለ መፍትሄ ለመስመራዊ ኢ-ሄሞጂን-ኢኩዌሽን የሚፈለገው በምን አይነት መልኩ ነው ኤም?

የ Lagrange ዘዴ ምንነት ምንድን ነው?

የሊኒያር ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ በሚታወቅበት ሁኔታ የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመለዋወጥ ዘዴን በመጠቀም የኢን-ሆሞጂን-ኢኩዌሽን አጠቃላይ መፍትሄ ማግኘት እንደሚቻል አይተናል። ሆኖም፣ ለተመሳሳይ እኩልነት አጠቃላይ መፍትሔ እንዴት ማግኘት እንደሚቻል ጥያቄው ክፍት ሆኖ ቆይቷል። በልዩ ሁኔታ በመስመራዊ ልዩነት እኩልዮሽ (3) ሁሉም ጥምርታዎች p i(X)= አንድ i - ቋሚዎች ፣ ያለ ውህደት እንኳን በቀላሉ ሊፈታ ይችላል።

ከቋሚ ቅንጭቶች ጋር፣ ማለትም የቅጹን እኩልታዎች ያለው መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ አስቡበት።

y (n) + ሀ 1 y (n – 1) +...ሀ n – 1 y " + a n y = 0, (14)

የት እና እኔ- ቋሚዎች (እኔ= 1, 2, ...,n).

እንደሚታወቀው, ለ 1 ኛ ቅደም ተከተል ቀጥተኛ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ, መፍትሄው የቅጹ ተግባር ነው. ሠ kx.በቅጹ ውስጥ ለእኩል (14) መፍትሄ እንፈልጋለን ጄ (X) = ሠ kx.

ተግባሩን ወደ እኩልታ እንለውጠው (14) ጄ (X) እና የትዕዛዙ ተዋጽኦዎች ኤም (1 £ ኤም£ n)ጄ (ኤም) (X) = k m e kx. እናገኛለን

(k n + a 1 k n – 1 +... አንድ n – 1 k + a n)ሠ kx = 0,

ግን ሠ ክ x ¹ 0 ለማንኛውም X, ለዛ ነው

k n + a 1 k n – 1 +...ሀ n – 1 k + a = 0. (15)

ቀመር (15) ይባላል የባህሪ እኩልታ ፣ በግራ በኩል ያለው ፖሊኖሚል- ባህሪ ፖሊኖሚል ፣ ሥሩ- የባህሪ ሥሮች ልዩነት እኩልታ (14).

ማጠቃለያ፡-

ተግባርጄ (X) = ሠ kx - ወደ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ (14) መፍትሄ ከሆነ እና ቁጥሩ ከሆነ ክ - የባህሪው እኩልታ ሥር (15)።

ስለዚህ፣ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ (14) የመፍታት ሂደት ወደ አልጀብራ እኩልታ (15) መፍታት ይቀንሳል።

የባህሪ ሥሮች የተለያዩ ጉዳዮች ይቻላል.

1.ሁሉም የባህሪው እኩልታ ሥሮች እውነተኛ እና የተለዩ ናቸው።

በዚህ ጉዳይ ላይ nየተለያዩ የባህሪ ሥሮች ክ 1 ,ክ 2 ,...፣ k nይዛመዳል nየተለያዩ ተመሳሳይ እኩልታ መፍትሄዎች (14)

እነዚህ መፍትሄዎች ከመስመር ነፃ መሆናቸውን እና ስለዚህ መሰረታዊ የመፍትሄ ስርዓት እንደሚፈጥሩ ማሳየት ይቻላል. ስለዚህ, የእኩልታው አጠቃላይ መፍትሔ ተግባር ነው

የት ጋር 1 , ሲ 2 ፣ ... ፣ ሲ n - የዘፈቀደ ቋሚዎች.

ምሳሌ 7. የመስመራዊ ተመሳሳይ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ

ሀ) በ¢ ¢ (X) - 6በ¢ (X) + 8በ(X) = 0, ለ) በ¢ ¢ ¢ (X) + 2በ¢ ¢ (X) - 3በ¢ (X) = 0.

መፍትሄ። የባህሪ እኩልነት እንፍጠር። ይህንን ለማድረግ, የትዕዛዙን አመጣጥ እንተካለን ኤምተግባራት y(x) በተገቢው ደረጃ

ክ(በ (ኤም) (x) « ኪ.ሜ),

ተግባሩ በራሱ ሳለ በ(X) የዜሮ ቅደም ተከተል ተዋጽኦ እንደ ተተካ ክ 0 = 1.

በ (ሀ) የባህሪው እኩልታ ቅጹ አለው። ክ 2 - 6k + 8 = 0. የዚህ ኳድራቲክ እኩልታ ሥሮች ክ 1 = 2,ክ 2 = 4. እነሱ እውነተኛ እና የተለያዩ ስለሆኑ አጠቃላይ መፍትሔው ቅጹ አለው ጄ (X)= ሲ 1 ሠ 2X + ሐ 2 ሠ 4x.

ለጉዳይ (ለ) ፣ የባህሪው እኩልታ የ 3 ኛ ደረጃ እኩልታ ነው። ክ 3 + 2ክ 2 - 3k = 0. የዚህን እኩልታ መሰረት እንፈልግ፡-

ክ(ክ 2 + 2 ክ - 3)= 0 Þ ክ = 0i ክ 2 + 2 ክ - 3 = 0 Þ ክ = 0, (ክ - 1)(ክ + 3) = 0,

ቲ . ሠ . ክ 1 = 0, ክ 2 = 1, ክ 3 = - 3.

እነዚህ የባህሪይ ሥሮች ከልዩ እኩልታ መፍትሄዎች መሠረታዊ ስርዓት ጋር ይዛመዳሉ-

ጄ 1 (X)= ሠ 0X = 1, ጄ 2 (X) = ሠ x, ጄ 3 (X)= ሠ - 3X .

አጠቃላይ መፍትሔው በቀመር (9) መሠረት ተግባሩ ነው።

ጄ (X)= ሲ 1 + ሲ 2 ሠ x + ሲ 3 ሠ - 3X .

II . ሁሉም የባህሪው እኩልታ ሥሮች የተለያዩ ናቸው, ግን አንዳንዶቹ ውስብስብ ናቸው.

ሁሉም የልዩነት እኩልታ (14) ፣ እና የባህሪው እኩልታ (15)- እውነተኛ ቁጥሮች፣ ይህም ማለት ሐ ከባህሪው ሥሮች መካከል ውስብስብ ሥር ካለ ማለት ነው። ክ 1 = a + ibማለትም የተዋሃደ ሥሩ ነው። ክ 2 = ` ክ 1 = ሀ- ኢብ.ወደ መጀመሪያው ሥር ክ 1 ከልዩነት እኩልታ (14) መፍትሄ ጋር ይዛመዳል

ጄ 1 (X)= ሠ (a+ib)X = e a x e ibx = e መጥረቢያ(cosbx + isinbx)

(የኡለርን ቀመር ተጠቀምን። ሠ i x = cosx + isinx). በተመሳሳይም ሥሩ ክ 2 = ሀ- ኢብከመፍትሔው ጋር ይዛመዳል

ጄ 2 (X)= ሠ (a --ib)X = ሠ a x ኢ - ኢብ x= ኢ መጥረቢያ(cosbx - isinbx).

እነዚህ መፍትሄዎች ውስብስብ ናቸው. ከነሱ እውነተኛ መፍትሄዎችን ለማግኘት የመፍትሄዎችን ባህሪያት ወደ መስመራዊ ተመሳሳይ እኩልነት እንጠቀማለን (13.2 ይመልከቱ)። ተግባራት

የእኩልታ እውነተኛ መፍትሄዎች ናቸው (14)። ከዚህም በላይ እነዚህ መፍትሄዎች በመስመር ላይ ገለልተኛ ናቸው. ስለዚህ, የሚከተለውን መደምደሚያ ማድረግ እንችላለን.

ደንብ 1.ጥንድ የተዋሃዱ ውስብስብ ሥሮች ሀ± በ FSR ውስጥ ያለው የባህሪ እኩልታ የመስመር ተመሳሳይ እኩልታ (14) ከሁለት እውነተኛ ከፊል መፍትሄዎች ጋር ይዛመዳልእና .

ምሳሌ 8. ስለ እኩልታው አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ

ሀ) በ¢ ¢ (X) - 2በ ¢ (X) + 5በ(X) = 0 ለ) በ¢ ¢ ¢ (X) - በ¢ ¢ (X) + 4በ ¢ (X) - 4በ(X) = 0.

መፍትሄ። በቀመር (ሀ) ሁኔታ ውስጥ, የባህሪው እኩልታ ሥሮች ክ 2 - 2k + 5 = 0 ሁለት የተዋሃዱ ውስብስብ ቁጥሮች ናቸው።

ክ 1, 2 = .

ስለዚህ ፣ በህጉ 1 መሠረት ፣ ከሁለቱ እውነተኛ ቀጥተኛ ገለልተኛ መፍትሄዎች ጋር ይዛመዳሉ ፣ እና ፣ እና የእኩልታው አጠቃላይ መፍትሄ ተግባሩ ነው።

ጄ (X)= ሲ 1 ሠ x cos 2x + ሲ 2 ሠ x ኃጢአት 2x.

በሁኔታ (ለ) ፣ የባህሪውን እኩልታ ሥሮች ለማግኘት ክ 3 - ክ 2 + 4ክ- 4 = 0፣ የግራ ጎኑን እናሰራለን፡-

ክ 2 (ክ - 1) + 4(ክ - 1) = 0 Þ (ክ - 1)(ክ 2 + 4) = 0 Þ (ክ - 1) = 0, (ክ 2 + 4) = 0.

ስለዚህ, ሶስት የባህርይ ስሮች አሉን. ክ 1 = 1,ክ 2 , 3 = ± 2እኔ.ኮርኑ ክ 1 ከመፍትሔው ጋር ይዛመዳል , እና የተጣመሩ ውስብስብ ሥሮች ጥንድ ክ 2, 3 = ± 2እኔ = 0 ± 2እኔ- ሁለት ትክክለኛ መፍትሄዎች: እና. ለእኩልቱ አጠቃላይ መፍትሄ እንጽፋለን-

ጄ (X)= ሲ 1 ሠ x + ሲ 2 cos 2x + ሲ 3 ኃጢአት 2x.

III . ከባህሪው እኩልታ ሥሮች መካከል ብዜቶች አሉ.

ፍቀድ ክ 1 - የብዝሃነት እውነተኛ ሥር ኤምየባህሪ እኩልታ (15), ማለትም ከሥሮቹ መካከል አለ ኤምእኩል ሥሮች. እያንዳንዳቸው ከተመሳሳይ መፍትሔ ጋር ይዛመዳሉ ልዩነት እኩልታ (14) ሆኖም ግን, ያካትቱ ኤምበ FSR ውስጥ ምንም እኩል መፍትሄዎች የሉም, ምክንያቱም እነሱ የመስመር ላይ ጥገኛ የተግባር ስርዓት ናቸው.

በበርካታ ሥር ባሉ ሁኔታዎች ውስጥ ሊታይ ይችላል ክ 1ለእኩል (14) መፍትሄዎች, ከተግባሩ በተጨማሪ, ተግባራቶቹ ናቸው

ተግባራቶቹ በጠቅላላው የቁጥር ዘንግ ላይ በመስመር ነጻ ናቸው፣ ምክንያቱም፣ ማለትም፣ በ FSR ውስጥ ሊካተቱ ይችላሉ።

ደንብ 2. እውነተኛ ባህሪ ሥር ክ 1 ብዜት ኤምበ FSR ውስጥ ይዛመዳል ኤምመፍትሄዎች፡-

ከሆነ ክ 1 - ውስብስብ ሥር ብዜት ኤምየባህሪ እኩልታ (15) ፣ ከዚያ conjugate ሥር አለ። ክ 1 ብዜት ኤም. በማመሳሰል የሚከተለውን ደንብ እናገኛለን.

ደንብ 3. ጥንድ የተዋሃዱ ውስብስብ ሥሮች ሀ± ib በ FSR ውስጥ ከ 2mreal ቀጥታ ገለልተኛ መፍትሄዎች ጋር ይዛመዳል።

, , ..., ,

, , ..., .

ምሳሌ 9. ስለ እኩልታው አጠቃላይ መፍትሄ ይፈልጉ

ሀ) በ¢ ¢ ¢ (X) + 3በ¢ ¢ (X) + 3በ¢ (X)+ y ( X= 0; ለ) በ IV(X) + 6በ¢ ¢ (X) + 9በ(X) = 0.

መፍትሄ። በ (ሀ) የባህሪው እኩልታ ቅጹ አለው።

ክ 3 + 3 ክ 2 + 3 ክ + 1 = 0

(k + 1) 3 = 0,

ማለትም k =- 1 - የብዝሃነት ሥር 3. ደንብ 2 ላይ በመመስረት አጠቃላይ መፍትሔውን እንጽፋለን፡-

ጄ (X)= ሲ 1 + ሲ 2 x + ሲ 3 x 2 .

በጉዳይ (ለ) ውስጥ ያለው የባህሪ እኩልታ ቀመር ነው።

ክ 4 + 6ክ 2 + 9 = 0

ወይም, አለበለዚያ,

(ክ 2 + 3) 2 = 0 Þ ክ 2 = - 3 Þ ክ 1, 2 = ± እኔ.

የተጣመሩ ውስብስብ ስሮች አሉን, እያንዳንዳቸው ብዜት አላቸው 2. ደንብ 3 መሠረት, አጠቃላይ መፍትሔው እንደሚከተለው ተጽፏል.

ጄ (X)= ሲ 1 + ሲ 2 x + ሲ 3 + ሲ 4 x.

ከላይ ከተዘረዘሩት ውስጥ ፣ ለማንኛውም መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር መሰረታዊ የመፍትሄ ስርዓት መፈለግ እና አጠቃላይ መፍትሄ ማዘጋጀት ይቻላል ። በመሆኑም ለማንኛውም ቀጣይነት ያለው ተግባር ለተዛማጅ ኢ-ሄሞጂን-አልባ እኩልታ መፍትሄ ረ(x) በስተቀኝ በኩል የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመለዋወጥ ዘዴን በመጠቀም ማግኘት ይቻላል (ክፍል 5.3 ይመልከቱ).

ምሳሌ 10. የተለዋዋጭ ዘዴን በመጠቀም፣ ተመሳሳይ ያልሆነውን እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ያግኙ። በ¢ ¢ (X) - በ¢ (X) - 6በ(X) = xe 2x .

መፍትሄ። በመጀመሪያ ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ እናገኛለን በ¢ ¢ (X) - በ¢ (X) - 6በ(X) = 0. የባህሪው እኩልታ ሥሮች ክ 2 - ክ- 6 = 0 ናቸው። ክ 1 = 3,ክ 2 = - 2፣ አ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ - ተግባር ` በ ( X) = ሲ 1 ሠ 3X + ሲ 2 ሠ - 2X .

በቅጹ ውስጥ ለተፈጠረው ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልነት መፍትሄ እንፈልጋለን

በ( X) = ጋር 1 (X)ሠ 3X + ሲ 2 (X)ሠ 2X . (*)

የዎሮንስኪ መወሰኛን እንፈልግ

ወ[ሠ 3X , ኢ 2X ] = .

ለማይታወቁ ተግባራት ተዋጽኦዎች የእኩልታዎች ስርዓት (12) እንፍጠር ጋር ¢ 1 (X) እና ጋር¢ 2 (X):

የ Cramer ቀመሮችን በመጠቀም ስርዓቱን መፍታት, እናገኛለን

በማዋሃድ, እናገኛለን ጋር 1 (X) እና ጋር 2 (X):

የመተካት ተግባራት ጋር 1 (X) እና ጋር 2 (X) ወደ እኩልነት (*) ፣ ለእኩል አጠቃላይ መፍትሄ እናገኛለን በ¢ ¢ (X) - በ¢ (X) - 6በ(X) = xe 2x :

የቀኝ እጅ ቀጥተኛ ተመጣጣኝ ያልሆነ እኩልታ ከቋሚ ኮፊሸንትስ ጋር ልዩ ቅርፅ ሲኖረው ፣የዘፈቀደ ቋሚዎችን የመለዋወጥ ዘዴን ሳይጠቀሙ ለተፈጠረው እኩልዮሽ የተለየ መፍትሄ ሊገኝ ይችላል።

ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር ያለውን እኩልታ አስቡበት

y (n) + አንድ 1 y (n– 1) +...ሀ n – 1ይ " + a n y = ረ (x), (16)

ረ( x) = ሠመጥረቢያ(ፒ.ኤን(x)cosbx + አርም(x)sinbx), (17)

የት ፒ.ኤን(x) እና አርም(x) - ዲግሪ ፖሊኖሚሎች n እና ኤምበቅደም ተከተል.

የግል መፍትሄ y*(X) ቀመር (16) የሚወሰነው በቀመር ነው።

በ* (X) = xsሠ መጥረቢያ(ለ አቶ(x)cosbx + Nr(x)sinbx), (18)

የት ለ አቶ(x) እና N r(x) - ዲግሪ ፖሊኖሚሎች r = ከፍተኛ(n፣ኤም) እርግጠኛ ካልሆኑ ቅንጅቶች ጋር , ሀ ኤስከሥሩ ብዜት ጋር እኩል ነው ክ 0 = a + ibየእኩልታ ባህሪ (16) ብዙ ቁጥር ያለው፣ እና እኛ እንገምታለን። s = 0 ከሆነ ክ 0 የባህሪ ስር አይደለም።

ቀመር (18) በመጠቀም የተለየ መፍትሄ ለማዘጋጀት, አራት መለኪያዎችን ማግኘት ያስፈልግዎታል - a, b, rእና ኤስ.የመጀመሪያዎቹ ሦስቱ የሚወሰኑት ከትክክለኛው የቀኝ ጎን ነው, እና አር- ይህ በእውነቱ ከፍተኛው ዲግሪ ነው። x, በቀኝ በኩል ተገኝቷል. መለኪያ ኤስከቁጥሮች ንጽጽር ተገኝቷል ክ 0 = a + ibእና የሁሉንም ስብስብ (ብዝሃነትን ከግምት ውስጥ በማስገባት) የእኩልታ (16) ባህሪይ ሥሮች ፣ እነሱም ተመሳሳይ ተመሳሳይ እኩልታ በመፍታት ይገኛሉ።

የተግባር ቅርጽ (17) ልዩ ጉዳዮችን እንመልከት፡-

1) በ ሀ ¹ 0, ለ= 0ረ(x)= ኢ መጥረቢያ ፒ n(x);

2) መቼ ሀ= 0, ለ ¹ 0ረ(x)= ፒ.ኤን(x) ጋርosbx + R m(x)sinbx;

3) መቼ ሀ = 0, ለ = 0ረ(x)= ፒ.ኤን(x).

አስተያየት 1. P n (x) ከሆነ º 0 ወይም አርኤም(x)º 0፣ ከዚያም የቀመርው የቀኝ ጎን f(x) = e ax P n (x)с osbx ወይም f(x) = e ax R m (x) sinbx፣ ማለትም አንዱን ተግባር ብቻ ይይዛል። - ኮሳይን ወይም ሳይን. ነገር ግን በአንድ የተወሰነ የመፍትሄ ቀረጻ ውስጥ ሁለቱም መገኘት አለባቸው ምክንያቱም በቀመር (18) መሰረት እያንዳንዳቸው ተመሳሳይ ዲግሪ r = max (n, m) ያልተወሰነ ጥምርታ ባላቸው ፖሊኖሚል ተባዝተዋል።

ምሳሌ 11. የእኩልታው የቀኝ ጎን የሚታወቅ ከሆነ ከ4ኛ ቅደም ተከተል ጋር ወደ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ ከፊል መፍትሄ አይነት ይወስኑ። ረ(X) = ሠ x(2xcos 3x+(x 2 + 1)ኃጢአት 3x) እና የባህሪው እኩልታ ሥሮች፡-

ሀ ) ክ 1 = ክ 2 = 1, ክ 3 = 3,ክ 4 = - 1;

ለ ) ክ 1, 2 = 1 ± 3እኔ,ክ 3, 4 = ± 1;

ቪ ) ክ 1, 2 = 1 ± 3እኔ,ክ 3, 4 = 1 ± 3እኔ.

መፍትሄ። በቀኝ በኩል በተለየ መፍትሄ ውስጥ እናገኛለን በ*(Xበቀመር (18) የሚወሰን፣ ግቤቶች፡- ሀ= 1, ለ= 3, አር = 2. ለሶስቱም ጉዳዮች ተመሳሳይ ሆነው ይቆያሉ, ስለዚህም ቁጥሩ ክ 0 የመጨረሻውን ግቤት የሚገልጽ ኤስቀመር (18) እኩል ነው ክ 0 = 1+ 3እኔ. በሁኔታ (ሀ) በባህሪው ሥሮች መካከል ምንም ቁጥር የለም። ክ 0 = 1 + 3እኔ፣ማለት፣ ኤስ= 0, እና የተለየ መፍትሄ ቅጹ አለው

y*(X) = x 0 ሠ x(ኤም 2 (x)cos 3x+N 2 (x)ኃጢአት 3x) =

= ሠx( (አክስ 2 +Bx+C)cos 3x+(ሀ 1 x 2 +ለ 1 x+C 1)ኃጢአት 3x.

ሁኔታ (ለ) ቁጥር ክ 0 = 1 + 3እኔአንድ ጊዜ ከባህሪያዊ ሥሮች መካከል ይከሰታል ፣ ይህ ማለት ነው። s = 1 እና

y*(X) = x ሠ x((አክስ 2 +Bx+C)cos 3x+(ሀ 1 x 2 +ለ 1 x+C 1)ኃጢአት 3x.

ለጉዳይ (ሐ) አለን። s = 2 እና

y*(X) = x 2 ሠ x((አክስ 2 +Bx+C)cos 3x+(A 1 x 2 +ለ 1 x+C 1)ኃጢአት 3x.

በምሳሌ 11 ውስጥ፣ ልዩ መፍትሄው ሁለት የዲግሪ 2 ፖሊኖሚሎችን ከማይታወቁ ውህዶች ጋር ይይዛል። መፍትሄ ለማግኘት, የእነዚህን ጥምርታዎች የቁጥር እሴቶችን መወሰን ያስፈልግዎታል. አጠቃላይ ህግን እናዘጋጅ።

የማይታወቁ የፖሊኖሚል ውህዶችን ለመወሰን ለ አቶ(x) እና N r(x) እኩልነት (17) የሚፈለገውን የጊዜ ብዛት ይለያል, እና ተግባሩ ተተክቷል y*(X) እና ውጤቶቹ ወደ እኩልታ (16)። የግራ እና የቀኝ ጎኖቹን በማነፃፀር ፣የአልጀብራ እኩልታዎች ስርዓት ኮፊፊሴፍቶችን ለማግኘት ይገኛል።

ምሳሌ 12. ለእኩል መፍትሄ ይፈልጉ በ¢ ¢ (X) - በ¢ (X) - 6በ(X) = xe 2x, የቀኝ እጅ ቅርጽ ባለው ተመሳሳይ ያልሆነ እኩልታ የተወሰነ መፍትሄ በመወሰን.

መፍትሄ። የማይመሳሰል እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ቅጹ አለው

በ( X) = ` በ(X)+ y*(X),

የት ` በ ( X) - ተጓዳኝ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ, እና y*(X) - ተመሳሳይ ያልሆነ እኩልታ የተለየ መፍትሄ።

በመጀመሪያ ተመሳሳይነት ያለውን እኩልታ እንፈታዋለን በ¢ ¢ (X) - በ¢ (X) - 6በ(X) = 0. የባህሪው እኩልታ ክ 2 - ክ- 6 = 0 ሁለት ሥሮች አሉት ክ 1 = 3,ክ 2 = - 2, ስለዚህም ` በ ( X) = ሲ 1 ሠ 3X + ሲ 2 ሠ - 2X .

ልዩ የመፍትሄውን አይነት ለመወሰን ቀመር (18) እንጠቀም በ*(X). ተግባር ረ(x) = xe 2x ልዩ ሁኔታን ይወክላል (ሀ) የቀመር (17)፣ እያለ ሀ = 2,ለ = 0 እና አር = 1, ማለትም ክ 0 = 2 + 0እኔ = 2. ከባህርይ ሥሮቹ ጋር በማነፃፀር, እኛ እንጨርሰዋለን s = 0. የሁሉንም መለኪያዎች እሴቶች ወደ ቀመር (18) በመተካት አለን። y*(X) = (አህ + ቢ)ሠ 2X .

እሴቶቹን ለማግኘት ሀእና ውስጥ, የተግባሩ የመጀመሪያ እና ሁለተኛ ቅደም ተከተል ተዋጽኦዎችን እናገኝ y*(X) = (አህ + ቢ)ሠ 2X :

y*¢ (X)= ኤ 2X + 2(አህ + ቢ)ሠ 2X = (2አህ + አህ + 2ለ)ሠ 2x፣

y*¢ ¢ (X) = 2አ.አ 2X + 2(2አህ + አህ + 2ለ)ሠ 2X = (4አህ + 4ኤ+ 4ለ)ሠ 2X .

ተግባር ከተተካ በኋላ y*(X) እና የእሱ ተዋጽኦዎች እኛ ባለን እኩልነት ውስጥ

(4አህ + 4ኤ+ 4ለ)ሠ 2X - (2አህ + አህ + 2ለ)ሠ 2X - 6(አህ + ቢ)ሠ 2X = x 2x Þ Þ ሀ=- 1/4,ለ =- 3/16.

ስለዚህ, ለተመጣጣኝ እኩልነት የተለየ መፍትሄ መልክ አለው

y*(X) = (- 1/4X- 3/16)ሠ 2X ,

እና አጠቃላይ መፍትሄ - በ ( X) = ሲ 1 ሠ 3X + ሲ 2 ሠ - 2X + (- 1/4X- 3/16)ሠ 2X .

ማስታወሻ 2.የCauchy ችግር ለተመጣጣኝ እኩልነት በተነሳበት ጊዜ፣ አንድ ሰው በመጀመሪያ ለእኩል አጠቃላይ መፍትሄ መፈለግ አለበት።

በ( X) = ,

በ ውስጥ ያሉትን ሁሉንም የቁጥር እሴቶችን በመወሰን በ*(X). ከዚያም የመነሻ ሁኔታዎችን ይጠቀሙ እና ወደ አጠቃላይ መፍትሄ በመተካት (እና ወደ ውስጥ አይደለም y*(X)) ፣ የቋሚዎቹን እሴቶች ይፈልጉ ሲ i.

ምሳሌ 13. ለካውቺ ችግር መፍትሄ ፈልግ፡-

በ¢ ¢ (X) - በ¢ (X) - 6በ(X) = xe 2x , y(0) = 0, y ¢ (X) = 0.

መፍትሄ። የዚህ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ነው

በ(X) = ሲ 1 ሠ 3X + ሲ 2 ሠ - 2X + (- 1/4X- 3/16)ሠ 2X

በምሳሌ 12 ውስጥ ተገኝቷል። የዚህን Cauchy ችግር የመጀመሪያ ሁኔታዎችን የሚያረካ የተለየ መፍትሄ ለማግኘት፣ የእኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን።

መፍታት፣ አለን። ሲ 1 = 1/8, ሲ 2 = 1/16. ስለዚህ, ለካውቺ ችግር መፍትሄው ተግባሩ ነው

በ(X) = 1/8ሠ 3X + 1/16ሠ - 2X + (- 1/4X- 3/16)ሠ 2X .

ማስታወሻ 3(superposition መርህ). በመስመራዊ እኩልታ ውስጥ ከሆነ ኤል.ኤን[y(x)]= ረ(x) የት ረ(x) = ረ 1 (x)+ ረ 2 (x) እና y* 1 (x) - ወደ እኩልታው መፍትሄ ኤል.ኤን[y(x)]= ረ 1 (x), ሀ y* 2 (x) - ወደ እኩልታው መፍትሄ ኤል.ኤን[y(x)]= ረ 2 (x), ከዚያም ተግባሩ y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) ነው። እኩልታውን መፍታት ኤል.ኤን[y(x)]= ረ(x).

ምሳሌ 14. የአጠቃላይ የመፍትሄውን አይነት ወደ መስመራዊ እኩልታ ያመልክቱ

በ¢ ¢ (X) + 4በ(X) = x + six

መፍትሄ። የተመጣጣኝ ተመሳሳይነት እኩልነት አጠቃላይ መፍትሄ

` በ(x) = ሲ 1 cos 2x + ሲ 2 ኃጢአት 2x,

ከባህሪው እኩልታ ጀምሮ ክ 2 + 4 = 0 ሥር አለው። ክ 1, 2 = ± 2እኔ.የቀመርው የቀኝ ጎን ከቀመር (17) ጋር አይዛመድም ፣ ግን ማስታወሻውን ካስተዋወቅን ረ 1 (x) = x, ረ 2 (x) = sixእና የሱፐርላይዜሽን መርህ ይጠቀሙ , ከዚያ ለተመጣጣኝ እኩልነት የተለየ መፍትሄ በቅጹ ውስጥ ሊገኝ ይችላል y*(X)= y* 1 (x)+ y* 2 (x) የት y* 1 (x) - ወደ እኩልታው መፍትሄ በ¢ ¢ (X) + 4በ(X) = x, ሀ y* 2 (x) - ወደ እኩልታው መፍትሄ በ¢ ¢ (X) + 4በ(X) = six.በቀመር (18)

y* 1 (x) = አክስ + ቢ,y* 2 (x) = Ссosx + Dsinx.

ከዚያም ልዩ መፍትሄ

y*(X) = አክስ + ቢ + ኮስክስ + ዲሲንክስ,

ስለዚህ, አጠቃላይ መፍትሔው ቅጹ አለው

በ(X) = ሲ 1 cos 2x + ሲ 2 ሠ - 2X + አ x + B + Ccosx + Dsinx.

ምሳሌ 15. የኤሌክትሪክ ዑደት ከ emf ጋር በተከታታይ የተገናኘ የአሁኑን ምንጭ ያካትታል ሠ(ቲ) = ኢ ኃጢአትወቲ፣መነሳሳት ኤልእና መያዣዎች ጋር, እና

ቀጥተኛ ያልሆነ የሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎችን (LNDE-2) ከቋሚ ቅንጅቶች (ፒሲ) ጋር የመፍታት መሰረታዊ ነገሮች

2ኛ ትዕዛዝ ኤልዲዲ ከቋሚ ኮፊሸንስ $p$ እና $q$ ጋር $y"+p\cdot y"+q\cdot y=f\ግራ(x\ቀኝ)$፣ $f\ግራ(x) አለው። \ ትክክል)$ ቀጣይነት ያለው ተግባር ነው።

LNDU 2ን በተመለከተ ከፒሲ ጋር፣ የሚከተሉት ሁለት መግለጫዎች እውነት ናቸው።

አንዳንድ ተግባር $U$ ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ የዘፈቀደ ከፊል መፍትሄ ነው ብለን እናስብ። አንዳንድ ተግባር $Y$ የተመጣጣኝ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው ልዩነት እኩልታ (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ አጠቃላይ መፍትሄ (ጂ.ኤስ.) ነው ብለን እናስብ። ከዚያም የ GR of LHDE-2 ከተጠቆሙት የግል እና አጠቃላይ መፍትሄዎች ድምር ጋር እኩል ነው፣ ማለትም፣ $y=U+Y$።

የ 2 ኛ ትዕዛዝ LMDE የቀኝ እጅ የተግባር ድምር ከሆነ፣ ማለትም፣ $f\ግራ(x\ቀኝ)=f_(1) \ግራ(x\ቀኝ)+f_(2) \ግራ(x) \ቀኝ)+..+f_(r) \ግራ(x\ቀኝ)$፣ ከዚያ መጀመሪያ የሚዛመዱትን ፒዲዎች $U_(1)፣U_(2)፣...፣U_(r)$ ማግኘት እንችላለን። ለእያንዳንዱ ተግባራት $f_( 1) \ግራ(x\ቀኝ)፣f_(2) \ግራ(x\ቀኝ)፣...፣f_(r) \ግራ(x\ቀኝ)$፣ እና ከዚያ በኋላ CR LNDU-2 ን በ$U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ መልክ ይፃፉ።

የ 2 ኛ ትዕዛዝ LPDE ከፒሲ ጋር

የአንድ ወይም የሌላ ፒዲ $U$ አይነት የኤልኤንዲዩ-2 አይነት በቀኝ እጁ $f በግራ(x\ቀኝ)$ ላይ እንደሚወሰን ግልጽ ነው። በጣም ቀላሉ የ PD LNDU-2 ፍለጋ ጉዳዮች በሚከተሉት አራት ደንቦች መልክ ተዘጋጅተዋል.

ደንብ ቁጥር 1.

የLNDU-2 የቀኝ ጎን $f\ግራ(x\ቀኝ)=P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$፣ የት $P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)=a_(0) አለው። ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $፣ ማለትም ሀ ተብሎ ይጠራል። የዲግሪ ፖሊኖሚል $n$ ከዚያ የእሱ ፒዲ $U$ በ$U=Q_(n) \ግራ(x\ቀኝ)\cdot x^(r)$ ፣$Q_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ ሌላ ነው ። ከ$P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ ጋር ተመሳሳይ የሆነ ፖሊኖሚል፣ እና $r$ ከዜሮ ጋር እኩል የሆኑ ተዛማጅ LODE-2 የባህሪ እኩልታ ሥሮች ቁጥር ነው። የፖሊኖሚል $Q_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ ውህደቶች የሚገኙት ላልተወሰነ ቅንጅቶች (ዩኬ) ዘዴ ነው።

ደንብ ቁጥር 2.

የLNDU-2 የቀኝ ጎን $f\ግራ(x\ቀኝ)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ ፣ የት $P_(n) አለው። \ግራ(x\ቀኝ)$ የዲግሪ $n$ ብዙ ቁጥር ነው። ከዚያ የእሱ ፒዲ $U$ በ$U=Q_(n) \ግራ(x\ቀኝ)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $፣ በ$Q_(n) መልክ ይፈለጋል። ) \ ግራ(x\ቀኝ)$ ከ$P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ ጋር ተመሳሳይ ዲግሪ ያለው ሌላ ብዙ ቁጥር ነው፣ እና $r$ የተጓዳኝ LODE-2 የባህሪ እኩልታ ስርወ ቁጥር ነው። ከ$\alpha $ ጋር እኩል ነው። የብዙ ቁጥር $Q_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ በNC ዘዴ ይገኛሉ።

ደንብ ቁጥር 3.

የLNDU-2 የቀኝ ጎን $f\ግራ(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \ በግራ(\beta \cdot x) ቅጽ አለው። \ቀኝ) $፣ $a$፣$b$ እና $\beta$ ቁጥሮች የሚታወቁበት። ከዚያ የእሱ ፒዲ $U$ በ$U=\ግራ(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \ በግራ(\ቤታ \cdot x\ቀኝ) መልክ ይፈለጋል። \ right )\cdot x^(r)$፣ $A$ እና $B$ የማይታወቁ ውህደቶች ሲሆኑ፣ $r$ ደግሞ የተጓዳኝ LODE-2 የባህሪ እኩልታ ሥሮች ቁጥር ከ$i\cdot ጋር እኩል ነው። \ቤታ $. የ $A$ እና $B$ ዋጋ አጥፊ ያልሆነውን ዘዴ በመጠቀም ይገኛሉ።

ደንብ ቁጥር 4.

የLNDU-2 የቀኝ ጎን $f\ግራ(x\ቀኝ)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \ ግራ$፣ የትም $P_(n) \ግራ(x\ቀኝ)$ የሚል ቅጽ አለው። የዲግሪ $ n$ ፖሊኖሚል፣ እና $P_(m) \ግራ(x\ቀኝ)$ የዲግሪ $m$ ብዙ ቁጥር ነው። ከዚያ የእሱ PD $U$ በ$U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \ግራ\cdot x^(r)$ ፣በ$Q_(ዎች) \ግራ(x\ቀኝ)$ መልክ ይፈለጋል። እና $ R_(ዎች) \ግራ(x\ቀኝ)$ የዲግሪ $s$ ፖሊኖማሎች ናቸው፣ ቁጥሩ $s$ ከፍተኛው የሁለት ቁጥሮች $n$ እና $m$ ነው፣ እና $r$ የሥሩ ብዛት ነው። ከ$\ alpha +i\cdot \ beta $ ጋር እኩል የሆነ የ LODE-2 የባህሪ እኩልታ። የፖሊኖሚሎች $Q_(ዎች) \ግራ(x\ቀኝ)$ እና $R_(ዎች) \ግራ(x\ቀኝ)$ በNC ዘዴ ይገኛሉ።

የ NK ዘዴ የሚከተለውን ደንብ መተግበርን ያካትታል. ተመሳሳይ ያልሆነ ልዩነት እኩልታ LNDU-2 ከፊል መፍትሄ አካል የሆኑትን የፖሊኖሚል ያልታወቁ ጥራዞችን ለማግኘት የሚከተሉትን ማድረግ አለብዎት:

• በ LNDU-2 በግራ በኩል በአጠቃላይ ቅፅ የተጻፈውን PD $U$ ይተኩ;
• በ LNDU-2 በግራ በኩል ቀለል ያሉ እና የቡድን ቃላትን በተመሳሳይ ኃይል $ x$ ያከናውኑ;
• በውጤቱ ማንነት ውስጥ የቃላቶቹን ጥምርታዎች ከግራ እና ቀኝ ጎኖች $ x$ ተመሳሳይ ኃይሎች ጋር ማመሳሰል;
• ለማይታወቁ ቅንጅቶች የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት።

ምሳሌ 1

ተግባር፡ ማግኘት ወይም LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\ግራ(36\cdot x+12\ቀኝ)\cdot e^(3\cdot x) $. እንዲሁም ፒዲን አግኝ , የመጀመሪያ ሁኔታዎችን ማሟላት $y=6$ በ$x=0$ እና $y"=1$ በ$x=0$።

ተዛማጅ የሆነውን LOD-2: $y"" -3\cdot y"-18\cdot y=0$ እንጽፋለን።

የባህሪ እኩልታ፡ $k^(2) -3\cdot k-18=0$። የባህሪው እኩልታ ሥሩ፡ $k_(1) =-3$፣ $k_(2) =6$ ናቸው። እነዚህ ሥሮች ትክክለኛ እና የተለዩ ናቸው. ስለዚህ፣ የተዛማጁ LODE-2 OR ቅጽ አለው፡- $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $።

የዚህ LNDU-2 የቀኝ ጎን $\ግራ(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x)$ የሚል ቅጽ አለው። የአርበኛውን $\alpha =3$ ጥምርታ ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል። ይህ ቅንጅት ከየትኛውም የባህሪ እኩልታ ሥሮች ጋር አይጣጣምም። ስለዚህ፣ የዚህ LNDU-2 ፒዲ $U=\ግራ(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x)$ የሚል ቅጽ አለው።

የኤንሲ ዘዴን በመጠቀም $A$፣$B$ን ጥረቶችን እንፈልጋለን።

የመጀመሪያውን የቼክ ሪፑብሊክ አመጣጥ እናገኛለን፡-

$U"=\ግራ(A\cdot x+B\right)^((")) \cdot e^(3\cdot x) +\ግራ(A\cdot x+B\right)\cdot \ ግራ( e^(3\cdot x) \ቀኝ)^(()) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\ግራ(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ግራ(A+3\cdot A\) cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ሁለተኛውን የቼክ ሪፑብሊክ ተዋጽኦ እናገኛለን፡-

$U"=\ግራ(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(((")) \cdot e^(3\cdot x) +\ግራ(A+3\cdot) A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \ግራ(e^(3\cdot x) \ቀኝ)^(()) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\ግራ(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\ግራ(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

ከ$y"$፣$y"$ እና $y$ ይልቅ $U""$፣$U"$ እና $U$ን በተሰጠው NLDE-2 $y""-3\cdot y" እንተካለን። -18\cdot y=\ግራ(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x)$ በተጨማሪም አርቢው $e^(3\cdot x)$ በምክንያትነት ስለሚካተት በሁሉም ክፍሎች ውስጥ ፣ ከዚያ ሊወገድ ይችላል ። እኛ የሚከተሉትን እናገኛለን

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \ግራ(A+3\cdot A \cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \ግራ(A\) cdot x+B\ቀኝ)=36\cdot x+12.$

በውጤቱ እኩልነት በግራ በኩል ያሉትን ድርጊቶች እንፈጽማለን-

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

የኤንዲቲ ዘዴን እንጠቀማለን. ከሁለት የማይታወቁ ጋር የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት እናገኛለን፡-

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

የዚህ ሥርዓት መፍትሔው፡-$A=-2$፣$B=-1$ ነው።

PD $U=\ግራ(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x)$ ለችግራችን ይህን ይመስላል፡$U=\ግራ(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

OR $y=Y+U$ ለችግራችን ይህን ይመስላል፡ $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ግራ(-2\cdot x-1\ቀኝ)\cdot e^(3\cdot x) $.

የተሰጡትን የመጀመሪያ ሁኔታዎች የሚያረካ ፒዲ ለመፈለግ፣ የOP $y"$ ተዋጽኦ እናገኛለን፡-

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\) cdot x) +\ግራ(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

በ$y$ እና $y"$ በ$y=6$ በ$x=0$ እና በ$y"=1$ በ$x=0$ እንተካለን።

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

የእኩልታዎች ስርዓት ተቀብለናል፡-

$C_(1) +C_(2) =7፤$

$ -3 \cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

እንፍታው ። ክሬመር ቀመርን በመጠቀም $C_(1) $ን እናገኛለን፣ እና $C_(2) $ ከመጀመሪያው እኩል እንወስናለን፡-

$C_(1) =\frac(\ግራ|\ጀማሪ(ድርድር)(cc) (7) እና (1) \\ (6) & (6) \መጨረሻ(ድርድር)\ቀኝ|)(\ግራ|\ start(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \መጨረሻ(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\) cdot 6-\ግራ(-3\ቀኝ)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

ስለዚህ, የዚህ ልዩነት እኩልታ PD ቅጽ አለው: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\ግራ(-2\cdot x-1) \ ቀኝ ) \cdot e^(3\cdot x) $.

ይህ መጣጥፍ መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታዎችን ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር የመፍታትን ጉዳይ ይመለከታል። ጽንሰ-ሐሳቡ ከተሰጡት ችግሮች ምሳሌዎች ጋር ይብራራል. ግልጽ ያልሆኑ ቃላትን ለመረዳት ስለ የልዩነት እኩልታዎች ጽንሰ-ሀሳብ መሰረታዊ ትርጓሜዎች እና ጽንሰ-ሀሳቦች ርዕስን መጥቀስ አስፈላጊ ነው።

የሁለተኛው ቅደም ተከተል መስመራዊ ልዩነት እኩልታ (ኤልዲኢ) ከቅጹ y"" + p · y" + q · y = f (x) ቋሚ ቅንጅቶች ጋር እናስብ፣ p እና q የዘፈቀደ ቁጥሮች ሲሆኑ እና ያለው ተግባር ረ (x) በውህደት ክፍተት x ላይ ቀጣይ ነው።

ለ LNDE አጠቃላይ መፍትሄ ወደ ንድፈ ሃሳቡ አቀነባበር እንሂድ።

Yandex.RTB R-A-339285-1

አጠቃላይ የመፍትሄ ሃሳብ ለ LDNU

ቲዎሪ 1

ቅጽ y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + ቅጽ y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + መካከል ያለው ክፍተት x ላይ የሚገኝ አጠቃላይ መፍትሔ። . . + f 0 (x) · y = f (x) በ x ክፍተት f 0 (x)፣ f 1 (x)፣ . . , f n - 1 (x) እና ቀጣይነት ያለው ተግባር f (x) ከአጠቃላይ የመፍትሄው ድምር y 0 ድምር ጋር እኩል ነው, እሱም ከ LOD እና አንዳንድ የተለየ መፍትሄ y ~ ጋር ይዛመዳል, እዚያም ዋናው ኢ-ተመጣጣኝ እኩልነት y = y 0 + ነው. y ~.

ይህ የሚያሳየው እንዲህ ላለው የሁለተኛ ደረጃ እኩልታ መፍትሄው y = y 0 + y ~ ቅጽ አለው. y 0ን የማግኘት ስልተ ቀመር በጽሁፉ ውስጥ በጽሁፉ ላይ ተብራርቷል። ከዚያ በኋላ ወደ y ~ ፍቺ መቀጠል አለብን.

ለ LPDE የተወሰነ የመፍትሄ ምርጫ የሚወሰነው በቀመርው በቀኝ በኩል በሚገኘው f (x) ተግባር ዓይነት ላይ ነው። ይህንን ለማድረግ የሊኒየር ኢ-ተመጣጣኝ የሁለተኛ-ደረጃ ልዩነት እኩልታዎችን ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር በተናጠል ማገናዘብ ያስፈልጋል።

f (x) የ nth ዲግሪ ፖሊኖሚል ነው ተብሎ ሲታሰብ f (x) = P n (x) የተለየ የ LPDE መፍትሄ የሚገኘው በቅጹ y ~ = Q n (x) ቀመር በመጠቀም ነው። ) x γ፣ Q n (x) የዲግሪ n ብዙ ቁጥር የሆነበት፣ r የባህሪው እኩልታ ዜሮ ሥሮች ቁጥር ነው። እሴቱ y ~ የተለየ መፍትሄ ነው y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) , ከዚያም በፖሊኖሚል የተገለጹት የሚገኙትን ኮፊሸንስ
Q n (x)፣ ከእኩልነት y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ያልተወሰነ የቁጥሮች ዘዴን በመጠቀም እናገኛለን።

ምሳሌ 1

Cauchy's theorem y "" - 2 y" = x 2 + 1, y (0) = 2, y" (0) = 1 4 በመጠቀም አስላ.

መፍትሄ

በሌላ አነጋገር የሁለተኛው ቅደም ተከተል የማይለዋወጥ ልዩነት እኩልታ ወደ ተለየ መፍትሄ መሄድ አስፈላጊ ነው ቋሚ ቅንጅቶች y "" - 2 y" = x 2 + 1, ይህም የተሰጡትን ሁኔታዎች y (0) ያሟላል. = 2, y " (0) = 1 4 .

የመስመራዊ inhomogeneous እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ የአጠቃላይ የመፍትሄው ድምር ነው, እሱም ከ y 0 እኩልነት ወይም የተለየ መፍትሄ ለተመጣጣኝ እኩልታ y ~ ማለትም y = y 0 + y ~.

በመጀመሪያ፣ ለኤልኤንዲዩ አጠቃላይ መፍትሄ እናገኛለን፣ እና ከዚያ የተለየ።

ወደ y 0 ፍለጋ እንሂድ። የባህሪውን እኩልነት መፃፍ ሥሮቹን ለማግኘት ይረዳዎታል. ያንን እናገኛለን

k 2 - 2 ኪ = 0 ኪ (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2

ሥሮቹ የተለያዩ እና እውነተኛ መሆናቸውን አግኝተናል። ስለዚ፡ ንጽበ

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x.

y ~ እንፈልግ። በተሰጠው እኩልታ የቀኝ ጎን የሁለተኛው ዲግሪ ፖሊኖሚል መሆኑን ማየት ይቻላል, ከዚያም ከሥሮቹ አንዱ ከዜሮ ጋር እኩል ነው. ከዚህ በመነሳት ለ y ~ የተለየ መፍትሄ እንደሚሆን እናገኛለን

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x፣ የA፣ B፣ C እሴቶች ያልተወሰኑ ውህዶችን የሚወስዱበት።

ከ y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 እኩልነት እናገኛቸው።

ከዚያም የሚከተለውን እናገኛለን:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C" - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

መጠኖቹን ከተመሳሳይ የ x ኤክስፔንቶች ጋር በማመሳሰል የመስመራዊ አገላለጾችን ስርዓት እናገኛለን - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1። በማናቸውም ዘዴዎች ስንፈታ, አሃዞችን እናገኛለን እና እንጽፋለን: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 እና y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x.

ይህ ግቤት የዋናው መስመራዊ ተመጣጣኝ ያልሆነ ሁለተኛ ደረጃ ልዩነት እኩልታ ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር አጠቃላይ መፍትሄ ይባላል።

ሁኔታዎችን የሚያረካ የተለየ መፍትሄ ለማግኘት y (0) = 2, y "(0) = 1 4, እሴቶቹን መወሰን አስፈላጊ ነው. ሐ 1እና ሐ 2በቅጹ y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x እኩልነት ላይ በመመስረት።

ያንን እናገኛለን፡-

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

እኛ ቅጽ C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, C 1 = 3 2, C 2 = 1 2 ያለውን ቅጽ እኩልታዎች ሥርዓት ጋር እንሰራለን.

የCauchy ንድፈ ሐሳብን መተግበር፣ ያ አለን።

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

መልስ፡- 3 2 + 1 2 ሠ 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

ተግባር f (x) በዲግሪ n እና አርቢ ረ (x) = P n (x) · e a x ያለው የፖሊኖሚል ምርት ሆኖ ሲወከል፣ የሁለተኛው ትዕዛዝ LPDE የተለየ መፍትሄ ይሆናል የቅጹ እኩልነት y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ፣ Q n (x) የ nth ዲግሪ ብዙ ቁጥር ሲሆን r ደግሞ ከ α ጋር እኩል የሆነ የባህሪ እኩልታ ሥሮች ቁጥር ነው።

የQ n (x) ንብረት የሆኑት እኩልነት y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ይገኛሉ።

ምሳሌ 2

የቅጹን ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ያግኙ y "" - 2 y" = (x 2 + 1) · e x .

መፍትሄ

አጠቃላይ እኩልታው y = y 0 + y ~ ነው። የተጠቆመው እኩልታ ከ LOD y "" - 2 y" = 0 ጋር ይዛመዳል. ካለፈው ምሳሌ መረዳት ይቻላል ሥሮቹ እኩል ናቸው. k 1 = 0እና k 2 = 2 እና y 0 = C 1 + C 2 e 2 x በባህሪው እኩልታ.

የእኩልታው የቀኝ ጎን x 2 + 1 · e x መሆኑን ማየት ይቻላል። ከዚህ LPDE የሚገኘው በ y ~ = e a x · Q n (x) · x γ ሲሆን Q n (x) የሁለተኛ ዲግሪ ፖሊኖሚል ሲሆን α = 1 እና r = 0 ነው, ምክንያቱም የባህሪው እኩልታ ስለሌለው. ከ 1 ጋር እኩል የሆነ ሥር አላቸው. ከዚህ እናገኛለን

y ~ = ሠ a x · ጥ n (x) · x γ = ሠ x · ሀ x 2 + ለ x + ሐ · x 0 = ሠ x · አ x 2 + ለ x + ሐ .

A, B, C በእኩልነት ሊገኙ የሚችሉ የማይታወቁ ውህዶች ናቸው y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

ገባኝ

y ~ " = ሠ x · ሀ x 2 + ለ x + ሐ " = ሠ x · ሀ x 2 + ለ x + ሐ + ሠ x · 2 አ x + ለ = = ሠ x · አ x 2 + x 2 ሀ + ለ + ለ + ሐ y ~ "" = ሠ x · ሀ x 2 + x 2 ሀ + B + B + ሐ " = = ሠ x · ሀ x 2 + x 2 አ + ለ + ለ + ሐ + ሠ x · 2 አ x + 2 ሀ + ለ = ሠ x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~" = (x 2 + 1) ሠ x ⇔ ሠ x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 ሠ x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · ሠ x ⇔ ሠ x · - ሀ x 2 - ለ x + 2 ሀ - ሐ = (x 2 + 1) · ሠ x ⇔ - ሀ x 2 - ለ x + 2 ሀ - ሐ = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

አመላካቾችን ከተመሳሳዩ መመዘኛዎች ጋር እናነፃፅራለን እና የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት እናገኛለን። ከዚህ እናገኛለን A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

መልስ፡-ግልጽ ነው y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - ሠ x · x 2 + 3 የ LNDDE የተለየ መፍትሄ ነው እና y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - ለሁለተኛ ደረጃ ኢ-ተመጣጣኝ ያልሆነ ልዩነት አጠቃላይ መፍትሄ።

ተግባሩ f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x ተብሎ ሲጻፍ እና ሀ 1እና በ 1 ውስጥቁጥሮች ናቸው፣ ከዚያም የ LPDE ከፊል መፍትሄ የቅጹ እኩልታ ተደርጎ ይወሰዳል y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ፣ A እና B ያልተወሰኑ ውህዶች ይቆጠራሉ እና R የቁጥር ብዛት ነው። ከባህሪው እኩልታ ጋር የሚዛመዱ ውስብስብ conjugate ስሮች፣ ከ ± i β ጋር እኩል ናቸው። በዚህ ሁኔታ, የቁጥሮች ፍለጋ የሚከናወነው እኩልነት y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) በመጠቀም ነው.

ምሳሌ 3

የቅጹን ልዩነት እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ያግኙ y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

መፍትሄ

የባህሪውን እኩልታ ከመጻፍዎ በፊት፣ y 0ን እናገኛለን። ከዚያም

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i, k 2 = - 2 i

ጥንድ ውስብስብ የሆኑ የተጣመሩ ስሮች አሉን. እንለውጥ እና እንገኝ፡-

y 0 = e 0 (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)

የባህሪው እኩልታ ስሮች እንደ ተጣማሪ ጥንድ ± 2 i, ከዚያም f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) እንደሆኑ ይቆጠራሉ. ይህ የሚያሳየው y ~ ፍለጋ ከ y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. ያልታወቀ ከቅጽ እኩልነት A እና Bን እንፈልጋለን y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

እንቀይር፡-

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 ሀ ኃጢአት (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B ኃጢአት (2 x) y ~ "" = ((- 2 ሀ ኃጢአት (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B ኃጢአት (2 x))" = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B ኃጢአት (2 x)) x - 2 ሀ ኃጢአት (2 x) + 2 ለ cos (2 x) - - 2 ሀ ኃጢአት (2 x) + 2 ለ cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B ኃጢአት (2 x)) x - 4 ሀ ኃጢአት (2 x) + 4 B cos (2 x)

ከዚያም ግልጽ ነው

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 ኃጢአት (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B ኃጢአት (2 x)) x - 4 ሀ ኃጢአት (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B ኃጢአት (2 x)) x = cos (2 x) + 3 ኃጢአት (2 x) ⇔ - 4 ሀ ኃጢአት (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 ኃጢአት (2 x)

የሳይንስ እና ኮሳይን ውህዶችን ማመሳሰል አስፈላጊ ነው. የቅጹን ስርዓት እናገኛለን-

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

እሱም y ~ = (A cos (2 x) + B ኃጢአት (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 ኃጢአት (2 x) x.

መልስ፡-የዋናው የሁለተኛ ደረጃ ኤልዲዲ አጠቃላይ መፍትሄ ከቋሚ ቅንጅቶች ጋር ይታሰባል።

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 ኃጢአት (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 ኃጢአት (2 x) x

መቼ f (x) = e a x · P n (x) ኃጢአት (β x) + Q k (x) cos (β x) ፣ ከዚያ y ~ = e a x · (L m (x) ኃጢአት (β x) + N m (x) cos (β x) x γ. እኛ አለን r ከባህሪው እኩልታ ጋር የሚዛመዱ የተወሳሰቡ የተዋሃዱ ጥንድ ሥሮች ብዛት፣ ከ α ± i β ጋር እኩል ነው፣ የት P n (x)፣ Q k (x)፣ L m (x) እና Nm(x)የዲግሪ ፖሊኖሚሎች ናቸው n, k, m, m, የት m = m a x (n, k). Coefficients ማግኘት Lm(x)እና Nm(x)በእኩልነት y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) ላይ የተመሠረተ ነው.

ምሳሌ 4

አጠቃላይ መፍትሄን ያግኙ y "" + 3 y" + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

መፍትሄ

እንደ ሁኔታው ​​ግልጽ ነው

α = 3, β = 5, P n (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

ከዚያም m = m a x (n, k) = 1. በመጀመሪያ የቅጹን የባህሪ እኩልታ በመጻፍ y 0ን እናገኛለን፡-

k 2 - 3 ኪ + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

ሥሮቹ እውነተኛ እና የተለዩ መሆናቸውን አግኝተናል. ስለዚህም y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x. በመቀጠል፣ በቅጹ ላይ ያልተመጣጠነ ቀመር y ~ ላይ በመመስረት አጠቃላይ መፍትሄ መፈለግ ያስፈልጋል።

y ~ = ሠ α x (L m (x) ኃጢአት (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = ሠ 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (ሐ) x + D) ኃጢአት (5 x)) x 0 = = ሠ 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ኃጢአት (5 x))

እንደሚታወቀው ኤ፣ ቢ፣ ሲ ውህዶች፣ r = 0 ናቸው፣ ምክንያቱም ከ α ± i β = 3 ± 5 · i ጋር ካለው የባህሪ እኩልታ ጋር የሚገናኙ ጥንድ ጥንድ ሥሮች ስለሌሉ ነው። ከተፈጠረው እኩልነት እነዚህን ጥምርታዎች እናገኛለን፡-

y ~ "" - 3 y ~" + 2 y ~ = - ሠ 3 x ((38 x + 45) ኃጢአት (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (ሠ 3 x ((() A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ኃጢአት (5 x))) "" - - 3 (ሠ 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + መ) ኃጢአት (5 x))) = - ሠ 3 x ((38 x + 45) ኃጢአት (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

የመነጩ እና ተመሳሳይ ቃላትን መፈለግ ይሰጣል

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) ++ (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) ኃጢአት (5 x) ++ (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - ሠ 3 x · (38 · x · ኃጢአት (5 x) + 45 · ኃጢአት (5 x) ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

ጥራቶቹን ካመሳሰለ በኋላ, የቅጹን ስርዓት እናገኛለን

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1C = 1 ዲ = 1

ከሁሉም ነገር ይከተላል

y ~ = ሠ 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) ኃጢአት (5 x)) = ሠ 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) ኃጢአት (5 x))

መልስ፡-አሁን ለተሰጠው መስመራዊ እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ አግኝተናል፡-

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) ኃጢአት (5 x))

ኤልዲኤንን ለመፍታት አልጎሪዝም

ፍቺ 1

ለመፍትሄው ሌላ ማንኛውም አይነት ተግባር f (x) የመፍትሄውን ስልተ ቀመር ማክበርን ይጠይቃል።

• ለተዛማጅ መስመራዊ ተመሳሳይነት ያለው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ ማግኘት፣ y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2፣ የት y 1እና y 2በመስመር ነጻ የሆኑ የLODE ከፊል መፍትሄዎች ናቸው፣ ሐ 1እና ሐ 2እንደ የዘፈቀደ ቋሚዎች ይቆጠራሉ;
• ጉዲፈቻ እንደ አጠቃላይ የ LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
• የአንድ ተግባር ተዋጽኦዎች በቅጽ C 1 "(x) + y 1 (x) + C 2" (x) · y 2 (x) = 0 C 1" (x) + y 1" ስርዓት በኩል መወሰን x) + C 2" (x) · y 2" (x) = f (x) ፣ እና ተግባራትን መፈለግ ሐ 1 (x)እና C 2 (x) በማዋሃድ.

ምሳሌ 5

ለ y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x አጠቃላይ መፍትሔ ያግኙ.

መፍትሄ

ቀደም ሲል y 0, y "" + 36 y = 0 ጽፈናል, የባህሪውን እኩልታ ለመጻፍ እንቀጥላለን. ንጽበን ንፈቱ፡

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x)፣ y 2 (x) = ኃጢአት (6 x)

የተሰጠው እኩልታ አጠቃላይ መፍትሄ y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) ተብሎ ይጻፋል። ወደ ተወላጅ ተግባራት ፍቺ መሄድ አስፈላጊ ነው ሐ 1 (x)እና C2(x)እኩልታዎች ባለው ስርዓት መሠረት-

C 1 "(x) · cos (6 x) + C 2" (x) · ኃጢአት (6 x) = 0 C 1" (x) · (cos (6 x))" + C 2" (x) · (ኃጢአት (6 x)) " = 0 ⇔ C 1" (x) cos (6 x) + C 2" (x) ኃጢአት (6 x) = 0 ሐ 1" (x) (- 6 ኃጢአት (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = 24 ኃጢአት (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 ሠ 6 x

በተመለከተ ውሳኔ መስጠት ያስፈልጋል ሐ 1" (x)እና ሐ 2" (x)ማንኛውንም ዘዴ በመጠቀም. ከዚያም እንጽፋለን፡-

ሐ 1 "(x) = - 4 ኃጢአት 2 (6 x) + 2 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - 6 ሠ 6 x ኃጢአት (6 x) ሐ 2" (x) = 4 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 ሠ 6 x cos (6 x)

እያንዳንዳቸው እኩልታዎች መዋሃድ አለባቸው. ከዚያ የተገኙትን እኩልታዎች እንጽፋለን-

ሐ 1 (x) = 1 3 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 ሠ 6 x cos (6 x) - 1 2 ሠ 6 x ኃጢአት (6 x) 6 x) + ሐ 3 ሐ 2 (x) = - 1 6 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 ሠ 6 x cos (6 x) + 1 2 ሠ 6 x ኃጢአት (6 x) + C 4

አጠቃላይ መፍትሔው ቅጹ ይኖረዋል።

y = 1 3 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 ሠ 6 x cos (6 x) - 1 2 ሠ 6 x ኃጢአት (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 ኃጢአት (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 ሠ 6 x cos (6 x) + 1 2 ሠ 6 x ኃጢአት (6 x) + C 4 ኃጢአት (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x ኃጢአት (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 ሠ 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 ኃጢአት (6 x)

መልስ፡- y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

በጽሁፉ ላይ ስህተት ካጋጠመህ እባክህ አድምቀው Ctrl+Enter ን ተጫን