ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች ከሦስተኛው አውሮፕላን ጋር የሚገናኙባቸው መስመሮች። የአውሮፕላኖች ትይዩነት: ሁኔታ እና ባህሪያት

የትምህርት ዓላማዎች፡-

• ትይዩ አውሮፕላኖች ጽንሰ-ሐሳብ ያስተዋውቁ.
• የአውሮፕላኖችን ትይዩነት ምልክት እና የትይዩ አውሮፕላኖችን ባህሪያት የሚገልጹ ቲዎሪዎችን ያስቡ እና ያረጋግጡ።
• ችግሮችን ለመፍታት የነዚህን ቲዎሬሞች አተገባበር ይከታተሉ።

የትምህርት እቅድ (በቦርዱ ላይ ይፃፉ)

I. የዝግጅት የቃል ሥራ.

II. አዲስ ቁሳቁስ መማር;

1. በጠፈር ውስጥ የሁለት አውሮፕላኖች አንጻራዊ አቀማመጥ.
2. ትይዩ አውሮፕላኖችን መወሰን.
3. ትይዩ አውሮፕላኖች ምልክት.
4. ትይዩ አውሮፕላኖች ንብረት.

III. የትምህርቱ ማጠቃለያ።

IV. የቤት ስራ.

በክፍሎች ወቅት

I. የቃል ሥራ

ትምህርቱን ከቻዳየቭ የፍልስፍና ደብዳቤ ጥቅስ ልጀምር።

“ይህ ተአምራዊ የሒሳብ ትንተና ኃይል ከየት ይመጣል? እውነታው ግን እዚህ ያለው አእምሮ የሚሠራው ለዚህ ደንብ ሙሉ በሙሉ በመገዛት ነው።

ይህንን ለደንቡ መታዘዝ በሚቀጥለው ተግባር እንመለከታለን። አዲስ ነገር ለመማር አንዳንድ ጥያቄዎችን መድገም ያስፈልግዎታል። ይህንን ለማድረግ ከነዚህ መግለጫዎች ውስጥ የሚከተለውን መግለጫ ማዘጋጀት እና መልስዎን ማረጋገጥ አለብዎት.

II. አዲስ ቁሳቁስ መማር

1. ሁለት አውሮፕላኖች በጠፈር ውስጥ እንዴት ሊቀመጡ ይችላሉ? የሁለቱም አውሮፕላኖች ስብስብ ምንድ ነው?

መልስ፡-

ሀ) መገጣጠም (ከዚያ እኛ ከአንድ አውሮፕላን ጋር እንገናኛለን ፣ አጥጋቢ አይደለም);
ለ) መቆራረጥ,;
ሐ) አታቋርጡ ( የጋራ ነጥቦችበፍፁም አይደለም).

2. ፍቺ፡ ሁለት አውሮፕላኖች ካልተገናኙ, ከዚያም ትይዩ ይባላሉ

3. ስያሜ፡

4. ከአካባቢው ትይዩ አውሮፕላኖች ምሳሌዎችን ይስጡ

5. በጠፈር ውስጥ ያሉ ሁለት አውሮፕላኖች ትይዩ መሆናቸውን እንዴት ማወቅ ይቻላል?

መልስ፡-

ትርጉሙን መጠቀም ይችላሉ, ግን ይህ ተገቢ አይደለም, ምክንያቱም የአውሮፕላኖችን መገናኛ ለመመስረት ሁልጊዜ አይቻልም. ስለዚህ, አውሮፕላኖቹ ትይዩ መሆናቸውን ለማረጋገጥ በቂ ሁኔታን ግምት ውስጥ ማስገባት ያስፈልጋል.

6. ሁኔታዎችን እንመልከት፡-

ለ) ከሆነ ?

ሐ) ከሆነ ?

ለምንድነው መልሱ ሀ) እና ለ) "ሁልጊዜ አይደለም"፣ ግን በሐ) "አዎ" የሚለው? (የተቆራረጡ መስመሮች አውሮፕላንን ልዩ በሆነ መንገድ ይገልጻሉ, ይህም ማለት ልዩ በሆነ መልኩ ይገለጻሉ!)

ሁኔታ 3 የሁለት አውሮፕላኖች ትይዩነት ምልክት ነው.

7. ቲዎሪ፡ የአንድ አውሮፕላን ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች በቅደም ተከተል ከሌላው አውሮፕላን ሁለት መስመሮች ጋር ትይዩ ከሆኑ እነዚህ አውሮፕላኖች ትይዩ ናቸው።

የተሰጠው፡

አረጋግጥ፡

ማረጋገጫ፡-

(ተማሪዎች በሥዕሉ ላይ ስያሜዎችን ይተገብራሉ።)

1. ማስታወሻ፡. በተመሳሳይ፡-
2. እንተኾነ፡ .
3. አለን። በተመሳሳይ፡-
4. እናገኛለን: በ M በኩል ከፕላኒሜትሪ አክሲየም ጋር ተቃርኖ አለ.
5. ስለዚህ: ትክክል ያልሆነ, ማለት, ወዘተ.

8. ቁጥር 51 ይፍቱ (ተማሪዎች በስዕሉ ላይ ምልክቶችን ይተገብራሉ).

የተሰጠው፡

አረጋግጥ፡

ማረጋገጫ፡-

1 መንገድ

1. እንገንባ

ዘዴ 2

በ በኩል ይግቡ።

9. ትይዩ አውሮፕላኖችን ሁለት ባህሪያትን እንመልከት፡-

ቲዎሪ፡ ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች በሦስተኛው ከተጠለፉ, የመስቀለኛ መንገዳቸው መስመሮች ትይዩ ናቸው.

(ተማሪዎቹ እራሳቸው ግንባታውን አጠናቅቀው በስዕሉ ላይ ምልክት ያድርጉበት).

የተሰጠው፡

የአውሮፕላኖች ትይዩነት, ባህሪያቱ እና አፕሊኬሽኖቹ ግምት ውስጥ ይገባል.

የሁለቱ መገኛ ቦታ ምስላዊ መግለጫ

አውሮፕላኖች በአጎራባች ግድግዳዎች ላይ ያሉትን አውሮፕላኖች ፣ የክፍሉን ጣሪያ እና ወለል ፣ የተደራረቡ አልጋዎችን ፣ ሁለት የታጠቁ ወረቀቶችን በመጠቀም ሞዴሊንግ ይሰጣሉ ።

አስማተኞች, ወዘተ (ምስል 242-244).

ቢኖርም ማለቂያ የሌለው ስብስብለተለያዩ አውሮፕላኖች አንጻራዊ አቀማመጥ አማራጮች ፣ ለወደፊቱ የትኛዎቹ የማዕዘን እና የርቀቶች መለኪያዎች ጥቅም ላይ እንደሚውሉ ለመለየት እና ለመለየት ፣ በመጀመሪያ ምደባው (እንዲሁም ከአውሮፕላኖች ጋር ቀጥታ መስመሮች) በቁጥር ላይ በተመሰረቱት ላይ እናተኩራለን ። የጋራ ነጥቦቻቸው.

1. ሁለት አውሮፕላኖች ቢያንስ አላቸው ሶስት የተለመዱበተመሳሳይ መስመር ላይ የማይዋሹ ነጥቦች. እንደነዚህ ያሉት አውሮፕላኖች ይጣጣማሉ (axiom C 2, §7).

2. የሁለት አውሮፕላኖች የጋራ ነጥቦች በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ ይገኛሉ, ይህም የእነዚህ አውሮፕላኖች መገናኛ መስመር (axiom C 3, §7) ነው. እንደነዚህ ያሉት አውሮፕላኖች እርስ በርስ ይገናኛሉ.

3. ሁለቱ አውሮፕላኖች የጋራ ነጥቦች የላቸውም.

ውስጥ በዚህ ጉዳይ ላይ ተጠርተዋልትይዩ -

ሁለት አውሮፕላኖች የጋራ ነጥቦች ከሌላቸው ትይዩ ይባላሉ.

የአውሮፕላን ትይዩነት በምልክቱ ይገለጻል ||: α || β.

እንደ ሁልጊዜው, ሲያስተዋውቅ የጂኦሜትሪክ ጽንሰ-ሐሳቦችተነሳ

በመኖራቸው ምንም ችግር የለበትም. የመገጣጠሚያዎች መኖር-

Xia አውሮፕላኖች ናቸው ባህሪይ ባህሪቦታ፣

እና ይህንን ብዙ ጊዜ ተጠቅመናል. ያነሰ ግልጽ ነው

ትይዩ አውሮፕላኖች መኖራቸው ይገለጣል. የለም

ይጠራጠራሉ, ለምሳሌ, ተቃራኒ ግራፎች አውሮፕላኖች

ኩቦች ትይዩ ናቸው, ማለትም, አይገናኙም. ግን በቀጥታ

በእርግጥ, በትርጉም, ይህ ሊመሰረት አይችልም. ለመፍታት

ለተነሳው ጥያቄ ግንዛቤ, እንዲሁም ሌሎች ተያያዥ ጉዳዮች

የአውሮፕላኖች ትይዩነት, የትይዩነት ምልክት መኖሩ አስፈላጊ ነው.

ምልክትን ለመፈለግ አውሮፕላንን ግምት ውስጥ ማስገባት ተገቢ ነው.

ከቀጥታ መስመሮች "የተሸመነ". እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር አንዱ እንደሆነ ግልጽ ነው

ትይዩ አውሮፕላኖች ከሌላው ጋር ትይዩ መሆን አለባቸው.

ውስጥ አለበለዚያአውሮፕላኖቹ የጋራ ነጥብ ይኖራቸዋል. ይበቃል

አውሮፕላኑ β በትክክል ከተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር α ጋር ትይዩ ነውን?

ስለዚህ አውሮፕላኖች α እና β ትይዩ ናቸው? በፍጹም

ግን፣ አይደለም (ይህን አረጋግጡ!) ተግባራዊ ተሞክሮ እንደሚያሳየው

ሁለት እንደዚህ ያሉ የተጠላለፉ መስመሮች በቂ ናቸው. ለማስጠበቅ

በማስታወሻው ላይ ከመሬት ጋር ትይዩ የሆነ መድረክ አለ, ብቻ ያስቀምጡት

ከግንዱ ጋር በተያያዙ ሁለት ጨረሮች ላይ, ትይዩ
ምድራዊ (ምስል 245). ሌሎች ብዙ አሉ።
የዚህ አቅርቦት ዘዴ አጠቃቀም ምሳሌዎች
የእውነተኛ ጠፍጣፋ ንጣፎች ትይዩነት
ዕቃዎች (ይህን ይሞክሩ!)
ከላይ ያሉት ሐሳቦች ለመቅረጽ ያስችሉናል
የሚከተለውን መግለጫ lyrate.
		(ትይዩ አውሮፕላኖች ምልክት).
		የአንድ አውሮፕላን ቀጥታ መስመሮችን መቆራረጥ

አውሮፕላኖቹ ከሁለተኛው አውሮፕላን ጋር ትይዩ ከሆኑ, እነዚህ አውሮፕላኖች ትይዩ ናቸው.

 የአውሮፕላኑ α የተጠላለፉ መስመሮች a እና b ከአውሮፕላኑ β ጋር ትይዩ ይሁኑ። አውሮፕላኖቹ α እና β በተቃርኖ ትይዩ መሆናቸውን እናረጋግጥ። ይህንን ለማድረግ, አውሮፕላኖቹ α እና β ቀጥታ መስመር ላይ እንደሚገናኙ እናስብ

t (ምስል 246). መስመሮች a እና b እንደ ሁኔታው ​​መስመሮችን ማገናኘት አይችሉም. ሆኖም ግን, ከዚያም በአውሮፕላኑ ውስጥ α ሁለት ቀጥታ መስመሮች ከቀጥታ መስመር ጋር በማይገናኙበት አንድ ነጥብ በኩል ይሳሉ, ማለትም ከእሱ ጋር ትይዩ. ይህ ተቃርኖ ነው።

እና የንድፈ ሃሳቡን ማረጋገጫ ያጠናቅቃል.

የአውሮፕላኖች ትይዩነት ምልክት በአግድም ጠፍጣፋ መዋቅሮችን (የኮንክሪት ሰሌዳዎች ፣ ወለሎች ፣ የጎኒዮሜትሪ መሣሪያዎች ዲስክ ፣ ወዘተ) በአግድም አቀማመጥ በተቆራረጡ ቀጥታ መስመሮች ላይ በአውሮፕላኑ ውስጥ የተቀመጡ ሁለት ደረጃዎችን በመጠቀም ጥቅም ላይ ይውላል ። በዚህ ባህሪ ላይ በመመስረት ከዚህ ጋር ትይዩ የሆነ አውሮፕላን መገንባት ይቻላል.

ችግር 1. ከተሰጠው አውሮፕላን ውጭ በተኛ ነጥብ በኩል, ከተሰጠው አውሮፕላን ጋር ትይዩ የሆነ አውሮፕላን ይሳሉ.

 አውሮፕላኑ β እና ከአውሮፕላኑ ውጭ የሆነ ነጥብ M ይስጡ (ምሥል 247, ሀ). ከአውሮፕላን β ጋር ትይዩ በሆነ ነጥብ M ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች a እና b እንሳል። ይህንን ለማድረግ በ β አውሮፕላን ውስጥ ሁለት የተጠላለፉ ቀጥታ መስመሮችን c እና d መውሰድ ያስፈልግዎታል (ምሥል 247, ለ). ከዚያም ነጥብ M በኩል መስመሮች a እና b ከመስመሮች ሐ እና d ጋር ትይዩ በቅደም ተከተል ይሳሉ።

ግን (ምስል 247, ሐ).

የተጠላለፉ መስመሮች ሀ እና ለ ከአውሮፕላኑ β ጋር ትይዩ, በመስመሩ እና በአውሮፕላኑ ትይዩ ላይ የተመሰረተ (ቲዎረም 1 §11). አውሮፕላኑን α በተለየ ሁኔታ ይገልጻሉ. በተረጋገጠው መስፈርት መሰረት α || β.

ምሳሌ 1. አንድ ኪዩብ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 የተሰጠው ነጥብ M , N , P የጠርዙ መካከለኛ ነጥቦች BC, B 1 C 1, A 1 D 1, በቅደም ተከተል. ጫን የጋራ ዝግጅትአውሮፕላኖች: 1) ABV 1 እና PNM; 2) NMA እና A 1 C 1 C; 3) ኤ 1 ኤም.ኤም

እና ፒሲ 1 ሲ; 4) MAD 1 እና DB 1 C.

 1) አውሮፕላኖቹ ABB 1 እና РNM (ምስል 248) በአውሮፕላኖቹ ትይዩነት ላይ ተመስርተው (ቲዎረም 1) ትይዩ ናቸው። በእርግጥም, መስመሮች РN እና NM እርስ በርስ ይገናኛሉ እና ከአውሮፕላኑ ABB 1 ጋር ትይዩ ናቸው, በመስመሩ እና በአውሮፕላኑ ትይዩ (Theorem 1 §11) ላይ በመመስረት, ምክንያቱም ክፍሎች РN እና NM መካከለኛ ነጥቦችን ያገናኛሉ. ተቃራኒ ጎኖችካሬዎች፣ ስለዚህ ከካሬዎቹ ጎኖዎች ጋር ትይዩ ናቸው፡

РN ||A 1 B 1 ,NM ||В 1 B.

2) አውሮፕላኖች NMA እና A 1 C 1 C ቀጥታ መስመር AA 1 ይገናኛሉ (ምስል 249). በእርግጥም, መስመሮች AA 1 እና CC 1 ትይዩ ናቸው, በመስመሮቹ ትይዩ (AA 1 || ВB 1,ВB 1 || СC 1) ላይ ተመስርተው. ስለዚህ, ቀጥተኛ መስመር AA 1 በአውሮፕላኑ A 1 C 1 C ውስጥ ይገኛል. ቀጥተኛ መስመር AA 1 ከአውሮፕላኑ ኤንኤምኤ ጋር ያለው ባለቤትነት በተመሳሳይ መልኩ ትክክል ነው።

3) አውሮፕላኖች A 1 NM እና РС 1 C (ምስል 250) በአውሮፕላኖቹ ትይዩ ላይ ተመስርተው ትይዩ ናቸው. በእርግጥ, NM ||С 1 C . ስለዚህ ቀጥተኛ መስመር ኤንኤም ከአውሮፕላኑ ፒሲ 1 ሲ ጋር ትይዩ ነው ፒሲ 1 እና ኤ 1 ኤን ክፍሎችም ትይዩ ናቸው አራት ማዕዘን ፒሲ 1 NA 1 ትይዩ ነው (A 1 P || NC 1, A 1 P = ኤንሲ 1) ስለዚህ, መስመር A 1 N ከአውሮፕላኑ PC 1 C ጋር ትይዩ ነው. መስመሮች A 1 N እና NM ይገናኛሉ.

4) አውሮፕላኖቹ MAD 1 እና DB 1 C ይገናኛሉ (ምስል 251). የመስቀለኛ መንገዳቸው መስመር ለመሥራት ቀላል ባይሆንም የዚህን መስመር አንድ ነጥብ ለማመልከት አስቸጋሪ አይደለም። በርግጥም አራት ማዕዘን ሀ 1 ቢ 1 ሲዲ ትይዩ ስለሆነ (A 1 B 1 = AB = CD , A 1 B 1 || AB, AB || CD) መስመሮች A 1 D እና B 1 C ትይዩ ናቸው. ስለዚህ መስመር ሀ 1 ዲ የአውሮፕላኑ ዲቢ 1 ሲ ነው። መስመር ሀ 1 ዲ እና ኤዲ 1 ከአውሮፕላኖቹ MAD 1 እና DB 1 C ጋር በጋራ በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ።

		የተሰጠው የአውሮፕላኖች ትይዩነት ምልክት
		አንዳንድ ጊዜ ትንሽ ለየት ባለ ሁኔታ ለመጠቀም የበለጠ ምቹ ነው።
	1′ (የ ትይዩ አውሮፕላኖች ምልክት)።

የአንድ አውሮፕላን ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች በቅደም ተከተል ከሌላው አውሮፕላን ሁለት መስመሮች ጋር ትይዩ ከሆኑ እነዚህ አውሮፕላኖች ትይዩ ናቸው።

የአንድ መስመር እና የአውሮፕላን ትይዩነት መስፈርት (ቲዎረም 1 §11) በመጠቀም የቲዎረም 1 ሁኔታ ከቲዎረም ሁኔታዎች እንደሚከተል ማረጋገጥ ቀላል ነው። መስመር እና አውሮፕላን (ቲዎረም 2 §11) የቲዎሬም 1 እና 1 ሁኔታዎችን ተመጣጣኝነት ማረጋገጫ ያጠናቅቃል.

በተፈጥሮ፣ በችግር 1 ላይ ስለተሰጠው የግንባታ ልዩነት ጥያቄው ይነሳል። ይህንን ንብረት ከአንድ ጊዜ በላይ መጠቀም ስለሚኖርብን፣ እንደ የተለየ ቲዎሪ እናደምቀዋለን። ሆኖም፣ አስቀድመን ሌላ መግለጫ እንይ።

Theorem 2 (ስለ ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች ከሶስተኛ ጋር ያለው መገናኛ)።

ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች በሶስተኛ አውሮፕላን ከተጠለፉ, የአውሮፕላኖቹ መገናኛ መስመሮች ትይዩ ናቸው.

 ትይዩ አውሮፕላኖች α፣ β እና አውሮፕላን γ የሚያቆራርጣቸው እንዲሰጡ ያድርጉ (ምሥል 252)። የመገናኛ መስመሮችን እንጠቁም

በ a እና b. እነዚህ መስመሮች በ γ አውሮፕላን ውስጥ ይተኛሉ እና አይገናኙም, ምክንያቱም α እና β አውሮፕላኖች የጋራ ነጥቦች የላቸውም. ስለዚህ, በቀጥታ

a እና b ትይዩ ናቸው።

ቲዎረም 3 (ከዚህ ጋር ትይዩ በሆነው አውሮፕላን መኖር እና ልዩነት ላይ)።

ከተሰጠው አውሮፕላን ውጭ በሚገኝ ነጥብ አንድ አውሮፕላን ከተሰጠው ጋር ትይዩ መሳል ይችላል።

 የእንደዚህ አይነት አውሮፕላን ግንባታ የተካሄደው በችግር ላይ ነው 1. የግንባታውን ልዩነት በተቃርኖ እናረጋግጣለን. ሁለት የተለያዩ አውሮፕላኖች α እና γ በ ነጥብ M፣ pa- ይሳላሉ ብለን እናስብ።

ትይዩ አውሮፕላኖች β (ምስል 253), እና ቀጥታ መስመር t የመስቀለኛ መንገዳቸው መስመር ነው. አውሮፕላን δን በነጥብ M በኩል እናስቀምጠው, መስመሩን በማቆራረጥ

m እና β አውሮፕላን (ይህ እንዴት ሊደረግ ይችላል?). በ a እና b እንጥቀስ

የአውሮፕላኑ መገናኛ መስመር δ ከአውሮፕላኖች α እና γ ጋር, እና በ c - ​​የአውሮፕላኖቹ መገናኛ መስመር δ እና β (ምስል 253). በቲዎረም 2,a ||c

እና b ||s. ማለትም ፣ በ δ አውሮፕላን ውስጥ

ሁለት ቀጥተኛ መስመሮች ከቀጥታ መስመሮች ጋር ትይዩ ናቸው ነጥብ M ውስጥ ያልፋሉ. ተቃርኖ የሚያሳየው ግምት የተሳሳተ መሆኑን ነው።

የአውሮፕላኖች ትይዩነት በፕላኒሜትሪ ውስጥ አናሎግ ያላቸው በርካታ ባህሪያት አሉት.

ቲዎረም 4 (በትይዩ አውሮፕላኖች መካከል ባሉ ትይዩ መስመሮች ክፍሎች ላይ).

በትይዩ አውሮፕላኖች የተቆራረጡ ትይዩ መስመሮች ክፍሎች እርስ በእርሳቸው እኩል ናቸው.

 ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች α እና β እና ክፍሎች ይሰጡ AB

እና ሲዲ ትይዩ የሆኑ ቀጥታ መስመሮች ሀ እና d, በእነዚህ አውሮፕላኖች የተቆረጠ (ምስል 254, ሀ). አውሮፕላኑን γ በቀጥታ መስመሮች a እና d (ስዕል 254, ለ) እንሳበው. አውሮፕላኖቹን α እና β በቀጥታ መስመሮች AC እና BD ያቋርጣል, እነዚህም በቲዎረም 2 መሰረት, ትይዩ ናቸው. ስለዚህ፣ ባለአራት ጎን ABCD ትይዩ ነው፣ ተቃራኒ ጎኖቹ AC እና BD እኩል ናቸው።

ከላይ ከተጠቀሰው ንብረት ውስጥ ከሁሉም የአውሮፕላኑ ነጥቦች ላይ ካቀድን ይከተላል

በአውሮፕላኑ አንድ ጎን ትይዩ መስመሮች ተመሳሳይ ርዝመት, ከዚያም የእነዚህ ክፍሎች ጫፎች ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖችን ይፈጥራሉ. የክፍሎችን ማስቀመጫ በመጠቀም ትይዩ ግንባታ የተመሰረተው በዚህ ንብረት ላይ ነው (ምሥል 255).

ቲዎረም 5 (በአውሮፕላኖች ትይዩ ግንኙነት ላይ ባለው ሽግግር ላይ).

እያንዳንዳቸው ሁለት አውሮፕላኖች ከሦስተኛው ጋር ትይዩ ከሆኑ ሁለቱ አውሮፕላኖች እርስ በርስ ትይዩ ናቸው.

 አውሮፕላኖቹ α እና β ከአውሮፕላኑ γ ጋር ትይዩ ይሁኑ። ያንን እናስብ

α እና β ትይዩ አይደሉም። ከዚያም አውሮፕላኖቹ α እና β አንድ የጋራ ነጥብ አላቸው, እናም በዚህ ነጥብ በኩል ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ሁለት የተለያዩ አውሮፕላኖች ይለፋሉ γ, ይህም ከቲዎረም 3 ጋር ይቃረናል. .

ቲዎረም 5 ሌላው የአውሮፕላን ትይዩ ምልክት ነው። በሁለቱም ጂኦሜትሪ እና በስፋት ጥቅም ላይ ይውላል ተግባራዊ እንቅስቃሴዎች. ለምሳሌ, ባለ ብዙ ፎቅ ሕንፃ, በእያንዳንዱ ወለል ላይ የወለል እና የጣሪያ አውሮፕላኖች ትይዩነት በተለያዩ ወለሎች ላይ ትይዩነታቸውን ያረጋግጣል.

ችግር 2. ቀጥ ያለ መስመር አውሮፕላኑን α ካቋረጠ እያንዳንዱን አውሮፕላን ከአውሮፕላኑ α ጋር እንደሚገናኝ ያረጋግጡ።

 አውሮፕላኖች α እና β ትይዩ ይሁኑ፣ እና ቀጥታ መስመር አንድ ያቋርጣል አውሮፕላን α ነጥብ A ላይ። አውሮፕላኑን እንደሚያቋርጥ እናረጋግጥ

β. ይህ እንዳልሆነ እናስብ። ከዚያም ቀጥታ መስመር a ከአውሮፕላን β ጋር ትይዩ ነው. አውሮፕላኑን γ በቀጥታ መስመር እናስለው የዘፈቀደ ነጥብአውሮፕላን β (ምስል 256).

ይህ አውሮፕላን ትይዩ አውሮፕላኖችን α እና β በቀጥታ መስመሮች ያቋርጣል b is. አብሮ -

በቲዎረም 2, b || ሐ፣ ማለትም፣ በአውሮፕላኑ γ፣ ሁለት መስመሮች ሀ እና ለ ነጥብ A ውስጥ ያልፋሉ፣ ከመስመር ሐ ጋር ትይዩ ናቸው። . ይህ ተቃርኖ መግለጫውን ያረጋግጣል።

አውሮፕላኑ α አውሮፕላኑን β ካቋረጠ እያንዳንዱን አውሮፕላን ከአውሮፕላኑ β ጋር እንደሚገናኝ በራስዎ ለማረጋገጥ ይሞክሩ።

ምሳሌ 2. በ tetrahedron ABCD ውስጥ, ነጥቦች K, F, E የጠርዝ መካከለኛ ነጥቦች DA, DC, DB, aM እና P - የጅምላ ፊቶች ABD እና ВСD, በቅደም ተከተል.

1) የአውሮፕላኖቹ KEF እና ABC አንጻራዊ አቀማመጥ መመስረት;

DEF እና ABC.

2) የ AFB እና KEC አውሮፕላኖች መገናኛ መስመርን ይገንቡ.

3) የtetrahedronን መስቀለኛ ክፍል ከአውሮፕላኑ ABD ጋር ትይዩ በሆነ አውሮፕላን ይፈልጉ እና ሁሉም የtetrahedron ጠርዞች እኩል ከሆኑ በ P ነጥብ በኩል ማለፍ።

 ሁኔታውን የሚያሟላ ስዕል እንሥራ (ምሥል 257, ሀ). 1) አውሮፕላኖቹ KEF እና ABC ትይዩ ናቸው, በአውሮፕላኖቹ ትይዩነት (ቲዎረም 1') ላይ የተመሰረቱ ናቸው: የ KEF አውሮፕላን የተቆራረጡ መስመሮች KE እና KF ከኤቢሲ አውሮፕላን AB እና AC ከሚገናኙት መስመሮች ጋር ትይዩ ናቸው (የመካከለኛው መስመሮች) ተጓዳኝ

ነባር ትሪያንግሎች)።

አውሮፕላኖች DEF እና ABC ቀጥታ መስመር ከBC ጋር ይገናኛሉ ፣ ምክንያቱም ቀጥተኛ መስመር BC የሁለቱም አውሮፕላኖች ስለሆነ እና ሊገጣጠሙ አይችሉም - ነጥቦች A ፣ B ፣ C ፣ D በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ አይዋሹም።

2) አውሮፕላን ኤኤፍቢ ከአውሮፕላን KEC ጋር ነጥብ ፒን በያዘ ቀጥ ያለ መስመር ያቋርጣል ፣ ምክንያቱም በእነዚህ አውሮፕላኖች ውስጥ CE እና BF የተኙት መስመሮች በአውሮፕላኑ BCD ውስጥ እና በ P ነጥብ ላይ ስለሚገናኙ። ሌላው ነጥብ በአውሮፕላኑ ACD (ምስል 257, ለ) ውስጥ ቀጥተኛ መስመሮች AF እና CK መገናኛ Q ነጥብ ነው. በግልጽ ለማየት እንደሚቻለው, ይህ ነጥብ የ ACD ፊት የጅምላ ማእከል ነው. አስፈላጊው መገናኛ መስመር PQ ነው.

3) የአውሮፕላኖችን ትይዩ ምልክት በመጠቀም በሁኔታው ውስጥ የተገለጸውን ክፍል ይገንቡ. መስመሮችን በነጥቦች P እና Q ከመስመሮች DB እና DA ጋር ትይዩ እናድርገው (ምሥል 257፣ ሐ)። እነዚህ መስመሮች የሲዲውን ክፍል በነጥብ L ላይ ያቋርጣሉ። የኋለኛው የሶስት ማዕዘን የጅምላ ማእከል ንብረትን ይከተላል - የሶስት ማዕዘኑን ሚዲያዎች በ 2: 1 ሬሾ ውስጥ ይከፍላል ፣ ከጫፍ ቆጠራ። የቴልስን ቲዎሪ ተግባራዊ ለማድረግ ይቀራል። ስለዚህ, የ PLQ እና BDA አውሮፕላኖች ትይዩ ናቸው. የሚፈለገው ክፍል ትሪያንግል LSN ነው።

በግንባታ፣ ትሪያንግሎች BCD እና SCL ከተመሳሳይነት Coefficient CE CP =3 2 ጋር ተመሳሳይ ናቸው። ስለዚህ LS = 3 2 BD . ከተመሠረተው ጋር ተመሳሳይ

የሚከተሉት እኩልነቶች ተጨምረዋል፡ LN =3 2 AD፣NS =3 2 AB. በመቀጠልም ትሪያንግሎች LSN እና ABD ከተመሳሳይነት Coefficient 3 2 ጋር ተመሳሳይ ናቸው። በተመሳሳዩ ትሪያንግሎች አከባቢዎች ባህሪያት መሰረት,

S LNS =4 9 S ABD . የሶስት ማዕዘን ABD አካባቢን ለማግኘት ይቀራል. በ-

እንደ ሁኔታው, ሁሉም የ tetrahedron ጠርዞች ከ a, ከዚያ S ABD = 4 3 a 2 ጋር እኩል ናቸው.

የሚፈለገው ቦታ 3 1 3 a 2 ነው.

መልሱ በ ABD ፊት ላይ ብቻ የተመካ መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል. ስለዚህ, የሁሉም ጠርዞች እኩልነት ይህንን አካባቢ የማግኘት ዘዴ ብቻ ነው. ስለዚህም ይህን ተግባርበከፍተኛ ሁኔታ አጠቃላይ ሊሆን ይችላል.

መልስ። 1)KEF ||ABC ; 3) 3 1 3 a 2 .

 የፈተና ጥያቄዎች

1. በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ያለው እያንዳንዱ መስመር ከሌላው አውሮፕላን ጋር ተመሳሳይ ከሆነ ሁለት አውሮፕላኖች ትይዩ ናቸው?

2. አውሮፕላኖች α እና β ትይዩ ናቸው። በእነዚህ አውሮፕላኖች ውስጥ የተዘበራረቁ መስመሮች አሉ?

3. የሶስት ማዕዘን ሁለት ጎኖች ከተወሰነ አውሮፕላን ጋር ትይዩ ናቸው. የሶስት ማዕዘን ሶስተኛው ጎን ከዚህ አውሮፕላን ጋር ትይዩ ነው?

4. የአንድ ትይዩ ሁለት ጎኖች ከአንድ የተወሰነ አውሮፕላን ጋር ትይዩ ናቸው. የአንድ ትይዩ አውሮፕላን ከተሰጠው አውሮፕላን ጋር ትይዩ ነውን?

5. በትይዩ አውሮፕላኖች የተቆራረጡ የሁለት ቀጥታ መስመሮች ክፍሎች እኩል ሊሆኑ ይችላሉ?

6. የአንድ ኩብ መስቀለኛ ክፍል ሊሆን ይችላል isosceles trapezoid? የአንድ ኩብ መስቀለኛ ክፍል ሊሆን ይችላል መደበኛ ፔንታጎን? ከአንድ መስመር ጋር ትይዩ የሆኑ ሁለት አውሮፕላኖች እርስ በርስ ትይዩ ናቸውን?

የአውሮፕላኖች መገናኛ መስመሮች α እና β ከአውሮፕላን γ ጋር እርስ በርስ ትይዩ ናቸው. አውሮፕላኖች α እና β ትይዩ ናቸው?

የአንድ ኩብ ሶስት ፊት ከተመሳሳይ አውሮፕላን ጋር ትይዩ ሊሆን ይችላል?

ግራፊክ ልምምዶች

1. ምስል 258 ኪዩብ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, ነጥቦች M, N, K, L, P የተዛማጁ ጠርዞች መካከለኛ ነጥቦች ናቸው. በመምረጥ በተሰጠው ምሳሌ መሰረት ሰንጠረዡን ይሙሉ አስፈላጊ ቦታአውሮፕላኖች α እና β.

የጋራ

አካባቢ

α || β α = β

α × β α || β α = β

A1 B1 C1			ዲ 1 ኪ.ፒ
እና ADC	እና BB1 ዲ	እና MNP	እና BMN
	ቢ 1 ኪ.ፒ	A1 DC1	A1 C1 ሲ
እና PLN	እና ዲኤምኤን	እና AB1 ሲ	እና MKP

2. በስእል. 259 tetrahedron ABCD ያሳያል፣ ነጥቦች K፣ F፣ M፣ N፣ Q የተዛማጁ ጠርዞች መካከለኛ ነጥቦች ናቸው። እባክዎን ያመልክቱ፡-

1) ነጥብ K ከአውሮፕላን ABC ጋር ትይዩ የሚያልፈው አውሮፕላን;

2) ከአውሮፕላኑ MNQ ጋር ትይዩ በቢዲ መስመር በኩል የሚያልፍ አውሮፕላን።

3. በሥዕሉ ላይ በተገለጹት ሦስት ነጥቦች ውስጥ በሚያልፈው አውሮፕላን የሥዕሉ ክፍል ምን እንደሆነ ይወስኑ።

ካህ 260፣ ሀ)–ሠ) እና 261፣ ሀ)–መ)

4. በተሰጠው መረጃ መሰረት ስዕል ይገንቡ.

1) ከሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች ውስጥ በአንዱ ላይ ከሚገኘው ትይዩ ABCD ጫፎች ውስጥ ሁለተኛውን አውሮፕላን በ A 1 ፣ B 1 ፣ C 1 ፣ D 1 የሚያቋርጡ ትይዩ መስመሮች ይሳሉ ።

2) ትሪያንግል A 1 B 1 C 1 ትሪያንግል ኤቢሲ በአውሮፕላኑ ላይ α ትይዩ ነው። ነጥብ M የፀሐይ መሃከል ነው፣ M 1 ነጥብ M በአውሮፕላኑ ላይ ያለው ትንበያ ነው።

207. በኩብ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ነጥብ O, O 1 የፊቶች ማዕከሎች ABCD እና A 1 B 1 C 1 D 1 ናቸው, በቅደም, M የጠርዝ AB መካከለኛ ነው.

1 °) የአውሮፕላኖቹን አንጻራዊ ቦታ ይወስኑ MO 1 O

እና ADD 1፣ ABD 1 እና CO 1 C 1።

2°) የአውሮፕላኑን መገናኛ ነጥብ DCC 1 እና ቀጥታ መስመር MO 1 እና የአውሮፕላኖቹ መገናኛ መስመር MCC 1 እና A 1 D 1 C 1 ይገንቡ።

3) የኩብ መስቀለኛ ክፍልን ከአውሮፕላኑ AD 1 C 1 ጋር ትይዩ በሆነ አውሮፕላን ፈልጉ እና የኩባው ጠርዝ ከ ሀ ጋር እኩል ከሆነ በ O 1 በኩል በማለፍ።

208. በ tetrahedron ABCD ውስጥ, ነጥቦቹ K, L, P የፊት ገጽታዎች ABD, BDC, ABC, በቅደም ተከተል የጅምላ ማዕከሎች ናቸው, እና aM የጠርዝ AD መካከለኛ ነው.

1 °) የ ACD አውሮፕላኖችን አንጻራዊ ቦታ ይወስኑ

እና KLP፣ MLK እና ABC .

2 °) የአውሮፕላን ABC እና የመስመር ኤምኤል መገናኛ ነጥብ እና የአውሮፕላኖች መገናኛ መስመር MKL እና ABC ይገንቡ.

3) ሁሉም የ tetrahedron ጠርዞች እኩል ከሆኑ ነጥቦች K ፣ L እና M ን ከቀጥታ መስመር AD ጋር በሚያልፉ አውሮፕላን የtetrahedron መስቀለኛ ክፍል ይፈልጉ።

209. አንድ ኩብ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ተሰጥቷል. ነጥቦች L፣ M፣ M 1 እንደቅደም ተከተላቸው የ AB፣ AD እና A 1 D 1 መካከለኛ ነጥቦች ናቸው።

1 °) የአውሮፕላኖቹን አንጻራዊ ቦታ ይወስኑ B 1 D 1 D

እና LMM1.

2) ነጥብ M ከአውሮፕላን ACC 1 ጋር ትይዩ የሚያልፈውን አውሮፕላን ይገንቡ።

3) ነጥብ M 1 ከአውሮፕላኑ ሲዲዲ 1 ጋር ትይዩ በሚያልፈው አውሮፕላን የኩባውን ክፍል ይገንቡ።

4) የአውሮፕላኖቹ አንጻራዊ አቀማመጥ MA 1 B 1 ይወስኑ

እና ሲዲኤም1.

5) በመስመር C 1 D 1 ከአውሮፕላኑ ሲዲኤም 1 ጋር ትይዩ የሚያልፈውን አውሮፕላን ይገንቡ።

210. በመደበኛ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ፒራሚድ SABCD, ሁሉም ጠርዞች እርስ በእርሳቸው እኩል ናቸው. ነጥቦች L፣ M እና N በቅደም ተከተል የኤኤስ፣ ቢኤስ፣ ሲኤስ መካከለኛ ነጥቦች ናቸው።

1 °) አንጻራዊውን አቀማመጥ ይወስኑ: ቀጥታ መስመሮች LM እና BC; ቀጥተኛ መስመር LN እና አውሮፕላን ABD; አውሮፕላኖች LMN እና BDC.

2°) ትሪያንግሎች ABC እና LMN ተመሳሳይ መሆናቸውን ያረጋግጡ።

3) አውሮፕላኑን AMN በመጠቀም የፒራሚዱ ክፍል መገንባት; አውሮፕላን LMN; አውሮፕላንኤልቢሲ.

4*) በቬርቴክስ ኤስ በኩል ከሚያልፉት የፒራሚዱ ክፍሎች ውስጥ ትልቁን ቦታ የያዘው የትኛው ነው?

የመስመሮች እና አውሮፕላኖች ትይዩነት

በ SABC tetrahedron ውስጥ ሁሉም ፊቶች ናቸው መደበኛ ትሪያንግሎች. ነጥቦች L፣ M እና N በቅደም ተከተል የኤኤስ፣ ቢኤስ፣ ሲኤስ መካከለኛ ነጥቦች ናቸው። 1 °) ቀጥተኛ መስመሮች LM እና BC አንጻራዊ ቦታን ይወስኑ. 2°) የቀጥታ መስመር LN እና አውሮፕላን ኤቢሲ አንጻራዊ ቦታን ይወስኑ።

3) ትሪያንግሎች LMN እና ABC ተመሳሳይ መሆናቸውን ያረጋግጡ።

በአንደኛው ውስጥ ከተኛበት ትይዩ ABCD ጫፎች
ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች, በጥንድ ትይዩ ይሳሉ
የሁለተኛውን አውሮፕላን ተጓዳኝ የሚያቋርጡ ቀጥተኛ መስመሮች
በተለይ በነጥብ A 1፣ B 1፣ C 1፣ D 1።
1°) ባለአራት ጎን A 1 B 1C 1 D 1 ትይዩ መሆኑን ያረጋግጡ
2°) ትይዩዎች ABCD እና A 1 B 1C 1 D 1 ያረጋግጡ
እርስ በርሳቸው እኩል ናቸው.
3°) የአውሮፕላኖቹን አንጻራዊ አቀማመጥ ኤቢሲ 1 ይወስኑ
እና DD1 C1.
4) አውሮፕላን 1 በክፍል AA መሃል በኩል ይሳሉ
እነዚህ መስመሮች ባሉበት ቦታ ላይ እንዲቆራረጥ
ከትይዩ ጋር እኩል የሆነ ትይዩ ጫፎች
mu ABCD.
ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች እና አንድ ነጥብ O ተሰጥቷል፣ ንብረት ያልሆነ
ከእነዚህ አውሮፕላኖች ውስጥ አንዱን በመጫን እና በመካከላቸው አለመተኛት
እነርሱ። ከ ነጥብ O		ሶስት ጨረሮች በአውሮፕላኑ ውስጥ እርስ በርስ ይሳባሉ
አጥንት፣ በቅደም ተከተል፣ በነጥብ A፣ B፣ C እና A 1፣ B 1፣ C 1 እና አለመዋሸት
በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ተኝቷል.
1 °) የእነዚህን አውሮፕላኖች አንጻራዊ አቀማመጥ ይወስኑ
እና አውሮፕላኑ በክፍሎቹ AA 1 ፣ BB 1 ፣ CC 1 መካከለኛ ነጥቦች ውስጥ የሚያልፈው።
2) የሶስት ማዕዘን ዙሪያውን A 1 B 1 C 1 ifOA = m ያግኙ።
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = a.
ትሪያንግል A 1 B 1 C 1 የሶስት ማዕዘን ኤቢሲ ትንበያ ነው።
በአውሮፕላኑ ላይ α ከእሱ ጋር ትይዩ. ነጥብ M - የመቶ መካከለኛ
ron BC;M 1 - የነጥብ M ትንበያ			በ α አውሮፕላን ላይ. ነጥብ N
ጎን AB ይከፋፍላል		በ 1: 2 ጥምርታ.	አውሮፕላን M 1 MN እና ቀጥታ
1) የመገናኛ ነጥብ N 1 ይገንቡ
የእኔ A 1 B 1.
2) የአራት ማዕዘን ቅርፅን ይወስኑ M 1 N 1 NM.
	M ከ trapezoid ABCB አውሮፕላን ውጭ ከመሠረቱ-
mi AD	እና B.C. የአውሮፕላኖቹን መገናኛ መስመር ይገንቡ;
1 °) ኤቢኤም እና ሲዲኤም;		2) ሲቢኤም እና ኤዲኤም.

የኩባውን ክፍል ይገንቡ፡ 1°) ተመጣጣኝ ትሪያንግል; 2) ፒንታጎን.

217. ትይዩአዊ የሆነ የ tetrahedron ክፍል ይገንቡ።

218° ትይዩ የሆኑ ተቃራኒ ፊቶች ትይዩ መሆናቸውን ያረጋግጡ።

219. የሁሉም መስመሮች ስብስብ ማለፉን ያረጋግጡ ይህ ነጥብእና ከተሰጠው አውሮፕላን ጋር ትይዩ የሆነ አውሮፕላን ከተሰጠው ጋር ትይዩ ይመሰርታል.

220. አራት ነጥብ A, B, C, D የተሰጠው, በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ አለመዋሸት. እያንዳንዱ አውሮፕላን AB እና ሲዲ ከመስመሮች ጋር ትይዩ የሆኑትን AC፣ AD፣ BD፣ BC በመስመሮች በትይዩ ጫፎቹ ላይ እንደሚያቆራርጡ ያረጋግጡ።

221. የዚህ አውሮፕላን ያልሆነ አውሮፕላን እና መስመር ሁለቱም ከአንድ አውሮፕላን ጋር ትይዩ ከሆኑ ትይዩ መሆናቸውን ያረጋግጡ።

222. የኩብ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 የኩብ ዲያግራኖች መገናኛ ነጥብ ኦ በኩል አንድ አውሮፕላን ከፊት ABCD ጋር ትይዩ ነው. ይህ አውሮፕላን BB 1 እና CC 1 ን በ M እና N ነጥቦች ያቋርጣል። አንግል MON ትክክለኛ አንግል መሆኑን ያረጋግጡ።

223. ሁለት አውሮፕላኖች እርስ በእርሳቸው ትይዩ መሆናቸውን ያረጋግጡ እና እያንዳንዱ ቀጥተኛ መስመር ከአውሮፕላኖቹ አንዱን የሚያቋርጥ ከሆነ ሁለተኛውን ደግሞ ካቋረጠ ብቻ ነው.

224*። በሶስት ማዕዘን ቅርጽ ባለው ፒራሚድ SABC፣ በ AD እና CE ክፍሎች፣ D መካከለኛ ነጥብ SB፣ እና E መካከለኛ ነጥብ ኤስኤ በሆነበት፣ የፒራሚዱን ክፍሎች እርስ በርስ ይሳባሉ።

225. የጂኦሜትሪክ ቦታዎችን ያግኙ:

1) በሁለት ውሂቦች ላይ ጫፎች ያሉት የሁሉም ክፍሎች መካከለኛ ነጥቦች ትይዩ አውሮፕላኖች; 2*) በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ላይ ጫፎች ያሉት የክፍሎች መካከለኛ ነጥቦች።

226*። ጎን AB የሶስት ማዕዘን ኤቢሲ በአውሮፕላን ውስጥ ተኝቷል α ከአውሮፕላን β ጋር ትይዩ ነው። ተመጣጣኝ ትሪያንግል 1 B 1 C 1 ነው ትይዩ ትንበያትሪያንግል ኤቢሲ በአውሮፕላኑ ላይ β;AB = 5, BC = 6, AC = 9.

1) ቀጥተኛ መስመሮች AB እና A 1 B 1 አንጻራዊ ቦታን ማቋቋም፣

BC እና B1 C1, A1 C1 እና AC.

2) የሶስት ማዕዘን ቦታን A 1 B 1 C 1 ያግኙ.

227*። ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ተሰጥተዋል. እያንዳንዱን ሁለት የተሰጡ መስመሮች እርስ በርስ የሚያቆራርጥ መስመር የሚወጣበት በጠፈር ውስጥ ያሉትን ሁሉንም ነጥቦች ያመልክቱ።

መሠረታዊ ትርጉም

ሁለቱ አውሮፕላኖች ተጠርተዋል

ትይዩ ናቸው፣

የጋራ ነጥቦች ከሌላቸው.

ዋና መግለጫዎች

ትይዩ ምልክት - የአውሮፕላኑ አንድ አውሮፕላን ሁለት የተጠላለፉ ቀጥታ መስመሮች በቅደም ተከተል ከሁለተኛው አውሮፕላን ሁለት ቀጥተኛ መስመሮች ጋር ትይዩ ከሆኑ እነዚህ አውሮፕላኖች

አጥንቶቹ ትይዩ ናቸው.

በመቆራረጥ ላይ ያለው ቲዎሬም ሁለት ትይዩ-የተቆራረጡ ሁለት ትይዩ ያልሆኑ አውሮፕላኖች በሶስተኛ አውሮፕላን ከተጠለፉ የአውሮፕላኑ ሶስተኛው መገናኛ መስመሮች

ትይዩ ናቸው።

a α,b α,a ×b,c β,d β,a ||c ,b ||d α || β

α || β, a = γ∩α,b = γ∩βa ||b

ኤም α

β፡ α || β,M β

ለቲማቲክ መዘጋጀት

"የመስመሮች እና አውሮፕላኖች ትይዩነት" በሚለው ርዕስ ላይ ለመገምገም

ራስን የመቆጣጠር ተግባራት

1. አራቱ ነጥቦች የአንድ አውሮፕላን አይደሉም። ከመካከላቸው ሦስቱ በአንድ ቀጥተኛ መስመር ሊዋሹ ይችላሉ?

2. ሶስት የተለያዩ አውሮፕላኖች በትክክል ሁለት የጋራ ነጥቦች ሊኖራቸው ይችላል?

3. ሁለት skew መስመሮች በተመሳሳይ ጊዜ ከሦስተኛው መስመር ጋር ትይዩ ሊሆኑ ይችላሉ?

4. እውነት ነው ቀጥ ያለሀ እና b ከሀ እና ለ ጋር የሚመሳሰል መስመር ከሌለ ትይዩ አይደሉም?

5. ይችላሉ እኩል ክፍሎችእኩል ያልሆኑ ትንበያዎች አሉዎት?

6. ጨረር የአንድ መስመር ትይዩ ትንበያ ሊሆን ይችላል?

7. ካሬ የኩብ ምስል ሊሆን ይችላል?

8. እውነት ነው በጠፈር ውስጥ በተሰጠው ነጥብ አንድ አውሮፕላን ብቻ ከተሰጠው መስመር ጋር ትይዩ ሊሆን ይችላል?

9. ይህንን ነጥብ ከሌላቸው ሁለት አውሮፕላኖች ጋር ትይዩ በሆነ ነጥብ በኩል መስመር መሳል ሁልጊዜ ይቻላል?

10. ትይዩ አውሮፕላኖችን በሁለት የተጠላለፉ መስመሮች መሳል ይቻላል?

ራስን ለመቆጣጠር ለተግባሮች መልሶች

የሙከራ ናሙና

ሁለት ትይዩዎች ABCD እና ABC 1 D 1 በተለያዩ አውሮፕላኖች ውስጥ ይዋሻሉ።

1°) ቀጥተኛ መስመሮች ሲዲ እና ሲ 1 ዲ 1 ያለውን አንጻራዊ ቦታ ይወስኑ።

2 °) ቀጥታ መስመር C 1 D 1 እና አውሮፕላኑን አንጻራዊ ቦታ ይወስኑ

3 °) የአውሮፕላኖቹ መገናኛ መስመር DD 1 C 1 እና ВСС 1 ይገንቡ.

4°) የአውሮፕላኖቹን አንጻራዊ ቦታ ADD 1 እና BCC 1 ይወስኑ።

5) በነጥብ M ፣ ክፍል AB በ 2: 1 ሬሾን በማካፈል ፣ ከ ነጥብ A በመቁጠር ፣ አውሮፕላን α ከአውሮፕላን C 1 BC ጋር ትይዩ ይሳሉ። 6) የቀጥታ መስመር AC መገናኛ ነጥብ ከአውሮፕላኑ α ጋር ይገንቡ እና ይህ ነጥብ የ AC ክፍሉን የሚከፋፍልበትን ሬሾ ያግኙ።

		የመስመሮች እና አውሮፕላኖች ትይዩነት
በጠፈር ውስጥ የመስመሮች አንጻራዊ አቀማመጥ
			ሠንጠረዥ 21
	የጋራ ነጥቦች ብዛት
ቢያንስ ሁለት
		በአንድ ተኛ	በአንዱ ውስጥ አትዋሽ
		አውሮፕላን	አውሮፕላን

በጠፈር ውስጥ ቀጥተኛ መስመሮች እና አውሮፕላኖች አንጻራዊ አቀማመጥ

			ሠንጠረዥ 22
	የጋራ ነጥቦች ብዛት
ቢያንስ ሁለት		ምንም

በ α ውስጥ ውሸት ነው	እና α ያቋርጣል	እና i α - ትይዩ
(ሀ)	(a × α)	ናይ (a || α)
በጠፈር ውስጥ የአውሮፕላኖች የጋራ አቀማመጥ
		ሠንጠረዥ 23
	የጋራ ነጥቦች ብዛት
ቢያንስ ሶስት	ቢያንስ አንድ, ግን	ምንም
ላይ መዋሸት አይደለም	ምንም የተለመዱ ነጥቦች የሉም ፣ ምንም
አንድ ቀጥተኛ መስመር	በአንድ ቀጥተኛ መስመር ላይ መጫን

ትሪግኖሜትሪክ

በጂኦሜትሪ ትምህርቶች ውስጥ የትሪግኖሜትሪክ ተግባራትን አስቀድመው ወስደዋል። እስካሁን ድረስ፣ ማመልከቻዎቻቸው በዋናነት ትሪያንግሎችን ለመፍታት የተገደቡ ነበሩ፣ ማለትም፣ እኛ የሶስት ማዕዘን አካላትን ከሌሎች ስለማግኘት እየተነጋገርን ነበር። ከሂሳብ ታሪክ ውስጥ ትሪግኖሜትሪ ብቅ ማለት ከርዝመቶች እና ማዕዘኖች መለኪያ ጋር የተያያዘ እንደሆነ ይታወቃል. ሆኖም ፣ አሁን ሉል

እሷን አፕሊኬሽኖች ከጥንት ጊዜ ይልቅ በጣም ሰፊ ናቸው.

“ትሪጎኖሜትሪ” የሚለው ቃል የመጣው ከግሪክ τριγωνον ነው።

(ትሪጎኖን) - ትሪያንግል እና µετρεω (ሜትሮ) - መለካት ፣ መለካት-

እጮኻለሁ። በጥሬው ትርጉሙ ትሪያንግሎችን መለካት ማለት ነው።

ውስጥ ይህ ምእራፍ ከጂኦሜትሪ ኮርስ ቀደም ብለው የሚያውቁትን ቁሳቁስ በስርዓት ያዘጋጃል እና ጥናቱን ይቀጥላል ትሪግኖሜትሪክ ተግባራትእና መተግበሪያዎቻቸው በተለይም የቡድን ሂደቶችን ለመለየት ተዘዋዋሪ እንቅስቃሴ, የመወዛወዝ ሂደቶችእናም ይቀጥላል.

አብዛኛው የትሪጎኖሜትሪ አተገባበር በተለይ ከወቅታዊ ሂደቶች ጋር ይዛመዳል፣ ማለትም፣ በየጊዜው የሚደጋገሙ ሂደቶች። የፀሐይ መውጣት እና ስትጠልቅ, የወቅቶች ለውጦች, የመንኮራኩሩ ሽክርክሪት - እነዚህ የእንደዚህ አይነት ሂደቶች በጣም ቀላል ምሳሌዎች ናቸው. መካኒካል እና ኤሌክትሮማግኔቲክ ንዝረቶችእንዲሁም ወቅታዊ ሂደቶች አስፈላጊ ምሳሌዎች ናቸው. ስለዚህ, ወቅታዊ ሂደቶችን ማጥናት አስፈላጊ ስራ ነው. እና በመፍትሔው ውስጥ የሂሳብ ሚና ወሳኝ ነው።

"ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት" የሚለውን ርዕስ ለማጥናት በመዘጋጀት ላይ

የሶስት ማዕዘናት ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት ትርጓሜዎችን እና ባህሪያትን እና ሁለቱንም የቀኝ እና የዘፈቀደ ትሪያንግሎችን ለመፍታት ማመልከቻዎቻቸውን በመገምገም “ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት” የሚለውን ርዕስ ማጥናት መጀመር ይመከራል።

ሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ፣ የአራት ማዕዘን ማዕዘኖች ኮታንጀንት

ትሪያንግል

ሠንጠረዥ 24

የአጣዳፊ አንግል ሐጢያት ጥምርታ ነው። ተቃራኒ እግርወደ hypotenuse;

ኃጢአት α = a ሐ .

የአጣዳፊ አንግል ኮሳይን ጥምርታ ነው። የተጠጋ እግርወደ hypotenuse;

cosα = b c .

የአጣዳፊ አንግል ታንጀንት የተቃራኒው ጎን ከአጎራባች ጎን ሬሾ ነው፡

tg α = a b .

የአጣዳፊ አንግል ብክለት የአጎራባች ጎን እና የተቃራኒው ጎን ጥምርታ ነው።

ctgα = a b .

ሳይን, ኮሳይን, ታንጀንት, ከ 0 ° እስከ 180 ° የማእዘኖች ብክለት

ሠንጠረዥ 25

ኃጢአት α = R y; cosα = R x;

tg α = x y; cotgα = x y.

(X;በ) - የነጥብ መጋጠሚያዎች ሀበላይኛው ግማሽ ክበብ ላይ ይገኛል ፣ α - በራዲየስ የተሰራውን አንግል ኦ.ኤዘንግ ያለው ክብ X.

የሳይን ፣ ኮሳይን ፣ ታንጀንት ፣ ኮታንጀንት እሴቶች

አንዳንድ ማዕዘኖች

ሠንጠረዥ 26

ጥግ ቲ

0°

90°

180°

ኃጢአት ቲ

cos ቲ

tg ቲ

ctg ቲ

ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት

የዘፈቀደ ትሪያንግሎች መፍታት

ሠንጠረዥ 27

የሳይንስ ቲዎሪ

የሶስት ማዕዘን ጎኖች ከተቃራኒ ማዕዘኖች ኃጢአት ጋር ተመጣጣኝ ናቸው፡

ኃጢአት ሀα = ኃጢአት ለβ = ኃጢአት ሐγ .

ኮሳይን ቲዎረም

የዘፈቀደ የሶስት ማዕዘን ጎን ካሬ የእነዚህ ሁለት ጎኖች ውጤት ከሌለው ከሌሎቹ ሁለት ጎኖች ካሬዎች ድምር ጋር እኩል ነው በመካከላቸው ባለው አንግል ኮሲን።

ሐ2 = ሀ2 + ለ2 − 2 ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ። cos γ ፣ ለ2 = ሀ2 + ሐ2 − 2 ac cos β , ሀ2 = ለ2 + ሐ2 − 2 BC cos α .

የሶስት ማዕዘኑ ስፋት ከሁለቱ ጎኖቹ ግማሽ ምርት እና በመካከላቸው ካለው አንግል ኃጢአት ጋር እኩል ነው-

ኤስ=1 2 ኣብ ርእሲኡ፡ ንህዝቢ ንህዝቢ ንህዝቢ ምውሳድ ምውሳድ እዩ።ኃጢአትγ = 1 2 acኃጢአትβ = 1 2 BCኃጢአትα .

መሰረታዊ ትሪግኖሜትሪክ ማንነቶች

)

ሠንጠረዥ 28

0 ° ≤ α ≤ 180°

ኃጢአት 2 α + cos 2 α = 1

0 ° ≤ α ≤ 180°፣ α ≠ 90°

1 +tgα = cos2 α

0 ° < α < 180°

1 + ctg 2 α =

ኃጢአት 2 α

ሶስት ማዕዘን ተሰጥቷል ኢቢሲ,ጋር= 90° ፀሐይ=3 ,AB= 2. ምን እኩል ነው

ውስጥ ?

ለ. 45 °.

ውስጥ 60 °.

ሀ. 30 °.

ጂ.ያለ ኮምፒዩተር መሳሪያዎች ማስላት አይቻልም.

ሶስት ማዕዘን ተሰጥቷል

ኢቢሲ , ጋር

ፀሐይ= 3,

ውስጥ= 60 °. ከምን ጋር እኩል ነው።

AB ?

ሀ. 3

ለ. 6.

3 .

እነዚህ ወገኖች እንደሚሉት የቀኝ ሶስት ማዕዘንማግኘት

የትናንሽ አንግል ኮሳይን ሀ= 3,ለ= 4,ሐ

ሀ. 0,8.

ከተሰጡት እሴቶች ውስጥ የትኛው ተንኮለኛውን መውሰድ አይችልም-

አጣዳፊ ማዕዘን?

7 − 1

7 2

ሀ.

5. የሳይንስ ድምርን ያወዳድሩ ሹል ማዕዘኖችየዘፈቀደ ቀኝ ትሪያንግል (እኛ እንጠቁማለን በሀ) ከአንድ ጋር።

< 1. ለ.ሀ= 1.

> 1. ጂ.ማወዳደር አይቻልም። ቁጥሮቹን በከፍታ ቅደም ተከተል አዘጋጁ፡- ሀ= ኃጢአት 30 ° ለ= 30 °,

= tg 30°

< ለ<ሐ.ለ.ሀ<ሐ<ለ

ትሪግኖሜትሪክ ተግባራት

ለየትኞቹ አጣዳፊ ማዕዘኖች ሳይን ከኮሳይን ያነሰ ነው?

ለሁሉም.

ለአነስተኛ 45 °.

ለትልቅ 45 °.

ጂ.ለማንም አይደለም።

ኮስ ከምን ጋር እኩል ነው?

α፣ α የአራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ሶስት ማዕዘን አጣዳፊ አንግል ከሆነ

ካሬ እና ኃጢአትα =

12 .

የዛፉ ጥላ ርዝመት 15 ሜትር ነው የፀሐይ ጨረሮች ማዕዘን ይሠራሉ

30° ከምድር ገጽ ጋር። ግምታዊ ቁመት ምን ያህል ነው?

ዛፍ? በጣም ትክክለኛውን ውጤት ይምረጡ.

ለ. 13 ሜ.

ውስጥ 7ሚ.

የመግለጫው ዋጋ ምን ያህል ነው

1 − x2

በ X= – 0,8?

ለ. –0,6.

ጂ.≈ 1,34.

ከቀመር ሀ2 +ለ2 =4 መግለጽ ለ< 0 черезሀ.

ሀ.ለ=4 −ሀ2 .

ለ.ለ=ሀ2 −4 .

ለ= −ሀ2

− 4 .

ለ= −4 −ሀ2 .

ነጥብ ሀ

በሶስተኛው ሩብ ውስጥ በ 3 ርቀት ላይ ከአክሱር ርቀት ላይ ይገኛል Xእና

በርቀት ላይ

10 ከመነሻው. መጋጠሚያዎቹ ምንድን ናቸው

የሚለው ነጥብ አለው። ሀ?

ለ.(−1; 3).

ውስጥ(−1; −3).

ጂ.(−3; −1).

የሚቀጥሉት ነጥቦች

ንብረት ነው።

ክብ

x 2+ y 2

= 1?

ለ.(0,5; 0,5).

. ጂ.

15. የነጥቡን መጋጠሚያዎች ይግለጹሀ, ራዲየስ 1 ክበብ ላይ ተኝቷል (ሥዕሉን ይመልከቱ).

(−1; 0).ለ.(1; 0).

(0; − 1). ጂ.(0; 1).ሀ.ውስጥ

በዚህ ትምህርት ውስጥ ትይዩ አውሮፕላኖችን ሦስት ባህሪያት እንመለከታለን-የሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች ከሶስተኛ አውሮፕላን ጋር መጋጠሚያ; በትይዩ አውሮፕላኖች መካከል ስለ ተዘጉ ትይዩ ክፍሎች; እና የማዕዘን ጎኖቹን በትይዩ አውሮፕላኖች ስለ መቁረጥ. በመቀጠል እነዚህን ንብረቶች በመጠቀም በርካታ ችግሮችን እንፈታለን.

ርዕስ፡ የመስመሮች እና አውሮፕላኖች ትይዩነት

ትምህርት: የትይዩ አውሮፕላኖች ባህሪያት

ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች በሦስተኛው ከተጠለፉ, የመስቀለኛ መንገዳቸው መስመሮች ትይዩ ናቸው.

ማረጋገጫ

ትይዩ አውሮፕላኖች እና ስጡ እና አውሮፕላኖቹን እና ቀጥታ መስመሮችን የሚያቋርጥ አውሮፕላን ይኑር ሀእና ለበዚህ መሠረት (ምስል 1).

ቀጥታ ሀእና ለበተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ማለትም በγ አውሮፕላን ውስጥ ተኛ። ቀጥ ያሉ መስመሮችን እናረጋግጥ ሀእና ለአታቋርጡ።

ቀጥተኛ ከሆነ ሀእና ለየተቆራረጡ, ማለትም, የጋራ ነጥብ ይኖረዋል, ከዚያም ይህ የጋራ ነጥብ የሁለት አውሮፕላኖች እና , እና የማይቻል ነው, እነሱ ከሁኔታዎች ጋር ስለሚመሳሰሉ.

ስለዚህ, ቀጥታ ሀእና ለትይዩዎች ናቸው, እሱም መረጋገጥ ያለበት.

በትይዩ አውሮፕላኖች መካከል የተካተቱት ትይዩ መስመሮች ክፍሎች እኩል ናቸው.

ማረጋገጫ

ትይዩ አውሮፕላኖች እና ትይዩ መስመሮች ይሰጡ ABእና ጋርዲ, እነዚህን አውሮፕላኖች የሚያቋርጡ (ምስል 2.). ክፍሎቹን እናረጋግጥ ABእና ጋርዲእኩል ናቸው.

ሁለት ትይዩ መስመሮች ABእና ጋርዲነጠላ አውሮፕላን ይመሰርታሉ γ, γ = ABዲጋር. አውሮፕላኑ γ ትይዩ አውሮፕላኖችን እና በትይዩ መስመሮችን ያቋርጣል (እንደ መጀመሪያው ንብረት)። ስለዚህ ቀጥተኛ ነው ኤሲእና ውስጥዲትይዩ.

ቀጥታ ABእና ጋርዲእንዲሁም ትይዩ ናቸው (በሁኔታ)። ስለዚህ አራት ማዕዘን ነው ABዲጋር- ትይዩአሎግራም ፣ ምክንያቱም ተቃራኒ ጎኖቹ በጥንድ ትይዩ ናቸው።

ከትይዩዎች ባህሪያት ውስጥ ክፍሎቹን ይከተላል ABእና ጋርዲለማረጋገጥ እንደ አስፈላጊነቱ እኩል ናቸው.

ትይዩ አውሮፕላኖች የማዕዘን ጎኖቹን ወደ ተመጣጣኝ ክፍሎች ይቁረጡ.

ማረጋገጫ

ትይዩ አውሮፕላኖች ይሰጡን እና የማዕዘኑን ጎኖቹን ያቋርጡ ሀ(ምስል 3.) መሆኑን ማረጋገጥ ያስፈልጋል።

ትይዩ አውሮፕላኖች እና በማእዘን አውሮፕላን ተቆርጠዋል ሀ. የማዕዘን አውሮፕላኑን መገናኛ መስመር እንጥራ ሀእና አውሮፕላኖች - ፀሐይ,እና የማዕዘን አውሮፕላኑ መገናኛ መስመር ሀእና አውሮፕላኖች - B 1C 1. እንደ መጀመሪያው ንብረት, የመስቀለኛ መንገድ መስመሮች ፀሐይእና B 1C 1ትይዩ.

ስለዚህ ትሪያንግሎች ኢቢሲእና AB 1C 1ተመሳሳይ። እናገኛለን፡-

3. የ Vitaly Stanislavovich Tsegelny () የሂሳብ ድር ጣቢያ

4. የትምህርታዊ ሀሳቦች ፌስቲቫል "ክፍት ትምህርት" ()

1. ነጥብ ስለ- የእያንዳንዱ ክፍል የጋራ መካከለኛ ነጥብ AA 1፣ BB 1፣ SS 1, በተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ የማይዋሹ. አውሮፕላኖቹ መሆናቸውን ያረጋግጡ ኢቢሲእና ሀ 1 ለ 1 ሲ 1ትይዩ.

2. ትይዩ አውሮፕላኖች በሁለት ሾጣጣ መስመሮች ሊሳሉ እንደሚችሉ ያረጋግጡ.

3. ከሁለቱ ትይዩ አውሮፕላኖች አንዱን የሚያቋርጥ መስመር ሁለተኛውን እንደሚያቋርጥ ያረጋግጡ።

4. ጂኦሜትሪ. ከ10-11ኛ ክፍል: ለአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት ተማሪዎች የመማሪያ መጽሀፍ (መሰረታዊ እና ልዩ ደረጃዎች) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5 ኛ እትም, የተስተካከለ እና የተስፋፋ - ኤም.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: ሕመምተኛ.

ተግባራት 6፣ 8፣ 9 ገጽ 29

የአውሮፕላኖች ትይዩነት. የአንድ አውሮፕላን ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች በቅደም ተከተል ከሌላው አውሮፕላን ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ጋር ትይዩ ከሆኑ እነዚህ አውሮፕላኖች ትይዩ ናቸው።
ማረጋገጫ። ፍቀድ ሀእና ለ- የአውሮፕላን መረጃ; ሀ 1እና ሀ 2- በአውሮፕላኑ ውስጥ ቀጥታ መስመሮች ሀነጥብ A ላይ መቆራረጥ፣ ለ 1እና ለ 2በተመጣጣኝ ሁኔታ, በአውሮፕላኑ ውስጥ ከነሱ ጋር ትይዩ የሆኑ መስመሮች ለ. አውሮፕላኖቹን እናስብ ሀእና ለትይዩ አይደለም፣ ማለትም፣ በተወሰነ ቀጥተኛ መስመር ይገናኛሉ። ጋር. ቀጥታ ሀ 1 ከመስመሩ ጋር ትይዩ ነው። ለ 1, ማለትም ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ነው ለ(በመስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለው ትይዩነት ምልክት)። ቀጥታ ሀ 2 ከመስመሩ ጋር ትይዩ ነው። ለ 2፣ይህ ማለት ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ነው ለ(በመስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለው ትይዩነት ምልክት)። ቀጥታ ጋርየአውሮፕላኑ ባለቤት ነው። ሀ, ይህም ማለት ቢያንስ አንድ ቀጥተኛ መስመሮች ማለት ነው ሀ 1ወይም ሀ 2መስመር ያቋርጣል ጋር፣ማለትም ከእሱ ጋር የጋራ ነጥብ አለው. ግን ቀጥታ ጋርየአውሮፕላኑም ንብረት ነው። ለ, ይህም ማለት መስመሩን ማለፍ ማለት ነው ጋር፣ቀጥታ ሀ 1ወይም ሀ 2አውሮፕላኑን ያቋርጣል ለቀጥተኛ ስለሆኑ ሊሆን አይችልም ሀ 1እና ሀ 2ከአውሮፕላኑ ጋር ትይዩ ለ. ከዚህ በመነሳት አውሮፕላኖቹን ይከተላል ሀእና ለአታቋርጡ, ማለትም, ትይዩ ናቸው.

ቲዎሪ 1 . ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች በሦስተኛው ውስጥ ከተጣመሩ, ከዚያም የመስቀለኛ መንገድ ቀጥታ መስመሮች ትይዩ ናቸው.
ማረጋገጫ። ፍቀድ ሀእና ለ- ትይዩ አውሮፕላኖች, እና ሰ - አውሮፕላኑ ያቆራኛቸዋል. አውሮፕላን ሀከአውሮፕላኑ ጋር የተቆራረጠ ሰ በቀጥታ መስመር ሀ.አውሮፕላን ለከአውሮፕላኑ ጋር የተቆራረጠ ሰበቀጥታ መስመር ለ.የመገናኛ መስመሮች ሀእና ለበተመሳሳይ አውሮፕላን ውስጥ ተኛ ሰ እና ስለዚህ የተጠላለፉ ወይም ትይዩ መስመሮች ሊሆኑ ይችላሉ. ነገር ግን፣ የሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች ባለቤትነት፣ የጋራ ነጥቦች ሊኖራቸው አይችልም። ስለዚህም ትይዩ ናቸው።

ቲዎሪ 2. በሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች መካከል የተዘጉ ትይዩ መስመሮች ክፍሎች እኩል ናቸው.
ማረጋገጫ። ፍቀድ ሀእና ለ- ትይዩ አውሮፕላኖች, እና ሀ እና ለ- ትይዩ መስመሮች እርስ በርስ ይገናኛሉ. ቀጥታ መስመሮች በኩል ሀእና ለእናደርጋለን አውሮፕላን ሰ (እነዚህ መስመሮች ትይዩ ናቸው, ማለትምአውሮፕላንን ይግለጹ, እና አንድ ብቻ). አውሮፕላን ሀከአውሮፕላኑ ጋር የተቆራረጠ ሰ ቀጥታ መስመር AB ውስጥ . አውሮፕላን ለከአውሮፕላኑ ጋር የተቆራረጠ ሰከቀጥታ መስመር ኤስዲ ጋር።በቀደመው ቲዎሪ መሰረት፣ቀጥታ መስመር ጋርከመስመሩ ጋር ትይዩ መ. ቀጥታ አ፣ለ፣ AB እና ኤስዲ የአውሮፕላኑ ነው። ሰበእነዚህ መስመሮች የታሰረ አራት ማዕዘን ቅርጽ ያለው ትይዩ (የተቃራኒው ጎኖቹ ትይዩ ናቸው). እና ይህ ትይዩ ስለሆነ ተቃራኒ ጎኖቹ እኩል ናቸው ማለትም AD = BC

የ ፓ ንብረት ትይዩ መስመሮች, ተሻጋሪ ተብለው ይጠራሉትይዩነት፡-

• ሁለት መስመሮች ሀ እና b ከሦስተኛው መስመር ሐ ጋር ትይዩ ከሆኑ ትይዩ ናቸው። እርስ በርሳችን።

ግን ይህንን ንብረት በስቲሪዮሜትሪ ማረጋገጥ የበለጠ ከባድ ነው። በአውሮፕላን ላይ፣ ትይዩ ያልሆኑ መስመሮች መቆራረጥ አለባቸው እና በተመሳሳይ ጊዜ ከሶስተኛ መስመር ጋር ትይዩ ሊሆኑ አይችሉም (አለበለዚያ ትይዩ አክሲየም ተጥሷል)። በፕሮበጠፈር ውስጥ ትይዩ ያልሆኑ እና አሉየተቆራረጡ መስመሮች መጠንበተለያዩ አውሮፕላኖች ውስጥ ቢዋሹ. እንደነዚህ ያሉት ቀጥታ መስመሮች ይሻገራሉ ይባላል.

በስእል. 4 ኩብ ያሳያል; ቀጥታ መስመሮች AB እና BC እርስ በርስ ይገናኛሉ, AB እና ሲዲትይዩ ናቸው፣ እና AB እና B ጋር እርስበርስ. ለወደፊቱ, ብዙውን ጊዜ በምሳሌ ለማስረዳት ወደ ኩብ እርዳታ እንጠቀማለንየስቴሪዮሜትሪ ጽንሰ-ሀሳቦችን እና እውነታዎችን መለየት። የእኛ ኩብ ከስድስት ካሬ ፊት አንድ ላይ ተጣብቋል. በዚህ መሠረት ሌሎች ንብረቶቹን እናመጣለን. ለምሳሌ፣ AB መስመር ከ C ጋር ትይዩ ነው ማለት እንችላለንመ፣ምክንያቱም ሁለቱም ከሲዲው የጋራ ጎን ጋር ትይዩ ናቸውአራት ማዕዘን ቅርጾችን ይይዛሉ.

በስቲሪዮሜትሪ ውስጥ, ትይዩነት ያለው ግንኙነት ለአውሮፕላኖችም ግምት ውስጥ ይገባል-ሁለት አውሮፕላኖችአንድ መስመር ወይም መስመር እና አውሮፕላን የጋራ ነጥቦች ከሌላቸው ትይዩ ናቸው. በአውሮፕላኑ ውስጥ በሚተኛበት ጊዜ እንኳን ቀጥተኛ መስመርን እና አውሮፕላንን ትይዩ ለማድረግ ተስማሚ ነው. ለአውሮፕላኖች እና ቀጥታ መስመሮች የሚከተሉት የመሸጋገሪያ ጽንሰ-ሐሳቦች ልክ ናቸው፡

• ሁለት አውሮፕላኖች ከሦስተኛው አውሮፕላን ጋር ትይዩ ከሆኑ, ከዚያም እርስ በርስ ትይዩ ናቸው.
• አንድ መስመር እና አውሮፕላን ከአንዳንድ መስመር (ወይም አውሮፕላን) ጋር ትይዩ ከሆኑ, ከዚያም እርስ በርስ ትይዩ ናቸው.

የሁለተኛው ቲዎሪ በጣም አስፈላጊው ልዩ ጉዳይ በመስመር እና በአውሮፕላን መካከል ያለው ትይዩነት ምልክት ነው-

• አንድ መስመር በዚህ አውሮፕላን ውስጥ ካለው የተወሰነ መስመር ጋር ትይዩ ከሆነ ከአውሮፕላን ጋር ትይዩ ነው።

እና የትይዩ አውሮፕላኖች ምልክት እዚህ አለ

• በአንድ አውሮፕላን ውስጥ ሁለት የተቆራረጡ መስመሮች በቅደም ተከተል ከሌላው አውሮፕላን ውስጥ ከሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ጋር ተመሳሳይ ከሆኑ አውሮፕላኖቹ ትይዩ ናቸው.

የሚከተለው ቀላል ንድፈ ሐሳብ ብዙውን ጊዜ ጥቅም ላይ ይውላል.

• ሁለት ትይዩ አውሮፕላኖች ከሶስተኛው ጋር የሚገናኙበት መስመሮች እርስ በርስ ትይዩ ናቸው.

ኩብኩን እንደገና እንመልከተው (ምስል 4). በመስመር እና በአውሮፕላን መካከል ካለው ትይዩነት ምልክት ፣ ለምሳሌ ፣ ያ ቀጥተኛ መስመር A ውስጥ ከአውሮፕላን ABCD ጋር ትይዩ (በዚህ አውሮፕላን ውስጥ AB ከመስመር ጋር ትይዩ ስለሆነ) እና የኩብ ተቃራኒ ፊቶች በተለይም ሀ ውስጥ ጋር ዲ እና ABCD፣ በአውሮፕላኖች ትይዩነት ላይ የተመሰረተ ትይዩ፡ ቀጥታ መስመሮች ሀ ለ እና ለ ጋር በአንደኛው ፊት በቅደም ተከተል ከ AB እና ከ BC ቀጥታ መስመሮች ጋር ትይዩ ናቸው. እና ትንሽ ትንሽ ቀላል ምሳሌ። ትይዩ መስመሮችን የያዘ አውሮፕላን AA እና ኤስ.ኤስ, ትይዩ አውሮፕላኖችን አቋርጦ ABCD እና A ለ ሲ ዲ ቀጥታ መስመር AC እና A ጋር, ይህ ማለት እነዚህ መስመሮች ትይዩ ናቸው፡ በተመሳሳይ መልኩ ትይዩ መስመሮች ለ ሲ እና ኤ መ ስለዚህ, ትይዩ አውሮፕላኖች AB ሲ እና ኤ ዲሲ ኩብውን በሦስት ማዕዘኖች ያቋርጣል።

III. የቦታ ምስሎች ምስል.

እንደዚህ ያለ አፍሪዝም ጂኦሜትሪ አለፈተና ነው።በተሳሳተ ስዕል ላይ በትክክል የማመዛዘን ችሎታ. በእርግጥ, ወደ ብንመለስከላይ በተጠቀሰው ምክንያት ላይ በመመስረት, እንደሚከተለው ይሆናል.

ከዚህ ጋር ተያይዞ ካለው የኪዩብ ሥዕል ያገኘነው ጥቅም ለማስረዳት የተወሰነ ቦታ መቆጠብ ነው።NI ማስታወሻዎች. ልክ እንደ አካል በስእል በቀላሉ ሊገለጽ ይችላል። 4, እኔ, ምንም እንኳን, ግልጽ በሆነ መልኩ, በእሱ ላይ የተወከለው ነገር ኩብ ብቻ ሳይሆን ፖሊሄድሮን አይደለም. ሆኖም፣ ከላይ ያለው አፎሪዝም የእውነትን ክፍል ብቻ ይዟል። ከሁሉም በኋላ, ከመወያየት በፊትየተጠናቀቀ ማስረጃ ያቅርቡ, መሆን አለበትአስብ። እና ለዚህም የተሰጠውን ምስል, በእሱ አካላት መካከል ያለውን ግንኙነት በግልፅ መገመት ያስፈልግዎታል. ጥሩ ስዕል እንዲህ ያለውን ሀሳብ ለማዳበር ይረዳል. ከዚህም በላይ, እንደምናየው, በስቲሪዮሜትሪ ውስጥ የተሳካ ስዕል ሊሰራ ይችላልምሳሌ ብቻ ሳይሆን ችግርን ለመፍታት መሠረት ሊሆን ይችላል።

አርቲስት (ወይም ይልቁንም እውነተኛ አርቲስት) በርቷል።ኪዩባችንን እኛ ባየነው መንገድ ይሳባል (ምሥል 5፣ ለ) ማለትም በአመለካከት ወይም በማዕከላዊምንም ትንበያ የለም. በማዕከላዊ ትንበያ ከ O (የፕሮጀክሽን ማእከል) ወደ አውሮፕላኑ ሀ ፣የዘፈቀደ ነጥብ X በአንድ ነጥብ X ይወከላል ይህም ቀጥታ መስመር ኦክስን የሚያቋርጥበት (ምስል 6)። ማዕከላዊ ትንበያ ቀጥተኛነትን ይጠብቃልየነጥቦች መስመራዊ አቀማመጥ ፣ ግን እንደ አንድ ደንብ ፣ ትይዩ መስመሮችን ወደ መገናኛዎች ይለውጣልመለወጥ, ርቀቶችን እና ማዕዘኖችን እንደሚቀይር ሳይጠቅሱ. ንብረቶቹን በ ላይ በማጥናትአንድ አስፈላጊ የጂኦሜትሪ ክፍል እንዲፈጠር ምክንያት ሆኗል (ጽሑፉን ይመልከቱ የፕሮጀክቲቭ ጂኦሜትሪ)።

ነገር ግን በጂኦሜትሪክ ስዕሎች ውስጥ የተለየ ትንበያ ጥቅም ላይ ይውላል. ማእከላዊው ኦ ወደ ወሰን አልባነት ሲሸጋገር እና ቀጥታ መስመሮች ኦክስ ፓ ሲሆኑ ከማዕከላዊ ይገኛል ማለት እንችላለን.ትይዩ.

አንድ አውሮፕላን እንመርጣለን እና ቀጥ ያለ መስመር l የሚያቋርጠው። ቀጥታ መስመር በነጥብ X፣ ፓ እንሳልትይዩ l. ይህ መስመር ከ ሀ ጋር የሚገናኝበት ነጥብ X በአውሮፕላኑ ላይ የ X ትይዩ ትንበያ ነው፣ a በቀጥተኛው መስመር l (ምስል 7)። ስለየአንድ ምስል ትንበያ የሁሉም ነጥቦቹን ትንበያዎች ያካትታል። በጂኦሜትሪ ውስጥ, የአንድ ምስል ምስል የእሱ ትይዩ ትንበያ ነው.

በተለይም, ቀጥተኛ መስመር ምስልቀጥተኛ መስመር ነው ወይስ (በተለዩ ጉዳዮች)ሻይ, መስመሩ ከትንበያ አቅጣጫ ጋር ትይዩ ሲሆን) ነጥብ. በምስሉ ላይ ትይዩ አለ