Berkemungkinan besar... Takrifan statistik kebarangkalian

Jelaslah bahawa setiap kejadian mempunyai tahap kemungkinan yang berbeza-beza untuk berlakunya (pelaksanaannya). Untuk membandingkan peristiwa secara kuantitatif antara satu sama lain mengikut tahap kemungkinannya, jelas, adalah perlu untuk mengaitkan dengan setiap peristiwa nombor tertentu, yang lebih besar lebih mungkin acara itu. Nombor ini dipanggil kebarangkalian sesuatu peristiwa.

Kebarangkalian kejadian– ialah ukuran berangka tahap kemungkinan objektif kejadian peristiwa ini.

Pertimbangkan eksperimen stokastik dan peristiwa rawak A yang diperhatikan dalam eksperimen ini. Mari kita ulangi eksperimen ini n kali dan biarkan m(A) ialah bilangan eksperimen di mana peristiwa A berlaku.

Perhubungan (1.1)

dipanggil frekuensi relatif peristiwa A dalam siri eksperimen yang dilakukan.

Adalah mudah untuk mengesahkan kesahihan sifat:

jika A dan B tidak konsisten (AB= ), maka ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)

Kekerapan relatif ditentukan hanya selepas satu siri eksperimen dan, secara amnya, boleh berbeza dari satu siri ke siri. Walau bagaimanapun, pengalaman menunjukkan bahawa dalam banyak kes, apabila bilangan eksperimen meningkat, kekerapan relatif menghampiri nombor tertentu. Fakta kestabilan frekuensi relatif ini telah berulang kali disahkan dan boleh dianggap sebagai eksperimen yang ditubuhkan.

Contoh 1.19.. Jika anda melemparkan satu syiling, tiada siapa yang boleh meramalkan bahagian mana ia akan mendarat di atas. Tetapi jika anda membuang dua tan syiling, maka semua orang akan mengatakan bahawa kira-kira satu tan akan jatuh dengan jata, iaitu, kekerapan relatif jata jatuh adalah kira-kira 0.5.

Jika, dengan peningkatan dalam bilangan eksperimen, kekerapan relatif bagi peristiwa ν(A) cenderung kepada beberapa nombor tetap, maka mereka mengatakan bahawa peristiwa A adalah stabil secara statistik, dan nombor ini dipanggil kebarangkalian kejadian A.

Kebarangkalian kejadian A beberapa nombor tetap P(A) dipanggil, yang mana kekerapan relatif ν(A) peristiwa ini cenderung apabila bilangan eksperimen bertambah, iaitu,

Definisi ini dipanggil definisi statistik kebarangkalian .

Mari kita pertimbangkan eksperimen stokastik tertentu dan biarkan ruang peristiwa asasnya terdiri daripada set peristiwa asas terhingga atau tak terhingga (tetapi boleh dikira) ω 1, ω 2, …, ω i, …. Mari kita andaikan bahawa setiap peristiwa asas ω i diberikan nombor tertentu - р i, mencirikan tahap kemungkinan kejadian itu. daripada unsur ini acara dan memenuhi sifat berikut:

Nombor p i ini dipanggil kebarangkalian kejadian asasωi.

Biarkan sekarang A menjadi peristiwa rawak yang diperhatikan dalam eksperimen ini, dan biarkan ia sepadan dengan set tertentu

Dalam tetapan ini kebarangkalian sesuatu kejadian A panggil jumlah kebarangkalian peristiwa asas yang memihak kepada A(termasuk dalam set A yang sepadan):

(1.4)

Kebarangkalian yang diperkenalkan dengan cara ini mempunyai sifat yang sama dengan frekuensi relatif, iaitu:

Dan jika AB = (A dan B tidak serasi),

maka P(A+B) = P(A) + P(B)

Sesungguhnya, menurut (1.4)

Dalam perhubungan terakhir, kami mengambil kesempatan daripada fakta bahawa tidak satu pun acara asas boleh memihak kepada dua acara yang tidak serasi pada masa yang sama.

Kami amat ambil perhatian bahawa teori kebarangkalian tidak menunjukkan kaedah untuk menentukan p i ia mesti dicari daripada pertimbangan bersifat praktikal atau diperoleh daripada eksperimen statistik yang sesuai.

Sebagai contoh, pertimbangkan skema klasik teori kebarangkalian. Untuk melakukan ini, pertimbangkan eksperimen stokastik, ruang peristiwa asas yang terdiri daripada bilangan unsur terhingga (n). Selain itu, mari kita andaikan bahawa semua peristiwa asas ini adalah sama mungkin, iaitu, kebarangkalian peristiwa asas adalah sama dengan p(ω i)=p i =p. Ia berikutan itu

Contoh 1.20. Apabila melemparkan syiling simetri, mendapatkan kepala dan ekor adalah sama mungkin, kebarangkalian mereka adalah sama dengan 0.5.

Contoh 1.21. Apabila melontar dadu simetri, semua muka adalah sama mungkin, kebarangkalian mereka adalah sama dengan 1/6.

Sekarang biarkan peristiwa A digemari oleh m peristiwa asas, ia biasanya dipanggil hasil yang menggalakkan kepada peristiwa A. Kemudian

Dapat definisi klasik kebarangkalian: kebarangkalian P(A) peristiwa A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang menguntungkan kepada peristiwa A kepada jumlah bilangan hasil

Contoh 1.22. Guci itu mengandungi m bola putih dan n bola hitam. Apakah kebarangkalian untuk mengeluarkannya? bola putih?

Penyelesaian. Jumlah bilangan peristiwa asas ialah m+n. Mereka semua berkemungkinan sama. Peristiwa yang menggembirakan A yang mana m. Oleh itu, .

Sifat-sifat berikut mengikut takrifan kebarangkalian:

Harta 1. Kebarangkalian acara yang boleh dipercayai sama dengan satu.

Sesungguhnya, jika acara itu boleh dipercayai, maka setiap keputusan asas ujian itu memihak kepada acara itu. Dalam kes ini t=p, oleh itu,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Harta 2. Kebarangkalian peristiwa yang mustahil sama dengan sifar.

Sesungguhnya, jika sesuatu peristiwa itu mustahil, maka tiada satu pun hasil asas ujian itu memihak kepada peristiwa itu. Dalam kes ini T= 0, oleh itu, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Harta 3.Kebarangkalian peristiwa rawak ialah nombor positif antara sifar dan satu.

Sesungguhnya, hanya sebahagian daripada jumlah hasil asas ujian yang digemari oleh peristiwa rawak. Iaitu, 0≤m≤n, yang bermaksud 0≤m/n≤1, oleh itu, kebarangkalian sebarang kejadian memenuhi ketaksamaan berganda 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Membandingkan takrifan kebarangkalian (1.5) dan kekerapan relatif (1.1), kami membuat kesimpulan: takrifan kebarangkalian tidak memerlukan ujian dijalankan sebenarnya; takrifan kekerapan relatif mengandaikan bahawa ujian sebenarnya telah dijalankan. Dalam kata lain, kebarangkalian dikira sebelum eksperimen, dan kekerapan relatif - selepas eksperimen.

Walau bagaimanapun, mengira kebarangkalian memerlukan maklumat awal tentang bilangan atau kebarangkalian hasil asas yang menguntungkan untuk peristiwa tertentu. Dengan ketiadaan maklumat awal tersebut, data empirikal digunakan untuk menentukan kebarangkalian, iaitu kekerapan relatif kejadian ditentukan berdasarkan keputusan eksperimen stokastik.

Contoh 1.23. Jabatan kawalan teknikal ditemui 3 bahagian bukan standard dalam kumpulan 80 bahagian yang dipilih secara rawak. Kekerapan relatif kejadian bahagian bukan piawai r(A)= 3/80.

Contoh 1.24. Mengikut tujuan.dihasilkan 24 pukulan, dan 19 hits telah direkodkan. Kadar sasaran sasaran relatif. r(A)=19/24.

Pemerhatian jangka panjang menunjukkan bahawa jika dalam syarat yang sama buat eksperimen, di mana setiap satunya bilangan ujian cukup besar, maka frekuensi relatif menunjukkan sifat kestabilan. Harta ini adalah bahawa dalam eksperimen yang berbeza frekuensi relatif berubah sedikit (semakin kurang, lebih banyak ujian dilakukan), turun naik di sekitar nombor tetap tertentu. Ternyata ini nombor tetap boleh diambil sebagai nilai kebarangkalian anggaran.

Butiran lanjut dan lebih tepat sambungannya antara kekerapan relatif dan kebarangkalian akan digariskan di bawah. Sekarang mari kita menggambarkan sifat kestabilan dengan contoh.

Contoh 1.25. Menurut statistik Sweden, kekerapan relatif kelahiran kanak-kanak perempuan untuk tahun 1935 mengikut bulan dicirikan oleh nombor berikut (nombor disusun mengikut urutan bulan, bermula dengan Januari): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Kekerapan relatif turun naik di sekitar nombor 0.481, yang boleh diambil sebagai nilai anggaran kebarangkalian mempunyai anak perempuan.

Perhatikan bahawa data statistik pelbagai negara berikan lebih kurang nilai frekuensi relatif yang sama.

Contoh 1.26. Eksperimen melempar syiling telah dijalankan berkali-kali, di mana bilangan penampilan "jata" dikira. Keputusan beberapa eksperimen ditunjukkan dalam jadual.

Pada Apabila menilai kebarangkalian berlakunya sebarang peristiwa rawak, adalah sangat penting untuk mempunyai pemahaman yang baik sama ada kebarangkalian () kejadian peristiwa yang kita minati bergantung pada bagaimana peristiwa lain berkembang.

Dalam kes skema klasik, apabila semua hasil berkemungkinan sama, kita sudah boleh menganggarkan nilai kebarangkalian peristiwa individu yang menarik minat kita secara bebas. Kita boleh melakukan ini walaupun acara itu merupakan koleksi kompleks beberapa hasil asas. Bagaimana jika beberapa peristiwa rawak berlaku secara serentak atau berurutan? Bagaimanakah ini mempengaruhi kemungkinan peristiwa yang kita berminat untuk berlaku?

Jika saya membaling dadu beberapa kali dan mahu enam muncul, dan saya terus bernasib malang, adakah itu bermakna saya perlu meningkatkan pertaruhan kerana, mengikut teori kebarangkalian, saya akan bertuah? Malangnya, teori kebarangkalian tidak menyatakan perkara seperti ini. Tiada dadu, tiada kad, tiada syiling tak ingat apa yang mereka tunjukkan kepada kami kali terakhir. Tidak kira bagi mereka sama ada kali pertama atau kesepuluh saya menguji nasib hari ini. Setiap kali saya mengulangi gulungan, saya hanya tahu satu perkara: dan kali ini kebarangkalian untuk mendapat enam adalah sekali lagi satu perenam. Sudah tentu, ini tidak bermakna bahawa nombor yang saya perlukan tidak akan muncul. Ini bermakna kekalahan saya selepas lontaran pertama dan selepas lontaran lain adalah acara bebas.

Peristiwa A dan B dipanggil bebas, jika pelaksanaan salah satu daripadanya tidak sama sekali menjejaskan kebarangkalian kejadian lain. Sebagai contoh, kebarangkalian mengenai sasaran dengan yang pertama daripada dua senjata tidak bergantung pada sama ada sasaran terkena senjata lain, jadi peristiwa "senjata pertama mengenai sasaran" dan "senjata kedua mengenai sasaran" adalah bebas.

Jika dua peristiwa A dan B adalah bebas, dan kebarangkalian setiap satu daripadanya diketahui, maka kebarangkalian kejadian serentak bagi kedua-dua peristiwa A dan peristiwa B (ditandakan AB) boleh dikira menggunakan teorem berikut.

Teorem pendaraban kebarangkalian untuk peristiwa bebas

P(AB) = P(A)*P(B)- kebarangkalian serentak permulaan dua bebas peristiwa adalah sama dengan kerja kebarangkalian kejadian ini.

Contoh.Kebarangkalian untuk terkena sasaran apabila menembak pistol pertama dan kedua adalah sama: p 1 =0.7; p 2 =0.8. Cari kebarangkalian pukulan dengan satu salvo oleh kedua-dua senjata secara serentak.

Penyelesaian: seperti yang telah kita lihat, peristiwa A (dipukul oleh pistol pertama) dan B (dipukul oleh pistol kedua) adalah bebas, i.e. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0.56.

Apakah yang berlaku kepada anggaran kami jika peristiwa awal tidak bebas? Mari kita ubah sedikit contoh sebelumnya.

Contoh.Dua penembak menembak sasaran pada pertandingan, dan jika salah seorang daripada mereka menembak dengan tepat, pihak lawan mula gugup dan keputusannya menjadi lebih teruk. Bagaimana untuk mengubah situasi harian ini menjadi masalah matematik dan gariskan cara untuk menyelesaikannya? Secara intuitif jelas bahawa kita perlu memisahkan kedua-dua pilihan itu perkembangan, buat dasarnya dua senario, dua tugas yang berbeza. Dalam kes pertama, jika lawan terlepas, senario akan menguntungkan atlet yang gementar dan ketepatannya akan lebih tinggi. Dalam kes kedua, jika pihak lawan mengambil peluangnya dengan sopan, kebarangkalian untuk mencapai sasaran untuk atlet kedua berkurangan.

Untuk memisahkan senario yang mungkin (sering dipanggil hipotesis) untuk pembangunan peristiwa, kita selalunya akan menggunakan gambar rajah "pokok kebarangkalian". Gambar rajah ini sama maksudnya dengan pokok keputusan yang mungkin telah anda uruskan. Setiap cawangan mewakili senario yang berasingan untuk perkembangan peristiwa, hanya kini ia mempunyai makna tersendiri yang dipanggil bersyarat kebarangkalian (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Skim ini sangat mudah untuk menganalisis peristiwa rawak berurutan.

Ia masih untuk menjelaskan satu lagi soalan penting: di manakah nilai awal kebarangkalian masuk situasi sebenar ? Lagipun, teori kebarangkalian tidak berfungsi dengan hanya syiling dan dadu? Biasanya anggaran ini diambil daripada statistik, dan apabila maklumat statistik tidak tersedia, kami menjalankan penyelidikan kami sendiri. Dan kita selalunya perlu bermula bukan dengan mengumpul data, tetapi dengan persoalan tentang maklumat yang sebenarnya kita perlukan.

Contoh.Katakan kita perlu menganggarkan volum pasaran untuk sebuah bandar dengan populasi seratus ribu penduduk. produk baru, yang bukan item penting, sebagai contoh, untuk balsem untuk penjagaan rambut berwarna. Mari kita pertimbangkan rajah "pokok kebarangkalian". Dalam kes ini, kita perlu menganggarkan nilai kebarangkalian pada setiap "cawangan". Jadi, anggaran kapasiti pasaran kami:

1) daripada semua penduduk bandar, 50% adalah wanita,

2) daripada semua wanita, hanya 30% mewarnakan rambut mereka dengan kerap,

3) daripada mereka, hanya 10% menggunakan balm untuk rambut berwarna,

4) daripada mereka, hanya 10% yang dapat mengumpulkan keberanian untuk mencuba produk baru,

5) 70% daripada mereka biasanya membeli segala-galanya bukan daripada kami, tetapi daripada pesaing kami.

Penyelesaian: Mengikut undang-undang pendaraban kebarangkalian, kami menentukan kebarangkalian peristiwa yang kami minati A = (penduduk bandar membeli balsem baru ini daripada kami) = 0.00045.

Mari kita darabkan nilai kebarangkalian ini dengan bilangan penduduk bandar. Akibatnya, kami hanya mempunyai 45 pelanggan berpotensi, dan memandangkan satu botol produk ini bertahan selama beberapa bulan, perdagangan tidak begitu meriah.

Namun terdapat beberapa manfaat daripada penilaian kami.

Pertama, kita boleh membandingkan ramalan idea perniagaan yang berbeza; mereka akan mempunyai "garpu" yang berbeza dalam rajah, dan, sudah tentu, nilai kebarangkalian juga akan berbeza.

Kedua, seperti yang telah kami katakan, nilai rawak Ia tidak dipanggil rawak kerana ia tidak bergantung pada apa-apa sama sekali. Hanya dia tepat maknanya tidak diketahui terlebih dahulu. Kami tahu bahawa purata bilangan pembeli boleh ditingkatkan (contohnya, dengan mengiklankan produk baharu). Oleh itu, masuk akal untuk menumpukan usaha kita pada "garpu" yang taburan kebarangkalian tidak sesuai dengan kita terutamanya, pada faktor-faktor yang boleh kita pengaruhi.

Mari lihat satu lagi contoh kuantitatif penyelidikan tentang tingkah laku pembelian.

Contoh. Secara purata, 10,000 orang mengunjungi pasar makanan setiap hari. Kebarangkalian pelawat pasar memasuki pavilion produk tenusu, adalah sama dengan 1/2. Adalah diketahui bahawa pavilion ini menjual purata 500 kg pelbagai produk setiap hari.

Bolehkah kita mengatakan bahawa purata pembelian di pavilion hanya seberat 100 g?

Perbincangan. Sudah tentu tidak. Jelas bahawa tidak semua orang yang memasuki astaka itu akhirnya membeli sesuatu di sana.

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah, untuk menjawab soalan tentang purata berat pembelian, kita mesti mencari jawapan kepada soalan, apakah kemungkinan itu bahawa seseorang yang memasuki pavilion akan membeli sesuatu di sana. Sekiranya kami tidak mempunyai data sedemikian, tetapi kami memerlukannya, kami perlu mendapatkannya sendiri dengan memerhatikan pelawat ke astaka untuk beberapa waktu. Katakan pemerhatian kami menunjukkan bahawa hanya satu perlima pelawat pavilion membeli sesuatu.

Sebaik sahaja kami memperoleh anggaran ini, tugas menjadi mudah. Daripada 10,000 orang yang datang ke pasar, 5,000 akan pergi ke pavilion produk tenusu akan ada hanya 1,000 pembelian Purata berat pembelian adalah 500 gram. Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa untuk membina gambaran lengkap tentang apa yang sedang berlaku, logik "percabangan" bersyarat mesti ditakrifkan pada setiap peringkat penaakulan kita dengan jelas seolah-olah kita bekerja dengan situasi "khusus", dan bukan. dengan kebarangkalian.

Tugasan ujian kendiri

1. Biarlah litar elektrik, yang terdiri daripada n elemen bersambung siri, setiap satunya beroperasi secara bebas daripada yang lain.

Kebarangkalian p kegagalan setiap elemen diketahui. Tentukan kebarangkalian pengendalian yang betul bagi keseluruhan bahagian litar (peristiwa A).

2. Pelajar mengetahui 20 daripada 25 soalan peperiksaan. Cari kebarangkalian bahawa pelajar itu mengetahui tiga soalan yang diberikan oleh pemeriksa kepadanya.

3. Pengeluaran terdiri daripada empat peringkat berturut-turut, di mana setiap peralatan beroperasi, yang mana kebarangkalian kegagalan pada bulan berikutnya adalah sama dengan p 1, p 2, p 3 dan p 4, masing-masing. Cari kebarangkalian bahawa tidak akan ada pemberhentian pengeluaran akibat kegagalan peralatan dalam sebulan.

Dalam blog saya, terjemahan kuliah seterusnya kursus "Principles of Game Balance" oleh pereka permainan Jan Schreiber, yang bekerja pada projek seperti Marvel Trading Card Game dan Playboy: the Mansion.

Sebelum ini hari ini hampir semua yang kami bincangkan adalah bersifat deterministik, dan minggu lepas kami melihat dengan teliti mekanik transitif, dengan terperinci seperti yang saya boleh jelaskan. Tetapi sehingga kini kami tidak memberi perhatian kepada satu lagi aspek dalam banyak permainan, iaitu aspek bukan penentu - dengan kata lain, rawak.

Memahami sifat rawak adalah sangat penting untuk pereka permainan. Kami mencipta sistem yang mempengaruhi pengalaman pengguna dalam permainan tertentu, jadi kami perlu mengetahui cara sistem tersebut berfungsi. Sekiranya terdapat rawak dalam sistem, kita perlu memahami sifat rawak ini dan mengetahui cara mengubahnya untuk mendapatkan hasil yang kita perlukan.

Dadu

Mari kita mulakan dengan sesuatu yang mudah - melontar dadu. Apabila kebanyakan orang berfikir tentang dadu, mereka memikirkan dadu bermuka enam yang dikenali sebagai d6. Tetapi kebanyakan pemain telah melihat banyak dadu lain: tetrahedral (d4), oktagon (d8), dua belas sisi (d12), dua puluh sisi (d20). Jika anda seorang geek sebenar, anda mungkin mempunyai dadu 30 belah atau 100 belah di suatu tempat.

Jika anda tidak biasa dengan istilah tersebut, d bermaksud die, dan nombor selepasnya ialah bilangan sisi yang ada padanya. Jika nombor muncul sebelum d, maka ia menunjukkan bilangan dadu yang hendak dilempar. Sebagai contoh, dalam permainan Monopoli anda melancarkan 2d6.

Jadi, dalam dalam kes ini frasa "dadu" - simbol. Terdapat sejumlah besar penjana nombor rawak lain yang tidak kelihatan seperti angka plastik, tetapi melaksanakan fungsi yang sama - menjana nombor rawak dari 1 hingga n. Syiling biasa juga boleh diwakili sebagai dadu dihedral d2.

Saya melihat dua reka bentuk dadu tujuh belah: satu daripadanya kelihatan seperti dadu, dan satu lagi kelihatan lebih seperti pensel kayu tujuh segi. Tetrahedral dreidel, juga dikenali sebagai titotum, adalah serupa dengan tulang tetrahedral. Papan anak panah berputar dalam Chutes & Ladders, di mana skor boleh berkisar antara 1 hingga 6, sepadan dengan dadu enam belah.

Penjana nombor rawak komputer boleh mencipta sebarang nombor dari 1 hingga 19 jika pereka bentuk menentukannya, walaupun komputer itu tidak mempunyai die 19 sisi (secara umum, saya akan bercakap lebih lanjut tentang kebarangkalian nombor yang muncul pada komputer minggu depan). Semua item ini kelihatan berbeza, tetapi sebenarnya ia adalah setara: anda mempunyai peluang yang sama untuk setiap beberapa kemungkinan hasil.

Dadu mempunyai beberapa sifat menarik yang perlu kita ketahui. Pertama, kebarangkalian untuk mendaratkan mana-mana dadu adalah sama (saya andaikan anda sedang membaling dadu yang betul). bentuk geometri). Jika anda ingin mengetahui nilai purata bagi segulung (bagi mereka yang mendalami teori kebarangkalian, ia dikenali sebagai nilai yang dijangkakan), jumlahkan nilai pada semua muka dan bahagikan nombor ini dengan bilangan muka.

Jumlah nilai semua sisi bagi dadu bermuka enam piawai ialah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Bahagikan 21 dengan bilangan sisi dan dapatkan nilai purata gulungan: 21 / 6 = 3.5. ini kes khas, kerana kami menganggap bahawa semua hasil berkemungkinan sama.

Bagaimana jika anda mempunyai dadu istimewa? Sebagai contoh, saya melihat permainan dengan mata dadu enam belah dengan pelekat khas pada sisi: 1, 1, 1, 2, 2, 3, jadi ia berkelakuan seperti mata dadu tiga segi pelik yang lebih banyak peluang bahawa nombor itu akan menjadi 1 dan bukannya 2, dan bahawa 2 lebih berkemungkinan untuk digulung daripada 3. Apakah nilai purata bagi gulungan untuk dadu ini? Jadi, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, dibahagikan dengan 6 - ternyata 5 / 3, atau kira-kira 1.66. Jadi, jika anda mempunyai dadu khas dan pemain membaling tiga dadu dan kemudian menjumlahkan keputusan - anda tahu bahawa balingan mereka akan ditambah sehingga kira-kira 5, dan anda boleh mengimbangi permainan berdasarkan andaian itu.

Dadu dan Kemerdekaan

Seperti yang telah saya katakan, kita meneruskan dari andaian bahawa setiap pihak berkemungkinan sama untuk gugur. Tidak kira berapa banyak dadu yang anda gulung. Setiap lemparan dadu adalah bebas, bermakna lemparan sebelumnya tidak menjejaskan keputusan lemparan berikutnya. Memandangkan percubaan yang mencukupi, anda pasti akan melihat corak nombor - contohnya, bergolek kebanyakannya nilai yang lebih tinggi atau lebih rendah - atau ciri lain, tetapi itu tidak bermakna dadu adalah "panas" atau "sejuk". Kita akan bercakap tentang ini kemudian.

Jika anda melancarkan mata dadu enam sisi standard dan nombor 6 muncul dua kali berturut-turut, kebarangkalian balingan seterusnya akan menghasilkan 6 adalah tepat 1/6 Kebarangkalian tidak meningkat kerana dadu telah "dipanaskan". . Pada masa yang sama, kebarangkalian tidak berkurangan: adalah tidak betul untuk membuat alasan bahawa nombor 6 telah muncul dua kali berturut-turut, yang bermaksud bahawa kini pihak lain harus muncul.

Sudah tentu, jika anda melancarkan mata dadu sebanyak dua puluh kali dan mendapat 6 setiap kali, peluang untuk kali kedua puluh satu anda melancarkan mata dadu 6 adalah agak tinggi: mungkin anda hanya mendapat mata yang salah. Tetapi jika dadu adalah adil, setiap pihak mempunyai kebarangkalian yang sama untuk mendarat, tanpa mengira keputusan gulungan yang lain. Anda juga boleh membayangkan bahawa kami menggantikan dadu setiap kali: jika nombor 6 digulung dua kali berturut-turut, keluarkan dadu "panas" daripada permainan dan gantikannya dengan yang baharu. Saya minta maaf jika ada di antara anda yang sudah mengetahui tentang perkara ini, tetapi saya perlu menjelaskan perkara ini sebelum meneruskan.

Bagaimana untuk membuat dadu bergolek lebih kurang rawak

Mari kita bercakap tentang bagaimana untuk mendapatkan keputusan yang berbeza pada dadu yang berbeza. Sama ada anda membaling dadu sekali atau beberapa kali sahaja, permainan akan berasa lebih rawak apabila dadu mempunyai lebih banyak sisi. Lebih kerap anda perlu membaling dadu, dan lebih banyak dadu anda membaling, lebih banyak keputusan menghampiri purata.

Sebagai contoh, dalam kes 1d6 + 4 (iaitu, jika anda melancarkan dadu enam sisi standard sekali dan menambah 4 pada hasilnya), purata ialah nombor antara 5 dan 10. Jika anda melancarkan 5d2, purata juga akan menjadi nombor antara 5 dan 10. Keputusan rolling 5d2 terutamanya akan menjadi nombor 7 dan 8, kurang kerap nilai lain. Siri yang sama, walaupun nilai purata yang sama (dalam kedua-dua kes 7.5), tetapi sifat rawak adalah berbeza.

Tunggu sekejap. Bukankah saya hanya mengatakan bahawa dadu tidak "panas" atau "sejuk"? Sekarang saya katakan: jika anda membaling banyak dadu, keputusan gulungan akan mendekati purata. kenapa?

Biar saya jelaskan. Jika anda melancarkan satu dadu, setiap sisi mempunyai kebarangkalian yang sama untuk mendarat. Ini bermakna jika anda membaling banyak dadu dari semasa ke semasa, setiap bahagian akan muncul kira-kira bilangan kali yang sama. Lebih banyak dadu yang anda gulung, lebih banyak hasil keseluruhan akan menghampiri purata.

Ini bukan kerana nombor yang dilukis itu "memaksa" nombor lain untuk dilukis yang masih belum dilukis. Tetapi kerana siri kecil melancarkan nombor 6 (atau 20, atau nombor lain) pada akhirnya tidak akan menjejaskan keputusan begitu banyak jika anda membaling dadu sepuluh ribu kali lagi dan kebanyakannya nombor purata akan muncul. Sekarang anda akan mendapat beberapa bilangan yang besar, dan kemudian beberapa yang kecil - dan lama kelamaan mereka akan menghampiri nilai purata.

Ini tidak berlaku kerana gulungan sebelumnya menjejaskan dadu (serius, dadu diperbuat daripada plastik, ia tidak mempunyai otak untuk berfikir, "Oh, sudah lama anda tidak membaling 2"), tetapi kerana ini apa yang biasanya berlaku dengan banyak gulung dadu

Oleh itu, agak mudah untuk melakukan pengiraan untuk satu guling dadu secara rawak - sekurang-kurangnya untuk mengira nilai purata gulungan. Terdapat juga cara untuk mengira "berapa rawak" sesuatu dan mengatakan bahawa keputusan rolling 1d6+4 akan menjadi "lebih rawak" daripada 5d2. Untuk 5d2, gulung akan lebih sekata. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira sisihan piawai: semakin besar nilainya, semakin rawak hasilnya. Saya tidak mahu memberikan banyak pengiraan hari ini;

Satu-satunya perkara yang saya akan minta anda ingat ialah, sebagai peraturan umum, semakin sedikit dadu yang anda gulung, semakin besar kerawakannya. Dan lebih banyak sisi dadu, lebih besar rawak, kerana lebih banyak pilihan yang mungkin makna.

Cara Mengira Kebarangkalian Menggunakan Pengiraan

Anda mungkin tertanya-tanya: bagaimana kita boleh mengira kebarangkalian tepat untuk mendapatkan hasil tertentu? Malah, ini agak penting untuk banyak permainan: jika anda mula-mula membaling dadu - kemungkinan besar terdapat beberapa jenis hasil yang optimum. Jawapan saya ialah: kita perlu mengira dua nilai. pertama, jumlah nombor hasil semasa membaling dadu, dan kedua, bilangan hasil yang menggalakkan. Membahagikan nilai kedua dengan yang pertama akan memberi anda kebarangkalian yang diingini. Untuk mendapatkan peratusan, darabkan hasil dengan 100.

Contoh

Berikut adalah contoh yang sangat mudah. Anda mahu nombor 4 atau lebih tinggi melancarkan dadu enam segi sekali. Bilangan maksimum hasil ialah 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Daripada jumlah ini, 3 hasil (4, 5, 6) adalah baik. Ini bermakna untuk mengira kebarangkalian, kita bahagikan 3 dengan 6 dan mendapat 0.5 atau 50%.

Berikut ialah contoh yang lebih rumit. Anda mahu bergolek 2d6 nombor genap. Bilangan maksimum hasil ialah 36 (6 pilihan untuk setiap mati, satu mati tidak menjejaskan yang lain, jadi darab 6 dengan 6 dan dapatkan 36). Kesukaran isu jenis ini ialah mudah untuk mengira dua kali. Sebagai contoh, apabila melancarkan 2d6, terdapat dua kemungkinan hasil 3: 1+2 dan 2+1. Mereka kelihatan sama, tetapi perbezaannya ialah nombor yang dipaparkan pada die pertama dan nombor yang dipaparkan pada yang kedua.

Anda juga boleh membayangkan bahawa dadu warna yang berbeza: Jadi, sebagai contoh, dalam kes ini satu dadu adalah merah, satu lagi adalah biru. Kemudian kira bilangan pilihan untuk melancarkan nombor genap:

• 2 (1+1);
• 4 (1+3);
• 4 (2+2);
• 4 (3+1);
• 6 (1+5);
• 6 (2+4);
• 6 (3+3);
• 6 (4+2);
• 6 (5+1);
• 8 (2+6);
• 8 (3+5);
• 8 (4+4);
• 8 (5+3);
• 8 (6+2);
• 10 (4+6);
• 10 (5+5);
• 10 (6+4);
• 12 (6+6).

Ternyata terdapat 18 pilihan untuk hasil yang menggalakkan daripada 36 - seperti dalam kes sebelumnya, kebarangkalian adalah 0.5 atau 50%. Mungkin tidak dijangka, tetapi agak tepat.

Simulasi Monte Carlo

Bagaimana jika anda mempunyai terlalu banyak dadu untuk pengiraan ini? Sebagai contoh, anda ingin tahu apakah kebarangkalian untuk mendapat jumlah 15 atau lebih apabila melancarkan 8d6. Untuk lapan dadu ada pelbagai besar keputusan yang berbeza, dan mengiranya secara manual akan mengambil masa yang sangat lama - walaupun kami menjumpainya keputusan yang baik untuk mengumpulkan siri gulung dadu yang berbeza.

Dalam kes ini, cara paling mudah ialah tidak mengira secara manual, tetapi menggunakan komputer. Terdapat dua cara untuk mengira kebarangkalian pada komputer. Kaedah pertama boleh memberi anda jawapan yang tepat, tetapi ia melibatkan sedikit pengaturcaraan atau skrip. Komputer akan melalui setiap kemungkinan, menilai dan mengira jumlah bilangan lelaran dan bilangan lelaran yang sepadan hasil yang diingini, dan kemudian berikan jawapannya. Kod anda mungkin kelihatan seperti dengan cara berikut:

Jika anda tidak memahami pengaturcaraan dan anda memerlukan jawapan anggaran dan bukannya jawapan yang tepat, anda boleh mensimulasikan situasi ini dalam Excel, di mana anda melancarkan 8d6 beberapa ribu kali dan mendapatkan jawapannya. Untuk melancarkan 1d6 dalam Excel, gunakan formula =TINGKAT(RAND()*6)+1.

Terdapat nama untuk situasi apabila anda tidak tahu jawapannya dan cuba lagi dan lagi - simulasi Monte Carlo. Ini adalah penyelesaian yang bagus untuk digunakan apabila mengira kebarangkalian terlalu sukar. Perkara yang menarik ialah dalam kes ini kita tidak perlu memahami bagaimana matematik berfungsi, dan kita tahu bahawa jawapannya akan menjadi "agak bagus" kerana, seperti yang kita sedia maklum, semakin banyak gulung, semakin hampir hasilnya kepada purata.

Bagaimana untuk menggabungkan percubaan bebas

Jika anda bertanya tentang beberapa pengulangan tetapi ujian bebas, maka hasil satu lontaran tidak menjejaskan hasil balingan yang lain. Terdapat satu lagi penjelasan yang lebih mudah untuk keadaan ini.

Bagaimana untuk membezakan antara sesuatu yang bergantung dan bebas? Pada asasnya, jika anda boleh mengasingkan setiap lontaran (atau siri lontaran) dadu sebagai acara berasingan, maka ia adalah bebas. Sebagai contoh, katakan kita melancarkan 8d6 dan mahukan jumlah 15. Acara ini tidak boleh dibahagikan kepada beberapa gulung dadu bebas. Untuk mendapatkan keputusan, anda mengira jumlah semua nilai, jadi hasil yang muncul pada satu dadu mempengaruhi keputusan yang sepatutnya muncul pada yang lain.

Berikut ialah contoh guling bebas: Anda sedang bermain permainan dadu dan anda membaling dadu enam belah berbilang kali. Gulungan pertama mestilah 2 atau lebih tinggi untuk kekal dalam permainan. Untuk lontaran kedua - 3 atau lebih tinggi. Yang ketiga memerlukan 4 atau lebih tinggi, yang keempat memerlukan 5 atau lebih tinggi, dan yang kelima memerlukan 6. Jika semua lima gulungan berjaya, anda menang. Dalam kes ini, semua lontaran adalah bebas. Ya, jika satu balingan tidak berjaya, ia akan menjejaskan keputusan keseluruhan permainan, tetapi satu balingan tidak menjejaskan yang lain. Sebagai contoh, jika balingan dadu kedua anda sangat berjaya, ini tidak bermakna balingan seterusnya akan menjadi sebaik. Oleh itu, kita boleh mempertimbangkan kebarangkalian setiap lemparan dadu secara berasingan.

Jika anda mempunyai kebarangkalian bebas dan anda ingin tahu apakah kebarangkalian semua peristiwa yang berlaku, anda tentukan setiap kebarangkalian individu dan darabkannya bersama-sama. Cara lain: jika anda menggunakan kata hubung “dan” untuk menerangkan beberapa keadaan (contohnya, apakah kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa rawak dan beberapa peristiwa rawak bebas yang lain?) - kira kebarangkalian individu dan darabkannya.

Tidak kira apa yang anda fikirkan, jangan sekali-kali menambah kebarangkalian bebas. Ini adalah kesilapan biasa. Untuk memahami mengapa ini salah, bayangkan situasi di mana anda melambung syiling dan ingin mengetahui kebarangkalian untuk mendapat kepala dua kali berturut-turut. Kebarangkalian setiap bahagian jatuh ialah 50%. Jika anda menjumlahkan kedua-dua kebarangkalian ini, anda mendapat peluang 100% untuk mendapat kepala, tetapi kami tahu itu tidak benar kerana ia boleh menjadi ekor dua kali berturut-turut. Jika anda sebaliknya mendarabkan dua kebarangkalian, anda mendapat 50% * 50% = 25% - yang merupakan jawapan yang betul untuk mengira kebarangkalian mendapat kepala dua kali berturut-turut.

Contoh

Mari kita kembali ke permainan dadu enam segi, di mana anda perlu membaling nombor yang lebih besar daripada 2, kemudian lebih besar daripada 3 - dan seterusnya sehingga 6. Apakah kemungkinan dalam siri lima balingan yang diberikan semua keputusan akan menguntungkan ?

Seperti yang dinyatakan di atas, ini adalah percubaan bebas, jadi kami mengira kebarangkalian untuk setiap gulungan individu dan kemudian mendarabkannya bersama-sama. Kebarangkalian bahawa hasil gulungan pertama akan menguntungkan ialah 5/6. Kedua - 4/6. Ketiga - 3/6. Yang keempat - 2/6, yang kelima - 1/6. Kami mendarabkan semua keputusan dengan satu sama lain dan mendapat kira-kira 1.5%. Kemenangan dalam permainan ini agak jarang berlaku, jadi jika anda menambah elemen ini pada permainan anda, anda memerlukan jackpot yang agak besar.

Penafian

Ini satu lagi petunjuk berguna: Kadangkala sukar untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa akan berlaku, tetapi lebih mudah untuk menentukan kemungkinan peristiwa itu tidak akan berlaku. Sebagai contoh, katakan kami mempunyai permainan lain: anda melancarkan 6d6 dan menang jika anda melancarkan 6 sekurang-kurangnya sekali.

Dalam kes ini, terdapat banyak pilihan untuk dipertimbangkan. Ada kemungkinan satu nombor 6 akan dilempar, iaitu satu daripada dadu akan menunjukkan nombor 6, dan yang lain akan menunjukkan nombor dari 1 hingga 5, kemudian terdapat 6 pilihan untuk dadu yang mana akan menunjukkan 6. Anda boleh mendapatkan nombor 6 pada dua dadu dadu, atau tiga, atau lebih, dan setiap kali anda perlu melakukan pengiraan berasingan, jadi mudah untuk dikelirukan di sini.

Tetapi mari kita lihat masalah dari sisi lain. Anda akan kalah jika tiada satu pun dadu membaling 6. Dalam kes ini kita mempunyai 6 percubaan bebas. Kebarangkalian setiap dadu akan membaling nombor selain daripada 6 ialah 5/6. Darabkan mereka dan anda mendapat kira-kira 33%. Oleh itu, kebarangkalian untuk kalah adalah satu dalam tiga. Oleh itu, kebarangkalian untuk menang ialah 67% (atau dua hingga tiga).

Daripada contoh ini adalah jelas: jika anda mengira kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku, anda perlu menolak keputusan daripada 100%. Jika kebarangkalian menang ialah 67%, maka kebarangkalian untuk kalah ialah 100% tolak 67%, atau 33%, dan sebaliknya. Jika sukar untuk mengira satu kebarangkalian tetapi mudah untuk mengira sebaliknya, hitung sebaliknya dan kemudian tolak nombor itu daripada 100%.

Kami menggabungkan syarat untuk satu ujian bebas

Saya katakan di atas bahawa anda tidak boleh menambah kebarangkalian merentasi percubaan bebas. Adakah terdapat sebarang kes di mana kemungkinan untuk merumuskan kebarangkalian? Ya, dalam satu situasi istimewa.

Jika anda ingin mengira kebarangkalian untuk beberapa hasil yang menguntungkan yang tidak berkaitan pada satu percubaan, jumlahkan kebarangkalian bagi setiap hasil yang menguntungkan. Sebagai contoh, kebarangkalian untuk melancarkan 4, 5, atau 6 pada 1d6 adalah sama dengan jumlah kebarangkalian melancarkan 4, kebarangkalian melancarkan 5, dan kebarangkalian melancarkan 6. Situasi ini boleh dibayangkan dengan cara ini: jika anda menggunakan kata hubung “atau” dalam soalan tentang kebarangkalian (contohnya, apakah kebarangkalian satu atau satu lagi hasil bagi satu peristiwa rawak?) - kira kebarangkalian individu dan jumlahnya.

Sila ambil perhatian: apabila anda mengira semua kemungkinan hasil permainan, jumlah kebarangkalian kejadiannya mestilah sama dengan 100%, jika tidak pengiraan anda telah dibuat secara salah. ini cara yang baik semak semula pengiraan anda. Sebagai contoh, anda menganalisis kebarangkalian semua kombinasi dalam poker. Jika anda menjumlahkan semua keputusan anda, anda sepatutnya mendapat tepat 100% (atau sekurang-kurangnya hampir 100%: jika anda menggunakan kalkulator, mungkin terdapat ralat pembundaran kecil, tetapi jika anda menjumlahkan nombor tepat dengan tangan, semuanya harus ditambah). Jika jumlahnya tidak bertumpu, ini bermakna anda berkemungkinan besar tidak mengambil kira beberapa kombinasi atau mengira kebarangkalian beberapa kombinasi secara salah, dan pengiraan perlu disemak dua kali.

Kebarangkalian yang tidak sama rata

Setakat ini kita telah mengandaikan bahawa setiap sisi dadu digulung pada frekuensi yang sama, kerana itulah cara dadu kelihatan berfungsi. Tetapi kadangkala anda mungkin menghadapi situasi di mana hasil yang berbeza mungkin dan mereka mempunyai peluang yang berbeza untuk muncul.

Sebagai contoh, dalam salah satu tambahan kepada permainan kad Perang Nuklear terdapat padang permainan dengan anak panah, di mana hasil pelancaran roket bergantung. Selalunya ia mengalami kerosakan biasa, lebih kuat atau lebih lemah, tetapi kadangkala kerosakan itu berganda atau tiga kali ganda, atau roket meletup PAD pelancaran dan membahayakan anda, atau beberapa peristiwa lain berlaku. Tidak seperti papan anak panah dalam Chutes & Ladders atau A Game of Life, keputusan papan permainan dalam Perang Nuklear adalah tidak sekata. Sesetengah bahagian padang permainan adalah lebih besar dan anak panah berhenti pada mereka lebih kerap, manakala bahagian lain adalah sangat kecil dan anak panah berhenti pada mereka jarang.

Jadi, pada pandangan pertama, dadu kelihatan seperti ini: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - kita sudah bercakap mengenainya, ia adalah sesuatu seperti 1d3 berwajaran. Oleh itu, kita perlu membahagikan semua bahagian ini kepada bahagian yang sama, mencari unit ukuran terkecil, pembahagi yang semuanya adalah berganda, dan kemudian mewakili keadaan dalam bentuk d522 (atau yang lain), di mana set dadu muka akan mewakili situasi yang sama, hidung jumlah yang besar hasil. Ini adalah salah satu cara untuk menyelesaikan masalah, dan ia boleh dilaksanakan secara teknikal, tetapi terdapat pilihan yang lebih mudah.

Mari kita kembali kepada dadu enam segi standard kami. Kami telah mengatakan bahawa untuk mengira pusingan purata bagi dadu biasa, anda perlu menambah nilai pada semua muka dan membahagikan dengan bilangan muka, tetapi bagaimana sebenarnya pengiraan itu berfungsi? Terdapat cara lain untuk menyatakan ini. Untuk dadu bermuka enam, kebarangkalian setiap sisi digolek adalah tepat 1/6. Sekarang kita darabkan hasil setiap tepi dengan kebarangkalian hasil itu (dalam kes ini, 1/6 untuk setiap tepi), dan kemudian tambahkan nilai yang terhasil. Oleh itu, menjumlahkan (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), kita mendapat keputusan yang sama (3.5) seperti dalam pengiraan di atas. Malah, kita mengira dengan cara ini setiap kali: kita mendarabkan setiap hasil dengan kebarangkalian hasil tersebut.

Bolehkah kita melakukan pengiraan yang sama untuk anak panah di padang permainan dalam Perang Nuklear? Sudah tentu kita boleh. Dan jika kita merumuskan semua keputusan yang ditemui, kita akan mendapat nilai purata. Apa yang perlu kita lakukan ialah mengira kebarangkalian setiap hasil untuk anak panah pada papan permainan dan darab dengan nilai hasil.

Contoh yang lain

Kaedah pengiraan purata ini juga sesuai jika keputusannya berkemungkinan sama tetapi mempunyai kelebihan yang berbeza - contohnya, jika anda melemparkan mata dadu dan menang lebih banyak di beberapa pihak berbanding yang lain. Sebagai contoh, mari kita ambil permainan kasino: anda membuat pertaruhan dan melancarkan 2d6. Jika tiga nombor muncul nilai terendah(2, 3, 4) atau empat nombor dengan nilai tinggi(9, 10, 11, 12) - anda akan memenangi jumlah yang sama dengan pertaruhan anda. Nombor dengan nilai terendah dan tertinggi adalah istimewa: jika anda melancarkan 2 atau 12, anda memenangi dua kali pertaruhan anda. Jika mana-mana nombor lain digulung (5, 6, 7, 8), anda akan kehilangan pertaruhan anda. Ia cantik permainan mudah. Tetapi apakah kebarangkalian untuk menang?

Mari mulakan dengan mengira berapa kali anda boleh menang. Bilangan maksimum hasil apabila melancarkan 2d6 ialah 36. Berapakah bilangan hasil yang menggalakkan?

• Terdapat 1 pilihan bahawa 2 akan digulung dan 1 pilihan bahawa 12 akan digulung.
• Terdapat 2 pilihan yang 3 akan roll dan 2 pilihan yang 11 akan roll.
• Terdapat 3 pilihan yang 4 akan bergolek, dan 3 pilihan yang 10 akan melancarkan.
• Terdapat 4 pilihan untuk melancarkan 9.

Menjumlahkan semua pilihan, kami mendapat 16 hasil yang menggalakkan daripada 36. Oleh itu, dengan keadaan biasa anda akan menang 16 kali daripada 36 kemungkinan - kebarangkalian untuk menang adalah kurang sedikit daripada 50%.

Tetapi dalam dua kes daripada enam belas ini anda akan menang dua kali ganda - ia seperti menang dua kali. Jika anda bermain permainan ini 36 kali, pertaruhan $1 setiap kali, dan setiap satu daripada semua hasil yang mungkin muncul sekali, anda akan memenangi sejumlah $18 (sebenarnya anda akan menang 16 kali, tetapi dua daripadanya akan dikira sebagai dua kemenangan ). Jika anda bermain 36 kali dan memenangi $18, bukankah itu bermakna kemungkinannya adalah sama?

Ambil masa anda. Jika anda mengira berapa kali anda boleh kalah, anda akan mendapat 20, bukan 18. Jika anda bermain 36 kali, bertaruh $1 setiap kali, anda akan menang jumlah keseluruhan$18 jika semua hasil yang menggalakkan berlaku. Tetapi anda akan kehilangan sejumlah $20 jika anda mendapat kesemua 20 hasil yang tidak menguntungkan. Akibatnya, anda akan ketinggalan sedikit: anda kehilangan purata $2 bersih untuk setiap 36 permainan (anda juga boleh mengatakan bahawa anda kehilangan purata 1/18 dolar setiap hari). Sekarang anda melihat betapa mudahnya untuk membuat kesilapan dalam kes ini dan mengira kebarangkalian dengan salah.

Penyusunan semula

Setakat ini kita telah menganggap bahawa susunan nombor semasa membaling dadu tidak penting. Gulung 2 + 4 adalah sama seperti guling 4 + 2. Dalam kebanyakan kes, kami mengira bilangan hasil yang menggalakkan secara manual, tetapi kadangkala kaedah ini adalah tidak praktikal dan lebih baik menggunakan formula matematik.

Contoh situasi ini adalah daripada permainan dadu Farkle. Untuk setiap pusingan baharu, anda melancarkan 6d6. Jika anda bernasib baik dan mendapat kesemuanya hasil yang mungkin 1-2-3-4-5-6 (lurus), anda akan menerima bonus yang besar. Apakah kemungkinan perkara ini berlaku? Dalam kes ini, terdapat banyak pilihan untuk mendapatkan gabungan ini.

Penyelesaiannya adalah seperti berikut: satu daripada dadu (dan hanya satu) mesti mempunyai nombor 1. Berapa banyak cara nombor 1 boleh muncul pada satu dadu? Terdapat 6 pilihan, kerana terdapat 6 dadu, dan mana-mana daripadanya boleh jatuh pada nombor 1. Oleh itu, ambil satu dadu dan letakkan di tepi. Sekarang salah satu daripada dadu yang tinggal harus melancarkan nombor 2. Terdapat 5 pilihan untuk ini. Ambil satu lagi dadu dan ketepikan. Kemudian 4 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat 3, 3 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat 4, dan 2 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat 5. Ini meninggalkan anda dengan satu dadu yang sepatutnya mendarat 6 (dalam kes yang terakhir hanya ada satu yang mati, dan tiada pilihan).

Untuk mengira bilangan hasil yang menggalakkan untuk memukul lurus, kami mendarabkan semua pilihan bebas yang berbeza: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - nampaknya terdapat beberapa sejumlah besar pilihan untuk mendapatkan kombinasi ini.

Untuk mengira kebarangkalian mendapat lurus, kita perlu membahagikan 720 dengan bilangan semua hasil yang mungkin untuk rolling 6d6. Berapakah bilangan semua hasil yang mungkin? Setiap dadu boleh mempunyai 6 sisi, jadi kita darabkan 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (nombor yang jauh lebih besar daripada yang sebelumnya). Bahagikan 720 dengan 46656 dan kita mendapat kebarangkalian kira-kira 1.5%. Jika anda mereka bentuk permainan ini, adalah berguna untuk anda mengetahui perkara ini supaya anda boleh mencipta sistem pemarkahan yang sewajarnya. Kini kami faham mengapa di Farkle anda mendapat bonus yang begitu besar jika anda mendapat straight: ini adalah situasi yang agak jarang berlaku.

Hasilnya juga menarik untuk sebab lain. Contoh menunjukkan betapa jarang dalam tempoh yang singkat hasil yang sepadan dengan kebarangkalian berlaku. Sudah tentu, jika kita membaling beberapa ribu dadu, muka berbeza dadu akan datang agak kerap. Tetapi apabila kita melontar hanya enam dadu, hampir tidak pernah berlaku bahawa setiap muka muncul. Ia menjadi jelas bahawa adalah bodoh untuk menjangkakan bahawa baris kini akan muncul yang belum berlaku, kerana "kami telah lama tidak melancarkan nombor 6." Dengar, penjana nombor rawak anda rosak.

Ini membawa kita kepada salah tanggapan umum bahawa semua hasil berlaku pada kekerapan yang sama dalam tempoh masa yang singkat. Jika kita membaling dadu beberapa kali, kekerapan setiap sisi jatuh tidak akan sama.

Jika anda pernah mengusahakan permainan dalam talian dengan beberapa jenis penjana nombor rawak sebelum ini, kemungkinan besar anda pernah menghadapi situasi di mana pemain menulis kepada sokongan teknikal mengadu bahawa penjana nombor rawak tidak menunjukkan nombor rawak. Dia membuat kesimpulan ini kerana dia membunuh 4 raksasa berturut-turut dan menerima 4 ganjaran yang sama, dan ganjaran ini sepatutnya hanya muncul 10% sahaja, jadi ini jelas sekali tidak sepatutnya berlaku.

Anda sedang membuat pengiraan matematik. Kebarangkalian ialah 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, iaitu, 1 hasil daripada 10 ribu adalah agak kes yang jarang berlaku. Inilah yang pemain cuba beritahu anda. Adakah terdapat masalah dalam kes ini?

Semuanya bergantung pada keadaan. Berapakah bilangan pemain pada masa ini pada pelayan anda? Katakan anda mempunyai permainan yang agak popular dan 100 ribu orang bermain setiap hari. Berapa ramai pemain yang boleh membunuh empat raksasa berturut-turut? Mungkin semua, beberapa kali sehari, tetapi mari kita anggap separuh daripada mereka hanya bertukar objek yang berbeza di lelongan, sepadan pada pelayan RP, atau melakukan tindakan permainan lain - oleh itu, hanya separuh daripada mereka memburu raksasa. Apakah kebarangkalian seseorang akan mendapat ganjaran yang sama? Dalam keadaan ini, anda boleh menjangkakan perkara ini berlaku sekurang-kurangnya beberapa kali sehari.

Ngomong-ngomong, inilah sebabnya nampaknya setiap beberapa minggu seseorang memenangi loteri, walaupun seseorang itu tidak pernah menjadi anda atau sesiapa yang anda kenali. Jika cukup orang bermain dengan kerap, kemungkinan besar akan ada sekurang-kurangnya seorang pemain bertuah di suatu tempat. Tetapi jika anda bermain loteri sendiri, maka anda tidak mungkin menang, sebaliknya anda akan dijemput untuk bekerja di Infinity Ward.

Kad dan ketagihan

Kami membincangkan acara bebas, seperti melontar dadu, dan kini kami tahu banyak alat yang berkuasa analisis rawak dalam banyak permainan. Mengira kebarangkalian adalah lebih rumit sedikit apabila ia datang untuk menarik kad dari dek, kerana setiap kad yang kita lukis mempengaruhi kad yang kekal dalam dek.

Jika anda mempunyai dek 52 kad standard, anda mengeluarkan 10 hati daripadanya dan ingin mengetahui kebarangkalian bahawa kad seterusnya akan mempunyai saman yang sama - kebarangkalian telah berubah daripada yang asal kerana anda telah mengeluarkan satu kad saman itu hati dari dek. Setiap kad yang anda keluarkan mengubah kebarangkalian kad seterusnya muncul dalam dek. Dalam kes ini peristiwa sebelumnya mempengaruhi perkara berikut, jadi kami memanggil kebarangkalian ini bergantung.

Sila ambil perhatian bahawa apabila saya menyebut "kad" saya bercakap tentang mana-mana mekanik permainan di mana anda mempunyai satu set objek dan anda mengalih keluar salah satu objek tanpa menggantikannya. "Dek kad" dalam kes ini adalah analog dengan beg cip yang anda ambil satu cip, atau guci dari mana bola berwarna diambil (saya tidak pernah melihat permainan dengan guci dari mana bola berwarna diambil, tetapi guru teori kebarangkalian mengikut apa -sebab mengapa contoh ini diutamakan).

Sifat Kebergantungan

Saya ingin menjelaskan bahawa apabila ia berkaitan dengan kad, saya andaikan anda melukis kad, melihatnya dan mengeluarkannya dari dek. Setiap tindakan ini adalah harta yang penting. Jika saya mempunyai dek, katakan, enam kad dengan nombor 1 hingga 6, saya akan mengocoknya dan mencabut satu kad, kemudian mengocok semua enam kad sekali lagi - ini akan serupa dengan melontar dadu enam belah, kerana satu keputusan mempunyai tiada kesan untuk yang seterusnya. Dan jika saya mengeluarkan kad dan tidak menggantikannya, maka dengan mengeluarkan kad 1, saya meningkatkan kemungkinan bahawa pada kali seterusnya saya akan menarik kad dengan nombor 6. Kebarangkalian akan meningkat sehingga saya akhirnya mengeluarkan kad itu atau kocok dek.

Fakta bahawa kita melihat kad juga penting. Jika saya mengeluarkan kad dari dek dan tidak melihatnya, saya tidak akan mempunyai sebarang maklumat tambahan dan kebarangkalian tidak akan berubah sebenarnya. Ini mungkin kedengaran bertentangan dengan intuisi. Bagaimana boleh flip mudah kad secara ajaib mengubah kebarangkalian? Tetapi ia adalah mungkin kerana anda boleh mengira kebarangkalian untuk item yang tidak diketahui hanya dari apa yang anda tahu.

Sebagai contoh, jika anda mengocok dek kad standard dan mendedahkan 51 kad dan tiada satu pun daripadanya adalah ratu kelab, maka anda boleh yakin 100% bahawa kad yang tinggal adalah ratu kelab. Jika anda mengocok dek kad standard dan mengeluarkan 51 kad tanpa melihatnya, kebarangkalian bahawa kad yang tinggal adalah ratu kelab masih 1/52. Apabila anda membuka setiap kad, anda mendapat lebih banyak maklumat.

Mengira kebarangkalian untuk peristiwa bergantung mengikuti prinsip yang sama seperti untuk bebas, kecuali ia adalah sedikit lebih rumit kerana kebarangkalian berubah apabila anda mendedahkan kad. Jadi anda perlu membiak banyak makna yang berbeza, bukannya mendarab nilai yang sama. Maksud sebenarnya ialah kita perlu menggabungkan semua pengiraan yang kita lakukan menjadi satu gabungan.

Contoh

Anda kocok dek 52 kad standard dan lukis dua kad. Apakah kebarangkalian anda akan melukis sepasang? Terdapat beberapa cara untuk mengira kebarangkalian ini, tetapi mungkin yang paling mudah ialah ini: apakah kebarangkalian bahawa jika anda melukis satu kad, anda tidak akan dapat melukis sepasang? Kebarangkalian ini adalah sifar, jadi tidak kira kad pertama yang anda lukis, asalkan ia sepadan dengan kad kedua. Tidak kira kad yang mana kita lukis dahulu, kita masih berpeluang untuk menarik sepasang. Oleh itu, kebarangkalian untuk menarik sepasang selepas kad pertama dicabut ialah 100%.

Apakah kebarangkalian bahawa kad kedua sepadan dengan kad pertama? Terdapat 51 kad yang tinggal di dek, dan 3 daripadanya sepadan dengan kad pertama (sebenarnya terdapat 4 daripada 52, tetapi anda telah mengeluarkan salah satu kad yang sepadan apabila anda menarik kad pertama), jadi kebarangkalian adalah 1/ 17. Jadi pada kali seterusnya anda bermain Texas Hold'em, lelaki di seberang meja dari anda berkata, “Cool, pasangan lain? Saya berasa bertuah hari ini, "anda akan tahu bahawa terdapat kebarangkalian tinggi bahawa dia menipu.

Bagaimana jika kita menambah dua pelawak supaya kita mempunyai 54 kad dalam dek dan ingin tahu apakah kebarangkalian untuk melukis sepasang? Kad pertama mungkin pelawak, dan kemudian hanya akan ada satu kad dalam dek yang sepadan, dan bukan tiga. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian dalam kes ini? Kami akan membahagikan kebarangkalian dan mendarabkan setiap kemungkinan.

Kad pertama kami boleh menjadi pelawak atau kad lain. Kebarangkalian untuk melukis joker ialah 2/54, kebarangkalian untuk melukis beberapa kad lain ialah 52/54. Jika kad pertama adalah joker (2/54), maka kebarangkalian bahawa kad kedua akan sepadan dengan yang pertama ialah 1/53. Kami mendarabkan nilai (kita boleh mendarabkannya kerana ia adalah peristiwa yang berasingan dan kami mahu kedua-dua peristiwa itu berlaku) dan kami mendapat 1/1431 - kurang daripada satu persepuluh peratus.

Jika anda menarik beberapa kad lain dahulu (52/54), kebarangkalian untuk memadankan kad kedua ialah 3/53. Kami mendarabkan nilai dan mendapat 78/1431 (lebih sedikit daripada 5.5%). Apa yang kita lakukan dengan kedua-dua keputusan ini? Mereka tidak bersilang, dan kami ingin mengetahui kebarangkalian setiap daripada mereka, jadi kami menambah nilai. Kami mendapat keputusan akhir 79/1431 (masih kira-kira 5.5%).

Jika kami ingin memastikan ketepatan jawapan, kami boleh mengira kebarangkalian semua hasil lain yang mungkin: melukis pelawak dan tidak sepadan dengan kad kedua, atau melukis beberapa kad lain dan tidak sepadan dengan kad kedua. Dengan merumuskan kebarangkalian ini dan kebarangkalian untuk menang, kita akan mendapat tepat 100%. Saya tidak akan memberikan matematik di sini, tetapi anda boleh mencuba matematik untuk menyemak semula.

Paradoks Dewan Monty

Ini membawa kita kepada paradoks yang agak terkenal yang sering mengelirukan ramai orang - Paradoks Dewan Monty. Paradoks itu dinamakan sempena pengacara rancangan TV Let's Make a Deal Bagi mereka yang tidak pernah menonton rancangan TV ini, ia adalah bertentangan dengan The Price Is Right.

On The Price Is Right, hos (Bob Barker pernah menjadi hos; yang kini, Drew Carey? Tidak mengapa) ialah rakan anda. Dia mahu anda memenangi wang atau hadiah menarik. Ia cuba memberi anda setiap peluang untuk menang, asalkan anda boleh meneka berapa nilai barangan yang dibeli oleh penaja sebenarnya.

Monty Hall berkelakuan berbeza. Dia seperti kembar jahat Bob Barker. Matlamatnya adalah untuk menjadikan anda kelihatan seperti orang bodoh di televisyen nasional. Jika anda berada di acara itu, dia adalah lawan anda, anda bermain menentangnya, dan kemungkinannya memihak kepadanya. Mungkin saya terlalu keras, tetapi melihat persembahan yang anda lebih cenderung untuk menyertai jika anda memakai kostum yang tidak masuk akal, itulah yang saya datangi.

Salah satu meme yang paling terkenal dalam rancangan itu ialah ini: terdapat tiga pintu di hadapan anda, pintu nombor 1, pintu nombor 2 dan pintu nombor 3. Anda boleh memilih satu pintu secara percuma. Di belakang salah satu daripada mereka adalah hadiah yang luar biasa - contohnya, kereta baru. Tiada hadiah di sebalik dua pintu yang lain, kedua-duanya tiada nilai. Mereka sepatutnya memalukan anda, jadi di belakang mereka bukan hanya apa-apa, tetapi sesuatu yang bodoh, sebagai contoh, kambing atau tiub besar ubat gigi - apa-apa selain kereta baru.

Anda pilih salah satu pintu, Monty akan membukanya untuk memberitahu anda sama ada anda menang atau tidak... tetapi tunggu. Sebelum kita mengetahuinya, mari kita lihat salah satu pintu yang anda tidak pilih. Monty tahu pintu mana hadiah di belakang, dan dia sentiasa boleh membuka pintu yang tidak mempunyai hadiah di belakangnya. “Awak pilih pintu nombor 3? Kemudian mari kita buka pintu nombor 1 untuk menunjukkan bahawa tidak ada hadiah di belakangnya." Dan sekarang, kerana kemurahan hati, dia menawarkan anda peluang untuk menukar pintu nombor 3 yang dipilih dengan apa yang ada di belakang pintu nombor 2.

Pada ketika ini, persoalan kebarangkalian timbul: adakah peluang ini meningkatkan kebarangkalian anda untuk menang, atau mengurangkannya, atau adakah ia kekal tidak berubah? Bagaimana anda berfikir?

Jawapan yang betul: keupayaan untuk memilih pintu lain meningkatkan kebarangkalian untuk menang daripada 1/3 kepada 2/3. Ini tidak logik. Jika anda tidak pernah menemui paradoks ini sebelum ini, kemungkinan besar anda berfikir: tunggu, bagaimanakah dengan membuka satu pintu, kami secara ajaib mengubah kebarangkalian? Seperti yang telah kita lihat dengan peta, inilah yang berlaku apabila kita mendapat lebih banyak maklumat. Jelas sekali, apabila anda memilih untuk kali pertama, kebarangkalian untuk menang ialah 1/3. Apabila satu pintu dibuka, ia tidak mengubah kebarangkalian untuk menang untuk pilihan pertama sama sekali: kebarangkalian masih 1/3. Tetapi kebarangkalian pintu yang satu lagi itu betul ialah 2/3.

Mari kita lihat contoh ini dari perspektif yang berbeza. Anda memilih pintu. Kebarangkalian menang ialah 1/3. Saya cadangkan anda menukar dua pintu yang lain, iaitu yang dilakukan oleh Monty Hall. Sudah tentu, dia membuka salah satu pintu untuk mendedahkan tiada hadiah di sebaliknya, tetapi dia sentiasa boleh melakukannya, jadi ia tidak benar-benar mengubah apa-apa. Sudah tentu, anda akan mahu memilih pintu yang berbeza.

Jika anda tidak begitu memahami soalan dan memerlukan penjelasan yang lebih meyakinkan, klik pada pautan ini untuk dibawa ke aplikasi Flash kecil yang hebat yang akan membolehkan anda meneroka paradoks ini dengan lebih terperinci. Anda boleh bermain bermula dengan kira-kira 10 pintu dan kemudian secara beransur-ansur mencapai permainan dengan tiga pintu. Terdapat juga simulator di mana anda boleh bermain dengan sebarang bilangan pintu dari 3 hingga 50, atau menjalankan beberapa ribu simulasi dan melihat berapa kali anda akan menang jika anda bermain.

Pilih satu daripada tiga pintu - kebarangkalian untuk menang ialah 1/3. Kini anda mempunyai dua strategi: tukar pilihan anda selepas membuka pintu yang salah atau tidak. Jika anda tidak mengubah pilihan anda, maka kebarangkalian akan kekal 1/3, kerana pilihan akan datang hanya pada peringkat pertama, dan anda perlu meneka dengan segera. Jika anda berubah, maka anda boleh menang jika anda mula-mula memilih pintu yang salah (kemudian mereka membuka satu lagi pintu yang salah, yang betul kekal - dengan mengubah keputusan anda, anda mengambilnya). Kebarangkalian untuk memilih pintu yang salah pada mulanya ialah 2/3 - jadi ternyata dengan mengubah keputusan anda, anda menggandakan kebarangkalian untuk menang.

Teguran dari cikgu matematik yang lebih tinggi dan pakar keseimbangan permainan Maxim Soldatov - Schreiber, tentu saja, tidak memilikinya, tetapi tanpa dia anda boleh memahami ini transformasi ajaib cukup keras

Dan sekali lagi mengenai paradoks Monty Hall

Bagi persembahan itu sendiri: walaupun lawan Monty Hall tidak mahir dalam matematik, dia pandai melakukannya. Inilah yang dia lakukan untuk mengubah sedikit permainan. Jika anda memilih pintu yang mempunyai hadiah di belakangnya, yang mempunyai 1/3 peluang untuk berlaku, ia akan sentiasa memberi anda pilihan untuk memilih pintu lain. Anda akan memilih kereta dan kemudian menukarnya dengan kambing dan anda akan kelihatan agak bodoh - itulah yang anda mahukan kerana Hall adalah jenis lelaki yang jahat.

Tetapi jika anda memilih pintu yang tidak mempunyai hadiah di belakangnya, dia hanya akan meminta anda memilih satu lagi separuh masa, atau dia hanya akan menunjukkan kepada anda kambing baru anda dan anda akan meninggalkan pentas. Mari analisa ini permainan baru, di mana Monty Hall boleh memutuskan sama ada untuk menawarkan anda peluang untuk memilih pintu lain atau tidak.

Katakan dia mengikuti algoritma ini: jika anda memilih pintu dengan hadiah, dia sentiasa menawarkan anda peluang untuk memilih pintu lain, jika tidak, dia juga mungkin menawarkan anda untuk memilih pintu lain atau memberi anda seekor kambing. Apakah kebarangkalian anda untuk menang?

Dalam salah satu tiga pilihan anda segera memilih pintu di belakang tempat hadiah itu terletak, dan penyampai menjemput anda untuk memilih satu lagi.

Daripada baki dua pilihan daripada tiga (anda pada mulanya memilih pintu tanpa hadiah), dalam separuh kes penyampai akan menawarkan anda untuk menukar keputusan anda, dan dalam separuh lagi kes - tidak.

Separuh daripada 2/3 ialah 1/3, iaitu, dalam satu daripada tiga anda akan mendapat seekor kambing, dalam satu daripada tiga anda akan memilih pintu yang salah dan tuan rumah akan meminta anda memilih yang lain, dan dalam satu kes daripada tiga anda akan memilih pintu yang betul, tetapi dia sekali lagi dia akan menawarkan satu lagi.

Jika penyampai menawarkan untuk memilih pintu lain, kita sudah tahu bahawa satu kes daripada tiga, apabila dia memberi kita kambing dan kita pergi, tidak berlaku. ini maklumat yang berguna: bermakna peluang kita untuk menang telah berubah. Dua daripada tiga kes apabila kami mempunyai peluang untuk memilih: dalam satu kes ini bermakna kami meneka dengan betul, dan dalam kes lain kami meneka salah, jadi jika kami ditawarkan peluang untuk memilih sama sekali, maka kebarangkalian kemenangan kami ialah 1/2 , dan dari sudut pandangan matematik, tidak kira sama ada anda kekal dengan pilihan anda atau memilih pintu lain.

Seperti poker, ia adalah permainan psikologi, bukan permainan matematik. Mengapa Monty memberi anda pilihan? Dia fikir anda adalah orang yang tidak tahu bahawa memilih pintu lain adalah keputusan "betul" dan akan berdegil berpegang pada pilihannya (lagipun, secara psikologi keadaan menjadi lebih rumit, apabila anda memilih kereta dan kemudian kehilangannya)?

Atau adakah dia, memutuskan bahawa anda bijak dan akan memilih pintu lain, menawarkan anda peluang ini kerana dia tahu bahawa anda meneka dengan betul pada mulanya dan akan ketagih? Atau mungkin dia bersikap baik secara luar biasa dan mendorong anda melakukan sesuatu yang akan memberi manfaat kepada anda kerana dia sudah lama tidak memberikan kereta dan penerbit mengatakan penonton semakin bosan dan adalah lebih baik untuk memberikan hadiah besar tidak lama lagi. rating jatuh?

Dengan cara ini, Monty berjaya kadangkala menawarkan pilihan, dan pada masa yang sama kebarangkalian keseluruhan kemenangan kekal sama dengan 1/3. Ingat bahawa kebarangkalian anda akan kalah secara langsung ialah 1/3. Peluang anda akan meneka dengan betul serta-merta ialah 1/3, dan 50% daripada masa tersebut anda akan menang (1/3 x 1/2 = 1/6).

Peluang anda salah meneka pada mulanya tetapi kemudian mempunyai peluang untuk memilih pintu lain ialah 1/3, dan separuh daripada masa itu anda akan menang (juga 1/6). Tambahkan dua kemungkinan kemenangan bebas dan anda mendapat kebarangkalian 1/3, jadi tidak kira sama ada anda tetap dengan pilihan anda atau memilih pintu lain - kebarangkalian keseluruhan anda untuk menang sepanjang permainan ialah 1/3.

Kebarangkalian tidak menjadi lebih besar daripada dalam situasi apabila anda meneka pintu dan penyampai hanya menunjukkan kepada anda apa yang ada di belakangnya, tanpa menawarkan untuk memilih yang lain. Maksud cadangan itu bukan untuk mengubah kebarangkalian, tetapi untuk menjadikan proses membuat keputusan lebih menyeronokkan untuk ditonton di televisyen.

Ngomong-ngomong, ini adalah salah satu sebab mengapa poker boleh menjadi sangat menarik: dalam kebanyakan format, antara pusingan apabila pertaruhan dibuat (contohnya, kegagalan, pusingan dan sungai di Texas Hold'em), kad secara beransur-ansur diturunkan, dan jika pada permulaan permainan anda mempunyai satu peluang untuk menang , maka selepas setiap pusingan pertaruhan, apabila ia dibuka lebih banyak kad, kebarangkalian ini berubah.

Paradoks lelaki dan perempuan

Ini membawa kita kepada satu lagi paradoks yang terkenal, yang, sebagai peraturan, membingungkan semua orang - paradoks lelaki dan perempuan itu. Satu-satunya perkara yang saya tulis hari ini yang tidak berkaitan secara langsung dengan permainan (walaupun saya rasa saya hanya sepatutnya menggalakkan anda mencipta mekanik permainan yang sesuai). Ini lebih kepada teka-teki, tetapi yang menarik, dan untuk menyelesaikannya, anda perlu memahami kebarangkalian bersyarat, yang kita bincangkan di atas.

Masalah: Saya mempunyai seorang kawan dengan dua orang anak, sekurang-kurangnya seorang daripada mereka adalah perempuan. Apakah kebarangkalian bahawa anak kedua juga perempuan? Mari kita anggap bahawa dalam mana-mana keluarga peluang untuk mempunyai seorang gadis dan lelaki adalah 50/50, dan ini adalah benar untuk setiap kanak-kanak.

Malah, sesetengah lelaki mempunyai lebih banyak sperma dengan kromosom X atau kromosom Y dalam sperma mereka, jadi kemungkinannya berubah sedikit. Jika anda tahu bahawa seorang anak adalah perempuan, kemungkinan untuk mempunyai anak perempuan kedua adalah lebih tinggi sedikit, dan terdapat keadaan lain, seperti hermafroditisme. Tetapi untuk menyelesaikan masalah ini, kami tidak akan mengambil kira ini dan menganggap bahawa kelahiran seorang kanak-kanak adalah acara bebas dan kelahiran seorang lelaki dan perempuan adalah sama besar kemungkinannya.

Memandangkan kita bercakap tentang peluang 1/2, secara intuitif kita menjangkakan bahawa kemungkinan besar jawapannya ialah 1/2 atau 1/4, atau beberapa nombor lain yang merupakan gandaan dua dalam penyebut. Tetapi jawapannya ialah 1/3. kenapa?

Kesukaran di sini ialah maklumat yang kami ada mengurangkan bilangan kemungkinan. Katakan ibu bapa adalah peminat Sesame Street dan, tanpa mengira jantina kanak-kanak, menamakan mereka A dan B. Dalam keadaan biasa, terdapat empat kemungkinan yang sama: A dan B ialah dua lelaki, A dan B ialah dua perempuan, A ialah lelaki dan B ialah perempuan, A ialah perempuan dan B ialah lelaki. Oleh kerana kita tahu bahawa sekurang-kurangnya seorang kanak-kanak adalah perempuan, kita boleh menolak kemungkinan bahawa A dan B adalah dua lelaki. Ini memberi kita tiga kemungkinan - masih sama kemungkinannya. Jika semua kemungkinan adalah sama kemungkinan dan terdapat tiga daripadanya, maka kebarangkalian setiap satu daripadanya ialah 1/3. Hanya dalam satu daripada tiga pilihan ini kedua-dua kanak-kanak perempuan, jadi jawapannya ialah 1/3.

Dan sekali lagi tentang paradoks lelaki dan perempuan

Penyelesaian kepada masalah menjadi lebih tidak logik. Bayangkan kawan saya ada dua orang anak dan seorang daripadanya perempuan yang lahir pada hari Selasa. Mari kita anggap bahawa dalam keadaan biasa seorang kanak-kanak boleh dilahirkan pada setiap tujuh hari dalam seminggu dengan kebarangkalian yang sama. Apakah kebarangkalian bahawa anak kedua juga perempuan?

Anda mungkin fikir jawapannya masih 1/3: apakah kepentingan hari Selasa? Tetapi walaupun dalam kes ini, intuisi kita gagal. Jawapannya ialah 13/27, yang bukan sahaja tidak intuitif, tetapi sangat pelik. Apa masalah dalam kes ini?

Malah, hari Selasa mengubah kebarangkalian kerana kita tidak tahu anak mana yang dilahirkan pada hari Selasa, atau mungkin kedua-duanya dilahirkan pada hari Selasa. Dalam kes ini, kami menggunakan logik yang sama: kami mengira segala-galanya kombinasi yang mungkin, apabila sekurang-kurangnya seorang anak adalah perempuan yang lahir pada hari Selasa. Seperti dalam contoh sebelumnya, mari kita anggap bahawa kanak-kanak itu dinamakan A dan B. Gabungan kelihatan seperti ini:

• A ialah perempuan yang dilahirkan pada hari Selasa, B ialah lelaki (dalam situasi ini terdapat 7 kemungkinan, satu untuk setiap hari dalam seminggu apabila seorang lelaki boleh dilahirkan).
• B ialah perempuan yang lahir pada hari Selasa, A ialah lelaki (juga 7 kemungkinan).
• A - seorang gadis yang dilahirkan pada hari Selasa, B - seorang gadis yang dilahirkan pada hari lain dalam seminggu (6 kemungkinan).
• B ialah perempuan yang lahir pada hari Selasa, A ialah perempuan yang tidak lahir pada hari Selasa (juga 6 kebarangkalian).
• A dan B adalah dua gadis yang dilahirkan pada hari Selasa (1 kemungkinan, anda perlu memberi perhatian kepada ini supaya tidak mengira dua kali).

Kami menjumlahkan dan mendapat 27 kombinasi kelahiran kanak-kanak dan hari yang sama mungkin berbeza dengan sekurang-kurangnya satu kemungkinan seorang gadis dilahirkan pada hari Selasa. Daripada jumlah ini, terdapat 13 kemungkinan apabila dua anak perempuan dilahirkan. Ini juga nampaknya tidak logik - nampaknya tugasan ini dicipta hanya untuk menyebabkan sakit kepala. Jika anda masih hairan, laman web ahli teori permainan Jesper Juhl mempunyai penjelasan yang baik tentang isu ini.

Jika anda sedang mengerjakan permainan

Jika terdapat rawak dalam permainan yang anda reka, ini adalah masa yang tepat untuk menganalisisnya. Pilih beberapa elemen yang anda ingin analisis. Mula-mula tanya diri anda apakah yang anda jangkakan kebarangkalian untuk elemen tertentu, apakah yang sepatutnya dalam konteks permainan.

Sebagai contoh, jika anda membuat RPG dan anda tertanya-tanya apakah kebarangkalian pemain itu akan mengalahkan raksasa dalam pertempuran, tanya diri anda apakah peratusan kemenangan yang anda rasa sesuai untuk anda. Biasanya dengan RPG konsol, pemain berasa sangat kecewa apabila mereka kalah, jadi lebih baik jika mereka kalah jarang - 10% daripada masa atau kurang. Jika anda seorang pereka RPG, anda mungkin tahu lebih baik daripada saya, tetapi anda perlu mempunyai idea asas, apakah kebarangkalian yang sepatutnya.

Kemudian tanya diri anda sama ada kebarangkalian anda bergantung (seperti dengan kad) atau bebas (seperti dengan dadu). Menganalisis semua kemungkinan hasil dan kebarangkaliannya. Pastikan jumlah semua kebarangkalian adalah 100%. Dan, tentu saja, bandingkan hasil yang diperoleh dengan jangkaan anda. Adakah anda boleh membaling dadu atau melukis kad seperti yang anda mahukan, atau adakah jelas bahawa nilainya perlu diselaraskan. Dan, sudah tentu, jika anda mendapati sebarang kekurangan, anda boleh menggunakan pengiraan yang sama untuk menentukan berapa banyak untuk menukar nilai.

Kerja rumah

milik awak kerja rumah” minggu ini akan membantu anda mengasah kemahiran kebarangkalian anda. Berikut adalah dua permainan dadu dan permainan kad yang akan anda analisis menggunakan kebarangkalian, serta mekanik permainan aneh yang pernah saya bangunkan yang akan menguji kaedah Monte Carlo.

Permainan #1 - Tulang Naga

Ini adalah permainan dadu yang pernah saya dan rakan sekerja saya buat (terima kasih kepada Jeb Heavens dan Jesse King) - ia secara khusus memeranjatkan fikiran orang ramai dengan kebarangkaliannya. Ia adalah permainan kasino ringkas yang dipanggil Dragon Dice, dan ia adalah pertandingan dadu perjudian antara pemain dan rumah.

Anda diberi die 1d6 biasa. Matlamat permainan ini adalah untuk melancarkan nombor yang lebih tinggi daripada rumah. Tom diberi 1d6 bukan standard - sama seperti anda, tetapi pada salah satu wajahnya dan bukannya unit terdapat imej naga (oleh itu, kasino mempunyai kiub naga - 2-3-4-5-6 ). Jika rumah itu mendapat naga, ia secara automatik menang dan anda kalah. Jika kedua-duanya mendapat nombor yang sama- ia adalah seri dan anda membaling dadu sekali lagi. Orang yang melancarkan nombor tertinggi menang.

Sudah tentu, semuanya tidak berfungsi sepenuhnya memihak kepada pemain, kerana kasino mempunyai kelebihan dalam bentuk kelebihan naga. Tetapi adakah ini benar-benar benar? Inilah yang anda perlu kira. Tetapi semak intuisi anda terlebih dahulu.

Katakan kemungkinannya adalah 2 berbanding 1. Jadi jika anda menang, anda mengekalkan pertaruhan anda dan mendapat dua kali ganda pertaruhan anda. Sebagai contoh, jika anda bertaruh 1 dolar dan menang, anda menyimpan dolar itu dan mendapat 2 lagi di atas, dengan jumlah 3 dolar. Jika anda kalah, anda hanya kehilangan pertaruhan anda. Adakah anda akan bermain? Adakah anda secara intuitif merasakan bahawa kebarangkalian adalah lebih besar daripada 2 berbanding 1, atau adakah anda masih berfikir bahawa ia adalah kurang? Dalam erti kata lain, secara purata lebih daripada 3 perlawanan, adakah anda menjangkakan untuk menang lebih daripada sekali, atau kurang, atau sekali?

Sebaik sahaja anda mengetahui intuisi anda, gunakan matematik. Terdapat hanya 36 kemungkinan kedudukan untuk kedua-dua dadu, jadi anda boleh mengira semuanya tanpa masalah. Jika anda tidak pasti tentang tawaran 2-untuk-1 itu, pertimbangkan perkara ini: Katakan anda bermain permainan 36 kali (pertaruhan $1 setiap kali). Untuk setiap kemenangan anda mendapat 2 dolar, untuk setiap kerugian anda kehilangan 1, dan keputusan seri tidak mengubah apa-apa. Kira semua kemungkinan kemenangan dan kerugian anda dan tentukan sama ada anda akan kehilangan atau mendapat beberapa dolar. Kemudian tanya diri anda sejauh mana intuisi anda betul. Dan kemudian sedar betapa penjahat saya.

Dan, ya, jika anda sudah memikirkan soalan ini - saya sengaja mengelirukan anda dengan menyalahgambarkan mekanik sebenar permainan dadu, tetapi saya pasti anda boleh mengatasi halangan ini hanya dengan sedikit pemikiran. Cuba selesaikan masalah ini sendiri.

Permainan No. 2 - Baling untuk nasib

ini perjudian dalam dadu yang dipanggil "Luck Throw" (juga "Birdcage" kerana kadangkala dadu tidak digulung tetapi diletakkan di dalam sangkar dawai yang besar, mengingatkan sangkar dari Bingo). Permainan ini mudah dan pada asasnya bermuara kepada ini: pertaruhan, katakan, $1 pada nombor dari 1 hingga 6. Kemudian anda melancarkan 3d6. Untuk setiap mati yang mendapat nombor anda, anda mendapat $1 (dan mengekalkan pertaruhan asal anda). Jika nombor anda tidak muncul pada mana-mana dadu, kasino mendapat dolar anda dan anda tidak mendapat apa-apa. Jadi jika anda bertaruh pada 1 dan anda mendapat 1 pada sisi tiga kali, anda mendapat $3.

Secara intuitif, nampaknya permainan ini mempunyai peluang yang sama. Setiap mati adalah individu 1 dalam 6 peluang untuk menang, jadi daripada jumlah tiga gulungan, peluang anda untuk menang ialah 3 dalam 6. Walau bagaimanapun, sudah tentu, ingat bahawa anda menambah tiga dadu berasingan, dan anda hanya dibenarkan untuk tambah jika kita bercakap tentang kombinasi kemenangan yang berasingan daripada dadu yang sama. Sesuatu yang anda perlukan untuk membiak.

Sebaik sahaja anda mengira semua hasil yang mungkin (mungkin lebih mudah dilakukan dalam Excel berbanding menggunakan tangan, kerana terdapat 216 daripadanya), permainan ini masih kelihatan ganjil-genap pada pandangan pertama. Malah, kasino masih mempunyai peluang yang lebih baik untuk menang - apatah lagi? Secara khusus, berapa banyak wang secara purata yang anda jangkakan untuk kehilangan setiap pusingan permainan?

Apa yang anda perlu lakukan ialah menjumlahkan kemenangan dan kekalahan semua 216 keputusan dan kemudian bahagikan dengan 216, yang sepatutnya agak mudah. Tetapi, seperti yang anda boleh lihat, terdapat beberapa perangkap di sini, itulah sebabnya saya berkata: jika anda fikir permainan ini mempunyai peluang yang sama untuk menang, anda mempunyai semuanya salah.

Permainan #3 - 5 Card Stud Poker

Jika anda sudah memanaskan diri dengan permainan sebelumnya, mari semak perkara yang kami ketahui tentang kebarangkalian bersyarat menggunakan permainan kad ini sebagai contoh. Mari bayangkan permainan poker dengan dek 52 kad. Mari kita bayangkan juga 5 kad stud, di mana setiap pemain hanya menerima 5 kad. Anda tidak boleh membuang kad, anda tidak boleh melukis yang baharu, tiada dek kongsi - anda hanya mendapat 5 kad.

Royal Flush ialah 10-J-Q-K-A dalam satu tangan, terdapat empat kesemuanya, jadi terdapat empat cara yang mungkin mendapat siram diraja. Kira kebarangkalian anda akan mendapat satu kombinasi tersebut.

Saya mesti memberi amaran kepada anda tentang satu perkara: ingat bahawa anda boleh menarik lima kad ini dalam sebarang susunan. Iaitu, pertama anda boleh melukis ace atau sepuluh, tidak mengapa. Oleh itu, semasa anda membuat pengiraan, perlu diingat bahawa sebenarnya terdapat lebih daripada empat cara untuk mendapatkan royal flush, dengan mengandaikan kad telah diuruskan mengikut urutan.

Permainan No. 4 - Loteri IMF

Masalah keempat tidak dapat diselesaikan dengan begitu mudah menggunakan kaedah yang kita bincangkan hari ini, tetapi anda boleh mensimulasikan situasi dengan mudah menggunakan pengaturcaraan atau Excel. Pada contoh masalah ini, anda boleh menggunakan kaedah Monte Carlo.

Saya menyebut sebelum ini permainan Chron X, yang pernah saya kerjakan, dan terdapat satu kad yang sangat menarik di sana - loteri IMF. Begini cara ia berfungsi: anda menggunakannya dalam permainan. Selepas pusingan tamat, kad telah diedarkan semula, dan terdapat 10% kemungkinan bahawa kad itu akan dimatikan dan pemain rawak akan menerima 5 unit bagi setiap jenis sumber yang tokennya terdapat pada kad tersebut. Kad itu dimasukkan ke dalam permainan tanpa satu cip, tetapi setiap kali ia kekal dalam permainan pada permulaan pusingan seterusnya, ia menerima satu cip.

Jadi terdapat peluang 10% bahawa jika anda memainkannya, pusingan akan tamat, kad akan meninggalkan permainan, dan tiada siapa yang akan mendapat apa-apa. Jika ini tidak berlaku (90% peluang), terdapat 10% peluang (sebenarnya 9%, kerana ia adalah 10% daripada 90%) bahawa pada pusingan seterusnya dia akan meninggalkan permainan dan seseorang akan menerima 5 unit sumber. Jika kad meninggalkan permainan selepas satu pusingan (10% daripada 81% yang tersedia, jadi kebarangkalian adalah 8.1%), seseorang akan menerima 10 unit, satu lagi pusingan - 15, satu lagi - 20, dan seterusnya. Soalan: Apakah nilai jangkaan umum bilangan sumber yang anda akan dapat daripada kad ini apabila ia akhirnya meninggalkan permainan?

Biasanya kami akan cuba menyelesaikan masalah ini dengan mengira kemungkinan setiap hasil dan darab dengan bilangan semua hasil. Terdapat 10% peluang anda akan mendapat 0 (0.1 * 0 = 0). 9% bahawa anda akan menerima 5 unit sumber (9% * 5 = 0.45 sumber). 8.1% daripada apa yang anda akan dapat ialah 10 (8.1%*10=0.81 sumber - nilai jangkaan keseluruhan). Dan sebagainya. Dan kemudian kami akan merumuskan semuanya.

Dan kini masalahnya jelas kepada anda: sentiasa ada kemungkinan bahawa kad itu tidak akan meninggalkan permainan, ia boleh kekal dalam permainan selama-lamanya, kerana nombor tak terhingga pusingan, jadi tiada cara untuk mengira setiap kebarangkalian. Kaedah yang kami pelajari hari ini tidak membenarkan kami mengira rekursi tak terhingga, jadi kami perlu menciptanya secara buatan.

Jika anda cukup mahir dalam pengaturcaraan, tulis program yang akan mensimulasikan peta ini. Anda sepatutnya mempunyai gelung masa yang membawa pembolehubah ke kedudukan awal sifar, menunjukkan nombor rawak dan dengan kebarangkalian 10% pembolehubah keluar dari gelung. Jika tidak, ia menambah 5 kepada pembolehubah dan gelung berulang. Apabila ia akhirnya keluar dari gelung, tambahkan jumlah bilangan percubaan yang dijalankan sebanyak 1 dan jumlah bilangan sumber (mengikut jumlah bergantung pada tempat pembolehubah itu berakhir). Kemudian tetapkan semula pembolehubah dan mulakan semula.

Jalankan program beberapa ribu kali. Pada akhirnya, bahagikan jumlah sumber dengan jumlah larian - ini akan menjadi nilai Monte Carlo yang anda harapkan. Jalankan program beberapa kali untuk memastikan bahawa nombor yang anda dapat adalah lebih kurang sama. Jika serakan masih besar, tambahkan bilangan ulangan dalam gelung luar sehingga anda mula mendapat padanan. Anda boleh yakin bahawa apa-apa nombor yang anda perolehi adalah lebih kurang betul.

Jika anda baru dalam pengaturcaraan (walaupun anda tahu), berikut ialah latihan pantas untuk menguji kemahiran Excel anda. Jika anda seorang pereka permainan, kemahiran ini tidak akan berlebihan.

Sekarang fungsi if dan rand akan sangat berguna kepada anda. Rand tidak memerlukan nilai, ia hanya menghasilkan nilai rawak nombor perpuluhan dari 0 hingga 1. Kami biasanya menggabungkannya dengan lantai dan tambah dan tolak untuk mensimulasikan gulungan dadu yang saya nyatakan tadi. Walau bagaimanapun, dalam kes ini, kami hanya meninggalkan peluang 10% bahawa kad itu akan meninggalkan permainan, jadi kami hanya boleh menyemak sama ada nilai rand kurang daripada 0.1 dan tidak perlu risau lagi.

Jika mempunyai tiga makna. Mengikut urutan: syarat yang sama ada benar atau palsu, kemudian nilai yang dikembalikan jika syarat itu benar, dan nilai yang dikembalikan jika syarat itu palsu. Jadi fungsi seterusnya akan mengembalikan 5% masa, dan 0 baki 90% masa: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Terdapat banyak cara untuk menetapkan arahan ini, tetapi saya akan menggunakan formula ini untuk sel yang mewakili pusingan pertama, katakan ia sel A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Di sini saya menggunakan pembolehubah negatif untuk bermaksud "kad ini belum meninggalkan permainan dan belum melepaskan sebarang sumber lagi." Jadi jika pusingan pertama telah tamat dan kad keluar bermain, A1 ialah 0; sebaliknya ia adalah –1.

Untuk sel seterusnya yang mewakili pusingan kedua: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Jadi jika pusingan pertama tamat dan kad segera meninggalkan permainan, A1 ialah 0 (bilangan sumber) dan sel ini hanya akan menyalin nilai tersebut. Jika tidak, A1 ialah -1 (kad masih belum meninggalkan permainan), dan sel ini terus bergerak secara rawak: 10% daripada masa ia akan mengembalikan 5 unit sumber, selebihnya nilainya masih sama dengan -1. Jika kami menggunakan formula ini pada sel tambahan, kami mendapat pusingan tambahan, dan mana-mana sel yang anda hadapi akan memberikan anda keputusan akhir (atau -1 jika kad tidak pernah meninggalkan permainan selepas semua pusingan yang anda mainkan).

Ambil baris sel itu, yang mewakili satu-satunya pusingan dengan kad itu, dan salin dan tampal beberapa ratus (atau seribu) baris. Kami mungkin tidak dapat melakukan ujian tak terhingga untuk Excel (terdapat bilangan sel yang terhad dalam jadual), tetapi sekurang-kurangnya kami boleh menampung kebanyakan kes. Kemudian pilih satu sel di mana anda akan meletakkan purata keputusan semua pusingan - Excel membantu menyediakan fungsi purata() untuk ini.

Pada Windows, anda sekurang-kurangnya boleh menekan F9 untuk mengira semula semua nombor rawak. Seperti sebelum ini, lakukan ini beberapa kali dan lihat jika anda mendapat nilai yang sama. Jika hamparan terlalu besar, gandakan bilangan larian dan cuba lagi.

Masalah yang tidak dapat diselesaikan

Sekiranya anda mempunyai ijazah dalam teori kebarangkalian dan masalah di atas kelihatan terlalu mudah kepada anda, berikut adalah dua masalah yang saya telah menggaru kepala saya selama bertahun-tahun, tetapi malangnya saya tidak cukup mahir dalam matematik untuk menyelesaikannya.

Masalah Tidak Selesai #1: Loteri IMF

Masalah pertama yang belum selesai ialah tugasan kerja rumah sebelum ini. Saya boleh menggunakan kaedah Monte Carlo dengan mudah (menggunakan C++ atau Excel) dan yakin dengan jawapan kepada soalan "berapa banyak sumber yang akan diterima oleh pemain", tetapi saya tidak tahu dengan tepat cara memberikan jawapan yang boleh dibuktikan secara matematik (ia adalah siri yang tidak terhingga).

Masalah tidak diselesaikan #2: Urutan rajah

Masalah ini (ia juga melangkaui tugas-tugas yang diselesaikan dalam blog ini) telah diberikan kepada saya oleh rakan gamer lebih sepuluh tahun yang lalu. Semasa bermain blackjack di Vegas, dia melihat satu perkara yang menarik: apabila dia mengeluarkan kad dari kasut 8 dek, dia melihat sepuluh angka berturut-turut (angka atau kad muka ialah 10, Joker, King atau Queen, jadi terdapat 16 dalam. jumlah dalam kad 52 dek standard atau 128 dalam kasut kad 416).

Apakah kebarangkalian bahawa kasut ini mengandungi sekurang-kurangnya satu urutan sepuluh atau lebih angka? Mari kita anggap bahawa mereka telah dikocok secara adil, dalam susunan rawak. Atau, jika anda lebih suka, apakah kebarangkalian bahawa urutan sepuluh atau lebih angka tidak berlaku di mana-mana sahaja?

Kita boleh memudahkan tugas. Berikut adalah urutan 416 bahagian. Setiap bahagian ialah 0 atau 1. Terdapat 128 satu dan 288 sifar bertaburan secara rawak sepanjang jujukan. Berapa banyak cara yang ada untuk menyelang secara rawak 128 yang dengan 288 sifar, dan berapa kali dalam cara ini sekurang-kurangnya satu kumpulan sepuluh atau lebih yang akan berlaku?

Setiap kali saya mula menyelesaikan masalah ini, ia kelihatan mudah dan jelas kepada saya, tetapi sebaik sahaja saya menyelidiki butirannya, ia tiba-tiba runtuh dan kelihatan mustahil.

Oleh itu, jangan tergesa-gesa untuk menjawab jawapan: duduk, fikir dengan teliti, kaji syarat-syarat, cuba masukkan nombor nyata, kerana semua orang yang saya bercakap tentang masalah ini (termasuk beberapa pelajar siswazah yang bekerja dalam bidang ini) memberi reaksi tentang yang sama: "Ia benar-benar jelas... oh, tidak, tunggu, ia tidak jelas sama sekali." Ini berlaku apabila saya tidak mempunyai kaedah untuk mengira semua pilihan. Saya boleh, sudah tentu, memaksa masalah melalui algoritma komputer, tetapi ia akan menjadi lebih menarik untuk mengetahui penyelesaian matematik.

Dibentangkan sehingga kini di bank terbuka masalah Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik (mathege.ru), penyelesaiannya berdasarkan hanya satu formula, iaitu takrifan klasik kebarangkalian.

Cara paling mudah untuk memahami formula adalah dengan contoh.
Contoh 1. Terdapat 9 bola merah dan 3 bola biru di dalam bakul. Bola hanya berbeza dalam warna. Kami mengeluarkan salah satu daripadanya secara rawak (tanpa melihat). Apakah kebarangkalian bahawa bola yang dipilih dengan cara ini akan berwarna biru?

Satu komen. Dalam masalah dalam teori kebarangkalian, sesuatu berlaku (dalam kes ini, tindakan kita mengeluarkan bola) yang boleh mempunyai hasil yang berbeza - hasil. Perlu diingatkan bahawa hasilnya boleh dilihat dengan cara yang berbeza. "Kami mengeluarkan beberapa jenis bola" juga merupakan hasil. "Kami mengeluarkan bola biru" - hasilnya. "Kami menarik keluar tepat bola ini dari semua bola yang mungkin" - pandangan yang paling tidak umum mengenai keputusan ini dipanggil hasil asas. Ia adalah hasil asas yang dimaksudkan dalam formula untuk mengira kebarangkalian.

Penyelesaian. Sekarang mari kita kira kebarangkalian memilih bola biru.
Acara A: "bola yang dipilih ternyata berwarna biru"
Jumlah bilangan semua kemungkinan hasil: 9+3=12 (bilangan semua bola yang boleh kita lukis)
Bilangan hasil yang sesuai untuk acara A: 3 (bilangan hasil sedemikian dalam peristiwa A berlaku - iaitu bilangan bola biru)
P(A)=3/12=1/4=0.25
Jawapan: 0.25

Untuk masalah yang sama, mari kita mengira kebarangkalian memilih bola merah.
Jumlah bilangan hasil yang mungkin akan kekal sama, 12. Bilangan hasil yang menggalakkan: 9. Kebarangkalian dicari: 9/12=3/4=0.75

Kebarangkalian sebarang peristiwa sentiasa terletak di antara 0 dan 1.
Kadangkala dalam pertuturan harian (tetapi bukan dalam teori kebarangkalian!) kebarangkalian kejadian dianggarkan sebagai peratusan. Peralihan antara markah matematik dan perbualan dicapai dengan mendarab (atau membahagi) sebanyak 100%.
Jadi,
Selain itu, kebarangkalian adalah sifar untuk peristiwa yang tidak boleh berlaku - luar biasa. Sebagai contoh, dalam contoh kami ini akan menjadi kebarangkalian untuk menarik bola hijau dari bakul. (Bilangan hasil yang menggalakkan ialah 0, P(A)=0/12=0, jika dikira menggunakan formula)
Kebarangkalian 1 mempunyai peristiwa yang benar-benar pasti berlaku, tanpa pilihan. Sebagai contoh, kebarangkalian bahawa "bola yang dipilih akan sama ada merah atau biru" adalah untuk tugas kami. (Bilangan hasil yang menggalakkan: 12, P(A)=12/12=1)

Kami melihat contoh klasik yang menggambarkan definisi kebarangkalian. Semua masalah serupa Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam teori kebarangkalian diselesaikan dengan menggunakan formula ini.
Sebagai ganti bola merah dan biru mungkin terdapat epal dan pear, lelaki dan perempuan, tiket terpelajar dan tidak dipelajari, tiket yang mengandungi dan tidak mengandungi soalan mengenai topik tertentu (prototaip,), beg atau pam taman yang rosak dan berkualiti tinggi ( prototaip,) - prinsipnya tetap sama.

Mereka berbeza sedikit dalam perumusan masalah teori kebarangkalian Peperiksaan Negeri Bersepadu, di mana anda perlu mengira kebarangkalian beberapa peristiwa berlaku pada hari tertentu. ( , ) Seperti dalam masalah sebelumnya, anda perlu menentukan apakah hasil asas, dan kemudian menggunakan formula yang sama.

Contoh 2. Persidangan itu berlangsung selama tiga hari. Pada hari pertama dan kedua terdapat 15 penceramah, pada hari ketiga - 20. Apakah kebarangkalian laporan Profesor M. akan jatuh pada hari ketiga jika susunan laporan ditentukan melalui undian?

Apakah hasil asas di sini? – Memberikan laporan profesor satu daripada semua nombor siri yang mungkin untuk ucapan. 15+15+20=50 orang menyertai cabutan. Oleh itu, laporan Profesor M. mungkin menerima satu daripada 50 keluaran. Ini bermakna hanya terdapat 50 hasil asas.
Apakah hasil yang menggalakkan? - Mereka yang ternyata profesor akan bercakap pada hari ketiga. Iaitu, 20 nombor terakhir.
Mengikut formula, kebarangkalian P(A)= 20/50=2/5=4/10=0.4
Jawapan: 0.4

Cabutan lot di sini mewakili penubuhan surat-menyurat rawak antara orang dan tempat yang dipesan. Dalam contoh 2, pemadanan telah dipertimbangkan dari sudut tempat yang boleh diduduki oleh seseorang tertentu. Anda boleh mendekati situasi yang sama dari sisi lain: yang mana antara orang yang mempunyai kebarangkalian boleh sampai ke tempat tertentu (prototaip , , , ):

Contoh 3. Cabutan itu termasuk 5 orang Jerman, 8 orang Perancis dan 3 orang Estonia. Apakah kebarangkalian bahawa yang pertama (/kedua/ketujuh/terakhir – tidak mengapa) akan menjadi orang Perancis.

Bilangan hasil asas ialah bilangan semua orang yang mungkin boleh masuk ke tempat tertentu dengan membuat undian. 5+8+3=16 orang.
Hasil yang menggalakkan - Perancis. 8 orang.
Kebarangkalian yang diperlukan: 8/16=1/2=0.5
Jawapan: 0.5

Prototaipnya sedikit berbeza. Masih terdapat masalah tentang syiling () dan dadu (), yang agak lebih kreatif. Penyelesaian kepada masalah ini boleh didapati pada halaman prototaip.

Berikut adalah beberapa contoh melambung syiling atau dadu.

Contoh 4. Apabila kita melemparkan syiling, apakah kebarangkalian untuk mendarat di atas kepala?
Terdapat 2 hasil - kepala atau ekor. (adalah dipercayai bahawa syiling itu tidak pernah mendarat di tepinya) Hasil yang menggalakkan ialah ekor, 1.
Kebarangkalian 1/2=0.5
Jawapan: 0.5.

Contoh 5. Bagaimana jika kita melemparkan syiling dua kali? Apakah kebarangkalian mendapat kepala kedua-dua kali?
Perkara utama ialah menentukan hasil asas yang akan kita pertimbangkan apabila melambung dua syiling. Selepas melambung dua syiling, salah satu daripada keputusan berikut boleh berlaku:
1) PP - kedua-dua kali ia muncul di kepala
2) PO – kepala kali pertama, kepala kali kedua
3) OP – kepala kali pertama, ekor kali kedua
4) OO - kepala muncul dua kali
Tiada pilihan lain. Ini bermakna terdapat 4 hasil asas Hanya yang pertama, 1, adalah menguntungkan.
Kebarangkalian: 1/4=0.25
Jawapan: 0.25

Apakah kebarangkalian bahawa dua lambungan syiling akan menghasilkan ekor?
Bilangan hasil asas adalah sama, 4. Hasil yang menggalakkan ialah kedua dan ketiga, 2.
Kebarangkalian mendapat satu ekor: 2/4=0.5

Dalam masalah sedemikian, formula lain mungkin berguna.
Jika dengan satu lambungan syiling kita mempunyai 2 pilihan hasil yang mungkin, maka untuk dua lambungan hasilnya akan menjadi 2 2 = 2 2 = 4 (seperti dalam contoh 5), untuk tiga lambungan 2 2 2 = 2 3 = 8, untuk empat : 2·2·2·2=2 4 =16, ... untuk N gulung keputusan yang mungkin ialah 2·2·...·2=2 N .

Jadi, anda boleh mencari kebarangkalian mendapat 5 kepala daripada 5 lambungan syiling.
Jumlah bilangan hasil asas: 2 5 =32.
Hasil yang menggalakkan: 1. (RRRRRR – kepala semua 5 kali)
Kebarangkalian: 1/32=0.03125

Perkara yang sama berlaku untuk dadu. Dengan satu lontaran, terdapat 6 keputusan yang mungkin Jadi, untuk dua lontaran: 6 6 = 36, untuk tiga 6 6 6 = 216, dsb.

Contoh 6. Kita baling dadu. Apakah kebarangkalian nombor genap akan digulung?

Jumlah hasil: 6, mengikut bilangan sisi.
Menguntungkan: 3 hasil. (2, 4, 6)
Kebarangkalian: 3/6=0.5

Contoh 7. Kami baling dua dadu. Apakah kebarangkalian bahawa jumlahnya ialah 10? (bulatkan kepada perseratus terdekat)

Untuk satu kematian terdapat 6 kemungkinan hasil. Ini bermakna untuk dua, mengikut peraturan di atas, 6·6=36.
Apakah hasil yang akan menguntungkan untuk jumlah keseluruhan untuk melancarkan 10?
10 mesti diuraikan menjadi hasil tambah dua nombor dari 1 hingga 6. Ini boleh dilakukan dengan dua cara: 10=6+4 dan 10=5+5. Ini bermakna pilihan berikut adalah mungkin untuk kiub:
(6 pada yang pertama dan 4 pada yang kedua)
(4 pada yang pertama dan 6 pada yang kedua)
(5 pada yang pertama dan 5 pada yang kedua)
Jumlah, 3 pilihan. Kebarangkalian yang diperlukan: 3/36=1/12=0.08
Jawapan: 0.08

Jenis masalah B6 lain akan dibincangkan dalam artikel Cara Menyelesaikan akan datang.

Pada mulanya, hanya sebagai koleksi maklumat dan pemerhatian empirikal tentang permainan dadu, teori kebarangkalian menjadi sains yang menyeluruh. Yang pertama memberikannya rangka kerja matematik ialah Fermat dan Pascal.

Dari memikirkan tentang yang kekal kepada teori kebarangkalian

Kedua-dua individu yang teori kebarangkalian berhutang banyak formula asasnya, Blaise Pascal dan Thomas Bayes, dikenali sebagai orang yang sangat beragama, yang kedua ialah seorang menteri Presbyterian. Nampaknya, keinginan kedua-dua saintis ini untuk membuktikan kekeliruan pendapat tentang Fortune tertentu yang memberikan tuah kepada kegemarannya memberi dorongan kepada penyelidikan dalam bidang ini. Lagipun, sebenarnya, mana-mana permainan perjudian dengan kemenangan dan kekalahannya hanyalah simfoni prinsip matematik.

Terima kasih kepada keghairahan Chevalier de Mere, yang sama-sama seorang penjudi dan seorang yang tidak peduli dengan sains, Pascal terpaksa mencari cara untuk mengira kebarangkalian. De Mere berminat dengan soalan berikut: "Berapa kali anda perlu membaling dua dadu secara berpasangan supaya kebarangkalian mendapat 12 mata melebihi 50%?" Soalan kedua, yang sangat menarik minat lelaki itu: "Bagaimana untuk membahagikan pertaruhan antara peserta dalam permainan yang belum selesai?" Sudah tentu, Pascal berjaya menjawab kedua-dua soalan de Mere, yang menjadi pemula tanpa disedari perkembangan teori kebarangkalian. Adalah menarik bahawa orang de Mere kekal dikenali di kawasan ini, dan bukan dalam kesusasteraan.

Sebelum ini, tiada ahli matematik pernah cuba mengira kebarangkalian kejadian, kerana dipercayai bahawa ini hanyalah penyelesaian meneka. Blaise Pascal memberikan definisi pertama tentang kebarangkalian sesuatu peristiwa dan menunjukkan bahawa ia adalah angka tertentu yang boleh dibenarkan secara matematik. Teori kebarangkalian telah menjadi asas kepada statistik dan digunakan secara meluas dalam sains moden.

Apa itu rawak

Jika kita menganggap ujian yang boleh diulang bilangan kali yang tidak terhingga, maka kita boleh menentukan peristiwa rawak. Ini adalah salah satu kemungkinan hasil percubaan.

Pengalaman ialah pelaksanaan tindakan tertentu di bawah keadaan yang berterusan.

Untuk dapat bekerja dengan hasil eksperimen, acara biasanya ditetapkan oleh huruf A, B, C, D, E...

Kebarangkalian kejadian rawak

Untuk memulakan bahagian matematik kebarangkalian, adalah perlu untuk menentukan semua komponennya.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah ukuran berangka kemungkinan sesuatu peristiwa (A atau B) berlaku akibat daripada pengalaman. Kebarangkalian dilambangkan sebagai P(A) atau P(B).

Dalam teori kebarangkalian mereka membezakan:

• boleh dipercayai peristiwa itu dijamin berlaku hasil daripada pengalaman P(Ω) = 1;
• mustahil peristiwa itu tidak boleh berlaku P(Ø) = 0;
• rawak sesuatu peristiwa terletak di antara dipercayai dan mustahil, iaitu, kebarangkalian kejadiannya adalah mungkin, tetapi tidak dijamin (kebarangkalian kejadian rawak sentiasa dalam julat 0≤Р(А)≤ 1).

Hubungan antara peristiwa

Kedua-dua satu dan jumlah peristiwa A+B dipertimbangkan, apabila peristiwa itu dikira apabila sekurang-kurangnya satu daripada komponen, A atau B, atau kedua-duanya, A dan B, dipenuhi.

Berkaitan antara satu sama lain, acara boleh:

• Sama-sama boleh.
• serasi.
• Tidak serasi.
• Bertentangan (saling eksklusif).
• Bergantung.

Jika dua peristiwa boleh berlaku dengan kebarangkalian yang sama, maka ia sama mungkin.

Jika berlakunya peristiwa A tidak mengurangkan kepada sifar kebarangkalian kejadian B, maka mereka serasi.

Jika peristiwa A dan B tidak pernah berlaku serentak dalam pengalaman yang sama, maka ia dipanggil tidak serasi. Melambung syiling ialah contoh yang baik: rupa kepala secara automatik adalah bukan rupa kepala.

Kebarangkalian untuk jumlah peristiwa tidak serasi tersebut terdiri daripada jumlah kebarangkalian setiap peristiwa:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Jika berlakunya satu kejadian menjadikan kejadian yang lain mustahil, maka ia dipanggil sebaliknya. Kemudian salah satu daripada mereka ditetapkan sebagai A, dan yang lain - Ā (dibaca sebagai “bukan A”). Berlakunya peristiwa A bermakna Ā tidak berlaku. Kedua-dua peristiwa ini membentuk kumpulan lengkap dengan jumlah kebarangkalian sama dengan 1.

Peristiwa bergantung mempunyai pengaruh bersama, mengurangkan atau meningkatkan kebarangkalian antara satu sama lain.

Hubungan antara peristiwa. Contoh

Menggunakan contoh adalah lebih mudah untuk memahami prinsip teori kebarangkalian dan gabungan peristiwa.

Eksperimen yang akan dijalankan terdiri daripada mengeluarkan bola dari kotak, dan keputusan setiap eksperimen adalah hasil asas.

Peristiwa ialah salah satu hasil eksperimen yang mungkin - bola merah, bola biru, bola dengan nombor enam, dsb.

Ujian No 1. Terdapat 6 bola yang terlibat, tiga daripadanya berwarna biru dengan nombor ganjil padanya, dan tiga lagi berwarna merah dengan nombor genap.

Ujian No. 2. Terdapat 6 bola biru dengan nombor dari satu hingga enam.

Berdasarkan contoh ini, kita boleh menamakan kombinasi:

• Acara yang boleh dipercayai. Dalam bahasa Sepanyol No. 2 acara "dapatkan bola biru" boleh dipercayai, kerana kebarangkalian kejadiannya adalah sama dengan 1, kerana semua bola berwarna biru dan tidak boleh terlepas. Manakala acara "dapat bola dengan nombor 1" adalah rawak.
• Peristiwa yang mustahil. Dalam bahasa Sepanyol No. 1 dengan bola biru dan merah, acara "mendapatkan bola ungu" adalah mustahil, kerana kebarangkalian kejadiannya ialah 0.
• Peristiwa yang sama mungkin. Dalam bahasa Sepanyol No. 1, acara "dapatkan bola dengan nombor 2" dan "dapatkan bola dengan nombor 3" adalah sama mungkin, dan acara "dapatkan bola dengan nombor genap" dan "dapatkan bola dengan nombor 2" ” mempunyai kebarangkalian yang berbeza.
• Acara Serasi. Mendapat enam dua kali berturut-turut semasa melontar dadu ialah acara yang serasi.
• Peristiwa yang tidak serasi. Dalam bahasa Sepanyol yang sama No. 1, acara "dapat bola merah" dan "dapat bola dengan nombor ganjil" tidak boleh digabungkan dalam pengalaman yang sama.
• Peristiwa bertentangan. Contoh yang paling menarik ialah melambung syiling, di mana kepala lukisan adalah bersamaan dengan tidak melukis ekor, dan jumlah kebarangkalian mereka sentiasa 1 (kumpulan penuh).
• Peristiwa Bergantung. Jadi, dalam bahasa Sepanyol No 1, anda boleh menetapkan matlamat untuk menarik bola merah dua kali berturut-turut. Sama ada ia diambil pada kali pertama atau tidak menjejaskan kemungkinan untuk diambil kali kedua.

Dapat dilihat bahawa peristiwa pertama secara signifikan mempengaruhi kebarangkalian yang kedua (40% dan 60%).

Formula kebarangkalian peristiwa

Peralihan daripada ramalan nasib kepada data yang tepat berlaku melalui terjemahan topik ke dalam satah matematik. Iaitu, pertimbangan tentang peristiwa rawak seperti "kebarangkalian tinggi" atau "kebarangkalian minimum" boleh diterjemahkan ke dalam data berangka tertentu. Ia sudah dibenarkan untuk menilai, membandingkan dan memasukkan bahan tersebut ke dalam pengiraan yang lebih kompleks.

Dari sudut pengiraan, menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil positif asas kepada bilangan semua kemungkinan hasil pengalaman berkenaan peristiwa tertentu. Kebarangkalian dilambangkan dengan P(A), di mana P bermaksud perkataan "kebarangkalian", yang diterjemahkan daripada bahasa Perancis sebagai "kebarangkalian".

Jadi, formula untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah:

Di mana m ialah bilangan hasil yang menggalakkan untuk peristiwa A, n ialah jumlah semua hasil yang mungkin untuk pengalaman ini. Dalam kes ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa sentiasa terletak di antara 0 dan 1:

0 ≤ P(A)≤ 1.

Pengiraan kebarangkalian sesuatu peristiwa. Contoh

Mari ambil bahasa Sepanyol. No 1 dengan bola, yang diterangkan sebelum ini: 3 bola biru dengan nombor 1/3/5 dan 3 bola merah dengan nombor 2/4/6.

Berdasarkan ujian ini, beberapa masalah yang berbeza boleh dipertimbangkan:

• A - bola merah jatuh. Terdapat 3 bola merah, dan terdapat 6 pilihan kesemuanya Ini adalah contoh paling mudah di mana kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah P(A)=3/6=0.5.
• B - menggolek nombor genap. Terdapat 3 nombor genap (2,4,6), dan jumlah bilangan pilihan berangka yang mungkin ialah 6. Kebarangkalian kejadian ini ialah P(B)=3/6=0.5.
• C - kejadian nombor lebih besar daripada 2. Terdapat 4 pilihan tersebut (3,4,5,6) daripada jumlah kemungkinan hasil 6. Kebarangkalian peristiwa C adalah sama dengan P(C)=4 /6=0.67.

Seperti yang dapat dilihat daripada pengiraan, peristiwa C mempunyai kebarangkalian yang lebih tinggi, kerana bilangan hasil positif yang berkemungkinan lebih tinggi daripada di A dan B.

Peristiwa yang tidak serasi

Peristiwa sedemikian tidak boleh muncul serentak dalam pengalaman yang sama. Seperti dalam bahasa Sepanyol No 1 adalah mustahil untuk mendapatkan bola biru dan merah pada masa yang sama. Iaitu, anda boleh mendapatkan sama ada bola biru atau merah. Dengan cara yang sama, nombor genap dan nombor ganjil tidak boleh muncul dalam dadu pada masa yang sama.

Kebarangkalian dua peristiwa dianggap sebagai kebarangkalian jumlah atau hasil darabnya. Jumlah peristiwa A+B sedemikian dianggap sebagai peristiwa yang terdiri daripada kejadian A atau B, dan hasil darabnya AB ialah kejadian kedua-duanya. Sebagai contoh, penampilan dua enam serentak pada muka dua dadu dalam satu lontaran.

Jumlah beberapa peristiwa ialah peristiwa yang mengandaikan berlakunya sekurang-kurangnya satu daripadanya. Penghasilan beberapa acara adalah kejadian bersama kesemuanya.

Dalam teori kebarangkalian, sebagai peraturan, penggunaan kata hubung "dan" menandakan jumlah, dan kata hubung "atau" - pendaraban. Formula dengan contoh akan membantu anda memahami logik penambahan dan pendaraban dalam teori kebarangkalian.

Kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi

Jika kebarangkalian kejadian tidak serasi dipertimbangkan, maka kebarangkalian jumlah peristiwa adalah sama dengan penambahan kebarangkalian mereka:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Sebagai contoh: mari kita hitung kebarangkalian bahawa dalam bahasa Sepanyol. No. 1 dengan bola biru dan merah, nombor antara 1 dan 4 akan muncul Kami tidak akan mengira dalam satu tindakan, tetapi dengan jumlah kebarangkalian komponen asas. Jadi, dalam eksperimen sedemikian hanya terdapat 6 bola atau 6 daripada semua hasil yang mungkin. Nombor yang memenuhi syarat ialah 2 dan 3. Kebarangkalian mendapat 2 ialah 1/6, kebarangkalian mendapat 3 juga ialah 1/6. Kebarangkalian mendapat nombor antara 1 dan 4 ialah:

Kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi bagi kumpulan lengkap ialah 1.

Jadi, jika dalam eksperimen dengan kubus kita menjumlahkan kebarangkalian semua nombor yang muncul, hasilnya akan menjadi satu.

Ini juga berlaku untuk peristiwa berlawanan, contohnya dalam eksperimen dengan syiling, di mana satu sisi adalah peristiwa A, dan satu lagi adalah peristiwa bertentangan Ā, seperti yang diketahui,

P(A) + P(Ā) = 1

Kebarangkalian kejadian tidak serasi berlaku

Pendaraban kebarangkalian digunakan apabila mempertimbangkan berlakunya dua atau lebih peristiwa yang tidak serasi dalam satu pemerhatian. Kebarangkalian peristiwa A dan B akan muncul di dalamnya secara serentak adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian mereka, atau:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Sebagai contoh, kebarangkalian bahawa dalam bahasa Sepanyol No 1, hasil daripada dua percubaan, bola biru akan muncul dua kali, sama dengan

Iaitu, kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku apabila, hasil daripada dua percubaan untuk mengeluarkan bola, hanya bola biru yang diekstrak ialah 25%. Sangat mudah untuk melakukan eksperimen praktikal mengenai masalah ini dan melihat sama ada ini sebenarnya berlaku.

Acara bersama

Peristiwa dianggap bersama apabila kejadian salah satu daripadanya boleh bertepatan dengan kejadian yang lain. Walaupun fakta bahawa ia adalah bersama, kebarangkalian peristiwa bebas dipertimbangkan. Sebagai contoh, membaling dua dadu boleh memberikan keputusan apabila nombor 6 muncul pada kedua-duanya Walaupun peristiwa itu bertepatan dan muncul pada masa yang sama, mereka bebas antara satu sama lain - hanya satu enam boleh jatuh, dadu kedua tidak mempunyai. pengaruh ke atasnya.

Kebarangkalian kejadian bersama dianggap sebagai kebarangkalian jumlahnya.

Kebarangkalian jumlah peristiwa bersama. Contoh

Kebarangkalian jumlah peristiwa A dan B, yang bercantum antara satu sama lain, adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa itu tolak kebarangkalian kejadiannya (iaitu kejadian bersamanya):

R sendi (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

Mari kita andaikan bahawa kebarangkalian untuk mencapai sasaran dengan satu pukulan ialah 0.4. Kemudian acara A mencapai sasaran pada percubaan pertama, B - pada percubaan kedua. Peristiwa ini adalah bersama, kerana ada kemungkinan anda boleh mencapai sasaran dengan kedua-dua pukulan pertama dan kedua. Tetapi peristiwa tidak bergantung. Apakah kebarangkalian kejadian mengenai sasaran dengan dua pukulan (sekurang-kurangnya dengan satu)? Mengikut formula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Jawapan kepada soalan itu ialah: "Kebarangkalian untuk mencapai sasaran dengan dua pukulan ialah 64%."

Formula untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa ini juga boleh digunakan untuk peristiwa tidak serasi, di mana kebarangkalian kejadian bersama peristiwa P(AB) = 0. Ini bermakna kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi boleh dianggap sebagai kes khas daripada formula yang dicadangkan.

Geometri kebarangkalian untuk kejelasan

Menariknya, kebarangkalian jumlah peristiwa bersama boleh diwakili sebagai dua kawasan A dan B, yang bersilang antara satu sama lain. Seperti yang dapat dilihat dari gambar, luas kesatuan mereka adalah sama dengan jumlah kawasan tolak luas persimpangan mereka. Penjelasan geometri ini menjadikan formula yang kelihatan tidak logik lebih mudah difahami. Ambil perhatian bahawa penyelesaian geometri adalah perkara biasa dalam teori kebarangkalian.

Menentukan kebarangkalian jumlah banyak (lebih daripada dua) peristiwa bersama adalah agak rumit. Untuk mengiranya, anda perlu menggunakan formula yang disediakan untuk kes ini.

Peristiwa Bergantung

Peristiwa dipanggil bersandar jika kejadian satu (A) daripadanya menjejaskan kebarangkalian kejadian yang lain (B). Selain itu, pengaruh kedua-dua kejadian A dan tidak berlakunya diambil kira. Walaupun peristiwa dipanggil bergantung mengikut definisi, hanya satu daripadanya adalah bergantung (B). Kebarangkalian biasa dilambangkan sebagai P(B) atau kebarangkalian peristiwa bebas. Dalam kes peristiwa bergantung, konsep baru diperkenalkan - kebarangkalian bersyarat P A (B), iaitu kebarangkalian peristiwa bergantung B, tertakluk kepada kejadian A (hipotesis), di mana ia bergantung.

Tetapi peristiwa A juga rawak, jadi ia juga mempunyai kebarangkalian yang perlu dan boleh diambil kira dalam pengiraan yang dilakukan. Contoh berikut akan menunjukkan cara bekerja dengan peristiwa bergantung dan hipotesis.

Contoh pengiraan kebarangkalian peristiwa bersandar

Contoh yang baik untuk mengira acara bergantung ialah dek kad standard.

Menggunakan dek 36 kad sebagai contoh, mari kita lihat peristiwa bergantung. Kita perlu menentukan kebarangkalian bahawa kad kedua yang dikeluarkan dari dek adalah berlian jika kad pertama yang dikeluarkan ialah:

1. Bubnovaya.
2. Warna yang berbeza.

Jelas sekali, kebarangkalian peristiwa kedua B bergantung pada A pertama. Jadi, jika pilihan pertama adalah benar, bahawa terdapat 1 kad (35) dan 1 berlian (8) kurang dalam dek, kebarangkalian peristiwa B:

R A (B) =8/35=0.23

Jika pilihan kedua adalah benar, maka dek mempunyai 35 kad, dan bilangan penuh berlian (9) masih dikekalkan, maka kebarangkalian peristiwa B berikut:

R A (B) =9/35=0.26.

Ia boleh dilihat bahawa jika peristiwa A dikondisikan pada fakta bahawa kad pertama adalah berlian, maka kebarangkalian peristiwa B berkurangan, dan sebaliknya.

Mendarabkan peristiwa bergantung

Berpandukan bab sebelumnya, kami menerima peristiwa pertama (A) sebagai fakta, tetapi pada dasarnya, ia bersifat rawak. Kebarangkalian kejadian ini, iaitu melukis berlian dari dek kad, adalah sama dengan:

P(A) = 9/36=1/4

Oleh kerana teori itu tidak wujud dengan sendirinya, tetapi bertujuan untuk digunakan untuk tujuan praktikal, adalah wajar untuk diperhatikan bahawa perkara yang paling kerap diperlukan ialah kebarangkalian menghasilkan peristiwa bergantung.

Mengikut teorem pada hasil darab kebarangkalian peristiwa bersandar, kebarangkalian kejadian peristiwa bergantung bersama A dan B adalah sama dengan kebarangkalian satu peristiwa A, didarab dengan kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B (bergantung kepada A):

P(AB) = P(A) *P A(B)

Kemudian, dalam contoh dek, kebarangkalian untuk melukis dua kad dengan sut berlian ialah:

9/36*8/35=0.0571, atau 5.7%

Dan kebarangkalian untuk mengekstrak bukan berlian dahulu, dan kemudian berlian, adalah sama dengan:

27/36*9/35=0.19, atau 19%

Ia boleh dilihat bahawa kebarangkalian kejadian B berlaku adalah lebih besar dengan syarat kad pertama yang dikeluarkan adalah daripada sut selain berlian. Keputusan ini agak logik dan boleh difahami.

Jumlah kebarangkalian sesuatu peristiwa

Apabila masalah dengan kebarangkalian bersyarat menjadi pelbagai rupa, ia tidak boleh dikira menggunakan kaedah konvensional. Apabila terdapat lebih daripada dua hipotesis, iaitu A1, A2,…, A n, ..membentuk kumpulan lengkap peristiwa yang disediakan:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Jadi, formula untuk jumlah kebarangkalian untuk peristiwa B dengan kumpulan lengkap peristiwa rawak A1, A2,..., A n adalah sama dengan:

Pandangan ke masa depan

Kebarangkalian kejadian rawak amat diperlukan dalam banyak bidang sains: ekonometrik, statistik, fizik, dsb. Memandangkan sesetengah proses tidak dapat diterangkan secara deterministik, kerana ia sendiri bersifat probabilistik, kaedah kerja khas diperlukan. Teori kebarangkalian peristiwa boleh digunakan dalam mana-mana bidang teknologi sebagai cara untuk menentukan kemungkinan ralat atau pincang tugas.

Kita boleh mengatakan bahawa dengan mengenali kebarangkalian, kita dalam beberapa cara mengambil langkah teoritis ke masa depan, melihatnya melalui prisma formula.