Uwezekano ni wa juu au zaidi. Uwezekano wa tukio

Ni wazi kwamba kila tukio lina kiwango tofauti cha uwezekano wa kutokea kwake (utekelezaji wake). Ili kulinganisha kwa kiasi kikubwa matukio na kila mmoja kulingana na kiwango cha uwezekano wao, ni wazi, ni muhimu kuhusisha idadi fulani na kila tukio, ambalo ni kubwa zaidi, tukio hilo linawezekana zaidi. Nambari hii inaitwa uwezekano wa tukio.

Uwezekano wa tukio- ni kipimo cha nambari cha kiwango cha uwezekano wa lengo la tukio la tukio hili.

Fikiria jaribio la kistokasi na tukio la nasibu A lililozingatiwa katika jaribio hili. Hebu turudie jaribio hili mara n na turuhusu m(A) iwe idadi ya majaribio ambayo tukio A lilitokea.

Uhusiano (1.1)

kuitwa mzunguko wa jamaa matukio A katika mfululizo wa majaribio yaliyofanywa.

Ni rahisi kuthibitisha uhalali wa sifa:

ikiwa A na B haziendani (AB= ), basi ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Mzunguko wa jamaa hutambuliwa tu baada ya mfululizo wa majaribio na, kwa ujumla, inaweza kutofautiana kutoka mfululizo hadi mfululizo. Walakini, uzoefu unaonyesha kuwa katika hali nyingi, idadi ya majaribio inavyoongezeka, mzunguko wa jamaa unakaribia nambari fulani. Ukweli huu wa uthabiti wa mzunguko wa jamaa umethibitishwa mara kwa mara na unaweza kuchukuliwa kuwa umeanzishwa kwa majaribio.

Mfano 1.19.. Ukitupa sarafu moja, hakuna anayeweza kutabiri ni upande gani itatua juu. Lakini ikiwa unatupa tani mbili za sarafu, basi kila mtu atasema kwamba karibu tani moja itaanguka na kanzu ya silaha, yaani, mzunguko wa jamaa wa kanzu ya silaha inayoanguka ni takriban 0.5.

Ikiwa, pamoja na ongezeko la idadi ya majaribio, mzunguko wa jamaa wa tukio ν(A) huwa na idadi fulani maalum, basi inasemekana kuwa tukio A ni thabiti kitakwimu, na nambari hii inaitwa uwezekano wa tukio A.

Uwezekano wa tukio A nambari fulani maalum P(A) inaitwa, ambayo masafa ya jamaa ν(A) ya tukio hili huelekea kadiri idadi ya majaribio inavyoongezeka, ambayo ni,

Ufafanuzi huu unaitwa ufafanuzi wa takwimu uwezekano .

Wacha tuchunguze jaribio fulani la stochastic na turuhusu nafasi ya hafla zake za kimsingi iwe na seti isiyo na mwisho au isiyo na kikomo (lakini inayoweza kuhesabika) ya matukio ya kimsingi ω 1, ω 2, …, ω i, .... Wacha tufikirie kuwa kila tukio la msingi ω i imepewa nambari fulani - р i, inayoonyesha kiwango cha uwezekano wa tukio. ya kipengele hiki tukio na kukidhi sifa zifuatazo:

Nambari hii p i inaitwa uwezekano wa tukio la msingiωi.

Wacha sasa A liwe tukio la nasibu katika jaribio hili, na liruhusu lilingane na seti fulani

Katika mpangilio huu uwezekano wa tukio A taja jumla ya uwezekano wa matukio ya msingi yanayopendelea A(imejumuishwa katika seti inayolingana A):

(1.4)

Uwezekano ulioletwa kwa njia hii una mali sawa na masafa ya jamaa, ambayo ni:

Na ikiwa AB = (A na B haziendani),

kisha P(A+B) = P(A) + P(B)

Kwa kweli, kulingana na (1.4)

Katika uhusiano wa mwisho tulichukua fursa ya ukweli kwamba hakuna tukio moja la msingi linaweza kupendelea matukio mawili yasiyolingana kwa wakati mmoja.

Tunakumbuka haswa kuwa nadharia ya uwezekano haionyeshi njia za kuamua p i; lazima itafutwa kutoka kwa mazingatio. ya asili ya vitendo au kupatikana kutokana na jaribio linalofaa la takwimu.

Kwa mfano, fikiria mpango wa classical wa nadharia ya uwezekano. Ili kufanya hivyo, fikiria jaribio la stochastic, nafasi ya matukio ya msingi ambayo ina idadi ya mwisho (n) ya vipengele. Wacha tuchukue zaidi kwamba matukio haya yote ya kimsingi yanawezekana kwa usawa, ambayo ni, uwezekano wa hafla za kimsingi ni sawa na p(ω i)=p i =p. Inafuata hiyo

Mfano 1.20. Wakati wa kutupa sarafu ya ulinganifu, kupata vichwa na mikia kunawezekana kwa usawa, uwezekano wao ni sawa na 0.5.

Mfano 1.21. Wakati wa kutupa kufa kwa ulinganifu, nyuso zote zinawezekana kwa usawa, uwezekano wao ni sawa na 1/6.

Sasa acha tukio A lipendelewe na matukio ya msingi, kwa kawaida huitwa matokeo yanayofaa kwa tukio A. Kisha

Nimeipata ufafanuzi wa classic uwezekano: uwezekano P(A) wa tukio A ni sawa na uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio A kwa jumla ya idadi ya matokeo.

Mfano 1.22. Urn ina mipira m nyeupe na n mipira nyeusi. Je, kuna uwezekano gani wa kuitoa? mpira mweupe?

Suluhisho. Jumla ya idadi ya matukio ya msingi ni m+n. Zote zinawezekana kwa usawa. Tukio zuri A ambalo m. Kwa hivyo, .

Vipengele vifuatavyo vinafuata kutoka kwa ufafanuzi wa uwezekano:

Mali 1. Uwezekano tukio la kuaminika sawa na moja.

Hakika, ikiwa tukio ni la kuaminika, basi kila matokeo ya msingi ya mtihani yanapendelea tukio hilo. Kwa kesi hii t=p, hivyo,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Mali 2. Uwezekano tukio lisilowezekana sawa na sifuri.

Hakika, ikiwa tukio haliwezekani, basi hakuna matokeo yoyote ya msingi ya jaribio yanapendelea tukio hilo. Kwa kesi hii T= 0, kwa hivyo, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Mali 3.Uwezekano tukio la nasibu Kuna nambari chanya, iliyofungwa kati ya sifuri na moja.

Hakika, ni sehemu tu ya jumla ya idadi ya matokeo ya kimsingi ya jaribio ambayo hupendelewa na tukio la nasibu. Hiyo ni, 0≤m≤n, ambayo inamaanisha 0≤m/n≤1, kwa hivyo, uwezekano wa tukio lolote hutosheleza usawa maradufu 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Kwa kulinganisha ufafanuzi wa uwezekano (1.5) na frequency jamaa (1.1), tunahitimisha: ufafanuzi wa uwezekano hauhitaji majaribio kufanywa kwa kweli; ufafanuzi wa mzunguko wa jamaa unadhani kuwa majaribio yalifanyika kweli. Kwa maneno mengine, uwezekano huhesabiwa kabla ya majaribio, na mzunguko wa jamaa - baada ya majaribio.

Hata hivyo, kukokotoa uwezekano kunahitaji maelezo ya awali kuhusu idadi au uwezekano wa matokeo ya kimsingi yanayofaa kwa tukio fulani. Kwa kukosekana kwa habari kama hiyo ya awali, data ya majaribio hutumiwa kuamua uwezekano, ambayo ni, frequency ya tukio imedhamiriwa kulingana na matokeo ya jaribio la stochastic.

Mfano 1.23. Idara ya udhibiti wa kiufundi kugundua 3 sehemu zisizo za kawaida katika kundi la sehemu 80 zilizochaguliwa kwa nasibu. Mzunguko wa jamaa wa tukio la sehemu zisizo za kawaida r(A)= 3/80.

Mfano 1.24. Kulingana na madhumuni.zinazozalishwa 24 risasi, na hits 19 zilirekodiwa. Kiwango cha kugongwa kwa lengo. r(A)=19/24.

Uchunguzi wa muda mrefu ilionyesha kuwa ikiwa majaribio yanafanywa chini ya hali sawa, katika kila moja ambayo idadi ya vipimo ni kubwa ya kutosha, basi mzunguko wa jamaa unaonyesha mali ya utulivu. Mali hii ni kwamba katika majaribio tofauti masafa ya jamaa hubadilika kidogo (kidogo, majaribio zaidi yanafanywa), ikibadilika karibu na nambari fulani ya mara kwa mara. Ilibadilika kuwa hii nambari ya kudumu inaweza kuchukuliwa kama thamani ya takriban ya uwezekano.

Maelezo zaidi na kwa usahihi zaidi uhusiano kati ya mzunguko wa jamaa na uwezekano utaonyeshwa hapa chini. Sasa hebu tuonyeshe mali ya utulivu na mifano.

Mfano 1.25. Kulingana na takwimu za Uswidi, mzunguko wa jamaa wa kuzaliwa kwa wasichana kwa 1935 kwa mwezi unaonyeshwa na nambari zifuatazo (nambari zimepangwa kwa mpangilio wa miezi, kuanzia na. Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Mzunguko wa jamaa hubadilika karibu na nambari 0.481, ambayo inaweza kuchukuliwa kama thamani ya takriban uwezekano wa kupata wasichana.

Kumbuka kwamba data ya takwimu nchi mbalimbali toa takriban thamani sawa ya masafa ya jamaa.

Mfano 1.26. Majaribio ya kupiga sarafu yalifanyika mara nyingi, ambayo idadi ya kuonekana kwa "kanzu ya silaha" ilihesabiwa. Matokeo ya majaribio kadhaa yanaonyeshwa kwenye jedwali.

Imeletwa hadi sasa jar wazi Matatizo ya Uchunguzi wa Jimbo la Umoja katika hisabati (mathege.ru), suluhisho ambalo linategemea formula moja tu, ambayo ni ufafanuzi wa classical wa uwezekano.

Njia rahisi ya kuelewa formula ni kwa mifano.
Mfano 1. Kuna mipira 9 nyekundu na mipira 3 ya bluu kwenye kikapu. Mipira hutofautiana tu kwa rangi. Tunatoa mmoja wao bila mpangilio (bila kuangalia). Je, kuna uwezekano gani kwamba mpira uliochaguliwa kwa njia hii utakuwa wa bluu?

Maoni. Katika matatizo katika nadharia ya uwezekano, kitu hutokea (katika kesi hii, hatua yetu ya kuvuta mpira) ambayo inaweza kuwa na matokeo tofauti - matokeo. Ikumbukwe kwamba matokeo yanaweza kutazamwa kwa njia tofauti. "Tulitoa aina fulani ya mpira" pia ni matokeo. "Tulitoa mpira wa bluu" - matokeo. "Tulitoa mpira huu kutoka kwa mipira yote inayowezekana" - mtazamo huu wa jumla wa matokeo unaitwa matokeo ya kimsingi. Ni matokeo ya kimsingi ambayo yanakusudiwa katika fomula ya kukokotoa uwezekano.

Suluhisho. Sasa hebu tuhesabu uwezekano wa kuchagua mpira wa bluu.
Tukio A: "mpira uliochaguliwa uligeuka kuwa bluu"
Jumla ya idadi ya matokeo yote yanayowezekana: 9+3=12 (idadi ya mipira yote ambayo tunaweza kuchora)
Idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio A: 3 (idadi ya matokeo kama hayo ambapo tukio A lilitokea - yaani, idadi ya mipira ya bluu)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Jibu: 0.25

Kwa shida sawa, hebu tuhesabu uwezekano wa kuchagua mpira nyekundu.
Jumla ya idadi ya matokeo yanayowezekana itasalia kuwa sawa, 12. Idadi ya matokeo mazuri: 9. Uwezekano unaotafutwa: 9/12=3/4=0.75

Uwezekano wa tukio lolote huwa kati ya 0 na 1.
Wakati mwingine katika hotuba ya kila siku (lakini si katika nadharia ya uwezekano!) uwezekano wa matukio inakadiriwa kuwa asilimia. Mpito kati ya alama za hesabu na mazungumzo hukamilishwa kwa kuzidisha (au kugawanya) kwa 100%.
Kwa hiyo,
Zaidi ya hayo, uwezekano ni sifuri kwa matukio ambayo hayawezi kutokea - ya ajabu. Kwa mfano, katika mfano wetu hii itakuwa uwezekano wa kuchora mpira wa kijani kutoka kwa kikapu. (Idadi ya matokeo mazuri ni 0, P(A)=0/12=0, ikikokotolewa kwa kutumia fomula)
Uwezekano wa 1 una matukio ambayo ni hakika kabisa kutokea, bila chaguo. Kwa mfano, uwezekano kwamba "mpira uliochaguliwa utakuwa nyekundu au bluu" ni kwa ajili ya kazi yetu. (Idadi ya matokeo mazuri: 12, P(A)=12/12=1)

Tumepitia mfano classic, inayoonyesha ufafanuzi wa uwezekano. Zote zinafanana Majukumu ya Mitihani ya Jimbo iliyounganishwa Kulingana na nadharia ya uwezekano, hutatuliwa kwa kutumia fomula hii.
Badala ya mipira nyekundu na bluu kunaweza kuwa na mapera na peari, wavulana na wasichana, tikiti zilizojifunza na ambazo hazijafunzwa, tikiti zilizo na na zisizo na swali juu ya mada fulani (mifano,), mifuko yenye kasoro na ya hali ya juu au pampu za bustani (mifano. ,) - kanuni inabakia sawa.

Zinatofautiana kidogo katika uundaji wa tatizo la nadharia uwezekano wa Mtihani wa Jimbo la Umoja, ambapo unahitaji kukokotoa uwezekano wa tukio kutokea kwa siku mahususi. ( , ) Kama katika kazi zilizopita unahitaji kuamua ni matokeo gani ya msingi, na kisha utumie fomula sawa.

Mfano 2. Kongamano hilo huchukua siku tatu. Siku ya kwanza na ya pili kuna wasemaji 15, siku ya tatu - 20. Je, kuna uwezekano gani kwamba ripoti ya Profesa M. itaanguka siku ya tatu ikiwa utaratibu wa ripoti umedhamiriwa kwa kuchora kura?

Nini matokeo ya msingi hapa? - Kukabidhi ripoti ya profesa moja ya yote iwezekanavyo nambari za serial kwa utendaji. 15+15+20=watu 50 wanashiriki katika droo hiyo. Kwa hivyo, ripoti ya Profesa M. inaweza kupokea moja ya maswala 50. Hii inamaanisha kuwa kuna matokeo 50 tu ya msingi.
Je, ni matokeo gani mazuri? - Wale ambao zinageuka kuwa profesa atazungumza siku ya tatu. Hiyo ni, nambari 20 za mwisho.
Kulingana na fomula, uwezekano P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Jibu: 0.4

Mchoro wa kura hapa unawakilisha uanzishwaji wa mawasiliano ya nasibu kati ya watu na maeneo yaliyoagizwa. Katika mfano wa 2, uanzishwaji wa mawasiliano ulizingatiwa kutoka kwa mtazamo wa ni sehemu gani zinaweza kuchukuliwa mtu maalum. Unaweza kukabiliana na hali hiyo hiyo kutoka upande mwingine: ni yupi kati ya watu walio na uwezekano gani anaweza kukamatwa? mahali maalum(mifano , , , ):

Mfano 3. Droo hiyo inajumuisha Wajerumani 5, Wafaransa 8 na Waestonia 3. Kuna uwezekano gani kwamba wa kwanza (/ pili / saba / mwisho - haijalishi) atakuwa Mfaransa.

Idadi ya matokeo ya msingi - idadi ya yote watu wanaowezekana, ambao wangeweza kufika mahali hapa kwa kuchora kura. 5+8+3=watu 16.
Matokeo mazuri - Kifaransa. 8 watu.
Uwezekano unaohitajika: 8/16=1/2=0.5
Jibu: 0.5

Mfano ni tofauti kidogo. Bado kuna shida kuhusu sarafu () na kete (), ambazo ni za ubunifu zaidi. Suluhisho la shida hizi linaweza kupatikana kwenye kurasa za mfano.

Hapa kuna mifano michache ya kurusha sarafu au kete.

Mfano 4. Tunapotupa sarafu, kuna uwezekano gani wa kutua juu ya vichwa?
Kuna matokeo 2 - vichwa au mikia. (inaaminika kuwa sarafu haitui kwenye ukingo wake) Matokeo mazuri ni mikia, 1.
Uwezekano 1/2=0.5
Jibu: 0.5.

Mfano 5. Je, ikiwa tutatupa sarafu mara mbili? Kuna uwezekano gani wa kupata vichwa mara zote mbili?
Jambo kuu ni kuamua ni matokeo gani ya kimsingi ambayo tutazingatia wakati wa kutupa sarafu mbili. Baada ya kutupa sarafu mbili, moja ya matokeo yafuatayo yanaweza kutokea:
1) PP - mara zote mbili ilikuja vichwa
2) PO - vichwa vya mara ya kwanza, vichwa vya pili
3) OP - inaongoza mara ya kwanza, mikia mara ya pili
4) OO - vichwa vilikuja mara zote mbili
Hakuna chaguzi nyingine. Hii ina maana kwamba kuna matokeo ya msingi 4. Ya kwanza tu, 1, ni nzuri.
Uwezekano: 1/4=0.25
Jibu: 0.25

Kuna uwezekano gani kwamba sarafu mbili za sarafu zitasababisha mikia?
Idadi ya matokeo ya msingi ni sawa, 4. Matokeo mazuri ni ya pili na ya tatu, 2.
Uwezekano wa kupata mkia mmoja: 2/4=0.5

Katika shida kama hizo, formula nyingine inaweza kuwa muhimu.
Ikiwa wakati wa kutupa sarafu moja chaguzi zinazowezekana tuna matokeo 2, basi kwa kutupa mbili matokeo yatakuwa 2 2 = 2 2 = 4 (kama katika mfano 5), kwa kutupa tatu 2 2 2 = 2 3 = 8, kwa nne: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... kwa N kurusha matokeo iwezekanavyo yatakuwa 2·2·...·2=2 N .

Kwa hivyo, unaweza kupata uwezekano wa kupata vichwa 5 kati ya 5 za sarafu.
Jumla ya idadi ya matokeo ya msingi: 2 5 =32.
Matokeo mazuri: 1. (RRRRRR - inaongoza mara 5)
Uwezekano: 1/32=0.03125

Ndivyo ilivyo kwa kete. Kwa kutupa moja, kuna matokeo iwezekanavyo 6. Kwa hiyo, kwa kutupa mbili: 6 6 = 36, kwa tatu 6 6 6 = 216, nk.

Mfano 6. Tunatupa kete. Kuna uwezekano gani kwamba nambari iliyo sawa itavingirishwa?

Jumla ya matokeo: 6, kulingana na idadi ya pande.
Inapendeza: matokeo 3. (2, 4, 6)
Uwezekano: 3/6=0.5

Mfano 7. Tunatupa kete mbili. Kuna uwezekano gani kwamba jumla itakuwa 10? (mzunguko hadi karibu mia)

Kwa kifo kimoja kuna matokeo 6 yanayowezekana. Hii ina maana kwamba kwa mbili, kwa mujibu wa kanuni hapo juu, 6 · 6 = 36.
Je, ni matokeo gani yatafaa kwa jumla kufikia 10?
10 lazima itenganishwe kwa jumla ya nambari mbili kutoka 1 hadi 6. Hii inaweza kufanywa kwa njia mbili: 10=6+4 na 10=5+5. Hii inamaanisha kuwa chaguzi zifuatazo zinawezekana kwa cubes:
(6 ya kwanza na 4 ya pili)
(4 ya kwanza na 6 ya pili)
(5 kwa kwanza na 5 kwa pili)
Jumla, chaguzi 3. Uwezekano unaohitajika: 3/36=1/12=0.08
Jibu: 0.08

Aina zingine za shida za B6 zitajadiliwa katika siku zijazo Jinsi ya Kutatua makala.

Vidokezo muhimu!
1. Ukiona gobbledygook badala ya fomula, futa akiba yako. Jinsi ya kufanya hivyo katika kivinjari chako imeandikwa hapa:
2. Kabla ya kuanza kusoma makala, makini na navigator wetu kwa wengi rasilimali muhimu Kwa

Uwezekano ni nini?

Mara ya kwanza nilipokutana na neno hili, singeelewa ni nini. Kwa hiyo, nitajaribu kueleza kwa uwazi.

Uwezekano ni nafasi kwamba tukio tunalotaka litatokea.

Kwa mfano, uliamua kwenda kwa nyumba ya rafiki, unakumbuka mlango na hata sakafu ambayo anaishi. Lakini nilisahau nambari na eneo la ghorofa. Na sasa umesimama kwenye staircase, na mbele yako kuna milango ya kuchagua.

Kuna nafasi gani (uwezekano) kwamba ikiwa utagonga kengele ya mlango wa kwanza, rafiki yako atakujibu mlango? Kuna vyumba tu, na rafiki anaishi nyuma ya mmoja wao. Kwa nafasi sawa tunaweza kuchagua mlango wowote.

Lakini nafasi hii ni nini?

Mlango, mlango wa kulia. Uwezekano wa kubahatisha kwa kugonga kengele ya mlango wa kwanza: . Hiyo ni, wakati mmoja kati ya tatu utakisia kwa usahihi.

Tunataka kujua, baada ya kupiga simu mara moja, ni mara ngapi tutakisia mlango? Wacha tuangalie chaguzi zote:

1. Ulipiga simu 1 mlango
2. Ulipiga simu 2 mlango
3. Ulipiga simu 3 mlango

Sasa hebu tuangalie chaguzi zote ambapo rafiki anaweza kuwa:

A. Nyuma 1 mlango
b. Nyuma 2 mlango
V. Nyuma 3 mlango

Hebu tulinganishe chaguzi zote katika fomu ya meza. Alama ya kuangalia inaonyesha chaguzi wakati chaguo lako linalingana na eneo la rafiki, msalaba - wakati haufanani.

Unaonaje kila kitu Labda chaguzi eneo la rafiki yako na chaguo lako la mlango gani wa kupiga.

A matokeo mazuri ya wote . Hiyo ni, utakisia mara moja kwa kugonga kengele ya mlango mara moja, i.e. .

Huu ndio uwezekano - uwiano wa matokeo mazuri (wakati chaguo lako linalingana na eneo la rafiki yako) kwa nambari. matukio iwezekanavyo.

Ufafanuzi ni fomula. Uwezekano kawaida huonyeshwa na p, kwa hivyo:

Sio rahisi sana kuandika fomula kama hiyo, kwa hivyo tutachukua - idadi ya matokeo mazuri, na kwa - jumla ya matokeo.

Uwezekano unaweza kuandikwa kama asilimia; kwa kufanya hivyo, unahitaji kuzidisha matokeo kwa:

Neno "matokeo" labda lilivutia macho yako. Kwa sababu wanahisabati huita vitendo mbalimbali(katika nchi yetu hatua kama hiyo ni kengele ya mlango) majaribio, basi matokeo ya majaribio kama haya kawaida huitwa matokeo.

Kweli, kuna matokeo mazuri na yasiyofaa.

Hebu turudi kwenye mfano wetu. Wacha tuseme tuligonga mlango mmoja, lakini ulifunguliwa kwa ajili yetu mgeni. Hatukukisia sawa. Kuna uwezekano gani kwamba ikiwa tutapiga moja ya milango iliyobaki, rafiki yetu atatufungulia?

Ikiwa ulifikiri hivyo, basi hii ni makosa. Hebu tufikirie.

Tumebakiza milango miwili. Kwa hivyo tuna hatua zinazowezekana:

1) Piga simu 1 mlango
2) Piga simu 2 mlango

Rafiki, licha ya haya yote, hakika yuko nyuma ya mmoja wao (baada ya yote, hakuwa nyuma ya yule tuliyemwita):

a) Rafiki kwa 1 mlango
b) Rafiki kwa 2 mlango

Wacha tuchore meza tena:

Kama unaweza kuona, kuna chaguzi tu, ambazo ni nzuri. Hiyo ni, uwezekano ni sawa.

Kwa nini isiwe hivyo?

Hali tuliyozingatia ni mfano matukio tegemezi. Tukio la kwanza ni kengele ya mlango wa kwanza, tukio la pili ni kengele ya mlango wa pili.

Na wanaitwa tegemezi kwa sababu wanaathiri vitendo vifuatavyo. Baada ya yote, ikiwa baada ya kengele ya kwanza kujibiwa na rafiki, kuna uwezekano gani kwamba alikuwa nyuma ya mmoja wa wale wengine wawili? Haki, .

Lakini ikiwa kuna matukio ya tegemezi, basi kuna lazima pia kujitegemea? Hiyo ni kweli, hutokea.

Mfano wa kitabu cha kiada ni kutupa sarafu.

1. Piga sarafu mara moja. Kuna uwezekano gani wa kupata vichwa, kwa mfano? Hiyo ni kweli - kwa sababu kuna chaguzi zote (ama vichwa au mikia, tutapuuza uwezekano wa kutua kwa sarafu kwenye makali yake), lakini inafaa tu.
2. Lakini ilikuja juu. Sawa, wacha tuitupe tena. Kuna uwezekano gani wa kupata vichwa sasa? Hakuna kilichobadilika, kila kitu ni sawa. Chaguo ngapi? Mbili. Je, tunafurahi na wangapi? Moja.

Na wacha iwe vichwa angalau mara elfu mfululizo. Uwezekano wa kupata vichwa mara moja utakuwa sawa. Kuna chaguzi kila wakati, na zile zinazofaa.

Ni rahisi kutofautisha matukio tegemezi kutoka kwa yale huru:

1. Ikiwa jaribio linafanywa mara moja (wanatupa sarafu mara moja, piga kengele ya mlango mara moja, nk), basi matukio huwa huru kila wakati.
2. Ikiwa jaribio linafanywa mara kadhaa (sarafu hutupwa mara moja, kengele ya mlango hupigwa mara kadhaa), basi tukio la kwanza huwa huru kila wakati. Na kisha, ikiwa idadi ya wale wanaofaa au idadi ya matokeo yote yanabadilika, basi matukio yanategemea, na ikiwa sivyo, yanajitegemea.

Wacha tufanye mazoezi ya kuamua uwezekano kidogo.

Mfano 1.

Sarafu inatupwa mara mbili. Kuna uwezekano gani wa kupata vichwa mara mbili mfululizo?

Suluhisho:

Wacha tuchunguze chaguzi zote zinazowezekana:

1. Tai-tai
2. Vichwa-mkia
3. Mikia-Vichwa
4. Mikia-mkia

Kama unaweza kuona, kuna chaguzi tu. Kati ya hizi, tumeridhika tu. Hiyo ni, uwezekano:

Ikiwa hali inauliza tu kupata uwezekano, basi jibu linapaswa kutolewa kwa fomu Nukta. Ikiwa ingebainishwa kuwa jibu litolewe kama asilimia, basi tungezidisha kwa.

Jibu:

Mfano 2.

Katika sanduku la chokoleti, chokoleti zote zimefungwa kwenye kanga moja. Walakini, kutoka kwa pipi - na karanga, na cognac, na cherries, na caramel na nougat.

Kuna uwezekano gani wa kuchukua pipi moja na kupata pipi na karanga? Toa jibu lako kama asilimia.

Suluhisho:

Kuna matokeo mangapi yanawezekana? .

Hiyo ni, ikiwa unachukua pipi moja, itakuwa moja ya zile zinazopatikana kwenye sanduku.

Ni matokeo mangapi mazuri?

Kwa sababu sanduku ina chocolates tu na karanga.

Jibu:

Mfano 3.

Katika sanduku la baluni. ambayo ni nyeupe na nyeusi.

1. Kuna uwezekano gani wa kuchora mpira mweupe?
2. Tuliongeza mipira zaidi nyeusi kwenye sanduku. Sasa kuna uwezekano gani wa kuchora mpira mweupe?

Suluhisho:

a) Kuna mipira tu kwenye kisanduku. Kati yao ni nyeupe.

Uwezekano ni:

b) Sasa kuna mipira mingi kwenye kisanduku. Na kuna wazungu wengi tu waliobaki - .

Jibu:

Jumla ya uwezekano

Uwezekano wa matukio yote yanayowezekana ni sawa na ().

Wacha tuseme kuna mipira nyekundu na kijani kwenye sanduku. Kuna uwezekano gani wa kuchora mpira nyekundu? Mpira wa kijani? Mpira nyekundu au kijani?

Uwezekano wa kuchora mpira nyekundu

Mpira wa kijani:

Mpira nyekundu au kijani:

Kama unaweza kuona, jumla ya matukio yote yanayowezekana ni sawa na (). Kuelewa hatua hii itakusaidia kutatua matatizo mengi.

Mfano 4.

Kuna alama kwenye sanduku: kijani, nyekundu, bluu, njano, nyeusi.

Kuna uwezekano gani wa kuchora SI alama nyekundu?

Suluhisho:

Wacha tuhesabu nambari matokeo mazuri.

SI alama nyekundu, hiyo inamaanisha kijani, bluu, njano au nyeusi.

Uwezekano kwamba tukio halitatokea ni sawa na kuondoa uwezekano wa tukio hilo kutokea.

Sheria ya kuzidisha uwezekano wa matukio huru

Tayari unajua ni matukio gani ya kujitegemea.

Je, ikiwa unahitaji kupata uwezekano kwamba matukio mawili (au zaidi) huru yatatokea mfululizo?

Wacha tuseme tunataka kujua kuna uwezekano gani kwamba ikiwa tutageuza sarafu mara moja, tutaona vichwa mara mbili?

Tayari tumezingatia -.

Je, ikiwa tutatupa sarafu mara moja? Je, kuna uwezekano gani wa kuona tai mara mbili mfululizo?

Jumla ya chaguzi zinazowezekana:

1. Tai-tai-tai
2. Vichwa-vichwa-mkia
3. Vichwa-mkia-vichwa
4. Vichwa-mkia-mkia
5. Mikia-vichwa-vichwa
6. Mikia-vichwa-mkia
7. Mikia-mkia-vichwa
8. Mikia-mkia-mkia

Sijui kuhusu wewe, lakini nilifanya makosa mara kadhaa wakati wa kuandaa orodha hii. Lo! Na chaguo pekee (kwanza) linafaa kwetu.

Kwa kutupa 5, unaweza kufanya orodha ya matokeo iwezekanavyo mwenyewe. Lakini wanahisabati sio wachapakazi kama wewe.

Kwa hiyo, waligundua kwanza na kisha kuthibitisha kwamba uwezekano wa mlolongo fulani wa matukio huru kila wakati hupungua kwa uwezekano wa tukio moja.

Kwa maneno mengine,

Wacha tuangalie mfano wa sarafu ile ile iliyoharibika vibaya.

Uwezekano wa kupata vichwa katika changamoto? . Sasa tunapindua sarafu mara moja.

Kuna uwezekano gani wa kupata vichwa mfululizo?

Sheria hii haifanyi kazi tu ikiwa tutaulizwa kutafuta uwezekano kwamba tukio sawa litatokea mara kadhaa mfululizo.

Ikiwa tungetaka kupata mlolongo wa MIIA-VICHWA-MIA-MIA kwa misuko mifuatano, tungefanya vivyo hivyo.

Uwezekano wa kupata mikia ni , vichwa - .

Uwezekano wa kupata msururu wa TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

Unaweza kuiangalia mwenyewe kwa kutengeneza meza.

Sheria ya kuongeza uwezekano wa matukio yasiyolingana.

Kwa hivyo acha! Ufafanuzi mpya.

Hebu tufikirie. Hebu tuchukue sarafu yetu iliyochakaa na tuitupe mara moja.
Chaguzi zinazowezekana:

1. Tai-tai-tai
2. Vichwa-vichwa-mkia
3. Vichwa-mkia-vichwa
4. Vichwa-mkia-mkia
5. Mikia-vichwa-vichwa
6. Mikia-vichwa-mkia
7. Mikia-mkia-vichwa
8. Mikia-mkia-mkia

Kwa hivyo haya ni matukio yasiyolingana, hii ni fulani kupewa mlolongo matukio. - haya ni matukio yasiyolingana.

Ikiwa tunataka kuamua ni nini uwezekano wa mbili (au zaidi) matukio yasiyolingana kisha tunajumlisha uwezekano wa matukio haya.

Unahitaji kuelewa kwamba vichwa au mikia ni matukio mawili ya kujitegemea.

Ikiwa tunataka kuamua uwezekano wa mlolongo (au mwingine wowote) kutokea, basi tunatumia kanuni ya kuzidisha uwezekano.
Kuna uwezekano gani wa kupata vichwa kwenye toss ya kwanza, na mikia kwenye tosses ya pili na ya tatu?

Lakini ikiwa tunataka kujua ni nini uwezekano wa kupata moja ya mlolongo kadhaa, kwa mfano, wakati vichwa vinakuja mara moja, i.e. chaguzi na, basi lazima tuongeze uwezekano wa mlolongo huu.

Chaguzi zote zinatufaa.

Tunaweza kupata kitu kimoja kwa kuongeza uwezekano wa kutokea kwa kila mlolongo:

Kwa hivyo, tunaongeza uwezekano tunapotaka kuamua uwezekano wa mlolongo fulani, usio na usawa, wa matukio.

Kuna kanuni nzuri ya kukusaidia kuepuka kuchanganyikiwa wakati wa kuzidisha na wakati wa kuongeza:

Wacha turudi kwenye mfano ambapo tulitupa sarafu mara moja na tukataka kujua uwezekano wa kuona vichwa mara moja.
Nini kitatokea?

Inapaswa kuanguka nje:
(vichwa NA MISINGI NA MISINGI) AU (mikia NA vichwa NA MIKILA) AU (mikia NA MISINGI NA vichwa).
Hivi ndivyo inavyotokea:

Hebu tuangalie mifano michache.

Mfano 5.

Kuna penseli kwenye sanduku. nyekundu, kijani, machungwa na njano na nyeusi. Kuna uwezekano gani wa kuchora penseli nyekundu au kijani?

Suluhisho:

Mfano 6.

Ikiwa kufa hutupwa mara mbili, kuna uwezekano gani wa kupata jumla ya 8?

Suluhisho.

Tunawezaje kupata pointi?

(na) au (na) au (na) au (na) au (na).

Uwezekano wa kupata uso mmoja (wowote) ni .

Tunahesabu uwezekano:

Mafunzo.

Nadhani sasa unaelewa wakati unahitaji kuhesabu uwezekano, wakati wa kuziongeza, na wakati wa kuzizidisha. Sivyo? Hebu tufanye mazoezi kidogo.

Kazi:

Wacha tuchukue sitaha ya kadi iliyo na kadi ikijumuisha jembe, mioyo, vilabu 13 na almasi 13. Kutoka kwa Ace ya kila suti.

1. Kuna uwezekano gani wa kuchora vilabu kwa safu (tunaweka kadi ya kwanza iliyotolewa nyuma kwenye sitaha na kuichanganya)?
2. Je, kuna uwezekano gani wa kuchora kadi nyeusi (jembe au vilabu)?
3. Kuna uwezekano gani wa kuchora picha (jack, malkia, mfalme au ace)?
4. Je, kuna uwezekano gani wa kuchora picha mbili mfululizo (tunaondoa kadi ya kwanza iliyochorwa kutoka kwenye staha)?
5. Kuna uwezekano gani, kuchukua kadi mbili, kukusanya mchanganyiko - (jack, malkia au mfalme) na ace?Mlolongo ambao kadi hutolewa haijalishi.

Majibu:

Ikiwa umeweza kutatua matatizo yote mwenyewe, basi wewe ni mzuri! Sasa utagundua shida za nadharia ya uwezekano katika Mtihani wa Jimbo la Umoja kama karanga!

NADHARIA YA UWEZEKANO. KIWANGO CHA WASTANI

Hebu tuangalie mfano. Wacha tuseme tunatupa kifo. Huu ni mfupa wa aina gani, unajua? Hii ndio wanaiita mchemraba na nambari kwenye nyuso zake. Ni nyuso ngapi, nambari nyingi: kutoka hadi ngapi? Kabla.

Kwa hivyo tunasonga kete na tunataka ije juu au. Na sisi kupata.

Katika nadharia ya uwezekano wanasema nini kilitokea tukio la baraka(si kuchanganyikiwa na mafanikio).

Ikiwa ilifanyika, tukio hilo pia lingekuwa nzuri. Kwa jumla, matukio mawili tu mazuri yanaweza kutokea.

Ni ngapi ambazo hazifai? Kwa kuwa kuna jumla ya matukio yanayowezekana, ina maana kwamba yale yasiyofaa ni matukio (hii ni ikiwa au huanguka).

Ufafanuzi:

Uwezekano ni uwiano wa idadi ya matukio yanayofaa kwa idadi ya matukio yote yanayowezekana. Hiyo ni, uwezekano unaonyesha ni idadi gani ya matukio yote yanayowezekana yanafaa.

Inaonyesha uwezekano Barua ya Kilatini(inaonekana kutoka neno la Kiingereza uwezekano - uwezekano).

Ni desturi kupima uwezekano kama asilimia (tazama mada,). Ili kufanya hivyo, thamani ya uwezekano lazima iongezwe na. Katika mfano wa kete, uwezekano.

Na kwa asilimia:.

Mifano (amua mwenyewe):

1. Kuna uwezekano gani wa kupata vichwa wakati wa kutupa sarafu? Je, kuna uwezekano gani wa kutua vichwa?
2. Kuna uwezekano gani wa kupata nambari sawa wakati wa kutupa kufa? Ni ipi isiyo ya kawaida?
3. Katika sanduku la penseli rahisi, bluu na nyekundu. Tunachora penseli moja bila mpangilio. Kuna uwezekano gani wa kupata moja rahisi?

Ufumbuzi:

1. Kuna chaguzi ngapi? Vichwa na mikia - mbili tu. Ni wangapi kati yao wanaofaa? Mmoja tu ni tai. Hivyo uwezekano

   Ni sawa na mikia:.

2. Chaguzi za jumla: (mchemraba una pande ngapi, nyingi chaguzi mbalimbali) Zinazopendeza: (hizi zote ni nambari sawa :).
   Uwezekano. Bila shaka, ni sawa na idadi isiyo ya kawaida.
3. Jumla:. Inapendeza:. Uwezekano:.

Jumla ya uwezekano

Penseli zote kwenye sanduku ni kijani. Kuna uwezekano gani wa kuchora penseli nyekundu? Hakuna nafasi: uwezekano (baada ya yote, matukio mazuri -).

Tukio kama hilo linaitwa haliwezekani.

Kuna uwezekano gani wa kuchora penseli ya kijani kibichi? Kuna idadi sawa ya matukio yanayofaa kama kuna jumla ya matukio (matukio yote yanafaa). Kwa hivyo uwezekano ni sawa na au.

Tukio kama hilo linaitwa kuaminika.

Ikiwa sanduku lina penseli za kijani na nyekundu, kuna uwezekano gani wa kuchora kijani au nyekundu? Bado tena. Hebu kumbuka hili: uwezekano wa kuvuta kijani ni sawa, na nyekundu ni sawa.

Kwa jumla, uwezekano huu ni sawa kabisa. Hiyo ni, jumla ya uwezekano wa matukio yote yanayowezekana ni sawa na au.

Mfano:

Katika sanduku la penseli, kati yao ni bluu, nyekundu, kijani, wazi, njano, na wengine ni machungwa. Kuna uwezekano gani wa kutochora kijani?

Suluhisho:

Tunakumbuka kuwa uwezekano wote unaongeza. Na uwezekano wa kupata kijani ni sawa. Hii ina maana kwamba uwezekano wa si kuchora kijani ni sawa.

Kumbuka hila hii: Uwezekano kwamba tukio halitatokea ni sawa na kuondoa uwezekano wa tukio hilo kutokea.

Matukio ya kujitegemea na kanuni ya kuzidisha

Unapindua sarafu mara moja na unataka ijitokeze mara zote mbili. Je, kuna uwezekano gani wa jambo hili?

Wacha tupitie chaguzi zote zinazowezekana na tuone ni ngapi kuna:

Vichwa-Vichwa, Mikia-Vichwa, Vichwa-Mkia, Mikia-Mkia. Nini kingine?

Jumla ya chaguzi. Kati ya hizi, moja tu inafaa kwetu: Eagle-Eagle. Kwa jumla, uwezekano ni sawa.

Sawa. Sasa hebu tupindue sarafu mara moja. Fanya hesabu mwenyewe. Imetokea? (jibu).

Huenda umeona kwamba kwa kuongezwa kwa kila kutupa baadae, uwezekano unapungua kwa nusu. Kanuni ya jumla kuitwa kanuni ya kuzidisha:

Uwezekano wa matukio ya kujitegemea hubadilika.

Ni matukio gani ya kujitegemea? Kila kitu ni mantiki: hizi ni zile ambazo hazitegemei kila mmoja. Kwa mfano, tunapotupa sarafu mara kadhaa, kila wakati kutupa mpya kunafanywa, matokeo ambayo haitegemei utupaji wote uliopita. Tunaweza kwa urahisi kutupa sarafu mbili tofauti kwa wakati mmoja.

Mifano zaidi:

1. Kete hutupwa mara mbili. Kuna uwezekano gani wa kuipata mara zote mbili?
2. Sarafu inatupwa mara moja. Kuna uwezekano gani kwamba itakuja vichwa mara ya kwanza, na kisha mikia mara mbili?
3. Mchezaji anakunja kete mbili. Kuna uwezekano gani kwamba jumla ya nambari zilizo juu yao zitakuwa sawa?

Majibu:

1. Matukio ni huru, ambayo ina maana sheria ya kuzidisha inafanya kazi:.
2. Uwezekano wa vichwa ni sawa. Uwezekano wa mikia ni sawa. Zidisha:
3. 12 inaweza kupatikana tu ikiwa mbili -ki zimeviringishwa:.

Matukio yasiyolingana na sheria ya kuongeza

Matukio ambayo yanakamilishana yanaitwa yasiokubaliana. uwezekano kamili. Kama jina linavyopendekeza, haziwezi kutokea wakati huo huo. Kwa mfano, ikiwa tunapindua sarafu, inaweza kuja na vichwa au mikia.

Mfano.

Katika sanduku la penseli, kati yao ni bluu, nyekundu, kijani, wazi, njano, na wengine ni machungwa. Kuna uwezekano gani wa kuchora kijani au nyekundu?

Suluhisho .

Uwezekano wa kuchora penseli ya kijani ni sawa. Nyekundu -.

Matukio mazuri kwa wote: kijani + nyekundu. Hii ina maana kwamba uwezekano wa kuchora kijani au nyekundu ni sawa.

Uwezekano sawa unaweza kuwakilishwa katika fomu hii:.

Hii ndio kanuni ya kuongeza: uwezekano wa matukio yasiokubaliana unaongeza.

Matatizo ya aina mchanganyiko

Mfano.

Sarafu inatupwa mara mbili. Kuna uwezekano gani kwamba matokeo ya safu yatakuwa tofauti?

Suluhisho .

Hii ina maana kwamba ikiwa matokeo ya kwanza ni vichwa, pili lazima iwe mikia, na kinyume chake. Inatokea kwamba kuna jozi mbili za matukio ya kujitegemea, na jozi hizi haziendani na kila mmoja. Jinsi ya kutochanganyikiwa kuhusu wapi kuzidisha na wapi kuongeza.

Kuna sheria rahisi kwa hali kama hizo. Jaribu kueleza kitakachotokea kwa kutumia viunganishi “NA” au “AU”. Kwa mfano, katika kesi hii:

Inapaswa kuja (vichwa na mikia) au (mikia na vichwa).

Ambapo kuna kiunganishi "na" kutakuwa na kuzidisha, na ambapo kuna "au" kutakuwa na nyongeza:

Jaribu mwenyewe:

1. Kuna uwezekano gani kwamba ikiwa sarafu itarushwa mara mbili, sarafu itatua upande huo huo mara zote mbili?
2. Kete hutupwa mara mbili. Je, kuna uwezekano gani wa kupata jumla ya pointi?

Ufumbuzi:

Mfano mwingine:

Piga sarafu mara moja. Je, kuna uwezekano gani kwamba vichwa vitaonekana angalau mara moja?

Suluhisho:

NADHARIA YA UWEZEKANO. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Uwezekano ni uwiano wa idadi ya matukio yanayofaa kwa idadi ya matukio yote yanayowezekana.

Matukio ya kujitegemea

Matukio mawili ni huru ikiwa tukio la moja halibadili uwezekano wa lingine kutokea.

Jumla ya uwezekano

Uwezekano wa matukio yote yanayowezekana ni sawa na ().

Uwezekano kwamba tukio halitatokea ni sawa na kuondoa uwezekano wa tukio hilo kutokea.

Sheria ya kuzidisha uwezekano wa matukio huru

Uwezekano wa mlolongo fulani wa matukio huru ni sawa na bidhaa ya uwezekano wa kila tukio

Matukio yasiyolingana

Matukio yasiyolingana ni yale ambayo hayawezi kutokea kwa wakati mmoja kama matokeo ya jaribio. Msururu wa matukio yasiooana kikundi kamili matukio.

Uwezekano wa matukio yasiyooana unaongeza.

Baada ya kuelezea kile kinachopaswa kutokea, kwa kutumia viunganishi "NA" au "AU", badala ya "NA" tunaweka ishara ya kuzidisha, na badala ya "AU" tunaweka ishara ya kuongeza.

Naam, mada imekwisha. Ikiwa unasoma mistari hii, inamaanisha kuwa wewe ni mzuri sana.

Kwa sababu ni 5% tu ya watu wanaweza kusimamia kitu peke yao. Na ukisoma hadi mwisho, basi uko kwenye hii 5%!

Sasa jambo muhimu zaidi.

Umeelewa nadharia juu ya mada hii. Na, narudia, hii ... hii ni super tu! Tayari wewe ni bora kuliko idadi kubwa ya wenzako.

Shida ni kwamba hii inaweza kuwa haitoshi ...

Kwa ajili ya nini?

Kwa kukamilika kwa mafanikio Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa ajili ya kujiunga na chuo kwa bajeti na, MUHIMU ZAIDI, kwa maisha yote.

Sitakushawishi chochote, nitasema jambo moja tu ...

Watu ambao wamepata elimu nzuri hupata pesa nyingi zaidi kuliko wale ambao hawajapata. Hizi ni takwimu.

Lakini hii sio jambo kuu.

Jambo kuu ni kwamba wana FURAHA ZAIDI (kuna masomo kama haya). Labda kwa sababu kuna mengi zaidi wazi mbele yao uwezekano zaidi na maisha yanakuwa angavu? Sijui...

Lakini fikiria mwenyewe ...

Je, inachukua nini ili kuwa na uhakika wa kuwa bora zaidi kuliko wengine kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja na hatimaye kuwa... furaha zaidi?

PATA MKONO WAKO KWA KUTATUA MATATIZO JUU YA MADA HII.

Hutaulizwa nadharia wakati wa mtihani.

Utahitaji kutatua matatizo kwa wakati.

Na, ikiwa haujayatatua (MENGI!), hakika utafanya makosa ya kijinga mahali fulani au hutakuwa na wakati.

Ni kama katika michezo - unahitaji kurudia mara nyingi ili kushinda kwa hakika.

Tafuta mkusanyiko popote unapotaka, lazima na suluhisho, uchambuzi wa kina na kuamua, kuamua, kuamua!

Unaweza kutumia kazi zetu (hiari) na sisi, bila shaka, tunazipendekeza.

Ili kufanya vyema katika kutumia kazi zetu, unahitaji kusaidia kupanua maisha ya kitabu cha kiada cha YouClever unachosoma kwa sasa.

Vipi? Kuna chaguzi mbili:

1. Fungua kazi zote zilizofichwa katika nakala hii -
2. Fungua ufikiaji wa kazi zote zilizofichwa katika nakala zote 99 za kitabu - Nunua kitabu cha maandishi - 499 RUR

Ndio, tuna nakala kama hizo 99 kwenye kitabu chetu cha maandishi na ufikiaji wa kazi zote na maandishi yote yaliyofichwa ndani yao yanaweza kufunguliwa mara moja.

Ufikiaji wa kazi zote zilizofichwa hutolewa kwa maisha YOTE ya tovuti.

Hitimisho...

Ikiwa hupendi majukumu yetu, tafuta mengine. Usiishie kwenye nadharia.

"Kueleweka" na "naweza kutatua" ni ujuzi tofauti kabisa. Unahitaji zote mbili.

Tafuta shida na utatue!

Katika blogu yangu, tafsiri ya mhadhara unaofuata wa kozi ya "Kanuni za Mizani ya Mchezo" na mbuni wa mchezo Jan Schreiber, ambaye alifanya kazi kwenye miradi kama vile Mchezo wa Kadi ya Biashara ya Marvel na Playboy: Jumba.

Hadi sasa, karibu kila kitu ambacho tumezungumzia kimekuwa cha kuamua, na wiki iliyopita tuliangalia kwa karibu mechanics ya mpito, tukienda kwa undani kama niwezavyo kuelezea. Lakini hadi sasa hatujatilia maanani kipengele kingine cha michezo mingi, yaani, vipengele visivyoamua - kwa maneno mengine, kubahatisha.

Kuelewa asili ya nasibu ni muhimu sana kwa wabunifu wa mchezo. Tunaunda mifumo inayoathiri matumizi ya mtumiaji katika mchezo fulani, kwa hivyo tunahitaji kujua jinsi mifumo hiyo inavyofanya kazi. Ikiwa kuna nasibu katika mfumo, tunahitaji kuelewa asili ya unasibu huu na kujua jinsi ya kuubadilisha ili kupata matokeo tunayohitaji.

Kete

Hebu tuanze na kitu rahisi - kutupa kete. Wakati watu wengi wanafikiria kete, wanafikiria kifo cha pande sita kinachojulikana kama d6. Lakini wachezaji wengi wameona kete nyingine nyingi: tetrahedral (d4), octagonal (d8), kumi na mbili upande (d12), ishirini-upande (d20). Ikiwa wewe ni gwiji halisi, unaweza kuwa na kete za upande 30 au 100 mahali fulani.

Ikiwa hujui istilahi, d inawakilisha kufa, na nambari baada yake ni idadi ya pande iliyo nayo. Ikiwa nambari inaonekana kabla ya d, basi inaonyesha idadi ya kete zinazopaswa kuzungushwa. Kwa mfano, katika mchezo wa Ukiritimba unazunguka 2d6.

Kwa hiyo, katika kesi hii, maneno "kete" ni ishara. Kuna idadi kubwa ya jenereta zingine za nambari zisizo za kawaida ambazo hazionekani kama takwimu za plastiki, lakini hufanya kazi sawa - toa. nambari ya nasibu kutoka 1 hadi n. Sarafu ya kawaida pia inaweza kuwakilishwa kama kete ya dihedral d2.

Niliona miundo miwili ya kete za pande saba: moja ilionekana kama kete, na nyingine inaonekana zaidi kama penseli ya mbao yenye pande saba. Tetrahedral dreidel, pia inajulikana kama titotum, ni sawa na mfupa wa tetrahedral. Ubao wa vishale unaozunguka katika Chutes & Ladders, ambapo alama zinaweza kuanzia 1 hadi 6, zinalingana na kufa kwa pande sita.

Jenereta ya nambari isiyo ya kawaida ya kompyuta inaweza kuunda nambari yoyote kutoka 1 hadi 19 ikiwa mbuni ataibainisha, ingawa kompyuta haina sehemu ya pande 19 (kwa ujumla, nitazungumza zaidi juu ya uwezekano wa nambari kuja kwenye a. kompyuta wiki ijayo). Vitu hivi vyote vinaonekana tofauti, lakini kwa kweli ni sawa: una nafasi sawa ya kila moja ya matokeo kadhaa iwezekanavyo.

Kete zina baadhi mali ya kuvutia ambayo tunahitaji kujua. Kwanza, uwezekano wa kutua kete yoyote ni sawa (nadhani unasonga kete sahihi). sura ya kijiometri) Ikiwa unataka kujua thamani ya wastani ya safu (kwa wale ambao wako katika nadharia ya uwezekano, hii inajulikana kama dhamana inayotarajiwa), ongeza maadili kwenye kingo zote na ugawanye nambari hiyo kwa idadi ya kingo.

Jumla ya maadili ya pande zote kwa kufa kwa pande sita ni 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Gawanya 21 kwa idadi ya pande na upate thamani ya wastani ya roll: 21 / 6 = 3.5. Hii kesi maalum, kwa sababu tunadhania kuwa matokeo yote yana uwezekano sawa.

Je, ikiwa una kete maalum? Kwa mfano, niliona mchezo na kifo cha pande sita na stika maalum pande: 1, 1, 1, 2, 2, 3, kwa hivyo ni kama kifo cha kushangaza cha pande tatu ambacho nafasi zaidi kwamba nambari itakuwa 1 badala ya 2, na kwamba nambari itakuwa na uwezekano mkubwa wa kuwa 2 kuliko 3. Je! Kwa hiyo, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, imegawanywa na 6 - inageuka 5/3, au takriban 1.66. Kwa hivyo, ikiwa una kufa maalum na wachezaji wanakunja kete tatu na kisha kuongeza matokeo - unajua kuwa safu yao itaongeza hadi 5, na unaweza kusawazisha mchezo kulingana na dhana hiyo.

Kete na Uhuru

Kama nilivyokwisha sema, tunaendelea kutoka kwa dhana kwamba kila upande una uwezekano wa kutoweka. Haijalishi unazungusha kete ngapi. Kila safu ya kete inajitegemea, ikimaanisha kuwa safu zilizopita haziathiri matokeo ya zile zinazofuata. Ukizingatia majaribio ya kutosha, utalazimika kugundua muundo wa nambari - kwa mfano, viwango vya juu au vya chini - au vipengele vingine, lakini hiyo haimaanishi kuwa kete ni "moto" au "baridi". Tutazungumza juu ya hili baadaye.

Ukiviringisha kizio cha kawaida cha pande sita na nambari 6 inakuja mara mbili mfululizo, uwezekano kwamba kurusha inayofuata itasababisha 6 ni sawa na 1/6. Uwezekano hauongezeki kwa sababu kufa "kumewaka" . Wakati huo huo, uwezekano haupungua: sio sahihi kwa sababu kwamba nambari ya 6 tayari imekuja mara mbili mfululizo, ambayo ina maana kwamba sasa upande mwingine unapaswa kuja.

Bila shaka, ikiwa unaviringisha kizibo mara ishirini na kupata 6 kila wakati, nafasi ya kwamba mara ishirini na moja unapokunja 6 ni ya juu sana: labda una kufa vibaya. Lakini ikiwa kufa ni sawa, kila upande una uwezekano sawa wa kutua, bila kujali matokeo ya safu zingine. Unaweza pia kufikiria kuwa tunabadilisha kufa kila wakati: ikiwa nambari ya 6 imevingirishwa mara mbili mfululizo, ondoa "moto" kutoka kwa mchezo na uibadilisha na mpya. Samahani ikiwa kuna yeyote kati yenu aliyejua tayari kuhusu hili, lakini nilihitaji kufuta hili kabla ya kuendelea.

Jinsi ya kufanya kete zitembee zaidi au chini bila mpangilio

Wacha tuzungumze juu ya jinsi ya kupata matokeo tofauti kwenye kete tofauti. Ikiwa unasonga kifo mara moja tu au mara kadhaa, mchezo utahisi bila mpangilio zaidi wakati kufa kuna pande nyingi. Mara nyingi zaidi unapaswa kukunja kete, na kadiri unavyosonga, ndivyo matokeo yanavyokaribia wastani.

Kwa mfano, katika kesi ya 1d6 + 4 (hiyo ni, ikiwa unakunja safu ya kawaida ya sita-upande mara moja na kuongeza 4 kwa matokeo), wastani itakuwa nambari kati ya 5 na 10. Ikiwa unasonga 5d2, wastani pia itakuwa nambari kati ya 5 na 10. Matokeo ya kusongesha 5d2 hasa yatakuwa nambari 7 na 8, mara chache zaidi maadili mengine. Mfululizo huo huo, hata thamani sawa ya wastani (katika hali zote mbili 7.5), lakini asili ya randomness ni tofauti.

Subiri kidogo. Si nilisema tu kwamba kete "hazichomi" au "zimepoa"? Sasa nasema: ikiwa unatupa kete nyingi, matokeo ya rolls yatakaribia wastani. Kwa nini?

Hebu nielezee. Ikiwa unasonga kufa moja, kila upande una uwezekano sawa wa kutua. Hii ina maana kwamba ukizungusha kete nyingi kwa wakati, kila upande utakuja kwa idadi sawa ya nyakati. Kadiri unavyosonga kete, ndivyo matokeo ya jumla yatakavyokaribia wastani.

Hii si kwa sababu nambari inayochorwa "inalazimisha" nambari nyingine kuchorwa ambayo bado haijachorwa. Lakini kwa sababu safu ndogo ya kusambaza nambari 6 (au 20, au nambari nyingine) mwishoni haitaathiri matokeo sana ikiwa utasonga kete mara elfu kumi zaidi na zaidi idadi ya wastani itakuja. Sasa utapata idadi kubwa chache, na baadaye ndogo ndogo - na baada ya muda watapata karibu na wastani.

Hii haifanyiki kwa sababu safu zilizopita zinaathiri kete (kwa umakini, kete zimetengenezwa kwa plastiki, haina akili ya kufikiria, "Oh, ni muda umepita tangu uzungushe 2"), lakini kwa sababu hii ni. nini kawaida hufanyika na kete nyingi za safu

Kwa hivyo, ni rahisi sana kufanya mahesabu kwa safu moja ya nasibu ya kete - angalau kuhesabu thamani ya wastani ya roll. Pia kuna njia za kuhesabu "jinsi jinsi kitu kilivyo nasibu" na kusema kwamba matokeo ya kusongesha 1d6+4 yatakuwa "bahati nasibu" kuliko 5d2. Kwa 5d2, safu zitasambazwa sawasawa. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuhesabu kupotoka kwa kawaida: thamani kubwa, matokeo yatakuwa ya random zaidi. Nisingependa kutoa mahesabu mengi leo, nitaelezea mada hii baadaye.

Kitu pekee ambacho nitakuuliza ukumbuke ni kwamba, kama sheria ya jumla, kadiri unavyosonga kete chache, ndivyo ubahatishaji unavyoongezeka. Na kadiri difa linavyokuwa na pande nyingi, ndivyo ubahatishaji unavyoongezeka, kwani kuna chaguo zaidi za thamani zinazowezekana.

Jinsi ya Kuhesabu Uwezekano Kutumia Kuhesabu

Unaweza kujiuliza: tunawezaje kuhesabu uwezekano halisi wa kupata matokeo fulani? Kwa kweli, hii ni muhimu kwa michezo mingi: ikiwa hapo awali unasonga kete - uwezekano mkubwa kuna aina fulani ya matokeo bora. Jibu langu ni: tunahitaji kuhesabu maadili mawili. Kwanza, jumla ya nambari matokeo wakati wa kutupa kufa, na pili, idadi ya matokeo mazuri. Kugawanya thamani ya pili na ya kwanza itakupa uwezekano unaotaka. Ili kupata asilimia, zidisha matokeo kwa 100.

Mifano

Hapa kuna mfano rahisi sana. Unataka nambari ya 4 au zaidi kuviringisha kufa kwa pande sita mara moja. Idadi ya juu ya matokeo ni 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Kati ya hizi, matokeo 3 (4, 5, 6) yanafaa. Hii ina maana kwamba kuhesabu uwezekano, tunagawanya 3 na 6 na kupata 0.5 au 50%.

Hapa kuna mfano ngumu zaidi. Unataka kukunja 2d6 idadi sawa. Idadi ya juu ya matokeo ni 36 (chaguo 6 kwa kila kufa, kufa moja haiathiri nyingine, kwa hivyo kuzidisha 6 kwa 6 na kupata 36). Ugumu wa suala hilo wa aina hii ni kwamba ni rahisi kuhesabu mara mbili. Kwa mfano, wakati wa kusongesha 2d6, kuna matokeo mawili yanayowezekana ya 3: 1+2 na 2+1. Wanaonekana sawa, lakini tofauti ni nambari gani inayoonyeshwa kwenye kufa kwa kwanza na ni nambari gani inayoonyeshwa kwa pili.

Unaweza pia kufikiria kwamba kete rangi tofauti: Kwa hiyo, kwa mfano, katika kesi hii kete moja ni nyekundu, nyingine ni bluu. Kisha uhesabu idadi ya chaguzi za kusonga nambari sawa:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Inabadilika kuwa kuna chaguzi 18 za matokeo mazuri kati ya 36 - kama katika kesi ya awali, uwezekano ni 0.5 au 50%. Labda zisizotarajiwa, lakini sahihi kabisa.

Uigaji wa Monte Carlo

Je, ikiwa una kete nyingi kwa hesabu hii? Kwa mfano, unataka kujua ni uwezekano gani wa kupata jumla ya 15 au zaidi wakati wa kusonga 8d6. Kwa kete nane kuna aina kubwa matokeo tofauti, na kuyahesabu kwa mikono kungechukua muda mrefu sana - hata kama tungepata suluhisho zuri la kupanga safu tofauti za kete.

Katika kesi hii, njia rahisi sio kuhesabu kwa mikono, lakini kutumia kompyuta. Kuna njia mbili za kuhesabu uwezekano kwenye kompyuta. Njia ya kwanza inaweza kukupa jibu sahihi, lakini inahusisha kidogo ya programu au scripting. Kompyuta itapitia kila uwezekano, kutathmini na kuhesabu jumla ya idadi ya marudio na idadi ya marudio yanayolingana. matokeo yaliyotarajiwa, kisha toa majibu. Nambari yako inaweza kuonekana kama hii kwa njia ifuatayo:

Ikiwa huelewi programu na unahitaji jibu la takriban badala ya moja halisi, unaweza kuiga hali hii katika Excel, ambapo unapiga 8d6 mara elfu kadhaa na kupata jibu. Ili kukunja 1d6 katika Excel, tumia fomula =Sakafu(RANDI()*6)+1.

Kuna jina la hali wakati hujui jibu na ujaribu tena na tena - simulation ya Monte Carlo. Hii ni suluhisho nzuri ya kutumia wakati wa kuhesabu uwezekano ni ngumu sana. Jambo kuu ni kwamba katika kesi hii hatuitaji kuelewa jinsi hesabu inavyofanya kazi, na tunajua kuwa jibu litakuwa "nzuri sana" kwa sababu, kama tunavyojua tayari, jinsi hesabu inavyozidi, ndivyo matokeo yanavyokaribia. wastani.

Jinsi ya kuchanganya majaribio ya kujitegemea

Ukiuliza kuhusu kurudia kadhaa lakini vipimo vya kujitegemea, basi matokeo ya kutupa moja haiathiri matokeo ya kutupa nyingine. Kuna maelezo mengine rahisi zaidi ya hali hii.

Jinsi ya kutofautisha kati ya kitu tegemezi na huru? Kimsingi, ikiwa unaweza kutenga kila kurusha (au safu ya kurusha) ya kufa kama tukio tofauti, basi ni huru. Kwa mfano, tuseme tunasonga 8d6 na tunataka jumla ya 15. Tukio hili haiwezi kugawanywa katika safu kadhaa za kete za kujitegemea. Ili kupata matokeo, unahesabu jumla ya maadili yote, kwa hivyo matokeo yanayokuja kwenye kufa moja huathiri matokeo ambayo yanapaswa kuja kwa wengine.

Huu hapa ni mfano wa safu huru: Unacheza mchezo wa kete, na unakunja kete za pande sita mara nyingi. Roli ya kwanza lazima iwe 2 au zaidi ili kusalia kwenye mchezo. Kwa kutupa pili - 3 au zaidi. Ya tatu inahitaji 4 au zaidi, ya nne inahitaji 5 au zaidi, na ya tano inahitaji 6. Ikiwa safu zote tano zimefanikiwa, unashinda. Katika kesi hii, utupaji wote ni huru. Ndiyo, ikiwa kurusha moja hakufaulu, itaathiri matokeo ya mchezo mzima, lakini kurusha moja hakuathiri jingine. Kwa mfano, ikiwa safu yako ya pili ya kete imefanikiwa sana, hii haimaanishi kuwa safu zinazofuata zitakuwa nzuri. Kwa hiyo, tunaweza kuzingatia uwezekano wa kila roll ya kete tofauti.

Ikiwa unayo uwezekano wa kujitegemea na unataka kujua ni nini uwezekano wa matukio yote yanayotokea, unaamua kila uwezekano wa mtu binafsi na kuzizidisha pamoja. Njia nyingine: ikiwa unatumia kiunganishi "na" kuelezea hali kadhaa (kwa mfano, kuna uwezekano gani wa kutokea kwa tukio fulani la nasibu na tukio lingine huru la bahati nasibu?) - hesabu uwezekano wa mtu binafsi na uzizidishe.

Haijalishi unafikiria nini, usiwahi kuongeza uwezekano wa kujitegemea. Hili ni kosa la kawaida. Ili kuelewa kwa nini hii ni mbaya, fikiria hali ambapo unatupa sarafu na unataka kujua ni nini uwezekano wa kupata vichwa mara mbili mfululizo. Uwezekano wa kila upande kuanguka nje ni 50%. Ukijumlisha uwezekano huu wawili, unapata nafasi 100% ya kupata vichwa, lakini tunajua hiyo si kweli kwa sababu inaweza kuwa mikia mara mbili mfululizo. Ikiwa badala yake utazidisha uwezekano huo mbili, unapata 50% * 50% = 25% - ambayo ni jibu sahihi la kuhesabu uwezekano wa kupata vichwa mara mbili mfululizo.

Mfano

Wacha turudi kwenye mchezo wa kete wa pande sita, ambapo kwanza unahitaji kukunja nambari kubwa kuliko 2, kisha kubwa kuliko 3 - na kuendelea hadi 6. Kuna nafasi gani kwamba katika safu fulani ya safu tano matokeo yote yatakuwa mazuri. ?

Kama ilivyoelezwa hapo juu, haya ni majaribio huru, kwa hivyo tunakokotoa uwezekano wa kila safu mahususi na kisha kuyazidisha pamoja. Uwezekano kwamba matokeo ya safu ya kwanza yatakuwa mazuri ni 5/6. Pili - 4/6. Tatu - 3/6. Ya nne - 2/6, ya tano - 1/6. Tunazidisha matokeo yote kwa kila mmoja na kupata takriban 1.5%. Ushindi katika mchezo huu ni nadra sana, kwa hivyo ukiongeza kipengee hiki kwenye mchezo wako, utahitaji jackpot kubwa kiasi.

Kukanusha

Hapa kuna mwingine kidokezo cha manufaa: Wakati mwingine ni vigumu kuhesabu uwezekano kwamba tukio litatokea, lakini ni rahisi kuamua nafasi ambazo tukio hilo halitatokea. Kwa mfano, hebu tuseme tuna mchezo mwingine: unasonga 6d6 na kushinda ikiwa utarudisha 6 angalau mara moja. Je, kuna uwezekano gani wa kushinda?

Katika kesi hii, kuna chaguzi nyingi za kuzingatia. Inawezekana kwamba nambari moja ya 6 itavingirishwa, ambayo ni, moja ya kete itaonyesha nambari 6, na zingine zitaonyesha nambari kutoka 1 hadi 5, kisha kuna chaguzi 6 ambazo kati ya kete zitaonyesha 6. Unaweza kupata nambari ya 6 kwenye kete mbili za kete, au tatu, au hata zaidi, na kila wakati utahitaji kufanya hesabu tofauti, hivyo ni rahisi kuchanganyikiwa hapa.

Lakini hebu tuangalie tatizo kutoka upande mwingine. Utapoteza ikiwa hakuna kete kati ya hizo zinazokunja 6. Katika hali hii tuna majaribio 6 huru. Uwezekano kwamba kila kete itakunja nambari nyingine isipokuwa 6 ni 5/6. Zizidishe na utapata takriban 33%. Hivyo, uwezekano wa kupoteza ni moja kati ya tatu. Kwa hiyo, uwezekano wa kushinda ni 67% (au mbili hadi tatu).

Kutoka kwa mfano huu ni dhahiri: ikiwa unahesabu uwezekano kwamba tukio halitatokea, unahitaji kuondoa matokeo kutoka kwa 100%. Ikiwa uwezekano wa kushinda ni 67%, basi uwezekano wa kupoteza ni 100% minus 67%, au 33%, na kinyume chake. Ikiwa ni vigumu kuhesabu uwezekano mmoja lakini ni rahisi kuhesabu kinyume, hesabu kinyume na kisha uondoe nambari hiyo kutoka 100%.

Tunachanganya masharti ya mtihani mmoja wa kujitegemea

Nilisema hapo juu kwamba haupaswi kamwe kuongeza uwezekano katika majaribio huru. Kuna visa vyovyote ambapo inawezekana kuhitimisha uwezekano? Ndio, katika hali moja maalum.

Iwapo ungependa kukokotoa uwezekano wa matokeo kadhaa yanayofaa yasiyohusiana kwenye jaribio moja, fanya jumla ya uwezekano wa kila tokeo linalofaa. Kwa mfano, uwezekano wa kukunja 4, 5, au 6 kwenye 1d6 ni sawa na jumla ya uwezekano wa kukunja 4, uwezekano wa kukunja 5, na uwezekano wa kukunja 6. Hali hii inaweza kufikiria hivi: ikiwa unatumia kiunganishi "au" katika swali kuhusu uwezekano (kwa mfano, kuna uwezekano gani wa matokeo moja au nyingine ya tukio moja la nasibu?) - hesabu uwezekano wa mtu binafsi na ujumuishe.

Tafadhali kumbuka: unapokokotoa matokeo yote yanayowezekana ya mchezo, jumla ya uwezekano wa kutokea kwao lazima iwe sawa na 100%, vinginevyo hesabu yako ilifanywa kimakosa. Hii ni njia nzuri ya kukagua mahesabu yako mara mbili. Kwa mfano, ulichambua uwezekano wa mchanganyiko wote katika poker. Ikiwa unaongeza matokeo yako yote, unapaswa kupata 100% kabisa (au angalau karibu na 100%: ikiwa unatumia kihesabu, kunaweza kuwa na hitilafu ndogo ya kuzunguka, lakini ikiwa unaongeza nambari halisi kwa mkono, kila kitu. inapaswa kuongezwa). Ikiwa jumla hailingani, inamaanisha kwamba uwezekano mkubwa haukuzingatia michanganyiko fulani au kukokotoa uwezekano wa michanganyiko fulani kimakosa, na hesabu zinahitaji kuangaliwa mara mbili.

Uwezekano usio sawa

Kufikia sasa tumedhani kuwa kila upande wa kufa huvingirishwa kwa masafa sawa, kwa sababu ndivyo kete zinaonekana kufanya kazi. Lakini wakati mwingine unaweza kukutana na hali ambapo matokeo tofauti yanawezekana na wana nafasi tofauti za kuonekana.

Kwa mfano, katika moja ya upanuzi wa mchezo wa kadi ya Vita vya Nyuklia kuna uwanja wa kucheza na mshale, ambayo matokeo ya uzinduzi wa roketi inategemea. Mara nyingi hufanya uharibifu wa kawaida, wenye nguvu au dhaifu, lakini wakati mwingine uharibifu huongezeka mara mbili au mara tatu, au roketi hulipuka. pedi ya uzinduzi na kukudhuru, au tukio lingine hutokea. Tofauti na ubao wa mishale katika Chutes & Ladders au Mchezo wa Maisha, matokeo ya bodi ya mchezo katika Vita vya Nyuklia hayalingani. Sehemu zingine za uwanja wa kuchezea ni kubwa na mshale husimama juu yake mara nyingi zaidi, wakati sehemu zingine ni ndogo sana na mshale hukoma juu yao mara chache.

Kwa hivyo, kwa mtazamo wa kwanza, kifo kinaonekana kama hii: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - tayari tumezungumza juu yake, ni kitu kama 1d3 yenye uzani. Kwa hiyo, tunahitaji kugawanya sehemu hizi zote katika sehemu sawa, kupata kitengo kidogo cha kipimo, kigawanyiko ambacho kila kitu ni nyingi, na kisha kuwakilisha hali katika mfumo wa d522 (au nyingine), ambapo seti ya kete. nyuso zitawakilisha hali sawa, pua kiasi kikubwa matokeo. Hii ni njia moja ya kutatua tatizo, na inawezekana kitaalam, lakini kuna chaguo rahisi zaidi.

Wacha turudi kwenye kete zetu za kawaida za pande sita. Tulisema ili kuhesabu safu ya wastani ya kufa kwa kawaida unahitaji kuongeza maadili kwenye nyuso zote na kugawanya kwa idadi ya nyuso, lakini hesabu inafanya kazi vipi? Kuna njia nyingine ya kuelezea hii. Kwa kufa kwa pande sita, uwezekano wa kila upande kuviringishwa ni 1/6 haswa. Sasa tunazidisha matokeo ya kila makali kwa uwezekano wa matokeo hayo (katika kesi hii, 1/6 kwa kila makali), na kisha kuongeza maadili yanayotokana. Kwa hivyo, muhtasari (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6) ), tunapata matokeo sawa (3.5) kama katika hesabu hapo juu. Kwa kweli, tunahesabu hivi kila wakati: tunazidisha kila matokeo kwa uwezekano wa matokeo hayo.

Je, tunaweza kufanya hesabu sawa kwa mshale kwenye uwanja wa Vita vya Nyuklia? Bila shaka tunaweza. Na ikiwa tutafanya muhtasari wa matokeo yote yaliyopatikana, tutapata thamani ya wastani. Tunachohitaji kufanya ni kukokotoa uwezekano wa kila matokeo kwa mshale kwenye ubao wa mchezo na kuzidisha kwa thamani ya matokeo.

Mfano mwingine

Njia hii ya kuhesabu wastani pia inafaa ikiwa matokeo yana uwezekano sawa lakini yana faida tofauti - kwa mfano, ikiwa unapiga kufa na kushinda zaidi kwa pande fulani kuliko wengine. Kwa mfano, hebu tuchukue mchezo wa kasino: unaweka dau na kugeuza 2d6. Ikiwa nambari tatu zimevingirishwa na thamani ya chini(2, 3, 4) au nambari nne za thamani ya juu (9, 10, 11, 12) - utashinda kiasi sawa na dau lako. Nambari zilizo na maadili ya chini na ya juu zaidi ni maalum: ikiwa unasonga 2 au 12, unashinda mara mbili ya dau lako. Ikiwa nambari nyingine yoyote itawekwa (5, 6, 7, 8), utapoteza dau lako. Ni nzuri mchezo rahisi. Lakini kuna uwezekano gani wa kushinda?

Wacha tuanze kwa kuhesabu ni mara ngapi unaweza kushinda. Idadi ya juu ya matokeo wakati wa kusonga 2d6 ni 36. Ni idadi gani ya matokeo mazuri?

• Kuna chaguo 1 kwamba 2 itaviringishwa, na chaguo 1 ambayo 12 itaviringishwa.
• Kuna chaguzi 2 ambazo 3 zitasonga na chaguzi 2 ambazo 11 zitasonga.
• Kuna chaguzi 3 ambazo 4 itazunguka, na chaguzi 3 ambazo 10 itasonga.
• Kuna chaguzi 4 za kusongesha 9.

Kwa muhtasari wa chaguzi zote, tunapata matokeo 16 mazuri kati ya 36. Kwa hivyo, chini ya hali ya kawaida utashinda mara 16 kati ya 36 iwezekanavyo - uwezekano wa kushinda ni kidogo chini ya 50%.

Lakini katika kesi mbili kati ya hizi kumi na sita utashinda mara mbili - ni kama kushinda mara mbili. Ukicheza mchezo huu mara 36, ​​ukiweka kamari $1 kila wakati, na kila moja ya matokeo yote yanawezekana yakipatikana mara moja, utajishindia jumla ya $18 (kweli utashinda mara 16, lakini mbili kati yao zitahesabiwa kama ushindi mara mbili ). Ikiwa utacheza mara 36 na kushinda $18, haimaanishi kuwa uwezekano ni sawa?

Kuchukua muda wako. Ukihesabu mara ambazo unaweza kupoteza, utaishia na 20, sio 18. Ukicheza mara 36, ​​ukiweka kamari $1 kila wakati, utashinda. Jumla$ 18 ikiwa matokeo yote mazuri yatatokea. Lakini utapoteza jumla ya $20 ikiwa utapata matokeo yote 20 yasiyofaa. Matokeo yake, utaanguka nyuma kidogo: unapoteza wastani wa $ 2 wavu kwa kila michezo 36 (unaweza pia kusema kwamba unapoteza wastani wa 1/18 ya dola kwa siku). Sasa unaona jinsi ilivyo rahisi kufanya makosa katika kesi hii na kuhesabu uwezekano kwa usahihi.

Kupanga upya

Hadi sasa tumedhani kwamba utaratibu wa namba wakati wa kutupa kete haijalishi. Kukunja 2 + 4 ni sawa na kukunja 4 + 2. Mara nyingi, sisi huhesabu kwa mikono idadi ya matokeo mazuri, lakini wakati mwingine. njia hii haiwezekani na ni bora kutumia fomula ya hisabati.

Mfano wa hali hii ni kutoka kwa mchezo wa kete wa Farkle. Kwa kila raundi mpya, unakunja 6d6. Ikiwa una bahati na upate zote matokeo iwezekanavyo 1-2-3-4-5-6 (moja kwa moja), utapokea bonasi kubwa. Je, kuna uwezekano gani wa jambo hili kutokea? Katika kesi hii, kuna chaguzi nyingi za kupata mchanganyiko huu.

Suluhisho ni kama ifuatavyo: moja ya kete (na moja tu) lazima iwe na nambari 1. Nambari ya 1 inaweza kuonekana kwa njia ngapi kwenye kete moja? Kuna chaguo 6, kwa kuwa kuna kete 6, na yeyote kati yao anaweza kuanguka kwenye namba 1. Kwa hiyo, chukua kete moja na kuiweka kando. Sasa moja ya kete iliyobaki inapaswa kupiga nambari 2. Kuna chaguo 5 kwa hili. Chukua kete nyingine na uiweke kando. Kisha kete 4 kati ya zilizobaki zinaweza kutua 3, 3 kati ya kete zilizobaki zinaweza kutua 4, na 2 kati ya kete zilizobaki zinaweza kutua 5. Hii inakuacha na kifa kimoja ambacho kitatua 6 (katika kesi ya mwisho kufa ni mmoja tu, na hakuna chaguo).

Ili kuhesabu idadi ya matokeo mazuri ya kugonga moja kwa moja, tunazidisha uwezekano wote tofauti: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - inaonekana kuna idadi kubwa ya uwezekano wa mchanganyiko huu kutokea. .

Ili kuhesabu uwezekano wa kupata moja kwa moja, tunahitaji kugawanya 720 kwa idadi ya matokeo yote yanayowezekana ya kusongesha 6d6. Ni idadi gani ya matokeo yote yanayowezekana? Kila kufa kunaweza kuwa na pande 6, kwa hiyo tunazidisha 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (idadi kubwa zaidi kuliko ya awali). Gawanya 720 kwa 46656 na tunapata uwezekano wa takriban 1.5%. Ikiwa ulikuwa unabuni mchezo huu, ingekuwa muhimu kwako kujua hili ili uweze kuunda mfumo wa bao ipasavyo. Sasa tunaelewa kwa nini huko Farkle unapata bonasi kubwa kama utapata moja kwa moja: hii ni hali nadra sana.

Matokeo pia ni ya kuvutia kwa sababu nyingine. Mfano unaonyesha jinsi mara chache matokeo katika kipindi kifupi hutokea ambayo yanalingana na uwezekano. Kwa kweli, ikiwa tungetupa kete elfu kadhaa, nyuso tofauti kete zingetokea mara nyingi. Lakini tunapotupa kete sita tu, karibu kamwe hutokea kwamba kila uso unakuja. Inakuwa wazi kuwa ni ujinga kutarajia kwamba mstari utaonekana ambao haujafanyika, kwa sababu "hatujasonga nambari 6 kwa muda mrefu." Sikiliza, jenereta yako ya nambari bila mpangilio imevunjwa.

Hii inatupeleka kwenye dhana potofu ya kawaida kwamba matokeo yote hutokea kwa masafa sawa kwa muda mfupi. Ikiwa tunatupa kete mara kadhaa, mzunguko wa kila upande unaoanguka hautakuwa sawa.

Ikiwa umewahi kufanya kazi kwenye mchezo wa mtandaoni na aina fulani ya jenereta ya nambari nasibu hapo awali, kuna uwezekano mkubwa ulikumbana na hali ambapo mchezaji anaandikia usaidizi wa kiufundi akilalamika kwamba jenereta ya nambari nasibu haonyeshi nambari nasibu. Alifikia hitimisho hili kwa sababu aliua wanyama 4 mfululizo na akapokea tuzo 4 sawa, na thawabu hizi zinapaswa kuonekana tu 10% ya wakati, kwa hivyo hii ni wazi haipaswi kutokea kamwe.

Unafanya hesabu ya hisabati. Uwezekano ni 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, yaani, matokeo 1 kati ya elfu 10 ni kabisa. kesi adimu. Hivi ndivyo mchezaji anajaribu kukuambia. Je, kuna tatizo katika kesi hii?

Yote inategemea hali. Je, ni wachezaji wangapi walio kwenye seva yako kwa sasa? Wacha tuseme una mchezo maarufu na watu elfu 100 wanaucheza kila siku. Ni wachezaji wangapi wanaweza kuua wanyama wanne mfululizo? Inawezekana wote, mara kadhaa kwa siku, lakini wacha tufikirie kuwa nusu yao wanabadilishana tu vitu mbalimbali kwenye minada, inalingana na seva za RP, au hufanya vitendo vingine vya mchezo - kwa hivyo, ni nusu tu yao kuwinda monsters. Kuna uwezekano gani kwamba mtu atapata thawabu sawa? Katika hali hii, unaweza kutarajia hii kutokea angalau mara kadhaa kwa siku.

Kwa njia, hii ndiyo sababu inaonekana kama kila wiki chache mtu hushinda bahati nasibu, hata kama mtu huyo hajawahi kuwa wewe au mtu yeyote unayemjua. Ikiwa watu wa kutosha watacheza mara kwa mara, kuna uwezekano kwamba kutakuwa na angalau mchezaji mmoja wa bahati mahali fulani. Lakini ikiwa unacheza bahati nasibu mwenyewe, basi hakuna uwezekano wa kushinda, lakini badala yake utaalikwa kufanya kazi katika Infinity Ward.

Kadi na kulevya

Tulijadili matukio huru, kama vile kutupa kifo, na sasa tunajua mengi zana zenye nguvu uchambuzi wa nasibu katika michezo mingi. Uwezekano wa kuhesabu ni ngumu zaidi linapokuja suala la kuchora kadi kutoka kwenye staha, kwa sababu kila kadi tunayochora huathiri wale waliobaki kwenye staha.

Ikiwa una staha ya kawaida ya kadi 52, unaondoa mioyo 10 kutoka kwake na unataka kujua uwezekano kwamba kadi inayofuata itakuwa ya suti sawa - uwezekano umebadilika kutoka kwa asili kwa sababu tayari umeondoa kadi moja ya suti. ya mioyo kutoka kwenye staha. Kila kadi unayoondoa hubadilisha uwezekano wa kadi inayofuata kuonekana kwenye sitaha. Kwa kesi hii tukio lililopita huathiri yafuatayo, kwa hivyo tunaita uwezekano huu kuwa tegemezi.

Tafadhali kumbuka kuwa ninaposema "kadi" ninazungumza juu ya fundi wa mchezo wowote ambapo una seti ya vitu na unaondoa moja ya vitu bila kukibadilisha. "Sitaha ya kadi" katika kesi hii ni sawa na begi la chips ambayo unachukua chip moja, au urn ambayo mipira ya rangi huchukuliwa (sijawahi kuona michezo na urn ambayo mipira ya rangi huchukuliwa, lakini walimu. ya nadharia ya uwezekano kulingana na nini -sababu kwa nini mfano huu unapendekezwa).

Sifa za Utegemezi

Ningependa kufafanua hilo lini tunazungumzia kuhusu kadi, nadhani unazitoa kadi, uziangalie, na uziondoe kwenye staha. Kila moja ya vitendo hivi ni mali muhimu. Ikiwa ningekuwa na sitaha, sema, kadi sita zilizo na nambari 1 hadi 6, ningezichanganya na kuchora kadi moja, kisha kuchanganya kadi zote sita tena - hii itakuwa sawa na kurusha kifo cha pande sita, kwa sababu matokeo moja yana. hakuna athari kwa zinazofuata. Na ikiwa nitaondoa kadi na nisizibadilishe, basi kwa kuchukua kadi 1, ninaongeza uwezekano kwamba wakati ujao nitachora kadi yenye nambari 6. Uwezekano utaongezeka hadi nitakapoondoa kadi hiyo. changanya staha.

Ukweli kwamba tunaangalia kadi pia ni muhimu. Ikiwa nitatoa kadi kwenye staha na nisiiangalie, sitakuwa nayo Taarifa za ziada na kwa kweli uwezekano hautabadilika. Hii inaweza kuonekana kuwa kinyume. Jinsi gani unaweza flip rahisi ya kadi kichawi kubadilisha uwezekano? Lakini inawezekana kwa sababu unaweza kuhesabu uwezekano wa vitu visivyojulikana tu kutoka kwa kile unachojua.

Kwa mfano, ikiwa unachanganya staha ya kawaida ya kadi na kufunua kadi 51 na hakuna hata mmoja wao ni malkia wa vilabu, basi unaweza kuwa na uhakika wa 100% kwamba kadi iliyobaki ni malkia wa vilabu. Ukichanganya staha ya kawaida ya kadi na kuchukua kadi 51 bila kuziangalia, uwezekano kwamba kadi iliyobaki ni malkia wa vilabu bado ni 1/52. Unapofungua kila kadi, unapata habari zaidi.

Kuhesabu uwezekano wa matukio tegemezi hufuata kanuni sawa na kwa matukio huru, isipokuwa ni jambo gumu zaidi kwa sababu uwezekano hubadilika unapofichua kadi. Kwa hivyo unahitaji kuzidisha sana maana tofauti, badala ya kuzidisha thamani sawa. Hii inamaanisha nini ni kwamba tunahitaji kuchanganya mahesabu yote tuliyofanya katika mchanganyiko mmoja.

Mfano

Unachanganya staha ya kawaida ya kadi 52 na kuchora kadi mbili. Je, kuna uwezekano gani kwamba utachora jozi? Kuna njia kadhaa za kuhesabu uwezekano huu, lakini labda rahisi zaidi ni hii: kuna uwezekano gani kwamba ukichora kadi moja, hautaweza kuteka jozi? Uwezekano huu ni sifuri, kwa hivyo haijalishi ni kadi gani ya kwanza unayochora, mradi inalingana na ya pili. Haijalishi ni kadi gani tutachora kwanza, bado tunayo nafasi ya kuchora jozi. Kwa hiyo, uwezekano wa kuchora jozi baada ya kadi ya kwanza inayotolewa ni 100%.

Je, kuna uwezekano gani kwamba kadi ya pili inalingana na ya kwanza? Kuna kadi 51 zilizobaki kwenye sitaha, na 3 kati yao zinalingana na kadi ya kwanza (kwa kweli kungekuwa na 4 kati ya 52, lakini tayari umeondoa moja ya kadi zinazolingana wakati ulichora kadi ya kwanza), kwa hivyo uwezekano ni 1/ 17. Kwa hivyo wakati mwingine unapocheza Texas Hold'em, jamaa kando ya meza kutoka kwako anasema, “Poa, jozi nyingine? Ninajiona mwenye bahati leo,” utajua kwamba kuna uwezekano mkubwa kwamba ana bluff.

Je, ikiwa tutaongeza vicheshi viwili ili tuwe na kadi 54 kwenye sitaha na kutaka kujua uwezekano wa kuchora jozi ni nini? Kadi ya kwanza inaweza kuwa mcheshi, na kisha kutakuwa na kadi moja tu kwenye staha inayofanana, na sio tatu. Jinsi ya kupata uwezekano katika kesi hii? Tutagawanya uwezekano na kuzidisha kila uwezekano.

Kadi yetu ya kwanza inaweza kuwa mcheshi au kadi nyingine. Uwezekano wa kuchora joker ni 2/54, uwezekano wa kuchora kadi nyingine ni 52/54. Ikiwa kadi ya kwanza ni joker (2/54), basi uwezekano kwamba kadi ya pili itafanana na ya kwanza ni 1/53. Tunazidisha thamani (tunaweza kuzizidisha kwa sababu ni matukio tofauti na tunataka matukio yote mawili yatokee) na tunapata 1/1431 - chini ya moja ya kumi ya asilimia.

Ikiwa utachora kadi nyingine kwanza (52/54), uwezekano wa kulinganisha kadi ya pili ni 3/53. Tunazidisha maadili na kupata 78/1431 (zaidi ya 5.5%). Tunafanya nini na matokeo haya mawili? Haziingiliani, na tunataka kujua uwezekano wa kila mmoja wao, kwa hivyo tunaongeza maadili. Tunapata matokeo ya mwisho ya 79/1431 (bado kuhusu 5.5%).

Ikiwa tulitaka kuwa na uhakika wa usahihi wa jibu, tunaweza kuhesabu uwezekano wa matokeo mengine yote yanayowezekana: kuchora mcheshi na kutofananisha kadi ya pili, au kuchora kadi nyingine na sio kufanana na kadi ya pili. Kwa muhtasari wa uwezekano huu na uwezekano wa kushinda, tutapata 100%. Sitatoa hesabu hapa, lakini unaweza kujaribu hesabu kukagua mara mbili.

Kitendawili cha Ukumbi wa Monty

Hii inatuleta kwenye kitendawili maarufu ambacho mara nyingi huwachanganya watu wengi - Kitendawili cha Monty Hall. Kitendawili hiki kimepewa jina la mtangazaji wa kipindi cha Tv Let's Make a Deal.Kwa wale ambao hawajawahi kuona kipindi hiki cha TV kilikuwa kinyume cha The Price Is Right.

Kwenye The Price Is Right, mwenyeji (Bob Barker alikuwa mwenyeji; ambaye sasa ni, Drew Carey? Usijali) ni rafiki yako. Anataka ushinde pesa au zawadi nzuri. Inajaribu kukupa kila fursa ya kushinda, mradi tu unaweza kukisia ni kiasi gani bidhaa zilizonunuliwa na wafadhili zina thamani.

Monty Hall alitenda tofauti. Alikuwa kama pacha mbaya wa Bob Barker. Lengo lake lilikuwa kukufanya uonekane mpumbavu kwenye televisheni ya taifa. Ikiwa ulikuwa kwenye onyesho, alikuwa mpinzani wako, ulicheza dhidi yake, na uwezekano ulikuwa kwa niaba yake. Labda mimi ni mkali sana, lakini nikitazama onyesho ambalo una uwezekano mkubwa wa kuingia ikiwa utavaa vazi la ujinga, ndivyo ninavyokuja.

Moja ya memes maarufu zaidi ya show ilikuwa hii: kuna milango mitatu mbele yako, mlango namba 1, mlango namba 2 na mlango namba 3. Unaweza kuchagua mlango mmoja bila malipo. Nyuma ya mmoja wao ni tuzo ya ajabu - kwa mfano, gari mpya. Hakuna zawadi nyuma ya milango mingine miwili, ambayo yote hayana thamani. Wanapaswa kukudhalilisha, kwa hivyo nyuma yao sio kitu tu, lakini kitu kijinga, kwa mfano, mbuzi au bomba kubwa la dawa ya meno - chochote isipokuwa gari mpya.

Unachagua mlango mmoja, Monty anakaribia kuufungua ili kukujulisha ikiwa umeshinda au la... lakini subiri. Kabla ya kujua, hebu tuangalie moja ya milango ambayo hukuchagua. Monty anajua ni mlango gani ambao zawadi iko nyuma yake, na anaweza kufungua mlango ambao hauna tuzo nyuma yake kila wakati. “Unachagua mlango namba 3? Kisha tufungue mlango namba 1 ili kuonyesha kwamba hakukuwa na tuzo nyuma yake." Na sasa, kwa ukarimu, anakupa fursa ya kubadilishana nambari ya mlango iliyochaguliwa 3 kwa kile kilicho nyuma ya mlango wa 2.

Katika hatua hii, swali la uwezekano linatokea: je, fursa hii inaongeza uwezekano wako wa kushinda, au kupunguza, au inabaki bila kubadilika? Jinsi gani unadhani?

Jibu sahihi: uwezo wa kuchagua mlango mwingine huongeza uwezekano wa kushinda kutoka 1/3 hadi 2/3. Hii haina mantiki. Ikiwa haujakutana na kitendawili hiki hapo awali, basi uwezekano mkubwa unafikiria: subiri, ni jinsi gani kwamba kwa kufungua mlango mmoja, tulibadilisha uwezekano huo kwa uchawi? Kama ambavyo tayari tumeona kwenye ramani, hii ndiyo hasa hufanyika tunapopata maelezo zaidi. Ni wazi, unapochagua kwa mara ya kwanza, uwezekano wa kushinda ni 1/3. Mlango mmoja unapofunguliwa, haubadilishi uwezekano wa kushinda kwa chaguo la kwanza kabisa: uwezekano bado ni 1/3. Lakini uwezekano kwamba mlango mwingine ni sahihi sasa ni 2/3.

Hebu tuangalie mfano huu kwa mtazamo tofauti. Unachagua mlango. Uwezekano wa kushinda ni 1/3. Ninapendekeza ubadilishe milango mingine miwili, ambayo ndivyo Monty Hall hufanya. Hakika, anafungua moja ya milango ili kufichua kuwa hakuna zawadi nyuma yake, lakini anaweza kufanya hivyo kila wakati, kwa hivyo haibadilishi chochote. Bila shaka, utataka kuchagua mlango tofauti.

Iwapo huelewi swali kikamilifu na unahitaji maelezo ya kusadikisha zaidi, bofya kiungo hiki ili kupelekwa kwenye programu tumizi ndogo ya Flash ambayo itakuruhusu kuchunguza kitendawili hiki kwa undani zaidi. Unaweza kucheza ukianza na takriban milango 10 na kisha ufanye hatua kwa hatua kuelekea mchezo ulio na milango mitatu. Pia kuna kiigaji ambapo unaweza kucheza na idadi yoyote ya milango kutoka 3 hadi 50, au kukimbia mifano elfu kadhaa na kuona ni mara ngapi ungeshinda ikiwa utacheza.

Chagua moja ya milango mitatu - uwezekano wa kushinda ni 1/3. Sasa una mikakati miwili: badilisha chaguo lako baada ya kufungua mlango usiofaa au la. Ikiwa hutabadilisha chaguo lako, basi uwezekano utabaki 1/3, kwa kuwa uchaguzi hutokea tu katika hatua ya kwanza, na lazima ufikiri mara moja. Ikiwa unabadilika, basi unaweza kushinda ikiwa unachagua kwanza mlango usiofaa (basi wanafungua mwingine mbaya, sahihi inabaki - kwa kubadilisha uamuzi wako, unaichukua). Uwezekano wa kuchagua mlango usiofaa mwanzoni ni 2/3 - kwa hiyo inageuka kuwa kwa kubadilisha uamuzi wako, unaongeza uwezekano wa kushinda mara mbili.

Maoni kutoka kwa mwalimu hisabati ya juu na mtaalamu wa usawa wa mchezo Maxim Soldatov - Schreiber, bila shaka, hakuwa naye, lakini bila yeye unaweza kuelewa hili. mabadiliko ya kichawi ngumu vya kutosha

Na tena kuhusu kitendawili cha Monty Hall

Kuhusu onyesho lenyewe: hata kama wapinzani wa Monty Hall hawakuwa wazuri katika hesabu, alikuwa mzuri katika hilo. Hiki ndicho alichokifanya kubadili mchezo kidogo. Ikiwa utachagua mlango ambao ulikuwa na zawadi nyuma yake, ambao ulikuwa na nafasi ya 1/3 ya kutokea, daima ungekupa chaguo la kuchagua mlango mwingine. Utachagua gari na kisha ubadilishe na mbuzi na utaonekana mjinga sana - ndivyo unavyotaka kwa vile Hall ni mtu mbaya.

Lakini ukichagua mlango ambao hauna tuzo nyuma yake, atakuuliza tu uchague mwingine nusu ya wakati, au atakuonyesha tu mbuzi wako mpya na utaondoka kwenye jukwaa. Hebu tuchambue hili mchezo mpya, ambapo Monty Hall inaweza kuamua kukupa au kutokupatia nafasi ya kuchagua mlango mwingine.

Tuseme anafuata algorithm hii: ukichagua mlango na tuzo, yeye huwa anakupa fursa ya kuchagua mlango mwingine, vinginevyo ana uwezekano sawa wa kukupa kuchagua mlango mwingine au kukupa mbuzi. Je, una uwezekano gani wa kushinda?

Katika moja ya chaguzi tatu mara moja unachagua mlango ambao tuzo iko, na mtangazaji anakualika kuchagua mwingine.

Kati ya chaguzi mbili zilizobaki kati ya tatu (hapo awali unachagua mlango bila tuzo), katika nusu ya kesi mtangazaji atakupa kubadilisha uamuzi wako, na katika nusu nyingine ya kesi - sio.

Nusu ya 2/3 ni 1/3, yaani, katika kesi moja kati ya tatu utapata mbuzi, katika kesi moja kati ya tatu utachagua mlango usiofaa na mwenyeji atakuuliza uchague mwingine, na katika moja. kesi kati ya tatu utachagua mlango sahihi, lakini atatoa mwingine tena.

Ikiwa mtangazaji anajitolea kuchagua mlango mwingine, tunajua tayari kwamba kesi moja kati ya tatu, wakati anatupa mbuzi na tunaondoka, haikutokea. Hii habari muhimu: ina maana kwamba nafasi zetu za kushinda zimebadilika. Kesi mbili kati ya tatu wakati tuna nafasi ya kuchagua: katika kesi moja inamaanisha kuwa tulikisia kwa usahihi, na kwa nyingine tulidhani vibaya, kwa hivyo ikiwa tulipewa fursa ya kuchagua kabisa, basi uwezekano wa kushinda kwetu. ni 1/2, na kutoka kwa mtazamo wa hisabati, haijalishi ikiwa unabaki na chaguo lako au kuchagua mlango mwingine.

Kama poker, ni mchezo wa kisaikolojia, sio wa kihesabu. Kwa nini Monty alikupa chaguo? Anafikiria kuwa wewe ni mtu rahisi ambaye hajui kuwa kuchagua mlango mwingine ni uamuzi "sahihi" na atashikilia kwa ukaidi chaguo lake (baada ya yote, kisaikolojia. hali ni ngumu zaidi, ulipochagua gari kisha ukaipoteza)?

Au je, yeye, akiamua kuwa wewe ni mwerevu na atachagua mlango mwingine, anakupa nafasi hii kwa sababu anajua kwamba ulikisia kwa usahihi hapo kwanza na utashikwa? Au labda anakuonea huruma na kukusukuma ufanye kitu ambacho kitakuwa na faida kwako kwa sababu hajatoa magari kitambo na watayarishaji wanasema watazamaji wanachoka na ni bora kutoa zawadi kubwa hivi karibuni. je makadirio yameshuka?

Kwa njia hii, Monty itaweza wakati mwingine kutoa chaguo, na wakati huo huo uwezekano wa jumla ushindi unabaki sawa na 1/3. Kumbuka kwamba uwezekano kwamba utapoteza moja kwa moja ni 1/3. Nafasi ambayo utakisia kwa usahihi mara moja ni 1/3, na 50% ya nyakati hizo utashinda (1/3 x 1/2 = 1/6).

Nafasi ya wewe kukisia vibaya mwanzoni lakini ukapata nafasi ya kuchagua mlango mwingine ni 1/3, na nusu ya nyakati hizo utashinda (pia 1/6). Ongeza uwezekano mbili wa kushinda na utapata uwezekano wa 1/3, kwa hivyo haijalishi kama unashikilia chaguo lako au kuchagua mlango mwingine - uwezekano wako wa jumla wa kushinda katika mchezo wote ni 1/3.

Uwezekano hauzidi kuwa mkubwa kuliko katika hali uliyokisia mlango na mtangazaji akakuonyesha tu kilichokuwa nyuma yake, bila kutoa kuchagua nyingine. Hoja ya pendekezo sio kubadilisha uwezekano, lakini kufanya mchakato wa kufanya maamuzi kuwa wa kufurahisha zaidi kutazama kwenye runinga.

Kwa njia, hii ni moja ya sababu kwa nini poker inaweza kuvutia sana: katika miundo mingi, kati ya raundi wakati dau zinafanywa (kwa mfano, flop, turn na mto huko Texas Hold'em), kadi huonyeshwa hatua kwa hatua, na. ikiwa mwanzoni mwa mchezo una nafasi moja ya kushinda, basi baada ya kila raundi ya kamari, wakati imefunguliwa kadi zaidi, uwezekano huu unabadilika.

Kitendawili cha mvulana na msichana

Hii inatuleta kwenye kitendawili kingine kinachojulikana, ambacho, kama sheria, kinashangaza kila mtu - kitendawili cha mvulana na msichana. Kitu pekee ninachoandika kuhusu leo ​​ambacho hakihusiani moja kwa moja na michezo (ingawa nadhani ninafaa kukuhimiza kuunda mechanics inayofaa ya mchezo). Hii ni zaidi ya puzzle, lakini ya kuvutia, na ili kutatua, unahitaji kuelewa uwezekano wa masharti, ambao tulizungumzia hapo juu.

Tatizo: Nina rafiki mwenye watoto wawili, angalau mmoja wao ni msichana. Kuna uwezekano gani kwamba mtoto wa pili pia ni msichana? Hebu tufikiri kwamba katika familia yoyote nafasi ya kuwa na msichana na mvulana ni 50/50, na hii ni kweli kwa kila mtoto.

Kwa hakika, baadhi ya wanaume wana manii zaidi yenye kromosomu ya X au kromosomu ya Y kwenye manii zao, hivyo uwezekano hubadilika kidogo. Ikiwa unajua kuwa mtoto mmoja ni msichana, uwezekano wa kupata msichana wa pili ni juu kidogo, na kuna hali zingine, kama vile hermaphroditism. Lakini ili kutatua tatizo hili, hatutazingatia hili na kudhani kuwa kuzaliwa kwa mtoto ni tukio la kujitegemea na kuzaliwa kwa mvulana na msichana kuna uwezekano sawa.

Kwa kuwa tunazungumza juu ya nafasi ya 1/2, kwa njia ya angavu tunatarajia kwamba jibu litakuwa na uwezekano mkubwa kuwa 1/2 au 1/4, au nambari nyingine ambayo ni kizidishio kati ya mbili katika denominator. Lakini jibu ni 1/3. Kwa nini?

Ugumu hapa ni kwamba habari tuliyo nayo hupunguza idadi ya uwezekano. Tuseme wazazi ni mashabiki wa Sesame Street na, bila kujali jinsia ya watoto, waliwaita A na B. Katika hali ya kawaida, kuna uwezekano wanne sawa: A na B ni wavulana wawili, A na B ni wasichana wawili, A. ni mvulana na B ni msichana, A ni msichana na B ni mvulana. Kwa kuwa tunajua kwamba angalau mtoto mmoja ni msichana, tunaweza kuondoa uwezekano kwamba A na B ni wavulana wawili. Hii inatuacha na uwezekano tatu - bado kuna uwezekano sawa. Ikiwa uwezekano wote unawezekana kwa usawa na kuna tatu kati yao, basi uwezekano wa kila mmoja wao ni 1/3. Katika moja tu ya chaguzi hizi tatu kuna watoto wasichana, kwa hivyo jibu ni 1/3.

Na tena kuhusu kitendawili cha mvulana na msichana

Suluhisho la tatizo linakuwa lisilo na mantiki zaidi. Fikiria kwamba rafiki yangu ana watoto wawili na mmoja wao ni msichana ambaye alizaliwa Jumanne. Hebu tuchukue kwamba katika hali ya kawaida mtoto anaweza kuzaliwa kwa kila siku saba za wiki na uwezekano sawa. Kuna uwezekano gani kwamba mtoto wa pili pia ni msichana?

Unaweza kufikiria jibu bado lingekuwa 1/3: Jumanne ina umuhimu gani? Lakini hata katika kesi hii, intuition yetu inashindwa. Jibu ni 13/27, ambayo sio tu isiyo ya kawaida, lakini ya ajabu sana. Kuna nini katika kesi hii?

Kwa kweli, Jumanne hubadilisha uwezekano kwa sababu hatujui ni mtoto gani aliyezaliwa Jumanne, au labda wote wawili walizaliwa Jumanne. Katika kesi hii, tunatumia mantiki sawa: tunahesabu kila kitu michanganyiko inayowezekana, wakati angalau mtoto mmoja ni msichana aliyezaliwa Jumanne. Kama katika mfano uliopita, hebu tuchukulie kwamba watoto wanaitwa A na B. Mchanganyiko unaonekana kama hii:

• A ni msichana aliyezaliwa Jumanne, B ni mvulana (katika hali hii kuna uwezekano 7, moja kwa kila siku ya juma wakati mvulana angeweza kuzaliwa).
• B ni msichana aliyezaliwa Jumanne, A ni mvulana (pia uwezekano 7).
• A - msichana aliyezaliwa Jumanne, B - msichana ambaye alizaliwa siku nyingine ya juma (uwezekano 6).
• B ni msichana aliyezaliwa Jumanne, A ni msichana ambaye hakuzaliwa Jumanne (pia uwezekano 6).
• A na B ni wasichana wawili ambao walizaliwa Jumanne (1 uwezekano, unahitaji kulipa kipaumbele kwa hili ili usihesabu mara mbili).

Tunajumlisha na kupata michanganyiko 27 tofauti inayowezekana ya kuzaliwa kwa watoto na siku na angalau uwezekano mmoja wa msichana kuzaliwa Jumanne. Kati ya hizi, kuna uwezekano 13 wakati wasichana wawili wanazaliwa. Hii pia inaonekana kuwa haina mantiki - inaonekana kazi hii ilizuliwa kwa sababu tu maumivu ya kichwa. Ikiwa bado unashangaa, tovuti ya mwanadharia wa mchezo Jesper Juhl ina maelezo mazuri ya suala hili.

Ikiwa kwa sasa unafanya kazi kwenye mchezo

Ikiwa kuna bahati nasibu katika mchezo unaobuni, huu ni wakati mzuri wa kuuchanganua. Chagua kipengele fulani ambacho ungependa kuchanganua. Kwanza jiulize unatarajia uwezekano wa kipengele fulani kuwa nini, ni nini kinapaswa kuwa katika muktadha wa mchezo.

Kwa mfano, ikiwa unatengeneza RPG na unashangaa uwezekano unapaswa kuwa kwamba mchezaji atashinda monster vitani, jiulize ni nini. asilimia ushindi unaonekana kuwa sawa kwako. Kwa kawaida kwa RPG za kiweko, wachezaji hukasirika sana wanapopoteza, kwa hivyo ni bora ikiwa watapoteza mara kwa mara - 10% ya muda au chini ya hapo. Ikiwa wewe ni mbunifu wa RPG, labda unajua bora kuliko mimi, lakini unahitaji kuwa nayo wazo la msingi, nini kinapaswa kuwa uwezekano.

Kisha jiulize ikiwa uwezekano wako ni tegemezi (kama na kadi) au huru (kama na kete). Chambua matokeo yote yanayowezekana na uwezekano wao. Hakikisha kuwa jumla ya uwezekano wote ni 100%. Na, bila shaka, kulinganisha matokeo yaliyopatikana na matarajio yako. Je, unaweza kukunja kete au kuchora kadi jinsi ulivyokusudia, au ni wazi kwamba maadili yanahitaji kurekebishwa. Na, bila shaka, ikiwa unapata mapungufu yoyote, unaweza kutumia mahesabu sawa ili kuamua ni kiasi gani cha kubadilisha maadili.

Kazi ya nyumbani

Kazi yako ya nyumbani wiki hii itakusaidia kuboresha ujuzi wako wa uwezekano. Hapa kuna michezo miwili ya kete na mchezo wa kadi ambao utachambua kwa kutumia uwezekano, na vile vile fundi wa mchezo wa kushangaza niliyeunda ambaye atajaribu mbinu ya Monte Carlo.

Mchezo # 1 - Mifupa ya Joka

Huu ni mchezo wa kete ambao mimi na wenzangu tuliwahi kuupata (shukrani kwa Jeb Heavens na Jesse King) - unapiga akili za watu haswa na uwezekano wake. Ni mchezo rahisi wa kasino uitwao Dragon Dice, na ni shindano la kete la kamari kati ya mchezaji na nyumba.

Unapewa kifo cha kawaida cha 1d6. Lengo la mchezo ni kukunja nambari ya juu kuliko ya nyumba. Tom anapewa 1d6 isiyo ya kawaida - sawa na yako, lakini kwenye moja ya nyuso zake badala ya kitengo kuna picha ya joka (kwa hivyo, casino ina mchemraba wa joka - 2-3-4-5-6 ) Ikiwa nyumba itapata joka, inashinda moja kwa moja na unapoteza. Ikiwa wote wawili wanapata nambari sawa- ni kuchora na unasonga kete tena. Yule anayesonga nambari ya juu zaidi atashinda.

Bila shaka, kila kitu haifanyi kazi kabisa kwa neema ya mchezaji, kwa sababu casino ina faida kwa namna ya makali ya joka. Lakini hii ni kweli kweli? Hii ndio unapaswa kuhesabu. Lakini angalia angavu yako kwanza.

Wacha tuseme uwezekano ni 2 kwa 1. Kwa hivyo ukishinda, utahifadhi dau lako na kupata dau lako mara mbili. Kwa mfano, ukiweka dau kwa dola 1 na kushinda, utabaki na dola hiyo na kupata 2 zaidi juu, kwa jumla ya dola 3. Ukipoteza, utapoteza dau lako tu. Je, ungependa kucheza? Je, unahisi kwamba uwezekano ni mkubwa kuliko 2 hadi 1, au bado unafikiri kuwa ni mdogo? Kwa maneno mengine, kwa wastani zaidi ya michezo 3, unatarajia kushinda zaidi ya mara moja, au chini ya hapo, au mara moja?

Mara tu ufahamu wako ukiwa umebaini, tumia hesabu. Kuna nafasi 36 tu zinazowezekana kwa kete zote mbili, kwa hivyo unaweza kuzihesabu zote bila shida. Ikiwa huna uhakika kuhusu toleo hilo la 2-kwa-1, zingatia hili: Tuseme ulicheza mchezo mara 36 (kuweka dau $1 kila wakati). Kwa kila ushindi unapata dola 2, kwa kila hasara unapoteza 1, na sare haibadilishi chochote. Piga hesabu ya uwezekano wako wote wa kushinda na hasara na uamue ikiwa utapoteza au kupata dola. Kisha jiulize jinsi intuition yako ilikuwa sahihi. Na kisha tambua mimi ni mwovu.

Na, ndiyo, ikiwa tayari umefikiria kuhusu swali hili - ninakuchanganya kwa makusudi kwa kupotosha mechanics halisi ya michezo ya kete, lakini nina hakika unaweza kushinda kikwazo hiki kwa mawazo kidogo tu. Jaribu kutatua tatizo hili mwenyewe.

Mchezo No 2 - Tupa kwa bahati

Hii kamari katika kete iitwayo "Luck Throw" (pia "Ndege" kwa sababu wakati mwingine kete hazikunjwa bali huwekwa kwenye ngome kubwa ya waya, kukumbusha ngome kutoka Bingo). Mchezo ni rahisi na kimsingi unaendelea hadi hivi: weka dau, sema, $1 kwa nambari kutoka 1 hadi 6. Kisha unaendelea 3d6. Kwa kila kifo ambacho kinaweka nambari yako, unapata $1 (na uhifadhi dau lako la asili). Ikiwa nambari yako haipatikani kwenye kete yoyote, kasino hupata dola yako na hupati chochote. Kwa hivyo ukiweka dau kwenye 1 na ukapata 1 kwenye kando mara tatu, unapata $3.

Intuitively, inaonekana kwamba mchezo huu una nafasi sawa. Kila kufa ni mtu 1 kati ya nafasi 6 za kushinda, kwa hivyo kwa jumla ya safu tatu, nafasi yako ya kushinda ni 3 kati ya 6. Walakini, bila shaka, kumbuka kuwa unaongeza kete tatu tofauti, na unaruhusiwa tu ongeza ikiwa tunazungumza juu ya mchanganyiko tofauti wa kushinda wa kufa sawa. Kitu utahitaji kuzidisha.

Mara baada ya kuhesabu matokeo yote iwezekanavyo (labda rahisi kufanya katika Excel kuliko kwa mkono, kwa kuwa kuna 216 kati yao), mchezo bado unaonekana usio wa kawaida-hata kwa mtazamo wa kwanza. Kwa kweli, casino bado ina nafasi nzuri ya kushinda - ni kiasi gani zaidi? Hasa, ni pesa ngapi kwa wastani unatarajia kupoteza kila raundi ya mchezo?

Unachohitajika kufanya ni kuongeza ushindi na hasara za matokeo yote 216 na kisha ugawanye na 216, ambayo inapaswa kuwa rahisi sana. Lakini, kama unavyoona, kuna mitego kadhaa hapa, ndiyo sababu nasema: ikiwa unafikiri mchezo huu una nafasi hata ya kushinda, una makosa yote.

Mchezo #3 - 5 Kadi Stud Poker

Ikiwa tayari umefurahia michezo iliyopita, hebu tuangalie kile tunachojua kuhusu uwezekano wa masharti, kwa kutumia mchezo huu wa kadi kama mfano. Hebu tufikirie mchezo wa poker na staha ya kadi 52. Wacha pia tufikirie kadi 5, ambapo kila mchezaji anapokea kadi 5 tu. Huwezi kutupa kadi, huwezi kuchora mpya, hakuna staha iliyoshirikiwa - unapata kadi 5 pekee.

Royal Flush ni 10-J-Q-K-A kwa mkono mmoja, kuna nne kwa jumla, kwa hivyo kuna nne. njia zinazowezekana kupata flush ya kifalme. Kuhesabu uwezekano kwamba utapata mchanganyiko kama huo.

Lazima nikuonye juu ya jambo moja: kumbuka kuwa unaweza kuchora kadi hizi tano kwa mpangilio wowote. Hiyo ni, kwanza unaweza kuteka ace au kumi, haijalishi. Kwa hivyo unapofanya hesabu, kumbuka kuwa kuna zaidi ya njia nne za kupata laini ya kifalme, ikizingatiwa kuwa kadi zilishughulikiwa kwa mpangilio.

Mchezo No 4 - IMF Lottery

Tatizo la nne haliwezi kutatuliwa kwa urahisi kwa kutumia mbinu tulizozungumzia leo, lakini unaweza kuiga hali hiyo kwa urahisi kwa kutumia programu au Excel. Ni kwa mfano wa shida hii kwamba unaweza kufanyia kazi njia ya Monte Carlo.

Nilitaja hapo awali mchezo wa Chron X, ambao niliwahi kufanya kazi, na kulikuwa na kadi moja ya kuvutia sana - bahati nasibu ya IMF. Hivi ndivyo ilivyofanya kazi: uliitumia kwenye mchezo. Baada ya mzunguko kumalizika, kadi ziligawanywa upya, na kulikuwa na uwezekano wa 10% kwamba kadi itatoka nje ya mchezo na kwamba mchezaji wa nasibu angepokea vitengo 5 vya kila aina ya rasilimali ambayo tokeni yake ilikuwepo kwenye kadi hiyo. Kadi iliingizwa kwenye mchezo bila chip moja, lakini kila wakati ilipobaki kucheza mwanzoni mwa mzunguko uliofuata, ilipokea chip moja.

Kwa hivyo kulikuwa na uwezekano wa 10% kwamba ikiwa utaiweka kwenye mchezo, raundi itaisha, kadi itaondoka kwenye mchezo, na hakuna mtu atakayepata chochote. Ikiwa hii haifanyiki (nafasi 90%), kuna nafasi ya 10% (kwa kweli 9%, kwani ni 10% ya 90%) kwamba katika raundi inayofuata ataacha mchezo na mtu atapokea vitengo 5 vya rasilimali. Ikiwa kadi itaacha mchezo baada ya raundi moja (10% ya 81% inapatikana, hivyo uwezekano ni 8.1%), mtu atapata vitengo 10, mzunguko mwingine - 15, mwingine - 20, na kadhalika. Swali: Je, ni thamani gani ya jumla inayotarajiwa ya idadi ya rasilimali utakazopata kutoka kwa kadi hii itakapoondoka kwenye mchezo?

Kwa kawaida tungejaribu kutatua tatizo hili kwa kuhesabu uwezekano wa kila matokeo na kuzidisha kwa idadi ya matokeo yote. Kuna uwezekano wa 10% kwamba utapata 0 (0.1 * 0 = 0). 9% kwamba utapokea vitengo 5 vya rasilimali (9% * 5 = rasilimali 0.45). 8.1% ya kile utapata ni 10 (8.1%*10=0.81 rasilimali - thamani inayotarajiwa kwa ujumla). Nakadhalika. Na kisha tungehitimisha yote.

Na sasa shida ni dhahiri kwako: kila wakati kuna nafasi kwamba kadi haitaacha mchezo, inaweza kubaki kwenye mchezo milele, kwa nambari isiyo na kikomo raundi, kwa hivyo hakuna njia ya kuhesabu kila uwezekano. Njia ambazo tumejifunza leo hazituruhusu kuhesabu urejeshaji usio na kipimo, kwa hivyo tutalazimika kuunda kwa njia ya bandia.

Ikiwa una uwezo wa kutosha katika upangaji, andika programu ambayo itaiga ramani hii. Unapaswa kuwa na kitanzi cha wakati ambacho huleta kutofautisha kwa nafasi ya kuanzia ya sifuri, inaonyesha nambari isiyo ya kawaida na kwa nafasi ya 10% kutofautisha hutoka kwenye kitanzi. Vinginevyo, inaongeza 5 kwa kutofautisha na kitanzi hurudia. Hatimaye inapotoka kwenye kitanzi, ongeza jumla ya idadi ya majaribio yanayoendeshwa na 1 na jumla ya idadi ya rasilimali (kwa kiasi gani inategemea ambapo kutofautisha kunaishia). Kisha kuweka upya kutofautisha na kuanza tena.

Endesha programu mara elfu kadhaa. Mwishowe, gawanya jumla ya idadi ya rasilimali kwa jumla ya idadi ya kukimbia - hii itakuwa thamani yako inayotarajiwa ya Monte Carlo. Endesha programu mara kadhaa ili kuhakikisha kuwa nambari unazopata ni takriban sawa. Ikiwa kutawanya bado ni kubwa, ongeza idadi ya marudio kwenye kitanzi cha nje hadi uanze kupata mechi. Unaweza kuwa na uhakika kwamba nambari zozote utakazomaliza nazo zitakuwa takriban sahihi.

Ikiwa wewe ni mgeni katika upangaji programu (hata kama ni wewe), hapa kuna zoezi la haraka la kujaribu ujuzi wako wa Excel. Ikiwa wewe ni mbuni wa mchezo, ujuzi huu hautawahi kuwa wa kupita kiasi.

Sasa kazi za if na rand zitakuwa na manufaa sana kwako. Rand haihitaji maadili, inazalisha tu bila mpangilio nambari ya desimali kutoka 0 hadi 1. Kawaida tunaichanganya na sakafu na pluses na minuses kuiga roll ya kete ambayo nilitaja hapo awali. Hata hivyo, katika kesi hii tunaacha tu nafasi ya 10% kwamba kadi itaondoka kwenye mchezo, kwa hivyo tunaweza tu kuangalia ili kuona ikiwa thamani ya randi iko chini ya 0.1 na tusiwe na wasiwasi nayo tena.

Ikiwa ina maana tatu. Kwa mpangilio: hali ambayo ni kweli au si kweli, kisha thamani ambayo inarejeshwa ikiwa hali ni kweli, na thamani ambayo inarejeshwa ikiwa hali si kweli. Hivyo kipengele kinachofuata itarudisha 5% ya wakati, na 0 iliyobaki 90% ya wakati huo: =IF(RANDI()<0.1,5,0) .

Kuna njia nyingi za kuweka amri hii, lakini ningetumia fomula hii kwa seli inayowakilisha raundi ya kwanza, wacha tuseme ni kiini A1: =IF(RANDI()<0.1,0,-1) .

Hapa ninatumia utofauti hasi kumaanisha "kadi hii haijaondoka kwenye mchezo na haijatoa rasilimali yoyote bado." Kwa hivyo ikiwa raundi ya kwanza imekamilika na kadi ikaacha kucheza, A1 ni 0; vinginevyo ni -1.

Kwa seli inayofuata inayowakilisha raundi ya pili: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Kwa hivyo ikiwa raundi ya kwanza iliisha na kadi ikaacha mchezo mara moja, A1 ni 0 (idadi ya rasilimali) na kisanduku hiki kitanakili thamani hiyo. Vinginevyo, A1 ni -1 (kadi bado haijaacha mchezo), na seli hii inaendelea kusonga nasibu: 10% ya wakati itarudisha vitengo 5 vya rasilimali, wakati uliobaki thamani yake bado itakuwa sawa na -1. Ikiwa tunatumia fomula hii kwenye visanduku vya ziada, tunapata miduara ya ziada, na kisanduku chochote utakachopata kitakupa matokeo ya mwisho (au -1 ikiwa kadi haikuondoka kwenye mchezo baada ya mizunguko yote uliyocheza).

Chukua safu mlalo hiyo ya seli, ambayo inawakilisha duru pekee iliyo na kadi hiyo, na unakili na ubandike safu mlalo mia kadhaa (au elfu). Huenda tusiweze kufanya jaribio lisilo na kikomo la Excel (kuna idadi ndogo ya seli kwenye jedwali), lakini angalau tunaweza kushughulikia visa vingi. Kisha chagua seli moja ambayo utaweka wastani wa matokeo ya raundi zote - Excel kwa manufaa hutoa wastani () kazi kwa hili.

Kwenye Windows, unaweza angalau kubonyeza F9 ili kukokotoa tena nambari zote nasibu. Kama hapo awali, fanya hivi mara kadhaa na uone ikiwa unapata maadili sawa. Ikiwa kuenea ni kubwa sana, mara mbili ya idadi ya kukimbia na ujaribu tena.

Matatizo ambayo hayajatatuliwa

Iwapo utakuwa na shahada ya nadharia ya uwezekano na matatizo hapo juu yanaonekana kuwa rahisi sana kwako, hapa kuna matatizo mawili ambayo nimekuwa nikiumiza kichwa kwa miaka mingi, lakini kwa bahati mbaya siko vizuri katika hesabu kuyatatua.

Tatizo #1 Lisilotatuliwa: Bahati Nasibu ya IMF

Tatizo la kwanza ambalo halijatatuliwa ni kazi ya nyumbani iliyotangulia. Ninaweza kutumia njia ya Monte Carlo kwa urahisi (kwa kutumia C++ au Excel) na kuwa na ujasiri katika jibu la swali "ni rasilimali ngapi mchezaji atapokea", lakini sijui jinsi ya kutoa jibu halisi linaloweza kuthibitishwa kihisabati (ni. mfululizo usio na mwisho).

Tatizo #2 ambalo halijatatuliwa: Mfuatano wa takwimu

Tatizo hili (pia linaenda mbali zaidi ya kazi ambazo zinatatuliwa katika blogu hii) nilipewa na rafiki wa mchezaji zaidi ya miaka kumi iliyopita. Wakati akicheza blackjack huko Vegas, aliona jambo moja la kuvutia: alipoondoa kadi kutoka kwa kiatu cha sitaha, aliona takwimu kumi mfululizo (takwimu au kadi ya uso ni 10, Joker, King au Queen, kwa hiyo kuna 16 katika jumla katika kadi za kawaida za staha 52 au 128 kwenye kiatu cha kadi 416).

Je, kuna uwezekano gani kwamba kiatu hiki kina angalau mlolongo mmoja wa takwimu kumi au zaidi? Wacha tuchukue kuwa zilichanganyika kwa usawa, kwa mpangilio wa nasibu. Au, ikiwa unapendelea, kuna uwezekano gani kwamba mlolongo wa takwimu kumi au zaidi haufanyiki popote?

Tunaweza kurahisisha kazi. Hapa kuna mlolongo wa sehemu 416. Kila sehemu ni 0 au 1. Kuna zile 128 na sufuri 288 zilizotawanyika bila mpangilio katika mfuatano huo. Kuna njia ngapi za kuingilia kati kwa nasibu zile 128 zenye sufuri 288, na ni mara ngapi katika njia hizi angalau kundi moja la kumi au zaidi litatokea?

Kila wakati nilipoanza kusuluhisha shida hii, ilionekana kwangu kuwa rahisi na dhahiri, lakini mara tu nilipoingia kwenye maelezo, ilianguka ghafla na ilionekana kuwa haiwezekani.

Kwa hivyo usikimbilie kujibu jibu: kaa chini, fikiria kwa uangalifu, soma masharti, jaribu kuunganisha nambari halisi, kwa sababu watu wote niliozungumza nao juu ya shida hii (pamoja na wanafunzi kadhaa waliohitimu wanaofanya kazi katika uwanja huu) waliitikia. sawa: "Ni dhahiri kabisa ... oh, hapana, subiri, sio dhahiri hata kidogo." Hii ndio kesi wakati sina njia ya kuhesabu chaguzi zote. Ningeweza, kwa kweli, kulazimisha shida kupitia algorithm ya kompyuta, lakini itakuwa ya kufurahisha zaidi kujua suluhisho la kihesabu.

Huu ni uwiano wa idadi ya uchunguzi huo ambapo tukio husika lilitokea kwa jumla ya idadi ya uchunguzi. Ufafanuzi huu unakubalika katika kesi ya idadi kubwa ya kutosha ya uchunguzi au majaribio. Kwa mfano, ikiwa karibu nusu ya watu unaokutana nao mitaani ni wanawake, basi unaweza kusema kwamba uwezekano kwamba mtu unayekutana naye mitaani atakuwa mwanamke ni 1/2. Kwa maneno mengine, makadirio ya uwezekano wa tukio inaweza kuwa mara kwa mara ya kutokea kwake katika mfululizo mrefu wa marudio huru ya jaribio la nasibu.

Uwezekano katika hisabati

Katika mbinu ya kisasa ya hisabati, uwezekano wa classical (yaani, si quantum) hutolewa na axiomatics ya Kolmogorov. Uwezekano ni kipimo P, ambayo imefafanuliwa kwenye seti X, inayoitwa nafasi ya uwezekano. Hatua hii lazima iwe na sifa zifuatazo:

Kutoka kwa hali hizi inafuata kwamba kipimo cha uwezekano P pia ina mali nyongeza: ikiwa seti A 1 na A 2 usikatishe, basi. Ili kuthibitisha unahitaji kuweka kila kitu A 3 , A 4 , ... sawa na seti tupu na utumie mali ya nyongeza inayoweza kuhesabiwa.

Kipimo cha uwezekano hakiwezi kufafanuliwa kwa vikundi vyote vidogo vya seti X. Inatosha kuifafanua kwenye algebra ya sigma, inayojumuisha sehemu ndogo za seti. X. Katika kesi hii, matukio ya nasibu yanafafanuliwa kama sehemu ndogo za nafasi zinazoweza kupimika X, yaani, kama vipengele vya sigma algebra.

Akili ya uwezekano

Tunapogundua kuwa sababu za ukweli fulani unaowezekana kutokea huzidi sababu tofauti, tunazingatia ukweli huo inawezekana, vinginevyo - ajabu. Utangulizi huu wa misingi chanya juu ya hasi, na kinyume chake, inaweza kuwakilisha seti isiyojulikana ya digrii, kama matokeo ambayo uwezekano(Na kutowezekana) Inatokea zaidi au kidogo .

Ukweli tata wa mtu binafsi hauruhusu hesabu halisi ya digrii za uwezekano wao, lakini hata hapa ni muhimu kuanzisha mgawanyiko mkubwa. Kwa hiyo, kwa mfano, katika uwanja wa kisheria, wakati ukweli wa kibinafsi chini ya kesi umeanzishwa kwa misingi ya ushuhuda, daima hubakia, kwa kusema madhubuti, inawezekana tu, na ni muhimu kujua jinsi uwezekano huu ni muhimu; katika sheria ya Kirumi, mgawanyiko wa mara nne ulipitishwa hapa: plena ya majaribio(ambapo uwezekano unageuka kuwa kutegemewa), Zaidi - probatio minus plena, basi - probatio semiplena major na hatimaye probatio semiplena madogo .

Kwa kuongezea swali la uwezekano wa kesi hiyo, swali linaweza kutokea, katika uwanja wa sheria na katika uwanja wa maadili (pamoja na maoni fulani ya maadili), ni uwezekano gani kwamba ukweli fulani unajumuisha ukweli fulani. ukiukaji wa sheria ya jumla. Swali hili, ambalo hutumika kama nia kuu katika sheria ya kidini ya Talmud, pia lilizua muundo ngumu sana wa kimfumo na fasihi kubwa, ya kiitikadi na ya ubishani, katika theolojia ya maadili ya Kirumi Katoliki (haswa kutoka mwisho wa karne ya 16) ( tazama Uwezekano).

Wazo la uwezekano huruhusu usemi fulani wa nambari wakati unatumika tu kwa ukweli kama huo ambao ni sehemu ya safu fulani za homogeneous. Kwa hivyo (kwa mfano rahisi), wakati mtu anatupa sarafu mara mia mfululizo, tunapata hapa safu moja ya jumla au kubwa (jumla ya maporomoko yote ya sarafu), inayojumuisha mbili za kibinafsi au ndogo, katika kesi hii kwa nambari. sawa, mfululizo (huanguka " vichwa" na huanguka "mikia"); Uwezekano kwamba wakati huu sarafu itatua vichwa, yaani, kwamba mwanachama huyu mpya wa safu ya jumla atakuwa wa hii ya safu mbili ndogo, ni sawa na sehemu inayoonyesha uhusiano wa nambari kati ya safu hii ndogo na ile kubwa zaidi. yaani 1/2, yaani, uwezekano sawa ni wa moja au nyingine ya safu mbili maalum. Katika mifano isiyo rahisi, hitimisho haliwezi kutolewa moja kwa moja kutoka kwa data ya shida yenyewe, lakini inahitaji utangulizi wa awali. Kwa hivyo, kwa mfano, swali ni: kuna uwezekano gani kwa mtoto aliyezaliwa kuishi hadi miaka 80? Hapa lazima kuwe na jumla, au kubwa, mfululizo wa idadi fulani ya watu waliozaliwa katika hali sawa na kufa katika umri tofauti (idadi hii lazima iwe kubwa ya kutosha ili kuondokana na kupotoka kwa random, na ndogo ya kutosha ili kudumisha homogeneity ya mfululizo, kwa kwa mtu aliyezaliwa, kwa mfano, huko St. wafanyakazi katika taaluma hatari - inawakilisha kundi tofauti sana kwa uamuzi halisi wa uwezekano); acha mfululizo huu wa jumla uwe na maisha ya wanadamu elfu kumi; inajumuisha mfululizo mdogo unaowakilisha idadi ya watu wanaoishi hadi umri fulani; moja ya mfululizo huu ndogo inawakilisha idadi ya watu wanaoishi hadi umri wa miaka 80. Lakini haiwezekani kuamua idadi ya safu hii ndogo (kama zingine zote) a priori; hii inafanywa kwa kufata neno, kupitia takwimu. Tuseme tafiti za takwimu zimethibitisha kwamba kati ya wakazi 10,000 wa tabaka la kati la St. Petersburg, ni 45 tu wanaoishi hadi 80; Kwa hivyo, mfululizo huu mdogo unahusiana na ule mkubwa zaidi kwani 45 ni 10,000, na uwezekano wa mtu fulani kuwa wa mfululizo huu mdogo, yaani, kuishi hadi kufikia umri wa miaka 80, unaonyeshwa kama sehemu ya 0.0045. Utafiti wa uwezekano kutoka kwa mtazamo wa hisabati unajumuisha taaluma maalum - nadharia ya uwezekano.

Angalia pia

Vidokezo

Fasihi

• Alfred Renyi. Barua juu ya uwezekano / trans. kutoka Hungarian D. Saas na A. Crumley, wahariri. B.V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Kozi ya nadharia ya uwezekano. M., 2007. 42 p.
• Kuptsov V.I. Uamuzi na uwezekano. M., 1976. 256 p.

Wikimedia Foundation. 2010.

Visawe:

Vinyume:

Tazama "Uwezekano" ni nini katika kamusi zingine:

Jumla ya kisayansi na falsafa. kategoria inayoashiria kiwango cha kiasi cha uwezekano wa kutokea kwa matukio mengi ya nasibu chini ya hali zisizobadilika za uchunguzi, zinazoonyesha uthabiti wa masafa yao ya jamaa. Katika mantiki, shahada ya semantiki...... Encyclopedia ya Falsafa

UWEZEKANO, nambari katika masafa kutoka sifuri hadi moja ikijumuisha, inayowakilisha uwezekano wa tukio fulani kutokea. Uwezekano wa tukio unafafanuliwa kama uwiano wa idadi ya nafasi ambazo tukio linaweza kutokea kwa jumla ya idadi inayowezekana... ... Kamusi ya ensaiklopidia ya kisayansi na kiufundi

Kwa uwezekano wote .. Kamusi ya visawe vya Kirusi na maneno sawa. chini. mh. N. Abramova, M.: Kamusi za Kirusi, 1999. uwezekano wa uwezekano, uwezekano, nafasi, uwezekano wa lengo, maza, kukubalika, hatari. Chungu. haiwezekani...... Kamusi ya visawe

uwezekano- Kipimo ambacho tukio linawezekana kutokea. Kumbuka Ufafanuzi wa kihisabati wa uwezekano ni: "nambari halisi kati ya 0 na 1 ambayo inahusishwa na tukio la nasibu." Nambari inaweza kuonyesha mara kwa mara jamaa katika mfululizo wa uchunguzi... ... Mwongozo wa Mtafsiri wa Kiufundi

Uwezekano- "tabia ya hisabati, nambari ya kiwango cha uwezekano wa kutokea kwa tukio lolote katika hali fulani maalum ambayo inaweza kurudiwa idadi isiyo na kikomo ya nyakati." Kulingana na classic hii ...... Kamusi ya kiuchumi na hisabati

- (probability) Uwezekano wa kutokea kwa tukio au matokeo fulani. Inaweza kuwasilishwa kwa namna ya kiwango na mgawanyiko kutoka 0 hadi 1. Ikiwa uwezekano wa tukio ni sifuri, tukio lake haliwezekani. Kwa uwezekano sawa na 1, mwanzo wa... Kamusi ya maneno ya biashara