Kebarangkalian klasik dan sifatnya

Kebarangkalian adalah salah satu konsep asas teori kebarangkalian. Terdapat beberapa definisi konsep ini. Mari kita berikan definisi yang dipanggil klasik.

Kebarangkalian peristiwa ialah nisbah bilangan hasil asas yang menguntungkan untuk acara tertentu kepada bilangan semua hasil yang sama kemungkinan pengalaman di mana peristiwa ini mungkin muncul.

Kebarangkalian kejadian A dilambangkan dengan P(A)(Di sini R– huruf pertama perkataan Perancis kebarangkalian- kebarangkalian).

Mengikut definisi

di manakah bilangan hasil ujian asas yang menguntungkan untuk berlakunya peristiwa;

Jumlah bilangan hasil ujian asas yang mungkin.

Takrifan kebarangkalian ini dipanggil klasik. Ia timbul pada peringkat awal perkembangan teori kebarangkalian.

Nombor itu sering dipanggil kekerapan relatif kejadian sesuatu peristiwa A dalam pengalaman.

Semakin besar kebarangkalian sesuatu peristiwa, semakin kerap ia berlaku, dan sebaliknya, semakin kecil kebarangkalian sesuatu peristiwa, semakin jarang ia berlaku. Apabila kebarangkalian sesuatu peristiwa hampir atau sama dengan satu, maka ia berlaku dalam hampir semua ujian. Peristiwa sebegitu dikatakan hampir pasti, iaitu seseorang itu pasti boleh mengharapkan kejadiannya.

Sebaliknya, apabila kebarangkalian adalah sifar atau sangat kecil, maka peristiwa itu berlaku sangat jarang; peristiwa sebegitu dikatakan hampir mustahil.

Kadangkala kebarangkalian dinyatakan sebagai peratusan: P(A) 100% ialah peratusan purata bilangan kejadian sesuatu peristiwa A.

Contoh 2.13. Semasa mendail nombor telefon, pelanggan terlupa satu digit dan mendailnya secara rawak. Cari kebarangkalian bahawa nombor yang betul didail.

Penyelesaian.

Mari kita nyatakan dengan A acara - "nombor yang diperlukan telah didail."

Pelanggan boleh mendail mana-mana daripada 10 digit, jadi jumlah bilangan hasil asas yang mungkin ialah 10. Hasil ini tidak serasi, sama mungkin dan membentuk kumpulan yang lengkap. Mengutamakan acara A hanya satu hasil (hanya terdapat satu nombor yang diperlukan).

Kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang menguntungkan kepada peristiwa dengan bilangan semua hasil asas:

Formula kebarangkalian klasik menyediakan cara yang sangat mudah dan bebas eksperimen untuk mengira kebarangkalian. Walau bagaimanapun, kesederhanaan formula ini sangat menipu. Hakikatnya ialah apabila menggunakannya, dua soalan yang sangat sukar biasanya timbul:

1. Bagaimana untuk memilih sistem hasil eksperimen supaya ia sama-sama mungkin, dan adakah mungkin untuk melakukan ini sama sekali?

2. Cara mencari nombor m Dan n?

Jika beberapa objek terlibat dalam eksperimen, tidak selalunya mudah untuk melihat hasil yang mungkin sama.

Ahli falsafah Perancis yang hebat dan ahli matematik d'Alembert memasuki sejarah teori kebarangkalian dengan kesilapannya yang terkenal, intipatinya ialah dia tersilap menentukan kesamaan hasil dalam eksperimen dengan hanya dua syiling!

Contoh 2.14. ( kesilapan d'Alembert). Dua syiling yang sama dilambung. Apakah kebarangkalian bahawa mereka akan jatuh pada sisi yang sama?

Penyelesaian D'Alembert.

Percubaan mempunyai tiga hasil yang sama mungkin:

1. Kedua-dua syiling akan mendarat di atas kepala;

2. Kedua-dua syiling akan mendarat pada ekor;

3. Satu daripada syiling akan mendarat di kepala, satu lagi di ekor.

Penyelesaian yang betul.

Percubaan mempunyai empat hasil yang sama mungkin:

1. Syiling pertama akan jatuh ke atas kepala, yang kedua juga akan jatuh ke atas kepala;

2. Syiling pertama akan mendarat di ekor, yang kedua juga akan mendarat di ekor;

3. Syiling pertama akan jatuh pada kepala, dan yang kedua pada ekor;

4. Syiling pertama akan mendarat di ekor, dan yang kedua di kepala.

Daripada jumlah ini, dua hasil akan menguntungkan untuk acara kami, jadi kebarangkalian yang diperlukan adalah sama dengan .

D'Alembert membuat salah satu kesilapan yang paling biasa dilakukan semasa mengira kebarangkalian: dia menggabungkan dua hasil asas menjadi satu, dengan itu menjadikannya tidak sama dalam kebarangkalian dengan hasil eksperimen yang tinggal.

INSTITUSI PENDIDIKAN PERBANDARAN

GYMNASIUM No 6

mengenai topik "Takrifan klasik kebarangkalian."

Diisi oleh pelajar darjah 8 "B"

Klimantova Alexandra.

Guru matematik: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Banyak permainan menggunakan dadu. Kubus mempunyai 6 sisi, setiap sisi mempunyai bilangan titik yang berbeza yang ditanda di atasnya, dari 1 hingga 6. Pemain membaling dadu dan melihat berapa banyak titik yang terdapat pada bahagian yang dijatuhkan (di sebelah yang terletak di atas) . Selalunya, titik pada muka kubus digantikan dengan nombor yang sepadan dan kemudian mereka bercakap tentang melancarkan 1, 2 atau 6. Melempar dadu boleh dianggap sebagai pengalaman, percubaan, ujian, dan keputusan yang diperoleh adalah keputusan ujian atau peristiwa asas. Orang ramai berminat untuk meneka kejadian ini atau peristiwa itu dan meramalkan kesudahannya. Apakah ramalan yang boleh mereka buat apabila mereka membaling dadu? Sebagai contoh, ini:

1) acara A - nombor 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 digulung;

2) acara B - nombor 7, 8 atau 9 muncul;

3) acara C - nombor 1 muncul.

Peristiwa A, yang diramalkan dalam kes pertama, pasti akan berlaku. Secara umum, peristiwa yang pasti berlaku dalam pengalaman tertentu dipanggil acara yang boleh dipercayai .

Peristiwa B, yang diramalkan dalam kes kedua, tidak akan berlaku, ia adalah mustahil. Secara umum, peristiwa yang tidak boleh berlaku dalam pengalaman tertentu dipanggil kejadian yang mustahil .

Dan adakah peristiwa C, yang diramalkan dalam kes ketiga, akan berlaku atau tidak? Kami tidak dapat menjawab soalan ini dengan pasti sepenuhnya, kerana 1 mungkin atau mungkin tidak gagal. Peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak berlaku dalam pengalaman tertentu dipanggil peristiwa rawak .

Apabila memikirkan tentang kejadian peristiwa yang boleh dipercayai, kemungkinan besar kita tidak akan menggunakan perkataan "mungkin". Sebagai contoh, jika hari ini adalah hari Rabu, maka esok adalah hari Khamis, ini adalah acara yang boleh dipercayai. Pada hari Rabu kami tidak akan berkata: "Mungkin esok adalah Khamis," kami akan mengatakan secara ringkas dan jelas: "Esok adalah Khamis." Benar, jika kita cenderung kepada frasa yang indah, kita boleh mengatakan ini: "Dengan seratus peratus kebarangkalian saya mengatakan bahawa esok adalah Khamis." Sebaliknya, jika hari ini hari Rabu, maka permulaan hari Jumaat esok adalah peristiwa yang mustahil. Menilai acara ini pada hari Rabu, kita boleh mengatakan ini: "Saya pasti esok bukan hari Jumaat." Atau ini: "Sungguh luar biasa bahawa esok adalah hari Jumaat." Nah, jika kita cenderung kepada frasa yang indah, kita boleh mengatakan ini: "Kebarangkalian esok hari Jumaat adalah sifar." Jadi, peristiwa yang boleh dipercayai adalah peristiwa yang berlaku dalam keadaan tertentu dengan kebarangkalian seratus peratus(iaitu, berlaku dalam 10 kes daripada 10, dalam 100 kes daripada 100, dsb.). Peristiwa mustahil ialah peristiwa yang tidak pernah berlaku dalam keadaan tertentu, peristiwa dengan kebarangkalian sifar .

Tetapi, malangnya (dan mungkin bernasib baik), tidak semua dalam kehidupan begitu jelas dan tepat: ia akan sentiasa (peristiwa tertentu), ia tidak akan pernah (peristiwa mustahil). Selalunya kita berhadapan dengan peristiwa rawak, beberapa daripadanya lebih berkemungkinan, yang lain kurang berkemungkinan. Biasanya orang menggunakan perkataan "lebih mungkin" atau "kurang berkemungkinan", seperti yang mereka katakan, secara sesuka hati, bergantung pada apa yang dipanggil akal sehat. Tetapi selalunya anggaran sedemikian ternyata tidak mencukupi, kerana ia penting untuk diketahui untuk berapa lama peratus mungkin peristiwa rawak atau berapa kali satu peristiwa rawak lebih berkemungkinan daripada yang lain. Dalam erti kata lain, kita perlu tepat kuantitatif ciri, anda perlu dapat mencirikan kebarangkalian dengan nombor.

Kami telah pun mengambil langkah pertama ke arah ini. Kami berkata bahawa kebarangkalian kejadian tertentu berlaku dicirikan sebagai seratus peratus, dan kebarangkalian kejadian mustahil berlaku adalah sebagai sifar. Memandangkan 100% sama dengan 1, orang bersetuju dengan perkara berikut:

1) kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai dianggap sama 1;

2) kebarangkalian kejadian mustahil dianggap sama 0.

Bagaimana untuk mengira kebarangkalian peristiwa rawak? Lagipun, ia berlaku secara tidak sengaja, yang bermaksud ia tidak mematuhi undang-undang, algoritma atau formula. Ternyata dalam dunia rawak undang-undang tertentu terpakai yang membolehkan seseorang mengira kebarangkalian. Ini adalah cabang matematik yang dipanggil - teori kebarangkalian .

Matematik berurusan dengan model beberapa fenomena realiti di sekeliling kita. Daripada semua model yang digunakan dalam teori kebarangkalian, kami akan mengehadkan diri kami kepada yang paling mudah.

Skim probabilistik klasik

Untuk mencari kebarangkalian kejadian A semasa menjalankan beberapa eksperimen, anda hendaklah:

1) cari nombor N semua kemungkinan hasil eksperimen ini;

2) menerima andaian kebarangkalian yang sama (kemungkinan yang sama) bagi semua hasil ini;

3) cari nombor N(A) bagi hasil eksperimen tersebut di mana peristiwa A berlaku;

4) cari hasil bagi ; ia akan sama dengan kebarangkalian peristiwa A.

Adalah lazim untuk menunjukkan kebarangkalian kejadian A: P(A). Penjelasan untuk sebutan ini sangat mudah: perkataan "kebarangkalian" dalam bahasa Perancis adalah kebarangkalian, dalam Bahasa Inggeris- kebarangkalian.Penetapan menggunakan huruf pertama perkataan.

Dengan menggunakan tatatanda ini, kebarangkalian kejadian A mengikut skema klasik boleh didapati menggunakan formula

P(A)=.

Selalunya semua titik skema probabilistik klasik di atas dinyatakan dalam satu frasa yang agak panjang.

Takrif klasik kebarangkalian

Kebarangkalian kejadian A semasa ujian tertentu ialah nisbah bilangan hasil akibat daripada peristiwa A berlaku kepada jumlah bilangan semua hasil yang sama mungkin bagi ujian ini.

Contoh 1. Cari kebarangkalian bahawa dalam satu lontaran dadu hasilnya ialah: a) 4; b) 5; c) bilangan mata genap; d) bilangan mata lebih daripada 4; e) bilangan mata tidak boleh dibahagikan dengan tiga.

Penyelesaian. Secara keseluruhannya terdapat N=6 kemungkinan hasil: terjatuh daripada muka kubus dengan bilangan mata yang sama dengan 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Kami percaya bahawa tiada satu pun daripada mereka mempunyai kelebihan berbanding yang lain, iaitu kami menerima andaian bahawa kebolehsamaan hasil ini.

a) Dalam salah satu hasil, peristiwa A yang menarik minat kita akan berlaku—nombor 4 akan muncul Ini bermakna N(A)=1 dan

P ( A )= =.

b) Penyelesaian dan jawapan adalah sama seperti dalam perenggan sebelumnya.

c) Peristiwa B yang kita minati akan berlaku dalam tiga kes apabila bilangan mata ialah 2, 4 atau 6. Ini bermakna

N ( B )=3 dan P ( B )==.

d) Peristiwa C yang kita minati akan berlaku dalam dua kes apabila bilangan mata ialah 5 atau 6. Ini bermakna

N ( C ) =2 dan Р(С)=.

e) Daripada enam nombor yang mungkin dilukis, empat (1, 2, 4 dan 5) bukan gandaan tiga, dan baki dua (3 dan 6) boleh dibahagikan dengan tiga. Ini bermakna peristiwa yang menarik minat kita berlaku dalam tepat empat daripada enam hasil eksperimen yang mungkin dan berkemungkinan sama dan berkemungkinan sama. Oleh itu jawapannya ternyata

. ; b); V); G); d).

Dadu sebenar mungkin berbeza daripada kiub (model) yang ideal, oleh itu, untuk menerangkan kelakuannya, model yang lebih tepat dan terperinci diperlukan, dengan mengambil kira kelebihan satu muka berbanding yang lain, kemungkinan kehadiran magnet, dll. Tetapi "syaitan ada dalam butirannya," dan ketepatan yang lebih cenderung membawa kepada kerumitan yang lebih besar, dan mendapatkan jawapan menjadi masalah. Kami mengehadkan diri kami untuk mempertimbangkan model kebarangkalian yang paling mudah, di mana semua hasil yang mungkin berkemungkinan sama.

Nota 1. Mari kita lihat contoh lain. Soalan ditanya: "Apakah kebarangkalian mendapat tiga lawan satu die roll?" Pelajar menjawab: "Kebarangkalian ialah 0.5." Dan dia menjelaskan jawapannya: "Tiga sama ada akan muncul atau tidak. Ini bermakna terdapat dua hasil secara keseluruhan dan tepat satu daripadanya peristiwa yang menarik minat kita berlaku. Menggunakan skema probabilistik klasik, kita mendapat jawapan 0.5." Adakah terdapat kesilapan dalam penaakulan ini? Sekali pandang, tidak. Walau bagaimanapun, ia masih wujud, dan secara asas. Ya, sememangnya, tiga sama ada akan muncul atau tidak, iaitu, dengan takrifan hasil lambungan N=2 ini. Ia juga benar bahawa N(A) = 1 dan, sudah tentu, adalah benar bahawa

=0.5, iaitu tiga mata skim kebarangkalian diambil kira, tetapi pelaksanaan mata 2) diragui. Sudah tentu, dari sudut pandangan undang-undang semata-mata, kami mempunyai hak untuk mempercayai bahawa bergolek tiga sama besarnya tidak akan jatuh. Tetapi bolehkah kita berfikir demikian tanpa melanggar andaian semula jadi kita tentang "kesamaan" tepi? Sudah tentu tidak! Di sini kita berurusan dengan penaakulan yang betul dalam model tertentu. Hanya model ini sendiri "salah", tidak sepadan dengan fenomena sebenar.

Nota 2. Apabila membincangkan kebarangkalian, jangan lupa tentang keadaan penting berikut. Jika kita katakan bahawa semasa melontar dadu, kebarangkalian untuk mendapat satu mata ialah

, ini tidak bermakna sama sekali dengan membaling dadu sebanyak 6 kali anda akan mendapat satu mata tepat sekali, dengan membaling dadu sebanyak 12 kali anda akan mendapat satu mata tepat dua kali, dengan membaling dadu sebanyak 18 kali anda akan mendapat satu mata tepat tiga. kali, dsb. Perkataan itu mungkin spekulatif. Kami menganggap apa yang paling mungkin berlaku. Mungkin jika kita membaling dadu 600 kali, satu mata akan naik 100 kali, atau kira-kira 100.

Mari kita lihat definisi klasik kebarangkalian menggunakan formula dan contoh.

Peristiwa rawak dipanggil tidak serasi, jika ia tidak boleh berlaku serentak. Sebagai contoh, apabila kita melemparkan syiling, satu perkara akan muncul - "jata" atau nombor, "dan mereka tidak boleh muncul pada masa yang sama, kerana adalah logik bahawa ini adalah mustahil. Acara seperti pukulan dan tersasar selepas pukulan mungkin tidak serasi.

Peristiwa rawak bentuk set terhingga kumpulan penuh peristiwa tidak serasi berpasangan, jika semasa setiap percubaan satu, dan hanya satu daripada peristiwa ini muncul - satu-satunya peristiwa yang mungkin.

Mari kita lihat contoh yang sama untuk melambung syiling:

Syiling pertama Peristiwa syiling kedua

1) "jata" "jata"

2) "jata" "nombor"

3) "nombor" "jata"

4) "nombor" "nombor"

Atau disingkatkan sebagai "GG", - "GC", - "CHG", - "CHCH".

Peristiwa itu dipanggil sama mungkin, jika keadaan penyelidikan memberikan peluang yang sama untuk setiap daripada mereka muncul.

Seperti yang anda faham, apabila anda melambung syiling simetri, maka ia mempunyai kemungkinan yang sama, dan ada kemungkinan kedua-dua "jata" dan "nombor" akan muncul. Perkara yang sama berlaku untuk melambung dadu simetri, kerana terdapat kemungkinan bahawa muka dengan mana-mana nombor 1, 2, 3, 4, 5, 6 mungkin muncul.

Katakan sekarang kita melemparkan kubus dengan pergeseran di pusat graviti, sebagai contoh, ke arah sisi dengan nombor 1, maka selalunya sisi yang bertentangan akan jatuh, iaitu sisi dengan nombor yang berbeza. Oleh itu, dalam model ini, kemungkinan kejadian untuk setiap nombor dari 1 hingga 6 akan berbeza.

Peristiwa rawak yang sama mungkin dan unik yang mungkin dipanggil kes.

Terdapat peristiwa rawak yang merupakan kes, dan terdapat peristiwa rawak yang bukan kes. Di bawah ini kita akan melihat peristiwa ini menggunakan contoh.

Kes-kes yang menyebabkan peristiwa rawak berlaku dipanggil kes yang menguntungkan untuk peristiwa itu.

Jika kita menandakan dengan , yang mempengaruhi peristiwa dalam semua kes yang mungkin, dan dengan - kebarangkalian peristiwa rawak, maka kita boleh menulis takrifan kebarangkalian klasik yang terkenal:

Definisi

Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan kes yang menguntungkan kepada peristiwa ini kepada jumlah bilangan semua kes yang mungkin, iaitu:

Sifat Kebarangkalian

Kebarangkalian klasik telah dipertimbangkan, dan sekarang mari kita lihat sifat asas dan penting kebarangkalian.

Harta 1. Kebarangkalian peristiwa yang boleh dipercayai adalah sama dengan satu.

Contohnya, jika semua bola dalam baldi berwarna putih, maka acara , memilih bola putih secara rawak, dipengaruhi oleh kes, .

Harta 2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Harta 3. Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif:

Ini bermakna kebarangkalian sebarang peristiwa memenuhi ketaksamaan:

Sekarang mari kita selesaikan beberapa contoh menggunakan definisi klasik kebarangkalian.

Contoh takrifan klasik kebarangkalian

Contoh 1

Tugasan

Terdapat 20 bola dalam bakul, di mana 10 daripadanya berwarna putih, 7 berwarna merah dan 3 bola berwarna hitam. Satu bola dipilih secara rawak. Bola putih (event), bola merah (event) dan bola hitam (event) dipilih. Cari kebarangkalian kejadian rawak.

Penyelesaian

Mengikut keadaan masalah, mereka menyumbang kepada , dan dari kemungkinan kes, oleh itu, mengikut formula (1):

– kebarangkalian bola putih.

Begitu juga untuk merah:

Dan untuk hitam: .

Jawab

Kebarangkalian kejadian rawak , , .

Contoh 2

Tugasan

Sebuah kotak mengandungi 25 lampu elektrik yang serupa, 2 daripadanya rosak. Cari kebarangkalian bahawa lampu elektrik yang dipilih secara rawak tidak rosak.

Penyelesaian

Mengikut keadaan masalah, semua lampu adalah sama dan hanya satu yang dipilih. Jumlah kemungkinan untuk dipilih. Di antara semua 25 lampu, dua rosak, yang bermaksud bahawa lampu yang tinggal adalah sesuai. Oleh itu, mengikut formula (1), kebarangkalian memilih lampu elektrik yang sesuai (peristiwa ) adalah sama dengan:

Jawab

Kebarangkalian lampu elektrik yang dipilih secara rawak tidak rosak = .

Contoh 3

Tugasan

Dua syiling dilambung secara rawak. Cari kebarangkalian kejadian sedemikian:

1) – lambang jatuh pada kedua-dua syiling;

2) – pada salah satu syiling jata jatuh, dan pada yang kedua – nombor;

3) - nombor jatuh pada kedua-dua syiling;

4) – jata muncul sekurang-kurangnya sekali.

Penyelesaian

Di sini kita berurusan dengan empat acara. Mari kita tentukan kes mana yang menyumbang kepada setiap kes tersebut. Satu insiden yang menyumbang kepada acara itu ialah apabila jata (disingkat "GG") muncul pada kedua-dua syiling.

Untuk memahami peristiwa itu, bayangkan bahawa satu syiling adalah perak dan yang kedua adalah tembaga. Apabila melambung syiling mungkin terdapat kes:

1) pada jata perak, pada jata tembaga - nombor (dilambangkan dengan "GC");

2) pada nombor perak, pada tembaga - jata (- "CHG").

Ini bermakna acara itu dipermudahkan oleh kes dan .

Acara ini difasilitasi oleh satu kejadian: nombor pada kedua-dua syiling ialah "HH".

Oleh itu, peristiwa atau (GG, HC, CG, HC) membentuk kumpulan acara yang lengkap, semua peristiwa ini tidak serasi, kerana hanya satu daripadanya berlaku akibat lambungan. Di samping itu, untuk syiling simetri, keempat-empat acara adalah sama mungkin, jadi ia boleh dianggap sebagai kes. Terdapat empat kemungkinan acara.

Terdapat hanya satu peristiwa yang menyumbang kepada acara tersebut, jadi kebarangkaliannya ialah:

Acara ini dipromosikan oleh dua kes, oleh itu:

Kebarangkalian kejadian adalah sama seperti untuk:

Acara ini dipromosikan oleh tiga kes: GG, GC, CG dan oleh itu:

Oleh kerana peristiwa GG, GC, CG, BC dipertimbangkan, yang sama mungkin dan mewujudkan kumpulan acara yang lengkap, maka kejadian mana-mana daripadanya adalah peristiwa yang boleh dipercayai (kami menandakannya dengan huruf, yang disumbangkan oleh semua 4 Oleh itu, kebarangkalian:

Ini bermakna bahawa sifat pertama kebarangkalian disahkan.

Jawab

Kebarangkalian sesuatu peristiwa.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa.

Contoh 4

Tugasan

Dua dadu dengan bentuk geometri yang sama dan sekata dilempar. Cari kebarangkalian semua kemungkinan jumlah pada kedua-dua belah yang muncul.

Penyelesaian

Untuk menjadikannya lebih mudah untuk menyelesaikan masalah, bayangkan bahawa satu kiub berwarna putih dan yang kedua adalah hitam. Setiap satu daripada enam sisi dadu putih juga boleh mempunyai satu daripada enam sisi dadu hitam, jadi semua pasangan yang mungkin akan menjadi .

Oleh kerana kemungkinan penampilan muka pada kiub berasingan adalah sama (kiub adalah bentuk geometri yang betul!), maka kemungkinan penampilan setiap pasangan muka akan sama, dan sebagai hasil daripada melambung, hanya satu pasangan yang muncul. Maksud acara itu tidak serasi, mungkin secara seragam. Ini adalah kes, dan terdapat 36 kes yang mungkin.

Sekarang mari kita pertimbangkan kemungkinan jumlah nilai pada muka. Jelas sekali, jumlah terkecil ialah 1 + 1 = 2, dan yang terbesar ialah 6 + 6 = 12. Bahagian selebihnya daripada jumlah itu bertambah satu, bermula dari yang kedua. Mari kita nyatakan peristiwa yang indeksnya sama dengan jumlah mata yang jatuh pada muka kubus. Untuk setiap peristiwa ini, kami menulis kes yang menguntungkan menggunakan tatatanda , di mana jumlahnya, ialah titik di tepi atas kubus putih, dan titik di tepi kubus hitam.

Jadi, untuk acara tersebut:

untuk – satu kes (1 + 1);

untuk – dua kes (1 + 2; 2 + 1);

untuk – tiga kes (1 + 3; 2 + 2; 3 + 1);

untuk – empat kes (1 + 4; 2 + 3; 3 + 2; 4 + 1);

untuk – lima kes (1 + 5; 2 + 4; 3 + 3; 4 + 2; 5 + 1);

untuk – enam kes (1 + 6; 2 + 5; 3 + 4; 4 + 3; 5 + 2; 6 + 1);

untuk – lima kes (2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2);

untuk – empat kes (3 + 6; 4 + 5; 5 + 4; 6 + 3);

untuk – tiga kes (4 + 6; 5 + 5; 6 + 4);

untuk – dua kes (5 + 6; 6 + 5);

untuk – satu kes (6 + 6).

Oleh itu nilai kebarangkalian adalah:

Jawab

Contoh 5

Tugasan

Sebelum perayaan, tiga peserta diminta membuat undian: setiap peserta menghampiri baldi dan memilih secara rawak satu daripada tiga kad dengan nombor 1, 2 dan 3, yang bermaksud nombor siri persembahan peserta ini.

Cari kebarangkalian kejadian sedemikian:

1) – nombor siri dalam baris gilir bertepatan dengan nombor kad, iaitu nombor siri prestasi;

2) – tiada satu pun nombor dalam baris gilir sepadan dengan nombor prestasi;

3) – hanya satu daripada nombor dalam baris gilir sepadan dengan nombor prestasi;

4) – sekurang-kurangnya satu daripada nombor dalam baris gilir sepadan dengan nombor prestasi.

Penyelesaian

Kemungkinan keputusan memilih kad ialah pilih atur tiga elemen, bilangan pilih atur tersebut adalah sama dengan . Setiap pilih atur adalah peristiwa. Mari kita nyatakan peristiwa ini dengan . Kami memberikan kepada setiap peristiwa pilih atur yang sepadan dalam kurungan:

; ; ; ; ; .

Peristiwa yang disenaraikan adalah sama mungkin dan unik, iaitu, ini adalah kes. Mari kita nyatakannya seperti berikut: (1j, 2j, 3j) – nombor yang sepadan dalam baris gilir.

Mari kita mulakan dengan acara itu. Oleh itu, hanya terdapat satu kes yang menguntungkan:

Dua kes adalah sesuai untuk acara itu dan, oleh itu:

Acara ini dipromosikan oleh 3 kes: , oleh itu:

Selain , acara ini turut difasilitasi oleh , iaitu:

Jawab

Kebarangkalian kejadian – ​​.

Kebarangkalian kejadian – ​​.

Kebarangkalian acara – dikemas kini: 15 September 2017 oleh: Artikel Saintifik.Ru

Masalah penentuan klasik kebarangkalian.
Contoh penyelesaian

Dalam pelajaran ketiga kita akan melihat pelbagai masalah yang melibatkan penggunaan langsung definisi klasik kebarangkalian. Untuk mengkaji bahan-bahan dalam artikel ini dengan berkesan, saya mengesyorkan agar anda membiasakan diri dengan konsep asas teori kebarangkalian Dan asas kombinatorik. Tugas menentukan kebarangkalian secara klasik dengan kebarangkalian cenderung kepada satu akan ada dalam kerja bebas/kawalan anda pada terver, jadi mari kita bersedia untuk kerja yang serius. Anda mungkin bertanya, apa yang serius tentang ini? ... hanya satu formula primitif. Saya memberi amaran kepada anda tentang kesembronoan - tugas tematik agak pelbagai, dan kebanyakannya boleh mengelirukan anda dengan mudah. Dalam hal ini, sebagai tambahan untuk mengerjakan pelajaran utama, cuba pelajari tugas tambahan mengenai topik yang ada di celengan. penyelesaian siap sedia untuk matematik yang lebih tinggi. Teknik penyelesaian adalah teknik penyelesaian, tetapi "kawan" masih "perlu dikenali dengan penglihatan," kerana imaginasi yang kaya pun terhad dan terdapat juga tugas standard yang mencukupi. Baiklah, saya akan cuba menyelesaikan seberapa banyak yang mungkin dalam kualiti yang baik.

Mari kita ingat genre klasik:

Kebarangkalian kejadian berlaku dalam ujian tertentu adalah sama dengan nisbah , di mana:

– jumlah bilangan semua sama mungkin, rendah hasil ujian ini, yang membentuk kumpulan penuh acara;

- kuantiti rendah hasil yang menggalakkan untuk acara tersebut.

Dan segera hentian pit serta-merta. Adakah anda faham istilah yang digariskan? Ini bermakna pemahaman yang jelas, bukan intuitif. Jika tidak, maka lebih baik untuk kembali ke artikel pertama tentang teori kebarangkalian dan hanya selepas itu teruskan.

Tolong jangan melangkau contoh pertama - di dalamnya saya akan mengulangi satu perkara asas yang penting, dan juga memberitahu anda cara memformat penyelesaian dengan betul dan dengan cara apa ini boleh dilakukan:

Masalah 1

Sebuah guci mengandungi 15 bola putih, 5 merah dan 10 bola hitam. 1 bola dilukis secara rawak, cari kebarangkalian bahawa ia akan menjadi: a) putih, b) merah, c) hitam.

Penyelesaian: Prasyarat yang paling penting untuk menggunakan definisi klasik kebarangkalian ialah keupayaan untuk mengira jumlah bilangan hasil.

Terdapat sejumlah 15 + 5 + 10 = 30 bola dalam urn, dan jelas fakta berikut adalah benar:

– mendapatkan semula mana-mana bola adalah sama mungkin (peluang sama rata hasil), manakala hasil rendah dan bentuk kumpulan penuh acara (iaitu, hasil daripada ujian, salah satu daripada 30 bola pasti akan dikeluarkan).

Oleh itu, jumlah bilangan hasil:

Pertimbangkan acara itu: – bola putih akan diambil dari tempayan. Acara ini digemari rendah hasil, oleh itu, mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian bahawa sebiji bola putih akan diambil dari urn.

Anehnya, walaupun dalam tugas yang begitu mudah seseorang boleh membuat ketidaktepatan yang serius, yang telah saya fokuskan dalam artikel pertama tentang teori kebarangkalian. Di manakah perangkap di sini? Adalah tidak betul untuk berhujah di sini “Oleh kerana separuh bola berwarna putih, maka kebarangkalian untuk menarik bola putih» . Takrif klasik kebarangkalian merujuk kepada ELEMENTARY hasil, dan pecahan mesti ditulis!

Dengan perkara lain, begitu juga, pertimbangkan peristiwa berikut:

– bola merah akan diambil dari balang;
– sebiji bola hitam akan diambil dari urn.

Satu acara digemari oleh 5 hasil asas, dan satu acara digemari oleh 10 hasil asas. Jadi kebarangkalian yang sepadan ialah:

Pemeriksaan biasa bagi banyak tugas pelayan dijalankan menggunakan teorem tentang jumlah kebarangkalian kejadian membentuk kumpulan lengkap. Dalam kes kami, peristiwa membentuk kumpulan lengkap, yang bermaksud jumlah kebarangkalian yang sepadan semestinya sama dengan satu: .

Mari semak sama ada ini benar: itulah yang saya ingin pastikan.

Jawab:

Pada dasarnya, jawapannya boleh ditulis dengan lebih terperinci, tetapi secara peribadi, saya biasa meletakkan hanya nombor di sana - atas sebab apabila anda mula "menghapuskan" masalah dalam ratusan dan ribuan, anda cuba mengurangkan penulisan penyelesaiannya sebaik mungkin. Ngomong-ngomong, tentang singkatnya: dalam praktiknya, pilihan reka bentuk "kelajuan tinggi" adalah perkara biasa penyelesaian:

Jumlah: 15 + 5 + 10 = 30 bola dalam urn. Mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian bahawa bola putih akan diambil dari urn;
– kebarangkalian bahawa bola merah akan diambil dari urn;
– kebarangkalian bahawa sebiji bola hitam akan diambil dari urn.

Jawab:

Walau bagaimanapun, jika terdapat beberapa perkara dalam keadaan, maka selalunya lebih mudah untuk merumuskan penyelesaian dengan cara pertama, yang mengambil sedikit masa lagi, tetapi pada masa yang sama "meletakkan segala-galanya di rak" dan menjadikannya lebih mudah untuk menavigasi masalah.

Mari memanaskan badan:

Masalah 2

Kedai itu menerima 30 peti sejuk, lima daripadanya mempunyai kecacatan pembuatan. Satu peti sejuk dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa ia akan menjadi tanpa kecacatan?

Pilih pilihan reka bentuk yang sesuai dan semak sampel di bahagian bawah halaman.

Dalam contoh paling mudah, bilangan biasa dan bilangan hasil yang menggalakkan terletak di permukaan, tetapi dalam kebanyakan kes anda perlu menggali kentang sendiri. Satu siri masalah kanonik mengenai pelanggan yang pelupa:

Masalah 3

Apabila mendail nombor telefon, pelanggan terlupa dua digit terakhir, tetapi ingat bahawa satu daripadanya adalah sifar dan satu lagi adalah ganjil. Cari kebarangkalian bahawa dia akan mendail nombor yang betul.

Catatan : sifar ialah nombor genap (boleh dibahagi dengan 2 tanpa baki)

Penyelesaian: Mula-mula kita mencari jumlah bilangan hasil. Dengan syarat, pelanggan ingat bahawa salah satu digit adalah sifar, dan digit yang lain adalah ganjil. Di sini adalah lebih rasional untuk tidak rumit dengan kombinatorik dan penggunaan kaedah penyenaraian langsung hasil . Iaitu, apabila membuat penyelesaian, kami hanya menulis semua kombinasi:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Dan kami mengira mereka - secara keseluruhan: 10 hasil.

Terdapat hanya satu hasil yang menggalakkan: nombor yang betul.

Mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian bahawa pelanggan akan mendail nombor yang betul

Jawab: 0,1

Pecahan perpuluhan kelihatan agak sesuai dalam teori kebarangkalian, tetapi anda juga boleh mematuhi gaya Vyshmatov tradisional, beroperasi hanya dengan pecahan biasa.

Tugas lanjutan untuk penyelesaian bebas:

Masalah 4

Pelanggan telah terlupa kod PIN untuk kad SIMnya, tetapi ingat bahawa ia mengandungi tiga "lima", dan salah satu daripada nombor itu sama ada "tujuh" atau "lapan". Apakah kebarangkalian kebenaran yang berjaya pada percubaan pertama?

Di sini anda juga boleh membangunkan idea kemungkinan bahawa pelanggan akan menghadapi hukuman dalam bentuk kod puk, tetapi, malangnya, alasan akan melampaui skop pelajaran ini

Penyelesaian dan jawapannya ada di bawah.

Kadangkala kombinasi penyenaraian ternyata menjadi tugas yang sangat teliti. Khususnya, ini adalah kes dalam kumpulan masalah seterusnya, tidak kurang popular, di mana 2 dadu dilemparkan (kurang kerap - kuantiti yang lebih besar):

Masalah 5

Cari kebarangkalian bahawa apabila membaling dua dadu jumlah nombor ialah:

a) lima mata;
b) tidak lebih daripada empat mata;
c) daripada 3 hingga 9 mata termasuk.

Penyelesaian: cari jumlah bilangan hasil:

Cara sebelah 1st die boleh gugur Dan dengan cara yang berbeza sisi kubus ke-2 boleh jatuh; Oleh peraturan untuk mendarab gabungan, Jumlah: kombinasi yang mungkin. Dalam kata lain, setiap satu muka 1st cube boleh mengarahkan beberapa dengan masing-masing tepi kubus ke-2. Marilah kita bersetuju untuk menulis pasangan sedemikian dalam bentuk , di manakah nombor yang digulung pada dadu pertama, ialah nombor yang digulung pada dadu ke-2. Sebagai contoh:

– dadu pertama mendapat 3 mata, dadu kedua mendapat 5 mata, jumlah mata: 3 + 5 = 8;
– dadu pertama mendapat 6 mata, dadu kedua mendapat 1 mata, jumlah mata: 6 + 1 = 7;
– 2 mata dilempar pada kedua-dua dadu, jumlah: 2 + 2 = 4.

Jelas sekali, jumlah terkecil diberikan oleh sepasang, dan yang terbesar oleh dua "enam".

a) Pertimbangkan acara: – apabila membaling dua dadu, 5 mata akan muncul. Mari tulis dan hitung bilangan hasil yang memihak kepada acara ini:

Jumlah: 4 hasil yang menggalakkan. Mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian yang diingini.

b) Pertimbangkan acara: – tidak lebih daripada 4 mata akan digulung. Iaitu, sama ada 2, atau 3, atau 4 mata. Sekali lagi kami menyenaraikan dan mengira kombinasi yang menguntungkan, di sebelah kiri saya akan menulis jumlah mata, dan selepas titik bertindih - pasangan yang sesuai:

Jumlah: 6 kombinasi yang menggalakkan. Oleh itu:
– kebarangkalian bahawa tidak lebih daripada 4 mata akan digulung.

c) Pertimbangkan acara: – 3 hingga 9 mata akan dilancarkan, termasuk. Di sini anda boleh mengambil jalan lurus, tetapi... atas sebab tertentu anda tidak mahu. Ya, beberapa pasangan telah disenaraikan dalam perenggan sebelumnya, tetapi masih banyak kerja yang perlu dilakukan.

Apakah cara terbaik untuk meneruskan? Dalam kes sedemikian, laluan bulatan ternyata rasional. Mari kita pertimbangkan peristiwa bertentangan: – 2 atau 10 atau 11 atau 12 mata akan dilancarkan.

Apa gunanya? Peristiwa sebaliknya digemari oleh bilangan pasangan yang jauh lebih kecil:

Jumlah: 7 hasil yang menggalakkan.

Mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian bahawa anda akan melancarkan kurang daripada tiga atau lebih daripada 9 mata.

Selain penyenaraian langsung dan pengiraan hasil, pelbagai formula gabungan. Dan sekali lagi masalah epik mengenai lif:

Masalah 7

3 orang memasuki lif bangunan 20 tingkat di tingkat satu. Dan mari kita pergi. Cari kebarangkalian bahawa:

a) mereka akan keluar di tingkat yang berbeza
b) dua akan keluar di tingkat yang sama;
c) semua orang akan turun di tingkat yang sama.

Pelajaran menarik kami telah berakhir, dan akhirnya, saya sekali lagi sangat mengesyorkan bahawa jika tidak menyelesaikan, maka sekurang-kurangnya fikirkan masalah tambahan pada penentuan klasik kebarangkalian. Seperti yang telah saya nyatakan, "lapik tangan" juga penting!

Selanjutnya sepanjang kursus - Takrif geometri kebarangkalian Dan Teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian dan... nasib dalam perkara utama!

Penyelesaian dan Jawapan:

Tugasan 2: Penyelesaian: 30 – 5 = 25 peti sejuk tiada kecacatan.

– kebarangkalian peti sejuk yang dipilih secara rawak tidak mempunyai kecacatan.
Jawab :

Tugasan 4: Penyelesaian: cari jumlah bilangan hasil:
cara anda boleh memilih tempat di mana nombor yang diragui terletak dan pada setiap Daripada 4 tempat ini, 2 digit (tujuh atau lapan) boleh didapati. Mengikut peraturan pendaraban gabungan, jumlah bilangan hasil: .
Sebagai alternatif, penyelesaiannya hanya boleh menyenaraikan semua hasil (nasib baik terdapat beberapa daripadanya):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Terdapat hanya satu hasil yang menggalakkan (kod pin yang betul).
Oleh itu, menurut definisi klasik:
– kebarangkalian bahawa pelanggan log masuk pada percubaan pertama
Jawab :

Tugasan 6: Penyelesaian: cari jumlah bilangan hasil:
nombor pada 2 dadu boleh muncul dalam cara yang berbeza.

a) Pertimbangkan peristiwa: – apabila membaling dua dadu, hasil darab mata akan bersamaan dengan tujuh. Tiada hasil yang menggalakkan untuk peristiwa tertentu, mengikut takrifan klasik kebarangkalian:
, iaitu peristiwa ini adalah mustahil.

b) Pertimbangkan acara: – apabila membaling dua dadu, hasil darab mata akan menjadi sekurang-kurangnya 20. Keputusan berikut adalah baik untuk acara ini:

Jumlah: 8
Mengikut definisi klasik:
– kebarangkalian yang diingini.

c) Pertimbangkan peristiwa yang bertentangan:
– hasil darab mata akan menjadi genap;
– hasil darab mata akan menjadi ganjil.
Mari kita senaraikan semua hasil yang menguntungkan acara itu:

Jumlah: 9 hasil yang menggalakkan.
Mengikut takrifan klasik kebarangkalian:
Peristiwa bertentangan membentuk kumpulan yang lengkap, oleh itu:
– kebarangkalian yang diingini.

Jawab :

Masalah 8: Penyelesaian: mari kita hitung jumlah bilangan hasil: 10 syiling boleh jatuh dengan cara yang berbeza.
Cara lain: cara syiling pertama boleh jatuh Dan cara syiling ke-2 boleh jatuh Dan … Dan cara syiling ke-10 boleh jatuh. Mengikut peraturan gabungan darab, 10 syiling boleh jatuh cara.
a) Pertimbangkan acara: – kepala akan muncul pada semua syiling. Peristiwa ini digemari oleh hasil tunggal, mengikut takrifan klasik kebarangkalian: .
b) Pertimbangkan peristiwa: – 9 syiling akan mendarat kepala, dan satu syiling akan mendarat ekor.
Terdapat syiling yang boleh hinggap di kepala. Mengikut takrifan klasik kebarangkalian: .
c) Pertimbangkan peristiwa: – kepala akan muncul pada separuh daripada syiling.
wujud gabungan unik lima syiling yang boleh mendarat. Menurut definisi klasik kebarangkalian:
Jawab :