sebagai kategori ontologi menggambarkan sejauh mana kemungkinan kemunculan mana-mana entiti di bawah sebarang syarat. Berbeza dengan tafsiran matematik dan logik konsep ini, matematik ontologi tidak mengaitkan dirinya dengan kewajipan ekspresi kuantitatif. Maksud V. didedahkan dalam konteks pemahaman determinisme dan sifat pembangunan secara umum.
Definisi yang hebat
Takrifan tidak lengkap ↓
KEBARANGKALIAN
konsep mencirikan kuantiti. ukuran kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa pada sesuatu tertentu syarat. Secara saintifik pengetahuan terdapat tiga tafsiran V. Konsep klasik V., yang timbul daripada matematik. analisis perjudian dan paling dibangunkan sepenuhnya oleh B. Pascal, J. Bernoulli dan P. Laplace, menganggap kemenangan sebagai nisbah bilangan kes yang menguntungkan kepada jumlah semua yang sama mungkin. Sebagai contoh, apabila melontar dadu yang mempunyai 6 sisi, setiap satu daripadanya boleh dijangka mendarat dengan nilai 1/6, kerana tiada satu pihak mempunyai kelebihan berbanding yang lain. Simetri hasil eksperimen sedemikian diambil kira secara khusus semasa menganjurkan permainan, tetapi agak jarang berlaku dalam kajian peristiwa objektif dalam sains dan amalan. Klasik Tafsiran V. memberi laluan kepada statistik. Konsep V., yang berdasarkan yang sebenar memerhatikan kejadian sesuatu kejadian dalam jangka masa yang panjang. pengalaman dalam keadaan tetap yang tepat. Amalan mengesahkan bahawa lebih kerap sesuatu peristiwa berlaku, lebih besar tahap kemungkinan objektif kejadiannya, atau B. Oleh itu, statistik. Tafsiran V. adalah berdasarkan konsep perkaitan. kekerapan, yang boleh ditentukan secara eksperimen. V. sebagai teori konsep itu tidak pernah bertepatan dengan kekerapan yang ditentukan secara empirik, bagaimanapun, dalam bentuk jamak. Dalam kes, ia berbeza secara praktikal sedikit daripada yang relatif. kekerapan didapati hasil daripada tempoh. pemerhatian. Ramai ahli perangkaan menganggap V. sebagai "double" merujuk. frekuensi, tepi ditentukan secara statistik. kajian hasil pemerhatian
atau eksperimen. Kurang realistik ialah takrifan V. sebagai had berkaitan. kekerapan acara besar-besaran, atau kumpulan, yang dicadangkan oleh R. Mises. Sebagai perkembangan lanjut pendekatan kekerapan kepada V., tafsiran pelupusan, atau kecenderungan, V. dikemukakan (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Menurut tafsiran ini, V. mencirikan harta keadaan penjanaan, sebagai contoh. eksperimen. pemasangan untuk mendapatkan urutan peristiwa rawak besar-besaran. Justru sikap inilah yang menimbulkan fizikal dispositions, or predispositions, V. yang boleh disemak menggunakan saudara. kekerapan
Statistik Tafsiran V. mendominasi penyelidikan saintifik. kognisi, kerana ia mencerminkan spesifik. sifat corak yang wujud dalam fenomena jisim yang bersifat rawak. Dalam banyak fizikal, biologi, ekonomi, demografi. dan proses sosial yang lain, adalah perlu untuk mengambil kira tindakan banyak faktor rawak, yang dicirikan oleh kekerapan yang stabil. Mengenal pasti frekuensi dan kuantiti yang stabil ini. penilaiannya dengan bantuan V. memungkinkan untuk mendedahkan keperluan yang membuat jalan melalui tindakan kumulatif banyak kemalangan. Di sinilah dialektik mengubah peluang menjadi keperluan menemui manifestasinya (lihat F. Engels, dalam buku: K. Marx dan F. Engels, Works, vol. 20, hlm. 535-36).
Penaakulan logik, atau induktif, mencirikan hubungan antara premis dan kesimpulan bukan demonstratif dan, khususnya, penaakulan induktif. Tidak seperti deduksi, premis induksi tidak menjamin kebenaran kesimpulan, tetapi hanya menjadikannya lebih atau kurang masuk akal. Kebolehpercayaan ini, dengan premis yang dirumus dengan tepat, kadangkala boleh dinilai menggunakan V. Nilai V. ini paling kerap ditentukan melalui perbandingan. konsep (lebih besar daripada, kurang daripada atau sama dengan), dan kadangkala dalam cara berangka. Logik tafsiran sering digunakan untuk menganalisis penaakulan induktif dan membina pelbagai sistem logik probabilistik (R. Carnap, R. Jeffrey). Dalam semantik konsep logik V. sering ditakrifkan sebagai tahap di mana satu pernyataan disahkan oleh orang lain (contohnya, hipotesis oleh data empirikalnya).
Sehubungan dengan perkembangan teori membuat keputusan dan permainan, yang dipanggil tafsiran personalistik V. Walaupun V. pada masa yang sama menyatakan tahap keimanan subjek dan kejadian peristiwa tertentu, V. sendiri mesti dipilih sedemikian rupa sehingga aksiom kalkulus V. berpuas hati. Oleh itu, V. dengan tafsiran sedemikian menyatakan tidak begitu banyak tahap subjektif, tetapi keyakinan yang munasabah. Akibatnya, keputusan yang dibuat berdasarkan V. tersebut akan menjadi rasional, kerana mereka tidak mengambil kira psikologi. ciri dan kecenderungan subjek.
Dengan epistemologi t.zr. perbezaan antara statistik, logik. dan tafsiran personalistik V. ialah jika yang pertama mencirikan sifat objektif dan hubungan fenomena jisim yang bersifat rawak, maka dua yang terakhir menganalisis ciri-ciri subjektif, sedar. aktiviti manusia dalam keadaan tidak menentu.
KEBARANGKALIAN
salah satu konsep sains yang paling penting, mencirikan visi sistemik khusus dunia, struktur, evolusi dan pengetahuannya. Kekhususan pandangan kebarangkalian dunia didedahkan melalui kemasukan konsep rawak, kemerdekaan dan hierarki (idea tahap dalam struktur dan penentuan sistem) di antara konsep asas kewujudan.
Idea tentang kebarangkalian berasal dari zaman purba dan berkaitan dengan ciri-ciri pengetahuan kita, manakala kewujudan pengetahuan kebarangkalian diiktiraf, yang berbeza daripada pengetahuan yang boleh dipercayai dan daripada pengetahuan palsu. Kesan idea kebarangkalian terhadap pemikiran saintifik dan perkembangan pengetahuan secara langsung berkaitan dengan perkembangan teori kebarangkalian sebagai disiplin matematik. Asal usul doktrin matematik kebarangkalian bermula pada abad ke-17, apabila pembangunan teras konsep membenarkan. ciri kuantitatif (berangka) dan menyatakan idea kebarangkalian.
Aplikasi intensif kebarangkalian kepada perkembangan kognisi berlaku pada separuh masa kedua. 19 - separuh masa pertama. abad ke-20 Kebarangkalian telah memasuki struktur sains asas alam semula jadi seperti fizik statistik klasik, genetik, teori kuantum, dan sibernetik (teori maklumat). Sehubungan itu, kebarangkalian mempersonifikasikan peringkat itu dalam perkembangan sains, yang kini ditakrifkan sebagai sains bukan klasik. Untuk mendedahkan kebaharuan dan ciri-ciri cara berfikir kebarangkalian, adalah perlu untuk meneruskan daripada analisis subjek teori kebarangkalian dan asas-asas pelbagai aplikasinya. Teori kebarangkalian biasanya ditakrifkan sebagai satu disiplin matematik yang mengkaji corak fenomena rawak jisim dalam keadaan tertentu. Keacakan bermaksud bahawa dalam kerangka watak massa, kewujudan setiap fenomena asas tidak bergantung dan tidak ditentukan oleh kewujudan fenomena lain. Pada masa yang sama, sifat jisim fenomena itu sendiri mempunyai struktur yang stabil dan mengandungi ketetapan tertentu. Fenomena jisim dibahagikan dengan ketat kepada subsistem, dan bilangan relatif fenomena asas dalam setiap subsistem (frekuensi relatif) adalah sangat stabil. Kestabilan ini dibandingkan dengan kebarangkalian. Fenomena jisim secara keseluruhan dicirikan oleh taburan kebarangkalian, iaitu, dengan menentukan subsistem dan kebarangkalian sepadannya. Bahasa teori kebarangkalian ialah bahasa taburan kebarangkalian. Sehubungan itu, teori kebarangkalian ditakrifkan sebagai sains abstrak operasi dengan taburan.
Kebarangkalian melahirkan idea sains tentang corak statistik dan sistem statistik. Yang terakhir adalah sistem yang terbentuk daripada entiti bebas atau separa bebas; strukturnya dicirikan oleh taburan kebarangkalian. Tetapi bagaimana mungkin untuk membentuk sistem daripada entiti bebas? Ia biasanya diandaikan bahawa untuk pembentukan sistem dengan ciri-ciri integral, adalah perlu bahawa sambungan yang cukup stabil wujud antara unsur-unsur mereka yang mengukuhkan sistem. Kestabilan sistem statistik diberikan oleh kehadiran keadaan luaran, persekitaran luaran, luaran dan bukan kuasa dalaman. Takrifan kebarangkalian selalu berdasarkan penetapan syarat untuk pembentukan fenomena jisim awal. Satu lagi idea penting yang mencirikan paradigma probabilistik ialah idea hierarki (subordination). Idea ini menyatakan hubungan antara ciri-ciri elemen individu dan ciri-ciri integral sistem: yang kedua, seolah-olah, dibina di atas yang pertama.
Kepentingan kaedah probabilistik dalam kognisi terletak pada hakikat bahawa ia memungkinkan untuk mengkaji dan secara teorinya menyatakan corak struktur dan tingkah laku objek dan sistem yang mempunyai hierarki, struktur "dua peringkat".
Analisis sifat kebarangkalian adalah berdasarkan kekerapannya, tafsiran statistik. Pada masa yang sama, untuk masa yang sangat lama, pemahaman tentang kebarangkalian seperti itu didominasi dalam sains, yang dipanggil kebarangkalian logik, atau induktif. Kebarangkalian logik berminat dalam soalan tentang kesahihan penghakiman individu yang berasingan di bawah syarat tertentu. Adakah mungkin untuk menilai tahap pengesahan (kebolehpercayaan, kebenaran) kesimpulan induktif (kesimpulan hipotesis) dalam bentuk kuantitatif? Semasa pembangunan teori kebarangkalian, soalan-soalan sedemikian telah berulang kali dibincangkan, dan mereka mula bercakap tentang tahap pengesahan kesimpulan hipotesis. Ukuran kebarangkalian ini ditentukan oleh maklumat yang tersedia kepada seseorang, pengalamannya, pandangan tentang dunia dan minda psikologi. Dalam semua kes sedemikian, magnitud kebarangkalian tidak boleh diterima oleh pengukuran yang ketat dan secara praktikalnya terletak di luar kecekapan teori kebarangkalian sebagai disiplin matematik yang konsisten.
Objektif, tafsiran kerap kebarangkalian telah ditubuhkan dalam sains dengan kesukaran yang ketara. Pada mulanya, pemahaman tentang sifat kebarangkalian sangat dipengaruhi oleh pandangan falsafah dan metodologi yang bercirikan sains klasik. Dari segi sejarah, perkembangan kaedah probabilistik dalam fizik berlaku di bawah pengaruh penentuan idea-idea mekanik: sistem statistik ditafsirkan hanya sebagai mekanikal. Memandangkan masalah yang sepadan tidak diselesaikan dengan kaedah mekanik yang ketat, timbul dakwaan bahawa beralih kepada kaedah probabilistik dan undang-undang statistik adalah hasil daripada ketidaklengkapan pengetahuan kita. Dalam sejarah perkembangan fizik statistik klasik, banyak percubaan dibuat untuk membuktikannya berdasarkan mekanik klasik, tetapi semuanya gagal. Asas kebarangkalian ialah ia menyatakan ciri-ciri struktur kelas sistem tertentu, selain daripada sistem mekanikal: keadaan unsur-unsur sistem ini dicirikan oleh ketidakstabilan dan sifat interaksi yang istimewa (tidak boleh dikurangkan kepada mekanik).
Kemasukan kebarangkalian ke dalam pengetahuan membawa kepada penafian konsep determinisme keras, kepada penafian model asas kewujudan dan pengetahuan yang dibangunkan dalam proses pembentukan sains klasik. Model asas yang diwakili oleh teori statistik adalah berbeza, sifat yang lebih umum: ia termasuk idea rawak dan kebebasan. Idea kebarangkalian dikaitkan dengan pendedahan dinamik dalaman objek dan sistem, yang tidak dapat ditentukan sepenuhnya oleh keadaan dan keadaan luaran.
Konsep visi kebarangkalian dunia, berdasarkan pemusnahan idea tentang kemerdekaan (seperti sebelum paradigma penentuan tegar), kini telah mendedahkan batasannya, yang paling kuat dicerminkan dalam peralihan sains moden kepada kaedah analisis untuk mengkaji sistem yang kompleks dan asas fizikal dan matematik bagi fenomena organisasi diri.
Definisi yang hebat
Takrifan tidak lengkap ↓
Segala sesuatu di dunia ini berlaku secara pasti atau kebetulan...
Aristotle
Kebarangkalian: Peraturan Asas
Teori kebarangkalian mengira kebarangkalian pelbagai peristiwa. Asas kepada teori kebarangkalian ialah konsep kejadian rawak.
Sebagai contoh, anda membaling syiling, ia secara rawak mendarat di kepala atau ekor. Anda tidak tahu terlebih dahulu di sebelah mana syiling itu akan mendarat. Anda mengikat kontrak insurans; anda tidak tahu terlebih dahulu sama ada pembayaran akan dibuat atau tidak.
Dalam pengiraan aktuari, anda perlu dapat menganggarkan kebarangkalian pelbagai peristiwa, jadi teori kebarangkalian memainkan peranan penting. Tiada cabang matematik lain boleh menangani kebarangkalian kejadian.
Mari kita lihat lebih dekat tentang melambung syiling. Terdapat 2 hasil yang saling eksklusif: jata jatuh atau ekor jatuh. Hasil lontaran adalah rawak, kerana pemerhati tidak dapat menganalisis dan mengambil kira semua faktor yang mempengaruhi keputusan. Apakah kebarangkalian jata itu jatuh? Kebanyakan akan menjawab ½, tetapi mengapa?
Biar formal A menunjukkan kehilangan jata. Biarkan syiling melambung n sekali. Kemudian kebarangkalian kejadian itu A boleh ditakrifkan sebagai perkadaran lontaran yang menghasilkan jata:
di mana n jumlah balingan, n(A) bilangan jata jatuh.
Perhubungan (1) dipanggil kekerapan peristiwa A dalam siri ujian yang panjang.
Ia ternyata bahawa dalam pelbagai siri ujian frekuensi yang sama pada umumnya n kelompok di sekeliling beberapa nilai tetap P(A). Kuantiti ini dipanggil kebarangkalian sesuatu kejadian A dan ditetapkan oleh surat itu R- singkatan perkataan Inggeris kebarangkalian - kebarangkalian.
Secara rasmi kami mempunyai:
(2)
Undang-undang ini dipanggil hukum bilangan besar.
Jika syiling itu adil (simetri), maka kebarangkalian untuk mendapat jata adalah sama dengan kebarangkalian mendapat kepala dan sama dengan ½.
biarlah A Dan DALAM beberapa peristiwa, contohnya, sama ada peristiwa yang diinsuranskan berlaku atau tidak. Penyatuan dua acara ialah acara yang terdiri daripada pelaksanaan sesuatu acara A, peristiwa DALAM, atau kedua-dua acara bersama-sama. Persimpangan dua peristiwa A Dan DALAM dipanggil acara yang terdiri dalam pelaksanaan sebagai acara A, dan acara DALAM.
Peraturan Asas Kalkulus kebarangkalian peristiwa adalah seperti berikut:
1. Kebarangkalian sebarang peristiwa terletak di antara sifar dan satu:
2. Biarkan A dan B ialah dua peristiwa, maka:
Ia berbunyi seperti ini: kebarangkalian dua peristiwa bergabung adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini tolak kebarangkalian peristiwa bersilang. Jika peristiwa tidak serasi atau tidak bertindih, maka kebarangkalian gabungan (jumlah) dua peristiwa adalah sama dengan jumlah kebarangkalian. Undang-undang ini dipanggil undang-undang tambahan kebarangkalian.
Kami mengatakan bahawa sesuatu peristiwa boleh dipercayai jika kebarangkaliannya adalah sama dengan 1. Apabila menganalisis fenomena tertentu, persoalan timbul tentang bagaimana kejadian sesuatu peristiwa itu mempengaruhi DALAM apabila berlakunya sesuatu peristiwa A. Untuk melakukan ini, masukkan kebarangkalian bersyarat :
(4)
Ia berbunyi seperti ini: kebarangkalian berlaku A memandangkan itu DALAM sama dengan kebarangkalian persilangan A Dan DALAM, dibahagikan dengan kebarangkalian kejadian DALAM.
Formula (4) mengandaikan bahawa kebarangkalian sesuatu peristiwa DALAM Di atas sifar.
Formula (4) juga boleh ditulis sebagai:
(5)
Ini adalah formulanya kebarangkalian mendarab.
Kebarangkalian bersyarat juga dipanggil posterior kebarangkalian sesuatu kejadian A- kebarangkalian berlaku A selepas serangan DALAM.
Dalam kes ini, kebarangkalian itu sendiri dipanggil a priori kebarangkalian. Terdapat beberapa formula penting lain yang digunakan secara intensif dalam pengiraan aktuari.
Formula Kebarangkalian Jumlah
Mari kita anggap bahawa percubaan sedang dijalankan, syarat-syaratnya boleh ditentukan terlebih dahulu saling andaian yang saling eksklusif (hipotesis):
Kami menganggap bahawa terdapat sama ada hipotesis, atau...atau. Kebarangkalian hipotesis ini diketahui dan sama:
Kemudian formula memegang penuh kebarangkalian :
(6)
Kebarangkalian sesuatu kejadian berlaku A sama dengan jumlah hasil darab kebarangkalian kejadian A bagi setiap hipotesis tentang kebarangkalian hipotesis ini.
Formula Bayes
Formula Bayes
membenarkan kebarangkalian hipotesis dikira semula berdasarkan maklumat baharu yang diberikan oleh keputusan A.
Formula Bayes dalam erti kata tertentu ialah songsang daripada jumlah formula kebarangkalian.
Pertimbangkan masalah praktikal berikut.
Masalah 1
Katakan ada pesawat terhempas dan pakar sedang sibuk menyiasat puncanya. 4 sebab mengapa bencana itu berlaku diketahui lebih awal: sama ada punca, atau, atau, atau. Menurut statistik yang tersedia, sebab-sebab ini mempunyai kebarangkalian berikut:
Semasa memeriksa tapak kemalangan, kesan penyalaan bahan api didapati mengikut statistik, kebarangkalian kejadian ini untuk satu sebab atau yang lain adalah seperti berikut:
Soalan: apakah punca bencana yang paling mungkin berlaku?
Mari kita mengira kebarangkalian punca di bawah syarat berlakunya sesuatu peristiwa A.
Daripada ini dapat dilihat bahawa sebab pertama adalah yang paling mungkin, kerana kebarangkaliannya adalah maksimum.
Masalah 2
Pertimbangkan sebuah kapal terbang mendarat di lapangan terbang.
Semasa mendarat, keadaan cuaca mungkin seperti berikut: tiada awan rendah (), awan rendah hadir (). Dalam kes pertama, kebarangkalian pendaratan selamat adalah P1. Dalam kes kedua - P2. Ia adalah jelas bahawa P1>P2.
Peranti yang menyediakan pendaratan buta mempunyai kebarangkalian operasi tanpa masalah R. Jika terdapat litupan awan yang rendah dan instrumen pendaratan buta telah gagal, kebarangkalian pendaratan yang berjaya adalah P3, dan P3<Р2 . Adalah diketahui bahawa untuk lapangan terbang tertentu perkadaran hari dalam setahun dengan awan rendah adalah sama dengan .
Cari kebarangkalian kapal terbang itu mendarat dengan selamat.
Kita perlu mencari kebarangkalian.
Terdapat dua pilihan yang saling eksklusif: peranti pendaratan buta berfungsi, peranti pendaratan buta telah gagal, jadi kami mempunyai:
Oleh itu, mengikut jumlah formula kebarangkalian:
Masalah 3
Sebuah syarikat insurans menyediakan insurans hayat. 10% daripada mereka yang diinsuranskan oleh syarikat ini adalah perokok. Jika orang yang diinsuranskan tidak merokok, kebarangkalian kematiannya pada tahun tersebut ialah 0.01 Jika dia seorang perokok, maka kebarangkalian ini ialah 0.05.
Berapakah kadar perokok di kalangan mereka yang diinsuranskan yang meninggal dunia pada tahun tersebut?
Jawapan yang mungkin: (A) 5%, (B) 20%, (C) 36%, (D) 56%, (E) 90%.
Penyelesaian
Mari kita masukkan acara:
Keadaan masalah itu bermakna
Di samping itu, memandangkan peristiwa membentuk kumpulan lengkap acara tidak serasi berpasangan, maka .
Kebarangkalian yang kita minati ialah .
Menggunakan formula Bayes, kami mempunyai:
oleh itu pilihan yang betul ialah ( DALAM).
Masalah 4
Syarikat insurans menjual kontrak insurans hayat dalam tiga kategori: standard, pilihan dan sangat istimewa.
50% daripada semua yang diinsuranskan adalah standard, 40% diutamakan dan 10% adalah sangat istimewa.
Kebarangkalian kematian dalam tempoh setahun bagi standard yang diinsuranskan ialah 0.010, untuk yang istimewa - 0.005, dan untuk yang sangat istimewa - 0.001.
Apakah kebarangkalian bahawa si mati yang diinsuranskan adalah sangat istimewa?
Penyelesaian
Mari kita perkenalkan peristiwa berikut sebagai pertimbangan:
Dari segi peristiwa ini, kebarangkalian yang kita minati ialah . Mengikut syarat:
Sejak peristiwa , , membentuk kumpulan lengkap acara tidak serasi berpasangan, menggunakan formula Bayes yang kami ada:
Pembolehubah rawak dan ciri-cirinya
Biarkan ia menjadi pembolehubah rawak, contohnya, kerosakan akibat kebakaran atau jumlah pembayaran insurans.
Pembolehubah rawak dicirikan sepenuhnya oleh fungsi taburannya.
Definisi. Fungsi 
dipanggil fungsi pengedaran
pembolehubah rawak ξ
.
Definisi. Sekiranya terdapat fungsi sedemikian untuk sewenang-wenangnya a selesai
maka mereka mengatakan bahawa pembolehubah rawak ξ Ia ada fungsi ketumpatan kebarangkalian f(x).
Definisi. biarlah . Untuk fungsi pengedaran berterusan F α-kuantil teori dipanggil penyelesaian kepada persamaan.
Penyelesaian ini mungkin bukan satu-satunya.
Tahap kuantil ½ dipanggil teori median , aras kuantil ¼ Dan ¾ -kuartil bawah dan atas masing-masing.
Dalam aplikasi aktuari memainkan peranan penting Ketaksamaan Chebyshev:
pada mana-mana
Simbol jangkaan matematik.
Ia berbunyi seperti ini: kebarangkalian bahawa modulus lebih besar daripada atau sama dengan jangkaan matematik modulus dibahagikan dengan .
Sepanjang hayat sebagai pembolehubah rawak
Ketidakpastian saat kematian adalah faktor risiko utama dalam insurans hayat.
Tiada apa yang pasti boleh dikatakan tentang detik kematian seseorang individu. Walau bagaimanapun, jika kita berhadapan dengan sekumpulan besar orang yang homogen dan tidak berminat dengan nasib individu dari kumpulan ini, maka kita berada dalam kerangka teori kebarangkalian sebagai sains fenomena rawak jisim yang mempunyai sifat kestabilan frekuensi. .
Masing-masing, kita boleh bercakap tentang jangka hayat sebagai pembolehubah rawak T.
Fungsi kelangsungan hidup
Teori kebarangkalian menerangkan sifat stokastik mana-mana pembolehubah rawak T fungsi pengedaran F(x), yang ditakrifkan sebagai kebarangkalian bahawa pembolehubah rawak T kurang daripada bilangan x:
.
Dalam matematik aktuari adalah baik untuk bekerja bukan dengan fungsi pengedaran, tetapi dengan fungsi pengedaran tambahan 
.
Dari segi umur panjang, ini adalah kebarangkalian seseorang itu akan hidup sehingga umur x tahun.
dipanggil fungsi kelangsungan hidup(fungsi kelangsungan hidup):
Fungsi survival mempunyai ciri-ciri berikut:
Dalam jadual kehidupan biasanya diandaikan bahawa terdapat beberapa Had umur (mengehadkan umur) (biasanya tahun) dan, oleh itu, pada x>.
Apabila menerangkan mortaliti melalui undang-undang analisis, biasanya diandaikan bahawa masa hidup adalah tidak terhad, tetapi jenis dan parameter undang-undang dipilih supaya kebarangkalian hidup melebihi umur tertentu boleh diabaikan.
Fungsi survival mempunyai makna statistik yang mudah.
Katakan kita sedang memerhati sekumpulan bayi yang baru lahir (biasanya), yang kita perhatikan dan boleh merakam detik-detik kematian mereka.
Mari kita nyatakan bilangan wakil hidup kumpulan ini pada umur dengan . Kemudian:
.
Simbol E di sini dan di bawah digunakan untuk menandakan jangkaan matematik.
Jadi, fungsi kelangsungan hidup adalah sama dengan kadar purata mereka yang bertahan hingga umur daripada beberapa kumpulan tetap bayi baru lahir.
Dalam matematik aktuari, seseorang selalunya tidak berfungsi dengan fungsi survival, tetapi dengan nilai yang baru diperkenalkan (menetapkan saiz kumpulan awal).
Fungsi survival boleh dibina semula daripada ketumpatan:
Ciri-ciri Jangka Hayat
Dari sudut pandangan praktikal, ciri-ciri berikut adalah penting:
1 . Purata seumur hidup
,
2
. Penyerakan seumur hidup
,
di mana 
,
Malah, formula (1) dan (2) adalah rekod pendek kebarangkalian bersyarat berdasarkan jadual kontingensi ciri. Mari kita kembali kepada contoh yang dibincangkan (Rajah 1). Katakan kita mengetahui bahawa sebuah keluarga merancang untuk membeli televisyen skrin lebar. Apakah kebarangkalian keluarga ini benar-benar akan membeli TV sedemikian?
nasi. 1. Gelagat Membeli TV Skrin Lebar
Dalam kes ini, kita perlu mengira kebarangkalian bersyarat P (pembelian selesai | pembelian dirancang). Memandangkan kita tahu bahawa keluarga itu merancang untuk membeli, ruang sampel tidak terdiri daripada semua 1000 keluarga, tetapi hanya mereka yang merancang untuk membeli TV skrin lebar. Daripada 250 keluarga sedemikian, 200 sebenarnya membeli TV ini. Oleh itu, kebarangkalian bahawa sebuah keluarga benar-benar akan membeli TV skrin lebar jika mereka telah merancang untuk berbuat demikian boleh dikira menggunakan formula berikut:
P (pembelian selesai | pembelian dirancang) = bilangan keluarga yang merancang dan membeli TV skrin lebar / bilangan keluarga yang merancang untuk membeli TV skrin lebar = 200 / 250 = 0.8
Formula (2) memberikan hasil yang sama:
di mana acaranya A ialah keluarga itu merancang untuk membeli TV skrin lebar, dan acara itu DALAM- bahawa dia sebenarnya akan membelinya. Menggantikan data sebenar ke dalam formula, kami mendapat:
Pokok keputusan
Dalam Rajah. 1 keluarga dibahagikan kepada empat kategori: mereka yang merancang untuk membeli TV skrin lebar dan mereka yang tidak, serta mereka yang membeli TV sedemikian dan mereka yang tidak. Pengelasan serupa boleh dilakukan menggunakan pepohon keputusan (Rajah 2). Pokok yang ditunjukkan dalam Rajah. 2 mempunyai dua cawangan yang sepadan dengan keluarga yang merancang untuk membeli TV skrin lebar dan keluarga yang tidak. Setiap cawangan ini berpecah kepada dua cawangan tambahan yang sepadan dengan isi rumah yang membeli dan tidak membeli TV skrin lebar. Kebarangkalian yang ditulis di hujung dua cabang utama ialah kebarangkalian kejadian tanpa syarat. A Dan A'. Kebarangkalian yang ditulis di hujung empat cabang tambahan ialah kebarangkalian bersyarat bagi setiap gabungan peristiwa A Dan DALAM. Kebarangkalian bersyarat dikira dengan membahagikan kebarangkalian bersama peristiwa dengan kebarangkalian tidak bersyarat yang sepadan bagi setiap satu daripadanya.
nasi. 2. Pokok keputusan
Sebagai contoh, untuk mengira kebarangkalian bahawa sebuah keluarga akan membeli televisyen skrin lebar jika ia telah merancang untuk berbuat demikian, seseorang mesti menentukan kebarangkalian kejadian itu. pembelian dirancang dan siap, dan kemudian bahagikannya dengan kebarangkalian peristiwa itu pembelian yang dirancang. Bergerak di sepanjang pokok keputusan yang ditunjukkan dalam Rajah. 2, kami mendapat jawapan berikut (serupa dengan sebelumnya):
Kemerdekaan statistik
Dalam contoh membeli TV skrin lebar, kebarangkalian bahawa keluarga yang dipilih secara rawak membeli TV skrin lebar memandangkan mereka merancang untuk berbuat demikian ialah 200/250 = 0.8. Ingat bahawa kebarangkalian tanpa syarat bahawa keluarga yang dipilih secara rawak membeli TV skrin lebar ialah 300/1000 = 0.3. Ini membawa kepada kesimpulan yang sangat penting. Maklumat terdahulu bahawa keluarga merancang pembelian mempengaruhi kemungkinan pembelian itu sendiri. Dengan kata lain, kedua-dua peristiwa ini bergantung antara satu sama lain. Berbeza dengan contoh ini, terdapat peristiwa bebas statistik yang kebarangkaliannya tidak bergantung antara satu sama lain. Kebebasan statistik dinyatakan dengan identiti: P(A|B) = P(A), Di mana P(A|B)- kebarangkalian kejadian A dengan syarat peristiwa itu berlaku DALAM, P(A)- kebarangkalian tanpa syarat kejadian A.
Sila ambil perhatian bahawa peristiwa A Dan DALAM P(A|B) = P(A). Jika dalam jadual kontingensi ciri yang mempunyai saiz 2×2, syarat ini dipenuhi untuk sekurang-kurangnya satu kombinasi peristiwa A Dan DALAM, ia akan sah untuk sebarang kombinasi lain. Dalam acara contoh kami pembelian yang dirancang Dan pembelian selesai tidak bebas dari segi statistik kerana maklumat tentang satu peristiwa mempengaruhi kebarangkalian yang lain.
Mari kita lihat contoh yang menunjukkan cara menguji kebebasan statistik dua peristiwa. Mari kita tanya 300 keluarga yang membeli TV skrin lebar sama ada mereka berpuas hati dengan pembelian mereka (Gamb. 3). Tentukan sama ada tahap kepuasan terhadap pembelian dan jenis TV adalah berkaitan.
nasi. 3. Data yang mencirikan tahap kepuasan pembeli TV skrin lebar
Berdasarkan data ini,
Dalam masa yang sama,
P (pelanggan berpuas hati) = 240 / 300 = 0.80
Oleh itu, kebarangkalian bahawa pelanggan berpuas hati dengan pembelian dan keluarga yang membeli HDTV adalah sama, dan peristiwa ini adalah bebas dari segi statistik kerana ia tidak berkaitan antara satu sama lain.
Peraturan pendaraban kebarangkalian
Formula untuk mengira kebarangkalian bersyarat membolehkan anda menentukan kebarangkalian kejadian bersama A dan B. Setelah menyelesaikan formula (1)
relatif kepada kebarangkalian bersama P(A dan B), kita memperoleh peraturan am untuk mendarab kebarangkalian. Kebarangkalian kejadian A dan B sama dengan kebarangkalian kejadian A dengan syarat peristiwa itu berlaku DALAM DALAM:
(3) P(A dan B) = P(A|B) * P(B)
Mari kita ambil contoh 80 keluarga yang membeli televisyen HDTV skrin lebar (Gamb. 3). Jadual menunjukkan bahawa 64 keluarga berpuas hati dengan pembelian dan 16 tidak. Mari kita andaikan bahawa dua keluarga dipilih secara rawak daripada kalangan mereka. Tentukan kebarangkalian bahawa kedua-dua pelanggan akan berpuas hati. Dengan menggunakan formula (3), kami memperoleh:
P(A dan B) = P(A|B) * P(B)
di mana acaranya A ialah keluarga kedua berpuas hati dengan pembelian mereka, dan acara itu DALAM- bahawa keluarga pertama berpuas hati dengan pembelian mereka. Kebarangkalian bahawa keluarga pertama berpuas hati dengan pembelian mereka ialah 64/80. Walau bagaimanapun, kemungkinan keluarga kedua juga berpuas hati dengan pembelian mereka bergantung kepada tindak balas keluarga pertama. Jika keluarga pertama tidak kembali kepada sampel selepas tinjauan (pilihan tanpa pemulangan), bilangan responden dikurangkan kepada 79. Jika keluarga pertama berpuas hati dengan pembelian mereka, kebarangkalian keluarga kedua juga akan berpuas hati ialah 63 /79, kerana hanya tinggal 63 dalam keluarga sampel yang berpuas hati dengan pembelian mereka. Oleh itu, menggantikan data khusus ke dalam formula (3), kami memperoleh jawapan berikut:
P(A dan B) = (63/79)(64/80) = 0.638.
Oleh itu, kebarangkalian bahawa kedua-dua keluarga berpuas hati dengan pembelian mereka ialah 63.8%.
Katakan bahawa selepas tinjauan keluarga pertama kembali kepada sampel. Tentukan kebarangkalian bahawa kedua-dua keluarga akan berpuas hati dengan pembelian mereka. Dalam kes ini, kebarangkalian bahawa kedua-dua keluarga berpuas hati dengan pembelian mereka adalah sama, bersamaan dengan 64/80. Oleh itu, P(A dan B) = (64/80)(64/80) = 0.64. Oleh itu, kebarangkalian bahawa kedua-dua keluarga berpuas hati dengan pembelian mereka ialah 64.0%. Contoh ini menunjukkan bahawa pilihan keluarga kedua tidak bergantung kepada pilihan yang pertama. Oleh itu, menggantikan kebarangkalian bersyarat dalam formula (3) P(A|B) kebarangkalian P(A), kita memperoleh formula untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas.
Peraturan untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas. Jika peristiwa A Dan DALAM adalah bebas dari segi statistik, kebarangkalian sesuatu peristiwa A dan B sama dengan kebarangkalian kejadian A, didarab dengan kebarangkalian kejadian itu DALAM.
(4) P(A dan B) = P(A)P(B)
Jika peraturan ini benar untuk acara A Dan DALAM, yang bermaksud mereka bebas dari segi statistik. Oleh itu, terdapat dua cara untuk menentukan kebebasan statistik dua peristiwa:
- Peristiwa A Dan DALAM adalah bebas secara statistik antara satu sama lain jika dan hanya jika P(A|B) = P(A).
- Peristiwa A Dan B adalah bebas secara statistik antara satu sama lain jika dan hanya jika P(A dan B) = P(A)P(B).
Jika dalam jadual kontingensi 2x2, salah satu syarat ini dipenuhi untuk sekurang-kurangnya satu gabungan acara A Dan B, ia akan sah untuk sebarang kombinasi lain.
Kebarangkalian tanpa syarat bagi peristiwa asas
(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)
di mana peristiwa B 1, B 2, ... B k adalah saling eksklusif dan menyeluruh.
Mari kita gambarkan aplikasi formula ini menggunakan contoh Rajah 1. Dengan menggunakan formula (5), kami memperoleh:
P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)
di mana P(A)- kemungkinan pembelian telah dirancang, P(B 1)- kebarangkalian pembelian dibuat, P(B 2)- kebarangkalian bahawa pembelian tidak selesai.
TEOREM BAYES
Kebarangkalian bersyarat sesuatu peristiwa mengambil kira maklumat bahawa beberapa peristiwa lain telah berlaku. Pendekatan ini boleh digunakan untuk memperhalusi kebarangkalian dengan mengambil kira maklumat yang baru diterima, dan untuk mengira kebarangkalian bahawa kesan yang diperhatikan adalah akibat daripada sebab tertentu. Prosedur untuk menapis kebarangkalian ini dipanggil teorem Bayes. Ia pertama kali dibangunkan oleh Thomas Bayes pada abad ke-18.
Mari kita anggap bahawa syarikat yang disebutkan di atas sedang menyelidik pasaran untuk model TV baharu. Pada masa lalu, 40% daripada TV yang dicipta oleh syarikat itu berjaya, manakala 60% daripada model tidak diiktiraf. Sebelum mengumumkan keluaran model baharu, pakar pemasaran meneliti pasaran dengan teliti dan merekodkan permintaan. Pada masa lalu, 80% model yang berjaya diramalkan berjaya, manakala 30% daripada ramalan yang berjaya ternyata salah. Jabatan pemasaran memberikan ramalan yang menggalakkan untuk model baharu itu. Apakah kemungkinan model TV baharu akan mendapat permintaan?
Teorem Bayes boleh diperoleh daripada takrifan kebarangkalian bersyarat (1) dan (2). Untuk mengira kebarangkalian P(B|A), ambil formula (2):
dan gantikan daripada P(A dan B) nilai daripada formula (3):
P(A dan B) = P(A|B) * P(B)
Menggantikan formula (5) dan bukannya P(A), kita memperoleh teorem Bayes:
di mana peristiwa B 1, B 2, ... B k adalah saling eksklusif dan menyeluruh.
Mari kita perkenalkan tatatanda berikut: peristiwa S - TV mendapat permintaan, acara S’ - TV tidak mendapat permintaan, acara F - prognosis yang menggalakkan, acara F’ - prognosis yang buruk. Mari kita andaikan bahawa P(S) = 0.4, P(S’) = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S’) = 0.3. Menggunakan teorem Bayes kita dapat:
Kebarangkalian permintaan untuk model TV baharu, berdasarkan ramalan yang menggalakkan, ialah 0.64. Oleh itu, kebarangkalian kekurangan permintaan diberikan ramalan yang menggalakkan ialah 1–0.64=0.36. Proses pengiraan ditunjukkan dalam Rajah. 4.
nasi. 4. (a) Pengiraan menggunakan formula Bayes untuk menganggarkan kebarangkalian permintaan untuk televisyen; (b) Pohon keputusan semasa mengkaji permintaan untuk model TV baharu
Mari kita lihat contoh menggunakan teorem Bayes untuk diagnostik perubatan. Kebarangkalian seseorang itu menghidap penyakit tertentu ialah 0.03. Ujian perubatan boleh menyemak sama ada ini benar. Jika seseorang benar-benar sakit, kebarangkalian diagnosis yang tepat (mengatakan bahawa orang itu sakit apabila dia benar-benar sakit) ialah 0.9. Jika seseorang itu sihat, kebarangkalian diagnosis positif palsu (mengatakan bahawa seseorang itu sakit apabila dia sihat) ialah 0.02. Katakan bahawa ujian perubatan memberikan keputusan yang positif. Apakah kebarangkalian seseorang itu sebenarnya sakit? Apakah kemungkinan diagnosis yang tepat?
Mari kita perkenalkan notasi berikut: peristiwa D - orang itu sakit, acara D’ - orang itu sihat, acara T - diagnosis adalah positif, acara T’ - diagnosis negatif. Daripada keadaan masalah, P(D) = 0.03, P(D’) = 0.97, P(T|D) = 0.90, P(T|D’) = 0.02. Menggunakan formula (6), kami memperoleh:
Kebarangkalian bahawa dengan diagnosis positif seseorang benar-benar sakit ialah 0.582 (lihat juga Rajah 5). Sila ambil perhatian bahawa penyebut formula Bayes adalah sama dengan kebarangkalian diagnosis positif, i.e. 0.0464.
Saya faham bahawa semua orang ingin tahu lebih awal bagaimana acara sukan itu akan berakhir, siapa yang akan menang dan siapa yang akan kalah. Dengan maklumat ini, anda boleh bertaruh pada acara sukan tanpa rasa takut. Tetapi adakah ia mungkin, dan jika ya, bagaimana untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa?
Kebarangkalian adalah kuantiti relatif, oleh itu ia tidak boleh bercakap dengan pasti tentang sebarang peristiwa. Nilai ini membolehkan anda menganalisis dan menilai keperluan untuk meletakkan pertaruhan pada pertandingan tertentu. Menentukan kebarangkalian adalah satu ilmu yang memerlukan kajian dan pemahaman yang teliti.
Pekali kebarangkalian dalam teori kebarangkalian
Dalam pertaruhan sukan, terdapat beberapa pilihan untuk keputusan pertandingan:
- kemenangan pasukan pertama;
- kemenangan pasukan kedua;
- lukis;
- jumlah
Setiap keputusan pertandingan mempunyai kebarangkalian dan kekerapan sendiri acara ini akan berlaku, dengan syarat ciri-ciri awal dikekalkan. Seperti yang kami katakan sebelum ini, adalah mustahil untuk mengira dengan tepat kebarangkalian sebarang peristiwa - ia mungkin bertepatan atau tidak. Oleh itu, pertaruhan anda boleh menang atau kalah.
Tidak boleh ada ramalan 100% tepat tentang keputusan pertandingan, kerana banyak faktor mempengaruhi keputusan perlawanan. Sememangnya, pembuat taruhan tidak mengetahui keputusan perlawanan terlebih dahulu dan hanya menganggap keputusan itu, membuat keputusan menggunakan sistem analisis mereka dan menawarkan kemungkinan tertentu untuk pertaruhan.
Bagaimana untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa?
Mari kita anggap bahawa kemungkinan pembuat taruhan adalah 2.1/2 - kita mendapat 50%. Ternyata pekali 2 adalah sama dengan kebarangkalian 50%. Menggunakan prinsip yang sama, anda boleh mendapatkan pekali kebarangkalian pulang modal - 1/kebarangkalian.
Ramai pemain berfikir bahawa selepas beberapa kekalahan berulang, kemenangan pasti akan berlaku - ini adalah pendapat yang salah. Kebarangkalian untuk memenangi pertaruhan tidak bergantung pada jumlah kerugian. Walaupun anda menyelak beberapa kepala berturut-turut dalam permainan syiling, kebarangkalian untuk membalikkan ekor tetap sama - 50%.
"Kemalangan bukan kebetulan"... Bunyinya seperti kata ahli falsafah, tetapi sebenarnya, mengkaji secara rawak adalah takdir sains matematik yang hebat. Dalam matematik, peluang ditangani dengan teori kebarangkalian. Formula dan contoh tugas, serta definisi asas sains ini akan dibentangkan dalam artikel.
Apakah teori kebarangkalian?
Teori kebarangkalian adalah salah satu disiplin matematik yang mengkaji peristiwa rawak.
Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita berikan contoh kecil: jika anda melemparkan syiling ke atas, ia boleh mendarat di kepala atau ekor. Semasa syiling berada di udara, kedua-dua kebarangkalian ini adalah mungkin. Iaitu, kebarangkalian akibat yang mungkin adalah 1:1. Jika seseorang diambil daripada dek 36 kad, maka kebarangkalian akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tiada apa yang perlu diterokai dan diramalkan di sini, terutamanya dengan bantuan formula matematik. Walau bagaimanapun, jika anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, anda boleh mengenal pasti corak tertentu dan, berdasarkannya, meramalkan hasil peristiwa dalam keadaan lain.
Untuk meringkaskan semua perkara di atas, teori kebarangkalian dalam pengertian klasik mengkaji kemungkinan berlakunya salah satu peristiwa yang mungkin dalam nilai berangka.
Dari lembaran sejarah
Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas pertama muncul pada Zaman Pertengahan yang jauh, apabila percubaan untuk meramalkan hasil permainan kad pertama kali timbul.
Pada mulanya, teori kebarangkalian tiada kaitan dengan matematik. Ia dibenarkan oleh fakta atau sifat empirikal sesuatu peristiwa yang boleh diterbitkan semula dalam amalan. Karya pertama dalam bidang ini sebagai disiplin matematik muncul pada abad ke-17. Pengasasnya ialah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Mereka mempelajari perjudian untuk masa yang lama dan melihat corak tertentu, yang mereka memutuskan untuk memberitahu orang ramai.
Teknik yang sama telah dicipta oleh Christiaan Huygens, walaupun dia tidak biasa dengan hasil penyelidikan Pascal dan Fermat. Konsep "teori kebarangkalian", formula dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin, diperkenalkan olehnya.
Karya Jacob Bernoulli, teorem Laplace dan Poisson juga tidak penting. Mereka menjadikan teori kebarangkalian lebih seperti disiplin matematik. Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas asas menerima bentuk semasa mereka terima kasih kepada aksiom Kolmogorov. Hasil daripada semua perubahan, teori kebarangkalian menjadi salah satu cabang matematik.
Konsep asas teori kebarangkalian. Peristiwa
Konsep utama disiplin ini ialah "peristiwa". Terdapat tiga jenis acara:
- Boleh dipercayai. Perkara yang akan berlaku juga (syiling akan jatuh).
- Mustahil. Peristiwa yang tidak akan berlaku dalam apa jua keadaan (syiling akan kekal tergantung di udara).
- rawak. Yang akan berlaku atau tidak akan berlaku. Mereka boleh dipengaruhi oleh pelbagai faktor yang sangat sukar untuk diramalkan. Jika kita bercakap tentang duit syiling, maka terdapat faktor rawak yang boleh menjejaskan hasilnya: ciri fizikal syiling, bentuknya, kedudukan asalnya, daya lemparan, dll.
Semua peristiwa dalam contoh ditunjukkan dalam huruf Latin besar, kecuali P, yang mempunyai peranan yang berbeza. Sebagai contoh:
- A = "pelajar datang untuk bersyarah."
- Ā = "pelajar tidak datang ke kuliah."
Dalam tugas praktikal, acara biasanya ditulis dalam perkataan.
Salah satu ciri acara yang paling penting ialah kemungkinan yang sama. Iaitu, jika anda melambungkan syiling, semua varian kejatuhan awal adalah mungkin sehingga ia jatuh. Tetapi peristiwa juga tidak sama mungkin. Ini berlaku apabila seseorang dengan sengaja mempengaruhi sesuatu hasil. Contohnya, "ditanda" bermain kad atau dadu, di mana pusat graviti dialihkan.
Acara juga boleh serasi dan tidak serasi. Acara yang serasi tidak mengecualikan kejadian satu sama lain. Sebagai contoh:
- A = "pelajar datang ke kuliah."
- B = "pelajar datang ke kuliah."
Peristiwa ini adalah bebas antara satu sama lain, dan kejadian salah satu daripadanya tidak menjejaskan kejadian yang lain. Peristiwa yang tidak serasi ditakrifkan oleh fakta bahawa kejadian satu tidak termasuk kejadian yang lain. Jika kita bercakap tentang duit syiling yang sama, maka kehilangan "ekor" menjadikannya mustahil untuk penampilan "kepala" dalam eksperimen yang sama.
Tindakan pada peristiwa
Peristiwa boleh didarab dan ditambah dengan sewajarnya, penghubung logik "DAN" dan "ATAU" diperkenalkan dalam disiplin.
Jumlahnya ditentukan oleh fakta bahawa sama ada peristiwa A atau B, atau dua, boleh berlaku serentak. Jika ia tidak serasi, pilihan terakhir adalah mustahil sama ada A atau B akan dilancarkan.
Pendaraban peristiwa terdiri daripada rupa A dan B pada masa yang sama.
Sekarang kita boleh memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingati asas, teori kebarangkalian dan formula. Contoh penyelesaian masalah di bawah.
Latihan 1: Syarikat mengambil bahagian dalam pertandingan untuk menerima kontrak untuk tiga jenis kerja. Peristiwa yang mungkin berlaku:
- A = "firma akan menerima kontrak pertama."
- A 1 = "firma tidak akan menerima kontrak pertama."
- B = "firma akan menerima kontrak kedua."
- B 1 = "firma tidak akan menerima kontrak kedua"
- C = "firma akan menerima kontrak ketiga."
- C 1 = "firma tidak akan menerima kontrak ketiga."
Menggunakan tindakan pada acara, kami akan cuba menyatakan situasi berikut:
- K = "syarikat akan menerima semua kontrak."
Dalam bentuk matematik, persamaan akan mempunyai bentuk berikut: K = ABC.
- M = "syarikat tidak akan menerima satu kontrak pun."
M = A 1 B 1 C 1.
Mari kita rumitkan tugas: H = "syarikat akan menerima satu kontrak." Oleh kerana tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima oleh syarikat (pertama, kedua atau ketiga), adalah perlu untuk merekodkan keseluruhan julat peristiwa yang mungkin:
H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.
Dan 1 BC 1 adalah satu siri peristiwa di mana firma itu tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, tetapi menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin telah direkodkan menggunakan kaedah yang sesuai. Simbol υ dalam disiplin menandakan penghubung "ATAU". Jika kita menterjemah contoh di atas ke dalam bahasa manusia, syarikat akan menerima sama ada kontrak ketiga, atau yang kedua, atau yang pertama. Dengan cara yang sama, anda boleh menulis syarat lain dalam disiplin "Teori Kebarangkalian". Formula dan contoh penyelesaian masalah yang dibentangkan di atas akan membantu anda melakukannya sendiri.
Sebenarnya, kebarangkalian
Mungkin, dalam disiplin matematik ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah konsep utama. Terdapat 3 definisi kebarangkalian:
- klasik;
- statistik;
- geometri.
Masing-masing mempunyai tempatnya dalam kajian kebarangkalian. Teori kebarangkalian, formula dan contoh (gred 9) terutamanya menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:
- Kebarangkalian situasi A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang memihak kepada kejadiannya kepada bilangan semua hasil yang mungkin.
Formulanya kelihatan seperti ini: P(A)=m/n.
A sebenarnya satu peristiwa. Jika kes bertentangan dengan A muncul, ia boleh ditulis sebagai Ā atau A 1 .
m ialah bilangan kes yang mungkin menguntungkan.
n - semua peristiwa yang boleh berlaku.
Sebagai contoh, A = "lukis kad sut hati." Terdapat 36 kad dalam dek standard, 9 daripadanya adalah hati. Oleh itu, formula untuk menyelesaikan masalah akan kelihatan seperti:
P(A)=9/36=0.25.
Akibatnya, kebarangkalian bahawa kad sut jantung akan diambil dari dek ialah 0.25.
Ke arah matematik yang lebih tinggi
Kini telah diketahui sedikit apa itu teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah yang terdapat dalam kurikulum sekolah. Walau bagaimanapun, teori kebarangkalian juga terdapat dalam matematik yang lebih tinggi, yang diajar di universiti. Selalunya mereka beroperasi dengan definisi geometri dan statistik bagi teori dan formula kompleks.
Teori kebarangkalian sangat menarik. Adalah lebih baik untuk mula mengkaji formula dan contoh (matematik yang lebih tinggi) kecil - dengan definisi statistik (atau kekerapan) kebarangkalian.
Pendekatan statistik tidak bercanggah dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit mengembangkannya. Jika dalam kes pertama adalah perlu untuk menentukan dengan kebarangkalian apa kejadian akan berlaku, maka dalam kaedah ini adalah perlu untuk menunjukkan berapa kerap ia akan berlaku. Di sini konsep baru "kekerapan relatif" diperkenalkan, yang boleh dilambangkan dengan W n (A). Formulanya tidak berbeza dengan formula klasik:
Jika formula klasik dikira untuk ramalan, maka formula statistik dikira mengikut keputusan eksperimen. Mari kita ambil tugas kecil sebagai contoh.
Jabatan kawalan teknologi menyemak produk untuk kualiti. Di antara 100 produk, 3 didapati tidak berkualiti. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian kekerapan produk berkualiti?
A = "penampilan produk berkualiti."
W n (A)=97/100=0.97
Oleh itu, kekerapan produk berkualiti ialah 0.97. Dari mana anda mendapat 97? Daripada 100 produk yang disemak, 3 didapati tidak berkualiti. Kami menolak 3 daripada 100 dan mendapat 97, ini adalah jumlah barangan berkualiti.
Sedikit mengenai kombinatorik
Satu lagi kaedah teori kebarangkalian dipanggil kombinatorik. Prinsip asasnya ialah jika pilihan A tertentu boleh dibuat dalam m cara yang berbeza, dan pilihan B boleh dibuat dalam n cara yang berbeza, maka pilihan A dan B boleh dibuat dengan pendaraban.
Sebagai contoh, terdapat 5 jalan raya dari bandar A ke bandar B. Terdapat 4 laluan dari bandar B ke bandar C. Dalam berapa banyak cara anda boleh pergi dari bandar A ke bandar C?
Ia mudah: 5x4=20, iaitu, dalam dua puluh cara berbeza anda boleh mendapatkan dari titik A ke titik C.
Mari kita rumitkan tugas. Berapa banyak cara yang ada untuk meletakkan kad dalam solitaire? Terdapat 36 kad dalam dek - ini adalah titik permulaan. Untuk mengetahui bilangan cara, anda perlu "tolak" satu kad pada satu masa dari titik permulaan dan darab.
Iaitu, 36x35x34x33x32...x2x1= hasilnya tidak muat pada skrin kalkulator, jadi ia boleh ditetapkan 36!. Tandakan "!" di sebelah nombor menunjukkan bahawa keseluruhan siri nombor didarab bersama.
Dalam kombinatorik terdapat konsep seperti pilih atur, penempatan dan gabungan. Setiap daripada mereka mempunyai formula sendiri.
Set tertib unsur-unsur set dipanggil susunan. Peletakan boleh diulang, iaitu satu elemen boleh digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, apabila elemen tidak diulang. n ialah semua elemen, m ialah elemen yang mengambil bahagian dalam penempatan. Formula untuk penempatan tanpa pengulangan akan kelihatan seperti:
A n m =n!/(n-m)!
Sambungan bagi n elemen yang berbeza hanya mengikut susunan peletakan dipanggil pilih atur. Dalam matematik ia kelihatan seperti: P n = n!
Gabungan n unsur m ialah sebatian yang pentingnya unsur-unsur itu dan jumlah bilangannya. Formula akan kelihatan seperti:
A n m =n!/m!(n-m)!
Formula Bernoulli
Dalam teori kebarangkalian, seperti dalam setiap disiplin, terdapat karya penyelidik cemerlang dalam bidang mereka yang telah membawanya ke tahap yang baru. Salah satu karya ini ialah formula Bernoulli, yang membolehkan anda menentukan kebarangkalian kejadian tertentu berlaku di bawah keadaan bebas. Ini menunjukkan bahawa kejadian A dalam eksperimen tidak bergantung pada kejadian atau tidak berlakunya peristiwa yang sama dalam percubaan awal atau seterusnya.
Persamaan Bernoulli:
P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.
Kebarangkalian (p) berlakunya peristiwa (A) adalah tetap bagi setiap percubaan. Kebarangkalian bahawa keadaan akan berlaku tepat m kali dalam n bilangan eksperimen akan dikira dengan formula yang dibentangkan di atas. Sehubungan itu, timbul persoalan bagaimana untuk mengetahui nombor q.
Jika peristiwa A berlaku p beberapa kali, sewajarnya, ia mungkin tidak berlaku. Unit ialah nombor yang digunakan untuk menetapkan semua hasil sesuatu situasi dalam sesuatu disiplin. Oleh itu, q ialah nombor yang menunjukkan kemungkinan kejadian tidak berlaku.
Sekarang anda tahu formula Bernoulli (teori kebarangkalian). Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah (peringkat pertama) di bawah.
Tugasan 2: Pelawat kedai akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2. 6 pelawat secara bebas memasuki kedai. Apakah kemungkinan pelawat akan membuat pembelian?
Penyelesaian: Memandangkan tidak diketahui berapa ramai pelawat harus membuat pembelian, satu atau kesemua enam, adalah perlu untuk mengira semua kemungkinan kebarangkalian menggunakan formula Bernoulli.
A = "pelawat akan membuat pembelian."
Dalam kes ini: p = 0.2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugasan). Sehubungan itu, q=1-0.2 = 0.8.
n = 6 (memandangkan terdapat 6 pelanggan di kedai). Nombor m berbeza daripada 0 (tiada seorang pelanggan yang akan membuat pembelian) hingga 6 (semua pengunjung kedai akan membeli sesuatu). Akibatnya, kami mendapat penyelesaian:
P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.
Tiada pembeli akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2621.
Bagaimana lagi formula Bernoulli (teori kebarangkalian) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tahap kedua) di bawah.
Selepas contoh di atas, persoalan timbul tentang ke mana perginya C dan r. Relatif kepada p, nombor dengan kuasa 0 akan sama dengan satu. Bagi C, ia boleh didapati dengan formula:
C n m = n! /m!(n-m)!
Oleh kerana dalam contoh pertama m = 0, masing-masing, C = 1, yang pada dasarnya tidak menjejaskan keputusan. Dengan menggunakan formula baharu, mari cuba ketahui apakah kebarangkalian dua pelawat membeli barang.
P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2× ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.
Teori kebarangkalian tidak begitu rumit. Formula Bernoulli, contoh yang dibentangkan di atas, adalah bukti langsung tentang ini.
Formula Poisson
Persamaan Poisson digunakan untuk mengira situasi rawak kebarangkalian rendah.
Formula asas:
P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .
Dalam kes ini λ = n x p. Berikut ialah formula Poisson mudah (teori kebarangkalian). Kami akan mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah di bawah.
Tugasan 3: Kilang mengeluarkan 100,000 bahagian. Kejadian bahagian yang rosak = 0.0001. Apakah kebarangkalian terdapat 5 bahagian yang rosak dalam satu kelompok?
Seperti yang anda lihat, perkahwinan adalah peristiwa yang tidak mungkin, dan oleh itu formula Poisson (teori kebarangkalian) digunakan untuk pengiraan. Contoh penyelesaian masalah seperti ini tidak berbeza dengan tugas lain dalam disiplin; kami menggantikan data yang diperlukan ke dalam formula yang diberikan:
A = "bahagian yang dipilih secara rawak akan rosak."
p = 0.0001 (mengikut syarat tugas).
n = 100000 (bilangan bahagian).
m = 5 (bahagian yang rosak). Kami menggantikan data ke dalam formula dan mendapatkan:
R 100000 (5) = 10 5/5! X e -10 = 0.0375.
Sama seperti formula Bernoulli (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian yang digunakan yang ditulis di atas, persamaan Poisson mempunyai e yang tidak diketahui Malah, ia boleh didapati dengan formula:
e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .
Walau bagaimanapun, terdapat jadual khas yang mengandungi hampir semua nilai e.
Teorem De Moivre-Laplace
Jika dalam skema Bernoulli bilangan percubaan adalah cukup besar, dan kebarangkalian kejadian A dalam semua skema adalah sama, maka kebarangkalian kejadian A beberapa kali dalam satu siri ujian boleh didapati dengan Formula Laplace:
Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).
X m = m-np/√npq.
Untuk lebih mengingati formula Laplace (teori kebarangkalian), contoh masalah adalah di bawah untuk membantu.
Mula-mula, mari cari X m, gantikan data (semuanya disenaraikan di atas) ke dalam formula dan dapatkan 0.025. Menggunakan jadual, kita dapati nombor ϕ(0.025), yang nilainya ialah 0.3988. Sekarang anda boleh menggantikan semua data ke dalam formula:
P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.
Oleh itu, kebarangkalian bahawa risalah akan berfungsi tepat 267 kali ialah 0.03.
Formula Bayes
Formula Bayes (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian masalah dengan bantuan yang akan diberikan di bawah, adalah persamaan yang menerangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa berdasarkan keadaan yang boleh dikaitkan dengannya. Formula asas adalah seperti berikut:
P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).
A dan B ialah peristiwa yang pasti.
P(A|B) ialah kebarangkalian bersyarat, iaitu peristiwa A boleh berlaku dengan syarat peristiwa B adalah benar.
P (B|A) - kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B.
Jadi, bahagian akhir kursus pendek "Teori Kebarangkalian" ialah formula Bayes, contoh penyelesaian kepada masalah yang ada di bawah.
Tugasan 5: Telefon daripada tiga syarikat telah dibawa ke gudang. Pada masa yang sama, bahagian telefon yang dihasilkan di kilang pertama ialah 25%, pada kedua - 60%, pada ketiga - 15%. Ia juga diketahui bahawa peratusan purata produk yang rosak di kilang pertama ialah 2%, pada kedua - 4%, dan pada ketiga - 1%. Anda perlu mencari kebarangkalian bahawa telefon yang dipilih secara rawak akan rosak.
A = "telefon yang dipilih secara rawak."
B 1 - telefon yang dihasilkan oleh kilang pertama. Sehubungan itu, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk kilang kedua dan ketiga).
Hasilnya kami mendapat:
P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - dengan itu kami mendapati kebarangkalian setiap pilihan.
Sekarang anda perlu mencari kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa yang diingini, iaitu, kebarangkalian produk yang rosak dalam syarikat:
P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;
P(A/B 2) = 0.04;
P (A/B 3) = 0.01.
Sekarang mari kita gantikan data ke dalam formula Bayes dan dapatkan:
P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.
Artikel ini membentangkan teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung ais disiplin yang luas. Dan selepas semua yang telah ditulis, adalah logik untuk bertanya soalan sama ada teori kebarangkalian diperlukan dalam kehidupan. Sukar untuk orang biasa menjawab; adalah lebih baik untuk bertanya kepada seseorang yang telah menggunakannya untuk memenangi jackpot lebih daripada sekali.