Masalah tentang teorem penambahan kebarangkalian. Kemerdekaan acara

Kuliah 7. Teori kebarangkalian

AKIBAT DARIPADA TEOREMA TAMBAHAN DAN PENDARAB

Teorem untuk menambah kebarangkalian kejadian bersama

Teorem penambahan untuk tidak serasi peristiwa. Di sini kami akan membentangkan teorem penambahan untuk sendi peristiwa.

Dua peristiwa dipanggil sendi, jika penampilan salah seorang daripada mereka tidak mengecualikan penampilan yang lain dalam percubaan yang sama.

Contoh 1 . A – penampilan empat mata apabila melontar dadu; B – rupa bilangan mata genap. Peristiwa A dan B adalah bersama.

Biarkan peristiwa A dan B adalah biasa, dan kebarangkalian kejadian ini dan kebarangkalian kejadian bersamanya diberikan. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian peristiwa A + B bahawa sekurang-kurangnya satu peristiwa A dan B akan berlaku? Jawapan kepada soalan ini diberikan oleh teorem untuk menambah kebarangkalian peristiwa bersama.

Teorem. Kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada dua peristiwa bersama adalah sama dengan jumlah kebarangkalian kejadian ini tanpa kebarangkalian kejadian bersama: P(A + B) = P(A) + P(B) – P (AB).

Bukti . Oleh kerana peristiwa A dan B, mengikut syarat, adalah serasi, maka peristiwa A + B akan berlaku jika salah satu daripada tiga peristiwa tidak serasi berikut berlaku: . Menurut teorem penambahan kebarangkalian kejadian tidak serasi, kita mempunyai:

P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB).(*)

Peristiwa A akan berlaku jika salah satu daripada dua peristiwa yang tidak serasi berlaku: A
atau AB. Dengan teorem penambahan kebarangkalian kejadian tidak serasi yang kita ada

P(A) = P(A) + P(AB).

P(A)=P(A) – P(AB).(**)

Begitu juga yang kita ada

P(B) = P(ĀB) + P(AB).

P(ĀB) = P(B) – P(AB).(***)

Menggantikan (**) dan (***) ke (*), akhirnya kita dapat

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).(****)

Q.E.D.

Nota 1. Apabila menggunakan formula yang terhasil, perlu diingat bahawa peristiwa A dan B boleh sama ada berdikari, jadi bergantung.

Untuk acara bebas

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P(B);

Untuk acara bergantung

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)*P A (B).

Nota 2. Jika peristiwa A dan B tidak serasi, maka gabungannya adalah peristiwa mustahil dan, oleh itu, P(AB) = 0.

Formula (****) untuk acara yang tidak serasi mengambil bentuk

P(A + B) = P(A) + P(B).

Kami telah sekali lagi memperoleh teorem penambahan untuk peristiwa yang tidak serasi. Oleh itu, formula (****) adalah sah untuk kedua-dua acara bersama dan tidak serasi.

Contoh 2. Kebarangkalian untuk terkena sasaran apabila menembak pistol pertama dan kedua adalah sama: p 1 = 0.7; p 2 = 0.8. Cari kebarangkalian pukulan dengan satu salvo
(dari kedua-dua senjata api) dengan sekurang-kurangnya satu senjata api.

Penyelesaian . Kebarangkalian setiap pistol mengenai sasaran tidak bergantung pada hasil tembakan dari pistol yang satu lagi, oleh itu peristiwa A (dipukul oleh pistol pertama) dan B (dipukul oleh pistol kedua) adalah bebas.

Kebarangkalian peristiwa AB (kedua-dua senjata mendapat pukulan)

P(AB) = P(A) * P(B) = 0.7 * 0.8 = 0.56.

Kebarangkalian yang diingini P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.7 + 0.8 – 0.56 = 0.94.

Nota 3. Oleh kerana dalam contoh ini peristiwa A dan B adalah bebas, kita boleh menggunakan formula P = 1 – q 1 q 2

Malah, kebarangkalian kejadian yang bertentangan dengan peristiwa A dan B, i.e. kebarangkalian terlepas adalah:

q 1 = 1 – p 1 = 1 – 0.7 = 0.3;

q 2 = 1 – p 2 = 1 – 0.8 = 0.2;

Kebarangkalian yang diperlukan bahawa dalam satu salvo sekurang-kurangnya satu pistol akan terkena adalah sama dengan

P = 1 – q 1 q 2 = 1 – 0.3 * 0.2 = 1 – 0.06 = 0.94.

Seperti yang anda jangkakan, hasil yang sama diperolehi.

Penambahan dan pendaraban kebarangkalian. Artikel ini akan memberi tumpuan kepada menyelesaikan masalah dalam teori kebarangkalian. Sebelum ini, kami telah menganalisis beberapa tugas paling mudah untuk menyelesaikannya, cukup untuk mengetahui dan memahami formula (saya menasihati anda untuk mengulanginya).

Terdapat beberapa masalah yang sedikit lebih rumit; untuk menyelesaikannya anda perlu tahu dan faham: peraturan menambah kebarangkalian, peraturan kebarangkalian pendaraban, konsep peristiwa bergantung dan bebas, peristiwa bertentangan, peristiwa serasi dan tidak serasi. Jangan takut dengan definisi, ia mudah)).Dalam artikel ini kita akan mempertimbangkan tugas sedemikian sahaja.

Sedikit teori penting dan mudah:

tidak serasi , jika penampilan salah seorang daripada mereka tidak termasuk penampilan orang lain. Iaitu, hanya satu peristiwa tertentu atau yang lain boleh berlaku.

Contoh klasik: apabila membaling dadu, hanya satu yang boleh muncul, atau hanya dua, atau hanya tiga, dsb. Setiap peristiwa ini tidak serasi dengan yang lain, dan kejadian salah satu daripadanya tidak termasuk kejadian yang lain (dalam satu percubaan). Ia sama dengan duit syiling—apabila kepala timbul, ia menghapuskan kemungkinan timbul ekor.

Ini juga terpakai kepada kombinasi yang lebih kompleks. Contohnya, dua lampu menyala. Setiap daripada mereka mungkin atau mungkin tidak terbakar dari semasa ke semasa. Terdapat pilihan:

Yang pertama terbakar dan yang kedua terbakar
Yang pertama hangus dan yang kedua tidak hangus
Yang pertama tidak hangus dan yang kedua hangus
Yang pertama tidak hangus dan yang kedua hangus.

Kesemua 4 pilihan untuk acara ini tidak serasi - mereka tidak boleh berlaku bersama-sama dan tiada satu pun daripadanya dengan yang lain...

Definisi: Peristiwa dipanggil sendi, jika penampilan salah seorang daripada mereka tidak mengecualikan penampilan yang lain.

Contoh: seorang ratu akan diambil dari dek kad dan kad spades akan diambil dari dek kad. Dua peristiwa dipertimbangkan. Peristiwa ini tidak saling eksklusif - anda boleh melukis queen of spades dan dengan itu kedua-dua peristiwa akan berlaku.

Mengenai jumlah kebarangkalian

Jumlah dua peristiwa A dan B dipanggil peristiwa A+B, yang bermaksud sama ada peristiwa A atau peristiwa B akan berlaku, atau kedua-duanya pada masa yang sama.

Jika ada tidak serasi peristiwa A dan B, maka kebarangkalian jumlah peristiwa ini adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa:

Contoh dadu:

Kita baling dadu. Apakah kebarangkalian untuk melancarkan nombor kurang daripada empat?

Nombor kurang daripada empat ialah 1,2,3. Kita tahu bahawa kebarangkalian mendapat satu ialah 1/6, dua ialah 1/6, dan tiga ialah 1/6. Ini adalah peristiwa yang tidak serasi. Kita boleh menggunakan peraturan penambahan. Kebarangkalian untuk melancarkan nombor kurang daripada empat ialah:

Sesungguhnya, jika kita meneruskan dari konsep kebarangkalian klasik: maka bilangan hasil yang mungkin ialah 6 (bilangan semua sisi kubus), bilangan hasil yang menggalakkan ialah 3 (kemunculan satu, dua atau tiga). Kebarangkalian yang diingini ialah 3 hingga 6 atau 3/6 = 0.5.

*Kebarangkalian jumlah dua peristiwa bersama adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini tanpa mengambil kira kejadian bersama: P(A+B)=P(A)+P(B) -P(AB)

Mengenai mendarab kebarangkalian

Biarkan dua peristiwa yang tidak serasi A dan B berlaku, kebarangkalian mereka masing-masing sama dengan P(A) dan P(B). Hasil darab dua peristiwa A dan B ialah peristiwa A B, yang mengandungi fakta bahawa peristiwa ini akan berlaku bersama-sama, iaitu, kedua-dua peristiwa A dan peristiwa B akan berlaku Kebarangkalian peristiwa sedemikian adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian kejadian A dan B.Dikira dengan formula:

Seperti yang telah anda perhatikan, penghubung logik "DAN" bermaksud pendaraban.

Contoh dengan die yang sama:Kami membaling dadu dua kali. Apakah kebarangkalian mendapat dua enam?

Kebarangkalian untuk melancarkan enam kali pertama ialah 1/6. Kali kedua juga sama dengan 1/6. Kebarangkalian melancarkan enam kali pertama dan kali kedua adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian:

Dalam istilah mudah: apabila peristiwa tertentu berlaku dalam satu percubaan, DAN kemudian satu lagi (yang lain) berlaku, maka kebarangkalian bahawa ia akan berlaku bersama-sama adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini.

Kami menyelesaikan masalah dengan dadu, tetapi kami hanya menggunakan penaakulan logik dan tidak menggunakan formula produk. Dalam tugas yang dipertimbangkan di bawah, anda tidak boleh melakukannya tanpa formula, atau sebaliknya, dengan mereka akan lebih mudah dan lebih cepat untuk mendapatkan hasilnya.

Perlu disebutkan satu lagi nuansa. Apabila membuat penaakulan dalam menyelesaikan masalah, konsep SERENTAK kejadian digunakan. Peristiwa berlaku SERENTAK - ini tidak bermakna ia berlaku dalam satu saat (pada satu masa). Ini bermakna ia berlaku dalam tempoh masa tertentu (semasa satu ujian).

Contohnya:

Dua lampu terbakar dalam masa setahun (boleh dikatakan - serentak dalam masa setahun)

Dua mesin rosak dalam masa sebulan (satu mungkin berkata serentak dalam masa sebulan)

Dadu dilempar tiga kali (mata muncul pada masa yang sama, ini bermakna pada satu percubaan)

Biathlete melepaskan lima tembakan. Peristiwa (gambar) berlaku semasa satu percubaan.

Peristiwa A dan B adalah BEBAS jika kebarangkalian salah satu daripadanya tidak bergantung pada kejadian atau tidak berlakunya peristiwa lain.

Mari kita pertimbangkan tugas:

Dua kilang mengeluarkan cermin mata yang sama untuk lampu depan kereta. Kilang pertama menghasilkan 35% daripada cermin mata ini, yang kedua - 65%. Kilang pertama menghasilkan 4% kaca yang rosak, dan yang kedua - 2%. Cari kebarangkalian kaca yang dibeli secara tidak sengaja di kedai akan rosak.

Kilang pertama mengeluarkan 0.35 produk (kaca). Kebarangkalian untuk membeli kaca yang rosak dari kilang pertama ialah 0.04.

Kilang kedua mengeluarkan 0.65 gelas. Kebarangkalian untuk membeli kaca yang rosak dari kilang kedua ialah 0.02.

Kebarangkalian bahawa kaca itu dibeli di kilang pertama dan ia ternyata rosak ialah 0.35∙0.04 = 0.0140.

Kebarangkalian bahawa kaca itu dibeli di kilang kedua dan ia ternyata rosak ialah 0.65∙0.02 = 0.0130.

Membeli kaca yang rosak di kedai membayangkan bahawa ia (kaca yang rosak) telah dibeli SAMA ADA dari kilang pertama ATAU dari yang kedua. Ini adalah peristiwa yang tidak serasi, iaitu, kami menjumlahkan kebarangkalian yang terhasil:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Jawapan: 0.027

Jika grandmaster A. bermain putih, maka dia menang melawan grandmaster B. dengan kebarangkalian 0.62. Jika A. bermain hitam, maka A. menang melawan B. dengan kebarangkalian 0.2. Grandmasters A. dan B. bermain dua permainan, dan dalam permainan kedua mereka menukar warna kepingan. Cari kebarangkalian bahawa A. menang kedua-dua kali.

Kemungkinan untuk memenangi permainan pertama dan kedua tidak bergantung antara satu sama lain. Dikatakan bahawa grandmaster mesti menang kedua-dua kali, iaitu menang kali pertama DAN pada masa yang sama menang kali kedua. Dalam kes apabila peristiwa bebas mesti berlaku bersama, kebarangkalian peristiwa ini didarabkan, iaitu, peraturan pendaraban digunakan.

Kebarangkalian berlakunya peristiwa ini akan bersamaan dengan 0.62∙0.2 = 0.124.

Jawapan: 0.124

Pada peperiksaan geometri, pelajar mendapat satu soalan daripada senarai soalan peperiksaan. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan bulatan bertulis ialah 0.3. Kebarangkalian bahawa ini adalah soalan mengenai topik "Paralelogram" ialah 0.25. Tiada soalan yang berkaitan secara serentak dengan kedua-dua topik ini. Cari kebarangkalian bahawa seorang pelajar akan mendapat soalan mengenai salah satu daripada dua topik ini dalam peperiksaan.

Iaitu, adalah perlu untuk mencari kebarangkalian bahawa pelajar akan mendapat soalan SAMA ADA mengenai topik "Bulatan Bersurat" ATAU pada topik "Paralelogram". Dalam kes ini, kebarangkalian dirumuskan, kerana ini adalah peristiwa yang tidak serasi dan mana-mana peristiwa ini boleh berlaku: 0.3 + 0.25 = 0.55.

*Peristiwa tidak serasi ialah peristiwa yang tidak boleh berlaku pada masa yang sama.

Jawapan: 0.55

Seorang biathlet menembak sasaran lima kali. Kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan satu pukulan ialah 0.9. Cari kebarangkalian bahawa biathlet mencapai sasaran empat kali pertama dan terlepas sasaran terakhir. Bundarkan hasilnya kepada perseratus.

Oleh kerana atlet biathlet mencapai sasaran dengan kebarangkalian 0.9, dia tersasar dengan kebarangkalian 1 – 0.9 = 0.1

*Rindu dan pukulan ialah peristiwa yang tidak boleh berlaku serentak dengan satu pukulan, jumlah kebarangkalian peristiwa ini adalah sama dengan 1.

Kita bercakap tentang berlakunya beberapa peristiwa (bebas). Jika sesuatu peristiwa berlaku dan pada masa yang sama satu lagi peristiwa (seterusnya) berlaku pada masa yang sama (ujian), maka kebarangkalian peristiwa ini didarabkan.

Kebarangkalian hasil darab peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkaliannya.

Oleh itu, kebarangkalian peristiwa "terkena, tekan, tekan, terbaca, terlepas" ialah 0.9∙0.9∙0.9∙0.9∙0.1 = 0.06561.

Bundarkan kepada perseratus terdekat, kita mendapat 0.07

Jawapan: 0.07

Terdapat dua mesin pembayaran di kedai. Setiap daripada mereka boleh rosak dengan kebarangkalian 0.07, tanpa mengira mesin lain. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu mesin berfungsi.

Mari cari kebarangkalian bahawa kedua-dua mesin rosak.

Peristiwa ini adalah bebas, yang bermaksud kebarangkalian akan sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini: 0.07∙0.07 = 0.0049.

Ini bermakna kebarangkalian bahawa kedua-dua mesin atau salah satu daripadanya berfungsi adalah sama dengan 1 – 0.0049 = 0.9951.

*Kedua-duanya beroperasi dan satu daripadanya beroperasi sepenuhnya – memenuhi syarat "sekurang-kurangnya satu".

Kami boleh membentangkan kebarangkalian semua peristiwa (bebas) untuk diuji:

1. “faulty-faulty” 0.07∙0.07 = 0.0049

2. “cacat-cacat” 0.93∙0.07 = 0.0651

3. “cacat-cacat” 0.07∙0.93 = 0.0651

4. “cacat-cacat” 0.93∙0.93 = 0.8649

Untuk menentukan kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu mesin berfungsi, adalah perlu untuk menambah kebarangkalian peristiwa bebas 2,3 dan 4: Acara yang boleh dipercayai peristiwa yang pasti berlaku hasil daripada pengalaman dipanggil. Peristiwa itu dipanggil mustahil, jika ia tidak pernah berlaku hasil daripada pengalaman.

Sebagai contoh, jika satu bola diambil secara rawak dari kotak yang mengandungi hanya bola merah dan hijau, maka penampilan bola putih di antara bola yang ditarik adalah peristiwa yang mustahil. Kemunculan merah dan kemunculan bola hijau membentuk kumpulan acara yang lengkap.

Definisi: Peristiwa itu dipanggil sama mungkin , melainkan ada sebab untuk mempercayai bahawa salah seorang daripada mereka lebih berkemungkinan muncul sebagai hasil daripada pengalaman.

Dalam contoh di atas, kemunculan bola merah dan hijau adalah kejadian yang sama berkemungkinan jika terdapat bilangan bola merah dan hijau yang sama di dalam kotak. Jika terdapat lebih banyak bola merah di dalam kotak daripada bola hijau, maka penampilan bola hijau adalah peristiwa yang kurang berkemungkinan daripada penampilan bola merah.

Dalam kita akan melihat lebih banyak masalah di mana jumlah dan hasil kebarangkalian kejadian digunakan, jangan ketinggalan!

Itu sahaja. Semoga berjaya kepada anda!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.

Marya Ivanovna memarahi Vasya:
- Petrov, kenapa awak tidak ke sekolah semalam?!
"Ibu saya mencuci seluar saya semalam."
- Jadi apa?
- Dan saya berjalan melepasi rumah dan melihat rumah anda tergantung. Saya fikir awak tidak akan datang.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.

Dalam kes di mana peristiwa faedah ialah jumlah peristiwa lain, formula penambahan digunakan untuk mencari kebarangkaliannya.

Formula penambahan mempunyai dua jenis utama - untuk acara yang serasi dan tidak serasi. Formula ini boleh dibenarkan menggunakan gambar rajah Venn (Rajah 21). Mari kita ingat bahawa dalam rajah ini kebarangkalian kejadian adalah sama secara berangka dengan kawasan zon yang sepadan dengan peristiwa ini.

Untuk dua acara yang tidak serasi :

P(A+B) = P(A) + P(B).(8, a)

Untuk N acara yang tidak serasi , kebarangkalian jumlahnya adalah sama dengan jumlah kebarangkalian kejadian ini:

= .(8b)

Terdapat dua akibat penting daripada formula untuk menambah acara yang tidak serasi .

Akibat 1.Untuk peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap, jumlah kebarangkalian mereka adalah sama dengan satu:

= 1.

Ini dijelaskan seperti berikut. Untuk peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap, di sebelah kiri ungkapan (8b) ialah kebarangkalian bahawa salah satu peristiwa akan berlaku A i, tetapi oleh kerana kumpulan yang lengkap kehabisan keseluruhan senarai kejadian yang mungkin, maka salah satu daripada peristiwa ini semestinya akan berlaku. Oleh itu, di sebelah kiri tertulis kebarangkalian kejadian yang pasti akan berlaku - peristiwa yang boleh dipercayai. Kebarangkaliannya adalah sama dengan satu.

Akibat 2.Jumlah kebarangkalian dua peristiwa bertentangan adalah sama dengan satu:

P(A) + P(Ā)= 1.

Akibat ini mengikuti dari yang sebelumnya, kerana peristiwa yang bertentangan sentiasa membentuk kumpulan yang lengkap.

Contoh 15

DALAM kebarangkalian peranti teknikal berada dalam keadaan berfungsi ialah 0.8. Cari kebarangkalian kegagalan peranti ini dalam tempoh pemerhatian yang sama.

R keputusan.

Nota Penting. Dalam teori kebolehpercayaan, adalah kebiasaan untuk menandakan kebarangkalian keadaan operasi dengan hurufr, dan kebarangkalian kegagalan adalah hurufnya q. Dalam perkara berikut kita akan menggunakan notasi ini. Kedua-dua kebarangkalian adalah fungsi masa. Oleh itu, untuk jangka masa yang panjang, kebarangkalian keadaan operasi mana-mana objek menghampiri sifar. Kebarangkalian kegagalan mana-mana objek adalah hampir kepada sifar untuk jangka masa yang singkat. Dalam kes di mana tempoh pemerhatian tidak dinyatakan dalam tugas, diandaikan bahawa ia adalah sama untuk semua objek yang sedang dipertimbangkan.

Mencari peranti dalam keadaan kebolehkendalian dan kegagalan adalah peristiwa yang bertentangan. Menggunakan Corollary 2, kami memperoleh kebarangkalian kegagalan peranti:

q = 1 – p = 1 – 0.8 = 0.2.

Untuk dua acara bersama formula penambahan kebarangkalian mempunyai bentuk:

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB), (9)

seperti yang digambarkan oleh rajah Venn (Rajah 22).

Sesungguhnya, untuk mencari keseluruhan kawasan berlorek (ia sepadan dengan jumlah peristiwa A + B), adalah perlu untuk menolak kawasan zon umum daripada jumlah kawasan angka A dan B (ia sepadan kepada hasil darab peristiwa AB), kerana jika tidak, ia akan dikira dua kali.

Untuk tiga acara bersama, formula penambahan ialah kebarangkalian menjadi lebih rumit:

P(A+B+C)=P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).(10)

Dalam rajah Venn (Rajah 23), kebarangkalian yang diingini adalah sama dengan jumlah kawasan zon yang dibentuk oleh peristiwa A, B dan C (untuk memudahkan rajah, segi empat sama unit tidak ditunjukkan).

Selepas kawasan zon AB, AC dan CB ditolak daripada jumlah kawasan zon A, B dan C, ternyata luas zon ABC dijumlahkan tiga kali dan ditolak tiga kali. Oleh itu, untuk mengambil kira kawasan ini, ia mesti ditambah pada ungkapan akhir.

Apabila bilangan istilah bertambah, formula penambahan menjadi lebih dan lebih rumit, tetapi prinsip pembinaannya tetap sama: pertama, kebarangkalian peristiwa yang diambil secara individu disimpulkan, kemudian kebarangkalian semua gabungan peristiwa berpasangan ditolak, kebarangkalian peristiwa yang diambil dalam tiga kali ganda ditambah, kebarangkalian gabungan peristiwa yang diambil dalam empat kali ganda ditolak dsb.

Akhir sekali, ia harus dititikberatkan : formula untuk menambah kebarangkalian sendi peristiwa dengan bilangan tiga atau lebih adalah menyusahkan dan menyusahkan untuk digunakan dalam menyelesaikan masalah adalah tidak praktikal.

Contoh 16

Untuk rajah bekalan kuasa di bawah (Rajah 24), tentukan kebarangkalian kegagalan sistem secara keseluruhan Q C mengikut kebarangkalian kegagalan qi elemen individu (penjana, transformer dan garisan).

Negeri Kegagalan elemen individu sistem bekalan kuasa, serta dan keadaan kesihatan sentiasa acara bersama berpasangan, kerana tiada halangan asas untuk melakukan pembaikan secara serentak, sebagai contoh, talian dan pengubah. Kegagalan sistem berlaku apabila mana-mana elemennya gagal: sama ada penjana, atau pengubah pertama, atau talian, atau pengubah ke-2, atau apabila mana-mana pasangan, mana-mana tiga, atau keempat-empat elemen gagal. Akibatnya, peristiwa yang dikehendaki - kegagalan sistem - adalah jumlah kegagalan elemen individu. Untuk menyelesaikan masalah, formula untuk menambah acara bersama boleh digunakan:

Q с = q g + q t1 + q l + q t2 – q g q t1 – q g q l – q g q t2 – q t1 q l – q t1 q t2 – q l q t2 + q g q t1 q l + q g q l q t2 + q g q t1 q t2 + q t1 q t2 q l – q g q t1 q l q t2.

Penyelesaian ini sekali lagi meyakinkan kami tentang kerumitan formula penambahan untuk acara bersama. Pada masa hadapan, satu lagi cara yang lebih rasional untuk menyelesaikan masalah ini akan dipertimbangkan.

Penyelesaian yang diperoleh di atas boleh dipermudahkan dengan mengambil kira hakikat bahawa kebarangkalian kegagalan elemen individu sistem bekalan kuasa untuk tempoh satu tahun biasanya digunakan dalam pengiraan kebolehpercayaan agak kecil (kira-kira 10 -2). Oleh itu, semua istilah kecuali empat yang pertama boleh dibuang, yang hampir tidak akan memberi kesan pada hasil berangka. Kemudian kita boleh menulis:

Q dengan≈q g + q t1 + q l + q t2.

Walau bagaimanapun, penyederhanaan sedemikian mesti dirawat dengan berhati-hati, mengkaji dengan teliti akibatnya, kerana istilah yang sering dibuang mungkin menjadi setanding dengan yang pertama.

Contoh 17

Tentukan kebarangkalian sistem beroperasi R S, yang terdiri daripada tiga elemen yang merizab satu sama lain.

Penyelesaian. Elemen yang menyokong satu sama lain dalam rajah logik analisis kebolehpercayaan ditunjukkan disambung secara selari (Rajah 25):

Sistem lewah beroperasi apabila elemen pertama, atau kedua, atau ketiga beroperasi, atau mana-mana pasangan beroperasi, atau ketiga-tiga elemen bersama-sama. Akibatnya, keadaan operasi sistem ialah jumlah keadaan operasi elemen individu. Menggunakan formula penambahan untuk acara bersama Р с = Р 1 + Р 2 + Р 3 – Р 1 Р 2 – Р 1 Р 3 – Р 2 Р 3 + Р 1 Р 2 Р 3. , Di mana R 1, R 2 Dan R 3– kebarangkalian keadaan boleh kendali bagi unsur 1, 2 dan 3, masing-masing.

Dalam kes ini, adalah mustahil untuk memudahkan penyelesaian dengan membuang produk berpasangan, kerana anggaran sedemikian akan memberikan ralat yang ketara (produk ini biasanya secara berangka hampir dengan tiga istilah pertama). Seperti dalam Contoh 16, masalah ini mempunyai penyelesaian lain yang lebih padat.

Contoh 18

Untuk talian kuasa litar dua (Rajah 26), kebarangkalian kegagalan setiap litar diketahui: q 1 = q 2= 0.001. Tentukan kebarangkalian bahawa talian itu akan mempunyai kapasiti seratus peratus - P(R 100), kapasiti lima puluh peratus - P(R 50), dan kebarangkalian bahawa sistem akan gagal - Q.

Talian mempunyai daya tampung 100% apabila kedua-dua litar pertama dan kedua beroperasi:

Р(100%) = р 1 р 2 = (1 – q 1)(1 – q 2) =

= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

Talian gagal apabila kedua-dua litar pertama dan kedua gagal:

P(0%) = q 1 q 2 =0.001∙0.001 = 10 -6.

Talian mempunyai kapasiti lima puluh peratus apabila litar pertama beroperasi dan litar ke-2 telah gagal, atau apabila litar ke-2 beroperasi dan litar pertama telah gagal:

P(50%)= p 1 q 2 + p 2 q 1 = 2∙0.999∙10 -3 = 0.001998.

Ungkapan terakhir menggunakan formula penambahan untuk peristiwa yang tidak serasi, iaitu peristiwa itu.

Peristiwa yang dipertimbangkan dalam masalah ini membentuk kumpulan yang lengkap, jadi jumlah kebarangkalian mereka adalah satu.

Jenis pelajaran: mempelajari bahan baharu.
Tugas pendidikan:
- berikan konsep peristiwa rawak, kebarangkalian sesuatu peristiwa;
- ajar cara mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa; kebarangkalian kejadian rawak mengikut definisi klasik;
- mengajar cara menggunakan teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian untuk menyelesaikan masalah;
- terus mengembangkan minat dalam matematik dengan menyelesaikan masalah menggunakan definisi klasik kebarangkalian untuk mengira secara langsung kebarangkalian fenomena;
- menanam minat dalam matematik menggunakan bahan sejarah;
- memupuk sikap sedar terhadap proses pembelajaran, menanamkan rasa tanggungjawab terhadap kualiti ilmu, mengamalkan kawalan diri terhadap proses penyelesaian dan mereka bentuk latihan.

Menyediakan kelas:
- kad tugas untuk penyoalan individu;
- kad tugas untuk kerja ujian;
- pembentangan.

Pelajar mesti tahu:
- definisi dan formula untuk bilangan pilih atur, peletakan dan gabungan;
- takrifan klasik kebarangkalian;
- menentukan jumlah peristiwa, hasil daripada peristiwa; rumusan dan rumus teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian.

Pelajar mesti boleh:
- mengira pilih atur, peletakan dan gabungan;
- mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa menggunakan definisi klasik dan formula kombinatorik;
- menyelesaikan masalah menggunakan teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian.

Motivasi aktiviti kognitif pelajar.
Guru melaporkan bahawa kemunculan teori kebarangkalian bermula sejak pertengahan abad ke-17. dan dikaitkan dengan penyelidikan B. Pascal, P. Fermat dan H. Huygens (1629-1695). Satu langkah utama dalam pembangunan teori kebarangkalian dikaitkan dengan karya J. Bernoulli (1654-1705). Dia adalah orang pertama yang membuktikan salah satu peruntukan yang paling penting bagi teori kebarangkalian - hukum nombor besar. Peringkat seterusnya dalam perkembangan teori dikaitkan dengan nama A. Moivre (1667-1754), C. Gauss, P. Laplace (1749-1827), S. Poisson (1781-1840). Di antara saintis sekolah St. Petersburg, nama A.M harus disebut. Lyapunov (1857-1918) dan A.A Markov (1856-1922). Selepas kerja ahli matematik ini, teori kebarangkalian mula dipanggil "sains Rusia" di seluruh dunia. Pada pertengahan 20-an A.Ya. Khinchin (1894-1959) dan A.N. Kolmogorov mencipta Sekolah Teori Kebarangkalian Moscow. Sumbangan acad. A.N. Kolmogorov - pemenang Hadiah Lenin, hadiah antarabangsa yang dinamakan sempena. B. Bolzano, ahli beberapa ahli akademik asing, sangat hebat dalam matematik moden. Merit A.N. Kolmogorov bukan sahaja terletak pada pembangunan teori saintifik baru, tetapi lebih-lebih lagi dalam fakta bahawa dia melatih seluruh galaksi saintis berbakat (Akademik Akademi Sains SSR Ukraine B.V. Gnedenko, Ahli Akademik Yu.V. . Prokhorov, B.A. Sevastyanov dan lain-lain).
Teori kebarangkalian - sains matematik yang mengkaji corak pembolehubah rawak - sejak sedekad yang lalu telah menjadi salah satu kaedah utama sains dan teknologi moden. Perkembangan pesat teori kawalan automatik telah membawa kepada keperluan untuk menyelesaikan banyak isu yang berkaitan dengan menjelaskan kemungkinan proses yang dipengaruhi oleh faktor rawak. Teori kebarangkalian diperlukan untuk pelbagai pakar - ahli fizik, ahli biologi, doktor, ahli ekonomi, jurutera, kakitangan tentera, pengurus pengeluaran, dsb.

Kemajuan pelajaran.

saya. Detik organisasi.

II. Menyemak kerja rumah
Menjalankan tinjauan hadapan dalam bentuk jawapan kepada soalan:

Semak penyelesaian kepada latihan:

Dalam berapa banyak cara anda boleh membuat senarai 10 orang?
Dalam berapa banyak cara 15 pekerja boleh digunakan untuk membuat pasukan yang terdiri daripada 5 orang setiap satu?
30 orang pelajar bertukar kad gambar antara satu sama lain. Berapakah jumlah kad foto yang telah diedarkan?

III. Mempelajari bahan baharu.
Dalam kamus penerangan S.I. Ozhegov dan N.Yu. Shvedova kita membaca: "Kebarangkalian adalah kemungkinan pemenuhan, kemungkinan sesuatu." Kami sering menggunakan "mungkin", "kemungkinan besar", "luar biasa" dalam kehidupan seharian, tanpa sama sekali memikirkan anggaran kuantitatif khusus tentang kemungkinan pelaksanaan ini.
Pengasas teori kebarangkalian moden A.N. Kolmogorov menulis tentang kebarangkalian seperti berikut: "Kebarangkalian matematik ialah ciri berangka tahap kemungkinan berlakunya sebarang peristiwa tertentu dalam keadaan tertentu tertentu yang boleh diulang dalam bilangan kali yang tidak terhad."
Jadi, dalam matematik, kebarangkalian diukur dengan nombor. Tidak lama lagi kita akan mengetahui dengan tepat bagaimana ini boleh dilakukan. Tetapi kita akan mulakan dengan membincangkan peristiwa mana yang mempunyai "kebarangkalian matematik" dan apakah "keadaan tertentu yang boleh diulang dalam bilangan kali yang tidak terhad" ini. Itulah sebabnya kami akan mempertimbangkan peristiwa rawak dan eksperimen rawak.
Harus dikatakan bahawa teori kebarangkalian, seperti tiada bidang matematik lain, penuh dengan percanggahan dan paradoks. Penjelasan untuk perkara ini sangat mudah - ia terlalu berkait rapat dengan realiti sebenar yang mengelilingi kita. Untuk masa yang lama, mereka tidak mahu mengklasifikasikannya, bersama-sama dengan statistik matematik, sebagai disiplin matematik, menganggapnya sains gunaan semata-mata.
Hanya pada separuh pertama abad yang lalu, terutamanya terima kasih kepada karya rakan senegara kita yang hebat A.N. Kolmogorov, yang namanya telah disebutkan di atas, membina asas matematik teori kebarangkalian, yang memungkinkan untuk memisahkan sains itu sendiri daripada aplikasinya. Pendekatan yang dicadangkan oleh Kolmogorov kini biasanya dipanggil aksiomatik, kerana kebarangkalian di dalamnya (atau lebih tepat, ruang kebarangkalian) ditakrifkan sebagai struktur matematik tertentu yang memenuhi sistem aksiom tertentu.
Atas pendekatan inilah kursus universiti moden mengenai teori kebarangkalian dibina, yang semua guru matematik semasa telah lalui pada satu masa. Walau bagaimanapun, di sekolah, pendekatan sedemikian terhadap kajian kebarangkalian (dan matematik secara umum) adalah tidak munasabah. Jika di universiti penekanan utama adalah untuk mengkaji radas matematik untuk mengkaji model kebarangkalian, maka di sekolah pelajar mesti belajar membina model ini, menganalisis, menyemak kecukupan mereka kepada situasi sebenar. Pandangan ini dikongsi hari ini oleh majoriti saintis yang terlibat dalam masalah pendidikan matematik sekolah.
Dalam buku teks sekolah moden anda boleh menemui definisi berikut: acara dipanggil rawak, jika dalam keadaan yang sama ia mungkin berlaku atau tidak. Sebagai contoh, acara "Apabila melambung dadu, 6 mata akan muncul" akan menjadi rawak.
Tersirat dalam definisi di atas adalah satu keperluan penting yang mesti ditekankan: kita mesti boleh berulang kali menghasilkan semula keadaan yang sama di mana peristiwa tertentu diperhatikan(sebagai contoh, melambung kiub) - jika tidak, adalah mustahil untuk menilai rawaknya.
Oleh itu, apabila bercakap tentang sebarang peristiwa rawak, kami selalu bermaksud kehadiran syarat tertentu, tanpanya tidak masuk akal untuk bercakap tentang acara ini sama sekali. Set syarat ini dipanggil pengalaman rawak atau eksperimen rawak.
Pada masa hadapan kami akan memanggil secara rawak sebarang peristiwa yang dikaitkan dengan eksperimen rawak. Sebelum percubaan, sebagai peraturan, adalah mustahil untuk mengatakan dengan pasti sama ada peristiwa tertentu akan berlaku atau tidak - ini menjadi jelas hanya selepas selesai. Tetapi bukan tanpa sebab kami membuat klausa "sebagai peraturan": dalam teori kebarangkalian, adalah lazim untuk menganggap semua peristiwa yang dikaitkan dengan percubaan rawak sebagai rawak, termasuk:

mustahil itu tidak boleh berlaku;
boleh dipercayai, yang berlaku dalam setiap eksperimen tersebut.

Sebagai contoh, acara "Dau akan membaling 7 mata" adalah mustahil, tetapi "Dau akan membaling kurang daripada 7 mata" boleh dipercayai. Sudah tentu, jika kita bercakap tentang kubus dengan nombor dari 1 hingga 6 tertulis di mukanya.
Peristiwa itu dipanggil tidak serasi, jika hanya satu daripada mereka yang mungkin muncul setiap kali. Peristiwa itu dipanggil sendi, jika, di bawah keadaan tertentu, kejadian salah satu daripada peristiwa ini tidak mengecualikan kejadian yang lain semasa percubaan yang sama (Terdapat dua bola dalam urn - putih dan hitam, penampilan bola hitam tidak mengecualikan kejadian yang putih semasa percubaan yang sama). Peristiwa itu dipanggil bertentangan, jika di bawah syarat ujian mereka, sebagai satu-satunya hasil, tidak serasi. Kebarangkalian sesuatu peristiwa dianggap sebagai ukuran kemungkinan objektif berlakunya peristiwa rawak.

Jawatan:
Peristiwa rawak (dalam huruf besar abjad Latin): A,B,C,D,.. (atau ). "Rawak" ditinggalkan dan mereka hanya menyebut "peristiwa".
Bilangan hasil yang menguntungkan untuk berlakunya peristiwa tertentu – m;
Bilangan semua hasil (eksperimen) ialah n.
Takrif klasik kebarangkalian.
Kebarangkalian peristiwa A ialah nisbah bilangan hasil m yang memihak kepada kejadian peristiwa ini kepada bilangan n semua hasil (tidak konsisten, hanya mungkin dan sama mungkin), i.e.
– kebarangkalian kejadian rawak
Kebarangkalian sebarang peristiwa tidak boleh kurang daripada sifar dan lebih besar daripada satu, i.e. 0≤P(A)≤1
Peristiwa mustahil sepadan dengan kebarangkalian P(A)=0, dan peristiwa yang boleh dipercayai sepadan dengan kebarangkalian P(A)=1

Teorem penambahan kebarangkalian.
Teorem untuk menambah kebarangkalian peristiwa tidak serasi.
Kebarangkalian berlakunya satu daripada beberapa peristiwa tidak serasi berpasangan, tidak kira yang mana satu, adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini:

P(A+B)=P(A)+P(B);
P(+ +…+=P(+P+…+P().

Teorem untuk menambah kebarangkalian kejadian bersama.
Kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada dua peristiwa bersama adalah sama dengan jumlah kebarangkalian kejadian ini tanpa kebarangkalian kejadian bersama:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Untuk tiga acara bersama formula memegang:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

Peristiwa yang bertentangan dengan peristiwa A (iaitu, peristiwa A yang tidak berlaku) dilambangkan dengan . Jumlah kebarangkalian dua peristiwa bertentangan adalah sama dengan satu: P(A)+P()=1

Kebarangkalian kejadian A, dikira di bawah andaian bahawa peristiwa B telah pun berlaku, dipanggil kebarangkalian bersyarat peristiwa A tertakluk kepada B dan dilambangkan (A) atau P(A/B).
Jika A dan B ialah peristiwa bebas, maka
P(B)-(B)=(B).

Peristiwa A,B,C,... dipanggil bebas secara agregat, jika kebarangkalian setiap satu daripadanya tidak berubah disebabkan oleh kejadian atau tidak berlakunya peristiwa lain secara berasingan atau dalam mana-mana gabungannya.

Teorem pendaraban kebarangkalian.
Teorem untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas.
Kebarangkalian kejadian bersama dua peristiwa bebas adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian peristiwa ini:
P(AB)=P(A) P(B)

Kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa yang bebas dalam agregat dikira dengan formula:
P()=P() P()… P().

Teorem untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bersandar.
Kebarangkalian kejadian bersama dua peristiwa bergantung adalah sama dengan hasil darab salah satu daripadanya dan kebarangkalian bersyarat bagi kedua:
P(AB)=P(A) (B)=P(B) (A)

IV. Aplikasi pengetahuan dalam menyelesaikan masalah biasa
Tugasan 1.
Dalam loteri 1000 tiket, terdapat 200 yang menang. Satu tiket diambil secara rawak. Apakah kebarangkalian tiket ini adalah pemenang?
Penyelesaian: Tiket A acara menang. Jumlah bilangan hasil yang berbeza ialah n=1000
Bilangan hasil yang menguntungkan untuk menang ialah m=200. Mengikut formula P(A)=, kita memperoleh P(A)== = 0.2 = 0.147

Masalah 4.
Terdapat 20 bahagian yang disusun mengikut susunan rawak di dalam kotak, 5 daripadanya adalah standard. Seorang pekerja mengambil 3 bahagian secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu bahagian yang diambil adalah piawai.

Tugasan 5.
Cari kebarangkalian bahawa nombor dua digit yang dipilih secara rawak akan menjadi gandaan sama ada 3 atau 5, atau kedua-duanya

Tugasan 6.
Satu guci mengandungi 4 bola putih dan 8 bola hitam, satu lagi mengandungi 3 bola putih dan 9 bola hitam. Sebiji bola diambil dari setiap balang. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua bola berwarna putih.
Penyelesaian: Biarkan A ialah rupa bola putih dari balang pertama, dan B ialah rupa bola putih dari balang kedua. Jelas sekali, peristiwa A dan B adalah bebas. Mari cari P(A)=4/12=1/3, P(B)=3/12=1/4, kita dapat
P(AB)=P(A) P(B)=(1/3) (1/4)=1/12=0.083

Tugasan 7.
Kotak itu mengandungi 12 bahagian, di mana 8 adalah standard. Seorang pekerja mengambil dua bahagian secara rawak, satu demi satu. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua bahagian adalah piawai.
Penyelesaian: Mari kita perkenalkan notasi berikut: A – bahagian pertama yang diambil adalah standard; B – bahagian kedua yang diambil adalah standard. Kebarangkalian bahawa bahagian pertama adalah piawai ialah P(A)=8/12=2/3. Kebarangkalian bahawa bahagian kedua yang diambil adalah piawai, dengan syarat bahagian pertama adalah piawai, i.e. kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B adalah sama dengan (B)=7/11.
Kebarangkalian bahawa kedua-dua bahagian akan menjadi piawai didapati menggunakan teorem untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bersandar:
P(AB)=P(A) (B)=(2/3) (7/11)=14/33=0.424

Aplikasi bebas pengetahuan, kemahiran dan kebolehan.
Pilihan 1.

Apakah kebarangkalian bahawa integer yang dipilih secara rawak antara 40 dan 70 ialah gandaan 6?
Apakah kebarangkalian bahawa jika syiling dilambung lima kali, ia akan mendarat tiga kali?

Pilihan 2.

Apakah kebarangkalian bahawa integer yang dipilih secara rawak antara 1 dan 30 (termasuk) ialah pembahagi 30?
Institut penyelidikan itu menggaji 120 orang, di mana 70 tahu bahasa Inggeris, 60 tahu Jerman, dan 50 tahu kedua-duanya. Apakah kebarangkalian bahawa pekerja yang dipilih secara rawak tidak mengetahui satu bahasa asing?

VI. Merumuskan pelajaran.

VII. Kerja rumah:
G.N. Yakovlev, matematik, buku 2, § 24.1, 24.2, ms 365-386. Latihan 24.11, 24.12, 24.17

Keperluan untuk bertindak ke atas kebarangkalian berlaku apabila kebarangkalian beberapa peristiwa diketahui, dan adalah perlu untuk mengira kebarangkalian peristiwa lain yang dikaitkan dengan peristiwa ini.

Penambahan kebarangkalian digunakan apabila anda perlu mengira kebarangkalian gabungan atau jumlah logik peristiwa rawak.

Jumlah peristiwa A Dan B menandakan A + B atau A ∪ B. Jumlah dua peristiwa ialah peristiwa yang berlaku jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa itu berlaku. Ini bermakna bahawa A + B- peristiwa yang berlaku jika dan hanya jika peristiwa itu berlaku semasa pemerhatian A atau peristiwa B, atau serentak A Dan B.

Jika peristiwa A Dan B adalah saling tidak konsisten dan kebarangkaliannya diberikan, maka kebarangkalian bahawa salah satu daripada peristiwa ini akan berlaku hasil daripada satu percubaan dikira menggunakan penambahan kebarangkalian.

Teorem penambahan kebarangkalian. Kebarangkalian bahawa satu daripada dua peristiwa yang saling tidak serasi akan berlaku adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini:

Contohnya, semasa memburu, dua das tembakan dilepaskan. Peristiwa A– memukul itik dengan pukulan pertama, peristiwa DALAM– pukulan dari pukulan kedua, peristiwa ( A+ DALAM) – pukulan dari pukulan pertama atau kedua atau daripada dua pukulan. Jadi, jika dua peristiwa A Dan DALAM– peristiwa yang tidak serasi, kemudian A+ DALAM– berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa ini atau dua peristiwa.

Contoh 1. Terdapat 30 bola yang sama saiz di dalam kotak: 10 merah, 5 biru dan 15 putih. Kira kebarangkalian bahawa bola berwarna (bukan putih) akan diambil tanpa melihat.

Penyelesaian. Mari kita andaikan bahawa peristiwa itu A- "bola merah diambil", dan acara DALAM- "Bola biru telah diambil." Kemudian acara itu adalah "bola berwarna (bukan putih) diambil." Mari cari kebarangkalian kejadian itu A:

dan peristiwa DALAM:

Peristiwa A Dan DALAM– saling tidak serasi, kerana jika satu bola diambil, maka adalah mustahil untuk mengambil bola dengan warna yang berbeza. Oleh itu, kami menggunakan penambahan kebarangkalian:

Teorem untuk menambah kebarangkalian untuk beberapa peristiwa yang tidak serasi. Jika peristiwa membentuk satu set lengkap peristiwa, maka jumlah kebarangkalian mereka adalah sama dengan 1:

Jumlah kebarangkalian kejadian berlawanan juga sama dengan 1:

Peristiwa bertentangan membentuk set lengkap peristiwa, dan kebarangkalian set lengkap peristiwa ialah 1.

Kebarangkalian kejadian bertentangan biasanya ditunjukkan dalam huruf kecil hlm Dan q. khususnya,

dari mana formula berikut untuk kebarangkalian peristiwa berlawanan mengikuti:

Contoh 2. Sasaran dalam jarak menembak dibahagikan kepada 3 zon. Kebarangkalian bahawa penembak tertentu akan menembak sasaran di zon pertama ialah 0.15, di zon kedua - 0.23, di zon ketiga - 0.17. Cari kebarangkalian bahawa penembak akan mencapai sasaran dan kebarangkalian bahawa penembak akan terlepas sasaran.

Penyelesaian: Cari kebarangkalian bahawa penembak akan mencapai sasaran:

Mari cari kebarangkalian bahawa penembak akan terlepas sasaran:

Untuk masalah yang lebih kompleks, di mana anda perlu menggunakan kedua-dua penambahan dan pendaraban kebarangkalian, lihat halaman "Pelbagai masalah yang melibatkan penambahan dan pendaraban kebarangkalian".

Penambahan kebarangkalian kejadian serentak bersama

Dua peristiwa rawak dipanggil bersama jika kejadian satu peristiwa tidak mengecualikan kejadian peristiwa kedua dalam pemerhatian yang sama. Contohnya, semasa melontar dadu acara itu A Nombor 4 dianggap akan dilancarkan, dan acara itu DALAM– menggolek nombor genap. Memandangkan 4 ialah nombor genap, kedua-dua acara adalah serasi. Dalam amalan, terdapat masalah untuk mengira kebarangkalian berlakunya salah satu peristiwa serentak bersama.

Teorem penambahan kebarangkalian untuk peristiwa bersama. Kebarangkalian bahawa salah satu peristiwa bersama akan berlaku adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini, daripadanya kebarangkalian kejadian biasa kedua-dua peristiwa ditolak, iaitu hasil darab kebarangkalian. Formula untuk kebarangkalian kejadian bersama mempunyai bentuk berikut:

Sejak peristiwa A Dan DALAM serasi, acara A+ DALAM berlaku jika salah satu daripada tiga kemungkinan kejadian berlaku: atau AB. Mengikut teorem penambahan peristiwa yang tidak serasi, kami mengira seperti berikut:

Peristiwa A akan berlaku jika salah satu daripada dua peristiwa yang tidak serasi berlaku: atau AB. Walau bagaimanapun, kebarangkalian berlakunya satu peristiwa daripada beberapa peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian semua peristiwa ini:

Begitu juga:

Menggantikan ungkapan (6) dan (7) kepada ungkapan (5), kita memperoleh formula kebarangkalian untuk peristiwa bersama:

Apabila menggunakan formula (8), ia harus diambil kira bahawa peristiwa A Dan DALAM mungkin:

saling bebas;
saling bergantung.

Formula kebarangkalian untuk peristiwa saling bebas:

Formula kebarangkalian untuk peristiwa saling bergantung:

Jika peristiwa A Dan DALAM tidak konsisten, maka kebetulan mereka adalah kes yang mustahil dan, dengan itu, P(AB) = 0. Formula kebarangkalian keempat untuk peristiwa tidak serasi ialah:

Contoh 3. Dalam perlumbaan kereta, apabila anda memandu kereta pertama, anda mempunyai peluang yang lebih baik untuk menang, dan apabila anda memandu kereta kedua. Cari:

kebarangkalian bahawa kedua-dua kereta akan menang;
kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu kereta akan menang;

1) Kebarangkalian bahawa kereta pertama akan menang tidak bergantung pada keputusan kereta kedua, jadi peristiwa A(kereta pertama menang) dan DALAM(kereta kedua akan menang) – acara bebas. Mari cari kebarangkalian kedua-dua kereta menang:

2) Cari kebarangkalian bahawa salah satu daripada dua kereta akan menang:

Selesaikan sendiri penambahan masalah kebarangkalian, dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 4. Dua syiling dilambung. Peristiwa A- kehilangan jata pada syiling pertama. Peristiwa B- kehilangan jata pada syiling kedua. Cari kebarangkalian sesuatu peristiwa C = A + B .

Kebarangkalian Darab

Pendaraban kebarangkalian digunakan apabila kebarangkalian hasil darab logik peristiwa mesti dikira.

Dalam kes ini, peristiwa rawak mestilah bebas. Dua peristiwa dikatakan saling bebas jika kejadian satu peristiwa tidak mempengaruhi kebarangkalian berlakunya peristiwa kedua.

Teorem pendaraban kebarangkalian untuk peristiwa bebas. Kebarangkalian kejadian serentak dua peristiwa bebas A Dan DALAM adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian kejadian ini dan dikira dengan formula:

Contoh 5. Syiling dilambung tiga kali berturut-turut. Cari kebarangkalian bahawa jata itu akan muncul ketiga-tiga kali.

Penyelesaian. Kebarangkalian jata itu akan muncul pada lambungan pertama syiling, kali kedua dan kali ketiga. Mari cari kebarangkalian jata itu akan muncul tiga kali:

Selesaikan masalah pendaraban kebarangkalian sendiri dan kemudian lihat penyelesaiannya

Contoh 6. Terdapat sekotak sembilan bola tenis baharu. Untuk bermain, tiga bola diambil, dan selepas permainan ia diletakkan semula. Apabila memilih bola, bola yang dimainkan tidak dibezakan daripada bola yang tidak dimainkan. Apakah kebarangkalian bahawa selepas tiga perlawanan tiada lagi bola yang belum dimainkan di dalam kotak?

Contoh 7. 32 huruf abjad Rusia ditulis pada kad abjad yang dipotong. Lima kad diambil secara rawak satu demi satu dan diletakkan di atas meja mengikut susunan penampilan. Cari kebarangkalian bahawa huruf akan membentuk perkataan "akhir".

Contoh 8. Dari dek penuh kad (52 helai), empat kad dikeluarkan serentak. Cari kebarangkalian bahawa keempat-empat kad ini mempunyai sut yang berbeza.

Contoh 9. Tugas yang sama seperti dalam contoh 8, tetapi setiap kad selepas dikeluarkan dikembalikan ke dek.

Masalah yang lebih kompleks, di mana anda perlu menggunakan kedua-dua penambahan dan pendaraban kebarangkalian, serta mengira hasil darab beberapa peristiwa, boleh didapati di halaman "Pelbagai masalah yang melibatkan penambahan dan pendaraban kebarangkalian".

Kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu peristiwa yang saling bebas akan berlaku boleh dikira dengan menolak daripada 1 hasil darab kebarangkalian kejadian berlawanan, iaitu, menggunakan formula:

Contoh 10. Kargo dihantar melalui tiga mod pengangkutan: pengangkutan sungai, kereta api dan jalan raya. Kebarangkalian bahawa kargo akan dihantar melalui pengangkutan sungai ialah 0.82, dengan pengangkutan kereta api ialah 0.87, dan melalui pengangkutan jalan raya ialah 0.90. Cari kebarangkalian bahawa kargo akan dihantar oleh sekurang-kurangnya satu daripada tiga mod pengangkutan.