Kutumia kiunga cha uhakika, unaweza kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege, kwani kazi hii daima inakuja chini ya kuhesabu maeneo ya trapezoids ya curvilinear.
Eneo la takwimu yoyote katika mfumo wa kuratibu wa mstatili inaweza kujumuisha maeneo ya trapezoids ya curvilinear karibu na mhimili. Oh au kwa mhimili OU.
Ni rahisi kutatua shida katika kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege kwa kutumia mpango ufuatao:
1. Kwa mujibu wa hali ya tatizo, fanya kuchora schematic
2. Wasilisha eneo linalohitajika kama jumla au tofauti ya maeneo ya trapezoid ya curvilinear. Kutoka kwa hali ya tatizo na kuchora, mipaka ya ushirikiano imedhamiriwa kwa kila sehemu ya trapezoid ya curvilinear.
3. Andika kila kipengele katika fomu y = f(x).
4. Kuhesabu eneo la kila trapezoid ya curvilinear na eneo la takwimu inayotaka.
Hebu fikiria chaguo kadhaa kwa ajili ya mpangilio wa takwimu.
1). Wacha kwenye sehemu [ a; b] kazi f(x) inachukua maadili yasiyo hasi. Kisha grafu ya kazi y = f(x) iko juu ya mhimili Oh.
S=
2). Wacha kwenye sehemu [ a; b] kitendakazi kisicho chanya f(x). Kisha grafu ya kazi y = f(x) iko chini ya mhimili Oh:
Eneo la takwimu kama hiyo huhesabiwa na formula: S = -
Eneo la takwimu kama hiyo huhesabiwa na formula: S= 
4). Wacha kwenye sehemu [ a; b] kazi f(x) inachukua maadili chanya na hasi. Kisha sehemu [ a; b] lazima igawanywe katika sehemu ambazo kazi haibadilishi ishara, basi, kwa kutumia fomula zilizo hapo juu, hesabu maeneo yanayohusiana na sehemu hizi na kuongeza maeneo yaliyopatikana.
S 1 = S 2 = - S f = S 1 + S 2
Somo la hisabati kwa mwaka wa kwanza wa taasisi za elimu ya ufundi ya sekondari
Mada: "Kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege kwa kutumia kiunganishi dhahiri."
Mwalimu wa hisabati S.B. Baranova
Malengo ya elimu:
hakikisha marudio, jumla na utaratibu wa nyenzo kwenye mada hii;
kuunda hali za udhibiti (kujidhibiti) wa maarifa na ujuzi.
Kazi za maendeleo:
kukuza uundaji wa ujuzi wa kutumia mbinu za kulinganisha, jumla, na kuonyesha jambo kuu;
kuendelea maendeleo ya upeo wa hisabati, kufikiri na hotuba, makini na kumbukumbu.
Kazi za kielimu:
kukuza maslahi katika hisabati;
elimu ya shughuli, uhamaji, ujuzi wa mawasiliano.
Aina ya somo - somo la pamoja na vipengele vya kujifunza kwa msingi wa matatizo.
Mbinu na mbinu za kufundishia - shida, kuona, kazi ya kujitegemea ya wanafunzi, mtihani wa kujitegemea.
Vifaa - kiambatisho cha somo, meza.
Mpango wa Somo
Wakati wa kuandaa. Kuandaa wanafunzi kwa kazi darasani.
Kuandaa wanafunzi kwa kazi hai (kujaribu ujuzi wa kuhesabu na jedwali la viunga kwa kikundi).
Maandalizi ya kujifunza nyenzo mpya kupitia kurudia na kusasisha maarifa ya kimsingi.
Kufanya kazi na nyenzo mpya.
Uelewa wa msingi na matumizi ya nyenzo zilizojifunza, uimarishaji wake.
Kazi ya nyumbani.
Utumiaji wa maarifa.
Kufupisha.
Tafakari.
Wakati wa madarasa
1. Wakati wa shirika.
Wazo la kiunganishi dhahiri ni moja wapo ya dhana za kimsingi za hisabati. Mwishoni mwa karne ya 17. Newton na Leibniz waliunda vifaa vya calculus tofauti na muhimu, ambayo ni msingi wa uchambuzi wa hisabati.
Katika masomo yaliyopita tulijifunza "kuchukua" viambatanisho visivyo na kikomo na kuhesabu viambatanisho dhahiri. Lakini muhimu zaidi ni matumizi ya kiunga fulani. Tunajua kwamba inaweza kutumika kuhesabu maeneo ya trapezoid iliyopinda. Leo tutajibu swali: "Jinsi ya kufanya hivyo?"
2. Kuwatayarisha wanafunzi kwa kazi ya bidii.
Lakini kwanza tunahitaji kujaribu ustadi wetu wa kuhesabu na maarifa ya jedwali la viunga. Kabla ya wewe ni kazi, matokeo yake yatakuwa taarifa ya mwanahisabati wa Kifaransa S.D. Poisson (Maisha yanatajirishwa na mambo mawili: kufanya hisabati na kuifundisha).
Kazi inafanywa kwa jozi ().
3. Maandalizi ya kujifunza nyenzo mpya kupitia kurudia na kusasisha maarifa ya kimsingi.
Wacha tuendelee kwenye mada ya somo letu: "Kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege kwa kutumia kiunganishi dhahiri." Mbali na uwezo wa kuhesabu kiunga fulani, tunahitaji kukumbuka mali ya maeneo. Wao ni kina nani?
Takwimu sawa zina maeneo sawa.
Ikiwa takwimu imegawanywa katika sehemu mbili, basi eneo lake linapatikana kama jumla ya maeneo ya sehemu za kibinafsi.
Pia tunahitaji kurudia kanuni ya jumla muhimu na fomula ya Newton-Leibniz.
4. Kufanya kazi na kiungo kipya
1. Muhimu wa uhakika hutumiwa kuhesabu maeneo ya trapezoids ya curvilinear. Lakini kwa mazoezi, mara nyingi kuna takwimu ambazo sio hivyo, na tunahitaji kujifunza jinsi ya kupata maeneo ya takwimu kama hizo.
Fanya kazi kulingana na jedwali "Kesi za kimsingi za mpangilio wa takwimu ya ndege na fomula za eneo linalolingana" ().
2. Hebu tujipime.
Fanya kazi na kazi () ikifuatiwa na uthibitishaji (Jedwali Na. 3).
3. Lakini uwezo wa kuchagua formula sahihi kwa eneo haitoshi. Katika jedwali lifuatalo () katika kila moja ya kazi kuna sababu ya "nje" ambayo hairuhusu kuhesabu eneo la takwimu. Hebu tutafute.
a) fomula za grafu za chaguo za kukokotoa hazijaonyeshwa.
b) hakuna mipaka ya ushirikiano.
c) majina ya grafu hayajaonyeshwa na hakuna kikomo kimoja.
d) fomula ya moja ya grafu haijaonyeshwa.
4. Kuzingatia kazi iliyofanywa, tutaunda na kuandika algorithm ya kutatua matatizo kwenye mada ya somo.
Tengeneza grafu za mistari hii. Tambua takwimu inayotaka.
Tafuta mipaka ya ujumuishaji.
Andika eneo la takwimu inayotaka kwa kutumia kiunga fulani.
Hesabu kiunganishi kinachosababisha.
5. Ufahamu wa msingi na matumizi ya nyenzo zilizojifunza, uimarishaji wake.
1. Kuzingatia algorithm, hebu tukamilishe kazi Nambari 2 kutoka kwenye meza ya mwisho.
Picha 1
Suluhisho:
Kwa uhakika A:
– haikidhi masharti ya kazi
Kwa nukta B:
– haikidhi masharti ya tatizo.
Jibu: (vitengo vya mraba).
2. Lakini wakati wa kufanya kazi hii, algorithm haikutumiwa kikamilifu. Ili kuisuluhisha, hebu tumalize kazi ifuatayo:
Zoezi. Pata eneo la takwimu iliyofungwa na mistari , .
Kielelezo cha 2
Suluhisho:
– parabola, kipeo (m,n).
(0;2) - juu
Hebu tupate mipaka ya ushirikiano.
Jibu: (vitengo vya mraba).
6. Kazi ya nyumbani.
Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari (tenganisha kazi).
7. Utumiaji wa maarifa.
Kazi ya kujitegemea (Kiambatisho Na. 5))
8. Kujumlisha.
kujifunza kuunda fomula za kutafuta maeneo ya takwimu za ndege;
kupata mipaka ya ushirikiano;
kuhesabu eneo la takwimu.
9. Tafakari.
Vipeperushi husambazwa kwa wanafunzi. Ni lazima watathmini kazi yao kwa kuchagua mojawapo ya chaguo la jibu lililotolewa.
Tathmini kiwango cha ugumu wa somo.
Darasani ulikuwa na:
kwa urahisi;
kawaida;
magumu.
Nimeielewa kikamilifu na ninaweza kuitumia;
Nimeijua kabisa, lakini ni vigumu kuitumia;
kujifunza kwa sehemu;
sikuipata.
Baada ya kupitia majibu, toa hitimisho kuhusu utayari wa wanafunzi kwa kazi ya vitendo.
Vitabu vilivyotumika:
Valutse I.I., Diligulin G.D. Hisabati kwa shule za ufundi.
Kramer N.Sh., Putko B.A., Trishin I.M. Hisabati ya juu kwa wachumi.
Danko P.E., Popov A.G. Hisabati ya juu, sehemu ya 1.
Zvanich L.I., Ryazanovsky A.R. M., Shule mpya.
Gazeti "Hisabati". Nyumba ya kuchapisha "Kwanza ya Septemba".
Kiambatisho Nambari 1
Kokotoa viambatanisho dhahiri na utatambua mojawapo ya kauli za mwanahisabati Mfaransa S.D. Poisson.
9
Maisha
Tatu
Mbili
Mambo
Kazi
Hisabati
Hesabu
Kufundisha
Yake
Imepambwa
Kwa kusahau
Kiambatisho Namba 2
KESI KUU ZA MAHALI PALE KIELELEZO GHOROFA NA MFUMO WA ENEO LINALOHUSIANA
______________________________________
_
__________________________________
______
________________________________
______
___________________________________
Kielelezo ambacho kina ulinganifu kuhusu mhimili wa kuratibu au asili.
Kiambatisho Namba 3
Kwa kutumia kiunga cha uhakika, andika kanuni za kuhesabu maeneo ya takwimu zenye kivuli kwenye takwimu.
_________________________________________
__________________________________________
___________________________________________
___________________________________________
____________________________________________
Kiambatisho Namba 4
Pata sababu ya "nje" ambayo haikuruhusu kuhesabu eneo la takwimu.
Picha 1
Kielelezo cha 2
Kielelezo cha 3
Kielelezo cha 4
_____________________________
Kiambatisho Namba 5
Kazi ya kujitegemea
Chaguo 1
Andika kwa kutumia viunga vya eneo la takwimu na uzihesabu
Chora maumbo, plambao maeneo yao ni sawa na viambatanisho vifuatavyo:
Kazi ya kujitegemea
Chaguo la 2
Amua ikiwa taarifa zifuatazo ni za kweli:
Rekodi nakutumia viunga vya eneo la takwimu na kuzihesabu
Chora takwimu ambazo maeneo yake ni sawa na viambatanisho vifuatavyo:
26. Kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege kwa kutumia kiunganishi cha uhakika
Ufafanuzi 1.Trapezoid ya Curvilinear, inayotolewa na grafu ya chaguo za kukokotoa zisizo hasi f kwenye sehemu, takwimu iliyofungwa na sehemu inaitwa 
mhimili wa x, sehemu za mstari 
,
na grafu ya kazi 
juu 
.
1. Hebu tugawanye sehemu 
pointi katika sehemu za sehemu.
2. Katika kila sehemu 
(wapi k=1,2,...,n) chagua hatua ya kiholela 
.
3. Kuhesabu maeneo ya mistatili ambayo besi zake ni sehemu 
x-shoka, na urefu una urefu 
. Kisha eneo la takwimu iliyopigwa inayoundwa na mstatili huu ni sawa na 
.
Kumbuka kwamba jinsi urefu wa sehemu za sehemu unavyopungua, ndivyo takwimu iliyopigwa iko karibu na eneo la trapezoid ya curvilinear iliyotolewa. Kwa hivyo, ni kawaida kutoa ufafanuzi ufuatao.
Ufafanuzi 2.Eneo la trapezoid iliyopotoka, inayotokana na grafu ya chaguo za kukokotoa zisizo hasi f kwenye sehemu 
, inaitwa kikomo (kama urefu wa sehemu zote za sehemu huelekea 0) ya maeneo ya takwimu zilizopigwa ikiwa:
1) kikomo hiki kipo na kina mwisho;
2) haitegemei jinsi sehemu imegawanywa 
katika sehemu za sehemu;
3) haitegemei uchaguzi wa pointi 
.
Nadharia 1.Ikiwa kazi
inayoendelea na isiyo mbaya kwa muda 
, basi curvilinear trapezoidF,kazi inayotokana na grafufjuu 
, ina eneo, ambalo linahesabiwa kwa fomula 
.
Kutumia kiunga cha uhakika, unaweza kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege na ngumu zaidi.
Kama f Na g- inayoendelea na isiyo hasi kwenye sehemu
kazi kwa kila mtu x kutoka kwa sehemu
ukosefu wa usawa unashikilia 
, kisha eneo la takwimu F, iliyopunguzwa na mistari iliyonyooka 
,
na grafu za kazi 
,
, iliyohesabiwa kwa fomula
.
Maoni. Ikiwa tunatupilia mbali hali ya kutokuwa hasi kwa kazi f Na g, fomula ya mwisho inabaki kuwa kweli.
Mada ya 9. Milinganyo tofauti
27. Dhana ya equation tofauti. Suluhisho la jumla na maalum. Tatizo la uchungu. Tatizo la kujenga mfano wa hisabati wa mchakato wa idadi ya watu
Nadharia ya milinganyo tofauti iliibuka mwishoni mwa karne ya 17 chini ya ushawishi wa mahitaji ya mechanics na taaluma zingine za sayansi asilia, kimsingi wakati huo huo na hesabu muhimu na tofauti.
Ufafanuzi 1.n- utaratibu ni mlinganyo wa namna ambayo 
- kazi isiyojulikana.
Ufafanuzi 2. Kazi 
inaitwa suluhisho la equation tofauti kwenye muda I, ikiwa baada ya kubadilishwa kwa chaguo hili la kukokotoa na viasili vyake mlinganyo wa kutofautisha unakuwa utambulisho.
Tatua mlinganyo wa tofauti- ni kutafuta suluhu zake zote.
Ufafanuzi 3. Grafu ya suluhisho la equation tofauti inaitwa curve muhimu equation tofauti.
Ufafanuzi 4.Mlinganyo wa kawaida wa kutofautisha 1- utaratibu inayoitwa equation ya fomu 
.
Ufafanuzi 5. Mlinganyo wa fomu 
kuitwa equation tofauti 1- utaratibu,kutatuliwa kwa heshima na derivative.
Kama sheria, equation yoyote ya kutofautisha ina suluhisho nyingi sana. Ili kuchagua suluhisho moja kutoka kwa jumla ya suluhisho zote, masharti ya ziada lazima yawekwe.
Ufafanuzi 6. Hali ya aina 
iliyowekwa juu ya suluhisho la equation ya kutofautisha ya agizo la 1 inaitwa hali ya awali, au Hali ya uchungu.
Kijiometri, hii ina maana kwamba curve muhimu inayolingana inapita kwenye uhakika 
.
Ufafanuzi 7.Suluhisho la jumla Mlingano wa tofauti wa agizo la 1 
kwenye eneo la gorofa D inaitwa familia ya parameta moja ya kazi 
, kukidhi masharti:
1) kwa mtu yeyote 
kazi 
ni suluhisho la equation;
2) kwa kila nukta 
kuna thamani ya parameter hiyo 
, kwamba kazi inayolingana 
ni suluhu kwa mlinganyo unaokidhi hali ya awali 
.
Ufafanuzi 8. Suluhisho lililopatikana kutoka kwa suluhisho la jumla kwa thamani fulani ya parameter inaitwa suluhisho la kibinafsi equation tofauti.
Ufafanuzi 9.Kwa uamuzi maalum Equation tofauti ni suluhisho lolote ambalo haliwezi kupatikana kutoka kwa ufumbuzi wa jumla kwa thamani yoyote ya parameter.
Kutatua milinganyo ya kutofautisha ni tatizo gumu sana, na kwa ujumla, kadiri mpangilio wa equation unavyokuwa juu, ndivyo inavyokuwa vigumu kutaja njia za kutatua equation. Hata kwa hesabu za kutofautisha za mpangilio wa kwanza, inawezekana kuonyesha njia za kupata suluhisho la jumla tu katika idadi ndogo ya kesi maalum. Kwa kuongezea, katika kesi hizi, suluhisho linalohitajika sio kazi ya kimsingi kila wakati.
Mojawapo ya shida kuu za nadharia ya milinganyo tofauti, iliyosomwa kwanza na O. Cauchy, ni kupata suluhisho la mlingano wa kutofautisha ambao unakidhi masharti yaliyotolewa ya awali.
Kwa mfano, kuna suluhu la mlinganyo wa kutofautisha kila wakati 
, kukidhi hali ya awali 
, na itakuwa ya pekee? Kwa ujumla, jibu ni hapana. Kwa kweli, equation 
, upande wa kulia ambao unaendelea kwenye ndege nzima, una ufumbuzi y=0 na y=(x+C) 3 ,CR
. Kwa hivyo, kupitia hatua yoyote kwenye mhimili wa O X hupitia curves mbili muhimu.
Kwa hivyo chaguo la kukokotoa lazima likidhi mahitaji fulani. Nadharia ifuatayo ina mojawapo ya lahaja za hali ya kutosha ya kuwepo na upekee wa suluhisho la mlinganyo wa kutofautisha. 
, kukidhi hali ya awali 
.
Kutoka kwa ufafanuzi inafuata kwamba kwa kazi isiyo hasi f(x) kiunganishi dhahiri ni sawa na eneo la trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na curve y = f (x), mistari iliyonyooka x = a, x = b. na abscissa = 0 (Mchoro 4.1).
Ikiwa chaguo la kukokotoa - f(x) sio chanya, basi kiunga cha uhakika 
sawa na eneo la trapezoid inayolingana ya curvilinear, iliyochukuliwa na ishara ya minus (Mchoro 4.7).
Mchoro 4.7 - Maana ya kijiometri ya kiunganishi cha uhakika kwa kazi isiyo chanya
Kwa chaguo la kukokotoa la kuendelea kiholela f(x), kiunganishi dhahiri 
ni sawa na jumla ya maeneo ya curvilinear trapezoidi yaliyo chini ya grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) na juu ya mhimili wa abscissa, ukiondoa jumla ya maeneo ya curvilinear trapezoidi yaliyo juu ya grafu ya chaguo za kukokotoa f(x) na chini. mhimili wa abscissa (Mchoro 4.8).
Mchoro 4.8 - Maana ya kijiometri ya kiunganishi dhahiri kwa kitendakazi kiholela f(x) (alama ya kujumlisha huashiria eneo ambalo limeongezwa, na alama ya minus huashiria eneo ambalo limetolewa).
Wakati wa kuhesabu maeneo ya takwimu za curvilinear katika mazoezi, formula ifuatayo hutumiwa mara nyingi: 
, ambapo S ni eneo la kielelezo lililofungwa kati ya mikunjo y = f 1 (x) na y = f 2 (x) kwenye sehemu [a,b], na f 1 (x) na f 2 (x) ) ni vitendaji vinavyoendelea vilivyofafanuliwa kwenye sehemu hii, kama vile f 1 (x) ≥ f 2 (x) (ona Mchoro 4.9, 4.10).
Wakati wa kusoma maana ya kiuchumi ya derivative, ilibainika kuwa derivative hufanya kama kiwango cha mabadiliko ya kitu fulani cha kiuchumi au mchakato kwa muda au kuhusiana na sababu nyingine chini ya utafiti. Ili kuanzisha maana ya kiuchumi ya kiunga fulani, ni muhimu kuzingatia kasi hii yenyewe kama kazi ya wakati au sababu nyingine. Halafu, kwa kuwa kiunga cha uhakika kinawakilisha mabadiliko katika kizuia derivative, tunapata kwamba katika uchumi inatathmini mabadiliko katika kitu hiki (mchakato) kwa muda fulani (au kwa mabadiliko fulani katika sababu nyingine).
Kwa mfano, ikiwa chaguo la kukokotoa q=q(t) linaelezea tija ya kazi kulingana na wakati, basi kiunganishi dhahiri cha chaguo hili la kukokotoa. 
inawakilisha kiasi cha pato Q kwa kipindi cha muda kutoka t 0 hadi t 1.
Mbinu za kuhesabu viambatanisho vya uhakika zinatokana na njia za ujumuishaji zilizojadiliwa hapo awali (hatutafanya uthibitisho).
Wakati wa kupata muunganisho usiojulikana, tulitumia mbinu ya mabadiliko ya kubadilika kulingana na fomula: f(x)dx= =f((t))`(t)dt, ambapo x =(t) ni chaguo la kukokotoa. kutofautisha kati ya inayozingatiwa. Kwa muunganisho dhahiri, fomula ya mabadiliko ya kubadilika huchukua fomu 
, Wapi 
na kwa kila mtu.
Mfano 1. Tafuta
Acha t=2 –x2. Kisha dt= -2xdx na xdx= - ½dt.
Kwa x = 0 t= 2 - 0 2 = 2. Katika x = 1t= 2 - 1 2 = 1. Kisha
Mfano 2. Tafuta
Mfano 3. Tafuta
Ujumuishaji na fomula ya sehemu kwa kiunganishi dhahiri huchukua fomu: 
, Wapi 
.
Mfano 1. Tafuta
Acha u=ln(1 +x),dv=dx. Kisha
Mfano 2. Tafuta
Kuhesabu maeneo ya takwimu za ndege kwa kutumia kiunganishi dhahiri
Mfano 1. Pata eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y = x 2 - 2 na y = x.
Grafu ya kazi y= x 2 - 2 ni parabola yenye kiwango cha chini cha x= 0, y= -2; Mhimili wa abscissa huingilia kwenye pointi 
. Grafu ya kazi y = x ni mstari wa moja kwa moja, sehemu mbili ya roboduara ya kuratibu isiyo hasi.
Hebu tupate kuratibu za pointi za makutano ya parabola y = x 2 - 2 na mstari wa moja kwa moja y = x kwa kutatua mfumo wa equations hizi:
x 2 – x - 2 = 0
x = 2; y= 2 au x = -1;y= -1
Kwa hivyo, takwimu ambayo eneo lake linahitaji kupatikana linaweza kuwakilishwa kwenye Mchoro 4.9.
Kielelezo 4.9 - Kielelezo kilichofungwa na mistari y = x 2 - 2 na y = x
Kwenye sehemu [-1, 2] x ≥ x 2 – 2.
Hebu tumia fomula 
, kuweka f 1 (x) = x; f 2 (x) = x 2 – 2;a= -1;b= 2.
Mfano 2. Pata eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y = 4 - x 2 na y = x 2 - 2x.
Grafu ya kazi y = 4 - x 2 ni parabola yenye kiwango cha juu cha x = 0, y = 4; Mhimili wa x hukatiza kwa pointi 2 na -2. Grafu ya kazi y = x 2 - 2x ni parabola yenye kiwango cha chini cha 2x- 2 = 0, x = 1;y = -1; Mhimili wa x hukatiza kwa pointi 0 na 2.
Wacha tupate kuratibu za sehemu za makutano ya curves:
4 - x 2 = x 2 – 2x
2x 2 - 2x - 4 = 0
x 2 – x - 2 = 0
x = 2; y= 0 au x = -1;y= 3
Kwa hivyo, takwimu ambayo eneo lake linahitaji kupatikana linaweza kuwakilishwa kwenye Mchoro 4.10.
Kielelezo 4.10 - Kielelezo kilichofungwa na mistari y = 4 - x 2 na y = x 2 - 2x
Kwenye sehemu [-1, 2] 4 - x 2 ≥ x 2 - 2x.
Hebu tumia fomula 
, kuweka f 1 (x) = 4 - - x 2; f 2 (x) = x 2 – 2x;a= -1;b= 2.
Mfano 3. Pata eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y = 1/x; y = x 2 na y = 4 katika roboduara ya kuratibu isiyo hasi.
Grafu ya chaguo za kukokotoa y = 1/x ni hyperbola; kwa chanya x ni laini kuelekea chini; shoka za kuratibu ni asymptotes. Grafu ya chaguo za kukokotoa y = x 2 katika roboduara ya kuratibu isiyo hasi ni tawi la parabola lenye alama ya chini kabisa kwenye asili. Grafu hizi huingiliana kwa 1/x = x 2; x 3 = 1; x = 1; y = 1.
Grafu ya kazi y = 1/x inaingilia mstari wa moja kwa moja y = 4 saa x = 1/4, na grafu ya kazi y = x 2 saa x = 2 (au -2).
Kwa hivyo, takwimu ambayo eneo lake linahitaji kupatikana linaweza kuwakilishwa kwenye Mchoro 4.11.
Kielelezo 4.11 - Kielelezo kimefungwa na mistari y = 1 / x; y= x 2 na y= 4 katika roboduara ya kuratibu isiyo hasi
Eneo linalohitajika la takwimu ABC ni sawa na tofauti kati ya eneo la mstatili ABHE, ambayo ni sawa na 4 * (2 - ¼) = 7, na jumla ya maeneo ya trapezoids mbili za curvilinear ACFE na CBHF. Wacha tuhesabu eneo la ACFE:
Wacha tuhesabu eneo la SVНF:
.
Kwa hiyo, eneo linalohitajika ni 7 - (ln4 + 7/3) = 14/3 -ln43.28 (kitengo 2).
Wacha tuendelee kuzingatia matumizi ya hesabu muhimu. Katika somo hili tutachambua kazi ya kawaida na ya kawaida kuhesabu eneo la takwimu ya ndege kwa kutumia kiunga fulani. Hatimaye, wale wote wanaotafuta maana katika hisabati ya juu waipate. Hauwezi kujua. Katika maisha halisi, italazimika kukadiria njama ya dacha kwa kutumia kazi za kimsingi na kupata eneo lake kwa kutumia kiunganishi dhahiri.
Ili kufanikiwa kwa nyenzo, lazima:
1) Elewa kiunganishi kisichojulikana angalau katika kiwango cha kati. Kwa hivyo, dummies inapaswa kwanza kusoma somo Sivyo.
2) Awe na uwezo wa kutumia fomula ya Newton-Leibniz na kukokotoa kiunga kamili. Unaweza kuanzisha mahusiano ya kirafiki ya joto na viungo fulani kwenye ukurasa Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi. Kazi "kuhesabu eneo kwa kutumia kiunganishi cha uhakika" daima inahusisha kujenga kuchora, hivyo ujuzi wako na ujuzi wa kuchora pia itakuwa suala muhimu. Kwa uchache, unahitaji kuwa na uwezo wa kujenga mstari wa moja kwa moja, parabola na hyperbola.
Wacha tuanze na trapezoid iliyopindika. Trapezoidi iliyopinda ni kielelezo bapa kinachopakana na grafu ya baadhi ya utendaji y = f(x), mhimili OX na mistari x = a; x = b.
Eneo la trapezoid ya curvilinear ni nambari sawa na kiunganishi dhahiri
Kiunga chochote cha uhakika (kilichopo) kina maana nzuri sana ya kijiometri. Kwenye somo Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi tulisema kuwa kiunganishi dhahiri ni nambari. Na sasa ni wakati wa kusema ukweli mwingine muhimu. Kwa mtazamo wa jiometri, kiunga cha uhakika ni AREA. Hiyo ni, kiunga cha uhakika (ikiwa kipo) kijiometri inalingana na eneo la takwimu fulani. Fikiria kiunga cha uhakika
Integrand
inafafanua Curve kwenye ndege (inaweza kuchorwa ikiwa inataka), na kiunga halisi yenyewe ni nambari sawa na eneo la trapezoid inayolingana ya curvilinear.
Mfano 1
, , , .
Hii ni taarifa ya kawaida ya mgawo. Jambo muhimu zaidi katika uamuzi ni ujenzi wa kuchora. Aidha, kuchora lazima kujengwa HAKI.
Wakati wa kuunda mchoro, ninapendekeza agizo lifuatalo: mwanzoni ni bora kuunda mistari yote iliyonyooka (ikiwa ipo) na tu Kisha- parabolas, hyperbolas, grafu za kazi zingine. Mbinu ya ujenzi wa hatua kwa hatua inaweza kupatikana katika nyenzo za kumbukumbu Grafu na mali ya kazi za msingi. Huko unaweza pia kupata nyenzo muhimu sana kwa somo letu - jinsi ya kujenga parabola haraka.
Katika shida hii, suluhisho linaweza kuonekana kama hii.
Wacha tufanye mchoro (kumbuka kuwa equation y= 0 inabainisha mhimili OX):
Hatutaweka kivuli kwenye trapezoid iliyopindika; hapa ni dhahiri ni eneo gani tunazungumza. Suluhisho linaendelea kama hii:
Kwenye sehemu [-2; 1] grafu ya kazi y = x 2 + 2 iko juu ya mhimiliOX, Ndiyo maana:
Jibu: .
Nani ana shida katika kuhesabu kiunganishi dhahiri na kutumia fomula ya Newton-Leibniz
,
rejea hotuba Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi. Baada ya kazi kukamilika, ni muhimu kila wakati kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. Katika kesi hii, tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro "kwa jicho" - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tulipata, sema, jibu: vitengo 20 vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 haziingii kwenye takwimu inayohusika, zaidi ya dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.
Mfano 2
Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari xy = 4, x = 2, x= 4 na mhimili OX.
Huu ni mfano kwako kutatua peke yako. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.
Nini cha kufanya ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimiliOX?
Mfano 3
Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y = e-x, x= 1 na kuratibu shoka.
Suluhisho: Wacha tufanye mchoro:
Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko kabisa chini ya mhimili OX , basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:
Kwa kesi hii:
.
Makini! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:
1) Iwapo utaulizwa kutatua kiunganishi dhahiri bila maana yoyote ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.
2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndio maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.
Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu hiyo iko katika ndege ya juu na ya chini, na kwa hiyo, kutokana na matatizo rahisi ya shule tunaendelea kwa mifano yenye maana zaidi.
Mfano 4
Pata eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari y = 2x – x 2 , y = -x.
Suluhisho: Kwanza unahitaji kufanya kuchora. Wakati wa kuunda mchoro katika shida za eneo, tunavutiwa zaidi na sehemu za makutano ya mistari. Wacha tupate sehemu za makutano ya parabola y = 2x – x 2 na moja kwa moja y = -x. Hii inaweza kufanyika kwa njia mbili. Njia ya kwanza ni ya uchambuzi. Tunatatua equation:
Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ushirikiano a= 0, kikomo cha juu cha ujumuishaji b= 3. Mara nyingi ni faida zaidi na kwa haraka zaidi kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya kuunganisha inakuwa wazi "yenyewe." Walakini, njia ya uchambuzi ya kupata mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa ya kutosha, au ujenzi wa kina haukufunua mipaka ya ujumuishaji (inaweza kuwa ya sehemu au isiyo na maana). Wacha turudi kwenye kazi yetu: ni busara zaidi kwanza kuunda mstari ulionyooka na kisha tu parabola. Wacha tufanye mchoro:
Wacha turudie kwamba wakati wa kujenga pointwise, mipaka ya ujumuishaji mara nyingi huamuliwa "moja kwa moja".
Na sasa formula ya kufanya kazi:
Ikiwa kwenye sehemu [ a; b] utendakazi fulani endelevu f(x) kubwa kuliko au sawa na kazi fulani inayoendelea g(x), basi eneo la takwimu inayolingana linaweza kupatikana kwa kutumia formula:
Hapa huhitaji tena kufikiri juu ya wapi takwimu iko - juu ya mhimili au chini ya mhimili, lakini ni muhimu ni grafu ipi iliyo JUU(kuhusiana na grafu nyingine), na ipi iliyo HAPA CHINI.
Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo kutoka 2. x – x 2 lazima iondolewe - x.
Suluhisho lililokamilishwa linaweza kuonekana kama hii:
Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola y = 2x – x 2 juu na moja kwa moja y = -x chini.
Kwenye sehemu ya 2 x – x 2 ≥ -x. Kulingana na formula inayolingana:
Jibu: .
Kwa kweli, formula ya shule ya eneo la trapezoid ya curvilinear katika nusu ya chini ya ndege (tazama mfano No. 3) ni kesi maalum ya formula.
.
Kwa sababu mhimili OX iliyotolewa na equation y= 0, na grafu ya chaguo la kukokotoa g(x) iko chini ya mhimili OX, Hiyo
.
Na sasa mifano michache kwa suluhisho lako mwenyewe
Mfano 5
Mfano 6
Pata eneo la takwimu iliyofungwa na mistari
Wakati wa kutatua matatizo yanayohusisha eneo la kukokotoa kwa kutumia kiunganishi dhahiri, tukio la kuchekesha wakati mwingine hutokea. Mchoro ulifanyika kwa usahihi, mahesabu yalikuwa sahihi, lakini kwa sababu ya kutojali ... Eneo la takwimu mbaya lilipatikana.
Mfano 7
Kwanza, wacha tufanye mchoro:
Kielelezo ambacho eneo ambalo tunahitaji kupata ni kivuli cha bluu(angalia kwa makini hali - jinsi takwimu ni mdogo!). Lakini kwa mazoezi, kwa sababu ya kutojali, mara nyingi watu huamua kuwa wanahitaji kupata eneo la takwimu ambalo limetiwa kivuli kijani!
Mfano huu pia ni muhimu kwa sababu huhesabu eneo la takwimu kwa kutumia viambatanisho viwili dhahiri. Kweli:
1) Kwenye sehemu [-1; 1] juu ya mhimili OX grafu iko sawa y = x+1;
2) Kwenye sehemu iliyo juu ya mhimili OX grafu ya hyperbola iko y = (2/x).
Ni dhahiri kwamba maeneo yanaweza (na yanapaswa) kuongezwa, kwa hivyo:
Jibu:
Mfano 8
Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari
Hebu tuwasilishe milinganyo katika fomu ya "shule".
na ufanye mchoro wa hatua kwa hatua:
Kutoka kwa mchoro ni wazi kuwa kikomo chetu cha juu ni "nzuri": b = 1.
Lakini ni nini kikomo cha chini?! Ni wazi kuwa hii sio nambari kamili, lakini ni nini?
Labda, a=(-1/3)? Lakini ni wapi dhamana ya kwamba mchoro unafanywa kwa usahihi kamili, inaweza kugeuka kuwa hivyo a=(-1/4). Ikiwa tutaunda grafu vibaya?
Katika hali hiyo, unapaswa kutumia muda wa ziada na kufafanua mipaka ya ushirikiano kwa uchambuzi.
Wacha tupate sehemu za makutano ya grafu
Ili kufanya hivyo, tunatatua equation:
.
Kwa hivyo, a=(-1/3).
Suluhisho zaidi ni ndogo. Jambo kuu sio kuchanganyikiwa katika uingizwaji na ishara. Mahesabu hapa sio rahisi zaidi. Kwenye sehemu
, 
,
kulingana na formula inayofaa:
Jibu: 
Kuhitimisha somo, hebu tuangalie kazi mbili ngumu zaidi.
Mfano 9
Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari
Suluhisho: Wacha tuonyeshe takwimu hii kwenye mchoro.
Ili kujenga kuchora kwa uhakika, unahitaji kujua kuonekana kwa sinusoid. Kwa ujumla, ni muhimu kujua grafu za kazi zote za msingi, pamoja na maadili kadhaa ya sine. Wanaweza kupatikana katika jedwali la maadili kazi za trigonometric. Katika baadhi ya matukio (kwa mfano, katika kesi hii), inawezekana kujenga mchoro wa schematic, ambayo grafu na mipaka ya ushirikiano inapaswa kuonyeshwa kimsingi kwa usahihi.
Hakuna shida na mipaka ya ujumuishaji hapa; wanafuata moja kwa moja kutoka kwa hali:
- "x" hubadilika kutoka sufuri hadi "pi". Wacha tufanye uamuzi zaidi:
Kwenye sehemu, grafu ya chaguo za kukokotoa y= dhambi 3 x iko juu ya mhimili OX, Ndiyo maana:
(1) Unaweza kuona jinsi sine na kosini zimeunganishwa katika nguvu zisizo za kawaida katika somo Viunga vya kazi za trigonometric. Tunapunguza sinus moja.
(2) Tunatumia utambulisho mkuu wa trigonometric katika fomu
(3) Wacha tubadilishe utofauti t=cos x, basi: iko juu ya mhimili, kwa hivyo:
.
.
Kumbuka: kumbuka jinsi kiunganishi cha mchemraba wa tanjiti kinachukuliwa; muhtasari wa utambulisho wa msingi wa trigonometric hutumiwa hapa.
.