Nadharia ya uwezekano ni tawi huru la hisabati. Katika kozi ya shule, nadharia ya uwezekano inajadiliwa juu juu sana, lakini katika Mtihani wa Jimbo Pamoja na Chuo cha Mitihani ya Jimbo kuna shida juu ya mada hii. Walakini, kutatua shida za kozi ya shule sio ngumu sana (angalau kama shughuli za hesabu zinahusika) - hapa hauitaji kuhesabu derivatives, kuchukua viunga na kutatua mabadiliko magumu ya trigonometric - jambo kuu ni kuweza kushughulikia nambari kuu. na sehemu.
Nadharia ya uwezekano - masharti ya msingi
Masharti kuu ya nadharia ya uwezekano ni mtihani, matokeo na tukio la nasibu. Jaribio la nadharia ya uwezekano ni jaribio - kutupa sarafu, kuchora kadi, kuchora kura - yote haya ni majaribio. Matokeo ya mtihani, kama unaweza kuwa umekisia, inaitwa matokeo.
Tukio la nasibu ni lipi? Katika nadharia ya uwezekano, inadhaniwa kuwa mtihani unafanywa zaidi ya mara moja na kuna matokeo mengi. Tukio la nasibu ni seti ya matokeo ya jaribio. Kwa mfano, ikiwa unatupa sarafu, matukio mawili ya random yanaweza kutokea - vichwa au mikia.
Usichanganye dhana za matokeo na tukio la nasibu. Matokeo ni matokeo ya jaribio moja. Tukio la nasibu ni seti ya matokeo yanayowezekana. Kwa njia, kuna neno kama tukio lisilowezekana. Kwa mfano, tukio "kusonga nambari 8" kwenye kete ya kawaida haliwezekani.
Jinsi ya kupata uwezekano?
Sote kwa ufupi tunaelewa uwezekano ni nini, na mara nyingi tunatumia neno hili katika msamiati wetu. Kwa kuongeza, tunaweza hata kufikia hitimisho fulani kuhusu uwezekano wa tukio fulani, kwa mfano, ikiwa kuna theluji nje ya dirisha, tunaweza kusema kwamba sio majira ya joto. Walakini, tunawezaje kuelezea dhana hii kwa nambari?
Ili kutambulisha fomula ya kupata uwezekano, tunatanguliza dhana moja zaidi - matokeo yanayofaa, yaani, matokeo ambayo yanafaa kwa tukio fulani. Ufafanuzi ni utata kabisa, bila shaka, lakini kulingana na hali ya tatizo daima ni wazi ambayo matokeo ni mazuri.
Kwa mfano: Kuna watu 25 darasani, watatu kati yao ni Katya. Mwalimu anampa Olya kazi, na anahitaji mwenzi. Kuna uwezekano gani kwamba Katya atakuwa mwenzi wako?
Katika mfano huu, matokeo mazuri ni mpenzi Katya. Tutatua tatizo hili baadaye kidogo. Lakini kwanza, kwa kutumia ufafanuzi wa ziada, tunatanguliza fomula ya kupata uwezekano.
- P = A/N, ambapo P ni uwezekano, A ni idadi ya matokeo mazuri, N ni jumla ya idadi ya matokeo.
Matatizo yote ya shule yanahusu fomula hii moja, na ugumu kuu kwa kawaida huwa katika kupata matokeo. Wakati mwingine ni rahisi kupata, wakati mwingine sio sana.
Jinsi ya kutatua shida za uwezekano?
Tatizo 1
Kwa hivyo sasa hebu tutatue shida hapo juu.
Idadi ya matokeo mazuri (mwalimu atachagua Katya) ni tatu, kwa sababu kuna Katyas tatu katika darasa, na matokeo ya jumla ni 24 (25-1, kwa sababu Olya tayari amechaguliwa). Kisha uwezekano ni: P = 3/24=1/8=0.125. Kwa hivyo, uwezekano kwamba mpenzi wa Olya atakuwa Katya ni 12.5%. Si vigumu, sawa? Wacha tuangalie kitu ngumu zaidi.
Tatizo 2
Sarafu ilitupwa mara mbili, kuna uwezekano gani wa kupata kichwa kimoja na mkia mmoja?
Kwa hivyo, fikiria matokeo ya jumla. Sarafu zinawezaje kutua - vichwa/vichwa, mikia/mkia, vichwa/mkia, mikia/vichwa? Hii ina maana kwamba jumla ya idadi ya matokeo ni 4. Ni matokeo mangapi mazuri? Mbili - vichwa / mikia na mikia / vichwa. Kwa hivyo, uwezekano wa kupata mchanganyiko wa vichwa / mikia ni:
- P = 2/4 = 0.5 au asilimia 50.
Sasa tuangalie tatizo hili. Masha ana sarafu 6 mfukoni mwake: mbili zilizo na thamani ya uso ya rubles 5 na nne na thamani ya uso ya rubles 10. Masha alihamisha sarafu 3 kwenye mfuko mwingine. Kuna uwezekano gani kwamba sarafu za ruble 5 zitaisha kwenye mifuko tofauti?
Kwa unyenyekevu, hebu tuteue sarafu kwa nambari - 1,2 - sarafu za ruble tano, 3,4,5,6 - sarafu za ruble kumi. Kwa hivyo, sarafu zinawezaje kuwa kwenye mfuko wako? Kuna mchanganyiko 20 kwa jumla:
- 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.
Kwa mtazamo wa kwanza, inaweza kuonekana kuwa mchanganyiko fulani haupo, kwa mfano, 231, lakini kwa upande wetu, mchanganyiko 123, 231 na 321 ni sawa.
Sasa tunahesabu ni matokeo ngapi mazuri tunayo. Kwao tunachukua michanganyiko hiyo ambayo ina nambari 1 au nambari 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Kuna 12 kati yao uwezekano ni sawa na:
- P = 12/20 = 0.6 au 60%.
Shida za uwezekano zilizowasilishwa hapa ni rahisi sana, lakini usifikirie kuwa uwezekano ni tawi rahisi la hisabati. Ikiwa unaamua kuendelea na masomo yako katika chuo kikuu (isipokuwa ubinadamu), hakika utakuwa na madarasa katika hisabati ya juu, ambayo utatambulishwa kwa masharti magumu zaidi ya nadharia hii, na kazi zitakuwa ngumu zaidi. .
Tupende tusipende, maisha yetu yamejaa kila aina ya aksidenti, zenye kupendeza na zisizopendeza sana. Kwa hivyo, haitaumiza kila mmoja wetu kujua jinsi ya kupata uwezekano wa tukio fulani. Hii itakusaidia kufanya maamuzi sahihi chini ya hali yoyote inayohusisha kutokuwa na uhakika. Kwa mfano, ujuzi huo utakuwa muhimu sana wakati wa kuchagua chaguzi za uwekezaji, kutathmini uwezekano wa kushinda hisa au bahati nasibu, kuamua ukweli wa kufikia malengo ya kibinafsi, nk, nk.
Fomula ya nadharia ya uwezekano
Kimsingi, kusoma mada hii haichukui muda mwingi. Ili kupata jibu la swali: "Jinsi ya kupata uwezekano wa jambo?", Unahitaji kuelewa dhana muhimu na kukumbuka kanuni za msingi ambazo hesabu inategemea. Kwa hivyo, kwa mujibu wa takwimu, matukio yaliyo chini ya utafiti yanaonyeshwa na A1, A2, ..., An. Kila moja yao ina matokeo mazuri (m) na jumla ya idadi ya matokeo ya kimsingi. Kwa mfano, tunavutiwa na jinsi ya kupata uwezekano kwamba kutakuwa na idadi hata ya alama kwenye upande wa juu wa mchemraba. Kisha A ni safu ya m - inayotoa alama 2, 4 au 6 (chaguzi tatu zinazofaa), na n ni chaguzi zote sita zinazowezekana.
Njia ya hesabu yenyewe ni kama ifuatavyo.
Kwa matokeo moja kila kitu ni rahisi sana. Lakini jinsi ya kupata uwezekano ikiwa matukio yanatokea moja baada ya nyingine? Fikiria mfano huu: kadi moja inaonyeshwa kutoka kwenye staha ya kadi (vipande 36), kisha imefichwa nyuma kwenye staha, na baada ya kuchanganya, inayofuata hutolewa nje. Jinsi ya kupata uwezekano kwamba angalau katika kesi moja malkia wa spades alitolewa? Kuna sheria ifuatayo: ikiwa tukio la ngumu linazingatiwa, ambalo linaweza kugawanywa katika matukio kadhaa rahisi yasiyolingana, basi unaweza kwanza kuhesabu matokeo kwa kila mmoja wao, na kisha uwaongeze pamoja. Kwa upande wetu itaonekana kama hii: 1/36 + 1/36 = 1/18. Lakini ni nini hufanyika wakati kadhaa hutokea wakati huo huo? Kisha tunazidisha matokeo! Kwa mfano, uwezekano kwamba sarafu mbili zinapotupwa kwa wakati mmoja, vichwa viwili vitaonekana itakuwa sawa na: ½ * ½ = 0.25.
Sasa hebu tuchukue mfano ngumu zaidi. Tuseme tumeingia kwenye bahati nasibu ya kitabu ambayo tikiti kumi kati ya thelathini zinashinda. Unahitaji kuamua:
- Uwezekano kwamba wote wawili watakuwa washindi.
- Angalau mmoja wao ataleta tuzo.
- Wote wawili watakuwa wenye hasara.
Kwa hiyo, hebu fikiria kesi ya kwanza. Inaweza kugawanywa katika matukio mawili: tiketi ya kwanza itakuwa na bahati, na ya pili pia itakuwa na bahati. Hebu tuzingatie kwamba matukio yanategemea, kwa kuwa baada ya kila kuvuta jumla ya idadi ya chaguzi hupungua. Tunapata:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
Katika kesi ya pili, utahitaji kuamua uwezekano wa tikiti iliyopotea na uzingatie kuwa inaweza kuwa ya kwanza au ya pili: 10/30 * 20/29 + 20/29 * 10/30 = 0.4598.
Hatimaye, kesi ya tatu, wakati hutaweza kupata hata kitabu kimoja kutoka kwa bahati nasibu: 20/30 * 19/29 = 0.4368.
Ninaelewa kuwa kila mtu anataka kujua mapema jinsi tukio la michezo litaisha, nani atashinda na nani atashindwa. Kwa habari hii, unaweza kuweka dau kwenye hafla za michezo bila woga. Lakini inawezekana, na ikiwa ni hivyo, jinsi ya kuhesabu uwezekano wa tukio?
Uwezekano ni thamani ya jamaa, kwa hiyo haiwezi kuzungumza kwa uhakika kuhusu tukio lolote. Thamani hii hukuruhusu kuchanganua na kutathmini hitaji la kuweka dau kwenye shindano fulani. Kuamua uwezekano ni sayansi nzima ambayo inahitaji kusoma kwa uangalifu na kuelewa.
Mgawo wa uwezekano katika nadharia ya uwezekano
Katika kamari ya michezo, kuna chaguzi kadhaa za matokeo ya mashindano:
- ushindi wa timu ya kwanza;
- ushindi wa timu ya pili;
- kuchora;
- jumla
Kila matokeo ya shindano ina uwezekano wake na mzunguko ambao tukio hili litatokea, mradi tu sifa za awali zinadumishwa. Kama tulivyosema hapo awali, haiwezekani kuhesabu kwa usahihi uwezekano wa tukio lolote - linaweza au la sanjari. Kwa hivyo, dau lako linaweza kushinda au kushindwa.
Hakuwezi kuwa na utabiri sahihi wa 100% wa matokeo ya mashindano, kwani mambo mengi huathiri matokeo ya mechi. Kwa kawaida, wasiohalali hawajui matokeo ya mechi mapema na huchukua tu matokeo, wakifanya maamuzi kwa kutumia mfumo wao wa uchanganuzi na kutoa uwezekano fulani wa kuweka kamari.
Jinsi ya kuhesabu uwezekano wa tukio?
Hebu tuchukue kwamba tabia mbaya ya bookmaker ni 2.1 / 2 - tunapata 50%. Inatokea kwamba mgawo 2 ni sawa na uwezekano wa 50%. Kwa kutumia kanuni hiyo hiyo, unaweza kupata mgawo wa uwezekano wa kuvunja-hata - 1/uwezekano.
Wachezaji wengi wanafikiria kuwa baada ya kushindwa mara kadhaa, ushindi utatokea - hii ni maoni potofu. Uwezekano wa kushinda dau hautegemei idadi ya hasara. Hata ikiwa unageuza vichwa kadhaa mfululizo kwenye mchezo wa sarafu, uwezekano wa kupindua mkia unabaki sawa - 50%.
Kujua jinsi ya kukadiria uwezekano wa tukio kulingana na uwezekano ni muhimu ili kuchagua dau sahihi. Iwapo huelewi jinsi ya kubadilisha odd za mtayarishaji wa vitabu kuwa uwezekano, hutaweza kamwe kubainisha jinsi uwezekano wa mtunza hazina kulinganisha na uwezekano halisi wa tukio kutokea. Unapaswa kuelewa kwamba ikiwa uwezekano wa tukio kulingana na wawekaji pesa ni mdogo kuliko uwezekano wa tukio sawa kulingana na toleo lako mwenyewe, dau kwenye tukio hili litakuwa la thamani. Unaweza kulinganisha tabia mbaya kwa matukio tofauti kwenye tovuti ya Odds.ru.
1.1. Aina za odd
Watengenezaji wasiohalali kawaida hutoa aina tatu za tabia mbaya - decimal, sehemu na Amerika. Hebu tuangalie kila aina.
1.2. Odds za decimal
Odds za decimal zikizidishwa na saizi ya dau hukuruhusu kukokotoa kiasi kizima ambacho utapokea mikononi mwako ukishinda. Kwa mfano, ukiweka dau $1 kwa matumaini ya 1.80, ukishinda, utapokea $1.80 ($1 ni kiasi cha dau kilichorejeshwa, 0.80 ni ushindi kwenye dau, ambayo pia ni faida yako halisi).
Hiyo ni, uwezekano wa matokeo, kulingana na wasiohalali, ni 55%.
1.3. Tabia mbaya za sehemu
Tabia mbaya za sehemu ni aina ya kawaida zaidi ya tabia mbaya. Nambari inaonyesha ushindi unaowezekana. Nambari ni kiasi cha dau kinachohitajika kufanywa ili kupata ushindi huu. Kwa mfano, uwezekano wa 7/2 unamaanisha kuwa ili kupata ushindi wa $7, utahitaji kuweka dau $2.
Ili kuhesabu uwezekano wa tukio kulingana na mgawo wa decimal, unapaswa kufanya mahesabu rahisi - kugawanya denominator kwa jumla ya nambari na denominator. Kwa odd zilizo hapo juu za 7/2, hesabu itakuwa kama ifuatavyo:
2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22
Hiyo ni, uwezekano wa matokeo, kulingana na wasiohalali, ni 22%.
1.4. Tabia mbaya za Amerika
Aina hii ya tabia mbaya ni maarufu katika Amerika ya Kaskazini. Kwa mtazamo wa kwanza, zinaonekana kuwa ngumu sana na zisizoeleweka, lakini usiogope. Kuelewa uwezekano wa Marekani kunaweza kuwa na manufaa, kwa mfano, unapocheza katika kasino za Marekani, kuelewa nukuu zinazoonyeshwa kwenye matangazo ya michezo ya Amerika Kaskazini. Hebu tuangalie jinsi ya kukadiria uwezekano wa matokeo kulingana na uwezekano wa Marekani.
Kwanza kabisa, unahitaji kuelewa kuwa tabia mbaya za Amerika zinaweza kuwa chanya na hasi. Mgawo hasi wa Marekani daima huja katika muundo, kwa mfano, "-150". Hii ina maana kwamba ili kupata $100 katika faida halisi (washindi), unahitaji kuweka dau $150.
Mgawo chanya wa Amerika huhesabiwa kinyume. Kwa mfano, tuna mgawo wa "+120". Hii ina maana kwamba ili kupata $120 katika faida halisi (washindi), unahitaji kuweka dau $100.
Hesabu ya uwezekano kulingana na odd hasi za Marekani hufanywa kwa kutumia fomula ifuatayo:
(-(kigawo hasi cha Kimarekani)) / ((-(kigawo hasi cha Kimarekani)) + 100)
(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6
Hiyo ni, uwezekano wa tukio ambalo mgawo hasi wa Marekani wa "-150" hutolewa ni 60%.
Sasa zingatia mahesabu sawa ya mgawo chanya wa Marekani. Uwezekano katika kesi hii ni mahesabu kwa kutumia formula ifuatayo:
100 / (mgawo chanya wa Marekani + 100)
100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45
Hiyo ni, uwezekano wa tukio ambalo mgawo mzuri wa Marekani wa "+120" hutolewa ni 45%.
1.5. Jinsi ya kubadilisha tabia mbaya kutoka kwa muundo mmoja hadi mwingine?
Uwezo wa kubadilisha odd kutoka umbizo moja hadi nyingine unaweza kukusaidia vyema baadaye. Cha ajabu, bado kuna ofisi ambazo tabia mbaya hazibadilishwi na zinaonyeshwa katika umbizo moja tu, ambalo si la kawaida kwetu. Hebu tuangalie mifano ya jinsi ya kufanya hivyo. Lakini kwanza, tunahitaji kujifunza jinsi ya kuhesabu uwezekano wa matokeo kulingana na mgawo tuliopewa.
1.6. Jinsi ya kuhesabu tabia mbaya ya decimal kulingana na uwezekano?
Kila kitu ni rahisi sana hapa. Inahitajika kugawanya 100 kwa uwezekano wa tukio kama asilimia. Hiyo ni, ikiwa makadirio ya uwezekano wa tukio ni 60%, unahitaji:
Kwa makadirio ya uwezekano wa tukio la 60%, uwezekano wa desimali utakuwa 1.66.
1.7. Jinsi ya kuhesabu tabia mbaya za sehemu kulingana na uwezekano?
Katika kesi hii, unahitaji kugawanya 100 kwa uwezekano wa tukio na uondoe moja kutoka kwa matokeo yaliyopatikana. Kwa mfano, uwezekano wa tukio ni 40%:
(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5
Hiyo ni, tunapata mgawo wa sehemu ya 1.5/1 au, kwa urahisi wa hesabu, 3/2.
1.8. Jinsi ya kuhesabu tabia mbaya za Amerika kulingana na matokeo yanayowezekana?
Hapa, mengi itategemea uwezekano wa tukio - ikiwa itakuwa zaidi ya 50% au chini. Ikiwa uwezekano wa tukio ni zaidi ya 50%, basi hesabu itafanywa kwa kutumia fomula ifuatayo:
- ((uwezekano) / (100 - uwezekano)) * 100
Kwa mfano, ikiwa uwezekano wa tukio ni 80%, basi:
— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)
Kwa makadirio ya uwezekano wa tukio la 80%, tulipokea mgawo hasi wa Kimarekani wa "-400".
Ikiwa uwezekano wa tukio ni chini ya asilimia 50, basi fomula itakuwa:
((100 - uwezekano) / uwezekano) * 100
Kwa mfano, ikiwa uwezekano wa tukio ni 40%, basi:
((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150
Kwa makadirio ya uwezekano wa tukio la 40%, tulipokea mgawo chanya wa Kimarekani wa "+150".
Hesabu hizi zitakusaidia kuelewa vyema dhana ya dau na odd, na kujifunza jinsi ya kutathmini thamani halisi ya dau fulani.
Haiwezekani kwamba watu wengi wanafikiri juu ya ikiwa inawezekana kuhesabu matukio ambayo ni zaidi au chini ya random. Kwa maneno rahisi, inawezekana kujua ni upande gani wa mchemraba utakuja ijayo? Ilikuwa ni swali hili ambalo wanasayansi wawili wakuu walijiuliza, ambao waliweka msingi wa sayansi kama nadharia ya uwezekano, ambayo uwezekano wa tukio unasomwa sana.
Asili
Ukijaribu kufafanua dhana kama nadharia ya uwezekano, utapata yafuatayo: hii ni moja ya matawi ya hisabati ambayo husoma uthabiti wa matukio ya nasibu. Bila shaka, dhana hii haina kweli kufunua kiini kizima, kwa hiyo ni muhimu kuzingatia kwa undani zaidi.
Ningependa kuanza na waundaji wa nadharia. Kama ilivyoelezwa hapo juu, kulikuwa na wawili kati yao, na walikuwa wa kwanza kujaribu kuhesabu matokeo ya hii au tukio hilo kwa kutumia fomula na hesabu za hesabu. Kwa ujumla, mwanzo wa sayansi hii ulionekana katika Zama za Kati. Wakati huo, wanafikra na wanasayansi mbalimbali walijaribu kuchambua michezo ya kamari, kama vile roulette, craps, na kadhalika, na hivyo kuanzisha muundo na asilimia ya nambari fulani inayoanguka. Msingi uliwekwa katika karne ya kumi na saba na wanasayansi waliotajwa hapo juu.
Hapo awali, kazi zao hazikuweza kuzingatiwa kuwa mafanikio makubwa katika uwanja huu, kwa sababu yote waliyofanya yalikuwa ukweli wa nguvu, na majaribio yalifanywa kwa kuibua, bila kutumia fomula. Baada ya muda, iliwezekana kufikia matokeo mazuri, ambayo yalionekana kama matokeo ya kutazama kurushwa kwa kete. Ilikuwa chombo hiki ambacho kilisaidia kupata fomula za kwanza zinazoeleweka.
Watu wenye nia moja
Haiwezekani kutaja mtu kama Christiaan Huygens katika mchakato wa kusoma mada inayoitwa "nadharia ya uwezekano" (uwezekano wa tukio unashughulikiwa haswa katika sayansi hii). Mtu huyu anavutia sana. Yeye, kama wanasayansi waliowasilishwa hapo juu, alijaribu kupata muundo wa matukio ya nasibu katika mfumo wa fomula za hesabu. Ni vyema kutambua kwamba hakufanya hivyo pamoja na Pascal na Fermat, yaani, kazi zake zote hazikuingiliana na akili hizi. Huygens aligundua
Ukweli wa kuvutia ni kwamba kazi yake ilitoka muda mrefu kabla ya matokeo ya kazi ya wavumbuzi, au tuseme, miaka ishirini mapema. Kati ya dhana zilizotambuliwa, maarufu zaidi ni:
- dhana ya uwezekano kama thamani ya nafasi;
- matarajio ya hisabati kwa kesi tofauti;
- nadharia za kuzidisha na kuongeza uwezekano.
Pia haiwezekani kukumbuka ni nani pia alitoa mchango mkubwa katika utafiti wa tatizo. Akifanya vipimo vyake mwenyewe, bila ya mtu yeyote, aliweza kuwasilisha uthibitisho wa sheria ya idadi kubwa. Kwa upande wake, wanasayansi Poisson na Laplace, ambao walifanya kazi mwanzoni mwa karne ya kumi na tisa, waliweza kuthibitisha nadharia za awali. Ilikuwa kutoka wakati huu ambapo nadharia ya uwezekano ilianza kutumiwa kuchanganua makosa katika uchunguzi. Wanasayansi wa Kirusi, au tuseme Markov, Chebyshev na Dyapunov, hawakuweza kupuuza sayansi hii. Kulingana na kazi iliyofanywa na wasomi wakubwa, walianzisha somo hili kama tawi la hisabati. Takwimu hizi zilifanya kazi tayari mwishoni mwa karne ya kumi na tisa, na shukrani kwa mchango wao, matukio yafuatayo yalithibitishwa:
- sheria ya idadi kubwa;
- nadharia ya mnyororo wa Markov;
- nadharia ya kikomo cha kati.
Kwa hiyo, pamoja na historia ya kuzaliwa kwa sayansi na kwa watu kuu ambao waliathiri, kila kitu ni wazi zaidi au chini. Sasa wakati umefika wa kufafanua ukweli wote.
Dhana za Msingi
Kabla ya kugusa sheria na nadharia, inafaa kusoma dhana za kimsingi za nadharia ya uwezekano. Tukio hilo lina jukumu kuu ndani yake. Mada hii ni ngumu sana, lakini bila hiyo haitawezekana kuelewa kila kitu kingine.
Tukio katika nadharia ya uwezekano ni seti yoyote ya matokeo ya jaribio. Kuna dhana chache kabisa za jambo hili. Kwa hivyo, mwanasayansi Lotman, anayefanya kazi katika eneo hili, alisema kwamba katika kesi hii tunazungumza juu ya kile "kilichotokea, ingawa labda hakijatokea."
Matukio ya nasibu (nadharia ya uwezekano hulipa kipaumbele maalum kwao) ni dhana ambayo ina maana kabisa jambo lolote ambalo lina fursa ya kutokea. Au, kinyume chake, hali hii inaweza kutokea ikiwa hali nyingi zimetimizwa. Inafaa pia kujua kuwa ni matukio ya nasibu ambayo huchukua kiasi kizima cha matukio ambayo yametokea. Nadharia ya uwezekano inaonyesha kwamba hali zote zinaweza kurudiwa mara kwa mara. Ni mwenendo wao unaoitwa "uzoefu" au "mtihani".
Tukio la kutegemewa ni jambo ambalo linawezekana kwa asilimia mia moja kutokea katika jaribio fulani. Ipasavyo, tukio lisilowezekana ni moja ambalo halitatokea.
Mchanganyiko wa jozi ya vitendo (kwa masharti, kesi A na kesi B) ni jambo ambalo hutokea wakati huo huo. Wameteuliwa kama AB.
Jumla ya jozi za matukio A na B ni C, kwa maneno mengine, ikiwa angalau moja yao itatokea (A au B), basi C itapatikana kama ifuatavyo: C = A + B.
Matukio yasiyolingana katika nadharia ya uwezekano yanadokeza kuwa visa viwili ni vya kipekee. Kwa hali yoyote hawawezi kutokea kwa wakati mmoja. Matukio ya pamoja katika nadharia ya uwezekano ni antipode yao. Kinachokusudiwa hapa ni kwamba ikiwa A ilitokea, basi haizuii B kwa njia yoyote.
Matukio yanayopingana (nadharia ya uwezekano inayazingatia kwa undani sana) ni rahisi kuelewa. Njia bora ya kuwaelewa ni kwa kulinganisha. Ni karibu sawa na matukio yasiyolingana katika nadharia ya uwezekano. Lakini tofauti yao iko katika ukweli kwamba moja ya matukio mengi lazima yatokee kwa hali yoyote.
Matukio yanayowezekana sawa ni yale matendo ambayo marudio yake ni sawa. Ili kuifanya iwe wazi zaidi, unaweza kufikiria kutupa sarafu: upotezaji wa moja ya pande zake ni sawa na uwezekano wa kuanguka kutoka kwa mwingine.
Ni rahisi kuzingatia tukio la kupendeza na mfano. Wacha tuseme kuna sehemu ya B na sehemu A. Ya kwanza ni safu ya kete na nambari isiyo ya kawaida inayoonekana, na ya pili ni kuonekana kwa nambari tano kwenye kufa. Kisha ikawa kwamba A inapendelea B.
Matukio huru katika nadharia ya uwezekano yanakadiriwa tu katika visa viwili au zaidi na kuashiria uhuru wa kitendo chochote kutoka kwa kingine. Kwa mfano, A ni kupoteza vichwa wakati wa kutupa sarafu, na B ni kuchora kwa jack kutoka kwenye staha. Ni matukio huru katika nadharia ya uwezekano. Katika hatua hii ikawa wazi zaidi.
Matukio tegemezi katika nadharia ya uwezekano pia yanaruhusiwa kwa seti moja yao. Wanamaanisha utegemezi wa moja kwa nyingine, ambayo ni, jambo B linaweza kutokea tu ikiwa A tayari imetokea au, kinyume chake, haijatokea, wakati hii ndiyo hali kuu ya B.
Matokeo ya jaribio la nasibu linalojumuisha kipengele kimoja ni matukio ya kimsingi. Nadharia ya uwezekano inaeleza kuwa hili ni jambo lililotokea mara moja tu.
Kanuni za msingi
Kwa hivyo, dhana za "tukio" na "nadharia ya uwezekano" zilijadiliwa hapo juu; Sasa ni wakati wa kufahamiana moja kwa moja na kanuni muhimu. Semi hizi zinathibitisha kihisabati dhana zote kuu katika somo changamano kama nadharia ya uwezekano. Uwezekano wa tukio una jukumu kubwa hapa pia.
Ni bora kuanza na zile za msingi, na kabla ya kuanza nao, inafaa kuzingatia ni nini.
Combinatorics kimsingi ni tawi la hisabati; inashughulika na uchunguzi wa idadi kubwa ya nambari, na vile vile vibali kadhaa vya nambari zenyewe na vitu vyao, data anuwai, nk, na kusababisha kuonekana kwa mchanganyiko kadhaa. Mbali na nadharia ya uwezekano, tawi hili ni muhimu kwa takwimu, sayansi ya kompyuta na cryptography.
Kwa hivyo, sasa tunaweza kuendelea na kuwasilisha fomula zenyewe na ufafanuzi wao.
Ya kwanza yao itakuwa usemi wa idadi ya vibali, inaonekana kama hii:
P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!
Equation inatumika tu ikiwa vipengele vinatofautiana tu kwa utaratibu wa mpangilio wao.
Sasa formula ya uwekaji itazingatiwa, inaonekana kama hii:
A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!
Usemi huu hautumiki tu kwa mpangilio wa uwekaji wa kitu, lakini pia kwa muundo wake.
Equation ya tatu kutoka kwa combinatorics, na pia ni ya mwisho, inaitwa formula ya idadi ya mchanganyiko:
C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!
Mchanganyiko unahusu chaguzi ambazo hazijaamriwa ipasavyo, sheria hii inatumika kwao.
Ilikuwa rahisi kuelewa fomula za mchanganyiko; sasa unaweza kuendelea na ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano. Usemi huu unaonekana kama hii:
Katika fomula hii, m ni idadi ya masharti yanayofaa kwa tukio A, na n ni idadi ya matokeo yote yanayowezekana na ya msingi kabisa.
Kuna idadi kubwa ya misemo; kifungu hakitashughulikia yote, lakini yale muhimu zaidi yataguswa, kama, kwa mfano, uwezekano wa jumla ya matukio:
P(A + B) = P(A) + P(B) - nadharia hii ni ya kuongeza matukio yasiokubaliana tu;
P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - na hii ni kwa ajili ya kuongeza zinazolingana pekee.
Uwezekano wa matukio kutokea:
P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - nadharia hii ni ya matukio huru;
(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - na hii ni ya mtegemezi.
Orodha ya matukio itakamilika kwa fomula ya matukio. Nadharia ya uwezekano inatuambia juu ya nadharia ya Bayes, ambayo inaonekana kama hii:
P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n
Katika fomula hii, H 1, H 2, ..., H n ni kundi kamili la hypotheses.
Mifano
Ikiwa unasoma kwa uangalifu sehemu yoyote ya hisabati, haijakamilika bila mazoezi na suluhisho za sampuli. Ndivyo ilivyo nadharia ya uwezekano: matukio na mifano hapa ni sehemu muhimu ambayo inathibitisha hesabu za kisayansi.
Mfumo wa idadi ya vibali
Wacha tuseme kuna kadi thelathini kwenye safu ya kadi, kuanzia na thamani ya moja. Swali linalofuata. Je, kuna njia ngapi za kuweka staha ili kadi zenye thamani moja na mbili zisiwe karibu na nyingine?
Kazi imewekwa, sasa hebu tuendelee kuisuluhisha. Kwanza unahitaji kuamua idadi ya vibali vya vipengele thelathini, kwa hili tunachukua formula iliyotolewa hapo juu, inageuka P_30 = 30!.
Kulingana na sheria hii, tunapata chaguzi ngapi za kukunja staha kwa njia tofauti, lakini tunahitaji kuondoa kutoka kwao wale ambao kadi ya kwanza na ya pili iko karibu na kila mmoja. Ili kufanya hivyo, hebu tuanze na chaguo wakati ya kwanza iko juu ya pili. Inatokea kwamba kadi ya kwanza inaweza kuchukua nafasi ishirini na tisa - kutoka kwa kwanza hadi ishirini na tisa, na kadi ya pili kutoka kwa pili hadi ya thelathini, na kufanya jumla ya maeneo ishirini na tisa kwa jozi ya kadi. Kwa upande mwingine, wengine wanaweza kukubali maeneo ishirini na nane, na kwa utaratibu wowote. Hiyo ni, kupanga upya kadi ishirini na nane, kuna chaguzi ishirini na nane P_28 = 28!
Kama matokeo, inageuka kuwa ikiwa tunazingatia suluhisho wakati kadi ya kwanza iko juu ya pili, kutakuwa na uwezekano wa ziada 29 ⋅ 28! = 29!
Kutumia njia sawa, unahitaji kuhesabu idadi ya chaguzi zisizohitajika kwa kesi wakati kadi ya kwanza iko chini ya pili. Pia inageuka kuwa 29 ⋅ 28! = 29!
Inafuata kutokana na hili kwamba kuna chaguo 2 ⋅ 29 za ziada!, wakati njia muhimu za kukusanya staha ni 30! - 2 ⋅ 29!. Kilichobaki ni kuhesabu.
30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28
Sasa unahitaji kuzidisha nambari zote kutoka moja hadi ishirini na tisa, na hatimaye kuzidisha kila kitu kwa 28. Jibu ni 2.4757335 ⋅〖10〗^32
Suluhisho la mfano. Fomula ya nambari ya uwekaji
Katika tatizo hili, unahitaji kujua ni njia ngapi za kuweka kiasi cha kumi na tano kwenye rafu moja, lakini mradi kuna kiasi cha thelathini kwa jumla.
Suluhisho la tatizo hili ni rahisi kidogo kuliko uliopita. Kwa kutumia formula tayari inayojulikana, ni muhimu kuhesabu jumla ya idadi ya mipangilio ya kiasi cha thelathini cha kumi na tano.
A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7207 3
Jibu, ipasavyo, litakuwa sawa na 202,843,204,931,727,360,000.
Sasa hebu tuchukue kazi ngumu zaidi. Unahitaji kujua ni njia ngapi za kupanga vitabu thelathini kwenye rafu mbili za vitabu, ikizingatiwa kuwa rafu moja inaweza kubeba juzuu kumi na tano tu.
Kabla ya kuanza suluhisho, ningependa kufafanua kuwa shida zingine zinaweza kutatuliwa kwa njia kadhaa, na hii ina njia mbili, lakini zote mbili hutumia fomula sawa.
Katika tatizo hili, unaweza kuchukua jibu kutoka kwa uliopita, kwa sababu huko tulihesabu mara ngapi unaweza kujaza rafu na vitabu kumi na tano kwa njia tofauti. Ilibadilika kuwa A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.
Tutahesabu rafu ya pili kwa kutumia formula ya vibali, kwa sababu vitabu kumi na tano vinaweza kuwekwa ndani yake, huku kumi na tano tu kubaki. Tunatumia formula P_15 = 15!.
Inabadilika kuwa jumla itakuwa A_30^15 ⋅ P_15 njia, lakini, kwa kuongeza hii, bidhaa ya nambari zote kutoka thelathini hadi kumi na sita itahitaji kuzidishwa na bidhaa ya nambari kutoka kwa moja hadi kumi na tano, mwishowe. atapata bidhaa ya nambari zote kutoka kwa moja hadi thelathini, ambayo ni, jibu ni sawa na 30!
Lakini tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa njia nyingine - rahisi zaidi. Kwa kufanya hivyo, unaweza kufikiria kwamba kuna rafu moja kwa vitabu thelathini. Zote zimewekwa kwenye ndege hii, lakini kwa kuwa hali inahitaji kuwa na rafu mbili, tuliona moja kwa muda mrefu kwa nusu, kwa hiyo tunapata mbili kati ya kumi na tano. Kutoka kwa hili inageuka kuwa kunaweza kuwa na P_30 = chaguzi 30 za mpangilio!.
Suluhisho la mfano. Mfumo wa nambari ya mchanganyiko
Sasa tutazingatia toleo la shida ya tatu kutoka kwa combinatorics. Inahitajika kujua ni njia ngapi za kupanga vitabu kumi na tano, mradi unahitaji kuchagua kutoka thelathini zinazofanana kabisa.
Ili kutatua, bila shaka, formula ya idadi ya mchanganyiko itatumika. Kutokana na hali hiyo inakuwa wazi kwamba mpangilio wa vitabu kumi na tano vinavyofanana sio muhimu. Kwa hivyo, mwanzoni unahitaji kujua jumla ya idadi ya mchanganyiko wa vitabu thelathini vya kumi na tano.
C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520
Ni hayo tu. Kwa kutumia fomula hii, tuliweza kutatua tatizo hili kwa muda mfupi iwezekanavyo;
Suluhisho la mfano. Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano
Kutumia fomula hapo juu, unaweza kupata jibu la shida rahisi. Lakini hii itasaidia kuona wazi na kufuatilia maendeleo ya vitendo.
Tatizo linasema kwamba kuna mipira kumi inayofanana kabisa kwenye urn. Kati ya hizi, nne ni njano na sita ni bluu. Mpira mmoja unachukuliwa kutoka kwenye mkojo. Unahitaji kujua uwezekano wa kupata bluu.
Ili kutatua tatizo, ni muhimu kuteua kupata mpira wa bluu kama tukio A. Jaribio hili linaweza kuwa na matokeo kumi, ambayo, kwa upande wake, ni ya msingi na yanawezekana kwa usawa. Wakati huo huo, kati ya kumi, sita wanafaa kwa tukio A. Tunatatua kwa kutumia fomula:
P(A) = 6: 10 = 0.6
Kwa kutumia fomula hii, tulijifunza kwamba uwezekano wa kupata mpira wa bluu ni 0.6.
Suluhisho la mfano. Uwezekano wa jumla ya matukio
Chaguo sasa litawasilishwa ambalo linatatuliwa kwa kutumia fomula ya uwezekano wa jumla ya matukio. Kwa hiyo, hali inatolewa kuwa kuna masanduku mawili, ya kwanza ina mipira moja ya kijivu na tano nyeupe, na ya pili ina mipira minane ya kijivu na minne nyeupe. Kama matokeo, walichukua mmoja wao kutoka kwa sanduku la kwanza na la pili. Unahitaji kujua ni nafasi gani kwamba mipira utapata itakuwa kijivu na nyeupe.
Ili kutatua tatizo hili, ni muhimu kutambua matukio.
- Kwa hiyo, A - alichukua mpira wa kijivu kutoka kwa sanduku la kwanza: P (A) = 1/6.
- A’ - alichukua mpira mweupe pia kutoka kwa sanduku la kwanza: P (A") = 5/6.
- B - mpira wa kijivu uliondolewa kwenye sanduku la pili: P (B) = 2/3.
- B’ - alichukua mpira wa kijivu kutoka kwa sanduku la pili: P (B") = 1/3.
Kulingana na hali ya shida, ni muhimu kwa moja ya matukio kutokea: AB' au A'B. Kwa kutumia formula, tunapata: P (AB") = 1/18, P (A"B) = 10/18.
Sasa fomula ya kuzidisha uwezekano imetumika. Ifuatayo, ili kujua jibu, unahitaji kutumia equation ya nyongeza yao:
P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.
Hivi ndivyo unavyoweza kutatua shida zinazofanana kwa kutumia fomula.
Mstari wa chini
Nakala hiyo iliwasilisha habari juu ya mada "Nadharia ya Uwezekano", ambayo uwezekano wa tukio una jukumu muhimu. Kwa kweli, sio kila kitu kilizingatiwa, lakini, kwa kuzingatia maandishi yaliyowasilishwa, unaweza kujijulisha kinadharia na sehemu hii ya hesabu. Sayansi inayohusika inaweza kuwa na manufaa si tu katika masuala ya kitaaluma, bali pia katika maisha ya kila siku. Kwa msaada wake, unaweza kuhesabu uwezekano wowote wa tukio lolote.
Nakala hiyo pia iligusa tarehe muhimu katika historia ya malezi ya nadharia ya uwezekano kama sayansi, na majina ya watu ambao kazi yao iliwekezwa ndani yake. Hivi ndivyo udadisi wa kibinadamu ulisababisha ukweli kwamba watu walijifunza kuhesabu hata matukio ya nasibu. Wakati mmoja walikuwa na nia tu katika hili, lakini leo kila mtu tayari anajua kuhusu hilo. Na hakuna mtu atakayesema nini kinatungojea katika siku zijazo, ni uvumbuzi gani mwingine mzuri unaohusiana na nadharia inayozingatiwa utafanywa. Lakini jambo moja ni hakika - utafiti hausimami!