ሒሳብ
መስመራዊ አልጀብራ እና የትንታኔ ጂኦሜትሪ
(መደበኛ ስሌት)
መመሪያዎች እና የቁጥጥር ተግባራት
ለ ገለልተኛ ሥራተማሪዎች
ተራራ specialties ሙሉ ሰአትስልጠና
በ M. K. Kurchin የተጠናቀረ
በመምሪያው ስብሰባ ላይ ጸድቋል
የትምህርት እና ዘዴያዊ ኮሚሽን
specialties 130403
የ 04/27/2009 ፕሮቶኮል ቁጥር 10
የኤሌክትሮኒክ ቅጂ ተከማችቷል
በዋናው ሕንፃ ቤተ መጻሕፍት ውስጥ
GU KuzGTU
| |
ይህ ሥራበመጀመሪያ ደረጃ የመጀመሪያ ዓመት ተማሪዎች ከፍተኛ ጥራት ያለው የመደበኛ ስሌት ትግበራን ያገለግላል የትምህርት ሴሚስተርበርዕስ " መስመራዊ አልጀብራ"እና" የትንታኔ ጂኦሜትሪ" "ኩርቺን ኤም.ኬ. አልጀብራ እና ጂኦሜትሪ ለኢንጂነሮች፡ የመማሪያ መጽሀፍ" እንደ ዋናው የመማሪያ መጽሀፍ ይመከራል። አበል / የስቴት ዩኒቨርሲቲ KuzGTU. - Kemerovo, 2004. - 158 p. ይኸውም በዚህ የመማሪያ መጽሐፍ መሠረት ለችግሮች በተሰጡት መፍትሄዎች ውስጥ ለገለልተኛ ሥራ አንቀጾች ተገልጸዋል. መመሪያው በ 36 አማራጮች ውስጥ የተለመደው ስሌት (የስድስት ተግባራት) እና የቁጥጥር ስራዎችን የማከናወን ምሳሌን ይዟል. መጨረሻ ላይ ዘዴያዊ መመሪያዎችለችግሮች ሁሉ መልሶች ተሰጥተዋል.
የተለመደው ስሌት ምሳሌ
ችግር 1. ስርዓቱን ይፍቱ
ሀ) ዘዴ በቅደም ተከተል መወገድየማይታወቅ;
ለ) የመወሰን ዘዴ; ሐ) የማትሪክስ ዘዴ.
መፍትሄ። ሀ) (§1) ማትሪክስ ከስርአቱ ውህዶች መፃፍ አለብን፣ ከእሱ ጋር የነጻ ቃላትን አምድ በማያያዝ፣ በአቀባዊ አሞሌ ለአመቺነት መለያየት እና በዚህ የተራዘመ ማትሪክስ ረድፎች ላይ ሁሉንም ለውጦች ማድረግ አለብን።
የዚህን ሥርዓት የተራዘመ ማትሪክስ እንለውጠው፡- 
. የተራዘመውን ማትሪክስ ምንም ተጨማሪ ለውጦች አያስፈልጉም.
ስለዚህ ወደ እኩልታዎች ስርዓት ደርሰናል
ወይም 
መያዝ ብቸኛው መፍትሔ X = –1, y = -2, ዝ = 1.
የመነሻ ስርዓቱ የተወሰነ ሆኖ ተገኝቷል.
ለ) ለስርዓታችን (§5 እና §6) ሁሉንም አስፈላጊ መለኪያዎች እናሰላለን. እዚህ፡
,
,
,
,
አሁን እናገኘዋለን.
ሐ) ለማይታወቁት የቁጥር ማትሪክስ የሚከተለው ይሆናል፡-
. የሚወስነው D = | ሀ| = 2, ስለዚህ የተገላቢጦሽ ማትሪክስ ሀ- 1 አለ (§44 እና §45)፣ እና
የስርዓተ እኩልታዎች የነፃ ውሎች የአምድ ማትሪክስ የሚከተለው ይሆናል። የስርዓቱ መፍትሄ ማትሪክስ ይሆናል-
፣ ማለትም እ.ኤ.አ.
|
ችግር 2. የሶስት ማዕዘን ጫፎች በነጥቦች ላይ ናቸው ሀ(–5; 1; 3), ለ(–5፤ 4፤ 7) እና ሲ(5; -4; -7). የሶስት ማዕዘኑ የስበት ኃይል መሃል መጋጠሚያዎች ፣ የማዕዘን መጠን ሀእና የዚህ አንግል የቢስክሌት አቅጣጫ ኮሲኖች.
መፍትሄ። የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎች ለማግኘት ኤፍየሶስት ማዕዘኑ የስበት ማዕከል ነው, መካከለኛውን እንደሚከፋፍል ልብ ይበሉ BDበ 2: 1 ጥምርታ, ከላይ በመቁጠር ለ, እና ነጥብ ዲጎን ይከፋፍላል ዓ.ምበግማሽ (§§7-15). የነጥቡን መጋጠሚያዎች ያግኙ ዲ, ለዚህም አንድን ክፍል በግማሽ ለመከፋፈል ቀመሮችን እንጠቀማለን-
ስለዚህ፣ 
እና ጊዜ ኤፍአንድ ክፍል ይከፋፍላል BDበፍቅር ግንኙነት ውስጥ
.
የነጥቡን መጋጠሚያዎች ማግኘት ኤፍ:
እና የሶስት ማዕዘኑ የስበት ኃይል ማእከል ነጥብ ላይ ነው 
አንግል ለማግኘት ሀቬክተሮችን እንጠቁማለን (ምስል 1)
እና 
(የመጀመሪያ መጋጠሚያዎችን ከመጨረሻው መጋጠሚያዎች ይቀንሱ) እና ርዝመታቸውን ይፈልጉ፡-
ከዚያም 
,
እና አንግል እራሱ ሀከ "37.17 ዲግሪዎች ጋር እኩል ይሆናል.
የማዕዘን ቢሴክተሮች አቅጣጫ ኮሲኖች ሀበሁለት መንገዶች ሊገኝ ይችላል. እስቲ እንያቸው።
1 መንገድ. ቢሴክተር ውስጣዊ ማዕዘንትሪያንግል ይከፋፈላል በተቃራኒው በኩልከአጎራባች ጎኖች ጋር ተመጣጣኝ ወደ ክፍሎች. ከዚህ በመነሳት ነጥቡን እንጨርሰዋለን ኬአንድ ክፍል ይከፋፍላል NEበፍቅር ግንኙነት ውስጥ 
የነጥቡን መጋጠሚያዎች ማግኘት ኬ:
|
ስለዚህ, እና bisector ቬክተር
ርዝመቱ 
ዘዴ 2. በቬክተሮች አቅጣጫዎች ውስጥ እንመለከታለን ዩኒት ቬክተሮች
እና 
.
እነዚህን ቬክተሮች ከጨመርን, ከዚያም ትይዩ AMLNበተመሳሳይ ጊዜ rhombus እና ሰያፍ ይሆናል አልየማዕዘን bisector ይሆናል ሀ. ስለዚህም እ.ኤ.አ. 
የዚህን ቬክተር ርዝመት እንፈልግ፡- 
ችግር 3. ከነጥብ ርቀትን አስላ ኬ(2; -1; -2) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 1 (3; -3; -5) እና ቀጥታ መስመር 
አርከነጥብ ኬ.
መፍትሄ። የተሰጠው ቀጥተኛ መስመር በነጥቡ ውስጥ ያልፋል ኤም 0 (6; 1; 2) ከቬክተር ጋር ትይዩ = (6; 8; -5) (§27, ችግር 4). ቬክተሩን እንፈልግ == (–3; -4; -7). መደበኛ አውሮፕላን ቬክተር አርወደ ቬክተሮች እና , ስለዚህ እንደ መደበኛ ቬክተር መውሰድ እንችላለን የቬክተር ምርትቬክተሮች እና .
|
.
እንደ ቬክተር ለመውሰድ ለእኛ የበለጠ አመቺ ነው, ቬክተሩ -19 ጊዜ አጭር ነው, ማለትም = (4; -3; 0). አሁን በነጥቡ ውስጥ የሚያልፈውን የአውሮፕላኑን እኩልነት እንጻፍ ኤም 1 ከቬክተር ጋር ቀጥ ያለ;
4(x – 3) – 3(y + 3) = 0, ፒ: 4x – 3y – 21 = 0.
የነጥቡን ርቀት ለማስላት ይቀራል ኬከአውሮፕላኑ አር:
.
እና ከነጥቡ ላይ የወደቀውን የፔንዲኩላር እኩልታ ይፃፉ ኬወደ አውሮፕላኑ አር:
.
ችግር 4. እኩልታዎች ተሰጥተዋል። X – 2በ – 1 = 0, X + 3በ- 6 = 0 እና 3 X – በ+ 2 = 0 የሶስት ማዕዘን እና መካከለኛው ሁለት ጎኖች. የሶስተኛው የሶስተኛው ጎን እኩልታዎችን ይፃፉ እና ቁመቱ ወደዚህ ጎን ዝቅ ብሏል።
መፍትሄ። የጎኖቹን እኩልታዎች ይፍቀዱ
AB: X – 2በ- 1 = 0 እና B.C.: X + 3በ – 6 = 0.
(§28) የቬርቴክሱን መጋጠሚያዎች ያግኙ ለ: 
ለ(3; 1).
የቬርቴክስ መጋጠሚያዎች ለየመካከለኛው እኩልዮሽ አያረካም: 3 3 - 1 - 6 ¹ 0. መካከለኛው ከወርድ ይሳለም. ሀወደ ጎን B.C.. የቬርቴክሱን መጋጠሚያዎች ያግኙ
|
ሀ: 
ሀ(–1; –1).
አሁን የነጥቡን መጋጠሚያዎች እንፈልግ ኬመካከለኛ መገናኛ አ.ኬ.ከጎን ጋር B.C.:
ኬ: 
ኬ(0; 2).
ነጥብ ሲአንድ ክፍል ይከፋፍላል ቢ.ኬ.ከውጭ ጋር በተያያዘ 
.
ስለዚህም እ.ኤ.አ. ሲ(–3; 3).
ቬክተር 
, እና የጎን እኩልነት አ.ሲ.በአንድ ነጥብ ውስጥ እንዳለፉ ሀከቬክተር ጋር ትይዩ፣ ይፃፋል፡-
ወይም 2 x + y + 3 = 0.
ቁመት ቢ.ኤች.ከላይ በኩል ያልፋል ለእና እንደ መደበኛ ቬክተር መውሰድ ይችላሉ ቬክተር . ከዚያ የእሱ እኩልነት ይፃፋል-
–2(x – 3) + 4(y- 1) = 0 ወይም x – 2y – 1 = 0.
ችግር 5. በነጥቡ በኩል ውስጥ(8; -3) በእሱ የተቋቋመው የሶስት ማዕዘኑ ስፋት እና የአስማሚው መጥረቢያዎች ከአንድ ካሬ ክፍል ጋር እኩል እንዲሆኑ ቀጥ ያለ መስመር ይሳሉ።
መፍትሄ. የቀጥታ መስመርን እኩልነት በክፍሎች ውስጥ በቀደምት መስመር እኩልነት እንውሰድ። ሀእና ለ- የክፍሎቹ ዋጋዎች በቀጥታ መስመር የተቆረጡ በ መጥረቢያዎችን ማስተባበር(§28)።
|
ችግሩ 2 መፍትሄዎች አሉት. አንድ ቀጥተኛ ኤል 1 የመጀመሪያውን መጋጠሚያ አንግል ያቋርጣል ሀ > 0, ለ> 0 እና ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።> 0. ሌላ ቀጥተኛ መስመር ኤል 2 ሶስተኛውን የመጋጠሚያ አንግል ያቋርጣል, ለዚህም ሀ < 0, ለ < 0 и ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ። > 0.
የሶስት ማዕዘን አካባቢ እና በማንኛውም ሁኔታ ስላለን
በተጨማሪም, የሚፈለገው ቀጥተኛ መስመር በነጥቡ ውስጥ ያልፋል ውስጥእና የኋለኛው መጋጠሚያዎች የቀጥታ መስመርን እኩልነት ያረካሉ.
ስለዚህ, እንደ ችግሩ ሁኔታዎች, ስርዓቱ አለን
ይህን ስርዓት እንፍታው፡-
ወይም 
የዚህ ሥርዓት መፍትሔ ሁለት ጥንድ እሴቶች ይሆናል.
እና
ስለዚህ, የሚፈለጉት ቀጥታ መስመሮች የሚከተሉት እኩልታዎች አሏቸው.
|
ወይም x + 2y – 2 = 0;
ወይም 9 x + 32y – 24 = 0.
መልስ፡- X + 2በ -2 = 0; 9X +32በ –24 = 0.
ችግር 6. ከነጥብ ለ(4; 0) ጨረሩ ወደ ቀጥታ መስመር ወደ አንግል arctg ይመራል x – 2y
መፍትሄ። 1) የአደጋው ጨረሮች ቀጥታ መስመር እንዲመራ ያድርጉ ቢ.ኤ., ስለዚህ አንግል ቢኤሲ x – 2y ቢ.ኤ., የሚገኘው ቬክተሩን በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ በማዞር በአንግል φ. በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ በማሽከርከር የተገኘውን የቬክተር መጋጠሚያዎች ለማስላት ቀመሮቹን እንጠቀም የተሰጠው ቬክተርበተወሰነ ማዕዘን (§20):
(1)
እንደ ቬክተር, የተዘረጋ ቬክተር መውሰድ ይችላሉ, ማለትም. ቀመሮች (1) በመቀጠል ቅጹን ይይዛሉ፡-
ወይም ከተግባር ውሂብ ጋር 
.
የመስመሩን እኩልነት እንፈልግ AB, ነጥቡን በማለፍ ለእና መደበኛ ቬክተር መኖር (§28)
4(x – 4) –3(y-0) = 0 ወይም 4 x – 3y = 16.
የነጥቡን መጋጠሚያዎች ማግኘት ሀ: 
ለተንፀባረቀ ጨረር, የተለመደው ቬክተር ቬክተሩን በተመሳሳይ አንግል φ በማዞር ማግኘት ይቻላል, አሁን ግን በሰዓት አቅጣጫ. የተለወጠውን የቬክተር መጋጠሚያዎች ለማስላት ቀመሮች ውስጥ φን አንግል በማእዘን -φ በመተካት ስርዓቱን እናገኛለን-
ወይም ከተግባር ውሂብ ጋር 
የቬክተር መጋጠሚያዎችን እንደ ኢንቲጀር ለመለየት ቬክተሩን ይውሰዱ 
. ከዚያ የተንጸባረቀው ጨረር እኩልነት ይፃፋል-
0(x – 10) – 5(y- 8) = 0 ወይም y = 8.
2) አሁን የክስተቱ ጨረር በቀጥታ መስመር ይመራ B.C., ስለዚህ አንግል B.C.A.እኩል ነው φ = arctan. የአንድ የተወሰነ መስመር መደበኛ ቬክተር x – 2y+ 6 = 0 በተጨማሪም ቬክተር ይኖራል, የአደጋው ሬይ መደበኛ ቬክተር ቀጥተኛ ነው B.C., የሚገኘው ቬክተርን በተቃራኒ ሰዓት አቅጣጫ በማዞር በማእዘን π - φ, ይህም እኩል ነው - እስከ የአቅጣጫ ምርጫ ድረስ - ቬክተሩን በሰዓት አቅጣጫ በማዞር በማእዘን φ. ግን ይህ ቬክተር ብቻ ይሆናል . ክስተት ሬይ እኩልታ B.C.ይመዘገባል: 0( x – 4) – 5(y- 0) = 0 ወይም y= 0. ከዚያም ጋር(-6; 0) እና ለተንጸባረቀው ጨረሩ የተለመደው ቬክተር ይሆናል . በመጨረሻም፣ የተንጸባረቀው ጨረር እኩልነት ይፃፋል፡ 4( x + 6) – 3(y- 0) = 0 ወይም 4 x – 3y + 24 = 0.
መልስ፡ 1) y = 8; 2) 4x – 3y + 24 = 0.
1. መስመራዊ አልጀብራ።
ስርዓቱን ይፍቱ መስመራዊ እኩልታዎችሀ) የማይታወቁትን በቅደም ተከተል የማስወገድ ዘዴ; ለ) የመወሰን ዘዴ; ሐ) የማትሪክስ ዘዴ.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. 23. 24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
31. 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
2. የቬክተር አልጀብራ.
የሶስት ማዕዘን ጫፎች በነጥቦች ላይ ናቸው ሀ, ውስጥእና ጋር. የሶስት ማዕዘኑ የስበት ማእከል መጋጠሚያዎች ፣ የማዕዘን bisector አቅጣጫ ኮሲኖች ይፈልጉ ሀእና የዚህ ማዕዘን መጠን.
| አማራጭ | ||||||
| ሀ | –4;–2;–4 | –4; 2; –2 | –1; 2; –8 | –6; 3; –2 | –8; 2; –4 | –3; –2; –2 |
| ለ | –3; 2; 4 | 4; –6; 2 | –3; –6; 8 | –6; 6; 2 | –7; 6; 4 | 4; 2; 2 |
| ሲ | 4; 2; 4 | –2; 6; 2 | 3; 6; –1 | 6; –6; –2 | 8; –6; –2 | –1; 2; 2 |
| አማራጭ | ||||||
| ሀ | 2; –1; –1 | –5; 3; –2 | 7; 2; 0 | –1; 3; –5 | –8; 2; –3 | 5; –6; –4 |
| ለ | 1; –3; –3 | 6; –7; –4 | –7; –6; –8 | 1; 7; –1 | –4; 6; 4 | –5; 5; –6 |
| ሲ | –2; 3; –3 | –2; 9; 4 | 8; 6; 8 | 1; –7; 6 | 8; –6; –5 | 5; 0; 4 |
| አማራጭ | ||||||
| ሀ | 4; –1; 4 | –6; –4; 2 | –2; 1; –1 | 6; –3; –4 | 4; 5; 0 | 3; –2; –1 |
| ለ | –4;–3;–12 | –8; 0; 6 | 2; –3; 1 | –10;–5; 4 | 5; 9; 8 | 5; 2; 3 |
| ሲ | 5; 3; 12 | 8; 4; –6 | –1; 3; 1 | 10; 5; 4 | –4;–9;–8 | –5; 2; –2 |
| አማራጭ | ||||||
| ሀ | 5; 2; 1 | –6;–6;–3 | 1; –8; –4 | –6; 1; –2 | –1;–4;–8 | –7;–4;–3 |
| ለ | –9;–6;–7 | –3; 0; 3 | –1; 8; 4 | –4; 5; 2 | 1; 4; 8 | –3; 4; 5 |
| ሲ | 9; 6; 8 | 6; 6; 3 | 2; –4; 4 | 6; –5; 2 | 0;–2;–6 | 7; 4; 5 |
| አማራጭ | ||||||
| ሀ | 4; 2; –7 | –1;–4;–8 | 0;–3;–4 | 5; –1; 4 | –1; –8; 1 | 3; –3; 1 |
| ለ | 5; 6; 1 | 1; 4; 8 | 3; –3; 0 | 6; 1; 6 | –3; 8; –7 | 7; 5; 9 |
| ሲ | –4; –6; 7 | 1; 0; –4 | 0; 3; 4 | –6; 1; –6 | 3; –4; 8 | –7;–5;–10 |
| አማራጭ | ||||||
| ሀ | –5;–6;–4 | –1; 4; 3 | 4; –8; –4 | 3; 1; –2 | –2; 2; –6 | –8;–1;–4 |
| ለ | 4; 6; –4 | 1; –7; –7 | 5; –4; 4 | –4; –3; 2 | 2; 6; 1 | –7; 3; 4 |
| ሲ | –4; –2; 4 | –1; 7; 7 | –4; 8; –2 | 4; 3; 0 | –2; –7; 6 | 8; –3; 4 |
3. አውሮፕላን እና ቀጥታ መስመር በጠፈር ውስጥ።
1. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(–5፤ 3፤ -2) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (3; 2; 4) ከቬክተር ጋር ትይዩ 
እና ወደ አውሮፕላን 4 ቀጥ ያለ x + y – 3ዝ – 7 = 0, አርከነጥብ ኬ.
2. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(1; -1; 4) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (-2; -5; 3) ወደ ቀጥታ መስመር ቀጥ ያለ 
እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
3. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(–3; 0; 1) ወደ አውሮፕላን አር, በመስመሩ ውስጥ ማለፍ 
ከቬክተር ጋር ትይዩ 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
4. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(1፤ 1፤ 5) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (2;–1;–3) ወደ ሁለት አውሮፕላኖች ቀጥ ያለ 5 x – 2y + 12ዝ+ 4 = 0 እና 10 x + 7y + 24ዝ አርከነጥብ ኬ.
5. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(2፤ 5፤ 3) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (-4; 3; -1) ከሁለት ቀጥታ መስመሮች ጋር ትይዩ 
እና 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
6. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(4; -1; -2) ወደ አውሮፕላን አር, በመስመሩ ውስጥ ማለፍ 
ወደ -4 አውሮፕላን ቀጥ ያለ x + 7ዝ+ 3 = 0፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
7. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(4; 1; 3) ወደ አውሮፕላን አርበሁለት ነጥቦች ውስጥ ማለፍ ኤም 1 (5፤ 3፤ -4) እና ኤም 2 (–8; 4; 8) አርከነጥብ ኬ.
8. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(4; -5; -2) ወደ አውሮፕላን አር 
እና 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
9. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(1; -2; 3) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (4; -3; 1) ከሁለት ቬክተር ጋር ትይዩ 
አርከነጥብ ኬ.
10. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(1; -1; 0) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (5፤ 2፤ -2) እና ቀጥታ መስመር፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታዎች ይፃፉ። አርከነጥብ ኬ.
11. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(2; -1; -2) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (2; -4; 0) ከቬክተር ጋር ትይዩ 
እና በአውሮፕላኑ ላይ ቀጥ ያለ y + 3ዝ አርከነጥብ ኬ.
12. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(3; 1; 2) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (-4; -5; 1) ወደ ቀጥታ መስመር ቀጥ ያለ 
እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
13. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(2; -3; 4) ወደ አውሮፕላን አር, በመስመሩ ውስጥ ማለፍ 
ከቬክተር ጋር ትይዩ 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
14. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(–3፤ 4፤ -8) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (–1; 3; -5) ወደ ሁለት አውሮፕላኖች ቀጥ ያለ 4 x – 2y + 3ዝ- 1 = 0 እና 5 x + ዝ+ 9 = 0፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
15. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(7፤ 2፤ 5) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (3; -2; 11) ከሁለት ቀጥታ መስመሮች ጋር ትይዩ 
እና 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
16. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(3፤ 1፤ 6) ወደ አውሮፕላን አር, በመስመሩ ውስጥ ማለፍ 
ወደ -8 አውሮፕላን ቀጥ ያለ x + 3y + 5ዝ- 1 = 0, እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታዎች ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
17. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(3; 6; -6) ወደ አውሮፕላን አርበሁለት ነጥቦች ውስጥ ማለፍ ኤም 1 (2፤ 4፤ -5) እና ኤም 2 (2; 5; -6) ከቬክተር ጋር ትይዩ 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
18. ከነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(–2; -1; 7) ወደ አውሮፕላን አርበሁለት ትይዩ መስመሮች ውስጥ ማለፍ 
እና 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
19. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(2፤ 1፤ 6) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (-1; -4; 8) ከሁለት ቬክተር ጋር ትይዩ 
እና 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
20. ርቀቱን ከአንድ ነጥብ አስላ ኬ(1; 3; 1) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (5፤2፤–2) እና ቀጥታ መስመር 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
21. ርቀቱን ከአንድ ነጥብ አስላ ኬ(6፤ 3፤ 3) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (4; -3; 5) ከቬክተር ጋር ትይዩ 
እና ከአውሮፕላኑ ጋር ቀጥ ብሎ 7 x + 4y + 3ዝ- 2 = 0, እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታዎች ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
22. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(–3፤ 5፤ 3) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (-3; 1; 2) ወደ ቀጥታ መስመር ቀጥ ያለ 
እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
23. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(1; -2; 4) ወደ አውሮፕላን አር, በመስመሩ ውስጥ ማለፍ 
ከቬክተር ጋር ትይዩ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
24. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(7፤ 2፤ 5) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም x + 3y – 4ዝ+ 8 = 0 እና y + ዝ አርከነጥብ ኬ.
25. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(–1፤ 4፤ -3) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (4; -5; -2) ከሁለት ቀጥታ መስመሮች ጋር ትይዩ 
እና 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
26. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(–1; -1; -9) ወደ አውሮፕላን አር, በመስመሩ ውስጥ ማለፍ 
ወደ አውሮፕላን ቀጥ ያለ 3 x + ዝ+ 4 = 0፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
27. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(–6; -1; -4) ወደ አውሮፕላን አርበሁለት ነጥቦች ውስጥ ማለፍ ኤም 1 (–1፤ 2፤ -6) እና ኤም 2 (4; -1; 2) ከቬክተር ጋር ትይዩ 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
28. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(2; 3; -3) ወደ አውሮፕላን አርበሁለት ትይዩ መስመሮች ውስጥ ማለፍ 
እና 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
29. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(–2፤ 3፤ -1) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (1; -2; 3) ከሁለት ቬክተር ጋር ትይዩ 
እና፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታዎች ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
30. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(0; -1; -2) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (3; -3; -5) እና ቀጥታ 
፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
31. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(0; 2; -1) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (-1; 1; -2) ከቬክተር ጋር ትይዩ 
እና ወደ አውሮፕላን 2 x + 5y+ 6 = 0፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
32. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(2፤ 4፤ 1) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (5; 2; -4) ቀጥታ ወደ ቀጥታ መስመር 
እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
33. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(4; -2; 3) ወደ አውሮፕላን አር, በመስመሩ ውስጥ ማለፍ 
ከቬክተር ጋር ትይዩ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
34. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(7; 2; -4) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (2; -4; 1) ወደ ሁለት አውሮፕላኖች ቀጥ ያለ 4 x + 3y – 4ዝ+ 8 = 0 እና y + ዝ- 3 = 0፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
35. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(–3; -2; -5) ወደ አውሮፕላን አር, ነጥቡን በማለፍ ኤም 0 (1; 4; -3) ከሁለት ቀጥታ መስመሮች ጋር ትይዩ 
እና፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታዎች ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
36. ከአንድ ነጥብ ርቀትን አስሉ ኬ(2; -4; 1) ወደ አውሮፕላን አር, በመስመሩ ውስጥ ማለፍ 
ከአውሮፕላን ጋር ቀጥ ብሎ 7 x – 4y- 3 = 0፣ እና በአውሮፕላን ላይ የወደቀውን ቀጥ ያለ እኩልታ ይፃፉ አርከነጥብ ኬ.
4. በአውሮፕላን ላይ በቀጥታ።
1. የተሰጡ እኩልታዎች 2 X + 7በ- 4 = 0 እና 4 X – 5በ+ 30 = 0 የአንድ ትይዩ እና የአንድ ነጥብ ሁለት ተያያዥ ጎኖች ኤም(–6፤ 5) የዲያግራኖቹ መገናኛ። የሌሎቹን ሁለት ጎኖች እኩልታዎች እና የትይዩ ሰያፎችን ይፃፉ።
2. የጎኖቹን እኩልታዎች ይፃፉ እና የ rhombus ጫፎች መጋጠሚያዎችን ያስሉ ፣ አንዱን ጫፎች በማወቅ ሀ(6; -1)፣ ነጥብ ኦ(0፤ 1) የሰያፍ እና የነጥብ መገናኛ ኤፍ(2፤ 3) በአንደኛው በኩል።
3. በአራት ማዕዘን ውስጥ ኤ ቢ ሲ ዲእኩልታዎች ተሰጥተዋል X + 3በ- 17 = 0 እና X + 3በ+ 3 = 0 ከሁለቱ ጎኖቹ እና እኩልታው X + 7በ- 37 = 0 ሰያፍ. የሌሎቹን ሁለት ጎኖች እኩልታዎች እና የአራት ማዕዘኑ ሁለተኛ ዲያግናል ይፈልጉ።
4. ሁለት ተሰጥቷል ጋር(–3፤ 2) እና ዲ(1፤ 4) ትይዩ የሆኑ ጫፎች ኤ ቢ ሲ ዲእና ጊዜ ጥ(0; -1) የዲያግራኖቹ መገናኛ። ለሁሉም ጎኖች እኩልታዎችን ይፃፉ እና ከጫፉ ላይ ያለውን ቁመት ይፃፉ ሀወደ ጎን ፀሐይ parallelogram.
5. የቋሚዎቹን መጋጠሚያዎች አስሉ እና የ rhombus ጎኖች እኩልታዎችን ይፃፉ, እኩልታዎቹ የሚታወቁ ከሆነ. X – 7በ+ 38 = 0 እና X – 7በ+ 8 = 0 ከሁለቱ ጎኖቹ እና እኩልታው X – 2በ+ 8 = 0 ከአንዱ ዲያግኖሎች።
6. ሁለት ጫፎች ተሰጥተዋል ውስጥ(3፤7) እና ጋር(–11; -7) ትሪያንግል እና ነጥብ አር(4፤ 3) የከፍታዎቹ መገናኛ። የጎኖቹን እኩልታዎች እና ከሦስት ማዕዘኑ ሦስተኛው ጫፍ የተሳሉትን ሚዲያን ያዘጋጁ።
7. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ኢቢሲየተሰጠው: የጎን እኩልታ AB: X + በ+ 1 = 0 እና የሁለት ከፍታ እኩልታዎች፡- ኤኤን: 3X – 8በ+ 3 = 0 እና ቪኬ: 3X + 2በ+ 9 = 0. ከተሰጠው ጎን ተቃራኒውን ከጫፍ ላይ ያለውን የሽምግልና እኩልነት ይፃፉ.
8. የጫፎቹን መጋጠሚያዎች ይፈልጉ እና ለሦስት ማዕዘኑ ጎኖች እኩልታዎችን ይፍጠሩ ፣ አንዱን ጫፎች በማወቅ ሀ(1; 3) እና እኩልታ 4 X + 7በ- 1 = 0 እና X – 4በ- 13 = 0 ሁለት ከፍታ. የሶስተኛውን ቁመት እኩልነት ይፃፉ.
9. የተሰጡ እኩልታዎች X – 2በ – 4 = 0, 5X – በ+ 7 = 0 እና X + በ- 1 = 0 የሶስት ማዕዘን እና መካከለኛው ሁለት ጎኖች. የሶስተኛው የሶስተኛው ጎን እኩልታዎችን ይፃፉ እና ቁመቱ ወደዚህ ጎን ዝቅ ብሏል።
10. የሶስት ጎን ለጎን እኩልታዎችን ያዘጋጁ, አንዱን ጫፎች በማወቅ ውስጥ(–1፤ 5)፣ እንዲሁም የከፍታ እኩልታዎች 3 X + በ+ 5 = 0 እና መካከለኛ 3 X + 2በ+ 4 = 0 ከአንድ ጫፍ ተስሏል.
11. የጎን እኩልታዎችን ይፍጠሩ እና የ rhombus ጫፎች መጋጠሚያዎችን ያስሉ, አንዱን ጫፎች በማወቅ. ውስጥ(2፤ 1)፣ ነጥብ ኤስ(3፤ 3) የሰያፍ እና ነጥብ መገናኛ አር(1; 2) በአንደኛው በኩል (በአንጻሩ በኩል ማለፍ ውስጥ).
12. የተሰጡ እኩልታዎች X + 3በ + 7 = 0, 3X – 8በ+ 4 = 0 እና 4 X – 5በ- 6 = 0 የሶስት ማዕዘን እና መካከለኛው ሁለት ጎኖች. የሶስተኛው የሶስተኛው ጎን እኩልታዎችን ይፃፉ እና ቁመቱ ወደዚህ ጎን ዝቅ ብሏል።
13. በአራት ማዕዘን ውስጥ ኤ ቢ ሲ ዲየተሰጡ እኩልታዎች 4 X – በ+ 34 = 0 እና 4 X – በ- 17 = 0 ከሁለቱ ጎኖቹ እና እኩልታ 7 X + 11በ- 17 = 0 ሰያፍ. የሌሎቹን ሁለት ጎኖች እኩልታዎች እና የአራት ማዕዘኑ ሁለተኛ ዲያግናል ይፈልጉ።
14. ሁለት ጫፎች ተሰጥተዋል ጋር(–4; -4) እና ሀ(3; -3) ትሪያንግሎች እና ነጥብ ጥ(–1፤ 5) የከፍታዎቹ መገናኛ። የጎኖቹን እኩልታዎች እና ከሦስት ማዕዘኑ ሦስተኛው ጫፍ የተሳሉትን ሚዲያን ያዘጋጁ።
15. ሁለት ተሰጥቷል ዲ(4; 1) እና ሀ(–2፤ 3) ትይዩ የሆኑ ጫፎች ኤ ቢ ሲ ዲእና ጊዜ አር(1፤ 0) የዲያግራኖቹ መገናኛ። ለሁሉም ጎኖች እኩልታዎችን ይፃፉ እና ከጫፉ ላይ ያለውን ቁመት ይፃፉ ውስጥወደ ጎን ሲዲ parallelogram.
16. የጫፎቹን መጋጠሚያዎች ይፈልጉ እና ለሶስት ማዕዘኑ ጎኖች እኩልታዎችን ይፍጠሩ, አንዱን ጫፎች በማወቅ. ውስጥ(–3፤ 4) እና እኩልታዎች X – 5በ+ 4 = 0 እና 4 X – 3በ+ 5 = 0 ሁለት ከፍታዎች. የሶስተኛውን ቁመት እኩልነት ይፃፉ.
17. የቋሚዎቹን መጋጠሚያዎች አስሉ እና የ rhombus ጎኖች እኩልታዎችን ይፃፉ, እኩልታዎቹ የሚታወቁ ከሆነ 13. X – በ+ 28 = 0 እና 13 X – በ- 108 = 0 ከሁለቱ ጎኖቹ እና እኩልታ 3 X + 5በ- 4 = 0 ከአንዱ ዲያግራኖች ውስጥ።
18. የሶስት ጎን ለጎን እኩልታዎችን ይፍጠሩ, አንዱን ጫፍ በማወቅ ጋር(5፤ 2)፣ እንዲሁም የከፍታ 2 እኩልታዎች X – በ- 2 = 0 እና ሚዲያን X – በ= 0፣ ከአንድ ጫፍ የተወሰደ።
19. የተሰጡ እኩልታዎች 2 X + በ+ 5 = 0 እና 4 X + 7በ= 0 የሁለት አጎራባች ጎኖች ትይዩ እና አንድ ነጥብ ኤም(1; -2) የዲያግራኖቹ መገናኛ። የሌሎቹን ሁለት ጎኖች እኩልታዎች እና የትይዩ ሰያፎችን ይፃፉ።
20. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ኢቢሲየተሰጠው: የጎን እኩልታ ፀሐይ: 7X – 2በ+ 13 = 0 እና የሁለት ከፍታ እኩልታዎች፡- ኤስ.አር: 5X + 2በ- 1 = 0 እና BR: 3X – 5በ- 11 = 0. ከተሰጠው ጎን ተቃራኒውን ከጫፍ ላይ ያለውን የሽምግልና እኩልነት ይፃፉ.
21. በአራት ማዕዘን ውስጥ ኤ ቢ ሲ ዲእኩልታዎች ተሰጥተዋል X – በ+ 2 = 0 እና X – በ+ 6 = 0 ከሁለቱ ጎኖቹ እና እኩልታ 3 X – 7በ+ 26 = 0 ሰያፍ። የሌሎቹን ሁለት ጎኖች እኩልታዎች እና የአራት ማዕዘኑ ሁለተኛ ዲያግናል ይፈልጉ።
22. ሁለት ጫፎች ተሰጥተዋል ሀ(–10፤ 8) እና ውስጥ(11; 1) ሶስት ማዕዘን እና ነጥብ ኤን(5; -7) የከፍታዎቹ መገናኛ. የጎኖቹን እኩልታዎች እና ከሦስት ማዕዘኑ ሦስተኛው ጫፍ የተሳሉትን ሚዲያን ያዘጋጁ።
23. ሁለት ተሰጥቷል ሀ(2; -4) እና ውስጥ(4፤ 2) ትይዩ የሆኑ ጫፎች ኤ ቢ ሲ ዲእና ጊዜ ኦ(1; -1) የዲያግራኖቹ መገናኛ። ለሁሉም ጎኖች እኩልታዎችን ይፃፉ እና ከጫፉ ላይ ያለውን ቁመት ይፃፉ ጋርወደ ጎን ዓ.ም parallelogram.
24. የጫፎቹን መጋጠሚያዎች ይፈልጉ እና ለሶስት ማዕዘን ጎኖች እኩልታዎችን ይፍጠሩ, አንዱን እና ጫፎቹን በማወቅ. ጋር(–2; -4) እና እኩልታ 6 X + 5በ- 16 = 0 እና X + 2በ- 6 = 0 ሁለት ከፍታ. የሶስተኛውን ቁመት እኩልነት ይፃፉ.
25. የቋሚዎቹን መጋጠሚያዎች አስሉ እና የ rhombus ጎኖች እኩልታዎችን ይፃፉ, እኩልታዎቹ የሚታወቁ ከሆነ. X + 4በ+ 9 = 0 እና X + 4በ- 21 = 0 ከሁለቱ ጎኖቹ እና እኩልታው X – በ- ከአንዱ ሰያፍ 1 = 0።
26. የሶስት ጎን ለጎን እኩልታዎችን ይፍጠሩ, አንዱን ጫፎች በማወቅ ሀ(3; -7)፣ እንዲሁም የከፍታ 2 እኩልታዎች X + 3በ+ 5 = 0 እና መካከለኛ X + 3በ+ 7 = 0 ከአንድ ጫፍ ተስሏል.
27. የተሰጡ እኩልታዎች 3 X – 5በ+ 7 = 0 እና X + 5በ+ 9 = 0 የአንድ ትይዩ እና የአንድ ነጥብ ሁለት ተያያዥ ጎኖች አር(1፤ 0) የዲያግራኖቹ መገናኛ። የሌሎቹን ሁለት ጎኖች እኩልታዎች እና የትይዩ ሰያፎችን ይፃፉ።
28. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ኢቢሲየተሰጠው: የጎን እኩልታ ኤሲ: X – 3በ- 10 = 0 እና የሁለት ከፍታ እኩልታዎች፡- AQ: 3 X + በ= 0 እና ሲ.ኤም: X – 5በ- 4 = 0. ከተሰጠው ጎን ተቃራኒውን ከጫፍ ላይ ያለውን የሽምግልና እኩልነት ይፃፉ.
29. የጎን እኩልታዎችን ይፍጠሩ እና የ rhombus ጫፎች መጋጠሚያዎችን ያስሉ, አንዱን ጫፎች በማወቅ. ዲ(–4; 1)፣ ነጥብ ኤን( 2; – 1) የዲያግራኖች እና ነጥብ መገናኛ ቲ(–5; -1) በአንደኛው በኩል።
30. የተሰጡ እኩልታዎች X – በ + 4 = 0, 2X + 3በ- 17 = 0 እና በ- 3 = 0 የሶስት ማዕዘን እና መካከለኛው ሁለት ጎኖች. የሶስተኛውን የሶስተኛው ጎን እኩልታ ይፃፉ እና ቁመቱ ወደዚያ ጎን ወድቋል።
31. ሁለት ተሰጥቷል ውስጥ(–3፤ 1) እና ጋር(1; -4) ትይዩ የሆኑ ጫፎች ኤ ቢ ሲ ዲእና ጊዜ ኤን(2፤ 2) የዲያግራኖቹ መገናኛ። ለሁሉም ጎኖች እኩልታዎችን ይፃፉ እና ከጫፉ ላይ ያለውን ቁመት ይፃፉ ዲወደ ጎን AB parallelogram.
32. የጫፎቹን መጋጠሚያዎች ይፈልጉ እና ለሶስት ማዕዘን ጎኖች እኩልታዎችን ይፍጠሩ, አንዱን ጫፎች በማወቅ. ሀ(3; -3) እና እኩልታ 7 X – 4በ+ 2 = 0 እና X – 7በ+ 11 = 0 ሁለት ከፍታዎች. የሶስተኛውን ቁመት እኩልነት ይፃፉ.
33. የቋሚዎቹን መጋጠሚያዎች አስሉ እና የ rhombus ጎኖች እኩልታዎችን ይፃፉ, እኩልታዎቹ የሚታወቁ ከሆነ. X – 8በ+ 11 = 0 እና X – 8በ- 49 = 0 ከሁለቱ ጎኖቹ እና እኩልታ 2 X – በ- 8 = 0 ከአንዱ ዲያግራኖች ውስጥ።
34. የሶስት ጎን ለጎን እኩልታዎችን ያዘጋጁ, አንዱን ጫፎች በማወቅ ውስጥ(–9; -6)፣ እንዲሁም የከፍታ እኩልታዎች 4 X + በ+ 13 = 0 እና መካከለኛ 2 X – በ+ 5 = 0 ከአንድ ጫፍ ተስሏል.
35. የተሰጡ እኩልታዎች 7 X + 4በ+ 63 = 0 እና 3 X + 10በ+ 27 = 0 የአንድ ትይዩ እና የአንድ ነጥብ ሁለት ተያያዥ ጎኖች ኬ(–2; -5) የዲያግራኖቹ መገናኛ። የሌሎቹን ሁለት ጎኖች እኩልታዎች እና የትይዩ ሰያፎችን ይፃፉ።
36. በሶስት ማዕዘን ውስጥ ኢቢሲየተሰጠው: የጎን እኩልታ AB: X + በ+ 2 = 0 እና የሁለት ከፍታ እኩልታዎች፡- ኤኤን: 4X + በ+ 11 = 0 እና ቪዲ: 6X – በ+ 5 = 0. ከተሰጠው ጎን ተቃራኒውን ከጫፍ ላይ ያለውን የሽምግልና እኩልነት ይፃፉ.
5. በክፍሎች ውስጥ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ.
በነጥቡ በኩል ጋርበእሱ የተቋቋመው የሶስት ማዕዘኑ ስፋት እና የአስማሚው ዘንጎች እኩል እንዲሆኑ ቀጥ ያለ መስመር ይሳሉ። ኤስካሬ ክፍሎች.
| አማራጭ | |||||||||
| ጋር | –8; –9 | 2; –2 | 8; 3 | –4; 2 | 1; 2 | 6; 1 | –4; –5 | 9; –4 | –8; 6 |
| ኤስ፣ ካሬ ክፍሎች | 1,5 | ||||||||
| አማራጭ | |||||||||
| ጋር | 4; 3 | 2; –3 | 2; –9 | –3; 8 | 6; 6 | 5; –6 | –2; 2 | 4; 4 | –3; 2 |
| ኤስ፣ ካሬ ክፍሎች | 1,5 | 7,5 | 1,5 | ||||||
| አማራጭ | |||||||||
| ጋር | 2; 4 | –8; 1 | –6; –2 | 8; –5 | 1; –4 | 4; 6 | 4; –1 | 6; 8 | –2; –6 |
| ኤስ፣ ካሬ ክፍሎች | |||||||||
| አማራጭ | |||||||||
| ጋር | 8; –1 | –4; 3 | –8; –2 | 5; –4 | 6; 5 | –5; –8 | 3; 2 | 8; 3 | 4; –2 |
| ኤስ፣ ካሬ ክፍሎች | 7,5 |
6. ቬክተርን በአንድ ማዕዘን አሽከርክር።
1. የካሬው ሁለት ጎኖች እኩልታዎች ከተሰጡ፡ x – 3y+ 8 = 0 እና x – 3y- 2 = 0. ነጥቡ እስካልሆነ ድረስ ለሌሎች ሁለት ጎኖቹ እኩልታዎችን ይጻፉ ሀ(-6, -6) በዚህ ካሬ ጎን ላይ ይተኛል.
2. ነጥብ ለ(1፤ 4) ዲያግኖል በመስመር 3 ላይ የሚገኝ የአንድ ካሬ ጫፍ ነው። x – 4y- 12 = 0. የቀሩትን የካሬው ጫፎች መጋጠሚያዎችን ያግኙ.
3. ለ የቀኝ ሶስት ማዕዘንከላይ ጋር(4; -1) አጣዳፊ ማዕዘን ከአርክታን ጋር እኩል ነው 3 እና ኢ. ተቃራኒ እግር 2x + y- 2 = 0. የተቀሩትን የአራት ማዕዘን ጫፎች መጋጠሚያዎች ያግኙ.
4. ሁለት ተሰጥቷል ተቃራኒ ጫፎችካሬ ሀ(5; 1) እና ጋር(–4፤ 2) የሌሎቹን ሁለት ጫፎች መጋጠሚያዎች ይፈልጉ እና የካሬውን ዲያግኖች እኩልታዎች ይፃፉ።
5. ከአንድ ነጥብ ኤፍ(0; -4) ጨረሩ በአርክታን 2 ወደ ቀጥታ መስመር 2 ይመራል። x – y+ 6 = 0. ከዚህ መስመር ላይ የተንጸባረቀውን የጨረር እኩልነት ይፈልጉ።
6. ነጥብ ጋር(-4, -5) የአንድ ካሬ ጫፍ ነው, ከጎኖቻቸው አንዱ በመስመሩ ላይ ነው x – 2y+ 4 = 0. የቀሩትን የካሬው ጫፎች መጋጠሚያዎችን ያግኙ.
7. የአራት ማዕዘን ቅርጾችን መጋጠሚያዎች ያግኙ isosceles triangleየ hypotenuse 2 እኩልታዎችን ማወቅ x – 3y- 5 = 0 እና ከላይ ቀኝ ማዕዘን ሀ(–1; 2).
8. የአንድ ካሬ ሁለት ጎኖች እኩልታዎች ተሰጥተዋል x + 2y- 9 = 0 እና x + 2y+ 6 = 0. ነጥቡ እስካልሆነ ድረስ ለሌሎች ሁለት ጎኖቹ እኩልታዎችን ይጻፉ ኤፍ(–4፤ 4) በዚህ ካሬ ጎን ይተኛል።
9. ነጥብ ጋር(2፤ 5) ዲያግኖል በመስመር 2 ላይ የሚገኝ የአንድ ካሬ ጫፍ ነው። x + 3y- 6 = 0. የተቀሩትን የካሬው ጫፎች መጋጠሚያዎችን ያግኙ.
10. በቋሚ ሶስት ማዕዘን ውስጥ ሀ(-9; 5) አጣዳፊ አንግል ከአርክታን5 እና ከተቃራኒው እግር ጋር እኩል ነው x + 2y+ 4 = 0. የተቀሩትን የአራት ማዕዘን ጫፎች መጋጠሚያዎች ያግኙ.
11. የአንድ ካሬ ሁለት ተቃራኒ ጫፎች ተሰጥቷል ውስጥ(–3፤ 1) እና ዲ(3፤ 3)። የሌሎቹን ሁለት ጫፎች መጋጠሚያዎች ይፈልጉ እና የካሬውን ዲያግኖች እኩልታዎች ይፃፉ።
12. ከአንድ ነጥብ ኤን(–8፤ 8) አንግል አርክታን 4 ወደ ቀጥታ መስመር 3 x – 2y- 12 = 0 ጨረር ተመርቷል. ከዚህ መስመር የተንጸባረቀውን የጨረር እኩልታ ያግኙ።
13. ነጥብ ዲ(–5፤ 1) የአንድ ካሬ ጫፍ ነው፣ ከጎኖቹ አንዱ በመስመሩ ላይ ነው። x + 2y- 7 = 0. የተቀሩትን የካሬው ጫፎች መጋጠሚያዎችን ያግኙ.
14. የ hypotenuse 2 ን እኩልነት በማወቅ የቀኝ isosceles triangle ጫፎች መጋጠሚያዎችን ይፈልጉ። x + 3y= 0 እና የቀኝ ማዕዘን ጫፍ ውስጥ(3; 5).
15. የካሬ 4 ሁለት ጎኖች እኩልታዎች ከተሰጡ x + y+ 33 = 0 እና 4 x + y- 18 = 0. ነጥቡ እስካልሆነ ድረስ ለሌሎች ሁለት ጎኖቹ እኩልታዎችን ይፃፉ ኤን(–1፤ 5) በዚህ ካሬ ጎን ይተኛል።
16. ነጥብ ዲ(–8፣ –5) ዲያግራኑ በመስመር 3 ላይ የሚገኝ የካሬው ጫፍ ነው። x + 5y+ 15 = 0. የተቀሩትን የካሬው ጫፎች መጋጠሚያዎችን ያግኙ.
17. በቋሚ ሶስት ማዕዘን ውስጥ ውስጥ(5; 1) አጣዳፊ አንግል ከ arctan2 ጋር እኩል ነው እና የተቃራኒው ጎን እኩልነት 2 ነው x – y+ 6 = 0. የተቀሩትን የሶስት ማዕዘን ጫፎች መጋጠሚያዎች ያግኙ.
18. የአንድ ካሬ ሁለት ተቃራኒ ጫፎች ተሰጥቷል ጋር(6፤ 2) እና ሀ(–5፤ 3) የሌሎቹን ሁለት ጫፎች መጋጠሚያዎች ይፈልጉ እና የካሬውን ዲያግኖች እኩልታዎች ይፃፉ።
19. ከአንድ ነጥብ አር(1; 4) ጨረሩ ወደ ቀጥታ መስመር በማእዘን ይመራል x + 3y- 3 = 0. ከዚህ መስመር ላይ የተንጸባረቀውን የጨረር እኩልነት ያግኙ.
20. ነጥብ ሀ(2፤ 4) የአንድ ካሬ ጫፍ ነው፣ ከጎኑ አንዱ መስመር 7 ላይ ነው። x + 5y+ 40 = 0. የተቀሩትን የካሬው ጫፎች መጋጠሚያዎችን ያግኙ.
21. የ hypotenuse 11 እኩልታ በማወቅ የቀኝ isosceles triangle ጫፎች መጋጠሚያዎችን ይፈልጉ። x – 5y- 13 = 0 እና የቀኝ ማዕዘን ጫፍ ጋር(6; –4).
22. የካሬ 2 ሁለት ጎኖች እኩልታዎች ከተሰጡ x – 5y- 45 = 0 እና 2 x – 5y+ 13 = 0. ነጥቡ እስካልሆነ ድረስ ለሌሎች ሁለት ጎኖቹ እኩልታዎችን ይጻፉ አር(3; -2) በዚህ ካሬ ጎን ላይ ይተኛል.
23. ነጥብ ሀ(–1፣ -4) ዲያግኖል የሆነበት የካሬው ጫፍ ነው።
1. 137 ካሬ. ክፍሎች 2.10; 20. 3. 4. 
,
,
.
5. 
እና 
6. 
,
,
.
7. 
,
,
,
.
8. 
,
,
. 9.1) ምሰሶው እና ራዲየስ ላይ ማእከል ያለው ክብ 6. 2) ከፖሊው የሚወጣ ጨረሮች, በማእዘን ላይ ወደ ዋልታ ዘንግ ዘንበል. 3) ቀጥ ያለ መስመር ፣ ከዋልታ ዘንግ ጋር ቀጥ ያለ ፣ በላዩ ላይ አንድ ክፍል ቆርጦ ፣ ከፖሊው መቁጠር። 
. 4) በላይኛው ግማሽ አውሮፕላን ውስጥ የሚገኝ ቀጥ ያለ መስመር ፣ ከፖላር ዘንግ ጋር ትይዩ ፣ ከ 6 ጋር እኩል ርቀት ላይ ተዘርግቷል ። 5) መሃል ያለው ክበብ። 
እና ራዲየስ 3. 6) ክብ ከመሃል ጋር 
እና ራዲየስ 1. 10. ellipse 
,
,
,
,
. 11. ግትርነት 
.
,
,
. 12. ሃይፐርቦል 
. 13. ፓራቦላ፡ ለ) ሐ) 
14. ሀ) -7, ለ) -21, ሐ) -139, መ) -2. 15. 
.
16. 
.
17. 
,
,
,
.
18. -2. 19. -2. 20. 
.
21. 
.
22. 
,
.
23. 
,
.
24. 
,
.
25.
.
26. 
.
27. -29. 28. 
- ትክክል ሶስት. 29. 
ኩብ ክፍሎች 30. - 6.
31. .
32. .
33. .
34. 
.
35. 
.
36. 
.
37. 
እና 
..
38. 
.
39. 
.
40. 
.
41. 
.
42. 
.
43. 
.
44. 
.
45. 1) 
,
2) 
,
3) 
,
4) ,
5) 
.
47. 
,
.
48. 
፣ የት 
.
49. 
,
,
,
. 50. ሀ) 
ለ) 
.
51. 
,
,
.
52. ሀ) አዎ፣ ለ) አይሆንም። 53. 
- ማንኛውም ቁጥር. 54. አዎ. 55. ሀ) በአውሮፕላን ላይ ትንበያ ዩ
፣ ለ) ከዘንግ አንፃር አንፃራዊ ነፀብራቅ 
. 56. ኦፕሬተር 
መስመራዊ;
- በማትሪክስ መሠረት 
.
57. 
,
,
.
58. ኢጂንቫሉስ፡ 
,
,
, eigenvectors: ለ 
,
፣ የት 
; ለ 
,
፣ የት 
; ለ 
,
የት 
.
አማራጭ ቁጥር 23
በአውሮፕላኑ ላይ የትንታኔ ጂኦሜትሪ: በአውሮፕላኑ ላይ የትንታኔ ጂኦሜትሪ ቀላል ተግባራት; በአውሮፕላን ላይ ቀጥታ; በአውሮፕላኑ ላይ የሁለተኛ ትዕዛዝ መስመሮች
1. የአንድ ካሬ ሁለት ተያያዥ ጫፎች ተሰጥቷል ሀ(2፣ 1) እና ውስጥ(6, -1). አካባቢውን አስላ።
2. ሶስት ጫፎች ተሰጥተዋል ሀ(4, -6), ውስጥ(6, -6), ጋር(-1, 6) ትይዩ ኢቢሲዲ, አራተኛ ጫፍ ዲተቃራኒ ውስጥ. የዚህን ትይዩ ሰያፍ ርዝመት ይወስኑ።
3. የነጥቡን መጋጠሚያዎች ያግኙ ኤም 1 , የተመጣጠነ ነጥብ ኤም 2 (0፣ 1) በነጥቦቹ ውስጥ ከሚያልፈው መስመር አንፃር ሀ(8, 2), ውስጥ(5, 0).
4. የሶስት ማዕዘን ጫፎች ተሰጥቷል ሀ(4, 1), ውስጥ(1, –1), ጋር(5፣ 2) ለከፍታዎቹ እኩልታ ይጻፉ።
5. በነጥቦች የተገደበ ክፍል ሀ(7፣ 10) እና ውስጥ(13፣13)፣ በሦስት እኩል ክፍሎች ተከፍሏል። የመከፋፈያ ነጥቦችን መጋጠሚያዎች ይወስኑ.
6. ሁለት ጫፎች ተሰጥተዋል ሀ(–5፣ 2) እና ውስጥ(3, -2) ትሪያንግል ኢቢሲእና ጊዜ ኤን(2፣2) የከፍታዎቹ መገናኛ። የዚህን ትሪያንግል ጎኖች እኩልታዎች ይፃፉ.
7. ነጥብ ሀ(–2፣ 5) ዲያግራኑ በመስመሩ ላይ የተኛ የአንድ ካሬ ጫፍ ነው። 
. የዚህን ካሬ ጎኖች እኩልታዎች ይፃፉ.
8. የሶስት ማዕዘን ጎኖች እኩልታዎችን ይፍጠሩ ኢቢሲ,
ከአንዱ ጫፎች አንዱ ከተሰጠ ሀ(2፣ 8) እና የሁለት ሚዲያን እኩልታዎች 
,
.
ማስታወሻ. ነጥቡን ያረጋግጡ ሀ
እና ጊዜ ሀ
. ፍቀድ 
እና 
- በመገናኛዎች ላይ የሚገኙት የሶስት ማዕዘን ጫፎች 
እና 
በቅደም, እና ነጥቦች 
እና 
- የክፍሎች መካከለኛ ነጥቦች ABእና ኤሲበቅደም ተከተል. በመቀጠሌ የመንገዶቹን መጋጠሚያዎች ማግኘት ያስፇሌግዎታሌ ውስጥእና ጋርትሪያንግል. ነጥቦች ጀምሮ ኤምእና ጋርሚዲያን ላይ ተኛ 
፣ ያ 
. ከዚያም ከግንኙነት 
ማግኘት 
; ተጨማሪ የቁጥር እሴትን በመተካት 
ወደ ቀመር ለ 
, ማግኘት 
. ከዚያም በማወቅ 
እና 
, ማግኘት 
በቀመርው መሰረት 
. በመቀጠል, የቁጥር እሴቱን በመተካት 
ወደ ቀመር ለ 
, ማግኘት 
. ማወቅ 
እና 
, ከግንኙነት 
ማግኘት 
. በመጨረሻ ፣ የሁሉም የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች መጋጠሚያዎችን ማወቅ ፣ የጎኖቹን አጠቃላይ እኩልታዎች ያግኙ።
9. በፖላር መጋጠሚያዎች ውስጥ የትኞቹ መስመሮች እንደሚወሰኑ በሚከተሉት እኩልታዎች ይወስኑ (በሥዕሉ ላይ ይገንቧቸው)
ሀ) 
; ለ) 
; ቪ) 
; ሰ) 
;
መ) 
; ሠ) 
.
10. የትኛው መስመር በቀመር እንደሚወሰን ይወስኑ። በውስጡ መሃል ያለውን መጋጠሚያዎች ያግኙ, ከፊል-ዘንግ, eccentricity. ስዕል ይስሩ.
11. ለሃይፐርቦላ እኩልነት ይጻፉ እና የመሃል እና ከፊል ዘንግ መጋጠሚያዎችን ያግኙ, የሃይፐርቦላ የግራ ጫፍ በ ሞላላ ቀኝ ትኩረት ላይ እንደሆነ ከታወቀ:, የሃይፐርቦላ ቀኝ ጫፍ ላይ በሚሆንበት ጊዜ. የፓራቦላውን ጫፍ 
, የሃይፐርቦላ ግርዶሽ እኩል ነው 
.
12. የአንድ መስመር እኩልታ ይፍጠሩ, ለእያንዳንዱ ነጥብ ከነጥቡ ርቀት ሀ(1፣2) ከቀጥታ መስመር ሁለት እጥፍ ይርቃል 
. የትኛው መስመር እንደሆነ ይወስኑ; ስዕል ይስሩ.
13. መስመሩ የሚሰጠው በቀመር ነው። 
ቪ የዋልታ ስርዓትመጋጠሚያዎች
የሚያስፈልግ፡ ሀ) የሚጀምሩትን ነጥቦች በመጠቀም መስመር መገንባት 
ከዚህ በፊት 
እና መስጠት 
ክፍተቶች መካከል እሴቶች 
;
ለ) የዚህ መስመር እኩልታ በካርቴዥያ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ቅንጅት ስርዓት ውስጥ ያግኙ, ይህም መነሻው ከፖሊው ጋር ይጣጣማል, እና አወንታዊው ከፊል ዘንግ ከፖላር ዘንግ ጋር ይጣጣማል;
ሐ) የተገኘውን ስሌት በመጠቀም, የትኛው መስመር እንደሆነ ይወስኑ.
ቆራጮች። በጠፈር ላይ መሰረት. የቬክተር መጋጠሚያዎች
14. ወሳኙን አስሉ፡-
ሀ) በሶስት ማዕዘን ደንብ መሠረት;
ለ) ወደ መጀመሪያው ረድፍ አካላት መስፋፋት;
ሐ) ወደ ሁለተኛው ዓምድ አካላት መስፋፋት;
መ) ወደ ሦስት ማዕዘን ቅርፅ መቀነስ;
ሀ) 
ለ) 
፣ ቪ) 
፣ ሰ) 
.
15. ቬክተሮች ተሰጥተዋል፡- 
1 =(3,
-2, 1);
2 =(0,
-1, 3);
3 =(2,
4, 0);
=(-9፣4፣3) በተወሰነ መሰረት። የመጀመሪያዎቹ ሶስት ቬክተሮች እራሳቸው መሰረት እንደሚሆኑ እና የቬክተሩን መጋጠሚያዎች እንደሚያገኙ አሳይ 
በዚህ መሠረት.
3. በቬክተሮች ላይ የመስመር ስራዎች. በአንድ ዘንግ ላይ የቬክተር ትንበያ. ስካላር, ቬክተር እና የቬክተሮች ድብልቅ ምርቶች.
16. የዩኒት ቬክተር (ኦርታ) መጋጠሚያዎችን ይፈልጉ 
, ከቬክተር ጋር ኮዲሬክሽን 
=(7,
-4, 4).
17. ሁለት ቬክተሮች 
= (6፣ 2፣ -3) እና 
= (-1, -2, 2) በአንድ ነጥብ ላይ ይተገበራሉ. መጋጠሚያዎችን ያግኙ፡
ሀ) ኦርቶቭ 
እና 
ቬክተሮች 
እና 
;
ለ) ቬክተር 
+
;
ሐ) ቬክተር 
, በቬክተሮች መካከል ባለው ባለ ሁለት ማዕዘን አቅጣጫ ይመራል 
እና 
የሚለው ነው። 
.
18. የቬክተሩን ትንበያ ይፈልጉ 
= (2, 4, 3) በቬክተር አቅጣጫ 
.
19. የቬክተሩን ትንበያ ይፈልጉ 
በአንድ ዘንግ ፣ ከተጋጠሙትም መጥረቢያዎች ጋር አካል 
እና 
ማዕዘኖች 
እና ዘንግ ያለው 
obtuse አንግል 
.
20. ካሬ ተሰጥቷል ኤ ቢ ሲ ዲ
(የቁመቶች ስያሜ በሰዓት አቅጣጫ ይወሰዳል), የጎን ርዝመት 8. ነጥብ ነው. ስለእንዲቻል በካሬው አውሮፕላን ውስጥ ይመረጣል 
,
. አግኝ 
.
ሀ) የካርቴዥያን አራት ማዕዘን መጋጠሚያ ስርዓትን ያስተዋውቃል 
በአንድ ነጥብ ጀምሮ ስለስለዚህ ዘንግ 
በቬክተር በኩል ተመርቷል 
, እና ዘንግ 
ወደ ካሬው ቦታ ያመልክቱ;
ለ) ርዝመቱን በመቁጠር 
የካሬው ሰያፍ፣ (የፒታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም) ያንን ያረጋግጡ 
- አራት ማዕዘን ( 
), እና ስለዚህ 
;
ሐ) የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ 
, የቬክተሮች መጋጠሚያዎችን ያግኙ 
እና 
(በግልጽ 
), እኩልነትን በመጠቀም 
, የቬክተሩን መጋጠሚያዎች ያግኙ 
;
መ) የቬክተሮች መጋጠሚያዎችን ማወቅ 
እና 
, ማግኘት 
፣ የት 
, እና 
.
21. ቬክተሮች 
(0, -2, -4) እና 
ትይዩዎች ጎኖች ናቸው OASV. ነጥብ N የጎን መሃል ነው ፀሐይ. አግኝ 
.
22. ተሰጥቷል 
2,
3,
. አግኝ 
እና በቬክተሮች መካከል ያለው አንግል መጠን 
እና 
፣ ከሆነ 
.
23. የቬክተር ምርቱን መጋጠሚያዎች ያሰሉ 
እና ርዝመቱ 
፣ ከሆነ 
=(1,
3, 0), 
.
24. የሶስት ማዕዘን ጫፎች ተሰጥተዋል ኢቢሲ፡ ሀ(1, -1, 2),ውስጥ(2፣ 1፣ 0) እና ጋር(6፣ 3፣ 4)። የሶስት ማዕዘን ቦታን ይፈልጉ እና የቁመቱ ርዝመት ከጫፍ ወድቋል ሀ.
25. ቬክተር 
, orthogonal ወደ ዘንግ 
እና ቬክተር 
(-3፣4፣1) እና ከዘንግ ጋር ይመሰርታሉ 
ሹል ጥግ. የቬክተር መጋጠሚያዎችን ያግኙ 
፣ ከሆነ 
15.
26. በቬክተሮች ላይ የተገነባውን ትይዩ ቦታ ይፈልጉ 
እና 
፣ ከሆነ 
,
እና 
.
27. የቬክተሮች ድብልቅ ምርትን አስሉ 
,
(1,
-2, 0), 
(-1,
0, 2).
28. በትክክለኛው መሠረት 
ቬክተሮች ተሰጥተዋል- 
,
,
. እነዚህ ሶስት ቬክተሮች ኮፕላላር እንዳልሆኑ አሳይ; የቬክተር ትሪፕሌት አቅጣጫውን ያዘጋጁ 
.
29. የፒራሚድ ጫፎቹን መጠን አስሉ ሀ(1, 2, 1), ውስጥ(–2, 3, –3), ጋር(1, 3, 3), ዲ(2, 1, -3).
30. ቬክተር 
ወደ ቬክተሮች ቀጥ ያለ 
እና 
. አስላ 
፣ ከሆነ 
,
,
1,
4, እና ሦስቱ ቬክተሮች ናቸው 
- ግራ.
4. በጠፈር ውስጥ የትንታኔ ጂኦሜትሪ: አውሮፕላን እና ቀጥታ መስመር በጠፈር; ሁለተኛ ደረጃ ወለል
31. ነጥብ M 0 (1, 2, -1) የሚያልፈውን አውሮፕላን ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ የሆነ ቀመር ይፍጠሩ 
.
32. በነጥብ M 0 (3, 4, 0) እና ቀጥታ መስመር ውስጥ ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ ይፍጠሩ. 
.
33. በመስመር ላይ ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ ይጻፉ 
ወደ አውሮፕላኑ ቀጥ ብሎ 
.
34. በነጥብ M 0 (3, 0, 2) በኩል ወደ ሁለት አውሮፕላኖች ለሚያልፍ አውሮፕላን እኩልታ ይፍጠሩ. 
እና.
35. ርቀቱን ያግኙ 
ከ M 0 (2, 2, -1) ወደ አውሮፕላኑ.
36. የሶስት ማዕዘን ጫፎች ተሰጥተዋል ሀ(2, 2, -1), ውስጥ(4, 3, 1), ጋር(2, -3, -2). የውስጠኛው አንግል የቢስሴክተር ቀኖናዊ እኩልታዎችን በቋሚው ላይ ያዘጋጁ ውስጥ.
37. ዘንግ ላይ 
ከአውሮፕላኑ ርቀት ላይ የሚገኙትን የነጥቦች መጋጠሚያዎች ያግኙ 
=2.
38. ነጥቡን M 0 (1, 2, -1) የሚያልፈውን የመስመር ቀኖናዊ እኩልታዎች, ከመስመሩ ጋር ትይዩ, 
,
,
.
39. የመስመሩን መገናኛ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ 
እና አውሮፕላኖች 
.
40. የአንድ ነጥብ ትንበያ ይፈልጉ አር(3፣ 3፣ 0) ወደ ቀጥታ መስመር 
,
+1,
.
41. የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ ጥ፣ የተመጣጠነ ነጥብ አር(3፣ 3፣ 4) ከአውሮፕላኑ አንጻር 
.
42. የአንድ ነጥብ መጋጠሚያዎችን ያግኙ ጥ፣ የተመጣጠነ ነጥብ አር(5፣2፣4) ከቀጥታ መስመር አንፃር 
.
43. ርቀትን አስሉ 
ከነጥብ አር(1, -2, -2) ወደ ቀጥታ መስመር 
.
44. የመስመሩን ቀኖናዊ እኩልታዎች ያግኙ 
ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ በሆነው ነጥብ M 0 (5, 1, 7) በኩል የሚያልፍ እና መስመሩን የሚያቋርጥ 
.
ማስታወሻ. የእርምጃዎች ቅደም ተከተል ተጠቀም:
ሀ) የአውሮፕላኑን እኩልነት ይፍጠሩ 
ነጥብ M 0 ማለፍ ፣ ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ 
;
ለ) የመስመሩን መገናኛ ነጥብ M 1 መጋጠሚያዎችን ያግኙ 
ከአውሮፕላን ጋር 
(ችግር 39 ይመልከቱ);
ሐ) ነጥቦቹን M 0 እና M 1 የሚያልፈውን የመስመር ቀኖናዊ እኩልታዎችን ያቀናብሩ።
45. የፒራሚዱ ጫፎች መጋጠሚያዎች ተሰጥተዋል ሀ 1 (–1, 3, 3), ሀ 2 (4, 2, 4), ሀ 3 (2፣ 0፣ 1)፣ A 4 (3፣ 3፣ 5)። አግኝ፡
የጎድን አጥንቶች መካከል አንግል ሀ 1 ሀ 2 እና ሀ 1 ሀ 4 ;
የጠርዝ ማዕዘን ሀ 1 ሀ 4 እና ጠርዝ ሀ 1 ሀ 2 ሀ 3 ;
የአንድ መስመር እኩልታ ሀ 1 ሀ 2 ;
የአውሮፕላን እኩልነት ሀ 1 ሀ 2 ሀ 3 ;
5) የቁመቱ እኩልነት ከጫፍ ወድቋል ሀ 4 ወደ አፋፍ ሀ 1 ሀ 2 ሀ 3 .
46. በገጽታ የታሰረ የሰውነት ንድፍ ይገንቡ፡-
ሀ) 
,
,
(
).
ለ) 
,
,
.
5. የመስመራዊ አልጀብራ ንጥረ ነገሮች: የመስመሮች እኩልታዎች ስርዓቶች; ማትሪክስ; መስመራዊ የቬክተር ቦታ; መስመራዊ ኦፕሬተሮች
47. የጋውስ ዘዴን በመጠቀም የመስመራዊ እኩልታዎችን ስርዓት መፍታት
48. ከማትሪክስ ጋር የሚጓዙትን ሁሉንም እውነተኛ ማትሪክስ ያግኙ 
.
49. የት ማትሪክስ ያግኙ
ሀ= 
፣ ቪ= 
፣ ሐ = 
.
50. የማትሪክስ ደረጃን ያግኙ:
ሀ) 
; ለ) 
.
51. የመስመራዊ እኩልታዎች ስርዓት ተሰጥቷል
ተኳሃኝነትን ያረጋግጡ እና በሦስት መንገዶች ይፍቱ።
ሀ) የጋውስ ዘዴ;
ለ) በማትሪክስ ስሌት;
ሐ) በ Cramer ቀመሮች መሠረት.
52. እውነተኛ መስመራዊ ቦታዎች ናቸው፡-
ሀ) የሁሉም ሁለተኛ ደረጃ እውነተኛ ማትሪክስ የቅጹ ስብስብ 
፣ የት 
;
ለ) የሁሉም ሁለተኛ ደረጃ እውነተኛ ማትሪክስ የቅጹ ስብስብ 
፣ የት 
.
53. ሁሉንም እሴቶች ያግኙ 
, ለዚህም ቬክተር 
በመስመራዊ በቬክተሮች ውስጥ ይገለጻል 
፣ ከሆነ 
=(1,
–2, 
),
=(-1,
-1, -1), 
=(1,
1, 2), 
=(2,
4, 6).
54. እንደሆነ እወቅ ይህ ሥርዓት vectors ከ 
በመስመር ላይ ጥገኛ? 
=(1,
2, 0, 1), 
=(2,
1, -1, -1), 
=(1,
2, 2, 2), 
=(3,
3, -1, 0).
55. በተራ ቦታ ላይ የተሰጡትን የመስመር ኦፕሬተሮች ድርጊት የጂኦሜትሪክ ትርጉም ይወቁ ኦሆዝ, የማን ማትሪክስ ከኦርቶዶክስ መሠረት አንጻራዊ ነው 
ቅጹ አላቸው፡-
ሀ) 
; ለ) 
.
56. በጠፈር ውስጥ አር 2
ሁሉም ዲግሪ ፖሊኖሚሎች 
ዓይነት 
፣ የት 
ኦፕሬተር 
እንደሚከተለው ይሰራል 
. ኦፕሬተሩ መሆኑን ያረጋግጡ 
መስመራዊ ነው እና ማትሪክሱን በመሠረቱ ውስጥ ያግኙ 
,
,
.
57. በተለመደው ቦታ, መስመራዊ ኦፕሬተር 
ከቀጥታ መስመር አንጻር ቬክተሮችን ያንጸባርቃል 
, እና መስመራዊ ኦፕሬተር 
በአውሮፕላኑ ላይ ቬክተሮችን በኦርቶዶክሳዊነት ያከናውናል 
. የመስመራዊ ኦፕሬተሮችን ማትሪክስ ያግኙ 
,
,
መሠረት ውስጥ 
.
58. በማትሪክስ በተወሰነው መሰረት የተገለጹትን የመስመር ለውጥ እሴቶችን እና ኢጂንቬክተሮችን ያግኙ። 
.
§ 14. የመስመር መደበኛ እኩልታ. ከአንድ ነጥብ ወደ መስመር ያለውን ርቀት የመወሰን ችግር
በአውሮፕላኑ ውስጥ ይውጡ xOyቀጥተኛ መስመር ተሰጥቷል. ወደዚህ መስመር በመጋጠሚያዎች አመጣጥ በኩል ቀጥ ብለን እንሳል እና መደበኛ ብለን እንጠራዋለን። እንጥቀስ
በኩል አርየመደበኛው መገናኛ ነጥብ ከተሰጠው መስመር ጋር እና ከነጥቡ የመደበኛውን አወንታዊ አቅጣጫ ያስቀምጡ ስለእስከ ነጥቡ አር.
a የመደበኛው የዋልታ አንግል ከሆነ ፣ ገጽ- የክፍሉ ርዝመት (ምስል 10), ከዚያም የዚህ ቀጥተኛ መስመር እኩልታ በቅጹ ውስጥ ሊጻፍ ይችላል
xcosα + ኃጢአት α - p = 0;
የዚህ ዓይነቱ እኩልታ መደበኛ ተብሎ ይጠራል.
አንዳንድ ቀጥተኛ እና የዘፈቀደ ነጥብ ይስጥ
ክፋት። 10 M*;የነጥቡን ርቀት በ d እንጥቀስ መ*ከዚህ መስመር. የነጥብ መዛባት መ*ከአንድ መስመር ላይ ቁጥር +d ይባላል , ከሆነ የተሰጠው ነጥብእና የመጋጠሚያዎች አመጣጥ አብሮ አለ። የተለያዩ ጎኖችከተሰጠው መስመር እና - እና፣የተሰጠው ነጥብ እና መነሻው በተሰጠው መስመር ተመሳሳይ ጎን ላይ ከሆነ. (በቀጥታ መስመር ላይ ለተቀመጡ ነጥቦች፣ = 0።)
x* መጋጠሚያዎች ከተሰጡ፣ y*ነጥቦች መ*እና የመስመሩ መደበኛ እኩልታ xcosα + ኃጢአትα -p = 0;ከዚያ መዛባት https://pandia.ru/text/79/428/images/image003_21.gif" width="15" height="19"> = X*cosα a + y * ኃጢአት α - አር.
ስለዚህ የማንኛውም ነጥብ M * ከተሰጠው ቀጥተኛ መስመር ልዩነት ለማግኘት, ያስፈልግዎታል ግራ ጎንየዚህ መስመር መደበኛ እኩልታ፣ አሁን ካለው መጋጠሚያዎች ይልቅ፣ የነጥቡን መጋጠሚያዎች ይተኩ M*.የተገኘው ቁጥር ከተፈለገው ልዩነት ጋር እኩል ይሆናል.
ርቀቱን d ከነጥብ ወደ መስመር ለመፈለግ ርቀቱን ማስላት እና ሞጁሉን መውሰድ በቂ ነው: d =
ከተሰጠ አጠቃላይ እኩልታቀጥ ያለ መስመር Аx+Bу+С=0, ከዚያም ወደ መደበኛው ቅጽ ለማምጣት, የዚህን እኩልነት ውሎች በሙሉ በመደበኛ ሁኔታ μ ማባዛት ያስፈልግዎታል. ., በቀመርው ይገለጻል።
የመደበኛነት ምልክት ምልክት ተመርጧል ተቃራኒ ምልክትየመደበኛው እኩልታ ነፃ ጊዜ።
309. ከሚከተሉት የመስመር እኩልታዎች ውስጥ የትኞቹ የተለመዱ እንደሆኑ ይወስኑ።
1) x- y-3=0; 2) EN-US style="color:black">x - y-1 = 0;
3) https://pandia.ru/text/79/428/images/image010_3.gif" width="21" height="41 src="> በ + 2 = 0; 4) -color:black">+color:black">- 2 = 0;
5) - X + 2 = 0; 6) X - 2 = 0; 7) በ + 2 = 0; 8) - በ - 2 = 0.
310. በእያንዳንዱ በሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ የመስመሩን አጠቃላይ እኩልታ ወደ መደበኛ ቅፅ ይቀንሱ።
1) 4X -3በ-10 = 0; 2) x -y+10 = 0;
3) 12X - 5በ + 13 = 0; 4) X + 2 = 0; 5) 2X - በ -= 0.
311. የመስመሮች እኩልታዎች ተሰጥተዋል-
1) X-2 = 0; 2) X + 2 = 0; 3) በ -3 = 0; 4) በ + 3 = 0;
5) x + በ-6 = 0; 6) X-በ+2 = 0; 7) X + በ+2 = 0;
8) x cos b -y ኃጢአት ለ - ቅ = 0, ቅ >0; b - አጣዳፊ ማዕዘን;
9) x cos b + y ኃጢአት ለ + ቅ = 0, ቅ > 0; b - አጣዳፊ ማዕዘን.
የመደበኛውን የዋልታ ማዕዘን ይወስኑሀ እና ክፍል አርለእያንዳንዱ እነዚህ መስመሮች; በተገኙት የመለኪያ እሴቶች ላይ በመመስረትሀ እና አርእነዚህን መስመሮች በስዕሉ ላይ ይሳሉ (በመጨረሻዎቹ ሁለት ጉዳዮች ላይ ቀጥ ያለ መስመርን በመቁጠር ይገንቡ b = 30 ° እና ቅ = 2).
312. የተዛባውን መጠን አስሉመ እና ርቀት መበእያንዳንዱ በሚከተሉት ሁኔታዎች ውስጥ ከቀጥታ መስመር ነጥቦች:
1)ሀ(2;-1)) 4X + 3በ+10 = 0;
2) ውስጥ(0; - 3), 5X-12በ-23=0;
3) አር(-2; 3), 3X -4በ -2 = 0;
4) ጥ(ል; -2), X-2በ -5 = 0.
313. ነጥቡ ውሸት መሆኑን ይወስኑ ኤም(1; -3) እና በእያንዳንዱ የሚከተሉት መስመሮች በአንዱ ወይም በተቃራኒ ጎኖች ላይ የመጋጠሚያዎች አመጣጥ:
1) 2X-በ + 5 = 0; 2) X -3በ -5 = 0; 3) 3X+2በ-1 = 0;
2) X-3በ+ 2 = 0; 5) 10X + 24በ+15 = 0.
314. ነጥብ ሀ(2; -5) የአንድ ካሬ ርዝመት ነው, ከጎኖቹ አንዱ ቀጥታ መስመር ላይ ነው
X - 2በ- 7 = 0.
የዚህን ካሬ ቦታ አስሉ.
315. የአራት ማዕዘን ሁለት ጎኖች እኩልታዎች ተሰጥተዋል
3X -2በ - 5 = 0, 2X + 3በ + 7 = 0
እና አንዱ ቁንጮዎቹ ሀ(-2፤ 1) የዚህን አራት ማዕዘን ቦታ አስሉ.
316. ቀጥ ያለ መሆኑን ያረጋግጡ
2X+በ+3 = 0
በነጥቦች የታሰረውን ክፍል ያቋርጣል ሀ(-5፤ 1) እና ውስጥ(3; 7).
317. ቀጥ ያለ መሆኑን ያረጋግጡ
2X -3በ+6 = 0
የመስመሩን ክፍል አያቋርጥም በነጥቦች የተገደበ M1 (- 2; -3) እና M2 (1; -2)።
318. የአራት ማዕዘን ተከታታይ ጫፎች ነጥቦች ናቸው ሀ(-3; 5), ውስጥ (- 1; -4), ሐ (7;- 1) እና ዲ(2፤ 9)። ይህ ባለአራት ጎን ሾጣጣ መሆኑን ይወስኑ።
319. የአራት ማዕዘን ተከታታይ ጫፎች ነጥቦች ናቸው ሀ(-1; 6), ለ(1; -3), ጋር(4፤ 10) እና ዲ(9; 0) ይህ ባለአራት ጎን ሾጣጣ መሆኑን ይወስኑ።
320. የሶስት ማዕዘኑ ጫፎች ሲሰጡ፡- ሀ(-10; -13), ውስጥ (- 2; 3) እና ጋር(2፤ 1) ከወርድ የወረደ ቀጥ ያለ ርዝመት አስላ ውስጥከጫፍ ወደ ተሳለው መካከለኛ ጋር።
321. ጎኖች AB, ፀሐይእና ኤስ.ኤትሪያንግል ኢቢሲበቅደም ተከተል የተሰጡ ናቸው
X+ 21በ - 22 = 0, 5X- 12በ+ 7 = 0, 4X - 33በ+ 146 = 0.
ከዚህ ትሪያንግል የስበት ኃይል መሃል ወደ ጎን ያለውን ርቀት አስላ ፀሐይ.
322. ርቀትን አስሉ መበሚከተሉት ሁኔታዎች በእያንዳንዱ በትይዩ መስመሮች መካከል
1) 3X -4በ-10 = 0, 2) 5X-12በ + 26 = 0,
6X -8በ+ 5 = 0; 5X-12በ-13 = 0;
3) 4X - 3በ+ 15 = 0, 4) 24X-10በ + 39 = 0,
8X-6በ+ 25 = 0; 12X -2በ -26 = 0.
323. የአንድ ካሬ ሁለት ጎኖች ቀጥታ መስመሮች ላይ ይተኛሉ
5X- 12በ - 65 = 0, 5X- 12በ + 26 = 0.
አካባቢውን አስላ።
324. መስመሩን አረጋግጥ
5X- 2በ- 1 = 0
ከቀጥታ መስመሮች ጋር ትይዩ
5X -2በ + 7 = 0, 5X -2በ-9 = 0
እና በመካከላቸው ያለውን ርቀት በግማሽ ይከፍላል.
325. ሶስት ትይዩ መስመሮች ተሰጥተዋል
10X+15በ -3 = 0, 2X+3በ + 5 = 0, 2X+3በ -9 = 0.
ከመካከላቸው የመጀመሪያው በሁለቱ መካከል እንዳለ ያረጋግጡ እና በመካከላቸው ያለውን ርቀት የሚከፋፍልበትን ሬሾን አስሉ።
326. በነጥብ አረጋግጥ ፒ (2; 7) ርቀታቸው ከቦታው እንዲደርስ ሁለት ቀጥታ መስመሮችን መሳል ይችላሉ ጥ(l; 2) እኩል ነበሩ 5. የእነዚህን መስመሮች እኩልታዎች ይጻፉ.
327. በነጥብ አረጋግጥ አር(2፤ 5) ከቦታው ርቀታቸው እንዲሄድ ሁለት ቀጥታ መስመሮች ሊደረጉ ይችላሉ ጥ(5; 1) እኩል ነበሩ 3. የእነዚህን መስመሮች እኩልታዎች ይጻፉ.
328. በነጥብ ያረጋግጡ ጋር(7; - 2) ከነጥቡ ርቀቱ እንዲኖር አንድ ቀጥተኛ መስመር ብቻ መሳል ይቻላል አ (4; - 6) እኩል ነበር 5. እኩልታውን ያዘጋጁ.
329. በነጥብ አረጋግጥ ውስጥ(4; -5) ከነጥቡ ርቀቱ እንዲችል ቀጥታ መስመር ለመሳል የማይቻል ነው ከ(- 2; 3) ከ 12 ጋር እኩል ነበር.
330. እኩልታውን ያውጡ ቦታከቀጥታ መስመር የሚያፈነግጡባቸው ነጥቦች 8 X-15በ- 25 = 0 እኩል -2.
331. የመስመሮች እኩልታዎችን ከመስመር 3 ጋር ይፃፉ X-4በ- 10 = 0 እና ከእሱ ርቀት ላይ ይገኛል መ=3.
332. የአንድ ካሬ ሁለት ተያያዥ ጫፎች ተሰጥቷል ሀ(2; 0) እና ውስጥ(-1; 4) ለጎኖቹ እኩልታዎችን ይፃፉ።
333. ነጥብ ሀ(5; -1) የአንድ ካሬ ጫፍ ነው, ከጎኖቹ አንዱ በመስመሩ ላይ ነው
4X - 3በ - 7 = 0.
የዚህ ካሬ ቀሪ ጎኖች የሚተኛበትን የመስመሮች እኩልታዎች ይፃፉ።
334. የአንድ ካሬ ሁለት ጎኖች እኩልታዎች ተሰጥተዋል
4X -3በ + 3 = 0, 4X-3በ-17 = 0
እና አንዱ ቁንጮዎቹ ሀ(2፤ -3)። ለሌሎቹ የዚህ ካሬ ሁለት ጎኖች እኩልታዎችን ይፃፉ።
335. የአንድ ካሬ ሁለት ጎኖች እኩልታዎች ተሰጥተዋል
5X+12በ-10 = 0, 5X+12በ+29 = 0.
ነጥቡ እስካልሆነ ድረስ ለሌሎች ሁለት ጎኖቹ እኩልታዎችን ይፃፉ ኤም 1 (-3፤ 5) በዚህ ካሬ ጎን ይተኛል።
336. የነጥብ መዛባት ኤምከቀጥታ
5X-12በ-13=0 እና 3 X -4በ-19 = 0
ከ - 3 እና - 5 ጋር እኩል ናቸው የነጥቡን መጋጠሚያዎች ይወስኑ ኤም.
337. በአንድ ነጥብ ውስጥ ለሚያልፍ መስመር እኩልታ ይጻፉ ፒ (-2; 3) ከነጥቦች እኩል ርቀት ሀ(5; - 1) እና ውስጥ(3; 7).
338. ከሁለት ትይዩ መስመሮች እኩል ርቀት ላለው የነጥቦች ቦታ እኩልታ ይፍጠሩ፡
1) 3X- በ+ 7 = 0, 2) X - 2በ + 3 = 0, 3) 5X - 2በ - 6 = 0,
3X- በ- 3 = 0; X -2በ + 7 = 0; X-4у + 3 = 0
339. በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ለተፈጠሩት የሁለት ማዕዘኖች እኩልታዎችን ይፃፉ።
1) X - 3በ + 5 = 0, 2) X - 2በ - 3 = 0, 3) 3X + 4በ - 1 = 0,
3X-በ -2 = 0; 2X + 4በ + 7 = 0; 5X+ 12በ - 2 = 0.
340. በአንድ ነጥብ ውስጥ የሚያልፉ የመስመሮች እኩልታዎችን ይፃፉ አር(2; -1) እና ከቀጥታ መስመሮች ጋር አንድ ላይ
2X- በ + 5 = 0, 3X + 6በ - 1 = 0
የ isosceles triangles ቅርፅ.
341. ነጥብ ይኑር አይኑር ይወስኑ ኤም(1; -2) እና የመጋጠሚያዎች አመጣጥ በአንድ, በአጠገብ ወይም ቋሚ ማዕዘኖችበሁለት መስመሮች መጋጠሚያ የተሰራ፡-
1) 2X-በ -5 = 0, 2) 4X+3በ-10 = 0, 3) X - 2በ- 1=0,
3X+በ+10 = 0; 12X-5በ -5 = 0; 3X-በ -2 = 0.
342. ነጥቦቹ ውሸት መሆናቸውን ይወስኑ ኤም(2፤ 3) እና ኤን(5; -1) በአንደኛው ፣ በአጠገብ ወይም በአቀባዊ ማዕዘኖች በሁለት ቀጥተኛ መስመሮች መጋጠሚያዎች በተፈጠሩት ።
1) X-3በ-5 = 0, 2)2X+7በ -5 = 0, 3) 12X+በ- 1=0,
2X+9በ -2 = 0; X + 3በ + 7 = 0; 13X + 2በ-5 = 0.
343. መነሻው በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ ወይም ከውስጥ የሚገኝ መሆኑን ይወስኑ ጎኖቹ በእኩዮቹ የተሰጡ ናቸው.
7X -5በ-11=0, 8X+ 3በ+ 31=0, X + 8በ-19 = 0.
344. አንድ ነጥብ ይዋሻል እንደሆነ ይወስኑ ኤም(- 3; 2) በሦስት ማዕዘኑ ውስጥም ሆነ ከውጭ ጎኖቹ በእኩዮቹ የተሰጡ ናቸው።
X + በ -4 = 0, 3X - 7በ + 8 = 0, 4X - በ - 31 = 0.
345. በሁለት ቀጥታ መስመሮች የተፈጠሩትን ማዕዘኖች, አጣዳፊ ወይም ግልጽ የሆኑትን ይወስኑ
3X - 2በ + 5 = 0 እና 2 X + በ - 3 = 0,
መነሻውን ይዟል።
346. በሁለት ቀጥታ መስመሮች የተሠሩትን ማዕዘኖች, አጣዳፊ ወይም ግልጽ የሆኑትን ይወስኑ
3X -5በ-4 = 0 እና X + 2በ + 3 = 0,
ነጥብ ይዟል ኤም(2; - 5).
347. በመስመሮች 3 መካከል ላለው የሁለትዮሽ አንግል እኩልታ ይፃፉ X-ዋይ - 4=0 እና 2 X+6በ+3 = 0፣ ይህም የመጋጠሚያዎች መነሻው የሚገኝበት ነው።
348.
X-7y+5= 0, 5x+ 5ዋይ - 3 = 0,
መነሻውን ከያዘው አንግል አጠገብ.
349. በመስመሮች መካከል ላለው አንግል ባለ ሁለትዮሽ እኩልታ ይፃፉ X + 2በ-11 = 0 እና 3 X - 6በ- 5 = 0, ነጥቡ የሚገኝበት ኤም (1;-3).
350. በመስመሮች መካከል ላለው አንግል ባለ ሁለትዮሽ እኩልታ ይፃፉ
2X - 3በ - 5 = 0, 6X - 4በ+ 7 = ኦ!
ነጥቡን ከያዘው አንግል አጠገብ ሐ (2;-1).
351. የቢስክተሩን እኩልታ ይፃፉ አጣዳፊ ማዕዘን, በሁለት ቀጥታ መስመሮች የተሰራ
3x+4y -5 = 0, 5X-12በ+3 = 0.
352. የቢስክተሩን እኩልታ ይፃፉ obtuse አንግል, በሁለት ቀጥታ መስመሮች የተሰራ X- 3በ+ 5 = 0, 3X- በ+15 = 0.