Kuhusiana na
kazi ya kutafuta nambari yoyote kati ya hizo tatu kutoka kwa hizo mbili zilizopewa inaweza kuwekwa. Ikiwa a na kisha N zinatolewa, zinapatikana kwa ufafanuzi. Ikiwa N na kisha a hutolewa kwa kuchukua mzizi wa digrii x (au kuinua kwa nguvu). Sasa fikiria kesi wakati, ukipewa a na N, tunahitaji kupata x.
Acha nambari N iwe chanya: nambari a iwe chanya na isiwe sawa na moja: .
Ufafanuzi. Logariti ya nambari N hadi msingi a ni kipeo ambacho lazima kiinulie ili kupata nambari N; logarithm inaonyeshwa na
Kwa hivyo, katika usawa (26.1) kipeo kinapatikana kama logariti ya N hadi msingi a. Machapisho
kuwa na maana sawa. Usawa (26.1) wakati mwingine huitwa utambulisho mkuu wa nadharia ya logarithmu; kwa uhalisia inaeleza ufafanuzi wa dhana ya logariti. Na ufafanuzi huu Msingi wa logarithm a daima ni chanya na tofauti na umoja; nambari ya logarithmic N ni chanya. Nambari hasi na sifuri hazina logariti. Inaweza kuthibitishwa kuwa nambari yoyote iliyo na msingi fulani ina logarithm iliyofafanuliwa vizuri. Kwa hivyo usawa unajumuisha. Kumbuka kuwa hali muhimu hapa ni vinginevyo hitimisho halingehesabiwa haki, kwani usawa ni kweli kwa maadili yoyote ya x na y.
Mfano 1. Tafuta
Suluhisho. Ili kupata nambari, lazima uinue msingi 2 kwa nguvu Kwa hivyo.
Unaweza kuandika maelezo wakati wa kutatua mifano kama hii katika fomu ifuatayo:
Mfano 2. Tafuta .
Suluhisho. Tuna
Katika mifano ya 1 na 2, tulipata logariti tunayotaka kwa urahisi kwa kuwakilisha nambari ya logariti kama nguvu ya msingi na kiashiria cha busara. KATIKA kesi ya jumla, kwa mfano, kwa nk, hii haiwezi kufanywa, kwani logarithm ina maana isiyo na maana. Hebu tuzingatie suala moja linalohusiana na kauli hii. Katika aya ya 12 tulitoa dhana ya uwezekano wa kuamua yoyote shahada halisi kupewa nambari chanya. Hii ilikuwa muhimu kwa kuanzishwa kwa logarithms, ambayo, kwa ujumla, inaweza kuwa nambari zisizo na maana.
Wacha tuangalie sifa zingine za logarithm.
Mali 1. Ikiwa nambari na msingi ni sawa, basi logarithm sawa na moja, na, kinyume chake, ikiwa logarithm ni sawa na moja, basi nambari na msingi ni sawa.
Ushahidi. Hebu Kwa ufafanuzi wa logarithm tunayo na wapi
Kinyume chake, basi basi kwa ufafanuzi
Mali 2. Logariti ya moja hadi msingi wowote ni sawa na sifuri.
Ushahidi. Kwa ufafanuzi wa logarithm ( shahada ya sifuri msingi wowote chanya ni sawa na moja, ona (10.1)). Kutoka hapa
Q.E.D.
Taarifa ya mazungumzo pia ni kweli: ikiwa , basi N = 1. Hakika, tunayo.
Kabla ya kuunda sifa inayofuata ya logariti, tukubaliane kusema kwamba nambari mbili a na b ziko upande uleule wa nambari ya tatu c ikiwa zote ni kubwa kuliko c au chini ya c. Ikiwa moja ya nambari hizi ni kubwa kuliko c, na nyingine ni chini ya c, basi tutasema kwamba wanalala pamoja pande tofauti kutoka kijijini
Mali 3. Ikiwa nambari na msingi ziko upande mmoja wa moja, basi logarithm ni chanya; Ikiwa nambari na msingi ziko pande tofauti za moja, basi logarithm ni hasi.
Uthibitisho wa mali 3 unatokana na ukweli kwamba nguvu ya a ni kubwa kuliko moja ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja na kipeo ni chanya au msingi ni chini ya moja na kielelezo ni hasi. Nguvu ni chini ya moja ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja na kipeo ni hasi au msingi ni chini ya moja na kipeo ni chanya.
Kuna kesi nne za kuzingatia:
Tutajiwekea kikomo cha kuchambua ya kwanza; msomaji atazingatia mengine peke yake.
Hebu basi katika usawa kielelezo kinaweza kuwa si hasi wala sawa na sifuri, kwa hiyo, ni chanya, yaani, inavyotakiwa kuthibitishwa.
Mfano 3. Jua ni ipi kati ya logariti zilizo hapa chini ni chanya na zipi ni hasi:
Suluhisho, a) kwa kuwa nambari 15 na msingi 12 ziko upande mmoja wa moja;
b) tangu 1000 na 2 ziko upande mmoja wa kitengo; katika kesi hii, sio muhimu kwamba msingi ni mkubwa kuliko nambari ya logarithmic;
c) tangu 3.1 na 0.8 hulala pande tofauti za umoja;
G); Kwa nini?
d); Kwa nini?
Sifa zifuatazo 4-6 mara nyingi huitwa sheria za logarithmation: huruhusu, kujua logarithms za nambari fulani, kupata logarithms ya bidhaa zao, quotient, na kiwango cha kila mmoja wao.
Mali 4 (kanuni ya logarithm ya bidhaa). Logarithm ya bidhaa ya nambari kadhaa chanya kwa msingi huu sawa na jumla logariti za nambari hizi kwa msingi sawa.
Ushahidi. Acha nambari ulizopewa ziwe chanya.
Kwa logariti ya bidhaa zao, tunaandika usawa (26.1) ambayo inafafanua logariti:
Kutoka hapa tutapata
Kulinganisha vielelezo vya kwanza na maneno ya mwisho, tunapata usawa unaohitajika:
Kumbuka kwamba hali ni muhimu; logarithm ya bidhaa mbili nambari hasi ina maana, lakini katika kesi hii tunapata
Kwa ujumla, ikiwa bidhaa ya mambo kadhaa ni chanya, basi logarithm yake ni sawa na jumla ya logarithms ya maadili kamili ya mambo haya.
Mali 5 (kanuni ya kuchukua logarithms ya quotients). Logariti ya mgawo wa nambari chanya ni sawa na tofauti kati ya logariti za gawio na kigawanyiko, zilizochukuliwa kwa msingi sawa. Ushahidi. Tunapata mara kwa mara
Q.E.D.
Mali 6 (sheria ya logarithm ya nguvu). Logariti ya nguvu ya nambari fulani chanya sawa na logarithm nambari hii ilizidishwa na kipeo.
Ushahidi. Wacha tuandike tena kitambulisho kikuu (26.1) cha nambari:
Q.E.D.
Matokeo. Logariti ya mzizi wa nambari chanya ni sawa na logariti ya radical iliyogawanywa na kipeo cha mzizi:
Uhalali wa mfululizo huu unaweza kuthibitishwa kwa kuwazia jinsi na kutumia kipengele 6.
Mfano 4. Chukua logariti kuweka msingi wa:
a) (inadhaniwa kuwa maadili yote b, c, d, e ni chanya);
b) (inadhaniwa kuwa).
Suluhisho, a) Ni rahisi kwenda kwa nguvu za sehemu katika usemi huu:
Kulingana na usawa (26.5)-(26.7), sasa tunaweza kuandika:
Tunaona kwamba shughuli rahisi zaidi zinafanywa kwa logarithms ya nambari kuliko nambari zenyewe: wakati wa kuzidisha nambari, logarithms zao huongezwa, wakati wa kugawanya, hutolewa, nk.
Ndiyo maana logariti hutumika katika mazoezi ya kompyuta (tazama aya ya 29).
Kitendo cha kinyume cha logarithm kinaitwa potentiation, yaani: potentiation ni kitendo ambacho nambari yenyewe hupatikana kutoka kwa logarithm fulani ya nambari. Kimsingi, uwezo sio hatua yoyote maalum: inakuja kwa kuinua msingi kwa nguvu ( sawa na logarithm nambari). Neno "uwezo" linaweza kuchukuliwa kuwa sawa na neno "ufafanuzi".
Wakati wa kuimarisha, lazima utumie sheria kinyume na sheria za logarithmation: badala ya jumla ya logarithms na logarithm ya bidhaa, tofauti ya logarithms na logarithm ya quotient, nk. Hasa, ikiwa kuna sababu mbele. ya ishara ya logarithm, basi wakati wa potentiation lazima ihamishwe kwa digrii za kielelezo chini ya ishara ya logarithm.
Mfano 5. Tafuta N ikiwa inajulikana hivyo
Suluhisho. Kuhusiana na kanuni iliyoelezwa tu ya uwezekano, tutahamisha vipengele 2/3 na 1/3 vilivyosimama mbele ya ishara za logarithmu upande wa kulia wa usawa huu kuwa vielelezo chini ya ishara za logarithms hizi; tunapata
Sasa tunabadilisha tofauti ya logarithm na logarithm ya quotient:
ili kupata sehemu ya mwisho katika mlolongo huu wa usawa, tuliachilia sehemu iliyotangulia kutoka kwa kutokuwa na akili katika dhehebu (kifungu cha 25).
Mali 7. Ikiwa msingi ni mkubwa kuliko moja, basi idadi kubwa zaidi ina logarithm kubwa (na nambari ndogo ina ndogo), ikiwa msingi ni chini ya moja, basi nambari kubwa ina logarithm ndogo (na nambari ndogo ina kubwa zaidi).
Mali hii pia imeundwa kama sheria ya kuchukua logarithms ya usawa, pande zote mbili ambazo ni chanya:
Wakati wa kuchukua logariti za usawa kwa msingi, zaidi ya moja, ishara ya usawa imehifadhiwa, na wakati wa kuchukua logarithm kwa msingi chini ya moja, ishara ya kutofautiana inabadilika kinyume chake (tazama pia aya ya 80).
Uthibitisho unategemea sifa 5 na 3. Zingatia kesi wakati Ikiwa, basi na, kwa kuchukua logarithm, tunapata.
(a na N/M wanalala upande mmoja wa umoja). Kutoka hapa
Kisa kifuatacho, msomaji atajitambua mwenyewe.
Inafuata kutoka kwa ufafanuzi wake. Na kwa hivyo logarithm ya nambari b kulingana na A inafafanuliwa kama kipeo ambapo nambari lazima ipandishwe a ili kupata nambari b(logarithm ipo kwa nambari chanya pekee).
Kutoka kwa uundaji huu inafuata kwamba hesabu x=logi a b, ni sawa na kutatua mlinganyo x =b. Kwa mfano, logi 2 8 = 3 kwa sababu 8 = 2 3 . Uundaji wa logarithm hufanya iwezekane kuhalalisha kwamba ikiwa b=a c, kisha logariti ya nambari b kulingana na a sawa Na. Pia ni wazi kwamba mada ya logarithms inahusiana kwa karibu na mada nguvu za nambari.
Ukiwa na logariti, kama ilivyo kwa nambari yoyote, unaweza kufanya shughuli za kuongeza, kutoa na kubadilisha kila njia iwezekanavyo. Lakini kutokana na ukweli kwamba logarithms sio nambari za kawaida kabisa, sheria zao maalum zinatumika hapa, ambazo huitwa mali kuu.
Kuongeza na kupunguza logariti.
Wacha tuchukue logariti mbili nazo kwa misingi hiyo hiyo: logi a x Na logi a y. Basi inawezekana kufanya shughuli za kuongeza na kutoa:
weka logi ya x+ a y= logi a (x·y);
logi a x - weka y = logi a (x:y).
logi a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = logi a x 1 + logi a x 2 + logi a x 3 + ... + logi a x k.
Kutoka nadharia ya mgawo wa logarithm Mali moja zaidi ya logarithm inaweza kupatikana. Ni maarifa ya kawaida kwamba logi a 1= 0, kwa hivyo
logi a 1 /b=logi a 1 - logi a b= -logi a b.
Hii inamaanisha kuwa kuna usawa:
logi a 1 / b = - logi a b.
Logariti za nambari mbili zinazofanana kwa sababu hiyo hiyo itatofautiana kutoka kwa kila mmoja tu kwa ishara. Kwa hivyo:
Mgogo 3 9= - logi 3 1 / 9; logi 5 1 / 125 = -logi 5 125.
Logarithm ni nini?
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Logarithm ni nini? Jinsi ya kutatua logarithms? Maswali haya yanawachanganya wahitimu wengi. Kijadi, mada ya logarithms inachukuliwa kuwa ngumu, isiyoeleweka na ya kutisha. Hasa milinganyo yenye logariti.
Hii si kweli kabisa. Kabisa! Usiniamini? Sawa. Sasa, katika dakika 10 - 20 tu wewe:
1. Utaelewa logarithm ni nini.
2. Jifunze kutatua darasa zima milinganyo ya kielelezo. Hata kama haujasikia chochote kuwahusu.
3. Jifunze kuhesabu logarithms rahisi.
Kwa kuongeza, kwa hili utahitaji tu kujua meza ya kuzidisha na jinsi ya kuongeza nambari kwa nguvu ...
Ninahisi kama una shaka ... Sawa, weka alama wakati! Nenda!
Kwanza, suluhisha equation hii kichwani mwako:
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Maagizo
Andika uliyopewa usemi wa logarithmic. Ikiwa usemi unatumia logariti ya 10, basi nukuu yake imefupishwa na inaonekana kama hii: lg b ni logarithm ya desimali. Ikiwa logariti ina nambari e kama msingi wake, basi andika usemi: ln b - logarithm asili. Inaeleweka kuwa matokeo ya yoyote ni nguvu ambayo nambari ya msingi inapaswa kuinuliwa ili kupata nambari b.
Wakati wa kupata jumla ya kazi mbili, unahitaji tu kutofautisha moja kwa moja na kuongeza matokeo: (u+v)" = u"+v";
Wakati wa kupata derivative ya bidhaa ya kazi mbili, inahitajika kuzidisha derivative ya kazi ya kwanza na ya pili na kuongeza derivative ya kazi ya pili iliyozidishwa na kazi ya kwanza: (u*v)" = u"*v. +v"*u;
Ili kupata derivative ya mgawo wa kazi mbili, ni muhimu kutoa kutoka kwa bidhaa ya derivative ya gawio lililozidishwa na kazi ya kugawanya bidhaa ya derivative ya kigawanyiko kilichozidishwa na kazi ya gawio, na kugawanya. yote haya kwa kitendakazi cha kigawanyaji kilichowekwa mraba. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Ikitolewa kazi ngumu, basi ni muhimu kuzidisha derivative ya kazi ya ndani na derivative ya ile ya nje. Acha y=u(v(x)), kisha y"(x)=y"(u)*v"(x).
Kutumia matokeo yaliyopatikana hapo juu, unaweza kutofautisha karibu kazi yoyote. Kwa hivyo, tuangalie mifano michache:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *x));
Pia kuna matatizo yanayohusisha kuhesabu derivative kwa uhakika. Acha kazi y=e^(x^2+6x+5) itolewe, unahitaji kupata thamani ya chaguo la kukokotoa kwenye hatua x=1.
1) Tafuta derivative ya chaguo za kukokotoa: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Kukokotoa thamani ya chaguo za kukokotoa katika kupewa point y"(1)=8*e^0=8
Video kwenye mada
Jifunze jedwali la derivatives za msingi. Hii itaokoa muda kwa kiasi kikubwa.
Vyanzo:
- derivative ya mara kwa mara
Kwa hiyo, kuna tofauti gani? ir mlinganyo wa busara kutoka kwa mantiki? Ikiwa tofauti isiyojulikana iko chini ya ishara kipeo, basi equation inachukuliwa kuwa isiyo na maana.
Maagizo
Njia kuu ya kutatua equations vile ni njia ya kujenga pande zote mbili milinganyo ndani ya mraba. Hata hivyo. hii ni ya asili, jambo la kwanza unahitaji kufanya ni kuondokana na ishara. Njia hii sio ngumu kitaalam, lakini wakati mwingine inaweza kusababisha shida. Kwa mfano, mlinganyo ni v(2x-5)=v(4x-7). Kwa kugawanya pande zote mbili unapata 2x-5=4x-7. Kutatua equation kama hiyo sio ngumu; x=1. Lakini nambari 1 haitatolewa milinganyo. Kwa nini? Weka moja kwenye mlingano badala ya thamani ya x. Na pande za kulia na kushoto zitakuwa na misemo ambayo haina maana, yaani. Thamani hii si halali kwa mzizi wa mraba. Kwa hiyo 1 ni mzizi wa nje, na kwa hiyo kupewa mlinganyo haina mizizi.
Kwa hivyo, equation isiyo na maana hutatuliwa kwa kutumia njia ya kugawanya pande zake zote mbili. Na baada ya kusuluhisha equation, ni muhimu kukata mizizi ya nje. Ili kufanya hivyo, badilisha mizizi iliyopatikana kwenye equation ya asili.
Fikiria mwingine.
2х+vх-3=0
Bila shaka, equation hii inaweza kutatuliwa kwa kutumia equation sawa na uliopita. Sogeza Viwanja milinganyo, ambayo haina mzizi wa mraba, kwa upande wa kulia na kisha kutumia njia ya squaring. kutatua equation mantiki na mizizi. Lakini pia mwingine, kifahari zaidi. Ingiza kigezo kipya; vx=y. Ipasavyo, utapokea mlinganyo wa fomu 2y2+y-3=0. Hiyo ni, kawaida mlinganyo wa quadratic. Tafuta mizizi yake; y1=1 na y2=-3/2. Ifuatayo, suluhisha mbili milinganyo vх=1; vх=-3/2. Mlinganyo wa pili hauna mizizi; kutoka kwa kwanza tunapata kwamba x=1. Usisahau kuangalia mizizi.
Kutatua vitambulisho ni rahisi sana. Ili kufanya hivyo unahitaji kufanya mabadiliko ya utambulisho mpaka lengo litimie. Hivyo, kwa msaada wa rahisi zaidi shughuli za hesabu kazi iliyopo itatatuliwa.
Utahitaji
- - karatasi;
- - kalamu.
Maagizo
Rahisi zaidi kati ya mabadiliko hayo ni kuzidisha kwa ufupisho wa aljebra (kama vile mraba wa jumla (tofauti), tofauti ya miraba, jumla (tofauti), mchemraba wa jumla (tofauti)). Kwa kuongeza, kuna mengi na fomula za trigonometric, ambayo kimsingi ni vitambulisho sawa.
Hakika, mraba wa jumla ya maneno mawili sawa na mraba ya kwanza ikijumlisha mara mbili bidhaa ya ya kwanza kwa ya pili na kujumlisha mraba wa ya pili, yaani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Rahisisha zote mbili
Kanuni za jumla za suluhisho
Rudia kulingana na kitabu cha maandishi uchambuzi wa hisabati au hisabati ya juu, ambayo ni kiungo dhahiri. Kama inavyojulikana, suluhisho uhakika muhimu kuna kazi ambayo derivative yake inatoa integrand. Kazi hii inaitwa antiderivative. Na kanuni hii na huunda viambajengo kuu.Amua kwa umbo la kiunganishi ni kipi kati ya viambatanisho vya jedwali vinafaa kwa kesi hii. Si mara zote inawezekana kuamua hili mara moja. Mara nyingi, fomu ya tabular inaonekana tu baada ya mabadiliko kadhaa ili kurahisisha integrand.
Njia ya Kubadilisha Tofauti
Ikiwa kazi ya integrand ni kazi ya trigonometric, ambaye hoja yake ina polynomial, basi jaribu kutumia njia ya uingizwaji ya kutofautisha. Ili kufanya hivyo, badilisha polynomial katika hoja ya integrand na kutofautisha mpya. Kulingana na uhusiano kati ya vigezo vipya na vya zamani, tambua mipaka mpya ya ushirikiano. Utofautishaji kujieleza pata tofauti mpya katika . Kwa hivyo utapata aina mpya ya kiungo cha awali, karibu na au hata kinacholingana na jedwali lolote.Kutatua viungo vya aina ya pili
Ikiwa kiunga ni kiunga cha aina ya pili, aina ya vekta ya kiunganishi, basi utahitaji kutumia sheria za mpito kutoka kwa viunga hivi hadi vya scalar. Sheria moja kama hiyo ni uhusiano wa Ostrogradsky-Gauss. Sheria hii hukuruhusu kwenda kutoka kwa mtiririko wa rotor wa utendakazi fulani wa vekta hadi kiunganishi cha tatu juu ya tofauti ya uwanja fulani wa vekta.Uingizwaji wa mipaka ya ujumuishaji
Baada ya kupata antiderivative, ni muhimu kuchukua nafasi ya mipaka ya ushirikiano. Kwanza, badilisha thamani ya kikomo cha juu kwenye usemi wa kizuia derivative. Utapata nambari fulani. Ifuatayo, toa kutoka kwa nambari inayosababisha nambari nyingine iliyopatikana kutoka kwa kikomo cha chini hadi kizuia derivative. Ikiwa moja ya mipaka ya kuunganishwa ni infinity, basi wakati wa kuibadilisha kazi ya antiderivative ni muhimu kwenda kwa kikomo na kupata kile usemi unajitahidi.Ikiwa muunganisho ni wa pande mbili au tatu-dimensional, basi utalazimika kuwakilisha mipaka ya ujumuishaji kijiometri ili kuelewa jinsi ya kutathmini kiunganishi. Hakika, katika kesi ya, sema, kiungo cha tatu-dimensional, mipaka ya ushirikiano inaweza kuwa ndege nzima ambayo hupunguza kiasi kinachounganishwa.