Logaritmik denklemler. Basitten karmaşığa.
Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)
Logaritmik denklem nedir?
Bu logaritmalı bir denklemdir. Şaşırdım, değil mi?) O zaman açıklığa kavuşturacağım. Bu bilinmeyenlerin (x'lerin) ve onlarla ifadelerin bulunduğu bir denklemdir Logaritmaların içinde. Ve sadece orada! Bu önemli.
İşte bazı örnekler logaritmik denklemler:
günlük 3 x = günlük 3 9
günlük 3 (x 2 -3) = günlük 3 (2x)
log x+1 (x 2 +3x-7) = 2
lg 2 (x+1)+10 = 11lg(x+1)
Peki, anlıyorsun... )
Dikkat etmek! X'li en çeşitli ifadeler bulunur yalnızca logaritmalar dahilinde. Eğer aniden denklemin bir yerinde bir X belirirse dıştan, Örneğin:
log 2 x = 3+x,
bu bir denklem olacak karışık tip. Bu tür denklemlerin çözümü için açık kurallar yoktur. Şimdilik bunları dikkate almayacağız. Bu arada, logaritmaların içinde olduğu denklemler var sadece sayılar. Örneğin:
Ne söyleyebilirim? Bununla karşılaşırsan şanslısın! Sayılarla logaritma bir miktar. Hepsi bu. Böyle bir denklemi çözmek için logaritmanın özelliklerini bilmek yeterlidir. Özel kurallar bilgisi ve özellikle çözüme uyarlanmış teknikler logaritmik denklemler, burada gerekli değil.
Bu yüzden, logaritmik denklem nedir- çözdük.
Logaritmik denklemler nasıl çözülür?
Çözüm logaritmik denklemler- olay aslında çok basit değil. Yani bölümümüz dört... İlgili her türlü konu hakkında yeterli miktarda bilgi gereklidir. Ayrıca bu denklemlerin bir özelliği daha var. Ve bu özellik o kadar önemlidir ki, logaritmik denklemlerin çözümünde güvenle ana problem olarak adlandırılabilir. Bir sonraki dersimizde bu sorunu ayrıntılı olarak ele alacağız.
Şimdilik endişelenmeyin. Doğru yola gideceğiz basitten karmaşığa. Açık spesifik örnekler. Önemli olan basit şeyleri araştırmak ve bağlantıları takip etmekte tembel olmayın, onları oraya koymamın bir nedeni var... Ve her şey sizin için yoluna girecek. Mutlaka.
En temel, en basit denklemlerle başlayalım. Bunları çözmek için logaritma hakkında bir fikre sahip olmanız tavsiye edilir, ancak daha fazlası değil. Hiçbir fikrim yok logaritma, bir karar almak logaritmik denklemler - bir şekilde garip bile... Çok cesur diyebilirim).
En basit logaritmik denklemler.
Bunlar formun denklemleridir:
1. log 3 x = log 3 9
2. log 7 (2x-3) = log 7 x
3. log 7 (50x-1) = 2
Çözüm süreci herhangi bir logaritmik denklem logaritmalı bir denklemden logaritmasız bir denkleme geçişten oluşur. En basit denklemlerde bu geçiş tek adımda gerçekleştirilir. Bu yüzden en basitleridir.)
Ve bu tür logaritmik denklemlerin çözülmesi şaşırtıcı derecede kolaydır. Kendiniz görün.
İlk örneği çözelim:
günlük 3 x = günlük 3 9
Bu örneği çözmek için neredeyse hiçbir şey bilmenize gerek yok, evet… Tamamen sezgi!) Neye ihtiyacımız var? özellikle bu örneği beğenmediniz mi? Ne-ne... Logaritmalardan hoşlanmıyorum! Sağ. Öyleyse onlardan kurtulalım. Örneğe yakından baktığımızda içimizde doğal bir istek doğuyor... Kesinlikle karşı konulmaz! Logaritmaları tamamen alın ve atın. Ve iyi olan şu ki Olabilmek Yapmak! Matematik izin verir. Logaritmalar kayboluyor cevap:
Harika, değil mi? Bu her zaman yapılabilir (ve yapılmalıdır). Logaritmaları ortadan kaldırmak benzer şekilde- Logaritmik denklemleri ve eşitsizlikleri çözmenin ana yollarından biri. Matematikte bu işleme denir potansiyelizasyon. Elbette bu tür tasfiyelerin kuralları var ama sayıları az. Hatırlamak:
Aşağıdaki durumlarda logaritmaları korkmadan ortadan kaldırabilirsiniz:
a) aynı sayısal tabanlar
c) soldan sağa logaritmalar saftır (herhangi bir katsayı olmadan) ve muhteşem bir izolasyondadır.
Son noktaya açıklık getireyim. Denklemde diyelim ki
log 3 x = 2 log 3 (3x-1)
Logaritmalar kaldırılamaz. Sağdaki ikisi buna izin vermiyor. Katsayı, bilirsiniz... Örnekte
log 3 x+log 3 (x+1) = log 3 (3+x)
Denklemin kuvvetlendirilmesi de imkansızdır. Sol tarafta yalnız logaritma yoktur. İki tane var.
Kısacası denklem şu şekilde görünüyorsa ve yalnızca şu şekilde ise logaritmaları kaldırabilirsiniz:
log a (.....) = log a (.....)
Üç noktanın bulunduğu parantez içinde şunlar olabilir: herhangi bir ifade. Basit, süper karmaşık, her türden. Her neyse. Önemli olan logaritmaları ortadan kaldırdıktan sonra elimizde kalan şey daha basit bir denklem. Elbette doğrusal, ikinci dereceden, kesirli, üstel ve diğer denklemleri logaritma olmadan nasıl çözeceğinizi zaten bildiğiniz varsayılmaktadır.)
Artık ikinci örneği kolayca çözebilirsiniz:
log 7 (2x-3) = log 7 x
Aslında akılda kararlaştırılmıştır. Potansiyelleştiririz, şunu elde ederiz:
Peki çok mu zor?) Gördüğünüz gibi, logaritmik Denklemin çözümünün bir kısmı sadece logaritmaların ortadan kaldırılmasında... Ve sonra onlarsız kalan denklemin çözümü geliyor. Önemsiz bir mesele.
Üçüncü örneği çözelim:
log 7 (50x-1) = 2
Sol tarafta bir logaritma olduğunu görüyoruz:
Bu logaritmanın, sublogaritmik bir ifade elde etmek için tabanının yükseltilmesi gereken (yani yedi) bir sayı olduğunu hatırlayalım; (50x-1).
Ama bu sayı iki! Denklem'e göre. Bu yüzden:
Temelde hepsi bu. Logaritma ortadan kayboldu, Geriye zararsız bir denklem kalıyor:
Bu logaritmik denklemi yalnızca logaritmanın anlamına dayanarak çözdük. Logaritmaları ortadan kaldırmak hala daha kolay mı?) Katılıyorum. Bu arada ikiden logaritma yaparsanız bu örneği yok etme yoluyla çözebilirsiniz. Herhangi bir sayı logaritmaya dönüştürülebilir. Üstelik ihtiyacımız olan şekilde. Çok faydalı numara logaritmik denklemleri ve (özellikle!) eşitsizlikleri çözmede.
Bir sayıdan logaritmayı nasıl çıkaracağınızı bilmiyor musunuz? Önemli değil. Bölüm 555 bu tekniği ayrıntılı olarak açıklamaktadır. Bu konuda ustalaşabilir ve sonuna kadar kullanabilirsiniz! Hata sayısını büyük ölçüde azaltır.
Dördüncü denklem tamamen benzer bir şekilde çözülür (tanım gereği):
İşte bu.
Bu dersi özetleyelim. Örnekleri kullanarak en basit logaritmik denklemlerin çözümüne baktık. Bu çok önemli. Ve sadece bu tür denklemler testlerde ve sınavlarda göründüğü için değil. Gerçek şu ki, en kötü ve karmaşık denklemler bile mutlaka en basitine indirgenir!
Aslında en basit denklemler çözümün son kısmıdır herhangi denklemler. Ve bu son kısım kesinlikle anlaşılmalıdır! Ve bir şey daha. Bu sayfayı sonuna kadar okuduğunuzdan emin olun. Orada bir sürpriz var...)
Artık kendimiz karar veriyoruz. Tabiri caizse iyileşelim...)
Denklemlerin kökünü (veya birden fazla varsa köklerin toplamını) bulun:
ln(7x+2) = ln(5x+20)
log 2 (x 2 +32) = log 2 (12x)
log 16 (0,5x-1,5) = 0,25
log 0,2 (3x-1) = -3
ln(e 2 +2x-3) = 2
log 2 (14x) = log 2 7 + 2
Cevaplar (tabii ki darmadağın): 42; 12; 9; 25; 7; 1.5; 2; 16.
Ne yani her şey yolunda gitmiyor mu? Olur. Merak etme! Bölüm 555, tüm bu örneklerin çözümünü açık ve ayrıntılı bir şekilde açıklamaktadır. Kesinlikle orada çözeceksin. Ayrıca faydalı pratik teknikleri de öğreneceksiniz.
Her şey yolunda gitti!? Tüm “bir tane kaldı” örnekleri?) Tebrikler!
Acı gerçeği size açıklamanın zamanı geldi. Bu örneklerin başarılı bir şekilde çözülmesi, diğer tüm logaritmik denklemlerin çözümünde başarıyı garanti etmez. Bunun gibi en basit olanları bile. Ne yazık ki.
Gerçek şu ki, herhangi bir logaritmik denklemin (en temel denklemin bile!) çözümü aşağıdakilerden oluşur: iki eşit parça. Denklemin çözümü ve ODZ ile çalışma. Bir kısımda uzmanlaştık; denklemin çözümü. O kadar da zor değil Sağ?
Bu ders için DL'nin cevabı hiçbir şekilde etkilemediği örnekleri özel olarak seçtim. Ama herkes benim kadar nazik değil, değil mi?...)
Bu nedenle diğer kısma hakim olmak zorunludur. ODZ. Logaritmik denklemlerin çözümündeki temel problem budur. Ve zor olduğu için değil - bu kısım ilkinden bile daha kolay. Ama çünkü insanlar ODZ'yi unutuyorlar. Veya bilmiyorlar. Veya her ikisi de). Ve birdenbire düşüyorlar...
Bir sonraki derste bu problemle ilgileneceğiz. O zaman güvenle karar verebilirsiniz herhangi basit logaritmik denklemler ve oldukça sağlam görevlere yaklaşma.
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Talimatlar
Verilen logaritmik ifadeyi yazınız. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritmadır. Logaritmanın temelinde e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.
İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";
İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;
İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Eğer verilirse karmaşık fonksiyon o zaman türevini çarpmak gerekir dahili fonksiyon ve dıştakinin türevi. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.
Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Fonksiyonun değerini hesaplayın verilen nokta y"(1)=8*e^0=8
Konuyla ilgili video
Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman tasarrufu sağlayacaktır.
Kaynaklar:
- bir sabitin türevi
Peki arasındaki fark nedir rasyonel denklem rasyonelden mi? Bilinmeyen değişken işaretin altındaysa karekök ise denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.
Talimatlar
Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alırsak 2x-5=4x-7 elde ederiz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir koyarsak sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alır. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle verilen denklem kökleri yoktur.
Bu yüzden, irrasyonel denklem her iki parçasının karesinin alınması yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.
Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler Karekökü olmayan , sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani olağan ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; birinciden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.
Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için yapmanız gerekenler kimlik dönüşümleri hedefe ulaşılıncaya kadar. Böylece, en basitinin yardımıyla aritmetik işlemler eldeki görev çözülecektir.
İhtiyacın olacak
- - kağıt;
- - dolma kalem.
Talimatlar
Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var ve trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.
Aslında iki terimin toplamının karesi kareye eşit birinci artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesi, yani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Her ikisini de basitleştirin
Çözümün genel ilkeleri
Ders kitabına göre tekrarlayın matematiksel analiz veya yüksek matematik belirli bir integraldir. Bilindiği üzere çözüm belirli integral türevi bir integral veren bir fonksiyon var. Bu işlev antiderivatif denir. İle bu prensip ve ana integralleri oluşturur.İntegral formuna göre tablo integrallerinden hangisinin uyduğunu belirleyin bu durumda. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman tablo biçimi ancak integrandın basitleştirilmesi için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.
Değişken Değiştirme Yöntemi
İntegral fonksiyonu ise trigonometrik fonksiyon Argümanı bazı polinomlar içeren değişkeni değiştirme yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Yani alacaksın yeni görünümönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi
İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa bir vektör fonksiyonunun rotor akısından, belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale gitmenizi sağlar.Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi
Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk önce değeri değiştirin üst sınır terstürev için bir ifadeye dönüştürün. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegral limitlerinden biri sonsuzluk ise, bunu yerine koyarken antiderivatif fonksiyon sınıra gitmek ve ifadenin neyi hedeflediğini bulmak gerekiyor.İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.
Hazırlık son test matematikte önemli bir bölüm vardır - “Logaritmalar”. Bu konudaki görevler mutlaka Birleşik Devlet Sınavında yer almaktadır. Geçmiş yıllardan elde edilen deneyimler, logaritmik denklemlerin birçok okul çocuğu için zorluklara neden olduğunu göstermektedir. Bu nedenle öğrenciler farklı seviyeler hazırlık.
Shkolkovo eğitim portalını kullanarak sertifika testini başarıyla geçin!
Lise mezunlarının birleşik devlet sınavına hazırlanırken başarılı bir karar için en eksiksiz ve doğru bilgileri sağlayan güvenilir bir kaynağa ihtiyacı var test problemleri. Ancak ders kitabı her zaman elinizin altında olmuyor ve araştırılıyor. gerekli kurallar ve internette formüllerin bulunması çoğu zaman zaman alır.
Shkolkovo eğitim portalı, Birleşik Devlet Sınavına istediğiniz zaman istediğiniz yerde hazırlanmanıza olanak tanır. Web sitemiz, logaritmaların yanı sıra bir ve daha fazla bilinmeyene ilişkin büyük miktarda bilginin tekrarlanması ve özümsenmesi için en uygun yaklaşımı sunmaktadır. Kolay denklemlerle başlayın. Onlarla zorluk çekmeden başa çıkabiliyorsanız, daha karmaşık olanlara geçin. Belirli bir eşitsizliği çözmekte sorun yaşıyorsanız, daha sonra geri dönebilmek için onu Favorilerinize ekleyebilirsiniz.
Bulmak gerekli formüller Görevi tamamlamak için “Teorik Yardım” bölümüne bakarak standart bir logaritmik denklemin kökünü hesaplamaya yönelik özel durumları ve yöntemleri tekrarlayabilirsiniz. Shkolkovo öğretmenleri gerekli olan her şeyi topladı, sistemleştirdi ve özetledi başarılı tamamlama Malzemeleri en basit ve anlaşılır haliyle.
Her türlü karmaşıklıktaki görevlerle kolayca başa çıkabilmek için portalımızda bazı standart logaritmik denklemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz. Bunu yapmak için “Kataloglar” bölümüne gidin. Sunuyoruz büyük sayı denklemler dahil örnekler profil düzeyi Matematikte Birleşik Devlet Sınavı.
Rusya genelindeki okullardan öğrenciler portalımızı kullanabilirler. Derslere başlamak için sisteme kayıt olmanız ve denklem çözmeye başlamanız yeterli. Sonuçları pekiştirmek için her gün Shkolkovo web sitesine dönmenizi tavsiye ederiz.
Bu videoyla logaritmik denklemlerle ilgili uzun bir ders serisine başlıyorum. Şimdi önünüzde en çok çözmeyi öğreneceğimiz üç örnek var. basit görevler buna şöyle denir - tek hücreli hayvan.
log 0,5 (3x − 1) = −3
günlük (x + 3) = 3 + 2 günlük 5
En basit logaritmik denklemin şu olduğunu hatırlatayım:
loga f(x) = b
Bu durumda x değişkeninin yalnızca argümanın içinde, yani yalnızca f(x) fonksiyonunda mevcut olması önemlidir. Ve a ve b sayıları yalnızca sayılardır ve hiçbir durumda x değişkenini içeren işlevler değildir.
Temel çözüm yöntemleri
Bu tür yapıları çözmenin birçok yolu vardır. Örneğin, okuldaki çoğu öğretmen şu yöntemi sunmaktadır: Aşağıdaki formülü kullanarak f(x) fonksiyonunu hemen ifade edin. F ( x) = bir b. Yani en basit yapıyla karşılaştığınızda ek işlemlere ve yapılara gerek kalmadan hemen çözüme geçebilirsiniz.
Evet elbette karar doğru olacaktır. Ancak bu formülle ilgili sorun çoğu öğrencinin anlamıyorum, nereden geliyor ve neden a harfini b harfine yükseltiyoruz?
Sonuç olarak, örneğin bu harflerin yerini değiştirirken sıklıkla çok can sıkıcı hatalar görüyorum. Bu formül ya anlamanız ya da sıkıştırmanız gerekir ve ikinci yöntem en uygunsuz ve en önemli anlarda hatalara yol açar: sınavlar, testler vb. sırasında.
Bu nedenle tüm öğrencilerime standart okul formülünden vazgeçmelerini ve logaritmik denklemleri çözmek için muhtemelen isminden de tahmin edebileceğiniz gibi ikinci yaklaşımı kullanmalarını öneriyorum. kanonik form.
Kanonik formun fikri basittir. Sorunumuza tekrar bakalım: solda log a var ve a harfiyle bir sayıyı kastediyoruz ve hiçbir durumda x değişkenini içeren bir fonksiyon değil. Sonuç olarak, bu harf logaritmanın tabanına uygulanan tüm kısıtlamalara tabidir. yani:
1 ≠ a > 0
Öte yandan aynı denklemden logaritmanın olması gerektiğini görüyoruz. sayıya eşit b ve bu mektuba herhangi bir kısıtlama getirilmemiştir çünkü hem olumlu hem de olumsuz herhangi bir değeri alabilir. Her şey f(x) fonksiyonunun hangi değerleri aldığına bağlıdır.
Ve burada, herhangi bir b sayısının a tabanının a üssü b'nin logaritması olarak temsil edilebileceğine dair harika kuralımızı hatırlıyoruz:
b = log a a b
Bu formülü nasıl hatırlayacağız? Evet, çok basit. Aşağıdaki yapıyı yazalım:
b = b 1 = b log a a
Elbette bu durumda başlangıçta yazdığımız tüm kısıtlamalar ortaya çıkıyor. Şimdi logaritmanın temel özelliğini kullanalım ve b çarpanını a'nın kuvveti olarak tanıtalım. Şunu elde ederiz:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Sonuç olarak orijinal denklem şu şekilde yeniden yazılacaktır:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
İşte bu. Yeni özellik artık logaritma içermiyor ve standart cebirsel teknikler kullanılarak çözülebiliyor.
Elbette birileri şimdi itiraz edecek: Neden bir tür kanonik formül bulmak gerekliydi, orijinal tasarımdan son formüle hemen geçmek mümkünse neden iki gereksiz adım daha uygulayalım? Evet, çoğu öğrencinin bu formülün nereden geldiğini anlamaması ve sonuç olarak onu uygularken düzenli olarak hata yapması nedeniyle.
Ancak üç adımdan oluşan bu eylem dizisi, son formülün nereden geldiğini anlamasanız bile orijinal logaritmik denklemi çözmenize olanak tanır. Bu arada, kanonik formül Bu girişin adı:
log a f (x) = log a a b
Kanonik formun rahatlığı aynı zamanda sadece bugün düşündüğümüz en basit olanları değil, çok geniş bir logaritmik denklem sınıfını çözmek için kullanılabilmesi gerçeğinde de yatmaktadır.
Çözüm örnekleri
Şimdi bir göz atalım gerçek örnekler. Öyleyse karar verelim:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Bunu şu şekilde yeniden yazalım:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Pek çok öğrencinin acelesi var ve hemen 0,5 sayısını asıl problemden bize gelen kuvvete yükseltmeye çalışıyor. Aslında, bu tür sorunları çözme konusunda zaten iyi eğitimli olduğunuzda, bu adımı hemen gerçekleştirebilirsiniz.
Ancak şimdi bu konuyu incelemeye yeni başlıyorsanız, saldırgan hatalar yapmaktan kaçınmak için hiçbir yere acele etmemek daha iyidir. Yani kanonik formumuz var. Sahibiz:
3x − 1 = 0,5 −3
Bu artık logaritmik bir denklem değil, x değişkenine göre doğrusaldır. Bunu çözmek için önce 0,5 üssü −3 sayısına bakalım. 0,5'in 1/2 olduğunu unutmayın.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Tüm ondalık sayılar Logaritmik bir denklemi çözdüğünüzde sıradan olanlara dönüştürün.
Yeniden yazıyoruz ve şunu elde ediyoruz:
3x - 1 = 8
3x = 9
x = 3
İşte bu, cevabı aldık. İlk sorun çözüldü.
İkinci görev
Gelelim ikinci göreve:
Gördüğümüz gibi, bu denklem artık en basiti değil. Sırf solda bir fark olduğu ve bir tabana göre tek bir logaritma olmadığı için.
Dolayısıyla bir şekilde bu farktan kurtulmamız gerekiyor. Bu durumda her şey çok basittir. Tabanlara daha yakından bakalım: solda kökün altındaki sayı var:
Genel öneri: tüm logaritmik denklemlerde radikallerden (köklü girdilerden) kurtulmaya çalışın ve şuna geçin: güç fonksiyonlarıçünkü bu kuvvetlerin üsleri logaritmanın işaretinden kolayca çıkarılır ve sonuçta böyle bir gösterim hesaplamaları önemli ölçüde basitleştirir ve hızlandırır. Bunu şu şekilde yazalım:
Şimdi hatırlıyoruz harika mülk logaritma: kuvvetler argümandan ve tabandan türetilebilir. Gerekçe durumunda aşağıdakiler gerçekleşir:
log a k b = 1/k loga b
Yani temel kuvvette olan sayı öne çıkarılır ve aynı zamanda ters çevrilir, yani. karşılıklı sayı. Bizim olgumuzda taban derecesi 1/2 idi. Bu nedenle 2/1 olarak çıkarabiliriz. Şunu elde ederiz:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 günlük 5 x − günlük 5 x = 18
Lütfen unutmayın: Bu adımda hiçbir durumda logaritmalardan kurtulmamalısınız. 4.-5. sınıf matematiğini ve işlem sırasını hatırlayın: önce çarpma yapılır, ancak daha sonra toplama ve çıkarma yapılır. Bu durumda 10 elementten aynı elementlerden birini çıkarıyoruz:
9 log 5 x = 18
günlük 5 x = 2
Artık denklemimiz olması gerektiği gibi görünüyor. Bu en basit yapıdır ve bunu kanonik formu kullanarak çözüyoruz:
günlük 5 x = günlük 5 5 2
x = 5 2
x = 25
İşte bu. İkinci sorun çözüldü.
Üçüncü örnek
Gelelim üçüncü göreve:
günlük (x + 3) = 3 + 2 günlük 5
Size şu formülü hatırlatayım:
günlük b = günlük 10 b
Herhangi bir nedenle log b gösterimiyle kafanız karıştıysa, tüm hesaplamaları yaparken log 10 b yazabilirsiniz. Ondalık logaritmalarla diğerleriyle aynı şekilde çalışabilirsiniz: kuvvetleri alın, herhangi bir sayıyı ekleyin ve lg 10 biçiminde temsil edin.
Dersimizin en başında yazdığımız en basit özellik olmadığından, şimdi sorunu çözmek için kullanacağımız bu özelliklerdir.
İlk olarak, lg 5'in önündeki faktör 2'nin toplanabileceğini ve 5 tabanındaki bir kuvvet haline gelebileceğini unutmayın. Ek olarak, serbest terim 3 bir logaritma olarak da temsil edilebilir - bunu notasyonumuzdan gözlemlemek çok kolaydır.
Kendiniz karar verin: herhangi bir sayı, 10 tabanına göre log olarak temsil edilebilir:
3 = günlük 10 10 3 = günlük 10 3
Elde edilen değişiklikleri dikkate alarak orijinal problemi yeniden yazalım:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
log (x − 3) = log 1000 25
günlük (x - 3) = günlük 25.000
Önümüzde yine kanonik form var ve onu dönüşüm aşamasından geçmeden elde ettik, yani. en basit logaritmik denklem hiçbir yerde görünmedi.
Dersin başında bahsettiğim şey tam olarak buydu. Kanonik form, standart olandan daha geniş bir problem sınıfının çözülmesine olanak tanır okul formülüçoğu okul öğretmeni tarafından verilen bir derstir.
İşte bu, tabeladan kurtulalım ondalık logaritma ve basit bir doğrusal yapı elde ederiz:
x + 3 = 25.000
x = 24,997
Tüm! Sorun çözüldü.
Kapsamla ilgili bir not
Burada tanımın kapsamına ilişkin önemli bir açıklama yapmak istiyorum. Artık mutlaka şöyle diyecek öğrenci ve öğretmenler olacaktır: “Logaritmalı ifadeleri çözerken f(x) argümanının sıfırdan büyük olması gerektiğini unutmamalıyız!” Bu bağlamda mantıksal bir soru ortaya çıkıyor: Ele alınan sorunların hiçbirinde neden bu eşitsizliğin giderilmesini talep etmedik?
Merak etme. Hiçbiri ekstra kökler bu durumlarda gerçekleşmez. Bu da çözümü hızlandırmanıza olanak tanıyan bir başka harika numaradır. Sadece şunu bilin ki, problemde x değişkeni yalnızca tek bir yerde (veya daha doğrusu, tek bir logaritmanın tek bir argümanında) ortaya çıkıyorsa ve bizim durumumuzda x değişkeni başka hiçbir yerde görünmüyorsa, o zaman tanımın tanım kümesini yazın. gerek yokçünkü otomatik olarak yürütülecektir.
Kendiniz karar verin: ilk denklemde 3x − 1 elde ettik, yani argüman 8'e eşit olmalıdır. Bu otomatik olarak 3x − 1'in sıfırdan büyük olacağı anlamına gelir.
Aynı başarıyla, ikinci durumda x'in 5 2'ye eşit olması gerektiğini, yani kesinlikle sıfırdan büyük olduğunu yazabiliriz. Ve üçüncü durumda, x + 3 = 25.000, yani yine açıkça sıfırdan büyüktür. Başka bir deyişle, kapsam otomatik olarak karşılanır, ancak yalnızca x yalnızca bir logaritmanın argümanında yer alıyorsa.
En basit sorunları çözmek için bilmeniz gereken tek şey bu. Tek başına bu kural, dönüşüm kurallarıyla birlikte çok geniş bir problem sınıfını çözmenize olanak sağlayacaktır.
Ancak dürüst olalım: Bu tekniği nihayet anlamak için, logaritmik denklemin kanonik formunun nasıl uygulanacağını öğrenmek için sadece bir video dersi izlemek yeterli değildir. Bu yüzden şu anda seçenekleri indirin bağımsız karar Bu video dersine ekli olan ve bu iki bağımsız çalışmadan en az birini çözmeye başlayan.
Kelimenin tam anlamıyla birkaç dakikanızı alacak. Ancak böyle bir eğitimin etkisi, bu video dersini izlemiş olmanızdan çok daha yüksek olacaktır.
Umarım bu ders logaritmik denklemleri anlamanıza yardımcı olur. Kanonik formu kullanın, logaritmalarla çalışma kurallarını kullanarak ifadeleri basitleştirin; herhangi bir sorundan korkmayacaksınız. Bugünlük elimde olan tek şey bu.
Tanım alanı dikkate alınarak
Şimdi tanım alanı hakkında konuşalım logaritmik fonksiyon ve bunun logaritmik denklemlerin çözümünü nasıl etkilediği. Formun bir yapısını düşünün
loga f(x) = b
Böyle bir ifadeye en basit denir - yalnızca bir işlev içerir ve a ve b sayıları yalnızca sayılardır ve hiçbir durumda x değişkenine bağlı bir işlev değildir. Çok basit bir şekilde çözülebilir. Sadece formülü kullanmanız gerekir:
b = log a a b
Bu formül logaritmanın temel özelliklerinden biridir ve orijinal ifademizi yerine koyduğumuzda aşağıdakileri elde ederiz:
log a f (x) = log a a b
f(x) = a b
Bu tanıdık bir formül okul ders kitapları. Pek çok öğrencinin muhtemelen bir sorusu olacaktır: Orijinal ifadede f(x) fonksiyonu log işaretinin altında olduğundan, ona aşağıdaki kısıtlamalar getirilmiştir:
f(x) > 0
Bu sınırlama geçerlidir çünkü logaritması negatif sayılar mevcut değil. Peki belki de bu sınırlamanın bir sonucu olarak cevaplara yönelik bir kontrol getirilmeli? Belki de kaynağa eklenmeleri gerekiyor?
Hayır, en basit logaritmik denklemlerde ek kontrole gerek yoktur. İşte nedeni. Son formülümüze bir göz atın:
f(x) = a b
Gerçek şu ki, a sayısı her durumda 0'dan büyüktür - bu gereklilik aynı zamanda logaritma tarafından da dayatılmaktadır. A sayısı tabandır. Bu durumda b sayısına herhangi bir kısıtlama getirilmemektedir. Ama bunun bir önemi yok çünkü ne dereceye yükselirsek yükselelim pozitif sayı, çıktıda hala pozitif bir sayı alacağız. Böylece f(x) > 0 şartı otomatik olarak karşılanır.
Gerçekten kontrol etmeye değer olan şey, log işaretinin altındaki fonksiyonun etki alanıdır. Oldukça karmaşık yapılar olabilir ve çözüm sürecinde mutlaka bunlara dikkat etmeniz gerekir. Görelim.
İlk görev:
İlk adım: Sağdaki kesri dönüştürün. Şunu elde ederiz:
Logaritma işaretinden kurtuluruz ve olağan irrasyonel denklemi elde ederiz:
Elde edilen köklerden sadece birincisi bize uygundur çünkü ikinci kök sıfırdan küçüktür. Tek cevap 9 rakamı olacaktır. İşte bu, sorun çözüldü. Logaritma işaretinin altındaki ifadenin 0'dan büyük olduğundan emin olmak için ek bir kontrole gerek yoktur çünkü sadece 0'dan büyük değil, denklemin koşuluna göre 2'ye eşittir. Dolayısıyla “sıfırdan büyük” şartı ” otomatik olarak karşılanır.
Gelelim ikinci göreve:
Burada her şey aynı. Üçlüyü değiştirerek yapıyı yeniden yazıyoruz:
Logaritma işaretlerinden kurtuluruz ve irrasyonel bir denklem elde ederiz:
Kısıtlamaları dikkate alarak her iki tarafın karesini alırız ve şunu elde ederiz:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Ortaya çıkan denklemi diskriminant aracılığıyla çözüyoruz:
D = 49 - 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Ancak x = −6 bize uymuyor çünkü bu sayıyı eşitsizliğimizde yerine koyarsak şunu elde ederiz:
−6 + 4 = −2 < 0
Bizim durumumuzda 0'dan büyük veya aşırı durumlarda eşit olması gerekiyor. Fakat x = −1 bize uyar:
−1 + 4 = 3 > 0
Bizim durumumuzda tek cevap x = −1 olacaktır. Çözüm bu. Hesaplamalarımızın en başına dönelim.
Bu dersten çıkan ana sonuç, basit logaritmik denklemlerde bir fonksiyon üzerindeki kısıtlamaları kontrol etmenize gerek olmamasıdır. Çünkü çözüm sürecinde tüm kısıtlar otomatik olarak karşılanır.
Ancak bu hiçbir şekilde kontrol etmeyi tamamen unutabileceğiniz anlamına gelmez. Logaritmik bir denklem üzerinde çalışma sürecinde, bugün iki farklı örnekte gördüğümüz, sağ taraf için kendi kısıtlamaları ve gereksinimleri olan irrasyonel bir denklem haline gelebilir.
Bu tür sorunları çözmekten çekinmeyin ve tartışmanın bir kökü varsa özellikle dikkatli olun.
Farklı tabanlara sahip logaritmik denklemler
Logaritmik denklemleri incelemeye devam ediyoruz ve daha fazlasını çözmenin moda olduğu oldukça ilginç iki tekniğe daha bakıyoruz karmaşık tasarımlar. Ama önce en basit sorunların nasıl çözüldüğünü hatırlayalım:
loga f(x) = b
Bu gösterimde a ve b sayılardır ve f(x) fonksiyonunda x değişkeni mevcut olmalıdır ve yalnızca orada, yani x yalnızca argümanda bulunmalıdır. Bu tür logaritmik denklemleri kanonik formu kullanarak dönüştüreceğiz. Bunu yapmak için şunu unutmayın
b = log a a b
Üstelik a b tam olarak bir argümandır. Bu ifadeyi şu şekilde yeniden yazalım:
log a f (x) = log a a b
Bizim de ulaşmaya çalıştığımız şey tam olarak budur, yani a'yı hem sol hem de sağ temel alan bir logaritma vardır. Bu durumda mecazi anlamda log işaretlerinin üzerini çizebiliriz ve matematiksel açıdan argümanları basitçe eşitlediğimizi söyleyebiliriz:
f(x) = a b
Sonuç olarak çözülmesi çok daha kolay olacak yeni bir ifade elde edeceğiz. Bu kuralı bugünkü sorunlarımıza uygulayalım.
Yani ilk tasarım:
Öncelikle sağda paydası log olan bir kesir olduğunu belirteyim. Bunun gibi bir ifade gördüğünüzde logaritmanın harika bir özelliğini hatırlamak iyi bir fikirdir:
Rusçaya çevrildiğinde bu, herhangi bir logaritmanın herhangi bir c tabanına sahip iki logaritmanın bölümü olarak temsil edilebileceği anlamına gelir. tabii ki 0< с ≠ 1.
Yani: bu formülün harika bir formülü var özel durum c değişkeni değişkene eşit olduğunda B. Bu durumda şöyle bir yapı elde ederiz:
Bu tam olarak denklemimizin sağındaki işarette gördüğümüz yapıdır. Bu yapıyı log a b ile değiştirelim, şunu elde ederiz:
Başka bir deyişle, orijinal göreve kıyasla argümanı ve logaritmanın tabanını değiştirdik. Bunun yerine kesri tersine çevirmek zorunda kaldık.
Aşağıdaki kurala göre herhangi bir derecenin tabandan türetilebileceğini hatırlıyoruz:
Başka bir deyişle bazın kuvveti olan k katsayısı ters kesir olarak ifade edilir. Bunu ters kesir olarak gösterelim:
Kesirli faktör önde bırakılamaz çünkü bu durumda temsil edemeyiz bu giriş kanonik form olarak (sonuçta kanonik formda ikinci logaritmadan önce ek bir faktör yoktur). Bu nedenle argümana 1/4 kesirini kuvvet olarak ekleyelim:
Şimdi tabanları aynı olan (ve tabanlarımız gerçekten aynı olan) argümanları eşitliyoruz ve şunu yazıyoruz:
x + 5 = 1
x = −4
İşte bu. İlk logaritmik denklemin cevabını bulduk. Lütfen unutmayın: orijinal problemde, x değişkeni yalnızca bir günlükte görünür ve argümanında görünür. Bu nedenle tanım kümesini kontrol etmeye gerek yoktur ve x = −4 sayımız aslında cevaptır.
Şimdi ikinci ifadeye geçelim:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3log (x + 4)
Burada olağan logaritmalara ek olarak log f(x) ile çalışmamız gerekecek. Böyle bir denklem nasıl çözülür? Hazırlıksız bir öğrenciye bu zor bir görev gibi görünebilir, ancak aslında her şey basit bir şekilde çözülebilir.
lg 2 log 2 7 terimine yakından bakın. Bu konuda ne söyleyebiliriz? Log ve lg'nin temelleri ve argümanları aynıdır ve bu bazı fikirler vermelidir. Logaritmanın işaretinin altındaki kuvvetlerin nasıl çıkarıldığını bir kez daha hatırlayalım:
log a b n = nlog a b
Başka bir deyişle, argümanda b'nin kuvveti olan şey log'un önünde bir faktör haline gelir. Bu formülü lg 2 log 2 7 ifadesine uygulayalım. lg 2'den korkmayın - bu en yaygın ifadedir. Aşağıdaki şekilde yeniden yazabilirsiniz:
Başka herhangi bir logaritma için geçerli olan tüm kurallar onun için de geçerlidir. Özellikle öndeki faktör argümanın derecesine eklenebilir. Hadi yazalım:
Çoğu zaman öğrenciler bu eylemi doğrudan görmezler çünkü bir günlüğe diğerinin işareti altında girmek iyi değildir. Aslında bunda suç teşkil edecek bir durum yok. Üstelik önemli bir kuralı hatırlarsanız hesaplaması kolay bir formül elde ederiz:
Bu formül hem tanım olarak hem de onun özelliklerinden biri olarak düşünülebilir. Her durumda, eğer logaritmik bir denklemi dönüştürüyorsanız, herhangi bir sayının log gösterimini bildiğiniz gibi bu formülü de bilmelisiniz.
Görevimize dönelim. Eşittir işaretinin sağındaki ilk terimin lg 7'ye eşit olacağı gerçeğini dikkate alarak yeniden yazıyoruz. Elimizde:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
LG 7'yi sola kaydıralım, şunu elde ederiz:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Tabanları aynı olduğundan soldaki ifadeleri çıkarıyoruz:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Şimdi elde ettiğimiz denkleme daha yakından bakalım. Pratikte kanonik formdur, ancak sağda −3 çarpanı vardır. Bunu sağ lg argümanına ekleyelim:
log 8 = log (x + 4) −3
Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu yüzden lg işaretlerinin üstünü çiziyoruz ve argümanları eşitliyoruz:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
İşte bu! İkinci logaritmik denklemi çözdük. Bu durumda hiçbir ek kontrole gerek yoktur çünkü orijinal problemde x yalnızca bir bağımsız değişkende mevcuttu.
Tekrar listeleyeceğim önemli noktalar bu ders.
Bu sayfadaki logaritmik denklemlerin çözümüne ayrılmış tüm derslerde öğretilen ana formül kanonik formdur. Ve çoğu okul ders kitabında size çözmenin öğretildiği gerçeğinden korkmayın benzer görevler farklı. Bu araç çok etkili bir şekilde çalışır ve dersimizin başında incelediğimiz en basit sorunlardan çok daha geniş bir sorun sınıfını çözmenize olanak tanır.
Ayrıca logaritmik denklemlerin çözümünde temel özelliklerin bilinmesi yararlı olacaktır. Yani:
- Tek tabana geçme formülü ve logu ters çevirdiğimizdeki özel durum (bu ilk problemde bizim için çok yararlıydı);
- Logaritma işaretine kuvvet ekleme ve çıkarma formülü. Burada birçok öğrenci takılıp kalıyor ve alınan ve tanıtılan derecenin kendisinin log f (x) içerebileceğini göremiyor. Bunda yanlış bir şey yok. Bir kütüğü diğerinin işaretine göre tanıtabiliriz ve aynı zamanda ikinci durumda gözlemlediğimiz gibi sorunun çözümünü önemli ölçüde basitleştirebiliriz.
Sonuç olarak, bu durumların her birinde tanım alanını kontrol etmenin gerekli olmadığını eklemek isterim, çünkü x değişkeni her yerde log'un yalnızca bir işaretinde mevcuttur ve aynı zamanda onun argümanındadır. Sonuç olarak kapsamın tüm gereklilikleri otomatik olarak yerine getirilir.
Değişken tabanla ilgili sorunlar
Bugün birçok öğrenci için tamamen çözülemez olmasa da standart dışı görünen logaritmik denklemlere bakacağız. bu yaklaşık sayılara değil, değişkenlere ve hatta işlevlere dayalı ifadeler hakkında. Bu tür yapıları standart tekniğimizi, yani kanonik formu kullanarak çözeceğiz.
Başlangıç olarak en basit problemlerin nasıl çözüldüğünü hatırlayalım. normal sayılar. Yani en basit yapıya denir
loga f(x) = b
Bu tür problemleri çözmek için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:
b = log a a b
Orijinal ifademizi yeniden yazarsak şunu elde ederiz:
log a f (x) = log a a b
Sonra argümanları eşitliyoruz, yani şunu yazıyoruz:
f(x) = a b
Böylece kütük işaretinden kurtulup alışılagelmiş sorunu çözmüş oluyoruz. Bu durumda çözümden elde edilen kökler orijinal logaritmik denklemin kökleri olacaktır. Ek olarak, hem sol hem de sağın aynı logaritmada ve aynı tabanda olduğu bir kayda tam olarak kanonik form adı verilir. Öyle bir rekora varıyoruz ki, bugünün tasarımlarını azaltmaya çalışacağız. Öyleyse gidelim.
İlk görev:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1
1'i log x − 2 (x − 2) 1 ile değiştirin. Argümanda gözlemlediğimiz derece aslında eşittir işaretinin sağında bulunan b sayısıdır. Böylece ifademizi yeniden yazalım. Şunu elde ederiz:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Ne görüyoruz? Önümüzde logaritmik denklemin kanonik formu var, bu yüzden argümanları güvenli bir şekilde eşitleyebiliriz. Şunu elde ederiz:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Ancak çözüm burada bitmiyor çünkü bu denklem orijinalinin eşdeğeri değil. Sonuçta ortaya çıkan yapı, sayı doğrusunda tanımlanan fonksiyonlardan oluşur ve orijinal logaritmalarımız her zaman ve her yerde tanımlanmaz.
Bu nedenle tanım alanını ayrıca yazmamız gerekir. Saçmalamayalım ve önce tüm gereksinimleri yazalım:
İlk olarak, logaritmaların her birinin argümanı 0'dan büyük olmalıdır:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x - 2 > 0
İkincisi, tabanın yalnızca 0'dan büyük olması değil aynı zamanda 1'den farklı olması gerekir:
x - 2 ≠ 1
Sonuç olarak, sistemi elde ediyoruz:
Ancak paniğe kapılmayın: logaritmik denklemleri işlerken böyle bir sistem önemli ölçüde basitleştirilebilir.
Kendiniz karar verin: Bir yandan ikinci dereceden fonksiyonun sıfırdan büyük olması gerekiyor, diğer yandan bu ikinci dereceden fonksiyon belirli bir değere eşitleniyor doğrusal ifade sıfırdan büyük olması da gerekiyor.
Bu durumda, x − 2 > 0 olmasını istersek, 2x 2 − 13x + 18 > 0 gereksinimi otomatik olarak karşılanacaktır. Bu nedenle, içeren eşitsizliğin üzerini güvenle çizebiliriz. ikinci dereceden fonksiyon. Böylece sistemimizde yer alan ifade sayısı üçe düşecektir.
Tabii ki, üstünü çizebiliriz doğrusal eşitsizlik yani x − 2 > 0'ın üzerini çizin ve 2x 2 − 13x + 18 > 0 olmasını talep edin. Ancak, en basit doğrusal eşitsizliği çözmenin ikinci dereceden denklemden çok daha hızlı ve daha kolay olduğunu kabul etmelisiniz, hatta tüm denklemi çözmenin bir sonucu olsa bile bu sistemde aynı kökleri alacağız.
Genel olarak mümkün olduğunca hesaplamaları optimize etmeye çalışın. Logaritmik denklemler söz konusu olduğunda en zor eşitsizliklerin üzerini çizin.
Sistemimizi yeniden yazalım:
Burada üç ifadeden oluşan bir sistem var, bunlardan ikisini daha önce ele almıştık. İkinci dereceden denklemi ayrı ayrı yazıp çözelim:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Bizden önce verilen ikinci dereceden üç terimli ve bu nedenle Vieta'nın formüllerini kullanabiliriz. Şunu elde ederiz:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
Şimdi sistemimize dönüyoruz ve x = 2'nin bize uymadığını görüyoruz çünkü x'in kesinlikle 2'den büyük olması gerekiyor.
Ama x = 5 bize çok yakışıyor: 5 sayısı 2'den büyüktür ve aynı zamanda 5, 3'e eşit değildir. Bu nedenle, tek çözüm bu sistemin x = 5 olması gerekir.
İşte bu, ODZ dikkate alınarak sorun çözüldü. İkinci denkleme geçelim. Burada bizi daha ilginç ve bilgilendirici hesaplamalar bekliyor:
İlk adım: olduğu gibi son kez, tüm bu konuyu kanonik forma getiriyoruz. Bunun için 9 sayısını şu şekilde yazabiliriz:
Kök ile tabana dokunmanıza gerek yok, ancak argümanı dönüştürmek daha iyidir. Kökten kuvvet c'ye gidelim rasyonel gösterge. Hadi yazalım:
Büyük logaritmik denklemimizin tamamını yeniden yazmama izin verin, ancak hemen argümanları eşitleyelim:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Önümüzde yeni indirgenmiş ikinci dereceden bir trinomial var, Vieta formüllerini kullanıp yazalım:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Yani kökleri bulduk ama kimse bize bunların orijinal logaritmik denkleme uyacağını garanti etmedi. Sonuçta, günlük işaretleri dayatıyor ek kısıtlamalar(Burada sistemi yazmamız gerekiyordu ama tüm yapının hantal yapısından dolayı tanım alanını ayrı hesaplamaya karar verdim).
Her şeyden önce, argümanların 0'dan büyük olması gerektiğini unutmayın; yani:
Bunlar tanımın kapsamının gerektirdiği gerekliliklerdir.
Hemen belirtelim ki sistemin ilk iki ifadesini birbirine eşitlediğimiz için herhangi birinin üzerini çizebiliriz. İlkinin üzerini çizelim çünkü ikincisinden daha tehditkar görünüyor.
Ek olarak, ikinci ve üçüncü eşitsizliklerin çözümünün aynı kümeler olacağını unutmayın (eğer bu sayının kendisi sıfırdan büyükse, bir sayının küpü sıfırdan büyüktür; benzer şekilde, üçüncü derecenin kökü ile - bu eşitsizlikler) tamamen benzer olduğundan üzerini çizebiliriz).
Ancak üçüncü eşitsizlikte bu işe yaramayacaktır. Her iki parçayı da küp haline getirerek soldaki kök işaretinden kurtulalım. Şunu elde ederiz:
Böylece aşağıdaki gereksinimleri alıyoruz:
− 2 ≠ x > −3
Köklerimizden hangisi: x 1 = −3 veya x 2 = −1 bu gereksinimleri karşılıyor? Açıkçası, yalnızca x = −1, çünkü x = −3 ilk eşitsizliği sağlamaz (eşitsizliğimiz katı olduğundan). Yani problemimize dönersek bir kök elde ederiz: x = −1. İşte bu, sorun çözüldü.
Bir kez daha, bu görevin kilit noktaları:
- Kanonik formu kullanarak logaritmik denklemleri uygulamaktan ve çözmekten çekinmeyin. Bu şekilde yazan öğrenciler, doğrudan orijinal problemden log a f (x) = b gibi bir yapıya gitmek yerine, daha fazlasına izin verirler. daha az hata bir yerde acelesi olan, hesaplamaların ara adımlarını atlayanlardan;
- Logaritma ortaya çıktığı anda değişken taban, görev en basit olmaktan çıkıyor. Bu nedenle, çözerken tanım alanını dikkate almak gerekir: argümanlar sıfırdan büyük olmalı ve tabanlar yalnızca 0'dan büyük olmamalı, aynı zamanda 1'e eşit olmamalıdır.
Nihai gereksinimler, nihai cevaplara farklı şekillerde uygulanabilir. Örneğin tanım alanına ait tüm gereksinimleri içeren bir sistemin tamamını çözebilirsiniz. Öte yandan, önce problemin kendisini çözebilir, sonra tanım alanını hatırlayabilir, bunu bir sistem şeklinde ayrı ayrı çözebilir ve ortaya çıkan köklere uygulayabilirsiniz.
Belirli bir logaritmik denklemi çözerken hangi yöntemi seçeceğiniz size kalmış. Her durumda cevap aynı olacaktır.
Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimed tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Hizmet eden onlardı daha fazla açılış logaritmalar. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemini basit toplama yoluyla basitleştirmenin gerekli olduğu hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.
Matematikte tanım
Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani herhangi bir sayının logaritması negatif olmayan sayı(yani herhangi bir pozitif) “b”, “a” tabanına göre “c”nin kuvveti olarak kabul edilir ve sonuçta “b” değerini elde etmek için “a” tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.
Logaritma türleri
Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç tane var bireysel türler logaritmik ifadeler:
- Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
- Tabanı 10 olan ondalık a.
- Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.
Her birine karar verildi standart bir şekilde Logaritmik teoremleri kullanarak basitleştirmeyi, indirgemeyi ve ardından bir logaritmaya indirgemeyi içerir. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.
Kurallar ve bazı kısıtlamalar
Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi negatif sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:
- "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
- a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.
Logaritmalar nasıl çözülür?
Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.
Şimdi hayal edelim bu ifade logaritmik formda. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, belirli bir sayıyı elde etmek için logaritmanın tabanına girmenin gerekli olduğu gücü bulmak için tüm eylemler pratik olarak birleşir.
Değeri doğru bir şekilde belirlemek için bilinmeyen derece derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:
Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak için büyük değerler bir derece tablosuna ihtiyacınız olacak. Karmaşık konular hakkında hiçbir şey bilmeyenler tarafından bile kullanılabilir. matematik konuları. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!
Denklemler ve eşitsizlikler
Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifadeler logaritmik denklem olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. İçin negatif güçler kurallar aynı: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazıyoruz, log 2 (1/32) = -5 elde ediyoruz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.
Aşağıdaki biçimde bir ifade verildiğinde: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik eşitsizlikÇünkü bilinmeyen değer "x" logaritmanın işareti altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.
Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin logaritma 2 x = √9) bir veya daha fazla spesifik cevabı ima etmesidir. sayısal değerler eşitsizlikleri çözerken bölge olarak tanımlanırken kabul edilebilir değerler ve bu fonksiyonun kesme noktaları. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar kümesi değil, daha ziyade sürekli seri veya bir dizi sayı.
Logaritmalarla ilgili temel teoremler
Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.
- Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
- Ürünün logaritması şu şekilde temsil edilebilir: aşağıdaki formül: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda önkoşulşu şekildedir: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
- Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Formül formundaki teorem şu şekilde ele alınır: sonraki görünüm: log a q b n = n/q log a b.
Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.
Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;
ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.
Sorun ve eşitsizlik örnekleri
Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca zorunlu kısım matematik sınavları. Üniversiteye kabul veya geçme için giriş sınavları matematikte bu tür problemlerin nasıl doğru şekilde çözüleceğini bilmeniz gerekir.
Sorunu çözmeye ve belirlemeye yönelik tek bir plan veya şema maalesef mevcut değil. bilinmeyen değer Logaritma diye bir şey yoktur ama onu her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme uygulayabilirsiniz. belirli kurallar. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya sonuçlanabileceğini öğrenmelisiniz. genel görünüm. Uzun olanları basitleştirin logaritmik ifadelerözelliklerini doğru kullanırsanız mümkündür. Onları hızlıca tanıyalım.
Logaritmik denklemleri çözerken, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.
İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Çözümler için doğal logaritmalar başvurulması gerekiyor logaritmik özdeşlikler veya bunların özellikleri. Çözüme örneklerle bakalım logaritmik problemler farklı türleri.
Logaritma Formülleri Nasıl Kullanılır: Örnekler ve Çözümlerle
Logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.
- Bir ürünün logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük değer b sayılarını daha basit çarpanlara ayırın. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üslü değerleri logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.
Birleşik Devlet Sınavından Ödevler
Logaritmalar sıklıkla bulunur giriş sınavları, özellikle Birleşik Devlet Sınavında birçok logaritmik problem ( devlet sınavı tüm okuldan ayrılanlar için). Genellikle bu görevler yalnızca A kısmında (sınavın en kolay test kısmı) değil, aynı zamanda C kısmında da (en karmaşık ve hacimli görevler) mevcuttur. Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.
Sorunlara ilişkin örnekler ve çözümler resmi kaynaklardan alınmıştır. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.
Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.
- Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
- Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, bu nedenle logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.