Apa itu nok nombor. Bagaimana untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan masalah berikut. Langkah lelaki ialah 75 cm, dan langkah perempuan ialah 60 cm. Ia adalah perlu untuk mencari jarak terkecil di mana mereka berdua mengambil nombor integer langkah.

Penyelesaian. Keseluruhan laluan yang akan dilalui oleh kanak-kanak mesti boleh dibahagi dengan 60 dan 70, kerana mereka masing-masing mesti mengambil nombor integer langkah. Dalam erti kata lain, jawapan mestilah gandaan kedua-dua 75 dan 60.

Pertama, kami akan menulis semua gandaan nombor 75. Kami mendapat:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Sekarang mari kita tulis nombor yang akan menjadi gandaan 60. Kita dapat:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sekarang kita dapati nombor yang berada dalam kedua-dua baris.

• Gandaan sepunya nombor ialah 300, 600, dsb.

Yang terkecil daripada mereka ialah nombor 300. Dalam kes ini, ia akan dipanggil gandaan sepunya terkecil bagi nombor 75 dan 60.

Berbalik kepada keadaan masalah, jarak terkecil di mana lelaki akan mengambil nombor integer langkah ialah 300 cm. Lelaki itu akan menempuh laluan ini dalam 4 langkah, dan gadis itu perlu mengambil 5 langkah.

Menentukan Gandaan Sepunya Terkecil

• Gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor asli a dan b ialah nombor asli terkecil yang merupakan gandaan kedua-dua a dan b.

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor, tidak perlu menulis semua gandaan nombor ini berturut-turut.

Anda boleh menggunakan kaedah berikut.

Cara mencari gandaan sepunya terkecil

Mula-mula anda perlu memfaktorkan nombor ini ke dalam faktor perdana.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Sekarang mari kita tulis semua faktor yang berada dalam pengembangan nombor pertama (2,2,3,5) dan tambahkan padanya semua faktor yang hilang daripada pengembangan nombor kedua (5).

Hasilnya, kita mendapat satu siri nombor perdana: 2,2,3,5,5. Hasil darab nombor ini akan menjadi faktor paling kurang sepunya untuk nombor ini. 2*2*3*5*5 = 300.

Skim am untuk mencari gandaan sepunya terkecil

• 1. Bahagikan nombor kepada faktor perdana.
• 2. Tuliskan faktor perdana yang merupakan sebahagian daripada salah satu daripadanya.
• 3. Tambahkan pada faktor-faktor ini semua yang berada dalam pengembangan yang lain, tetapi tidak dalam faktor yang dipilih.
• 4. Cari hasil darab semua faktor bertulis.

Kaedah ini adalah universal. Ia boleh digunakan untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi sebarang bilangan nombor asli.

Gandaan ialah nombor yang boleh dibahagi dengan nombor tertentu tanpa baki. Gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi kumpulan nombor ialah nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan setiap nombor dalam kumpulan tanpa meninggalkan baki. Untuk mencari gandaan sepunya terkecil, anda perlu mencari faktor perdana bagi nombor yang diberi. LCM juga boleh dikira menggunakan beberapa kaedah lain yang digunakan untuk kumpulan dua atau lebih nombor.

Langkah-langkah

Siri gandaan

Lihatlah nombor ini. Kaedah yang diterangkan di sini paling baik digunakan apabila diberi dua nombor, setiap satunya kurang daripada 10. Jika nombor yang lebih besar diberikan, gunakan kaedah yang berbeza.

• Sebagai contoh, cari gandaan sepunya terkecil bagi 5 dan 8. Ini adalah nombor kecil, jadi anda boleh menggunakan kaedah ini.

1. Gandaan ialah nombor yang boleh dibahagi dengan nombor tertentu tanpa baki. Gandaan boleh didapati dalam jadual pendaraban.

   • Contohnya, nombor gandaan 5 ialah: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Tulis satu siri nombor yang merupakan gandaan nombor pertama. Lakukan ini di bawah gandaan nombor pertama untuk membandingkan dua set nombor.

   • Sebagai contoh, nombor gandaan 8 ialah: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, dan 64.

3. Cari nombor terkecil yang terdapat dalam kedua-dua set gandaan. Anda mungkin perlu menulis siri gandaan yang panjang untuk mencari jumlah nombor. Nombor terkecil yang terdapat dalam kedua-dua set gandaan ialah gandaan sepunya terkecil.

   • Sebagai contoh, nombor terkecil yang muncul dalam siri gandaan 5 dan 8 ialah nombor 40. Oleh itu, 40 ialah gandaan sepunya terkecil bagi 5 dan 8.

   Pemfaktoran perdana

   1. Lihatlah nombor ini. Kaedah yang diterangkan di sini paling sesuai digunakan apabila diberi dua nombor, setiap satunya lebih besar daripada 10. Jika nombor yang lebih kecil diberikan, gunakan kaedah yang berbeza.

      • Sebagai contoh, cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 20 dan 84. Setiap nombor lebih besar daripada 10, jadi anda boleh menggunakan kaedah ini.

   2. Faktorkan nombor pertama kepada faktor perdana. Iaitu, anda perlu mencari nombor perdana sedemikian yang, apabila didarab, akan menghasilkan nombor tertentu. Setelah anda menemui faktor utama, tuliskannya sebagai kesamaan.

      • Sebagai contoh, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) Dan 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Oleh itu, faktor perdana bagi nombor 20 ialah nombor 2, 2 dan 5. Tuliskannya sebagai ungkapan: .

   3. Faktorkan nombor kedua kepada faktor perdana. Lakukan ini dengan cara yang sama seperti anda memfaktorkan nombor pertama, iaitu, mencari nombor perdana yang, apabila didarab, akan menghasilkan nombor yang diberikan.

      • Sebagai contoh, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) Dan 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Oleh itu, faktor perdana bagi nombor 84 ialah nombor 2, 7, 3 dan 2. Tuliskannya sebagai ungkapan: .

   4. Tuliskan faktor sepunya bagi kedua-dua nombor. Tulis faktor tersebut sebagai operasi darab. Semasa anda menulis setiap faktor, pangkah dalam kedua-dua ungkapan (ungkapan yang menerangkan pemfaktoran nombor kepada faktor perdana).

      • Sebagai contoh, kedua-dua nombor mempunyai faktor sepunya 2, jadi tulis 2 × (\displaystyle 2\times ) dan potong 2 dalam kedua-dua ungkapan.
      • Persamaan kedua-dua nombor ialah satu lagi faktor 2, jadi tulis 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) dan potong 2 kedua dalam kedua-dua ungkapan.

   5. Tambahkan baki faktor pada operasi pendaraban. Ini adalah faktor yang tidak dicoret dalam kedua-dua ungkapan, iaitu faktor yang tidak lazim bagi kedua-dua nombor.

      • Sebagai contoh, dalam ungkapan 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Kedua-dua (2) dicoret kerana ia adalah faktor sepunya. Faktor 5 tidak dicoret, jadi tulis operasi pendaraban seperti ini: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Dalam ungkapan 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\kali 7\kali 3\kali 2) kedua-dua dua (2) juga dicoret. Faktor 7 dan 3 tidak dicoret, jadi tulis operasi pendaraban seperti ini: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Kira gandaan sepunya terkecil. Untuk melakukan ini, darabkan nombor dalam operasi pendaraban bertulis.

      • Sebagai contoh, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\gaya paparan 2\kali 2\kali 5\kali 7\kali 3=420). Jadi gandaan sepunya terkecil bagi 20 dan 84 ialah 420.

   Mencari faktor sepunya

   1. Lukis grid seperti untuk permainan tic-tac-toe. Grid sedemikian terdiri daripada dua garis selari yang bersilang (pada sudut tepat) dengan dua garis selari yang lain. Ini akan memberi anda tiga baris dan tiga lajur (grid kelihatan seperti ikon #). Tulis nombor pertama pada baris pertama dan lajur kedua. Tulis nombor kedua di baris pertama dan lajur ketiga.

      • Sebagai contoh, cari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 18 dan 30. Tulis nombor 18 pada baris pertama dan lajur kedua, dan tulis nombor 30 pada baris pertama dan lajur ketiga.

   2. Cari pembahagi sepunya bagi kedua-dua nombor. Tuliskannya di baris pertama dan lajur pertama. Adalah lebih baik untuk mencari faktor utama, tetapi ini bukan satu keperluan.

      • Contohnya, 18 dan 30 ialah nombor genap, jadi faktor sepunya ialah 2. Jadi tulis 2 di baris pertama dan lajur pertama.

   3. Bahagikan setiap nombor dengan pembahagi pertama. Tulis setiap hasil bahagi di bawah nombor yang sesuai. Hasil bahagi ialah hasil pembahagian dua nombor.

      • Sebagai contoh, 18 ÷ 2 = 9 (\gaya paparan 18\div 2=9), jadi tulis 9 di bawah 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), jadi tulis 15 di bawah 30.

   4. Cari pembahagi sepunya bagi kedua-dua hasil bahagi. Jika tiada pembahagi sedemikian, langkau dua langkah seterusnya. Jika tidak, tulis pembahagi di baris kedua dan lajur pertama.

      • Sebagai contoh, 9 dan 15 boleh dibahagikan dengan 3, jadi tulis 3 di baris kedua dan lajur pertama.

   5. Bahagikan setiap hasil bahagi dengan pembahagi kedua. Tulis setiap hasil pembahagian di bawah hasil bahagi yang sepadan.

      • Sebagai contoh, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), jadi tulis 3 di bawah 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\gaya paparan 15\div 3=5), jadi tulis 5 di bawah 15.

   6. Jika perlu, tambahkan sel tambahan pada grid. Ulangi langkah yang diterangkan sehingga hasil bahagi mempunyai pembahagi sepunya.

   7. Bulatkan nombor dalam lajur pertama dan baris terakhir grid. Kemudian tulis nombor yang dipilih sebagai operasi darab.

      • Sebagai contoh, nombor 2 dan 3 berada di lajur pertama, dan nombor 3 dan 5 berada di baris terakhir, jadi tulis operasi pendaraban seperti ini: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Cari hasil darab nombor. Ini akan mengira gandaan sepunya terkecil bagi dua nombor yang diberikan.

      • Sebagai contoh, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Jadi gandaan sepunya terkecil bagi 18 dan 30 ialah 90.

   Algoritma Euclid

   1. Ingat istilah yang dikaitkan dengan operasi bahagi. Dividen ialah nombor yang dibahagi. Pembahagi ialah nombor yang dibahagi dengan. Hasil bahagi ialah hasil pembahagian dua nombor. Baki ialah nombor yang tinggal apabila dua nombor dibahagikan.

      • Sebagai contoh, dalam ungkapan 15 ÷ 6 = 2 (\gaya paparan 15\div 6=2) ost. 3:
        15 adalah dividen
        6 ialah pembahagi
        2 ialah hasil bagi
        3 ialah baki.

Pembahagi sepunya terbesar dan gandaan sepunya terkecil ialah konsep aritmetik utama yang menjadikan kerja dengan pecahan menjadi mudah. LCM dan paling kerap digunakan untuk mencari penyebut sepunya beberapa pecahan.

Konsep asas

Pembahagi bagi integer X ialah satu lagi integer Y yang mana X dibahagikan tanpa meninggalkan baki. Sebagai contoh, pembahagi bagi 4 ialah 2, dan 36 ialah 4, 6, 9. Gandaan bagi integer X ialah nombor Y yang boleh dibahagi dengan X tanpa baki. Sebagai contoh, 3 ialah gandaan 15, dan 6 ialah gandaan 12.

Untuk mana-mana pasangan nombor, kita boleh mencari pembahagi dan gandaan sepunya mereka. Sebagai contoh, untuk 6 dan 9, gandaan sepunya ialah 18, dan pembahagi sepunya ialah 3. Jelas sekali, pasangan boleh mempunyai beberapa pembahagi dan gandaan, jadi pengiraan menggunakan GCD pembahagi terbesar dan LCM berbilang terkecil.

Pembahagi terkecil tidak bermakna, kerana untuk sebarang nombor ia sentiasa satu. Gandaan terbesar juga tidak bermakna, kerana urutan gandaan pergi ke infiniti.

Mencari gcd

Terdapat banyak kaedah untuk mencari pembahagi sepunya terbesar, yang paling terkenal ialah:

• carian pembahagi berurutan, pemilihan pembahagi biasa untuk sepasang dan cari pembahagi terbesar;
• penguraian nombor kepada faktor yang tidak boleh dibahagikan;
• Algoritma Euclidean;
• algoritma binari.

Hari ini di institusi pendidikan kaedah yang paling popular ialah penguraian kepada faktor utama dan algoritma Euclidean. Yang terakhir, seterusnya, digunakan apabila menyelesaikan persamaan Diophantine: mencari GCD diperlukan untuk menyemak persamaan untuk kemungkinan resolusi dalam integer.

Mencari NOC

Gandaan sepunya terkecil juga ditentukan oleh carian berjujukan atau penguraian kepada faktor yang tidak boleh dibahagikan. Di samping itu, adalah mudah untuk mencari LCM jika pembahagi terbesar telah ditentukan. Untuk nombor X dan Y, LCM dan GCD dikaitkan dengan hubungan berikut:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Sebagai contoh, jika GCM(15,18) = 3, maka LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Contoh paling jelas penggunaan LCM ialah mencari penyebut sepunya, iaitu gandaan sepunya terkecil bagi pecahan yang diberi.

Nombor koprima

Jika sepasang nombor tidak mempunyai pembahagi sepunya, maka pasangan sedemikian dipanggil coprime. Gcd untuk pasangan sedemikian sentiasa sama dengan satu, dan berdasarkan hubungan antara pembahagi dan gandaan, gcd untuk pasangan coprime adalah sama dengan hasil darabnya. Sebagai contoh, nombor 25 dan 28 adalah relatif perdana, kerana mereka tidak mempunyai pembahagi sepunya, dan LCM(25, 28) = 700, yang sepadan dengan hasil darabnya. Mana-mana dua nombor tidak boleh dibahagikan akan sentiasa menjadi perdana secara relatif.

Pembahagi biasa dan kalkulator berbilang

Menggunakan kalkulator kami, anda boleh mengira GCD dan LCM untuk nombor sewenang-wenangnya untuk dipilih. Tugas untuk mengira pembahagi dan gandaan sepunya terdapat dalam aritmetik gred 5 dan 6, tetapi GCD dan LCM ialah konsep utama dalam matematik dan digunakan dalam teori nombor, planimetri dan algebra komunikatif.

Contoh kehidupan sebenar

Penyebut sepunya bagi pecahan

Gandaan sepunya terkecil digunakan apabila mencari penyebut sepunya bagi pecahan berbilang. Katakan dalam masalah aritmetik anda perlu menjumlahkan 5 pecahan:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Untuk menambah pecahan, ungkapan mesti dikurangkan kepada penyebut biasa, yang mengurangkan kepada masalah mencari LCM. Untuk melakukan ini, pilih 5 nombor dalam kalkulator dan masukkan nilai penyebut dalam sel yang sesuai. Program ini akan mengira LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sekarang anda perlu mengira faktor tambahan untuk setiap pecahan, yang ditakrifkan sebagai nisbah LCM kepada penyebut. Jadi pengganda tambahan akan kelihatan seperti:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Selepas ini, kita darabkan semua pecahan dengan faktor tambahan yang sepadan dan dapatkan:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Kita boleh menjumlahkan pecahan tersebut dengan mudah dan mendapatkan hasilnya sebagai 159/360. Kami mengurangkan pecahan sebanyak 3 dan melihat jawapan akhir - 53/120.

Menyelesaikan persamaan Diophantine linear

Persamaan Diophantine Linear ialah ungkapan bentuk ax + by = d. Jika nisbah d / gcd(a, b) ialah integer, maka persamaan itu boleh diselesaikan dalam integer. Mari kita semak beberapa persamaan untuk melihat sama ada ia mempunyai penyelesaian integer. Mula-mula, mari kita semak persamaan 150x + 8y = 37. Dengan menggunakan kalkulator, kita dapati GCD (150.8) = 2. Bahagi 37/2 = 18.5. Nombor itu bukan integer, oleh itu persamaan tidak mempunyai punca integer.

Mari kita semak persamaan 1320x + 1760y = 10120. Gunakan kalkulator untuk mencari GCD(1320, 1760) = 440. Bahagikan 10120/440 = 23. Akibatnya, kita mendapat integer, oleh itu, persamaan kosolvensi Diophantine dalam ialah .

Kesimpulan

GCD dan LCM memainkan peranan besar dalam teori nombor, dan konsep itu sendiri digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang matematik. Gunakan kalkulator kami untuk mengira pembahagi terbesar dan gandaan terkecil bagi sebarang nombor.

Nombor kedua: b=

Pemisah seribu Tanpa pemisah ruang "´

Keputusan:

gcd pembahagi sepunya terbesar( a,b)=6

Gandaan sepunya terkecil LCM( a,b)=468

Nombor asli terbesar yang boleh dibahagikan tanpa baki dengan nombor a dan b dipanggil pembahagi sepunya terbesar(GCD) nombor ini. Ditandakan dengan gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) atau hcf(a,b).

Gandaan sepunya terkecil KPK bagi dua integer a dan b ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan a dan b tanpa baki. Ditandakan LCM(a,b), atau lcm(a,b).

Integer a dan b dipanggil saling perdana, jika mereka tidak mempunyai pembahagi sepunya selain daripada +1 dan −1.

Pembahagi sepunya terbesar

Biarkan dua nombor positif diberi a 1 dan a 2 1). Ia diperlukan untuk mencari pembahagi sepunya nombor ini, i.e. cari nombor sedemikian λ , yang membahagi nombor a 1 dan a 2 pada masa yang sama. Mari kita terangkan algoritma.

1) Dalam artikel ini, perkataan nombor akan difahami sebagai integer.

biarlah a 1 ≥ a 2 dan biarkan

di mana m 1 , a 3 ialah beberapa integer, a 3 <a 2 (baki bahagian a 1 setiap a 2 sepatutnya kurang a 2).

Mari kita berpura-pura itu λ membahagikan a 1 dan a 2 kemudian λ membahagikan m 1 a 2 dan λ membahagikan a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Pernyataan 2 artikel "Kebolehbahagiaan nombor. Ujian kebolehbahagiaan"). Ia berikutan bahawa setiap pembahagi biasa a 1 dan a 2 ialah pembahagi biasa a 2 dan a 3. Begitu juga sebaliknya jika λ pembahagi biasa a 2 dan a 3 kemudian m 1 a 2 dan a 1 =m 1 a 2 +a 3 juga boleh dibahagikan dengan λ . Oleh itu pembahagi biasa a 2 dan a 3 juga merupakan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 3 <a 2 ≤a 1, maka kita boleh mengatakan bahawa penyelesaian kepada masalah mencari pembahagi sepunya nombor a 1 dan a 2 dikurangkan kepada masalah yang lebih mudah untuk mencari pembahagi sepunya nombor a 2 dan a 3 .

Jika a 3 ≠0, maka kita boleh bahagi a 2 setiap a 3. Kemudian

,

di mana m 1 dan a 4 ialah beberapa integer, ( a 4 baki daripada bahagian a 2 setiap a 3 (a 4 <a 3)). Dengan alasan yang sama kita sampai pada kesimpulan bahawa pembahagi sepunya nombor a 3 dan a 4 bertepatan dengan pembahagi sepunya nombor a 2 dan a 3, dan juga dengan pembahagi biasa a 1 dan a 2. Kerana a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... ialah nombor yang sentiasa berkurangan, dan kerana terdapat bilangan integer terhingga antara a 2 dan 0, kemudian pada beberapa langkah n, baki bahagian a n pada a n+1 akan sama dengan sifar ( a n+2 =0).

.

Setiap pembahagi biasa λ nombor a 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor a 2 dan a 3 , a 3 dan a 4 , .... a n dan a n+1 . Sebaliknya juga benar, pembahagi biasa nombor a n dan a n+1 juga pembahagi nombor a n−1 dan a n , .... , a 2 dan a 3 , a 1 dan a 2. Tetapi pembahagi biasa nombor a n dan a n+1 ialah nombor a n+1 , kerana a n dan a n+1 boleh dibahagikan dengan a n+1 (ingat itu a n+2 =0). Oleh itu a n+1 juga merupakan pembahagi nombor a 1 dan a 2 .

Perhatikan bahawa nombor a n+1 ialah pembahagi nombor terbesar a n dan a n+1 , sejak pembahagi terbesar a n+1 ialah dirinya sendiri a n+1 . Jika a n+1 boleh diwakili sebagai hasil darab integer, maka nombor ini juga pembahagi biasa nombor a 1 dan a 2. Nombor a n+1 dipanggil pembahagi sepunya terbesar nombor a 1 dan a 2 .

Nombor a 1 dan a 2 boleh sama ada nombor positif atau negatif. Jika salah satu nombor adalah sama dengan sifar, maka pembahagi sepunya terbesar bagi nombor ini akan sama dengan nilai mutlak nombor lain. Pembahagi sepunya terbesar bagi nombor sifar tidak ditentukan.

Algoritma di atas dipanggil Algoritma Euclidean untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua integer.

Contoh mencari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor

Cari pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor 630 dan 434.

• Langkah 1. Bahagikan nombor 630 dengan 434. Bakinya ialah 196.
• Langkah 2. Bahagikan nombor 434 dengan 196. Bakinya ialah 42.
• Langkah 3. Bahagikan nombor 196 dengan 42. Bakinya ialah 28.
• Langkah 4. Bahagikan nombor 42 dengan 28. Bakinya ialah 14.
• Langkah 5. Bahagikan nombor 28 dengan 14. Bakinya ialah 0.

Dalam langkah 5, baki pembahagian ialah 0. Oleh itu, pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 630 dan 434 ialah 14. Perhatikan bahawa nombor 2 dan 7 juga merupakan pembahagi bagi nombor 630 dan 434.

Nombor koprima

Definisi 1. Biarkan pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 sama dengan satu. Kemudian nombor ini dipanggil nombor koprima, tidak mempunyai pembahagi biasa.

Teorem 1. Jika a 1 dan a 2 nombor koprima, dan λ beberapa nombor, kemudian mana-mana pembahagi sepunya nombor λa 1 dan a 2 juga merupakan pembahagi nombor biasa λ Dan a 2 .

Bukti. Pertimbangkan algoritma Euclidean untuk mencari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2 (lihat di atas).

.

Daripada syarat-syarat teorem ia mengikuti bahawa pembahagi sepunya terbesar nombor a 1 dan a 2 dan oleh itu a n dan a n+1 ialah 1. Iaitu a n+1 =1.

Mari kita darabkan semua kesamaan ini dengan λ , Kemudian

.

Biar pembahagi biasa a 1 λ Dan a 2 ya δ . Kemudian δ disertakan sebagai pengganda dalam a 1 λ , m 1 a 2 λ dan dalam a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (lihat "Kebolehbahagiaan nombor", Pernyataan 2). Selanjutnya δ disertakan sebagai pengganda dalam a 2 λ Dan m 2 a 3 λ , dan, oleh itu, merupakan faktor dalam a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Menaakul dengan cara ini, kami yakin bahawa δ disertakan sebagai pengganda dalam a n−1 λ Dan m n−1 a n λ , dan oleh itu dalam a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Kerana a n+1 =1, maka δ disertakan sebagai pengganda dalam λ . Oleh itu bilangan δ ialah pembahagi sepunya bagi nombor λ Dan a 2 .

Mari kita pertimbangkan kes khas Teorem 1.

Akibat 1. biarlah a Dan c Nombor perdana adalah relatif b. Kemudian produk mereka ac ialah nombor perdana berkenaan dengan b.

sungguh. Daripada Teorem 1 ac Dan b mempunyai pembahagi sepunya yang sama seperti c Dan b. Tetapi nombor c Dan b agak mudah, i.e. mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Kemudian ac Dan b juga mempunyai pembahagi sepunya tunggal 1. Oleh itu ac Dan b saling sederhana.

Akibat 2. biarlah a Dan b nombor koprima dan biarkan b membahagikan ak. Kemudian b membahagikan dan k.

sungguh. Dari syarat kelulusan ak Dan b mempunyai pembahagi biasa b. Berdasarkan Teorem 1, b mestilah pembahagi biasa b Dan k. Oleh itu b membahagikan k.

Corollary 1 boleh digeneralisasikan.

Akibat 3. 1. Biarkan nombor a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m adalah relatif perdana kepada nombor b. Kemudian a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, hasil darab nombor ini adalah relatif perdana kepada nombor itu b.

2. Mari kita mempunyai dua baris nombor

supaya setiap nombor dalam siri pertama adalah perdana dalam nisbah setiap nombor dalam siri kedua. Kemudian produk

Anda perlu mencari nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini.

Jika suatu nombor boleh dibahagi dengan a 1, maka ia mempunyai bentuk sa 1 di mana s beberapa nombor. Jika q ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor a 1 dan a 2, kemudian

di mana s 1 ialah beberapa integer. Kemudian

ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1 dan a 2 .

a 1 dan a 2 adalah relatif perdana, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 dan a 2:

Kita perlu mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.

Daripada perkara di atas ia mengikuti bahawa sebarang gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 mestilah gandaan nombor ε Dan a 3 dan belakang. Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε Dan a 3 ya ε 1 . Seterusnya, gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mestilah gandaan nombor ε 1 dan a 4 . Biarkan gandaan sepunya terkecil bagi nombor itu ε 1 dan a 4 ya ε 2. Oleh itu, kami mendapati bahawa semua gandaan nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m bertepatan dengan gandaan nombor tertentu ε n, yang dipanggil gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberi.

Dalam kes khas apabila nombor a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m adalah relatif perdana, maka gandaan sepunya terkecil bagi nombor tersebut a 1 , a 2, seperti yang ditunjukkan di atas, mempunyai bentuk (3). Seterusnya, sejak a 3 perdana berhubung dengan nombor a 1 , a 2 kemudian a 3 nombor perdana a 1 · a 2 (Korol 1). Bermaksud gandaan sepunya terkecil bagi nombor a 1 ,a 2 ,a 3 ialah nombor a 1 · a 2 · a 3. Menaakul dengan cara yang sama, kita sampai pada kenyataan berikut.

Kenyataan 1. Gandaan sepunya terkecil bagi nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m adalah sama dengan produk mereka a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Kenyataan 2. Sebarang nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor koprima a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m juga boleh dibahagikan dengan hasil keluarannya a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Kalkulator dalam talian membolehkan anda mencari dengan cepat pembahagi sepunya terbesar dan gandaan sepunya terkecil untuk dua atau mana-mana nombor nombor lain.

Kalkulator untuk mencari GCD dan LCM

Cari GCD dan LOC

Menjumpai GCD dan LOC: 5806

Cara menggunakan kalkulator

• Masukkan nombor dalam medan input
• Jika anda memasukkan aksara yang salah, medan input akan diserlahkan dengan warna merah
• klik butang "Cari GCD dan LOC".

Bagaimana untuk memasukkan nombor

• Nombor dimasukkan dipisahkan oleh ruang, noktah atau koma
• Panjang nombor yang dimasukkan tidak terhad, jadi mencari GCD dan LCM bagi nombor panjang tidaklah sukar

Apakah GCD dan NOC?

Pembahagi sepunya terbesar beberapa nombor ialah integer semula jadi terbesar di mana semua nombor asal boleh dibahagikan tanpa baki. Pembahagi sepunya terbesar disingkatkan sebagai GCD.
Gandaan sepunya terkecil beberapa nombor ialah nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan setiap nombor asal tanpa baki. Gandaan sepunya terkecil disingkatkan sebagai NOC.

Bagaimana untuk menyemak bahawa nombor boleh dibahagikan dengan nombor lain tanpa baki?

Untuk mengetahui sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain tanpa baki, anda boleh menggunakan beberapa sifat kebolehbahagi nombor. Kemudian, dengan menggabungkannya, anda boleh menyemak kebolehpecahan sebahagian daripadanya dan gabungannya.

Beberapa tanda pembahagian nombor

1. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 2
Untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagikan dengan dua (sama ada genap), cukup untuk melihat digit terakhir nombor ini: jika ia sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka nombor itu adalah genap, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 2.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 2.
Penyelesaian: Kami melihat digit terakhir: 8 - ini bermakna nombor itu boleh dibahagikan dengan dua.

2. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 3
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 apabila jumlah digitnya boleh dibahagi dengan tiga. Oleh itu, untuk menentukan sama ada sesuatu nombor boleh dibahagi dengan 3, anda perlu mengira jumlah digit dan menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan 3. Walaupun jumlah digit itu sangat besar, anda boleh mengulangi proses yang sama sekali lagi.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 3.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 3, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagi dengan tiga.

3. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 5
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah sifar atau lima.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 5.
Penyelesaian: lihat digit terakhir: 8 bermakna nombor itu TIDAK boleh dibahagikan dengan lima.

4. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 9
Tanda ini hampir sama dengan tanda boleh bahagi dengan tiga: nombor boleh dibahagi dengan 9 apabila jumlah digitnya boleh dibahagikan dengan 9.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 9.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 9, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagikan dengan sembilan.

Bagaimana untuk mencari GCD dan LCM bagi dua nombor

Bagaimana untuk mencari gcd dua nombor

Cara paling mudah untuk mengira pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor ialah mencari semua pembahagi yang mungkin bagi nombor tersebut dan pilih yang terbesar.

Mari kita pertimbangkan kaedah ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36):

1. Kami memfaktorkan kedua-dua nombor: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
2. Kami mencari faktor sepunya, iaitu faktor yang kedua-dua nombor mempunyai: 1, 2 dan 2.
3. Kami mengira hasil darab faktor ini: 1 2 2 = 4 - ini adalah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 28 dan 36.

Bagaimana untuk mencari LCM bagi dua nombor

Terdapat dua cara yang paling biasa untuk mencari gandaan terkecil daripada dua nombor. Kaedah pertama ialah anda boleh menuliskan gandaan pertama bagi dua nombor, dan kemudian memilih antara mereka nombor yang akan menjadi biasa kepada kedua-dua nombor dan pada masa yang sama yang terkecil. Dan yang kedua ialah mencari gcd nombor ini. Mari kita pertimbangkan sahaja.

Untuk mengira LCM, anda perlu mengira hasil darab nombor asal dan kemudian membahagikannya dengan GCD yang ditemui sebelum ini. Mari kita cari LCM untuk nombor 28 dan 36 yang sama:

1. Cari hasil darab nombor 28 dan 36: 28·36 = 1008
2. GCD(28, 36), seperti yang telah diketahui, adalah sama dengan 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Mencari GCD dan LCM untuk beberapa nombor

Pembahagi sepunya terbesar boleh didapati untuk beberapa nombor, bukan hanya dua. Untuk melakukan ini, nombor yang ditemui untuk pembahagi sepunya terbesar diuraikan kepada faktor perdana, kemudian hasil darab faktor perdana sepunya nombor ini ditemui. Anda juga boleh menggunakan hubungan berikut untuk mencari gcd beberapa nombor: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Hubungan yang serupa digunakan untuk gandaan sepunya terkecil: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Contoh: cari GCD dan LCM untuk nombor 12, 32 dan 36.

1. Mula-mula, mari kita memfaktorkan nombor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
2. Mari cari faktor sepunya: 1, 2 dan 2.
3. Produk mereka akan memberikan GCD: 1·2·2 = 4
4. Sekarang mari kita cari LCM: untuk melakukan ini, mari kita cari LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Untuk mencari LCM bagi ketiga-tiga nombor, anda perlu mencari GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.