ርዕሰ ጉዳይ፡-

የቀኝ ትሪያንግል ንጥረ ነገሮች ባህሪዎች። የቢሴክተር ንብረት የሶስት ማዕዘን ማዕዘን.

በማዘጋጃ ቤት የትምህርት ተቋም የሂሳብ መምህር

አማካይ ሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት №13

ኮስትሮማ 2009

የማብራሪያ ማስታወሻ

እነዚህን ዳይዲክቲክ ቁሳቁሶች በሚሰበስቡበት ጊዜ የሚከተሉት ግቦች ተቀምጠዋል።

መምህሩን እንዲያደራጅ እርዱት የትምህርት ሂደትርዕሶችን በሚያጠኑበት ጊዜ "የሶስት ማዕዘን ባለ ሁለት ማዕዘን ንብረት" እና "የቁመቱ ንብረት ከጫፍ ወድቋል. ቀኝ ማዕዘንወደ hypotenuse"

በእነዚህ ርዕሶች ላይ የጂኦሜትሪ መማሪያ መጽሐፍን በተግባሮች ይሙሉ ገለልተኛ ሥራተማሪዎች;

በሂሳብ ውስጥ የተዋሃደ የስቴት ፈተናን ለማዘጋጀት ተግባራትን መለየት.

እነዚህ ዳይዲክቲክ ቁሳቁሶች ከትክክለኛ ትሪያንግሎች ተመሳሳይነት የተነሳ በንብረት አተገባበር ላይ ስራዎችን የመፍታት ክህሎቶችን ለማጠናከር ይረዳሉ. የተግባር ምርጫ ለአሁኑ እና ለመጨረሻ ቁጥጥር ፣ ለገለልተኛ ስራ ፣ ለ የግለሰብ ምደባበቤት ውስጥ, በ 9 ኛ ክፍል እና በ 10-11 ኛ ክፍል ውስጥ ቁሳቁሶችን ሲደግሙ እና ለተዋሃዱ የስቴት ፈተና ሲዘጋጁ. ቁሳቁሶቹ 22 ችግሮችን ያቀርባሉ, ግማሾቹ ከመፍትሄዎች ጋር ይያዛሉ. ከታሰቡት ጋር ተመሳሳይነት ያላቸው ችግሮች በክፍል ውስጥ ለገለልተኛ መፍትሄ ወይም እንደ ሀ የቤት ስራ. ተግባሮቹ በችግር መጨመር በቅደም ተከተል የተደረደሩ ናቸው.

እኔ እንደ አስተማሪ በዚህ ልዩ ርዕስ ላይ የተግባር ምርጫ ለምን አስፈለገኝ? እዚህ በርካታ መልሶች አሉ። በመጀመሪያ ፣ በምሠራበት የመማሪያ መጽሐፍ ውስጥ ፣ በዚህ ርዕስ ላይ ምንም ችግሮች የሉም (ሁለት ችግሮች ብቻ-ቁጥር 40 ገጽ 106 እና ሌሎች በርካታ ችግሮች በዲዳክቲክ ቁሳቁሶች) ፣ ግን እነሱ ተመሳሳይ ዓይነት እና በአጠቃላይ አያደርጉም ። ማንጸባረቅ የተለያዩ ሁኔታዎችንብረቶችን ለመተግበር. የሶስት ማዕዘን ማዕዘን ባለ ሁለት ማዕዘን ባህሪያትን በመተግበር ላይ ምንም ችግሮች የሉም.

በሁለተኛ ደረጃ, ይህ ርዕስ ከአንድ ጊዜ በላይ ተንጸባርቋል የተዋሃዱ የስቴት ፈተና ቁሳቁሶች, እና ስለዚህ ይህንን ርዕስ ለተማሪዎች በበለጠ ዝርዝር መዘርዘር አስፈላጊ እንደሆነ እቆጥረዋለሁ. በሂሳብ ፈተና ውስጥ የጂኦሜትሪ ችግሮች ቁጥር ጨምሯል።

ስነ ጽሑፍ፡

« የፈተና ጥያቄዎችእና ለ 5" መልሶች

"ለዩኒቨርሲቲዎች አመልካቾች መመሪያ"

Zelensky I.I. "በችግሮች ውስጥ ጂኦሜትሪ" የሂሳብ ተከታታይ: "ዳግም አስነሳ"

"በጂኦሜትሪ ውስጥ የችግሮች ስብስብ"

Ziv A.G. "የጂኦሜትሪ ችግሮች"

ጉሴቭ አ.አይ. Didactic ቁሶችበጂኦሜትሪ"

ርዕስ

ንብረት ቁጥር 1

የቀኝ ትሪያንግል ቁመት ከትክክለኛው አንግል ጫፍ ላይ በእግሮቹ ትንበያ መካከል ያለው አማካይ ተመጣጣኝ ነው hypotenuse

ንብረት ቁጥር 2

የቀኝ ትሪያንግል እግር በ hypotenuse እና በ hypotenuse መካከል ያለው አማካይ ተመጣጣኝ ነው።

ንብረት ቁጥር 3

የሶስት ጎንዮሽ ቢሴክተር ተቃራኒውን ጎን ከሌሎቹ ሁለት ጎኖች ጋር ተመጣጣኝ በሆነ ክፍልፋዮች ይከፍላል

ደረጃ A

A1 የሶስት ማዕዘኑ ዙሪያ 25 ሴ.ሜ ነው ፣ እና የቢሴክተሩ ተቃራኒውን ጎን ከ 7.5 ሴ.ሜ እና 2.5 ሴ.ሜ ጋር እኩል በሆነ ክፍልፋዮች ይከፍላል ። የሶስት ማዕዘኑን ጎኖቹን ይፈልጉ።

A2 የሶስት ማዕዘኑ ዙሪያ 35 ሴ.ሜ ነው ። የሶስት ማዕዘኑ ቢሴክተር ተቃራኒውን ጎን የሚከፋፍልባቸውን ክፍሎች ይፈልጉ።

A3 ከቀኝ ትሪያንግል እግሮች አንዱ 10 ዲኤም ነው ፣ እና በ hypotenuse ላይ ያለው ትንበያ 8 ዲኤም ነው። ሁለተኛውን እግር እና hypotenuse ያግኙ.

A4 ወደ hypotenuse ያላቸውን ትንበያ 36 ሴሜ 64 ሴሜ ከሆነ የቀኝ ትሪያንግል እግሮች ያግኙ.

A5 የቀኝ ትሪያንግል ከፍታ ከቀኝ አንግል ወርድ ላይ ያለውን ቦታ ይፈልጉ hypotenuse ን ወደ ክፍል 4 ሴሜ እና 9 ሴ.ሜ ከከፈለ።

A6 የቀኝ ትሪያንግል ከፍታ ከቀኝ አንግል ጫፍ ወደ ሃይፖቴኑዝ 4. ከእግሮቹ አንዱ 8 ከሆነ ሃይፖቴኑሱን ይፈልጉ።

ደረጃ B

B1 B የቀኝ ሶስት ማዕዘንወደ hypotenuse የሚቀርበው ቁመት 36 ሴ.ሜ ነው እና በ 9:16 ሬሾ ውስጥ ወደ ክፍልፋዮች ይከፍላል ። RAVS ያግኙ

https://pandia.ru/text/78/060/images/image003_197.gif" width="71" height="23">፤ SK2= AK ∙ HF;

362 = 9x∙16x; 1296 = 144x2; x2 = 9; x = 3

AK=27 ሴሜ; ቪኬ=48 ሴሜ; AB=75 ሴሜ

2) ከ ∆ AKS በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሰረት፡ AC= https://pandia.ru/text/78/060/images/image006_144.gif" width="49" height="24 src=">=45 (ሴሜ) )

ከ ∆ ኤቢሲ በፒታጎሪያን ቲዎሪ መሰረት፡ BC===60 (ሴሜ)

3) ፒ ኤቢሲ = AC+AB+BC; RABC = 180 ሴ.ሜ.

መልስ 180 ሴ.ሜ

B2 በቀኝ ትሪያንግል፣ ወደ ሃይፖቴኑዝ የሚቀርበው ከፍታ በ16፡9 ውስጥ ወደ ክፍልፋዮች ይከፍለዋል። የሶስት ማዕዘን ረጅሙ እግር 60 ሴ.ሜ ነው. የዚህን ቁመት ርዝመት ያግኙ. (ይህ ችግር ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ነው እና ስለዚህ መፍትሄው አይታሰብም )

መልስ: 36 ሴ.ሜ

B3 A perpendicular በክበቡ ላይ ካለው ነጥብ ወደ ዲያሜትር ይሳላል, ይህም ዲያሜትሩን በ 9: 4 ውስጥ ርዝመታቸው ወደ ክፍልፋዮች ይከፍላል. የቋሚው ርዝመት 24 ሴ.ሜ ከሆነ ዙሪያውን ይፈልጉ.

https://pandia.ru/text/78/060/images/image010_107.gif" width="12" height="19">AO = 26 ሴሜ

3) ዙሪያውን ለማግኘት ቀመሩን ይተግብሩ፡ L = 2https://pandia.ru/text/78/060/images/image011_97.gif" width="15" height="15 src="> ሴሜ

መልስ፡ 52https://pandia.ru/text/78/060/images/image012_89.gif" width="208" height="172 src=">መፍትሄ

1) የተሳለውን ቁመት ንብረቱን እንተገብረው

ከትክክለኛው አንግል ጫፍ ∆ABC እስከ hypotenuse AC: VK= https://pandia.ru/text/78/060/images/image014_72.gif" width="83" height="27">ሴሜ፣ AK =4ሴሜ፣ KS =16ሴሜ።

2) ከ∆AKV በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሰረት፡-

3) ከ∆VKS በፓይታጎሪያን ቲዎሪ መሰረት፡-

4) SAVSD = AB ∙; S ABCD = 160 ሴሜ 2

መልስ: 160cm2

B6 ከአራት ማዕዘኑ ተቃራኒ ማዕዘኖች ጫፎች ወደ ዲያግናል (ፔርዲዲኩላር) ይሳባሉ ፣ ከመሠረቱ መካከል ያለው ርቀት 16 ሴ.ሜ ነው ። የእነዚህ ቋሚዎች ርዝመቶች 6 ሴ.ሜ ከሆነ የሬክታንግል ቦታውን ይፈልጉ. (ችግሩ ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ ነው, ስለዚህ መፍትሄው አልቀረበም)

መልስ: 120cm2

ችግሮች B7, B8, B9 ለተማሪዎች እንደ የቤት ስራ ወይም ወደ ክፍል ሊወሰዱ ይችላሉ. ገለልተኛ ውሳኔበክፍል ውስጥ

Q7 የቀኝ ትሪያንግል ስፋት 150 ነው ፣ አንደኛው እግሮቹ 15 ነው ። ከቀኝ አንግል ጫፍ ላይ የወደቀውን ቁመት ይፈልጉ ።

Q8 ከቀኝ አንግል ጫፍ ወደ ሃይፖቴኑዝ የተሳለው የቀኝ ትሪያንግል ከፍታ ከእግሮቹ አንዱ 8 ከሆነ ሃይፖቴንነስን ይፈልጉ።

Q9 የቀኝ ትሪያንግል ቁመት፣ ወደ ሃይፖቴኑዝ ዝቅ ብሎ፣ ከ b ጋር እኩል ነው፣ እና ከአጣዳፊ ማዕዘኖች አንዱ 60○ ነው። hypotenuse ን ያግኙ።

B10 የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ቢሴክተር 12 ሴ.ሜ እና 15 ሴ.ሜ የሆነ እግር ይከፍላል ። ክፍሎቹን በመጠቀም የሶስት ማዕዘን ቦታን ያግኙ.

https://pandia.ru/text/78/060/images/image022_49.gif" width="148" height="41">

x የተመጣጣኝ ቅንጅት ይሁን፣ እንግዲህ

5x - ጎን AB ፣ 4x - የጎን AC

2) ለ ∆ACV የፓይታጎሪያን ቲዎሬም እንተገብራለን

AB2 = AC2 + BC2;

25x2 = 16x2 +729;

3) የሶስት ማዕዘኑ አካባቢ ቀመርን ይተግብሩ: S∆ = AC∙BC; AC = 36 (ሴሜ); ፀሐይ = 27(ሴሜ)

S∆ASV =486 ሴሜ2

መልስ: 486 ሴሜ 2

Q11፣ Q12 ከቀዳሚው ችግር ጋር ተመሳሳይ ናቸው።

B11 የሶስት ማዕዘኑ የቀኝ አንግል ቢሴክተር ሃይፖቴኑሱን ወደ 15 ሴ.ሜ እና 20 ሴ.ሜ ክፍሎች ይከፍላል ። የሶስት ማዕዘን ቦታን ያግኙ.

መልስ፡ 294cm2

Q12 በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ የአጣዳፊ አንግል ቢሴክተር ተቃራኒውን እግር ወደ 8 ሴ.ሜ እና 10 ሴ.ሜ ርዝመት ክፍሎች ይከፍላል ። የዚህን ትሪያንግል ዙሪያ ይፈልጉ።

መልስ: 72 ሴ.ሜ

B13 የቀኝ ትሪያንግል የቀኝ አንግል ቢሴክተር ሃይፖቴንስን ወደ 20 ሴ.ሜ እና 15 ሴ.ሜ ክፍሎች ይከፍላል ። የተቀረጸውን ክበብ ራዲየስ ያግኙ።

https://pandia.ru/text/78/060/images/image025_41.gif" width="148" height="41">

2) x የተመጣጣኝ ቅንጅት ይሁን፣ ከዚያም AC -4x፣ CB-3x

ለ ∆ASV የፓይታጎሪያን ቲዎረም እንተገብራለን፡-

AB2 = AC2+CB2

x=7 AC=28ሴሜ፣ CB=21ሴሜ

3) የተቀረጸውን ክበብ ራዲየስ ለማግኘት ቀመሩን ተግብር፡- አር ═;r=ሴሜ

መልስ: 7 ሴ.ሜ

B14 የቀኝ ትሪያንግል አጣዳፊ አንግል ባለ ሁለት ክፍል እግሩን ወደ 10 ሴ.ሜ እና 26 ሴ.ሜ ክፍሎች ይከፍላል ። በዚህ ትሪያንግል ዙሪያ ዙሪያ ያለውን ራዲየስ ያግኙ።

መፍትሄ 44" height="28" bgcolor="ነጭ" style="vertical-align:top;background: white"> 2) x የተመጣጠነ ተመጣጣኝነት (coefficient of proportionality) ይሁን፣ ከዚያ ጎን

AB - 13x፣ AC - 5x

3) የፓይታጎሪያንን ቲዎሬም ለ ∆ ASV እንተገብረው፡-

AB2= AC2 + BC2

169x2= 1396+25x2https://pandia.ru/text/78/060/images/image030_35.gif">4) በቀኝ ትሪያንግል ዙሪያ የተከበበው የክበቡ መሃል የhypotenuseR= R=19.5 ሴሜ መካከለኛ ነጥብ ነውና።

መልስ: 19.5 ሴሜ

Q15, Q16, Q17 በቤት ውስጥ ሊመደብ ይችላል, ከዚያም በክፍል ውስጥ መሞከር.

ችግር ቁጥር 15 የቀኝ ትሪያንግል የቀኝ ማዕዘን ቢሴክተር በ 4: 3 ሬሾ ውስጥ hypotenuseን ወደ ክፍሎች ይከፍላል. የተቀረጸው ክበብ ራዲየስ 7 ከሆነ እነዚህን ክፍሎች ያግኙ።

መልስ: 32 ሴሜ እና 24 ሴሜ

በ 1 ውስጥ 6 ከአራት ማዕዘኑ ጫፍ ላይ የተሳለ ቢሴክተር ዲያግራኑን ወደ 65 ሴ.ሜ እና 156 ሴ.ሜ ክፍሎች ይከፍላል ። የአራት ማዕዘኑን ቦታ ይፈልጉ።

መልስ 17340cm2

Q17በቀኝ ትሪያንግል ዙሪያ የተከበበው የክበብ ርዝመት 39https://pandia.ru/text/78/060/images/image023_47.gif" width="16" height="41">DВ∙DК፤ ВD - ? DК - ?

2) የሄሮን ቀመር በመጠቀም S∆ABCን እንፈልግ፡ p = 21፣ S∆ABC = 84።

3) በሌላ በኩል S ∆ABC = AC∙DB AC∙DB = 2S; DВ =; ዲቢ = 12;

4) AK = x, ከዚያም SC = 14 - x እንውሰድ; የሶስት ማዕዘን ማዕዘን ባለ ሁለት ማእዘን ንብረቱን እንተገብረው፡ = https://pandia.ru/text/78/060/images/image036_29.gif" width="21" height="41 src=">.gif" width = "20" ቁመት= "16 src="> x = 6.5: AK = 6.5

5) DK = AK - AD..gif" ስፋት = "16" ቁመት = "41 src=">∙12∙1.5 = 9.

C2 በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ፣ ቢሴክተር እና ከፍታ ከቀኝ አንግል ወርድ ላይ ይሳሉ። የሶስት ማዕዘኑ አጣዳፊ አንግል ታንጀንት 3 ከሆነ በመካከላቸው ያለውን አጣዳፊ አንግል ታንጀንት ይፈልጉ።

ትሪያንግል - ባለ ሶስት ጎን, ወይም የተዘጋ የተሰበረ መስመርበሶስት ማገናኛዎች ወይም በሶስት ክፍሎች የተሰራ ምስል በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ የማይዋሹ ሶስት ነጥቦችን በማገናኘት (ምስል 1 ይመልከቱ).

የሶስት ማዕዘን ኤቢሲ መሰረታዊ ነገሮች

ጫፎች - ነጥቦች A, B እና C;

ፓርቲዎች - ክፍሎች a = BC, b = AC እና c = AB ማለፊያዎችን በማገናኘት;

ማዕዘኖች - α, β, γ በሶስት ጥንድ ጎኖች የተሰራ. ማዕዘኖች ብዙውን ጊዜ ከቁመቶች ጋር በተመሳሳይ መንገድ ይሰየማሉ ፣ ከ A ፣ B እና C ፊደሎች ጋር።

በሦስት ማዕዘኑ ጎኖች የተገነባው እና በውስጠኛው አካባቢ የሚተኛ አንግል ውስጣዊ ማዕዘን ተብሎ ይጠራል ፣ እና ከእሱ አጠገብ ያለው የሶስት ማዕዘኑ አጠገብ ያለው አንግል ነው (2 ፣ ገጽ 534)።

የሶስት ማዕዘን ቁመቶች፣ ሚዲያኖች፣ ቢሴክተሮች እና መካከለኛ መስመሮች

በሶስት ማዕዘን ውስጥ ከሚገኙት ዋና ዋና ነገሮች በተጨማሪ, አስደሳች ባህሪያት ያላቸው ሌሎች ክፍሎችም ይቆጠራሉ-ቁመቶች, መካከለኛ, ቢሴክተሮች እና መካከለኛ መስመሮች.

ቁመት

የሶስት ማዕዘን ቁመቶች- እነዚህ ከሦስት ማዕዘኑ ጫፎች ወደ ተቃራኒ ጎኖች የሚወርዱ ቀጥ ያሉ ቅርጾች ናቸው።

ቁመቱን ለመሳል የሚከተሉትን ደረጃዎች ማከናወን አለብዎት:

1) ከሦስት ማዕዘኑ ጎን አንዱን የያዘ ቀጥ ያለ መስመር ይሳሉ (ቁመቱ ከጠንካራ አንግል ጫፍ በ obtuse triangle ውስጥ ከተወሰደ);

2) ከተሰየመው መስመር ተቃራኒው ከተኛበት ጫፍ ፣ ከነጥቡ ወደዚህ መስመር አንድ ክፍል ይሳሉ ፣ ከእሱ ጋር 90 ዲግሪ አንግል ያድርጉ።

ከፍታው የሶስት ማዕዘኑን ጎን የሚያቋርጥበት ቦታ ይባላል ቁመት መሠረት (ምስል 2 ይመልከቱ).

የሶስት ማዕዘን ከፍታ ባህሪያት

በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ, ከቀኝ ማዕዘን ጫፍ ላይ የተቀመጠው ከፍታ ከመጀመሪያው ሶስት ማዕዘን ጋር ተመሳሳይ ወደ ሁለት ትሪያንግል ይከፍላል.

በአጣዳፊ ትሪያንግል ውስጥ፣ ሁለቱ ቁመታቸው ተመሳሳይ የሆኑ ሶስት ማዕዘኖችን ቆርጠዋል።

ትሪያንግል አጣዳፊ ከሆነ ፣ ሁሉም የከፍታዎቹ መሰረቶች የሶስት ማዕዘኑ ጎኖች ናቸው ፣ እና obtuse triangleሁለት ከፍታዎች በጎኖቹ ቀጣይ ላይ ይወድቃሉ.

ውስጥ ሶስት ከፍታ አጣዳፊ ትሪያንግልበአንድ ነጥብ ላይ መቆራረጥ እና ይህ ነጥብ ይባላል ኦርቶሴንተር ትሪያንግል.

ሚዲያን

ሚዲያዎች(ከላቲን ሚዲያና - "መካከለኛ") - እነዚህ የሶስት ማዕዘን ጫፎች ከተቃራኒው ጎኖች መካከለኛ ነጥቦች ጋር የሚያገናኙ ክፍሎች ናቸው (ምሥል 3 ይመልከቱ).

መካከለኛውን ለመገንባት የሚከተሉትን ደረጃዎች ማከናወን አለብዎት:

1) የጎን መሃል ይፈልጉ;

2) የሶስት ማዕዘን ጎን መሃከል ያለውን ነጥብ ከተቃራኒው ጫፍ ጋር ከክፍል ጋር ያገናኙ.

የሶስት ማዕዘን ሚዲያን ባህሪያት

መካከለኛው አንድ ሶስት ማዕዘን እኩል ስፋት ያለው ወደ ሁለት ትሪያንግል ይከፍላል.

የሶስት ማዕዘኑ መካከለኛዎች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ, ይህም እያንዳንዳቸው በ 2: 1 ሬሾ ውስጥ ይከፋፈላሉ, ከጫፍ ቆጠራ. ይህ ነጥብ ይባላል የስበት ማዕከል ትሪያንግል.

ሙሉው ትሪያንግል በመካከለኛዎቹ ወደ ስድስት እኩል ትሪያንግሎች ተከፍሏል።

ቢሴክተር

ቢሴክተሮች(ከላቲን ቢስ - ሁለት ጊዜ እና ሰኮ - የተቆረጠ) በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ የተዘጉ ቀጥታ መስመር ክፍሎች ማዕዘኖቹን በሁለት የሚከፋፍሉ ናቸው (ምሥል 4 ይመልከቱ)።

ባለ ሁለት ክፍልን ለመገንባት የሚከተሉትን ደረጃዎች ማከናወን አለብዎት:

1) ከማዕዘኑ ጫፍ ላይ የሚወጣውን ሬይ ይሠራል እና ወደ ሁለት እኩል ክፍሎችን ይከፋፍሉት (የማዕዘኑ ቢሴክተር);

2) ከተቃራኒው ጎን ጋር የሶስት ማዕዘኑ የቢሴክተር መገናኛ ነጥብ ማግኘት;

3) የሶስት ማዕዘኑን ጫፍ በተቃራኒው በኩል ካለው መገናኛ ነጥብ ጋር የሚያገናኘውን ክፍል ይምረጡ.

የሶስት ጎንዮሽ ብስክሌቶች ባህሪያት

የሶስት ማዕዘን ማዕዘን ባለ ቢስክተር በሬሾው ውስጥ ተቃራኒውን ጎን ይከፍላል ከሬሾው ጋር እኩል ነውሁለት ተያያዥ ጎኖች.

ቢሴክተሮች ውስጣዊ ማዕዘኖችትሪያንግሎች በአንድ ነጥብ ይገናኛሉ። ይህ ነጥብ የተቀረጸው ክበብ መሃል ይባላል.

የውስጣዊ እና ውጫዊ ማዕዘኖች ብስክሌቶች ቀጥ ያሉ ናቸው.

የ bisector ከሆነ ውጫዊ ጥግትሪያንግል የተቃራኒውን ጎን ቀጣይነት ያቋርጣል፣ ከዚያም ADBD=ACBC።

የሶስት ማዕዘን አንድ ውስጣዊ እና ሁለት ውጫዊ ማዕዘኖች በአንድ ነጥብ ላይ እርስ በርስ ይገናኛሉ. ይህ ነጥብ ከሦስቱ የአንዱ ማዕከል ነው። ኤክበቦችይህ ሶስት ማዕዘን.

የሶስት ማዕዘኑ ሁለት ውስጣዊ እና አንድ ውጫዊ ማዕዘኖች የቢሴክተሮች መሠረቶች በተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር ላይ ይተኛሉ የውጪው አንግል ቢሴክተር ከትሪያንግል ተቃራኒው ጋር ተመሳሳይ ካልሆነ።

የሶስት ማዕዘን ውጫዊ ማዕዘኖች ቢሴክተሮች ከተቃራኒ ጎኖች ጋር ትይዩ ካልሆኑ መሠረታቸው በተመሳሳይ ቀጥተኛ መስመር ላይ ነው.

ሰላም, ውድ አንባቢዎች! ዛሬ ችግሮችን መፍታት እንጀምራለንየሶስት ማዕዘን የቢስክ እና መካከለኛ ባህሪያት. በመጀመሪያ ፣ ቢሴክተር እና ሚዲያን ምን እንደሆኑ እናስታውስ።
ቢሴክተር - ይህ ከሦስት ማዕዘኑ አንግል ጫፍ የሚዘረጋው ክፍል ሲዲ ነው። አንግል bisects እና በተቃራኒው በኩል ያበቃል.
ሚዲያን የሲኤም ክፍል ነው, እሱምያገናኛል የሶስት ማዕዘን ጫፍጋር በተቃራኒው በኩል መሃል.
ትሪያንግል ሶስት እርከኖች እና ሶስት ጎኖች ስላሉት እንዲሁም ሶስት ሚዲያን ቢሴክተሮች ይኖሩታል።

ተግባር 1. አራት ማዕዘን ተሰጥቷል ትሪያንግል ኤቢሲ. መካከለኛው AD እና bisector AM ከወርድ A ወደ ጎን BC ይሳሉ። በመካከለኛው እና በቢሴክተሩ መካከል ያለው አንግል 17 ° ነው. አግኝ ሹል ማዕዘኖችትሪያንግል.
መፍትሄ፡- AM ባለ ሁለት ክፍል ስለሆነ ፣ ከዚያ አንግል BAM ከማዕዘን ጋር እኩል ነው MAC እና እነሱ ከ 45 ° ጋር እኩል ናቸው. ግን አንግል DAM 17 ° ነው. ስለዚህ የ VAD አንግል በቪኤም እና LAM መካከል ካለው ልዩነት ወይም 45-17 = 28° ጋር እኩል ነው።
ያንን እናውቃለን ከቀኝ ትሪያንግል ቀኝ አንግል ቬቴክስ የተሳለው ሚዲያን ይህንን ትሪያንግል ወደ 2 isosceles triangles ይከፍለዋል። ማለትም ትሪያንግሎች АВД እና АДС.
እና አሁን, ትሪያንግል ABC isosceles ስለሆነ, በመሠረቱ ላይ ያሉት ማዕዘኖች እኩል ናቸው, ማለትም. አንግል VAD ከ AAD አንግል ጋር እኩል ነው እና ሁለቱም ከ 28 ° ጋር እኩል ናቸው።
ይህ ማለት በትክክለኛው ሶስት ማዕዘን ውስጥ, አንግል B 28 ° ነው.
ግን በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ያሉት አጣዳፊ ማዕዘኖች ድምር 90 ° ነው።. ስለዚህ አንግል C ከ 90 - 28 = 62 ° ጋር እኩል ይሆናል.
መልስ፡-በቀኝ ትሪያንግል ውስጥ ያሉት አጣዳፊ ማዕዘኖች 28° እና 62° ናቸው።

ተግባር 2. የ bisectors መሆኑን አረጋግጥ ተያያዥ ማዕዘኖችቀጥ ያለ።
መፍትሄ፡-የመለኪያ ማዕዘኖችን ንብረቱን እናውቃለን, እሱም እንዲህ ይላል ጨረሮች ወደ አንግል ውስጥ ከተሳቡ ወደ ብዙ ማዕዘኖች ይከፋፈላሉ እና የእነዚህ ማዕዘኖች የዲግሪ ልኬቶች ድምር እኩል ይሆናል የዲግሪ መለኪያየመጀመሪያው አንግል.
ስለዚ፡ α+α+β+β = 180° አለን።
ወይም 2α+2β = 180°።
ትክክለኛውን እናሳጥረዋለን ግራ ጎንእኩልታ በ 2፣ እናገኛለን፡ α + β = 90°።
እነዚያ። አንግል DVK በቢሴክተሮች VD እና በአጎራባች ማዕዘኖች VK መካከልሁልጊዜ ከ90° ጋር እኩል ነው። የአጎራባች ማዕዘኖች መጠን ምንም ይሁን ምን.

ተግባር 3. ትራፔዞይድ ABCD ተሰጥቷል. የማዕዘኖች A እና B ባለሁለት ነጥብ ነጥብ M ላይ ይገናኛሉ።
AB ን ይፈልጉ AM = 24 ፣ BM = 18።
መፍትሄ፡ ከ ቀዳሚ ተግባርመሆኑን አውቀናል። የአጎራባች ማዕዘኖች ቢሴክተሮች ሁል ጊዜ የ 90 ° አንግል ይመሰርታሉ።
ከጎኑ አጠገብ ካለው ትራፔዞይድ ማዕዘኖች የተሳሉ ቢሴክተሮች 90 ° አንግል ይመሰርታሉ።
በእውነቱ፡- የትራፔዞይድ ማዕዘኖች A እና B እስከ 180° ሲደመር አንድ ጎን ማዕዘኖች ከ AD እና BC እና secant AB ጋር ተመሳሳይ ናቸው።
ይህ ማለት የእነዚህ ማዕዘኖች ግማሾቹ እስከ 90 ° ይጨምራሉ.
እና በሦስት ማዕዘኑ ውስጥ 2 ማዕዘኖች እስከ 90 ° ሲጨመሩ ሶስተኛው አንግል ከ 90 ° ጋር እኩል ይሆናል, ምክንያቱም የሶስት ማዕዘን የውስጥ ማዕዘኖች ድምር 180 ነው።°.
ስለዚህ ይህ ቀኝ-አንግል ሶስት ማዕዘን ነው. 2 እግሮች እንዳሉት እናውቃለን፤ የፒታጎሪያን ቲዎረምን በመጠቀም ሃይፖቴነስን እናገኛለን።
AB² = AM² + BM² = 24² + 18² = 900። ስለዚህ AB = 30።
መልስ፡ AB = 30

ከሁለተኛ ደረጃ ትምህርት ቤት በርካታ የትምህርት ዓይነቶች መካከል እንደ "ጂኦሜትሪ" ያለ አንድ አለ. በተለምዶ የዚህ ስልታዊ ሳይንስ መስራቾች ግሪኮች እንደሆኑ ይታመናል። ዛሬ የግሪክ ጂኦሜትሪ አንደኛ ደረጃ ተብሎ ይጠራል, ምክንያቱም በጣም ቀላል የሆኑትን ቅርጾች ማለትም አውሮፕላኖችን, ቀጥታ መስመሮችን እና ትሪያንግሎችን ማጥናት የጀመረችው እሷ ስለነበረች ነው. ትኩረታችንን በኋለኛው ላይ እናተኩራለን ፣ ወይም ይልቁንስ በዚህ አኃዝ ባለ ሁለት ክፍል ላይ። ቀደም ሲል ለረሱት ፣ የሶስት ማዕዘኑ ቢሴክተር የአንደኛው የሶስት ማዕዘኑ የቢሴክተር ክፍል ነው ፣ እሱም በግማሽ ይከፈላል እና አከርካሪውን ከተቃራኒው ጎን ካለው ነጥብ ጋር ያገናኛል።

የሶስት ማዕዘን ክፍል ሁለት ችግሮችን ሲፈቱ ማወቅ ያለብዎት በርካታ ባህሪያት አሉት.

• አንግል bisector ነው ቦታነጥቦች ተወግደዋል በ እኩል ርቀቶችከማእዘኑ አጠገብ ከሚገኙት ጎኖች.
• በሶስት ማዕዘኑ ውስጥ ያለው ቢሴክተር ከማዕዘኑ ተቃራኒውን ከጎን ወደ ጎን ለጎን ወደ ክፍልፋዮች ይከፍላል ። ለምሳሌ ፣ ባለ ሶስት ጎን MKB ፣ ቢሴክተር ከአንግል K የሚወጣበት ፣ የዚህን አንግል ጫፍ ከ ነጥብ ሀ ጋር በማገናኘት በተቃራኒው ሜባ። ተንትኗል ይህ ንብረትእና የእኛ ትሪያንግል፣ MA/AB=MK/KB አለን።
• የሶስቱም የሶስት ማዕዘን ማዕዘኖች ቢሴክተሮች የሚገናኙበት ነጥብ በተመሳሳይ ሶስት ማዕዘን ውስጥ የተቀረጸው የክበብ ማእከል ነው።
• የአንድ ውጫዊ እና ሁለት ውስጣዊ ማዕዘኖች የቢስክተሮች መሰረቶች በተመሳሳይ ቀጥታ መስመር ላይ ናቸው, የውጭው አንግል ቢሴክተር ከትሪያንግል ተቃራኒው ጋር የማይመሳሰል ከሆነ.
• የአንድ ሁለት ቢሴክተሮች ከሆኑ ታዲያ ይህ

ሶስት ቢሴክተሮች ከተሰጡ, ከእነሱ አንድ ሶስት ማዕዘን መገንባት, በኮምፓስ እርዳታ እንኳን የማይቻል መሆኑን ልብ ሊባል ይገባል.

በጣም ብዙ ጊዜ, ችግሮችን በሚፈታበት ጊዜ, የሶስት ማዕዘን ብስኩት አይታወቅም, ነገር ግን ርዝመቱን መወሰን አስፈላጊ ነው. ይህንን ችግር ለመፍታት በቢስክሌት እና በዚህ አንግል አጠገብ ያሉትን ጎኖቹን በሁለት በኩል ያለውን አንግል ማወቅ ያስፈልግዎታል. በዚህ ሁኔታ, የሚፈለገው ርዝመት ከማዕዘኑ አጠገብ ከሚገኙት የጎኖች ምርት ሁለት እጥፍ እና የማዕዘን ኮሳይን በግማሽ የተከፈለው ከጎኖቹ ጎን ለጎን ወደ ጎን ድምር ነው. ለምሳሌ, ተመሳሳይ ትሪያንግል MKB ተሰጥቷል. ቢሴክተሩ ከ አንግል K ወጥቶ ከኤምቪ ተቃራኒው ጎን በ A ነጥብ ላይ ያቋርጣል። አሁን በቃላት የተነገረውን ሁሉ በቀመር መልክ እንፃፍ፡ KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB)።

የሶስት ማዕዘኑ ቢሴክተር የሚወጣበት አንግል ዋጋ የማይታወቅ ከሆነ ፣ ግን ሁሉም ጎኖቹ የሚታወቁ ከሆነ ፣ የቢሴክተሩን ርዝመት ለማስላት ተጨማሪ ተለዋዋጭ እንጠቀማለን ፣ ይህም ከፊል ፔሪሜትር ብለን እንጠራዋለን እና በ ፊደል P፡ P=1/2*(MK+KB+MB)። ከዚህ በኋላ የቢስክተሩ ርዝመት በሚወሰንበት የቀደመ ቀመር ላይ አንዳንድ ለውጦችን እናደርጋለን ፣ ማለትም ፣ በክፋዩ አሃዛዊ ውስጥ በግማሽ ፔሪሜትር ከማዕዘኑ አጠገብ ያሉትን የጎን ርዝመቶች ሁለት እጥፍ ምርት እናስቀምጣለን። እና የሶስተኛው ጎን ርዝመት ከፊል ፔሪሜትር የሚቀነስበት ጥቅስ. መለያው ሳይለወጥ እንተወዋለን። በቀመር መልክ የሚከተለውን ይመስላል፡ KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB))/(MK+KB)።

ቢሴክተር isosceles triangleጋር አብሮ አጠቃላይ ባህሪያትበርካታ የራሱ አለው። ይህ ምን ዓይነት ትሪያንግል እንደሆነ እናስታውስ። እንዲህ ዓይነቱ ትሪያንግል ከመሠረቱ አጠገብ ሁለት እኩል ጎኖች እና እኩል ማዕዘኖች አሉት. ወደ ታች የሚወርዱ ብስክሌቶች ይከተላል ጎኖች isosceles triangle, እርስ በርስ እኩል ነው. በተጨማሪም, ወደ መሠረቱ ዝቅ ብሎ የተቀመጠው ቢሴክተር ቁመቱም ሆነ መካከለኛ ነው.

ያስፈልግዎታል

• - የቀኝ ሶስት ማዕዘን;
• - የታወቀ የእግር ርዝመት;
• - የ hypotenuse ርዝመት የሚታወቅ;
• - የታወቁ ማዕዘኖችእና ከፓርቲዎች አንዱ;
• - የ bisector hypotenuse የሚከፋፍልባቸው ክፍሎች የታወቁ ርዝመት.

መመሪያዎች

የሚከተለውን ጽንሰ-ሐሳብ ይጠቀሙ-የእግሮቹ ግንኙነቶች እና ቀጥተኛ የሆኑ ተያያዥ ክፍሎች ግንኙነቶች አንግል hypotenuse እኩል ናቸው ይከፍላል. ያም ማለት እግሮቹን እርስ በርስ ይከፋፍሏቸው እና ከ x / (c-x) ሬሾ ጋር ያመሳስሏቸው. በተመሳሳይ ጊዜ አሃዛዊው ከ x አጠገብ ያለውን እግር መያዙን ያረጋግጡ. የተገኘውን እኩልታ ይፍቱ እና xን ያግኙ።

የቀጥታ መስመር ባለ ሁለት ክፍል ክፍሎችን ርዝመት ካወቅን በኋላ አንግል hypotenuse ተከፋፍሏል ፣ የሳይንስ ጽንሰ-ሀሳብን በመጠቀም የ hypotenuse ራሱ ርዝመት ይፈልጉ። በእግሩ እና በቢሴክተሩ መካከል ያለውን አንግል ታውቃለህ - 45⁰, ሁለት ጎኖች ውስጣዊ ትሪያንግልተመሳሳይ።

ውሂቡን ወደ ሳይን ቲዎሬም ይተኩ፡ x/sin45⁰=l/sinα። አገላለጹን በማቃለል l=2xsinα/√2 ያገኛሉ። የተገኘውን x: l=2c*cosα*sinα/√2(sinα+cosα)=c*sin2α/2cos(45⁰-α) ተካ። ይህ የመስመሩ ሁለት ሴክተር ነው። አንግል, በ hypotenuse በኩል ይገለጻል.

እግሮች ከተሰጡዎት ሁለት አማራጮች አሉዎት-ወይም የፓይታጎሪያን ቲዎሬም በመጠቀም የ hypotenuseን ርዝመት ይፈልጉ ፣ በዚህ መሠረት የእግሮቹ ካሬዎች ድምር ከ hypotenuse ካሬ ጋር እኩል ነው እና ከላይ በተጠቀሰው መንገድ መፍታት። ወይም የሚከተለውን ዝግጁ-የተሰራ ቀመር ይጠቀሙ፡ l=√2*ab/(a+b)፣ ሀ እና b የእግሮቹ ርዝማኔ ሲሆኑ።

ምንጮች፡-

• የአንድ ቀጥተኛ መስመር ርዝመት እንዴት እንደሚገኝ

አንግልን ለሁለት መክፈል እና ከላይ ወደ ተቃራኒው ጎን የተዘረጋውን መስመር ርዝመት ማስላት ቆራጮች፣ ቀያሾች፣ ጫኚዎች እና አንዳንድ ሙያዎች ያሉ ሰዎች ሊሰሩት የሚገባ ጉዳይ ነው።

ያስፈልግዎታል

• መሳሪያዎች እርሳስ ገዥ ፕሮትራክተር ሳይን እና ኮሳይን ጠረጴዛዎች የሂሳብ ቀመሮችእና ጽንሰ-ሀሳቦች፡- የቢሴክተር ፅንሰ-ሀሳብ የሳይንስ እና ኮሳይንስ ንድፈ ሃሳቦች ትርጉም Bisector theorem

መመሪያዎች

በተሰጠዎት ላይ በመመስረት የሚፈለገው መጠን ያለው ሶስት ማዕዘን ይገንቡ? dfe ጎኖች እና በመካከላቸው ያለው አንግል, ሶስት ጎን ወይም ሁለት ማዕዘኖች እና በመካከላቸው ያለው ጎን.

የማእዘኖቹን እና የጎኖቹን ጫፎች በባህላዊው የላቲን ፊደላት A፣ B እና C ላይ ምልክት ያድርጉ። ተቃራኒ ጎኖች- ትንሽ ፊደል. ማዕዘኖቹን ምልክት ያድርጉ የግሪክ ፊደላት?,? እና?

የሳይንስ እና ኮሳይን ንድፈ ሃሳቦችን በመጠቀም ማዕዘኖቹን እና ጎኖቹን አስሉ ትሪያንግል.

ቢሴክተሮችን አስታውስ. ቢሴክተር - አንግልን በግማሽ ማካፈል. አንግል bisector ትሪያንግልተቃራኒውን ወደ ሁለት ክፍሎች ይከፍላል, እነዚህም ከሁለቱ ተያያዥ ጎኖች ጥምርታ ጋር እኩል ናቸው ትሪያንግል.

የማእዘኖቹን ብስክሌቶች ይሳሉ. የተገኙትን ክፍሎች በማእዘኖቹ ስም ተጽፈው ይሰይሙ ትንሽ ፊደላት፣ ከንዑስ ጽሁፍ ጋር l. ጎን ሐ ወደ ክፍልፋዮች a እና b ከ ኢንዴክሶች ጋር ተከፍሏል።

የሳይንስ ህግን በመጠቀም የተገኙትን ክፍሎች ርዝማኔ ያሰሉ.

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

ማስታወሻ

ከዋናው ትሪያንግል በአንዱ ጎን የተሠራው የሶስት ማዕዘን ጎን ፣ ቢሴክተር እና ክፍሉ ራሱ የሳይንስ ህግን በመጠቀም በተመሳሳይ ጊዜ የክፍሉ ርዝመት ይሰላል። የሌላውን ተመሳሳይ ጎን ክፍል ርዝመት ለማስላት, የተገኙትን ክፍሎች ጥምርታ እና የመጀመሪያውን ሶስት ማዕዘን ጎን ለጎን ይጠቀሙ.

ጠቃሚ ምክር

ግራ መጋባትን ለማስወገድ, ቢሴክተሮችን ይሳሉ የተለያዩ ማዕዘኖች የተለያዩ ቀለሞች.

ጠቃሚ ምክር 3: ቢሴክተሩን በትክክለኛው ሶስት ማዕዘን ውስጥ እንዴት ማግኘት እንደሚቻል

ቢሴክተር አንግልን በግማሽ የሚከፍል ጨረር ነው። ቢሴክተሩ, ከዚህ በተጨማሪ, ብዙ ተጨማሪ ባህሪያት እና ተግባራት አሉት. እና ርዝመቱን በአራት ማዕዘን ውስጥ ለማስላት ትሪያንግል, ከዚህ በታች ያሉትን ቀመሮች እና መመሪያዎች ያስፈልግዎታል.

ያስፈልግዎታል

• - ካልኩሌተር

መመሪያዎች

ጎን a፣ ጎን ለ፣ የሶስት ማዕዘኑ ከፊል ፔሪሜትር p እና ቁጥር አራት 4*a*b ማባዛት። በመቀጠል, የተገኘው መጠን በግማሽ ፔሪሜትር p እና በጎን c 4 * a * b * (p-c) መካከል ባለው ልዩነት ማባዛት አለበት. ቀደም ብለው ያገኙትን ነገር ያውጡ። SQR(4*a*b*(p-c))። እና ውጤቱን በጎን ሀ እና ለ ድምር ይከፋፍሉት። ስለዚህም የስቴዋርት ቲዎረምን በመጠቀም የቢሴክተሩን ለማግኘት አንዱን ቀመር አግኝተናል። በተለየ መንገድ ሊተረጎም ይችላል, በዚህ መንገድ ያቀርባል፡ SQR(a*b*(a+b+c)(a+b-c))። ለዚህ ቀመር በርካታ ተጨማሪ አማራጮች አሉ, በተመሳሳዩ ጽንሰ-ሀሳብ መሰረት የተገኙ.

ጎን ለጎን ሀን ማባዛት ለ. ከውጤቱ, bisector l ጎን ሐ የሚከፋፍልባቸውን ክፍሎች e እና d ርዝመቶችን ይቀንሱ. ውጤቶቹ ይህን ይመስላል፡ a*b-e*d. በመቀጠል, የቀረበውን ልዩነት SQR (a * b-e * d) ስር ማውጣት ያስፈልግዎታል. ይህ በሦስት ማዕዘናት ውስጥ ለቢሴክተሩ ርዝመት ሌላ ዘዴ ነው. ሁሉንም ስሌቶች በጥንቃቄ ያድርጉ, ቢያንስ 2 ጊዜ ይድገሙት ሊሆኑ የሚችሉ ስህተቶች.

ሁለት በጎን ሀ እና ለ ማባዛት፣ በተጨማሪም የማዕዘን ሐ ኮሳይን በግማሽ ተከፍሏል። በመቀጠል, የተገኘው ምርት በጎን ሀ እና ለ ድምር መከፋፈል አለበት. ኮሲኖች የሚታወቁ ከሆነ, ይህ የሂሳብ ዘዴ ለእርስዎ በጣም ምቹ ይሆናል.

የማዕዘን ቢን ኮሳይን ከኮሳይን አንግል ሀ. ከዚያም የተገኘውን ልዩነት በግማሽ ይከፋፍሉት. በኋላ የምንፈልገው አካፋይ ተሰልቷል። አሁን የሚቀረው ወደ ጎን c የተዘረጋውን ቁመት ቀደም ሲል በተሰላው ቁጥር መከፋፈል ነው። አሁን ቢሴክተሩን በአራት ማዕዘን ውስጥ ለመፈለግ ሌላ የስሌት ዘዴ ታይቷል ትሪያንግል. የሚፈልጓቸውን ቁጥሮች የማግኘት ዘዴ ምርጫ የእርስዎ ምርጫ ነው, እና እንዲሁም ለዚህ ወይም ለዚያ ሁኔታዎች በተሰጠው ላይ ይወሰናል. የጂኦሜትሪክ ምስል.

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

በእራሳቸው እኩልታ የተሰጡ ሁለት የተጠላለፉ መስመሮች ይሰጡ. የእነዚህን ሁለት መስመሮች መገናኛ ነጥብ በማለፍ በመካከላቸው ያለውን አንግል በትክክል የሚያስተካክለውን የመስመር እኩልታ መፈለግ ያስፈልጋል ፣ ማለትም ፣ bisector።