Mchanganyiko ni uteuzi usio na mpangilio wa vipengele vya seti ya mwisho na nambari ya kudumu na bila marudio ya vipengele. Mchanganyiko tofauti lazima utofautiane katika angalau kipengele kimoja, na utaratibu wa vipengele haujalishi. Kwa mfano, kutoka kwa seti ya vokali zote za herufi za Kilatini (AEIOU), unaweza kutengeneza michanganyiko 10 tofauti ya herufi 3, na kutengeneza sehemu tatu zifuatazo zisizo na mpangilio:
AEI, AEO, AEU, AIO, AIU, AOU, EIO, EIU, EOU, IOU.
Inafurahisha kutambua kuwa kutoka kwa herufi tano sawa unaweza pia kupata mchanganyiko 10 tofauti ikiwa utachanganya herufi 2 kwa wakati mmoja, na kutengeneza jozi zifuatazo ambazo hazijaamriwa:
AE, AI, AO, AU, EI, EO, EU, IO, IU, OU.
Walakini, ukichanganya herufi za Kilatini za vokali sawa na 4, utapata tu michanganyiko 5 tofauti ifuatayo:
AEIO, AEIU, AIOU, EIOU, AEOU.
Kwa ujumla, kuashiria idadi ya mchanganyiko wa vitu n tofauti vya vitu vya m, ishara zifuatazo za kazi, faharisi au vekta (Appel) hutumiwa:
Bila kujali aina ya nukuu, idadi ya mchanganyiko wa vitu vya n na vitu vya m inaweza kuamuliwa kwa kutumia fomula zifuatazo za kuzidisha na za ukweli:
Ni rahisi kuangalia kuwa matokeo ya mahesabu kwa kutumia fomula hizi yanapatana na matokeo ya mfano uliojadiliwa hapo juu na mchanganyiko wa vokali katika herufi za Kilatini. Hasa, na n=5 na m=3, mahesabu kwa kutumia fomula hizi yatatoa matokeo yafuatayo:
Katika hali ya jumla, fomula za idadi ya michanganyiko zina maana ya mseto na ni halali kwa nambari kamili za n na m, kama vile n > m > 0. Ikiwa m > n na m< 0, то число сочетаний равно 0, так как в этом случае основное множество из n элементов вообще не имеет подмножеств мощности m:
Kwa kuongezea, ni muhimu kukumbuka nambari zifuatazo za kikomo za mchanganyiko, ambazo zinaweza kukaguliwa kwa urahisi na uingizwaji wa moja kwa moja katika fomula za kuzidisha na za msingi:
Ikumbukwe pia kwamba fomula ya kuzidisha inasalia kuwa halali hata wakati n ni nambari halisi, mradi m bado ni nambari kamili. Hata hivyo, basi matokeo ya hesabu ya kuitumia, wakati wa kudumisha uhalali rasmi, hupoteza maana yake ya kuchanganya.
VITAMBULISHO VYA MCHANGANYIKO
Matumizi ya vitendo ya fomula za kuzidisha na za ukweli kuamua idadi ya mchanganyiko wa maadili ya kiholela ya n na m inageuka kuwa na tija kidogo kwa sababu ya ukuaji mkubwa wa bidhaa za msingi za nambari na dhehebu. Hata kwa maadili madogo ya n na m, bidhaa hizi mara nyingi huzidi uwezo wa kuwakilisha nambari katika mifumo ya kisasa ya kompyuta na programu. Kwa kuongezea, maadili yao yanageuka kuwa makubwa zaidi kuliko thamani inayotokana ya idadi ya mchanganyiko, ambayo inaweza kuwa ndogo. Kwa mfano, idadi ya mchanganyiko wa n = 10 kwa m = 8 vipengele ni 45 tu. Hata hivyo, ili kupata thamani hii kwa kutumia formula ya ukweli, lazima kwanza uhesabu maadili makubwa zaidi ya 10! katika nambari na 8! katika dhehebu:
Ili kuondokana na shughuli zinazotumia muda kwa ajili ya usindikaji kiasi kikubwa, kuamua idadi ya mchanganyiko, unaweza kutumia mahusiano mbalimbali ya kurudia, ambayo hufuata moja kwa moja kutoka kwa fomula za kuzidisha na za msingi. Hasa, uhusiano ufuatao wa kujirudia hufuata kutoka kwa fomula ya kuzidisha, ambayo inaruhusu sisi kuchukua uwiano wa fahirisi zake zaidi ya ishara ya idadi ya mchanganyiko:
Hatimaye, kuweka usajili mara kwa mara hutoa uhusiano ufuatao wa kujirudia, ambao hupatikana kwa urahisi kutoka kwa fomula ya msingi ya idadi ya mchanganyiko:
Baada ya mabadiliko ya kimsingi, mahusiano matatu yanayotokana na kujirudia yanaweza kuwakilishwa katika aina zifuatazo:
Ikiwa sasa tunaongeza pande za kushoto na kulia za fomula 2 za kwanza na kupunguza matokeo kwa n, tunapata uhusiano muhimu wa kurudia, ambao huitwa kitambulisho cha kuongeza nambari za mchanganyiko:
Kitambulisho cha nyongeza hutoa kanuni ya msingi ya kujirudia kwa kuamua kwa ufanisi idadi ya mchanganyiko wa thamani kubwa za n na m, kwani inaruhusu shughuli za kuzidisha katika bidhaa za viwandani kubadilishwa na shughuli rahisi za kuongeza, na kwa idadi ndogo ya mchanganyiko. Hasa, kwa kutumia kitambulisho cha kuongeza, sasa ni rahisi kuamua idadi ya mchanganyiko wa n=10 kwa m=8 vipengele, ambavyo vilijadiliwa hapo juu, kwa kufanya mlolongo ufuatao wa mabadiliko ya mara kwa mara:
Kwa kuongezea, mahusiano kadhaa muhimu ya kukokotoa hesabu fupi yanaweza kupatikana kutoka kwa kitambulisho cha nyongeza, haswa, fomula ya kujumlisha na usajili, ambayo ina fomu ifuatayo:
Uhusiano huu hupatikana ikiwa katika kitambulisho cha nyongeza tunapanua ujirudiaji pamoja na neno na hati kuu kubwa zaidi huku usajili wake ni mkubwa kuliko 0. Mfano ufuatao wa nambari unaonyesha mchakato huu wa mabadiliko yanayojirudia:
Fomula ya kujumlisha usajili mara nyingi hutumiwa kukokotoa jumla ya nguvu za nambari asilia. Hasa, kwa kudhani m = 1, kwa kutumia fomula hii ni rahisi kupata jumla ya nambari za n za safu asilia:
Toleo lingine muhimu la fomula ya muhtasari linaweza kupatikana kwa kupanua ujirudiaji wa utambulisho wa nyongeza pamoja na neno kuu kwa maandishi madogo zaidi. Mfano ufuatao wa nambari unaonyesha toleo hili la mabadiliko ya mara kwa mara:
Katika hali ya jumla, kama matokeo ya mabadiliko kama haya, jumla ya idadi ya mchanganyiko hupatikana, fahirisi zote mbili ambazo hutofautiana na moja kutoka kwa maneno ya jirani, na tofauti katika fahirisi inabaki mara kwa mara (kwa mfano unaozingatiwa, ni. pia ni sawa na moja). Kwa hivyo, tunapata formula ifuatayo ya muhtasari wa fahirisi zote mbili za nambari mchanganyiko:
Kando na mahusiano ya urudiaji na fomula za muhtasari zilizojadiliwa hapo juu, vitambulisho vingine vingi muhimu vya nambari mchanganyiko vimepatikana katika uchanganuzi wa pamoja. Muhimu zaidi kati yao ni utambulisho wa ulinganifu, ambayo inaonekana kama hii:
Uhalali wa utambulisho wa ulinganifu unaweza kuthibitishwa katika mfano ufuatao kwa kulinganisha nambari za michanganyiko ya vipengele 5 kwa 2 na kwa (5 2) = 3:
Utambulisho wa ulinganifu una maana ya wazi ya kuchanganya, kwa kuwa, kwa kuamua idadi ya chaguzi za kuchagua vipengele vya m kutoka kwa vipengele vya n, wakati huo huo huanzisha idadi ya mchanganyiko kutoka kwa vipengele vilivyobaki (nm) visivyochaguliwa. Ulinganifu ulioonyeshwa hupatikana mara moja kwa kubadilisha m kwa (nm) katika fomula ya msingi kwa idadi ya mchanganyiko:
Nambari na utambulisho mchanganyiko hutumiwa sana katika maeneo mbalimbali ya hisabati ya kisasa ya computational. Hata hivyo, maombi yao maarufu zaidi yanahusiana na binomial ya Newton na pembetatu ya Pascal.
NADHARIA YA BINOMIAL
Ili kufanya mabadiliko na mahesabu mbalimbali ya hisabati, ni muhimu kuwa na uwezo wa kuwakilisha nguvu yoyote ya asili ya binomial ya algebraic (binomial) kwa namna ya polynomial. Kwa nguvu ndogo, polynomial inayotaka inaweza kupatikana kwa urahisi kwa kuzidisha binomials moja kwa moja. Hasa, kanuni zifuatazo za mraba na mchemraba wa jumla ya maneno mawili zinajulikana kutoka kwa mwendo wa hisabati ya msingi:
Katika hali ya jumla, kwa digrii ya kiholela n ya binomial, uwakilishi unaohitajika katika mfumo wa polynomial hutolewa na nadharia ya binomial ya Newton, ambayo inatangaza usawa ufuatao kuwa kweli:
Usawa huu kwa kawaida huitwa binomial ya Newton. Polynomial upande wake wa kulia huundwa na jumla ya bidhaa za n maneno X na Y ya binomial upande wa kushoto, na coefficients mbele yao inaitwa binomial na ni sawa na idadi ya mchanganyiko na fahirisi, ambayo. zinapatikana kutoka kwa mamlaka yao. Kwa kuzingatia umaarufu fulani wa fomula ya binomial ya Newton katika uchanganuzi wa upatanishi, maneno mgawo wa binomial na idadi ya michanganyiko kwa ujumla huchukuliwa kuwa sawa.
Ni wazi, fomula za jumla za mraba na mchemraba ni visa maalum vya nadharia ya binomial ya n=2 na n=3, mtawalia. Ili kushughulikia digrii za juu (n>3), fomula ya binomial ya Newton inapaswa kutumika. Utumiaji wake wa digrii ya nne ya binomial (n=4) unaonyeshwa na mfano ufuatao:
Ikumbukwe kwamba fomula ya binomial ilijulikana hata kabla ya Newton kwa wanahisabati wa zama za kati wa Mashariki ya Kiarabu na Ulaya Magharibi. Kwa hivyo, jina lake linalokubalika kwa ujumla sio sahihi kihistoria. Ubora wa Newton ni kwamba alijumlisha fomula hii kwa kesi ya kielezi halisi cha kiholela r, ambacho kinaweza kuchukua maadili yoyote chanya au hasi ya kimantiki na yasiyo na mantiki. Katika hali ya jumla, formula kama hii ya Newton binomial ina jumla isiyo na kikomo upande wa kulia na kawaida huandikwa kama ifuatavyo.
Kwa mfano, na thamani chanya ya sehemu ya kielelezo r = 1/2, kwa kuzingatia maadili ya mgawo wa binomial, upanuzi ufuatao unapatikana:
Katika hali ya jumla, formula ya Newton ya binomial kwa kielelezo chochote ni toleo maalum la fomula ya Maclaurin, ambayo inatoa upanuzi wa kazi ya kiholela katika mfululizo wa nguvu. Newton alionyesha hilo kwa |z|< 1 этот ряд сходится, и сумма в правой части становится конечной. При любой натуральной степени r = n в правой части также получается конечная сумма из (n+1) первых слагаемых, так как все C(n, k>n) = 0. Ikiwa sasa tutaweka Z=X/Y na kuzidisha pande za kushoto na kulia kwa Yn, tunapata toleo la formula ya Newton binomial iliyojadiliwa hapo juu.
Licha ya ulimwengu wote, nadharia ya binomial inabaki na maana yake ya ujumuishaji kwa nguvu kamili zisizo hasi za binomial. Katika kesi hii, inaweza kutumika kuthibitisha vitambulisho kadhaa muhimu kwa coefficients ya binomial. Hasa, fomula za muhtasari wa nambari za mchanganyiko kwa usajili na kwa fahirisi zote mbili zilijadiliwa hapo juu. Utambulisho wa muhtasari wa maandishi ya juu unaokosekana unaweza kupatikana kwa urahisi kutoka kwa formula ya binomial ya Newton kwa kuweka X = Y = 1 au Z = 1 ndani yake:
Utambulisho mwingine muhimu huanzisha usawa wa hesabu za coefficients ya binomial na nambari hata na isiyo ya kawaida. Inapatikana mara moja kutoka kwa formula ya binomial ya Newton ikiwa X = 1 na Y = 1 au Z = 1:
Mwishowe, kutoka kwa vitambulisho vyote viwili vinavyozingatiwa tunapata utambulisho wa jumla ya coefficients ya binomial yenye nambari moja au isiyo ya kawaida pekee:
Kulingana na vitambulisho vinavyozingatiwa na sheria ya mara kwa mara ya kuondoa fahirisi kutoka chini ya ishara ya idadi ya mchanganyiko, idadi ya mahusiano ya kuvutia yanaweza kupatikana. Kwa mfano, ikiwa katika fomula ya muhtasari mkuu tutabadilisha n kila mahali na (n1) na kuondoa fahirisi katika kila neno, tunapata uhusiano ufuatao:
Kutumia mbinu kama hiyo katika fomula ya jumla ya mgawo wa binomial na nambari hata na isiyo ya kawaida, inawezekana kudhibitisha uhalali wa, kwa mfano, uhusiano ufuatao:
Kitambulisho kingine muhimu hukuruhusu kuhesabu kwa urahisi jumla ya bidhaa za mgawo wa binomial ulioko kwa ulinganifu wa binomials mbili za digrii za kiholela n na k kwa kutumia formula ifuatayo ya Cauchy:
Uhalali wa fomula hii unafuata kutoka kwa usawa unaohitajika wa vigawo kwa digrii yoyote ya m ya anuwai Z kwenye pande za kushoto na kulia za uhusiano unaofanana ufuatao:
Katika kesi maalum wakati n = k = m, kwa kuzingatia kitambulisho cha ulinganifu, fomula maarufu zaidi ya jumla ya mraba wa mgawo wa binomial hupatikana:
Vitambulisho vingine vingi muhimu vya coefficients ya binomial vinaweza kupatikana katika fasihi pana juu ya uchanganuzi wa ujumuishaji. Walakini, matumizi yao maarufu ya vitendo yanahusiana na pembetatu ya Pascal.
PEMBE YA PASCAL
Pembetatu ya hesabu ya Pascal huunda jedwali lisilo na kikomo la nambari linaloundwa na mgawo wa binomial. Mistari yake imeagizwa na nguvu za binomials kutoka juu hadi chini. Katika kila mstari, coefficients ya binomial hupangwa kwa utaratibu wa kupanda wa maandishi ya juu ya nambari za mchanganyiko zinazofanana kutoka kushoto kwenda kulia. Pembetatu ya Pascal kawaida huandikwa kwa isosceles au fomu ya mstatili.
Visual zaidi na vya kawaida ni umbizo la isosceles, ambapo mgawo wa binomial, uliyumba, huunda pembetatu ya isosceles isiyo na kipimo. Sehemu yake ya awali ya binomials hadi digrii ya 4 (n=4) ina fomu ifuatayo:
Kwa ujumla, pembetatu ya isosceles ya Pascal hutoa sheria rahisi ya kijiometri ya kuamua coefficients ya binomial, ambayo inategemea utambulisho wa kuongeza na ulinganifu wa mchanganyiko wa nambari. Hasa, kwa mujibu wa kitambulisho cha kuongeza, mgawo wowote wa binomial ni jumla ya coefficients mbili za safu ya awali iliyo karibu nayo. Kulingana na utambulisho wa ulinganifu, pembetatu ya isosceles ya Pascal ina ulinganifu kwa heshima na sehemu yake miwili. Kwa hivyo, kila moja ya mistari yake ni palindrome ya nambari ya coefficients ya binomial. Vipengele vya algebraic na kijiometri vilivyoonyeshwa vinawezesha kupanua kwa urahisi pembetatu ya isosceles ya Pascal na kupata mara kwa mara maadili ya coefficients ya binomial ya nguvu za kiholela.
Walakini, kusoma mali anuwai ya pembetatu ya Pascal, ni rahisi zaidi kutumia muundo mkali zaidi wa mstatili. Katika muundo huu, inatajwa na tumbo la chini la triangular ya coefficients ya binomial, ambapo huunda pembetatu ya kulia isiyo na kipimo. Kipande cha awali cha pembetatu ya kulia ya Pascal kwa binomials hadi digrii 9 (n=9) ina fomu ifuatayo:
Kijiometri, jedwali kama hilo la mstatili linapatikana kwa kuharibika kwa usawa pembetatu ya isosceles ya Pascal. Kwa sababu hiyo, msururu wa nambari unaolingana na pande za kando za pembetatu ya isosceles ya Pascal hubadilika na kuwa wima na vilalo vya pembetatu ya kulia ya Pascal, na mlalo wa pembetatu zote mbili hulingana. Wakati huo huo, sheria za kuongeza na ulinganifu wa coefficients ya binomial bado ni halali, ingawa pembetatu ya kulia ya Pascal inapoteza sifa ya ulinganifu wa kuona wa mwenzake wa isosceles. Ili kufidia hili, inakuwa rahisi zaidi kuchambua rasmi sifa mbalimbali za nambari za mgawo wa binomial kwa mlalo, wima, na diagonal za pembetatu ya kulia ya Pascal.
Kuanzia uchanganuzi wa usawa wa pembetatu ya kulia ya Pascal, ni rahisi kugundua kuwa jumla ya vipengee vya safu yoyote iliyo na nambari n ni sawa na 2n kulingana na fomula ya muhtasari wa binomials na maandishi ya juu. Inafuata kutoka kwa hili kwamba jumla ya vipengele vilivyo juu ya mistari yoyote ya usawa na nambari n ni sawa na (2 n 1). Matokeo haya yanakuwa dhahiri kabisa ikiwa thamani ya jumla ya vipengele vya kila mlalo imeandikwa katika mfumo wa nambari ya binary. Kwa mfano, kwa n=4 nyongeza hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo:
Hapa kuna mali kadhaa ya kuvutia zaidi ya mlalo ambayo pia yanahusiana na nguvu za mbili. Inatokea kwamba ikiwa nambari ya usawa ni nguvu ya mbili (n = 2 k), basi vipengele vyake vyote vya ndani (isipokuwa vya nje) ni namba hata. Kinyume chake, nambari zote za mstari wa usawa zitakuwa isiyo ya kawaida ikiwa nambari yake ni moja chini ya nguvu ya mbili (n = 2 k 1). Uhalali wa mali hizi unaweza kuthibitishwa kwa kuangalia usawa wa coefficients ya ndani ya binomial, kwa mfano, katika usawa n=4 na n=3 au n=8 na n=7.
Wacha sasa nambari ya safu mlalo ya pembetatu ya kulia ya Pascal iwe nambari kuu uk. Kisha mgawo wake wote wa ndani wa binomial hugawanywa na p. Mali hii ni rahisi kuangalia kwa maadili madogo ya nambari kuu za contour. Kwa mfano, coefficients zote za ndani za binomial za mlalo wa tano (5, 10 na 5) ni wazi zinaweza kugawanywa na 5. Ili kuthibitisha matokeo haya kwa nambari yoyote kuu ya mlalo p, unahitaji kuandika fomula ya kuzidisha kwa mgawo wake wa binomial kama ifuatavyo:
Kwa kuwa p ni nambari kuu na, kwa hivyo, haiwezi kugawanywa na m!, bidhaa ya vipengele vilivyobaki vya nambari ya fomula hii lazima igawanywe kwa m ili kuhakikisha thamani kamili ya mgawo wa binomial. Inafuata kwamba uwiano katika mabano ya mraba ni nambari ya asili N na matokeo unayotaka yanakuwa dhahiri:
Kwa kutumia matokeo haya, tunaweza kuthibitisha kwamba nambari za mistari yote ya usawa ya pembetatu ya Pascal, vipengele vya ndani ambavyo vinaweza kugawanywa na nambari kuu ya p, ni nguvu za p, yaani, zina fomu n = p k. Hasa, ikiwa p = 3, basi nambari kuu p haigawanyi tu vipengele vyote vya ndani vya safu ya 3, kama ilivyoelezwa hapo juu, lakini, kwa mfano, ya 9 ya usawa (9, 36, 84 na 126). Kwa upande mwingine, katika pembetatu ya Pascal haiwezekani kupata mstari wa usawa ambao vipengele vya ndani vyote vinagawanywa na nambari ya mchanganyiko. Vinginevyo, idadi ya mstari huo wa usawa lazima iwe wakati huo huo nguvu ya wagawanyiko wakuu wa nambari ya mchanganyiko ambayo vipengele vyake vyote vya ndani vinagawanywa, lakini hii haiwezekani kwa sababu za wazi.
Mambo yanayozingatiwa yanaturuhusu kuunda kigezo cha jumla kifuatacho cha mgawanyiko wa vipengele vya mlalo vya pembetatu ya Pascal. Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida (GCD) cha vipengele vyote vya ndani vya mstari wowote wa mlalo wa pembetatu ya Pascal yenye nambari n ni sawa na nambari kuu p ikiwa n=pk au 1 katika visa vingine vyote:
GCD(Cmn) = ( ) kwa 0 yoyote< m < n .
Kwa kumalizia uchambuzi wa usawa, inafaa kuzingatia mali moja ya kupendeza zaidi ambayo safu ya mgawo wa binomial inayounda inayo. Ikiwa coefficients ya binomial ya mstari wowote wa usawa na nambari n huzidishwa na nguvu za mfululizo wa nambari 10, na kisha bidhaa hizi zote zinaongezwa, matokeo ni 11 n. Uhalali rasmi wa matokeo haya ni uingizwaji wa thamani X=10 na Y=1 (au Z=1) kwenye fomula ya Newton binomial. Mfano ufuatao wa nambari unaonyesha utimilifu wa mali hii kwa n=5:
Mchanganuo wa mali ya wima ya pembetatu ya kulia ya Pascal inaweza kuanza na utafiti wa sifa za kibinafsi za vitu vyao vya msingi. Hapo awali, kila m wima huundwa na mfuatano ufuatao usio na kikomo wa coefficients ya binomial yenye hati kuu isiyobadilika (m) na nyongeza ya hati ndogo:
Kwa wazi, wakati m = 0 mlolongo wa wale hupatikana, na wakati m = 1 mfululizo wa nambari za asili huundwa. Wakati m=2 wima huundwa na nambari za pembetatu. Kila nambari ya pembetatu inaweza kuonyeshwa kwenye ndege kwa namna ya pembetatu ya equilateral, ambayo imejazwa na vitu vya kiholela (viini) vilivyopangwa kwa muundo wa checkerboard. Katika kesi hii, thamani ya kila nambari ya triangular T k huamua idadi ya kernels zinazowakilisha, na index inaonyesha ni safu ngapi za kernels zinahitajika ili kuiwakilisha. Kwa mfano, nambari 4 za mwanzo za pembetatu zinawakilisha usanidi ufuatao wa nambari inayolingana ya alama za nyuklia "@":
Ikumbukwe kwamba kwa njia sawa mtu anaweza kuanzisha kwa kuzingatia namba za mraba S k , ambazo zinapatikana kwa kupiga namba za asili na, kwa ujumla, nambari za takwimu za polygonal zinazoundwa kwa kujaza mara kwa mara polygoni za kawaida. Hasa, nambari 4 za mwanzo za mraba zinaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:
Tukirudi kwenye uchanganuzi wa wima wa pembetatu ya Pascal, tunaweza kutambua kwamba wima inayofuata katika m=3 imejaa nambari za tetrahedral (piramidi). Kila nambari kama hiyo P k inabainisha idadi ya cores ambayo inaweza kupangwa kwa umbo la tetrahedron, na faharisi huamua ni safu ngapi za usawa za safu ya cores zinazohitajika ili kuionyesha katika nafasi ya tatu-dimensional. Katika kesi hii, tabaka zote za mlalo lazima ziwakilishwe kama nambari za pembetatu zinazofuatana. Vipengele vya wima vifuatavyo vya pembetatu ya Pascal kwa m> 3 huunda mfululizo wa nambari za hypertetraedal, ambazo hazina tafsiri ya kijiometri ya kuona kwenye ndege au katika nafasi ya tatu-dimensional, lakini inalingana rasmi na analogi za multidimensional za nambari za triangular na tetrahedal.
Ingawa safu ya nambari ya wima ya pembetatu ya Pascal ina sifa zinazozingatiwa za umbo la mtu binafsi, kwao inawezekana kuhesabu hesabu za sehemu za maadili ya vitu vya awali kwa njia ile ile, kwa kutumia fomula ya muhtasari wa nambari za mchanganyiko kwa usajili. . Katika pembetatu ya Pascal, fomula hii ina tafsiri ifuatayo ya kijiometri. Jumla ya maadili ya n coefficients ya juu ya binomial ya wima yoyote ni sawa na thamani ya kipengele cha wima inayofuata, ambayo iko mstari mmoja hapa chini. Matokeo haya pia yanafanana na muundo wa kijiometri wa nambari za triangular, tetrahedral na hypertetrahedal, kwa kuwa uwakilishi wa kila nambari hiyo ina tabaka za msingi zinazowakilisha namba za utaratibu wa chini. Hasa, nambari ya triangular ya nth T n inaweza kupatikana kwa muhtasari wa nambari zote za asili zinazowakilisha tabaka zake za mstari:
Vile vile, si vigumu kupata nambari ya tetrahedral Pn kwa kuhesabu jumla ifuatayo ya nambari za kwanza za n triangular zinazounda tabaka zake za msingi za usawa:
Mbali na usawa na wima katika pembetatu ya kulia ya Pascal, mtu anaweza kufuatilia safu za diagonal za vipengele, utafiti wa mali ambayo pia ni ya riba. Katika kesi hii, tofauti kawaida hufanywa kati ya diagonal za kushuka na zinazopanda. Milalo ya kushuka chini ni sambamba na hypotenuse ya pembetatu ya kulia ya Pascal. Wao huundwa na mfululizo wa coefficients binomial na increment ya fahirisi zote mbili. Kwa sababu ya utambulisho wa ulinganifu, diagonal zinazoshuka zinalingana katika maadili ya vitu vyao na safu wima zinazolingana za pembetatu ya Pascal na kwa hivyo kurudia mali zao zote zilizojadiliwa hapo juu. Barua iliyoonyeshwa inaweza kupatikana kwa bahati mbaya ya maadili ya vitu vya kushuka kwa diagonal na wima na nambari yoyote n, ikiwa zero wima hazizingatiwi:
Milalo inayopanda huunda msururu wa nambari kijiometri sawia kwa hypotenuse ya pembetatu ya kulia ya Pascal. Wao ni kujazwa na coefficients binomial na punguzo ya chini na increment ya superscript. Hasa, diagonal 7 zinazopanda juu huunda mlolongo wa nambari ufuatao bila kuzingatia sufuri zinazofuata:
Kwa ujumla, nambari ya mshazari inayopanda n ina vijigawo vya binomial vifuatavyo, jumla ya fahirisi za kila moja ambayo ni sawa na (n1):
Kwa mujibu wa utambulisho wa kuongeza kwa nambari za mchanganyiko, kila kipengele cha diagonal ni sawa na jumla ya vipengele viwili vinavyolingana katika fahirisi kutoka kwa diagonal mbili za awali zinazopanda. Hii inaruhusu kila ulalo unaopanda unaofuata kujengwa kwa ufupisho wa jozi wa vipengele vya mlalo vinavyokaribiana kutoka kwa vilaza viwili vilivyotangulia, na kupanua kabisa pembetatu ya Pascal kwenye ulalo. Kipande kifuatacho cha pembetatu ya Pascal kinaonyesha ujenzi wa nambari ya mlalo inayopanda 8 pamoja na vilaza vyenye nambari 6 na 7:
Kwa njia hii ya ujenzi, jumla ya vipengele vya diagonal yoyote inayopanda, kuanzia ya 3, itakuwa sawa na jumla ya vipengele vya diagonal mbili za awali zilizopanda, na diagonal 2 za kwanza zinajumuisha kipengele kimoja tu, thamani. ambayo ni 1. Matokeo ya hesabu zinazofanana huunda mfululizo wa nambari zifuatazo, kulingana na ambayo unaweza kuangalia uhalali wa mali inayozingatiwa ya diagonal zinazopanda za pembetatu ya kulia ya Pascal:
Kuchambua nambari hizi, unaweza kuona kwamba kulingana na sheria inayofanana, mlolongo unaojulikana wa nambari za Fibonacci huundwa, ambapo kila nambari inayofuata ni sawa na jumla ya zile mbili zilizopita, na nambari mbili za kwanza ni sawa na 1:
Kwa hivyo, tunaweza kuteka hitimisho muhimu lifuatalo: hesabu za diagonal za vipengele vya pembetatu ya Pascal zinajumuisha mlolongo wa Fibonacci. Mali hii inaruhusu sisi kuanzisha kipengele kingine cha kuvutia cha pembetatu ya Pascal. Kupanua fomula ya Fibonacci kwa kujirudia, ni rahisi kuthibitisha kwamba jumla ya nambari za kwanza za n Fibonacci ni sawa na (F n+2 1).
Kwa hiyo, jumla ya coefficients ya binomial inayojaza diagonals ya juu ya n pia ni sawa na (F n+2 1). Inafuata kwamba jumla ya n diagonal za kwanza za pembetatu ya Pascal ni 1 chini ya jumla ya coefficients ya binomial ambayo inasimama kwenye diagonal yake na nambari (n+2).
Kwa kumalizia, ni lazima ieleweke kwamba mali inayozingatiwa ya usawa, wima na diagonals ya pembetatu ya Pascal haimalizi aina kubwa ya uwezekano unaounganisha pamoja vipengele mbalimbali vya hisabati ambavyo kwa mtazamo wa kwanza hawana kitu sawa. Mali hiyo isiyo ya kawaida inatuwezesha kuzingatia pembetatu ya Pascal mojawapo ya mifumo kamili ya nambari, ambayo uwezo wake wote hauwezi kuorodheshwa na ni vigumu kuzingatia.
Algorithm ya kuhesabu idadi ya mchanganyiko kwa kutumia pembetatu ya Pascal imewasilishwa hapa chini:
Kazi ya Kibinafsi ya SochTT (ByVal n As Integer, ByVal k As Integer) As Double Dim i As Integer Dim j As Integer Dim TT () As Double ReDim TT (n, k) Kwa i = 0 Hadi n TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 Inayofuata Kwa i = 2 Hadi n Kwa j = 1 Kwa i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) Inayofuata SochTT = TT (n, k) Kazi ya Mwisho
Ikiwa unahitaji kuhesabu idadi ya mchanganyiko mara nyingi, basi inaweza kuwa rahisi zaidi kuunda pembetatu ya Pascal mara moja, na kisha kupokea data kutoka kwa safu.
Dim TT () As Double Private Sub CreateTT () ReDim TT (0, 0) BuildTT 0, 0 Maliza Kazi Ndogo ya Kibinafsi SochTT (ByVal n As Integer, ByVal k As Integer) As Double If n > Ubound (TT) Kisha BuildTT Ubound (TT) + 1, n SochTT = TT (n, k) Maliza Kazi Ndogo ya Kibinafsi TT () ReDim TT (0, 0) Maliza Sub Build Ndogo ya KibinafsiTT (ByVal anza Kama Nambari kamili, Mwisho wa ByVal Kama Nambari kamili) Dim i As Integer Dim j Kama Nambari ya ReDim Hifadhi TT (mwisho, mwisho) Kwa i = anza Ili kumaliza TT (0, i) = 1 TT (i, i) = 1 Ifuatayo Ikiwa mwisho< 2 Then Exit Sub If start < 2 Then start = 2 For i = start To end For j = 1 To i - 1 TT (i, j) = TT (i - 1, j - 1) + TT (i - 1, j) Next Next End Sub
Kwanza unahitaji kupiga utaratibu wa CreateTT. Kisha unaweza kupata idadi ya mchanganyiko kwa kutumia kazi ya SochTT. Wakati huhitaji tena pembetatu, piga utaratibu wa TerminateTT. Katika msimbo hapo juu, wakati wa kupiga kazi ya SochTT, ikiwa pembetatu bado haijakamilika kwa kiwango kinachohitajika, basi imekamilika kwa kutumia utaratibu wa BuildTT. Kitendakazi kisha hupata kipengee kinachohitajika cha safu ya TT na kuirejesha.
Dim X () Kama Kihesabu Nambari Dim () Kama Nambari Dim K Kama Nambari Dim N Kama Integer Public Sub Soch() Dim i As Integer N = CInt(InputBox("Ingiza N")) K = CInt(InputBox("Ingiza K ")) K = K + 1 ReDim X(N) Kwa i = 1 Hadi N X(i) = i Next txtOut.Text = "" ReDim Counter(K) Counter(0) = 1 SochGenerate 1 End Sub Private Sub SochGenerate( ByVal c Kama Nambari kamili) Dim i As Integer Dim j As Integer Dim n1 As Integer Dim Out() As Integer Dim X1() As Integer If c = K Kisha ReDim Out(K) X1 = X Kwa i = 1 Hadi K - 1 n1 = 0 Kwa j = 1 Hadi N Ikiwa X1(j)<>0 Kisha n1 = n1 + 1 Ikiwa n1 = Counter(i) Kisha Out(i) = X1(j) X1(j) = 0 Toka Kwa Mwisho Ikiwa Inayofuata txtOut.Text = txtOut.Text & CStr(Out(i)) Inayofuata txtOut.Text = txtOut.Text & vbCrLf Else For Counter(c) = Counter(c - 1) Hadi N - c + 1 SochGenerate c + 1 End Inayofuata Kama Mwisho Sub
KUONYESHA MCHANGANYIKO WA NAMBA ASILI
Ili kutatua matatizo mengi ya vitendo, ni muhimu kuorodhesha michanganyiko yote ya kardinali iliyowekwa ambayo inaweza kupatikana kutoka kwa vipengele vya seti fulani ya mwisho, na si tu kuamua idadi yao. Kwa kuzingatia uwezekano uliopo kila wakati wa kuhesabu nambari kamili ya vitu vya seti yoyote ya mwisho, katika hali nyingi inaruhusiwa kujiwekea kikomo kwa matumizi ya algoriti kwa kuhesabu mchanganyiko wa nambari asilia. Ya kawaida na rahisi zaidi ni algorithm ya kuorodhesha mchanganyiko wa nambari asilia mpangilio wa leksigrafia.
Ili kuelezea rasmi algorithm hii, ni rahisi kudhani kuwa seti kuu, mchanganyiko wote wa vipengele vya m ambavyo lazima viorodheshwe, huunda nambari za asili mfululizo kutoka 1 hadi n. Kisha mchanganyiko wowote wa m Kama matokeo ya kuagiza, thamani katika kila nafasi ya vekta kama hiyo ya mchanganyiko kawaida hugeuka kuwa mdogo kwa thamani kutoka juu na chini kama ifuatavyo. Algorithm ya leksigrafia huzalisha vekta kama hizo kwa mpangilio, kuanzia na vekta ndogo kabisa ya kimsamiati, ambapo nafasi zote zina viwango vifuatavyo vya chini vinavyowezekana vya vitu sawa na fahirisi zao: Kila vekta mseto mfululizo huundwa kutoka kwa ile ya sasa baada ya kuchanganua vipengele vyake kutoka kushoto kwenda kulia ili kupata kipengele cha kulia zaidi ambacho bado hakijafikia thamani yake ya kikomo: Thamani ya kipengele kama hicho inapaswa kuongezwa kwa 1. Kila kipengele kilicho upande wa kulia kinapaswa kupewa thamani ndogo iwezekanavyo, ambayo ni 1 kubwa kuliko jirani yake upande wa kushoto. Baada ya mabadiliko haya, vekta inayofuata ya mchanganyiko itakuwa na muundo wa msingi ufuatao: Kwa hivyo, vekta ya mchanganyiko inayofuata itakuwa kubwa zaidi kuliko ile iliyopita, kwani maadili ya vitu vyao vya awali (j1) ni sawa kwa thamani, na thamani ya kitu kwenye nafasi j ni 1 kubwa kuliko ile ya awali. . Uhusiano uliobainishwa wa kuongezeka kwa mpangilio wa leksigrafia umehakikishiwa kutoshelezwa katika marudio yote ya algoriti. Matokeo yake ni mfuatano unaoongezeka wa kileksigrafia, ambao hukamilishwa na vekta mseto mkubwa zaidi wa kimsamiati, ambapo vipengele katika nafasi zote vina maadili ya juu yafuatayo: Algorithm inayozingatiwa ya leksigrafia inaonyeshwa na mfano ufuatao, ambapo inahitajika kuorodhesha katika kuongeza mpangilio wa leksigrafia michanganyiko yote 15 ya nambari asilia ya n=6 kwa nambari za m=4, ambayo ni, sehemu ndogo zote za vipengele 4 vinavyowezekana vya uzalishaji mkuu. seti (1, 2, 3, 4, 5, 6) kutoka kwa vipengele 6. Matokeo ya hesabu yanawasilishwa kwenye jedwali lifuatalo: Katika mfano huu, maadili makubwa zaidi yanayoruhusiwa ya nambari katika nafasi za vekta za mchanganyiko ni, kwa mtiririko huo, 3, 4, 5 na 6. Kwa urahisi wa tafsiri ya matokeo, katika kila vekta ya mchanganyiko, kipengele cha kulia zaidi, ambacho kina. bado haijafikiwa thamani yake ya juu, imepigiwa mstari. Fahirisi za nambari za vekta mchanganyiko huamua nambari zao kwa mpangilio wa leksigrafia. Katika hali ya jumla, nambari ya leksigrafia N ya mchanganyiko wowote wa vitu vya n kwa m inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo, ambapo, kwa sababu za urembo, ishara ya Rufaa hutumiwa kuashiria nambari za mchanganyiko: Hasa, mahesabu yafuatayo kwa kutumia fomula hii kwa nambari ya mchanganyiko (1, 3, 4, 6) ya n=6 vipengele vya m=4 katika mpangilio wa leksigrafia yatatoa matokeo N=8, ambayo inalingana na mfano uliojadiliwa hapo juu: Katika hali ya jumla, kwa kutumia kitambulisho kwa jumla ya nambari za mchanganyiko wa fahirisi zote mbili, inawezekana kuonyesha kwamba idadi ya mchanganyiko mdogo wa kimsamiati (1, ... i, ... m) inapohesabiwa kwa kutumia hii. formula daima itakuwa sawa na 1: Ni dhahiri pia kwamba nambari ya mseto mkubwa zaidi wa kimsamiati (m, ... nm+i, ... n) inapokokotolewa kwa kutumia fomula hii itakuwa sawa na idadi ya michanganyiko ya vipengele vya n kwa m: Fomula ya kuhesabu nambari za mchanganyiko wa leksigrafia inaweza kutumika kutatua shida ya kinyume, ambapo unahitaji kuamua vekta ya mchanganyiko kwa nambari yake katika mpangilio wa leksigrafia. Ili kutatua shida kama hiyo ya kinyume, lazima iandikwe kwa namna ya equation, ambapo maadili yote yasiyojulikana ya vipengele vya vector ya mchanganyiko unaohitajika (C 1, ... C i, ... C m). ) hujilimbikizia nambari za mchanganyiko wa upande wake wa kulia, na tofauti inayojulikana L ya idadi ya mchanganyiko imeandikwa upande wa kushoto wa vitu vya n kila m na nambari ya mchanganyiko unaohitajika N: Suluhisho la equation hii hutolewa na algorithm ifuatayo ya "uchoyo", wakati wa marudio ambayo maadili ya vitu vya vekta ya mchanganyiko unaotaka huchaguliwa kwa mlolongo. Katika marudio ya awali, kiwango cha chini kinachowezekana (ndani ya mapungufu yake) thamani ya C 1 imechaguliwa, ambayo muda wa kwanza upande wa kulia utakuwa na thamani ya juu isiyozidi L: Sasa upande wa kushoto wa L unapaswa kupunguzwa na nambari ya kwanza ya mchanganyiko upande wa kulia na thamani iliyochaguliwa ya C 1, na vile vile kuamua thamani ya C 2 katika iteration ya pili: Vivyo hivyo, marudio yote yanayofuata yanapaswa kufanywa ili kuchagua maadili ya vitu vingine vyote C i ya mchanganyiko unaotaka, hadi kipengele cha mwisho C m: Kwa sababu za wazi, thamani ya kipengele cha mwisho C m inaweza kuamua kulingana na usawa wa idadi yake ya mchanganyiko kwa thamani ya mabaki ya upande wa kushoto wa L: Ikumbukwe kwamba thamani ya kipengele cha mwisho cha mchanganyiko C m inaweza kupatikana kwa urahisi zaidi, bila kuorodhesha maadili yake iwezekanavyo: Utekelezaji wa marudio ya algorithm inayozingatiwa inaonyeshwa na mfano ufuatao, ambapo inahitajika kuamua michanganyiko na nambari N=8 katika mpangilio wa leksigrafia, ikiwa n=6 na m=4: Uwezo wa algorithmic wa kuamua mchanganyiko kwa nambari fulani katika mpangilio wa leksigrafia unaweza kutumika katika mwelekeo tofauti. Hasa, wakati wa kuorodhesha mchanganyiko katika mpangilio wa lexigraphic, ni muhimu kuhakikisha kurudi kwa mchanganyiko wowote uliopatikana hapo awali, inatosha kujua idadi yake tu. Kwa kuongezea, inawezekana kutoa michanganyiko kwa mpangilio wowote, ambao unadhibitiwa na mlolongo uliopewa kiholela wa nambari zao za leksigrafia. Sasa tunawasilisha algorithm ya kutengeneza mchanganyiko kwa mpangilio wa leksikografia: 2 kwa i:= 1 hadi k kufanya A[i] := i; 5 anza kuandika(A, …, A[k]); 6 ikiwa A[k] = n basi p:= p 1 mwingine p:= k; 8 kwa i:= k downto p do A[i] := A[p] + i p + 1 MCHANGANYIKO NA VIPENGELE VYA KURUDIA Tofauti na mchanganyiko wa classical, ambapo vipengele vyote ni tofauti, mchanganyiko na marudio huunda uteuzi usio na utaratibu wa vipengele vya seti ya mwisho, ambapo kipengele chochote kinaweza kuonekana mara kwa mara mara kwa mara na si lazima kuwepo katika nakala moja. Katika kesi hii, idadi ya marudio ya vipengele kawaida hupunguzwa tu na urefu wa mchanganyiko, na mchanganyiko ambao hutofautiana katika angalau kipengele kimoja huzingatiwa tofauti. Kwa mfano, kwa kuchagua nambari 4 tofauti kwa hiari kutoka kwa seti 1, 2 na 3, unaweza kuunda mchanganyiko 15 ufuatao na marudio: 1111 1112 1113 1122 1123 1133 1222 1223 1233 1333 2222 2223 2233 2333 3333.
Kwa ujumla, mchanganyiko na marudio yanaweza kuundwa kwa kuchagua n vipengele vya aina za kiholela. Walakini, zinaweza kuhusishwa kila wakati na nambari za asili zinazofuatana kutoka 1 hadi n. Kisha mchanganyiko wowote wa m nambari tofauti kwa hiari katika safu hii inaweza kuandikwa kwa fomu ya vekta, na kuzipanga kwa mpangilio usiopungua kutoka kushoto kwenda kulia: Kwa kawaida, kwa fomu hii ya nukuu, vipengele vyovyote vya jirani vinaweza kuwa sawa kutokana na uwezekano wa kurudia ukomo. Walakini, kila mchanganyiko wa vekta yenye marudio ya vitu n kwa m inaweza kuhusishwa na vekta mchanganyiko wa (n+m-1) na m, ambayo imeundwa kama ifuatavyo: Ni wazi kuwa kwa maadili yoyote ya vitu vya vekta f, vitu vya vekta C vimehakikishwa kuwa tofauti na kuamuru madhubuti katika kuongeza mpangilio wa maadili yao kutoka safu kutoka 1 hadi (n+m1) : Kuwepo kwa mawasiliano ya moja kwa moja kati ya vipengele vya vekta mchanganyiko f na C huturuhusu kupendekeza njia rahisi ifuatayo ya kuorodhesha mchanganyiko kwa utaratibu na marudio ya vipengele vya n kwa m. Inahitajika tu kuorodhesha, kwa mfano, katika mpangilio wa leksigrafia, mchanganyiko wote wa C wa vitu (n+m1) vya m, ukibadilisha mlolongo wa vitu vya kila moja kuwa vitu vinavyolingana vya mchanganyiko na marudio f kwa kutumia fomula ifuatayo: Kama matokeo, mlolongo wa vekta za mchanganyiko na marudio ya vitu huundwa, ambayo hupangwa kwa mpangilio unaotokana na kuorodhesha mchanganyiko unaolingana bila marudio ya vitu. Hasa, ili kupata mlolongo wa juu wa mchanganyiko wa tarakimu 3 1, 2 na 3 na marudio ya tarakimu 4, ni muhimu kuorodhesha kwa mpangilio wa lexigraphic mchanganyiko wote bila marudio ya tarakimu 6 1,2,3,4,5. na 6 ni tarakimu 4 kila moja, na kuzibadilisha kama ilivyoonyeshwa. Mfano ufuatao unaonyesha ubadilishaji kama huu wa mchanganyiko (1,3,4,6) na nambari ya leksikografia 8: Mawasiliano ya moja kwa moja kati ya mchanganyiko na bila marudio ya vipengele inamaanisha kuwa seti zao zina nguvu sawa. Kwa hiyo, katika hali ya jumla, idadi ya mchanganyiko na marudio ya vipengele vya n kwa m ni sawa na idadi ya mchanganyiko bila marudio ya vipengele (n + m1) na m. Kwa kutumia ishara sawa kuashiria nambari za mchanganyiko na marudio f na bila marudio C, usawa huu unaweza kuandikwa kama ifuatavyo: Ni rahisi kuangalia kuwa kwa mfano uliozingatiwa hapo juu, ambapo n = 3 na m = 4, idadi ya mchanganyiko wa kurudia itakuwa sawa na 15, ambayo inaambatana na matokeo ya orodha yao ya moja kwa moja: Ikumbukwe kwamba, tofauti na toleo la kitamaduni, maadili ya vigezo vya mchanganyiko na marudio n na m hayahusiani moja kwa moja, kwa hivyo f(n,m)>0 kwa mchanganyiko wowote wa maadili yao mazuri. Masharti yanayolingana ya mipaka yamedhamiriwa kutoka kwa usawa kati ya maadili ya (n+m1) na (n1) au (n+m1) na m: Inapaswa pia kuwa dhahiri kabisa kwamba ikiwa m ni sawa na 1, basi hakuna marudio ya vipengele yanawezekana na, kwa hiyo, kwa thamani yoyote chanya ya n>0 usawa ufuatao utakuwa kweli: Kwa kuongezea, kwa idadi ya mchanganyiko na marudio ya maadili yoyote chanya ya n na m, uhusiano ufuatao wa kurudia ni halali, ambao ni sawa na kitambulisho cha kuongeza kwa idadi ya mchanganyiko bila marudio ya vitu: Kwa kweli, inabadilika kuwa kitambulisho cha nyongeza kilichoonyeshwa kwa uingizwaji rasmi wa nambari zinazolingana za mchanganyiko bila marudio katika pande zake za kushoto na kulia: Uhusiano unaozingatiwa wa kurudia unaweza kutumika kuamua kwa ufanisi idadi ya mchanganyiko na marudio, wakati ni muhimu kuondokana na shughuli za kazi kubwa za kuhesabu bidhaa za msingi na kuzibadilisha na shughuli rahisi za kuongeza. Katika kesi hii, ili kuhesabu thamani ya f(n,m), unahitaji tu kutumia uhusiano huu wa kujirudia hadi upate jumla ya masharti ya fomu f(1,m) na f(i,1), ambapo i inachukua maadili katika safu kutoka n hadi 1. Kwa ufafanuzi wa wingi maneno hayo ni sawa na 1 na i, mtawalia. Mfano ufuatao unaonyesha utumiaji wa mbinu hii ya mabadiliko kwa kesi ya n=3 na m=4: ORODHA MCHANGANYIKO WA BINARI Wakati wa kutekeleza mchanganyiko katika maunzi au programu katika lugha ya kusanyiko, ni muhimu kuweza kuchakata rekodi za mchanganyiko katika umbizo la binary. Katika kesi hii, mchanganyiko wowote wa vipengele vya n vya m unapaswa kubainishwa katika mfumo wa nambari ya binary ya n-bit (B n,...B j,...B 1), ambapo tarakimu za m zinaonyesha vipengele vya mchanganyiko, na tarakimu zilizobaki (nm) zina thamani sifuri. Ni wazi, na aina hii ya nukuu, michanganyiko tofauti lazima itofautiane katika mpangilio wa tarakimu 1, na kuna njia C(n,m) pekee za kupanga m ndio au (nm) sufuri katika seti ya n-bit ya binary. Kwa mfano, jedwali lifuatalo linaorodhesha michanganyiko yote 6 kama hiyo ya binary, ambayo hutoa nambari za binary 4 kwa michanganyiko yote ya vipengele 4 vya seti ya kiholela (E 1 , E 2 , E 3 , E 4 ) na 2: Katika hali ya jumla, kazi ya kuorodhesha michanganyiko hiyo ya binary inakuja kwenye utafutaji wa kimfumo wa seti zote za n-bit za binary zilizo na mipangilio tofauti ya biti za m moja na (nm) sifuri. Kwa fomu rahisi zaidi, utafutaji huo unatekelezwa na mbinu mbalimbali za kupitisha bits karibu na mabadiliko (algorithms ya mabadiliko ya transpositive). Hizi ni algoriti zinazorudiwa, na majina yao yanaonyesha asili ya shughuli zinazofanywa kwa kila hatua. Taratibu za kurudia za algoriti za kubadilisha-shift huunda mfuatano wa michanganyiko ya jozi ambayo huanza na seti ya jozi, ambapo zote hulimbikizwa katika tarakimu za mpangilio wa chini (upande wa kulia), na kuishia wakati 1 zote ziko katika tarakimu za mpangilio wa juu ( kushoto): Wakati zinalingana katika michanganyiko ya awali na ya mwisho, mfuatano huu hutofautiana katika mpangilio ambao seti za kati za binary zimeorodheshwa. Walakini, katika hali zote, kila mchanganyiko unaofuata wa binary huundwa kutoka kwa ule uliopita kama matokeo ya kufanya uhamishaji unaolingana na shughuli za kuhama. Wakati huo huo, algorithms mbalimbali za mabadiliko ya mabadiliko hutofautiana kwa njia ya kuchagua jozi ya bits kwa uhamishaji na kikundi cha bits kwa ajili ya kuhama. Umaalumu huu unajadiliwa hapa chini kwa algoriti za ubadilishaji na zamu ya kushoto na kulia. Katika algorithm ya ubadilishaji na zamu ya kushoto, katika kila hatua, mchanganyiko wa binary unaofuata unapatikana kutoka kwa sasa kwa kubadilisha jozi ya kushoto ya nambari 01 na 10 (ubadilishaji) na kuhamisha kikundi cha nambari zinazoongoza, ikiwa zipo, karibu na. jozi 10 zilizopatikana baada ya uhamisho (kuhama). Ikiwa katika kesi hii hakuna vitengo katika tarakimu zinazoongoza katika mchanganyiko wa sasa wa binary, basi mabadiliko hayafanyiki, hata wakati kitengo cha kuongoza kinapatikana baada ya uhamisho katika hatua hii. Mabadiliko pia hayafanyiki wakati hakuna sufuri katika bits muhimu zaidi kabla ya jozi 10 zilizopatikana baada ya uhamishaji. Vitendo vinavyozingatiwa vinaonyeshwa na mfano ufuatao wa kufanya marudio mawili mfululizo ya algorithm hii, ambapo kwa kurudia mara moja (15) ni uhamishaji tu (T"), na kwa marudio mengine (16) uhamishaji huongezewa na mabadiliko ( T"+S"): Katika algoriti ya ubadilishaji wa kulia-kulia, hatua zinazofanana kimawazo hufanywa kwa kila hatua. Ubadilishaji pekee ndio unaohakikisha kuwa sehemu za kulia kabisa za 01 zinabadilishwa na 10 (badala ya zile za kushoto kabisa), na kisha zile zote zilizo upande wake wa kulia huhamishiwa kwenye sehemu ndogo zaidi. Kama hapo awali, mabadiliko hufanywa tu ikiwa kuna vitengo ambavyo vinaweza kuhamishiwa kulia. Vitendo vinavyozingatiwa vinaonyeshwa na mfano ufuatao wa kufanya marudio mawili mfululizo ya algorithm hii, ambapo kwa kurudia mara moja (3) tu uhamishaji (T") hufanywa, na kwa marudio mengine (4) uhamishaji huongezewa na mabadiliko ( T"+S"): Ikumbukwe kwamba marudio ya algoriti zote mbili yanaweza kuandikwa katika hali ya nyongeza ikiwa michanganyiko ya jozi itafasiriwa kama nambari kamili katika mfumo wa nambari 2 Hasa, kwa algoriti ya uhamishaji yenye zamu ya kulia, kila mchanganyiko wa binary unaofuata (B" n ,…B" j , ...B" 1), inaweza kupatikana kila wakati kutoka kwa mchanganyiko wa sasa (B n,…B j,…B 1) kwa kutekeleza shughuli za kuongeza nambari kamili kwa kutumia fomula ya nyongeza ifuatayo: Katika fomula hii ya nyongeza, vielelezo vya nguvu za mbili f na t vinaashiria, mtawaliwa, idadi ya nambari za sifuri za mpangilio wa chini wa mchanganyiko wa sasa wa binary na idadi ya zile mfululizo hadi kushoto kwao. Kwa mfano, kwa mchanganyiko wa 4 wa binary (001110) wa n = tarakimu 6 f =1 na t =3. Kwa hivyo, kuhesabu mchanganyiko unaofuata wa binary kwa kutumia fomula ya nyongeza kwa kurudia 5 itatoa matokeo yafuatayo, sawa na kufanya shughuli za uhamishaji na zamu: Kwa uchanganuzi linganishi wa algoriti za ubadilishaji zinazozingatiwa na zamu za kushoto na kulia, inashauriwa kulinganisha mfuatano wa michanganyiko ya mfumo wa jozi ambayo hutoa katika marudio yao. Jedwali lifuatalo linaonyesha mlolongo kama huo wa mchanganyiko wa binary wa vipengele 4 vya 2, ambavyo hupatikana kwa algorithms ya kushoto (TSL) na kulia (TSR), mtawaliwa: Ukilinganisha mlolongo huu 2, unaweza kuona kuwa ni kioo cha nyuma. Hii inamaanisha kuwa michanganyiko yoyote miwili ya binary ambayo iko ndani yao kwa umbali sawa kutoka kwa ncha zinazopingana za mlolongo wao ni picha ya kioo ya kila mmoja, ambayo ni kwamba, zinapatana wakati indexing ya bits katika yoyote yao inabadilishwa. Kwa mfano, muundo wa pili wa mfumo wa jozi kutoka mwanzo wa mfuatano wa TSL (0101) ni taswira ya kioo ya muundo wa binary (1010) ambayo ni ya pili kutoka mwisho wa mfuatano wa TSR. Kwa ujumla, mchanganyiko wowote wa binary na nambari i ya mlolongo mmoja ni picha ya kioo ya mchanganyiko wa binary na nambari (ni+1) ya mlolongo mwingine. Uhusiano huu kati ya mfuatano huu ni tokeo la asili ya ulinganifu ya uhamishaji na shughuli za mabadiliko katika algoriti mbili zinazozingatiwa za kuhesabu michanganyiko ya binary. Ikumbukwe kwamba umbizo la binary pia linaweza kutumika kurekodi michanganyiko na marudio ya vipengele. Ili kufanya hivyo, inahitajika kuanzisha mawasiliano ya moja kwa moja kati ya mchanganyiko na marudio na mchanganyiko wa binary, ambayo imeundwa kama ifuatavyo. Hebu kuwe na mchanganyiko wa kiholela na marudio, ambayo hupatikana kwa kuchagua m vipengele tofauti kutoka kwa vipengele vya n vya seti ya kuzalisha. Ili kuanzisha mechi inayotaka, lazima kwanza uongeze vipengele vyote vya seti ya kutengeneza (paka) kwenye mchanganyiko, na kisha upange uunganisho unaosababishwa (aina) ili vipengele vyote vinavyofanana viwe kando. Matokeo yake ni mlolongo wa vipengele (n + m), ambapo kuna makundi ya n ya vipengele vinavyofanana. Kutakuwa na jumla ya (n+m1) mapungufu kati ya vipengele, kati ya ambayo kutakuwa na (n1) mapungufu kati ya makundi ya vipengele sawa na m mapungufu kati ya vipengele ndani ya vikundi. Kwa uwazi, unaweza kuweka alama "|" katika nafasi zilizoonyeshwa. na vivyo hivyo. Ikiwa sasa tunalinganisha 1 na nafasi kati ya vikundi (|) na 0 kwa nafasi zingine zote (), tunapata mchanganyiko wa binary. Inaundwa na seti ya binary ya (n + m1) bits, ambapo (n1) ni moja na bits m sifuri, eneo ambalo linalingana kipekee na mchanganyiko wa awali na marudio ya vipengele n kupitia m. Mbinu ya mabadiliko inayozingatiwa inaonyeshwa na mfano ufuatao wa kuunda mchanganyiko wa binary (1001101) kwa kutumia mchanganyiko na marudio (BBD), mambo ambayo huchaguliwa kutoka kwa seti ya kuzalisha ya herufi tano za kwanza za Kilatini: Kwa ujumla, idadi ya seti hizo za binary huamua idadi ya njia za kupanga (n1) ndio (au m zero) katika tarakimu za binary (n+m1). Thamani hii kwa hakika ni sawa na idadi ya michanganyiko kutoka (n+m1) kwa (n1) au kwa m, yaani, C(n+m1,n1) au C(n+m1,m), ambayo ni sawa na idadi ya michanganyiko yenye marudio f( n,m) ya vipengele vya n, m kila moja. Kwa hivyo, kuwa na mawasiliano ya moja hadi moja kati ya mchanganyiko na marudio na mchanganyiko wa binary, ni halali kupunguza hesabu ya mchanganyiko na marudio ya kuhesabu mchanganyiko wa binary, kwa mfano, kwa kutumia algorithms ya uhamishaji na mabadiliko ya kushoto au kulia. Baada ya hayo, unahitaji tu kurejesha mchanganyiko unaohitajika na marudio kwa kutumia mchanganyiko wa binary unaosababishwa. Hii inaweza kufanywa kila wakati kwa kutumia mbinu ifuatayo ya uokoaji. Wacha seti kuu, kutoka kwa vitu ambavyo mchanganyiko na marudio ya m sio lazima vitu tofauti viundwe, kuamuru kwa njia ya kiholela ili kila moja ya vitu vyake iwe na nambari fulani ya serial kutoka 1 hadi n. Wacha pia tutekeleze hesabu ya michanganyiko ya binary ya (n+m1) tarakimu za binary, ambapo (n1) ndio na tarakimu m sifuri. Kila mchanganyiko wa binary unaotokana unaweza kuongezwa upande wa kushoto na tarakimu ya kitengo cha uwongo, na tarakimu zote za kitengo zinaweza kuhesabiwa kutoka kushoto kwenda kulia na nambari kutoka 1 hadi n. Kisha idadi ya zero mfululizo baada ya kila kitengo cha i-th cha mchanganyiko wa binary itakuwa sawa na idadi ya matukio ya kipengele cha i-th cha seti kuu katika mchanganyiko unaofanana na marudio. Mbinu inayozingatiwa inaonyeshwa na mfano ufuatao, ambapo, kwa kutumia mchanganyiko wa binary (1001101), mchanganyiko na marudio ya BBD hurejeshwa, vipengele ambavyo huchaguliwa kutoka kwa seti ya kuzalisha ya barua tano za Kilatini, zilizoandikwa kwa utaratibu wa alfabeti. , na muhtasari unaonyesha vipengele ambavyo havipo katika mchanganyiko huu: Kwa kufanya vitendo sawa katika hali ya mfano huu, unaweza kuorodhesha michanganyiko yote 35 ya binary ambayo huunda seti za binary 7-bit, ambapo kuna 4 na sifuri 3, na kurejesha mchanganyiko unaolingana na marudio ya vipengele 5 vya 3. Katika combinatorics, wanasoma maswali kuhusu mchanganyiko ngapi wa aina fulani unaweza kufanywa kutoka kwa vitu vilivyopewa (vipengele). Kuzaliwa kwa combinatorics kama tawi kunahusishwa na kazi za B. Pascal na P. Fermat juu ya nadharia ya kamari. Mchango mkubwa katika maendeleo ya mbinu za ujumuishaji ulitolewa na G.V. Leibniz, J. Bernoulli na L. Euler. Mwanafalsafa wa Kifaransa, mwandishi, mwanahisabati na mwanafizikia Blaise Pascal (1623-1662) alionyesha uwezo wake bora wa hisabati mapema. Mapendeleo ya Pascal ya hisabati yalikuwa tofauti sana. Pascal alithibitisha jambo moja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) alikuwa mwanafalsafa wa Ujerumani, mwanahisabati, mwanafizikia na mvumbuzi, wakili, mwanahistoria, na mwanaisimu. Katika hisabati, pamoja na I. Newton, aliunda calculus tofauti na muhimu. Alitoa mchango muhimu kwa combinatorics. Jina lake, haswa, linahusishwa na shida za nadharia ya nambari. Gottfried Wilhelm Leibniz alikuwa na mwonekano mdogo wa kuvutia na kwa hivyo alitoa hisia ya mtu mwonekano wa kawaida. Siku moja huko Paris, aliingia katika duka la vitabu akiwa na matumaini ya kununua kitabu cha mwanafalsafa aliyemfahamu. Mgeni alipouliza kuhusu kitabu hiki, muuzaji-vitabu, baada ya kumchunguza kuanzia kichwani hadi miguuni, alisema hivi kwa dhihaka: “Kwa nini unakihitaji? Je, kweli unaweza kusoma vitabu kama hivi?” Kabla ya mwanasayansi huyo kupata wakati wa kujibu, mwandishi wa kitabu mwenyewe aliingia kwenye duka na maneno haya: "Salamu na heshima kwa Leibniz Mkuu!" Muuzaji hakuweza kuelewa kwamba hii ilikuwa kweli Leibniz maarufu, ambaye vitabu vyake vilikuwa na mahitaji makubwa kati ya wanasayansi. Katika siku zijazo, zifuatazo zitakuwa na jukumu muhimu Lema. Hebu katika seti ya vipengele, na katika seti - vipengele. Kisha idadi ya jozi zote tofauti ambapo itakuwa sawa na . Ushahidi. Hakika, kwa kipengele kimoja kutoka kwa seti tunaweza kufanya jozi hizo tofauti, na kwa jumla katika seti ya vipengele. Uwekaji, vibali, mchanganyiko Hebu tuwe na seti ya vipengele vitatu. Ni kwa njia gani tunaweza kuchagua viwili kati ya vipengele hivi? . Ufafanuzi. Mipangilio ya seti ya vipengele mbalimbali kwa vipengele ni michanganyiko inayoundwa na vipengele vilivyotolewa na > vipengele na hutofautiana ama katika vipengele vyenyewe au kwa mpangilio wa vipengele. Idadi ya mipangilio yote ya seti ya vipengele kwa vipengele inaonyeshwa na (kutoka kwa barua ya awali ya neno la Kifaransa "mpango", ambayo ina maana ya mpangilio), wapi na. Nadharia. Idadi ya uwekaji wa seti ya vipengele kwa vipengele ni sawa na Ushahidi. Tuseme tuna vipengele. Wacha iwe nafasi zinazowezekana. Tutaunda uwekaji huu kwa mlolongo. Kwanza, hebu tufafanue kipengele cha kwanza cha uwekaji. Kutoka kwa seti fulani ya vipengele inaweza kuchaguliwa kwa njia mbalimbali. Baada ya kuchagua kipengele cha kwanza, bado kuna njia za kuchagua kipengele cha pili, nk. Kwa kuwa kila chaguo kama hilo hutoa uwekaji mpya, chaguzi hizi zote zinaweza kuunganishwa kwa uhuru na kila mmoja. Kwa hivyo tunayo: Mfano. Ni kwa njia ngapi bendera inaweza kujumuisha mistari mitatu ya mlalo ya rangi tofauti ikiwa kuna nyenzo katika rangi tano? Suluhisho. Nambari inayohitajika ya bendera za bendi tatu: Ufafanuzi. Ruhusa ya seti ya vipengele ni mpangilio wa vipengele kwa utaratibu fulani. Kwa hivyo, vibali vyote tofauti vya seti ya vitu vitatu ni Idadi ya vibali vyote vya vipengele imeonyeshwa (kutoka kwa barua ya awali ya neno la Kifaransa "permutation", ambalo linamaanisha "ruhusa", "harakati"). Kwa hivyo, idadi ya vibali vyote tofauti huhesabiwa na formula Mfano. Kwa njia ngapi rooks zinaweza kuwekwa kwenye chessboard ili wasishambuliane? Suluhisho. Nambari inayohitajika ya rooks A-kipaumbele! Ufafanuzi. Mchanganyiko wa vipengele tofauti kwa vipengele ni mchanganyiko unaojumuisha vipengele vilivyotolewa na vipengele na hutofautiana katika angalau kipengele kimoja (kwa maneno mengine, -seti ndogo za vipengele vya seti fulani ya vipengele). Kama unaweza kuona, katika mchanganyiko, tofauti na uwekaji, mpangilio wa vitu hauzingatiwi. Idadi ya mchanganyiko wa vipengele, vipengele katika kila moja, imeonyeshwa (kutoka kwa barua ya awali ya neno la Kifaransa "mchanganyiko", ambalo linamaanisha "mchanganyiko"). Nambari Mchanganyiko wote kutoka kwa seti ya mbili ni . Sifa za nambari (\sf C)_n^k Hakika, kila -kipengele kidogo cha seti ya kipengele -kipengele kinalingana na kitengo kimoja tu cha kipengele kimoja cha seti sawa. Hakika, tunaweza kuchagua sehemu ndogo za vipengele kwa njia ifuatayo: kurekebisha kipengele kimoja; idadi ya -seti ndogo za kipengele zilizo na kipengele hiki ni sawa na ; idadi ya -seti ndogo zisizo na kipengele hiki ni sawa na . Pembetatu ya Pascal Katika pembetatu hii, nambari zilizokithiri katika kila safu ni sawa na 1, na kila nambari isiyo ya kupita kiasi ni sawa na jumla ya nambari mbili zilizo juu yake kutoka safu iliyotangulia. Kwa hivyo, pembetatu hii hukuruhusu kuhesabu nambari. Nadharia. Ushahidi. Wacha tuchunguze seti ya vitu na kutatua shida ifuatayo kwa njia mbili: ni mlolongo ngapi unaweza kufanywa kutoka kwa vitu vilivyopewa. 1 njia. Tunachagua mwanachama wa kwanza wa mlolongo, kisha wa pili, wa tatu, nk. mwanachama Mbinu 2. Wacha kwanza tuchague vitu kutoka kwa seti fulani, na kisha tupange kwa mpangilio fulani Zidisha nambari na denomineta ya sehemu hii kwa: Mfano. Ni kwa njia ngapi unaweza kuchagua nambari 5 kati ya 36 kwenye mchezo "Sportloto"? Idadi ya njia zinazohitajika Kazi. 1.
Sahani za leseni ya gari zinajumuisha herufi 3 za alfabeti ya Kirusi (herufi 33) na nambari 4. Je, kuna nambari ngapi tofauti za nambari za usajili? Sehemu zinazingatiwa tofauti ikiwa zinatofautiana kwa nambari au kwa mpangilio wa masharti yao. Je, kuna sehemu ngapi tofauti za nambari katika masharti? Idadi ya mchanganyiko Mchanganyiko kutoka n Na k inayoitwa seti k vipengele vilivyochaguliwa kutoka kwa data n vipengele. Seti ambazo hutofautiana tu kwa mpangilio wa vitu (lakini sio katika muundo) huchukuliwa kuwa sawa; Idadi ya mchanganyiko wa n Na k
sawa na mgawo wa binomial Kwa thamani isiyobadilika n kuzalisha kazi ya idadi ya michanganyiko na marudio kutoka n Na k ni: Kazi ya kuzalisha-dimensional mbili ya idadi ya mchanganyiko na marudio ni: Wikimedia Foundation. 2010. 70 sabini 67 68 69 70 71 72 73 40 50 60 70 80 90 100 Factorization: 2×5×7 Dokezo la Kirumi: LXX Binary: 100 0110 ... Wikipedia Nambari nyepesi, nambari ya masharti ambayo inaonyesha ya nje kwa njia ya kipekee hali wakati wa kupiga picha (kawaida mwangaza wa somo na unyeti wa picha ya nyenzo za picha zinazotumiwa). Thamani yoyote ya E. h inaweza kuchaguliwa mara kadhaa. nambari ya kipenyo cha mchanganyiko...... Kamusi kubwa ya Encyclopedic Polytechnic Aina ya nambari inayotofautisha vitu viwili katika uhusiano na kitu kimoja na kwa uhusiano na vitu vingi. Fomu hii haipo katika Kirusi ya kisasa, lakini mabaki ya ushawishi wake yanabaki. Kwa hivyo, mchanganyiko wa majedwali mawili (cf. wingi... ... Kamusi ya istilahi za lugha Hisabati ya mchanganyiko, hesabu, tawi la hisabati linalojitolea kutatua matatizo ya kuchagua na kupanga vipengele vya fulani, kawaida ya mwisho, iliyowekwa kwa mujibu wa sheria zilizotolewa. Kila sheria hiyo huamua njia ya ujenzi ... ... Encyclopedia ya hisabati Katika combinatorics, mchanganyiko wa by ni seti ya vipengele vilivyochaguliwa kutoka kwa seti fulani iliyo na vipengele tofauti. Seti ambazo hutofautiana tu kwa mpangilio wa vitu (lakini sio katika muundo) huchukuliwa kuwa sawa, mchanganyiko huu ... ... Wikipedia Kushiriki katika utafiti wa matukio ambayo tukio lake halijulikani kwa uhakika. Inaturuhusu kuhukumu busara ya kutarajia kutokea kwa matukio fulani ikilinganishwa na mengine, ingawa kugawa maadili ya nambari kwa uwezekano wa matukio mara nyingi sio lazima ... ... Encyclopedia ya Collier 1) sawa na uchambuzi wa mchanganyiko wa hisabati. 2) Sehemu ya hisabati ya msingi inayohusishwa na utafiti wa idadi ya michanganyiko, kulingana na hali fulani, ambayo inaweza kutengenezwa kutoka kwa seti maalum ya vitu ... ... Encyclopedia kubwa ya Soviet - (Paradoxos za Kigiriki zisizotarajiwa, za kushangaza) kwa maana pana: taarifa ambayo inatofautiana sana na maoni yanayokubalika kwa ujumla, yaliyothibitishwa, kukataa kile kinachoonekana kuwa "sahihi bila masharti"; kwa maana nyembamba, kauli mbili zinazopingana, kwa... ... Encyclopedia ya Falsafa - (au kanuni ya mjumuisho na kutengwa) fomula ya mchanganyiko ambayo hukuruhusu kuamua kardinali ya umoja wa idadi kamili ya seti za mwisho, ambazo kwa hali ya jumla zinaweza kuingiliana na kila mmoja ... Wikipedia Nadharia ya hisabati inayohusika na kuamua idadi ya njia tofauti za kusambaza vitu vilivyotolewa kwa utaratibu unaojulikana; ni muhimu hasa katika nadharia ya milinganyo na nadharia ya uwezekano. Kazi rahisi za aina hii ni ...... Kamusi ya Encyclopedic F.A. Brockhaus na I.A. Efron Katika makala hii tutazungumzia kuhusu tawi maalum la hisabati inayoitwa combinatorics. Fomula, sheria, mifano ya utatuzi wa shida - unaweza kupata haya yote hapa kwa kusoma kifungu hadi mwisho. Kwa hivyo sehemu hii ni nini? Combinatorics inahusika na suala la kuhesabu vitu vyovyote. Lakini katika kesi hii, vitu sio plums, pears au apples, lakini kitu kingine. Combinatorics hutusaidia kupata uwezekano wa tukio. Kwa mfano, wakati wa kucheza kadi - kuna uwezekano gani kwamba mpinzani ana kadi ya tarumbeta? Au mfano huu: kuna uwezekano gani kwamba utapata nyeupe kutoka kwa mfuko wa marumaru ishirini? Ni kwa aina hii ya shida ambayo tunahitaji kujua angalau misingi ya tawi hili la hisabati. Kwa kuzingatia suala la dhana za kimsingi na fomula za viunganishi, hatuwezi kusaidia lakini makini na usanidi wa pamoja. Wao hutumiwa sio tu kuunda, lakini pia kutatua mifano mbalimbali ya mifano hiyo ni: Tutazungumza juu ya tatu za kwanza kwa undani zaidi baadaye, lakini tutazingatia muundo na ugawaji katika sehemu hii. Wanapozungumza juu ya muundo wa nambari fulani (kwa mfano, a), wanamaanisha kuwakilisha nambari a kama jumla iliyoamriwa ya nambari fulani chanya. Na kizigeu ni jumla isiyopangwa. Kabla ya kuhamia moja kwa moja kwa fomula za ujumuishaji na uzingatiaji wa shida, inafaa kuzingatia ukweli kwamba combinatorics, kama matawi mengine ya hesabu, ina vifungu vyake. Hizi ni pamoja na: Katika kesi ya kwanza, tunazungumza juu ya viunganishi vya kihesabu; Kama sheria, vizuizi vingine vimewekwa kwa seti hizi (tofauti, kutofautisha, uwezekano wa kurudia, na kadhalika). Na idadi ya usanidi huu imehesabiwa kwa kutumia sheria za kuongeza au kuzidisha, ambazo tutazungumzia baadaye kidogo. Combinatorics za miundo ni pamoja na nadharia za grafu na matroids. Mfano wa tatizo la uchanganyaji uliokithiri ni upi kipimo kikubwa zaidi cha grafu ambacho kinakidhi sifa zifuatazo... Katika aya ya nne, tulitaja nadharia ya Ramsey, ambayo inachunguza uwepo wa miundo ya kawaida katika usanidi wa nasibu. Combinatorics zinazowezekana zinaweza kujibu swali - kuna uwezekano gani kwamba seti fulani ina mali fulani. Kama unavyoweza kudhani, michanganyiko ya kitolojia hutumia njia katika topolojia. Na hatimaye, hatua ya saba - combinatorics infinitary inasoma matumizi ya mbinu combinatorics kwa seti usio. Kati ya fomula za combinatorics unaweza kupata zile rahisi sana, ambazo tumezijua kwa muda mrefu sana. Mfano ni kanuni ya jumla. Tuseme kwamba tumepewa vitendo viwili (C na E), ikiwa ni vya kipekee, hatua C inaweza kufanywa kwa njia kadhaa (kwa mfano, a), na hatua E inaweza kufanywa kwa njia za b, basi yoyote kati yao ( C au E) inaweza kufanywa kwa njia a + b . Kwa nadharia, hii ni ngumu sana kuelewa; tutajaribu kuwasilisha hoja nzima kwa kutumia mfano rahisi. Wacha tuchukue wastani wa idadi ya wanafunzi katika darasa moja - tuseme ni ishirini na tano. Miongoni mwao ni wasichana kumi na tano na wavulana kumi. Mtu mmoja wa zamu hupewa kila darasa kila siku. Je, kuna njia ngapi za kuteua mfuatiliaji wa darasa leo? Suluhisho la shida ni rahisi sana; Nakala ya shida haisemi kwamba wavulana tu au wasichana pekee wanaweza kuwa kazini. Kwa hiyo, inaweza kuwa msichana yeyote kati ya wale kumi na tano au yeyote kati ya wavulana kumi. Kutumia kanuni ya jumla, tunapata mfano rahisi ambao mwanafunzi wa shule ya msingi anaweza kushughulikia kwa urahisi: 15 + 10. Baada ya kuhesabu, tunapata jibu: ishirini na tano. Hiyo ni, kuna njia ishirini na tano tu za kugawa darasa la zamu kwa leo. Kanuni za msingi za combinatorics pia zinajumuisha sheria ya kuzidisha. Hebu tuanze na nadharia. Wacha tuseme tunahitaji kufanya vitendo kadhaa (a): hatua ya kwanza inafanywa kwa njia 1, ya pili - kwa njia 2, ya tatu - kwa njia 3, na kadhalika hadi hatua ya mwisho, iliyofanywa kwa njia 3. Kisha vitendo hivi vyote (ambavyo tuna jumla) vinaweza kufanywa kwa njia za N. Jinsi ya kuhesabu N haijulikani? Fomula itatusaidia kwa hili: N = c1 * c2 * c3 *…* ca. Tena, hakuna kitu kilicho wazi katika nadharia, basi hebu tuendelee kuzingatia mfano rahisi wa kutumia sheria ya kuzidisha. Hebu tuchukue darasa moja la watu ishirini na watano, ambao kuna wasichana kumi na tano na wavulana kumi. Wakati huu tu tunahitaji kuchagua watu wawili juu ya zamu. Wanaweza kuwa wavulana au wasichana tu, au mvulana na msichana. Wacha tuendelee kwenye suluhisho la msingi la shida. Tunachagua mtu wa kwanza kazini, kama tulivyoamua katika aya ya mwisho, tunapata chaguzi ishirini na tano zinazowezekana. Mtu wa pili kwenye zamu anaweza kuwa mtu yeyote kati ya waliobaki. Tulikuwa na wanafunzi ishirini na watano, tulichagua mmoja, ambayo ina maana mtu wa pili wa zamu anaweza kuwa yeyote kati ya watu ishirini na wanne waliobaki. Hatimaye, tunatumia kanuni ya kuzidisha na kupata kwamba maafisa wawili walio zamu wanaweza kuchaguliwa kwa njia mia sita. Tulipata nambari hii kwa kuzidisha ishirini na tano na ishirini na nne. Sasa tutaangalia formula nyingine ya combinatorics. Katika sehemu hii ya kifungu tutazungumza juu ya vibali. Tunapendekeza mara moja kuzingatia tatizo kwa kutumia mfano. Wacha tuchukue mipira ya billiard, tunayo nambari ya nth. Tunahitaji kuhesabu ni chaguzi ngapi za kuzipanga kwa safu, ambayo ni, kuunda seti iliyoagizwa. Wacha tuanze, ikiwa hatuna mipira, basi pia tuna chaguzi za sifuri za uwekaji. Na ikiwa tuna mpira mmoja, basi mpangilio pia ni sawa (kihisabati hii inaweza kuandikwa kama ifuatavyo: P1 = 1). Mipira miwili inaweza kuwekwa kwa njia mbili tofauti: 1,2 na 2,1. Kwa hiyo, P2 = 2. Mipira mitatu inaweza kupangwa kwa njia sita (P3 = 6): 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2. Ikiwa hakuna mipira mitatu kama hiyo, lakini kumi au kumi na tano? Itachukua muda mrefu sana kuorodhesha chaguzi zote zinazowezekana, kisha combinatorics hutusaidia. Fomula ya vibali itatusaidia kupata jibu la swali ambalo linatuvutia. Pn = n *P (n-1). Ikiwa tunajaribu kurahisisha formula, tunapata: Pn = n* (n - 1) *…* 2 * 1. Na hii ni bidhaa ya namba za kwanza za asili. Nambari hii inaitwa factorial, na inaonyeshwa kama n! Hebu fikiria tatizo. Kila asubuhi mshauri anapanga kikosi chake (watu ishirini). Kuna marafiki watatu bora kwenye kikosi - Kostya, Sasha na Lesha. Kuna uwezekano gani kwamba watasimama karibu na kila mmoja? Ili kupata jibu la swali, unahitaji kugawanya uwezekano wa matokeo "nzuri" kwa jumla ya idadi ya matokeo. Jumla ya vibali ni 20! = Milioni 2.5. Jinsi ya kuhesabu idadi ya matokeo "nzuri"? Wacha tufikirie kwamba Kostya, Sasha na Lesha ni superman mmoja. Kisha tuna masomo kumi na nane tu. Idadi ya vibali katika kesi hii ni 18 = 6.5 quadrillion. Pamoja na haya yote, Kostya, Sasha na Lesha wanaweza kusonga kati yao kiholela katika tatu zao zisizoweza kugawanyika, na hiyo ni 3 zaidi! = 6 chaguzi. Hii ina maana kwamba tuna mipango 18 "nzuri" kwa jumla! * 3! Tunachopaswa kufanya ni kupata uwezekano unaotaka: (18! * 3!) / 20! Ambayo ni sawa na takriban 0.016. Ikiwa imebadilishwa kuwa asilimia, inageuka kuwa 1.6% tu. Sasa tutaangalia formula nyingine muhimu sana na muhimu ya combinatorics. Uwekaji ni toleo letu linalofuata, ambalo tunakualika uzingatie katika sehemu hii ya kifungu. Tunaenda kwa matatizo. Tuseme tunataka kuzingatia vibali vinavyowezekana, sio kutoka kwa seti nzima (n), lakini kutoka kwa ndogo (m). Hiyo ni, tunazingatia vibali vya vitu vya n na m. Kanuni za msingi za combinatorics hazipaswi kukariri tu, lakini zieleweke. Ingawa zinakuwa ngumu zaidi, kwani hatuna paramu moja, lakini mbili. Tuseme kwamba m = 1, kisha A = 1, m = 2, kisha A = n * (n - 1). Ikiwa sisi zaidi kurahisisha formula na kubadili nukuu kwa kutumia factorials, sisi kupata formula laconic kabisa: A = n! / (n - m)! Tulikagua takriban fomula zote za msingi za mchanganyiko kwa mifano. Sasa hebu tuendelee kwenye hatua ya mwisho ya kuzingatia kozi ya msingi ya combinatorics - kupata kujua mchanganyiko. Sasa tutachagua vitu m kutoka kwa n tuliyo nayo, na tutachagua kila kitu kwa kila njia iwezekanavyo. Je, hii ni tofauti gani na uwekaji? Hatutazingatia utaratibu. Seti hii ambayo haijapangwa itakuwa mchanganyiko. Hebu tujulishe mara moja nukuu: C. Tunachukua uwekaji wa mipira ya m nje ya n. Tunaacha kuzingatia kuagiza na kuishia na mchanganyiko wa kurudia. Ili kupata idadi ya mchanganyiko tunahitaji kugawanya idadi ya uwekaji na m! (m factorial). Hiyo ni, C = A / m! Kwa hivyo, kuna njia chache tu za kuchagua kutoka kwa n mipira, ambayo ni takriban sawa na idadi ya njia za kuchagua karibu zote. Kuna usemi wa kimantiki kwa hili: kuchagua kidogo ni sawa na kutupa karibu kila kitu. Pia ni muhimu kutaja katika hatua hii kwamba idadi kubwa ya mchanganyiko inaweza kupatikana wakati wa kujaribu kuchagua nusu ya vitu. Tulichunguza kwa undani kanuni za msingi za combinatorics: uwekaji, vibali na mchanganyiko. Sasa kazi yetu ni kuwezesha uteuzi wa formula muhimu ya kutatua tatizo la combinatorics. Unaweza kutumia mpango ufuatao rahisi sana: Tuliangalia vipengele vya combinatorics, fomula na masuala mengine. Sasa hebu tuendelee kufikiria tatizo halisi. Fikiria kuwa una kiwi, machungwa na ndizi mbele yako. Swali la kwanza: ni kwa njia ngapi zinaweza kupangwa upya? Ili kufanya hivyo, tutatumia formula ya vibali: P = 3! = Njia 6. Swali la pili: ni kwa njia ngapi unaweza kuchagua tunda moja? Hii ni dhahiri, tuna chaguo tatu tu - chagua kiwi, machungwa au ndizi, lakini hebu tutumie mchanganyiko wa mchanganyiko: C = 3! / (2! * 1!) = 3. Swali la tatu: ni kwa njia ngapi unaweza kuchagua matunda mawili? Je, tuna chaguzi gani hata? Kiwi na machungwa; kiwi na ndizi; machungwa na ndizi. Hiyo ni, kuna chaguzi tatu, lakini hii ni rahisi kuangalia kwa kutumia mchanganyiko wa mchanganyiko: C = 3! / (1! * 2!) = 3 Swali la nne: ni kwa njia ngapi unaweza kuchagua matunda matatu? Kama unaweza kuona, kuna njia moja tu ya kuchagua matunda matatu: kuchukua kiwi, machungwa na ndizi. c = 3! / (0! * 3!) = 1. Swali la tano: ni kwa njia ngapi unaweza kuchagua angalau tunda moja? Hali hii ina maana kwamba tunaweza kuchukua matunda moja, mawili au yote matatu. Kwa hiyo, tunaongeza C1 + C2 + C3 = 3 + 3 + 1 = 7. Hiyo ni, tuna njia saba za kuchukua angalau matunda moja kutoka kwenye meza. Hebu tuhesabu katika MS EXCEL idadi ya mchanganyiko wa vipengele vya n kwa k. Kwa kutumia fomula, tutaonyesha kwenye laha anuwai zote za mchanganyiko (Tafsiri ya Kiingereza ya neno: Mchanganyiko bila kurudiwa). Mchanganyiko wa vipengele n tofauti vya vipengele vya k ni mchanganyiko ambao hutofautiana katika angalau kipengele kimoja. Kwa mfano, hapa chini kuna michanganyiko YOTE ya vipengele 3 kutoka kwa seti inayojumuisha vipengele 5 (1; 2; 3; 4; 5): (1; 2; 3); (1; 2; 4); (1; 2; 5); (1; 3; 4); (1; 3; 5); (1; 4; 5); (2; 3; 4); (2; 3; 5); (2; 4; 5); (3; 4; 5) Kumbuka: Hii ni makala kuhusu kuhesabu idadi ya mchanganyiko kwa kutumia MS EXCEL. Tunapendekeza kusoma misingi ya kinadharia katika kitabu maalum cha maandishi. Kujifunza mchanganyiko kutoka kwa nakala hii ni wazo mbaya. Katika faili ya mfano, fomula huundwa ili kuonyesha Mchanganyiko wote wa n na k. Kwa kutaja idadi ya vipengele vya seti (n) na idadi ya vipengele ambavyo tunachagua kutoka kwake (k), kwa kutumia fomula tunaweza kuonyesha Mchanganyiko wote. Kisafirishaji cha gari kinaweza kusafirisha magari 4. Ni muhimu kusafirisha magari 7 tofauti (LADA Granta, Hyundai Solaris, KIA Rio, Renault Duster, Lada Kalina, Volkswagen Polo, Lada Largus). Je, kisafirishaji cha kwanza cha gari kinaweza kujazwa kwa njia ngapi tofauti? Mahali maalum ya gari katika usafiri wa gari sio muhimu. Tunahitaji kuamua nambari Mchanganyiko Magari 7 kwenye sehemu 4 za kisafirishaji cha gari. Wale. n=7, na k=4. Inatokea kwamba kuna chaguo 35 vile = NUMCOMB (7,4).
kutoka kwa nadharia za msingi za jiometri ya makadirio (nadharia ya Pascal), iliyoundwa na mashine ya kujumlisha (mashine ya kuongeza ya Pascal), ilitoa njia ya kuhesabu mgawo wa binomial (pembetatu ya Pascal), ilikuwa ya kwanza kufafanua kwa usahihi na kutumia njia ya introduktionsutbildning ya hisabati kwa uthibitisho, ilichukua hatua muhimu katika maendeleo ya uchambuzi usio na kikomo, ilichukua jukumu muhimu katika kuibuka kwa nadharia ya uwezekano. Katika hydrostatics, Pascal alianzisha sheria yake ya msingi (sheria ya Pascal). "Barua kwa Mkoa" ya Pascal ilikuwa kazi bora ya nathari ya zamani ya Ufaransa.
seti katika kila moja ambayo hakuna kipengele kinachoonekana mara mbili?
2.
Kuna funguo 88 kwenye piano. Je, ni kwa njia ngapi unaweza kutoa sauti 6 mfululizo?
3.
Je, kuna nambari ngapi za tarakimu sita zinazoweza kugawanywa na 5?
4.
Ni kwa njia ngapi sarafu 7 tofauti zinaweza kuwekwa kwenye mifuko mitatu?
5.
Ni nambari ngapi za tarakimu tano unaweza kutengeneza ambazo zina tarakimu 5 angalau mara moja katika nukuu zao za desimali?
6.
Kwa njia ngapi watu 20 wanaweza kuketi kwenye meza ya pande zote, kwa kuzingatia njia za kuwa sawa, ikiwa wanaweza kupatikana moja kutoka kwa wengine kwa kusonga kwenye mduara?
7.
Je, kuna nambari ngapi za tarakimu tano ambazo zinaweza kugawanywa na 5 na hazina tarakimu zinazofanana?
8.
Kwenye karatasi ya checkered yenye upande wa seli ya 1 cm, mduara wa radius 100 cm hutolewa ambayo haipiti kwenye sehemu za juu za seli na haigusa pande za seli. Je, mduara huu unaweza kukatiza seli ngapi?
9.
Ni kwa njia ngapi nambari zinaweza kupangwa kwa safu ili nambari ziwe karibu na kwa mpangilio wa kupanda?
10.
Ni nambari ngapi za tarakimu tano zinaweza kufanywa kutoka kwa tarakimu ikiwa kila tarakimu inaweza kutumika mara moja tu?
11.
Kutoka kwa neno ROT, kwa kupanga upya barua, unaweza kupata maneno yafuatayo: TOP, ORT, OTR, TRO, RTO. Wanaitwa anagrams. Je, unaweza kutengeneza anagram ngapi kutoka kwa neno LOGARITHM?
12.
Hebu piga simu kugawanyika nambari asilia, uwakilishi wake kama jumla ya nambari asilia. Hapa, kwa mfano, kuna sehemu zote za nambari:
13.
Je, kuna nambari ngapi za tarakimu tatu na mpangilio wa tarakimu usioongezeka?
14.
Je, kuna nambari ngapi za tarakimu nne na mpangilio wa tarakimu usioongezeka?
15.
Ni kwa njia ngapi watu 17 wanaweza kuketishwa kwa safu ili waishie ubavu?
16.
wasichana na wavulana wameketi bila mpangilio katika safu ya viti. Je! wanaweza kuketi kwa njia ngapi ili wasichana wawili wasiketi karibu na kila mmoja?
17.
wasichana na wavulana wameketi bila mpangilio katika safu ya viti. Ni kwa njia ngapi wanaweza kuketi ili wasichana wote wakae karibu na kila mmoja?Fomula wazi
Viungo
Tazama "Idadi ya mchanganyiko" ni nini katika kamusi zingine:
Vitabu
Mipangilio ya mchanganyiko
Sehemu
Kanuni ya nyongeza
Kanuni ya kuzidisha
Kupanga upya
Malazi
Mchanganyiko
Jinsi ya kuchagua formula ya kutatua tatizo?
Mfano
Tofauti kati ya Mchanganyiko na Uwekaji
Inaonyesha michanganyiko yote ya Mchanganyiko
Kazi